Fundamentos de Electromagnetismo y ptica

M.V. Garca-Cuenca Varona Fundamentos de Electromagnetismo y ptica Grupo M2. Curso 2014- 2015. Versin revisada de la primera publicacin en el curso 2010-2011. Dra. M Victoria Garca-Cuenca Varona. Prof. Titular del Departamento de Fsica Aplicada y ptica. Facultad de Fsica. Prlogo EltextoexponelostemasdeFsicaquefiguranenelPlanDocentedelaasignatura Fonamentsd'ElectromagnetismeipticadelsegundosemestredelGradoenFsicadelaUB. Los contenidos reflejan fielmente la materia que se explica en las clases de teora y al estudiante seleevaluarconcuestionesyproblemasconcernientesaellos.Sepublicacomoreferente bsico de estudio para corregir, o en su caso substituir, los apuntes que el estudiante puede tomar en clase. Se complementa con los dos cuestionarios que se proponen para cada tema en el curso del Campus Virtual (Fonaments d'Electromagnetisme i ptica. Grup M2*). Adems, en este curso se publica tambin una coleccin de problemas, parte de los cuales se resuelve en las clases de problemas. *https://campusvirtual2.ub.edu/course/view.php?id=21991 El uso de los apuntes facilita el estudio de la materia, que se imparte y se evala, pero no deberaexcluirlaconsultadelibrosquedesdeluegoincluyenmscontenidos,porejemplo, artculos sobre temas de actualidad en Fsica, descripcin de experimentos, notas biogrficas, etc. Adems, obviamente, en los libros se puede ampliar el estudio de esta parte de la Fsica a temas queporrazonesdetiempo,prioridadoniveldeconocimientosprevios,noestnincluidosenel programadelaasignatura.Seaconsejaconsultarlibrosdereconocidoprestigioymbitode publicacininternacionalcomolosqueserecomiendanenlaBibliografaincluidaenelPlan Docente.Loscontenidosdeestoslibrossonrevisadosensucesivasedicionesparaasegurarsu fiabilidadypublicadosconimportantesmedioseditorialesquelesconfierenpresentacionesmuy atractivas.Entrelostextosrecomendados,elTipler(TiplerMosca,Fsica,vol.2,Ed.Revert, Barcelona, 2010, 6 edicin) hace aos que es un referente en la Facultad de Fsica de la UB. EltextosepublicaabiertamenteparalosestudiantesenelcursodelCampusVirtualcon fines exclusivamente didcticos. Una parte de las figuras que incluye procede del material que la editorial del Tipler** pone a libre disposicin de los profesores para uso didctico. **http://bcs.whfreeman.com/tiplerphysics5e/default.asp?s=&n=&i=&v=&o=&ns=0&t=&uid=0&rau=0 El temario est formado por varios grupos de temas: Electrosttica, Temas 1-3. Se estudian fenmenos de interaccin elctrica entre cargas en reposo. Todo lo concerniente es invariable con el tiempo. Electrocintica,Tema4.Sedescribenpropiedadesdelascorrientesponiendonfasisen las estacionarias o continuas que son invariables con el tiempo. Se estudian propiedades de los circuitos de corriente continua. Magnetosttica, Tema 5. Se estudian fenmenos de interaccin magntica entre corrientes estacionariasy/oimanesenreposo.TodoloconcernienteesinvariableconeltiempoSe considera la accin magntica sobre cargas en movimiento. InduccinyCorrienteAlterna,Temas6y7.Seconsideralaexistenciadeunflujode campo magntico variable con el tiempo y su consecuencia, la induccin electromagntica. Enloscircuitosdecorrientealternalaintensidadesunafuncinarmnicadeltiempoe interviene la induccin. En el contexto de estos temas la variacin con el tiempo es lenta, el estudio se refiere a fenmenos quasi-estacionarios. Ecuaciones de Maxwell, Tema 8. Se revisan a un nivel introductorio las contribuciones de Maxwell,asaber,lageneralizacindeloestablecidoenelTema6comovlidopara fenmenosrpidamentevariablesconeltiempoylaexistenciadelaCorrientede Desplazamiento. Se consideran las ecuaciones de Maxwell y se tratan brevemente algunos conceptos relativos a las ondas electromagnticas. ptica Geomtrica, Temas 9-11. El estudio se limita al mbito de la ptica Geomtrica en elquelalongituddeondadelaluzespequeaencomparacinconeltamaodelas aberturasuobstculosqueencuentraensupropagacin.Seestudialareflexiny refraccin, la formacin de imgenes y algunos instrumentos pticos. ndice Tema 1. Campo elctrico 1.1 Carga elctrica. Distribuciones de carga.1 1.2 Fuerza de Coulomb.4 1.3 Campo elctrico creado por cargas puntuales y distribuciones de carga.5 1.4 Flujo del campo elctrico. Teorema de Gauss.7 1.5 Circulacin del campo elctrico.11 1.6 Accin de un campo sobre un dipolo.12 Tema 2. Potencial elctrico 2.1 Potencial elctrico y energa potencial elctrica.152.2 Superficies equipotenciales. Gradiente de potencial.182.3Energa de un sistema de cargas puntuales.21 Tema 3. Conductores 3.1 Conductor en equilibrioelectrosttico.23 3.2 Capacidad. Energa electrosttica de formacin.25 3.3 Influencia electrosttica.27 3.4 Condensadores.29 Tema 4. Corriente elctrica 4.1 Corriente elctrica. Densidad e intensidad de corriente.33 4.2 Ecuacin de continuidad. Corrientes estacionarias.35 4.3 Ley de Ohm. Resistencia. Asociacin de resistencias. 36 4.4 Generadores. Fuerza electromotriz. Balance de energa.38 4.5 Anlisis de circuitos de corriente continua. Leyes de Kirchhoff.40 Tema 5. Campo magntico 5.1 Campo magntico. 43 5.2 Flujo del campo magntico.47 5.3 Circulacin del campo magntico. Teorema de Ampre.47 5.4 Fuerza magntica.48. 5.5 Momento de las fuerzas magnticas. Momento magntico.50Tema 6. Induccin electromagntica 6.1 Induccin electromagntica. Ley de Faraday.53 6.2 Autoinduccin. Induccin mutua. 57 6.3 Transitorio del circuito R-L.59 6.4 Energa magntica. Densidad de energa.60 Tema 7. Corriente alterna 7.1 Corriente alterna.63 7.2 Circuito RLC en serie. Ley de Ohm en corriente alterna. Impedancia.65 7.3 Asociacin de impedancias.71 7.4 Potencia en circuitos de corriente alterna.74 7.5 Resonancia.75 7.6 Transformador.81 Tema 8. Ecuaciones de Maxwell. Ondas Electromagnticas 8.1 Ecuaciones de Maxwell. Campo electromagntico. 83 8.2 Ondas electromagnticas. 86 8.3 Propagacin de energa.89 8.4 Espectro electromagntico. 90 Tema 9. Reflexin y Refraccin de la luz.9.1 Rayos luminosos. ndice de refraccin.91 9.2 Reflexin. Refraccin.92 Tema 10. Espejos, dioptrios y lentes delgadas. 10.1 Formacin de imgenes por reflexin. Espejos planos.97 10.2 Espejos esfricos.98 10.3 Formacin de imgenes por refraccin. Diptricos.102 10.4 Lentes delgadas.105 10.5 Aberraciones: esfrica y cromtica.104 Tema 11. Instrumentos pticos 11.1 El ojo,111 11.2 La lupa.113 11.3 El microscopio.115 11.4 El telescopio.115 11.5 Cmara fotogrfica.116 M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 1.1 Tema 1. Campo elctrico 1.1 Carga elctrica. Distribuciones de carga. 1.2 Fuerza de Coulomb. 1.3 Campo elctrico creado por cargas puntuales y distribuciones de carga. 1.4 Flujo del campo elctrico. Teorema de Gauss. 1.5 Circulacin del campo elctrico. 1.6 Accin de un campo sobre un dipolo. 1.1Carga elctrica. Distribuciones de carga-Fuerza elctrica y carga elctrica. Lasfuerzasqueactananivelmacroscpicoderivandelasfuerzasqueseejercenlas partculas atmicas. Entre los nucleones, protones y neutrones, actan las fuerzas nucleares que se manifiestan a distancias comparables al tamao del ncleo, 10-15 m. A distancias comparables altamaodeltomo,10-10m,ymayores,lasfuerzasnuclearesnoseaprecianysoloactanla fuerza gravitatoria y la fuerza elctrica. La fuerza elctrica es como la fuerza gravitatoria inversamente proporcional al cuadrado de la distanciaqueseparalaspartculas.Otraanalogaesque,ascomolafuerzagravitatoriaes proporcional a la masa, la fuerza elctrica es proporcional a otra propiedad de la materia, la carga elctrica. Una diferencia importante es que la fuerza gravitatoria siempre es atractiva, en cambio la elctrica es atractiva o repulsiva. Dos protones se repelen, dos electrones se repelen, un electrn yunprotnseatraen,elmdulodelafuerzaentodosloscasoseselmismo.Elneutrnno experimentaningunainteraccinelctrica.Estasobservacionessonconsecuenciadequehay dostiposdecarga,ladelprotnqueconsideramospositivayladelelectrnqueconsideramos negativa y que son iguales en valor absoluto. La unidad de carga es el coulomb, C,y la carga del protn tiene un valor qp=1,6x10-19 C, el neutrn no tiene carga. Si comparamos cuantitativamente la fuerzas elctrica Fe y gravitatoria Fg entre un protn y un electrnresultaFe/Fg=2,3x1039.Estecasoilustraelhechodequelafuerzaelctricaesmucho ms intensa que la gravitatoria. Sin embargo, a nivel macroscpico la fuerza gravitatoria entre dos objetos est siempre presente mientras que la elctrica en la mayora de los casos es nula. Esto sedebeaquelamateriaesneutra,enuntrozodematerialelnmerodeprotonesyelde electrones es el mismo, la carga elctrica neta es nula y no interacciona elctricamente de forma directa. M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 1.2 Lafuerzaelctricamantienecohesionadalamateria.Adems,semanifiestadirectamente cuandolamateriaestcargada(faltaoexcesodeelectronesoprotones)eindirectamentea travs de las fuerzas que actan a nivel macroscpico y que, excepto la gravitatoria, son de origen elctrico, por ejemplo, el rozamiento o la tensin en una cuerda. Ni que decir tiene, que la fuerza elctrica juega un papel fundamental en todos los fenmenos elctricos y electrnicos. Lacargaelctricaestcuantizada,lamateriapuedeperderoganarnveceslacargadel electrn que es el cuanto de carga estable. Por otra parte una ley fundamental de la naturaleza es laconservacindelacarga,porejemplounneutrnpuededesintegrarseenunprotnyun electrn siendo la carga inicial y final iguales, ambas nulas. -Materia cargada. Lamateriasepuedecargarpordiferentesprocesosalgunosseilustranconlosejemplos siguientes: Por friccin. Si una varilla de vidrio se frota con un pao de seda, el vidrio pierde electronesyquedacargadopositivamente.Loselectronespasanala seda que queda cargada negativamente. Si se frota plstico con lana, el plstico se carga negativamente. La transferencia de electrones es hacia el material con mayor afinidad electrnica

Por polarizacin. Los antiguos griegos conocan que al frotar el mbar este atraa objetos ligeros como por ejemplo plumas, el nombre griego del mbar escrito con nuestro alfabeto es electrn, de aqu vienenlaspalabraselctrico,electricidad,etc.Comoocurreconelmbar,si frotamos una varilla de vidrio con seda podemos ver, despus, que la varilla atrae trocitosdepapel.Estefenmenoesdebidoalapolarizacindelpapel,lacarga positiva se desplaza en un sentido y la negativa en sentido contrario (Fig.1.2). La carga total o neta del papel es nula pero localmente queda cargado y se observa laatraccin.Enunaislante,comoelpapel,lacargasepuededesplazarsolo distancias microscpicas. Por influencia y conduccin. LaredistribucindecargaenlasdosseriesdelasFigs.1.3y1.4sebasaenqueenun conductorunapartedeloselectrones,losllamadoslibres,sepuedendesplazardistancias macroscpicas, por ejemplo desde un extremo al otro del conductor

