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VARIABLES ALEATORIAS

Los resultados o valores que tienden a variar de observacin en observacin debido a

factores en que intervienen el azar, pueden ser expresados en trminos de variables

aleatorias. Es decir, una variable aleatoria puede ser definida como una funcin

que asigna la ocurrencia de un suceso, un valor numrico cuyos valores estn regidos

por el azar.

X : (conjunto de los nmeros reales)

A X(A)

De acuerdo a los valores que puedan asumir las variables aleatorias, se clasifican en

Variables Aleatorias Discretas y Variables Aleatorias Continuas.

Al definir una variable aleatoria, estaremos interesados en la distribucin que

presentan estos valores, es decir, se tratar de describir la distribucin de frecuencias

terica o distribucin de probabilidad que representa a la variable aleatoria, de modo

que describa la forma en que se espera que varen los resultados. Debido a que estas

expectativas de que algo suceda, resultan ser modelos tiles para hacer inferencias y

tomar decisiones en condiciones de incertidumbre.

Segn la naturaleza de la variable aleatoria, la distribucin de probabilidad ser

tambin definida como discreta o continua.

1. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Son aquellas cuyos valores resultan de un conteo de elementos (conjunto de los

Naturales), como por ejemplo "Nmero de accidentes de trnsito", "Nmero de libros

en un estante", "Nmero de hijos varones", etc. Tambin cuando sus valores

corresponden a un nmero limitado y fijo, por ejemplo, si en un experimento se asigna

una codificacin (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3).

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Ejemplo .1: El Sr. John Flowers, compra el diario "La Estrategia" o "El Mercurio", en

tres das de la semana. Sean los eventos asociados a este experimento

A: "Compra la Estrategia"

B: "Compra el Mercurio"

Luego, el espacio muestral estar determinado por:

= {(AAA), (AAB), (ABA), (BAA), (ABB), (BAB), (BBA), (BBB)}

Se define la variable aleatoria discreta X: "Nmero de cambios de opinin en la

compra de un diario"

Entonces, esta funcin, X, asigna a cada evento del espacio muestral un valor

numrico, a saber,

X(AAA) = X(BBB=0

no hubo cambio de opinin

X(AAB) = X(BAA) = X(ABB) = X(BBA)=1

existe un cambio de opinin

X(ABA) = X(BAB)=2

cambio de opinin dos veces

El recorrido de esta variable es Rec X = {0, 1, 2}

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1.1. Funcin de Cuanta y Funcin de Distribucin Acumulada

Sea X una variable aleatoria discreta (v.a.d.) y espacio muestral asociado a un

experimento. Se define la Funcin de Cuanta, a aquella que asigna la proporcin de

ocurrencias de cada valor de la variable aleatoria discreta, respecto al total, es decir, es

la distribucin de frecuencias relativa, respecto al total de resultados del espacio

muestral.

Su notacin ser PX(x) = P(X = x) = p(x)

La Funcin de Cuanta, PX(x), debe cumplir las siguientes condiciones :

i) 0 PX(x) 1

ii) Xx

xRec

1 = )=P(X

Se define la Funcin de Distribucin Acumulada, a la distribucin de frecuencias

relativas acumuladas respecto del espacio muestral.

Su notacin es FX(a) = F(a) = P(X a) = P(X = )xa

Del ejemplo anterior, las probabilidades asignadas a los valores de X son:

X=0 AAA,BBB P(X=0) = 2

8

X=1 BAA, ABB, BBA P(X=1) = 3

8

X=2 ABA, BAB P(X=2) = 2

8

Luego, las funciones de cuanta y de distribucin acumulada estn dadas por:

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4

x 0 1 2

P(X = x) 1

4

3

8

1

4

F(x) 1

4

5

8 1

1.2. Valor Esperado y Varianza

Supongamos que en 20 lanzamientos de una moneda, ocurren 15 caras y 5 sellos.

