Apuntes Control Robots 2014

PROGRAMA DEL CURSO: 1. INTRODUCCIN A ROBTICA

1.1. Antecedentes histricos 1.2. Origen y desarrollo de la robtica 1.3. Definicin y clasificacin de robots

2. MORFOLOGA DEL ROBOT 2.1. Efector o herramienta final 2.2. Estructura mecnica de robots 2.3. Actuadores en robots 2.4. Transmisiones y reductores 2.5. Sistema de control e inteligencia 2.6. Sensores internos

3. MODELO Y CONTROL CINEMTICO 3.1. Introduccin y conceptos 3.2. Modelo cinemtico directo 3.3. Modelo cinemtico inverso 3.4. Modelo cinemtico de velocidad

4. MODELO DINMICO 4.1. Introduccin y conceptos 4.2. Formulacin de Euler-Lagrange

5. PROPIEDADES Y ESTABILIDAD 5.1. Matriz de inercia 5.2. Matriz de Coriolis 5.3. Vector de gravedad 5.4. Linealidad en los parmetros 5.5. Potencia del robot 5.6. Energa del robot 5.7. Puntos de equilibrio del robot 5.8. Estabilidad del robot

6. CONTROL DINMICO DE POSICIN 6.1. Introduccin 6.2. Diseo de control de posicin 6.3. Control PD 6.4. Control PD con compensacin de gravedad 6.5. Control PD con compensacin precalculada 6.6. Control PID

7. CONTROL DINMICO DE MOVIMIENTO

7.1. Introduccin 7.2. Diseo de control de trayectoria continua

BIBLIOGRAFA: ROBTICA: Control de robots manipuladores Fernando Reyes Corts Alfaomega CONTROL DE MOVIMIENTO DE ROBOTS MANIPULADORES Rafael Kelly, Vctor Santibez Pearson-Prentice Hall MATLAB: Con Aplicaciones a la Ingeniera, Fsica y Finanzas David Bez Lpez / Alfaomega EVALUACIN DEL CURSO: *Calificacin 1 oportunidad = Examen medio 30% Examen ordinario 30% Dos actividades integradoras 40% *Calificacin 2 o mayor oportunidad = Examen 100% REQUISITOS ACADMICOS: *Identidades trigonomtricas. *Geometra y trigonometra en el plano y espacio. *Operaciones y propiedades de vectores. *lgebra lineal y operaciones de matrices. *Clculo diferencial, derivadas parciales. *Conceptos de mecnica (cinemtica traslacional y rotacional, fuerza, par, energa cintica y potencial). *Programacin en Matlab u otros lenguajes.

Autor: Dr. Juan Angel Rodrguez Lin, [email protected],

FIME-UANL 2014

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE NUEVO LEN

FACULTAD DE INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACIN

APUNTES DE CLASE DE CONTROL DE ROBOTS

UANL-FIME-DEPARTAMENTO DE ELECTRNICA Y AUTOMATIZACIN APUNTES DE CLASE DE CONTROL DE ROBOTS

DR. JUAN ANGEL RODRGUEZ LIN 1

NDICE CAPTULO 1 - INTRODUCCIN ......................................................................................................... 3

1.1 Antecedentes histricos ................................................................................................................................. 3 1.2 Origen y desarrollo de la robtica ................................................................................................................ 4 1.3 Definicin y clasificacin de robots ............................................................................................................. 5

Robots manipuladores ......................................................................................................................................... 6 Robots mviles .................................................................................................................................................... 6

CAPTULO 2 MORFOLOGA DE ROBOTS .................................................................................... 9 2.1 Efector o herramienta final ........................................................................................................................... 9

Sujecin .............................................................................................................................................................. 9 Herramientas de transformacin .......................................................................................................................... 9

2.2 Estructura mecnica del robot manipulador ............................................................................................. 10 Tipos de articulaciones ...................................................................................................................................... 10 Estructuras o configuraciones clsicas ................................................................................................................. 10

2.3 Actuadores en robots ................................................................................................................................... 12 Motores de CD .................................................................................................................................................. 13 Motores de pasos................................................................................................................................................ 13

2.4 Transmisiones y reductores ......................................................................................................................... 13 Transmisiones. .................................................................................................................................................. 13 Reductores. ........................................................................................................................................................ 14

2.5 Sistema de control e inteligencia ................................................................................................................ 14 2.6 Sensores internos ......................................................................................................................................... 15

CAPTULO 3 MODELO CINEMTICO......................................................................................... 16 3.1 Introduccin y conceptos ............................................................................................................................ 16 3.2 Modelo cinemtico directo de posicin y orientacin .............................................................................. 16

Modelo cinemtico directo planar ....................................................................................................................... 16 Modelo cinemtico directo espacial ..................................................................................................................... 18

3.3 Modelo cinemtico inverso de posicin ..................................................................................................... 20 3.4 Modelo cinemtico directo de velocidad ................................................................................................... 25 3.5 Modelo cinemtico inverso de velocidad................................................................................................... 28

CAPTULO 4 MODELO DINMICO ............................................................................................. 29 4.1 Introduccin y conceptos ............................................................................................................................ 29 4.2 Formulacin de Euler-Lagrange ................................................................................................................. 29

CAPTULO 5 PROPIEDADES Y ESTABILIDAD ......................................................................... 40 5.1 Propiedades del modelo dinmico de robots manipuladores ................................................................... 40

Matriz de inercia ............................................................................................................................................... 40 Matriz de fuerzas centrpetas y de Coriolis .......................................................................................................... 40 Vector de gravedad ............................................................................................................................................ 41 Linealidad en los parmetros ............................................................................................................................. 41 Potencia del robot .............................................................................................................................................. 41 Energa del robot ............................................................................................................................................... 42

5.2 Estabilidad del robot manipulador ............................................................................................................. 42 Puntos de equilibrio del robot ............................................................................................................................. 42 Estabilidad en el sentido de Lyapunov ................................................................................................................ 43

CAPTULO 6 CONTROL DE POSICIN ....................................................................................... 49 6.1 Introduccin ................................................................................................................................................. 49 6.2 Diseo de control de posicin .................................................................................................................... 50 6.3 Control por linealizacin exacta y retroalimentacin de estados ............................................................ 51 6.4 Control PD y control proporcional con retroalimentacin de velocidad ................................................ 52 6.5 Control PD con compensacin de gravedad ............................................................................................. 56



6.6 Control PD con compensacin precalculada de gravedad ....................................................................... 58 6.7 Control PID .................................................................................................................................................. 61

CAPTULO 7 CONTROL DE MOVIMIENTO ............................................................................... 64 7.1 Introduccin ................................................................................................................................................. 64 7.2 Diseo de control de movimiento .............................................................................................................. 64

APNDICE PRELIMINARES MATEMTICOS .......................................................................... 66 A.1 Formulario de identidades trigonomtricas .............................................................................................. 66 A.2 Tabla de clculo diferencial ....................................................................................................................... 66 A.3 Anlisis vectorial planar y espacial ........................................................................................................... 66 A.4 lgebra lineal .............................................................................................................................................. 66



CAPTULO 1 INTRODUCCIN

1.1 Antecedentes histricos

Desde la antigedad el hombre ha sentido la fascinacin por

mquinas que imitan la figura y movimientos de seres animados,

creando artesanalmente autmatas. Los mecanismos animados

de Hern de Alejandra (85 D.C.) se movan mediante

dispositivos hidrulicos, poleas y palancas teniendo fines ldicos.

Durante el imperio rabe (siglos VIII al XV) se difundieron los

conocimientos griegos, dndoles

aplicaciones tiles en la vida cotidiana de

la realeza. Por ejemplo, diversos sistemas

dispensadores automticos de agua para beber o lavarse. A este mismo periodo

corresponden autmatas como el Hombre de hierro de Alberto Magno (1204-

1282), la Cabeza parlante de Roger Bacon (1214-1294), o el Gallo de

Estrasburgo de 1352 que formaba parte del reloj de la torre de la catedral de

Estrasburgo y al dar la hora mova las alas y el pico.

Ya en el renacimiento se interesan tambin

por los ingenios de los griegos, el Len

mecnico construido por Leonardo Da

Vinci en 1515 para el rey de Francia

Francis I, caminaba y se abra el pecho

para mostrar en su interior flores de lis. Da

Vinci tambin construy un caballero

autmata. En Espaa es conocido el

Hombre de palo, que era un autmata en forma de monje que andaba y mova la

cabeza, ojos, boca y brazos, construido por Juanelo Turriano en 1525 para el emperador Carlos V.

Durante los siglos XVII y XVIII se crearon ingenios mecnicos por artesanos relojeros

para entretener a la gente de la corte y como atraccin en las ferias. Jacques Vaucanson

(1709-1782), autor del primer telar mecnico,

construy varios muecos animados entre los

que destacan un flautista capaz de tocar varias

melodas y en 1738 un pato capaz de graznar,

beber, comer, digerir y evacuar la comida. El

suizo Pierre Jaquet Droz y sus hijos construyeron diversos

muecos capaces de escribir (1770), dibujar (1772) y tocar

diversas melodas en un rgano (1773). Henry Maillardet

construy en 1805 una mueca capaz de dibujar1.

