Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

164

Transcript of Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 1/164

½ 

Ô Ù Ò Ø   Ð Ù Ð Ó Ò Î Ö × Î Ö Ð ×  

È Ø Ö Ó Ð Ñ Ö Ý Ð Ò Ö Ó Â Ó Ö  

Ó Ò Ð Ó Ð Ó Ö  Ó Ò  

È Ù Ð Ó × ¸ Å Ø × Ù Ð Ò × ¸ Ö Ø Ù Ö Ó È Ö Ø ¸ Ä Ù × Ê Ñ Ö Ý Â Ó × Ñ Ó Ö  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 2/164

¾ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 3/164

Ô Ø Ù Ð Ó ½      

    Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð    

½ º ½ × Ð Ö Ý Ó Ñ Ø Ö      Á Ê 

Ò 

× Ø Ô Ö Ñ Ö Ô Ø Ù Ð Ó Ø Ò Ó Ñ Ó Ó Ø Ú Ó Ð × Ø Ù Ó Ð × Ù Ò Ó Ò × Ú Ö ×  

Ú Ö Ð × º × Ø × Ú Ö Ð × × Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ó ×   Á Ê  ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ð Ó Ò Ø Ù Ö Ð ×  

Ø Ö Ö Ò   Á Ê 

Ò 

¸ Ó Ò   Ò  ¾   Á Æ  

¬ Ò  Ó Ò ½ º ½   Ó Ø Ñ Ó × Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó   Á Ê 

Ò 

Ù Ò × Ø Ö Ù Ø Ù Ö × Ô Ó Ú ¹  

Ø Ó Ö Ð Ñ Ò Ø Ð × × Ù Ò Ø × Ó Ô Ö Ó Ò × Ô Ö   Ü   ́ Ü 

½ 

Ü 

¾ 

  ¡ ¡ ¡  Ü 

Ò 

µ  ¾   Á Ê 

Ò 

 ̧

Ý   ́ Ý 

½ 

Ý 

¾ 

  ¡ ¡ ¡  Ý 

Ò 

µ  ¾   Á Ê 

Ò 

  Ý    ¾   Á Ê  ¬ Ò Ñ Ó ×  

Ë Ù Ñ   Ü  ·  Ý   ́ Ü 

½ 

·  Ý 

½ 

  ¡ ¡ ¡  Ü 

Ò 

·  Ý 

Ò 

µ   

È Ö Ó Ù Ø Ó Ô Ó Ö × Ð Ö   Ü   ́ Ü 

½ 

  ¡ ¡ ¡  Ü 

Ò 

µ   

Ð × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð   Á Ê 

Ò 

Ø Ò Ñ Ò ×  Ó Ò  Ò  º Ò Ø Ö Ð × Ñ Ù × Ô Ó × Ð ×  

× ×   Á Ê 

Ò 

Ò Ó × Ò Ø Ö × Ö   Ó Ò × Ö Ö ¸ Ô Ó Ö × Ù × Ñ Ô Ð ¸ Ð Ð Ð Ñ   ×  

Ò  Ó Ò       

 

  

Ò 

  ½ 

¸ Ó Ò    

 

´ ¼    ½    ¼ µ Ó Ò Ð Ù Ò Ó Ò Ð Ô Ó ×  Ó Ò    º ×  

Ø Ó Ó   Ü   ́ Ü 

½ 

  ¡ ¡ ¡  Ü 

Ò 

µ  ¾   Á Ê 

Ò 

× Ô Ù Ö Ô Ö × Ò Ø Ö Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ð ×  

Ò  Ó Ò Ó Ñ Ó  

Ü   

Ò 

  

  ½ 

Ü 

 

 

 

 

À Ò Ó Ý ¬ Ò Ó Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ð Ö   Á Ê 

Ò 

Ú Ñ Ó × Ò Ø Ö Ó Ù Ö  

Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ó Ñ Ø Ö   Á Ê 

Ò 

Ø Ö Ú × Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó ´ Ó Ô Ö Ó Ù Ø Ó  

Ô Ù Ò Ø Ó µ  

¿ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 4/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

¬ Ò  Ó Ò ½ º ¾   Ó ×   Ü Ý  ¾   Á Ê 

Ò 

¸ × ¬ Ò Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó  

Ü    Ý  Ó Ñ Ó  

Ü  ¡  Ý      Ü Ý     

Ò 

  

  ½ 

Ü 

 

Ý 

 

 

Ä × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò Ö × Ù Ñ Ð × Ô Ö Ó Ô ×   × × Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó º  

Ë Ù Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò × Ñ Ù Ý × Ñ Ô Ð º  

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ½ º ½   ´ È Ö Ó Ô × Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó µ  

È ½ µ È Ö Ø Ó Ó   Ü 

¾  Á Ê 

Ò 

× Ø Ò  

 Ü Ü 

  ¼  Ý 

 Ü Ü 

  ¼  × Ý ×  Ó Ð Ó ×   Ü   

¼  º ´ È Ó × Ø Ú µ  

È ¾ µ È Ö Ø Ó Ó   Ü Ý Þ   ¾   Á Ê 

Ò 

Ý    ¾   Á Ê    Ü  ·  Ý Þ          Ü Þ    ·    Ý Þ    º ´ Ä Ò Ð µ  

È ¿ µ È Ö Ø Ó Ó   Ü Ý  ¾   Á Ê 

Ò 

  Ü Ý        Ý Ü      ´ Ë Ñ Ø Ö µ º  

Ä Ò Ó  Ó Ò Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ù Ñ Ò Ö Ò Ø Ù Ö Ð Ð Ò Ó  Ó Ò Ò Ó Ö Ñ  

Ó Ð Ó Ò Ø Ù Ù Ò Ú Ø Ó Ö º  

¬ Ò  Ó Ò ½ º ¿   Ë ¬ Ò Ð Ò Ó Ö Ñ Ù Ò Ú Ø Ó Ö   Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

Ó Ñ Ó  

  Ü     

Ô   

Ü  ¡  Ü 

Ä × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò × Ø Ð Ù Ò × Ù Ð Ò Ø Ö Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ý  

Ò Ó Ö Ñ Ú Ø Ó Ö ×   Á Ê 

Ò 

º Ð Ð Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø ¬ Ò Ö Ð Ò Ó  Ó Ò   Ò Ù Ð Ó Ò Ø Ö  

Ú Ø Ó Ö ×   Á Ê 

Ò 

¸ Ò Ó Ò Ú Ò Õ Ù Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ø Ö Ñ Ò Ð  

Ó Ñ Ø Ö   Á Ê 

Ò 

º 

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ½ º ¾   ´ × Ù Ð Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ µ  

  Ü  ¡  Ý    Ü    Ý         Ü Ý  ¾   Á Ê 

Ò 

 

Ë Ø Ò Ð Ù Ð × Ý ×  Ó Ð Ó × Ü × Ñ  Ù Ð Ø Ô Ð Ó × Ð Ö Ý Ó Ù Ò Ó Ð Ð Ó × ×  

¼ º 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   Ë Ò   Ü Ý  ¾   Á Ê 

Ò 

Ý ×   Ø  ¾   Á Ê  º Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ö Ð × Ô Ö Ó Ô ×  

Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù  

¼    Ü  ·  Ø Ý Ü   ·  Ø Ý        Ü Ü    · ¾  Ø    Ü Ý    ·  Ø 

¾ 

  Ý Ý     

Ë   Ý  ¼ Ò Ø Ó Ò × Ð × Ù Ð Ò Ø Ù Ö Ð Ñ Ò Ø Ú Ð º Ë   Ý  ¼ Ò Ø Ó Ò ×  

Ò Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ð Ü Ô Ö ×  Ó Ò Ö Ö Ø Ö Ñ Ò Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ù Ö   Ø Õ Ù ×  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 5/164

½ º ½ º Ë Ä Ê Á Ç Å  

 

Ì Ê Á   Á Ê 

Æ 

 

Ò Ù Ð Ð Ó Ñ   × Ù Ò Ú Þ Ò   Ø  ¾   Á Ê  º × Ø Ó Ñ Ô Ð Õ Ù Ð × Ö Ñ Ò Ò Ø × Ö  

Ò Ø Ú Ó Ó Ò Ù Ð Ó ¸ × Ö ¸  

 

 Ü Ý 

 

¾ 

   

 Ü Ü 

 

¾ 

 Ý Ý 

 

¾ 

  ¼   

Ó Ò × Ó Ø Ò Ð × Ù Ð × º Ù Ò Ó   Ü  × Ñ  Ù Ð Ø Ô Ð Ó   Ý  Ò ¹ 

Ø Ó Ò × Ð Ö Ñ Ò Ø × Ø Ò Ð Ù Ð º É Ù Ö Ó Ô Ö Ó Ö Ð Ö Ô Ö Ó º  

£ 

Ä × Ù Ð Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø ¬ Ò Ö Ð Ò Ó  Ó Ò   Ò Ù Ð Ó  

Ò Ø Ö Ú Ø Ó Ö × º  

¬ Ò  Ó Ò ½ º   Ó ×   Ü Ý  ¾   Á Ê 

Ò 

Ð Ð Ñ Ö Ñ Ó ×   Ò Ù Ð Ó Ò Ø Ö Ü Ý  

    Ö Ó ×  

Ü  ¡  Ý 

  Ü    Ý   

 

Ò Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù     ¾   ¼      º 

Ó Ò × Ø ¬ Ò  Ó Ò Ô Ó Ñ Ó × Ð Ö Ú Ø Ó Ö ×   Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð ×   Ù Ò Ó Ð   Ò Ù Ð Ó  

Ò Ø Ö Ð Ð Ó × × ¼  

Ó 

¸ × Ö ¸ Ù Ò Ó     Ü Ý    ¼ º 

Ì Ñ Ò Ú Ñ Ó × Ð Ú Ð Þ Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Ó × Ò Ó  

  Ü     Ý   

¾ 

    Ü   

¾ 

·    Ý   

¾ 

   ¾    Ü Ý        Ü   

¾ 

·    Ý   

¾ 

   ¾    Ü    Ý    Ó ×  

Ù Ò Ó Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × × Ó Ò Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð × Ø Ò Ñ Ó × Ð Ì Ó Ö Ñ È Ø   Ó Ö × º  

Ó Ñ Ó Ý Ñ Ó × ¸ Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ù Ð Ò Ó  Ó Ò Ò Ó Ö Ñ ¸ Ð Õ Ù  

Ð   Á Ê 

Ò 

× Ù Ö   Ø Ö Ø Ó Ô Ó Ð  Ó Ó ¸ Ó Ñ Ó Ý Ú Ö Ñ Ó × º È Ó Ö Ð Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó Ú Ñ Ó ×  

Ð × Ô Ö Ó Ô ×   × × Ð Ò Ó Ö Ñ º  

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ½ º ¿   ´ È Ö Ó Ô × Ð Ò Ó Ö Ñ µ  

Æ ½ µ È Ö Ø Ó Ó   Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

  Ü     ¼  Ý    Ü    ¼  × Ý ×  Ó Ð Ó ×   Ü  ¼  º ´ È Ó × Ø Ú µ  

Æ ¾ µ È Ö Ø Ó Ó   Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

  ¾   Á Ê    Ü            Ü      ´ À Ó Ñ Ó Ò µ  

Æ ¿ µ È Ö Ø Ó Ó   Ü Ý  ¾   Á Ê 

Ò 

  Ü  ·  Ý    Ü    ·    Ý    ´ × Ù Ð Ì Ö Ò Ù Ð Ö µ  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   Æ ½ µ Ý Æ ¾ µ × Ó Ò Ö Ø × Ð Ð × Ô Ö Ó Ô × Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó  

Ò Ø Ö Ò Ó Ý Ð ¬ Ò  Ó Ò Ò Ó Ö Ñ º  

Ä × Ù Ð Ì Ö Ò Ù Ð Ö × Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ð × Ù Ð  

Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ º È Ö   Ü Ý  ¾   Á Ê 

Ò 

Ø Ò Ñ Ó ×  

 Ü  ·  Ý Ü  ·  Ý 

  

 Ü  ·  Ý 

 

¾ 

 

 Ü 

 

¾ 

· ¾ 

 Ü Ý 

 · 

 Ý 

 

¾ 

 Ü 

 

¾ 

· ¾ 

 Ü 

 Ý 

 · 

 Ý 

 

¾ 

 

Ó Ò × Ó Ø Ò  

  Ü  ·  Ý   

¾ 

    ́   Ü    ·    Ý    µ 

¾ 

  £ 

Æ Ó Ø  Ó Ò  Ó Ö Ò Ð Ò Ø Ô Ö Ö Ñ Ó × Ò Ó Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ö  

Ú Ø Ó Ö ×   Ü    Ý  Ó Ñ Ó   Ü  ¡  Ý  º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 6/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

½ º ¾ Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Î Ð Ó Ö × Ò      Á Ê 

Ñ 

¬ Ò  Ó Ò ½ º   Ä Ð Ñ Ö Ñ Ó ×       Ù Ò  Ó Ò Ú Ð Ó Ö × Ò   Á Ê 

Ñ 

×            Á Ê 

Ò 

   

Á Ê 

Ñ 

º 

Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ð Ö Ù Ñ Ò Ø Ó     × Ù Ò Ú Ø Ó Ö   Ü   ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ  ¾   Á Ê 

Ò 

Ý Õ Ù  

Ð Ñ Ò   Ü  × Ù Ò Ú Ø Ó Ö   Á Ê 

Ñ 

º ×      ́ Ü  µ  ́  

½ 

 ́ Ü  µ    ¡ ¡ ¡   

Ñ 

 ́ Ü  µ µ    Ó Ò Ð ×  

Ù Ò Ó Ò ×    

 

       Á Ê      Á Ê  Ô Ö     º Ä × Ù Ò Ó Ò ×    

 

× Ó Ò Ó Ò Ó Ñ Ó  

  Ù Ò Ó Ò × Ó Ó Ö Ò × º  

È Ö Ð × Ø Ù Ó Ð × Ù Ò Ó Ò ×   Á Ê 

Ò 

Ú Ð Ó Ö × Ò   Á Ê 

Ñ 

Ú Ñ Ó × × Ö Ö Ó Ð Ð Ö  

Ð × Ö Ö Ñ Ò Ø × Ð   Ð Ù Ð Ó Ö Ò Ð º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ð Ô Ó × Ð  

Ù Ö Ò Ð × Ó Ñ Ò × Ó Ò × Ô Õ Ù  Ò × ¸ × × Ñ Ô Ö Ð Ó Ñ Ù Ý  Ù Ø Ð º Å   × 

 Ù Ò Ó Ö Õ Ù Ø Ò Ñ Ó × Ô Ö Ó Ö Ñ × Ó Ñ Ô Ù Ø Ó Ò Ð × Ñ Ù Ý ¬ Ò Ø × Ô Ö × Ø  

Ø Ö º Ó Ò Ø Ò Ù  Ó Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò Ø Ö Ñ Ò Ó Ð Ó º  

¬ Ò  Ó Ò ½ º   Ä Ð Ñ Ö Ñ Ó × Ö Ó Ù Ò Ù Ò  Ó Ò           Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

Р

Ó Ò Ù Ò Ø Ó  

   ́   µ       ́ Ü    ́ Ü  µ µ  Ü  ¾         

Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù      ́   µ     Á Ê 

Ò  ·  Ñ 

º × Ø × Ô Ó Ö   Ù Ö Ù Ò Ó   Ñ  ½ Ý  Ò  ½ Ó 

Ò  ¾ º Ò Ð Ô Ö Ñ Ö × Ó Ð Ö Ó × Ù Ò Ù Ö Ú Ý Ò Ð × Ù Ò Ó Ù Ò × Ù Ô Ö ¬ º  

Ö Ó ½ º ½   Ù Ð Ö Ó Ð Ù Ò  Ó Ò Ó × Ú Ö Ð × ¬ Ò Ô Ó Ö  

   ́ Ü Ý  µ   Ü 

¾ 

   Ý 

¾ 

º 

¬ Ò  Ó Ò ½ º   Ù Ò Ó   Ñ  ½  Ý Ó     ¾   Á Ê  × ¬ Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Æ Ú Ð  

Ð Ù Ò  Ó Ò    Ó Ñ Ó  

Æ 

 

 ́   µ      Ü  ¾      ́ Ü  µ         

Ò Ð × Ó Ò Õ Ù   Ò  ¾ Ý  Ò  ¿ Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ú Ð   Æ 

 

 ́   µ × Ô Ù Ù Ö º  

Ë Ð Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ù Ö Ú Ò Ú Ð Ù Ò Ó   Ò  ¾ Ý × Ù Ô Ö ¬ Ò Ú Ð ×   Ò  ¿ º 

Ö Ó ½ º ¾   Ù Ð × × Ù Ô Ö ¬ × Ò Ú Ð Ô Ö Ð Ù Ò  Ó Ò Ø Ö × Ú Ö Ð ×  

¬ Ò Ô Ó Ö      ́ Ü Ý Þ   µ   Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

   Þ 

¾ 

º 

Ö Ó ½ º ¿   ½ µ Ù Ð × Ù Ö Ú × Ò Ú Ð Ð Ù Ò  Ó Ò     ́ Ü Ý  µ   Ü 

¾ 

   Ý 

¾ 

º 

× Ø Ù Ò  Ó Ò × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó × Ð Ð ´ × Ð Ð Ñ Ó Ò Ø Ö µ º  

¾ µ Ù Ð × Ù Ö Ú × Ò Ú Ð Ð Ù Ò  Ó Ò     ́ Ü Ý  µ   Ü 

¿ 

   ¿  Ü Ý 

¾ 

º × Ø  

  Ù Ò  Ó Ò × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ë Ð Ð Ð Å Ó Ò Ó º È Ó Ö Ö Ô Ó Ö Õ Ù  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 7/164

½ º ¿ º Ä  

 

Á Å Á Ì Ë Ç Æ Ì Á Æ Í Á    

½ º ¿ Ä Ñ Ø × Ý Ó Ò Ø Ò Ù      

Ä Ò Ó  Ó Ò Ð Ñ Ø Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ù Ò Ó Ò ×   Á Ê 

Ò 

Ò  Á Ê 

Ñ 

Ò Ú Ó Ð Ù Ö Ð  

Ö   Ø Ö Ø Ó Ô Ó Ð  Ó Ó × Ø Ó × × Ô Ó × ¸ Ò Ù Ó Ô Ó Ö Ð Ò Ó Ö Ñ º  

Ò Ð × Ø Ù Ó Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó   Á Ê 

Ò 

¸ Ù Ò Ö Ó Ð Ù Ò Ñ Ò Ø Ð × Ù Ó Ô Ó Ö  

Ð × Ó Ð × Ö Ø × º  

¬ Ò  Ó Ò ½ º   Ó ×   Ü 

¼ 

¾   Á Ê 

Ò 

 ̧ Ö  ¾   Á Ê 

· 

¸ Ð Ð Ñ Ö Ñ Ó × Ó Ð Ö Ø Ò Ø Ö Ó  

Ò  Ü 

¼ 

Ý Ö Ó   Ö  Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó  

   ́ Ü 

¼ 

Ö  µ  

  Ü 

¾  Á Ê 

Ò 

 

 Ü 

  Ü 

¼ 

  Ö 

   

Ä Ð Ñ Ö Ñ Ó × Ó Ð Ö Ö Ò Ø Ö Ó Ò   Ü 

¼ 

Ý Ö Ó   Ö  Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó  

   ́ Ü 

¼ 

Ö  µ      Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

    Ü     Ü 

¼ 

   Ö      

¬ Ò  Ó Ò ½ º   Ö Ñ Ó × Õ Ù        Á Ê 

Ò 

× Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ×  

 ́    Ü 

¼ 

¾     µ  ́    Ö   ¼ µ      ́ Ü 

¼ 

Ö  µ      

Ñ Ô Ð Ó ½ º ½   Á Ê 

Ò 

Ý Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ú Ó      ¸ × Ó Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × º  Ù Ò Ù Ò Ó  

Á Ê 

Ò 

× Ó Ú Ñ Ò Ø Ö Ø Ó ¸ Ð × Ó Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ú Ó Ö Õ Ù Ö Ù Ò Ö - Ü  Ó Ò º 

Ë      Ò Ó × Ö Ø Ó Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø   Ü 

¼ 

¾    Ô Ö Ð Ù Ð      ́ Ü 

¼ 

Ö  µ     Á Ê 

Ò 

     ¸ Ô Ö  

  Ö   ¼  º × Ø Ó × × Ù Ö Ó Ô Ù × Ò Ó Ý Ð Ñ Ò Ø Ó × Ò      º 

Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾   Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó           ́ Ü Ý  µ  Ü   ½     × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º Ò  

Ø Ó ¸ ×    ́ Ü Ý  µ  ¾     Ò Ø Ó Ò ×     ´  ́ Ü Ý  µ   

Ü    ½ 

¾ 

µ       º 

Ñ Ô Ð Ó ½ º ¿   Ë   Ü 

¼ 

¾   Á Ê  Ý  Ö   ¼  Ò Ø Ó Ò ×      ́ Ü 

¼ 

Ö  µ  × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º  

Ò Ø Ó ¸ ×   Ü  ¾      ́ Ü 

¼ 

Ö  µ  Ò Ø Ó Ò ×      ́ Ü    ́ Ö    Ü     Ü 

¼ 

  µ    ¾ µ        ́ Ü 

¼ 

Ö  µ  º Í × Ò Ó  

Ð × Ù Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ö Ñ Ù × Ø Ö Ð Ú Ö × Ø  Ù Ð Ø Ñ ¬ Ö Ñ  Ó Ò Ý 

Ù Ò Ù Ó º  

¬ Ò  Ó Ò ½ º ½ ¼   Ö Ñ Ó × Õ Ù        Á Ê 

Ò 

× Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó ×    

 

× 

Ö Ø Ó º  

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º ½   Æ Ó Ø Ö Õ Ù Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×   Á Ê 

Ò 

Ý     × Ó Ò Ö Ø Ó × Ý Ö Ö Ó × º  

Ì Ñ Ò Ò Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ý Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Õ Ù Ò Ó × Ó Ò Ö Ø Ó × Ò Ö Ö Ó × º Î Ö  

Ñ Ô Ð Ó Ó º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 8/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ñ Ô Ð Ó ½ º   Ë Ò         

½ 

Ò 

Ò  ¾   Á Æ     Ý           ¼     º Ò Ø Ó Ò ×  

µ    Ò Ó × Ö Ö Ó º Ò Ø Ó    

 

Ò Ó × Ö Ø Ó ¸ Ô Ù ×   ¼  ¾    

 

Ý    ́    Ö  

¼ µ    ´ ¼  Ö  µ      

 

  Ä Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ô Ù × Ù Ð Õ Ù Ö ×   Ö   ¼  × Ø Ò Õ Ù  

 ́    Ò  ¾   Á Æ  µ  Ø Ð Õ Ù  

½ 

Ò 

Ö  

× Ö ¸  

½ 

Ò 

¾    ´ ¼  Ö  µ  º 

µ    Ò Ó × Ö Ø Ó Ô Ù ×   ½  ¾     ¸ Ô Ö Ó    ́    Ö   ¼ µ     ́ Ü 

¼ 

Ö  µ       º 

µ     × Ö Ö Ó Ý Ò Ó × Ö Ø Ó º  

Ó Ñ Ó Ò Ð × Ó   Á Ê  Ù Ò Ó Ô Ù ¬ Ò Ö × Ù × Ó Ò × Ú Ø Ó Ö × Ò   Á Ê 

Ò 

º 

Ë Ø Ö Ø Ù Ò Ù Ò Ó Ò ×   Á Æ      Á Ê 

Ò 

Ø Ð × Õ Ù         Ü 

 

º Í × Ù Ð Ñ Ò Ø ×  

Ó Ò × Ö Ð Ò Ó Ø  Ó Ò     Ü 

 

  

  ¾  Á Æ 

º 

¬ Ò  Ó Ò ½ º ½ ½   Í Ò × Ù ×  Ó Ò     Ü 

 

  

  ¾  Á Æ 

Ò  Á Ê 

Ò 

× Ó Ò Ú Ö Ò Ø   Ü  ¾  

Á Ê 

Ò 

×  

 ́

     ¼ µ  ́

   

¼ 

¾  Á Æ  µ  

 Ü 

 

  Ü 

     ́

   

   

¼ 

µ 

Ò Ð × Ó Õ Ù   Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

Ó Ò Ú Ö   Ü  Ò Ó Ø Ñ Ó ×   Ü 

 

    Ü  Ó Ð Ñ  

  ½ 

Ü 

 

  Ü  º 

Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ð Ó Ò  Ó Ò    Ü 

 

   Ü      × Õ Ù Ú Ð Ò Ø   Ü 

 

¾      ́ Ü   µ   

× Ò Ø Ö × Ò Ø Õ Ù Ù Ò Ó Ô Ù Ö Ø Ö Þ Ö Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ö Ó Ñ Ò Ø  

Ð Ù × Ó × Ù × Ó Ò × º Ò Ö Ð Ù Ò Ó Ô Ó Ö × Ö Ö Ó Ñ Ô Ð Ø Ñ Ò Ø Ð  

Ø Ó Ô Ó Ð Ó   Á Ê 

Ò 

Ù × Ò Ó × Ù × Ó Ò × ¸ Ô Ö Ó Ò Ó Ð Ó Ö Ñ Ó × º  

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ½ º    

  Á Ê 

Ò 

× Ö Ö Ó × Ý ×  Ó Ð Ó ×  

È Ö Ø Ó × Ù ×  Ó Ò     Ü 

 

  

  ¾  Á Æ 

     ´  ́ Ü 

 

    Ü  µ  µ    Ü  ¾     µ   

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò    ́ µ    µ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù     × Ö Ö Ó º Ë      Ü 

 

  

  ¾  Á Æ 

    

Ù Ò × Ù ×  Ó Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ø Ð Õ Ù Ð Ñ  

Ü 

 

  Ü 

Ü 

 

  Ü  º É Ù Ö Ñ Ó × Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù  

Ü  ¾     º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ò Ó ¸ × Ö ¸ Õ Ù   Ü  ¾    

 

º Ó Ñ Ó     × Ö Ö Ó ¸ Ü × Ø  

  ¼ Ø Ð Õ Ù      ́ Ü   µ      

 

º È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ Ð ¬ Ò  Ó Ò Ð Ñ Ø ¸ Ü × Ø  

 

¼ 

¾   Á Æ  Ø Ð Õ Ù   Ü 

 

¾      ́ Ü   µ Ô Ö Ø Ó Ó         

¼ 

¸ Ð Ó Õ Ù × Ñ Ô Ó × Ð Ô Ù ×  

Ü 

 

¾    º 

 ́

 ́  µ È Ö Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ö Ô Ö Ó Ô Ö Ó Ñ Ó × Ð Ó Ò Ø Ö Ö Ö Ô Ö Ó º × Ö ¸  

×     Ò Ó × Ö Ö Ó Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò × Ù ×  Ó Ò     Ü 

 

  

  ¾  Á Æ 

     Õ Ù Ó Ò Ú Ö  

Ü  Ý  Ü  ¾     º 

Ó Ñ Ó     Ò Ó × Ö Ö Ó ¸    

 

Ò Ó × Ö Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó   Ü  ¾    

 

Ø Ð Õ Ù  

È Ö Ø Ó Ó     ¼ × Ø Ò      ́ Ü   µ             

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 9/164

½ º ¿ º Ä  

 

Á Å Á Ì Ë Ç Æ Ì Á Æ Í Á    

× Ø Ô Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø Ó Ò × Ø Ö Ù Ö Ù Ò × Ù ×  Ó Ò     Ü 

 

     Ð × Ù Ò Ø  

Ñ Ò Ö Ô Ö     ¾   Á Æ  Ø Ó Ñ Ñ Ó ×      

½ 

 

Ò Ø Ó Ò × ¸ Ó Ñ Ó      ́ Ü   ½    µ             ̧

Ô Ó Ñ Ó × Ð Ö   Ü 

 

¾      ́ Ü  

½ 

 

µ Ý  Ü 

 

¾     º È Ó Ö ¬ Ò  Ó Ò × Ø × Ù ×  Ó Ò Ó Ò Ú Ö  

  Ü  ¸ Ó Ò Ð Ù Ý Ò Ó Ð Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ô Ù ×   Ü 

¾    º  £ 

Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ó Ó Ò Ò Ù × Ø Ö × Ù ×  Ó Ò × Ó Ö Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó   Á Ê 

Ò 

Ñ Ó ×  

Ð Ù Ò × Ò Ù Ú × ¬ Ò Ó Ò × º  

¬ Ò  Ó Ò ½ º ½ ¾   Ë        Á Ê 

Ò 

º Ò Ø Ó Ò ×  

Ü  ¾     × Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö     ×    ́      ¼ µ      ́ Ü   µ      

Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

× Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ò Ø     ×    ́      ¼ µ      ́ Ü   µ             

Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

× Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð  Ó Ò     ×    ́      ¼ µ ´     ́ Ü   µ  Ò    Ü     µ    

        

Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

× Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ò Ø Ö     ×    ́      ¼ µ      ́ Ü   µ           

   ́ Ü   µ      

 

      

Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ò Ø     Ò Ó Ò × Ø × Ø Ö Ò     ¸ × Ñ × Ñ Ó  

Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð  Ó Ò Ý Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ò × Ø Ò × Ø Ö Ò     º 

¬ Ò  Ó Ò ½ º ½ ¿   Ó    

  Á Ê 

Ò 

× ¬ Ò Ò Ð Ó × × Ù Ò Ø × Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×  

Á Ò Ø Ö Ó Ö       Ò Ø   ́   µ      Ü  ¾   Ü × Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö       

Ö Ò          ́   µ      Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

Ü  × Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ò Ø         

Ö Ú Ó       Ö   ́   µ      Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

Ü × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð Ó Ò       

Ö Ó Ò Ø Ö           Ö   ́   µ      Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

Ü × Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ò Ø Ö       

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º ¾   Ò Ø   ́   µ       Ý          ́   µ  º 

Ñ Ô Ð Ó ½ º   Ò  Á Ê  ×     ½    ¾ µ     ¿     º Ò Ø Ó Ò ×   Ö   ́   µ ½    ¾    ̧

Ò Ø   ́   µ ´ ½    ¾ µ   ̧    ́   µ ½    ¾      ¿     Ý         ½    ¾    ¿      

Ö Ó ½ º   Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù   Á Ê 

Ò 

Ò   Ò Ø   ́   µ      ́ Á Ê 

Ò 

Ò     µ  º 

Ö Ó ½ º   Ò Ð Ð Ò Ø Ö Ó Ö ¸ Ð Ö Ò ¸ Ð Ö Ú Ó Ý Ð Ö Ó Ò Ø Ö  

   

½ 

  

  ¾ 

  ´  ́

¿ 

¾ 

  · ½ 

  ¼ µ   

½ 

¾ 

  · ½ 

µ 

  

  ´  ́

¿ 

 

  ¼ µ   

½ 

 

µ   

Ë Ó Ø Ò Ð × ¬ Ò Ó Ò × Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò  

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ½ º     × Ö Ø Ó × Ý ×  Ó Ð Ó ×       Ò Ø   ́   µ  Ý    × Ö Ö Ó × Ý  

×  Ó Ð Ó ×          ́   µ  º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 10/164

½ ¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ö Ó ½ º   Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù   Ü  ¾      ́   µ  × Ý ×  Ó Ð Ó × Ü × Ø Ù Ò × Ù ×  Ó Ò 

   Ü 

 

  

 

     Ø Ð Õ Ù   Ð Ñ 

  ½ 

Ü 

 

  Ü  º 

Ó Ò × Ø Ö Ó Ø Ö Ñ Ò Ñ Ó × × Ø Ö Ú Ò Ø Ö Ó Ù  Ó Ò Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó   Á Ê 

Ò 

Ý 

× Ø Ñ Ó × Ò Ó Ò Ó Ò × Ô Ö × Ò Ø Ö Ð Ò Ó  Ó Ò Ð Ñ Ø Ù Ò Ù Ò  Ó Ò º 

¬ Ò  Ó Ò ½ º ½   Ë        

  Á Ê 

Ò 

   Á Ê 

Ñ 

Ý  Ü 

¼ 

¾   Ö   ́   µ  º Ò Ø Ó Ò × Ñ Ó ×  

Õ Ù   Р × Ð Ð Ñ Ø     Ù Ò Ó   Ü  Ú   Ü 

¼ 

Ý × Ö Ñ Ó ×   Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   ́ Ü  µ   Р ×  

 ́      ¼ µ  ́      ¼ µ ´ ¼      Ü     Ü 

¼ 

    µ      ́ Ü  ¾     µ  µ      ́ Ü  µ     Р    

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º ¿   Ò Ð Ò Ø Ö Ó Ö ¬ Ò  Ó Ò Ô Ñ Ó × Õ Ù   Ü 

¼ 

¾   Ö   ́   µ  Ô Ö  

Õ Ù × Ñ Ô Ö Ý Ô Ù Ò Ø Ó × Ö   Ü 

¼ 

º 

Ó Ò Ø Ò Ù  Ó Ò × Ö Ö Ó Ð Ð Ö Ñ Ó × Ó × Ñ Ô Ð Ó × Ò Ð Ó × Ù Ð × Ñ Ó × Ø Ú ¹  

Ñ Ò Ø Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ú Ð Ó Ö Ù Ò Ö Ø Ó Ð Ñ Ø º È Ö Ð Ð Ó × Ò × Ö Ó Ö Ù Ò  

Ö Ø   Ó     Ó Ö Ñ Ù Ð   Õ Ù Ô Ö Ñ Ø Ø Ö Ñ Ò Ö     Ó     º 

Ñ Ô Ð Ó ½ º   Ñ Ù × Ø Ö Ù × Ò Ó Ð ¬ Ò  Ó Ò Õ Ù  

Ð Ñ 

 ́ Ü Ý  µ    ´ ½    ½ µ 

 ́ Ü 

¾ 

   ½ µ ¼   

Ò Ô Ö Ñ Ö Ð Ù Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ô Ö Ø Ö  

   ́ Ü Ý  µ     ´ ½    ½ µ     

× Ô Ù Ù Ö Ö Ø Ñ Ò Ø Õ Ù  

  Ü     ½      Ý    Ý     ½      Ý Ò Ø Ó Ò ×     Ü     ½      Ý    Ü      · ½     ́ £   µ 

È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó  

    ́ Ü  µ 

  Ð 

  

 Ü 

¾ 

  ½ 

  

 Ü 

  ½ 

 Ü  · ½ 

    ́

£ £  µ 

× ¸ Ó     ¼ Ô Ó Ñ Ó × Ð Ö     ¼ Ñ Ó Ó Õ Ù  

   ́   · ½ µ   

Ò Ø Ó Ò × ¸ ×      ́ Ü Ý  µ     ´ ½    ½ µ      ¸ Ø Ò Ñ Ó × ´ ¶ µ ¸ Ý Ò Ø Ó Ò × Ó Ø Ò Ñ Ó × ´ ¶ ¶ µ  

Õ Ù  

     ́ Ü  µ     Р       ́   · ½ µ    £ 

Ð Ñ Ô Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö × × Ø Ò Ø × Ñ Ô Ð º Ä ¬ Ù Ð Ø Ô Ù Ù Ñ Ò Ø Ö  

Ù Ò Ó Ð Ù Ò  Ó Ò    × Ñ   × Ó Ñ Ô Ð ¸ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó × × Ù Ò Ù Ó Ò Ø º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 11/164

½ º ¿ º Ä  

 

Á Å Á Ì Ë Ç Æ Ì Á Æ Í Á   ½ ½ 

Ñ Ô Ð Ó ½ º   Ñ Ù × Ø Ö Ù × Ò Ó Ð ¬ Ò  Ó Ò Õ Ù  

Ð Ñ 

 ́ Ü Ý  µ    ´ ¾    ½ µ 

Ü 

¾ 

Ü     Ý 

   

È Ö Ø Ñ Ó × Ó Ñ Ó Ò Ð Ñ Ô Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ú Ò Ó Õ Ù ×  

   ́ Ü Ý  µ     ´ ½    ½ µ     

Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Ö Ø Ñ Ò Ø Õ Ù  

  Ü     ¾      Ý    Ý     ½       ́ £   µ 

È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ù Ò × Ö Ö Ó Ð Ð Ó Ð Ö Ó × Ñ Ô Ð Ò Ó × Ð Ð Ú Ð Ó × Ù Ò Ø  

     ́ Ü  µ     Р      

Ü 

¾ 

Ü     Ý 

        

  Ü 

¾ 

     Ü       Ý   

  Ü     Ý   

 

   ́ Ü     ¾ µ 

¾ 

    ́ Ý     ½ µ   

  Ü     Ý   

   ́ £ £   µ 

Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ó × Ó × Ö Ð Ú Ò Ø × º È Ö Ñ Ö Ó ¸ Ò Ð Ò Ù Ñ Ö Ó Ö Ø Ò Ñ Ó ×  

Ù Ò Ü Ô Ö ×  Ó Ò Õ Ù Ô Ò × Ò Ð Ñ Ò Ø     Ü     ¾    Ý    Ý     ½    ¸ Ò Ø ×  

Ó Ò Ø Ö Ó Ð × Ô Ó Ö     ¸ ×  Ù Ò ´ ¶ µ º Ë Ù Ò Ó ¸ Ò Ð Ò Ó Ñ Ò Ó Ö Ø Ò Ñ Ó ×     Ü     Ý     ̧

Õ Ù × Ù Ò Ò Ø Õ Ù Ô Ó Ö Ò Ù Ð Ö × × Ù Ò Ó Ò Ó × Ù Ó × Ó º  

È Ö Ø Ö Ø Ö × Ø  Ù Ð Ø Ñ Ó Ø Ö Ñ Ò Ó Ô Ö Ó Ñ Ó × Ò Ù Ò Ô Ö Ñ Ö Ø Ô Ò ¹  

Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ù Ò Ú Ð Ó Ö    

½ 

Ò Ø Ö Ñ Ó ¸ Õ Ù × Ò Ò Ó Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø Ö   Ó Ø Ö Ô Ó Ö  

  Ò Ó × Ô Ö Ñ Ø Ö   Ó Ò Ø Ö Ó Ð Ö     Ü     Ý    º Ð Ò Ó Ñ Ò Ó Ö Ò Ó × Ò Ù Ð Ò ´ ¾    ½ µ ¸  

Õ Ù Ú Ñ Ó × Õ Ù × Ð Ñ Ó ×    

½ 

½    ¸ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × ´ ¶ µ Ô Ó Ñ Ó ×  

Ó Ò Ð Ù Ö Õ Ù  

  Ü     Ý     

½ 

¾ 

   ́ £ £ £   µ 

Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó Ò Ø Ó Ò × Õ Ù ´ ¶ ¶ ¶ µ × Ø Ò ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó × ´ ¶ µ Ý ´ ¶ ¶ µ Õ Ù  

     ́ Ü  µ     Р    

   ́ Ü     ¾ µ 

¾ 

    ́ Ý     ½ µ   

  Ü     Ý   

   ¾     ́ Ü     ¾ µ 

¾ 

    ́ Ý     ½ µ     

Õ Ù ¸ Ù × Ò Ó Ò Ù Ú Ñ Ò Ø ´ ¶ µ Ô Ó Ñ Ó × Ó Ø Ö Ñ Ó Ö  

     ́ Ü  µ     Р   

½ 

¾ 

  Ü     ¾    ·     Ý     ½      ́   Ü     ¾    ·    Ý     ½    µ   

Ò Ø Ó Ò × ¸ Ó     ¼ ¸ Ô Ó Ñ Ó × Ð Ö    

¾ 

 

 

½  

  È Ö Ó Ñ Ó × × Ù Ö Ö Ò Ó × Õ Ù  

Ð Ó × Ö Ù Ñ Ò Ø Ó × Ò Ø Ö Ó Ö × × Ò × Ñ Ô Ö Ú   Ð Ó × Ý × Ó Ð Ó Ð Ó Ö Ñ Ó × × Ð Ñ Ó ×  

    Å Ò    

½ 

¾ 

 

 

½  

   Ý × Ø Ò Ö   Õ Ù  

   ́ Ü Ý  µ     ´ ¾    ½ µ      µ  

Ü 

¾ 

Ü     Ý 

         £ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 12/164

½ ¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ñ Ô Ð Ó ½ º   Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù  

Ð Ñ 

 ́ Ü Ý  µ    ´ ¼    ¼ µ 

× Ò   ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

½   

Ð Ù Ö × Ó   Ð Ù Ð Ó × Ñ Ó × Õ Ù  

Ð Ñ 

«    ¼ 

× Ò «  

« 

½   

Ò Ø Ó Ò × ¸ Ó     ¼ Ü × Ø    

½ 

  ¼ Ø Ð Õ Ù  

  «     

½ 

µ  

× Ò «  

« 

   ½     

Ð Ñ Ó × Ó Ö      

Ô   

 

½ 

º Ò Ø Ó Ò ×      ́ Ü Ý  µ     ´ ¼    ¼ µ      Ñ Ô Ð Õ Ù     Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

   

 

½ 

Ý Ò Ø Ó Ò ×  

 

× Ò   ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

   ½      £ 

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º   Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ñ Ò Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø × Ö Ö Ð Ò Ó ¹  

 Ó Ò Ð Ñ Ø × Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ø Ó Ó Ð Ö Ø      ́ Ð   µ  Ü × Ø Ù Ò Ó Ð  

Ö Ø      ́ Ü 

¼ 

  µ  Ø Ð Õ Ù  

Ü  ¾    ́    ́ Ü 

¼ 

  µ  Ò    Ü 

¼ 

   µ       µ       ́ Ü  µ  ¾      ́ Ð   µ 

Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø  

  ´  ́    ́ Ü 

¼ 

  µ  Ò    Ü 

¼ 

   µ       µ        ́ Ð   µ   

Ó Ö Ú Ñ Ó × × Ö Ö Ó Ð Ð Ö Ð Ó Ò Ô Ø Ó Ð Ñ Ø × Ø Ù Ò Ó × Ù × Ô Ö Ò Ô Ð ×  

Ô Ö Ó Ô × º Ò Ø Ó × Ø ×  Ó Ò Ñ Ó × Ò Ó Ø Ö Ð Ò Ð Ó Õ Ù × Ø Ò  

Ó Ò Ð Ù Ö × Ó   Ð Ù Ð Ó ¸ Ó Ò × × Ø Ù Ó Ð Ó Ò Ô Ø Ó Ð Ñ Ø Ý Ó Ò Ø Ò Ù  

Ô Ö Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ú Ö Ð Ö Ð º × × Ó Ö Ô Ö Ò Ò Ø Õ Ù Ð Ñ Ý Ó Ö Ð ×  

Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò × Õ Ù Ú Ö Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù  Ó Ò Ø Ò Ò Ù Ò Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Õ Ù ×  

Ó Ø Ò Ð Ò   Ð Ó   Ð Ù Ð Ó Ö Ñ Ô Ð Þ Ò Ó   ¡   Ô Ó Ö  ¡   º 

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ½ º   ´ Í Ò Ð Ä Ñ Ø µ   Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

Ý  Ü 

¼ 

¾  

Ö   ́   µ  º Ë  

Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   ́ Ü  µ   Р

½ 

Ý  Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   ́ Ü  µ   Р

¾ 

Ò Ø Ó Ò ×   Р

½ 

  Р

¾ 

 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 13/164

½ º ¿ º Ä  

 

Á Å Á Ì Ë Ç Æ Ì Á Æ Í Á   ½ ¿ 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   È Ó Ö Ô  Ó Ø × × ¸ Ó     ¼ Ü × Ø Ò Ò  Ù Ñ Ö Ó ×    

½ 

  ¼ Ý   

¾ 

  ¼ 

Ø Ð × Õ Ù  

¼      Ü     Ü 

¼ 

   

½ 

   Ü  ¾       µ      ́ Ü  µ     Р

½ 

   

¼      Ü     Ü 

¼ 

   

¾ 

   Ü  ¾       µ      ́ Ü  µ     Р

¾ 

   

Ò Ø Ó Ò × ¸ ×     Ü     Ü 

¼ 

  Å Ò      

½ 

 

¾ 

   × Ø Ò Ö   Õ Ù  

  Р

½ 

   Р

¾ 

   ́    ́ Ü  µ     Р

½ 

µ      ́    ́ Ü  µ     Р

¾ 

µ       ́ Ü  µ     Р

½ 

  ·       ́ Ü  µ     Р

¾ 

    ¾   

Ó Ñ Ó     Ô Ù × Ö Ö Ø Ö Ö Ñ Ò Ø Ô Õ Ù  Ò Ó ¸ Ñ Ó × Ø Ò Ö Õ Ù   Р

½ 

  Р

¾ 

  £ 

Ä × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò × Ñ Ù Ý  Ù Ø Ð Ô Ö × Ø Ù Ö Ð Ü × Ø Ò Ù Ò ¹  

