apuntes bsicos y problemas de ingeniera econmica

JAIME DUNIA H.

Caracas, Marzo de 1.988

APUNTES BASICOS y PROBLEMAS DE

INGENIERIA ECONOMICA

Caracas, Marzo de 1.988

Trabajo presentndo para optar al ascenso

a la categora de Profesor Agregado.

JAHiE DUNIA Hi t

APUNTES BASICOS y PROBLEMAS DE

INGENIERIA ECONOMICA

U~lVERSIDAD CATOLICA ANDRES BELLO

FACULTAD DE INGE~IERIA

frJjCP 1/)3

4.A. BASES PARA EL ANALISIS DE MULTIPLES ALTERNATIVAS.

102PROBLEMAS.

97J.H. ANALISIS DE ALTERNATIVAS DE INVERSION TO

MANDO COMO REFERENCIA EL CAPITAL PROPIO.-

90J.G. SELECCION DE LA TASA MINlMA DE RENDIMIEN-

TO.

J.F. PERIODO DE PAGO DE UNA INVERSION.

83

89

J.E. APLICACIONES DEL INDICE TASA DE RENDIMIENTO. -

J.D. APLICACION DEL INDICE EQUIVALENTE ANUAL.

J.C. APLIACIONES DEL INDICE VALOR PRESENTE.

57

63

72

J.B. ANALISIS ECONOMICO EN ALTERNATIVAS DE C02TOS.

J.A. ANALISIS ECONOMICO DE ALTERNATIVAS DE IN-VERSION.

PROBLEMAS.

2. A. AJUSTE DE OPOR'rUNIDAD.EL INTERES.

2.B. FLUJOS DE EFECTIVO.

2.C. EQUIVALENCIA.

2.D. TABLAS DE INTERES.

2.E. EL FACTOR GRADIENTE.

2. F. INTERES EFECTIVO y NOMINAL.

PROBLEMAS.

10

16

17

23

24

28

29

32

36

1.B. AJUSTES DE VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.

5

7l.A. DECISION y ECONOMIA.

SINOPSIS.

I N D ICE

2

PROBLEMAS.

8.0. EFECTOS DEL IMPUESTO SOBRE LA RENTA.

245

248

251

8.C. REGLAS DE DECISION EN EL ANALISIS DE REEMPLAZO.

8.B. VIDA ECONOMICA.

8.A. ANALISIS DE REEMPLAZO.

PROBLEMAS.

215

220

233

238

7.0. DIFERENCIAS DE LOS EFECTOS DEL I.S.R. EN-TRE LAS ALTERNATIVAS.

207

7.C. IMPUESTO SOBRE LA RENTA. DEPRECIACION EIMPUESTO SOBRE LA RENTA. ALGUNOS ASPECTOSRELEVANTES DE LA LEY DE It-1PUESTOSOBRE LARENTA EN VENEZUELA, PARA EL ANALISIS DEDE FLUJOS DE EFECTIVO.

2027.B. DEPRECIACION EN LA CONTABILIDAD. DEPRECIA-

CION EN EL ANALISIS DE FLUJO EFECTIVO.

7.A. DEPRECIACION.

PROBLEHAS.

185

192

199

6.C. AJUSTES EN EL ANALISIS ECONOMICO POR EFEC-TOS DE INFLACION.

6.B. TASA DE INFLACION E INDICES DE PRECIOS.

6.A. INFLACION.

PROBLEMAS.

5.0. ALGUNOS PRINCIPIOS DJ::SENSIBILIDAD.

167

169

1'(2

1111

181

S.C. CONJUNTOS DE ESTIMADOS-PROBABLE, OP'l'lMISTAy PESIMIS'rJ\.

5.B. PUNTO DE EQUILIBRIO.

S.A. SENSIBILIDAD.

PROBLEMAS.

1~6

153

163

165

4.B. ORGANIZACION DE OPORTUNIDADES DE INVEHSIONJ::NALTERNATIVAS t-1U'l'UAMENTEEXCLUYENTES.

3

APENDICE A: TABLAS DE INTERES COMPUESTO. 307

331APENDICE B: ~TERIAL EJEMPLO PARA APOYO DE CLASES.

BIBLIOGRAFIA.

285

305

PROBLEMAS VARIOS.

PROBLEMAS.

274

278

9.B. LA RELACION BENEFICIO-COSTO EN EL ANALISISDE MULTIPLES ALTERNATIVAS.

2709.A. RELACION BENEFICIO-COSTO.

4

El captulo 3 incluye extenso material (56 pginas y 79 -

problemas) que se suele tratar en 4 5 captulos en los textos

tradicionales. Los Apuntes Bsicos y Problemas en Ingeniera E

sueltos. Se han sintetizado los conceptos y criterios de varios

autores, aadiendo elementos tales como: el anlisis econmico

utilizando la Ley de Impuesto Sobre la Renta en Venezuela, en -

el captulo correspondiente, un captulo de ajuste por inflacin

(necesario dada la situaci6n actual), referencias a aspectos t~

les como la Deuda Externa, Emisi6n de Bonos, tasas de inflacin

hi~~ricas ..., adems de aquellos problemas propuestos tomados

de situaciones reales en nuestro medio.

re -225 problemas propuestos adems de, cerca de 40 ejemplos

NO se dispone hasta ahora en la U.C.A.B. de una guia o

texto sencillo relacionados con la materia. Se han utilizado

hasta ahora textos importados. Los Apuntes Bsicos y Problemas

de Ingeniera Econmica estn organizados en 9 captulos con

Estos "Apuntes Bsicos y problemas de Ingeniera EconOmi-

ca" fueron elaborados con el objetivo de ofrecer un instrumento

de estudio para los estudiantes de Ingeniera Industrial de la

Universidad CatOlica Andrs Bello, cursantes de la materia Eco-

noma 11.

S 1 N O PSI S

.~-

5

Jaime Dunia

das por este trabajo.

gustosamente ha apoyado las centenas de horas sabatinas requeri-

forma han colaborado, especialmente a mi esposa Evelyn, quien

Quiero agradecer a todas las personas que de una u otra

manufacturera.

naci6n operativa y administraci6n financiera de pequea empresa

no permiti6 preparar este trabajo con mayor anticipaci6n. La a~

tividad cotidiana del autor de estos Apuntes, es la de la coord!

.Universidades). La condici6n de profesor a tiempo convencional -

dustrial de la U.C.A.B. (mAs tres semestres anteriores en otras

Estos Apuntes son el resuLt.ado de once semestres de prepa-

racin de clases de Economia 11 en la Escuela de Ingenieria In

incerLidumbre.

simulaci6n en decisiones de "inversi6n" bajo riesgo e

- Un capitulo aparte sobre aplicaciones esLadisticas y de

- Programas de apoyo en microcomputadora.

ci6n post~rior de estos Apuntes, estaran:

Entre los aspectos que sera til considerdr una ampl~a -

trc de 15 semanas, adems de ser tiles para consulta permanente.

conmica abarcaran la amplitud de temas necesaria para un seme~

FIGURA 1.1.

ANALISIS ECONOMICOANALISIS TECNICO

IMPONDERABLESDECISIONES

Los factores econ6micos no son los nicos que suelen in-

fluir en las decisiones. Hay otros factores que influyen, stos

pudieran ser: tecnolgicos, laborales, legales, polIticos y has

ta psicolgicos. Ubicndonos en un marco relacionado con las

decisiones que suele tomar un ingeniero en sus diferentes fun

ciones, pudiramos escoger esquematizar as:

La economa es uno de los factores a considerar en una de

cisin. Esto es cierto para decisiones que se toman en mltiples

Ambitos: en departamentos de produccin de industrias manufactu

reras, en compra-venta de inmuebles, en instituciones financie-

ras..., tambin en el Ambito de la vida cotidiana ..., por ejem-

plo, la decisin entre ahorrar una cierta cantidad de dinero so

brante de las utilidades de fin de ao o bien adquirir un tele-

visor a color tiene relaci6n obviamente con aspectos de econo -

ma.

1.A. DECISION y ECONOMIA

7

Como ejemplo, en el Departamento de Empaque de una empre-

sa de fabricacin de telfonos, pudieran considerarse dos alter

nativas para mover las unidades de empaque. Una primera altern~

tiva: moverlas manualmente hasta el almacn utilizando horas-hom

bre con auxilio de montacargas y carretillas de mano, o bien,

una segunda alternativa: un sistema de cintas transportadoras -

que movera el material directamente, sin necesidad de horas-

hombre para el movimiento desde el empaque hasta el almacn. p~

ra ambas alternativas habra que considerar su factibilidad tc

nica. Para la primera, aspectos tales como: Cu~ntas horas-hom-

bre al da haran falta?, Es compatible el movimiento con el

diseo de la planta?, Es seguro el movimiento?, Es factible -

hacerlo eficientemente con el equipo disponible? etc...; para-

la segunda alternativa, aspectos tales como: Cul sera el ti

po de cinta transportadora?, Cuntas haran falta para el v2

entre los imponderables se incluiran todo~ aquellos facto-

res que claramente se pudieran cousLderu,r ni tcnicos ni econ-

micos. Los imponderables seran aquellos factores difciles de

analizar en trminos CUANTITATIVOS, y por ende, habr que sope-

sarlos segUn el JUICIO de quien toma la decisi6n. As que, el

ingeniero re~ucrira, por una parte, de an~lisis cuantitativo

para la mayora de los factores tcnicos y econ6micos y, por o

tra parte, de juicio para evaluar la influencia de aquellos fa~

tores no reducibles a nGmeros. A estos factores se les suele

llamar tambin "irreducibles" o tambin "intangibles".

8

tes que conllevara el suministro de repuestos?, Es convenien-

bien conviene tender a automatizar?, Conviene depender de equi

pos como las cintas transportadoras con todos los inconvenien -

de trabajadores en la actual coyuntura laboral actual o ms

pectos (imponderables) tales como: Conviene aumentar el nmero

Finalmente, habrla que considerar en la decisi6n otros as

de la inversi6n en este equipo?

ran?, Qu otras ventajas o desventajas econ6micas resultaran

transportadoras?, Qu energa consumiran?, Cuntos aos dura

derarn aspectos tales como: Cul sera la inversi6n en cintas

de estos equipos?, etc.. Para la segunda alternativa se consi-

planta?, Qu otros costos estn involucrados en la utilizacin

cada hora-honwre?, Deben hacerse inversiones adicionales en eI

quipos auxiliares o es suficiente uilizar los ya existentes en

se consideraran aspectos tales como: Cul sera el costo de

centrndose en lo ms relevante). Para la primera alternativa -

aspectos tcnicos, econ6micos e imponderables conjuntamente,con

con experiencia suele considerar para estos casos simples los

factores econmicos (esto no es estrictamente as, el inyeniero

lidad tcnica de las alternativas, se pasaran a considerar los

Siguit-mdocon el ejemplo, una vez establecida la factibi-

tos involucrados?

mino de estas cintas con las dems funciones de los departamen-

lumen de movimiento esperado?, Es compatible ld ubicacin y c~

9

La forma de 'proceder "domstica" que suele tener una pe_!:

sona comn cuando se dedica a hacer un c~lculo de economa para

apoyar una posible decisi6n, se plantea como: "Sumar todo lo

que ingresa en Bs. y restar lo que egresa en Bs. y comprobar si

la diferencia es positiva". O bien, si se trata de comparar va

rias lineas de acci6n o alternativas, planteara algo como: "Pa

ra cada lnea de accin sumar todos los ingresos y restar todos

los egresos, y escoger aqulla cuyo saldo sea mayormente positi

vo". Esta forma de proceder no toma en cuenta que los Bs. que -

se suman o se restan no tienen el mismo valor para diferentes -

puntos en el tiempo, un bolvar en un ao no vale lo mismo que

1.B. AJUSTES DE VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Por Ultimo, con relacin al esquema se puede, en general,

aceptar que, una vez establecidas las factibilidades tcnicas -

de las alternativas, la economa determinara la decisin a me

dida que sean mayores las diferencias estimadas entre las alter

nativas traducidas cuantitativamente (a Bs.). Por el contrario,

si se estima poca diferencia entre las alternativas en Bs. esti

mados, entonces, los imponderables tenderan a determinar la d~

cisin.

te dar oportunidad a una relacin informal entre el almacenis-

ta y la mano de obra que hara el movimiento entre los depart~

mentos? etc.

la

o bien...Bs. 1 (hoy) + Ss. 1 (hoy) x i = Ss. (futuro),

Las diferencias de OPORTUNIDAD resultan de reconocer que

Bs. 1 (hoy) tienen la posibilidad de PRODUCIR algo entre "hoy"

y "futuro", mientras que Bs. 1 (futuro) no la tienen. Si llama-

mos i al rendimiento expresado como fracci6n de 1 que puede -

dar Ss. 1 (hoy) entre "hoy y "futuro' tendramos que:

1) Diferencia de OPORTUNIDAD.