1Ms informacin en http://automata.cps.unizar.es/Historia/Webs/automatas_en_la_historia.htm y en los videos de

apoyo http://youtu.be/oZzY37BeORs y http://youtu.be/r4lc7ey3pFM



El trmino robot apareci en 1921, en la obra teatral Rossums Universal

Robots (R.U.R.) del escritor Karel Capek (1890-1938), derivado de la

palabra checa robota que se refiere

al trabajo realizado de manera

forzada. En esta obra de ciencia

ficcin se representa mquinas

androides autmatas llamadas

robots sirviendo a sus jefes

humanos, y posteriormente se rebelan. Otros escritores de ciencia

ficcin retomaron la palabra y el mensaje de Capek, como Thea von

Harbou en 1926 al escribir Metrpolis, novela llevada al cine por Fritz Lang donde la masa obrera de una

sociedad superindustrializada es manipulada por un lder androide.

De la misma manera, el cientfico y escritor de ciencia ficcin ruso Isaac Asimov,

impuls la idea y palabra robot en las obras Runaround y I, robot de los 40s en las que

propuso y difundi sus 3 leyes de la robtica y posteriormente incorpor la ley cero:

0. Un robot no puede lastimar a la humanidad o, por su inaccin, permitir que la

humanidad sufra dao.

1. Un robot no har dao a un ser humano o, por su inaccin, permitir que un ser

humano sufra dao, excepto si entra en conflicto la ley cero.

2. Un robot debe obedecer las rdenes dadas por los seres humanos, excepto si estas

rdenes entran en conflicto con la 1 o Ley 0.

3. Un robot debe proteger su propia existencia en la medida en que tal proteccin no entre en conflicto con

la 0, 1 o 2 Ley.

A partir de entonces han surgido muchas otras obras de ficcin acerca de robots creando mitos y

expectativas sobre estas tecnologas.

1.2 Origen y desarrollo de la robtica

El desarrollo como mquina moderna ha sido distinto de la ficcin

del robot o de las obras mecnicas artesanales antropomorfas o

zoomorfas. Luego de muchos resultados en disciplinas como la

mecnica, electrnica, mquinas-herramientas, servomecanismos y

computacin digital, se dieron las bases para que aparecieran los

robots. Los antecesores de los robots fueron los telemanipuladores.

En 1948, Ray Goertz del Argonne National Laboratory desarroll el

primer telemanipulador mecnico para elementos radiactivos. En

1954 sustituy la transmisin mecnica por otra elctrica

obteniendo servocontrol bilateral.



La sustitucin del operador humano por un programa computacional dio

lugar al concepto de robot. La primera patente fue solicitada en marzo de

1954 por el britnico C.W. Kenward. Sin embargo en el mismo ao, el

ingeniero norteamericano George Devol estableci las bases del robot

industrial moderno, el cual era un dispositivo de transferencia de piezas

en forma programada. En 1956 comienzan a trabajar Devol y Joseph F.

Engelberger (fotografa) en la utilizacin industrial de sus mquinas,

fundando la Consolidated Control Corporation, que ms tarde sera la

Unimation (Universal Automation), instalando su primer robot Unimate en

1960 en la fbrica de General Motors de Trenton, Nueva Jersey.

En 1968 Engelberger visit Japn y poco ms tarde se firmaron acuerdos con Kawasaki para la

construccin de los robots Unimate. Aventajando Japn en breve a los Estados Unidos gracias a Nissan,

que form la primera asociacin robtica del mundo, la Asociacin de Robtica Industrial de Japn (JIRA)

en 1972. Dos aos ms tarde se form el Instituto de Robtica de Amrica y posteriormente cambiando su

nombre por Asociacin de Industrias Robticas (RIA).

En 1975, el ingeniero estadounidense Victor Scheinman en la Universidad de

Stanford, California, desarroll un manipulador polivalente flexible

posteriormente conocido como PUMA (Programmable Universal Manipulator

Arm) para la compaa Unimation. Este tipo de robot era

capaz de mover un objeto y colocarlo en cualquier

orientacin en un lugar deseado que estuviera a su

alcance, y este concepto es la base de la mayora de los

robots actuales. La configuracin de los primeros robots

responda a las denominadas configuraciones esfrica y antropomrfica, de uso en la

manipulacin. En 1982, el profesor Hiroshi Makino de la Universidad Yamanashi de

Japn, desarrolla el concepto de robot SCARA (Selective Compliance Assembly Robot

Arm) el cual es un robot de configuracin mecnica con un nmero reducido en

grados de libertad (3 o 4), un costo limitado y orientada al ensamblado de piezas.

En poco ms de 30 aos las investigaciones y desarrollos sobre robtica industrial han permitido que los

robots tomen posiciones en casi todas las reas productivas y tipos de industria. Los futuros desarrollos

apuntan en aumentar su movilidad, destreza y autonoma como en exploracin y maniobras espaciales,

construccin, exploracin submarina y subterrnea, militares, aplicaciones mdicas, as como servicio y

asistencia parecindose y superando cada vez ms a los de las novelas de Asimov, Capek o Harbou.

1.3 Definicin y clasificacin de robots

Las definiciones y clasificaciones existentes de robots corresponden al robot industrial o de produccin. Frente a stos, los robots especiales o llamados de servicio estn aun en desarrollo. Un robot es comprendido como una entidad electromecnica artificial que, por su apariencia o movimientos, ofrece la sensacin de tener un propsito o decisin propia que le permite moverse, percibir y manipular su entorno, mostrar un comportamiento inteligente. Los robots suelen clasificarse como robots industriales y robots mviles o de servicio.



Robots industriales

Segn la ISO y la RIA (Robot Institute of America), un robot industrial es un manipulador multifuncional

reprogramable diseado para mover materiales, piezas, herramientas o dispositivos especiales, a travs de

movimientos variables programados para la ejecucin de diversas tareas. En general, todas las definiciones

coinciden en la capacidad de reprogramacin y la multifuncionalidad, incluso tomar decisiones segn la

informacin procedente de su alrededor.

La definicin de robot segn la Asociacin Industrial de Robots Japonesa se extiende para incluir brazos

controlados directamente por humanos y tambin manipuladores de secuencia fija, los cuales no son re-

programables. Este segundo grupo cuenta con una grande cantidad de dispositivos en uso en Japn. Cabe

aclarar que an utilizando nuestra definicin de robot, la cantidad de robots en uso en Japn excede por

mucho la de otros pases.

Los robots industriales son comnmente empleados en tareas repetitivas de alta precisin, as como en

actividades peligrosas para el ser humano. De acuerdo al grado de autonoma, los robots industriales

pueden clasificarse en 4 niveles segn la complejidad de la tarea:

Nivel 1. Aplicaciones que usan robots simples con jigs y accesorios para colocar componentes y

herramientas segn la precisin requerida. Por ejemplo aplicaciones en soldadura por puntos,

colocacin de adhesivos o selladores, pintura, etctera.

Nivel 2. Aplicaciones que requieren retroalimentacin de sensores con el fin de adaptarse a las

variaciones en los componentes. Por ejemplo soldadura por arco, colocacin de cristales en ventanas de

automviles y montaje de llanta de repuesto.

Nivel 3. Estas aplicaciones requieren capacidades sensoriales ms complejas tales como reconocimiento

de patrones. Tienden a requerir toma de decisiones complejas basadas en retroalimentacin. Este tipo

de robots son pocos pero se han aplicado en el rea de ensamble.

Nivel 4. Las aplicaciones ms complicadas son las que involucran comportamiento impredecible tanto

de los componentes como de otros equipos en la celda de manufactura. Operaciones tales como manejo

de componentes flexibles (laminas, textiles, mangueras), interaccin con humanos, manejo de material

altamente sensible al tacto (nuclear o explosivos), etctera.

Robots mviles y de servicio

El desarrollo de robots mviles responde a la necesidad de extender el campo de accin de la robtica. Se

trata de que el robot tenga la suficiente inteligencia para navegacin y tomar decisiones basndose en la

percepcin de su entorno, probablemente desconocido y dinmico.

La autonoma de un robot mvil se basa en el sistema de navegacin automtica. En estos sistemas se

incluyen tareas de planificacin (de la misin y de la trayectoria), percepcin y control. Los robots mviles

se pueden clasificar de la siguiente manera:



Algunos conceptos de robots que parecen humanos son:

Humanoide: El robot humanoide es aquel que simplemente imitar los actos y movimientos de un humano,

pero no necesariamente parece hombre o mujer, sino una simple marioneta humana animatrnica.

Androide: Del origen etimolgico griego andro (hombre) y eides (forma), es decir, humanoide de fisionoma

y apariencia masculina, que adems imita algunos aspectos de su conducta de manera autnoma.

Ginoide: Del origen etimolgico griego Ginio (mujer) y eides (forma), es decir, humanoide de fisionoma y

apariencia femenina, que adems imita algunos aspectos de su conducta de manera autnoma (Fembot).

