Apuntes alterna

Fundamentos de Electrónica - Análisis de Circuitos en Corriente Alterna 1

PMR/pmr Mayo de 2002

Análisis de Circuitos en Corriente Alterna

1. Introducción:

Continuando con el estudio de los principios básicos que rigen el comportamiento delos circuitos eléctricos y electrónicos, el presente apunte centra la atención en loscircuitos excitados por señales sinusoidales alternas de corriente o de votaje. La teoríade circuitos de corriente alterna es fundamental para la comprensión de los fenómenosque se producen en cualquier equipo electrónico.

Se definirá inicialmente que es una señal de corriente alterna y se describirábrevemente los parámetros más importantes que se utilizan para caracterizarcuantitativamente una señal de este tipo, haciendo énfasis en la fase, a continuación,se analizarán las relaciones básicas de corriente, voltaje y fase en resistencias,condensadoresm bobinas y circuitos RL, RC, RLC serie y paralelo.

A lo largo del estudio se introducirá una serie de conceptos, técnicas y convencionesque nos permitirán analizar los circuitos de corriente alterna por los mismos métodosgenerales utilizados para el análisis de circuitos de corriente continua.

2. Conceptos Básicos de Corriente Alterna

Una corriente alterna (AC) se caracteriza, fundamentalmente, porque su polaridad osentido de circulación a través de un circuito no es único y porque no tiene un valorconstante a través del tiempo sino que este varía cíclica o periódicamente. En la figura1. Se ilustra gráficamente, desde este punto de vista, la diferencia entre una corrientecontinua y una corriente alterna.

A

t1

+

-

Tiempo(t)

Amplitud

0a) DC

A1

t1

+

-Tiempo(t)

Amplitud

0b) AC A2

1 Ciclo

Figura 1: Corriente Alterna vs corriente continua

En ambos casos, el eje horizontal representa el tiempo y el eje vertical la amplitud ola intensidad de la corriente. El punto t1 marca el instante en el cual se cierra el



circuito y comienza a circular la corriente. Las porciones positivas de cada gráficaindican los intervalos de tiempo durante los cuales la corriente circula en una direccióny las porciones negativas los intervalos durante los cuales lo hace en direcciónopuesta.

En el caso CC o DC (figura 1-a), la corriente arranca de cero y crece instantáneamentehasta alcanzar un valor constante (A). En el caso AC (figura 1-b), la corrientecomienza en cero, se incrementa progresivamente hasta alcanzar un valor máximopositivos (A1) y luego regresar gradualmente a cero. A partir de este instante, ladirección de circulación de la corriente se invierte y se repite el proceso.

Lo anterior implica que la corriente crece progresivamente desde cero hasta alcanzarun máximo valor negativo (A2) y luego disminuye gradualmente hasta retornar otravez a cero, finalizando lo que se denomina un ciclo y dando origen al ciclo siguiente. Elnúmero de veces que se repite el ciclo en un segundo se denomina la frecuencia de laseñal, se ampliara este y otros conceptos mas adelante.

La forma de onda mostrada en la figura 1-b corresponde a una señal sinusoidal y es laque se utilizará a los largo del apunte para analizar el comportamiento de los circuitosde corriente alterna. No obstante, los circuitos electrónicos en general pueden serexcitados por formas de onda que no son necesariamente sinusoidales; la figura 2muestra algunos ejemplos.

+

-

0t

C u a d r a d a

+

-

0

D i e n t e d e S i e r r a

+

-

0

R i z a d o

+

-

0

P u l s o s

Figura 2: Otras forma de Ondas

Todas estas señales tienen un patrón regular: son periódicas, esto es sus formas deonda se repiten exactamente en el tiempo a intervalos regulares. Como se ilustra en lafigura 3, cualquier señal periódica compleja siempre es el resultado de la superposicióno suma de varias señales sinusoidales relacionadas armónicamente, es decir cuyasfrecuencias son múltiplos enteros de la fundamental.



+

-

t

+

-

+

-

F u n d a m e n t a l

( f0)

+

( f=2 f0)

S e g u n d o

A r m ó n i c o

=

O n d a

Comple ja

Resu l tan te

t

t

Figura 3: Construcción de una forma de Onda Compleja

Analizando el comportamiento de un circuito para cada una de estas señalessinusoidales puras (la fundamental y sus armónicos), y superponiendo los resultadosparciales, resulta relativamente sencillo determinara la respuesta final del mismocuando es excitado por la onda compleja original. Esta técnica se conoce como“Análisis de Fourier” y esta basada en el teorema del mismo nombre.