Ø Ö Ñ Ò Ó Ð Ñ Ø º Ë Ù × Ô Ö Ò Ô Ð Ñ Ò Ø Ô Ö Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ù Ò Ö Ø Ù Ò  Ó Ò 

Ò Ó Ø Ò Ð Ñ Ø  

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ½ º   Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê  Ý  Ü 

¼ 

¾   Ö   ́   µ  Ø Ð Õ Ù  

Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   ́ Ü  µ   Ð  

Ò Ø Ó Ò × Ô Ö Ø Ó Ó          Ø Ð Õ Ù   Ü 

¼ 

¾   Ö   ́   µ  × Ø Ò Õ Ù  

Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   

 

 ́ Ü  µ   Ð  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   Ö Ó º   £ 

Ä Ó Ò Ø Ö Ö Ö Ô Ö Ó Ò Ó × Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ð Ö Ó  

Ó Ö Ó Ð Ö Ó ½ º ½   Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

 ̧ Ü 

¼ 

¾   Ö   ́   µ  Ý   

½ 

 

¾ 

      

Ñ Ò Ö Õ Ù   Ü 

¼ 

¾   Ö   ́  

½ 

µ     Ö   ́  

¾ 

µ  º Ë Ù Ò Ó Ð Ó × Ð Ñ Ø ×  

Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   

 

½ 

 ́ Ü  µ  Ó  Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   

 

¾ 

 ́ Ü  µ 

Ò Ó Ü × Ø Ó ×  

Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   

 

½ 

 ́ Ü  µ  Ð Ñ  

Ü    Ü 

¼ 

   

 

¾ 

 ́ Ü  µ 

Ò Ø Ó Ò × Ð Ð Ñ Ø  

Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   ́ Ü  µ   Р

Ò Ó Ü × Ø º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 14/164

½   È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ñ Ô Ð Ó ½ º   Ë Ø Ö Ø × Ø Ù Ö Ð × Ù Ò Ø Ð Ñ Ø  

Ð Ñ 

 ́ Ü Ý  µ    ´ ¼    ¼ µ 

Ü 

Ü  ·  Ý 

 

Æ Ó Ø Ñ Ó × Ò Ô Ö Ñ Ö Ð Ù Ö Õ Ù     ´ ¼    ¼ µ Ò Ó × Ø   ¬ Ò ¸ × Ò Ñ Ö Ó × Ø Ó Ò Ó  

Ø Ò Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ð Ù Ò º Ä Ó Õ Ù × Ñ Ô Ó Ö Ø × Õ Ù ´ ¼    ¼ µ  ¾   Ö   ́ Á Ê 

¾ 

Ò    ´ ¼    ¼ µ     µ º 

Ë Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×          ´ ¼  Ý  µ  Ý  ¼     Ý          ́ Ü   ¼ µ  Ü  ¼    

Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù  

Ð Ñ 

 ́ Ü Ý  µ    ´ ¼    ¼ µ 

   

 

 ́ Ü Ý  µ ¼ Ý Ð Ñ  

 ́ Ü Ý  µ    ´ ¼    ¼ µ 

   

 

 ́ Ü Ý  µ ½   

Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × Ò Ø Ó Ò × Õ Ù Ð Ð Ñ Ø Ó × Ø Ù Ó Ò Ó Ü × Ø ¸ Ò Ú Ö Ø Ù Ð  

Ó Ö Ó Ð Ö Ó º  £ 

Ö Ó ½ º   × Ø Ù Ö Ð Ü × Ø Ò Ð × Ù Ò Ø Ð Ñ Ø  

Ð Ñ 

 ́ Ü Ý  µ    ´ ¼    ¼ µ 

Ü Ý 

¾ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

 

Ö Ó ½ º   × Ø Ù Ö Ð Ü × Ø Ò Ð × Ù Ò Ø Ð Ñ Ø     Ù Ò Ó    ́ Ü Ý  µ 

Ø Ò   ´ ¼    ¼ µ  Ý Ó Ò     × Ø   ¬ Ò Ô Ó Ö  

   ́ Ü Ý  µ  

 ́

  Ü   

Ý 

¾ 

Ü Ô    

  Ü   

Ý 

¾ 

×   Ý  ¼ 

¼  ×   Ý  ¼   

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º   Ò Ð Ó × Ñ Ô Ð Ó × Ò Ø Ö Ó Ö × Ñ Ó × Ó Ò × Ö Ó × Ó Ð Ñ Ò Ø  

  Ù Ò Ó Ò × Ú Ð Ó Ö × Ö Ð × ¸ × Ö ¸ Ó Ò × Ô Ó Ð Ð   Á Ê  º × Ø Ó Õ Ù  

  Ù × Ø ¬ Ó Ò Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò º 

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ½ º   Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

º Ò Ø Ó Ò ×  

Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   ́ Ü  µ   Р × Ý ×  Ó Ð Ó ×    ́      ½    ¡ ¡ ¡  Ñ  µ Ð Ñ  

Ü    Ü 

¼ 

 

 

 ́ Ü  µ   Р

 

 

Õ Ù    

 

× Ð ¹ × Ñ Ù Ò  Ó Ò Ó Ó Ö Ò Ý   Р

 

× Ð ¹ × Ñ Ó Ó Ö Ò   Р º 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò    ́  ́   µ Ó     ¼ ¸ Ô Ó Ö Ô  Ó Ø × × Ü × Ø    

 

  ¼ Ø Ð Õ Ù ¼    

  Ü     Ü 

¼ 

   

 

Ý  Ü  ¾     Ñ Ô Ð Õ Ù      

 

 ́ Ü  µ     Р

 

   

Ô   

Ñ  ¸ Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 15/164

½ º ¿ º Ä  

 

Á Å Á Ì Ë Ç Æ Ì Á Æ Í Á   ½  

  ½    ¾  Ñ   º Ò Ø Ó Ò × ¸ × Ð Ñ Ó ×     Ñ Ò      

½ 

 

Ñ 

   º Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù ×  

¼      Ü     Ü 

¼ 

    Ý  Ü  ¾     Ñ Ô Ð  

Ñ 

  

  ½ 

 ́  

 

 ́ Ü  µ     Р

 

µ 

¾ 

Ñ  ¡ 

 

¾ 

Ñ 

   

¾ 

 

Ó Ò        ́ Ü  µ     Р     £ 

Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ Ö × Ù Ñ Ú Ö × Ô Ö Ó Ô × Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø × Ð Ó × Ð Ñ Ø × º  

Ì Ó Ö Ñ ½ º ½   Ë Ò            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

 ̧ Ü 

¼ 

¾   Ö   ́   µ   ̧   ¾   Á Ê 

Ñ 

Ý    ¾   Á Ê  º 

Ò Ø Ó Ò ×  

½ µ  Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   ́ Ü  µ     Ñ Ô Ð   Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   ́ Ü  µ    

¾ µ  Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   ́ Ü  µ     Ý  Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   ́ Ü  µ     Ñ Ô Ð  

µ  Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

 ́    ́ Ü  µ ·     ́ Ü  µ µ     ·   

µ  Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   ́ Ü  µ 

¡    ́ Ü  µ    

¡   º 

¿ µ  Ñ  ½  Ý  Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   ́ Ü  µ     ¼  ¸ Ñ Ô Ð  

Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

½ 

   ́ Ü  µ 

 

½ 

 

 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   À Ö Ñ Ó × Ð Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò ¾ µ µ º Ä Ô Ö Ó Ô ¿ µ Õ Ù  

Ö Ó º  

Í × Ò Ó Ð × Ù Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ö Ý Ð Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ Ó Ø Ò Ñ Ó × ¹  

Ö Ø Ñ Ò Ø  

     ́ Ü  µ  ¡     ́ Ü  µ       ¡             ́ Ü  µ  ¡   ́    ́ Ü  µ       µ ·    ¡   ́    ́ Ü  µ       µ   

     ́ Ü  µ       ́ Ü  µ         ·           ́ Ü  µ          

Í × Ò Ó Ð Ô  Ó Ø × × ¸ Ó     ¼ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø     ¼ Ø Ð Õ Ù   Ü  ¾     Ý 

¼      Ü     Ü 

¼ 

    Ñ Ô Ð Õ Ù  

     ́ Ü  µ           Ý       ́ Ü  µ          

Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Õ Ù × Ù Õ Ù        ́ Ü  µ      ·          È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó  

     ́ Ü  µ  ¡     ́ Ü  µ       ¡         ́   ·        ·        µ   

Ó Ñ Ô Ð Ø Ò Ó Ð Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò º  £ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 16/164

½   È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º   Ò Ö Ó Ö ¸ Ò Ð Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ð Ø Ù Ò Ô × Ó ¸ Ð  

Ù Ð × Ô Ù × Ñ Ô Ö Ó Ñ Ø Ö Ù Ò Ó Ý Ü Ô Ö Ò  

Ó     ¼  Ð Ñ Ó ×     ¼  Ø Ð Õ Ù    ́   ·        ·        µ    Ó Ò × Ø Ú Ð Ó Ö  

    ¼  Ò Ú Ó Ñ Ó × Ð Ô  Ó Ø × × Ô Ö Ð Ö     ¼  Ñ Ó Ó Õ Ù   Ü 

¾    Ý 

¼   

 Ü 

  Ü 

¼ 

    Ñ Ô Ð Õ Ù  

     ́ Ü  µ           Ý       ́ Ü  µ          

Ó Ò Ø Ò Ù Ù Ò Ó Ò ×   Á Ê 

Ò 

Ò  Á Ê 

Ñ 

Ó Ö Õ Ù Ñ Ó × × Ø Ù Ó Ð Ó Ò Ô Ø Ó Ð Ñ Ø × Ø Ñ Ó × Ô Ö Ô Ö Ó ×  

Ô Ö Ò Ø Ö Ó Ù Ö Ð Ó Ò Ô Ø Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ù Ò Ù Ò  Ó Ò º 

¬ Ò  Ó Ò ½ º ½   Ë        

  Á Ê 

Ò 

   Á Ê 

Ñ 

Ý ×   Ü 

¼ 

¾    º Ñ Ó × Õ Ù     × 

Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

×  

 ́      ¼ µ  ́      ¼ µ  Ü  ¾       Ü     Ü 

¼ 

      µ      ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ     

Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø  

 ́

     ¼ µ  ́

     ¼ µ      ́    ́ Ü 

¼ 

  µ 

    µ 

     ́    ́ Ü 

¼ 

µ    µ   

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º   Ë   Ü 

¼ 

¾     × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó × Ð Ó ¸ × Ö ¸   Ü 

¼ 

¾     Ò  

Ö   ́   µ  Ò Ø Ó Ò ×     × Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

º 

Ë   Ü 

¼ 

¾   Ö   ́   µ  Ò Ø Ó Ò ×     × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

× Ý ×  Ó Ð Ó ×  

Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

   ́ Ü  µ      ́ Ü 

¼ 

µ   

Ó Ñ Ó Ó Ò × Ù Ò Ð Ó × Ö Ú  Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ý Ð È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ½ º ×  

Ø Ò Õ Ù            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

× Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

¾     × Ý ×  Ó Ð Ó ×    

 

× Ó Ò Ø Ò Ù  

Ò  Ü 

¼ 

  Ô Ö Ø Ó Ó     ½    ¡ ¡ ¡  Ñ  

Ó Ñ Ó Ó Ò × Ù Ò Ð Ì Ó Ö Ñ ½ º ½ Ø Ò Ñ Ó × Ø Ñ Ò Ð × Ù Ò Ø Ö × Ù Ð ¹  

Ø Ó × Ó Ö Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × º  

Ì Ó Ö Ñ ½ º ¾   Ë Ò            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

 ̧ Ü 

¼ 

¾     Ý    ¾   Á Ê  º Ò Ø Ó Ò ×  

½ µ    × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

Ñ Ô Ð     × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

º 

¾ µ    Ý    × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò   Ü 

¼ 

Ñ Ô Ð  

µ    ·    × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

 ̧

µ   

¡   × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

 ̧

¿ µ  Ñ  ½   ̧   × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

Ý     ́ Ü 

¼ 

µ  ¼  Ñ Ô Ð  

½ 

   ́ Ü  µ 

× Ó Ò Ø Ò Ù Ò  

Ü 

¼ 

º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 17/164

½ º ¿ º Ä  

 

Á Å Á Ì Ë Ç Æ Ì Á Æ Í Á   ½  

Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ ¼   Ä Ù Ò  Ó Ò     ́ Ü Ý  µ  ́

Ü 

¾ 

½ ·  Ý 

¾ 

Ü  ·  Ý Ý × Ò Ü   µ  × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ø Ó Ó  

Ô Ù Ò Ø Ó   Á Ê 

¾ 

º 

Ò Ø Ó ¸ × Ù × Ø Ö × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ø Ó Ó   Á Ê 

¾ 

 

 

½ 

 ́ Ü Ý  µ  

Ü 

¾ 

½ ·  Ý 

¾ 

Ð Ó × Ô Ù ×      ́ Ü  µ   Ü 

¾ 

Ð Ó × ¸ Ð Ù Ð Õ Ù      ́ Ý  µ ½ ·   Ý 

¾ 

Ð Ù Ð  

Ñ   × Ò Ó × Ò Ù Ð º Ò Ø Ó Ò × ¸ Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö  

½ 

   ́ Ý  µ 

 

½ 

½ ·  Ý 

¾ 

Ø Ñ Ò  

× Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ý Ò Ù Ú Ñ Ò Ø Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö   Ü 

¾ 

½ 

½ ·  Ý 

¾ 

× Ó Ò Ø Ò Ù º  

 

¾ 

 ́ Ü Ý  µ   Ü  ·  Ý  × Ú Ò Ø Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ô Ù ×      ́ Ü  µ   Ü       ́ Ý  µ   Ý  × Ó Ò 

Ó Ò Ø Ò Ù × Ý Ð × Ù Ñ Ó Ò Ø Ò Ù × × Ó Ò Ø Ò Ù Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö º  

 

¿ 

 ́ Ü  µ   × Ò Ü   × Ó Ò Ø Ò Ù ¸      ́ Ý  µ   Ý  Ø Ñ Ò Ð Ó × ¸ Ð Ù Ó Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ  

Ò Ø Ö Ó Ö   Ý × Ò Ü   × Ó Ò Ø Ò Ù º  

Ä × Õ Ù Ó Ò Ð Ý Ù Ð Ì Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö Ô Ó Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ò Ö  

Ô Ó Ö Ò × Ô  Ó Ò Ù Ò Ó Ù Ò Ù Ò  Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ô Ó Ö × Ö Ù Ò   Ó Ñ Ò  Ó Ò   

Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ó Ò Ó ×  º  £ 

Ò Ð Ð Ò Ð Ì Ó Ö Ñ ½ º ¾ ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ó Ñ Ô Ó ×  Ó Ò  

Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × º  

Ì Ó Ö Ñ ½ º ¿   Ë Ò            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

Ý           Á Ê 

Ñ 

    Á Ê 

 Ô 

Ø Ð × Õ Ù  

   ́   µ       º Ë     × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

¾     Ý    × Ó Ò Ø Ò Ù Ò      ́ Ü 

¼ 

µ  ¾    

Ò Ø Ó Ò ×     Æ     × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

º 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   Ë     ¼    Ó Ñ Ó     × Ó Ò Ø Ò Ù Ò      ́ Ü 

¼ 

µ Ü × Ø     ¼ Ø Ð  

Õ Ù  

Ý  ¾       Ý        ́ Ü 

¼ 

µ      µ      ́ Ý  µ        ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ     

È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ð Ó Ò Ø Ò Ù     Ò  Ü 

¼ 

× Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø    

¼ 

  ¼ Ø Ð  

Õ Ù  

Ü  ¾       Ü     Ü 

¼ 

   

¼ 

µ      ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ     

Â Ù Ò Ø Ò Ó × Ø × Ó × Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò × Ý Ø Ó Ñ Ò Ó   Ý       ́ Ü  µ × Ø Ò Õ Ù Ü × Ø  

 

¼ 

  ¼ Ø Ð Õ Ù  

Ü  ¾       Ü     Ü 

¼ 

   

¼ 

µ       ́ Ü  µ  ¾          ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ     

µ      ́    ́ Ü  µ µ        ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ     

× Ö  

 Ü 

  Ü 

¼ 

   

¼ 

µ   

Æ     ́ Ü  µ 

   

Æ     ́ Ü 

¼ 

µ 

    £ 

Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ ½      ́ Ü Ý Þ Ø  µ   × Ò   ́ Ø   ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

·  Þ 

¾ 

µ µ  × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó  

  Á Ê 

 

º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 18/164

½   È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

¬ Ò  Ó Ò ½ º ½   Ö Ñ Ó × Õ Ù        Á Ê 

Ò 

× Ù Ò Ú Ò   Ü 

¼ 

¾   Á Ê 

Ò 

×  

Ü 

¼ 

¾     Ý    × Ö Ø Ó º  

Ä × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò Ù Ò Ö Ø Ö Þ  Ó Ò Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ø Ö Ñ Ò Ó ×  

Ú Ò × º Æ Ó Ø Ö Õ Ù Ð Ó Ð Ö Ø      ́ Ü Ö  µ × Ù Ò Ú Ò   Ü  º 

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ½ º            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

× Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

¾   Á Ê 

Ò 

× Ý ×  Ó Ð Ó ×  

Ô Ö Ø Ó Ú Ò   Í     Á Ê 

Ò 

     ́ Ü 

¼ 

µ  Ü × Ø Ù Ò Ú Ò   Π    Á Ê 

Ò 

µ    Ü 

¼ 

Ø Ð 

Õ Ù      ́ Π      µ     Í  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò    ́ µ    µ Ë   Í  Ù Ò Ú Ò      ́ Ü 

¼ 

µ º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø     ¼ 

Ø Ð Õ Ù      ́    ́ Ü 

¼ 

µ    µ     Í  º Í × Ò Ó Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ò Ù     Ò  Ü 

¼ 

¸ Ô Ö × Ø  

  ¼ Ü × Ø     ¼ Ø Ð Õ Ù  

  Ü     Ü 

¼ 

    Ý  Ü  ¾     µ      ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ     

× Ö  

Ü  ¾      ́ Ü 

¼ 

  µ Ý  Ü  ¾     µ       ́ Ü  µ  ¾      ́    ́ Ü 

¼ 

µ    µ   

Ë ¬ Ò Ñ Ó ×   Π      ́ Ü 

¼ 

  µ ¸ Õ Ù × Ù Ò Ú Ò   Ü 

¼ 

¸ Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù  

Õ Ù  

   ́    ́ Ü 

¼ 

  µ       µ      ́ Π      µ     Í  

 ́  ́   µ × Ø Ñ Ô Ð  Ó Ò Õ Ù Ö Ó º   £ 

¬ Ò  Ó Ò ½ º ½   Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ù Ò  Ó Ò           Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

× Ó Ò Ø Ò Ù  

Ò    ×     × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó     º 

Ö Ó ½ º   Ñ Ù × Ø Ö Ð × Ù Ò Ø Ö Ø Ö Þ  Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù ×  

Ò     

  × Ó Ò Ø Ò Ù Ò     × Ý ×  Ó Ð Ó × Ð Ô Ö Ñ Ò Ø Ó Ó Ö Ø Ó   Á Ê 

Ñ 

× Ð  

Ò Ø Ö ×  Ó Ò     Ó Ò Ù Ò Ö Ø Ó   Á Ê 

Ò 

º 

½ º Ö Ò Ð Ù Ò Ó Ò ×      Á Ê 

Ò 

   

Á Ê 

Ñ 

º  

Ó Ò × Ö Ñ Ó ×            Á Ê 

Ò 

    Á Ê  Ý  Ü   ́ Ü 

½ 

  ¡ ¡ ¡  Ü 

 

  ¡ ¡ ¡  Ü 

Ò 

µ  ¾     ¸ Ó Ò Ð  

Ó Ò Ù Ò Ø Ó     × × Ù Ô Ó Ò Ö Ø Ó º È Ö ½           Ò  ¬ Ó ¸ ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò  Ó Ò  

Á Ê  Ò  Á Ê 

         ́ Ü  ·   

 

µ   

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 19/164

½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë   Á Ê 

Æ 

  Á Ê 

Å 

º  ½  

Ó Ò    

 

× Ð Ð Ñ Ò Ø Ó     ¹ × Ñ Ó Ð × Ò  Ó Ò º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù   Ü  ·   

 

 

 ́ Ü 

½ 

  ¡ ¡ ¡  Ü 

    ½ 

  ·  Ü 

 

Ü 

  · ½ 

  ¡ ¡ ¡  Ü 

Ò 

µ × Ø Ù Ò  Ó Ò ¸ × Ò Ó   Á Ê  Ò  Á Ê  ¸ Ð  

Ô Ó Ñ Ó × Ô Ð Ö Ð Ø Ó Ö Ö Ò Ð × Ö Ö Ó Ð Ð Ò Ð Ù Ö × Ó  

  Ð Ù Ð Ó º  

¬ Ò  Ó Ò ½ º ½   Ä Ð Ñ Ö Ñ Ó × Ö Ú Ô Ö Ð     Ó Ò Ö × Ô Ø Ó   Ü 

 

Ò 

Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

 

 

Ü 

 

 ́ Ü  µ Ð Ñ  

    ¼ 

   ́ Ü  ·   

 

µ        ́ Ü  µ 

 

× Ó Ð Ñ Ø Ü × Ø º Ù Ò Ó Ð Ö Ú Ô Ö Ð     Ó Ò Ö × Ô Ø Ó   Ü 

 

Ü × Ø Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó     ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ð ¬ Ò Ù Ò Ù Ò  Ó Ò 

 

Ü 

 

       Á Ê 

Ò 

    Á Ê  

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º   Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù ¸ Ó Ñ Ó Ù Ò Ö Ú Ô Ö Ð × Ù Ò Ö Ú  

Ù Ò Ù Ò  Ó Ò   Á Ê  Ò  Á Ê  ¸ Ù Ò Ó Ô Ù Ù × Ö Ø Ó × Ð × Ö Ð × Ö Ú  Ó Ò 

× Ø Ù × Ò   Ð Ù Ð Ó º  

Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ ¾   Ð Ù Ð Ö Ð Ö Ú Ô Ö Ð Ð Ù Ò  Ó Ò    Ó Ò Ö × Ô Ø Ó  

Ü  Ô Ö      ́ Ü Ý  µ   Ü 

 

Ý  ·  × Ò   ́ Ü Ý  µ  º À Ò Ó Ù × Ó Ð Ó × Ö Ú  Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö  

Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù  

 

Ü 

 ́ Ü  µ   Ü 

¿ 

Ý  ·  Ó ×   ́ Ü Ý  µ  Ý 

Ñ Ô Ð Ó ½ º ½ ¿   Ð Ù Ð Ö Ð Ö Ú Ô Ö Ð Ð Ù Ò  Ó Ò    Ó Ò Ö × Ô Ø Ó   Ü 

Ô Ö      ́ Ü Ý  µ  

Ü Ý 

Ô   

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

º È Ö × Ø Ó Ò Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù ×    ́ Ü Ý  µ  ´ ¼    ¼ µ  Ò Ø Ó Ò ×  

 

Ü 

 ́ Ü  µ  

Ý 

¿ 

Ô  

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

 

Ë ¬ Ò Ñ Ó ×     ´ ¼    ¼ µ ¼   Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ø Ñ Ò Ð Ö Ú Ô Ö ¹  

Ð     Ó Ò Ö × Ô Ø Ó   Ü  Ò  ´ ¼    ¼ µ  º Õ Ù Ù × Ñ Ó × Ð ¬ Ò  Ó Ò 

 

Ü 

´ ¼    ¼ µ Ð Ñ  

    ¼ 

   ́   ¼ µ       ´ ¼    ¼ µ 

 

Ð Ñ  

    ¼ 

¼ 

 

¼   

Ò Ð Ò Ó  Ó Ò Ö Ò Ð Ý Ó × × Ô Ø Ó × Ó Ò × Ö Ö Ð × Ô ¹  

Ø Ó Ò Ð Ø Ó Ý Ð × Ô Ø Ó Ó Ñ Ø Ö Ó º È Ö Ø Ò Ø Ó Ö ¬ Ò Ö Ù Ò Ù Ò  Ó Ò 

Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ó Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Õ Ù Ô Ó × Ø Ó × × Ù × Ö Ú ×  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 20/164

¾ ¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ô Ö Ð × Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó º Ë Ò Ñ Ö Ó × Ø Ó Ò  Ó Ò Ò Ó × × Ù ¬ Ò Ø Ô Ö  

Ô Ö Ó Ù Ö Ù Ò Ù Ò ¬ Ò  Ó Ò ¸ Ô Ù × Ò Ó × Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ñ Ò Ó × × Ù Ñ Ô Ð Ò  

Ð × × Ù Ò Ø × Ô Ö Ó Ô ×  

½ µ Ë    × Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò × × Ô Ó × Ð ¬ Ò Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó  

Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó Ð Ù Ò  Ó Ò Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó º × Ø × Ð Ö Ø Ö Ó Ó Ñ Ø Ö Ó º  

¾ µ Ä Ó Ñ Ô Ó ×  Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × × Ö Ò Ð º × Ø × Ö  

Ù Ò Ö Ø Ö Ó Ò Ð Ø Ó º  

Ñ Ô Ð Ó ½ º ½   Ð × Ù Ò Ø Ñ Ô Ó Ð Ù × Ø Ö Ð × × Ò Ø Ö Ó Ö × º Ó Ò × Ö ¹  

Ñ Ó × Ð Ù Ò  Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö      ́ Ü Ý  µ   Ü 

½ 

¿ 

Ý 

½ 

¿ 

º Ð Ù Ð Ò Ó Ð × Ö Ú × Ô Ö ¹  

Ð × Ô Ó Ö ¬ Ò  Ó Ò Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù × Ø × Ü × Ø Ò Ý × Ó Ò  

 

Ü 

´ ¼    ¼ µ  

 

Ý 

´ ¼    ¼ µ ¼   

Í Ò Ó × Ô Ö Ö Õ Ù Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð Ù Ò  Ó Ò    Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó   ´ ¼    ¼    ¼ µ  × ¹ 

Ø Ù Ú Ö Ó Ô Ó Ö Ð Ù  Ó Ò  Þ  ¼  ¸ Ô Ö × Ö Ó Ò × Ù Ò Ø × Ó Ò Ð Ú Ð Ó Ö Ð ×  

Ö Ú × Ô Ö Ð ×     Ò Ð   ´ ¼    ¼ µ  º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ × Ø Ô Ð Ò Ó Ò Ó Ô Ù × Ö  

Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó Ð Ù Ò  Ó Ò Ò   ´ ¼    ¼ µ  ¸ Ô Ù × × Ó Ö Ð Ö Ø   Ý    Ü  Ð Ö Ó  

    Ø Ò Ô Ò Ò Ø Ò ¬ Ò Ø Ò Ð Ó Ö Ò º  

È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸       Á Ê      Á Ê 

¾ 

¬ Ò Ô Ó Ö      ́ Ü  µ  ́ Ü Ü  µ  × Ö Ò Ð Ò  

Ö Ó Ó Ò    

¼ 

½ 

´ ¼ µ    

¼ 

¾ 

´ ¼ µ ½  ¸ Ô Ö Ó     Æ      ́ Ü  µ   Ü 

¾ 

¿ 

Ò Ó × Ö Ò Ð Ò ¼ º  

Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × × Ø Ñ Ô Ð Ó Õ Ù Ð Ò Ó  Ó Ò Ö Ò Ð Ò Ú Ó Ð Ù Ö Ö  

Ð Ó Ñ   × Õ Ù Ð × Ó Ð Ü × Ø Ò Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó º  

Î Ñ Ó × Ó Ö Ð × Ô Ø Ó Ó Ñ Ø Ö Ó Ò   Á Ê 

¾ 

Ô Ö Ñ Ó Ø Ú Ö Ð ¬ Ò  Ó Ò 

Ò Ò Ö Ð º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Õ Ù Ö Ñ Ó × Ù × Ø Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó  

      Á Ê 

¾ 

    Á Ê  Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´  Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

   ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ µ  ¾      ́   µ º × Ö Õ Ù Ö Ñ Ó ×  

Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò Ô Ð Ò Ó Ò   Á Ê 

¿ 

Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ý Õ Ù Ø Ò Ð Ñ × Ñ  

Ò Ð Ò  Ó Ò Õ Ù Ð Ö Ó     Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó º È Ö × Ø Ó Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò Ô Ð Ò Ó  

Ò Ö Ó   Þ      ·  Ü  ·  Ý  Ý Ù Þ Ñ Ó × Ð × Ó Ò Ó Ò × Õ Ù Ñ Ò Ó Ò Ñ Ó ×  

Ò Ø × Ð Ú Ð Ó Ö Ð × Ó Ò × Ø Ò Ø ×     Ý    º Ò Ô Ö Ñ Ö Ð Ù Ö Õ Ù Ö Ñ Ó × Õ Ù  

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ Ô Ö Ø Ò Þ Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

   ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ   Þ 

¼ 

    ·  Ü 

¼ 

·  Ý 

¼ 

 

Ò Ó Ð Ú Ö Ð   Ü 

¼ 

× Ö Ø Ò Ö Õ Ù Ð × Ö Ø   Þ      ·  Ü 

¼ 

·  Ý   

× Ö Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó   Þ       ́ Ü 

¼ 

Ý  µ Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó   Ý 

¼ 

º × Ø Ó Ñ Ô Ð Õ Ù  

 

Ü 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ    

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 21/164

½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë   Á Ê 

Æ 

  Á Ê 

Å 

º  ¾ ½ 

Ñ Ò Ö Ò   Ð Ó  

 

Ý 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ    

× Ö ¸ Ð Ô Ð Ò Ó Ù × Ó ×  

Þ       ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ · 

 

Ü 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ  ́ Ü     Ü 

¼ 

µ · 

 

Ý 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ  ́ Ý     Ý 

¼ 

µ   

¬ Ò  Ó Ò ½ º ½   Ë            Á Ê 

¾ 

    Á Ê   ̧   Ö Ø Ó Ý    ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ  ¾     º Ñ Ó ×  

Õ Ù     × Ö Ò Ð Ò    ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ  ×  

½ µ Ü × Ø Ò Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×  

 

Ü 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ  Ý 

 

Ý 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ  ¸ Ý 

¾ µ Ð Ñ  

 ́ Ü Ý  µ     ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ 

     ́ Ü Ý  µ        ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ    

 

Ü 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ  ́ Ü     Ü 

¼ 

µ    

 

Ý 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ  ́ Ý     Ý 

¼ 

µ   

   ́ Ü Ý  µ      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ   

¼   

Á Ò Ø Ù Ø Ú Ñ Ò Ø × Ø Ñ Ó × Ô Ò Ó     ¸ Ô Ö Õ Ù × Ö Ò Ð ¸ Õ Ù × Ù Ö Ó  

Ý Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó × Ø Ò Ñ Ù Ý Ö ¸ Ø Ò Ö Õ Ù Ò Ð Ù × Ó  

Ð Ú Ö × Ù × Ø Ò Ô Ó Ö      ́ Ü Ý  µ      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ    Ð Ö  Ó Ò Ø Ó Ú × Ô Õ Ù Ò   º 

Î Ñ Ó × Ó Ö Ð × Ó Ò Ö Ð  

¬ Ò  Ó Ò ½ º ¾ ¼   Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

 ̧   Ö Ø Ó Ý   Ü 

¼ 

¾     º Ò Ø Ó Ò × ¸  

× Ø Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ø Ó × Ð × Ù Ò Ó Ò × Ó Ó Ö Ò × Ü × Ø Ò Ò  

Ü 

¼ 

¸ Ô Ó Ñ Ó × ¬ Ò Ö Ù Ò Ñ Ø Ö Þ      ́ Ü 

¼ 

µ  ¾   Å 

Ñ  ¢  Ò 

 ́ Á Ê  µ  Ó Ñ Ó  

 ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ 

 

 

 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

µ   

× Ø Ñ Ø Ö Þ × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ñ Ø Ö Þ Â Ó Ò Ó Ö Ò Ð     Ò  Ü 

¼ 

º 

Ö Ó ½ º ½ ¼   Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ñ Ø Ö Þ Â Ó Ò Ð Ù Ò  Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö  

   ́ Ü Ý  µ  ́ Ü  

Ý 

Ü 

¾ 

·  Ý  Ó × ´  Ü  ·  Ý  µ    Ø Ò ´  Ü Ý  µ µ  º 

¬ Ò  Ó Ò ½ º ¾ ½   Ë        

  Á Ê 

Ò 

   Á Ê 

Ñ 

 ̧   Ö Ø Ó Ý   Ü 

¼ 

¾    º Ñ Ó × Õ Ù  

  × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

×  

½ µ È Ö Ø Ó Ó     ½    ¡ ¡ ¡  Ñ  Ý Ô Ö Ø Ó Ó     ½    ¡ ¡ ¡  Ò   

 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

µ  Ü × Ø Ý  

¾ µ Ð Ñ  

Ü    Ü 

¼ 

    ́ Ü  µ 

     ́ Ü 

¼ 

µ 

      ́ Ü 

¼ 

µ  ́ Ü 

  Ü 

¼ 

µ 

 

  Ü     Ü 

¼ 

 

¼   

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 22/164

¾ ¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º   Í × Ù Ð Ñ Ò Ø Ð Ó Ò  Ó Ò ¾ µ × × Ö Ñ Ò Ö Õ Ù Ú ¹  

Ð Ò Ø Ó Ñ Ó  

Ð Ñ 

    ¼ 

     ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ     

     

¼   

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º ½ ¼   Ò Ú × Ø Ð È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ½ º Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ù Ò  Ó Ò 

         Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

× Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

¾     × Ý ×  Ó Ð Ó × Ù Ò Ð ×  

  Ù Ò Ó Ò × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø ×    

 

       Á Ê 

Ò 

    Á Ê  × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

¾     º 

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º ½ ½   Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ð Ö Ò Ð Ø Ò Õ Ù Ú Ö Ó Ò Ð  

Ô Ó × Ð Ô Ö Ó Ü Ñ Ö Ð Ù Ò  Ó Ò     ́ Ü  µ  Ô Ó Ö Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ð Ò Ð Ò   Ä   ́ Ü  µ  

   ́ Ü 

¼ 

µ ·     ́ Ü 

¼ 

µ  ́ Ü     Ü 

¼ 

µ  Ö   Ü 

¼ 

º Ò Ó × Ó Ò ×   Ä  × Ð Ð Ñ Ô Ö Ó Ü Ñ  Ó Ò 

Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò     Ò  Ü 

¼ 

º Ó Ñ Ó Ý Ú Ñ Ó × Ò Ð × Ó   Ò  ¾  Ý  Ñ  ½   ̧

Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ó Ñ Ø Ö Ñ Ò Ø Ó Ñ Ó Ð Ô Ó × Ð Ù × Ø Ö Ð  

Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó     Ò  Ü 

¼ 

º 

Ñ Ô Ð Ó ½ º ½   Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó      ́ Ü Ý  µ   Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

Ò 

Ð Ô Ù Ò Ø Ó   ´ ½    ½ µ  º Ð Ù Ð Ñ Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ò   ´ ½    ½ µ 

 

Ü 

´ ½    ½ µ ¾  Ü   

´ ½    ½ µ 

¾  Ý 

 

Ý 

´ ½    ½ µ ¾  Ý   

´ ½    ½ µ 

¾   

Ò Ø Ó Ò × Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ø Ò Ô Ó Ö Ù  Ó Ò 

Þ  ¾ · ¾ ´  Ü     ½ µ · ¾ ´  Ý     ½ µ   

× Ö  

Þ       ¾ · ¾  Ü  · ¾  Ý  

Ô Ö Ó Ü Ñ  Ó Ò Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò  

Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

× Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

¾     º Ò Ø Ó Ò ×  

Ð Ù Ò  Ó Ò Ð Ò Ð Ò  

Ä   ́   µ      ́ Ü 

¼ 

µ ·     ́ Ü 

¼ 

µ   

× Ù Ò Ô Ö Ó Ü Ñ  Ó Ò Ð Ù Ò  Ó Ò     ́ Ü 

¼ 

·    µ Ö     ¼ º Æ Ó ×  Ó Ð Ó     ́ Ü 

¼ 

·    µ 

Ý  Ä   ́   µ      ́ Ü 

¼ 

µ ·     ́ Ü 

¼ 

µ    × Ó Ò Ñ Ù Ý Ô Ö × ¸ × Ò Ó Õ Ù Ñ   × 

   ́ Ü 

¼ 

·    µ     Ä   ́   µ 

     

× Ø Ñ Ò Ñ Ù Ý Ô Õ Ù  Ò Ó Ô Ö     Ô Õ Ù  Ò Ó ¸ Ò Ð × Ó   Ñ  ½ Ý  Ò  ¾ Ø Ò Ñ Ó ×  

Õ Ù  

Ä   ́   µ   Ä   ́  

½ 

 

¾ 

µ      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ · 

 

Ü 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ   

½ 

· 

 

Ý 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ   

¾ 

 

Ô Ö Ó Ü Ñ     Ð Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò Ö ´  Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 23/164

½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë   Á Ê 

Æ 

  Á Ê 

Å 

º  ¾ ¿ 

Ñ Ô Ð Ó ½ º ½   Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ô Ö Ó Ü Ñ  Ó Ò Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò Ô Ö Ð Ù Ò  Ó Ò 

    Á Ê 

¾ 

    Á Ê  ¬ Ò Ô Ó Ö      ́ Ü Ý  µ   Ü  Ó × ´  Ý  µ ·   

Ü Ý 

¸ Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó    ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ  

´ ½    µ  º 

Ì Ò Ñ Ó ×     ´ ½    µ  

  ½ ·   

 

Ý 

 

Ü 

´ ½    µ      ½ ·   

 

Ý 

 

Ý 

´ ½    µ    

 

 

× Ð Ô Ö Ó Ü Ñ  Ó Ò Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ö ×  

  ´ ½ ·    ·    µ     ½ ·   

 

·  ́    ½ ·   

 

µ    ·   

 

  £ 

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º ½ ¾   Ò Ò Ö Ð ¸ Ð Ó × Ú Ø Ó Ö ×   Á Ê 

Ò 

Ö Ò Ó Ò × Ö Ö ×  

Ó Ñ Ó Ú Ø Ó Ö × Ó Ð Ù Ñ Ò º × Ø Ñ Ò Ö Ð Ñ Ø Ö Ü Â Ó Ò Ý Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó  

   ́ Ü 

¼ 

µ     ̧   ¾   Á Ê 

Ò 

Ø Ò × Ò Ø Ó º Ë Ò Ñ Ö Ó ¸ Ù Ò Ó × Ø Ó Ò Ó Ð Ð Ú Ó Ò ¹  

  Ù ×  Ó Ò ¸ Ñ Ù × Ú × × Ö Ö Ñ Ó × Ð Ó × Ú Ø Ó Ö ×   Á Ê 

Ò 

Ó Ñ Ó Ú Ø Ó Ö × ¬ Ð × ¸ Ô Ó Ö  

Ó Ò Ó Ñ Ò Ó Ø Ó Ò Ð º  

Ö Ò Ø Ù Ò Ù Ò  Ó Ò  º 

Ä Ñ Ø Ö Þ Â Ó Ò Ù Ò Ù Ò  Ó Ò   Á Ê 

Ò 

Ò  Á Ê  × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ ½   ¢   Ò 

   ́ Ü 

¼ 

µ  

 

Ü 

½ 

 ́ Ü 

¼ 

µ 

 

Ü 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

µ   

 

Ü 

Ò 

 ́ Ü 

¼ 

µ    

× Ó × Ø Ù Ñ Ö Ò Ø ¬ Ö × Ø Ñ Ø Ö Þ Ó Ò Ù Ò Ú Ø Ó Ö   Á Ê 

Ò 

Ð Ð Ñ Ó   Ö Ò Ø  

    Ò  Ü 

¼ 

º ×  

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  ́

 

Ü 

½ 

 ́ Ü 

¼ 

µ    ¡ ¡ ¡   

 

Ü 

Ò 

 ́ Ü 

¼ 

µ µ 

Ø 

 

Ó Ò × Ø Ò Ó Ø  Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ü Ñ  Ó Ò Ð Ò Ð Ø Ò Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ  

Ä   ́ Ü  µ      ́ Ü 

¼ 

µ ·  Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  ¡   ́ Ü     Ü 

¼ 

µ   

Ê Ð  Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ö Ò Ð  

Ó Ò Ø Ò Ù  Ó Ò Ó Ö Ñ Ó × Ð Ö Ð  Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ö Ò Ð ¹  

º Ð Ù Ð Õ Ù Ò Ð × Ó Ð × Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ú Ö Ð ¸ Ð Ö Ò ¹  

Ð × Ù Ò Ó Ò Ô Ø Ó Ñ   × Ù Ö Ø Õ Ù Ð Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ò Ð × Ò Ø Ó Õ Ù ¸  

Ø Ó Ù Ò  Ó Ò Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó × Ø Ñ Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó º  

È Ö Ó Ð Ö Ð  Ó Ò Ò Ó Ø Ö Ñ Ò Ð Ð º Ë Ò Ð Ñ Ö Ü × Ø Ò Ð × Ö Ú ×  

Ô Ö Ð × Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ö Ò Ø Þ × Ù Ö Ò Ð ¸ Ò Ð  

× Ó Õ Ù × × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ü × Ø Ò Ý × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ù Ò Ú Ò  

Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò × × Ý Ö Ò Ð Ð Ù Ò  Ó Ò º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 24/164

¾   È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ó Ñ Ò Ñ Ó × Ü Ø Ò Ò Ó Ð × Ù Ð Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ Ð Ô Ö Ó Ù Ø Ó  

Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ô Ó Ö Ù Ò Ú Ø Ó Ö º Ë     Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ò   Å 

Ñ  ¢  Ò 

 ́ Á Ê  µ Ý  Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

º 

Ò Ø Ó Ò × ¸ Ù × Ò Ó Ð × Ù Ð Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

  Ü 

 

¾ 

 

Ñ 

  

  ½ 

 ́

Ò 

  

  ½ 

 

 

Ü 

 

µ 

¾ 

  

Ñ 

  

  ½ 

 ́

Ò 

  

  ½ 

 

¾ 

 

Ò 

  

  ½ 

Ü 

¾ 

 

µ  ́

Ñ 

  

  ½ 

Ò 

  

  ½ 

 

¾ 

 

µ 

 Ü 

 

¾ 

× Ø × Ù Ð × Ù Ö ¬ Ò Ö Ð   Ò Ó Ö Ñ   Ù Ò Ñ Ø Ö Þ     ¾   Å 

Ñ  ¢  Ò 

 ́ Á Ê  µ Ó Ñ Ó  

       

Ú  

Ù 

Ù 

Ø 

Ñ 

  

  ½ 

Ò 

  

  ½ 

 

¾ 

 

 

È Ó Ñ Ó × Ö × Ù Ñ Ö × Ø Ó Ò Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò 

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ½ º ½ ¼   Ë     ¾   Å 

Ñ  ¢  Ò 

 ́ Á Ê  µ  Ý  Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

Ò Ø Ó Ò ×  

  Ü        Ü     

Ö Ó ½ º ½ ½   Ë       Á Ê 

Ò 

   Á Ê 

Ñ 

¬ Ò Ô Ó Ö      ́ Ü  µ     ·  Ü  ¸ Ó Ò  

 

¾  Á Ê 

Ò 

Ý   

¾  Å 

Ñ  ¢  Ò 

 ́ Á Ê  µ  º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù  

½ µ    × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Á Ê 

Ò 

º 

¾ µ    × Ö Ò Ð Ò Ø Ó Ó   Ü  Ý     ́ Ü  µ     º 

Ì Ó Ö Ñ ½ º   Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

Ý  Ü 

¼ 

¾     º Ò Ø Ó Ò ×  

  × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

Ñ Ô Ð   × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ü  

¼ 

 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   Ë     × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ð Ñ Ø Ö Þ Â Ó ¹  

Ò     Ò  Ü 

¼ 

Ý 

Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

     ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ  ́ Ü     Ü 

¼ 

µ   

  Ü     Ü 

¼ 

 

¼   

× Ó     ¼ ¸ Ü × Ø     ¼ Ø Ð Õ Ù ×     Ü     Ü 

¼ 

    Ò Ø Ó Ò ×  

     ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ  ́ Ü     Ü 

¼ 

µ        Ü     Ü 

¼ 

   

Ò Ø Ó Ò × ¸ Ù × Ò Ó Ð × Ù Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ö Ý Ð È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ½ º ½ ¼ ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

     ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ         Ü     Ü 

¼ 

  ·       ́ Ü 

¼ 

µ  ́ Ü     Ü 

¼ 

µ      ́   ·       ́ Ü 

¼ 

µ    µ    Ü     Ü 

¼ 

 