Por irradiacin. Un material se puede irradiar con diferentes tipos de partculas, como protones, electrones, fotones,etc.Comoconsecuenciadelairradiacinelmaterialemitepartculas,elbalancede carga, entre la incidente y la emitida, resultar en la carga neta del material. Fig.1.4. En b) electrones procedentes de tierra llegan al conductor a travs del hilo y se recombinan con las cargas positivas. En c) se corta el hilo y el conductor queda con carga neta. En d) las cargas se alejan lo mximo posible, se sitan en la superficie. Fig.1.3. En a) las dos bolas en contacto son un nico conductor, la varilla atrae un cierto nmero de electrones y repele las correspondientes cargas positivas (falta de electrones) que se alejan lo ms posible. En b) cuando las bolas se separan y la varillasealejatenemosdosconductorescargados.Enc)losconductoressealejanlosuficientecomoparaquenohaya atraccin entre ellos y la carga de cada conductor se distribuye homogneamente en su superficie. Fig.1.1Fig.1.2M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 1.3 Porejemplo,enelefectofotoelctricoelmaterialabsorbefotones,emiteelectronesy quedacargadopositivamente.Sielmaterialesaislantecadacargapositiva,cadafaltade electrn, queda inmvil en el sitio en el que se produjo la emisin, las cargas quedan distribuidas en el volumen. Si el material es conductor las cargas que se han generado enelvolumensepuedenmoverysealejanloms posibletrasladndosealasuperficie,enestecasola distribucin de carga es superficial. -Distribuciones de carga. Volmica. La carga total Q est distribuida con densidad en un volumen v. La densidad volmica de carga se define como: con unidades de C/m3,evidentemente La densidad de carga es uniforme si tiene el mismo valor en todos lospuntos. Sinoesuniforme,seconsideraencadapuntounentorno de volumen muy pequeo dv (un diferencial de volumen) y la carga dq que hay en l, la densidad de carga se define entonces como:(1.1)la carga total es la suma de todos los diferenciales de cargadv dq = . o bien Superficial Anlogamente,silacargaestdistribuidaenunasuperficiesedefineladensidad superficial de carga como: C/m2 y o bien (1.2) y Lineal Si la carga est distribuida en una lnea se define la densidad lineal de carga como: C/m y o bien (1.3) y Tambinseconsideranamenudocargaspuntuales.Unadistribucindecarga,decualquier tipo y geometra y con carga neta q, se considera una carga puntual q si se observa desde una distancia grande en comparacin con sus dimensiones. A distancias tales solo importa el valor de la carga y no como est distribuida. Podemos remarcar que, en realidad, la carga siempre est distribuida en un volumen, Considerar unadistribucinsuperficial,unadistribucinlinealounacargapuntualsonaproximacionestiles dentro de ciertos lmites. v = Q dq = Qdq}dvdq = SQ= S Q =l Q =dldq= vQ = dSdq= lQ= ds = Qs}dl = Ql}Fig.1.5 Fig.1.7 Fig.1.8Fig.1.6dv = Qv} M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 1.4 1.2 Fuerza de Coulomb Coulomb (Francia 1736) determinexperimentalmente la fuerza que se ejercan dos esferas cargadasysituadasaunadistanciagrandeencomparacinconsusradios.LaleydeCoulomb describelafuerzaentredoscargaspuntualesqyqseparadasunadistanciar.Laexpresin matemtica de la fuerza que q ejerce sobre q es: (1.4) Elvectorrtienepororigenelpuntodondeestsituadaqypor extremoelpuntodondeestsituadaq.Elvectorfuerzatiene puntodeaplicacinenq,ladireccinder yelmismosentido quersilascargastienenelmismosigno,ysino,sentido contrario.PodemosremarcarqueF

= n ryelnesunescalarpositivoonegativodependiendo de los signos de las cargas.

Introduciendoelvectorunitariourenladireccinysentido de r , la ley se escribe: siendo El mdulo de la fuerza es estrictamente positivo: Laconstante0(permitividaddielctricadelvaco)tieneunvalorquesepuederecordaren base a que dos cargas de 1 C situadas a la distancia de 1 m se repelen con una fuerza de (muy aproximadamente) 9x109 N La fuerza F

que q ejerce sobre q se describe de forma anloga con el vector de r= r . Esta fuerza, F

, y la anterior, F

, son las dos fuerzas de accin y reaccin. Sihayvariascargasejerciendoaccinsobreqsecumpleelprincipiodesuperposicin: Cada carga acta como si las otras no estuvieran presentes y la fuerza resultante sobre q es la suma vectorial de todas las fuerzas. EnelejemplodelaFig.1.12lafuerzaresultante sobre q es: En general si hay n cargas que ejercen fuerza sobre q la resultante ser: rr' q q 41=F30rrur=ur' q q 41=F r20==n1 iiF F r' q q 41= F20209m 1C 1 C 141= N 10 9Fig.1.10Fig.1.11. Aqu q y q tienen el mismo signo. (1.5) Fig.1.9 2 121 iiF F F F + = = =Fig.1.12. Aqu las tres cargas tienen el mismo signo.M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 1.5 1.3 Campo elctrico creado por cargas puntuales y distribuciones de carga. - Campo elctrico creado por una carga puntual. La fuerza entre cargas puntuales es el resultado de dos procesos: Creacin de campo: q crea en todos los puntos un campo elctricoestn o no presentes otras cargas. Elvectortienepororigenelpuntodondeestsituadaqyporextremoelpunto considerado. El campotiene la misma direccin y el mismo sentido que si q>0 y sentido contrario si q0 o bien q0 y q>0.Fig.1.15 (1.6) (1.7) (1.8) ErrM.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 1.6 Ejemplos: Esimportanteaclararqueelcampoelctricoalquenosreferimosenestetema,yenlos siguientes de electrosttica, es creado por cargas en reposo, estrictamente se trata de un campo electrosttico, para simplificar usamos la denominacin de campo elctrico. -Campo elctrico creado por distribuciones de carga Distribucin volmica. Dividimos la distribucin en elementos de volumen dv. Cada uno de estos elementos tiene unacargadq= dv ylapodemosidentificarconunacargapuntualdelapartadoanterior, dqqi, cada dq crea un campo dE

La expresin del campo total se obtiene sustituyendo el sumatorio de la ecuacin (1.8) por una integral: Distribucin superficial En este caso dq= dS y de forma anloga: Distribucin lineal En todos los casos, el vector r va desde el elemento de carga dq al punto considerado y al hacerlaintegralelorigendelvectorrecorretodaladistribucin.Algunosejemplosde distribucin lineal se muestran en la Fiig.1.19. dvrr 41= rrdq 41= E d3030dvrr 41= E3v0}}=dqE d E } a pasadSrr 41= E3S0}l drr 41= E3l0}Fig.1.16 Cunto vale el campo elctrico en el centro del cuadrado? Fig.1.17 Cules son la direccin, sentido y mdulo del vector campo elctrico en el centro del cuadrado? Cules son en el punto P? Fig.1.18 (1.9) (1.10)(1.11) Fig.1.18bM.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 1.7 1.4 Flujo del campo elctrico. Teorema de Gauss. -Lneas de campo. Dan informacin sobre la direccin, sentido y mdulo del campo. La direccin en un punto es la de la tangente a la lnea en ese punto y el sentido se indica con una flecha sobre la lnea. En cuanto al mdulo, la representacin se hace de forma que dondeEeselmdulodelcampoyAunaconstantequedependedelarepresentacin.Por ejemplo, si el campo es el creado por una carga puntual q>0 como superficie perpendicular a las lneassepuedetomarunasuperficieesfricaderadiorconcentroenlacarga,llamemosnal nmero total de lneas que salen de q y tenemos En una figura el valor de A est fijado, si a una carga q le corresponden n lneas a una carga 2q le corresponden 2n lneas porque el mdulo del campo es el doble. En otra figura el valor de A ser en general diferente y a la misma carga q le corresponder otro nmero de lneas. Algunas propiedades son: Laslneasdelcampoelectrostticotienenprincipioyfin,sedicequesonlneasabiertas, empiezan en las cargas positivas y acaban en las negativas. Tambin pueden empezar en las cargaspositivasyacabarenelinfinitooempezarenelinfinitoyacabarenlascargas negativas. Si el mdulo del campo aumenta las lneas se acercan y viceversa. Encadarepresentacinelnmerodelneasquecorrespondea2qeseldobledelque corresponde a q, etc. Las lneas no pueden cortarse porque la direccin del campo en cada punto es nica. Ejemplos de lneas de campo E Alneas) las a (superf. SS atraviesan que lneas de n=Fig.1.19. Representacin geomtrica para calcular el campo que crea un anillo de carga en un punto de su eje. Fig.1.21Fig.1.20. Representacin geomtrica para calcular el campo que crea una varilla cargada en un punto de su mediatriz. 202r 4qAr 4n=M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 1.8 -Flujo del campo elctrico. Flujoenelcasoparticulardecampouniformeysuperficieplanayperpendicularalas lneas. Por definicin el flujo es: como Vemos que el flujo es como el nmero de lneas que atraviesan la superficie salvo una constante. Flujo en el caso particular de campo uniforme y superficie plana inclinada:El flujo a travs de S es el mismo que a travs de S1, porque el n de lneas que atraviesa es el mismo, para la superficie S1 estamos en el caso anterior por tanto: siendo el vectorperpendicular a la superficie y con mdulo igual a S. Flujo en el caso general de campo no uniforme y superficie no plana: ParacadaelementodesuperficiedSestamosenelcasoanterior.Definimoselvector con direccin perpendicular al elemento de superficie y con mdulo igual a dS. S E = E ASlneas de nlneas las a superficielneas de n= =Alneas de n= = = cos S E S E1S E = Fig.1.22. Todas las lneas que salen de q van a parar a q. De las lneas que salende 2q la mitad acaban en q y la otra mitad en el infinito. Fig.1.23..Laslneasparalelasyequidistantescorrespondenauncampouniforme(elmismovectorentodoslospuntos).Ala izquierdaelelectrntendraceleracinverticalhaciaarribayseguirunatrayectoriaparablica.Aladerechaelelectrntendr aceleracin horizontal y de frenado. Fig.1.24 Fig.1.25S dSM.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 1.9 El flujo a travs de dS es: yelflujototaleslasumadetodoslosdiferencialesdeflujo,d,para todos los elementos de superficie: Silasuperficieescerrada(Fig.1.27)elsentidodelvectordS

siempre es, por definicin, hacia afuera cuando se trata de calcular el flujo. Recordemos que calcular el flujo es como contar el nmero de lneas que atraviesan una superficie, salvo que el nmero esta dividido por una constante que depende de la representacin. Siunasuperficieescerradadebemosdistinguirelflujosalientequeespositivo (matemticamenteE

dS

> 0porquelosvectoresformanngulosmenoresque/2)yelflujo entrante que es negativo (E

dS

< 0, porque los vectores forman ngulos entre /2 y ). A travs deunasuperficiecerradaelflujoesneto,flujosalientemasflujoentranteyescomonmerode lneas que salen menos nmero de lneas que entran. -Teorema de Gauss. El teorema de Gauss (Alemania 1777) establece cul es el valor del flujo del campo elctrico a travs de una superficie cerrada. Para justificarlo consideraremos primero algunos casos particulares. FlujodelcampodeunacargapuntualysuperficieSesfricaderadiorconcentroenla carga Comoson paralelos