Robots mviles/de servicio

Terrestres

Vehculos

Ruedas

Orugas

Patas

Zoomorfos

Cuadrpedos

Hexpodos

Polpodos

Humanoides

Androides

Ginoides

Cyborgs

Marinos/submarinos Areos (UAVs o

"drones")

Alados

Hlices



Cyborg: Se forma a partir de las palabras inglesas Cybernetics y Organism (organismo ciberntico) y se utiliza

para designar una criatura parte orgnica y parte robot, generalmente con la intencin de mejorar las

capacidades del organismo utilizando dispositivos tecnolgicos.



CAPTULO 2 MORFOLOGA DE ROBOTS

La morfologa del robot significa el estudio de la forma, estructura, configuracin y componentes de los

diferentes tipos de robots que existen. El esquema bsico de un robot est integrado por una estructura

mecnica, actuadores y transmisiones, sensores, efector o herramienta final y sistemas de control.

2.1 Efector o herramienta final

El efector final representa la herramienta especial que permite a un robot de uso general realizar una

aplicacin particular. Los efectores finales pueden dividirse en dos categoras principales: Sujecin y

transformacin.

Sujecin

Generalmente son pinzas que se utilizan para desplazar un objeto,

normalmente la pieza de trabajo, y sujetarlo durante el ciclo de operacin y

posteriormente colocarlo en un lugar apropiado. Hay una diversidad de

mtodos de sujecin que pueden utilizarse, adems de los mtodos

mecnicos obvios de agarrar la pieza entre dos o ms dedos. Estos mtodos

suplementarios incluyen el empleo de ganchos, ventosas, electroimanes,

palas, etctera.

Sistemas de sujecin para robots.

Tipos de sujecin Accionamiento Uso

Pinza de presin

-Des. Angular

-Des. lineal

Neumtico o elctrico

Transporte y manipulacin

de piezas sobre las que no

import presionar.

Pinza de enganche Neumtico o elctrico

Piezas grandes dimensiones o

sobre las que no se puede

ejercer presin.

Ventosas de vaci Neumtico

Cuerpos con superficie lisa

poco porosa y delicadas

(cristal, plstico etc.)

Electroimn Elctrico Piezas ferromagnticas

Herramientas de transformacin

Una herramienta se utilizara como efector final en aplicaciones en donde se exija al robot realizar alguna

operacin en la pieza de trabajo. Estas aplicaciones incluyen la soldadura por puntos, la soldadura por arco,

a la pintura por pulverizacin y las operaciones de taladro. En cada caso, la herramienta particular est

unida a la mueca del robot para realizar la operacin.



Herramientas de transformacin para robots.

Tipo de herramienta Comentarios

Electrodos de soldadura

Soplete oxiacetilnico

Atornillador

Fresa

Pistola de pintura

Can lser

Can de agua a presin

Dos electrodos que se cierran sobre la pieza de soldar

Aportan el flujo de electrodo que se funde

Suelen incluir la alimentacin de tornillos

Para perfilar, eliminar rebabas, pulir, etc.

Por pulverizacin de la pintura

Para corte de materiales, soldadura o inspeccin

Para corte de materiales

El Punto de Centro de la Herramienta o efector final (Tool Center Point: TCP) se

usa para referirse a la posicin del punto focal de la herramienta del robot. Por

ejemplo, el TCP es la punta de un soplete o electrodo para soldar, tambin el

punto en que una pinza sujeta una pieza.

2.2 Estructura mecnica del robot manipulador

El sistema mecnico consiste en una estructura de mecanismos de posicionamiento y orientacin del efector

final, incluyendo una base (fija en manipuladores y de locomocin en mviles).

Los robots manipuladores son, esencialmente, brazos articulados. Es decir, una

cadena formada por un conjunto de eslabones o elementos interconectados

mediante articulaciones, las cuales permiten el movimiento relativo entre

eslabones consecutivos. El aumento del nmero de articulaciones aporta mayor

maniobrabilidad pero dificulta el problema de

control. Cada uno de los movimientos

independientes que puede realizar cada

articulacin (de rotacin o traslacin) se llama

grado de libertad (gdl), stos son los que permiten

posicionar y orientar en el espacio al efector final.

Los robots industriales varan entre 4 y 6 gdl. Sin

embargo, existen robots con ms gdl para aplicaciones especiales.

Tipos de articulaciones

Existen diferentes tipos de articulaciones, las ms utilizadas en robtica son las siguientes:

La articulacin de rotacin tiene un grado de libertad de rotacin alrededor del eje de la articulacin.

La articulacin de traslacin lineal tiene 1 gdl a lo largo del eje de la articulacin.

En la articulacin cilndrica existen dos g.d.l.: Uno de rotacin y uno de traslacin.

La articulacin planar tiene movimiento de traslacin en 2 direcciones del plano (2 gdl).

La articulacin esfrica combina giros en tres direcciones rotacionales en el espacio (3 gdl).

Estructuras o configuraciones clsicas

La ubicacin del TCP se especifica en algn sistema coordenado, fundamentalmente dado por la

configuracin mecnica del robot. Existen las siguientes estructuras o configuraciones clsicas en los

manipuladores:



Cartesiano. Tiene 3 articulaciones traslacionales y la posicin del TCP se da en coordenadas cartesianas

o rectangulares.

Cilndrico. Tiene 2 articulaciones traslacionales y 1 rotacional, la posicin del TCP se da en

coordenadas cilndricas.

Esfrico. Tiene 2 articulaciones rotacionales y 1 traslacional, la posicin del TCP se da en coordenadas

esfricas o polares.

Angular. Tiene slo articulaciones rotacionales y la posicin del TCP se da en coordenadas angulares

relativas a cada eslabn consecutivo. La mayora de este tipo se parecen al brazo humano con torso,

hombro, codo y mueca.

SCARA (Selective Compliance Assembly Robot Arms). Especial para montaje o ensamble en un plano.

Tiene 3 articulaciones de rotacin respecto a 2 ejes paralelos, y una de traslacin en sentido

perpendicular al plano.



El Espacio de Trabajo es el conjunto de puntos en el espacio que el TCP del efector final puede alcanzar, lo

cual depende de la estructura mecnica. Para un robot cartesiano (como una gra) el espacio de trabajo

podra ser un cubo, para los robots ms sofisticados los espacios podran ser de una forma esfrica.

La Resolucin Espacial (precisin) es el incremento ms pequeo de

movimiento en que el robot puede dividir su espacio de trabajo. sta

depende de dos factores: los sistemas de control del movimiento, y las

inexactitudes o limitaciones de los actuadores y de la estructura

mecnica. Es ms fcil de conceptuar estos factores cuando se refiere a

un grado de libertad.

2.3 Actuadores en robots

Los actuadores son dispositivos que generan las fuerzas o pares necesarios para mover o animar a la

estructura mecnica. Estos pueden ser, segn la energa que consuman, de tipo neumtico, hidrulico o

elctrico.

La energa neumtica dota a sus actuadores de una gran velocidad de

respuesta, junto a un bajo coste, pero de precisin limitada. Como cilindros

de simple o doble efecto y motores neumticos (de aletas rotativas o

pistones axiales).

Los actuadores de tipo hidrulico se destinan a tareas que requieren una

gran potencia y grandes capacidades de carga. Existen, como en el caso de

los neumticos, actuadores de tipo cilindro y del tipo de motores de aletas y

pistones. El grado de compresibilidad de los aceites usados es considerablemente menor al del aire, por

lo que la precisin obtenida en este caso es mayor. Por motivos similares, es ms fcil en ellos realizar

un control continuo, pudiendo posicionar su eje en todo un rango de valores (haciendo uso de

servocontrol) con notable precisin. Presenta desventajas por fugas de aceite debidas a las excesivas

presiones, adems requiere equipos de filtrado de partculas, eliminacin de aire, sistemas de

refrigeracin y unidades de control de distribucin.

Electromecnicos, como motores elctricos, que cubren la gama de media y baja potencia, acaparan el

campo de la Robtica, por su gran precisin en el control de su movimiento y las ventajas inherentes al

manejo de sus variables elctricas. Entre los motores elctricos utilizados en robtica podemos

mencionar los motores de corriente directa servocontrolados, motores paso a paso y otros actuadores

electromecnicos sin escobillas.



Motores de CD

Los motores de CD estn constituidos por dos devanados internos:

inductor o devanado de excitacin, est situado en el estator y crea un

campo magntico de direccin fija, denominado excitacin. El

inducido, situado en el rotor, hace girar al mismo debido a la fuerza de

Lorentz que aparece como combinacin de la corriente circulante por l

y del campo magntico de excitacin. Al aumentar la tensin del

inducido aumenta la velocidad de la mquina. Si el motor est

alimentado a tensin constante, se puede aumentar la velocidad

disminuyendo el flujo de excitacin. Pero cuanto ms dbil sea el flujo,

menor ser el par motor

que se puede desarrollar para una intensidad de inducido

constante, mientras que la tensin del inducido se utiliza para

controlar la velocidad de giro. Los motores controlados por

inducido son los que se usa para accionamiento en robots.