2) Diferencia de VALOR ADQUISITIVO.

Las razones por las cuales Bs. 1 (hoy)! Ds. 1 (futuro)sue

len ser de dos tipos:

La diferencia suele ser m~s notoria a medida que mayor sea el

periodo de tiempo que separa el bolvar -hoy- del bolvar -fut~

ro-, inversamente, para perodos de tiempo que tienden a ser

cortos (pocos meses, semanas, das) la diferencia tiende a ser

menos notoria hasta hacerse despreciable. Sera justificable,en

este ltimo caso, utilizar el procedimiento "domstico" mencio-

nado arriba, para los clculos de economa.

Bs. 1,00 (hoy) + Ss. 1,00 (dentro de 1 ao) ; Ss. 2,00 (hoy)

un bolvar hoy, y, por lo tanto:

11

No se pretende aqu interpretar el pasaje del Evangelio, slo hacer no-tar lo remoto del principio de ajuste de oportunidad.

*

Bs. 1 (hoy)(1 + ~)

tendra que Bs. 1 (futuro) compraran lo mismo que:

cios entre "hoy" y "futuro" (expresada como fraccin de 1) se

se trata de una "inflacin" que eleva el nivel general de pr~

cios resultando que Bs. 1 (futuro) no compran lo mismo que Bs.

1 hoy, sino que Bs. 1 (futuro)comprarian menos que Bs. 1 (hay).

Llamando ~ a la tasa de elevacin del nivel general de pre

de los insumos que abastecen al pas. En ambos casos diramos

pas sobre su oferta, o bien deberse a aumentos de los costos

pueden deberse,bien a un exceso de la demanda o gasto de un

no a un solo sector o grupo de sectores. Estas alzas de precio

zas de precios que afectan a la economa global de un pas y -

Las diferencias de VALOR ADQUISITIVO resultan de las al

terioridad.

principio de recibir intereses por el dinero prestado con an

segn San ~l",teo,Cap. 25, Vrs. 14-30* donde se menciona el

ceptado desde tiempos remotos. Una referencia es el Evangelio

diferencia de oportunidad (que obliga a la productividad) es a

bolvares futuros, se tendr P(l + i) = F. EsLe principio deSi se generaliza para P bolvares hoy, y se llama F a los

(futuro).lis.1 (hoy) (1 + i) = BtO.

1;>

En Venezuela, para fines de 1986, pocas empresas haban

r el smbolo A con tasa de inflaci6n.

sa de inters o rendimiento productivo, asimismo, se relaciona

En adelante, siempre se relacionar el smbolo i con ta

F -= 1.000 (1.15)/(1.12) = 1.026,78.

poder de compra, equivaldran a 1.000 (1+0,15)/(1+0,12) y as

dentro de un ao y stos, a su vez, haciendo el ajuste por el

rendimiento, los 1.000 Bs. equivaldran a 1.000 (1 + 0,15) Bs.

ambos ajustes, para finales de 1986? .. tomando en cuenta el

cunto equivaldran esos 1.000 Bs. "presentes", considerando

ao el alza en el nivel general de precios fuere de un 12%. A

bre de 1986 sus 1.000 Bs. ms los intereses; supongan que ese

de inters anual con el convenio de recibir el 31 de diciem -

persona que presta 1.000 Ss. el l de enero de 1986 a un 15% -

Un ejemplo donde se aplican ambos ajustes. Supongan una

(1 + A)= Fp

llvares futuros, se tendr:

Si se generaliza para P bolvares hoy y se llama F a los bo

Bs. 1 (futuro).Bs. 1 (hoy) _

(1 + A)

y por ende, desde el punto de vista de valor adquisitivo,

13

Estos apuntes tratarn en los primeros captulos slo los

ajustes de oportunidad de una manera formal y cuantitativa, pos

teriormente, tras haber tratado varios temas de anlisis, se iQ

troducirn formalmente procedimientos de ajustes por inflacin

para el ao en curso (1987).

se espera un incremento mayor que el 30%el ndice anterior,

Esta prctica podra cambiar sensiblemente, por ejemplo, para -

Tabla 1.2. TASAS DE INCREMENTO DEL INDICE COSTO DE VIDA.(Fuente: Banco Central de Venezuela)

13,0 %

15,5 %

9,1 %

7,5 %

TASAA;)O

1983

1984

1985

1986

t

con el objeto de poder tomar decisiones realistas y vlidas en

aquellos casos en que se puedan juzgar necesarios estos ajus -

tes.

l~

4. Un profesional pensaba comprar un carro en enero de 1986

por 80.000 Bs. Decide esperar un ao y deposita ese dine

ro en una cuenta de ahorros al 0,7% de inters mensual. -

Si la variacin de los precios de ese tipo de vehculos -

fue de un 40% entre enero 86 y enero 87... Cuanto le ha

r~ falta de dinero extra para poder adquirir el carro en

enero de 1987?

3. Juan Garca invierte 1.000 ss. el 2-1-85 el 8% anual. El

2-1-85 utiliza ese dinero ms los intereses en comprar

una cesta de alimentos. Estima que lo que compr hoy (2 -

1-86) lo hubiese podido comprar hace un ao por 920 Bs.-

Determine la tasa anual de inflacin que afect en el 85

la cesta de alimentos de Juan.

2. ~lencionealgunos imponderables a tomar en cuenta en la de

cisin de instalar una lnea de ensamblaje para producir

un tipo de silla colonial. Suponga que los equipos son im

portados.

l. Siendo Ud. el Gerente de una planta de fabricacin de par

tes de calzado, comente qu factores tomaria en cuenta pa

ra efectos de una decisin relacionada con invertir o no

en unos moldes para una prxima nueva moda.

PROBLEMAS

16

Por principio, el inters se suele calcular como inters -

compuesto, esto quiere decir que los intereses no se calculan so

lamente sobre el capital adeudado sino tambin sobre aquellos in

tereses anteriores no pagados. El inters se calcula cada vez

que vence un periodo de inter6s.

En este caprtulo, para facilitar el entendimiento de la

forma de calcular el inters, se utilizan ejemplos relacionados

con el inters como pago de dinero prestado. En captulos poste-

riores se calcular& el inters para otras situaciones.

La tasa de inters es el cociente entre el inters pagade-

ro o reportado al final de un perrodo de tiempo (perrodo de inte

rs) y el dinero que est adeudado o que permanece invertido a

principios del periodo. La tasa de inters suele representarse -

con el smbolo i, y pueue ser mensual, trimestral, anual. .., s~

gGn el perodo de inters (perodo en el que se calcula el inte-

rs) .

Es familiar la definicin ue inters como el dinero que se

paga por el uso de dinero prestado. Es mds general la definici6n

de inters como el rendimiento que reporta la inversin de un ca

pi tillo

2.A. AJUSTE DE OPORTUNIDAD. EL INTERES.

1"(

INTERES = DINERO INICIO MES x TASA DE INTERES.DINERO FINAL MES ; DINERO INICIO }lliS+ INTERES

Como ejemplo de inters compuesto, un ahorrista pequeo

deposita 1.000 Ss. a principio de ao en una cuenta de ahorros

que le paga 0,6% mensual de inters. Cunto dinero tendr en

la cuenta tras 12 meses si no hace ningn retiro en el trans -

curso de ese tiempo? El procedimiento de clculo est repre -

sentado en la Tabla 2.1. Ntese en la tabla que:

lB

Tabla 2.1. DINERO EN CUENTA DE AHORROS MES A MES

~ES DINERO AL INICIO INTERES DINERO AL FINAL DELDEL MES MES

1 1.000 1.000 x 0,006 1.000 (1 + 0,006)

2 1.000 (1 + 0,006) 1.000 (1+0,006) x 0,006 1.000 (1 + 0,006)2

3 1.000 (1 + 0,006)2 1.000 (1+0,006)2 x 0,006 1.000 (1 + 0,006)3

4 1.000 (1 + 0,006)3 1.000 (1+0,006)3 x 0,006 1.000 (1 + 0,006)4

5 1.000 (1 + 0,006)4 1.000 (1+0,006) 4 x 0,006 1.000 (1 + 0,006)5

6 1.000 (1 + 0,006)5 1.000 (1+0,006)5 x 0,006 1.000 (1 + 0,000)6

7 1.000 (1 + 0,006)6 1.000 (1+0,006)6 x 0,006 1.000 (1 + 0,006) 7

8 1.000 (1 + 0,006)7 1.000 (1+0,006) 7 x 0,006 1.000 (1 + 0,006)8

+ 0,006)8 (1+0,006) 8 x + 0,006)9....

9 1.000 (1 1.000 0,006 1.000 (1 \D

10 1.000 (1 + 0,006)9 1.000 (1+0,006)9 x 0,006 1.000 (1 + 0,006)10

11 1.000 (1 + 0,006)10 1.000 (1+0,006)10 x 0,006 1.000 (1 + 0,006)11

12 1.000 (1 + 0,006)11 1.000 (1+0,006)11 x 0,006 1.000 (1 + 0,006)12

se le paga 0,6% de inters mensual?; aplicando el factor

F - P (1 + iJn a cada uno de los dep6sitos por separado y su

mando los doce dep6sitos "ajustados" se tiene:

Hay otras situaciones comunes que requieren de clculos

de inters compuesto en las que se puede utilizar fOrmulas o

factores que simplifican los clculos, por ejemplo: supongan -

que otro ahorrista deposite 1.000 Bs. mensuales al final de ca

da mes (al cobrar su sueldo) y no retire nada durante los 12 -

meses del ao. Cunto tendr en su cuenta al final de ao si

y por lo tanto no sera necesaria la construcci6n de la tabla,

sino que se aplicara directamente la f6rmula.

i: representa la tasa de inters para el perodo en que

se calcu16 el inters.

n: representa el nmero de perodo de clculo de inte -

rs entre P y F.

F: representa un monto de finero en un momento poste

rior llamado "futuro".

llamado "presente".

P: representa un monto de dinero en un momento anterior

donde:

F = P (1 + i)n

En el ejemplo, el dinero que se tendr tras un ao sera

de 1.000 x (1 + 0,006)12 = 1.074,42 Bs. Se puede generalizar,planteando que para situaciones similares se cumple que:

20

c1usivc).

A: representa un pago o ingreso de dinero al final del -

primer periodo que contina sucedindose al final de

cada perodo posterior hasta el n-sirnoperodo (in -

donde:

(1 + i)n - 1iF = A

gua1dad

Se puede generalizar planteando para situaciones similares la i

= 12403,98(1 + 0(006)12 - 10,006F = 1000 x [

1000 x (1+0,006)12 - 1000 6 bienF x 0,006

Restando la primera ecuacin de esta segunda ecuaci6n:

2) F x (1+0,006)=1000(1+0,006)+1000(1+0,006)2 + ...