Según el teorema de Fourier, una señal periódica cualquiera puede subdividirsesiempre en un cierto número, finito o infinito, de señales sinusoidales puras. Estacircunstancia favorable evita que tener que desarrollar una nueva teoría de circuitoselectrónicos para cada tipo de onda posible y facilita el análisis de circuitos excitadospor señales complejas mediante la teoría general de circuitos de corriente alternaexistente.



3 Parámetros de una señal de corriente alterna.

Los principales parámetros que caracterizan una señal alterna, de corriente o voltaje,pura (figura 4) son su amplitud máxima, su frecuencia y su fase, Otros parámetrosrelacionados con la amplitud máxima son el valor instantáneo, el valor pico a pico, elvalor promedio y el valor eficaz.

t

0

I m a x

O r i g e n

i ( t )

- I m a x

t=T/4

t=3T/4

1 Ciclo

Figura 4: Señal de Corriente Alterna Pura

La amplitud máxima se denomina también “valor pico o peak” y se refiere al máximovalor positivo o negativo, que alcanza la señal durante un ciclo. El valor pico de unaseñal de voltaje se mide en volts (V) y el de una señal de corriente en Amperes (A).

Se debe observar que en una señal sinusoidal pura, los valores peak de los semiciclospositivo y negativo son exactamente iguales y no ocurren al mismo tiempo. Sinembargo, este no es el caso general y, en una señal real, los dos semiciclos pueden noser simétricos.

En adición al valor peak, otras formas de caracterizar la amplitud de una señal decorriente alterna son los valores instantáneos, peak a peak, promedio y eficaz o rms.En la figura 5 se comparan gráficamente estos conceptos, validos tanto para señalesde voltaje como de corriente.



pk-pk

pk

rmsprom

prom: promedio

rms:eficazpk-pk:pico a pico

Figura 5 Valores peak, peak a peak, promedio y eficaz

El Valor Instantáneo es el que tiene la señal en cualquier instante de tiempo y sepuede expresar en forma general mediante una ecuación del tipo:

( )θπ ±⋅= ftSenpeakValorinstáneoValor 2

En la expresión anterior, π es una constante adimensional ( 14.3≈ ). f es la

frecuencia de la señal en hertz (Hz), t es el tiempo en segundos (s) y θ es el ángulode fase en radianes (rad). Este último específica el desplazamiento de la forma deonda a la izquierda o a la derecha del origen. Los conceptos de frecuencia y fase seaclararán más adelante.

El valor peak a peak es numéricamente igual al doble del valor peak y corresponde almedido entre los puntos de amplitud máxima de un ciclo de la señal. El Valorpromedio se define como el promedio aritmético de todos los valores que adopta laseñal durante un semiciclo y es aproximadamente igual al 63.7% del valor peak. Estoes:

picoValorpeakpeakValor ⋅= 2

peakValorpromedioValor ⋅≈ 637.0

El valor eficaz o rms (root-mean-square: raíz cuadrática media) de una señal decorriente alterna es el que produce en un elemento resistivo la misma disipación depotencia que una corriente continua de igual valor. En la figura 6 se ilustraprácticamente este concepto. Inicialmente, con el interruptor en la posición A, lalámpara es excitada por la señal alterna de voltaje y disipa, por ejemplo, 750 mW.



FuenteAC Lámpara Fuente DC

Variable

A B

Figura 6 Concepto de Valor eficaz

A continuación, con el interruptor en la posición B, la lámpara se excita con el voltajecontinuo y se varía este último hasta que produzca en la resistencia la mismadisipación de potencia que el voltaje alterno. Cuando esto suceda, el valor del voltajecontinuo corresponderá exactamente al valor eficaz del voltaje alterno.Numéricamente, el valor eficaz de una señal de corriente o de voltaje está dado por:

peakValorrmsValor ⋅≈ 707.0

A menos que se especifique otra cosa, siempre que hablemos de la magnitud de unvoltaje o de una corriente AC nos estaremos refiriendo a su valor rms. Por ejemplo, lostomacorrientes caseros de 220 V, 50 Hz, proporcionan una onda seno de voltaje quese repite 50 veces por segundo y tiene un valor rms de 220 V, un valor peak de 311 Vy un valor peak a peak de 622 V.