Adems,alrecorrerlosdiferentesdS,resconstante,asque,el mdulo del campo E sale fuera de la integral y resulta: Flujo del campo de una carga puntual y S cerrada cualquiera (en azul en la Fig. 1.29), con la carga situada en el interior S d E d = } = SS d E } = SS d E dS E cos dS E S d E d = = = 2202020r 4r 4qdSr 4qdSr 4q S d E === = } } } 0q= S d y E Fig.1.27 a Fig.1.28 Fig.1.29. Las lneas verde y azulrepresentan, en el plano, dos superficies cerradas en tres dimensiones.(1.12) 0 0entrante saliente< > + = Fig.1.27 b Fig.1.26 M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 1.10 ElnmerodelneasqueatraviesanSyelnmerodelasqueatraviesanlasuperficie esfrica (en verde en la Fig. 1.29) es el mismo. As que como el n de lneas es el mismo, el flujo es el mismo Flujo del campo de una carga puntual y S cerrada cualquiera (en azul en la Fig. 1.30), con la carga situada en el exterior. Ahora el n de lneas salientes (flujo positivo) es igual al n de lneas entrantes (flujo negativo). El flujo neto es nulo. Flujo del campo de varias cargas puntuales y S cerrada cualquiera. Como el campo es la suma de los campos, el flujo es la suma de los flujos: Elflujodeunacargaexterior,enelejemplodelaFig.1.31eldeq3,esnuloy queda la suma de los flujos de las cargas interiores. y resulta con qinteriorigual a la suma de las cargas interiores, es decir la carga interior total. Flujo del campo de distribuciones de carga y S cerrada cualquiera Podemos identificar cada elemento de carga dq con una carga puntual qi del caso anterior y as y El resultado general es: Ecuacin que expresa el Teorema de Gauss. Ejemplos de carga interior 0q= 0 = 0 0entrante saliente< > + = = = n1 ii0q q02013 2 1++= + + = 0erior intq= } }}= = = = = n1 iSiSn1 iiSS d E S d E S d E q dqi }=erior int dqerior intdq q0erior intq= 0 qerior int=q qerior int=3erior intr34q =Fig.1.30. La lnea azul representa una superficie cerrada.Fig.1.31}= S 0intqS d E (1.13) Fig.1.32. En los dos primeros casos se trata de una superficie cerrada de geometra irregular. En el tercero la superficie cerrada es esfrica de radio r, la carga est en el volumen esfrico de radio R>r. M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 1.11 1.5 Circulacin del campo elctricoEmpezaremos por casos particulares para despus generalizar. Circulacin del campo creado por una carga puntual q. Consideremos que una carga q se traslada de un punto 1 aunpunto2,enelsenodelcampoelctricocreadoporqy siguiendolatrayectoriaindicada(ademsdelafuerzaelctrica actan otra no especificada). El trabajo de la fuerza elctrica es: Dividiendoporqnosqueda,enelsegundomiembrodelaecuacin,unaoperacinconocida como la circulacin de un vector, en este caso la circulacin del campo elctrico. Aplicando que el campo es el creado por q: y queresulta El resultado remarcable es que la circulacin no depende de la trayectoria, si no solo de los puntos inicial 1 y final 2. Si la lnea es cerrada, sustituyendo r1=r2 resulta: 3erior intR34q =2erior intR 4 = qbase erior intS q =l d E q' l d F W21212 1 = =} } elctrico campo del n circulaci l d Eq'W 212 1= =} l d ar 4ql d Er212021 = } }}= l0 l d E ||.|

\|=((

== } }2 1 0rr 0212021r1r14q r14q

rdr4ql d E21 dr l d ar= Fig.1.33. En el primer caso la superficie cerrada es esfrica de radio r, la carga est en el volumen esfrico de radio R F 0 = pM.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 1.13 En resumen: Un dipolo bajo la accin de un campo exterior se orienta paralelo al campo y se desplaza hacia campo creciente. En el ejemplo de la Fig.1.39 el dipolo est orientado y la fuerza es de atraccin, Si la carga delcentro secambiaraporunanegativa,yeldipolose separaraunpocodelaposicinradial, este girara 180 para orientarse paralelo al campo y la fuerza sera tambin de atraccin. Ecuaciones fundamentales del campo electrosttico Teorema de Gauss. El flujo del campo electrosttico a travs de una superficie cerrada es igual al valor dela carga que hay en el volumen limitado por la superficie dividido por 0. La circulacin del campo electrosttico a lo largo de una lnea cerrada es nula. }= S 0intqS d E }= l0 l d E pFEEpFq +q q +q +F+FFFEEFig.1.38. La resultante es como la fuerza sobre la carga que est situada donde las lneas de campo se acercan, campo ms intenso. El momento dipolar se orienta en el sentido del campo, en cambio la fuerza puede tenerun sentido u otro. + + = F F F Fig.1.39M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 1.14 M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 2.15 Tema 2. Potencial elctrico 2.1 Potencial elctrico y energa potencial elctrica.2.2 Superficies equipotenciales. Gradiente de potencial.2.3Energa de un sistema de cargas puntuales. 2.1 Potencial elctrico y energa potencial elctrica.Cuandounacargaqsetrasladadesdeunpunto1aunpunto2eltrabajodelafuerza elctrica no depende de la trayectoria si no solo de los puntos inicial y final. La fuerza elctrica es conservativa y, al igual que la fuerza gravitatoria, tiene asociada una energa potencial. Siqsedejaenlibertad,deformaquesemuevanicamentebajolaaccindelafuerza elctrica,eltrabajoespositivoyesigualaladisminucindelaenergapotencialelctricadela carga q. l d E q' l d F W21212 1 = =} }Fig.2.1. Si sobre un mvil acta nicamente una fuerza conservativa el trabajo es positivo y la energa potencial disminuye siempre, matemticamente el producto escalares positivo. Si adems acta un agente externo (ejerce otra fuerza) el trabajo de la fuerza conservativa puede ser positivo o negativo y la energa potencial pude disminuir o aumentar. p2 p1 2 1E E W =l d F M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 2.16 - Potencial elctrico del campo creado por una carga puntualDiferencia de potencial. La circulacin del campo elctrico entre dos puntos 1 y 2 tiene un nico valor, no depende de la lnea que une los puntos (apartado1.5).Assepuededefinir,conunvalornico,la diferenciadepotencialentredospuntoscomoigualala circulacin del campo: Si el campo es el creado por una carga puntual q resulta: El significado fsico se lo damos cuando consideramos que una carga q se mueve del punto 1 al punto 2.La diferencia de potencial es igual al trabajo por unidad de carga. o bien Eltrabajodelafuerzaelctricaesladiferenciadeenergapotencialdelacargaq,energa inicialmenosenergafinal.Launidaddepotencialeselvolt(V),1V=1J/C(joule/coulomb),la unidad de campo elctrico se puede expresar como V/m (volt/metro). Potencial en un punto Elcampodeterminaladiferenciadepotencial,sinembargoelpotencialenunpuntoqueda determinadosiademsseescogeunorigendepotenciales.Elorigeneselpuntodondese impone que el potencial valga cero, la eleccin del origen es arbitraria. Lohabitualesescogerelorigenenel(muylejosdelacarga),entoncestenemosdos condiciones que determinan el potencial en cada punto a una distancia r de la carga: Si una carga q se traslada desde el punto al infinito: El trabajo es igual a la energa potencial que tenia la carga q. Si q es la unidad de carga +1C, el trabajo y el potencial tienen el mismo valor numrico con diferentes unidades: l d Eq'WV - V212 12 1 = =}l d E V V212 1 = }||.|

\|=2 1 02 1r1r14qV - Vp2 p1 2 1 2 1E E ) V - V ( ' q W = =0 V=|.|

\|= =}1r14qdr E V - V0 rrr 4qV0r= V ' q = E = Wr pr r}Jouls V 1 + = E = Wr pr r(2.1) (2.2) (2.3) Fig.2.2 (2.4) r 4q q'= E0prM.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 2.17 Elpotencialenunpuntoesigualaltrabajodelafuerzaelctricacuandolacarga+1Cse traslada desde el punto al origen de potenciales (salvo unidades). -Potencialdebidoacargaspuntuales.Potencialdebidoadistribucionesde carga.Potencial debido a n cargas puntuales. Por superposicin: Potencial debido adistribuciones de carga. Podemos identificar cada dq con una carga puntual del caso anterior y el sumatorio pasa a integral:

Lastresfrmulascorrespondenaunadistribucinvolmica, superficial y lineal, respectivamente. En resumen, -Energa potencial elctrica. Cualquiera que sea la fuente de campo, la energa potencial de una cargaq es: dondeVeselpotencialenelpuntodondeestlacargaqyestatieneunouotrosigno. Remarquemos que el campo es creado por otras cargas. -Trabajo exterior. Lacargaqsepuedemoverbajolaaccindeunafuerzaexteriorqueacteademsdela fuerza elctrica. Si la energa cintica inicial y final son iguales, el trabajo total es nulo. As que el trabajo de la fuerza exterior es igual y de signo contrario al trabajo de la fuerza elctrica. De lo anterior se infiere que el trabajo de la fuerza exterior es la energa potencial final menos la energa potencial inicial. En el ejemplo de la Fig.2.5, si q se mueve desde el punto P al infinito, el trabajo de la fuerza elctricaespositivoeigualaladisminucindeenergapotencial.Porelcontrariosisemueve desdeelinfinitohastaelpuntoP,tienequehaberunafuerzaexternaquevenzalarepulsin,el trabajo de la fuerza elctrica es negativo y el de la fuerza externa es positivo e igual al aumento de energapotencial.Enelprimercasopuedeactuaronounafuerzaexterna,enelsegundoes imprescindible. rq 41= Vn1 i ii0 =dvr 41= Vv0 }l dr41= Vl0}dSr41= VS0}V ' q Ep =pto p ptoptoptoE V ' q l d E q' W = = =} 0 W W2 1exterior2 1= + Fig.2.3 Fig.2.4 (2.5) (2.6) rdq 41= Vdq0 }(2.7) M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 2.18 Remarquemos que el trabajo de la fuerza elctrica es siempre energa potencial inicial menos energa potencial final. Ademssiactaunafuerzaexteriorylasenergascinticasinicialyfinalsoniguales(o,en particular, ambas nulas): 2.2 Superficies equipotenciales. Gradiente de potencial.-Superficies equipotenciales El potencial es el mismo en todos los puntos de una superficie equipotencial. Las lneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales. 0 l d E q' Wrr> =} 0 l d F Wrexteriorexteriorr> =} ' qp2 p1 2 1 2 1E E ) V - V ( ' q W = =2 1exterior2 1W W =Fig.2.5 Fig .2.6 M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 2.19 Si las lneas de campose separan, el mdulodel campodisminuye y las equipotenciales se separan. Podemos razonarlo de la siguiente forma: Enunarepresentacindada,lasequipotencialessediferencianenunciertoVvolts,sila distancia entre dos superficies es l podemos escribir que al menos dimensionalmente Siguiendo las lneas en el sentido del campoel potencial disminuye.Por ejemplo, para el potencial de una carga puntual: Movimientodecargas:Lascargaspositivassemuevenhaciapotencialdecrecienteyas disminuye su energa. Las cargas negativas se mueven hacia potencial creciente y as disminuye suenerga.Porejemplo,enlafiguratenemosuncampouniforme,lafuerzaelctricatieneel mismo sentido que el campo si la carga es positiva y sentido contrario si es negativa. Lacargapositiva+qsemuevedepotencialV1apotencialV2 yla disminucin de energa potencial es LacarganegativaqsemuevedepotencialV2apotencialV1 yladisminucindeenerga potencial es En este caso, aunque el potencial aumenta, como la carga es negativa, la energa disminuye. La carga negativa se mueve hacia potencial creciente y as disminuye su energa potencial. aumenta l uye min dis E si " l E V " = 0 V V V2 1= > >2 1V V V 0 > > =E ' q F =V ' q Ep =0 ) V V ( ' q E E2 1 2 p 1 p> + = 2 1V ' q V ' q >1 2V ' q V ' q > 0 ) V V ( ' q E E1 2 1 p 2 p> = 2 1V V1 2V V2 1V V>Fig .2.7.La funcinpotencial es proporcional a 1/r. Siendo r la distancia a la carga Fig .2.8.En la funcin potencial q tiene signo. Al sustituir un valor negativo el potencial se hace negativo. Fig .2.9 r 4qV0r=M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 2.20 - Gradiente del potencial. Recordemos la definicin de diferencia de potencial, si los puntos inicial i final son muy prximos, separados por un nico dl, solo tenemos un elemento de la suma. Sellamadiferencialdepotencialenelpunto1aloquecambialafuncinaltrasladarseal punto2, por definicin as Consideremos el caso particular en que V fuera solo funcin de x: en general V ser funcin de las tres coordenadas y: o bien Considerando el operador gradiente tenemos: y se lee como que el campo es menos el gradiente del potencial. En forma abreviada: Volviendo al principio tambin podemos escribir En realidad esta ltima expresin es la definicin del gradiente del potencial. Fijado el punto 1 el vector gradiente en ese punto es uno determinado y nico en cambio tiene infinitas direcciones posibles. Si se escoge , dV es mximo y tiene un valor, la direccin del gradiente es la de mximo aumento de la funcin escalar y el mdulo del gradiente es el diferencial mximo por unidad de longitud . l d E V V212 1 = }l d E V V2 1 = 1 2V V dV =l d E dV =dxdVE dx E dV i dx E dV i dx l dx x = = = = zVEyVExVEz y x = = =||.|