× Ø Ñ Ò Ö ¸ × Ð Ñ Ó ×    

½ 

  Ñ Ò        ́   ·       ́ Ü 

¼ 

µ    µ     Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

  Ü     Ü 

¼ 

   

½ 

µ      ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ     

× Ö ¸     × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

£ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 25/164

½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë   Á Ê 

Æ 

  Á Ê 

Å 

º  ¾  

Ó Ö Ó Ð Ö Ó ½ º ¾   Ë     × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò     Ý  à Ø Ð × Õ Ù  

 Ü 

  Ü 

¼ 

   ¼  Ñ Ô Ð  

    ́ Ü  µ 

     ́ Ü 

¼ 

µ 

  Ã 

 Ü 

  Ü 

¼ 

  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   × Ø Ø Ó Ñ Ö     ½ Ý  à ½ ·       ́ Ü 

¼ 

µ    Ò Ð Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò 

Ð Ø Ó Ö Ñ º  £ 

Ê Ø Ó Ñ Ö Ñ Ó × × Ø Ô Ö Ó Ô Ù Ò Ó Ú Ñ Ó × Ñ   × Ð Ò Ø Ð Ì Ó Ö Ñ  

Ð Î Ð Ó Ö Å Ó º  

Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ó Ó Ò Ð Ö Ð Ó Ò Ò Ø Ö Ö Ò Ð Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò × ¹  

Ö Ñ Ó × Ù Ò Ù Ò  Ó Ò           Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

Ý  Ü 

¼ 

¾     º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ð ×  

Ö Ú × Ô Ö Ð ×     Ü × Ø Ò Ò Ó ×  Ó Ð Ó Ò   Ü 

¼ 

× Ò Ó Õ Ù Ò Ù Ò Ú Ò  

Π        Ü 

¼ 

º Ò Ø Ó Ò × × Ø × ¬ Ò Ò Ù Ò Ó Ò ×  

 

 

Ü 

 

  Π     Á Ê Ø Ð Õ Ù Ü      

 

 

Ü 

 

 ́ Ü  µ   

Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ Ò Ó ×   Ù Ò Ó Ò  Ó Ò × Ù ¬ Ò Ø Ô Ö Õ Ù Ù Ò Ù Ò  Ó Ò   

× Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

º 

Ì Ó Ö Ñ ½ º   Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

Ø Ð Õ Ù × Ù × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ü × Ø Ò  

Ò Ù Ò Ú Ò   Ü 

¼ 

Ý × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò   Ü 

¼ 

º Ò Ø Ó Ò ×     × Ö Ò Ð Ò  

Ü 

¼ 

º 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   Ò Ú × Ø Ð Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º ½ ¼ ¸ × Ø Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ø Ó Ö Ñ  

Ô Ö   Ñ  ½ º Ä Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ò Ð × Ó Ò Ö Ð Ô Ö   Ò  × Ò   Ð Ó Ð × Ó  

Ò  ¾ º Æ Ó × Ó Ø Ö Ó × Ö Ñ Ó × ×  Ó Ð Ó Ð × Ó   Ò  ¾ Ý Ñ Ó × Ð × Ó Ò Ö Ð Ð  

Ð Ø Ó Ö º Æ Ù × Ø Ö Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò × × Ò Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó Ô Ö  

Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ú Ö Ð ¸ Ð Õ Ù Ö Ó Ö Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù  Ó Ò  

Ì Ó Ö Ñ ½ º   ´ Ì Ó Ö Ñ Î Ð Ó Ö Å Ó Ò   Á Ê  µ  Ë               Á Ê  Ù Ò  

  Ù Ò  Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ò         Ý Ö Ú Ð Ò    ́   µ  ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø     ¾    ́   µ  Ø Ð 

Õ Ù  

   ́   µ        ́   µ    

¼ 

 ́   µ  ́        µ   

Ó Ò × Ö Ñ Ó ×  

   ́ Ü 

¼ 

·    µ 

     ́ Ü 

¼ 

µ  

   ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

·   

¾ 

µ        ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

µ ·     ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

µ        ́ Ü 

¼ ½ 

Ü 

¼ ¾ 

µ   

Ñ Ó ×   Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ý × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù    

¾ 

  ¼ º ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò  Ó Ò    ¼   

¾ 

     

Á Ê  Ó Ñ Ó      ́ ×  µ      ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

·  ×  µ º Ó Ñ Ó Ð Ö Ú Ô Ö Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 26/164

¾   È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ý   Ý  Ü × Ø Ò Ù Ò Ú Ò   Ü 

¼ 

¸ ×     × Ô Õ Ù  Ò Ó ¸ Ð Ù Ò  Ó Ò    × Ö Ú Ð  

Ò ¼    

¾ 

º Ò Ø Ó Ò × ¸ Ô Ð Ò Ó Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ú Ð Ó Ö Ñ Ó     Ü × Ø    

¾ 

¾  

  Ü 

¼ ¾ 

Ü 

¼ ¾ 

·   

¾ 

Ø Ð Õ Ù  

   ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

·   

¾ 

µ        ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

µ  

 

Ü 

¾ 

 ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

·   

¾ 

µ   

Ë    

¾ 

  ¼ Ò Ø Ó Ò × × ¬ Ò     Ò    

¾ 

  ¼ Ý × Ô Ö Ó Ñ Ò Ö Ò   Ð Ó º  

Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ò Ù Ð Õ Ù Ö × Ó      

¾ 

       

¾ 

      º 

È Ó Ö Ð Ñ × Ñ Ó Ö Ù Ñ Ò Ø Ó ¸ ¬ Ò Ó Ó Ö   Ü 

¼ ¾ 

× Ø Ò Ö   Õ Ù Ü × Ø    

½ 

Ø Ð Õ Ù  

   

½ 

       

½ 

      Ý 

   ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

µ 

     ́ Ü 

¼ ½ 

Ü 

¼ ¾ 

µ  

 

Ü 

½ 

 ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

µ   

× ¸ × Ò Ó Ø Ñ Ó ×  Ü 

½ 

 ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

·   

½ 

µ Ý  Ü 

¾ 

 ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

µ Ø Ò Ñ Ó ×  

   ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ  

 

Ü 

½ 

´  Ü 

½ 

µ   

½ 

· 

 

Ü 

¾ 

´  Ü 

¾ 

µ   

¾ 

Ý Õ Ù  

   ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ   

 

 

Ü 

½ 

´  Ü 

½ 

µ    

 

Ü 

½ 

 ́ Ü 

¼ 

µ    

½ 

·  

 

Ü 

¾ 

´  Ü 

¾ 

µ    

 

Ü 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

µ    

¾ 

   ́ £   µ 

Í × Ñ Ó × Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ò   Ü 

¼ 

º Ó     ¼ 

Ü × Ø    

½ 

  ¼ Ø Ð Õ Ù  

  Ü     Ü 

¼ 

   

½ 

µ  

 

Ü 

½ 

 ́ Ü  µ    

 

Ü 

½ 

 ́ Ü 

¼ 

µ     

 

Ô   

¾ 

Ý Ü × Ø    

¾ 

  ¼ Ø Ð Õ Ù  

  Ü     Ü 

¼ 

   

¾ 

µ  

 

Ü 

¾ 

 ́ Ü  µ    

 

Ü 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

µ     

 

Ô   

¾ 

 

Ð Ò Ó       Ñ Ò      

½ 

 

¾ 

   ¸ ×           Ò Ø Ó Ò × Ô Ö     ½    ¾   

   Ü 

 

   Ü 

¼ 

       

 

       

 

       

Ý ×  

 

 

Ü 

 

´  Ü 

 

µ    

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

µ     

 

Ô   

¾ 

 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 27/164

½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë   Á Ê 

Æ 

  Á Ê 

Å 

º  ¾  

Ê Ñ Ô Ð Þ Ò Ó × Ø  Ù Ð Ø Ñ Ù Ð Ò Ð Ù  Ó Ò ´ ¶ µ Ý Ù × Ò Ó Ð × Ù Ð ¹  

Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ × Ó Ø Ò  

     ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ     

  

×  

 

 

Ü 

½ 

´  Ü 

½ 

µ 

  

 

Ü 

½ 

 ́ Ü 

¼ 

µ 

 

¾ 

· 

 

 

Ü 

¾ 

´  Ü 

¾ 

µ 

  

 

Ü 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

µ 

 

¾ 

  

  

Ó Ò  

     ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ      

Ö  

 

¾ 

¾ 

· 

 

¾ 

¾ 

                  £ 

¬ Ò  Ó Ò ½ º ¾ ¾            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

× Ð ×    

½ 

Ò  Ü 

¼ 

¾     ×     × 

Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

Ý Ø Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×     × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò   Ü 

¼ 

º 

¬ Ò  Ó Ò ½ º ¾ ¿        

  Á Ê 

Ò 

   Á Ê 

Ñ 

× Ö Ò Ð Ò     ×     × 

Ö Ò Ð Ò Ô Ù Ò Ø Ó º     × Ð ×    

½ 

Ò    ×     Ý Ø Ó × × Ù ×  

Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò     º 

Ñ Ô Ð Ó ½ º ½      ́ Ü Ý  µ  

Ó ×   ́ Ü  µ ·   

Ü Ý 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

× Ö Ò Ð Ò Ô Ù Ò Ø Ó    ́ Ü Ý  µ   

´ ¼    ¼ µ  Ô Ù ×  

 

Ü 

Ý 

 

Ý 

Ü × Ø Ò Ý × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ô Ù Ò Ø Ó × Ø Ò Ø Ó Ð  

´ ¼    ¼ µ  º 

Ñ Ô Ð Ó ½ º ½   Ä × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ð Ù Ò  Ó Ò     ́ Ü Ý  µ   Ü 

½    ¿ 

Ý 

½    ¿ 

× ¹ 

Ø Ù Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ò Ø Ò Ó × Ø Ò ¬ Ò × Ò Ù Ò Ú Ò Ð Ó Ö Ò ¸ Ñ Ò Ó ×  

Ô Ù Ò × Ö Ó Ò Ø Ò Ù × º  

Ö Ó ½ º ½ ¾   Ó Ò × Ö Ð Ù Ò  Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö  

   ́ Ü Ý  µ  

 ́

Ü Ý 

¾ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

×    ́ Ü Ý  µ  ´ ¼    ¼ µ 

¼  ×    ́ Ü Ý  µ ´ ¼    ¼ µ   

µ Å Ù × Ø Ö Õ Ù     × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   ´ ¼    ¼ µ  º 

µ Ð Ù Ð Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó   Ü    Ý  Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ð  

Ô Ð Ò Ó º  

µ ×     Ö Ò Ð Ò   ´ ¼    ¼ µ   

Ú µ Ë Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ò   ´ ¼    ¼ µ   

Ú µ ×     Ö Ò Ð Ò    ́ Ü Ý  µ  ´ ¼    ¼ µ   

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 28/164

¾   È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ö Ó ½ º ½ ¿   Ë  Ù Ò Ð Ó ×  Ù Ð Ø Ñ Ó × Ø Ó Ö Ñ × Ú × Ø Ó × Ø Ò Ñ Ó × Ð × × Ù Ò Ø × Ñ ¹  

Ô Ð Ó Ò ×  

Ö Ú × Ô Ö Ð × Ó Ò Ø Ò Ù × Ò   Ü 

¼ 

µ      Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

µ      × Ó Ò Ø Ò Ù  

Ò  Ü 

¼ 

º Ñ   × 

  Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

µ    Ü × Ø Ò Ø Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ò   Ü 

¼ 

º 

Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ñ Ô Ð Ó × Ó Ò × Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð × Ö Ô Ö Ó × × Ø × Ñ Ô Ð ¹  

Ó Ò × × Ó Ò Ð × × º  

Î Ó Ð Ú Ñ Ó × Ó Ö Ð Ô Ö Ó Ü Ñ  Ó Ò Õ Ù Ð Ð Ú Ð Ó Ò Ô Ø Ó Ö ¹  

Ò Ð º Î Ñ Ó × Õ Ù ×     × Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó   Ü 

¼ 

Ò Ø Ó Ò × Ð  

Ù Ò  Ó Ò Ð Ò Ð Ò   Ä        ́ Ü 

¼ 

µ ·     ́ Ü 

¼ 

µ    Ô Ö Ó Ü Ñ     Ò Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò º  

Æ Ó × Ò Ø Ö × Ó Ö Ð Ö Ô Ö Ó º  

Ì Ó Ö Ñ ½ º   Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

¾    

Ý  Ä  Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ð Ò Ð Ò ¸   Ä       ·    Ó Ò    ¾   Á Ê 

Ñ 

Ý    ¾   Å 

Ñ  ¢  Ò 

 ́ Á Ê  µ  º 

Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù  

Ð Ñ 

    ¼ 

     ́ Ü 

¼ 

·    µ     Ä    

     

¼  ́ £   µ 

Ò Ø Ó Ò ×          ́ Ü 

¼ 

µ  Ý         ́ Ü 

¼ 

µ  Ý    × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

º 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   È Ó Ö Ô  Ó Ø × ×  

Ð Ñ 

    ¼ 

     ́ Ü 

¼ 

·    µ     Ä    

     

¼   

Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Õ Ù  

Ð Ñ 

    ¼ 

   ́ Ü 

¼ 

·    µ            ¼   

Ó Ñ Ó     × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

¸ × Ø Ó Ñ Ô Ð Õ Ù      ́ Ü 

¼ 

µ     º 

È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ Ð Ò Ó ½           Ò  ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ð Ô  Ó Ø × × Õ Ù  

Ð Ñ 

Ø    ¼ 

     ́ Ü 

¼ 

·  Ø  

 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ     Ø  

 

 

  Ø  

 

 

¼ 

× Ö ¸  

Ð Ñ 

Ø    ¼ 

   ́ Ü 

¼ 

·  Ø  

 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ 

Ø 

   

 

 

× ¸ Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ð × Ù Ò Ó Ò × Ó Ó Ö Ò × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó   Ü 

 

Ü × Ø Ò Ý × Ó Ò Ù Ð × Ð Ó Ð Ù Ñ Ò     ¹ × Ñ     º Õ Ù          ́ Ü 

¼ 

µ º Ò  

Ú × Ø Ð Ô  Ó Ø × × Ò Ù Ú Ñ Ò Ø ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù     × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

º  £ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 29/164

½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë   Á Ê 

Æ 

  Á Ê 

Å 

º  ¾  

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º ½ ¿   × Ø Ø Ó Ö Ñ Õ Ù Ù Ò Ó Ü × Ø Ù Ò Ô Ö Ó Ü Ñ  Ó Ò 

Ð Ò Ð Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò Ò Ø Ó Ò × Ý Ù Ò × Ó Ð º × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ Ù Ò º  

È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø × Ø Ø Ó Ö Ñ × Ñ Ù Ý  Ù Ø Ð Ô Ö Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ö Ò Ð  

Ù Ò Ö Ø Ù Ò  Ó Ò º Ä × Õ Ù Ù Ò Ó Ø Ò Ù Ò Ñ Ø Ö Þ     Õ Ù × Ò Ø  

× Ö Ð Ñ Ø Ö Ü Â Ó Ò     º Ó Ò Ñ Ø Ö Þ Ù Ò Ó Ñ Ù × Ø Ö ´ ¶ µ º Ý  

Ó Ò Ð Ù Ý Ð Ö Ò Ð º  

Ð × Ù Ò Ø × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ Õ Ù Ô Ö Ñ Ø Ó Ñ Ò Ö Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º  

Ì Ó Ö Ñ ½ º   Ë Ò            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

 ̧ Ü 

¼ 

¾     Ý    ¾   Á Ê  º 

½ µ    × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

Ñ Ô Ð     × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

Ý 

   ́   µ  ́ Ü 

¼ 

µ      ́ Ü 

¼ 

µ   

¾ µ    Ý    × Ó Ò Ö Ò Ð × Ò   Ü 

¼ 

Ñ Ô Ð  

µ    ·    × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

Ý 

   ́   ·    µ  ́ Ü 

¼ 

µ      ́ Ü 

¼ 

µ ·     ́ Ü 

¼ 

µ   

µ    ¡    × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

Ý 

   ́   ¡    µ  ́ Ü 

¼ 

µ      ́ Ü 

¼ 

µ 

Ø 

   ́ Ü 

¼ 

µ ·     ́ Ü 

¼ 

µ 

Ø 

   ́ Ü 

¼ 

µ   

¿ µ  Ñ  ½   ̧   × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

Ý     ́ Ü 

¼ 

µ  ¼  Ñ Ô Ð  

½ 

   ́ Ü  µ 

× Ö Ò Ð  

Ò  Ü 

¼ 

Ý 

   ́

½ 

 

µ  ́ Ü 

¼ 

µ     

   ́ Ü 

¼ 

µ 

   ́ Ü 

¼ 

µ 

¾ 

 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   Ë  Ó Ð Ó Ò Ö Ñ Ó × Ö Ú Ñ Ò Ø Ó Ñ Ó × Ñ Ù × Ø Ö ¾ µ µ ¸ Ð  

Ö × Ø Ó Õ Ù Ö Ó º Ó Ò × Ö Ñ Ó ×  

        ¡     ́ Ü 

¼ 

·    µ       ¡     ́ Ü 

¼ 

µ          ́ Ü 

¼ 

µ 

Ø 

   ́ Ü 

¼ 

µ ·     ́ Ü 

¼ 

µ 

Ø 

   ́ Ü 

¼ 

µ    

 ́    ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ    µ  ¡     ́ Ü 

¼ 

·    µ 

·     ́ Ü 

¼ 

µ  ¡   ́    ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ    µ 

·     ́ Ü 

¼ 

µ    ¡   ́    ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ µ   

Í × Ò Ó Ð × × Ù Ð × Ø Ö Ò Ù Ð Ö Ý Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù  

 

     

     ́ Ü 

¼ 

·    µ   

     ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ     

     

·       ́ Ü 

¼ 

µ   

     ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ   

     

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 30/164

¿ ¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

·       ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ       ́ Ü 

¼ 

µ     

Õ Ù × × Ù Ð Ö Ò Ð º Æ Ó Ø Ö Õ Ù × Ø Ñ Ó × Ù × Ò Ó Ð Ì Ó Ö Ñ  

½ º º   £ 

Ì Ó Ö Ñ ½ º   ´ Ê Ð Ð Ò µ   Ë Ò            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

Ý          

Á Ê 

Ñ 

    Á Ê 

 Ô 

Ø Ð × Õ Ù     × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

¾     Ý    Ö Ò Ð Ò      ́ Ü 

¼ 

µ  ¾  

  º Ò Ø Ó Ò ×     Æ            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

 Ô 

× Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

Ý 

   ́   Æ     µ  ́ Ü 

¼ 

µ      ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ     ́ Ü 

¼ 

µ   

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   Ë × Ö Ñ Ó ×  

     ́   µ      ́    ́ Ü 

¼ 

·    µ µ        ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ        ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ     ́ Ü 

¼ 

µ   

Ò Ø Ó Ò × ¸ Ö × Ð Ì Ó Ö Ñ ½ º × Ø Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù  

Ð Ñ 

    ¼ 

     ́   µ   

     

¼   

Ð × Ù Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ö Ý Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù  

     ́   µ       ́    ́ Ü 

¼ 

·    µ µ        ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ        ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ  ́    ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ µ   

·       ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ     ́    ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ    µ     

È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ó Ñ Ó     × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

¸ Ó     ¼ Ü × Ø    

½ 

  ¼ Ø Ð Õ Ù  

       

½ 

µ      ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ      

 

¾       ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ   

       

Ý Õ Ù Ø Ñ Ò Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø   Ã   ¼ Ø Ð Õ Ù  

       

½ 

µ      ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ     à        

Í × Ò Ó Ð Ö Ò Ð     Ò     ́ Ü 

¼ 

µ Ò Ó Ò Ø Ö Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø    

¾ 

  ¼ Ø Ð  

Õ Ù  

  Р    

¾ 

µ      ́    ́ Ü 

¼ 

µ ·  Р µ        ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ        ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ  Р   

 

¾  à

  Р    

Ä Ù Ó ¸ × Ó Ò Ó       Ñ Ò      

½ 

 

 

¾ 

à

   ¸ ×           Ý Ó Ò × Ö Ò Ó   Р      ́ Ü 

¼ 

· 

  µ        ́ Ü 

¼ 

µ × Ø Ò Ö Ñ Ó ×  

     ́    ́ Ü 

¼ 

·    µ µ        ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ        ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ  ́    ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ µ   

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 31/164

½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë   Á Ê 

Æ 

  Á Ê 

Å 

º  ¿ ½ 

  

 

¾  à

     ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ   

  

 

¾  à

à        

 

¾ 

       

Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó  

        µ   

    ́   µ 

 

     

    

Ä Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ö Õ Ù Ö Õ Ù        ́    ́ Ü 

¼ 

µ µ      ¼ º Á Ò Ö  Ó Ñ Ó Ö Ð Ó Ù Ò Ó  

× Ö Ó º  £ 

Ñ Ô Ð Ó ½ º ½   ´ × Ó È Ö Ø Ù Ð Ö µ   Ë Ò       Á Ê 

¿ 

   Á Ê  Ý      Á Ê 

¿ 

   Á Ê 

¿ 

Ø Ð Õ Ù  

   ́ Ü Ý Þ  µ  ́ Ù   ́ Ü Ý Þ  µ  Ú   ́ Ü Ý Þ  µ  Û   ́ Ü Ý Þ   µ µ   

Ë      ́ Ü Ý Þ  µ     Æ      ́ Ü Ý Þ  µ      ́ Ù   ́ Ü Ý Þ  µ  Ú   ́ Ü Ý Þ  µ  Û   ́ Ü Ý Þ  µ µ Ð Ù Ð Ñ Ó ×  

 

Ü 

 ́ Ü Ý Þ   µ º È Ö × Ø Ó Ù × Ñ Ó × Ð Ê Ð Ð Ò Ô Ö Ó Ø Ò Ö      ́ Ü Ý Þ  µ 

   ́ Ü Ý Þ  µ      ́    ́ Ü Ý Þ  µ µ     ́ Ü Ý Þ  µ  ́

 

Ù 

 

 

Ú 

 

 

Û 

µ 

¾ 

 

Ù 

Ü 

Ù 

Ý 

Ù 

Þ 

Ú 

Ü 

Ú 

Ý 

Ú 

Þ 

Û 

Ü 

Û 

Ý 

Û 

Þ 

¿ 

 

 

Ò Ø Ó Ò ×  

 

Ü 

 

 

Ù 

Ù 

Ü 

· 

 

Ú 

Ú 

Ü 

· 

 

Û 

Û 

Ü 

£ 

Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ ¼   ´ Ó Ó Ö Ò × × Ö × µ   Ë       Á Ê 

¿ 

    Á Ê  Ý Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð  

Ñ Ó Ú Ö Ð × Ó Ó Ö Ò × × Ö ×  

Ü    Ö Ó ×    ́   µ  × Ò   ́   µ 

Ý    Ö × Ò    ́   µ  × Ò   ́   µ 

Þ    Ö Ó ×    ́   µ   

Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò  Ó Ò     ́ Ö  µ      ́ Ö Ó × × Ò Ö × Ò × Ò Ö Ó ×  µ  É Ù Ö ¹  

Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×     Ó Ò Ö × Ô Ø Ó   Ö   Ý    º 

Ë Ñ Ö Ñ Ó × Ð Ñ Ó Ú Ö Ð × Ó Ñ Ó Ù Ò Ù Ò  Ó Ò      Á Ê 

¿ 

    Á Ê 

¿ 

¸ Ù × Ò Ó  

Ð Ñ Ô Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Ø Ò Ö    

 

Ö 

 

 

Ü 

Ó × × Ò   · 

 

Ý 

× Ò × Ò   · 

 

Þ 

Ó ×  

 

 

 

 

Ü 

Ö Ó × Ó ×   · 

 

Ý 

Ö × Ò Ó ×     

 

Þ 

Ö × Ò  

 

 

    

 

Ü 

Ö × Ò × Ò   · 

 

Ý 

Ö Ó × × Ò  £ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 32/164

¿ ¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ ½   Ë      ́ Ü Ý  µ      ́ Ù   ́ Ü Ý  µ  Ú   ́ Ü Ý  µ µ  Ó Ò Ð Ù Ò  Ó Ò    × Ø  

¬ Ò Ô Ó Ö      ́ Ù Ú  µ  

Ù 

¾ 

·  Ú 

¾ 

Ù 

¾ 

  Ú 

¾ 

¸ Ý Ð × Ù Ò Ó Ò ×   Ù  Ý  Ú  Ô Ó Ö  Ù   ́ Ü Ý  µ    

  Ü    Ý 

Ý 

Ú   ́ Ü Ý  µ    

Ü Ý 

º Ð Ù Ð Ö  

 

Ü 

 

 

Ý 

  Í × Ò Ó Ð Ö Ð Ð Ò Ø Ò Ñ Ó ×  

 

Ü 

 

 

Ù 

Ù 

Ü 

· 

 

Ú 

Ú 

Ü 

 

  Ù Ú 

¾ 

 ́ Ù 

¾ 

   Ú 

¾ 

µ 

¾ 

 

  Ü    Ý 

· 

  Ú Ù 

¾ 

 ́ Ù 

¾ 

   Ú 

¾ 

µ 

¾ 

Ý  

Ü Ý 

 

Ý 

 

 

Ù 

Ù 

Ý 

· 

 

Ú 

Ú 

Ý 

 

  Ù Ú 

¾ 

 ́ Ù 

¾ 

   Ú 

¾ 

µ 

¾ 

 

  Ü    Ý 

· 

  Ú Ù 

¾ 

 ́ Ù 

¾ 

   Ú 

¾ 

µ 

¾ 

Ü  

Ü Ý 

Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ ¾   ´ Á Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø µ   Ë Ò       Á Ê 

¿ 

    Á Ê   ̧ -    Á Ê      Á Ê 

¿ 

Ý      Á Ê      Á Ê 

Ñ Ò Ö Õ Ù      ́ Ø  µ     Æ   -   ́ Ø  µ  º Ò Ø Ó Ò ×  

 

Ø 

 

 

Ü 

 - 

½ 

· 

 

Ý 

 - 

¾ 

· 

 

Þ 

 - 

¿ 

  Ö      ́ -   ́ Ø  µ µ  ¡ 

 

-   ́ Ø  µ   

Ä Ù Ò  Ó Ò  -  Ö Ô Ö × Ò Ø Ù Ò Ù Ö Ú Ò Ð × Ô Ó Ý    -  × Ù Ú Ø Ó Ö Ø Ò Ò Ø º  

Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾ ¿   Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ó Ò ×  

   ́ Ü Ý  µ  ́ Ü 

¾ 

· ½  Ý 

¾ 

µ 

   ́ Ù Ú  µ  ́ Ù  ·  Ú Ù Ú  

¾ 

µ 

Ð Ù Ð Ö      ́  

Æ    µ ´ ½    ½ µ    Í × Ñ Ó × Ð Ö Ð Ð Ò Ý Ð Ù Ð Ñ Ó ×  

   ́   ´ ½    ½ µ µ    ´ ½    ½ µ   

   ́ Ü Ý  µ  

 

¾  Ü  ¼ 

¼ ¾  Ý 

 

Ý Ú Ð Ù Ò Ó     ´ ½    ½ µ  

 

¾ ¼ 

¼ ¾ 

 

Ú Ð Ù Ñ Ó ×     ´ ½    ½ µ ´ ¾    ½ µ  Ý Ð Ù Ó Ð Ù Ð Ñ Ó ×  

   ́ Ù Ú  µ  

¾ 

 

½ ½ 

½ ¼ 

¼ ¾  Ú 

¿ 

 

 

Õ Ù Ð Ú Ð Ù Ö Ò Ó ×  

   ́   ´ ½    ½ µ µ     ´ ¾    ½ µ  

¾ 

 

½ ½ 

½ ¼ 

¼ ¾ 

¿ 

 

 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 33/164

½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë   Á Ê 

Æ 

  Á Ê 

Å 

º  ¿ ¿ 

Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ñ Ó ×  

   ́   Æ     µ ´ ½    ½ µ  

¾ 

 

½ ½ 

½ ¼ 

¼ ¾ 

¿ 

 

 

¾ ¼ 

¼ ¾ 

 

 

¾ 

 

¾ ¾ 

¾ ¼ 

¼  

¿ 

 

 

Í Ò Ó Ö Ñ Ð Ø Ö Ò Ø Ú ¸ Õ Ù Ò Ó × Ú Ò Ø Ñ Ò Ø Ð Ñ × Ñ Ó Ö × Ù Ð Ø Ó ¸ ×  

× Ö Ö Ó Ð Ð Ö     Ô Ö Ñ Ö Ó  

   ́ Ü Ý  µ     Æ      ́ Ü Ý  µ  ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

· ½  Ü 

¾ 

· ½  Ý 

 

µ 

Ý Ð Ù Ó Ö Ú Ö Ý Ú Ð Ù Ö  

   ́ Ü Ý  µ  

¾ 

 

¾  Ü  ¾  Ý 

¾  Ü  ¼ 

¼   Ý 

¿ 

¿ 

 

Ò Ø Ó Ò ×     ´ ½    ½ µ  

¾ 

 

¾ ¾ 

¾ ¼ 

¼  

¿ 

 

 

Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾   ´ Ö Ú  Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø µ   Ë Ò       Á Ê 

¾ 

    Á Ê    Ý    Á Ê      Á Ê  Ø Ð ×  

Õ Ù  

   ́ Ü Ý   ́ Ü  µ µ ¼      Ü  ¾   Á Ê  Ò Ø Ó Ò ×  

 

Ü 

· 

 

Ý 

Ý 

Ü 

¼   

Ë  

 

Ý 

¼  Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ñ Ó × × Ô Ö Ð Ö Ú   Ý  Ó Ò Ö × Ô Ø Ó   Ü 

Ý 

Ü 

    

 

Ü 

 

Ý 

 

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º ½   Å   × Ð Ò Ø Ú Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ù  Ó Ò 

   ́ Ü Ý  µ ¼ 

Ý Ó Ò Ó Ò × Õ Ù Ö Ò Ø Þ Ò Ð Ô Ó × Ð × Ô Ö   Ý  Ó Ñ Ó Ù Ò  Ó Ò 

  Ü  º × Ø Ö Ø Ö Ó Ð Ó Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò  Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø Ý Ó Ò × × Ø Ò  

× Ù Ô Ó Ò Ö Õ Ù  

 

Ü 

× Ò Ó Ò Ù Ð º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ù × Ø Ñ Ò Ø × Ø Ø Ö Ñ Ò Ó Ô Ö  

Ò Ð Ò Ó Ñ Ò Ó Ö Ð Ö Ú   Ý  º 

Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾   Î Ñ Ó × Ó Ö Ù Ò × Ó Ö Ú  Ó Ò Ñ Ô Ð Ø Ó Ò Ñ   × Ú Ö ¹  

Ð × º Ë Ò  

 

½ 

 ́ Ü Ý 

½ 

 ́ Ü  µ  Ý 

¾ 

 ́ Ü  µ µ ¼  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 34/164

¿   È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

 

¾ 

 ́ Ü Ý 

½ 

 ́ Ü  µ  Ý 

¾ 

 ́ Ü  µ µ ¼   

Ó Ò    

½ 

 

¾ 

  Á Ê 

¿ 

    Á Ê  Ý  Ý 

½ 

Ý 

¾ 

  Á Ê      Á Ê  º Ë Ù Ô Ó Ò Ò Ó Õ Ù Ø Ó × Ð ×  

  Ù Ò Ó Ò × Ò Ú Ó Ð Ù Ö × × Ó Ò Ö Ò Ð × × × Ð Ù Ð Ö    Ý 

½ 

 ́ Ü  µ     Ý 

¾ 

 ́ Ü  µ  º 

 

½ 

Ü 

· 

 

½ 

Ý 

½ 

 Ý 

½ 

· 

 

½ 

Ý 

¾ 

 Ý 

¾ 

¼ 

 

¾ 

Ü 

· 

 

¾ 

Ý 

½ 

 Ý 

½ 

· 

 

¾ 

Ý 

¾ 

 Ý 

¾ 

¼   

× Ø × Ù Ò × × Ø Ñ   ¾ 

¢  ¾  Ð Ù Ð Ô Ó Ñ Ó × × Ô Ö Ð × Ö Ú × Ù × × ¸  

Ó Ð Ô  Ó Ø × × Ò Ú Ö Ø Ð Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø  

 

 Ý 

½ 

 Ý 

¾ 

 

 

   ½ 

 

½ 

Ý 

½ 

 

¾ 

Ý 

¾ 

  

 

¾ 

Ý 

½ 

 

½ 

Ý 

¾ 

 

 

¾ 

Ý 

¾ 

  

 

½ 

Ý 

½ 

  

 

¾ 

Ý 

½ 

 

½ 

Ý 

½ 

 

 

 

½ 

Ü 

 

¾ 

Ü 

 

Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾   Î Ñ Ó × Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ù Ò Ó Ò  Ó Ò Ò × Ö Ý × Ù ¬ Ò Ø  

Ô Ö Õ Ù  

 

Ü 

 

 

Ý 

× Õ Ù Ü × Ø     Ø Ð Õ Ù      ́ Ü Ý  µ      ́ Ü  ·  Ý  µ  º 

Ä × Ù ¬ Ò Ó Ò  Ó Ò × Ú Ò Ø º Ë  Ó Ð Ó Ñ Ó × Õ Ù Ö  

Õ Ù Ð Ó Ò  Ó Ò Ø Ñ Ò × Ò × Ö º È Ö × Ø Ó Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ø  

Ñ Ó Ú Ö Ð ×  

Ù    Ü  ·  Ý Ú    Ü     Ý   ̧   Ü   

Ù  ·  Ú 

¾ 

Ý   

Ù     Ú 

¾ 

 

Ý ¬ Ò Ñ Ó ×  

   ́ Ù Ú  µ      ́

Ù  ·  Ú 

¾ 

 

Ù     Ú 

¾ 

µ   

Ì Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù  

 

Ú 

 ́ Ù Ú  µ  

 

Ü 

½ 

¾ 

· 

 

Ý 

 ́   

½ 

¾ 

µ ¼ 

× Ö     Ò Ó Ô Ò   Ú  ¸ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó  

   ́ Ü Ý  µ      ́ Ü  ·  Ý  µ    £ 

Ð Ì Ó Ö Ñ Î Ð Ó Ö Å Ó Ó Ð Ó × Á Ò Ö Ñ Ò Ø Ó × Ò Ø Ó ×  

Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó Ô Ö Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ò Ø Ö Ú Ð Ó     Ò  Á Ê 

Ô Ù Ü Ø Ò Ö × Ú Ö × Ú Ö Ð × º × Ø Ó Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù  Ó Ò º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 35/164

½ º º Á Ê Æ Á Á Ä Á Í Æ Á Ç Æ Ë   Á Ê 

Æ 

  Á Ê 

Å 

º  ¿  

Ì Ó Ö Ñ ½ º ½ ¼   ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó µ   Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

Ö Ò ¹  

Ð Ò     Ý             ¸ Ó Ò            Ø   · ´ ½     Ø  µ  Ø  ¾   ¼    ½      º Ò Ø Ó Ò ×  

     ́   µ        ́   µ     × Ù Ô 

Ü  ¾       

     ́ Ü  µ              

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   Ä Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò × Ø Ø Ó Ö Ñ Ò Ð × Ó Ò Ö Ð × Ù Ò  

Ô Ó Ó Ó Ñ Ô Ð º È Ó Ö × Ø Ö Þ  Ó Ò ×  Ó Ð Ó Ð Ö Ñ Ó × Ò Ð × Ó   Ñ  ½ º ¬ Ò Ñ Ó ×  

Ð Ù Ò  Ó Ò    ¼    ½       Á Ê  Ô Ó Ö 

   ́ Ø  µ      ́ Ø  · ´ ½ 

  Ø  µ    µ   

× Ø Ù Ò  Ó Ò    × Ö Ú Ð Ý Ô Ó Ö Ð Ö Ð Ð Ò Ú Ñ Ó × Õ Ù  

 

¼ 

 ́ Ø  µ   Ö      ́ Ø   · ´ ½     Ø  µ    µ  ¡   ́        µ   

Ó Ñ Ó Ð Ù Ò  Ó Ò    × Ø × Ð × Ô  Ó Ø × × Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó Ô Ö  

Ù Ò Ó Ò × Ö Ð × Ô Ó Ñ Ó × Ó Ò Ð Ù Ö Õ Ù Ü × Ø   Ø 

¼ 

¾   ´ ¼    ½ µ Ø Ð Õ Ù  

  ´ ½ µ       ´ ¼ µ    

¼ 

 ́ Ø 

¼ 

µ ´ ½     ¼ µ 

Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó  

   ́   µ        ́   µ   Ö      ́ Ø 

¼ 

· ´ ½     Ø 

¼ 

µ    µ  ¡   ́        µ     ́ £   µ 

Ì Ó Ñ Ò Ó Ñ  Ó Ù Ð Ó Ý Ù × Ò Ó Ð × Ù Ð Ù Ý ¹ Ë Û Ö Þ  

     ́   µ        ́   µ  Ö       ́ Ø 

¼ 

· ´ ½     Ø 

¼ 

µ    µ              ´ × Ù Ô  

Ü  ¾       

Ö      ́ Ü  µ    µ               £ 

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º ½   Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö Ø Ñ Ò × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ì Ó Ö Ñ  

Ð Ó × Á Ò Ö Ñ Ò Ø Ó × Ò Ø Ó × º È Ö Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ú Ð Ó Ö × Ò   Á Ê 

Ñ 

Ù Ò Ó Ò Ó Ó Ø Ò  

Ò × Ö Ñ Ò Ø Ù Ò Ù Ð Ó Ñ Ó Ò Ð × Ó Ù Ò Ú Ö Ð Ó Ó Ñ Ó Ò  

´ ¶ µ º × Ø Ó Ò Ó × Ô Ö Ó Ð Ñ ¸ Ô Ù × × Ù Ù Ø Ð Ö Ð Ñ Ò Ø Ú Ò Ð Ó Õ Ù Ð Ó ×  

Ò Ö Ñ Ò Ø Ó × ³ × Ô Ù Ò Ó Ø Ö º  

Ë Ù Ò Ó Ö Ð Ô  Ó Ø × × Õ Ù     × Ð ×    

½ 

Ò Ø Ó Ò ×      ́ ¡  µ  × 

Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ó Ñ Ó   ¡   Ø Ñ Ò Ð Ó ×        ́ ¡  µ    × Ö   Ó Ñ Ô Ó ×  Ó Ò Ù Ò Ó Ò ×  

Ó Ò Ø Ò Ù × Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ó Ò Ø Ò Ù   Á Ê  Ò  Á Ê  Ý × Ð Ò Þ Ö   × Ù Ñ   Ü Ñ Ó  

× Ó Ö Ù Ò Ò Ø Ö Ú Ð Ó Ö Ö Ó º Ä Ù Ó  

     ́   µ        ́   µ     Ñ Ü 

Ü  ¾       

     ́ Ü  µ              

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 36/164

¿   È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

½ º Ö Ò Ø Ý Ù Ò Ô Ó Õ Ù Ø Ó      

Ó Ñ Ø Ö      

Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ö Ò Ø Ù Ò Ù Ò  Ó Ò           Á Ê 

Ò 

    Á Ê  × ¬ Ò Ó Ñ Ó  

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  ́

 

Ü 

½ 

 ́ Ü 

¼ 

µ   

 

Ü 

Ò 

 ́ Ü 

¼ 

µ µ   

Ð Ö Ò Ø × ¬ Ò Ò Ö Ð Ñ Ò Ø ×  Ó Ð Ó Ò Ô Ù Ò Ø Ó × Ó Ò     × Ö Ò Ð ¸  

 Ù Ò Ù Ò Ó × Ø Õ Ù Ü × Ø Ò Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ô Ö Ø Ö Ñ Ò Ö Ð Ó º  

Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾   Ð Ù Ð Ö Ð Ö Ò Ø  

   ́ Ü Ý Þ   µ  

Ô  

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

·  Þ 

¾ 

  Ö 

 

Ü 

 

½  ¡  ¾  Ü 

¾ 

Ô  

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

·  Þ 

¾ 

 

Ü 

Ô  

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

·  Þ 

¾ 

Ö      ́ Ü Ý Þ   µ  

½ 

Ô  

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

·  Þ 

¾ 

 ́ Ü Ý Þ  µ  

Ö 

Ö 

   Ö  

Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ó Ò Ø Ò Ù  Ó Ò Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ø Ö Ó   Ú  ´ Ó Ò     Ú    ½ µ Ý Ñ Ö Ñ Ó ×  

Ð Ù Ò  Ó Ò  

Ø         ́ Ü 

¼ 

·  Ø Ú  µ   

× Ø × Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ù Ò Ú Ö Ð Ý Ù Ò Ó Ô Ù Ô Ö Ù Ò Ø Ö × × Ó Ö × Ù Ö ¹  

Ò Ð Ò   Ø  ¼    × Ö × Ó Ö Ð Ü × Ø Ò Ð Ð Ñ Ø  

Ð Ñ 

Ø    ¼ 

   ́ Ü 

¼ 

·  Ø Ú  µ 

   Ü 

¼ 

µ 

Ø 

 

Ë × Ø Ð Ñ Ø Ü × Ø ¸ Ñ Ó × Õ Ù     Ø Ò   Ö Ú Ò   Ü 

¼ 

¸ Ò Ð Ö  Ó Ò 

Ú  º  × Ø Ð Ñ Ø × Ð Ó Ò Ó Ø Ù × Ù Ð Ñ Ò Ø Ó Ñ Ó      ́ Ü 

¼ 

  Ú  µ Ó 

 

Ú 

 ́ Ü 

¼ 

µ Í Ò × Ó  

Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ö Ú Ö Ó Ò Ð × Ó Ò Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × º  

   ́ Ü 

¼ 

  Ú  µ Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ð Ö Ú Ð Ö × Ø Ö  Ó Ò     Ð Ö Ø  

Ä    Ü    Ü 

¼ 

·  Ø Ú  

Ò Ð × Ó Ò Õ Ù     × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

Ò Ø Ó Ò × Ð Ö Ú Ö Ó Ò Ð  

Ü × Ø Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ö  Ó Ò Ý × Ô Ù Ð Ù Ð Ö Ó Ñ Ó  

   ́ Ü 

¼ 

  Ú  µ  

Ö     ́ Ü 

¼ 

µ 

¡ Ú  

Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ñ Ó × Ó Ò × Ö Ó   Ú  Ù Ò Ø Ö Ó º × Ø Ó × Ô Ö Ò Ó × Ø Ó Ö Ó Ò Ö  

Ð × Ð × Ô Ð Ò Ø Ö      ́ Ü 

¼ 

µ Ý     ́ Ü 

¼ 

·  Ø Ú  µ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 37/164

½ º º Ê Á Æ Ì Í Æ È Ç É Í Á Ì Ç Ç Å Ì Ê  

 

Á   ¿  

Ö Ó ½ º ½   Ð Ù Ð Ö Ð Ö Þ  Ó Ò Ñ Ó Ð Ù Ò  Ó Ò    Ò Ð Ö  Ó Ò 

Ú  ´ ½   

Ô   

¿    ½   

Ô   

¿    ½   

Ô   

¿ µ  Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó   Ü 

¼ 

´ ½    ¼    ¼ µ  Ô Ö  

   ́ Ü Ý Þ   µ   Ü 

¾ 

 

  Ý Þ 

 

Ë Ô Ð Ù Ð Ö   Ö    Ö     ´ ½    ¼    ¼ µ  ¡  ´ ½   

Ô   

¿    ½   

Ô   

¿    ½   

Ô   

¿ µ    È Ö Ð Ð Ó Ð Ù Ð Ñ Ó ×  

Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×  

 

Ü 

¾  Ü  

  Ý Þ 

 

Ý 

     Ü 

¾ 

Þ  

  Ý Þ 

 

Þ 

     Ü 

¾ 

Ý  

  Ý Þ 

 

Ú Ð Ù Ò Ó Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

Ö     ´ ½    ¼    ¼ µ ´ ¾    ¼    ¼ µ  µ    Ö  ´ ¾    ¼    ¼ µ ´ ½    

Ô   

¿    ½   

Ô   

¿    ½   

Ô   

¿ µ  

¾ 

Ô   

¿ 

 

Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ Ò Ó × Ñ Ù × Ø Ö Ù Ò Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø × Ô Ø Ó Ó Ñ Ø Ö Ó Ð Ö ¹  

Ò Ø º  

Ì Ó Ö Ñ ½ º ½ ½   Ë   Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  ¼  Ò Ø Ó Ò ×   Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  Ô Ù Ò Ø Ò Ð Ö  Ó Ò Ò  

Ð Ù Ð     Ö Ñ   × Ö Ô Ñ Ò Ø º  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   Ë   Ú  Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ø Ö Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ö Þ  Ó Ò Ñ Ó     Ò 