Para evaluar matemáticamente el valor rms de señales no sinusoidales pero periódicasdeben utilizarse técnicas de cálculo integral. En la práctica, la forma más exacta dedeterminar el valor rms es estos casos es medir el calor producido por la señal en unaresistencia conocida y compararlo con el valor de la corriente continua necesario paraproducir el mismo efecto. Los valores rms son muy usados en audio, acústica,potencia, etc.

La frecuencia (f) se refiere al número de ciclos que se repiten por segundo y se mideen hertz (Hz). La duración de un ciclo se denomina período (T) y se mide ensegundos (s). Entre más alta la frecuencia de una señal, menor es su período yviceversa. La frecuencia y el período se relacionan matemáticamente mediante lassiguientes fórmulas:

fT

1= T

f1=

Las señales con frecuencia desde ≈ 20 Hz hasta ≈ 20 kHz se denominan señales deaudio frecuencia (AF) debido a que las vibraciones de partículas de aire que nuestrosoídos reconocen como sonidos ocurren a esas frecuencias. Las señales de audio se



utilizan para por ejemplo para excitar parlantes y así crear ondas de sonido, es decirtonos o notas audibles.

Las señales con frecuencias por encima de 2 kHz se denominan señales de radiofrecuencia debido a que pueden propagarse a través del espacio en forma deradiaciones electromagnéticas. Las señale de radio se utilizan para excitar antenas ycomunicar por vía electromagnética puntos distantes. La tabla de la figura 7 resume laclasificación de las ondas de radio según su frecuencia.

Designación RangoVLF Muy bajas frecuencias 10 kHz - 30kHzLF Bajas frecuencias 20 kHz – 300kHzMF Medias frecuencias 300 kHz – 3MHzHF Altas frecuencias 3 MHz – 30MHzVHF Muy altas frecuencias 30 MHz – 300MHzUHF Ultra Altas Frecuencias 300 MHz – 3 GHzSHF Super Altas Frecuencias 3 GHz – 30GHzEHF Extremadamente Altas

Frecuencias30 GHz – 300GHz

Figura 7: Espectro de frecuencia de radio

4 Concepto de fase. Fasores

El concepto de fase es importante cuando una señal se compara con otra de la mismafrecuencia. Dos señales están en fase cuando alcanzan valores correlativos (porejemplo sus amplitudes máximas) al mismo tiempo y están desfasadas cuando la unalos alcanza antes o después de la otra. En el primer caso, se dice que la primera señalesta adelantada con respecto a la segunda y en el segundo que está atrasada.

La fase puede ser medida en unidades de tiempo (segundos). Sin embargo, existe unmétodo más conveniente. Consiste en dividir un ciclo en 360 partes o gradoshexagesimales, como se ilustra en la figura 8, y especificar el intervalo de tiempo odiferencia de fase bajo consideración en éstas unidades. Un grado de fase es, portanto, 1/360 de ciclo.



1 ciclo

1/2 ciclo

0° 90° 180°

270°

360°

Figura 8: Angulos de fase de un ciclo

La razón de escoger el grado como unidad de medida de la fase se debe a que, en unaseñal alterna, el valor de la corriente en cualquier instante es proporcional al seno delnúmero de grados transcurridos desde el instante en que comienza el ciclo. Sinembargo no existe un ángulo real, en el sentido geométrico del término, asociado conuna corriente alterna.

La fase puede también expresarse en radianes (rad), gradientes (gra) o en cualquierotra unidad de medida de ángulos. En el primer caso, que es el más común, un ciclocompleto (360 °) se divide en 2π ( 28.6≈ ) partes iguales o radianes. Por tanto, 1

rad= °≈°296.57

2360

π. En el segundo caso, un ciclo completo se divide en 400 partes

iguales o gradientes. Por lo tanto rad31071.15!9.0gra1 −⋅≈°≈ .

La figura 9 ilustra gráficamente el concepto de fase, aplicado a dos señales de lamisma frecuencia que comienzan sus ciclos a tiempos ligeramente diferentes. En estecaso, la corriente A adelanta a la corriente B en 60° puesto que el ciclo de A comienza60 ° antes que el de B. Es igualmente correcto decir que B está retrasada 60° conrespecto a A.