Motores de pasos

Existen varios tipos de motores paso a paso, uno de ellos es el de imanes permanentes. El rotor, que posee

una polarizacin magntica constante, gira para orientar sus polos de acuerdo al campo magntico creado

por las fases del estator. Puede ser unipolar o bipolar.

En los motores de pasos, la seal de control son trenes de pulsos que van actuando rotativamente sobre una

serie de electroimanes dispuestos en el estator. Por cada pulso recibido, el rotor del motor gira un paso

determinado por un nmero discreto de grados.

Su principal ventaja con respecto a los servomotores tradicionales es su capacidad para asegurar un

posicionamiento simple y exacto. Son muy ligeros, fiables, y fciles de controlar en lazo abierto, sin la

necesidad de sensores de realimentacin.

2.4 Transmisiones y reductores

Las transmisiones son los elementos encargados de transmitir el movimiento desde los actuadores hasta las

articulaciones. Se incluirn junto con las transmisiones a los reductores, encargados de adaptar el par y la velocidad de la salida del actuador a los valores adecuados para el movimiento de los elementos del robot.

Transmisiones.

Dado que un robot mueve su extremo con

aceleraciones elevadas, es de gran importancia

reducir al mximo su momento de inercia. Del

mismo modo, los pares estticos que deben

vencer los actuadores dependen directamente de

la distancia de las masas al actuador. Por estos

motivos se procura que los actuadores, por lo

general pesados, estn lo ms cerca posible de la

base del robot. Esta circunstancia obliga a utilizar

sistemas de transmisin que trasladen el

movimiento hasta las articulaciones, especialmente a las situadas en el extremo del robot. Asimismo, las



transmisiones pueden ser utilizadas para convertir movimiento rotacional en traslacional o viceversa. Un

buen sistema de transmisin debe cumplir con caractersticas bsicas: Tener un tamao y peso reducido, no

presentar juegos u holguras considerables, deben tener gran rendimiento. Los sistemas ms habituales

incluyen engranajes, bandas o correas dentadas y cadenas.

Reductores.

Existen determinados sistemas usados de manera preferente en los robots industriales. Se requieren

reductores de bajo peso, reducido tamao, bajo rozamiento y que al mismo tiempo sean capaces de realizar

reduccin de velocidad ngular y un aumento elevado de su par o torque.

La capacidad de carga es el peso (en kgf o lb) que puede transportar la pinza del manipulador. Es una

caracterstica muy importante para la seleccin de un robot segn la aplicacin deseada. La capacidad de

carga mxima es un dato proporcionado por el fabricante.

2.5 Sistema de control e inteligencia

Para que el robot pueda realizar determinados objetivos o tareas, su sistema de control e inteligencia

funciona en una estructura jerrquica:

En el nivel inferior se emplean servomecanismos y controladores convencionales con retroalimentacin de

posicin y velocidad para generar las seales de control que garanticen el seguimiento o regulacin en las

posiciones o trayectorias de referencia. Los parmetros del controlador normalmente son fijos aunque

varen significativamente las condiciones de trabajo. El controlador requiere de la informacin de la

referencia y de las variables reales medidas.

El segundo nivel se ocupa de la generacin de las posiciones de referencia, es decir, los puntos en el espacio

de trabajo que se desean que alcance el efector final en una operacin punto por punto, o de las trayectorias

de referencia, es decir el movimiento continuo que se desea que describa el efector final cuando se desplaza

de una posicin a otra. El generador de trayectorias suministra dichas referencias a los controladores del

primer nivel.

Los niveles superiores se ocupan de la comunicacin con el usuario, interpretacin de los programas,

percepcin sensorial del entorno, toma de decisiones y planificacin para que entre en accin el segundo

nivel.



2.6 Sensores internos

Los controladores normalmente requieren la retroalimentacin (lazo cerrado) de la informacin de las

variables internas del robot (posiciones, velocidades, fuerzas) para que funcionen adecuadamente los niveles

de control e inteligencia. En este aspecto se han integrado los progresos y nuevas tecnologas de sensores

que le suministren fieles mediciones de las variables. Las variables de posicin y velocidad de las

articulaciones las consigue con sus sensores internos, mientras que las variables que se refieren a su entorno

las adquiere con sensores externos permitindole interaccionar de manera flexible.

Tipos de sensores en robots:

De presencia:

De contacto: Interruptor mecnico

Sin contacto:

Proximidad inductivo

Proximidad capacitivo

Optoelectrnicos

De ultrasonido

Posicin:

Analgicos:

Potencimetros

Sincronizadores y Reslvers

Transformador diferencial lineal

variable (LVDT)

Digitales:

Encoders absolutos

Encoders incremntales

Optoelectrnicos

Girscopos

Velocidad

Indirectos: Los de posicin calculando la razn de

cambio en el tiempo

Directos: Tacmetros

De efecto Hall



CAPTULO 3 MODELO CINEMTICO

3.1 Introduccin y conceptos

Para que un robot ejecute una tarea

especfica es necesario establecer y

controlar la posicin y orientacin de su

efector final en el espacio de trabajo.

Puesto que la posicin del TCP del

efector final se determina en

coordenadas cartesianas y se alcanza

mediante el movimiento de las articulaciones del robot, es necesario encontrar la relacin entre las

coordenadas cartesianas del TCP y las posiciones articulares qi de los eslabones en el sistema coordinado

correspondiente a la configuracin geomtrica del robot.

El caso en que se conocen las posiciones articulares qi de cada eslabn y gracias a ello se calcula la posicin

y orientacin del TCP se conoce como modelo cinemtico directo. ste tiene solucin analtica nica, y puede

resolverse con mtodos geomtricos o con lgebra lineal. Por otra parte, cuando se conoce la posicin y

orientacin deseada del TCP en coordenadas cartesianas y se utiliza para calcular las posiciones qi de cada

eslabn, se conoce como modelo cinemtico inverso. Este ltimo problema, puede resolverse analticamente

slo en casos sencillos y puede tener mltiples soluciones. En la mayora de los casos se resuelve con

algoritmos computacionales. Mediante los modelos cinemticos tambin es posible calcular las velocidades

articulares y del TCP, sin embargo no analiza los efectos de inercia ni fuerzas que producen movimiento.

3.2 Modelo cinemtico directo de posicin y orientacin

La obtencin del modelo cinemtico directo consiste en expresar la posicin p del TCP en coordenadas

rectangulares y su orientacin por medio de una funcin de las n posiciones articulares qi de cada

eslabn2. Es decir,

( )p q (1)

donde p es el TCP del efector final en coordenadas cartesianas y la orientacin del efector es , nq

es el vector de n posiciones articulares qi con una regin de operacin , y es la funcin que corresponde al modelo cinemtico directo. El espacio de trabajo WS es el conjunto de todos los puntos

alcanzados por el TCP para los posibles qi,

| ( ) , nWS p p q q (2)

Modelo cinemtico directo planar

En el caso planar, el modelo cinemtico directo de posicin y orientacin del TCP es

2 1( )TT T

x yp q p p ,

2: n , y 2WS .

2 En este curso lo resolveremos por mtodos geomtricos.



De los siguientes robots, obtenga el modelo cinemtico directo de posicin y orientacin de la herramienta

final:

1. Pndulo simple planar con 1 gdl q .

Solucin:

cos( )( )

sin( )

x

y

p R qq

p R q

q

2. Robot angular planar con 2 gdl.

Solucin:

1 1 2 1 2

1 1 2 1 2

cos( ) cos( )

sin( ) sin( )

x

y

p l q l q q

p l q l q q

1 2q q


Solucin:

1 1 2 1 2 3 1 2 3

1 1 2 1 2 3 1 2 3

cos( ) cos( ) cos( )

sin( ) sin( ) sin( )

x

y

p l q l q q l q q q

p l q l q q l q q q

1 2 3q q q

4. Robot planar con 3 gdl, 2 rotacionales y 1 prismtico.

Con 2d q , 1 1q , 3 3q

Solucin:

2 1 3 1 3

2 1 3 1 3

1 3

cos( ) cos( )

sin( ) sin( )

x

y

p q q l q q

p q q l q q

q q

5. Robot planar con 2 gdl: 1 rotacional y 1 prismtico, con 1q , 2h q .

Solucin:

1

1 2

cos( )

sin( )

x

y

p L q a

p L q q

1q a



Modelo cinemtico directo espacial

En el caso 3D, el modelo cinemtico directo es una funcin de la forma .

Obtenga el modelo cinemtico directo de cada robot y orientacin del TCP:

1. Robot cilndrico.

Solucin:

2 1

2 1

3

cos( )

sin( )

x

y

z

p q q

p q q

h qp

2. Robot esfrico.

Solucin:

3. Robot angular 3D con 3 gdl RRR, origen en la base.

Solucin:



4. Robot SCARA

Solucin:

2 1 3 1 2

2 1 3 1 2

3

cos( ) cos( )

sin( ) sin( )

x

y

z

p l q l q q

p l q l q q

h qp



3.3 Modelo cinemtico inverso de posicin

La obtencin del modelo cinemtico inverso consiste en expresar las n posiciones articulares qi de cada

eslabn en funcin de la posicin p y orientacin del TCP3. Es decir, 1( )q p (3)

donde p es el TCP del efector final en coordenadas cartesianas y la orientacin del efector es , q es el

vector de n posiciones articulares qi. Debido a la complejidad para resolverlo analticamente, es comn

suplir los modelos inversos por algoritmos computacionales de aproximacin numrica.