+ 1000(1+0,006)12

~

tiene:

Multiplicando ambos lados de la ecuacin por (1+0,006) se

31/10 "ajustado", etc...

donde 1000 es el dep6sito del 31/12, 1000(1+0,006) es el depsi

to del 30/11 "ajustado", 1000 (1+0,006)2 es el depsito del

1) r= 1000+1000 (1+0,006) + 1000 (1+0,006)2 + 1000 (1+0,006)3

11+ ... + 1000 (1+0,006)

21

A = F x i

(1 + iln -1

(1 + iln - 1p = A x(1 + i)n x i

P & ~F~ __

(1 + iln

descrito, sino que tambin son tiles las frmulas inversas:

Las frmulas anteriores no slo son Gtiles en el sentido

1.785,268s.A = 10.000 (1 + 0(02)6 x 0,02 =(1 + 0(02)6 - 1

monto de los pagos mensuales sera de:

Como ejemplo, un prestamista presta 10.000 Bs. a principios de

este ao esperando recibir como pago 6 cuotas mensuales a par

tir de finales del 1er mes, cobrando 2% mensual de inters, el

la cual tambin es Gtil para clculos de inters en el tiempo.

F = p (1 + iln

A (1 + i)n - 1F =i

se obtiene:

A p (1 + iln x i=(1 + i)n - 1

Igualando los t(!rminos de la derecha de las f6rmulas:

22

tiempo estara comprendido entre dos divisiones en la escala. -

etc., segn el flujo de efectivo a representar. Cada perodo de

de tiempo, estos perodos pueden ser aos, meses, trimestres, -

definicin de la herramienta grfica "Escala de Tie.mpo". Una es

cala de tiempo sera una lnea horizontal dividida en perodos

La representacin grfica requiere, primeramente, de la

+ 4.0003

- 2.0002

- 1.0001

FLUJO EN SS.(Ft'FIN DE ANO

forma tabular seria:

segundo ao y recibir 4.000 Ss. al final del tercer ao" ...; la

1000 Ss. al final del primer ao, pagar 2.000 Ss. al final del

tabla donde se relacionan periodo a periodo los ingresos o egre

sos de dinero, por ejemplo, para el flujo de efectivo: "pagar -

La forma tabular, como su nombre lo sugiere, implica una

zarse una forma tabular o bien una representacin grfica.

describir un flujo de efectivo cualquiera, bien pudiera utili -

de dinero que ocurren en diferentes momentos en el tiempo. Para

Un flujo de efectivo es un conjunto de ingresos o egresos

2.S. FLUJOS DE EFECTIVO

23

Se dice que dos flujos de efectivo A y B son equivale~

tes (entre si) a una cierta tasa de inters, cuando uno de e

llos (cualquiera) puede ser transformado en el otro, operando -

mediante el uso de las f6rmulas de inters los componentes de

dicho flujo en el tiempo. Dos flujos de efectivo tambin seran

equivalentes a esa tasa de inters, si cada uno de ellos (ambos)

2.C. EQUIVALENCIA

Grfico 2.1. REPRESENTACION GRAFICA

2.0001.000

1 ~OS32O

4.000

Por convencin en los problemas de Ingenierla Econ6micd, el flu

JO de dinero que correspond~ a un ciertu perodo de tiempo se

suele representar en la divisin que representa el final de ese

periodo y los nmeros que acompaan la escala representarn los

puntos de final de periodo. LoS ingresos de dinero se represen-

tan como flechas hacia arriba (pusitivas) y los ~gresos de dine

ro como flechas hacia abajo (negativas). Por convenci6n, el n-

mero cero (O) repreSOJ1tuel inicio del primer periodo. Para el

ejemplo anterior la representacin grfica ~erla:

PAGOS PLAN 1:

P~ 2.400 + 2.400 + 14.400 12.000(1+0,2)2 (1+0,2)3

~(1+0,2)

PAGOS PLAN 2:

P~ 6.400 + 5.600 + 4.800 = 13.000(1+0,2) (1+0,2)2 (1+0,2)3

pIe:

pagos pueden ser transformadas en 12.000 Bs. al inicio, operan-

do con las frmulas de inters. Se puede comprobar que se cum -

que se debe cada ao. Adems, cualquiera de las seis series de

dos se calculan los intereses anuales como un 20% del dinero

tos prstamos son equivalentes al 20% anual puesto que para to

"principal" se refiere al monto inicial del prstamo. Todos es

alce rnuu.vas de pago del prstamo (Tabla 2.2.). La palabra

un inters de 20% anual se pudieran sugerir, entre otras, seis

ejemplo, para un prstamo de 12.000 Ss. pagadero en 3 anos a

bien en todos los casos cobrando la misma tasa de inters. Por

rias formas de pagar un prstamo (varios flujos de efectivo) ,si

pagos suele presentarse en las situaciones donde se plantean va

Un caso comn y til que muestra flujos equivalentes de -

(tres, cuatro, cinco flujos, etc.).

al?lil.:aranpara conjuntos de ms de dos flujos de efectivo

pudieran transformarse en un tercer flujo e, utilizando las frmulas de inters. Los conceptos arriba presentados tambin se

')1. )

PAGOS PLAN 5 :

p = 2.400 + 8.400 + 7.200 ~ 12.000(1+0,2)2 (1+0,2)3(1+0,02)

Pl\GOS PLAN 6:

P .. 11.280 + 7.200 12.000(1+0,2)2 (1+0,2)3

..

PAGOS PLAN 3: P ==20.730

12.00011+0,2)3

==

PAGOS PLl\N 4 : P 5696,7 (1 + O2)3 1 12.000== x '"

(1 + 0,2) 3 x 0,2

26

123

12.00012.0006.000

12.00014.4006.000

123

12.0008.703,34.747,3

123

Pago constante cada ao.

Un ao "muerto". Luego pago de 1/2 de principal ms intereses cada ao.

11.2807.200

6.0006.000

6.0006.000

2.4002.4001.200

2.4002.8801.200

12.00014.40017.280

123

5.696,75.696,75.696,7

2.4008.4007.200

3.296,73.9564.747,3

2.4001.740,7

949,4

Un ao de "gracia". Luego pago de 1/2 de principal m_'{

una serie peri6dica A", el smbolo i describe la tasa de in

ters y el smbolo n describe el nmero de perodos de la

serie peri6dica. Otros ejemplos:

don

de

la f6rmula a un conjunto numeroso de pares (inters, nmero -

de perodos). Una operacin de clculo quedara totalmente

descrita al representarla, por ejemplo, as: (P/A, i, n)

de P/A describe: "El factor que calcula el equivalente P

En los clculos de equivalencia de flujos de efectivo -

la aplicacin de las frmulas de inters requiere de por lo

menos una calculadora simple. An con esta herramienta, el

clculo debe hacerse con suficiente orden para no confundir o

alterar t~rminos. Este procedimiento suele simplificarse en -

muchos casos mediante el uso de tablas de inters. Las tablas

de inters presentan valores calculados previamente. Para

cierta frmula de inters se precisa el resultado de aplicar

2.0. TABLAS DE INTERES

Puesto que estos pagos estn calculados para un 20% de

inters, ellos no seran equivalentes a otra tasa de inters.

En resumen, son formas de pago distintas acordadas segn con-

veniencia de prestatario y prestamista, las cuales se dice

que son equivalentes desde el punto de vista del ajuste de in

tereses en el valor del dinero, puesto que en todos se calcu-

la, como costo de inters, un 20% anual sobre el dinero adeu-

dado.

28

Se dan situaciones en el anlisis econmico en Ingeniera

en las cuales resuLt.a.conveniente y adecuado estimar ciertosegre

sos o ingresos como una serie aritmtica, esto es, los egresos

o ingresos se incrementaran en una cantidad constante en cada

perodo. Por ejemplo, los gastos de operar y mantener un cierto

vehculo se pudieran estimar en aproximadamente 15.000 Bs. el

ler ao aumentando en 3.000 Bs. para cada ao posterior hasta -

cumplir los 5 aos de uso. Estos incrementos se deberan a los

efectos del desgaste del vehculo que requerira mayores gastos

por combustible, mantenimiento y reparaciones.

2.E. EL FACTOR GRADIENTE

En el Apndice A de estos apuntes se presentan los seis

factores correspondientes a las seis frmulas reducidas ante

riormente para diferentes valores de tasas de inters entre

1/2% y 60% para diversos perodos.

(A/F, 25%, 10) = El factor que calcula la serie peridi-ca A equivalente a un valor futuro posterior F, calculndose a

un inters de 25% y siendo A una serie de 10 perodos.

(P/F, 12%, 5) = El factor que calcula el equivalente Pde un valor en el futuro F, a una tasa de inters del 12%, en

un momento anterior, cinco perodos en el tiempo.

~--_

29

5 x 3.000i

iiF = 15.000 (1+i)5_1 + 3.000 ((1+i)4+(1+i)3+(1+i)2+(1+il+11 _

ii

i(l+il-l

iiii

cierta tasa de inters i:

hallando un equivalente F al final del ltimo perodo para una

FIN DE Mo Ft

1 15.000 .. 15.0002 15.000+3.000 .. 18.0003 15.000+3.000+3.000 = 21.0004 15.000+3.000+3.000+3.000 .. 24.0005 15.000+3.000+3.000+3.000+3.000 = 27.000

En la forma tabular este flujo podra representarse as:

MosO

11 r 13 r r15.000 18.000 21.000 24.000 27.000Grfico 2.2. GASTOS ESTIMADOS POR OPERACION y MANTENIHIENTO

DE CIERTO VEHICULO.

30

A: serie uniforme equivalente.

g: incremento o gradiente uniforme.

podemos describirla como: "una f6rmula para transformar un i~

cremento g. que se sucede uniformemente desde el 2do perodo -

hasta el ltimo perodo en una serie peridica equivalente que

se sucede uniformemente desde el ler perodo hasta el ltimo pe

rodo" ...y podemos representarla por (A/g), i, n), donde:

(1+i)n_1i1n1

En general Al y 9 seran datos del flujo especfico. A -

la expresi6n

in1

A - Al + 9 (

describiendo el incremento de 3.000 como g, el nmero de per2

dos como n y el gasto en el primer perodo como Al se generali-

zara:

= 15.000+3.000 [_1 ....:5::........,,..-i (1+i)5_1

5 x 3.000(1+i)5_1

A= 15.000 + 3.000i

(que representa el factor (A/I", i, 5, se tiene:

(1+i)5 - 1

imultiplicando ambos lados de la ecuacin por

i5 x 3.000(1+i)5_1 3.000 (1+i)5_1F - 15.000 + X ->.:;..;..::...__..;

i i i

31

priori que se trata de un inters anual.

de inters sin mencionar el periodo se est estableciendo a-

trimestral, 10% semestral ..., cuando se describe 5610 la tasa -

rs efectivo. Es el que realmente se paga por el dinero presta-

do; ms general;es el real rendimiento productivo del capital.-

Se suele describir mediante la tasa de inters seguida por el

periodo de composici6n del inters, por ejemplo: 1% mensual, 6%

El inters que se opera como inters compuesto es el inte

2.F. INTERES EFECTIVO y NOMINAL

..15.000 + 3.000 (A/g, 20%, 5)

= 15.000 + 3.000 (1,64) = 19.920

(1 + 0,20)5_10,2051A = 15.000 + 3.000 (

dica equivalente seria:

(A/g, i, n). En nuestro ejemplo, para i = 20\, la serie peri6-En el Apndice A estn representadas tablas de factores

involucran series peridicas).

