Teorıa de la Dimension en Espacios Vectoriales

Departamento de Matematicas, CCIR/ITESM

14 de enero de 2011

Indice

15.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2. Resultados matematicos necesarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.3. Teorema del intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.4. Teorema fundamental de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.5. Definicion de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.6. Numerologıa en Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.7. Procesos de Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.8. Ejemplos sobre teorıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.9. Ejemplos de calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

15.1. Introduccion

Nuestra meta consiste en decir con precision que cosas deben permanecer fijas en un espacio generado enun espacio vectorial. El concepto teorico importante es el de dimension de un espacio vectorial. El resultadotecnico mas importante es el teorema del intercambio: A partir de el, se deduce que cualquier dos bases a unmismo espacio vectorial deben tener el mismo numero de elementos. Esto permitira definir la dimension deun espacio vectorial.Esta sesion termina con una serie de resultados relativos al numero de elementos de un conjunto generador yde un conjunto linealmente independiente en su relacion con la dimension del espacio vectorial.

15.2. Resultados matematicos necesarios

El resultado matematico importante es el teorema del intercambio, pero para su demostracion se requerienciertos resultados matematicos. En lo siguiente V es un espacio vectorial.El primer resultado dice que si un vector es combinacion lineal de otros entonces el espacio generado con ely esos otros es igual al que generan esos otros vectores. Este resultado tiene varias interpretaciones. En laprimera indica que si un vector es combinacion lineal de los otros y se anade al conjunto generador, entoncesno se genera mas de lo que ya se generaba. En otra interpretacion dice que si tal vector se omite del conjuntogenerador, entonces no se genera menos lo que que ya se generaba:Lema 1

Si y ∈ Gen{x1, . . . ,xn}, entonces

Gen{x1, . . . ,xn,y} = Gen{x1, . . . ,xn}

Demostracion

Claramente Gen{x1, . . . ,xn} ⊆ Gen{x1, . . . ,xn,y}. Entonces, solo deberemos probar la otra con-tencion. Como y ∈ Gen{x1, . . . ,xn}, entonces existen escalares c1, c2,. . . ,cn tales que

y =n∑

i=1

ci xi

Sea ahora v un elemento cualquiera de Gen{x1, . . . ,xn,y}. Por tanto, deberan existir constantesa1,a2,. . . ,an,an+1 tal que:

v = a1 x1 + a2 x2 + · · ·+ an xn + an+1 y

Ası

v = a1 x1 + a2 x2 + · · ·+ an xn + an+1

n∑i=1

cixi

Si desarrollamos y reagrupamos lo anterior obtenemos:

v = (a1 + an+1 · c1) x1 + (a2 + an+1 · c2) x2 + · · ·+ (an + an+1 · cn) xn

lo anterior dice que v es una combinacion lineal de x1, x2,. . . , xn. Por tanto v ∈ Gen(x1, . . . ,xn).Siendo v cualquier elemento de Gen(x1, . . . ,xn,y) esto prueba que

Gen{x1, . . . ,xn,y} ⊆ Gen{x1, . . . ,xn}

La validez de estas dos contenciones prueba que los conjuntos son iguales �

El siguiente resultado requerido dice que si un vector del generado se anade al conjunto generador, el nuevogenerador sera linealmente dependiente:Lema 2

Si y ∈ Gen{x1, . . . ,xn}, entonces {x1, . . . ,xn,y} es linealmente dependiente.

Demostracion

Efectivamente, si y ∈ Gen{x1, . . . ,xn}, entonces existen escalares c1,c2,. . . ,cn tales que

y = c1 x1 + · · ·+ cn xn

por consiguiente:c1 x1 + · · ·+ cn xn − 1 y = 0

La anterior es una combinacion lineal de x1, . . . ,xn,y que da el vector 0 donde el coeficiente de yno es cero. Por tanto, el conjunto {x1, . . . ,xn,y} es linealmente dependiente �

Existen otros resultados basicos que se requieren y que son faciles de deducir:Lema 3

Si el conjunto {v1, . . . ,vn} es linealmente independiente, entonces:

ninguno de los vectores vi es el vector cero.

cualquier subconjunto de el es tambien linealmente independiente.

Demostracion

2

Razonemos por contradiccion: si un vector fuera cero, digamos v1 = 0. Entonces 1 · v1 + 0 ·v2 + · · ·+ 0 vn = 0 y por tanto el conjunto serıa linealmente dependiente. Lo cual contradiceel supuesto.