\| =zV,yV,xVEV E = Vz,y,xE||.|

\| =||.|

\|= z,y,xl d V dV =(2.8) (2.9) (2.10) l dV // l d dl V = dVdl / dV = V M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 2.21 -Energa potencial de un dipolo en un campo exterior. Aqu campo exterior quiere decir creado por otras cargas distintas a las que forman el dipolo. Recordemos que la energa potencial de una carga q, en un punto donde el potencial es V, es: Para el dipolo debemos sumar las energas de cada carga, si la carga +q est en el punto + y la carga q est en el punto -: y sustituyendo el gradiente, o bien introduciendo el momento dipolar, Si el campo y el momento dipolar forman un ngulo tenemos: Sidejamosqueeldipolosemuevalohardeformaquedisminuyalaenergayesoquiere decir que se orientar paralelo al campo (=0) yademssemoverhaciacamposcrecientes(Eaumentando)porqueasdisminuyelaenerga (ser un nmero negativo de mayor valor absoluto). A estas conclusiones se lleg por otros argumentos en el apartado 1.6. 2.3 Energa de un sistema de cargas puntuales. Consideremosncargaspuntualescomounsistema,entonceslasfuerzasentreellasson internas. El sistema tiene una energa potencial interna o de formacin. Si las cargas se dejan en libertad, se movern a expensas de la disminucin de energa del sistema. Por ejemplo el sistema de dos cargas de igual signo tiene energa positiva que se convierte en nula cuando las cargas se separan por repulsin. El sistema de dos cargas de diferente signo tiene energa negativa, cuando las cargas estn muy alejadas la energa es nula y el sistema tiende a colapsar con una energa negativa cada vez menor. Podemos establecer el valor de la energa considerando la formacin del sistema. En principio las cargas estn infinitamente alejadas. El agente externosita q1 en su posicin, con un aporte nulodeenergaporquenohayningunafuerzaelctricaactuandosobreq1.Enelcasodeq2la energa es el valor de la carga por el potencial en el punto en el que se sita, es decir el potencial ( ) ( ) ( ) l V q dV q V V q V q qV Ep = = = + = + +E l q Ep =E p Ep = = cos E p Ep0 = E p Ep = V ' q Ep =(2.11) 12 02 1pr 4q q= EM.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 2.22 de q1 en ese punto. Anlogamente para q3 el potencial es de las cargas que ya estn situadas, q1 y q2 y as sucesivamente, sumando obtenemos la energa total del sistema. La forma abreviada de escribir la energa la da la frmula: donde si la carga qi est en el punto Pi, Vi es el potencial en ese punto de todas las dems cargas excepto la propia qi, Podemoscomprobarquelafrmuladaelresultadocorrectoparatrescargasyadmitirquees cierta para n cargas. Para tres cargas tenemos: Losmdulossonrkl=rlkyconelfactorquedanlostressumandoscorrespondientesa U=U1+U2+U3. ==n1 ii iV q21U||.|

\|+===23 0213 013 312 012 21r 4qr 4qq Ur 4qq U0 U........ U U U U3 2 1+ + + =Fig .2.10 (2.12) )r 4q+r 4q( q21+ )r 4q+r 4q( q21+ )r 4q+r 4q( q21= U23 0213 01332 0312 01231 0321 021 =1 ji j i) P ( V VM.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 3.23 Tema 3. Conductores 3.1 Conductor en equilibrio electrosttico. 3.2 Capacidad. Energa electrosttica de formacin. 3.3 Influencia electrosttica. 3.4 Condensadores. 3.1 Conductor en equilibrio electrosttico.- Equilibrio electrosttico. En el ejemplo de la Fig.3.1, cuando el conductor queda solo y aislado, las cargas que se generaron en un extremo se ponenenmovimiento.Sealejanlomsposiblehastaquedar enreposoenlasuperficie,entonceselconductoresten equilibrio electrosttico (situacin d)). En contraposicin, antes dealcanzarseelequilibriohabamovimientodecargas,es decir corriente elctrica. Unconductorestenequilibrioelectrostticosisuscargasestn en reposo. Las cargas se alejan lo ms posible dando lugar a una distribucin superficial con densidad . Cadacargaquesepuedemoversemoversienelpuntodonde est situada hay campo elctrico. As que el equilibrio se alcanza cuando el campo es nulo, en todos los puntos del volumen del conductor E=0. Si el campo es nulo el potencial es constante, tiene el mismo valor en todos los puntos del conductor.Enefecto,siconsideramosdospuntos1y2separadosporundl

ycalculamosla diferencia de potencial Vemos que la diferencia es nula porque E=0. En conclusin V

= V

para cuales quiera dos puntos del conductor. El potencial toma el mismo valor en todos los puntos. Comolasuperficieesequipotencial,enunpuntomuyprximo(exterior)elcampoes perpendicularalasuperficie.EnlaFig.3.3serepresentanlaslneasdecamposaliendo perpendiculares a la superficie. 0 l d E V V dV1 2= = = Fig.3.1 Fig.3.2 M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 3.24 Cmo se distribuye la carga en la superficie depende de la geometra del conductor. Si, por ejemplo,esesfricoladistribucinesuniforme,perositienepuntasladensidaddecargaes mayorenlaspuntasy,engeneral,esmayorenlaszonasdelasuperficiedondehayamayor curvatura. La distribucin siempre es la necesaria para que se anule el campo en cada punto del volumen. Uncasodeinterseseldeunconductorhueco.Aunquetienedossuperficiestodala cargasesitaenlasuperficieexterior,enlasuperficieinteriornohaycarga.Parjustificarlo, consideremoslasuperficiedeGaussS,todoslospuntosdeSsonpuntosdelconductoryel campo es nulo en ellos. La integral de flujo es por tanto nula y concluimos que la carga interior es nula. Intuitivamente,lacargasealejalomsposibledepositndoseenlasuperficie exterior as en la superficie interior no hay carga. -Valor del campo en un punto muy prximo. ConstruimosunasuperficiedeGauss,queenestecasoesuncilindroconlasbasesde rea elemental (un solo dS), Fig.3.5. La altura, que en la figura es finita, la hacemos mucho menor (tendiendo a cero). El ltimo sumando es nulo porque la superficie lateral es muy pequea. El campo en la base 2 es nulo porque estamos dentro del conductor. Asquesoloquedaelprimersumando,ademshacemoselcambiodenotacinqueahorase indica Nos queday como El resultado para el mdulo del campo es: 0 qqerior int0erior int= = } + + = = Slateral 2 base 2 base 1 base 1 baseS d E S d E S d E 0dSdS E= = 0E=0 E ; 02 base lateral= = dS E = dS qerior int =0 E porque 0 S d ES= = = } S d S d ; E E1 base 1 base = =Fig.3.3 Fig.3.4 Fig.3.5 dS M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 3.25 En lo anterior, se ha considerado de forma implcita > 0 cuando se ha escrito . En la figura 3.6 se ilustra los dos casos de densidad de carga positiva o negativa, en general . Si n esunvectorunitarionormalalasuperficieenelpuntoconsideradoysaliente,podemos escribir el campo para las dos situaciones como el vector: Si n esunvectorunitarionormalalasuperficieenelpuntoconsideradoysaliente,podemos escribir el campo para las dos situaciones como el vector:

Estafrmulanosdaelvectorcampoparalelooantiparaleloa n segnseaelsignodela densidad de carga. El valor del campo en un punto exterior y muy prximo a la superficie de un conductor es proporcionalaladensidaddecargaquehaydelantedelpunto.Elcampoes,portanto,ms intenso cerca de las puntas. Si consideramos dos puntos uno exterior y otro interior que tienden a confundirse en el mismo punto de la superficie, en el exterior el campo tiene un cierto valor y en el interior un valor nulo, es discontinuo y justo en el punto de la superficie no est definido. 3.2 Capacidad. Energa electrosttica de formacin. - Capacidad La carga Q de un conductor y su potencial V son proporcionales. La constante de proporcionalidad es la capacidad C del conductor y depende de la geometra. Su unidad es el farad F. Un conductor puede estar en dos situaciones: Aislado,Q=cteNotieneningnhilodeconexinnimediode intercambiar carga, la carga es constante y determina el potencial. A potencial V=cte. El potencial se fija por conexin a un generador o a tierra (potencial positivo, negativo o nulo). La carga ser la correspondiente al potencial fijado. Ejemplo: Capacidad de un conductor esfrico de radio R. El campo en el exterior es igual al de una carga puntual Q. El potencial del conductor es el potencial exterior en r=R. |.|

\|= =}1R14Qdr E V - V0RRR 4QV0R=n E0=V C Q =CQV =V C Q =Fig.3.6 Fig.3.8 Fig.3.7 (3.1) (3.2) 0 = EdS E = dS E - = dS E = M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 3.26 Para los puntos interiores de coordenada r, como el campo es nulo: El potencial es el mismo en todos los puntos con coordenada, es el potencial del conductor VR=V. La capacidad esEjemplo. Problema de las puntas. Pararrayos. Consideremosunconductorconunazonademayorcurvatura,unapunta(Fig.3.9). Podemosjustificarciertoshechosasimilandoqueestageometraescomparablealadelosdos conductores unidos por un hilo a la derecha de la imagen. Inicialmente uno o los dos conductores estn cargados, al conectarlos con un hilo la carga se redistribuye (pasando por el hilo) de forma que cada conductor adquiere la necesaria para que se igualen los potenciales, ya que despus de la conexin es un nico conductor y el potencial es el mismo en todos los puntos: adems y sustituyendo, resulta Vemos que si R1> 0E= ER r Fig.3.10 (3.3) Fig.3.9 M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 3.27 -Energa electrosttica de formacin U. Un conductor cargado almacena energa electrosttica. Por ejemplo, si se conecta a tierra las cargas se irn a tierra y el potencial pasar a ser cero, la energa cintica de las cargas y el calor que se desprende durante su movimiento proviene de la energa elctrica que tena el conductor. Podemos calcular la energa considerando el proceso de cargamediantelaaportacindepequeoselementosdqeidentificandocada uno de ellos con una carga puntual. Eneltransitorio,lacargapasadeserceroasuvalorfinalQy correspondientemente el potencial.