(Utilizar A en vez de A2 en el factor no debe confundir, pues

se trata de estandarizar la terminologa para los factores que

i: tasa de inters.

32

que no es igual a 9% anual.

6 9,4% anual1.094 - 1 = 0,0941

ra:

y el inters realmente ganado en un ao por cada bolvar, se-

1 x (1 + 0,0075) 12 Bs. = 1.094 Os.

ese tiempo),

luego, al final de 12 meses se tendr~ en la cuenta, por cada -

bolvar (siempre que no se haga retiros o nuevos dep6sitos en

9%/12 = 0,75% de inters compuesto mensual sobre cada bolvar,con el inters descrito como nominal, veremos, si se abona

crect vol sera este inters monsueL, El inters realmente p.!.

gado en el ao (efectivo anual) no corresponder~ exactamente -

jemplo de algunas ofertas nominales (incluyendo alguna de no

tan simple descripci6n).

es la transacci6n realmente calculada por el organismo financie

ro y luego traducir esas condiciones a un inters efectivo. E

inters nominal, en cada uno de ellos habra que precisar cul

Hay muchos otros ejemplos donde el inters ofrecido es un

ieA z (1 + ;N)P - 1

tambi~n= (1 + ie )p - 1P

donde iN es el inters nominal y p el nmero de perodo ,de

composicin en el ao. El inter~s efectivo anual ser~ igual a

i e - iN/pP

rliigual a:

en general, el inters efectivo en el perodo de composici6n s~

12% compuesto trimestralmente.

12% con capitalizacin trimestral.

9% compuesto mensualmente.

9% con capitalizaci6n mensual.

res perodos de tiempo suelen describirse as, por ejemplo:

Los intereses nominales anuales que se calculan en meno-

' ... - -

34

En el aparte correspond~ente a "costo real de un prsta-

mo" (Cap. 3) se describir&n mtodos para calcular tasas cfecti

vas para casos similares.

" (7 + 1) '" de inters al afto.

n 13% anual", cobrandu los intereses al inicio del ao.

" 20% de inters" en 10 meses, pagando 2% al mes ms una

comisin inicial de 4% sobre el monto

prestado.

35

trimestres654321oyyy

trimestres654321O20202020202020

2. Dados los siguientes flujos en el tiempo:

ltima cuota del mes lB?

10 meses, sin gue,quede ningn remanente tras retirar la

ser retirada uniformemente al final de cada mes, durante

f) Si se depositan ahora 10.000 Bs. qu cantidad podra

un carro en ese entonces?

para tener 90.000 Bs. dentro de 30 meses y poder comprar

e) Qu cantidad es necesario ahorrar al final de cada mes

d) Qu deuda actual podr liquidarse efectuando pagos de

500 Bs. al final de cada mes por 24 meses?

bra que cancelar tomando en cuenta 4 meses de adelanto?

e) Un giro de 8.000 Bs. se vence el 31-8-84, en caso de P2

der cancelarse este giro el 30~4-B4. Qu cantidad ha

de 7.500 Bs. hoy?

b) Qu pago dentro de 2 aos sera equivalente a un pago -

uno de esos 6 meses?

se depositan mensualmente 10.000 Bs. al final de cada

a) Cunto se acumular en un fondo al final de 6 meses si

l. Resuelva suponiendo un inters compuesto del 1% mensual:

PROBLEMAS

b) Haga el cuadro de amortizacin correspondiente donde se

a) Determine el valor de las cuotas anuales.

tas anuales uniformes al 18% durante 9 aos.

5. Un prstamo de 80.000 Bs. va a ser cancelado mediante cuo

sual cul es el monto de la deuda mensual?

carga el concesionario es del 24% con capitalizaci6n men

Si el precio del carro es de 88.000 Bs. y el inters que

- Dieciocho cuotas mensuales iguales.

los meses 6 y 12, respectivamente. El monto de cada gi

ro es de 10% del precio del carro.

- Dos giros semestrales especiales que vencen al final de

ciones de pago:

- Una cuota inicial igual al 25% del precio del carro.

4. El Sr. Garcia adquiri un carro con las siguientes condi-

inters = 16% con capitali7.acinsemestral.

e) El equivalente en el punto cuatro.

b) La cuota semestral uniforme equivalente.

a) El equivalente en el punto cero.

Determinar:

semestres8765'1321o200140131208070605040

3. Dada la siguiente escala de tiempo:

vaLerrces al 12% con capitalizaci6n trimestral.

Hallar el valor de y que hace que ambos flujos sean equi-

37

sera equivalente a la siguiente serie decreciente a un

queEncontrar la serie de pagos iguales cada tres meses9.

8. Se propone la modificaci6n de unos moldes para disminuir

el desperdicio de materia prima en el proceso. El gasto -

requerido es de unos 5.000 Ss. al mes durante dos meses.

Qu ahorros mensuales durante los siguientes 22 meses

justificaran ese gasto si el inters es de 1,5\ mensual?

7. Un banco ofrece 8\ de inters sobre sus cuentas de ahorro

con capitalizacion diaria. Determine el inters anual e

fectivo devengado por el depositante,

en cada uno de los 10 aos.

cipal ms los inLereses. Il

Haga el cuadro de amortizaci6n mostrando lo que se paga -

6. Un prstamo de 10.000.000 de Bs. al 16% anuollva a ser

cancelado en 10 aos de la siguiente manera:

- Tres anos iniciales "de gracia" (sin amortizar principal)

pagando slo los intereses.

Siete aos siguientes cancelando cada ao 1/7 del prin-

represente para c~da ao: intereses pagducros, amortiza

ci6n del principal (monto inicial del prstamo), saldo

pendientedel principal, monto total del pago anua

e) Si se decidiera cancoLar la totalidad de la douda al fi

nal del sto ao, cu5nto seria el monto del pago en ese -

momento?

311

Halle el valor de X que hace que los flujos sean equiva -

x X~0~------1~------~2~----~3~------~4---------5~------6meses

-1000 -1000-1000 -1000 -1000 -1000~0------~1~------~2~------3~------~4---------5~------6meses

12. Dados los siguientes flujos monetarios:

- La tasa de inters efectiva anual.

- La tasa de inters nominal anual.

- La tasa de inters efectiva mensual.

comprarse de contado por 28.500 Ss. Determine:

r, Un comprador de muebles conviene pagar 1.500 Bs. al finalde cada mes durante 24 meses. Los mismos muebles podran

mente?

una tasa de inters nominal de 24% capitalizable mensual-

10. Qu tasa de inters efectivo por un ao corresponde a-

5.000 Es. al final de los sextos 3 meses.

5.500 Bs. al final de los quintos 3 meses.

6.000 Ss. al final de los cuartos J meses.

6.500 Bs. al final de los terceros 3 meses.

7.000 Ss. al final de los segundos 3 meses.

7.500 Ss. al final de los primeros 3 meses.

inter6s de 2% trimestral:

39

b) La cuota semestral uniforme equivalente.

cl El equivalente del flujo monetario en el punto cuatro.

d) El inters efectivo semestral.

al El equivalente del flujo monetario en el punto cero.

Determinar:

i - 16% con capitalizaci6n semestral.

70 80 90 100 110 120 130 140 150~O~--~1r-----2~----~3~----4~----~5-----'6~----7~----n8semestres

14. Dada la siguiente escala de tiempo!

bl Determine el inters efectivo anual.

jos.

al Determine el valor de X que hace equivalentes ambos flu -

Intereses ~ 18% con capitalizacin mensual.

4321omeses

+ 5.000-(1.3)X-(1.2)X-(l.l)X-X

-10.000 -10.000+ 5.;000meses

-10'.000

32o-10.000

1

13. Dados los siguientes flujos de efectivo:

(Deje indicada la expresin para X).

Bs. trimestrales si i=18% con capitalizacin mensual).

v.o:en vez de pagar 1.000 Ss. mensuales se decid..,pagar X

lentes al 18% con capitalizacin mensual. (Caso Ilustrati-

!jo

15. Antonio Rincn compr un carro usado por 80.000 B~. Deba

pagar el automvil de la siguiente manera;

- Una inicial de 20.000 Ss. y el r~~to en dieciocho men -

sualidades iguales calculadas al 121 con capitalizacin

mensual. Despus de haber pagado la inicial y ocho mensua

lidades, decidi vender el carro. Un comprador acept pa

gar una cantidad en efectivo que cubra por completo el

prstamo pendiente y adems acept6 pagar 10.000 Bs. adi -

cionales. Cunto le costar el carro al nuevo comprador?

16. Un "San" de artefactos del hogar ofrece una cocina pagan-

do 12 cuotas mensuales de 500 Bs. cada una. Un cliente o

frece a su vez comprar la cocina pagando cuotas trimestr~

les (4 cuotas). Cul seria el monto de las cuotas trime~

trales si el dueo del "San" opera con un inters de 1%

mensual? Las cuotas trimestrales serian a principiosde ca

da trimestre y las cuotas mensuales a finales de mes.

17. Se prestan 10.000 Ss. al 20% anual para ser devueltos en

5 aos pagando cada ao 1/5 del principal ms los intere-

ses. Plantee el cuadro de amortizacin del prstamo para

los tres primeros aos sealando claramente para cada ao;

- intereses,

- amortizacin del principal,

- pago total,

- dinero adeudado a final de perodo,

- dinero adeudado a inicio de perodo.

~1

- Cuotas anuales de 2.500 Bs. al final de cada ao duran

te los cuatro (4) primeros aos.

- Cuotas anuales iguales desconocidas para el sto y el

6to ao (tambi~n a finales de ao).

del 20\ en 6 aos de la siguiente forma:

20. Una deuda de 10.000 Bs. va a ser cancelada a un inters

monto del pago?

b) El inter~s efectivo anual equivalente.

c) Si transcurrido un ao (tras pagar la mensualidad 12) se

decide cancelar la deuda restante toda. Cul seria el

a) El valor de la cuota No. 3.

determine:

del capital principal ms los intereses correspondientes

cuotas mensuales a un inters de 12% con capitalizacin

mensual. Si con cada cuota se amortiza la 24ava parte

19. Un pr~stamo de 36.000 Bs. va a ser cancelado mediante 24

b) Determine el capital pendiente por pagar justo despus -

d 1 1 d' 1 4to -e cance ar o correspon ~ente a ano.

(6) aos.

ao durante los ltimos seis (6) aos'.

a) Determine la cuota correspondiente a los ltimos seis

- Cuotas anuales desconocidas, iguales, al final de cada

cuatro primeros aos.

- Cuotas de 20.000 Bs. al final de cada ao durante los

del 15% en 10 aos, de la siguiente forma:

18. Una deuda de 100.000 Bs. va a ser cancelada a un inters

42

gos trimestrales (finales de trimestre) .

Pagadero en 5 aos con dos aos iniciales de gracia. Pa

Bs. con las siguientes caractersticas:

24. Una compaa contrata un prstamo por veinte millones de

Puede dejar la expresi6n indicada.

Determine el monto de amortizacin de principal para el

pago del 2do ao.

- A un inters de 15% anual.

tro aos de pagos uniformes (iguales)

- Pagadero en 5 aos incluyendo un ao de "gracia" y cua-

tes condiciones:

23. Un prstamo de un milln de HS. se o~orga en las s1guien-

de dejar los pagos en funcin de los factoresj.

formcsl, Liltasa de inters es de un B't.. Oetermine Los J?~

gos totales a realizarse en cada uno de los 12 aos lpue-

les de gracia (2 aos de gracia y 10 aos de cuotas uni -

ros en 12 aos, en cuotdS uniformes con dos aos inicia -

22. Se concede un prstamo por 21 billones de dlares pagade-

prstamo.

cho aos. Determine a I.juinters fue contratado este

anuales de 2.524.302 Ds. en cada uno de los siguientes o

pagadero en 10 aos, con dos aos muertos, pagando cuotdS

21. ~e conviene en recibir un prstamo por 10.000.000 de Uso

ltimo:; aos.