Razonemos tambien por contradiccion: si un subconjunto de vi fuese linealmente dependiente,tal combinacion lineal se podrıa completar con coeficientes ceros a una combinacion lineal contodos los vi y por tanto el conjunto con todos los vi serıa linealmente dependiente. Lo cualcontradice el supuesto �

El siguiente resultado da operatividad a la demostracion del teorema del intercambio:Lema 4

Suponga que u1 6= 0. Si el conjunto {u1,u2, . . . ,un} es linealmente dependiente, entonces existeun vector ui que es combinacion lineal de los vectores anteriores u1, . . . ,ui−1. (Ası i > 1)

Demostracion

Si el conjunto es linealmente dependiente, existen constantes c1,c2,. . . ,cn no todos cero tal que:

c1 u1 + c2 u2 + · · ·+ cn un = 0.

Definimos i el ındice mayor (entre 1 y n) tal que ci 6= 0. Note que tal entero existe pues hay almenos un cj diferente de cero. Por consiguiente, los cj posteriores a ci son cero, y ası la formulaprevia queda:

c1 u1 + c2 u2 + · · ·+ ci ui = 0 con ci 6= 0

Observe que i > 1, pues en caso contrario lo anterior quedarıa c1 v1 = 0. Como c1 6= 0 se tendrıau1 = 0 lo cual es contrario a la hipotesis. De donde obtenemos:

ui = −c1ci

u1 −c2ci

u2 − · · · −ci−1ci

ui−1

Lo anterior nos dice que ui es combinacion lineal de los vectores previos en la lista �

Un resultado teorico tambien util es el siguiente:Lema 5

Suponga que y /∈ Gen(x1, . . . ,xn) y que el conjunto {x1, . . . ,xn} es linealmente independiente.Entonces {x1, . . . ,xn,y} tambien sera linealmente independiente.

Demostracion

Razonemos por contradiccion. Supongamos que el conjunto {x1, . . . ,xn,y} es linealmente depen-diente. Aplicando el lema 3 se tiene que x1 6= 0, entonces por el lema 4 existe un vector que escombinacion lineal de los anteriores: tenemos solo dos alternativas. Que sea un xi o que sea y. Sifuera un xi deberıa ser combinacion de los elementos anteriores, o sea de los mismos xj . Por tanto,el conjunto de los xj deberıa ser linealmente dependiente. Esto contradice el supuesto. Si el vectorque es combinacion lineal de los anteriores fuera y esto dirıa que y ∈ Gen(x1, . . . ,xn). Esto tambiencontradice el supuesto. Esta contradiccion en todas las alternativas indica que {x1, . . . ,xn,y} nopuede ser linealmente dependiente. Ası, debe ser linealmente independiente �

3

15.3. Teorema del intercambio

El siguiente teorema se conoce como el teorema del intercambio y recibe su nombre por la forma como esdemostrado. La demostracion se centra en la segunda afirmacion: Se prueba que todo conjunto linealmenteindependiente tiene a lo mas m elementos, siendo m el numero de elementos de un conjunto generador delespacio. En la demostracion, se toma un vector del conjunto linealmente independiente y se introduce vectora vector en un conjunto que genera. Como el conjunto sigue generando y es dependiente, es posible sacarun elemento del conjunto inicial que genera: Es decir, se intercambia un elemento que genera por uno delconjunto linealmente independiente.Teorema

Si un espacio vectorial V es generado por m vectores. Entonces cualquier subconjunto que contengamas de m vectores es linealmente dependiente. En otras palabras, todo subconjunto linealmenteindependiente de V tiene cuando mucho m vectores. En otras palabras, si B1 es un conjunto devectores de V linealmente independiente y B2 es un conjunto de vectores que genera a V entonces

#(B1) ≤ #(B2) (1)

DemostracionSuponga que

B1 = {x1,x2, . . . ,xn}

es un conjunto linealmente independiente de V y que

B2 = {y1,y2, . . . ,ym}

genera a V . Defina C0 = B2. A partir de C0 defimos el conjunto

A1 = {x1,y1,y2, . . . ,ym}

(A1 es C0 donde de ha anadido x1 al frente del conjunto) Por el lema 1, V = Gen(A1). Por el lema 2, A1

es linealmente dependiente. Por el lema 3, al ser B1 linealmente independiente, ninguno de los vectores xi esigual al vector cero. Por el lema 4, existe un elemento de A1 que es combinacion lineal de los anteriores, portanto debe ser un yi1 el que es combinacion lineal de los anteriores. Por el lema 1, este vector yi1 puede serremovido de A1 y el conjunto resultante sigue generando V . Definamos

