Apuntes Circuitos Electricos III

7/31/2019 Apuntes Circuitos Electricos III

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INTRODUCCIN

TEOREMAS SOBRE REDES

Los teoremas de redes complementan los mtodos de anlisis de circuitos elctricosexplicados en captulos anteriores. El primer teorema es el llamado teorema deSuperposicin de Fuentes, el cual nos dice en breves palabras que el voltaje o lacorriente sobre un elemento es igual a la suma de cada una de las respuestasobtenidas de cada fuente independiente; actuando separadamente de las otrasfuentes. El Teorema de Thevenin y el de Norton nos dicen que desde el punto de vistade un par de nodos un circuito puede ser sustituido por una fuente de tensin y unaresistencia serie equivalente, o, en una fuente de corriente y una resistencia enparalelo equivalente. Los dems teoremas presentan formas de manipular los circuitospara poder simplificar el anlisis.

Antes de iniciar con los teoremas sobre redes debemos tener en claro que la mayora

de los teoremas solo son utilizables cuando la red es lineal; hasta ahora los circuitosque se han analizado tienen como caracterstica que se componen de resistencias,fuentes independientes y dependientes de voltaje y fuentes independientes ydependientes de corriente; y que estos elementos solo se han trabajado concaractersticas lineales de la forma:

Esto implica que se puede expresar una cantidad dentro de un circuito como unafuncin lineal de las dems, es fcil comprobar que la ley de Ohm es lineal, as comolas LVK y LCK , que son ecuaciones descriptivas de circuitos, en este caso en particularcircuitos lineales. En definitiva podemos considerar un circuito lineal como aquel que secompone de elementos lineales.

Se puede decir que linealidad y superposicin son conceptos que significan lo mismo;solo que linealidad es un concepto ms matemtico y superposicin es mas fsico.Normalmente se define superposicin como:

"La respuesta de un sistema lineal a varios estmulos es la suma de lasrespuestas a cada uno de los estmulos".

Esto se puede ver ms claro con el siguiente diagrama de bloques:

y = kx


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En la parte (a) de la figura, se tiene un sistema lineal al que se le aplican dos estmulosdiferentes (E1 y E2) y se obtiene una respuesta (R1), el resultado seria de la forma:

Donde f1(E1) y f2(E2) son funciones lineales de E1 y E2 respectivamente, en la parte(b) se tiene el mismo sistema lineal pero aplicando otro dos estmulos (Ea y Eb) y seobtiene como resultado una respuesta (R2) , de la forma:

La respuesta total (R) del sistema lineal seria de la forma:


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Es de notar que para sumar dos estmulos estos deben tener las mismascaractersticas y ser del mismo tipo. Este concepto se aplica a los circuitos elctricos,por medio del teorema de superposicin.

3.1 TEOREMA DE SUPERPOSICIN

El teorema de superposicin dice formalmente que:

En cualquier circuito resistivo lineal que contenga dos o ms fuentes independientes,cualquier voltaje o corriente del circuito puede calcularse como la suma algebraica detodos los voltajes o corrientes individuales originados por cada fuente independienteactuando por s sola, es decir, con todas las dems fuentes independientes eliminadas.

Hasta ahora todos los circuitos que se han manejado son lineales, por lo tanto esteteorema puede ser aplicado a cualquier circuito anteriormente explicado.

El termino "eliminar" las fuentes es lo mismo que decir llevarlas a cero, segn esto aleliminar una fuente de voltaje se esta diciendo que la diferencia de potencial o voltajeentre las dos terminales del elemento, es igual a cero lo que seria dicho de otra formaun cortocircuito, como se muestra en la siguiente (figura 3.1.1a)

As mismo el termino "eliminar" una fuente independiente de corriente es lo mismoque decir, que entre los terminales de esta; pasa una corriente elctrica igual a cero,en otras palabras se tendra un circuito abierto. (figura 3.1.1b)

El siguiente ejemplo explica como se utiliza el mtodo de superposicin para el anlisisde circuitos.


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Como se puede observar la topologa delcircuito es parecida a la que se tenia en elpaso anterior, los nicos cambios son queel paralelo se tiene ahora entre lasresistencias R1 y R3 y el divisor entre R2

y la resistencia equivalente.

Luego la solucin al problema es la suma de:

Como se pudo observar en el mtodo de anlisis de superposicin de fuentes, no esnecesario plantear las ecuaciones de malla o de nodos, las cuales se tienen que

resolver mediante mtodos para la solucin de ecuaciones lineales simultneas, loscuales llevan tiempo y esfuerzo.