Dada la posicin cartesiana p del TCP, obtenga el modelo cinemtico inverso de los siguientes mecanismos

de robot:

1. Pndulo simple planar con 1 gdl, q .

Solucin: 1 1( ) tan ( )y xq p p p .

La solucin es vlida si el TCP est restringido a

la circunferencia descrita por 2 2 2

x yp p R .


Slo garantizando posicin del TCP, una solucin es:

1

2 2 2

2 2 2

1 2 1 2

2 2 2

1 1 2

tan

2 cos

2 cos

y

x

x y

p

p

r p p

l l l l r

r l rl l

2 2 2 2

1 21 1

2 2

1 1

2 2 2 221 21

1 2

tan cos2

180 cos2

y x y

x x y

x y

p p p l l

pq l p p

ql l p p

l l

Esta solucin (codo abajo) restringe:

0,180] para todo 0,360].

*Otra solucin (codo arriba) restringe:

0,0] para todo 0,360]. Obtenga esta solucin de cinemtica inversa.

3 En este curso lo resolveremos por mtodos geomtricos.



3. Robot angular planar con 3 gdl, especificando la posicin P y orientacin del TCP, con 2 2q ,

1 1q , 3 3q

Una solucin (codo abajo) es:

3

3

cos( )

sin( )

xw

yw

p lx

p ly

2 2 2 2

3 3 3 1 21 1

2 23 1 3 3

1 2 2 2 2

1 2 3 31

2

1 2

3

1 2

sin( ) ( cos( )) ( sin( ))tan cos

cos( ) 2 ( cos( )) ( sin( ))

( cos( )) ( sin( ))180 cos

2

y x y

x x y

x y

p l p l p l l l

p l l p l p l

ql l p l p l

ql l

qq q

.

*Obtenga la solucin con codo arriba.

4. Robot planar con 3 gdl, 2 rotacionales y 1 prismtico,

con 2q d , 1 1q , 3 3q .

Solucin:

5. Robot planar con 2 gdl: 1 rotacional y 1 prismtico, 1q , 2q h .

Solucin:

a

1

2 2 2

2 2 2

1 2 1 2

2 2 2

1 1 2

tan

2 cos

2 cos

w

w

w w

y

x

r x y

l l l l r

r l rl l



6. Robot cilndrico.

Solucin:

1

1

2 22

3

tan ( / )y x

x y

z

p pq

q p p

q h p

7. Robot esfrico.

Solucin:



8. Robot angular 3D con 3 gdl RRR, origen en la base.

Solucin de codo abajo: 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1

2 2 2 2

1 2 3 2 3

2 2 21 2 3

3

2 3

1 11 1

2 2

2 2 21 12 3 3 3

2

( ) ( )

( ) 2 cos( )

180 cos2

tan tan

sin( )cos tan

2

w x y

w z x y z

w z

z z

w x y

r p p

r r p l p p p l

r p l l l l l

l l rq

l l

p l p lB

r p p

r l l l qA

rl l

2 3 3

2

3

cos( )

180 ( )

l q

q B A

q

1

1 2 2 2 2 2

1 2 31 112

2 2 2 2 2

2 13

2 2 2 2 2

2 3 11

2 3

tan

( )tan cos

2 ( )

( )180 cos

2

y

x

x y zz

x y x y z

x y z

p

p

qp p p l l lp l

qp p l p p p l

q

l l p p p l

l l

9. Robot SCARA, solucin:

2 2 2

1

2 2 21 2 3

2 3

2 2 21 2 3

2

tan

cos2

cos2

w x y

y

x

w

w

w

r p p

p

p

l l r

l l

r l l

l r

Las soluciones codo derecho e izquierdo son, respectivamente:

1

2

3 1

180

z

q

q

q l p

1

2

3 1

180

z

q

q

q l p



Caso prctico:

Se requiere que el TCP del robot SCARA se posicione en cada esquina y en el centro de una placa horizontal cuadrada de 2m, que est a una altura de 2m y separada 1m de cada eje x,y.

Los eslabones son l1=3m, l2=3m, l3=2m.

Haga una tabla de estaciones y secuencia con el valor de la posicin de cada articulacin.

Estacin Px Py Pz q1 q2 q3

Esquina 1

Esquina 2

Esquina 3

Esquina 4

Centro



3.4 Modelo cinemtico directo de velocidad

La obtencin del modelo cinemtico de velocidad consiste en expresar la velocidad v del TCP en

coordenadas rectangulares en funcin de las n velocidades articulares de cada eslabn. Es decir,

(4)

donde v es la velocidad del TCP en coordenadas rectangulares, nq es el vector de n velocidades

articulares y

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

3 1 3 2 3

n

n

n

q q q

J q q qq

q q q

se denomina Jacobiano de .

Obtenga el modelo cinemtico de velocidad de los mecanismos de robots anteriores.

1.-

=

=

=

=

2.-Robot angular planar de 2 gdl es

1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2

2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2

sin( ) sin( ) sin( )

cos( ) cos( ) cos( )

q q l q l q q l q qJ

q q l q l q q l q q

entonces v p Jq .

3.-

1

1



4.-

5.-

6.- Robot Cilndrico

=

=

=

=

1

L

=



7.- Robot Esfrico

=

=

=

8.-Robot SCARA



9.-Robot angular

3.5 Modelo cinemtico inverso de velocidad

Cuando el jacobiano es invertible, entonces el modelo cinemtico inverso de velocidad es dado por 1q J v

Ejercicios del captulo:

Simule en Matlab (u otro lenguaje) todos los modelos cinemticos obtenidos en los ejercicios de este

captulo. Ilustre grficamente las posiciones y velocidades de cada mecanismo robtico, proponga

arbitrariamente los valores de las longitudes de eslabones.



CAPTULO 4 MODELO DINMICO

4.1 Introduccin y conceptos

La dinmica se ocupa de la relacin entre las fuerzas que actan sobre

un cuerpo y el movimiento que en l se origina como resultado de las

mismas. Por lo tanto, el modelo dinmico de un robot es un conjunto

de expresiones matemticas que tiene por objeto conocer la relacin

entre el movimiento del robot, dado por las posiciones qi y velocidades

dqi/dt articulares, y las fuerzas o pares de torsin i aplicados en las

articulaciones.

El modelo dinmico directo expresa la posicin y velocidad de las

variables articulares del robot en funcin de las fuerzas y pares

aplicados en cada articulacin, ( , ) ( )dq q f . El modelo dinmico inverso

expresa las fuerzas y pares requeridos en las articulaciones en funcin de la posicin y velocidad alcanzada

en cada articulacin del robot, ( , )if q q .

Los modelos dinmicos de un determinado robot, o en general de un mecanismo, pueden obtenerse

mediante dos formulaciones o procedimientos: Newton-Euler o Euler-Lagrange.

La formulacin de Newton-Euler se basa fundamentalmente en el planteamiento del equilibrio de fuerzas

establecido en la segunda ley de Newton y en su equivalente rotacional, la ley de Euler. Se obtienen las

ecuaciones dinmicas a partir del planteamiento del equilibrio de fuerzas y pares que intervienen en el

robot.

La formulacin Euler-Lagrange es ms sistemtica y elegante matemticamente que la newtoniana. Se basa

en la ley de la conservacin de la energa, ms precisamente, en el balance de transferencia de energa

potencial y cintica en el robot.

4.2 Formulacin de Euler-Lagrange

La formulacin Euler-Lagrange permite la obtencin del modelo dinmico inverso ( , )if q q mediante el

siguiente procedimiento:

1. Ubicar un marco de referencia cartesiano para el robot.

2. Expresar la posicin de los centros de masa o gravedad mi de cada eslabn en coordenadas cartesianas

referidas al origen, en funcin de las n posiciones articulares qi:

1 2 1 2 1 2( , ,..., ) ( , ,..., ) ( , ,..., )T

i ix n iy n iz nr r q q q r q q q r q q q , i=1,2,,n. (5)

3. Expresar la velocidad vi de los centros de masa o gravedad mi de cada eslabn en coordenadas

cartesianas en funcin de las posiciones y velocidades articulares:



1 2( , ,..., ) Ti n ii i ix iy iz

dr q q q r dqv r v v v

dt q dt

, i=1,2,,n. (6)

4. Calcular la energa potencial U total del sistema:

1( ) ( )

n

T iiU q U q

(7)

donde ( ) ( )i i iU q m gh q es la energa potencial de cada centro de masa y 1 2( ) ( , ,..., )i iz nh q r q q q es la

altura del centro de masa.

5. Calcular la energa cintica K total del sistema:

1( , ) ( , )

n

T iiK q q K q q

(8)

donde 21

2( , )i i iK q q m v es la energa cintica de cada centro de masa,

2 2 2

i ix iy izv v v v es la magnitud

de la velocidad del centro de masa, y 2 2 2 2 T

i ix iy iz i i i iv v v v v v v v el producto punto de la velocidad.