C1 = {x1,y1,y2, . . . ,yi1−1,yi1+1 . . . ,ym}

Note que en C1, es C0 pero se ha anadido x1 y se ha eliminado un vector yi1 y se cumple V = Gen(C1). Apartir de C1 definimos el conjunto:

A2 = {x2,x1,y1,y2, . . . ,yi1−1,yi1+1 . . . ,ym}

Nuevamente: Por el lema 1, V = Gen(A2). Por el lema 2, A2 es linealmente dependiente. Se tiene tambienque x2 6= 0, y ası por el lema 4, existe un elemento de A2 que es combinacion lineal de los anteriores, portanto debe ser un yi2 el que es combinacion lineal de los anteriores. Si fuera un vector xj combinacion de losanteriores se contradice el hecho que los vectores x’s forman un conjunto linealmente independiente. Por ellema 1, este vector yi2 puede ser removido de A2 y el conjunto resultante sigue generando V . Definamos

C2 = {x2,x1,y1,y2, . . . ,yi1−1,yi1+1 . . . ,yi2−1,yi2+1 . . . ,ym}

Note que en C2, es C1 pero se ha anadido x2 y se ha eliminado un vector yi2 y se cumple V = Gen(C2). Conti-nuamos de esta manera anadiendo uno a uno vectores x’s y sacando un vector y. La situacion continuara hasta

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que uno de los conjuntos B1 o B2 se haya agotado. Si se agoto B1, eso significa que #(B1) ≤ #(B2) quees lo que se desea probar. Si se agoto B2 antes que B1, eso significarıa que todos los vectores y’s salieron yquedo un vector xj sin entrar. Pero tal situacion es imposible pues en el correspondiente Cj−1 = {xj−1, . . . ,x1}genera a todo V y xj ∈ V y por tanto

{xj ,xj−1, . . . ,x1}

serıa linealmente dependiente contradiciendo que B1 es linealmente independiente (Lema 5). Por consiguientela unica posibilidad que se puede tener es que B1 se agoto probando que #(B1) ≤ #(B2) �

15.4. Teorema fundamental de la dimension

Habiendo probado el teorema del intercambio, probar que dos bases cualquiera tienen el mismo numero deelementos es facil:Teorema

Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos, entonces cualquier otra base de V tambientiene n elementos.

Demostracion

Sean dos bases para V : B1 y B2 una con n elementos y otra con m elementos, respectivamente.Entoces utilizando primeramente que B1 (al ser base) genera a V y que B2 (al ser base) eslinealmente independiente en V se deduce por el teorema del intercambio que m ≤ n. Por otrolado, si ahora se usa que B2 genera a V y que B1 es linealmente independiente en V se deduce porel teorema del intercambio que n ≤ m. Por tanto, m = n �

15.5. Definicion de la dimension

El anterior resultado afirma que cualquiera dos bases para un mismo espacio vectorial tienen el mismonumero de elementos. Por consiguiente, la siguiente definicion es valida:Definicion

Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos, se dice que V es dimensional finito, yque n es la dimension de V . Se expresa:

dim(V ) = n

15.6. Numerologıa en Espacios Vectoriales

En un espacio vectorial y relativos a su dimension existen cierto resultados sobre las cantidades de elementosde conjuntos generadores o conjuntos linealmente dependientes o independientes.El siguiente resultado define lımites maximos y mınimos para el numero de elementos de conjuntos que sonlinealmente independientes o que generan a un espacio.Teorema

Sea V un espacio vectorial de dimension n, y S un subconjunto con m elementos.

1. Si S es linealmente independiente, entonces m ≤ n. Equivalentemente: si n < m, S es lineal-mente dependiente.

Un conjunto con mas elementos que la dimension del espacio que los contiene eslinealmente dependiente. Pero tener menos que n no es garantıa de que sea l.i.

2. Si S genera a V , entonces m ≥ n. Equivalentemente: si m < n, S no puede generar a V .

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Un conjunto con menos elementos que la dimension no puede generar el espacio quelo contiene. Pero tener mas que n no es garantıa para generar.

Demostracion

Sea B una base para V , ası #(B) = n.