En un estado intermedio la carga es q y el potencial es v, un paso ms en el proceso es el aporte de un dq, de modo que la carga pasar a ser q+dq. Elincrementodeenergadeformacin,dU,delsistemaenestepasoeslaenerga potencialqueaportalacargadq,dEP.Estaesasuvez(ecuacin(2.7))elvalordelacarga multiplicado por el potencial en el punto donde se la sita, que es: es el potencial de las otras cargasque ya formaban parte del sistema. por tanto y La energa total es la suma para todos los pasos: Como adems Q=CV, tenemos tres expresiones alternativas para la energa 3.3 Influencia electrosttica. Unconductorestsometidoainfluenciacuandoestenpresenciadeotrascargas diferentes de la suya propia. Algunos resultados que se han establecido para un conductor nico dejan de ser vlidos. Podemos destacar que: La distribucin de carga en la superficie del conductor, es decir la densidad de carga , ya no depende solo de la geometra si no que depende tambin de la influencia. Si hay influenciasiempre. Hagamos hincapi en que aquella frmula tan relevante para un conductor nico deja de ser vlida.Las siguientes figuras ilustran los anteriores puntos con dos ejemplos de influencia. En la Fig.3.12vemoscomoladensidaddecargaenunconductoresfricoyanoesuniforme,incluso puede cambiar de signo en una zona de la superficie. En la Fig.3.13 vemos como un conductor a potencial cero tiene carga negativa. CV Q CQVCqv 0 potencialQ ..... dq dq dq q 0 a arg c= = + + = Cqv =.Cqdq dEP =} } }= = = =Q02Q0 dqCQ21dqCqU dU U dU U22V C21CQ21V Q21U = = =pdE dU =Fig.3.11 (3.4) ..... dq dq dq q + + =M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 3.28 --Conductor hueco con carga en el hueco. Consideremos un caso interesante de influencia, un conductor esfricohuecoconunacargapuntualqenelcentro.Elconductor tiene dos superficies, la interior con una carga que llamaremos qinterior y la exterior con una carga qexterior. Enlasuperficieinterioraparecesiempreunacargaq,se puedejustificarconelargumentodequelaslneasdecampoque empiezan en q tienen que acabar en una cantidad de carga igual y de signocontrario.Recordemosquelaslneasacabanenlasuperficie interiordelconductorporqueenelinteriorelcampoesnulo.Otro argumentoalternativoesqueelflujoatravsdelasuperficiede Gauss S es nulo y por lo tanto la carga dentro de la superficie es nula: Como debe serLa carga total del conductor es Q=qinterior + qexterior , es decir Q=-q + qexterior Se puede demostrar que qexterior es la misma que para un conductor igual sin el hueco. Para elproblemadelasuperficieexteriorydetodoslospuntosexterioresescomosituviramosel conductor nico sin influencia del apartado 3.2, es vlida la formula de la capacidad y, si V es el potencial del conductor, tenemos dondeCexterioreslacapacidaddelconductorconlamismageometraexteriorperomacizo.Sila superficie xterior tiene radio b, Podemos tener diferentes datos para este problema: Dato, se deduce aplicando la ecuacin (3.5). Dato , se deduce aplicando la ecuacin (3.5). Dato, se deduce aplicando la ecuacin (3.6). Dato, se deduce aplicando la ecuacin (3.6). te tan cons Fig.3.12.Unconductoresfricoaisladoestcargado positivamenteyaislado.Enesteejemplo,alacercarleuna cargapositivaladelconductorseretirahacialaizquierday se induce carga negativa en la zona prxima a la carga.Fig.3.13.UnconductoresfricoconectadoaunpotencialVest cargadopositivamente.Enesteejemplo,seleacercaunconductor conectado a tierra. Ocurre que la carga del primer conductor aumenta y el segundo conductor adquiere carga negativa 0 V0 =0 Q0 0 0CV Q exteriorexteriorCq= V0 E porque 0 S d ES= = = } 0 qqS a erior int0S a erior int= = erior int S a erior intq q q + = q qerior int =q q 0 Qexterior = =Q q q Qexterior+ = 0 q 0 Vexterior = =CV q Vexterior = b =0 exterior4 CFig.3.14 (3.5) (3.6) M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 3.29 EnelejemplodelaFig.3.15elconductoresesfricoyla cargaqnoestenelcentrodelhueco.Enlasuperficieinterior de conductor hay ms densidad de carga en la zona ms prxima a q, sin embargo, en la superficie exterior hay una distribucin de cargauniforme,comosielconductorfueramacizo.Elproblema delhuecoseacabaenlasuperficieinterior.Enelexteriorla configuracin de lneas de campo para pasar desde la superficie esfricaapotencialValinfinitoapotencialnuloesnicaytodo ocurre como si el conductor fuera macizo 3.4 Condensadores. Un condensador son dos superficies metlicas y tales que todas las lneas de campo que salen de una superficie van a parar a la otra. Tambin podemos decir que si una tiene carga Q la otra tiene carga Q. -Condensador plano En las figuras se representa un condensador plano, las dossuperficiesinterioresdelasdoslminasmetlicas paralelassonlasplacasoarmadurasdelcondensador.Dada lageometra,ysilasdimensionesdelasplacassongrandes en comparacin con su separacin: -Todas las lneas de campo que salen de una placa acaban en la otra, las respectivas cargas son iguales y de signo contrario, Q y Q. -el campo es uniforme en todo el volumen del condensador. Campo La superficie de Gauss, en este caso un cilindro de base Sbase (Fig.3.17), nos va a permitir determinar el campo: Podemos decir que en la superficie lateral el flujo es nulo porque los vectores son perpendiculares o porque las lneas de campo no atraviesan sino que son rasantes. En la base de la izquierda el campoesnuloporqueestamosdentrodelconductor.Elcampoenlabasedeladerechaesel campo en el condensador. y resulta,adems en definitivay Capacidad ParadeterminarlacapacidadsecalculaladiferenciadepotencialVentrelasplacas. Consideremos que la superficie de las placas es S, que la distancia entre ellas es d y que la carga de la placa positiva es Q: Adems la placa positiva est en x=0 y la negativa en x=d. -} + + = = Slateral 2 base 2 base 1 base 1 baseS E S E S d E E E ; 0 E ; 01 base 2 base lateral = = = baseS E = base erior intS q =0basebaseSS E= = 0E=d E dx E dx E l d E V V Vd0d0d0d 0= = = = =} } } Fig.3.17 Fig.3.15 Fig.3.16 M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 3.30 Resulta , sustituyendo y obtenemos VemosqueladiferenciadepotencialesproporcionalalacargaQ.Laconstantede proporcionalidad es la capacidad C y para el condensador plano Energa almacenada La energa almacenada en el condensador es la suma del las de los dos conductores que lo forman. Aplicando el resultado del apartado 3.2: Y considerando que Q=CV, obtenemos -Densidad de energa La energa reside en la regin donde hay campo, es decir en el volumen v del condensador porque en el exterior el campo es nulo. Como el campo es uniforme, lo ser tambin la densidad deenergaypodemoscalcularlacomoenergatotal/volumen.Pongamosprimerolaenergaen funcin del volumen, para luego dividir: La densidad de energa electrosttica es. ydestacamosqueesproporcionalalmdulodelcampoalcuadrado.Estafrmulaqueseha justificado para un caso particular (para el campo de un condensador plano), tiene validez general. La densidad de energa en un campo elctrico es la dada por la ecuacin (3.8) cualquiera que se la fuente de campo. Condensador aislado Lasdosplacasmetlicasestnaisladas,nohay ningn hilo de conexin, la carga permanece constante encadaplaca.Enuncondensadoraisladosiocurre algncambio,porejemploladistanciadentrelas placasdisminuye,Qpermaneceinvariable.Razonar que, en consecuencia, , E y u son constantes. Adems en el ejemplo en que d disminuye, V y U disminuyen. d E V =dSC0=CV Q =SQ= dSQV0=0E=QV21) V V ( Q21V ) Q (21QV21Ud 0 d 0= = + =22V C21CQ21V Q21U = = =v E21U Sd v d S E21Ed ES21Ed S21V Q21U2020 0 = = = = = =20E21uvUu = =(3.7) (3.8) Fig.3.18 M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 3.31 Condensador a potencial constante Uncondensadorconectadoaunacierta tensinVfijapermanececonestadiferenciade potencialentrelasplacasinvariableaunque ocurra algn cambio. Por ejemplo, si d disminuye, razonar que E, , Q, u y U aumentan. -Asociacin de condensadores En serie Doscondensadoresconectadosenserie(segnlageometradelaFig.3.20)tienencargas iguales.Paraqueassea,loscondensadoresdebenestardescargadoscuandosehacela conexin,deestaforma,lasplacasdeunoyotrocondensadorconectadasentresadquieren cargas iguales y de signo contrario. La carga total en las placas conectadas es nula como lo era antes de la conexin, hay que advertir que esta parte central queda aislada y su carga no puede variar. La cada de tensin es diferente en cada condensador si las capacidades son distintas y la total es la suma: y sumando Lacadadetensinylacargaseranlasmismasenun condensador con una capacidad equivalente C tal que Identificando, tenemos la ley de la asociacin en serie. En paralelo Dos condensadores conectados en paralelo (Fig. 3.21) tienen la misma diferencia de potencial entre las placas y diferentes cargas si las capacidades son diferentes. La carga total positiva esyeslamismacargaquealmacenarauncondensadorde capacidad equivalente C tal que Identificando, obtenemos la ley de la asociacin en paralelo. )C1+C1( Q = V V2 1b a-2 1C1C1C1+ =CQV Vb a= 22b a11b aCQV VCQV V= = ) C + C ( ) V V ( = Q + Q2 1 b a 2 1-C ) V V ( = Q Q + Q = Qb a 2 1-2 1C C C + =2b m1m aCQV VCQV V= = Fig.3.20 Fig.3.21 (3.10) (3.9) Fig.3.19 M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 3.32 M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 4.33 Tema 4. Corriente elctrica 4.1 Corriente elctrica. Densidad e intensidad de corriente. 4.2 Ecuacin de continuidad. Corrientes estacionarias. 4.3 Ley de Ohm. Resistencia. Asociacin de resistencias.4.4 Generadores. Fuerza electromotriz. Balance de energa.4.5 Anlisis de circuitos de corriente continua. Leyes de Kirchhoff. 4.1 Corriente elctrica. Densidad e intensidad de corriente. -Corriente elctrica:La corriente elctrica es el movimiento de carga elctrica neta. Por convenio el sentido de lacorrienteeseldelavelocidaddelascargaspositivas.Porejemplo,cargaspositivas movindosehacialaderechaynegativasmovindosehacialaizquierdaescorrientehaciala derecha -Tipos de corriente Corriente de conduccin: Lascargassemuevenenelsenodeunmedioconductorqueoponeresistenciaal movimientodelascargas,comoconsecuenciasedisipacalor.Elcasomsfrecuenteesqueel medioseaslido,comounconductormetlicoounsemiconductor,Fig.4.1.Tambinpuede tratarsedeunelectrolito,queesunlquidoconductorporconteneriones,Fig.4.2,obien,puede habercorrienteenungasionizado,unplasma,Fig.4.3.Enunslido,muyhabitualmentese representaelmovimientodecargaspositivasaunque,realmente,loquesemuevasean electrones en sentido contrario. EFig.4.1Fig.4.2Fig.4.3 M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 4.34 Enelmediohaymuchosncleosyelectronessinmovimientonetoy,superponindose, movindoseentreellosestnlascargas,oportadoresdecorriente,queintervienenenla conduccin.Losportadoressonloselectroneslibresenunmetal,electronesyhuecosenun semiconductor,ionespositivosynegativosenunelectrolitoeionesyelectronesenunplasma. Frecuentemente el medio es y permanece neutro, la carga mvil solo fluye, no se detiene, en un cierto volumen la carga que entra por una zona sale por otra en cada instante de tiempo. Lacausadelmovimientodelascargaseshabitualmentelaexistenciadeuncampo elctrico en cada punto del medio, la fuerza elctrica mantiene en movimiento las cargas mviles. Entre esta fuerza y la oposicin del medio puede resultar que la velocidad de las cargas en cada punto sea constante con el tiempo, es lo que ocurre en las corrientes estacionarias. Otras causas para el movimiento de las cargas son un gradiente de temperatura, un gradiente de concentracin, etc. Corrientes en el vaco Por ejemplo, en un tubo en el que se ha hecho el vaco un ctodo emite electrones que se dirigenhaciaunnodo(amayorpotencial).Nohayningnmedioqueopongaresistencianise disipa calor, el movimiento de las cargas ser acelerado. Corrientes de conveccin. Se dan en la atmsfera cuando se mueve una masa de aire que tiene carga neta. - Intensidad y densidad de corriente. Intensidad de la corriente: ConsideremosunasuperficieSysupongamosquepodemosmedirlacargaQque atraviesa S en el tiempo t. Por definicin, la intensidad de la corriente a travs de S es: LaunidadeselAmpere,A.Lasuperficieescualquieraqueseconsidereenestareginenque haymovimientodecargas,peromuchasveceslasuperficiequeinteresaeslaseccindel conductor, en la Fig.4.4 se representa la seccin recta. -Densidad de corriente Consideremos el tubo de corriente de la Fig.4.5 y su seccin rectaS.Paradefinirladensidaddecorriente,utilizaremosla siguientenotacin:n=ndeportadoresdecorrienteporunidadde volumen; q=su carga y v= su velocidad. Por conveniencia construimos el volumen de base S y altura dx=vdt. El nmero de cargas mviles que hay en este volumen (volumen=Svdt) es nSvdt y la cantidad de carga mvil: Toda esta carga atraviesa la superficie S en dt ya que cada carga mvil avanza una distancia vdt. Incluso las ms alejadas como la representada en la figura llegan a S al cabo de un tiempo dt. La intensidad es: dtdQI =dtdQtQlim0 t= nqvSdtdQI = =qnvSdt dQ =Fig.4.4 Fig.4.5 (4.1) M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 4.35 Se define la densidad de corriente como y es el campo vectorial que describe la distribucin de corriente, las lneas de corriente son lneas de.. Podemos escribir la intensidad a travs de S como y, evidentemente, tambin , la unidad de j es A/m2. Un paso ms es considerar una seccin inclinada del tubo. La carga que atraviesa en dt la seccin inclinadaS y la recta S1 es la misma, pero la seccin recta tiene una superficie menor. Con un desarrolloanlogoaldelapartado1.4,tenemos S1=S cos entonces: o bien La intensidad I es igual al flujo de. En general, para una superficie que no tiene porque ser plana, tenemos 4.2 Ecuacin de continuidad. Corrientes estacionarias Laecuacindecontinuidadexpresalaconservacindelacarga.Para justificarlaconsideramosunasuperficiecerradaS.Laintensidadesel flujode y al ser cerrada Por conservacin de la carga dQsaliente dQentrante = -dqinterior, el signo menos es necesario porque, si, por ejemplo, sale ms carga que no entra la carga interior disminuye y dqinterior< 0 . Podemos escribir la ecuacin de continuidad como: y tambin ms formalmente: -Corrientes continuas o estacionarias Enunacorrienteestacionariatodaslasmagnitudessonconstantesconeltiempo.En particular,lacargaencerradaporcualquiersuperficiecerradaesconstanteconeltiempoyla ecuacin de continuidad es: Sjv nq j=S j I =SIj =S j I =} =SS d j I = cos S j Ij} } = ) S ( v SdvdtdS d j dtdQdtdQdtdQS d j Ientrante salienteS = = =} 0 0entrante saliente< > + = )dtdq- Ierior intcerrada S=0 S d jS= } jFig.4.6 Fig.4.7 (4.2) (4.3) (4.4) )0 =dtdq= Ierior int-cerrada SM.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 4.36 Paracualquiersuperficiecerradalaintensidad esnula,es decir,elnmerodelneasqueentran es igual al nmero de lneas que salen. Algunas propiedades: Las lneas de corriente son cerradas Silaslneasdecorrientetuvierancomienzoyfin,alldonde empezaranseranpuntosfuentededondesaldranlascargaspara incorporarsealacorriente,correspondientemente,lospuntosdonde acabaranlaslneasseransumiderosenlosquesedepositaran continuamentelascargasmviles.Tendramosdensidadesdecarga variandoconeltiempo,loquenopuedeocurrirenunacorriente estacionaria. Las lneas de corriente son tangentes a la superficie del conductor. Silascargassemuevenhacialasuperficie,esdecir,conunavelocidaddiferentede tangente,alllegaralasuperficienopuedenatravesarysedepositanallacumulndosemsy ms carga con el tiempo. Esto no es posible en una corriente estacionaria. La intensidad es la misma para cualquier seccin. Si,porejemplo,enlaFig.4.9laintensidadfueramayorenlaseccindelaizquierdase acumularacargaenelvolumencomprendidoentrelasdossecciones.Siconsideramosdos seccionescualesquiera,lamismacargaqueatraviesa una debe atravesar la otra en cada instante. La intensidad delacorrienteeslamismaparacualquierseccindel conductor ya sea recta o inclinada o no plana, por eso una corriente estacionaria tiene una cierta intensidad I.4.3 Ley de Ohm. Resistencia. Asociacin de resistencias.-Ley de Ohm Esparaunacorrientedeconduccin,lascargassemuevenenunmedioqueofrece resistencia, y un campo elctrico es la causa del movimiento de las cargas. La corriente es hmica si hay una relacin lineal entre la causa y el efecto. Ley de Ohm local. Secumplecuandoladensidaddecorrienteesproporcionalalcampoelctrico.LaleydeOhm (Alemania 1789) es: Laslneasdecorrientesontambinlneasdecampo,eslaconductividaddelmedioysu resistividad. En realidad, lo que ocurre es que la velocidad de las cargas es proporcional al campo es la movilidad de los portadores de corriente, sustituyendo en la densidad de corrientetenemos que vuelve a ser la ley de Ohm, adems, vemos que podemos expresar la conductividad como Corriente hmica y estacionaria. Silacorrienteesestacionarialadensidadde corriente en cada punto es constante con el tiempo y, segn laleydeOhm,elcampoelctricotambinloes,esun campoelectrostticoquetienetodaslaspropiedades E j = 1 E v = v nq j=E nq j = = nqFig.4.8 Fig.4.9 superficieequipotencial Fig.4.10 (4.5) (4.6) M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 4.37 estudiadas en los temas anteriores. Tiene asociado un potencial y las superficies perpendiculares alaslneasdecorriente,odecampo,sonsuperficiesequipotenciales.Siguiendolaslneasde corriente el potencial disminuye. Ley de Ohm integral. Resistencia. Esparaunacorrientehmicayestacionaria.Seconsideraunvolumenlimitadopordos secciones equipotenciales, la ley de Ohm expresa que la diferencia de potencial y la intensidad de la corriente son proporcionales. R es la resistencia del volumen en cuestin y depende de la conductividad y de la geometra. Consideremos un conductor homogneodeseccinconstanteScomoelcilindrodela Fig.4.11 o cualquier otra geometra de seccin constante. En este caso la densidad de corriente es la misma en todos los puntos y el campo es uniforme. y segn la ley de Ohm La diferencia de potencial entre las dos secciones es: es decir Identificando vemos que estaeslaresistenciadeunconductordeconductividad,longitudLyseccinconstanteS.La unidadderesistenciaeselohm,,launidaddeconductividades(m)-1 yladeresistividades m. - Asociacin de resistencias En serie En resistencias asociadas en serie, la intensidad es la misma y la cada te tensin total es la suma de las cadas detensin en cada resistencia. La resistencia equivalente es la que cumple