Ð Ö  Ó Ò   Ú  × 

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  ¡  Ú    Ö      ́ Ü 

¼ 

µ    Ú    Ó ×   

  Ö      ́ Ü 

¼ 

µ    Ó ×   

Ó Ò     × Ð Ò Ù Ð Ó Ò Ø Ö   Ú  Ý  Ö      ́ Ü 

¼ 

µ µ    × Ø   Ò Ù Ð Ó ×   Ñ   Ü Ñ Ó   Ù Ò Ó   Ú  Ý 

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ × Ó Ò Ô Ö Ð Ð Ó × º  £ 

Ç Ø Ö Ó × Ô Ø Ó Ó Ñ Ø Ö Ó Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ð Ö Ò Ø Ú Ò Ò Ð × Ø Ù Ó  

× Ù Ô Ö ¬ × º Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê  Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ö Ò Ð Ý Ó Ò × Ö Ñ Ó ×  

Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó  

Ë       Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

   ́ Ü  µ         

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 38/164

¿   È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

× Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó × ¸ Ò Ò Ö Ð ¸ Ù Ò × Ù Ô Ö ¬ ×   Ò  ¿ Ý Ù Ò Ô Ö × Ù Ô Ö ¬ ×  

Ò   ¿ º 

Ð Ú Ø Ó Ö   Ö      ́ Ü 

¼ 

µ ×  Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð   Ð × Ù Ô Ö ¬ Ò   Ü 

¼ 

 

Ä Ó Ñ Ø Ö × Ð × Ù Ò Ø Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù       Á Ê 

   Á Ê 

Ò 

× 

Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ö Ò Ð ¸ × Ö × Ù Ò Ù Ö Ú × Ù Ú Ò   Á Ê 

Ò 

º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó ×  

Ñ   × Õ Ù     × Ø   × Ó Ö   Ë  × Ö  

   ́    ́ Ø  µ µ        Ø  

Ë      ́ Ø 

¼ 

µ   Ü 

¼ 

Ò Ø Ó Ò × Ö Ú Ò Ó Ý Ú Ð Ù Ò Ó Ò   Ü 

¼ 

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  ¡   

¼ 

 ́ Ø 

¼ 

µ ¼   

 

¼ 

 ́ Ø 

¼ 

µ × Ù Ò Ö  Ó Ò Ø Ò Ò Ø Ð × Ù Ô Ö ¬ ¸ Ý Ó Ñ Ó     × Ù Ò Ù Ö Ú Ù Ð Õ Ù Ö  

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ × Ö Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð × Ù Ô Ö ¬ º  

¬ Ò  Ó Ò ½ º ¾   Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê  Ö Ò Ð º Ë      ́ Ü 

¼ 

µ ¼   ̧

Ö     ́ Ü 

¼ 

µ 

¼  ¸ × ¬ Ò Ð   Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø   Ë   

  Ü 

¾      ́ Ü  µ    

   Ò 

Ü 

¼ 

Ó Ñ Ó  

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  ¡   ́ Ü     Ü 

¼ 

µ ¼   

Ç × Ö Ú  Ó Ò ½ º ½   Ö Ø Ñ Ò Ø ¸ ×      ́    ́ Ø  µ µ ¼   Ý    ´ ¼ µ   Ü 

¼ 

Ò Ø Ó Ò ×    

¼ 

 ́ Ø 

¼ 

µ · 

Ü 

¼ 

× Ø Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø º  

Ë Ô Ù Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù × Ù Ò Ö  Ó Ò  Ú  × Ø   Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

Ü × Ø     Ø Ð Õ Ù   Ü     

¼ 

 ́ Ø 

¼ 

µ ·  Ü 

¼ 

× Ø Ô Ö Ó Ô Ó Ñ Ø Ö × Ñ Ù Ý Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ý  

× Ù Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ð Ô Ó × Ø Ö Ö Ñ Ó × × Ø Õ Ù Ý Ñ Ó × Ñ Ó × Ø Ö Ó Ð Ì Ó Ö Ñ  

Ð Ù Ò  Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø ¸ Ð ¬ Ò Ð Ð Ù Ö × Ó º  

Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾   Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð × Ù Ô Ö ¬  

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

·  Þ 

¾ 

  ½ ¼  Ò  ´ ½    ¼    ¼ µ   

Ö     ´ ½    ¼    ¼ µ ´ ¾  Ü   ¾  Ý   ¾  Þ  µ   

´ ½    ¼    ¼ µ 

´ ¾    ¼    ¼ µ   

Ò Ø Ó Ò × Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø ×  

Ö    ´ ½    ¼    ¼ µ 

¡  ́ Ü 

  ½  Ý 

  ¼  Þ 

  ¼ µ ¼   

× Ö  

Ü  ½    £ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 39/164

½ º º Ê Á Æ Ì Í Æ È Ç É Í Á Ì Ç Ç Å Ì Ê  

 

Á   ¿  

Ñ Ô Ð Ó ½ º ¾   À Ð Ð Ö Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ô Ö ¬ ¬ Ò Ô Ó Ö  

¾  Ü Ý 

¿ 

Þ  ·  Þ  Ð Ò  Ü  ·  Ý  × Ò  Ý  ¼ 

Ò  ´ ½    ¾    ¼ µ  º 

Ö Ø Ñ Ò Ø Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ½    ¾    ¼ µ × Ø   Ò Ð × Ù Ô Ö ¬ º È Ö Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò  

Ú Ø Ó Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Ö Ú Ñ Ó ×  

Ö      ́ Ü Ý Þ   µ ´ ¾  Ý 

¿ 

Þ  · 

Þ 

Ü 

    Ü Ý 

¾ 

Þ  ·  Ý  Ó ×  Ý  · × Ò   Ý   ¾  Ü Ý 

¿ 

· Ð Ò  Ü  µ 

Ý Ú Ð Ù Ñ Ó × Ò ´ ½    ¾    ¼ µ Ô Ö Ó Ø Ò Ö  

Ö     ´ ½    ¾    ¼ µ ´ ¼    ½    ¾ ´ ¾    µ 

¿ 

µ   

Ó Ñ Ó Ú Ñ Ó × ¸ Ð Ö Ò Ø   Ö     ´ ½    ¾    ¼ µ ´ ¼    ½    ¾ ´ ¾    µ 

¿ 

µ × Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ô Ö ¹  

¬ º  

× Ó Ð Ö Ó Ù Ò Ù Ò  Ó Ò  Ò Ð × Ó Õ Ù            Á Ê 

Ò 

    Á Ê   Ù Ò  

Ø Ñ Ô Ó Ø Ö   × ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ö Ó     Ó Ñ Ó  

   ́   µ  

   ́ Ü    ́ Ü  µ µ  Ü 

¾   

   

   ́ Ü Þ  µ  Þ       ́ Ü  µ 

   

Ë ¬ Ò Ñ Ó ×  

   ́ Ü Þ  µ   Þ        ́ Ü  µ 

Ò Ø Ó Ò × Ð × Ó × ¬ Ò Ó Ò × Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Õ Ù Ñ Ó × Ó × Ó Ò Ó Ö ¹  

Ò Ø × º Ò Ø Ó  

Ö      ́ Ü Þ  µ  ́   

 

Ü 

½ 

   

 

Ü 

Ò 

  ½ µ   

Ò Ø Ó Ò × Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Õ Ù Ø Ö Ñ Ò Ó Ô Ó Ö  

Ö      ́ Ü Þ 

¼ 

µ ´  ́ Ü Þ  µ      ́ Ü 

¼ 

Þ 

¼ 

µ µ ¼   

× Ö ¸  

Ö     ́ Ü 

¼ 

µ  ́ Ü 

  Ü 

¼ 

µ ·  ́ Þ 

  Þ 

¼ 

µ ¼   

Ó × ¸   Þ    Þ 

¼ 

·  Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  ́ Ü     Ü 

¼ 

µ    Æ Ó Ø Ö Ò Õ Ù Ð Ú Ø Ó Ö ´   Ö      ́ Ü 

¼ 

µ    ½ µ ×  

Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ð Ö Ó     Ò  ́ Ü 

¼ 

   ́ Ü 

¼ 

µ µ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 40/164

¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ñ Ô Ð Ó ½ º ¿ ¼   Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ð Ö Ó Ð Ù Ò  Ó Ò  

   ́ Ü Ý Þ Ø  µ   Ü  

Ý Ø 

· Ó ×  Þ Ø 

Ò  ´ ¿    ¼    ¼    ¿ µ   

Ì Ò Ñ Ó × Õ Ù     ´ ¿    ¼    ¼    ¿ µ ¿ · ½    Ñ   × ¸ Ö Ú Ò Ó Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

Ö     ́ Ü Ý Þ Ø  µ  ́  

Ý Ø 

Ü Ø  

Ý Ø 

 

  Ø  × Ò  Þ Ø Ü Ý  

Ý Ø 

  Þ  × Ò  Þ Ø  µ Ý Ú Ð Ù Ò Ó  

Ö     ´ ¿    ¼    ¼    ¿ µ ´ ½        ¼    ¼ µ º Ò Ó Ò × Ù Ò Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø ×  

Û     ½  ¡   ́ Ü     ¿ µ · ´  Ý     ¼ µ · ¼ ´  Þ     ¼ µ · ¼ ´  Ø     ¿ µ 

Ý × Ñ Ô Ð ¬ Ò Ó  

Û       Ü     ¿ ·   Ý  Ó   Ý  ·  Ü     Û       ½   

Ñ Ô Ð Ó ½ º ¿ ½   À Ð Ð Ö Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ù Ò Ø Ö Ó ¸ Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ô Ö ¬   Ë  Ô Ó Ö  

Þ    Ü 

¾ 

Ý 

¾ 

·  Ý  · ½   

Ò  ´ ¼    ¼    ½ µ   

    Þ     Ü 

¾ 

Ý 

¾ 

   Ý     ½ ¼ Ý × Ù × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò  

 

Ü 

     ¾  Ü Ý 

¾ 

 

 

Ý 

     ¾  Ü 

¾ 

Ý     ½   

 

Þ 

½   

Ú Ð Ù Ò Ó Ò ´ ¼    ¼    ½ µ Ó Ø Ò Ñ Ó ×   Ö     ´ ¼    ¼    ½ µ ´ ¼       ½    ½ µ Ý Õ Ù   Ú   

½ 

Ô 

¾ 

´ ¼       ½    ½ µ × Ò Ó Ö Ñ Ð Ù Ò Ø Ö Ó º  

Â Ê Á Á Ç Ë  

È ½ µ  Ë Ò   Ü 

¼ 

Ü 

½ 

Ü  

Ò    ½ 

Á Ê 

Ò 

Ø Ð × Õ Ù   Ü 

½ 

  Ü 

¼ 

Ü  

Ò    ½ 

  Ü 

¼ 

× Ó Ò Ð Ò Ð Ñ Ò Ø  

Ò Ô Ò Ò Ø × º È Ö Ó Ö Õ Ù Ü × Ø Ü Ø Ñ Ò Ø Ù Ò Ô Ö Ô Ð Ò Ó Ó Ò Ø Ò Ò Ó  

Ü 

¼ 

Ü 

½ 

Ü  

Ò    ½ 

º 

È ¾ µ  µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù ×   Ü  × Ù Ò Ú Ø Ó Ö Ù Ð Õ Ù Ö   Á Ê 

Ò 

Ý ×  

 

  × Ù Ò Ú Ø Ó Ö  

Ù Ò Ø Ö Ó ¸ Ò Ø Ó Ò ×   Ü    Ý  ·  Þ  ¸ Ó Ò   Ý  × Ù Ò Ñ  Ù Ð Ø Ô Ð Ó  

 

  Ý  Þ  × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö  

 

 

  º 

µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ó × Ú Ø Ó Ö ×   Ý  Ý  Þ  Ð Ô Ö Ø µ × Ø   Ò Ø Ö Ñ Ò Ó ×  

Ù Ò Ú Ó Ñ Ò Ø º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 41/164

½ º º Ê Á Æ Ì Í Æ È Ç É Í Á Ì Ç Ç Å Ì Ê  

 

Á   ½ 

È ¿ µ  Ë     ¾   Å 

Ò  ¢  Ò 

 ́ Á Ê  µ Ù Ò Ñ Ø Ö Þ × Ñ Ø Ö º µ È Ö Ù Õ Ù Ü × Ø Ò Ú Ø Ó Ö ×  

 

½ 

  ¡ ¡ ¡   

Ò 

¾   Á Ê 

Ò 

 

½ 

  ¡ ¡ ¡   

Ò 

¾   Á Ê  Ø Ð × Õ Ù  

Ü   

Ò 

  

  ½ 

 

 

 ́ Ü  ¡   

 

µ   

 

   Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

 

Á Ò È Ò × Ò Ð Ó × Ú Ð Ó Ö × Ý Ú Ø Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó ×     º 

µ È Ö Ù Ù × Ò Ó Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö Õ Ù     Ü         Ü    º 

È µ  Ë     ¬ Ò Ô Ó Ö Ð × Ù Ò Ø  Ó Ö Ñ Ù Ð  

   ́ Ü 

½ 

Ü 

¾ 

µ  

Ü 

½ 

Ô  

Ü 

¾ 

½ 

   Ü 

¾ 

×  ́ Ü 

½ 

Ü 

¾ 

µ  ¼ Ý    ´ ¼    ¼ µ ¼   

µ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ò × Ô Ù ¬ Ò Ö     ¸ × Ö   Ó Ñ  ¸ Ö ¬ Õ Ù º  

µ Ø Ö Ñ Ò Ð × Ù Ö Ú × Ò Ú Ð     º 

µ Ø Ö Ñ Ò ×     × Ó Ò Ø Ò Ù Ò ´ ¼    ¼ µ º  È µ  Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ò Ú Ð  

Ô Ö Ð × × Ù Ò Ø × Ù Ò Ó Ò × ´ Ô Ö Ð Ó × Ò Ú Ð × Õ Ù × Ò Ò µ º  

µ     ́ Ü Ý  µ   Ü  ·  Ý  Ô Ö      ́ Ü Ý  µ ½ º  

µ     ́ Ü Ý  µ  ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

· ½ µ 

¾ 

     Ü 

¾ 

Ô Ö      ́ Ü Ý  µ ¼ º  

µ     ́ Ü 

½ 

Ü 

¾ 

Ü 

¿ 

µ  ́ Ü 

½ 

Ü 

¾ 

Ü 

¿ 

Ü 

½ 

·  Ü 

¾ 

µ Ô Ö      ́ Ü 

½ 

Ü 

¾ 

Ü 

¿ 

µ ´ ¼    ½ µ º  È µ  Ø Ö Ñ Ò  

× Ð × × Ù Ò Ø × Ù Ò Ó Ò × Ñ Ø Ò Ð Ñ Ø Ò Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Õ Ù × Ò Ò  

µ     ́ Ü Ý  µ ¾  Ü Ý 

Ü 

¾ 

  Ý 

¾ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

Ò  Ü 

¼ 

´ ¼    ¼ µ º 

µ     ́ Ü Ý  µ  

× Ò Ü     × Ò Ý  

Ü    Ý 

Ò  Ü 

¼ 

´ ¼    ¼ µ º 

µ     ́ Ü Ý  µ  

Ü Ý 

¾ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

 

Ò  Ü 

¼ 

´ ¼    ¼ µ º 

È µ  Ë Ò       Á Ê 

¾ 

    Á Ê  Ø Ö × Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × º Ë ¬ Ò Ð Ù Ò  Ó Ò 

    Á Ê 

¾ 

    Á Ê  Ô Ó Ö 

   ́ Ü Ý  µ      ́    ́ Ü Ý  µ     ́ Ü Ý  µ µ   

Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù     × Ó Ò Ø Ò Ù º  

È µ  × Ø Ù Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ð × × Ù Ò Ø × Ù Ò Ó Ò × º  

µ     ́ Ü 

½ 

Ü 

¾ 

µ  

 ́

Ü 

½ 

Ü 

½ 

·  Ü 

¾ 

×   Ü 

½ 

·  Ü 

¾ 

¼ 

½ ×   Ü 

½ 

·  Ü 

¾ 

¼ 

µ     ́ Ü 

½ 

Ü 

¾ 

Ü 

¿ 

µ   Ü 

¿ 

½ 

Ò   ́ Ü 

¿ 

½ 

Ü 

¾ 

·  Ü 

¿ 

µ ·  × Ò   ́ Ü 

¾ 

¿ 

·  Ü 

½ 

µ º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 42/164

¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

È µ  Ë   Ä    Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ð Ò Ð  

µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð × × Ù Ò Ø × Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò × × Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø ×  

½ µ  Ä  × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó   Á Ê 

Ò 

 

¾ µ  Ä  × Ó Ò Ø Ò Ù Ò ¼ º  

¿ µ 

 Ä   ́ Ü  µ 

  × Ó Ø ×   Ü 

¾  

 

  ´ ¼    ½ µ ¸ Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ö º  

µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ø Ó Ù Ò  Ó Ò Ð Ò Ð   Á Ê 

Ò 

Ò  Á Ê 

Ñ 

× Ó Ò Ø Ò Ù º  

È ½ ¼ µ   µ Ë     ¾   Á Ê 

Ò 

º È Ö Ù Õ Ù  

µ     ́   µ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó º  

µ  Ò Ø   ́   µ × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó º Ò Ö Ð      ́   µ × Ð Ö Ö Ó Ñ   × 

Ô Õ Ù  Ò Ó Õ Ù Ó Ò Ø Ò     º × Ù Ú Þ   Ò Ø   ́   µ × Ð Ö Ø Ó Ñ   × Ö Ò Ó Ò ¹  

Ø Ò Ó Ò     º 

µ È Ö Ù Õ Ù Ò Ò Ö Ð Ò Ó × Ø Ò Õ Ù   Ò Ø   ́    ́   µ µ     º È Ö × Ø Ó ×  

Ð Ó × × Ù Ò Ø × Ô × Ó ×  

µ È Ö Ù Õ Ù      ́ É Á  µ   Á Ê  º 

µ È Ö Ù Õ Ù   Ò Ø   ́ Á Ê  µ   Á Ê 

µ Ó Ò Ð Ù Ý º  

È ½ ½ µ   Ë       Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ñ 

º È Ö Ù Õ Ù Ð × × Ù Ò Ø × Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò × × Ó Ò Õ Ù Ú ¹  

Ð Ò Ø ×  

µ    × Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó   Á Ê 

Ò 

º 

µ  ́         Á Ê 

Ñ 

Ö Ø Ó µ    

  ½ 

 ́   µ × Ö Ø Ó Ò   Á Ê 

Ò 

 

µ  ́         Á Ê 

Ñ 

Ö Ö Ó µ    

  ½ 

 ́   µ × Ö Ö Ó Ò   Á Ê 

Ò 

 

Á Ò È Ö Ð × Ù Ò Ô Ö Ù Ò Ø × Õ Ù    

  ½ 

 ́  

 

µ    

  ½ 

 ́   µ 

 

º 

È ½ ¾ µ   Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ø Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ô Ö Ð × Ù Ò Ó Ò ×      ́ Ü Ý  µ  

 ́  

Ü 

Ó × Ý  

Ü 

× Ò Ý   µ Ý     ́ Ü Ý  µ   Ð Ó  

Ü 

Ý  

È ½ ¿ µ   Ë       Á Ê 

¾ 

    Á Ê  Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ö Ò Ð º Ë    

 

      ́ Ü    ́ Ü  µ µ  Ü  ¾  

Ó Ñ     Ð Ö Ó     º Ë       Á Ê 

¿ 

    Á Ê  Ø Ð Õ Ù      ́ Ü Ý Þ   µ   Þ        ́ Ü Ý  µ   

µ Å Ù × Ø Ö Õ Ù    

 

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ú Ð     º 

µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù   Ö      ́   

 

Ü 

    

 

Ý 

  ½ µ º 

µ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ú Ø Ó Ö Ò Ó Ö Ñ Ð Ý Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø    

 

Ù Ò Ó      ́ Ü Ý  µ  

Ü Ý  ·  Ý  

Ü 

Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ½    ½ µ º 

È ½ µ   Ë      ́ Ù Ú  µ  ́ Ù  Ó ×  Ú Ù  × Ò  Ú  µ    Ó Ò       ¾  Ú  ¾ Ý     ́ Ü Ý  µ  

 ́

Ô  

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

Ö Ø Ò    ́ Ý Ü  µ µ Ô Ö   Ü   ¼ º 

µ Ò Ó Ò Ø Ö Ö      ́   Æ     µ  ́ Ù Ú  µ Ý     ́   Æ     µ  ́ Ü Ý  µ º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 43/164

½ º º Ê Á Æ Ì Í Æ È Ç É Í Á Ì Ç Ç Å Ì Ê  

 

Á   ¿ 

µ Ø Ö Ñ Ò Ö ×   Ó Ñ     Ó Ñ   ́   Æ     µ    Ý ×   Ó Ñ     Ó Ñ   ́   Æ     µ º 

È ½ µ   Ë   Ë       Ü  ¾   Á Ê 

¾ 

    Ü    ½     º Ë       Ë      Á Ê  Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ð  

Õ Ù  

  ´ ½    ¼ µ     ´ ¼    ½ µ ¼ Ý      ́

  Ü  µ  

     ́ Ü  µ   

  Ü 

¾  Á Ê 

¾ 

 

Ë       Á Ê 

¾ 

    Á Ê  Ð Ù Ò  Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö  

   ́ Ü  µ  

 ́

  Ü       ́

Ü 

  Ü   

µ ×   Ü  ¼ 

¼ ×   Ü  ¼ 

µ Ó     ¾   Á Ê 

¾ 

Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ù Ò  Ó Ò     ́ Ø  µ      ́ Ø  µ  Ø  ¾   Á Ê  × Ö Ò Ð º  

µ ×     Ö Ò Ð Ò ´ ¼     ¼ µ  

È ½ µ   Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð Ö Ò Ø   Ö     Ò Ù Ò Ó Ð Ó × × Ù Ò Ø × × Ó × º  

µ     ́ Ü Ý  µ   Ü 

¾ 

   Ý 

¾ 

× Ò  Ý  Ò  ́   µ º 

µ     ́ Ü  µ     Ü   

« 

Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

«  ¾   Á Ê  º 

È ½ µ   µ Ë      ́ Ü Ý  µ    

Ü  ·  Ý 

 

¼ 

´ ¼ µ ´ ½    ¾ µ ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö    

¼ 

´ ¼ µ Ó Ò      ́ Ø  µ  

   ́    ́ Ø  µ µ  ́     Á Ê      Á Ê 

¾ 

µ Ý    ´ ¼ µ ´ ½       ½ µ º 

µ Ë      ́ Ü Ý Þ  µ   × Ò Ü    ́ Ø  µ  ́ Ó × Ø × Ò Ø Ø  µ ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö    

¼ 

 ́   µ Ó Ò  

   ́ Ø  µ      ́    ́ Ø  µ µ º 

È ½ µ   Ë       Á Ê 

¾ 

    Á Ê 

¾ 

Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ð ×    

½ 

 ́ Á Ê 

¾ 

Á Ê 

¾ 

µ ¸ Ø Ð Õ Ù × Ù × Ó Ñ ¹  

Ô Ó Ò Ò Ø ×    

½ 

¸ Ý   

¾ 

Ú Ö ¬ Ò  

 

¾ 

Ý 

 

 

½ 

Ü 

Ý 

 

¾ 

Ü 

    

 

½ 

Ý 

 

Ë       Á Ê 

¾ 

    Á Ê  Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ð ×    

½ 

 ́ Á Ê 

¾ 

Á Ê  µ º Ë ¬ Ò Ð Ù Ò  Ó Ò 

    Á Ê 

¾ 

    Á Ê  Ô Ó Ö        Æ     º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù  

Ö      ́ Ü Ý  µ    Ö    

½ 

 ́ Ü Ý  µ     

 

Ù 

 ́    ́ Ü Ý  µ µ  ¡ Ö    

½ 

 ́ Ü Ý  µ   

¾ 

 

È ½ µ   Ë       Á Ê 

¾ 

    Á Ê  Ð Ù Ò  Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö  

   ́ Ü Ý  µ  

 ́

 ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ  × Ò 

½ 

 ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ 

½    ¾ 

 ́ Ü Ý  µ  ´ ¼    ¼ µ 

¼  ́ Ü Ý  µ ´ ¼    ¼ µ   

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 44/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ½ º  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

µ Ð Ù Ð Ö   Ö     ´ ¼    ¼ µ   

µ È Ö Ó Ö Õ Ù     × Ö Ò Ð Ò ´ ¼     ¼ µ º 

µ È Ö Ó Ö Õ Ù  

 

Ü 

Ý 

 

Ý 

Ò Ó × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò ´ ¼    ¼ µ º 

È ¾ ¼ µ   µ À Ð Ð Ö Ð Ù  Ó Ò Ô Ö Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø × Ù Ô Ö ¬   Þ       ́ Ü Ý  µ 

Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ó  

µ  Þ    Ü 

¿ 

·  Ý 

¿ 

     Ü Ý   ´ ½    ¾       ¿ µ º 

µ  Þ   ́ Ó × Ü   µ  ́ × Ò Ý   µ    ´ ¼    ¾    ½ µ 

µ Ð Ù Ð Ö Ô Ö Ð Ó × × Ù Ò Ø × × Ó × Ð Ö  Ó Ò Ñ Ý Ó Ö Ö Ñ Ò Ø Ó Ò  

´ ½    ½    ½ µ º 

µ     ́ Ü Ý Þ  µ   Ü Ý  ·  Ý Þ  ·  Ü Þ 

µ     ́ Ü Ý Þ   µ  

½ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

·  Þ 

¾ 

È ¾ ½ µ   Ë Ò     Ý    Ù Ò Ó Ò ×   Á Ê 

¿ 

    Á Ê  º Ë Ù Ô Ó Ò Ö Õ Ù     × Ö Ò Ð Ý  

Ö      ́ Ü  µ      ́ Ü  µ  ¡  Ü  º Å Ó × Ø Ö Ö Õ Ù     × Ó Ò × Ø Ò Ø Ô Ö Ð × × Ö × Ò Ø Ö × Ò  

Ð Ó Ö Ò º  

È ¾ ¾ µ   Í Ò Ù Ò  Ó Ò  Ù       ́ Ü Ý  µ Ó Ò × Ù Ò × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ó Ò Ø Ò Ù ×  

Õ Ù × Ø × Ð Ù  Ó Ò Ä Ô Ð  

 

¾ 

Ù 

Ü 

¾ 

· 

 

¾ 

Ù 

Ý 

¾ 

¼ 

× Ð Ð Ñ Ù Ò  Ó Ò Ö Ñ  Ó Ò º Ø Ö Ñ Ò Ö Ù Ð × Ð × × Ù Ò Ø × Ù Ò Ó Ò × × Ó Ò  

Ö Ñ  Ó Ò × º  

µ  Ù   ́ Ü Ý  µ   Ü 

¿ 

   ¿  Ü Ý 

¾ 

µ  Ù   ́ Ü Ý  µ   × Ò Ü Ó × Ý  

µ  Ù   ́ Ü Ý  µ    

Ü 

× Ò Ý   º 

È ¾ ¿ µ   µ Ë      ́ Ü Ý  µ    

Ü  ·  Ý 

 

¼ 

´ ¼ µ ´ ½    ¾ µ ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö    

¼ 

´ ¼ µ Ó Ò      ́ Ø  µ  

   ́    ́ Ø  µ µ  ́     Á Ê      Á Ê 

¾ 

µ Ý    ´ ¼ µ ´ ½       ½ µ º 

µ Ë      ́ Ü Ý Þ  µ   × Ò Ü    ́ Ø  µ  ́ Ó × Ø × Ò Ø Ø  µ ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö    

¼ 

 ́   µ Ó Ò      ́ Ø  µ  

   ́    ́ Ø  µ µ º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 45/164

Ô Ø Ù Ð Ó ¾      

Ö Ú × Ó Ö Ò × Ù Ô Ö Ó Ö      

¾ º ½ Ö Ú × Ë Ù Ô Ö Ó Ö × Ý Ì Ó Ö Ñ Ì Ý ¹    

Ð Ó Ö   

Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê  Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ö Ò Ð Ò     ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

 

Ü 

 

       Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

¬ Ò Ù Ò Ù Ò  Ó Ò º Ó Ñ Ó Ø Ð × Ø Ù Ò  Ó Ò Ô Ù Ø Ò Ö Ö Ú × Ô Ö Ð × Ý  

Ø Ñ Ò × Ö Ö Ò Ð º Ù Ò Ó  

 

Ü 

 

Ø Ò Ö Ú Ô Ö Ð Ó Ò Ö × Ô Ø Ó  

Ü 

 

Ò  Ü 

¼ 

¸ × Ø Ð Ò Ó Ø Ñ Ó × Ó Ñ Ó  

 

Ü 

 

 ́

 

Ü 

 

µ  

 

¾ 

 

Ü 

 

Ü 

 

 

Ñ Ô Ð Ó ¾ º ½   Ð Ù Ð Ö  

 

¾ 

 

Ü Ý  

Ý 

 

¾ 

 

Ü 

¾ 

×  

   ́ Ü Ý  µ   Ð Ò   ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ   

 

Ü 

 

¾  Ü 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

Ý 

 

¾ 

 

Ý Ü  

 

   ¾  Ü  ´ ¾  Ý  µ 

 ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ 

¾ 

 

Ò Ø Ó Ò ×  

 

¾ 

 

Ü 

¾ 

 

¾  ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ     ¾  Ü  ´ ¾  Ü  µ 

 ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ 

¾ 

 

Ý 

¾ 

   Ü 

¾ 

 ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ 

¾ 

 

¾ 

 

Ý Ü  

 

   ¾  Ü  ´ ¾  Ý  µ 

 ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ 

¾ 

 

 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 46/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê  

È Ö Ó Ø Ñ Ò Ô Ó Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö  

 

¾ 

 

Ü Ý  

 

   ¾  Ý  ´ ¾  Ü  µ 

 ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ 

¾ 

 

Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ò × Ø × Ó  

 

¾ 

 

Ü Ý  

 

 

¾ 

 

Ý Ü  

º × Ø Ó Ò Ó × ×  Ó Ð Ó Ó Ò Ò Ó Ñ Ó  

Ú Ö Ñ Ó × Ò Ñ   × Ð Ò Ø º  

Ì Ñ Ò Ô Ó Ñ Ó × Ó × Ö Ú Ö Õ Ù  

 

¾ 

 

Ü 

¾ 

· 

 

¾ 

 

Ý 

¾ 

¼   

È Ó Ö × Ø Ö Þ  Ó Ò Ð Ù Ò  Ó Ò    × Ö Ñ  Ó Ò º Ä Ó Ñ Ò Ó Ò  

       

 

¾ 

 

Ü 

¾ 

· 

 

¾ 

 

Ý 

¾ 

× Ó Ò Ó Ó Ñ Ó Ð Ä Ô Ð Ò Ó     º  £ 

Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù     × Ð ×    

½ 

Ò Ù Ò Ó Ñ Ó Ò Ó     ×     × Ö Ò Ð  

Ò    Ý Ø Ó × × Ù × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò     º 

¬ Ò  Ó Ò ¾ º ½     × Ö   Ó × Ú × Ö Ò Ð × Ò   Ü 

¼ 

×     × Ö Ò Ð  

Ò Ù Ò Ú Ò   Ü 

¼ 

Ý Ø Ó × × Ù × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò Ö Ò Ð × Ò  

Ü 

¼ 

º    × Ö   Ð ×    

¾ 

Ò    × Ø Ó × × Ù × × Ù Ò × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò  

Ó Ò Ø Ò Ù × Ò     º 

×   Ð Ü Ø Ò Ö × Ø × ¬ Ò Ó Ò ×  Ó Ö Ò × × Ù Ô Ö Ó Ö × º  

Ó Ò Ø Ò Ù  Ó Ò Ú Ö Ñ Ó × Ù Ò Ó Ð Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ñ   × Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø × × Ø  

×  Ó Ò Õ Ù Ö Ð  Ó Ò Ó Ò Ð Ô Ó × Ð Ò Ø Ö Ñ Ö Ð Ó Ö Ò Ð ×  

Ö Ú ×  

Ì Ó Ö Ñ ¾ º ½   ´ Ì Ó Ö Ñ Ë Û Ö Þ µ   Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê  Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ó ×  

Ú × Ö Ò Ð Ò º Ë Ð × × Ù Ò × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù ×  

Ò  Ü 

¼ 

¾     Ò Ø Ó Ò ×  

 

¾ 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

µ  

 

¾ 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

µ       ½    ¡ ¡ ¡  Ò  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 47/164

¾ º ½ º Ê Á Î Ë Ë Í È Ê Á Ç Ê Ë Ì Ç Ê Å Ì Ä Ç Ê    

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   Í Ò Ô Õ Ù  Ò Ö - Ü  Ó Ò Ð Ð Ú Ó Ò Ð Ù Ö Õ Ù × Ø × Ø Ù Ö  

Р Ò  ¾ º Ó   Ü 

¼ 

 ́ Ü 

¼ ½ 

Ü 

¼ ¾ 

µ  ¾     Ý     ́  

½ 

 

¾ 

µ  ¾   Á Ê 

¾ 

 ̧       Ö  ¸ ¬ Ò Ñ Ó ×  

      ´ ¼  Ö  µ      Á Ê  Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ  

   ́  

½ 

 

¾ 

µ  

     ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

·   

¾ 

µ        ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

µ           ́ Ü 

¼ ½ 

Ü 

¼ ¾ 

·   

¾ 

µ        ́ Ü 

¼ ½ 

Ü 

¼ ¾ 

µ    

Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù     Õ Ù Ò ¬ Ò Ô Ö   Ö  Ô Õ Ù  Ò Ó º Ë      ́ Ø  µ      ́ Ø Ü 

¼ ¾ 

· 

 

¾ 

µ        ́ Ø Ü 

¼ ¾ 

µ º Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó Ü × Ø    

¼ 

½ 

Ø Ð Õ Ù  

   

¼ 

½ 

          Ý 

   ́  

½ 

 

¾ 

µ      ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

µ        ́ Ü 

¼ ½ 

µ    

¼ 

 ́ Ü 

¼ ½ 

·   

¼ 

½ 

µ   

½ 

Ý Ò Ø Ó Ò ×  

   ́  

½ 

 

¾ 

µ  

 

Ü 

 ́ Ü 

¼ ½ 

·   

¼ 

½ 

Ü 

¼ ¾ 

·   

¾ 

µ    

 

Ü 

 ́ Ü 

¼ ½ 

·   

¼ 

½ 

Ü 

¼ ¾ 

µ    

½ 

Í × Ò Ó Ò Ù Ú Ñ Ò Ø Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó Ò Ó Ò Ø Ö Ñ Ó ×    

¼ 

¾ 

Ø Ð Õ Ù  

   

¼ 

¾ 

       

¾ 

      Ý Ò Ø Ó Ò ×  

   ́  

½ 

 

¾ 

µ 

 

½ 

 

¾ 

 

 

¾ 

 

Ý Ü  

 ́ Ü 

¼ ½ 

·   

¼ 

½ 

Ü 

¼ ¾ 

·   

¼ 

¾ 

µ   

È Ö Ó Ù Ò Ó Ø Ñ Ò Ô Ù × Ö Ö     Ð × Ù Ò Ø Ñ Ò Ö  

   ́  

½ 

 

¾ 

µ  

     ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

·   

¾ 

µ        ́ Ü 

¼ ½ 

Ü 

¼ ¾ 

·   

¾ 

µ           ́ Ü 

¼ ½ 

·   

½ 

Ü 

¼ ¾ 

µ        ́ Ü 

¼ ½ 

Ü 

¼ ¾ 

µ    

Ý Ô Ó Ñ Ó × Ö Ô Ø Ö Ð Ñ × Ñ Ô Ð  Ó Ò Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó Ô Ö  

Ô Ö Ó Ö Õ Ù  

   ́  

½ 

 

¾ 

µ 

 

½ 

 

¾ 

 

 

¾ 

 

Ü Ý  

 ́ Ü 

¼ ½ 

·   

¼ ¼ 

½ 

Ü 

¼ ¾ 

·   

¼ ¼ 

¾ 

µ 

Ó Ò 

  

¼ ¼ 

½ 

  

  

½ 

 Ý 

  

¼ ¼ 

¾ 

  

  

¾ 

 º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó  

 

¾ 

 

Ý Ü  

 ́ Ü 

¼ ½ 

·   

¼ 

½ 

Ü 

¼ ¾ 

·   

¼ 

¾ 

µ  

 

¾ 

 

Ü Ý  

 ́ Ü 

¼ ½ 

·   

¼ ¼ 

½ 

Ü 

¼ ¾ 

·   

¼ ¼ 

¾ 

µ   

Ý ¬ Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ò Ù Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×  

 

¾ 

 

Ü Ý  

 ́ Ü 

¼ 

µ  

 

¾ 

 

Ý Ü  

 ́ Ü 

¼ 

µ    £ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 48/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê  

Ñ Ô Ð Ó ¾ º ¾   Ð × Ù Ò Ø Ñ Ô Ð Ó Ò Ó × Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð × Ö Ú × Ö Ù Þ ×  

Ô Ù Ò × Ö × Ø Ò Ø × º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò  Ó Ò 

   ́ Ü Ý  µ  

 ́

Ü Ý   ́ Ü 

¾ 

  Ý 

¾ 

µ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

×    ́ Ü Ý  µ  ´ ¼    ¼ µ 

¼  ×    ́ Ü Ý  µ ´ ¼    ¼ µ   

Ò Ø Ó Ó Ô Ù Ò Ø Ó ´  Ü Ý  µ  ´ ¼    ¼ µ × Ø Ò  

 

Ü 

 ́ Ü Ý  µ  

Ý   ́ Ü 

 

·   Ü 

¾ 

Ý 

¾ 

·  Ý 

 

µ 

 ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ 

¾ 

 

Ý Ò ´  Ü Ý  µ ´ ¼    ¼ µ 

 

Ü 

´ ¼    ¼ µ Ð Ñ  

Ü    ¼ 

   ́ Ü   ¼ µ       ´ ¼    ¼ µ 

Ü 

¼   

Õ Ù Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù  

 

Ü 

 

 ́

Ý   ́ Ü 

 

·   Ý 

¾ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

 

µ 

 ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ 

¾ 

×  ́ Ü Ý  µ  ´ ¼    ¼ µ 

¼ × ´  Ü Ý  µ ´ ¼    ¼ µ 

 

Ý Ò Ó Ò × Ù Ò  

 

¾ 

 

Ý Ü  

´ ¼    ¼ µ Ð Ñ  

Ý    ¼ 

 

Ü 

´ ¼  Ý  µ    

 

Ü 

´ ¼    ¼ µ 

Ý 

Ð Ñ  

Ý    ¼ 

  

Ý 

 

Ý 

 

Ý 

     ½   

È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ý Ñ Ò Ö Ò   Ð Ó ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù  

 

Ý 

 

 ́

  Ü   ́ Ý 

 

·   Ý 

 

Ü 

 

  Ü 

 

µ 

 ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ 

¾ 

×  ́ Ü Ý  µ  ´ ¼    ¼ µ 

¼ × ´  Ü Ý  µ ´ ¼    ¼ µ 

Ý Õ Ù  

 

¾ 

 

Ü Ý  

´ ¼    ¼ µ ½   

× Ö ¸  

 

¾ 

 

Ü Ý  

´ ¼    ¼ µ   

 

¾ 

 

Ý Ü  

´ ¼    ¼ µ   

 Ó Ñ Ó × Ò Ø Ö Ô Ö Ø × Ø Ó Ð Ð Ù Þ Ð Ì Ó Ö Ñ × Ø Ù Ñ Ó × Ð Ó Ò Ø Ò Ù  

Ð × Ö Ú × Ö Ù Þ ×  

Ð Ñ 

Ý    ¼ 

 

¾ 

 

Ý Ü  

´ ¼  Ý  µ Ð Ñ  

Ý    ¼ 

 

Ý 

 ́

 

Ü 

´ ¼  Ý  µ µ Ð Ñ  

Ý    ¼ 

 

Ý 

 ́   

Ý 

 

Ý 

 

µ Ð Ñ  

Ü    ¼ 

   ½      ½   

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 49/164

¾ º ½ º Ê Á Î Ë Ë Í È Ê Á Ç Ê Ë Ì Ç Ê Å Ì Ä Ç Ê    

Ý × Ò Ñ Ö Ó  

Ð Ñ 

Ü    ¼ 

 

¾ 

 

Ý Ü  

 ́ Ü   ¼ µ Ð Ñ  

Ü    ¼ 

Ü 

 

Ü 

 

½   

× Ö ¸ Ý × Ó Ò Ø Ò Ù Ò  

 

¾ 

 

Ý Ü  

º  £ 

Ó Ö Ó Ð Ö Ó ¾ º ½   Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê  Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ð ×    

 

Ó Ò    ¾   Á Æ  º 

Ò Ø Ó Ò ×  

 

 

 

Ü 

 

½ 

Ü 

 

¾ 

¡ ¡ ¡  Ü 

 

 

 

 

 

 

Ü 

   ́  

½ 

µ 

Ü 

   ́  

¾ 

µ 

¡ ¡ ¡  Ü 

   ́  

 

µ 

Ó Ò    

½ 

 

¾ 

  ¡ ¡ ¡   

 

¾    ½    ¡ ¡ ¡  Ò     Ý         ½    ¡ ¡ ¡  Ò     ½    ¡ ¡ ¡  Ò     × Ù Ò Ô Ö ¹  

Ñ Ù Ø  Ó Ò Ù Ð Õ Ù Ö º  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   × Ø Ô Ð Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ñ Ó Ö Ú × Ö Ø ¹  

Ö Ø Ú Ñ Ò Ø   £  º 

Ö Ó ¾ º ½   Ó Ò × Ö Ð Ù Ò  Ó Ò     ́ Ü Ý  µ   Ü 

¿ 

Ý  ·  × Ò   ́ Ü 

¾ 

Ý  µ  Ý Ú Ö ¬ Õ Ù Õ Ù  

 

 

 

Ü  

¾ 

Ý Ü 

 

 

 

 

 

¾ 

Ý  

¾ 

Ü 

 

Ó Ö Õ Ù Ý Ó Ò Ó Ñ Ó × Ð × Ö Ú × Ñ Ý Ó Ö Ó Ö Ò Ý × Ù × Ô Ö Ò Ô Ð ×  

Ô Ö Ó Ô × × Ø Ñ Ó × Ô Ö Ô Ö Ó × Ô Ö × Ø Ù Ö Ð Ó × × Ö Ö Ó Ð Ð Ó × Ì Ý Ð Ó Ö Ò  

Ú Ö × Ú Ö Ð × º Ê Ó Ö Ñ Ó × Ð × Ó Ù Ò Ú Ö Ð ¸ Ò Ð Ù Ð Ú Ñ Ó ×  

× Ö Ò Ù × Ø Ö Ó Ö Ù Ñ Ò Ø Ó Ô Ö Ú Ö × Ú Ö Ð × º  

Ù Ò Ó      ́   µ      Á Ê   ̧ Ü 

¼ 

¾    ́   µ Ý    × Ö Ú Ð Ò   Ü 

¼ 

Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò  

Õ Ù  

   ́ Ü  µ      ́ Ü 

¼ 

µ ·   

¼ 

 ́ Ü 

¼ 

µ  ́ Ü 

  Ü 

¼ 

µ ·  Ê 

½ 

 ́ Ü 

¼ 

Ü 

  Ü 

¼ 

µ   

Ó Ò  

Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

Ê 

½ 

 ́ Ü 

¼ 

Ü     Ü 

¼ 

µ 

  Ü     Ü 

¼ 

 

¼   

× Ø Ò Ó × Ñ   × Õ Ù Ð ¬ Ò  Ó Ò Ö Ú Ý Ð  Ó Ö Ñ Ù Ð × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó  

Ð  Ó Ö Ñ Ù Ð Ô Ö Ó Ü Ñ  Ó Ò     Ð Ô Ö Ñ Ö Ó Ö Ò º Ð Ø Ö Ñ Ò Ó   Ê 

½ 

 ́ Ü 

¼ 

Ü     Ü 

¼ 

µ 

× Ò Ó Ñ Ò Ö × Ø Ó º Ù Ò Ó     × Ó × Ú × Ö Ú Ð Ù Ò Ó Ô Ù Ö Ù Ò  

Ü Ô Ö ×  Ó Ò Ô Ö   Ê 

½ 

Ò Ø Ö Ñ Ò Ó × Ù Ò Ò Ø Ö Ð º Ò Ø Ó ¸ Ð Ì Ó Ö Ñ  

Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð   Ð Ù Ð Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