Determine el monto de Id cuota corres~ondiente a estos dos

cancelar?

- pagos anuales a la constructora para amortizar en 5 a-

os la cantidad faltante para la cuota inicial a un in

ters de 15% anual.

a) Determine la cantidad a pagar en cada caso.

b) Tras pagar la cuota nmero 216 se decide cancelar en ese

momento el total de la deuda pendiente. Cu&nto se debe

mensual,

25. Un comprador de un apartamento en Santa Luca que cuesta

380.000 Bs. requiere para el pago de la inicial 80.000 -

Bs. Y slo dispone de 50.000 Bs., por lo que opta por

contraer las siguientes obligaciones:

- pagos mensuales iguales al banco para amortizar en 20

aos la cantidad de 300.000 Bs. a un inters de 1,5% -

- Esquema de amortizacin del principal: un milln cada

trimestre durante el 3er ao, un milln y medio cada -

trimestre durante el cuarto ao y, dos millones y me -

dio cada trimestre durante el sto ao.

- Intereses variables as para los 20 trimestres: 12%; -

13%; 12%; 12,5%; 12%; 13,5%; 12,5%; 13%; 13%; 13%;

12,5%; 12,5%; 13,5%; 13,5%; 13%; 13%; 12,5%; 12,5%;

13%; 13%. Estos seran los intereses nominales anuales

para determinar los efectivos trimestrales.

Determine el monto de los pagos para el 31 de marzo de

cada uno de los cinco aos que dura el prstamo.

44

28. Aproximadamente en cuntos meses se duplicara una suma

de dinero invertida al 12% de inters capitalizado men -

sualmente?

Los intereses se pagan mensualmente al constructor. De -

terminar lo que se paga al constructor por intereses y

amortizacin del prstamo a finales del noveno mes.

27. Un comprador de una casa en Cagua necesita 84.000 Bs. pa

ra el pago inicial. Dispone tan slo de 60.000 Ss. y de-

cide pedir los 24.000 restantes prestados. El construc -

tor le ofrece esa cantidad en hipoteca de 2do grado al -

1% mensual. El prstamo se amortiza en dos aos pagndo-

se un octavo de dicho monto a finales de cada trimestre.

26. Pedro Martinez recibe un prstamo de 100.000 Ss. en las

siguientes condiciones: 18% de inters, pagadero en 3 a

os, el primer ao no amortiza principal sino que lo a

mortiza en partes iguales entre el segundo y el tercer a

o; los intereses si los paga todos los aos. Plantee el

cuadro que describe la evolucin del prstamo ao a ao

indicando: deuda al inicio y final de ao, intereses, a

mortizaci6n de principal y pago total cada ao.

45

Describiendo lo anterior con un ejemplo numrico, supn-

gase una situacin en la que un prestamista presta 1.000.000 -

de 8s. pagadero en cinco aos con cuotas uniformes, pagndose

298.300 85. al final de cada ao. Anlogamente, supngase un -

inversionista que invierte el mil16n en un taller mecnico es-

perando recibir neto (diferencia entre ingresos y egresos) a

proximadamente ese mismo monto durante los prximos cinco a

os. Si bien los flujos de efectivo de ambas situaciones serian

iguales, el prestamista tendra mayor seguridad de recibir exac

En el captulo anterior se utilizaron ejemplos relaciona

dos con el inters como pago de dinero prestado. Para el pres-

tamista, un prstamo es una forma de invertir su dinero a un -

inters y con un flujo de pagos establecidos a priori con el

prestatario. En un proyecto de inversi6n, como por ejemplo, in

vertir en una f~brica de telas o en un taller mec~nico, no pue

de convenirse a priori cu~l ser~ el inters a devengar por la

inversin ni tamposo puede estimarse con exactitud cu~nto din~

ro se espera ingresar y egresar durante el proyecto. Lo mejor

que puede hacerse es estimar valores probables para estos flu

jos de dinero y comparar el rendimiento probable de la inver -

si6n con un rendimiento mnimo deseado (o exigido) para ese ti

po de inversi6n y evaluar as, aGn habiendo cierto riesgo de

error, la conveniencia econmica del proyecto.

3.A. ANALISIS ECONOM.ICODE ALTERNATIVAS DE INVERSION.

....... -

46

La comparaci6n mencionada anteriormente, rendimiento es

perado vs. rendimiento exigido, puede hacerse utilizando dife-

rentes criterios. Los criterios m~s utilizados que toman en

cuenta el ajuste de oportunidad son: el criterio del Valor

Presente, el criterio del Equivalente Anual, el criterio de la

Tasa de Rendimiento. Se explicarn estos criterios a continua-

ci6n, para ello se tomar~ como modelo simple un flujo de "pro-

tamente esos montos, puesto que se trata de un convenio formal

que obliga al prestatario; mientras que en el caso del inver -

sionista, sus flujos de dinero dependern de (entre otros fac-

tores): el costo de los repuestos, la confianza que tiene la

clientela en su taller, el costo de la mano de obra especiali-

zada, la competencia de otros talleres, etc.; muchos de ellos,

factores que no dependen del inversionista. As! que, en el ca

so del prestamista, ste espera obtener a un 15\ de inters

1.000.000 (A/P, 15\, 5) = 298.300 Ss./ao, pero en el caso deun inversionista, ste espera obtener un 15% de rendimiento co

mo un estimado probable pero sujeto a error significativo. Lo

comn,es que dada la naturaleza del riesgo de la inversin, el

inversionista quiera obtener un rendimiento mayor que en el

caso de un prstamo y no se conforme con el mismo rendimiento.

Seleccionara entonces un rendimiento m!nimo exigido para su

proyecto, el cual dependerla significativamente del riesgo in

volucrado, y lo compararla con el rendimiento esperado de ese

proyecto concluyendo sobre la conveniencia o no de invertir.

'---

J.7

biendo el Valor Presente para el flujo de la Fig. 3.1.

DescriRendimiento" y se representar por el smbolo im

tos ajustados, utilizando la tasa de inters mnima exigida

por el inversionista. Esta tasa se denominar& "Tasa Mnima de

El VALOR PRESENTE de un flujo de efectivo es un valor e-

quivalente en el punt9 cero de ese flujo y se calcula hallando

la sumatoria de los equivalentes de cada uno de los flujos ne

Fig. 3.1. EL FLUJO DE EFECTIVO DE PROYECTO EJEMPLO

321rr

3.1).

flujos netos es el resultado de sumar algabricamente los in -

gresos y los egresos estimados para ese perodo (Vase la Fig.

yecto ejemplo" el cual involucra ina inversi6n Fo en el ini-

cio del primer periodo seguido por flujos netos positivos va -

riables Fl, F2 Y F3 para los tres perodos de vida del proyec

too representados al final de cada periodo, cada uno de estos

48

sacando factor comn (A/P,lm,3), se tiene:

(A/P),im, 3)(A/P,l ,3) + F3(P/F,i ,3)m m

(A/P, 1m, 3) +

do la sumatoria de las series peridicas equivalentes para cada

uno de los flujos netos ajustados utilizando la im. Descri

biendo el Equivalente Anual para el flujo de la Fig. 3.1.

peridica equivalente al flujo del proyecto y se calcula halla~

El EQUIVALENTE ANUAL de un flujo de efectivo es una serie

rinde exactamente lo mnimo exigido.

c) En caso de que VP(im) = O,sera un lmite terico derentabilidad y se dira que el proyecto devuelve la inversin y

do por el inversionista, y por lo tanto, no sera rentable;

b) Si por el contrario, VP(im) < O , se dice que el pro-

yecto no llega a devolver la inversin y rendir lo mf nLmo exigi

VP(im), el proyecto sera rentable;

nen unos ingresos netos adicionalesrepresentados por el morreo

ar Si el VP(im) > O , se dice que el proyecto devuelve la

inversin rindiendo lo mnimo exigido y adems de eso se obtie-

se plantea as:

El criterio del Valor Presente para evaluar una inversin

49

gebrAica a la ecuaci6n VP(i) %0, es decir, es aquella tasa de in

La TASA DE RENOIt-UENTOde una inversin es la solucin al

xactamente lo mnimo exigido.

c) El caso de EA (im) = O sera un lmite terico de rentabilidad y se dira que el proyecto devuelve la inversin y rinde e

b) Si por el contrario, EA(im) < O, se dice que el proyec-

to no llega a devolver la inversin y rendir lo mnimo exigido

por el inversionista y por lo tanto no sera rentable;

unos ingresos netos adicionales representados por la serie EA(~),

el proyecto sera rentable;

a) Si el EA(Im) > O, Se dice que el proyecto dE1vuelvela i.!!

versi6n rindiendo lo mnimo exigido y, adem&s de eso, ~se obtienen

si6n se plantea as!:

El criterio del Equivalente Anual para evaluar una inver

lo cual sugiere que el c~lculo del EA(im) se simplifica si se cal

cula primero el VP(im) y se hace luego el producto por el factor

(A/P,im,3).

E~(i ) =(A/P,i ,3~ [-F + ~l (P/F,i ,l)+F.,(P/F,i,2)+F3(P/F,i ,3))m m o m 4 m m

50

Para este tipo de flujos el polinomio tendr s610 una raz real

x en (0,1) Y por lo tanto una sola i en (- v,"'), (regla de

!~~_~!~~~2_~_~~~e~t~aL~_~_ae_utilizar esta i como el valor -

* Consecuencia de Regla de los signos de Descartes. Ver Bjb11oBrafa, Ref.2:p. 151.

la de los egresos netos iniciales.

- La suma de los ingresos netos posterioreses mayor que

m~s ingresos netos posteriores (un solo cambio de signo de egr~

sos netos a ingresos netos),

- Uno o ms egresos netos iniciales seguidos de uno o

les" en los que se cumple:

rico); afinas, tratndose de flujos de inversin "convenciona

linomio de grado 3, Te6riCdmente ese polinomio puede tener hasI

\ta 3 races diferentes (o n races diferentes para n gen-

se obtiene un potituyen los factores utilizando x = l/(l+i)la resolucin de la anterior ecuacin no es directa, si se sus

ne que ir cumple:

ser~ tal que VP(ir) = O para ese flujo de efectivo. Describiendo la Tasa de Rendimiento para el tlujo de la Fig. 3.1, se tie

para un flujo de efectivoel smbolo ir' ue manera que ~r

En adelante, a la Tasa de Rendimiento se le rcpresent~r5 con -

ters que hace el valor Presente de la inversi6n iqual a cero.

* Una referencia para el anlisis de flujo no convencional es el Apndice.B del libro "Principios de Ingeniera Econ6mica", Grant Ireson, Edit. -e.E.e.S.A. (Bibliografa Ref. 1: p. 627).

Fig. 3.2. EJEMPLOS DE FLUJOS CONVENCIONAL Y NO CONVENCIONAL

NO CONVENCIONAL-10000

-8000

543

!21o

600060005000f8000

CONVENCIONAL

5000 4000

l O 1 2 3 4 5

1-2000

-10000

BOOO6000

nal con tres cambios de signo.

uno convencional (un cambio de signo), y el otro no convencio-

lisis. La Fig. 3.2. muestra dos flujos I?ara5 afiosde vida,

continuar tratando los flujos convencionales como marco de an

da un tratamiento especial de anllisis*. En estos apuntes se

sentan en muy I?ocassituaciones de anlisis econmico y se les

versin que no cumplen las condiciones anteriores, stas se I?r~

significativo I?arala tasa de rendimiento. Existen flujos de iD:

52

las-Foigual a

esde corte con el eje de las ordenadas, VP(o),n

+ Ft. El punto de corte con el eje det:l

ce. El punto

La funci6n es monotnicamente decreciente a medida que i cre

Fig. 3.3. FUNCION VP(i) PARA FLUJOS DE INVERSIONCONVENCIONALES.

i

VP(i)

da en la Fig. 3.3.

jos de inversi6n convencionales, esta funci6n est~ representa

se toma en cuenta la forma de la funcin VP(i) para los flu -

trar el valor de la ir es el de tanteo. Se comienza con una

irl tentativa y se comprueba si VP(irl)=O, luego se prueba -

con una ir2 y as sucesivamente hasta encontrar aqulla que

resuelva la igualdad. Este procedimiento se facilita algo si

El procedimiento manual comnmente sugerido para encon-

nal.