1. Como B es base, B genera a V . Si S es linealmente independiente el teorema del intercambioafirmarıa:

m = #(S) ≤ #(B) = n

2. Como B es base, B es linealmente independiente. Si S genera a V el teorema del intercambioafirmarıa:

n = #(B) ≤ #(V ) = m

El siguiente resultado indica que si se ha alcanzado un cierto numero de elementos y respecto al numerode elementos de la base, entonces se tienen otras propiedades.Teorema

Sea V un espacio vectorial n dimensional, y sea S un conjunto con n elementos.

1. Si S es linealmente independiente, entonces S genera a V . Es decir, S es base.

2. Si S genera a V , entonces S es linealmente independiente. Es decir, S es base.

Demostracion

Sea B una base de V con n elementos.

1. Si S no generara a V entonces existirıa y ∈ V −Gen(S). Por el lema 5, S′ = S ∪ {y}, deberıaser linealmente independiente. Pero esto es imposible pues S′ tiene n + 1 elementos.

2. Si S no fuera linealmente independiente, entonces serıa linealmente dependiente. Y por tantoexistirıa un elemento de S que es combinacion lineal de los restantes. Los resultados quehemos desarrollado indican que si tomamos como S′ el conjunto que queda de S despues deeliminar el elemento que es combinacion lineal de los otros se tiene Gen(S′) = Gen(S). Peroesta generacion es imposible pues S′ tiene n− 1 elementos.

El siguiente resultado indica cuando se pueden extender conjuntos linealmente independientes o reducir con-juntos generadores para tener una base de un espacio vectorial.Teorema

Sea V un espacio vectorial n dimensional, y S un conjunto con m elementos.

Si S es linealmente independiente y m < n, entonces S se puede ampliar a una base.

Si S genera a V , entonces S contiene una base.

La aplicacion referida en el primer inciso se obtiene primeramente eligiendo una base y despues simulando elproceso del intercambio de un elemento de la base por uno del conjunto linealmente independiente. Una basepuede ser obtenida de un conjunto generador primero identificando aquellos vectores que sean combinacionlineal de los restantes y posterioremente eliminandolos.

El siguiente resultado indica como deben ser las dimensiones de los subespacios respecto a la dimensiondel espacio que los contiene.Teorema

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Sea W un subespacio de un espacio vectorial V de dimension n. Entonces

dim(W ) ≤ n. Es decir, la dimension de un subespacio no puede exceder la dimension delespacio que lo contiene.

dim(W ) = n si y solo si W = V Es decir, el subespacio es el total del espacio cuando sudimension alcanza la dimension del espacio que lo contiene.

15.7. Procesos de Calculo

Nuestros principales procesos referentes a la dimension de un espacio o subespacio vectorial son los siguein-tes:

En el caso de espacios generados:El numero de pivotes en la matriz reducida es la dimension del espacio generado.

En el caso de sistemas de ecuaciones lineales homogeneos:El numero de variables libres es la dimension del espacio lineal.

Note que en sistemas no homogeneos el concepto de dimension no aplica pues el conjunto de soluciones no esun espacio vectorial.

15.8. Ejemplos sobre teorıa

Veamos algunos ejemplos donde participa directamente la teorıa:Ejemplo 15.1Suponga que en un espacio vectorial V existe un conjunto linealmente independiente B1 con 4 elementos,entonces la dimension del espacio sera . . .

A mayor o igual que 4

B menor o igual que 4

C igual a 4

D menor que 4

E mayor que 4

SolucionLa respuesta correcta es A : Sea B2 una base para V , ası dim(V ) = #(B2). Como B2 una base para V , B2

genera a V . Siendo B1 linealmente independiente el teorema del intercambio afirma que

4 = #(B1) ≤ #(B2) = dim(V ).

Por tanto, la dimension de V es mayor o igual que 4 �

Ejemplo 15.2Suponga que en un espacio vectorial V con dimension 7 el subconjunto B tiene 7 elementos diferentes, ¿sepuede decir que B es base?

A Falso

B Cierto

7

SolucionLa respuesta correcta es A : hay mucha distancia entre un conjunto con vectores diferentes entre si y un conjun-to que es base. Por ejemplo, si v 6= 0, entonces son diferentes todos los vectores del conjunto {v, 2 v, 3 v, 4 v, . . .}y este es linealmente dependiente. �

Ejemplo 15.3Suponga que en un espacio vectorial V existe un conjunto generador B1 con 8 elementos, entonces la dimensiondel espacio sera . . .