En el ejercicio realizado con el mtodo de superposicin se hicieron dos paralelos, dosdivisores de tensin y una suma para hallar el resultado, esto hace que este mtodosea til en una gran cantidad de casos, por ser este ms directo al no tener queencontrar valores diferentes o innecesarios para poder hallar la respuesta pedida.

Aunque este mtodo puede facilitar la solucin de algunos circuitos, en otros puedeacarrear mayor trabajo, por lo tanto, hay que intentar siempre primero inferir si el usode este mtodo facilita el anlisis.

Un ejemplo tpico de cmo el mtodo de superposicin puede acarrear ms trabajo semuestra a continuacin:


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Ejercicio desarrollado de superposicin


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3.2 TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON

En captulos anteriores se present el concepto de redes de 2 terminales equivalentes,esto ocurre cuando al aplicar una tensin idntica sobre estos terminales, obtenemos

una corriente idntica a travs de ellos.

La simplificacin de circuitos en paralelo y serie, con resistencias equivalentes sonejemplos sencillos de este concepto.

Los teoremas de Thvenin y Norton pueden ser considerados generalizaciones de estosconceptos, ellos demostraron que cualquier circuito lineal tiene un circuito equivalente,compuesto de una resistencia equivalente y una fuente independiente; como semuestra en la figura 3.2.1.

El circuito lineal como el mostrado en la figura puede tener cualquier nmero deresistencias y fuentes, no importa si son dependientes o independientes, lo importantees que si a cualquiera de los tres circuitos se le conecta la misma carga (resistencia decarga o un circuito cualquiera), tanto el voltaje entre sus terminales como la corrienteque circule por estos deben ser idnticos.


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El problema radica en encontrar los valores apropiados de Vth, Rth, IN y RN, para poder resolver este problema se utilizan los dos circuitos equivalentesmostrados en la figura anterior, y se le aplica a cada uno de ellos una resistenciainfinita entre terminales o un circuito abierto que es lo mismo.

Ahora analizando el circuito 3.2.2(a) se puededecir que:

dado que por R no puede pasar ningunacorriente, entonces se tiene:

El termino Voc es el llamado voltaje de circuitoabierto(open circuit), de la figura 3.2.3(b) seobserva:

Dado que por R no puede pasar ninguna

corriente entonces toda pasa por RN,entonces en conclusin se puede decir:

Esto significa que la fuente de tensin en el circuito equivalente Thevenin tiene el valorde voltaje de la tensin de circuito abierto.

Ahora colocamos en los circuitos equivalentes una resistencia de valor cero, o un cortocircuito


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Ejercicio desarrollado de Thvenin


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3.3 TEOREMA DE MXIMA TRANSFERENCIA DEPOTENCIA

En muchas aplicaciones de teora de circuitos se desea encontrar la potencia mxima

suministrada, por un circuito. Para esto se utiliza el concepto de transferencia demxima potencia.

En general se tiene un circuito lineal al cual se le desea obtener la mxima potenciaposible, para esto se coloca una resistencia de carga RL. Normalmente la carga puedeser una resistencia o un circuito que se desea alimentar. Figura 3.3.1

El objetivo es encontrar el correcto valor de RL con el cual se puede maximizar lapotencia , para encontrar este valor se hace lo siguiente:

Como primer paso se reemplaza el circuito lineal por su equivalente Thevenin.

Luego se encuentra el valor de la funcin de potencia

disipada para RL .Para esto se encuentra el valor de Vo por divisin devoltaje:


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La potencia disipada entonces es igual a:

Para hallar el valor mximo de PRL se tiene que encontrar su derivada con respecto aRL e igualarla a cero.

Como ni el voltaje Thevenin, ni el termino que se encuentra dividiendo pueden seriguales a cero, entonces:

De esta igualdad se concluye, que para obtener la mxima transferencia de potenciade un circuito o fuente, el valor de la resistencia de carga debe ser igual a laresistencia equivalente o resistencia Thevenin del circuito interno.


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3.4 TRANSFORMACION DE FUENTES

En l capitulo 1 se defini las fuentes independientes y se hizo la salvedad de que eranideales, una batera de 12 V ideal suministra estos 12V independientemente de lacarga que se encuentra conectada entre sus terminales, sin embargo, una fuente realde 12V suministra 12V cuando sus terminales se encuentran en circuito abierto ymenos de 12V cuando entre estos se encuentra pasando una corriente. Esto revela quela fuente de voltaje tiene una cada de voltaje interna, y esta cada disminuye elvoltaje entre los terminales.

Se representa esta fuente practica por medio de un modelo como el presentado en lasiguiente figura:

Puede ver en detalle el modelo resaltado en verde, conectado a una resistencia decargaRL.