N6tese que el Flujo de la Fig. 3.1 es tambi~n convencio

53

Fig. 3.4. FLUJO APROXIMADO PROMEDIO

31

FI + F + F32

3

[2

hallar una "ir aproximada" para un "flujo aproximado prom.!::,

dio". (Vase la Fig. 3.4).

ir Se suele sugerir

ni intuitiva, sino quefuera aleatoria\

aproximada a la

una tasa irl que no

pretenda ser una tasa

Una forma de simplificar un poco el tanteo sera escoger

una ir' y por lo tanto, lo planteado anteriormente no se a-

plicara en general a ellos.

entonces se tantear~ con una ir3 < ir2 Los flujos no conve~

cionales pueden presentar una curva muy diferente con ms de

y luego, si por ejemplo VP(ir2) < O,r~ con una ir2 > irl

el tanteo que ,por ejemplo, si VP(Irl) > O, entonces se tantea-

nito. Conociendo la forma general de la funci6n, sabemos para

tiende a infia medida que i-Fotiende a ser asntota de

abcisas es, por definici6n, la tasa de rendimiento. La funci6n

54

computacin.

programas adecuados. Adems, existen programas para sistemas de

Existen otras formas no manuales para el clculo de la ir'

Calculadoras "financieras estn disponibles en el mercado con

Fig. 3.5. FLUJO PARA EL CUAL ES POCO UTIL LAAPROXlMACION AL FLUJO PROMEDIO.

31

este mtodo de aproximacin.FI

to menos variacin haya entre FI, F2, ... Fn' Hay ciertos

flujos como el de la Fig. 3.5 para los cuales no ayudara mucho

i cuanr -ra el tanteo. La irA ser tanto ms aproximada a la

de donde saldra despejado (P/A, irA' 3) y se determinara irA

con la ayuda de las tablas de inters. Con esta irA se comenza

(P/A, irA' 3) = O3

la "ir aproximada" (irA) vendra dada directamente por la i

gualdad:

"'_--.

55

i > O esto lmplicaria que el proyecto, por lo menos, de -r inversin y da un rendimiento adicional igual a ir.Siempre quevuelve la

*

(rentable por los tres criterios)

vencional y una im, se cumplira simultneamente:

En efecto, se puede demostrar que para un flujo de efectivo con

Los tres criterios de rentabilidad nunca se contradecirn.

nimo exigido.

rentabilidad y se dira que el proyecto rinde exactamente lo mi

im seria un lImite te6rico de=e) El caso en que

rentable.

b) Si por el contrario, ir < im, se dice que el proyec-

to no llega a rendir su mnimo exigido y por lo tanto no seria

a) Si se cumple que ir > im, se.dice que el proyecto

rinde ms que lo minimo exigido y por lo tanto sera rentable.

versin se plantea as*

El Criterio de la Tasa de Rendimiento para evaluar una in

~--_

56

ir no se utilizan solamente en el contexto de la evaluacin

~~_~~~_!~Y~r~!~~_~~Q!~~_~_~2n_frecuentcmente en el contex-* Ver BibliografaRcf.2: Cap.6, p.146.

LOS ndices presentados en la seccin anterior: VP, EA e

3.B. ANALISIS ECONOMICO EN ALTERNATIVAS DE COSTOS.

que se le calculara al proyecto, cada perodo, sobre la parte

de la inversin que el proyecto no ha devuelto o amortizado aGn.

ra la tasa de rendimiento de una inversin como aquella tasa

rs, sobre el dinero aGn no devuelto; analgamente se entende-

Algo ms sobre el significado*de la ir de una inversin:

al igual que se dice que la tasa de inters de un prstamo es

aqulla que se le calcula al prestatario, cada periodo de int~

para el cual VP (1) es positivo.

1 > ir se cumple en el intervalotambin en la figura, que

que como EA (i) = VP (i) (A/P, L, n l , siendo (A/P, i, n) siem-pre positivo para i positivo, se concluye qu~ EA (i) y

VP (1) siempre tendrn el mismo signo para igual 1. N6tese

esto basndose en la funcin VP (i) de la Fig. 3.3. Ntese-

(no rentable por los tres criterios)

o bien:

5'(

,-

Traduciendo lo anterior, se establecera: Dado un conjun-

to de alternativas mutuamente excluyentes de igual vida plantea

das en trminos de costo, la seleccionada sera la de menor co~

to equivalente en Valor Presente o la de menor costo equivalen-

te en Equivalente Anual (la de menor costo anual),calculados es

tos ndices utilizando una im que represente el rendimiento -

El principio en que se basa la comparacin de alternati -

vas de costos es el siguiente: "Lo relevante en la comparacin

entre las alternativas son s610 las diferencias entre ellas". -

Esto quiere decir que, siendo los beneficios similares, se plan

tearn slo los flujos de efectivo en trminos de los egresos -

de las alternativas, y la alternativa seleccionada en el estri~

to anlisis econmico sera aqulla con un menor egreso equiva-

lente.

to de comparacin de alternativas mutuamente excluyentes (las

c~ales se juzguen o determinen rentables a priori) y que presen

ten beneficios similares pero diferentes costos. Alternativas

mutuamente excluyentes son aqullas en los que se establece la

siguiente regla: la decisin de implantar cualquiera de ellas -

implica necesariamente la decisin de no implantar ninguna de

las otras, por ejemplo, 3 tipos de tornos adecuados (y renta

bIes) para un mismo tipo de trabajo, al escoger el torno B im

plicara necesariamente no escoger ni el A ni el C.

58

con egresos de operacin y mantenimiento de 115.000 Bs. anuales,

vicio; el torno e requerira de una inversin de 730.000 Bs. -

requerira de una inversin de 540.000 Bs. con egresos de opera-

cin y mantenimiento de 125.000 Ss. anuales, para 10 aos de ser

to de 150.000 Bs. anuales, para 10 aos de servicio; el torno B

inversin de 450.000 Bs., con egresos de operacin y mantenimien

versin aquel torno que implique menores egresos por operacin y

mantenimiento. En nuestro ejemplo, el torno A requerira de una

des, resulten diferentes. Lo usual es que requiera una mayor in

de operacin y mantenimiento) para procesar esa cantidad de mol-

de mano de obra de operacin, energa y mantenimiento (egresos -

los tornos, slo que, por razones de diseo, sus requerimientos

des para inyectar ciertas piezas en po1iestircno. Su~6ngase tam-\

bin que con cualquiera de ellos se pudieran terminar 25 moldes

mensuales de calidad adecuada, resultando rentable cualquiera de

son alternativas vlidas teri.camentepara el terminado de mol -

teado en esta seccin, supngase que los tres tornos mencionados

Presentandoun ejemplo numric.:o(Ejemplo 3.1) para lo plan -

leccin entre mltiples alternativas mutuamente excluyente~.

compararla con la im. Estos planteamientos se precisar~n en el

Captulo 4 de estos apuntes, el cual se refiere a mtodos de se

la tasa de rendimiento de la diferencia entre las alternativas y

dicha tasa para cada alternativa, sino que habra que c

* A finales de este captulo se abarcarn aspectos relacionados Con la 8!leccinde la i .m

--------------------------------------El costo en valor presente equivalente para cada alterna-

bIes tenderlan a determinar la decisin entre estos dos tornos.

diferencia es pequea y en estos casos los factores impondera _

resultan un poco menores que los del torno A; sin embargo, la _

te menores que los del torno C. Los costos anuales del torno B

siendo los costos anuales de los tornos A y B significativamen-

Costo Anual Torno A:

450.000 (A/P,20%,10) + 150.000 = 257.334 Bs/ao

Costo Anual Torno B:I,

540.000 (A/P,20%,10) + 125.000 = 253.801 Bs/ao

Costo Anual Torno C:

730.000 (A/P,20%,10) + 115.000 = 299.120 Bs/ao

im de 20%*:terminarla para una

El costo anual equivalente para cada alternativa se de

por inflaci6n).

para 10 aos de servicio. La Tabla 3.1 describe los flujos de

efectivo de cada alternativa (estos flujos de efectivo estn -

estimados a precios de inicio de ler ao, no incorporan ajuste

60

Los ndices VP. EA, y ir' bien aplicados, a una misma

situacin de anlisis, no darn nunca resultados contradicto -

rios. Afinas, en la prctica, cada uno de ellos tiende a ser

usado en los tipos de problemas o situaciones donde mejor res-

palde la conclusin del anlisis. Hay situaciones en que un

Como se mencion antes, no es posible ni tiene sentido -

la determinacin de tasas de rendimiento para cada una de las

alternativas representadas por sus costos.

para las tres alternativas.

COSTO ANUAL TORNO x (P/A,20%,10l= COSTO VALOR PRESENTE TORNO

la conclusin sera an!loga a la desarrollada para la compara-

ci6n de los costos anuales. Ntese que:

730.000 + 115.000 (P/A,20%,10l = 1.212.080 Bs.

Costo en Valor Present~ Torno C:

540.000 + 125.000 (P/A,20%,10) = 1.064.000 Bs.

Costo en Valor Presente Torno B:

450.000 + 150.000 (P/A,20%,10l = 1.078.800 Ss.

Costo en Valor Presente Torno A:

tiva se determinara, para una im de 20%:

61

Aflo TORNO A TORNO B TORNO C

O - 450.000 - 540.000 - 730.0001 - 150.000 - 125.000 - 115.0002 - 150.000 - 125.000 - 115.0003 - 150.000 - 125.000 - 115.0004 - 150.000 - 125.000 - 115.0005 - 150.000 - 125.000 - 115.0006 - 150.000 - 125.000 - 115.0007 - 150.000 - 125.000 - 115.0008 - 150.000 - 125.000 - 115.0009 - 150.000 - 125.000 - 115.000

10 - 150.000 - 125.000 - 115.000

Tabla 3.1. FLUJOS DE EFECTIVO DE EGRESOS ESTIMADOS PARA TRES

ALTERNATIVAS MUTUM1ENTE EXCLUYENTES.

EJEMPLO 3.1.

62

Ejemplo 3.2: en la construccin de una planta hidroelc

trica de energa se estima que se necesitarn 6 turbogenerado -

res para la capacidad total requerida para dentro de 20 aos. -

Puesto que esa capacidad no es requerida ntegra inicialmente,

al Comparaci6n de alternativa de inversi6n de capacidad -

total vs. alternativa de inversi6n de parte de capacidad con ex

pansiones de capacidad posteriores. En estas situaciones resal

ta en las alternativas el monto de sus inversiones que resultan

ser egresos muy superiores a cualesquiera otros involucrados en

el anlisis, se trata de determinar para diferentes planes de

inversi6n mutuamente excluyentes, cul resultar1a el ms econ6-

mico comparndolos por medio del indice valor presente.

Algunas situaciones en las que suele utilizarse el indice

valor presente, son las siguientes:

3.C. APLICACIONES DEL INDICE VALOR PRESENTE

costo anual ser ms descriptivo que un costo en valor presente

(como en el ejemplo anterior de los tornos), mientras que habr

otras situaciones en que el valor presente ser ms descriptivo

(se vern ejemplos en el pr6ximo aparte de este capitulo). Hay

situaciones, asimismo, que se precisan mucho mejor, determinan-

do una tasa de rendimiento.