0° 90° 180°

270°

360°

1 ciclo=360°

Señal ASeñal B

Figura 9: Diferencia de fase entre dos señales

En la figura 10 se ilustran dos casos especiales importantes de diferencia de fase. En elprimer caso (figura 10-a), B está retrasada 90° con respecto a A, es decir su ciclocomienza un cuarto de ciclo más tarde que el de A. Mientras una señal está pasandopor cero, la otra está en su punto de amplitud máxima, y viceversa. Se dice tambiénque A y B están en cuadratura de fase.

0° 90° 180°

270°

360°

Señal ASeñal B

( 1 /4 de C i c l o )

a) A y B encuadratura de

fase

0° 90° 180°

270°

360°

Señal A

Señal B

( 1 /4 de C i c l o )

b) A y B encontrafase

Figura 10: Casos Especiales de diferencia de fase



En el caso mostrado en la figura 10-b, las señales A y B están 180° fuera de fase o encontrafase. Bajo esta circunstancia, no tiene mucho sentido hablar de adelanto o deretraso de una señal con respecto a la otra porque B siempre es positiva mientras A esnegativa, y viceversa. Las señales mostrada en la figura 10 pueden corresponder a doscorrientes, dos voltajes o un voltaje y una corriente, en circuitos separados o en elmismo circuito.

Si A y B representan dos Voltajes (o dos corrientes) en el mismo circuito, el voltaje (ola corriente) total o resultante es también una onda seno puesto que la suma decualquier número de ondas seno de la misma frecuencia es siempre una onda seno dela misma frecuencia. Cuando se comparan señales de distintas frecuencias, lasdiferencias de fase se especifican con respecto a la de más baja frecuencia,

Para comparar las fases de voltajes y corrientes alternos de la misma frecuenciaresulta conveniente representarlos como fasores. Un fasor es un método gráfico yanalítico de caracterizar una señal sinusoidal especificando únicamente su magnitud yfase. De este modo, una señal de corriente alterna con una amplitud máxima de Im yángulo de fase θ puede representarse concisamente como

θ∠= ImI

Gráficamente, este fasor puede representarse mediante una flecha dirigida como seindica en la figura 11. La longitud de la flecha indica la magnitud del voltaje o lacorriente y el ángulo que forma con respecto a la horizontal indica su fase. Aunque lamagnitud de un fasor puede corresponder al valor peak, peak a peak o rms, en losucesivo mientras no se especifique los contrario, asumiremos que se trata del valorrms.

Señal de referenciade fase

Im

-Im

q

i(t)=ImSen(2 ft+ )qp

Im

Eje de referencia

q

Figura 11: Concepto de Fasor

El ángulo de fase de una onda sólo puede especificarse con respecto a otra tomadacomo referencia. En la figura 12, por ejemplo, se muestran dos ondas de voltaje (Va yVb) que están en cuadratura, es decir 90° fuera de fase, y sus representacionesfasoriales correspondientes. En este caso, Vb adelanta a Va en 90°. Este último actúacomo fasor de referencia y se le asigna un ángulo de fase de 0°.



VB

q=90°

VA

90°

180°

270° 360°

VB

VA

t

Figura 12:Representación fasorial de señales en cuadratura

El ángulo de fase entre dos señales de la misma frecuencia corresponde naturalmente,a una diferencia especificada de tiempo. El tiempo asociado con un ángulo de fase θ ,expresado en grados, se relaciona con el período (T) mediante la siguiente fórmula:

°⋅=360θ

θ Tt

Ejemplo:Dos señales sinusoidales de 1KHz representan entre sí una diferencia de fase de 60°.Calcule el tiempo de desfase.

Solución: El período de las señales es simplemente:

][1)(101)(101

11 3

3mss

HzfT =⋅=

⋅== −

Puesto que !60°=θ , entonces:

( ) mst 167.0360/601 =⋅=θ

Por tanto, una señal está retardada ][167 sµ con respecto a la otra. Este tiempocorresponde a una diferencia de fase de 60°.