Entonces la energa cintica tambin se escribe como 21 1 1

2 2 2( , ) Ti i i i i i i i iK q q m v m v v m v v .

6. Calcular el Lagrangiano L, que se define como la diferencia entre las energas cintica y potencial:

( , ) ( , ) ( )T TL q q K q q U q (9)

7. Desarrollar las ecuaciones Euler-Lagrange para i=1,2,,n:

( , ) ( , )i

i i

d L q q L q q

dt q q

(10)

El modelo dinmico inverso ( , )if q q es el vector cuyas componentes son las n ecuaciones (10)

desarrolladas. Ejercicios:

Obtenga el modelo dinmico inverso de los siguientes robots planares: 1. Manipulador angular planar de 1 eslabn.

i) Suponga el centro de gravedad en el extremo del eslabn y el origen en el pivote del pndulo, entonces:

cos( ) sin( )T

r R R

sin( ) cos( )T

v R R

2 cos( )mR mgR

ii) Suponga el origen en la posicin inferior del pndulo, entonces:

cos( ) sin( )T

r R R R

sin( ) cos( )T

v R R

2 cos( )mR mgR



2. Movil vertical con pendulo, variables ; (Pendiente corregir este ejemplo, falta M):

a



3. Manipulador angular planar con 2 eslabones (ngulo q2 medido desde la horizontal).

Suponga el centro de gravedad en el extremo del eslabn y el origen en la base

del manipulador, entonces:

1 1 1 1 1cos( ) sin( )T

r l q l q ,

2 1 1 2 2 1 1 2 2cos( ) cos( ) sin( ) sin( )T

r l q l q l q l q

1 1 1 1 1 1 1sin( ) cos( )T

v l q q l q q

*

* 2 2 1sen A cos A



4. Manipulador angular planar con 2 eslabones (ngulo q2 medido desde q1). (incompleto, libro de Kelly

Apndice B)

Suponga el centro de gravedad en el extremo del eslabn y el origen en el

pivote del mecanismo, entonces:

1 1 1 1 1sin( ) cos( )T

r l q l q ,

2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2sin( ) sin( ) cos( ) cos( )T

r l q l q q l q l q q

1 1 2 1 1 2 2 1 2

2 2 1 2

( ) sin( ) sin( )( )

sin( )

c c

c

m l m l g q m l g q qG q

m l g q q

5. Manipulador angular planar con 3 eslabones (incompleto) Suponga que el centro de gravedad est en el extremo de cada

eslabn y , , , entonces:

Eslabn 1:

Eslabn 2:

Eslabn 3:

q2

q3



La energa potencial de cada eslabn es

, La energa potencial total es

La energa cintica de cada eslabn se calcula como

La energa cintica total es

=

Entonces, L=K-U=

Continuar desarrollando las ecuaciones Euler-Lagrange (10) para cada eslabn.



Obtenga el modelo dinmico inverso de los siguientes robots en el espacio 3D:

6. Robot Cilndrico



7. Robot esfrico (incompleto)

= =

8. Robot angular (incompleto)

=

=

=

9. Robot SCARA (incompleto)

=

=

=



=

=

=

En Matlab-Simulink puede simularse el comportamiento mecnico de cada robot en base a su modelo dinmico obtenido. Suponga valores de parmetros (masas, longitudes), posiciones y velocidades

iniciales arbitrarias y que el torque aplicado es nulo (=0).



CAPTULO 5 PROPIEDADES Y ESTABILIDAD

Las n ecuaciones del modelo dinmico inverso (10) de un robot se reescribe frecuentemente en funcin de la

posicin, velocidad y aceleracin de las articulaciones en la forma compacta

( ) ( , ) ( )M q q C q q q G q (11)

donde nq es la posicin, nq la velocidad, nq la aceleracin, ( ) n nM q la matriz de inercia

y es simtrica y definida positiva, ( , ) n nC q q es una matriz de fuerzas centrpetas y de Coriolis, y

( ) nG q es el vector de fuerzas o pares gravitacionales.

El modelo dinmico (11) representa la base matemtica para el anlisis de fenmenos fsicos de la estructura

mecnica de un manipulador en cadena cinemtica abierta con eslabones rgidos.

Ejercicios:

Obtenga la forma compacta (11) del modelo dinmico inverso de cada robot del captulo anterior.

5.1 Propiedades del modelo dinmico de robots manipuladores

El modelo dinmico (11) es una ecuacin diferencial continua, multivariable fuertemente acoplada, no

lineal. No obstante, tiene varias propiedades que son explotadas para facilitar el anlisis y diseo de

sistemas de control del robot, algunas de estas se describen a continuacin.

Matriz de inercia

La matriz de inercia M(q) es una matriz simtrica ( ) ( )TM q M q , definida positiva M(q)>0.

La matriz inversa M(q)-1 y tambin es simtrica M(q)-1= M(q)-T y definida positiva M(q)-T>0.

La matriz de inercia es tal que satisface 12

( , ) ( )TK q q q M q q .

Ejercicios: Verificar estas propiedades para la forma compacta del modelo de cada robot del captulo anterior. Matriz de fuerzas centrpetas y de Coriolis

La vector ( , )C q q q representa los efectos de las fuerzas centrpetas y de Coriolis. Las fuerzas centrpetas

son radiales con sentido contrario a las fuerzas centrfugas. Las fuerzas de Coriolis representan una desviacin del movimiento de traslacin debido a su componente de rotacin.

Si el vector 0q , entonces la matriz 0

( , ) ( ,0) 0 n nq

C q q C q para todo nq .

La matriz resultante ( ) 2 ( , )M q C q q es antisimtrica, es decir

( ) 2 ( , ) ( ) 2 ( , )T

M q C q q M q C q q La derivada temporal de la matriz de inercia y la matriz de Coriolis satisfacen

( ) ( , ) ( , )TM q C q q C q q .

12

( ) ( , ) 0Tq M q C q q q

Ejercicios: Verificar estas propiedades para la forma compacta del modelo de cada robot del captulo anterior.



Vector de gravedad

Se obtiene como el gradiente de la energa potencial, es decir, ( ) ( )G q U q q . Por lo tanto, para

manipuladores que no tienen movimiento en el eje vertical, slo en el plano horizontal, el vector de

pares gravitacionales es nulo ( ) 0G q , la energa potencial U(q) es constante.

El vector de pares gravitacionales G(q) y de velocidad articular satisfacen

0( ( )) ( ) ( ( )) (0)

tTG q q d U q t U .

Ejercicios: Verificar estas propiedades para la forma compacta del modelo de cada robot del captulo anterior. Linealidad en los parmetros

Los robots manipuladores pertenecen a una clase de sistemas mecnicos no lineales con una estructura dinmica bien definida, de tal manera que su modelo dinmico presenta la propiedad de linealidad con respecto a los parmetros del robot que dependen de masas, momentos de inercia, centros de masa y coeficientes de friccin. Esta propiedad tiene una enorme repercusin en esquemas de identificacin paramtrica y en controladores del tipo adaptable de robots manipuladores. Las energas cintica y potencial pueden escribirse como funciones lineal de los parmetros dinmicos:

12

( , ) ( ) ( , )T TT K KK q q q M q q q q

( ) ( )TT U UU q q

donde 1( , )p

K q q y 2( )

p

U q son vectores que dependen de posiciones y velocidades articulares,

1p

K y 2p

U son vectores que contienen los parmetros del manipulador tales como masas, centros

de gravedad, momentos de inercia. Puesto que ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )T T

T T K K U UL q q K q q U q q q q resulta

que ( , ) ( , )T

LL q q q q , con ( , ) ( ) ,T T

T T T T

L K U K Uq q q .

Entonces el modelo dinmico es lineal en los parmetros , es decir

( , , )

( , ) ( , )( , ) ( , ) T TL L

Y q q q

q q q qd L q q L q q d

dt q q dt q q

( ) ( , ) ( ) ( , , )M q q C q q q G q Y q q q (12)

donde ( , , ) n pY q q q es una matriz de funciones conocidas, p es el vector de parmetros del robot

y 1 2p p p .

Potencia del robot

La potencia aplicada al robot manipulador es la variacin de temporal de la energa total y tambin es dada por

( , ) ( , )T T d L q q L q qq qdt q q

(13)



Energa del robot

La energa del robot es dada por la integral de la potencia del robot sobre el intervalo de tiempo [0,t]. La

energa Hamiltoniana del robot est dada por la suma de la energa cintica y potencial

( , ) ( , ) ( )H q q K q q U q (14)

El principio de la conservacin de la energa establece que el trabajo efectuado por las fuerzas aplicadas a un sistema es igual al cambio de energa total del sistema:

0( ) ( ) ( ( ), ( )) ( (0), (0))

tT

energa almacenadaenerga aplicada

q d H q t q t H q q (15)

5.2 Estabilidad del robot manipulador

Puntos de equilibrio del robot

El modelo dinmico (11) del robot puede reescribirse como el modelo de estado

2

1

1 1 2 2 1

( )( ) ( , ) ( )

xx f x

M x C x x x G x

(16)

donde 2nx se elige como vector de estado con componentes 1x q y 2x q . El modelo dinmico (16)

se emplea para propsitos de anlisis y diseo, el estado x(t) proporciona informacin de la dinmica del

robot y es la solucin en el tiempo de la ecuacin diferencial (16) para cada condicin inicial x(0).