   ́ Ü  µ      ́ Ü 

¼ 

µ · 

  

Ü 

Ü 

¼ 

 

¼ 

 ́ Ø  µ  Ø 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 50/164

¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê  

Ò Ø Ö Ò Ó Ô Ó Ö Ô Ö Ø × ´  Ù     

¼ 

 ́ Ø  µ  Ú    Ø     Ü  µ Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

   ́ Ü  µ      ́ Ü 

¼ 

µ ·   

¼ 

 ́ Ü 

¼ 

µ  ́ Ü     Ü 

¼ 

µ · 

  

Ü 

Ü 

¼ 

 ́ Ü     Ø  µ   

¼ ¼ 

 ́ Ø  µ  Ø  

× Ó Ø Ò Ñ Ó × Ð    Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ø Ö Ð Ð Ê × Ø Ó  

Ê 

½ 

 ́ Ü 

¼ 

Ü  µ  

  

Ü 

Ü 

¼ 

 ́ Ü     Ø  µ   

¼ ¼ 

 ́ Ø  µ  Ø  

Ë Ù Ò Ó × Ù Ô Ó Ò Õ Ù     ×    Ú × Ö Ú Ð Ò   Ü 

¼ 

¸ Ò Ø Ó Ò ×  

   ́ Ü  µ      ́ Ü 

¼ 

µ ·   

¼ 

 ́ Ü 

¼ 

µ  ́ Ü     Ü 

¼ 

µ ·  ¡ ¡ ¡  · 

½ 

   

 

 ́   µ 

 ́ Ü 

¼ 

µ  ́ Ü     Ü 

¼ 

µ 

 

·  Ê 

 

 ́ Ü Ü 

¼ 

µ   

Ó Ò  

Ð Ñ 

Ü    Ü 

¼ 

Ê 

 

 ́ Ü Ü 

¼ 

µ 

  Ü     Ü 

¼ 

 

 

¼   

Ù Ò Ó × × Ù Ô Ó Ò Ñ   × Õ Ù     × Ð ×    

  · ½ 

Ò Ù Ò Ú Ò   Ü 

¼ 

Ò Ø Ó Ò × Ò Ø Ö Ò Ó Ô Ó Ö Ô Ö Ø × Ö Ø Ö Ñ Ò Ø × Ó Ø Ò Ð  Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ø Ö Ð  

Ô Ö Ð Ö × Ø Ó Ó Ö Ò    

Ê 

 

 ́ Ü Ü 

¼ 

µ  

  

Ü 

Ü 

¼ 

 ́ Ü 

  Ø  µ 

 

   

 

 ́   · ½ µ 

 ́ Ø  µ  Ø  

Ë Ó Ò × Ö Ñ Ó ×  

Å  Ñ Ü  

Ø  ¾    Ü 

¼ 

  Ü 

¼ 

·     

   

 ́   · ½ µ 

 ́ Ø  µ    Ô Ö ¼       Ü   

Ò Ø Ó Ò ×  

 Ê 

 

 ́ Ü Ü 

¼ 

µ 

  Å 

 

  

Ü 

Ü 

¼ 

 ́ Ü     Ø  µ 

 

   

Ø 

  

Å 

 ́   · ½ µ  

 Ü 

  Ü 

¼ 

 

  · ½ 

 

Ù Ò Ó            Á Ê 

Ò 

    Á Ê  Ø Ñ Ò Ô Ó Ñ Ó × × Ø Ð Ö Ù Ò Ø Ó Ö Ñ  

Ì Ý Ð Ó Ö º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ò × Ó Õ Ù     Ø Ó Ñ Ú Ð Ó Ö × Ò   Á Ê 

Ñ 

Ð Ó Õ Ù Ö Ñ Ó × ×  

Ô Ð Ó Ó Ö Ò º Ó Ñ Ò Þ Ñ Ó × Ó Ò Ù Ò ¬ Ò  Ó Ò 

¬ Ò  Ó Ò ¾ º ¾   Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê  Ó × Ú × Ö Ò Ð Ò   Ü 

¼ 

¾     º Ë  

¬ Ò Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ Ø Ö Þ À × × Ò     Ò  Ü 

¼ 

Ó Ñ Ó  

À    ́ Ü  µ  

¾ 

 

 

 

 

¾ 

 

Ü 

¾ 

½ 

 

 

¾ 

 

Ü 

Ò 

Ü 

½ 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

 

¾ 

 

Ü 

½ 

Ü 

Ò 

 

 

¾ 

 

Ü 

¾ 

Ò 

 

¿ 

 

 

 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 51/164

¾ º ½ º Ê Á Î Ë Ë Í È Ê Á Ç Ê Ë Ì Ç Ê Å Ì Ä Ç Ê   ½ 

Ç × Ö Ú  Ó Ò ¾ º ½   Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù ¸ Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö ¸ ×     × Ð ×    

¾ 

Ò Ù Ò Ú Ò   Ü 

¼ 

Ò Ø Ó Ò × Ð Ñ Ø Ö Þ À × × Ò     Ò  Ü 

¼ 

× × Ñ Ø Ö º  

Ì Ó Ö Ñ ¾ º ¾   ´ Ì Ó Ö Ñ Ì Ý Ð Ó Ö ¾ Ó Ö Ò µ   Ë            Á Ê 

Ò 

    Á Ê  Ù Ò  

  Ù Ò  Ó Ò Ð ×    

¿ 

º Ò Ø Ó Ò ×  

   ́ Ü 

¼ 

·    µ      ́ Ü 

¼ 

µ ·  Ö      ́ Ü 

¼ 

µ    · 

½ 

¾ 

 

Ø 

À    ́ Ü 

¼ 

µ    ·  Ê 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ   

Ó Ò Ð Ö × Ø Ó   Ê 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ  Ø Ò Ù Ò Ü Ô Ö ×  Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ý     Ê 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ     Å       

¿ 

º 

× Õ Ù Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö  

Ð Ñ 

    ¼ 

Ê 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ 

     

¾ 

¼   

Ç × Ö Ú  Ó Ò ¾ º ¾   Ë Ô Ù Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù ×     × Ð ×    

¾ 

Ò Ø Ó Ò × Ø Ñ ¹  

Ò × Ø Ò Õ Ù  

Ð Ñ 

Ü    ¼ 

Ê 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ 

     

¾ 

¼   

Ù Ò Õ Ù Ð  Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ø Ö Ð Ð Ö × Ø Ó Ò Ó × Ø Ò º  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   Í Ø Ð Þ Ò Ó Ð Ö Ð Ð Ò Ø Ò Ñ Ó ×  

 

Ø 

   ́ Ü 

¼ 

·  Ø   µ      ́ Ü 

¼ 

·  Ø   µ     

Ò 

  

  ½ 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

·  Ø   µ   

 

Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ø Ö ¼ Ý ½  

   ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ  

Ò 

  

  ½ 

  

½ 

¼ 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

·  Ø   µ   

 

Ø  

Í Ø Ð Þ Ò Ó Ò Ù Ú Ñ Ò Ø Ð Ò Ó Ø Ò Ñ Ó × Ô Ö   Ù   

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

·  Ø   µ   

 

Ù 

Ø 

 

Ò 

  

  ½ 

 

¾ 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

·  Ø   µ   

 

 

 

 

Á Ø Ö Ò Ó Ô Ó Ö Ô Ö Ø × ¸ Ó Ò × Ö Ò Ó   Ù  Ó Ñ Ó Ö Ö Ý   Ú    Ø     ½ 

   ́ Ü 

¼ 

·    µ      ́ Ü 

¼ 

µ · 

Ò 

  

  ½ 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

µ   

 

· 

Ò 

  

  ½ 

Ò 

  

  ½ 

  

½ 

¼ 

´ ½       µ 

 

¾ 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

·  Ø   µ   

 

 

 

Ø  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 52/164

¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê  

Õ Ù × Ù Ò Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ø Ö Ñ Ó Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ð  Ó Ö Ñ Ù Ð Ì Ý Ð Ó Ö  

È Ö Ñ Ö Ó Ö Ò  

   ́ Ü 

¼ 

·    µ      ́ Ü 

¼ 

µ · 

Ò 

  

  ½ 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

µ   

 

·  Ê 

½ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ   

Á Ò Ø Ö Ò Ó Ò Ù Ú Ñ Ò Ø Ô Ó Ö Ô Ö Ø × ¸ Ó Ò   Ú        ́ Ø     ½ µ 

¾ 

  ¾ Ý  Ù   

 

¾ 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

· 

Ø   µ   

 

 

 

Ó Ò Ð Ó Ù Ð  

Ù 

Ø 

 

Ò 

  

  ½ 

 

¿ 

 

Ü 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

·  Ø   µ   

 

 

 

 

 

 

Ç Ø Ò Ñ Ó ×  

   ́ Ü 

¼ 

·    µ      ́ Ü 

¼ 

µ · 

Ò 

  

  ½ 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

µ   

 

· 

Ò 

  

  ½ 

Ò 

  

  ½ 

½ 

¾ 

 

¾ 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

µ   

 

 

 

·  Ê 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ   

Ó Ò Ð Ö × Ø Ó Ø Ò Ð Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ð  

Ê 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ  

Ò 

  

  ½ 

Ò 

  

  ½ 

Ò 

  

  ½ 

  

½ 

¼ 

´ ½     Ø  µ 

¾ 

¾ 

 

¿ 

 

Ü 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

·  Ø   µ   

 

 

 

 

 

Ø  

Ó Ñ Ó  

 

¿ 

Ü 

 

Ü 

 

Ü 

 

× Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ò   Ü 

¼ 

¸ Ü × Ø     ¼ Ý  Å   ¼ Ø Ð Õ Ù  

        µ  

 

¿ 

 

Ü 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

·  Ø   µ     Å  

Ä Ó Ò × Ø Ò Ø   Å  Ô Ù Ø Ó Ñ Ö × Ó Ñ Ó  

Å  Ñ Ü  

Ü  ¾     ́ Ü 

¼ 

  µ 

 

 

¿ 

 

Ü 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü  µ   

È Ó Ö Ð Ó Õ Ù ¸ Ô Ö Ø Ó Ó   Ø  ¾   ¼    ½ Ø Ò Ñ Ó ×  

 

 

¿ 

 

Ü 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

·  Ø   µ   

 

 

 

 

 

   Å  

¬ Ò Ð Ñ Ò Ø  

  Ê 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ    

Ò 

  

  ½ 

Ò 

  

  ½ 

Ò 

  

  ½ 

½ 

¿  

Å       

¿ 

 ́

Ò 

¿ 

¿  

Å  µ       

¿ 

  £ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 53/164

¾ º ½ º Ê Á Î Ë Ë Í È Ê Á Ç Ê Ë Ì Ç Ê Å Ì Ä Ç Ê   ¿ 

Ö Ó ¾ º ¾   × Ö Ö Ð  Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ö Ð Ì Ý Ð Ó Ö Ó Ö Ò ¿ º  

Ñ Ô Ð Ó ¾ º ¿   Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð  Ó Ö Ñ Ù Ð Ì Ý Ð Ó Ö Ó Ö Ò ¾ Ò Ø Ó Ö Ò Ó   Ü 

¼ 

 

´ ¼    ¼ µ  Ô Ö  

   ́ Ü Ý  µ × Ò ´  Ü  · ¾  Ý  µ ·  Ü 

¾ 

 

Ú Ð Ù Ñ Ó ×     ´ ¼    ¼ µ ¼    × Ô Ù × Ð Ù Ð Ñ Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×  

 

Ü 

 ́ Ü Ý  µ Ó × ´  Ü  · ¾  Ý  µ · ¾  Ü  Ý 

 

Ý 

 ́ Ü Ý  µ ¾ Ó × ´  Ü  · ¾  Ý  µ 

Ý Ú Ð Ù Ñ Ó ×   Ö     ´ ¼    ¼ µ ´ ½    ¾ µ    Ó Ö Ð Ù Ð Ñ Ó × Ð × Ö Ú × × Ù Ò Ó  

Ó Ö Ò  

 

¾ 

 

Ü 

¾ 

     × Ò ´  Ü  · ¾  Ý  µ · ¾   

 

¾ 

 

Ý Ü  

     ¾ × Ò ´  Ü  · ¾  Ý  µ Ý 

 

¾ 

 

Ý 

¾ 

     × Ò ´  Ü  · ¾  Ý  µ 

Ý Ú Ð Ù Ñ Ó ×  

 

¾ 

 

Ý 

¾ 

´ ¼    ¼ µ ¼   

 

¾ 

 

Ü 

¾ 

´ ¼    ¼ µ ¾ Ý  

 

¾ 

 

Ý Ü  

´ ¼    ¼ µ ¼   

Ó Ò × Ö Ò Ó      ́  

½ 

 

¾ 

µ Ø Ò Ñ Ó × ¬ Ò Ð Ñ Ò Ø  

   ́ Ü 

¼ 

·    µ      ́  

½ 

 

¾ 

µ     ´ ¼    ¼ µ · ´ ½    ¾ µ  ́  

½ 

 

¾ 

µ · 

½ 

¾ 

 ́  

½ 

 

¾ 

µ 

 

¾ ¼ 

¼ ¼ 

 

 

½ 

 

¾ 

 

·  Ê 

¾ 

   

½ 

· ¾   

¾ 

·   

¾ 

½ 

·  Ê 

¾ 

´ ¼    µ    £ 

Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ó Ó Ò × Ø Ñ Ô Ð Ó ¸ × Ñ Ó × Õ Ù Ð Ù Ò  Ó Ò  È 

¾ 

 ́  

½ 

 

¾ 

µ    

½ 

· ¾   

¾ 

· 

 

¾ 

½ 

Ô Ö Ó Ü Ñ      ́  

½ 

 

¾ 

µ Ð × Ù Ò Ó Ó Ö Ò ¸ Ò Ð × Ò Ø Ó Õ Ù  

Ê 

¾ 

´ ¼    µ 

     

¾ 

    ¼ º È Ö Ó  

Ù Ò Ó Ô Ó Ö Ö Ù Ò Ô Ö Ù Ò Ø Ñ   × × Ô ¬  

×          ½    É Ù Ö Ö Ó Ö × Ó Ñ Ø Ô Ó Ö Ñ Ö     Ý  È 

¾ 

 

Ì Ò Ñ Ó × Ð  Ó Ö Ñ Ù Ð Ò Ø Ö Ð Ð Ö Ö Ó Ö  

Ê 

¾ 

 ́  

½ 

 

¾ 

µ  

¾ 

  

  ½ 

¾ 

  

  ½ 

¾ 

  

  ½ 

  

½ 

¼ 

´ ½     Ø  µ 

¾ 

¾ 

 

¿ 

 

Ü 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

·  Ø   µ   

 

 

 

 

 

Ø  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 54/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê  

Í × Ò Ó Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Î Ð Ó Ö Å Ó Ò Ø Ö Ð Ú Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø Ò   Ø 

 

¾   ¼    ½  

Ø Ð × Õ Ù  

Ê 

¾ 

 ́  

½ 

 

¾ 

µ  

½ 

¿  

¾ 

  

  ½ 

¾ 

  

  ½ 

¾ 

  

  ½ 

 

¿ 

 

Ü 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

·  Ø 

 

  µ   

 

 

 

 

 

 

Ó Ò Ô Ó Ñ Ó × Ö Ò Ù × Ø Ö × Ø Ñ  Ó Ò º Ò Ò Ù × Ø Ö Ó × Ó Ð Ù Ð Ñ Ó × Ð ×  

Ø Ö Ö × Ö Ú ×  

 

¿ 

 

Ü 

¿ 

     Ó × ´  Ü  · ¾  Ý  µ   

 

¿ 

 

Ý Ü  

¾ 

     ¾ Ó × ´  Ü  · ¾  Ý  µ   

 

¿ 

 

Ý 

¾ 

Ü 

     Ó × ´  Ü  · ¾  Ý  µ   

 

¿ 

 

Ý 

¿ 

     Ó × ´  Ü  · ¾  Ý  µ   

Ú Ð Ù Ò Ó Ð × Ö Ú × Ò   Ü 

¼ 

´ ¼    ¼ µ Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

  Ê 

¾ 

 ́  

½ 

 

¾ 

µ    

½ 

¿  

 ́  

¿ 

½ 

· ¿  ¡  ¾   

¾ 

½ 

 

¾ 

· ¿  ¡     

½ 

 

¾ 

¾ 

·    

¿ 

¾ 

µ 

  

½ 

¿  

´ ½ · · ½ ¾ · µ       

¿ 

 

¾  

 

     

¿ 

     

 

       

× ¸ ×          ½    Ò Ø Ó Ò ×     Ê 

¾ 

 ́  

½ 

 

¾ 

µ         ´ ¾  ¡   

¿ 

µ   

Ö Ó ¾ º ¿   Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù ×     × Ð ×    

¾ 

Ò Ø Ó Ò ×  

   ́ Ü 

¼ 

µ ·    µ      ́ Ü 

¼ 

µ ·  Ö      ́ Ü 

¼ 

µ    · ½    ¾  À    ́ Ü 

¼ 

µ   

Ø 

·  Ê 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ 

Ó Ò  

Ð Ñ 

    ¼ 

Ê 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ 

     

¼ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 55/164

¾ º ½ º Ê Á Î Ë Ë Í È Ê Á Ç Ê Ë Ì Ç Ê Å Ì Ä Ç Ê    

Â Ê Á Á Ç Ë  

È ½ µ  Í Ò Ù Ò  Ó Ò  Ù       ́ Ü Ý  µ Ó Ò × Ù Ò × Ö Ú × Ô Ö Ð × Ó Ò Ø Ò Ù ×  

Õ Ù × Ø × Ð Ù  Ó Ò Ä Ô Ð  

 

¾ 

Ù 

Ü 

¾ 

· 

 

¾ 

Ù 

Ý 

¾ 

¼ 

× Ð Ð Ñ Ù Ò  Ó Ò Ö Ñ  Ó Ò º Ø Ö Ñ Ò Ö Ù Ð × Ð × × Ù Ò Ø × Ù Ò Ó Ò × × Ó Ò  

Ö Ñ  Ó Ò × º  

µ  Ù   ́ Ü Ý  µ   Ü 

¿ 

   ¿  Ü Ý 

¾ 

µ  Ù   ́ Ü Ý  µ   × Ò Ü Ó × Ý  

µ  Ù   ́ Ü Ý  µ    

Ü 

× Ò Ý   º 

È ¾ µ  Ë       Á Ê 

¾ 

    Á Ê  º È Ö   Ü  ¬ Ò    

Ü 

  Á Ê      Á Ê  

Ü 

 ́ Ý  µ      ́ Ü Ý  µ º 

Ë Ù Ô Ó Ò Õ Ù Ô Ö   Ü  Ü × Ø Ù Ò  Ù Ò Ó   Ý  Ø Ð Õ Ù    

¼ 

Ü 

 ́ Ý  µ ¼ º Ë × Ò Ó Ø  

Ô Ó Ö     ́ Ü  µ Ø Ð   Ý  Ý × × Ù Ô Ó Ò Õ Ù × Ö Ò Ð Ñ Ó × Ø Ö Ö  

µ Ë  

 

¾ 

 

Ý 

¾ 

 ́ Ü Ý  µ  ¼ Ô Ö Ø Ó Ó ´  Ü Ý  µ Ò Ø Ó Ò ×  

 

¼ 

 ́ Ü  µ  

 

¾ 

 

Ý Ü  

 ́ Ü    ́ Ü  µ µ 

 

¾ 

 

Ý 

¾ 

 ́ Ü    ́ Ü  µ µ 

 

µ Ë   

¼ 

 ́ Ü  µ ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò  Ý  Ø Ð Õ Ù  

 

¾ 

 

Ý Ü  

 ́ Ü    Ý  µ ¼ Ý  

 

Ý 

 ́ Ü    Ý  µ ¼   

È ¿ µ  Ð Ù Ð Ö Ð Ü Ô Ò ×  Ó Ò Ì Ý Ð Ó Ö × Ù Ò Ó Ó Ö Ò Ð × Ù Ò Ó Ò ×  

× Ù Ò Ø × Ò Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × ×  Ò Ð Ó × ¸ Ý Ð Ù Ð Ù Ò Ú Ò Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó  

Ø Ð Õ Ù Ð Ô Ö Ó Ü Ñ  Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ö Ö Ó Ö Ð Ó Ñ   × ½ ¼  

  ¾ 

º 

µ     ́ Ü Ý Þ   µ  ́ Ü 

¾ 

· ¾  Ü Ý  ·  Ý 

¾ 

µ   

Þ 

Ò   Ü 

Ó 

     ´ ½    ¾    ¼ µ    ´ ¿    ¾    µ     º 

µ     ́ Ü Ý Þ  µ  ́ Ü 

¿ 

· ¿  Ü 

¾ 

Ý  ·  Ý 

¿ 

µ   

  Þ 

¾ 

Ò   Ü 

Ó 

     ´ ¼    ¼    ¼ µ    ´ ¿    ¾    ¿ µ     º 

µ     ́ Ü 

½ 

Ü 

¾ 

Ü 

¿ 

Ü 

 

µ Ð Ó ´ Ó × ´  Ü 

½ 

·  Ü 

¾ 

   Ü 

¿ 

   Ü 

 

µ µ Ò    Ü 

Ó 

 

 

¼ º 

È µ  Ë       Á Ê 

Ò 

    Á Ê  Ð ×    

½ 

º È Ö Ù Õ Ù Ò Ò Ö Ð Ò Ó × Ø Ò Õ Ù  

Ð × Ö Ì Ý Ð Ó Ö     Ó Ò Ú Ö     º È Ö × Ø Ó Ó Ò × Ö Ó Ñ Ó Ó Ò Ø Ö Ñ Ô Ð Ó  

Ð Ù Ò  Ó Ò      Á Ê      Á Ê  ¬ Ò Ô Ó Ö  

   ́ Ü  µ  

 ́

 

 

½ 

Ü 

¾ 

×   Ü   ¼ 

¼ ×   Ü     ¼ 

È Ö Ù Õ Ù ×    

½ 

Ý × Ø Ù × Ù × Ö Ì Ý Ð Ó Ö Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ö Ó º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 56/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê  

¾ º ¾ Ü Ø Ö Ñ Ó × Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ú Ð Ó Ö × Ö Ð ×    

Ò Ø Ö Ó Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Õ Ù Ô Ö Ø Ò Ò Ð Ó Ñ Ò Ó Ð Ù Ò  Ó Ò ¸ Õ Ù Ð Ð Ó × Ò  

Ó Ò × Ø Ð Ò Þ Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ó Ù Ò Ñ   Ü Ñ Ó Ö Ú × Ø Ò Ù Ò × Ô Ð Ò Ø Ö × Ô Ó Ö  

× Ù Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ò Ñ Ù Ó × Ô Ö Ó Ð Ñ × Ô Ö   Ø Ó × º  

¬ Ò  Ó Ò ½  Ë       Í     Ó Ò  Í  Ù Ò × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó     

Ò 

º Í Ò 

Ô Ù Ò Ø Ó   Ü 

¼ 

¾   Í  × Ö   Ñ Ò Ñ Ó ´ Ñ   Ü Ñ Ó µ Ð Ó Ð     × Ü × Ø Ù Ò Ú Ò   Π

  Ü 

¼ 

Ø Ð Õ Ù  

   ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ     Ü  ¾   Π  ́    ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ µ 

Í Ò Ô Ù Ò Ø Ó × Ö   Ü Ø Ö Ñ Ó Ð Ó Ð × × Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ó Ù Ò Ñ   Ü Ñ Ó Ð Ó Ð º  

Í Ò Ô Ù Ò Ø Ó   Ü 

¼ 

× Ö    Ö Ø Ó       ×      ́ Ü 

¼ 

µ ¼ º Í Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó Õ Ù Ò Ó  

× Ü Ø Ö Ñ Ó × Ö    Ô Ù Ò Ø Ó × Ð Ð   º 

Ì Ó Ö Ñ ¾   Ë       Í     Ö Ò Ð ¸ Ó Ò   Í  Ù Ò × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó  

  

Ò 

Ý  Ü 

¼ 

¾   Í  Ù Ò Ü Ø Ö Ñ Ó Ð Ó Ð ¸ Ò Ø Ó Ò ×      ́ Ü 

¼ 

µ ¼   

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò º  Ë     Ø Ò Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð   Ü 

¼ 

Ò Ø Ó Ò × × ¬ Ò Ñ Ó × Ð  

Ù Ò  Ó Ò Ù Ò Ú Ö Ð  

   ́ Ø  µ      ́ Ü 

¼ 

·  Ø   µ 

Ó Ò     ¾   

Ò 

× Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ð Õ Ù Ö × Ø Ò Ö Õ Ù     Ø Ò Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð  

Ò  Ø  ¼ Ô Ù ×  

   ́ Ø  µ      ́ Ü 

¼ 

·  Ø   µ        ́ Ü 

¼ 

µ     ´ ¼ µ 

Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó    

¼ 

´ ¼ µ ¼ Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù  

   ́ Ü 

¼ 

µ    ¼ 

Ý Ó Ñ Ó × Ø Ó × Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö     Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Õ Ù      ́ Ü 

¼ 

µ ¼   

Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù      ́ Ü 

¼ 

µ ¼ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø  

 

Ü 

½ 

 ́ Ü 

¼ 

µ ¼   

 

Ü 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

µ ¼   

 

Ü 

Ò 

 ́ Ü 

¼ 

µ ¼ 

Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × ¸ Ð Ó × Ñ   Ü Ñ Ó × Ý Ñ Ò Ñ Ó × × Ó Ò Ô Ù Ò Ø Ó × Õ Ù × Ø × Ò Ð × × Ø Ñ  

Ù Ó Ò ×  

   ́ Ü  µ ¼ 

× Ø × Ù Ò × × Ø Ñ   Ò  Ù Ó Ò × Ó Ò   Ò  Ò  Ó Ò Ø × º È Ö Ó Ò Ò Ö Ð Ò Ó  

× Ù Ò × × Ø Ñ Ð Ò Ð º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 57/164

¾ º ¾ º Ì Ê Å Ç Ë Í Æ Á Ç Æ Ë Ç Æ Î Ä Ç Ê Ë Ê Ä Ë    

Ñ Ô Ð Ó ¿   Ù × Õ Ù Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × Ð × Ù Ò Ø Ù Ò  Ó Ò Ý Ð × Õ Ù Ð Ó ×  

   ́ Ü Ý  µ   Ü 

¾ 

Ý  ·  Ý 

¾ 

Ü 

Ð × × Ø Ñ Ù Ó Ò × Õ Ù × Ó Ø Ò ×  

 

Ü 

¾  Ü Ý  ·  Ý 

¾ 

¼ 

 

Ý 

¾  Ü Ý  ·  Ü 

¾ 

¼ 

Ó Ò × Ø Ò  

Ý  ´ ¾  Ü  ·  Ý  µ ¼  µ    Ý  ¼   Ó » Ý  Ý       ¾  Ü 

Ü  ´ ¾  Ý  ·  Ü  µ ¼  µ    Ü  ¼   Ó » Ý  Ü       ¾  Ý 

Ð Ô Ö Ñ Ö Ö Ð  Ó Ò Ú Ñ Ó × Õ Ù Ð Ó × Ô Ó × Ð × Ô Ù Ò Ø Ó × Ü Ø Ö Ñ Ó × × Ó Ò   ´ ¼    ¼ µ  Ý 

 ́      ¾    µ    ¾    Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð Ó Ø Ö × Ø Ò Õ Ù × Ó Ò   ´ ¼    ¼ µ  Ý   ́    ¾    µ    ¾  

   ¸ Ô Ö Ó Ó Ñ Ó × Ø Ò Ò Õ Ù Ù Ñ Ô Ð Ö Ñ × Ö Ð Ó Ñ Ò × Ð Ú Þ Ò Ø Ó Ò × Ð  

 Ù Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó × Ð   ´ ¼    ¼ µ  º È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ò Ó   Ü    Ý  × Ø Ò Õ Ù  

   ́ Ü Ü  µ ¾  Ü 

¿ 

Ð Ù Ð Ø Ó Ñ Ú Ð Ó Ö × Ô Ó × Ø Ú Ó × Ý Ò Ø Ú Ó × ¸ × Ö   ´ ¼    ¼ µ  Ò Ó ×  

Ò Ñ   Ü Ñ Ó Ò Ñ Ò Ñ Ó ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó × Ð Ð º  

Î Ñ Ó × Ó Ö Ó Ò Ó Ò × Ò × Ö × ¾  

Ó 

Ó Ö Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø × Ð × Ú × Ø ×  

Ò Ð × Ó Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ú Ö Ð ¸ × Ö ¸    

¼ ¼ 

 ́ Ü  µ    ¼ Ô Ö Ñ Ò Ñ Ó Ý  

 

¼ ¼ 

 ́ Ü  µ    ¼ Ô Ö Ñ   Ü Ñ Ó º  

¬ Ò  Ó Ò   Ë       Í     Ó Ò  Í  Ù Ò × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó     

Ò 

Ó Ò 

Ö Ú × ¾  

Ó 

Ó Ö Ò  

 

¾ 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

µ 

Ò  Ü 

¼ 

º Ð À × × Ò Ó     Ò  Ü 

¼ 

× Ð Ù Ò  Ó Ò Ù Ö   Ø ¬ Ò Ô Ó Ö  

À    ́ Ü 

¼ 

µ  ́   µ  

½ 

¾ 

Ò 

  

  ½ 

 

¾ 

 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

µ   

 

 

 

Ç Ø Ö Ó Ö Ñ × Ö Ö Ð Ü Ô Ö ×  Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö ×  

À    ́ Ü 

¼ 

µ  ́   µ  

½ 

¾ 

 

Ì 

À  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 58/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê  

Ó Ò  

À   

¾ 

 

 

 

 

¾ 

 

Ü 

¾ 

½ 

 

¾ 

 

Ü 

½ 

Ü 

¾ 

¡ ¡ ¡ 

 

¾ 

 

Ü 

½ 

Ü 

Ò 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

 

¾ 

 

Ü 

Ò 

Ü 

½ 

 

¾ 

 

Ü 

Ò 

Ü 

¾ 

¡ ¡ ¡ 

 

¾ 

 

Ü 

¾ 

Ò 

¿ 

 

 

 

Ä Ñ Ø Ö Þ   À  × Ò Ó Ñ Ò   Ñ Ø Ö Þ À × × Ò   Ð Ù Ò  Ó Ò    º 

Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù × Ø Ñ Ø Ö Þ × × Ñ Ø Ö Ý Õ Ù  

 

¾ 

 

Ü 

 

Ü 

 

 

 

¾ 

 

Ü 

 

Ü 

 

Ò Ø × Ö Ð Ö Ø Ö Ó ¾  

Ó 

Ó Ö Ò ¸ Ö Ó Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò Ó × Ð Ñ Ò Ø Ó ×  

Ð Ö Ð Ò Ð º  

Ë     × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ × Ñ Ø Ö ¸ Ò Ø Ó Ò ×     × Ó Ò Ð Þ Ð ¸ × Ö ¸ Ü × Ø  

Ù Ò Ñ Ø Ö Þ   È  Ø Ð Õ Ù  

    È È 

Ì 

´ ¾ º ½ µ  

Ó Ò   È  × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ò Ú Ö Ø Ð ´ Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð µ Ý     × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ó Ò Ð ¸ ×  

Ö  

È 

Ì 

È    Á 

Ó Ò   Á  × Ð Ñ Ø Ö Þ Ò Ø Ý  

   

¾ 

 

 

 

 

 

½ 

¼  ¡ ¡ ¡  ¼ 

¼   

¾ 

¡ ¡ ¡  ¼ 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

¼ ¼ 

¡ ¡ ¡  

Ò 

¿ 

 

 

 

 

´ ¾ º ½ µ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù  

È    È  

Ý Ô Ó Ö Ó Ð Ù Ñ Ò  

Ô 

 

   

 

 Ô 

 

Ó Ò    Ô 

 

Ö Ô Ö × Ò Ø Ð ¹ × Ñ Ó Ð Ù Ñ Ò   È  º Ä Ó ×    

 

× Ó Ò Ð Ó × Ú Ð Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó ×  

Ð Ñ Ø Ö Þ     Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ð Ó ×    Ô 

 

× Ó Ò Ú Ø Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø ×  

Ó × Ú Ð Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó × º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 59/164

¾ º ¾ º Ì Ê Å Ç Ë Í Æ Á Ç Æ Ë Ç Æ Î Ä Ç Ê Ë Ê Ä Ë    

Í Ò Ñ Ø Ö Þ     ×   ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú   ×  

Ü 

Ì 

Ü   ¼     Ü  ¼ 

Ë Ñ   × × × Ñ Ø Ö ¸ Ù × Ò Ó Ð Ó Ò Ð Þ  Ó Ò Ú × Ø Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ò Ø ¸  

Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù  

Ü 

Ì 

È È 

Ì 

Ü   ¼     Ü  ¼ 

Ó × ´ Ò Ó   È 

Ì 

Ü    Ý  µ 

Ý 

Ì 

Ý   ¼     Ý  ¼ 

  µ   

  

 

 

Ý 

¾ 

 

  ¼     Ý  ¼ 

Ý Õ Ù × Ó Ø Ò Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ º  

Ì Ó Ö Ñ   Í Ò Ñ Ø Ö Þ     × ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú × Ý × Ó Ð Ó × Ð Ó × Ú Ð Ó Ö × Ô Ö Ó Ô Ó ×  

    × Ó Ò Ô Ó × Ø Ú Ó × º  

Ó Ö Ó Ð Ö Ó   Ë     × ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø     ¼  Ø Ð Õ Ù  

Ü 

Ì 

Ü         Ü   

¾ 

   Ü  ¾   

Ò 

Ò Ö Ð ¸     Ñ Ò      

 

    ½  Ò       

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò º 

Ü 

Ì 

Ü   

  

 

 

Ý 

¾ 

 

   Ñ Ò      

 

    ½  Ò     Ý   

¾ 

   

È 

Ì 

Ü 

¾ 

  Ü 

Ì 

È È 

Ì 

Ü  ¸ Ö Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù   È È 

Ì 

  È 

Ì 

È    Á 

      Ü   

¾ 

Ì Ñ Ò × Ð Ñ Ø Ö Þ   × Ñ ¹ ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú   Ù Ò Ó × × Ø ×  

Ü 

Ì 

Ü 

  ¼ 

  Ü 

¾   

Ò 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 60/164

¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê  

Ì Ó Ö Ñ   Í Ò Ñ Ø Ö Þ     × × Ñ ¹ ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú × Ý × Ó Ð Ó × Ð Ó × Ú Ð Ó Ö ×  

Ô Ö Ó Ô Ó ×     × Ó Ò Ô Ó × Ø Ú Ó × Ó Ò Ù Ð Ó × º  

Ç × Ö Ú  Ó Ò   Ð × ¬ Ò Ó Ò × Ú × Ø × × Ø Ó Ö Ñ Ø Ö × ¬ Ò ×  

Ý × Ñ ¹ ¬ Ò × Ô Ó × Ø Ú × ¸ Ò Ó Ð Ó × Ñ Ó × × Ù Ð Ó Ö Ö × Ô Ó Ò ¹  

Ò Ø × ¸ × Ó Ø Ò Ò Ð × ¬ Ò Ó Ò × Ñ Ø Ö × ¬ Ò × Ý × Ñ ¹ ¬ Ò ×  

Ò Ø Ú × º  

Ç × Ö Ú  Ó Ò   Ü × Ø Ò Ñ Ù Ó × Ö Ø Ö Ó × Ô Ö Ø Ö Ñ Ò Ö × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ ×  

¬ Ò Ô Ó × Ø Ú Ó Ò Ó ¸ Ù Ò Ó Ð Ó × Ù × Ó × Ô Ó Ö × Ù   Ð Ó Ñ Ô Ö Ó  Ó Ò × Ð  

× Ù Ò Ø Í Ò Ñ Ø Ö Þ     Ù Ö    ́ Ò  ¢   Ò  µ  × ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú × Ý × Ó Ð Ó ×  

Ø Ó × Ð × × Ù Ñ Ø Ö × Ù Ö × Ð Ó Ð Ö Ó Ð Ó Ò Ð Ø Ò Ò Ø Ö Ñ Ò Ò Ø ×  

Ô Ó × Ø Ú Ó × º È Ö Ð × Ó Ð × Ñ Ø Ö × ¬ Ò × Ò Ø Ú × Ð Ó × × Ò Ó × Ð Ó ×  

Ø Ö Ñ Ò Ò Ø × Ò Ð Ø Ö Ò Ö × ¸ Ó Ñ Ò Þ Ò Ó Ó Ò Ò Ø Ú Ó º  

Ì Ó Ö Ñ ½ ¼ ´ Ö Ø Ö Ó ¾  

Ó 

Ó Ö Ò µ   Ë       Í     Ó Ò  Í  Ù Ò × Ù ¹  

Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó     

Ò 

Ý    Ð ×     

¾ 

º Ë   Ü 

¼ 

¾   Í  Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó  

  º 

Ë   À    ́ Ü 

¼ 

µ  × ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú Ò Ø Ó Ò ×   Ü 

¼ 

× Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ð     º 

Ë   À    ́ Ü 

¼ 

µ  × ¬ Ò Ò Ø Ú Ò Ø Ó Ò ×   Ü 

¼ 

× Ù Ò Ñ   Ü Ñ Ó Ð Ó Ð     º 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò º  Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ó × × Ó Ð Ñ Ò Ø Ð Ô Ö Ñ Ö Ô Ö Ø ¸ Ð Ó Ø Ö ×  

Ñ Ù × Ø Ö Ó Ö Ñ × Ñ Ð Ö º  

Ë   Ü 

¼ 

× Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ù × Ò Ó Ð Ì Ó Ö Ñ Ì Ý Ð Ó Ö Ó Ö Ò ¾  

× Ø Ò Õ Ù  

   ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ   À    ́ Ü 

¼ 

µ  ́   µ ·  Ê 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

µ 

Ó Ò   Ê 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

µ      ¼ Ù Ò Ó         ¼ º 

Ó Ñ Ó   À    ́ Ü 

¼ 

µ × ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø     ¼ Ø Ð Õ Ù  

À    ́ Ü 

¼ 

µ  ́   µ            

¾ 

     ¾   

Ò 

Ý Ó Ñ Ó   Ê 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

µ 

   ¼ Ù Ò Ó    

   ¼ ¸ Ü × Ø     ¼ Ø Ð Õ Ù × ¼    

  

   

Ò Ø Ó Ò ×  

  Ê 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

µ           

¾ 

Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó  

   ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ         

¾ 

          

¾ 

¼ 

Ô Ö Ø Ó Ó ¼             ¸ Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù   Ü 

¼ 

× Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 61/164

¾ º ¿ º Ì Ê Å Ç Ë Ê Ë Ì Ê Á Æ Á Ç Ë º   ½ 

Ñ Ô Ð Ó ½ ½   Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × Ð × Ù Ò Ø Ù Ò  Ó Ò Ý Ð × Õ Ù Ð Ó × º  

   ́ Ü Ý  µ Ð Ò ´  Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

· ½ µ 

 

Ü 

 

½ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

· ½ 

¾  Ü  ¼   µ    Ü  ¼ 

 

Ý 

 

½ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

· ½ 

¾  Ý  ¼   µ    Ý  ¼ 

Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð  Ù Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó ×    ́ Ü Ý  µ ´ ¼    ¼ µ  º Î Ñ Ó × Ó Ö Ð À × × Ò  

Ð Ù Ò  Ó Ò    Ú Ð Ù Ò × Ø Ô Ù Ò Ø Ó  

 

¾ 

 

Ü 

¾ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

´ ¼    ¼ µ 

 

  Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

· ¾ 

 ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

· ½ µ 

¾ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

´ ¼    ¼ µ 

¾ 

 

¾ 

 

Ü Ý  

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

´ ¼    ¼ µ 

 

     Ü Ý 

 ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

· ½ µ 

¾ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

´ ¼    ¼ µ 

¼ 

 

¾ 

 

Ý 

¾ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

´ ¼    ¼ µ 

 

Ü 

¾ 

   Ý 

¾ 

· ¾ 

 ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

· ½ µ 

¾ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

´ ¼    ¼ µ 

¾ 

× Ö ¸ Ð Ñ Ø Ö Þ À × × Ò Õ Ù  

 

¾ ¼ 

¼ ¾ 

 

Ð Ù Ð Ø Ö Ú Ð Ñ Ò Ø × Ú Õ Ù × ¬ Ò Ô × Ø Ú Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó   ´ ¼    ¼ µ 

× Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð × Ø Ö Ø Ó º  

¾ º ¿ Ü Ø Ö Ñ Ó × Ö × Ø Ö Ò Ó × º    

Î Ñ Ó × Ó Ö Õ Ù × Ù Ù Ò Ó Õ Ù Ö Ñ Ó × Ñ Ò Ñ Þ Ö Ó Ñ   Ü Ñ Þ Ö Ù Ò Ù Ò ¹  

 Ó Ò × Ù Ø Ö Ø × Ö × Ø Ö Ó Ò × º  

Ì Ó Ö Ñ ½ ¾ ´ Å Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö × Ä Ö Ò µ   Ë Ò       Í    

Ò 

   Ý 

    Í    

Ò 

     Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º Ë   Ü 

¼ 

¾   Í  Ý     ́ Ü 

¼ 

µ     ¸ Ý ×   Ë 

Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò Ú Ð Ô Ö     Ó Ò Ú Ð Ó Ö     ¸ × Ö  

Ë       Ü  ¾   Í       ́ Ü  µ       

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 62/164

¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê  

Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù   Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  ¼  º Ë      

Ë 

 ́   Ö × Ø Ö Ò   Ë  µ Ø Ò Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó  

Ó Ñ   Ü Ñ Ó Ð Ó Ð Ò   Ë  Ò  Ü 

¼ 

¸ Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø ¸ ×   Ü 

¼ 

× Ù Ò × Ó Ð Ù  Ó Ò Ð  

Ô Ö Ó Ð Ñ  

Ñ Ò     ́ Ü  µ   Ó  Ñ Ü     ́ Ü  µ 

   ́ Ü  µ      ́ Ü  µ    

Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò Ò  Ù Ñ Ö Ó Ö Ð     Ø Ð Õ Ù  

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ     Ö      ́ Ü 

¼ 

µ 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò º  Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù   Ü 

¼ 

× × Ó Ð Ù  Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ñ Ò ¹  

Ñ Þ  Ó Ò ´ Ð Ó Ø Ö Ó × Ó × × Ñ Ð Ö µ Ý ×  

Ë       Ü  ¾   Í       ́ Ü  µ       

Ó Ñ Ó   Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ø Ú Ø Ó Ö × Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ù Ô Ö ¬   Ë  ¸ Ô Ó Ö  

Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø   Ë  Ò  Ü 

¼ 

× Ö Ø Ö Þ Ó Ñ Ó  

    Ö      ́ Ü 

¼ 

µ 

Ì 

¡   ́ Ü     Ü 

¼ 

µ ¼ 

Ó Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø  

        

¼ 

´ ¼ µ            Í    ́ Ø  µ  ¾   Ë     Ø   ´ ¼ µ   Ü 

¼ 

  

Ò Ø Ó Ò × ¸ × Ò Ó   Ü 

¼ 

Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó     ¸ Ð Ù Ò  Ó Ò  Ø         ́    ́ Ø  µ µ Ø Ò Ù Ò  

Ñ Ò Ñ Ó Ò ¼ Ô Ö     ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó  

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ 

Ì 

¡   

¼ 

´ ¼ µ ¼  

× Ö ¸   Ö      ́ Ü 

¼ 

µ × Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ð Ô Ð Ò Ó Ø Ò Ò Ø Ó Ð Ó Õ Ù × Ð Ó Ñ × Ñ Ó ¸ Ô Ö Ð Ð Ó  

Ð Ú Ø Ó Ö   Ö      ́ Ü 

¼ 

µ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ Ü × Ø Ù Ò Ö Ð     Ø Ð Õ Ù  

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ     Ö      ́ Ü 

¼ 

µ 

Ð Ò  Ù Ñ Ö Ó     × Ð Ð Ð Ñ   Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö Ä Ö Ò   Ý Ð Ù Ò  Ó Ò   Ò  · ½ 

Ú Ö Ð ×  

Ä   ́ Ü   µ      ́ Ü  µ        ́ Ü  µ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 63/164

¾ º ¿ º Ì Ê Å Ç Ë Ê Ë Ì Ê Á Æ Á Ç Ë º   ¿ 

× Ð Ó Ò Ó Ó Ñ Ó   Ä Ö Ò Ò Ó   º Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ð Ó Ò  Ó Ò ´ Ò × Ö µ Ð  

Ì Ó Ö Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø  

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ     Ö      ́ Ü 

¼ 

µ 

   ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ    

´ µ   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ü 

½ 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ    

 