e identificando la ley de asociacin para n resistencias es: LSIj ==jELSILjL E dl E l d E V V21212 1== = = = } } I R V V2 1= ISLV V2 1= SLR=I ) R R ( I R I R ) V V ( ) V V ( V V2 1 2 1 c b b a c a+ = + = + = RI V Vc a= 2 1R R R + =Fig.4.11 Fig.4.12 (4.7) (4.8) ==n1 iiR R(4.9) M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 4.38 En paralelo. En resistencias asociadas en paralelo la cada de tensin es la misma, en cambio por cada resistencia pasa una parte de la corriente y la intensidad total es la suma de intensidades. La resistencia equivalente es la que cumple e identificando la ley de asociacin para n resistencias es: 4.4 Generadores. Fuerza electromotriz. Balance de energa. -Fuerza electromotriz Las cargas mviles al seguir las lneas de corriente se mueven hacia potencialmenor,(lascargaspositivas),perdiendocontinuamente energa potencial elctrica. El generador es el dispositivo que devuelve laenergaperdida.Laslneasdecorrientesecierranatravsdel generador.Trabajo del campo elctrico Consideremos que a la salida del generador el potencial es Va y a la entrada es Vb. Una carga mvil q al recorrer todo el circuito exterior al generador pierde una energa potencial elctrica igual al trabajo del campo elctrico: La prdida de energa por unidad de carga es:

Oposicin del medio: El anlogo al trabajo del campo elctrico en un plano inclinado es eltrabajodelpeso,igualalaprdidadeenergapotencialgravitatoria por prdida de altura. Adems hay la oposicin al movimiento que en la Fig.4.15 se representa por colisiones con clavos. En el circuito el medio ofrece resistencia al movimiento de las cargas y aunque lo que ocurre es queseproducencolisiones,alfinalhayemisindecalorcomosise trataradeunafuerzaderozamiento.Laemisindecalorseconoce ||.|