63

En el Capitulo 6 se tratarn los aspectos relacionados con ajustes deprecio.

el valor del dinero en el tiempo, en un 20%, se -

- 8.000.000

- 8.000.000

- 8.000.000

- 15.000.000

ALTERNATIVA 2ALTERNATIVA 1

ra:

A~O

O

10

20

si se asigna

tiene:

El flujo de efectivo para 20 aos de cada alternativa se-

cir, no se est involucrando ajustes de precios por inflaci6n*).

turbogeneradores (estos estimados estn a precio de hoy, es de

8.000.000, cada vez que se precisare las instalaciones para dos

BS. -Bs., la segunda alternativa implicara una inversin de

alternativa implicara una inversin inmediata de 15.000.000

to que vayan a ser instalados los turbogeneradores. La primera

2) invertir gradualmente en las instalaciones en el momen

ra los 6 turbogeneradores, o

1) invertir de una vez en las instalaciones necesarias p~

opciones:

tro de 10 aos y otros dos dentro de 20 aos. Se presentan dos

se decide instalar dos turbogcncradores al inicio, dos ms den-

64

Ejemplo 3.4. Un inversionista analiza la oferta de un e

c) Valoracin de una propiedad.

7.700(P/A,1.5%,96J - Pago cancelaci6n

7.700 x 50.702 ~ 390.405,4 Bs.

cuotas resulta ser de 500.000 (A/P, 1.5%,240)=500.000 (0.0154)=

7.700 Bs. Despus de transcurridos 12 aos (144 meses) el Com-

prador decide cancelar de inmediato el resto de la hipoteca.

Cu~nto tendr~ que pagar en ese momento? De las 240 cuotas res

tarian 240-144 = 96 cuotas. El valor equivalente al principio -del ao 13 de esas 96 cuotas se determinara utilizando un aficu

lo de valor presente asi:

Ejemplo 3.3. Una persona compr un apartamento por Bs. -

800.000, pagando 85. 300.000 de inicial y el rosto en 240 cuo-

tas mensuales, calculadas al 1.5% mensual. El monto de estas

b) Valoracin de una serie uniforme para cdncelaci6n de

hipoteca.

la alternativa 2 est claramente favorecida en un anlisis he -

cho sin considerar la inflaci6n.

VPA1 = -15.000.000

VPn2 = -8.000.000-8.000.000(P/F,20t,10)-8.000.000(P/F,20l,20)= -8.000.000-8.000.000 ( 0,1615 + 0,02&1 J = _ 9.500.800

+ 68.000 Bs

+ Pmax

60

60

Ft

Pmax

+ 68.000 Bs

MES

O

1

De adquirir el edificio y venderlo dentro de 5 aos al

mismo precio de flujo de efectivo estimado sera:

dificio de 3 pisos para oficinas. De adquirir el edificio se PQ

dra alquilar las oficinas esperando tener ingresos brutos men

suales de 80.000 Bs. por ese concepto. Asimismo estima que los

egresos mensuales por concepto de luz, agua, derecho de frente,

aseo y otros que se deriven de la administracin de un inmueble

seran de un total de 12.000 Bs. mensuales. El ingreso neto re

sultara ser de unos 68.000 BS. mensuales, el cual espera se

mantenga inalterable en el tiempo puesto que de ocurrir en el

futuro subidas de precios en los egresos, estima poder trasla -

darlos al monto de los alquileres. De invertir en el edificio,-

espera mantenerlo, por lo menos, unos 5 aos. De venderlo en

ese entonces o despus, espera obtener, cornoestimacin conser-

vadora, al menos, el mismo monto que invirti inicialmente. El

inversionista quiere un rendimiento mnimo de 3% mensual para

involucrarse en esta inversin. Cu&l sera el precio mximo

que pagara por este edificio?

66

itienncuando1y por lo tanto se puede aproximar: P = A x

o bien:

lim (l+i)n - 1 1=n ... ., i (l+i)n i

in ... 00

1(P/A, i, n) =lim

tiene:

que tienden a repetirse indefinidamente. Como base matemtica se

Series perpetuas son aquellos ingresos o egresos iguales -

d) Valoracin de una serie perpetua.

1-1,5 x 0.16972.524.607 Bs

68.000 x(27.676) == 68.000(P/A,3%,60) =1-1,5x(P/F,3%,60)

Pmax

Pmax + 68.000(P/A,3%,60)+1,S Pmax(P/F,3%,60) O

de compra Pmax, seria tal que:

si supone ms bien que lo vendera por un 50% ms que su precio

2.266.612 Ss.68.000(27.676)

1- 0.16971 -(P/F,3%,60)68.000(P/A,3%,60)=Pmax

- Pmax + 68.000(P/A,3%,60) + Pmax(P/F,3%,60) = O

Aplicando VP (3%) = O Pmax sera tal que:

indefinidamente, a qu costo presente equivaldra la serie de

ximadamente 200.000 Bs. La ciudad necesita mantener esta red -

habr que incurrir en un costo por mantenimiento anual de apro-

ra deber ser reemplazada aproximadamente cada 50 aos, adems

bera con una inversin de 20.000.000 de Ss. Esta red de tube -'

Ejemplo 3.6. Una ciudad necesita instalar una red de tu-

a depositar.0,12

= 8.333.333 Ss. es el monto1.000.000 Bs=Aplicando: P

tiendan a ser indefinidas?

Qu monto se debe depositar para que las donaciones anuales -

ro depositado en el fondo rendira un 12% anual de inters.

(mientras la Facultad de Ingenier:iasiga funcionando). El din~

persona en cuestin aspira que esta donacin sea pel~anente'

do como becas para estudiantes de ingenierla de la U.C.A.B. La

del cual se retirarn anualmente 1.000.000 Bs. para ser otorga

Ejemplo 3.5. Un multimillonario decide crear un fondo -

lizarse como buena aproximacin en casos similares.

tiende a uti-1-y-P = l\ Xmenor del 0,5%. Luego, la frmulamientras que 1/0,15 = 6.667, el error en la aproximacin sera

(P/A, 15'~, 50) = 6.661

ejemplo, 15% anual, se tendra para n ; 50 que

de a ser grande. En la prctica, para tasas de inters de, por

68

Un bono es una promesa de pagar intereses futuros (en fe-

e) Valoraci6n de Obligaciones Transferibles (bonos).

0.08P = 1.834.000 = 22 925 000 B.. s.

y el equivalente en costo presente para esta serie anual supue~

ta indefinida sera:

A = Al + A2 = 1.834.000 Bs/aos

adem&s se tiene A2 = 200.000 Bs/ao por mantenimiento, luegolos costos totales anuales equivalentes serian:

Al = 20.000.000 (0.0817) = 1.634.000 Bs.

Al = 20.000.000 (A/P, 8%, 50), 6

seria:

posiciones cada 50 aos (incluyendo la inversin al inicio), -

Se tiene,que la serie anual equivalente a la serie de re

flaci6n).

tos futuros no estarn afectados por ajustes de precios por in

ra los clculos? (Para este anlisis se supondr& que los cos-

pagos descrita anteriormente si se utiliza un inters de 8% pa

69

Ejemplo 3.7. La empresa NOVENCA decide financiar una

expansin con objetivos de penetrar mercados de exportaci6n,

con una emisi6n de bonos por 300 millones de bo11vares. Cada -

bono se emitira por 10.000 Bs. y las condiciones serian: 10

aos de plazo para el vencimiento e inters anual calculado

al 12%. Juan Pereira decide invertir 50.000 Bs. en estos bo-

nos en el momento de su emisi6n. Tres aos ms tarde, despus

de haber cobrado el ler pago de intereses, Pereira pasa por

una etapa de escasez de liquidez y prefiere convertir estos 5

bonos en efectivo, vendindolos. Su conocido Pedro Martinez

comprara estos bonos siempre y cuando obtenga un rendimiento -

minimo de 15%. Qu precio maximo ofrecera Martinez por los

bonos?

chas acordadas) y de reintegro futuro (en Cechas acordadas) de

un monto de dinero que seria pr~stado inicialmente. La emisin

de bonos es una forma de financiamiento gu

En algunos de los ejemplos anteriores se debera tomar en

cuenta algunas consecuencias de la Ley de Impuestos Sobre la

Renta. Esto se ha omitido en los primeros captulos de estos a

puntes. En el Captulo 7 se plantearn los efectos que tendra

dicha Ley en problemas similares.

Pmax = 6.000(P/A,15%,7) + 50.000 (P/F,15%,~) =6.000 (4.160) + 50.000 (0.3759) = 43.755 Bs.

El precio mximo gue pagara Hartnez sera:

- serie anual de intereses, fines de a~o 1 al 7: 6.000

Bs/aJ1o.

- reintegro del valor de compra de los bonos, fin ao:

7: 50;000 Bs.

Los bonos, segn condiciones de emisin, pagaran anualmen

te 0.12 x 50.000 = 6.000 Bs. de inter&s durante 7 aos ms y

reintegrarian los 50.000 Bs. al final de ese perodo. Los pagos

que recibira Martnez seran para los prximos 7 aos:

71

cada alternativa, estas consecuencias futuras habJ:aque J:efe-

rirlas al mismo perodo de tiempo para cada alternativa, pues-

parabarato". Habra que analizar las consecuencias futuras

Una situacin muy comn representada cuando entre los di

ferentes equipos a seleccionaJ:se estiman diferentes vidas de

servicio. Pudiera ser, por ejemplo, la selecci6n entre un equi

po usado y un equipo nuevo. En general, no se puede esperar la

misma vida del equipo usado que del equipo nuevo. En estos ca

sos, no seria correcto escoger el nuevo simplemente porque

"dura ms" o bien escoger el usado simplemente porque nes ms

da de servicio estimado.

b) Comparacin de alternativas de costos de diferente vi

I

~

Suele ser til el equivalente anual en su forma de

costo anual en la comparacin de alternativas de costo que im

pliquen seleccin de uno entre varios equipos O maquinas mu

tuamente excluyentes. El ejemplo 3.1 desaJ:rolladoen una sec

ci6n anterior, demuestJ:la aplicaci6n del costo anual para al

tornativas de igual vida de servicio estimada.

servicio estim~.

al Comparacin de alternativas de cgsta de igyal yidd de

3.0. APLICACION DEL INDICE EQUIVALENTE ANUAL

La inversin en gener.alincluye el precio de venta ms los gastos portransporte e instalacin del equipo.

*

ms egresos por operacin y mantenimien.to de unos 20.000 Bs. -

dad requerida implicara una inversi6n* de unos 350.000 Bs.

tos de la planta industrial. Un compresor nuevo de la capaci -

dir la capacidad de servir aire comprimido a los diversos pUQ

Ejemplo 3.8: La Empresa Polycalf planea una expansin de

su capacidad de produccin y para ello necesita tambin expan-

las vidas de las alternativas.

2) Perodo de estudio igual al mnimo comn mltiplo de

ms corta.