Ü 

½ 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ 

º 

º 

º 

 

Ü 

Ò 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ    

 

Ü 

Ò 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ 

   ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ    

´ ¾ º ¾ µ  

Ó Ö Ó Ð Ö Ó ½ ¿   Ë     Ð Ö × Ø Ö Ò Ö × Ù Ò × Ù Ô Ö ¬   Ë  ¸ Ø Ò Ù Ò Ñ   Ü Ñ Ó Ó Ù Ò  

Ñ Ò Ñ Ó Ò   Ü 

¼ 

¸ Ò Ø Ó Ò ×   Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  × Ô Ö Ô Ò Ù Ð Ö   Ë  Ò  Ü 

¼ 

º 

Ñ Ô Ð Ó ½   Ë   Ë    

¾ 

Ð Ö Ø Õ Ù Ô × Ô Ó Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó    ́    ½    ¼ µ  Ý Ø Ò Ù Ò  

Ò Ð Ò  Ó Ò    

Æ 

Ý ×         

¾ 

   Ø Ð Õ Ù    ́ Ü Ý  µ      Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

º À Ð Ð Ö Ð Ó ×  

Ü Ø Ö Ñ Ó ×     × Ó Ö Ð Ö Ø   Ë  º 

Î Ñ Ó × Õ Ù   Ë  × Ô Ù × Ö Ö Ó Ñ Ó  

Ë        ́ Ü Ý  µ    Ý     Ü     ½ ¼    

Ý Ò Ó Ø Ñ Ó × Ô Ó Ö    ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ  Ð Ô Ó × Ð Ò Ø Ó × Ö Ü Ø Ö Ñ Ó Ý      ́ Ü Ý  µ   Ý    

Ü 

  ½   ̧   ¼  º È Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó ¸ × Ø Ò  

Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ ´ ¾  Ü 

¼ 

  ¾  Ý 

¼ 

µ 

Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ  ́    ½    ½ µ 

Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ô Ð Ò Ó Ð × × Ø Ñ Ð Ö Ò Ò Ó ´ ¾ º ¾ µ Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

 

 

 

¾  Ü 

¼ 

      

¾  Ý 

¼ 

   

Ý 

¼ 

  Ü 

¼ 

· ½ 

  µ   

Ü 

¼ 

     Ý 

¼ 

Ý 

¼ 

  Ü 

¼ 

· ½ 

  µ   

Ü 

¼ 

    

½ 

¾ 

Ý 

¼ 

 

½ 

¾ 

× Ö ¸ Ð Ü Ø Ö Ñ Ó     ×   ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ  ́   

½ 

¾ 

 

½ 

¾ 

µ  Ý Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö  

Ð Ö Ò ×     ½  º 

Ñ Ô Ð Ó ½   Ê × Ù Ð Ú Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ð Ñ  

Ñ Ò  Ü 

¾ 

   Ý 

¾ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

½ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 64/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê  

Ò Ò Ö Ð ¸ Ô Ö Ô Ó Ö Ø Ö Ñ Ò Ö × Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ü Ø Ö Ñ Ó × × Ó Ò Ñ Ò Ñ Ó ×  

Ð Ó Ð × ¸ Ñ   Ü Ñ Ó × Ó Ô Ù Ò Ø Ó × × Ð Ð × Ñ Ó × Ò Ð Þ Ö Ð Ó Ñ Ô Ó Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ð  

¾ 

 

Ö Ú Ó Ñ Ó Ú Ö Ñ Ó × Ñ   × Ð Ò Ø ¸ Ù Ó Ø Ö Ó × Ö Ù Ñ Ò Ø Ó × º  

Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ó Ö Õ Ù Ø Ò Ñ Ó ×     Ö × Ø Ö Ó Ò × Ù Ð ¸ × Ö  

Ë       Ü  ¾   

Ò 

   

½ 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ ¼   

 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ ¼    

Ý Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ô Ø Ñ Þ  Ó Ò ×  

Ñ Ò     ́ Ü  µ  Ó Ñ Ü     ́ Ü  µ 

Ü  ¾   Ë Ü  ¾   Ë 

´ ¾ º ¿ µ  

Ó Ò    

 

    

Ò 

     ½    ¸ × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º  

Ò Ø Ó Ò × Ð Ì Ó Ö Ñ Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö × Ä Ö Ò × Ü Ø Ò Ð  

× Ù Ò Ø Ó Ö Ñ  

Ì Ó Ö Ñ ½   Ë Ð Ó × Ô Ö Ó Ð Ñ × ´ ¾ º ¿ µ Ø Ò Ò Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ó Ñ   Ü Ñ Ó Ð Ó Ð   Ü 

¼ 

 ̧

× Ö ¸ Ü × Ø Ù Ò Ú Ò   Π   Ü 

¼ 

Ø Ð Õ Ù  

   ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ     Ü  ¾   Π    Ë   ́  Ó     ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ µ 

Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø     Ò  Ù Ñ Ö Ó × Ö Ð × ´ Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö × µ    

½ 

 

 

Ø Ð × Õ Ù  

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ    

½ 

Ö    

½ 

 ́ Ü 

¼ 

µ ·    ·   

 

Ö    

 

 ́ Ü 

¼ 

µ 

× Ñ Ô Ö Õ Ù Ð Ó × Ú Ø Ó Ö ×   Ö    

½ 

 ́ Ü 

¼ 

µ    Ö    

 

 ́ Ü 

¼ 

µ  × Ò Ð Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ô Ò ¹  

Ò Ø × º  

Ñ Ô Ð Ó ½   Ê × Ù Ð Ú Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ð Ñ  

Ñ Ò  Ü  ·  Ý  ·  Þ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

¾ 

Ü  ·  Þ  ½ 

¾ º Ö Ø Ö Ó ¾      

Ó 

Ó Ö Ò Ô Ö Ü Ø Ö Ñ Ó × Ö ¹    

× Ø Ö Ò Ó × º    

Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ð Ñ  

Ñ Ò ´ Ñ Ü µ     ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ ´ ¾ º µ  

 

 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ ¼       ½  Ô  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 65/164

¾ º º Ê Á Ì Ê Á Ç ¾  

Ç 

Ç Ê Æ È Ê Ì Ê Å Ç Ë Ê Ë Ì Ê Á Æ Á Ç Ë º    

Ó Ò    

 

¸ × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º  

È Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö × Ñ Ó × Õ Ù ×   Ö    

 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ     × Ó Ò Ð º º Ò Ø Ó Ò ×  

Ü × Ø     ¾   

 Ô 

Ø Ð Õ Ù  

Ö      ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ    

Ì 

Ö      ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ 

Ó Ò      ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ  ́  

½ 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ   

 Ô 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ µ 

Ì 

¸ × Ö  

Ö   Ä   ́ Ü 

½ 

Ü  

Ò 

  µ ¼ 

Ó Ò   Ä  Ö Ô Ö × Ò Ø Ð Ä Ö Ò Ò Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ ´ ¾ º µ º  

Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ö Ø Ó × Ô Ö Ð Ä Ö Ò Ò Ó ¸ Ñ   × Ð × Ö × Ø Ö Ó Ò × ¸ Ó Ø Ò ¹  

Ñ Ó × Ô Ó × Ð × Ò Ø Ó × Ñ Ò Ñ Ó × Ó Ñ   Ü Ñ Ó × Ð Ó Ð ×  

Ö   Ä   ́ Ü  µ ¼ 

 

 

 ́ Ü  µ ¼       ½  Ô  

Ò Ð × Ó × Ò Ö × Ø Ö Ó Ò × ¸ Ð Ö Ø Ö Ó Ô Ö Ø Ö Ñ Ò Ö Õ Ù Ø Ô Ó Ö Ò Ð Ó ×  

Ô Ó × Ð × Ü Ø Ö Ñ Ó × Ö Ò Ð Þ Ò Ó Ð Ñ Ø Ö Þ À × × Ò Ð Ù Ò  Ó Ò Ó Ø Ú Ó ¸  

Ò Ô Ò Ò × × Ø Ö ¬ Ò Ò Ø Ú Ó Ô Ó × Ø Ú ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò  

Ù Ò Ñ   Ü Ñ Ó Ó Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ö × Ô Ø Ú Ñ Ò Ø º  

Í Ò Ö Ø Ö Ó × Ñ Ð Ö × Ø Ò Ô Ö Ð × Ó Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ò Ö × Ø Ö ¹  

Ó Ò × ¸ × Ò Ñ Ö Ó Ò Ó × Ö   Ò × Ö Ó Õ Ù Ð À × × Ò Ó ¸ Ò × Ø × Ó Ð Ð  

Ä Ö Ò Ò Ó ¸ × ¬ Ò Ó Ô Ó × Ø Ú Ó Ó Ò Ø Ú Ó Ô Ö Ö  Ó Ò    ¸ Ò Ö Ð ¹  

× Ø Ö   Õ Ù Ð Ó × Ò Ù Ò Ö Ø Ó Ó Ò Ù Ò Ø Ó Õ Ù Ò Ó Ñ Ò Ö Ñ Ó ×   Ó Ò Ù Ò Ø Ó  

Ö Ó Ò × Ö Ø ×   Ý Ð Ó ¬ Ò Ö Ñ Ó × Ó Ñ Ó  

à  ́ Ü  µ  

 ̈

  ¾   

Ò 

Ö    

 

 ́ Ü  µ 

Ì 

  ¼       ½  Ô   Ö      ́ Ü  µ 

Ì 

     ¼ 

© 

Ù Ò Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ × Ñ Ò Ñ Þ  Ó Ò Ý 

à  ́ Ü  µ  

 ̈

  ¾   

Ò 

Ö    

 

 ́ Ü  µ 

Ì 

  ¼       ½  Ô   Ö      ́ Ü  µ 

Ì 

     ¼ 

© 

Ù Ò Ó × Ñ Ü Ñ Þ  Ó Ò º 

Ì Ó Ö Ñ ½   Ë   Ü 

¼ 

¾   Ë       Ü     

 

 ́ Ü  µ ¼       ¾   Á       ½  Ô      º Ë Ù Ô Ó Ò ¹  

Ñ Ó × Õ Ù   Ö    

 

 ́ Ü 

¼ 

µ    

  ¾  Á 

× Ó Ò Ð Ò Ð Ñ Ò Ø Ò Ô Ò Ò Ø × ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø     ¾  

  

 Ô 

Ø Ð Õ Ù  

Ö   Ä   ́ Ü 

¼ 

  µ ¼ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 66/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê  

Ë Ñ   × × Ø Ò Õ Ù  

 

Ì 

À 

Ü 

Ä   ́ Ü 

¼ 

  µ    ¼ 

   

¾  Ã   ́ Ü  µ   

¼ 

Ò Ø Ó Ò ×   Ü 

¼ 

× Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð ´ ¾ º µ º ´ Ñ   Ü Ñ Ó Ð Ó Ð ´ ¾ º µ Ö × Ô Ø Ú ¹  

Ñ Ò Ø µ º  

Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ò Ð Ì Ó Ö Ñ Ð À × × Ò Ó Ð Ä Ö Ò Ò Ó × × Ó Ð Ó Ó Ò  

Ö × Ô Ø Ó   Ü  ¸ × Ö  

À 

Ü 

Ä   ́ Ü 

¼ 

  µ  

¾ 

 

 

 

¾ 

Ä 

Ü 

¾ 

½ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ 

 

¾ 

Ä 

Ü 

½ 

Ü 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ  ¡ ¡ ¡ 

 

¾ 

Ä 

Ü 

½ 

Ü 

Ò 

 ́ Ü 

¼ 

  µ 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

º 

 

¾ 

Ä 

Ü 

Ò 

Ü 

½ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ 

 

¾ 

Ä 

Ü 

Ò 

Ü 

¾ 

 ́ Ü 

¼ 

  µ  ¡ ¡ ¡ 

 

¾ 

Ä 

Ü 

¾ 

Ò 

 ́ Ü 

¼ 

  µ 

¿ 

 

 

 

 

 

¾ 

Ä 

Ü 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

  µ 

 

Ò 

  ½ 

Ñ Ô Ð Ó ½   Ò Ð Ñ Ô Ð Ó ´ ½ µ ¸ × Ð Ô Ù Ò Ø Ó    ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ  ́   

½ 

¾ 

 

½ 

¾ 

µ  × Ù Ò  

Ñ   Ü Ñ Ó Ó Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó º  

È Ö × Ø Ó ¸ Ó Ò × Ø Ö Ù Ý Ñ Ó × Ô Ö Ñ Ö Ñ Ò Ø Ð Ä Ö Ò Ò Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ  

Ä   ́ Ü Ý   µ      ́ Ü Ý  µ        ́ Ü Ý  µ 

  Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

      ́ Ý     Ü     ½ µ 

Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð Ñ Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö Ð Ö Ò Ö     ½  ¸ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð  

À × × Ò Ó Ð Ä Ö Ò Ò Ó Õ Ù  

À 

Ü 

Ä   ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

  µ  

 

¾ ¼ 

¼ ¾ 

 

Ð Ù Ð × ¬ Ò Ó Ô Ó × Ø Ú Ó Ô Ö Ø Ó Ó     ¸ Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ô Ö Ð × Ö Ó Ò × Ð  

Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ó Ò × Ö Ø × Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó    ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ  ́   

½ 

¾ 

 

½ 

¾ 

µ  × Ù Ò  

Ñ Ò Ñ Ó º  

Ñ Ô Ð Ó ¾ ¼   Ç Ô Ø Ñ Ð Ú Ð Ó Ö Ð Ù Ò  Ó Ò     ́ Ü Ý  µ   Ü  × Ó Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó  

Ô Ù Ò Ø Ó ×    ́ Ü Ý  µ  Ø Ð × Õ Ù   Ü 

¾ 

· ¾  Ý 

¾ 

¿ 

Ð Ä Ö Ò Ò Ó Ô Ö × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Õ Ù Ð × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ  

Ä   ́ Ü Ý   µ   Ü        ́ Ü 

¾ 

· ¾  Ý 

¾ 

   ¿ µ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 67/164

¾ º º Ê Á Ì Ê Á Ç ¾  

Ç 

Ç Ê Æ È Ê Ì Ê Å Ç Ë Ê Ë Ì Ê Á Æ Á Ç Ë º    

Ó Ò × Ø Ò  

Ä 

Ü 

¼   µ    ½     ¾  Ü  ¼ 

Ä 

Ý 

¼   µ      Ý  ¼ 

Ü 

¾ 

· ¾  Ý 

¾ 

¿ 

Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó ¸ Ð Ó × Ô Ó × Ð × Ò Ø Ó × Ü Ø Ö Ñ Ó × ´    Ò Ó Ô Ù × Ö Ö Ó µ × Ó Ò  

 ́ Ü 

½ 

Ý 

½ 

 

½ 

µ  

 

Ô   

¿    ¼   

½ 

¾ 

Ô   

¿ 

 

 ́ Ü 

¾ 

Ý 

¾ 

 

¾ 

µ  

 

  

Ô   

¿    ¼      

½ 

¾ 

Ô   

¿ 

 

Ô Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ð Ó × Ø Ò Õ Ù  

À 

Ü 

Ä   ́ Ü Ý   µ  

 

   ¾    ¼ 

¼        

 

× Ö ¸ Ô Ö    ́ Ü 

½ 

Ý 

½ 

 

½ 

µ  

 

Ô   

¿    ¼   

½ 

¾ 

Ô 

¿ 

 

À 

Ü 

Ä   ́ Ü 

½ 

Ý 

½ 

 

½ 

µ  × ¬ Ò Ò ¹  

Ø Ú Ý Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó    ́ Ü 

½ 

Ý 

½ 

µ  ́

Ô   

¿    ¼ µ  × Ù Ò Ñ   Ü Ñ Ó Ð Ó Ð Ñ Ò Ø Ö × Õ Ù Ô Ö  

 ́ Ü 

¾ 

Ý 

¾ 

 

¾ 

µ  

 

  

Ô   

¿    ¼      

½ 

¾ 

Ô 

¿ 

 

À 

Ü 

Ä   ́ Ü 

¾ 

Ý 

¾ 

 

¾ 

µ  × ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú Ý Ô Ó Ö Ð Ó  

Ø Ò Ø Ó    ́ Ü 

¾ 

Ý 

¾ 

µ  ́   

Ô   

¿    ¼ µ  × Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð º  

Î Ñ Ó × Ó Ö Ó Ø Ö Ó Ñ Ô Ð Ó Ó Ò Ð Ñ Ø Ö Þ À × × Ò Ð Ä Ö Ò Ò Ó Ò Ó  

× ¬ Ò Ô Ó × Ø Ú Ò Ø Ó × Ð × Ö Ó Ò × Ô Ö Ó × Ð Ó × Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó  

Ö Ó Ò × Ö Ø × º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 68/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¾ º Ê Á Î Ë Ç Ê Æ Ë Í È Ê Á Ç Ê  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 69/164

Ô Ø Ù Ð Ó ¿      

Á Ò Ø Ö      Ó Ò   

¿ º ½ Å Ó Ø Ú      Ó Ò   

Æ Ó × Ò Ø Ö × Ü Ø Ò Ö Ð Ò Ó  Ó Ò   Ö Ó Ù Ò Ù Ö Ú ¸ Ó Ö Ñ Ð Þ Ô Ó Ö  

Ð Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò Ò Ù Ò Ú Ö Ð ¸ Ð   Ö Ó Ù Ò × Ù Ô Ö ¬  

Ò  Á Ê 

Æ 

º Ä Ù Ó × Ø Ù Ö Ñ Ó × Ð × Ô Ö Ó Ô × Ù Ò Ñ Ò Ø Ð × Ð Ò Ø Ö Ð  

Ê Ñ Ò Ò Ò Ú Ö × Ú Ö Ð × º Ò Ð Ñ Ò Ø Ú Ö Ñ Ó × Ð Ù Ò × Ô Ð Ó Ò ×  

Ô Ö Ó Ð Ñ × × Ó × º  

¿ º ¾ Á Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò Ò      Á Ê 

¾ 

¿ º ¾ º ½ ¬ Ò Ó Ò ×  

Ê     Á Ê 

¾ 

× Ù Ò Ö Ø   Ò Ù Ð Ó × Ý ×  Ó Ð Ó ×   Ê     

½ 

 

½ 

  ¢      

¾ 

 

¾ 

Ó Ò    

½ 

 

½ 

 

¾ 

 

¾ 

¾   Á Ê  º 

Ð   Ö Ù Ò Ö Ø   Ò Ù Ð Ó   Ê     

½ 

 

½ 

  ¢      

¾ 

 

¾ 

× 

Π  ́ Ê  µ  ́  

½ 

    

½ 

µ  ́  

¾ 

    

¾ 

µ   

È Ö   Ñ  ¾   Á Æ  ¸ Ð   Ñ  ¹ Õ Ù Ô Ö Ø  Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ú Ð Ó     Ó Ò     ¾   Á Ê  × 

 ̈

   

¼ 

 

½ 

       

½ 

 

¾ 

      

Ñ    ½ 

 

Ñ 

 

© 

Ó Ò   

 

    ·   

     

Ñ 

  ¼  Ñ   º 

È Ö   Ñ  ¾   Á Æ  ¸ Ð   Ñ  ¹ Õ Ù Ô Ö Ø  Ó Ò Ð Ö Ø   Ò Ù Ð Ó   Ê     

½ 

 

½ 

  ¢      

¾ 

 

¾ 

 

×  È       Á 

½ 

¢   Á 

¾ 

  Á 

 

¾   È 

 

  ½    ¾     Ó Ò  È 

 

Ñ  ¹ Õ Ù Ô Ö Ø  Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ú Ð Ó  

   

 

 

 

    ½    ¾ º Ä Ò Ó Ø Ö Ñ Ó ×   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ º 

Ó Ù Ò Ö Ø   Ò Ù Ð Ó   Ê     Á Ê 

¾ 

Ý  Ñ  ¾   Á Æ  ¸ Ñ Ó × Õ Ù ´   

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ù Ò  

× Ð  Ó Ò ´ Ô Ö   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ µ × ´     È  ¾   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ µ   

È 

¾   È  º 

 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 70/164

¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

Ê 

¾ 

 Ø 

 Ø 

 Ø 

Ê 

 

 

Ê 

¿ 

 

Ê 

 

 

Ê 

¾ 

 

Ê 

½ 

Ê 

Ê 

½ 

Ê 

¿ 

 Ø 

Ù Ö ¿ º ½ ¾ ¹ Õ Ù Ô Ö Ø  Ó Ò Ý × Ð  Ó Ò 

Æ Ó Ø Ö Õ Ù Ð Ñ Ò Ø Ó Ù Ò   Ñ  ¹ Õ Ù Ô Ö Ø  Ó Ò × Ù Ò Ö Ø   Ò Ù Ð Ó Ý Õ Ù  

Ù Ò   Ñ  ¹ Õ Ù Ô Ö Ø  Ó Ò × ¬ Ò Ø ¸ Ð Ù Ó Ð × Ù Ò Ø ¬ Ò  Ó Ò Ø Ò × Ò Ø Ó  

¬ Ò  Ó Ò ¿ º ½   Ë   Ñ  ¾   Á Æ   ̧ Ê     Á Ê 

¾ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê  Ý Ù Ò × Ð  Ó Ò 

 ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

º Ë ¬ Ò Ð × Ù Ñ Ê Ñ Ò Ò × Ó     Ý   ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

Ó Ñ Ó  

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ  

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

   ́  

È 

µ  Π  ́ È  µ   

¬ Ò  Ó Ò ¿ º ¾   Ë   Ê     Á Ê 

¾ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê  º Ñ Ó × Õ Ù     × 

Ê Ñ Ò Ò Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  × Ý ×  Ó Ð Ó ×    ́    Ë  ¾   Á Ê  µ  ́    ¯   ¼ µ  ́    Ñ 

¼ 

¾   Á Æ  µ  ́    Ñ     Ñ 

¼ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë 

¬ 

¬ 

¬ 

 ̄

Ô Ö Ø Ó Ð  Ó Ò Ð Ó ×    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

º 

Ë  × Ð Ð Ñ Ò Ø Ö Ð ´ Ê Ñ Ò Ò µ     × Ó Ö   Ê  Ý × Ò Ó Ø  

  

Ê 

 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 71/164

¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ   Á Ê 

¾ 

½ 

Ä Ò Ø Ö Ð     Ø Ñ Ò × Ò Ó Ø  

  

Ê 

   ́ Ü  µ  Ü  

Ù Ö ¿ º ¾ Ë Ù Ñ Ê Ñ Ò Ò Ô Ö Ð Ù Ò  Ó Ò     ́ Ü Ý  µ × Ò  

Ü Ý 

½  

Ô Ö   È 

 

´ ½     

¾ 

µ 

Ñ Ô Ð Ó ¿ º ½   È Ö   Ê  ¼    ½  

¾ 

¸ Ò Ó × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  Ð Ù Ò  Ó Ò      Ê      Á Ê 

Ô Ó Ö  

   ́ Ü Ý  µ  

 ́

½  ́ Ü Ý  µ  ¾   É Á  ¢   É Á  

¼  ́ Ü Ý  µ   ¾   É Á  ¢   É Á  

¿ º ¾ º ¾ È Ö Ó Ô × × ×  

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º ½   Ë   Ê     Á Ê 

¾ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê  º Ë     × Ò Ø Ö Ð Ò  

Ê  Ò Ø Ó Ò ×     × Ó Ø Ò   Ê  º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 72/164

¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

Ñ Ó × Ø Ö  

 

Ó Ò º  Ò Ø Ó ¸ ×    ̄ ½  ̧ Ñ    Ñ 

¼ 

Ò Ð ¬ Ò  Ó Ò  

Ò Ø Ö Ð º Ä Ù Ó  

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë 

¬ 

¬ 

¬ 

  ½ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

   ́  

È 

µ  Π  ́ È  µ     Ë 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  ½ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

   ́  

È 

µ  Π  ́ È  µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  ½ ·    Ë   

Ý Ô Ö Ù Ò Ö Ø Ó   È 

¼ 

¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

¬ 

¬ 

   ́  

È 

¼ 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ È 

¼ 

µ    ½ ·    Ë    · 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ  Ò   È 

¼ 

 

   ́  

È 

µ  Π  ́ È  µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

   ́  

È 

¼ 

µ 

¬ 

¬ 

 

½ 

Π  ́ È 

¼ 

µ 

 

½ ·    Ë    · 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ  Ò   È 

¼ 

 

   ́  

È 

µ  Π  ́ È  µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

 

 

Ò Ó Ð Ó ×    

È 

¸ Ô Ö   È  ¾   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ  Ò    È 

¼ 

   Ý Ò Ó Ø Ò Ó Õ Ù    

È 

¼ 

× Ö Ø Ö Ö Ó Ò   È 

¼ 

× Ó Ò Ð Ù Ý Õ Ù     × Ó Ø Ò   È 

¼ 

º Ó Ñ Ó Ñ   ×  È 

¼ 

× Ö Ø Ö Ö Ó Ò   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ó Ò Ð Ù Ý Õ Ù     × Ó Ø Ò   È  ¾   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ ¸ Ð Ù Ó     × Ó Ø Ò   Ê  º 

¤ 

Ä × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô × Ò   Ð Ó Ð Ó Ò  Ó Ò Ù Ý Ô Ö Ù Ò  

× Ù ×  Ó Ò ¸ Ð Ù Ó ×  Ù Ø Ð Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó Ô Ö × Ø Ù Ö Ð Ò Ø Ö Ð Ù Ò  

Ù Ò  Ó Ò Ù Ò Ó Ò Ó × Ó Ò Ó Ð Ú Ð Ó Ö × Ù Ò Ø Ö Ð º  

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º ¾   Ë   Ê     Á Ê 

¾ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê  º Ë Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø ×  

¯    ¯   ¼       Ñ 

¼ 

¾   Á Æ      Ñ     Ñ 

¼ 

      ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò  ̧     ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¯  

 ̄    × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  º 

Ñ Ó × Ø Ö  

 

Ó Ò º  ´   µ    µ Ñ Ó × Ö Ø × × Ð Ó Ò × ´   

Ñ 

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

¸ Ô Ö  

  Ñ 

¾  Á Æ  º Ä Ù Ó ¸ Ô Ó Ö Ð Ô  Ó Ø × × ¸ Ð × Ù ×  Ó Ò 

 

Ë   ́    ́  

Ñ 

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ 

¡ 

Ñ  ¾  Á Æ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 73/164

¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ   Á Ê 

¾ 

¿ 

Ö × Ù Ð Ø × Ö Ù Ý Ý Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ö Ø Ó   Ë  ¾   Á Ê  º Ë   ¯   ¼ º Ë   Ñ 

½ 

   Ñ 

¼ 

Ø Ð Õ Ù ´     Ñ     Ñ 

¼ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

Ñ 

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë 

¬ 

¬ 

¬ 

¯  

Ë   Ñ     Ñ 

¼ 

Ý Ù Ò × Ð  Ó Ò  ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

Ö Ø Ö Ö º × ¸ Ò Ù Ú Ñ Ò Ø Ó Ò Ð  

Ô  Ó Ø × × ¸ Ö × Ù Ð Ø Õ Ù  

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë 

¬ 

¬ 

¬ 

  

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë   ́    ́  

Ñ 

½ 

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

½ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

· 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

Ñ 

½ 

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

½ 

µ 

  Ë 

¬ 

¬ 

¬ 

  ¾  ¯  

 ́  ́   µ Ë   ¯   ¼ ¸ ×   Ñ 

¼ 

¾   Á Æ  Ø Ð Õ Ù ´     Ñ     Ñ 

¼ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë 

¬ 

¬ 

¬ 

 ̄

Ô Ö Ø Ó Ð  Ó Ò Ð Ó × ´   

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

º Ë Ò   Ñ     Ñ 

¼ 

Ö Ø Ö Ö Ó × ¸ × Ò  

 ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

¸  ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

 

 ́ Ê  µ 

× Ð Ó Ò × Ö Ø Ö Ö × º Ä Ù Ó  

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë   ́    ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

 

 ́ Ê  µ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë 

¬ 

¬ 

¬ 

· 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë     Ë   ́    ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

 

 ́ Ê  µ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

   ¾  ¯  

¤ 

Ð × Ù Ò Ø Ð Ñ × Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ð Ô Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º ¾ Ý Ò Ó × Ù Ò  

Ó Ò  Ó Ò Ò × Ö Ý × Ù ¬ Ò Ø Ò Ø Ö Ð Ñ   ×   Ð Ú Ö ¬ Ö Ò  

Ú Ö × Ð × Ô Ö Ó Ô × Õ Ù × Ù Ò º Ä Ô Ö Ò Ô Ð Ö Ò Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ô Ó × ¹  

 Ó Ò ¿ º ¾ × Õ Ù Ò Ú Þ Ó Ñ Ô Ö Ö Ø Ó Ó × Ð Ó × Ô Ö × Ô Ö Ø Ó Ò × ¸ Ó Ñ Ô Ö  

Ô Ö × Ô Ö Ø Ó Ò × Õ Ù × Ó Ò Ù Ò Ù Ò Ö ¬ Ò Ñ Ò Ø Ó Ð Ó Ø Ö º  

Ä Ñ ¿ º ½   Ë   Ê     Á Ê 

¾ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê  º Ë Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø ×  

 ̄   ́    ¯   ¼ µ  ́    Ñ 

¼ 

¾   Á Æ  µ  ́      ¾   Á Æ  µ  ́    Ñ     Ñ 

¼ 

µ  ́     ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

   ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò  µ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

   ́  

¼ 

É 

µ        ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ  ¯  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 74/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

 ̄    × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  º 

Ñ Ó × Ø Ö  

 

Ó Ò º  Í × Ö Ñ Ó × Ð Ô Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º ¾ Ô Ö × Ù × Ø Ø Ù Ö Ð Ó Ò  Ó Ò 

  Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  º 

 ́ µ    µ Ë   ¯   ¼ º È Ó Ö Ô  Ó Ø × × ´     Ñ 

¼ 

¾   Á Æ  µ  ́      ¾   Á Æ  µ  ́    Ñ     Ñ 

¼ 

µ  ́     ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò µ ´      ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò µ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

   ́  

¼ 

É 

µ        ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ  ¯  

Ë Ò   Ñ     Ñ 

¼ 

¸ × Ò ´   

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

¸  ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

 

 ́ Ê  µ 

× Ð Ó Ò × º Ë ´   

¼ ¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò º Ä Ù Ó  

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

¼ ¼ 

É 

µ 

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

   ́  

¼ ¼ 

É 

µ  Π  ́ É  µ    

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

   ́  

È 

µ  Π  ́ È  µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

   ́  

¼ ¼ 

É 

µ  Π  ́ É  µ    

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

   ́  

È 

µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

Π  ́ É  µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

   ́  

¼ ¼ 

É 

µ        ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ 

¯  

Ý Ò   Ð Ó Ñ Ò Ø  

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

¼ ¼ 

É 

µ 

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë   ́    ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

 

 ́ Ê  µ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¯  

×  

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë   ́    ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

 

 ́ Ê  µ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë   ́    ́  

¼ ¼ 

É 

µ 

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

· 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

¼ ¼ 

É 

µ 

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë   ́    ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

 

 ́ Ê  µ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

  ¾  ¯  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 75/164

¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ   Á Ê 

¾ 

 

 ́  ́   µ Ë   ¯   ¼ º È Ó Ö Ô  Ó Ø × × ¸ ´     Ñ 

¼ 

¾   Á Æ  µ  ́    Ñ     Ñ 

¼ 

µ  ́     ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò µ ´      ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò µ 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¯  

Ë Ò     ¾   Á Æ   ̧ Ñ     Ñ 

¼ 

¸ × Ò ´   

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

   ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð Ó Ò × º È Ö  

È  ¾   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ ¬ Ò Ñ Ó ×    

· 

È 

Ö Ñ Ü        ́  

¼ 

É 

µ   É  ¾   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ  É     È        ́  

È 

µ      ̧

 

 

È 

Ö Ñ Ò        ́  

¼ 

É 

µ   É  ¾   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ  É     È        ́  

È 

µ     º Ä Ù Ó  

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

   ́  

¼ 

É 

µ        ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ 

  

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

 

   ́  

· 

È 

µ        ́  

 

È 

µ 

¡ 

Π  ́ É  µ 

 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

 

   ́  

· 

È 

µ        ́  

 

È 

µ 

¡ 

Π  ́ È  µ 

  Ë   ́    ́  

· 

É 

µ 

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë   ́    ́  

 

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ 

¯  

¤ 

È Ó × Ø Ö Ó Ö Ñ Ò Ø ´ Ø Ó Ö Ñ º ½ ½ µ Ô Ö Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ø Ó Ù Ò  Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ó ¹  

Ö Ù Ò Ö Ø   Ò Ù Ð Ó × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò Ð º Ò Ö Ð Ð Ó Ô Ö Ó Ö ¹  

Ñ Ó × Ô Ö Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ñ Ù Ó Ñ   × Ò Ö Ð × Õ Ù Ö Ø   Ò Ù Ð Ó × ¸ Ð Ð Ñ Ó × Ó Ñ ¹  

Ô Ø Ó × º × Ø Ô Ö Ó Ô × Ù Ø Ð Þ Ò Ð Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ô Ó × ¹  

 Ó Ò º 

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º ¿   Ë   Ê     Á Ê 

¾ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê  º Ë     × Ó Ò Ø Ò Ù Ò  

Ê  Ò Ø Ó Ò ×     × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  º 

Ñ Ó × Ø Ö  

 

Ó Ò º  Ó Ñ Ó   Ê  × Ó Ñ Ô Ø Ó Ý     × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê  × Ø Ò  

Õ Ù     × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê  º Ä Ù Ó ¸ Ô Ö   ¯   ¼ Ö Ø Ö Ö Ó ¸ ´      

¼ µ  ́

  Ü Ý 

¾  Ê  µ 

  Ü     Ý        µ   

¬ 

¬ 

   ́ Ü  µ        ́ Ý  µ 

¬ 

¬ 

¯  

Ê Ù Ö Ö Ö Ñ Ó × Ð Ð Ñ ¿ º ½ º Ë   Ñ 

¼ 

¾   Á Æ  Ø Ð Õ Ù ´     È  ¾   È 

Ñ 

¼ 

µ  ́    Ü Ý  ¾   È  µ    Ü    

Ý      º Ë   Ñ     Ñ 

¼ 

 ̧   ¾   Á Æ  º Ë Ò ´   

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

¸  ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð Ó Ò × º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 76/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

È Ó Ö Ð Ù Ò Ó Ö Ñ Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ò Õ Ù  

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

   ́  

¼ 

É 

µ 

     ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ 

  ¯ Π  ́ Ê  µ 

¤ 

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º   Ë   Ê     Á Ê 

¾ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ò Ø ¹  

Ö Ð × ¸     ¾   Á Ê  º Ò Ø Ó Ò ×  

½ º ´ Ð Ò Ð µ     ·    × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  Ý 

  

Ê 

  ·     

  

Ê 

  ·   

  

Ê 

 

¾ º ´ Ñ Ó Ò Ó Ø Ó Ò µ ×    ́    Ü  ¾   Ê  µ     ́ Ü  µ        ́ Ü  µ  ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

  

Ê 

    

  

Ê 

 

¿ º        × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  Ý 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

Ê 

 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

  

Ê 

       

Ñ Ó × Ø Ö  

 

Ó Ò º 

½ º Ë   ¯   ¼ Ö Ø Ö Ö Ó º Ë   Ñ 

¼ 

¾   Á Æ  Ø Ð Õ Ù ´     Ñ     Ñ 

¼ 

µ  ́     ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ    

  

Ê 

 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

 ̄

Ý 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ    

  

Ê 

 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

¯  

È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ × Ø Ò  

Ë   ́   ·     ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ   Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ ·  Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ   

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 77/164

¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ   Á Ê 

¾ 

 

× ¸  

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́   ·     ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ      ́

  

Ê 

  ·   

  

Ê 

  µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ    

  

Ê 

 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

·       

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ    

  

Ê 

 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

 

½ ·       

¡ 

¯  

Ä Ù Ó ¸ Ô Ó Ö ¬ Ò  Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò ¸ × Ó Ò Ð Ù Ý º  

¾ º × Ö Ø Ó Ó Ò × Ö Ö Õ Ù Ò × Ø × Ó × Ù Ñ Ô Ð Õ Ù  

  Ñ 

¾  Á Æ   ̧

    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ 

Ý Ô Ð Ö Ð ¬ Ò  Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò º  

¿ º Î Ñ Ó × Õ Ù         × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  Ô Ó Ö Ñ Ó Ð Ð Ñ ¿ º ½ º  

Ò Ø Ó ¸ ×   ¯   ¼ º Ó Ñ Ó     × Ò Ø Ö Ð ¸ Ô Ó Ö Ð Ñ × Ñ Ó Ð Ñ ´     Ñ 

¼ 

¾  

Á Æ  µ  ́      ¾   Á Æ  µ  ́    Ñ     Ñ 

¼ 

µ  ́     ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

   ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò µ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

   ́  

¼ 

É 

µ        ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ  ¯  

Ä Ù Ó ¸ × Ò     ¾   Á Æ   ̧ Ñ     Ñ 

¼ 

º Ë × Õ Ù ´     Ü Ý  ¾   Á Ê  µ 

¬ 

¬ 

  Ü    Ý   

¬ 

¬ 

  Ü     Ý     

×  

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

       ́  

¼ 

É 

µ         ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ 

  

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

   ́  

¼ 

É 

µ        ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ 

   ¯  

Ò Ó Ò Ð Ù ×  Ó Ò  ̧       × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  º Ò Ð Ñ Ò Ø ¸ × Ø Ò  

              

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 78/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

Õ Ù ¸ Ó Ò Ð Ô Ö Ø Ò Ø Ö Ó Ö ¸ Ñ Ô Ð Õ Ù  

  

  

Ê 

      

  

Ê 

    

  

Ê 

       

× Ö  

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

Ê 

 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

  

Ê 

       

¤ 

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º   Ë   Ê 

  Á Ê 

¾ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê 

   Á Ê  º Ë     × Ò Ø Ö Ð Ò  

Ê  Ò Ø Ó Ò ×  

Π  ́ Ê  µ Ò  

Ü  ¾  Ê 

   ́ Ü  µ    

  

Ê 

     Π  ́ Ê  µ × Ù Ô  

Ü  ¾  Ê 

   ́ Ü  µ   

Ñ Ó × Ø Ö  

 

Ó Ò º  × Ø Ò Ó Ø Ö Õ Ù      Ñ  ¾   Á Æ   ̧     ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò 

Π  ́ Ê  µ Ò  

Ü  ¾  Ê 

   ́ Ü  µ     Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Π  ́ Ê  µ × Ù Ô  

Ü  ¾  Ê 

   ́ Ü  µ   

¤ 

¿ º ¾ º ¿ Á Ò Ø Ö  Ó Ò × Ù × Ó Ò × Ù Ò Ó Ò ×  

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º   Ë   Ê     Á Ê 

¾ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸    ́  

 

µ 

  ¾  Á Æ 

× Ù ×  Ó Ò Ù Ò Ó Ò × ¸  

 

 

  Ê      Á Ê  ¸ Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ò   Ê        Ê      Á Ê  º Ò Ø Ó Ò ×    

× Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  Ý 

  

Ê 

  Ð Ñ  

  ½ 

  

Ê 

 

 

 

Ñ Ó × Ø Ö  

 

Ó Ò º  Î Ñ Ó × Õ Ù     × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  Ô Ó Ö Ñ Ó Ð Ð Ñ  

¿ º ½ º Ë   ¯   ¼ º Ë    

¼ 

¾   Á Æ  Ø Ð Õ Ù  

× Ù Ô 

Ü  ¾  Ê 

¬ 

¬ 

   ́ Ü  µ      

 

¼ 

 ́ Ü  µ 

¬ 

¬ 

¯   ´ ¿ º ½ µ  

Ù Ö Ó Ð Ð Ñ ¿ º ½ ¸ ×   Ñ 

¼ 

¾   Á Æ  Ø Ð Õ Ù ´       ¾   Á Æ  µ  ́    Ñ     Ñ 

¼ 

µ  ́     ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

 

 ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò µ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

 

 

¼ 

 ́  

¼ 

É 

µ      

 

¼ 

 ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ  ¯   ´ ¿ º ¾ µ  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 79/164

¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ   Á Ê 

¾ 

 

Ù Ö ¿ º ¿ Ñ Ô Ð Ó Õ Ù   Π  ́ Ê  µ Ò  

Ü  ¾  Ê 

   ́ Ü  µ 

  

Ê 

Ê 

 

Ä Ù Ó ¸ × Ò     ¾   Á Æ   ̧ Ñ     Ñ 

¼ 

º È Ó Ö Ð × Ù Ð Ø Ö Ò Ù Ð Ö × Ø Ò Õ Ù  

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

   ́  

¼ 

É 

µ        ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ 

  

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

   ́  

¼ 

É 

µ      

 

¼ 

 ́  

¼ 

É 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ 

· 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

 

 

¼ 

 ́  

¼ 

É 

µ      

 

¼ 

 ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ 

· 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

 

 

¼ 

 ́  

È 

µ        ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ 

Ý Ô Ð Ò Ó ¿ º ½ Ý ¿ º ¾ × Ó Ø Ò  

    ̄

 

¾  Π  ́ Ê  µ · ½ 

¡ 

 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 80/164

¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

Ò Ó Ò Ð Ù ×  Ó Ò  ̧   × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  º È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ Ô Ó Ö Ð Ô Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º  

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

Ê 

 

 

  

  

Ê 

 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

Ê 

 ́  

 

     µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

  

Ê 

   

 

      

   Π  ́ Ê  µ × Ù Ô  

Ü  ¾  Ê 

   

 

 ́ Ü  µ        ́ Ü  µ     

Ð Ó Ù Ð Ñ Ô Ð Õ Ù  

  

Ê 

  Ð Ñ  

  ½ 

  

Ê 

 

 

 

¤ 

Ñ Ô Ð Ó ¿ º ¾   Í Ò × Ù ×  Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ò Ø Ö Ð × Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ô Ù Ò Ø Ù Ð ¹  

Ñ Ò Ø Ù Ò Ð Ñ Ø Õ Ù Ò Ó Ð Ó × º Ë Ð Ò Ù Ñ Ö  Ó Ò     Õ 

¼ 

Õ 

½ 

    ¼    ½      É Á   ̧

×   Á  ¼    ½   Ý Ð × Ù Ò Ó Ò ×    

Ò 

  Á      Á Ê  × Ô Ó Ö  

 

Ò 

 ́ Ü  µ  

 ́

½  ́ Ü Ý  µ  ¾    Õ 

½ 

Õ  

Ò 

    

¼  ́ Ü Ý  µ   ¾    Õ 

½ 

Õ  

Ò 

    

   ́ Ü  µ  

 ́

½  ́ Ü Ý  µ  ¾   ¼    ½      É Á  

¼  ́ Ü Ý  µ   ¾   ¼    ½      É Á  

Ò  Á  ¸ × Ø Ò Õ Ù    

Ò 

Ó Ò Ú Ö     Ô Ù Ò Ø Ù Ð Ñ Ò Ø ´ Ô Ö Ó Ò Ó Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø µ Ý  

   

Ò 

× Ò Ø Ö Ð ¸ Ô Ö Ó     Ò Ó × Ò Ø Ö Ð º  

¿ º ¾ º Ü Ø Ò ×  Ó Ò Ð Ð × Ù Ò Ó Ò × Ò Ø Ö Ð ×  

 Ù Ò Ù Ò Ó Ð Ð × Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × × Ñ Ù Ý Ñ Ô Ð ¸ Ø Ó Ú Ò Ó ×  

× Ù ¬ Ò Ø Ô Ö Ñ Ù × Ô Ð Ó Ò × º × ¸ Ó Ò Ø Ò Ù  Ó Ò Ú Ö Ñ Ó × Ù Ò Ó Ò ¹  

 Ó Ò × Ù ¬ Ò Ø Ò Ø Ö Ð Ù Ò Ô Ó Ó Ñ   × Ð Õ Ù Ð Ó Ò Ø Ò Ù ¸ × Ø Ó  

× ¸ Õ Ù Ù Ò Ù Ò  Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ð Ú Ó × Ó Ö Ð Ù Ò  Ó Ò Ö Ó × Ù Ò Ó Ò ×  

Ó Ò Ø Ò Ù × º  

Ê Ó Ö Ö Õ Ù Ð Ö Ó Ù Ò Ù Ò  Ó Ò              Á Ê  × 

Ö Ó ´    µ  

 ̈

 ́ Ü    ́ Ü  µ µ  ¾   Á Ê 

¾ 

  Ü  ¾        

© 

 

Á Ò Ø Ù Ø Ú Ñ Ò Ø ¸ Ð Ð Ñ × Ù Ò Ø Ò Ó × Õ Ù Ð Ö Ó Ù Ò Ù Ò  Ó Ò 

Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ò Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ö Ó º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 81/164

¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ   Á Ê 

¾ 

½ 

Ä Ñ ¿ º ¾   Ë                     Ó Ò Ø Ò Ù º Ò Ó Ø Ñ Ó ×   Ê        ¢         º 

Ò Ø Ó Ò ×  

Ð Ñ 

Ñ  ½ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

È    Ö Ó ´    µ     

Π  ́ È  µ ¼ 

Ñ Ó × Ø Ö  

 

Ó Ò º  Ë   ¯   ¼ º Ó Ñ Ó     Ó Ò Ø Ò Ù Ò     Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ ×  

Ø Ò Õ Ù     × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò     ´ Ø Ó Ö Ñ º ½ ½ µ º Ä Ù Ó ´      

¼ µ  ́    Ü Ý  ¾       µ 

  Ü     Ý      µ   

¬ 

¬ 

   ́ Ü  µ        ́ Ý  µ 

¬ 

¬ 

¯  

× ¸ × Ó Ñ Ó ×   Ñ 

¼ 

¾   Á Æ  Ø Ð Õ Ù ´         µ  ́        µ  Ñ 

¼ 

    ̄ Ý 

 ́        µ  Ñ 

¼ 

  ´ ¿ º ¿ µ  

Ò Ø Ó Ò × ¸ × Ù Ñ Ô Ð Õ Ù ´     Ñ     Ñ 

¼ 

µ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

È    Ö Ó ´     µ     

Π  ́ È  µ  

 ́        µ  ́        µ 

Ñ 

¾ 

¬ 

¬ 

   È  ¾   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ   È     Ö Ó ´    µ      

¬ 

¬ 

 

Ö × Ð Ù Ò Ó Ö Ñ Ó Ò Ø Ò Ù Ý ¿ º ¿  

¬ 

¬ 

   È  ¾   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ   È     Ö Ó ´    µ      

¬ 

¬ 

   Ñ   ́

 ̄

 ́        µ  Ñ 

· ½ µ   

× ¸      Ñ     Ñ 

¼ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

È    Ö Ó ´    µ     

Π  ́ È  µ    

 ́        µ  ́        µ 

Ñ 

¾ 

Ñ   ́

 ̄

 ́  

    µ  Ñ 

· ½ µ 

   ̄  ́        µ · 

 ́        µ  ́        µ 

Ñ 

    ̄  ́        · ½ µ   

¤ 

È Ö        Á Ê 

Æ 

Ó Ø Ó ¸ × ¬ Ò Ð   Ñ Ø Ö Ó     Ó Ñ Ó  

Ñ ´    µ × Ù Ô  

Ü Ý  ¾   

  Ü     Ý     

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 82/164

¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

   ́

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ́ 

 ̈ 

 ̈ 

 ̈ 

 ̈ 

 ̈ 

 ̈ 

 ̈ 

 ̈ 

 

Ñ ´    µ     Ü     Ý    Ý Ü 

Ù Ö ¿ º   Ñ Ø Ö Ó Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó    

  Á Ê 

¾ 

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º   Ë   Ê        ¢            Á Ê 

¾ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê 

Ó Ø Ò   Ê  Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê  Ò   Ö Ó ´    µ  ¸ Ó Ò                     × Ù Ò  

  Ù Ò  Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù º Ò Ø Ó Ò ×     × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  º 

Ñ Ó × Ø Ö  

 

Ó Ò º  Ë   à ¾   Á Ê  Ø Ð Õ Ù ´     Ü  ¾   Ê  µ 

¬ 

¬ 

   ́ Ü  µ 

¬ 

¬ 

  Ã   ´ ¿ º µ  

Ê Ù Ö Ö Ö Ñ Ó × Ð Ð Ñ ¿ º ½ º Ë   ¯   ¼ Ö Ø Ö Ö Ó º Ù Ö Ó Ð Ð Ñ ¿ º ¾ ¸ ×  

Ñ 

¼ 

¾   Á Æ  Ø Ð Õ Ù ´     Ñ     Ñ 

¼ 

µ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

È    Ö Ó ´    µ     

Π  ́ È  µ     ¯   ´ ¿ º µ  

Ò Ó Ø Ñ Ó ×   È 

£ 

Ñ 

     È  ¾   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ   È     Ö Ó ´    µ       ̧ Ê 

£ 

Ñ 

 

Ë 

È  ¾  È 

£ 

Ñ 

È  º Ó Ñ Ó  

Ê 

£ 

Ñ 

¼ 

× Ó Ñ Ô Ø Ó Ý     × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê 

£ 

Ñ 

¼ 

× Ø Ò Õ Ù     × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø  

Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê 

£ 

Ñ 

¼ 

º Ä Ù Ó ´       ¼ µ  ́    Ü Ý  ¾   Ê 

£ 

Ñ 

¼ 

µ 

  Ü     Ý        µ      ́ Ü  µ        ́ Ý  µ    ¯   ´ ¿ º µ  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 83/164

¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ   Á Ê 

¾ 

¿ 

Ë   Ñ 

½ 

   Ñ 

¼ 

Ø Ð Õ Ù ´     È  ¾   È 

Ñ 

½ 

 ́ Ê  µ µ Ñ ´  È  µ    º Ë   Ñ     Ñ 

½ 

 ̧   ¾   Á Æ  º 

Ë Ò ´   

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

¸  ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð Ó Ò × º ×  

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

   ́  

¼ 

É 

µ        ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ 

 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

È    Ê 

£ 

Ñ 

¼ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

   ́  

¼ 

É 

µ        ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ 

· 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

È  ¶  Ê 

£ 

Ñ 

¼ 

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

É    È 

¬ 

¬ 

   ́  

¼ 

É 

µ        ́  

È 

µ 

¬ 

¬ 

Π  ́ É  µ 

Õ Ù ¸ Ó Ò ¿ º Ý ¿ º ¸ Ñ Ô Ð Õ Ù  

   ¯ Π  ́ Ê  µ · ¾  à

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

È  ¶  Ê 

£ 

Ñ 

¼ 

Π  ́ È  µ 

Ý Ó Ò ¿ º Ö × Ù Ð Ø  

   ¯ Π  ́ Ê  µ ·   ̄ ½   à  

¤ 

Ó Ö Ó Ð Ö Ó ¿ º ½   Ë   Ê       

¢       

  Á Ê 

¾ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê 

   Á Ê  Ó Ø  

Ò  Ê  Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê 

Ò  

Ë 

Ò 

  ½ 

Ö Ó ´   

 

µ  ¸ Ó Ò    

 

     

         × Ó Ò Ø Ò Ù º  

Ò Ø Ó Ò ×     × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  º 

¿ º ¾ º Ì Ó Ö Ñ Ù Ò  

Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ Ü Ô Ö × Ð Ò Ø Ö Ð Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ò ¾ Ú Ö Ð × Ó Ñ Ó  

Ð Ô Ð  Ó Ò Ø Ö ¾ Ò Ø Ö Ð × Ò Ù Ò Ú Ö Ð Ó Ô  Ó Ø × × Ñ Ò Ñ × Ý  

Ô Ö Ñ Ø × Ó Ö Ö Ø Ö Ö Ñ Ò Ø Ð Ó Ö Ò × Ø × Ò Ø Ö Ð × Ò Ù Ò Ú Ö Ð  

Ù Ò Ó Ð Ù Ò  Ó Ò Ò Ø Ö Ö × Ó Ò Ø Ò Ù º  

Ä Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ð Ö Ñ Ó × Ò Ð ×  Ó Ò ¿ º ¿ Ò   Á Ê 

Æ 

º 

Ì Ó Ö Ñ ¿ º ½   Ë   Ê        ¢            Á Ê 

¾ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê  º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 84/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

½ º Ë    Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  Ý   ́    Ü  ¾       µ     ́ Ü   ¡  µ  Ò Ø Ö Ð Ò         ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

  

Ê 

   

  

 

 

 

  

 

 

   ́ Ü Ý  µ  Ý 

¡ 

Ü  

¾ º Ë    Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê  ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

  

Ê 

   

  

 

 

 

  

 

 

   ́ Ü Ý  µ  Ý 

¡ 

Ü   

  

 

 

 

  

 

 

   ́ Ü Ý  µ  Ü 

¡ 

Ý  

Ñ Ô Ð Ó ¿ º ¿   È Ö   Ê  ¼    ½  

¢   ¼    ½   ¸ Ð Ù Ð Ö  

  

Ê 

Ü 

¾ 

·  Ý 

Ë Ó Ð Ù  

 

Ó Ò º  È Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ù Ò ¸ × Ó Ó Ò Ø Ò Ù Ó ¸ × Ø Ò Õ Ù  

  

Ê 

Ü 

¾ 

·  Ý   

  

½ 

¼ 

 

  

½ 

¼ 

Ü 

¾ 

·  Ý Ý 

¡ 

Ü 

 

  

½ 

¼ 

 

Ü 

¾ 

Ý  · 

Ý 

¾ 

¾ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

½ 

Ý  ¼ 

¡ 

Ü 

 

  

½ 

¼ 

Ü 

¾ 

· 

½ 

¾ 

Ü 

 

Ü 

¿ 

¿ 

· 

Ü 

¾ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

½ 

¼ 

 

 

 

£ 

Ñ Ô Ð Ó ¿ º   Î Ñ Ó × Ù Ò × Ó Ò Ð Õ Ù Ð × Ò Ø Ö Ð × Ø Ö × Ü × Ø Ò Ý × Ó Ò  

Ù Ð × ¸ Ô Ö Ó Ð Ù Ò  Ó Ò Ò Ó × Ò Ø Ö Ð º  

Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù Ö Ó Ù Ò Ø Ö Ó   Ê  ¼    ½  

¾ 

   Á Ê 

¾ 

Ý Ð × Ù ×  Ó Ò  

Ù Ö Ó × ´  Ê 

 

µ 

  ¾  Á Æ 

Ó Ò Ø Ò Ó × Ò Ð Ô Ó Ö Ð ¬ Ù Ö ¿ º ¾ º º Ú Ñ Ó ×  

  Ê 

 

Ò Ù Ö Ó × Ù Ð ×   Ê 

´ ½ µ 

 

Ê 

´ ¾ µ 

 

Ê 

´ ¿ µ 

 

Ê 

´ µ 

 

º ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò  Ó Ò 

    Ê      Á Ê  Ô Ó Ö  

   ́ Ü Ý  µ  

 

 

 

 

 

½ 

Π  ́ Ê 

 

µ 

×  ́ Ü Ý  µ  ¾   Ò Ø  Ê 

´ ½ µ 

 

   Ò Ø  Ê 

´ ¿ µ 

 

  

½ 

Π  ́ Ê 

 

µ 

×  ́ Ü Ý  µ  ¾   Ò Ø  Ê 

´ ¾ µ 

 

   Ò Ø  Ê 

´ µ 

 

¼ Ò Ó Ø Ö Ó × Ó   

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 85/164

¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ   Á Ê 

¾ 

 

Ê 

¿ 

¹ 

 

Ê 

½ 

Ê 

¾ 

Ê 

Ê 

´ µ 

½ 

Ê 

´ ½ µ 

½ 

Ê 

´ ¾ µ 

½ 

Ê 

´ ¿ µ 

½ 

Ê 

´ µ 

¾ 

Ê 

´ ½ µ 

¾ 

Ê 

´ ¾ µ 

¾ 

Ê 

´ ¿ µ 

¾ 

Ù Ö ¿ º Ð Ó Ñ Ò Ó Ð Ñ Ô Ð Ó ¿ º  

È Ö   Ý  ¾   ¼    ½ × Ð Ö Ó Õ Ù  

  

½ 

¼ 

   ́ Ü Ý  µ  Ü  ¼ 

Ý Ò   Ð Ó Ñ Ò Ø Ô Ö   Ü  ¾   ¼    ½  

  

½ 

¼ 

   ́ Ü Ý  µ  Ý  ¼ 

Ä Ù Ó ¸ Ð × Ò Ø Ö Ð × Ø Ö × × Ó Ò Ñ × Ò Ù Ð × ¸ × Ø Ó ×  

  

½ 

¼ 

  

½ 

¼ 

   ́ Ü Ý  µ  Ý Ü    

  

½ 

¼ 

  

½ 

¼ 

   ́ Ü Ý  µ  Ü Ý   ¼   

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 86/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

Ù Ö ¿ º Ä Ù Ò  Ó Ò Ð Ñ Ô Ð Ó ¿ º  

È Ö Ó Ò Ú Ò Ö Ò Ó × Õ Ù     Ò Ó × Ò Ø Ö Ð ¸ × × Ù ¬ Ò Ø Ú Ö Õ Ù         Ò Ó ×  

Ò Ø Ö Ð º Ò Ø Ó ¸         × Ø   Ô Ó Ö  

       ́ Ü Ý  µ  

 ́

½ 

Π  ́ Ê 

 

µ 

×  ́ Ü Ý  µ  ¾   Ê 

 

¼ Ò Ó Ø Ö Ó × Ó  

Ë         Ù Ö Ò Ø Ö Ð ¸ Ó Ñ Ó Ð Ó ×   Ê 

 

× Ó Ò × Ù Ò Ø Ó × ¸ × Ø Ò Ö Õ Ù  

  

Ê 

       

  

  ¾  Á Æ 

  

Ê 

 

       

Ô Ö Ó  

  

Ê 

 

      ½ 

Ó Ò Ð Ó Õ Ù         Ò Ó Ô Ù × Ö Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  º 

¿ º ¾ º Á Ò Ø Ö Ð Ò   Á Ê 

¾ 

× Ó Ö Ó Ñ Ò Ó × Ò Ö Ð ×  

Ó Ò Ø Ò Ù  Ó Ò Ü Ø Ò Ö Ñ Ó × Ð ¬ Ò  Ó Ò Ò Ø Ö Ð Ô Ö Ó Ò × Ö Ö Ð Ò ¹  

Ø Ö  Ó Ò Ù Ò Ó Ò × × Ó Ö Ð Ù Ò Ó × Ó Ñ Ò Ó × Ù Ò Ø Ò Ø Ó Ñ   × Ò Ö Ð × Õ Ù  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 87/164

¿ º ¾ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ   Á Ê 

¾ 

 

Ð Ó × Ö Ø   Ò Ù Ð Ó × º  

¬ Ò  Ó Ò ¿ º ¿   Ë   Ê     Á Ê 

¾ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸        Ê   ̧           Á Ê  º Ò Ó Ø Ñ Ó ×  

 

¼ 

  Ê      Á Ê  Ð Ù Ò  Ó Ò Ô Ó Ö ¸ Ô Ö   Ü  ¾   Ê   

 

¼ 

 ́ Ü  µ  

 ́

   ́ Ü  µ  Ü  ¾    

¼  Ü  

¾    

Ë    

¼ 

× Ò Ø Ö Ð × Ó Ö   Ê  Ò Ø Ó Ò × × Õ Ù     × Ò Ø Ö Ð × Ó Ö     Ý  

  

 

   

  

Ê 

 

¼ 

 

¬ Ò  Ó Ò ¿ º   Ñ Ó × Õ Ù        Á Ê 

¾ 

× 

 ̄  Ø Ô Ó ½ × Ý ×  Ó Ð Ó ×        ¾   Á Ê   ̧     

½ 

 

¾ 

          Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù ×  

Ø Ð × Õ Ù    ́    Ü  ¾       µ   

½ 

 ́ Ü  µ      

¾ 

 ́ Ü  µ  Ý 

        ́ Ü Ý  µ  ¾   Á Ê 

¾ 

       Ü      

½ 

 ́ Ü  µ     Ý      

¾ 

 ́ Ü  µ      

 ̄  Ø Ô Ó ¾ × Ý ×  Ó Ð Ó ×  

    

¾  Á Ê   ̧

   

½ 

 

¾ 

     

   Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù ×  

Ø Ð × Õ Ù    ́    Ü  ¾       µ   

½ 

 ́ Ü  µ      

¾ 

 ́ Ü  µ  Ý 

   

   ́ Ü Ý  µ 

¾  Á Ê 

¾ 

   

  Ý 

    

½ 

 ́ Ý  µ 

  Ü 

   

¾ 

 ́ Ý  µ 

   

 ̄  Ø Ô Ó ¿ × Ý ×  Ó Ð Ó ×     × Ø Ô Ó ½ Ý ¾ ¸  

 ̄  Ð Ñ Ò Ø Ð × Ý ×  Ó Ð Ó ×     × Ø Ô Ó ½  Ó ¾ º 

Ë   Ê     Á Ê 

¾ 

× Ù Ò Ö Ø   Ò Ù Ð Ó Ý        Ê  × Ù Ò Ö  Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ð Ò Ø Ó Ò ×  

 

¼ 

´ Ô Ó Ö Ð ¬ Ò  Ó Ò ¿ º ¿ µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê  × Ð Ú Ó × Ó Ö Ð Ù Ò  Ó Ò ¬ Ò Ø  

Ö Ó × Ù Ò Ó Ò × º Ä Ù Ó  

Ê 

 

  Ü × Ø º  

Ò Ò Ö Ð ¸ × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò Ù Ò  Ó Ò           Ê      Á Ê  Ó Ò  Ê 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó Ý     Ó Ñ Ò Ó Ð Ø Ô Ó ½ ¸ Ñ Ó ×  

        ́ Ü Ý  µ  ¾   Á Ê 

¾ 

       Ü      

½ 

 ́ Ü  µ     Ý      

¾ 

 ́ Ü  µ      

Ó Ò    ¾   Á Ê   ̧  

½ 

 

¾ 

          Á Ê  Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × º Ò Ø Ó Ò × ¸ Ö × Ð  

Ø Ó Ö Ñ Ù Ò ´ Ø Ó Ö Ñ ¿ º ½ µ ¸ × Ø Ò Õ Ù  

  

 

   

  

 

 

  

 

¾ 

 ́ Ü  µ 

 

½ 

 ́ Ü  µ 

   ́ Ü Ý  µ  Ý Ü  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 88/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

Ù Ö ¿ º Ó Ñ Ò Ó Ð Ø Ô Ó ½ Õ Ù Ò Ó × Ð Ø Ô Ó ¾ Ý Ó Ñ Ò Ó Ð Ø Ô Ó ¿  

Ñ Ô Ð Ó ¿ º   Ð Ù Ð Ö  

  

Ì 

 ́ Ü 

¿ 

Ý  · Ó ×  Ü  µ  Ý Ü  

Ó Ò  

Ì   

   ́ Ü Ý  µ 

¾  Á Ê 

¾ 

¼ 

  Ü 

     ¾    ¼ 

  Ý 

  Ü 

   

Ë Ó Ð Ù  

 

Ó Ò º  Æ Ó Ø Ö Õ Ù   Ì  × Ù Ò Ö  Ó Ò Ð Ø Ô Ó ½ º È Ó Ö ¬ Ò  Ó Ò × Ø Ò  

Õ Ù  

  

Ì 

 ́ Ü 

¿ 

Ý  · Ó ×  Ü  µ  Ý Ü    

  

¼    ¾  

¾ 

½ 

Ì 

 ́ Ü 

¿ 

Ý  · Ó ×  Ü  µ  Ý Ü  

Ý ¸ Ò Ú Ö Ø Ù Ð Ø Ó Ö Ñ Ù Ò  

 

  

  ¾ 

¼ 

  

  ¾ 

¼ 

½ 

Ì 

 ́ Ü 

¿ 

Ý  · Ó ×  Ü  µ  Ý Ü  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 89/164

¿ º ¿ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ   Á Ê 

Æ 

 

Å   ×  Ù Ò ¸ Ó Ò Ð ¬ Ò  Ó Ò   Ì   

 

  

  ¾ 

¼ 

  

Ü 

¼ 

 ́ Ü 

¿ 

Ý  · Ó ×  Ü  µ  Ý Ü  

 

  

  ¾ 

¼ 

 ́

Ü 

¿ 

Ý 

¾ 

¾ 

·  Ý  Ó ×  Ü  µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

Ü 

Ý  ¼ 

Ü 

 

  

  ¾ 

¼ 

Ü 

 

¾ 

·  Ü  Ó ×  Ü Ü 

 ́

Ü 

 

½ ¾ 

· Ó ×  Ü  ·  Ü  × Ò  Ü  µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  ¾ 

¼ 

 

 

 

 

· 

 

¾ 

   ½   

£ 

¿ º ¿ Á Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò Ò      Á Ê 

Æ 

Ä × Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò × Õ Ù Ò Ó × Ò Ð Ù Ý Ò Ò × Ø ×  Ó Ò × Ó Ò Ò Ø × Ð ×  

× Ò Ð ×  Ó Ò ¿ º ¾ ¸ Ö Ð Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò Ò   Á Ê 

¾ 

º 

¿ º ¿ º ½ ¬ Ò Ó Ò ×  

Ê     Á Ê 

Æ 

× Ù Ò Ö Ø   Ò Ù Ð Ó × Ý ×  Ó Ð Ó ×   Ê     

½ 

 

½ 

  ¢ ¡ ¡ ¡ ¢       

Ò 

 

Ò 

Ó Ò    

 

 

 

¾   Á Ê  º 

È Ö Ù Ò Ö Ø   Ò Ù Ð Ó   Ê     

½ 

 

½ 

  ¢ ¡ ¡ ¡ ¢       

Ò 

 

Ò 

× ¬ Ò × Ù Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ó Ñ Ó  

Π  ́ Ê  µ  

Ò 

  

  ½ 

 

 

    

 

 

È Ö   Ñ  ¾   Á Æ  ¸ Ð   Ñ  ¹ Õ Ù Ô Ö Ø  Ó Ò Ð Ö Ø   Ò Ù Ð Ó   Ê     

½ 

 

½ 

  ¢ ¡ ¡ ¡ ¢       

Ò 

 

Ò 

 

×     Á 

½ 

¢ ¡ ¡ ¡ ¢    Á 

Ò 

  Á 

 

¾   È 

 

  ½  Ò      Ó Ò  È 

 

Ñ  ¹ Õ Ù Ô Ö Ø  Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ú Ð Ó  

   

 

 

 

    ½  Ò   º Ä Ò Ó Ø Ö Ñ Ó ×   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ º 

Ó Ù Ò Ö Ø   Ò Ù Ð Ó   Ê     Á Ê 

Æ 

Ý  Ñ  ¾   Á Æ  ¸ Ñ Ó × Õ Ù ´   

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ù Ò  

× Ð  Ó Ò ´ Ô Ö   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ µ × ´     È  ¾   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ µ   

È 

¾   È  º 

Æ Ó Ø Ö Õ Ù Ð Ñ Ò Ø Ó Ù Ò   Ñ  ¹ Õ Ù Ô Ö Ø  Ó Ò × Ù Ò Ö Ø   Ò Ù Ð Ó Ý Õ Ù  

Ù Ò   Ñ  ¹ Õ Ù Ô Ö Ø  Ó Ò × ¬ Ò Ø ¸ Ð Ù Ó Ð × Ù Ò Ø ¬ Ò  Ó Ò Ø Ò × Ò Ø Ó  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 90/164

¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

¬ Ò  Ó Ò ¿ º   Ë   Ñ  ¾   Á Æ   ̧ Ê     Á Ê 

Æ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê  Ý Ù Ò × Ð ¹  

 Ó Ò   ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

º Ë ¬ Ò Ð × Ù Ñ Ê Ñ Ò Ò × Ó     Ý   ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

Ó Ñ Ó  

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ  

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

   ́  

È 

µ  Π  ́ È  µ   

¬ Ò  Ó Ò ¿ º   Ë   Ê     Á Ê 

Æ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê  º Ñ Ó × Õ Ù     × 

Ê Ñ Ò Ò Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  × Ý ×  Ó Ð Ó ×    ́    Ë  ¾   Á Ê  µ 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë 

¬ 

¬ 

¬ 

 ̄

Ô Ö Ø Ó Ð  Ó Ò Ð Ó ×    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

º 

Ë  × Ð Ð Ñ Ò Ø Ö Ð ´ Ê Ñ Ò Ò µ     × Ó Ö   Ê  Ý × Ò Ó Ø  

  

Ê 

 

Ä Ò Ø Ö Ð     Ø Ñ Ò × Ò Ó Ø  

  

Ê 

   ́ Ü  µ  Ü  

¿ º ¿ º ¾ È Ö Ó Ô × × ×  

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º   Ë   Ê     Á Ê 

Æ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê  º Ë     × Ò Ø Ö Ð  

Ò  Ê  Ò Ø Ó Ò ×     × Ó Ø Ò   Ê  º 

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º   Ë   Ê     Á Ê 

Æ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê  º Ë Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø ×  

¯    ¯   ¼       Ñ 

¼ 

¾   Á Æ      Ñ     Ñ 

¼ 

      ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò  ̧     ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

× Ð  Ó Ò 

¬ 

¬ 

¬ 

Ë   ́    ́  

¼ 

È 

µ 

È  ¾  È 

 

 ́ Ê  µ 

µ     Ë   ́    ́  

È 

µ 

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¯  

 ̄    × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  º 

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º ½ ¼   Ë   Ê     Á Ê 

Æ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê  º Ë     × Ó Ò Ø Ò Ù  

Ò  Ê  Ò Ø Ó Ò ×     × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 91/164

¿ º ¿ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ   Á Ê 

Æ 

½ 

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º ½ ½   Ë   Ê     Á Ê 

Æ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ò Ø ¹  

Ö Ð × ¸     ¾   Á Ê  º Ò Ø Ó Ò ×  

½ º ´ Ð Ò Ð µ     ·    × Ò Ø Ö Ð Ý  

  

Ê 

  ·     

  

Ê 

  ·   

  

 

¾ º ´ Ñ Ó Ò Ó Ø Ó Ò µ ×    ́    Ü  ¾   Ê  µ     ́ Ü  µ        ́ Ü  µ  Ò Ø Ó Ò ×  

  

Ê 

    

  

Ê 

 

¿ º        × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  Ý 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

Ê 

 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

  

Ê 

       

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º ½ ¾   Ë   Ê     Á Ê 

Æ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê  º Ë     × Ò Ø Ö Ð  

Ò  Ê  Ò Ø Ó Ò ×  

Π  ́ Ê  µ Ò  

Ü  ¾  Ê 

   ́ Ü  µ    

  

Ê 

     Π  ́ Ê  µ × Ù Ô  

Ü  ¾  Ê 

   ́ Ü  µ   

¿ º ¿ º ¿ Á Ò Ø Ö  Ó Ò × Ù × Ó Ò × Ù Ò Ó Ò ×  

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º ½ ¿   Ë   Ê     Á Ê 

Æ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸    ́  

 

µ 

  ¾  Á Æ 

× Ù ×  Ó Ò Ù Ò Ó Ò × ¸  

 

 

  Ê      Á Ê  ¸ Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ò   Ê        Ê      Á Ê  º Ò Ø Ó Ò ×    

× Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  Ý 

  

Ê 

  Ð Ñ  

  ½ 

  

Ê 

 

 

 

¿ º ¿ º Ü Ø Ò ×  Ó Ò Ð Ð × Ù Ò Ó Ò × Ò Ø Ö Ð ×  

Ê Ó Ö Ö Õ Ù Ð Ö Ó Ù Ò Ù Ò  Ó Ò           Á Ê 

Æ 

    Á Ê 

Å 

× 

Ö Ó ´     µ       ́ Ü    ́ Ü  µ µ  ¾   Á Ê 

Æ  ·  Å 

  Ü  ¾         

Ä Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ð × Ù Ò Ø Ð Ñ × Ò   Ð Ó Ð Ð Ð Ñ ¿ º ¾ º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 92/164

¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

Ä Ñ ¿ º ¿   Ë   Ê 

¼ 

   Á Ê 

Æ    ½ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê 

¼ 

          Ó Ò Ø Ò Ù º Ò Ó Ø Ñ Ó ×  

Ê    Ê 

¼ 

¢         º Ò Ø Ó Ò ×  

Ð Ñ 

Ñ  ½ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

È    Ö Ó ´    µ     

Π  ́ È  µ ¼ 

Ñ Ó × Ø Ö  

 

Ó Ò º  Ë   ¯   ¼ º Ó Ñ Ó     Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê 

¼ 

Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ × Ø Ò  

Õ Ù     × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê 

¼ 

º Ä Ù Ó ´       ¼ µ  ́    Ü Ý  ¾   Ê 

¼ 

µ 

  Ü     Ý      µ   

¬ 

¬ 

   ́ Ü  µ        ́ Ý  µ 

¬ 

¬ 

¯  

× ¸ × Ó Ñ Ó ×   Ñ 

¼ 

¾  Á Æ  Ø Ð Õ Ù   Π  ́ Ê  µ  Ñ 

¼ 

   ̄ Ý Ñ ´  È  µ    ¸ Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö  

È 

¾  È 

Ñ 

 ́ Ê 

¼ 

µ º Ò Ø Ó Ò × ¸ × Ù Ñ Ô Ð Õ Ù ´  

  Ñ 

  Ñ 

¼ 

µ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

È    Ö Ó ´     µ     

Π  ́ È  µ  

Π  ́ Ê  µ 

Ñ 

Æ 

¬ 

¬ 

   È  ¾   È 

Ñ 

 ́ Ê  µ   È     Ö Ó ´    µ      

¬ 

¬ 

  

Π  ́ Ê  µ 

Ñ 

Æ 

Ñ 

Æ    ½ 

 ́

 ̄

 ́        µ  Ñ 

· ½ µ 

  ¯ Π  ́ Ê 

¼ 

µ · 

Π  ́ Ê  µ 

Ñ 

    ̄  ́ Π  ́ Ê 

¼ 

µ · ½ µ   

¤ 

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º ½   Ë   Ê 

¼ 

  Á Ê 

Æ    ½ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸   Ê    Ê 

¼ 

¢       

  Á Ê 

Æ 

Ö ¹  

Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê  Ó Ø Ò   Ê  Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê  Ò   Ö Ó ´    µ  ¸ Ó Ò       Ê 

¼ 

   

      × Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù º Ò Ø Ó Ò ×     × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  º 

Ó Ö Ó Ð Ö Ó ¿ º ¾   Ë   Ê 

¼ 

   Á Ê 

Æ    ½ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸   Ê    Ê 

¼ 

¢            Á Ê 

Æ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸  

    Ê      Á Ê  Ó Ø Ò   Ê  Ý Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê  Ò  

Ë 

Ò 

  ½ 

Ö Ó ´   

 

µ  ¸ Ó Ò    

 

  Ê 

¼ 

   

      × Ó Ò Ø Ò Ù º Ò Ø Ó Ò ×     × Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  º 

¿ º ¿ º Ì Ó Ö Ñ Ù Ò  

Ä Ñ ¿ º   Ë   Ê     Á Ê 

Æ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó ¸       Ê      Á Ê   ̧ Ñ 

£ 

¾   Á Æ  º Ë     × Ò Ø Ö Ð  

Ò  Ê  Ò Ø Ó Ò ×  

  

Ë  ¾  È 

Ñ 

£ 

 ́ Ê  µ 

Π  ́ Ë  µ Ò  

Ü  ¾  Ë 

   ́ Ü  µ    

  

Ê 

    

  

Ë  ¾  È 

Ñ 

£ 

 ́ Ê  µ 

Π  ́ Ë  µ × Ù Ô  

Ü  ¾  Ë 

   ́ Ü  µ   

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 93/164

¿ º ¿ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ   Á Ê 

Æ 

¿ 

Ñ Ó × Ø Ö  

 

Ó Ò º  Ò Ø Ó ¸ × Ð Ö Ó Õ Ù      Ü  ¾   Ê 

  

Ë  ¾  È 

Ñ 

£ 

 ́ Ê  µ 

½ 

Ë 

 ́ Ü  µ Ò  

Ü  ¾  Ë 

   ́ Ü  µ        ́ Ü  µ    

  

Ë  ¾  È 

Ñ 

£ 

 ́ Ê  µ 

½ 

Ë 

 ́ Ü  µ × Ù Ô  

Ü  ¾  Ë 

   ́ Ü  µ   

Á Ò Ø Ö Ò Ó × Ó Ò Ð Ù Ý Ð × Ù Ð Ù × ¸ Ò Ó Ø Ò Ó Õ Ù Ô Ö   Ë  ¾   È 

Ñ 

£ 

 ́ Ê  µ 

× Ø Ò  

  

Ê 

½ 

Ë 

 

  

Ë 

½   Π  ́ Ë  µ   

¤ 

Ì Ó Ö Ñ ¿ º ¾   Ë Ò   Æ Å  ¾   Á Æ   ̧      Á Ê 

Æ 

 ̧      Á Ê 

Å 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó × ¸ Ò Ó Ø Ñ Ó ×  

Ê      ¢        Á Ê 

Æ  ·  Å 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó º Ë       Ê      Á Ê  º 

½ º Ë     Ò Ø Ö Ð Ò   Ê  Ý   ́    Ü  ¾     µ     ́ Ü   ¡  µ  Ò Ø Ö Ð Ò     ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

  

Ê 

   

  

 

 ́

  

 

   ́ Ü Ý  µ  Ý  µ  Ü  

¾ º Ë     Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê  ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

  

Ê 

   

  

 

 ́

  

 

   ́ Ü Ý  µ  Ý  µ  Ü   

  

 

 ́

  

 

   ́ Ü Ý  µ  Ü  µ  Ý  

Ñ Ó × Ø Ö  

 

Ó Ò º  Ä × Ù Ò Ô Ö Ø × Ó Ò × Ù Ò Ö Ø Ð Ô Ö Ñ Ö ¸  

Ò Ú Ö Ø Ù Ð Ô Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º ¿ º È Ö Ó Ñ Ó × Ð Ô Ö Ñ Ö Ô Ö Ø º  

¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò  Ó Ò  Á          Á Ê  Ô Ó Ö   Á   ́ Ü  µ  

Ê 

 

   ́ Ü Ý  µ  Ý  º Ä Ù Ó  

× Ø Ô Ö Ó Ö Õ Ù   Á  × Ò Ø Ö Ð Ò     Ý 

  

 

Á   

  

Ê 

 

Ò Ø Ó ¸ ×   ¯   ¼ Ö Ø Ö Ö Ó º È Ó Ö Ù Ò Ô Ö Ø ¸ Ô Ó Ö ¬ Ò  Ó Ò Ò Ø Ö ¹  

Ð ¸ ´     Ñ 

¼ 

¾   Á Æ  µ  ́    Ñ     Ñ 

¼ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

Ê 

    

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

   ́  

É 

µ  Π  ́ É  µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

 ̄ ´ ¿ º µ  

Ô Ö Ø Ó Ð  Ó Ò Ð Ó × ´   

É 

µ 

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 94/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ ×   Ñ     Ñ 

¼ 

¸  ́  

É 

 

µ 

É 

 

¾  È 

Ñ 

 ́   µ 

× Ð  Ó Ò Ö Ø Ö Ö º Æ Ó Ø Ö  

Õ Ù  

È 

Ñ 

 ́ Ê  µ  

 ̈

É 

 

¢  É 

 

  É 

 

¾  È 

Ñ 

 ́   µ  É 

 

¾  È 

Ñ 

 ́   µ 

© 

Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ð  Ó Ò  ́  

£ 

É 

µ 

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

Ô Ó Ö ´ Ô Ö   É 

 

¾   È 

Ñ 

 ́   µ  É 

 

¾  

È 

Ñ 

 ́   µ µ   

£ 

É 

 

¢  É 

 

 ́  

É 

 

Ý 

£ 

µ ¸ Ó Ò   Ý 

£ 

Ø Ð Õ Ù      ́  

£ 

É 

 

¢  É 

 

µ 

  × Ù Ô 

Ý  ¾  É 

 

   ́  

É 

 

Ý  µ 

  

 ̄ º × ¸ Ò Ú Ö Ø Ù Ð Ð Ñ ¿ º × Ø Ò Õ Ù  

  

É 

 

¾  È 

Ñ 

 ́   µ 

Á   ́  

É 

 

µ  Π  ́ É 

 

µ    

  

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

   ́  

£ 

É 

µ  Π  ́ É  µ 

  

  

É 

 

¾  È 

Ñ 

 ́   µ 

É 

 

¾  È 

Ñ 

 ́   µ 

× Ù Ô 

Ý  ¾  É 

 

   ́  

É 

 

Ý  µ  Π  ́ É 

 

µ  Π  ́ É 

 

µ 

  

  

É 

 

¾  È 

Ñ 

 ́   µ 

É 

 

¾  È 

Ñ 

 ́   µ 

   ́  

£ 

É 

 

¢  É 

 

µ  Π  ́ É 

 

µ  Π  ́ É 

 

µ 

 

  

É 

 

¾  È 

Ñ 

 ́   µ 

É 

 

¾  È 

Ñ 

 ́   µ 

 

× Ù Ô 

Ý  ¾  É 

 

   ́  

É 

 

Ý  µ        ́  

£ 

É 

 

¢  É 

 

µ 

¡ 

Π  ́ É 

 

µ  Π  ́ É 

 

µ 

   ¯ Π  ́ Ê  µ   

Ó Ñ Ò Ò Ó Ó Ò ¿ º × Ó Ø Ò  

  

É 

 

¾  È 

Ñ 

 ́   µ 

Á   ́  

É 

 

µ  Π  ́ É 

 

µ    

  

Ê 

      ̄

 

Π  ́ Ê  µ · ½ 

¡ 

 

× Ó Ò Ó ´   

£ 

É 

µ 

É  ¾  È 

Ñ 

 ́ Ê  µ 

Ø Ð Õ Ù      ́  

£ 

É 

 

¢  É 

 

µ     Ò  

Ý  ¾  É 

 

   ́  

É 

 

Ý  µ ·   ̄ ¸ Ù Ò   Ð Ù Ð Ó  

Ò   Ð Ó Ó Ô Ö Ñ Ø Ó Ø Ò Ö  

    ̄

 

Π  ́ Ê  µ · ½ 

¡ 

  

  

É 

 

¾  È 

Ñ 

 ́   µ 

Á   ́  

É 

 

µ  Π  ́ É 

 

µ    

  

Ê 

 

Ò Ó Ò Ð Ù ×  Ó Ò  ̧

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

  

É 

 

¾  È 

Ñ 

 ́   µ 

Á   ́  

É 

 

µ  Π  ́ É 

 

µ    

  

Ê 

 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

    ̄

 

Π  ́ Ê  µ · ½ 

¡ 

 

¤ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 95/164

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 96/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

ß       ¾   Á Ê   ̧     

½ 

 

¾ 

          Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸      - 

½ 

¾ 

 

 

¼ 

    Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ð × Õ Ù  

        ́ Ü Ý Þ   µ  ¾   Á Ê 

¿ 

       Ü      

 

½ 

 ́ Ü  µ     Ý      

¾ 

 ́ Ü  µ   

½ 

 ́ Ü Ý  µ     Þ     - 

¾ 

 ́ Ü Ý  µ      

Ó Ò    

¼ 

      ́ Ü Ý  µ  ¾   Á Ê 

¾ 

       Ü      

½ 

 ́ Ü  µ     Ý      

¾ 

 ́ Ü  µ      ̧

ß       ¾   Á Ê   ̧     

½ 

 

¾ 

          Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸      - 

½ 

¾ 

 

 

¼ 

    Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ð × Õ Ù  

        ́ Ü Ý Þ  µ  ¾   Á Ê 

¿ 

       Ý      

 

½ 

 ́ Ý  µ     Ü      

¾ 

 ́ Ý  µ   

½ 

 ́ Ü Ý  µ     Þ     - 

¾ 

 ́ Ü Ý  µ      

Ó Ò    

¼ 

      ́ Ü Ý  µ  ¾   Á Ê 

¾ 

       Ý      

½ 

 ́ Ý  µ     Ü      

¾ 

 ́ Ý  µ      ̧

 ̄  Ø Ô Ó ¾ × Ý ×  Ó Ð Ó × Ð Ù Ò Ð × × Ù Ò Ø × ¬ Ö Ñ Ó Ò × × Ö Ø  

ß       ¾   Á Ê   ̧     

½ 

 

¾ 

          Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸      - 

½ 

¾ 

 

 

¼ 

    Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ð × Õ Ù  

        ́ Ü Ý Þ   µ  ¾   Á Ê 

¿ 

       Ü      

 

½ 

 ́ Ü  µ     Þ      

¾ 

 ́ Ü  µ   

½ 

 ́ Ü Þ  µ     Ý     - 

¾ 

 ́ Ü Þ  µ      

Ó Ò    

¼ 

      ́ Ü Þ  µ  ¾   Á Ê 

¾ 

       Ü      

½ 

 ́ Ü  µ     Þ      

¾ 

 ́ Ü  µ      ̧

ß       ¾   Á Ê   ̧     

½ 

 

¾ 

          Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸      - 

½ 

¾ 

 

 

¼ 

    Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ð × Õ Ù  

        ́ Ü Ý Þ  µ  ¾   Á Ê 

¿ 

       Ý      

 

½ 

 ́ Þ  µ     Ü      

¾ 

 ́ Þ  µ   

½ 

 ́ Ü Þ  µ 

  Ý 

  - 

¾ 

 ́ Ü Þ  µ 

   

Ó Ò    

¼ 

      ́ Ü Þ  µ  ¾   Á Ê 

¾ 

       Þ      

½ 

 ́ Ý  µ     Ü      

¾ 

 ́ Þ  µ      ̧

 ̄  Ø Ô Ó ¿ × Ý ×  Ó Ð Ó × Ð Ù Ò Ð × × Ù Ò Ø × ¬ Ö Ñ Ó Ò × × Ö Ø  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 97/164

¿ º ¿ º Á Æ Ì Ê Ä Ê Á Å Æ Æ Æ   Á Ê 

Æ 

 

ß       ¾   Á Ê   ̧     

½ 

 

¾ 

          Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸      - 

½ 

¾ 

 

 

¼ 

    Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ð × Õ Ù  

        ́ Ü Ý Þ  µ  ¾   Á Ê 

¿ 

       Ý      

 

½ 

 ́ Ý  µ     Þ      

¾ 

 ́ Ý  µ   

½ 

 ́ Ý Þ  µ     Ü     - 

¾ 

 ́ Ý Þ  µ      

Ó Ò    

¼ 

 

   ́ Ý Þ  µ 

¾  Á Ê 

¾ 

   

  Ý 

    

½ 

 ́ Ý  µ 

  Þ 

   

¾ 

 ́ Ý  µ 

   ̧

ß       ¾   Á Ê   ̧     

½ 

 

¾ 

          Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸      - 

½ 

¾ 

 

 

¼ 

    Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ð × Õ Ù  

        ́ Ü Ý Þ  µ  ¾   Á Ê 

¿ 

       Þ      

 

½ 

 ́ Þ  µ     Ý      

¾ 

 ́ Þ  µ   

½ 

 ́ Ý Þ  µ     Ü     - 

¾ 

 ́ Ý Þ  µ      

Ó Ò    

¼ 

      ́ Ý Þ  µ  ¾   Á Ê 

¾ 

       Þ      

½ 

 ́ Þ  µ     Ý      

¾ 

 ́ Þ  µ      ̧

 ̄  Ø Ô Ó × Ý ×  Ó Ð Ó ×     × Ø Ô Ó ½ ¸ ¾ Ý ¿ ¸  

 ̄  Ð Ñ Ò Ø Ð × Ý ×  Ó Ð Ó ×     × Ø Ô Ó ½ ¸ ¾  Ó ¿ º 

Ë   Ê     Á Ê 

Æ 

× Ù Ò Ö Ø   Ò Ù Ð Ó Ý        Ê  × Ù Ò Ö  Ó Ò Ð Ñ Ò Ø Ð Ò Ø Ó Ò ×  

 

¼ 

´ Ô Ó Ö Ð ¬ Ò  Ó Ò ¿ º µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê  × Ð Ú Ó × Ó Ö Ð Ù Ò  Ó Ò ¬ Ò Ø  

Ö Ó × Ù Ò Ó Ò × º Ä Ù Ó  

Ê 

 

  Ü × Ø º  

Ñ Ô Ð Ó ¿ º   Ë   Ï 

  Á Ê 

¿ 

Ð Ö  Ó Ò Ó Ñ Ô Ö Ò Ò Ø Ö Ð Ó × Ô Ð Ò Ó ×   Ü  ¼   ̧

Ý  ¼   ̧ Þ  ¾  Ý Ð × Ù Ô Ö ¬   Þ    Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

º Ð Ù Ð Ö  

Ê 

Ï 

Ü  º 

Ë Ó Ð Ù  

 

Ó Ò º   Ó Ñ Ó × Ö Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó   Ï  È Ó Ñ Ó × × Ö Ö Ð Ó Ó Ñ Ó  