En general, un sistema dinmico no lineal modelado por

( )x f x (17)

puede tener puntos fijos, tambin llamados puntos de equilibrio . Estos son importantes para la determinacin de la existencia y unicidad de soluciones de la ecuacin.

Un vector constante es un punto de equilibrio del sistema (17) si (18)

El punto de equilibrio es un estado donde todas las fuerzas del sistema encuentran su equilibrio, el

manipulador se ubicar en una posicin fija con velocidades y aceleraciones nulas ( 0ex ). En general,

los sistemas dinmicos no lineales tienen diferentes posibilidades de la existencia de su punto de equilibrio:

Un slo punto de equilibrio, ejemplo . Un nmero finito de puntos de equilibrio, ejemplo tiene dos puntos fijos: . Una cantidad infinita de puntos de equilibrio tiene puntos fijos . No tiene puntos de equilibrio, . Ejercicio: Calcular los puntos de equilibrio de los robots modelados en el captulo anterior. Estos puntos de equilibrio pueden ser estables o inestables. Un punto de equilibrio se dice ser estable si para valores pequeos de perturbaciones, el movimiento perturbado permanece en una regin acotada que contiene al punto de equilibrio. Si para un valor pequeo de perturbacin, el movimiento perturbado tiende a infinito o a otro punto de equilibrio, entonces se denomina punto de equilibrio inestable.



Estabilidad en el sentido de Lyapunov

Aunque existen mtodos para determinar la estabilidad absoluta, relativa, entrada-salida (BIBO), como son las tcnicas por diagramas de Bode, Nyquist, Routh y lugar geomtrico de las races; stas son aplicables slo a sistemas lineales invariantes en el tiempo. Para estudiar la estabilidad de sistemas no lineales y lineales variantes en el tiempo existen otras teoras de estabilidad como la del matemtico e ingeniero ruso Aleksandr M. Lyapunov (1857-1911). La teora de Lyapunov sobre la estabilidad de sistemas dinmicos es la generalizacin del principio de Torricelli sobre la mnima energa total de un sistema; demostrando que existen funciones V(x) adems de la

funcin de energa del sistema E(x,t) que permiten determinar la estabilidad del sistema a partir de su razn

de cambio en el tiempo dE dt . Sin importar el orden del sistema, la teora de Lyapunov permite obtener

informacin sobre la estabilidad del punto de equilibrio de un sistema no lineal sin necesidad de resolver la ecuacin diferencial del modelo dinmico. Los resultados de Lyapunov incluyen el mtodo directo e indirecto, junto con el principio de invariancia de Barbashin-Krasovskii-LaSalle, los cuales proporcionan una fuerte metodologa para el diseo de esquemas de control que garanticen la estabilidad del punto de equilibrio. El mtodo directo se basa en la construccin de funciones de energa V(x) en los estados del

sistema, luego analizar si la potencia del sistema dada por la derivada temporal de la funcin de energa es negativa o cero alrededor del punto de equilibrio para saber si es estable para el sistema no lineal. El mtodo indirecto aborda nicamente la estabilidad local del punto de equilibrio del sistema linealizado.

Por conveniencia, slo estudiaremos el caso en que el punto de equilibrio est en el origen . No hay prdida de generalidad debido a que cualquier punto de equilibrio puede trasladarse al origen mediante un

cambio de coordenadas; esto es, suponga que y defina . La derivada de z es

( ) ( ) ( )ez x f x f z x f z , donde (0) 0f ,

Entonces en la nueva variable z, el sistema tiene punto de equilibrio en el origen . Entre los conceptos de la teora de Lyapunov destaca lo siguiente:

ESTABILIDAD LOCAL: El punto de equilibrio en el origen es un punto de equilibrio localmente estable de (17) si para cada y existe un tal que

(19) donde x(t) es la solucin de (17), la cual empieza de x(0) en .

La definicin anterior se puede entender como que la solucin x(t) permanece dentro de una bola de radio

durante todo intervalo de tiempo, cuyo valor inicial estaba dentro de una bola de radio con centro en .

ESTABILIDAD UNIFORME LOCAL: El punto de equilibrio en el origen es un punto de equilibrio localmente uniformemente estable de (17) si es estable y no depende de .

ESTABILIDAD ASINTTICA LOCAL: El punto de equilibrio en el origen es un punto de equilibrio localmente asintticamente estable de (17) si es estable y es atractivo, es decir, existe un nmero tal que

cuando . (20)

La definicin anterior se puede entender como que la solucin x(t) es atrada al punto de equilibrio conforme avanza el tiempo, cuyo valor inicial estaba dentro de una bola de radio con centro en .



ESTABILIDAD ASINTTICA GLOBAL: El punto de equilibrio en el origen es un punto de equilibrio globalmente asintticamente estable de (17) si es estable y es atractivo en todo el espacio, es decir

cuando . (21)

Los conceptos de estabilidad global y estabilidad asinttica global significan que el punto de equilibrio es nico.

ESTABILIDAD EXPONENCIAL GLOBAL: El punto de equilibrio en el origen es un punto de equilibrio globalmente exponencialmente estable de (17) si existen constantes positivas , y tales que

(22)

Un equilibrio globalmente exponencialmente estable es tambin asintticamente estable, pero no necesariamente a la inversa.

INESTABILIDAD: El punto de equilibrio en el origen es un punto de equilibrio inestable de (17) si no es estable, y es equivalente a decir que existe al menos un para el cual no es posible encontrar un que cumpla (19).

Para analizar las propiedades de estabilidad del punto de equilibrio se utiliza la construccin de funciones de Lyapunov.

FUNCIN CANDIDATA DE LYAPUNOV: Una funcin es una funcin candidata de Lyapunov para el equilibrio

de (17) si cumple con lo siguiente: i) es una funcin definida positiva,

ii)

es una funcin continua respecto a ,

iii) Existe

y es una funcin continua respecto a .

La derivada respecto al tiempo de una funcin candidata de Lyapunov a lo largo de las trayectorias del sistema (17) se denota por

(23)

donde

y .

Los teoremas fundamentales de la teora de Lyapunov para determinar la estabilidad de puntos de equilibrio de un sistema dinmico son los siguientes:

TEOREMA DE ESTABILIDAD LOCAL: El origen es un punto de equilibrio localmente estable de

(17) si existe una funcin candidata de Lyapunov tal que ,

(24)



TEOREMA DE ESTABILIDAD ASINTTICA LOCAL: El origen es un punto de equilibrio

localmente asintticamente estable de (17) si existe una funcin candidata de Lyapunov tal que ,

i) y

ii)

Lo que significa que el estado x(t) cumple con . Una condicin extra para lograr estabilidad global es que la funcin de Lyapunov V(x) sea radialmente no acotada, esto es

.

TEOREMA DE ESTABILIDAD GLOBAL: El origen es un punto de equilibrio globalmente estable de

(17) si existe una funcin candidata de Lyapunov tal que ,

,

TEOREMA DE ESTABILIDAD ASINTTICA GLOBAL: El origen es un punto de equilibrio globalmente

asintticamente estable de (17) si existe una funcin candidata de Lyapunov tal que ,

, i) y

ii)

Cuando adems de ser estable asintticamente se conoce la cota de rapidez de convergencia se llega al siguiente resultado:

TEOREMA DE ESTABILIDAD EXPONENCIAL GLOBAL: El origen es un punto de equilibrio

globalmente exponencialmente estable de (17) si existe una funcin candidata de Lyapunov y constantes positivas , y tales que i) y

ii) .

La propuesta de la funcin candidata de Lyapunov que satisfaga alguna de las condiciones mencionadas no

es trivial y depende de la intuicin y experiencia del diseador. A continuacin se presentan algunos ejemplos y ejercicios. Ejercicios:

1. Dado el sistema x ax , donde a , y la funcin candidata de Lyapunov 21

2( )V x x .

R=Puesto que 2 21 1 1

2 2 2( ) ( ) 0x

xV x x xx x ax ax

, entonces el punto de equilibrio en el origen es

globalmente asintticamente estable.



2. Dado el sistema x ax , donde a , y la funcin candidata de Lyapunov 21

2( ) m

mV x x .

R=Puesto que 2( ) 0mV x ax , entonces el punto de equilibrio en el origen es globalmente asintticamente

estable.

3. Dado el sistema 1 1

2 2

0 1

1 0

x x

x x

, y la funcin candidata de Lyapunov 2 21 1

1 2 1 22 2( , )V x x x x .

R=Puesto que 1 2( , ) 0V x x , entonces el punto de equilibrio en el origen es globalmente estable.

4. Dado el sistema tanh( )x a x , donde a , y la funcin candidata de Lyapunov ( ) ln(cosh( ))V x x .

R=Puesto que 2( ) tanh ( ) 0V x a x , entonces el punto de equilibrio en el origen es globalmente

asintticamente estable.