A igual a 8

B mayor que 8

C menor o igual que 8

D mayor o igual que 8

E menor que 8

SolucionLa respuesta correcta es C : Sea B2 una base para V , ası dim(V ) = #(B2). Como B2 una base para V , B2

es linealmente independiente. Siendo B1 un conjunto generador para V , el teorema del intercambio afirma que

dim(V ) = #(B2) ≤ #(B1) = 8.

Por tanto, la dimension de V es menor o igual que 8 �

Ejemplo 15.4Suponga que en un espacio vectorial V con dimension 8, un subespacio W tiene un conjunto linealmenteindependiente con 8 elementos, entonces

A W ⊆ V (Contenido con la posibilidad de la igualdad)

B W = V

C W ⊂ V (Contenido pero sin la posibilidad de la igualdad)

SolucionSe deduce que 8 ≤ dim(W ) ≤ dim(V ) = 8. Por tanto, dim(W ) = dim(V ) y ası W = V �

15.9. Ejemplos de calculo

Veamos algunos ejemplos donde participa directamente la teorıa:Ejemplo 15.5Determine la dimension del subespacio:

Gen

−6

511

,

−4

5−2

2

,

−42

40−111

,

16−10−8

0

SolucionFormando la matriz aumentada y aplicando Gauss-Jordan tenemos:

−6 −4 −42 165 5 40 −101 −2 −1 −81 2 11 0

→

1 0 5 −40 1 3 20 0 0 00 0 0 0

8

¿Que significa el calculo anterior? Si hubieramos puesto armado la matriz aumentada con la parte de coefie-cientes hasta el segundo vector quedarıa:

−6 −4 −42 165 5 40 −101 −2 −1 −81 2 11 0

→

1 0 5 −40 1 3 20 0 0 00 0 0 0

Lo cual dirıa que los vectores 3 y 4 son combinacion lineal de los vectores 1 y 2. Por tanto,

Gen {v1, v2, v3, v4} = Gen {v1, v2}

El mismo calculo indica que el conjunto formado por los vectores 1 y 2 son linealmente independientes. Porlo tanto, los vectores 1 y 2 son una base para el espacio. Por tanto, la dimension es 2 �

Ejemplo 15.6Determine la dimension del subespacio que generan las polinomios:

{−2− x− 2x2, 1 + 5x + x2 − 2x3, 2 + x− x3, 3− 3x− 3x2 − x3}

SolucionFormando la matriz aumentada de los polinomios vectorizados y aplicando Gauss-Jordan tenemos:

−2 1 2 3−1 5 1 −3−2 1 0 −3

0 −2 −1 −1

→

1 0 0 10 1 0 −10 0 1 30 0 0 0

Por la nota anterior, la dimension es el numero de pivotes de la matriz reducida. Por tanto, la dimension es 3 �

Ejemplo 15.7Determine la dimension del subespacio que generan las matrices:{[

2 −22 −1

],

[1 −10 1

],

[1 2−2 1

],

[−2 −1

1 −1

]}Solucion

Formando la matriz aumentada de las matrices vectorizadas y aplicando Gauss-Jordan tenemos:2 1 1 −2−2 −1 2 −1−2 0 −2 1−1 1 1 −1

→

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Por la nota anterior, la dimension es el numero de pivotes de la matriz reducida. Por tanto, la dimension es 4 �

Ejemplo 15.8Determine la dimension para el subespacio de R3 formado por las soluciones al sistema:

6x− 5 y − 3 z = 0

−12x + 10 y + 6 z = 0

36x− 30 y − 18 z = 0

9

SolucionAl formar la aumentada y al aplicar Gauss-Jordan: 6 −5 −3 0

−12 10 6 036 −30 −18 0

→ 1 −5/2 −1/2 0

0 0 0 00 0 0 0

Por tanto, x

yz

= y

5/210

+ z

1/201

Por tanto, la dimension del espacio lineal es 2 �

Ejemplo 15.9Extienda el siguiente conjunto de vectores a una base para R3:

B =

v1 =

11−1

, v2 =

1−1

1

Solucion

En este caso tenemos la libertad de escoger una base de donde tomar vectores para completar la base. Elijamosentonces la base canonica: e1 =

100

, e2 =

010

, e3 =

001

Para determinar adecuadamente la seleccion de vectores formamos y reducimos la matriz:

[v1 v2|e1 e2 e3]→

1 0 1/2 0 −1/2

0 1 1/2 0 1/2

0 0 0 1 1

Por consiguiente una base que extiende a B es B ∪ {e2}.

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