\|+ =+= + =2 1b a2b a1b a2 1R1R1) V V (RV VRV VI I IRV VIb a =2 1R1R1R1+ =( )b a pb paEV V q E E W = =b apb paV VqE E =Fig.4.13 Fig.4.14 ==n1 i iR1R1(4.10) (4.11) Fig.4.15 aVbVM.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 4.39 como efecto Joule. Sustituyendo la ley de Ohm, ecuacin (4.7), en la ecuacin (4.11) obtenemos el balance de energa, por unidad de carga en la parte del circuito exterior al generador. RI es la energa que absorbe el medio, por unidad de carga, y que finalmente se disipar en forma de calor Energa que suministra el generador El papel que hace la mano en la Fig.4.16 devolviendo la energa perdida lo hace el generadorenelcircuito.Laenergaquesuministraporunidad de carga es por definicin la fuerza electromotriz e El primer miembro de la ecuacin (4.11) y el primer miembro de laecuacin(4.13)soniguales,asquepodemosescribirel balance de energa por unidad de carga o bien esta ecuacin es la ley de Ohm en circuito cerrado. En resumen, Va - Vb, RI y e son tres magnitudes distintas pero que tienen el mismo valor. Soneltrabajodelcampo,laenergaquesedesprendeenformadecalorylaenergaque suministra el generador, todo ello por unidad de carga. La unidad es Volt=Joule/Coulomb. Generador real. En la Fig.4.17 se representa un circuito con un generador ideal y en LaFig.4.18uncircuitoconungeneradorreal.Estetieneuna resistenciainternaryhayunacadadetensinrIdentrodel generador. Hay diferentes tipos de generadores podemos citar una batera o una pila que transforma energa qumica en elctrica, una dinamo que transforma energa mecnica en elctrica y una clula solar que transforma energa solar en elctrica. Con el generador real la ecuacin (4.13) pasa a ser y correspondientemente las ecuaciones (4.14) y (4.15) son ahora: o bien obviamente estaeslaleydeOhmparacircuitocerradocongeneradorrealde resistenciar.Esunbalancedeenergaporunidaddecarga, volt=joule/coulomb. RIqE Epb pa=eqWgenerador=RI e =b aV V e =RI rI e = RI rI e + =b aV V rI e = rI eqWgenerador =Fig.4.17 Fig.4.18 (4.12) (4.13) (4.14) (4.15) (4.16) (4.17) (4.18) (4.19) Fig.4.16 aVbVM.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 4.40 -Balance de energa. Recordemos que la intensidad es la carga que atraviesa cualquier seccin en la unidad de tiempo. En el tiempo dt una cantidad de carga dQ=Idt atraviesa cualquier seccin y tambin es la que en eltiempodtentraalgenerador.Comolafuerzaelectromotrizeslaenergaquesuministrapor unidad de carga, la energa que suministra en dt es e dQ. en dt o bien multiplicando la ecuacin (4.19) por Idt obtenemos: Deacuerdoconloanteriorestaecuacinesunbalancedeenerga,enjoules.Laenergaque suministraelgeneradoreneltiempodtesigualalaquesedisipaenformadecalorduranteel tiempo dt en r y en R. Dividiendo por el tiempo tenemos un balance de potencia, en watts: Remarquemos que la potencia en un generador es y en una resistencia es Tambin, introduciendo la ley de Ohm 4.5 Anlisis de circuitos de corriente continua. Leyes de Kirchhoff. -Asociacin de generadores. En serie EnlaFig.4.19losdosgeneradoresprovocan corriente en sentido horario, sus efectos se suman La potencia suministradaes igual a la potencia que se disipa en forma de calor En oposicin EnlaFig.4.20suponiendoqueelgenerador1 predomina(e1>e2)lacorrientetendrsentidohorario.El segundogeneradorencontradelacorrienteabsorbeenerga, podraser,porejemplo,unabateraqueseestcargando absorbe energa elctrica que se transforma en energa qumica y en el calor que se disipa en su resistencia interna. dtdQI =dQ e dWgenerdor =2 2RI rI eI + =eIdt dWgenerdor =dt RI dt rI eIdt2 2+ =RI I r I r e e2 1 2 1+ + = +Fig.4.19 Fig.4.20 (4.20) (4.21) (4.22) eI = pgenerador2a resistenciRI = pRV= VI = RI = p22a resistenciI e + I e2 12 2221RI + I r + I rM.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 4.41 Tenemos: Subida de tensin Bajada de tensin Bajada de tensin RI En conjuntoo bien La suma algebraica de fuerzas electromotrices es igual a la suma de cadas de tensin. Lapotenciasuministradaporelgenerador1esigualalapotenciaabsorbidaporel generador 2 ms la disipada en las resistencias -Ampermetros y voltmetros. Ampermetro. Por un ampermetro tiene que pasar la corriente cuya intensidad I se quieremedir.AlponerelampermetroderesistenciaRAseintroduceuna cada de tensin extra en el circuito. La situacin ideal es que el medidor no perturbe el circuito, es decir: Un ampermetro bueno tiene una resistencia pequea, aunque nunca cero para poder medir I. Voltmetro. UnvoltmetromideladiferenciadepotencialVquehay entre los puntos a los que est conectado. La medida se basa en que un parte IV de la corriente deriva por la rama del voltmetro, si su resistencia es RV Unvoltmetrobuenotieneunaresistenciamuyelevada para que IV se pequea, aunque nunca cero para poder medir V. -Leyes de Kirchhoff. Consideremoscircuitoscondosomsmallas.Unamallaes uncaminocerradoparalacorriente,enelcircuitodelaFig.4.23hay tres,lasdosenqueestdivididalatotalylatotal.Unamallaest formada por ramas, por ramas diferentes pasan corrientes diferentes. En el ejemplo de la figura cada malla tiene dos ramas. Un nudo es el punto donde coinciden tres o ms ramas, en la figura hay dos nudos uno en a y otro en b. Ley de los nudos. La suma algebraica de intensidades en un nudo es nula. Si a la corriente que llega al nudo le damos signo positivo, a la que marcha le daremos signo negativo y viceversa. I r e1 1 RI I r e I r e2 2 1 1+ + = I r e2 2 +RI I r I r e e2 1 2 1+ + = A AR I V =0 V0 RAA0 IRVV = ii0 IVVRV= IFig.4.21 Fig.4.22 Fig.4.23 (4.23) I e12 2221 2RI + I r + I r + I eM.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 4.42 Cadanudonosdaunaecuacin,peroindependientessihaynnudoshayn-1 ecuaciones.EnlaFig.4.23laecuacindelnudoenbeslamismaqueladel nudo en a. En realidad, la ley de los nudos no expresa ms que la conservacin de la carga: tanta carga llega al nudo como carga marcha del nudo por unidad de tiempo. En el ejemplo de la Fig.4.24 tenemosLey de las mallas. En cada malla la suma algebraica de fuerzas electromotrices es igual a la suma algebraica de cadas de tensin Laecuacinesunbalancedeenergaporunidaddecarga,losdiferentessignosdancuentade quelosgeneradorespuedendaroabsorberenergaydequelascadasdetensinenlas resistencias se pueden sumar o restar dependiendo de en que sentidos circulen las corrientes en las diferentes ramas. Cadamallanosdaunaecuacin.Elnmerodemallas,oecuaciones,independientesen uncircuitoesigualalnmerodecortesquehayquehacerparaquequedecompletamente abierto. En el circuito de la Fig.4.23 hay dos ecuaciones independientes. Reglas para aplicar las leyes de Kirchhoff (Alemania 1824): Lasintensidadesentodaslasramassepuedendeterminarsiguiendoestrictamentelas siguientes reglas: a)Se escoge arbitrariamente el sentido de la corriente en cada rama. b)Se escriben las ecuacionespara los nudos. c)Para cada malla se escoge arbitrariamente un sentido de recorrido horario o antihorario. d)Serecorrelamallaen elsentidoelegidoyse escribe laecuacin delamallaponiendoa cada sumando un signo ms o un signo menos segn se d una u otra situacin de las que se indican en la Fig.4.25 (en esta ilustracin se ha elegido sentido de recorrido horario)

e)Se resuelve el sistema de ecuaciones. Si en los resultados sale una intensidad negativa es que el sentido de la corriente en esa rama es el opuesto al que se eligi arbitrariamente. e + e RI + RI = jj jiiI R e3 2 1I I I + =Fig.4.24 Fig.4.25. En esta ilustracin se ha elegido sentido de recorrido horario.Si se pasapor una fuerza electromotriz primero por el polo negativo y luego por el positivo en la ecuacin(4.24) se pone +e y en caso contrario se ponee. Si al pasar por una resistencia el sentido de recorrido coincide con el sentido de la corriente se pone +RI en segundo miembro de la ecuacin (4.24) y si los sentidos son contrarios se pone RI.(4.24) M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 5. 43 Tema 5. Campo magntico 5.1 Campo magntico.5.2 Flujo del campo magntico. 5.3 Circulacin del campo magntico. Teorema de Ampre. 5.4 Fuerza magntica. 5.5 Momento de las fuerzas magnticas. Momento magntico. 5.1 Campo magntico.- Interaccin magntica. Entre imanes: EnlaGreciaclsicayaseconocaquelapiedraimnomagnetitaeracapazdeatraerel hierroylosimanessehanusadocomobrjulasenlanavegacindesdehacesiglosporquela tierramismaesunimn.Quizs,tambinactualmente,lainteraccinentreimanesseala interaccin magntica ms conocida. Un imn tiene dos polos, norte N y sur S, en la proximidad de un polo es donde el imn acta ms intensamente, por ejemplo es donde la fuerza con la que atrae un trozo de hierro es mayor. Entre dos imanes se produce atraccin si se acercan polos diferentes y repulsin si se acercan polos iguales. En la Fig.5.2 un imn provoca que otro ms ligero gire, es lo que le pasa a una brjula bajo la accin de la tierra. Fig.5.1 Fig.5.2 repulsin repulsin atraccin orientacin M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 5. 44 Entre imanes y corrientes. La relacin entre magnetismo y electricidad no se descubri hasta principios del siglo XIX (Oersted(Dinamarca1777)).Sipasamosdetenerdosimanesasustituirunodelosimanes por una espira, tal y como se representa en la Fig.5.3, observaremos fuerza de repulsin o de atraccinsegnseaelsentidodelacorriente.Laespirasecomportacomoelimnficticio representadoatrazos.Siabrazamosconlamanoderechalacorriente,eldedopulgarnos indica el polo N del imn ficticio. De hecho, no es que la corriente sea como un imn, lo que ocurre es que un imn es el resultado macroscpico de corrientes a nivel atmico. EnlaFig.5.4elresultadonetodelascorrientesrepresentadasenla seccin es un tubo de corriente en la superficie. Esta est llena de tubos que se comportan como espiras y el imn se comporta como un solenoide. Entre corrientes Podemos sustituir los dos imanes por dos corrientesyobservaremosfuerzadeatraccino de repulsin como si tuviramos imanes (ficticios) conlospolosescritosentrecomillasdeacuerdo conlaregladelamanoderecha.Lascorrientes paralelasseatraenylasanti-paralelasse repelen.-La interaccin magntica es el resultado de dos procesos:Una corriente elctrica estacionaria, o un imn en reposo, crean un campo magnetosttico. Una sola carga en movimiento crea campo pero variable con el tiempo en cada punto, es un campo no esttico que como tal no se considera en este tema. Si una corriente elctrica, o un imn, o una carga en movimiento se sitan en el seno de un campo magntico sobre cada uno de ellos acta la fuerza magntica. - Campo magntico

: El campo magntico en cada punto se puede determinar midiendo, por ejemplo, la fuerza sobre una carga en movimiento (la expresin de la fuerza se ver en el apartado 5.4). El resultado experimentalparaelcampocreadoporunacorrientefiliformeseexpresaconlasiguiente Fig.5.3 repulsin atraccin Fig.5.4 Fig.5.5M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 5. 45 ecuacin y en la que dl

es un vector tangente a la corriente, con sentido el de la corriente, y r tiene por origen el de dl

y por extremo el punto (x,y,z) donde se calcula el campo. Esta expresin se conoce como la ley de Biot y Savart (Francia 1774 y 1791) La integral es la suma de los vectores dB

obtenidos cada uno para cada dl

del circuito. La unidad de campo magntico es el tesla, T, y Tambin se utiliza el gauss, G, 1G = 10-4 T. Ejemplo: Campo creado por una corriente rectilnea en un punto a distancia d. Cada elemento dl

contribuye con un dB

VemosenlafiguraqueenelpuntoconsideradodB

esperpendicularal papel y entrante. Calculemos el mdulo: Como todos los dB

son paralelos, el mdulo del vector total es la suma delos mdulos resulta una integral no inmediata cuya solucin se da a continuacin, El ltimo resultado se obtiene al sustituir los lmites y considerando que z= es en realidad z>>d. Finalmente: -Lneas de campo, ejemplos: Elpuntoconsideradoenelclculoanteriorescomo cualquier otro de una circunferencia. Las lneas de campo de una corriente rectilnea son circunferencias como la azul de la Fig.5.8. En este caso, si se abraza la lnea de campo con la mano derecha eldedopulgarnosdaladireccinysentidodelacorriente.Otro ejemploeseldelaslneasdelcampocreadoporunacorriente l dr( ) z , y , xrl drl d0 z=zB d}=C30rr l dI4B30rr l dI4B d=d dzrdr dz sen r dz r l d = = = 30rdz 4IddB=}=l ddB B} } == +==z0 z2 / 3 2 20l d30) d z (dz4Id2rdz4IdB2z0 z2 / 1 2 2 2z0 z2 / 3 2 2d1) d z ( dz) d z (dz=(((