Esto podra llevarnos a pensar que es un resultado extrao. Si se repite el

experimento, pero ahora se lanza 40 veces la moneda con un resultado de 25 caras y

15 sellos; es decir, en total se tendrn 40 caras y 20 sellos en los 60 lanzamientos. Con

estos resultados tenderamos a pensar que la moneda esta algo cargada a las caras,

por entregar un resultado que no esperbamos: 30 caras y 30 sellos. Esta idea de

esperar un resultado, es lo que en la prctica se utiliza cuando los resultados

contienen un grado de incertidumbre. Por lo general, se desarrollan estudios

preliminares con el slo echo de conocer esta medida de valor esperado.

Se define el valor esperado (esperanza) y Varianza de un experimento a :

Esperanza E(X) = P(X = )Rec

x xx X

Varianza 22 (E(X))-)E(X=V(X) donde

E(X ) = P(X = )2

Rec

x xx X

2

Desviacin Estndar S(X) = V(X)

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Ejemplo .2: Se efecta un control de calidad a la leche descremada, para determinar

si las cajas estn bien selladas, dado que existe una probabilidad de 50%

de encontrar una defectuosa. Se eligen 4 cajas de leche al azar.

Cuntas cajas se espera que estn defectuosas y cul es su variacin ?

Experimento E: "Control de Calidad"

Sean los sucesos B: "La caja est buena", D: "La caja est defectuosa" y el espacio

muestral asociado al experimento = { BBBB; BBBD; BBDB; BBDD; BDBB; BDBD;

BDDB; BDDD; DBBB; DBBD; DBDB; DBDD; DDBB; DDBD; DDDB; DDDD }

Sea la variable aleatoria (discreta)

X: "N de cajas de leche defectuosas". Su recorrido est dado por RX:{0,1,2,3,4}; luego,

las probabilidades asignadas a los valores de la variable aleatoria, sern:

X=0 BBBB P(X=0) = 1

16

X=1 BBBD,BBDB,BDBB,DBBB P(X=1) = 4

16

X=2 BBDD,BDBD,BDDB,DBBD,DBDB,DDBB P(X=2) = 6

16

X=3 BDDD,DBDD,DDBD,DDDB P(X=3) = 4

16

X=4 DDDD P(X=4) = 1

16

Entonces, la funcin de cuanta estar definida por:

N de Cajas Defectuosas 0 1 2 3 4

P(X=x) 1

16

4

16

6

16

4

16

1

16

E(X) = 01

16 1

4

162

6

163

4

164

1

16 = 2 cajas defectuosas

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6

E(X2) = 0

1

16

2 2 14

162

6

163

4

164

1

16

2 2 2 = 5 (cajas2)

V(X) = E(X2) - (E(X))

2 = 5 - (2)

2 = 1 (caja

2)

S(X) = 1 caja defectuosa

Por lo tanto, en el control de calidad se espera encontrar en promedio 2 cajas defectuosas,

este promedio tiene una variabilidad de 1 con caja con defectos.

2. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Son aquellas que pueden asumir un valor dentro de un determinado intervalo

(Conjunto de los Reales), como por ejemplo, "Tiempos de esperas", Longitud de

cuerdas", "Precios de un artculo",..., etc.

2.1. Funcin de Densidad y Funcin de Distribucin Acumulada

Para las variables aleatorias continuas se define la Funcin de Densidad de

Probabilidad (f.d.p.), fX(x) o simplemente f(x), como una funcin que va desde el

espacio muestral a un intervalo real.

Se deben cumplir las siguientes condiciones :

i) 0 f(x) 1

ii) f( )dx = 1

+

x

Se define la Funcin de Distribucin Acumulada, como el rea bajo la curva de la

funcin de densidad.

Su notacin es FX(a) = F(a) = P( X a ) = f( )dxx

a

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La funcin de distribucin nos da la probabilidad, no as la funcin de densidad.