5. Relaciones de voltaje, corriente y fase en circuitos resistivosde corriente alterna

Cuando se aplica un voltaje alterno a una resistencia pura (figura 13) circula a travésde esta última una corriente alterna de la misma frecuencia y la misma fase.Asumiendo que el ángulo de fase del voltaje es 0°, la corriente y el voltaje a través deuna resistencia se pueden describir fasorialmente así:

00 ∠=∠= VVII

R

i ( t )= im S e n w t

V ( t ) = V m S e n w t

I = im 0°

VRV = Vm

0°

V(t) , i ( t)

t0

V(t) , i ( t)

t0

VR

IR I V

Figura 13: Relaciones de fase en un circuito resistivo

Al estar en fase la corriente con el voltaje, los circuitos puramente resistivos se puedenanalizar con los mismo métodos empleados para el análisis de circuitos de corrientecontinua. En el caso de la figura 13, la magnitud de la corriente producida a través deuna resistencia puede evaluarse, aplicando directamente la ley de Ohm, mediante lafórmula:

RV

I =



En esta expresión, I es la magnitud del voltaje y R el valor de la resistencia. Si elvoltaje se expresa en valor peak o rms, la magnitud de la corriente calculadacorresponde también al valor peak o rms. Los siguientes ejemplos aclaran el uso de laLey de Ohm en el análisis de circuitos resisitivos de corriente alterna sencillos.

Ejemplo1: Evalué la corriente total It y las caídas de voltaje V1 y V2 en el circuitoserie de la figura 14, ][101 Ω=R , ][202 Ω=R

R2

IT

vT

V 2

1 2 0 V

6 0 H z

R1

V1

Figura 14: Circuito Resistivo Serie

Este problema se desarrollará en clases.

Ejemplo 2. Evalue la corriente total It y las corrientes I1 e I2 en el circuito resistivoparalelo de la figura 15, ][101 Ω=R , ][202 Ω=R

R 2

IT

1 2 0 V

6 0 H z

I1

R 1

I2

Figura 15: Circuito Resistivo Paralelo

Este problema se desarrollará en clases.

Como hemos visto hasta el momento, en una resistencia el voltaje y la corriente estánen fase. Esta circunstancia facilita el análisis directo de los circuitos resistivos decorriente alterna con los mismos métodos y técnicas empleados en el caso de lacorriente continua (Ley de kirchhoff, circuito equivalente, etc).



5.1 Relaciones de Voltaje, corriente y fase en condensadores y bobinas.Concepto de Reactancia.

Inductor:

Un inductor o bobina es un dispositivo electrónico que almacena corriente entre susterminales, en otras palabras se opone a los cambios de corrientes que puedan existir,esto lo efectúa mediante el almacenamiento de energía magnética.

Símbolo del inductor:

Condensador:

El Condensador es un dispositivo que almacena voltaje entre sus terminales, en otraspalabras se opone a los cambios a los cambios de voltaje que puedan existir, esto loefectúa mediante el almacenamiento de energía eléctrica.

Símbolo del Condensador:

Cuando se aplica un voltaje alterno a una bobina o inductancia pura (figura 16) lacorriente se retrasa con respecto al voltaje 90°. Asumiendo que el ángulo de fase delvoltaje es 90°, la corriente y el voltaje a través de una inductancia se pueden describirfasorialmente así:

°∠= 0ll II °∠= 90ll VV

La magnitud de la corriente producida a través de la inductancia se puede evaluarcomo sigue:

fLV

Il π2=



IL

VL

t0

V(t) , i ( t)

t0

VL

I L

I L

f

L

V L

90°

Figura 16: Circuito Inductivo

En esta expresión, 28.62 =π es una constante, f es la frecuencia en Hertz (Hz) y L lainductancia en Henrios (H). El efecto combinado de la frecuencia y la inductancia sedenomina reactancia inductiva y mide la oposición que presenta la bobina al paso de lacorriente alterna. La reactancia inductiva se designa como LX , se mide en ohms ][Ω yse calcula mediante la siguiente fórmula:

LfX L ⋅⋅= π2

Por tanto, la reactancia de una bobina es directamente porporcional a la frecuencia (f).A medida que aumenta la frecuencia, aumenta la reactancia y disminuye la corriente, yviceversa. El término fπ2 se denomina comúnmente frecuencia angular, se designa

como ω y se mide en radianes por segundo (rad/s). La magnitud de la corriente através de la bobina se puede expresar en términos de XL y ω así:

LV

XV

I L

L

LL ⋅

==ω



Ejemplo: Si en el circuito de la figura 16 ][65.2 HL = , VVL 120= y Hzf 50= ,entonces:

3145028.6 =×=ω rad/s][1.83265.2314 Ω=×=LX

)(][1441.832/120 rmsmAI L ==

Cuando se aplica un voltaje alterno a un condensador o capacitancia pura (figura 3.17)la corriente se adelanta con respecto al voltaje 90°. Asumiendo que el ángulo de fasedel voltaje es 0°, la corriente y el voltaje a través de una capacitancia se puedendescribir fasorialmente así:

IC

VC

t0

V(t) , i ( t)

t0

V C

V C

I C

f

C

V C

90°

Figura 17: Circuito Capacitivo

°∠= 90CC II °∠= 0cc VV

La magnitud de la corriente producida a través de la capacitancia se puede evaluarcomo sigue:

CfVI Cc ⋅⋅⋅= π2



En esta expresión, 28.62 ≈π , f es la frecuencia en Hertz (Hz) y C la inductancia enfaradios (F). El efecto combinado de la frecuencia y la capacitancia se denominareactacia capacitiva y mide la oposición que presenta el condensador al paso de lacorriente alterna. La reactancia capacitiva se designa como Xc, se mide en ohms [ Ω ]y se calcula mediante la siguiente fórmula:

CfX C ⋅⋅

=π2

1

Por tanto, la reactancia de un condensador es inversamente proporcional a lafrecuencia (f). A medida que aumenta la frecuencia, disminuye la reactancia yaumenta la corriente, y viceversa. El término fπ2 sigue siendo la frecuencia angularω, medida en radianes por segundo (rad/s). La magnitud de la corriente a través delcondensador se puede expresar en términos de Xc y ω así:

CVXcV

I ⋅⋅== ω

Ejemplo. Si en el circuito de la figura 17, FC µ30= , Vc=20[mV] y f=1 kHz, entonces:

628010128.6 3 =××=ω rad/s

][31.5)10306280/(1 6 Ω=××= −CX

)(][77.331.5/20 rmsmAI ==

Como es posible derivar del análisis anterior, las bobina o inductancias presentan unafuerte oposición a las altas frecuencias y los condensadores una fuerte oposición a lasbajas frecuencias. Combinando reactancias capacitivas e inductivas se puedencontrolar determinadas bandas de frecuencia. Esta característica se aprovechaventajosamente en filtros, ecualizadores y variados dispositivos electrónicos.

5.2 Circuitos RL, RC, RLC en configuración Serie

Cuando un circuito contiene tanto resistencias como reactancias (bobinas y/ocondensadores), su efecto combinado se denomina impedancia. Definida en términossencillos, la impedancia es la oposición que presenta un circuito al paso de la corrientealterna y es una generalización de los conceptos de resistencia y reactancia. Laimpedancia se simboliza con la letra Z y se mide en ohms ][Ω . La reactancia y laresistencia que forman una impedancia pueden conectarse en serie o en paralelo,como se ilustra en la figura 18. En ambos casos, la caja X simboliza la reactanciainductiva o capacitiva. En el circuito serie (figura 18-a), la corriente a través de los doselementos (IT) es la misma pero los voltajes sobre la resistencia (VR) y la reactancia(VX) son diferentes.



I T

V T

f

X

RVR

VX

I T

V T

f

I R I X

R X

Figura 18: Circuito Serie y paralelo.

En el caso de un circuito paralelo (figura 18-b), el voltaje aplicado a ambos elementos(VT) es el mismo pero las corrientes IR e IX que fluyen a través de las ramas resistivasy reactiva, respectivamente, son diferentes. Hay que recordar que tanto el voltaje y lacorriente de entrada (VT e IT) como las corrientes IR e IX y los voltajes VR y VX soncantidades fasoriales, esto es, poseen una magnitud y una fase.

La magnitud de la impedancia del circuito serie (ZS) de la figura 18-a y el ángulo dedesfase (θ) entre la corriente IT y el voltaje VT se evalúan mediante las siguientesfórmulas:

RX

TanXRZS122 −=+= θ

Estas relaciones se pueden representar gráficamente mediante un triángulos deimpedancias, como se indica en la figura 19. La fórmula de ZS es similar a la utilizadaen geometría para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuando se conocensus catetos. En este caso la hipotenusa corresponde a la impedancia ZS, la base a laresistencia R y la altura a la reactancia X.

qq9 0 °

R

X

22 XRZ S +=

Figura 19: Triángulo de impedancia

Para el circuito paralelo de la figura 18-b, la magnitud de la impedancia (ZP) está dadopor:

22 XR

RZ X

P+

=



Tanto en este caso como en el anterior, X es la magnitud de la reactancia (capacitiva oinductiva). El valor rms de la corriente total IT se evalúan como sigue:

ZV

I TT =

siendo VT el valor rms del voltaje de entras y Z la impedancia (serie o paralelo, segúnel caso) calculada por las fórmulas precedentes.

