Lema de Neyman-Pearson

El criterio habitual para seleccionar entre varios tipos de test para las mismas

hiptesis consiste en fijar la probabilidad de Error de Tipo I () y entre las pruebas con el

mismo error Tipo I, seleccionar el que presenta la mayor potencia (probabilidad de

rechazar , dado que es verdadera) en todos los valores del parmetro que cumplan

la hiptesis alternativa . Esta prueba se denomina uniformemente ms potente. Sin

embargo, esta prueba no siempre existe. El Lema de Neyman-Pearson garantiza su

existencia para hiptesis simples, y proporciona la forma de la regin crtica del test

uniformemente ms potente.

Definicin: Se define la Razn de Verosimilitud Simple a la expresin:

= (; )(;) = (; )(; )

Notar que (; ) es la funcin de verosimilitud correspondiente a la variable aleatoria .

Definicin: Sea , , una muestra aleatoria de ya sea con (;) o (; ). Un test de hiptesis :~(; ) vs :~(; ) se llama test de razn de verosimilitud simple si su regin crtica () est definida por:

= : = (; )(; ) > ; > 0

y la regla de decisin est dada por:

Rechazar si > y No Rechazar si

Lema de Neyman-Pearson: Sea , , una muestra aleatoria de con densidad (; ). Suponga que se desea probar la hiptesis : = vs : = . Si se considera el test de razn de verosimilitud simple con regin crtica de tamao a lo ms

dada por la de definicin de tal test y si es cualquier regin crtica de tamao a

los ms , entonces el test con regin crtica es ms potente que cualquier otro test

asociado con la regin crtica .

Test Uniformemente ms Potentes Suponga ahora que se quiere probar la hiptesis simple : vs : > ,

no existe un teorema general que permita obtener un test de mxima potencia, como el

lema de Neyman-Pearson. No obstante, si podemos aplicar este teorema para buscar una

prueba ms potente para : = vs : = , con > . En muchos casos la forma de la regin crtica no depende de la eleccin de . En

tales casos, la regin crtica es independiente de los valores especficos de , por lo que

ser vlida para todo > . Los test que poseen esta caracterstica maximizan la potencia para todos los valores de mayores que y los llamaremos test

uniformemente ms potente para verificar la hiptesis : frente a : > .

Test de Razn de Verosimilitud Generalizada

Se necesita una metodologa ms general para probar hiptesis bilaterales del tipo

: = vs : y para test cuando hay ms de un parmetro desconocido en la distribucin de la poblacin en estudio, y esta se define a continuacin.

Definicin: Sea , , una muestra aleatoria de ya sea con funcin de densidad (; ). Sean las hiptesis compuestas : vs : , donde y son particiones del espacio paramtrico. Sea ( ; ) la verosimilitud mxima alcanzada dentro de , es decir,

; = sup

(;)

y con la misma notacin, sea (; ) la verosimilitud mxima alcanzada dentro de . Se define el test de razn de verosimilitud generalizada como la prueba con regin crtica de

la forma:

= :() = ; (; )

Test de hiptesis para los parmetros de una

distribucin normal

Ya vistos estos mtodos de construccin de test, los siguientes resultados

resumen los test de hiptesis en relacin a los parmetros de una distribucin normal.

Teorema: Sea , , una muestra aleatoria de ~(,), conocida. Entonces las regiones crticas, para una prueba de tamao , de y especificados

como sigue, son:

> > < < = || >

donde = ()

es el valor observado de una variable normal estndar (media

cero y varianza unitaria).

Sea , , una muestra aleatoria de ~(,), ambos parmetros desconocidos. Entonces las regiones crticas, para una prueba de tamao , de y

especificados como sigue, son:

> > < < = || >

donde = ()

es el valor observado de una variable t-student con 1 grados de libertad.

Para el caso de la varianza, donde = () es el valor observado de una

variable Chi-cuadrado con 1 grados de libertad, se tiene:

> >

< <

= < o >