Notas:

a) Al derivar la funcin de distribucin acumulada se obtiene la funcin de

densidad de probabilidad.

b) La probabilidad en un punto es igual a 0, esto es, P(X = a) = 0, si X es una variable

aleatoria continua.

2.2. Valor Esperado y Varianza

Sea X, variable aleatoria continua, y f(x), su funcin de densidad de probabilidad, se

define la esperanza y varianza de X a las cantidades:

Esperanza E(X) = x x

f( )dx+

Varianza V(X) = E(X2) - (E(X))2 donde E(X2) = x x2+

f( )dx

Ejemplo 5.3: Sea X v.a. continua, que denota el tiempo de vida de un aparato elctrico

expresado en das de operacin, cuya funcin de densidad est dada por:

f( ) =

k si 365

0 si 365

xx

x

x

4

a) Encontrar la constante k, para que f(x), sea f.d.p.

b) Determinar la Funcin de Distribucin Acumulada.

c) Cul es el tiempo de vida esperado del aparato elctrico y su varianza?

Solucin:

a) Para encontrar el valor de k se debe cumplir que f( )dx = 1

+

x

, entonces,

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f( )dx + f( )dx = 1365

+

x x

365

0 dx + k

dx = 14365

+

x

365

0 + k dx-2

365

+

x 1 k - 4 +1

x 4 1

3651

k

3 = 1

13

365x

k

30 -

1

365

k

3 3653 31

entonces, k = 3 . 3653.

Se puede redefinir la funcin de densidad, de la forma

f( ) =

3 365 si 365

0 si 365

xx

x

x

4

b) F(x) = 0 si x

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c) Esperanza de X

E(X) = x x

f( )dx+

= x x x x

f( )dx + f( )dx

365

365

=

0365

xx

3 365dx

3

4

= 3 3651

dx3

3

x365

= 3 3653 1

3

365

x -3+1

=

3 365

2

13

2365x

=

1 5 365 0

1

365

3

2, = 1,5 . 365 = 547,5 das

es decir, se espera que el aparato tenga una duracin de un ao y medio de uso

continuado.

Varianza de X

V(X) = E(X2) - (E(X))

2

E(X) = x x2

f( )dx+

= x x x x2 2

365

f( )dx + f( )dx

365

=

02

365

xx

3 365dx

3

4

= 3 3651

dx3

2

x

365

=

3 3651

3

365x =

3 365 0

1

365

3 = 3

. 3652

V(X) = 3 . 3652 - (1,5 . 365)

2 = 0,75 . 365

2

S(X) = 0 75 3652, = 0,866 . 365

es decir, existe una variabilidad de 10 meses en el promedio de duracin.

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Ejemplo 5.4: Una estacin de servicios recibe gasolina una vez por semana. Si su

volumen semanal de ventas en miles de galones, se distribuye con funcin de densidad

dada por:

f(x) = 5 . (1-x)4 0 < x < 1

Cul deber ser la capacidad del depsito a fin de que la probabilidad que se agote en

una semana determinada sea del 1% ?

Solucin:

Sea X : "Volumen semanal de venta en miles de galones" y sea C la capacidad del

depsito.

Entonces, se tiene que P( X < C ) = 0.01

P(X < C) = 5 (1- ) dx4 x

C

0

= -5(1- )

5

x C

5 0 = 0,01

( )1

5

0

cc

= 0,01 -(1-c)5 + 1 = 0,01 (1-c)5 = 0,99 c =

0,002008

Por lo tanto, el depsito deber tener un volumen mnimo de 2 galones, por semana

para que no se agote con una probabilidad del 1%.

3. Propiedades de la Esperanza y Varianza

Sea X una variable aleatoria discreta o continua y sean a, b constantes cualesquiera.

i) E(X a) = E(X) a

ii) E( b . X ) = b . E(X)

iii) V(X a) = V(X)

iv) V( b . X ) = b . V(X)