+=+ == ==}ATm10 470 = d 2IB0=dFig.5.6 Fig.5.7 Fig.5.8 (5.2) (5.1) M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 5. 46 quecirculaporunaespiracircular,Fig.5.9.Enestecaso,siseabrazalacorrienteconla manoderechaeldedopulgarnosdaladireccinysentidodelcampoenelejedela espira. En la Fig.5.10 se representan las lneas correspondientes a dos espiras. Un enrollamiento de muchas espiras es una bobina, o solenoide, Fig.5.11, a la derecha se representan las lneas de campo. Sideformamoslafiguraanteriortenemosunsolenoidedelongitudmuchomayorqueel radio,Fig.5.12.Enelinteriorlaslneasestnmuchomsjuntasqueenelexterior,esdecirel campoenelinterioresmuchomsintenso.Adems,exceptoenlosbordes,laslneasson paralelas y equidistantes, es decir el campo en el interior es uniforme. En resumen, el campo que crea un solenoide largo se considera que es nulo en el exterior y uniforme en el interior. EnlaFig.5.13serepresentanlaslneasdel campocreadoporunimn,enelexteriordelimnvan desde el polo norte al polo sur. Otro imn se orienta con ladireccinsur-norteenladireccinysentidodel campo.Latierraesunimnconelpolosurgeogrfico prximoalnortemagnticoyviceversa,Fig.5.14.Una brjulaseorientaconsupolonorteapuntandoalnorte geogrfico. Fig.5.9Fig.5.10Fig.5.11. Mirando la bobina desde la derecha la corriente circula en sentido anti horario. Fig.5.12Fig.5.13 M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 5. 47 Estos ejemplos ilustran lo que es vlido en general: Las lneas de campo magntico son cerradas. 5.2 Flujo del campo magntico. - Superficie abierta Despusdeldesarrollodelapartado1.4,aqunosreferimosde entrada al caso ms general, Definimos un flujo elemental para un elemento de superficiecomo el flujo a travs de cualquier superficie es la suma para todos los elementos de superficie y es como el nmero de lneas de campo que la atraviesan salvo una constante. La unidad de flujo es (Tm2 = weber) - Superficie cerrada Laslneasdecampomagnticosonsiemprecerradas.Enconsecuencia,dadauna superficie cerrada tantas lneas de campo salen como entran ya que no tienen principio ni fin. Los flujossalienteyentrantesonigualesperodediferentesigno.Esdecir,elflujoatravsdeuna superficie cerrada es nulo. 5.3 Circulacin del campo magntico. Teorema de Ampre. - Caso particular: Campo de una corriente rectilnea Parahacerlacirculacinescogemosunalneacerrada,enestecasounacircunferencia que coincide con una lnea de campo. El campo a distancia r de la corriente es segn la ecuacin (5.2): dl

yB

sonambostangentesalalnea,esdecir,paralelosentresiysuproductoescalaresel productodelosmdulos.Ademsentodoslospuntosdelalneaelmdulodelcampoes constante. Estas dos circunstancias nos permiten calcular la circulacin: S d B d = } = SS d B S d0 S d BS= } 0 00entrante saliente< >= + = r 2IB0=Fig.5.14Fig.5.15 (5.3) (5.4) M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 5. 48 y sustituyendo el mdulo del campo resulta: - Teorema de AmpreElresultadoobtenidoenelcasoparticularanterioresvlidoparacualquiercampo magnticoycualquierlneacerrada,lademostracinnoseincluyeaqu.ElteoremadeAmpre (Francia 1775) es y expresa lo siguiente: La circulacin del campo magntico a lo largo de una lnea cerrada es igual a 0 por la intensidad I)S(l) que atraviesa la superficie S cuyo contorno es la lnea. La circulacin se puede hacer en sentido horario o anti horario de aqu los dos posibles signos. El signo + se da si elsentidodecirculacinyeldelacorrienteserelacionandeacuerdoconlaregladelamano derecha. En la Fig.5.16 se ilustra el teorema con algunos ejemplos, cada circunferencia define un circulo que es atravesado por I, por I, por nada de corriente y por I I, segn el caso. 5.4 Fuerza magntica. -Fuerza sobre una carga puntual, Fuerza de Lorentz. Eslafuerzaqueactasobreunacargapuntualqquesemuevecon velocidad en el seno de un campo magntico . La ley que expresa la fuerza de Lorentz (Pases Bajos 1853) es: Ladireccindelafuerzaescomoelproductovectorialdelavelocidaddela carga por el campo magnticoEn el ejemplo de la Fig.5.16 se puede observar cmo cambia el sentido de la fuerza dependiendo del signo de q. Los dos casos extremos para el mdulo de la fuerza son: rl d0r 2 B dl B dl B l d Bl l l = = = } } } I l d B0l = } ) l ( S 0l) I ( l d B = } ) I (0 B v q F =I0I00 ) I I (0= vvFFFig.5.16 Fig.5.15. En cada punto el campo magntico es el creado por todas las corrientes , no obstante, su circulacin solo depende de la parte de la corriente que abrace la lnea escogida. Fig.5.16 (5.5) (5.6) vBM.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 5. 49 En este ltimo caso el mdulo del producto vectorial es el producto de los mdulos y

Podemos considerar esta ltima expresin comola definicin del valor del mdulo del campo en cada punto. Ladireccindelvectorresultantedelproductovectorialeslaperpendicularalplanoque determinanlosdosvectoresquesemultiplican.Elsentidosepuedededucirporlaregladel tornillo, o sacacorchos, o por la de la mano derecha u otras. Como la fuerza es perpendicular a la velocidad, es decir a la trayectoria, el trabajo es nulo ylaenergacinticanovara.LafuerzadeLorentzpuedecambiarladireccindelavelocidad pero no su mdulo. Unejemplodemovimientoeseldeunacargapuntualque entraenuncampomagnticoconunavelocidadperpendicularal campo.Lafuerzaesperpendicularalavelocidad,nocambiala energacinticaperoesunafuerzacentrpetaqueoriginauna trayectoria circular, Fig.5.19.Engeneral,enunareginpuedehaberalavezcampo magntico y campo elctrico. La fuerza de Lorentz total es: B v si mxima es FB // v si 0 F=vB q F =B vv qFB||.|=B v q E q F + =Fig.5.17. Para aplicar la regla de la mano derecha ponemos el primer vector del producto en la palma de la mano y giramos la mano para poner el segundo vector sobre el primero, es decir, para poner el segundo tambin en la palma de la mano. El dedo pulgar nos da el sentido del vector producto.Fig.5.18. Los vectores que se multiplican determinan un plano, el vector producto es perpendicular a ese plano. Fig.5.19(5.7)) B v + E ( q = F M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 5. 50 LaFig.5.20muestraunejemploenelque hayuncampomagnticoyuncampoelctrico perpendiculares entre s. Cuando la carga entre en elcondensadorsobreellaactuarnlasdos fuerzasdebidasalosdoscampos,lasuma vectorialserlafuerzaresultante.Uncaso particular,paraesteejemplo,esquelasdos fuerzasseanulencuandosecumplelacondicin qE=qvB, las cargas que tengan esta velocidad a la entrada saldrn sin experimentar ninguna fuerza.- Fuerza sobre una corriente. La fuerza sobre una corriente de intensidad I que est en el seno de un campo magntico B

creado por otras corrientes i/o imanes es: dl

esunvectortangentealacorrientesobrelaque actalafuerzayconelsentidodelacorriente.Enel ejemplo de la Fig.5.21 el campo en azul es creado por laespiraamarillayseconsideralafuerzasobrela espira roja. Como ejemplo calculemos la fuerza de atraccin entre dos corrientes paralelas: dF

eslafuerzaquelacorriente1ejerceaun elementodl

de la corriente 2 enlaFig.5.22podemosverqueresultaunafuerza de atraccin y el mdulo es: Lafuerzasobreuntrozodelongitudl2esla resultante de sumar para los diferentes dl2: sustituyendo B1 tenemos: 5.5 Momento de las fuerzas magnticas. Momento magntico.La fuerza magntica sobre una corriente puede producir translacin y tambin rotacin, a este ltimo movimiento se refiere este apartado. No se incluye una demostracin general de cul es el momento de rotacin, si no que, se ilustra con un ejemplo. -Ejemplo:Espirarectangulardeladosaybenuncampomagnticouniformey perpendicular a los lados de longitud a. La Fig.5.23 ilustra la geometra, adems, se considera que la corriente tiene sentido anti horario mirando desde arriba.1 2 2 2B l d I ) 2 1 ( F d = } =CB l d I F 1 2 2 2B dl I ) 2 1 ( dF = R 2I dl I = ) 2 1 ( F1 02 2 2l dBFig.5.20. El campo magntico es perpendicular al papel y entrante.Fig.5.21 Fig.5.22 1 2 2 2B l I = ) 2 1 ( F(5.8) (5.9) M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 5. 51 El producto nos da la direccin y sentido de la fuerza sobre cada lado. Observando la figura podemos reflexionar sobre los siguientes resultados: La fuerza resultante es nula. Bajo la accin del par de fuerzasyla espira girar hasta situarse en la posicin de flujo mximo, es decir con la superficie perpendicular al campo, o lo que es lo mismo, con el vector superficie paralelo al campo. Elmomentoderotacinsepuedecalcular como el derespecto al punto O, por definicin:

Elmdulodeesbyelnguloqueformanes. Podemos escribir: Siguiendo los mismos pasos que llevaron a la ecuacin (5.9) podemos ver quey sustituyendo: La superficie de la espira es S=ab, entonces: Se define el momento magntico como y por tanto el momento de rotacin es: Lasfuerzasmagnticasgiranlaespiraqueseorientaconelmomentomagnticoparaleloal campo. Una vez que est orientada el momento de rotacin es nulo. La definicin de momento magntico, segn la ecuacin (5.10), es la general para una espira plana, el vector superficie es perpendicular al plano de la espira, el sentido est relacionado con el sentidodelacorrienteporlaregladelamanoderechayelmduloesigualalvalordela superficie de la espira. Aunque se ha justificado solo para un ejemplo, la frmula del momento de rotacin dada por la ecuacin (5.11) es general para una espira plana en un campo uniforme. Una corriente elemental tiene las dimensiones de la superficie pequeas en comparacin con la distancia de observacin. Es un dipolo magntico y se caracteriza por su momento magntico. 1F1Fa B I F1 =) a ( sen F b F rx 1 1 = = B S I ) a ( sen B I Sx = = B m = S I m=1F r = r) a ( sen a B I b F rx 1 = = r1F3FB l d (5.10) (5.11) Fig.5.23 M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 5. 52 Elmomentomagnticodeunsolenoideeslasumadelosdetodassusespiras(Fig.5.24)y, anlogamente, para un imn es la suma de los de sus corrientes de imantacin. En la Fig.5.25, el momento magntico de la brjula se orienta paralelo al campo creado por el imn. Ecuaciones fundamentales del campo magnetosttico mm}= S0 S d B ) l ( S 0l) I ( l d B = } Fig.5.24. Si el nmero de espiras del solenoide es N, el momento magntico es N veces el de una espira Fig.5.25M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 6.53 Tema 6. Induccin electromagntica 6.1 Induccin electromagntica. Ley de Faraday. 6.2 Autoinduccin. Induccin mutua.6.3 Transitorio del circuito R-L. 6.4 Energa magntica. Densidad de energa. 6.1 Induccin electromagntica. Ley de Faraday. - Induccin electromagntica. Lainduccinelectromagnticaseobservaexperimentalmente,consideremosalgunos ejemplos: EnlaFig.6.1unaespirasealejadeunimn,enlaespiranohayungeneradorpero mientras se mueve circula corriente como si lo hubiera. Este fenmeno se conoce como induccin electromagntica.Podemoscortarlaespira,ponerunampermetroymedirlaintensidad,sila espira se para la corriente desaparece. La corriente es la misma si lo que se mueve alejndose es elimn,vistadesdelaizquierdalacorrientetienesentidohorario.Sirepresentamoselimn equivalente (ficticio), para este sentido de la corriente, vemos que la ltima consecuencia es una fuerza de atraccin que se opone a que se alejen. Si se acercan, como en la Fig.6.2, la corriente tienesentidocontrario,entrelaespirayelimnaparecefuerzaderepulsinqueseoponeal movimiento. La conclusin de las observaciones que se hicieron histricamente es que cuando el flujo magntico a travs de un circuito es funcin del tiempo en el circuito aparece una corriente inducida que se opone al cambio (aumento o disminucin de flujo). Recordemos que el flujo es como el nmero de lneas de campo que atraviesan la superficie del circuito. } = espiraSS d B ) tiempo ( = Fig.6.1Fig.6.2 M.V. Garca-Cuenca VaronaFundamentos de Electromagnetismo y ptica.Tema 6.54 En la Fig.6.3 tenemos el mismo ejemplo que en la Fig.6.2 pero lo vamos a analizar desde el punto de vista del flujo. A travs de la espira hay el flujo del campo B creado por el imn. Es un flujo hacia la derecha y que cuando se acercan aumentacon el tiempo, cuanto ms cerca estn mslneasdecampoatraviesanlasuperficiedelaespira.Lacorrienteinducidatienesentido antihorario, vista desde la izquierda, porque as crea un nuevo campo, Binducido que da flujo hacia la izquierda. El flujo total es la suma y seguir siendo hacia la derecha pero no aumentar tanto con el tiempo como si no hubiera Binducido. Matemticamente si al flujo hacia la derecha le damos signo positivo, el flujo hacia la izquierda ser negativo. LaFig.6.4resumelosanlisisacercadela6.2yla6.3,alacercarse,elflujohacala derecha aumenta y la corriente inducida crea flujo hacia la izquierda, la ltima consecuencia es un fuerza de repulsin que se opone al movimiento. En la