Basndose en este modelo se ve que la

fuente de voltaje real esta conformadapor una fuente (vg) ideal en serie con unaresistencia interna (Rg), el voltaje v vistopor la resistencia de carga es igual a:

Como se puede observar en el caso de circuito abierto (i=0) se tiene quev = vg, y bajo condiciones de corto circuito i = vg/Rg . Teniendo en cuenta que Rgsiempre es mayor que cero en una fuente verdadera, la fuente nunca podra entregaruna corriente infinita.

En una fuente dada, con los valores vg yRg seleccionados, la resistencia de cargaRL es la que determina el flujo de

corriente entre las terminales, debido a:

y aplicando un divisor de voltaje se tiene:


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Por lo tanto cuando se vara RL tanto i como v varan a continuacin mostraremos larelacin de v vs RL.

En la grfica se puede observar, cual es la diferencia entre el comportamiento de unafuente ideal y una fuente real de voltaje, como se puede ver al aumentar el valor deRL, el valor de v se acerca al valor de vg y cuando se presenta el caso de que RL seainfinita, un circuito abierto, el valor de v es igual al de vg.

Se puede remplazar la fuente real devoltaje por una fuente real de corriente,escribiendo:

si se hace:

Entonces se tiene:

Ahora el circuito escrito por la anterior ecuacin, seria de la forma:


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Las figuras tanto de la fuente real devoltaje como la de la fuente real decorriente son equivalentes entreterminales, si Rg es igual en ambos casos

y se cumple que:

Si se hace un divisor de corriente paraobtener i, se encuentra la siguienteecuacin:

Si se varia RL con respecto a la corriente, se puede obtener la siguiente grfica delcomportamiento de la fuente real de corriente.

Como se puede observar, la fuente ideal a medida que la resistencia de cargaaumenta, disminuye la cantidad de corriente que puede suministrar.

A continuacin se muestra un ejemplo de cmo poder utilizar el mtodo de latransformacin de fuentes para simplificar un ejercicio.


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EJEMPLO TRANSFORMACIN DE FUENTESEn el siguiente ejemplo, se tiene un circuito y se debe encontrar el valor de una

corriente, para solucionar este ejemplo se utilizara un mtodo de transformacinsucesiva de fuentes.

.El objetivo de este ejercicio es encontrarel valor de la corriente i que se encuentra

sealada en el ejercicio por la flecha roja,para esto lo primero que se hace es,transformar la fuente de voltaje de 10 V yla resistencia con la que se encuentra enserie en una fuente de corriente, con unaresistencia en serie. Para esto se utiliza lasiguiente ecuacin:

Donde ig y vg son respectivamente losvalores de las fuentes y Rg es el valor dela resistencia interna, con base en loanterior se tiene, que el valor de la fuentede corriente esta dado por:

Ahora se hace el paralelo entre las resistencias de 4W, obteniendo:


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Ahora se transforma la fuente de corriente enuna fuente de voltaje, para esto se multiplica elvalor de la fuente de corriente por el valor de laresistencia, obteniendo el valor de la fuente devoltaje, adicionalmente sumando las dosresistencias en serie:

Esto da como resultado:

Si ahora se repite la transformacin de fuentes se tiene entonces:

En este momento se puede solucionar fcilmente el ejercicio a travs de un divisor decorriente.

Obteniendo la solucin pedida, es de observar que aunque el mtodo parece largo lamayora de las operaciones son sencillas y en algunos casos se pueden desarrollarmentalmente.


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Aunque particip en el estudio y eldiseo de los sistemas telegrficos(incluyendo la transmisin subterrnea),los condensadores cilndricos(capacitores) y el electromagnetismo, esmejor conocido por un teorema quepresent, primero en el French Journal ofPhysics-Theory and Applications, en1883. Apareci con el encabezado de"Sur un nouveau thoreme d'electricitdynamique (Acerca de un nuevo teoremade la electricidad dinmica)'' y

originalmente se le conoca como elteorema generador equivalente.

Existe cierta evidencia de que Hermann von Helmholtz present un teorema similaren 1853. Sin embargo, el profesor Helmholtz aplic el teorema a la fisiologaanimal y no a los sistemas de comunicacin o generadores y, por tanto, no recibiel crdito que mereca en este campo. A principios de la dcada de los veinte, AT&Tefectu ciertos trabajos pioneros usando el circuito equivalente y tal vez hayaempezado a referirse al teorema como sencillamente el Teorema de Thvenin. Dehecho, Edward L. Norton, en esa poca ingeniero en AT&T present un equivalentede la fuente de corriente del equivalente de Thvenin que en la actualidad seconoce como el circuito equivalente de Norton. Como dato curioso, el comandante

Thvenin fue un vido esquiador y de hecho fue comisionado en una competenciainternacional de ski en Charrionix, Francia, en 1912

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