1) Perodo de estudio igual a la vida de la alternativa

do de estudio estAn:

los criterios ms utilizados par

(Convencin de costos positivos)ran:

1) La alternativa ms corta se espera dure tres aos. Pa

ra un perodo de estudio de tres aos los flujos de efectivo se

Existe la alternativa de adquirir un compresor de igual -

capacidad pero usado, la inversin requerida sera de 150.000

Ss, se estiman egresos por operaci6n y mantenimiento de 40.000

Ss. para el prximo ao de uso, aumentando en 5.000 Ss/ao para

cada ao posterior; de adquirir este compresor se espera utili-

zarlo durante tres aos. al final de los cuales se espera ven -

derlo obteniendo un 15% neto de la inversin en el compresor.La

empresa enfoca el anlisis econ6mico antes de impuestos y sin

ajustes por inflaci6n utilizando una tasa de inters de 25%.

el primer ao aumentando en unos 3,000 lis/aopara los aos po~

tcriores por el efecto del desgaste, de adquirir este compresor

se espera utilizarlo por unos siete aos (esto segn la expe

riencia con compresores similares) al cabo de los cuales se es

tima podra venderse (para un uso espordico de auxilio "en p~

cos de requerimiento") recuperando un 15% de la inversi6n ini -

cial (por simplicidad de presentaci6n en este captulo de los

Apuntes, ninguno de los estimados toma en cuenta ajustes de

precios por inflacin),

'( 4

el cual es slo un modelo simple que supone prdida de valor u-

= 350.000 - 127.500 = 222.500 Bs.

0,85 x 350.000 x 3 =77

(II-L7)x 3 = 350.000 -

prdida del valor lineal:

prdidas de valor uniformes del activo se usara el modelo de

ra L3 nuevo?, en esto privara el juicio del analista basado en

su experiencia y en opiniones de expertos,si se quiere suponer

para el equipo nuevo habra que considerar un valor L3 mayor

al estimado para L7 (0,15 x 350.000) puesto que el equipo ten

dra para finales del 3er ao, cuatro aos menos de desgaste

que para finales del 7mo ao. Cul sera un buen estimado pa

y Edt = egreso por desinstalacin y transporte). Normalmentesecho" (en general L = Pv - Edt, donde Pv = precio de ventasidual", tambin, en ocasiones, se le denominar "valor de de

Por Lt se presenta lo que se estima obtener neto por el

equipo al final del perodo t y se suele denominar "valor re

ANo (t) Ft (nuevo) Ft (usado)

O 350.000 150.000

1 20.000 40.000

2 23.000 45.000

3 26.000 50.000

L3 ? - 22.500

75

- Al finalizar la vida de servicio estimada para cada e-

quipo habr~ una reposicin por otro equipo idntico a l, as

sucesivamente hasta abarcar el perodo de estudio.

2) El mnimo comGn mGltiplo de las alternativas es:

MCM (3,7) = 21 aos. Se procede a comparar las alternativas p~ra un perodo de estudio de 21 aos haciendo la siguiente supo-

sici6n general:

bajo este enfoque y suposiciones, el anlisis econOmico favore-

cera claramente al compresor usado.

CAusac (25%) = 150.000 (A/P, 25%,3) + 40.000+ 5.000(A/g,25%,3)-22.500 (A/F, 25%, 3) =

= 150.000 (0,5123) + 40.000 + 5.000 (0,852) -

22.500 (0,2623) = 115.203 Ss/ao.

CAnuev (25%) = 350.000 (A/P, 25%, 3) + 20.000 + 3.000(A/g,25%,3)- 222.500 (A/F, 25%,3) == 350.000 (0,5123) + 20.000 + 3.000 (0,852) -- 222.500 (0,2623) = 143.488 Ss/ao.

niforme. Utilizando este estimando y hallando los costos anua-

les:

76

CAnuev(25%):350.000(A/P,25%,7) + 20.000 + 3.000(A/g,25%,7) -

- 52.500(A/F,25%,7)=

:350.000(0,3163) + 20.000 + 3.000 (6,773) -

- 52.500(0,0663) = 147.543 Bs/ao.

Asi:

Note en las tablas que la a1tern.tivadel equipo nuevo se

repite tres veces con Inversiones a principio de los aos 1, 8 Y

15; las alternativas del equipo usado se repite siete veces con

inversiones a principio de los aos 1, 4, 7, 10, 13, 16 Y 19.

Puesto que las alternativas se repiten, bastaria para resolver -

por el costo anual, calcular dicho costo para la vida de cada e-

quipo, sabiendo que este mismo costo se repetiria para los 21 a

os del periodo de estudio.

Para un periodo de estudio de 21 dnOS, los flujos de efec-

tivo serian: (Ver Tabla 3.2.).

No siempre es razonable basar el an1isis en la suposicin

anterior. Se pudiera justificar bien en aquellas situaciones en

que e1 equipo se requiere por periodos muy largos o indefinidos

y que .demasse espere poco cambio tecnolgico haciendo improba-

ble ld opcin de equipos futuros mejorados.

rr

A~O Ft (nuevo) F (usado)t

---------------- ,----------------,O 350.000 , 150.000 I, I1 20.000

,40.000 I, I, I

2 23.000 , 45.000 I, IJ 26.000

,___?Q~QQQ:~~~?Q~:+l50.000,

4 29.000 40.0005 32.000 45.000

6 35.000 50.000-22.500 +150.0007 L__1~QQQ:2~~2QQ~350.000 40.000

B 20.000 45.000

9 23.000 50.000-22.500 +150.000

10 2G.000 40.000

11 29.000 45.000

12 32.000 50.000-22.500 +150.00013 35.000 40.000

14 3B.000-52.500+350.000 45.00015 20.000 50.000-22.500 +150.00016 23.000 40.000

17 26.000 45.000

lB 29.000 50.000-22.500 +150.00019 32.000 40.000

20 35.000 45.000

21 38.000-52.500 50.000-22.500

Tabla 2.3. FLUJOS DE EFECTIVO PARA PERIODO DE ESTUDIO M.C.M.CON REPOSICION POR EQUIPOS IDENTICOS.

7/l

los costos se repetir1an idnticos durante el perodo de M.C.~l.

za de este procedimiento puesto que no se podra suponer que

tes de precio por inflaci6n disminuirn la cualidad de simp1e-

contrario, se requiera por perodos de tiempo cortos; los aju~

turas (equipos futuros mejorados) o cuando el servicio,por el

requiere por perodos indefinidos);es dudosa la validez de es

te criterio cuando hay perspectivas de mejoras tecnolgicas fu

tiempo (en ocasiones esto es importante cuando el servicio se

gas. El criterio (2) tiene la ventaja de ser de aplicacin

ms general (no requiere de estimados adicionales) y tambin -

la ventaja de relacionar el anlisis con perodos mayores de

adicional de valores residuales para las alternativas ms lar

externos (tecnolgiCOS, coyuntura econmica, ajustes por infl~

ci6n, etc.); es ms laborioso puesto que requiere el estimado

nor probabilidad de error influyendo en menor grado los cambios

perIodos de tiempo cortos estando los estimados sujetos a me -

paratiene la ventaja de ser ms realista puesto que compara

El criterio (1) para la seleccin del perodo de estudio

usado.

la comparacin con ests suposiciones favorecerla dl compresor

= 115.203 Es/ao= 150.000(0,5123)+40.000+5.000(0,852)-22.500(0,2623)

22.500CA/F,25\,3)=

CA d(25%)= 150.000CA/l',25A,3)+40.000+5.000(l\/g,25%,3)-usa

~_._-

79

El costo anual de inversiones que tienden a ser perma

nor de 1%).

x 100% = 0,9% (me-

muy cerca de 0.10, eltiene que (A/P,10%,SO) = 0.1009, que est

d 0,1009 - 0,10 __ 0,0009error ser a e 0,10 0,10

medida que n tiende a infinito. Para i = 10% Y n ~ 50, se

El factor (A/P,i,n) = i(l+i)n/(l+i)n-1 tiende a i a

de vida muy larga.

e) Clculo del Costo anual equivalente para una inversi6n

caci6n.

Captulo 8 de estos apuntes se tratar especfalmente esta apli-

po que ya est en uso por uno externo generalmente nuevo. En el

uno nuevo externo, sino de decidir cundo se reemplaza un equi-

No se trata de escoger entre un equipo usado externo y

d) Anlisis de Reemplazo de Equipos.

clculo de cuota uniforme.

El plan A de la Tabla 2.2 en donde Pago Total ~

P(A/P,i,n)= 12.000 (A/P,20%,3) = 5696,7 Bs., es un ejemplo de

c) Clculo de Cuota Uniforme para pago de una cantidad i-

nicial P dada en prstamo.

80

un acueducto que servir a dos ciudades cerCanas: La inversin

en el acueducto sera de 100.000.000 Bs. Habra que incluir en

la instalacin una tubera de acero que corra por un canal de

tierra revestido de concreto. El canal de tierra se supone per

manente con un costo de 3.000.000 Bs. La tubera de acero cos

tara 5.000.000 Bs. con una vida estimada de 25 aos. El re

vestimiento de concreto implicara un costo inicial de bolva-

res 2.000.000, con una vida estimada de 25 aos. El mantenimien

to anual de canal, tubera y revestimiento sera de unos bo-

lvares 150.000 anuales. Determinar el costo anual equivalente

del proyecto, haciendo el anlisis sin considerar la inflacin

con una i de 10%.

Se estudia la factibilidad de construir -Ejemplo 3.9.:

nentes tales cornoacueductos, estructuras y carreleras, se su~

le determinar multiplicando la inversin inicial por la tasa de

inters i.

81

11.221.400 Ss/ano=Costo anual total

150.000 Es/ao=El costo anual de mantenimiento

a los 25 aos).

(se est suponiendo reposicin idntica

771.400 Bs/ao=

(5.000.000 + 2.000.000) (A/P,10%,25) == "(7.000.000) x 0,1102

El costo anual de tubera y revestimien-to.

10.300.000 Bs/ao=(100.000.000 + 3.000.000) x 0,10El costo anual del acueducto ms canal de tierra.

82

ANO Ft

O - 500.000

1 120.000

2 120.000

3 150.000

4 170.000

5 170.000 + 800.000

El flujo de efectivo de Martnez fue:

tos del impuesto sobre la renta en el anlisis).

rendimiento obtuvo por su inversi6n? (no considere los efec-

BS. en cada uno de los dos aos siguientes. IMart!nez acaba -\

de vender el estacionamiento despus de operarlo durante 5 a

os, obteniendo 800.000 Bs. netos por la venta. Qu tasa de

puertas y techados de una parte del rea. Por operar el esta

cionamiento obtuvo, neto, unos 120.000 Bs. en cada uno de los

dos primeros aos; 150.000 Bs. durante el 3er ao y, 170.000

Ejemplo 3.10.: Hace 5 aos Juan Hartinez compr un-

terreno en Guacara por 400.000 Bs. Inmediatamente, tras ha

berlo registrado, decidi6 utilizarlo para estacionamiento p

blico por 10 cual invirti 100.000 Bs. adicionales en muros,-

a) Tasa de rendimiento de una inversi6n ya terminada.

3.E. APLICACIONES DEL INDICE TASA DE RENDIMIENTO.

83

La ir es un poco menor a 35%. Si aceptamos la interpolaci6n

como una buena aproximaci6n, tendramos:

16.81035%

+ 52.39030%

73.84040%

- 260.85050%

VP (1)

se deduce 50% < ir aprox < 60%, comenzando el tanteo con

i = 50%.

1.634; acudiendo a las tablas=es= O- 500.000 + 306.000 (P/A,ir aprox,5)

500.000

306.000(P/A,ir aprox, 5) =

la solucin deI~

n

Bs.~-ano306.0002x120.000+150.000+2x170.000+800.000Ft =

5

t=l

1n

Para hallar una ir aproximada se utilizara un flujo de

efectivo aproximado al anterior.

+[50.000(F/A,ir,2)+800.0001 (P/F,ir,5) = O

-500.000+120.000(P/A,ir,5J+30.000(P/F,ir,3)+

ir es tal, que:

84

Ejemplo 3.11.: Una conocida empresa de fabricacin do

calzado de hombre est considerando instalar una planta en los

Valles del 'l'uy".Se requiere una inversin de 570.000 Bs. en

apuntes bsicos y problemas de ingeniera econmica

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