Si hay dos o más reactancias del mismo tipo en un circuito, la reactancia equivalentese evalúa utilizando las mismas reglas de resistencias conectadas en serie o enparalelo. Por ejemplo, la reactancia equivalente a la asociación de 2 reactancias X1 y X2

en serie es:

21 XXXT +=

del mismo modo, la reactancia equivalente a la asociación de dos reactancias delmismo tipo, X1 y X2 en paralelo es, simplemente:

21

21

XXXX

XT +=

La situación es diferente cuando se combinan, en serie o en paralelo reactancias detipo opuesto, es decir un condensador (reactancia capacitiva) y una bobina (reactanciainductiva), como se muestra en la figura 20. En estos casos, debe tenerse en cuentaque la corriente está adelantada 90° con respecto al voltaje en un condensador yretrasada 90° con respecto al mismo en una bobina.

I T

V T

f

XC

X LV

L

VC

I T

V T

f

X CX L

I L I C

Figura 20: Circuitos con reactancias opuestas

Como resultado de lo anterior, en el circuito serie de la figura 20-a, el voltaje VL através de la reactancia inductiva XL es de polaridad opuesta al voltaje VC a través dela reactancia capacitiva XC. De este modo, si establecemos que XL es positiva y XC esnegativa (una convención muy común), entonces VT=VL-VC y la reactancia resultantees:

CLT XXX −=



Observar que XT es negativa si XC es mayor que XL. Esto significa que la reactanciaequivalente, en este caso es capacitiva y el circuito se comporta como un condensador.

Así mismo, si XC es menor que XL, la reactancia resultante es positiva y el circuito secomporta como una bobina. En el caso particular que XL y XC sean iguales, lareactancia total es cero y el circuito se comporta como un cortocircuito.

Del mismo modo, en el circuito paralelo de la figura 20-b, la corriente IL a través de XL

es de polaridad opuesta a la corriente IC a través de XC. Estableciendo la mismaconvención previa (XL positiva y XC negativa), la corriente a través del circuito esIT=IL-IC y la reactancia equivalente es:

CL

CLT XX

XXX

−−=

Note ahora que XT es negativa (capacitiva) si XL es mayor que XC y positiva (inductiva)si XL es menor que XC. En el caso particular que XL y XC sean iguales, la reactanciatotal es infinitamente grande y el circuito se comporta como un circuito abierto. Detodas formas, XT siempre es menor que la mayor de las reactancias en un circuitoparalelo.

5.2.1 Notación Compleja

Los circuitos constituidos por reactancias y resistencias en cualquier combinación, serieo paralelo, se denominan genericamente circuitos complejos. El término complejoimplica que, debido a los voltajes y las corrientes no están en fase, los valores dereactancia y resistencia no pueden ser combinados artiméticamente, es decir sumadoscomo números reales.

La notación compleja para expresar la impedancia de un circuito serie tiene la forma:

jXRZ ±=

siendo )1(−=j y 12 −=j . La componente resistiva de una impedancia ( R ) se

denomina su parte real y la componente reactiva (X) su parte inmaginaria. Si lareactancia es inductiva, el signo del operador imaginario j es positivo y si es capacitivael signo de j es negativo. Utilizando esta notación, la impedancia de los circuitos RL,RC, RLC serie anteriores puede expresarse como sigue:

)( CLRLC

XCRC

LRL

XXjRZ

jRZ

jXRZ

−+=−=+=

El concepto de impedancia es muy importante por ejemplo en sistemas de sonido; lospreamplificadores para micrófonos de condensador, deben tener una impedancia deentrada muy elevada debido a que estos componentes son de alta impedancia y secomportan como circuitos RC. Del mismo modo, los amplificadores de potencia debentener una baja impedancia de salida debido a que los parlantes a impulsar sondispositivos de baja impedancia y se comportan como circuitos RL.

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