5. Dado el sistema 3

1 1

52 2

x x

x x

, y la funcin candidata de Lyapunov

4 61 11 2 1 24 6

( , )V x x x x .

R=Puesto que 6 10

1 2 1 2( , ) 0V x x x x , entonces el punto de equilibrio en el origen es globalmente


6. El sistema 2

(1 )xx k e x con , 0 1k , y la funcin candidata de Lyapunov propuesta 221

2( ) ( 1)xV x x e .

R=Puesto que 2 2 2( ) (1 ) 0xV x k e x , entonces el punto de equilibrio en el origen es globalmente


7. El sistema ,

, y la funcin candidata de Lyapunov propuesta 2 21 1

1 2 1 22 2( , )V x x x x .

R=Puesto que 4 4

1 2 1 2( , ) 0V x x x x , entonces el punto de equilibrio en el origen es globalmente


8. El sistema 21

xx k

x

con k , y la funcin candidata de Lyapunov propuesta

212

( ) ln(1 )V x x .

R=Puesto que 2

2 2( ) 0

(1 )

xV x k

x

, entonces el punto de equilibrio en el origen es globalmente


9. El sistema sin( )x k x con k , y la funcin candidata de Lyapunov propuesta ( ) 1 cos( )V x x es

localmente positiva definida en ( 2 ,2 )x .

R=Puesto que 2( ) sin ( ) 0V x k x en ( , )x , entonces el punto de equilibrio en el origen es

localmente asintticamente estable.



10. El robot manipulador de un eslabn dado por sin( )Iq bq mgl q con

variables de estado 1 2,x q x q y un control nulo =0, la funcin candidata

de Lyapunov propuesta es 2 21 1

1 2 1 2 1 22 2( , ) 2 (1 cos( )) ( )

mgl bI I

V x x x x x x .

R=Puesto que 2glb2

1 2 2 1 1( , ) sin( ) 0mb

I IV x x x x x en 1 ( , )x , entonces el

punto de equilibrio en el origen es localmente asintticamente estable.

11. El robot manipulador de un eslabn sin trmino gravitacional dado por Iq bq con variables de estado

1 2,x q x q y un control nulo =0, la funcin candidata de Lyapunov propuesta es 2 21 1

1 2 2 1 22 2( , ) ( )b

IV x x Ix x x .

R=Puesto que 2

1 2 2( , ) 0V x x bx , entonces el punto de equilibrio en el origen es estable, pero no

asintticamente, porque la derivada de V es semidefinida positiva ya que slo depende de x2, es decir ( )V x es

cero para cualquier valor de q con que la velocidad sea cero. **En algunos casos es posible demostrar estabilidad asinttica, aun cuando la funcin de Lyapunov es semidefinida negativa. Especficamente si las trayectorias del sistema (17) no pueden permanecer indefinidamente en los puntos donde la derivada de la funcin se desvanece, entonces el punto de equilibrio es asintticamente estable.

TEOREMA DE BARBASHIN-KRASOVSKII-LASALLE: Considere el sistema (17), cuyo origen es un

punto de equilibrio. Supngase que existe una funcin de Lyapunov tal que . Defnase un conjunto de todos los puntos en que

: ( ) 0nx V x (25) Sea

M el conjunto invariante ms grande contenido en ( M ), entonces cada solucin que empiece

en se aproxima a M conforme t .

COROLARIO DE BARBASHIN-KRASOVSKII-LASALLE: Sea un punto de equilibrio del sistema (17), supngase que es una funcin de Lyapunov tal que . Sea

: ( ) 0nM x V x (26) Supngase que ninguna otra solucin del sistema (17) con excepcin de x(t)=0 puede permanecer en el

conjunto M entonces el origen es asintticamente estable.

Ejercicios:

12. El robot manipulador de un eslabn dado por sin( )Iq bq mgl q con variables de estado

1 2,x q x q y un control sin( )kq mgl q con k , la funcin candidata de Lyapunov

propuesta es 2 21 11 2 1 22 2( , )V x x kx Ix .



R=Puesto que 2

1 2 2( , ) 0V x x bx , entonces el punto de equilibrio en el origen es estable, pero no

asintticamente porque la derivada de V es semidefinida positiva ya que slo depende de x2, es decir ( )V x es

cero para cualquier valor de q con que la velocidad sea cero.

Considerando el resultado de LaSalle, se analiza que a partir de ( )V x se obtiene el conjunto

2

1 2: ( , ) 0, 0,q

V x x q qq

,

del sistema en lazo cerrado

21

1 22k bI I

xx

x xx

se observa que ninguna solucin x(t) puede permanecer en el conjunto , a excepcin de la solucin

1

2

0x q

x q

, ya que es acelerado (2 0x q ) por un valor de posicin diferente a cero. Por lo tanto, el

conjunto invariante ms grande posible es 0Mq

q

y 0M cuando t . Luego se concluye

que el punto de equilibrio en el origen es globalmente asintticamente estable del sistema en lazo cerrado.



CAPTULO 6 CONTROL DE POSICIN

6.1 Introduccin

El control de robots manipuladores es necesario en aplicaciones industriales tales como estibado de cajas,

ensamble, traslado, pintado de objetos, etctera. La ejecucin de este tipo de tareas requiere alto desempeo

y exactitud, lo cual en ocasiones implica grandes retos que no pueden ser resueltos nicamente con el

control cinemtico, debido a inexactitudes del modelo, consideracin de fuerzas, perturbaciones no

consideradas, entre otras, lo cual puede resolverse mediante el control dinmico.

El control dinmico tiene como objetivos determinar los pares aplicados en las articulaciones de tal manera

que el movimiento del robot sea estable y que las trayectorias realizadas por sus articulaciones q(t) sigan con

exactitud a las trayectorias propuestas por el control cinemtico, conocidas como trayectorias deseadas qd(t).

Para llevar a cabo esta tarea se utiliza el conocimiento del modelo dinmico del robot y de las herramientas

de anlisis y diseo aportadas por la teora de estabilidad de Lyapunov, de controladores PID, de

observadores, de control adaptativo, etctera.

El modelo dinmico de un robot es no lineal, multivariable fuertemente acoplado, y de parmetros

variantes, por lo que en general, su control es extremadamente complejo. En la prctica se llevan a cabo

ciertas simplificaciones, que resultan aceptables para un gran nmero de los robots comerciales, las cuales

facilitan el diseo del sistema de control proporcionando resultados razonablemente buenos, aunque limitan

en ciertas situaciones su desempeo.

Una tcnica para controlar el movimiento de las articulaciones es considerar un modelo del robot

compuesto por la superposicin de articulaciones totalmente independientes unas de otras, sin tener en

cuenta la interaccin entre ellas, que sin duda existe y condiciona el movimiento global. En ese caso, el

modelo dinmico empleado es directamente el correspondiente al actuador de una articulacin. Este modo

de control se conoce como control desacoplado o monoarticular. Su principal ventaja es su simplicidad de

clculo y es habitual implementar controladores PID, PID con prealimentacin y PD con compensacin de

gravedad. La principal desventaja surge en aquellas ocasiones en las que existe una gran influencia del

movimiento de una articulacin sobre otras, y por ende, sobre el movimiento global.

El control acoplado o multiarticular se basa en un modelo de robot que considera el modelo dinmico

global del mismo, es decir, se tiene en cuenta la influencia de los movimientos de las articulaciones entre s.

Est claro que, desde el punto de vista analtico, este planteamiento resulta ms complejo. Las tcnicas de

control utilizadas son las basadas en control PD, PID y control por prealimentacin, utilizndose tambin

en ocasiones la linealizacin por inversin del modelo. Tambin se emplean tcnicas de control ms

sofisticadas, como control no lineal, control robusto, control adaptable.

Dos objetivos particulares del control dinmico son la regulacin (control de posicin pura) y el seguimiento

a trayectorias (control de movimiento). El control de posicin pura consiste en llevar el TCP de cualquier

punto inicial a un punto fijo en el espacio, denominado posicin deseada o set point, y que permanezca ah

indefinidamente. El control de movimiento o seguimiento a trayectorias consiste en hacer que el TCP

recorra toda una trayectoria con exactitud desde cualquier punto inicial.



6.2 Diseo de control de posicin

Considrese el modelo dinmico de un robot manipulador de n g.d.l. que no interacta con el medio

ambiente, con eslabones rgidos, sin friccin en sus uniones, y con actuadores ideales

( ) ( , ) ( )M q q C q q q G q (27)

donde nq , nq , nq denotan la posicin, velocidad y aceleracin articular, respectivamente.

( ) n nM q es la matriz de inercia y es simtrica y definida positiva, ( , ) nC q q q es el vector de fuerzas

centrpetas y de Coriolis, ( ) nG q es el vector de fuerzas o pares gravitacionales, y n es el vector de

fuerzas o pares aplicados mediante los actuadores.

El objetivo de control de posicin pura, o simplemente control de posicin, consiste en determinar una funcin

tal que las posiciones articulares q del robot modelado por (27) lleguen asintticamente a una posicin

articular deseada constante qd. Es decir en trminos formales, el problema

Apuntes Control Robots 2014

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