Ù Ò Ó Ñ Ò Ó Ø Ô Ó ½ ¸ × Ö  

Ï        ́ Ü Ý Þ   µ  ¾   Á Ê 

¿ 

¼     Ü    

Ô   

¾    ¼     Ý    

Ô   

¾     Ü 

¾ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

   Þ     ¾      

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 98/164

  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

Ä Ù Ó ¸ Ö × Ð Ø Ó Ö Ñ Ù Ò ´ Ø Ó Ö Ñ ¿ º ¾ µ × Ø Ò  

  

Ï 

Ü   

  

Ô 

¾ 

¼ 

  

Ô 

¾    Ü 

¾ 

¼ 

  

¾ 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

Ü Þ Ý Ü  

 

  

Ô 

¾ 

¼ 

  

Ô 

¾    Ü 

¾ 

¼ 

¾  Ü     Ü   ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ  Ý Ü  

 

  

Ô 

¾ 

¼ 

´ ¾  Ü Ý     Ü 

¿ 

Ý     Ü 

Ý 

¿ 

¿ 

µ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

Ô 

¾    Ü 

¾ 

Ý  ¼ 

Ü 

 

  

Ô 

¾ 

¼ 

Ü  ´ ¾ 

Ô   

¾     Ü 

¾ 

   Ü 

¾ 

Ô   

¾     Ü 

¾ 

  

½ 

¿ 

´ ¾     Ü 

¾ 

µ 

¿    ¾ 

µ  Ü 

 

  

Ô 

¾ 

¼ 

Ü   ́

¾ 

¿ 

´ ¾     Ü 

¾ 

µ 

¿    ¾ 

µ  Ü 

Ý ¸ Ò Ó Ð Ñ Ó Ú Ö Ð   Ù  ¾     Ü 

¾ 

 

 

  

¾ 

¼ 

¾ 

¿ 

½ 

¾ 

Ù 

¿    ¾ 

Ù 

 

½ 

¿ 

¾ 

 

Ù 

    ¾ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

¾ 

¼ 

 

¾ 

½  

¾ 

    ¾ 

 

 

Ô   

¾ 

½  

 

£ 

Ö Ó ¿ º ½   À Ð Ð Ö Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ð Ö  Ó Ò Ó Ø Ô Ó Ö Ð Ó × Ô Ö Ó Ð Ó ×  

Þ    Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

Ý  Þ  ½ ¼     Ü 

¾ 

   ¾  Ý 

¾ 

º 

¿ º Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Ú Ö Ð      

Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ò Ð × Ó Ù Ò Ú Ö Ð × Ø Ò Õ Ù ×                    

× Ý Ø Ú ´ Ñ   × Ð Ù Ò × Ô  Ó Ø × × Ó Ò Ð × µ Ò Ø Ó Ò ×  

  

 

 

   ́ Ø  µ  Ø   

  

 

  ½ 

 ́   µ 

 

  ½ 

 ́   µ 

   ́    ́ ×  µ µ   

¼ 

 ́ ×  µ  ×  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 99/164

¿ º º Ì Ç Ê Å Ä Å Á Ç Î Ê Á Ä    

Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ñ Ò Ø Ô Ó Ñ Ó × × Ö Ö  

  

  ´     µ 

   ́ Ø  µ  Ø   

  

     

   ́    ́ ×  µ µ     

¼ 

 ́ ×  µ    ×  

Æ Ù × Ø Ö Ó Ô Ö Ó Ô  Ó × Ø Ó × Ü Ø Ò Ö × Ø  Ó Ö Ñ Ù Ð Ú Ö × Ú Ö Ð × º Î Ñ Ó ×  

Ó Ñ Ò Þ Ö Ó Ò Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ  Ó Ò Ñ   × × Ñ Ô Ð ¸ Ð Ð Ò Ð º Ë   Ì      ¼    ½  

¾ 

   

 

£ 

  Ì   ́   µ  ̧ Ì   ́ Ü Ý  µ    

 

Ü 

Ý 

¡ 

Ó Ò    ¾   Å 

¾    ¾ 

 ́ Á Ê  µ 

 ́   ·    ·    µ 

¹ 

 

¹  £ 

 £ 

 £ 

 £ 

 £ 

 £ 

 £  

  

  

  

  

  

  

  

  

   

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 £ 

 £ 

 £ 

 £ 

 £ 

 £ 

 £ 

½ 

½ 

 

 

£ 

 ́   µ 

 ́   µ 

 

¹ 

Ù Ö ¿ º Ñ Ó Ú Ö Ð ¸ × Ó Ù Ò Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ  Ó Ò Ð Ò Ð  

Ë Ø Ò Õ Ù   Π  ́   µ ½ Ý  

Π  ́  

£ 

µ  

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

 ́   µ  ¡   ́      µ 

Ô   

 

¾ 

·   

¾ 

Ô   

 

¾ 

·   

¾ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

            

    Ø       

×  

Π  ́  

£ 

µ   Π  ́   µ    Ø       

×   Ð Ú Ö Õ Ù Ù Ò  Ó Ö Ñ Ù Ð Ò   Ð Ó × Ù Ñ Ô Ð Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö Ö Ø   Ò Ù Ð Ó Ò  

Á Ê 

Æ 

º Å   ×  Ù Ò ¸ Ô Ö        

£ 

    Á Ê  ¸ Ù Ö Ó Ð ¬ Ò  Ó Ò Ò Ø Ö Ð  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 100/164

½ ¼ ¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

Ê Ñ Ò Ò × Ö Þ Ó Ò Ð × Ö Ö Ð Ó × Ù Ò Ø  

  

 

£ 

     Ð Ñ 

Ñ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́   µ 

   ́ Ì   ́  

È 

µ µ  Π  ́ Ì   ́ È  µ µ  ́  

È 

¾   È  µ 

   Ð Ñ 

Ñ 

  

È  ¾  È 

Ñ 

 ́   µ 

   ́ Ì   ́  

È 

µ µ  Π  ́ È  µ    Ø     

  

  

 

  Æ   Ì    Ø       

È Ö Ù Ò Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ  Ó Ò Ñ   × Ò Ö Ð ´ Ò Ó Ð Ò Ð µ ¸ × Ô Ù Ô Ò × Ö Õ Ù Ð  

Ö Ò Ð Ò Ó × Ù Ò Ô Ö Ó Ü Ñ  Ó Ò Ð Ò Ð Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ  Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ò Ó  

Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó ¸ Ð Ù Ó × Ö Þ Ó Ò Ð Ô Ò × Ö Õ Ù Ð Ó Ò Ó Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ  Ó Ò 

× Ñ Ô  Ò Ö   Ð Ô Ô Ð Ð Ñ Ø Ö Þ     Ò Ð  Ó Ö Ñ Ù Ð Ñ   × Ò Ö Ð º Ò Ø Ó ¸  

× Ø Ò Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ ´ Ô Ö Ð Ó × Ø Ð Ð × ¸ Ú × Ð ×  Ó Ò º µ  

Ì Ó Ö Ñ ¿ º ¿   ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Î Ö Ð × µ  

Ë   ª  Ú ¹ Ñ Ð Ý       Í      Π Ù Ò  Ó Ñ Ó Ö ¬ × Ñ Ó   ̧ ª     Í  º Ë         ´ ª µ      Á Ê 

Ú ¹ Ò Ø Ö Ð º Ò Ø Ó Ò ×     Æ     ª      Á Ê  × Ú ¹ Ò Ø Ö Ð Ý  

  

  ´ ª µ 

   ́ Ü  µ  Ü   

  

ª 

   ́    ́ Ý  µ µ    Ø     ́ Ý  µ    Ý 

Ä Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Ú Ö Ð × Ö   Ô Ó × Ø Ö Ó Ö ¹  

Ñ Ò Ø ´ Ø Ó Ö Ñ º µ º  

Ñ Ô Ð Ó ¿ º ´ Ò Ø Ö Ð Ò Ó Ó Ö Ò × Ô Ó Ð Ö × µ   Ð Ù Ð Ö  

  

 

Ð Ó ´  Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ  Ü Ý  

Ó Ò  

   

   ́ Ü Ý  µ    

¾ 

  Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

   

¾ 

Ü 

  ¼  Ý 

  ¼ 

  

Ë Ó Ð Ù  

 

Ó Ò º  Î Ñ Ó × Ó Ò × Ö Ö Ð Ñ Ó Ú Ö Ð  

Ü    Ö  Ó ×   

Ý    Ö  × Ò   

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 101/164

¿ º º È Ä Á Á Ç Æ Ë   ½ ¼ ½ 

× Ö ¸ Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ  Ó Ò  Ì   ́ Ö   µ  ́ Ö  Ó ×  Ö  × Ò    µ º Æ Ó Ø Ö Õ Ù  

Ì   ́ Ö   µ  

 

Ó ×       Ö  × Ò   

× Ò  Ö  Ó ×   

 

Ý ×  

Ø  Ì   ́ Ö   µ   Ö  

Ò Ó Ø Ñ Ó ×  

    Ì 

  ½ 

 ́   µ 

      ́ Ö   µ  ¾   Á Ê 

¾ 

       Ö       ¼            ¾    

      ¢   ¼    ¾    

Ä Ù Ó ¸ Ò Ú Ö Ø Ù Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Ú Ö Ð  

  

Ì   ́   µ 

Ð Ó ´  Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ  Ü Ý    

  

 

Ð Ó ´  Ö 

¾ 

µ  Ö Ö  

Ý ¸ Ó Ò Ù Ò  

 

  

 

 

  

  ¾ 

¼ 

Ð Ó ´  Ö 

¾ 

µ  Ö Ö  

 

 

¾ 

½ 

¾ 

  

 

¾ 

 

¾ 

Ð Ó   × × 

 

 

 

 ́  

¾ 

Ð Ó    

¾ 

    

¾ 

    

¾ 

Ð Ó    

¾ 

·   

¾ 

µ 

£ 

¿ º Ô Ð Ó Ò ×    

¿ º º ½ Ò Ø Ö Ó Ñ ×  

Ë        Á Ê 

¾ 

Ù Ò Ô Ð Ý             Á Ê  Ð Ò × ´ Ñ × µ º Ò Ø Ó Ò × Ð  

Ñ × Ø Ó Ø Ð Ð Ô Ð × Ø   Ô Ó Ö  

  

 

 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 102/164

½ ¼ ¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

Ý Ð × Ó Ó Ö Ò × ´  Ü    Ý  µ Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × Ð Ô Ð × Ø   Ò × Ô Ó Ö  

 Ü   

Ê Ê 

 

Ü    ́ Ü Ý  µ  Ý Ü  

Å 

 

 Ý   

Ê Ê 

 

Ý    ́ Ü Ý  µ  Ý Ü  

Å 

 

Ð × Ó Ø Ö Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ò   Ð Ó Ó º  

¿ º º ¾ Å Ó Ñ Ò Ø Ó Ò Ö  

Ë   Ï     Á Ê 

¿ 

Ù Ò ×  Ó Ð Ó Ò ×       Ï      Á Ê  º Ò Ø Ó Ò × Ð Ó × Ñ Ó Ñ Ò Ø Ó ×  

Ò Ö × Ø   Ò Ó × Ô Ó Ö  

Á 

Ü 

 

  

Ï 

   ́ Ü Ý Þ   µ  ́ Ý 

¾ 

·  Þ 

¾ 

µ  Þ Ý Ü  

Á 

Ý 

 

  

Ï 

   ́ Ü Ý Þ   µ  ́ Ü 

¾ 

·  Þ 

¾ 

µ  Þ Ý Ü  

Á 

Þ 

 

  

Ï 

   ́ Ü Ý Þ   µ  ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ  Þ Ý Ü  

Ñ Ô Ð Ó ¿ º   À Ð Ð Ö Ð Ò Ø Ö Ó Ñ × Ð Ö  Ó Ò  Ï  Ó Ñ Ô Ö Ò Ò Ø Ö Ð  

Ô Ð Ò Ó   Ü Ý  Ý Ð × Ñ × Ö   Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

·  Þ 

¾ 

½   ̧ Þ     ¼  ¸ Ò ×      ́ Ü Ý  µ ½   ̧

    ́ Ü Ý  µ  ¾   Ï  º 

Ë Ó Ð Ù  

 

Ó Ò º  Ò Ô Ö Ñ Ö Ð Ù Ö ¸ Ô Ó Ö × Ñ Ø Ö  Ü   Ý  ¼ º 

È Ö Ð Ù Ð Ö  Þ  ¸ Ú Ñ Ó × Ö Ù Ò Ñ Ó Ú Ö Ð Ó Ó Ö Ò ×  

× Ö ×  

Ü    Ö  × Ò    Ó ×   

Ý    Ö  × Ò    × Ò   

Þ    Ö  Ó ×   

×  

  

Ï 

Þ   

  

Ì 

  ½ 

 ́ Ï  µ 

Ö  Ó ×      Ø  Ì     

Ì   ́ Ö  µ  

¾ 

 

× Ò    Ó ×  Ö  Ó ×    Ó ×       Ö  × Ò    × Ò   

× Ò    × Ò  Ö  Ó ×    × Ò  Ö  × Ò    Ó ×   

Ó ×       Ö  × Ò    ¼ 

¿ 

 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 103/164

¿ º º Ç Å Æ Ì Ê Á Ç Ë Ê Ä È  

 

Á Ì Í Ä Ç   ½ ¼ ¿ 

Ø  Ì   ́ Ö  µ  ́    ½ µ 

¿ · ½ 

 ́    Ö  × Ò    × Ò    µ  ́    Ö  × Ò 

¾ 

  × Ò       Ö  Ó × 

¾ 

  × Ò    µ 

·  ́

  ½ µ 

¿ · ¾ 

 ́ Ö  × Ò    Ó ×    µ  ́

  Ö  × Ò 

¾ 

  Ó ×   

  Ö  Ó × 

¾ 

  Ó ×    µ 

  Ö 

¾ 

× Ò    × Ò 

¾ 

  ·  Ö 

¾ 

× Ò    Ó × 

¾ 

 

  Ö 

¾ 

× Ò   

Ó Ñ Ò Ò Ó Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö  

  

Ï 

Þ   

  

½ 

¼ 

  

¾   

¼ 

  

   

¼ 

 ́ Ö  Ó ×    µ  Ö 

¾ 

× Ò  Ö  

 

Ö 

 

 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

½ 

¼ 

¾   

  

   

¼ 

× Ò    Ó ×   

 

 

¾ 

× Ò 

¾ 

 

¾ 

¬ 

¬ 

¬ 

¬ 

   

¼ 

 

 

 

 

Ä Ù Ó  

 Þ   

 

 

 

¿ 

 

¾ 

 

¿ 

½  

 

£ 

¿ º Ó Ñ Ò Ø Ö Ó × Ö Ð Ô Ø Ù Ð Ó      

¿ º º ½ Ü Ø Ò ×  Ó Ò Ð Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò  

Ð Ù Ò Ó × Ð Ó × Ô Ö Ó Ð Ñ × Õ Ù Ô Ö × Ò Ø Ð Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò × Ó Ò Õ Ù ¸ Ô Ö  

Ö Ø × Ô Ð Ó Ò × ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ù Ò Ñ Ð × Ù ¬ Ò Ø Ñ Ò Ø Ñ Ô Ð Ù Ò ¹  

Ó Ò × Ý Õ Ù Ð Ó × Ø Ó Ö Ñ × Ó Ò Ú Ö Ò Ô Ó × Ò Ô  Ó Ø × × Ñ Ù Ý Ù Ö Ø × ´ Ó Ò ¹  

Ú Ö Ò Ù Ò Ó Ö Ñ Ò Ð × Ó Ð Ô Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò ¿ º ½ ¿ µ º Í Ò Ó Ò × Ø Ö Ù  Ó Ò Ö ¹  

Ò Ø ¸ × Ò Ð Ø Ó Ö Ð Ñ ¸ Ð Ó Ò × Ø Ø Ù Ý Ð Ò Ø Ö Ð Ä × Ù ¸  

Õ Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ñ Ð Ñ Ù Ó Ñ   × Ñ Ô Ð Ù Ò Ó Ò × Ý Ù Ò Ø Ó Ò Ù Ò  

Ø Ó Ö Ñ Ó Ò Ú Ö Ò × Ó Ò Ð Ó Ò Ú Ö Ò Ô Ù Ò Ø Ù Ð º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 104/164

½ ¼   È 

 

Á Ì Í Ä Ç ¿ º Á Æ Ì Ê Á  

 

Ç Æ 

¿ º Ö Ó ×    

Ö Ó ¿ º ¾   Ë   Ê     Á Ê 

Æ 

Ö Ø   Ò Ù Ð Ó Ø Ð Õ Ù   Π  ́ Ê  µ    ¼  Ý × Ù Ô Ó Ò Õ Ù  

    Ê      Á Ê  × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ê  º Ë Ù Ô Ó Ò Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ù Ò  Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù  

    Ê      Á Ê  × Ø Ò  

  

Ê 

  ¼   

È Ö Ù Õ Ù        ¼  Ò  Ê  º 

Ö Ó ¿ º ¿   Ð Ù Ð Ö Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò Ò   Á Ê 

 

 

        ́ Ü 

½ 

Ü 

¾ 

Ü 

¿ 

Ü 

 

Ü 

 

µ   Ü 

¾ 

½ 

·  Ü 

¾ 

¾ 

·  Ü 

¾ 

¿ 

   ½  Ü 

¾ 

 

·  Ü 

¾ 

 

   ½      

Ö Ó ¿ º   È Ö Ù Õ Ù Ð Ò Ø Ö Ð Ê Ñ Ò Ò Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ò   Á Ê 

Æ 

× 

 Ù Ò º  

Ö Ó ¿ º   Ë Ù Ô Ó Ò Õ Ù        Á Ê 

Æ 

Ô Ö   Æ     ¾  Ý Õ Ù       Ê      Á Ê  × 

Ê Ñ Ò Ò Ò Ø Ö Ð Ò     º Å Ù × Ø Ö Õ Ù     Ô Ù × Ö Ò Ó Ó Ø Ò     º 

Ö Ó ¿ º   Ë Ð Ö Ø   Ò Ù Ð Ó   Ê  ¼    ½  

¾ 

   Á Ê 

¾ 

Ý Ð Ù Ò  Ó Ò      Ê      Á Ê 

Ô Ó Ö  

   ́ Ü Ý  µ  

 ́

½  ×   Ü  × Ö Ö Ó Ò Ð ¸  

  Ý 

¿ 

×   Ü  × Ö Ó Ò Ð º  

½ º Å Ù × Ø Ö Õ Ù  

Ê 

½ 

¼ 

Ê 

½ 

¼ 

   ́ Ü Ý  µ  Ý Ü   Ü × Ø Ý Ú Ð ½ º  

¾ º Å Ù × Ø Ö Õ Ù  

Ê 

Ê 

  Ò Ó Ü × Ø º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 105/164

Ô Ø Ù Ð Ó      

Ð Ñ Ò Ø Ó × × Ó × Ì Ó Ô Ó Ð Ó      

º ½ Æ Ó Ö Ñ × ¸ × Ô Ó × Ò Ó Ö Ñ Ó ×    

¬ Ò  Ó Ò º ½   Ë     Ù Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð º Í Ò   Ò Ó Ö Ñ   Ò    × Ù Ò Ù Ò  Ó Ò 

Õ Ù × Ø × Ð × × Ù Ò Ø × Ô Ö Ó Ô ×  

¡           Á Ê 

· 

   ¼    

½ º    Ü    ¼   ̧   Ü  ¼ 

¾ º    Ü            Ü       ¾   Á Ê      Ü  ¾    

¿ º    Ü  ·  Ý    Ü    ·    Ý     Ü Ý  ¾     ´ × Ù Ð Ì Ö Ò Ù Ð Ö µ  

Ð Ô Ö Ó Ö Ò Ó    ́   ¡   µ  × Ð Ó Ó Ò Ó Ó Ñ Ó   × Ô Ó Ò Ó Ö Ñ Ó  º 

Ñ Ô Ð Ó º ½   Ò  Á Ê 

Ò 

Ô Ó Ñ Ó × ¬ Ò Ö Ñ Ù × Ò Ó Ö Ñ ×  

½ º Æ Ó Ö Ñ Ù Ð Ò     Ü   

¾ 

 

Ô  

Ü 

¾ 

½ 

·  ¡ ¡ ¡  ·  Ü 

¾ 

Ò 

¾ º Æ Ó Ö Ñ ½     Ü   

½ 

    Ü 

½ 

  ·  ¡ ¡ ¡  ·    Ü 

Ò 

 

¿ º Æ Ó Ö Ñ Ò ¬ Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ó Ö Ñ     Ü   

½ 

Ñ Ü     Ü 

 

    ¾    ½    ¾  Ò     

º Æ Ó Ö Ñ Ô  

 Ü 

 

 Ô 

 

Ô 

Ô  

 Ü 

½ 

 

 Ô 

· 

¡ ¡ ¡ · 

 Ü 

Ò 

 

 Ô 

Ô Ö   ½  Ô  

½   

Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù   ¡  

¾ 

  ¡  

½ 

Ý  ¡  

½ 

× Ø × Ò Ø Ú Ñ Ò Ø Ð × Ô Ö Ó Ô ×  

Ù Ò Ò Ó Ö Ñ × Ø Ö × Ò Ð Ð º Í Ò Ô Ó Ó Ñ   × Ð × Ú Ö Õ Ù   ¡  

 Ô 

Ó Ò 

½  Ô   ½    × Ø Ñ Ò Ù Ò Ò Ó Ö Ñ º  

½ ¼  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 106/164

½ ¼   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

Ñ Ô Ð Ó º ¾   Ë                      Á Ê   × Ó Ò Ø Ò Ù              Ò Ø Ó Ò ×  

¬ Ò Ñ Ó ×  

¡  

½ 

        Á Ê     ¼    

     

½ 

× Ù Ô  

Ü  ¾       

     ́ Ü  µ   

Ñ Ô Ð Ó º ¿   Ò  È        Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó ×   Á Ê     ¬ Ò Ñ Ó ×  

   Ô         Ô  ´ ½ µ    ·     Ô  ´ ¼ µ    ·     Ô   ́    ½ µ   

Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ò Ó × Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ô Ù × Ò Ó × Ø × Ð Ó Ò  Ó Ò ½ Ò Ó Ö Ñ º  

Ò  È  

¾ 

     Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó × Ö Ó ¾     × × Ò Ó Ö Ñ º  

Ò Ù Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð     Ô Ó Ñ Ó × Ó Ò × Ö Ö Ö Ò Ø × Ò Ó Ö Ñ × º  

¬ Ò  Ó Ò º ¾   Æ Ó Ö Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø ×  º 

Ó × Ò Ó Ö Ñ ×   ¡  

½ 

Ý  ¡  

¾ 

Ò    × Ò   Õ Ù Ú Ð Ò Ø ×   × Ü × Ø Ò Ó Ò × Ø Ò Ø ×    

½ 

Ý   

¾ 

Ô Ó × Ø Ú × Ø Ð × Õ Ù  

 

½ 

  Ü   

½ 

  Ü   

¾ 

    

¾ 

  Ü   

½ 

 

Ç × Ö Ú  Ó Ò º ½   Ä Ö Ð  Ó Ò  × Ö Õ Ù Ú Ð Ò Ø   × Ù Ò Ö Ð  Ó Ò Õ Ù Ú ¹  

Ð Ò º  

Ù Ò Ó Ð × Ø Ö Ù Ø Ù Ö × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð × Ð Ö Ù Ò Ò Ó Ö Ñ ¸ ×  

Ð Ó Ø Ô Ö Ó Ô × Ø Ó Ô Ó Ð  Ó × º Î Ö Ñ Ó × Ñ   × Ð Ò Ø Õ Ù ×   ¡  

½ 

Ý 

¡  

¾ 

× Ó Ò Ò Ó Ö Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø × Ò     Ò Ø Ó Ò × ´     ¡  

½ 

µ Ý  ́   ¡  

¾ 

µ Ø Ò Ò Ð ×  

Ñ × Ñ × Ô Ö Ó Ô × Ø Ó Ô Ó Ð  Ó × º  

¬ Ò  Ó Ò º ¿   Ó × Ó × Ô Ù Ò Ø Ó ×   Ü Ý  ¾     ¬ Ò Ñ Ó × Ð   × Ø Ò   Ò Ø Ö   Ü   

Ý  Ô Ó Ö  

   ́ Ü Ý  µ     Ü     Ý   

Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù Ð Ò Ó  Ó Ò × Ø Ò Ò Ø Ö Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ô Ò Ð Ò Ó Ö Ñ  

Ó Ò × Ö º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 107/164

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 108/164

½ ¼   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

Ç × Ö Ú  Ó Ò º ¾   Ë                 × Ö Ø Ó       ̧   × Ó Ò Ó Ó Ñ Ó   Ø Ó Ô Ó Ð Ó  

Ò    Ö × Õ Ù × Ø × Ð × Ô Ö Ó Ô × ½ ¸ ¾ Ý ¿ Ð Ó × Ö Ø Ó × º  

¬ Ò  Ó Ò º   Ë          º Í Ò Ô Ù Ò Ø Ó   Ü  ¾     ×   Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð  Ó Ò 

    ×  

     ¼        ́    ́ Ü   µ  Ò    Ü     µ     

Ç × Ö Ú  Ó Ò º ¿   È Ö × Ö Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð  Ó Ò     Ò Ó × Ò × Ö Ó Ô Ö Ø Ò Ö  

    º È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ Ò Ó × × Ù ¬ Ò Ø × Ø Ö Ò     Ô Ö × Ö Ù Ñ Ù Ð  Ó Ò 

Ñ Ô Ð Ó º  

 ̄  Ë     ´ ¼    ½ µ  º Ò Ø Ó Ò ×   Ü  ¼  × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð  Ó Ò     º 

 ̄  Ë     ´ ¼    ½ µ     ¿     º Ä Ù Ó   Ü  ¿  ¾     ¸ Ô Ö Ó   Ü  Ò Ó × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù ¹  

Ð  Ó Ò º 

¬ Ò  Ó Ò º          ×  Ö Ö Ó   ×     Ó Ò Ø Ò Ø Ó Ó × × Ù × Ô Ù Ò Ø Ó × Ù ¹  

Ñ Ù Ð  Ó Ò º 

Ì Ó Ö Ñ º ½          × Ö Ö Ó    ̧    

 

× Ö Ø Ó º  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   ́ µ    µ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù     × Ö Ö Ó º Ë   Ü  ¾    

 

¸ Ò Ø Ó Ò ×   Ü 

Ò Ó × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð  Ó Ò     ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ü × Ø     ¼ Ø Ð Õ Ù  

      ́    ́ Ü   µ  Ò    Ü     µ    

Ô Ö Ó × Ø Ó × Õ Ù Ú Ð Ò Ø      ́ Ü   µ 

Ò   Ü 

   

 

Ý Ó Ñ Ó Ñ   ×  Ü 

¾   

 

¸ Ø Ò Ñ Ó ×  

Õ Ù      ́ Ü   µ      

 

¸ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó    

 

× Ö Ø Ó º  

 ́  ́   µ Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ó Ö Õ Ù    

 

× Ö Ø Ó º Ë   Ü  ¾     Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð  Ó Ò 

    º Ñ Ó × Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù   Ü  ¾     º È Ó Ö Ó Ò Ø Ö  Ó Ò ¸ ×   Ü  ¾    

 

¸ Ó Ñ Ó ×  

Ö Ø Ó ¸       ¼ Ø Ð Õ Ù  

   ́ Ü   µ       µ       ́ Ü   µ           µ       ́ Ü   µ  Ò    Ü           µ  ́  

Ø Ò Ñ Ó × Ù Ò Ó Ò Ø Ö  Ó Ò ¸ Ô Ù ×   Ü  × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð  Ó Ò     º È Ó Ö Ð Ó  

Ø Ò Ø Ó   Ü  ¾     º  £ 

Ì Ó Ö Ñ º ¾   Ë Ò   ¡  

½ 

Ý  ¡  

¾ 

Ó × Ò Ó Ö Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø × Ò Ð × Ô Ó     º 

       × Ö Ø Ó Ò    ́   ¡  

½ 

µ   ̧     × Ö Ø Ó Ò    ́   ¡  

¾ 

µ  º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 109/164

º ¾ º Ç Æ Â Í Æ Ì Ç Ë Á Ê Ì Ç Ë ¸ Ê Ê Ç Ë   ½ ¼  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø Ò Ó Ò × Ø Ò Ø ×    

½ 

  ¼   

¾ 

  ¼ Ø Ð × Õ Ù  

 

½ 

  Ü   

½ 

  Ü   

¾ 

    

¾ 

  Ü   

½ 

   Ü  ¾    

Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù          × Ö Ø Ó Ò ´     ¡  

½ 

µ º Ë   Ü  ¾     ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø  

  ¼ Ø Ð Õ Ù  

   Ý  ¾       Ü     Ý   

½ 

      

Ô Ö Ó Ò Ø Ó Ò ×  

   Ý  ¾       Ü     Ý   

¾ 

 

½ 

     Ý  ¾       Ü     Ý   

½ 

      

Ó × ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ñ Ó ×    

½ 

  ¼ Ø Ð Õ Ù  

 

¡  

¾ 

 ́ Ü  

½ 

µ      

× Õ Ù Ø Ó Ó × Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó ×     × Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ò Ð Ò Ó Ö Ñ   ¡  

¾ 

µ      × 

Ö Ø Ó Ò ´     ¡  

¾ 

µ º  ́  ́   µ Ö Ó º   £ 

Ç × Ö Ú  Ó Ò º   Ì Ó × Ð × Ò Ó Ó Ò × Õ Ù × ¬ Ò Ò Ô Ö Ø Ö Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×  

Ö Ø Ó × ´    

¡  µ Õ Ù Ò Ò Ð Ø Ö × Ù Ò Ó × Ñ  

¡  Ô Ó Ö Ù Ò Ò Ó Ö Ñ  

Õ Ù Ú Ð Ò Ø º  

¬ Ò  Ó Ò º   Ë          º ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ó × × Ù Ò Ø × Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×  

 ̄  Ö ´    µ      Ü  ¾   Ü  × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð  Ó Ò       

´ Ö Ú Ó µ  

 ̄  ´    µ        Ö   ́   µ        Ü  ¾   Ü  × Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð  Ó Ò       

´ Ö Ò Ó Ö Ö Ù Ö µ  

 ̄  Ò Ø ´    µ      Ü  ¾   Ü  × Ô Ù Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö       

´ Ò Ø Ö Ó Ö µ  

 ̄  Ö  ́   µ      ́   µ  Ò   Ò Ø   ́   µ 

´ Ö Ó Ò Ø Ö µ  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 110/164

½ ½ ¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

º ¿ Ë Ù × Ó Ò × º    

Ò Ð × Ø Ù Ó Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó Ù Ò × Ô Ó Ò Ó Ö Ñ Ó ¸ Ù Ò Ö Ó Ð Ñ Ù Ý Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø  

× Ù Ó Ô Ó Ö Ð × × Ù × Ó Ò × º  

¬ Ò  Ó Ò º   Í Ò   × Ù ×  Ó Ò  Ò Ð × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð     × Ù Ò Ù Ò  Ó Ò 

Á Æ       

Ò      Ü 

Ò 

Ý × Ò Ó Ø Ù × Ù Ð Ñ Ò Ø Ó Ñ Ó      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

º 

Í Ò × Ù ×  Ó Ò     Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ó Ò Ú Ö   Ü  ×  

     ¼       Æ  ¾   Á Æ Ø Õ    Ü 

Ò 

   Ü         Ò     Æ 

Ç × Ö Ú  Ó Ò º   Ð Ð Ñ Ø Ù Ò × Ù ×  Ó Ò ¸ Ù Ò Ó Ü × Ø ¸ ×  Ù Ò Ó º  

¬ Ò  Ó Ò º ½ ¼   ´ Ë Ù ×  Ó Ò Ù Ý µ  

Í Ò × Ù ×  Ó Ò     Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

×   Ù Ý   ×        ¼  Ü × Ø   Ò  ¾   Á Æ  Ø Ð Õ Ù  

  Ü 

Ò 

   Ü 

Ñ 

       Ò Ñ     Æ 

Ç × Ö Ú  Ó Ò º   Ä × Ò Ó Ó Ò × × Ù × Ó Ò × Ó Ò Ú Ö Ò Ø × Ý × Ù × Ó Ò ×  

Ù Ý Ò Ó Ñ Ò Ò Ø Ð Ñ Ó Ô Ó Ö Ò Ó Ö Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø × º  

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò º ¿   Ì Ó × Ù ×  Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø × × Ù ×  Ó Ò Ù Ý º  

Ñ Ó × Ø Ö Ó Ò   Ö Ó º   £ 

Æ Ó Ø Ö Õ Ù Ð Ö Ô Ö Ó Ð Ô Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ô Ù × Ö Ð × º  

Ñ Ô Ð Ó º   Ò  É Á 

¾ 

Ù × Ñ Ó × Ð Ò Ó Ö Ñ Ù Ð Ò º Ä × Ù ×  Ó Ò ¬ Ò Ô Ó Ö  

Ü 

 

´ ´ ½ ·  

½ 

 

µ 

 

 

½ 

 

µ 

× Ù Ý Ô Ö Ó Ò Ó Ó Ò Ú Ö Ò   É Á 

¾ 

º 

Ñ Ô Ð Ó º   Ò    ´      ½    ½ µ Ó Ø Ó Ð Ò Ó Ö Ñ  

  

 

½ 

 

  

½ 

  ½ 

    ́ Ü  µ 

  Ü 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 111/164

º ¿ º Ë Í Ë Á Ç Æ Ë º   ½ ½ ½ 

Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù ×  Ó Ò 

 

Ò 

 ́ Ü  µ  

 

½     ´ ½     Ü  µ 

Ò 

Ü   ¼ 

   ½ · ´ ½ ·   Ü  µ 

Ò 

Ü     ¼ 

Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × × Ò Ô Ö Ò Ö Ð Õ Ù   Ò     Ñ 

   

Ò 

    

Ñ 

 

½ 

 

  

½ 

¼ 

  ´ ½     Ü  µ 

Ò 

   ´ ½     Ü  µ 

Ñ 

  Ü  · 

  

¼ 

  ½ 

  ´ ½ ·  Ü  µ 

Ò 

   ´ ½ ·  Ü  µ 

Ñ 

  Ü 

 

  

½ 

¼ 

´ ½     Ü  µ 

Ñ 

  ´ ½     Ü  µ 

Ò    Ñ 

   ½    Ü  · 

  

¼ 

  ½ 

´ ½ ·  Ü  µ 

Ñ 

  ´ ½ ·  Ü  µ 

Ò    Ñ 

   ½   

  

  

½ 

¼ 

´ ½ ·  Ü  µ 

Ñ 

Ü  · 

  

¼ 

  ½ 

´ ½ ·  Ü  µ 

Ñ 

Ü    

¾ 

Ñ  · ½ 

× Ö ¸  

   

Ò 

    

Ñ 

 

½ 

  

¾ 

Ñ Ò     Ò Ñ     · ½ 

Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó       

Ò 

   × Ù Ý º È Ö Ó       

Ò 

   Ò Ó Ø Ò Ð Ñ Ø Ò     ´      ½    ½ µ Ò  

Ø Ó ¸ × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù Ü × Ø Ð Ù Ò  Ó Ò Ð Ñ Ø Õ Ù Ð Ð Ñ Ö Ñ Ó ×     º Ò Ø Ó Ò ×  

   

Ò 

      

½ 

Ò  ½ 

    ¼ 

Ó Ñ Ó  

  

½ 

 

   

Ò 

       Ü    

  

½ 

  ½ 

   

Ò 

       Ü 

Ò Ø Ó Ò ×  

  

½ 

 

   

Ò 

       Ü 

Ò  ½ 

    ¼       ¾        ½    ½  

Ø Ó Ñ Ñ Ó ×     ¾   ´ ¼    ½ º Ó Ñ Ó Ò     ½    

Ò 

Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø ½ ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

  

½ 

 

  ½         Ü  ¼  µ      ½ Ò     ½        ¾   ´ ¼    ½  

Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó      ́ Ü  µ ½     Ü  ¾   ´ ¼    ½ º Ò   Ð Ó Ñ Ò Ø      ́ Ü  µ      ½       ¾        ½    ¼ µ 

Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × × Õ Ù     Ò Ó Ô Ù × Ö Ó Ò Ø Ò Ù º  

¬ Ò  Ó Ò º ½ ½   ´ × Ô Ó Ò µ  

Í Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ò Ó Ö Ñ Ó     ×   × Ô Ó Ò   × Ø Ó × Ù ×  Ó Ò 

Ù Ý Ò     Ó Ò Ú Ö Ò     ¸ × Ö  

   Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

     × Ù Ý   µ    Ü 

£ 

¾   Ø Õ Ü  

Ò 

Ò  ½ 

    Ü 

£ 

Ò × Ø × Ó     Ø Ñ Ò Ö Ð Ò Ó Ñ Ö   × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ó Ñ Ô Ð Ø Ó  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 112/164

½ ½ ¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

Ñ Ô Ð Ó º    ́ Á Ê   ¡   µ º Ò   Á Ê  Ø Ó × Ù ×  Ó Ò Ù Ý × Ó Ò Ú Ö Ò Ø º × Ø Ó  

× Ù Ò Ó Ò × Ù Ò Ð Ü Ó Ñ Ð × Ù Ô Ö Ñ Ó º  

Ñ Ô Ð Ó º    ́ Á Ê 

Ò 

  ¡  

¾ 

µ × Ù Ò × Ô Ó Ò º Ò Ø Ó ¸ ×      Ü 

 

  

  ¾  Á Æ 

  

Á Ê 

Ò 

× Ù Ò × Ù ×  Ó Ò Ù Ý ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

     ¼     Æ  ¾   Á Æ Ø Õ     Ü 

 

   Ü 

Р

 

¾ 

     Ð Æ  

Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù  

  Ü 

 

 

   Ü 

 

Р

       Ð Æ        ¾    ½  Ò     

Ó Ò   Ü 

 

 

× Ð ¹ × Ñ Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø   Ü 

 

º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð × Ù ×  Ó Ò     Ü 

 

 

  

  ¾  Á Æ 

× Ù Ý Ò   Á Ê  Ý Ò Ó Ò × Ù Ò Ó Ò Ú Ö º Ò Ó Ø Ñ Ó × Ô Ó Ö   Ü 

 

× Ù Ð Ñ Ø º  

Ì Ò Ñ Ó × × Õ Ù Ó     ¼ Ü × Ø   Æ 

 

Õ Ù × Ø ×  

  Ü 

 

 

   Ü 

 

   

 

Ô   

Ò 

   Æ 

 

× Ó Ò Ó   Æ    Ñ Ü     Æ 

 

  ¾    ½  Ò      Ý Ð Ð Ñ Ò Ó   Ü  Ð Ú Ø Ó Ö ´  Ü 

½ 

Ü  

Ò 

µ 

Ø Ò Ñ Ó × ¬ Ò Ð Ñ Ò Ø Õ Ù  

  Ü 

 

   Ü   

¾ 

 

Ú  

Ù 

Ù 

Ø 

Ò 

  

  ½ 

  Ü 

 

 

   Ü 

 

 

¾ 

     Æ 

× Ö Ð × Ù ×  Ó Ò  Ü 

 

Ó Ò Ú Ö   Ü  Ò  Á Ê 

Ò 

Ç × Ö Ú  Ó Ò º   ×   Ð Ú Ö Õ Ù  

Ü 

 

    Ü   Ò     ́ Á Ê 

Ò 

  ¡  

¾ 

µ   ̧   Ü 

 

 

    Ü 

 

     ¾    ½  Ò     

Ñ Ô Ð Ó º ½ ¼    ́ Å 

Ò  ¢  Ñ 

 ́ Á Ê  µ    ¡  

½ 

µ × Ó Ñ Ô Ð Ø Ó º Ë       

 

  

  ¾  Á Æ 

Ù Ò × Ù ×  Ó Ò 

Ù Ý º Ò Ø Ó Ò ×        ¼     Æ  ¾   Á Æ  Ø Ð Õ Ù  

   

 

    

Р

 

½ 

     Ð Æ  

× Ö ¸  

Ñ Ü 

½        Ò 

½        Ñ 

   

 

 

    

Р

 

   

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 113/164

º ¿ º Ë Í Ë Á Ç Æ Ë º   ½ ½ ¿ 

Ò Ó Ò × Ù Ò Ù Ò Ð × × Ù × Ó Ò ×       

 

 

  

  ¾  Á Æ 

× Ó Ò Ù Ý Ò   Á Ê  º 

Ù Ò Ð Ð × Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ó Ò × Ù Ò Ð Ñ Ø Õ Ù Ò Ó Ø Ñ Ó ×    

 

º × Ø  

Ñ Ò Ö ¸ Ó     ¼     Æ 

 

  ¼ Ø Ð Õ Ù  

   

 

 

    

 

       Æ 

 

× Ó Ò Ó   Æ    Ñ Ü     Æ 

 

  ¾    ½  Ò        ¾    ½  Ñ      ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

Ñ Ü 

½        Ò 

½        Ñ 

  

 

 

   

 

   

   Æ 

Ó × ¸ ×      ́  

 

µ 

   

 

      

½ 

     Ò 

Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó    

 

      º Ð × Ô Ó Ñ Ø Ö × Ñ Ò ×  Ó Ò  Ò  ¢   Ñ  Ó Ò Ð  

Ò Ó Ö Ñ   ¡  

½ 

× Ù Ò × Ô Ó Ò º  

Ñ Ô Ð Ó º ½ ½    ́   ´       Á Ê  µ    ¡  

½ 

µ × Ù Ò × Ô Ó Ò º Ë       

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ù Ò × Ù ×  Ó Ò Ù Ý º Ó     ¼       Æ  ¾   Á Æ  Ø Ð Õ Ù  

   

 

    

Р

 

½ 

× Ù Ô  

Ü  ¾       

   

 

 ́ Ü  µ      

Р

 ́ Ü  µ         Ð Æ  

Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö   Ü  ¾       × Ø Ò Ö   Õ Ù  

   

 

 ́ Ü  µ      

Р

 ́ Ü  µ         Ð Æ  

× Ö ¸      Ü  ¾       Ð × Ù ×  Ó Ò      

Ò 

 ́ Ü  µ    

Ò  ¾  Á Æ 

× Ù Ý Ò   Á Ê  ¸ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó  

Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ð Ñ Ø Õ Ù Ð Ð Ñ Ö Ñ Ó ×      ́ Ü  µ 

Ð Ñ 

  ½ 

 

 

 ́ Ü  µ      ́ Ü  µ 

× Ø Ñ Ò Ö ¸ Ñ Ó × ¬ Ò Ó Ù Ò Ù Ò  Ó Ò              Á Ê  º È Ö Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù  

× Ø Ù Ò  Ó Ò × Ð Ð Ñ Ø Ð × Ù ×  Ó Ò      

Ò 

   Ò    ´       Á Ê  µ º 

Ì Ò Ñ Ó × Õ Ù Ó     ¼       Æ   ¼ Ø Ð Õ Ù  

   

 

 ́ Ü  µ      

Р

 ́ Ü  µ         Ð Æ      Ü  ¾        

Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù  

   

 

 ́ Ü  µ        ́ Ü  µ         Æ     Ü  ¾        

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 114/164

½ ½   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

Ý Ò Ø Ó Ò ×  

   

 

      

½ 

     Æ  

Ó Ò × Ø Ó Ñ Ó × Ô Ö Ó Ó Õ Ù  

 

Ò 

¡  

½ 

    

× Ö ¸     × Ð Ð Ñ Ø Ù Ò Ó Ö Ñ Ð × Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù ×    

Ò 

º È Ö Ó Ò Ð Ù Ö  

Ð Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Õ Ù ´    ´       Á Ê  µ    ¡  

½ 

µ × Ò Ñ Ó × Ô Ö Ó Ö Õ Ù  

  × Ó Ò Ø Ò Ù º  

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò º   Ð Ð Ñ Ø Ù Ò Ó Ö Ñ Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × × Ù Ò Ù Ò  Ó Ò 

Ó Ò Ø Ò Ù º  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  Ë       

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ù Ò × Ù ×  Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × Ò      

Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ù Ò Ù Ò  Ó Ò    º Ë   Ü 

¼ 

¾       Ý    ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

Ü × Ø   Æ  Ø Ð Õ Ù  

   

 

      

½ 

 

 

¿ 

        Æ 

Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù  

   

Æ 

 ́ Ü  µ        ́ Ü  µ     

 

¿ 

   Ü  ¾        

Ô Ö Ó    

Æ 

× Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó        ¼ Ø Ð Õ Ù ×     Ü     Ü 

¼ 

   

Ò Ø Ó Ò ×  

   

Æ 

 ́ Ü  µ      

Æ 

 ́ Ü 

¼ 

µ     

 

¿ 

Ó Ò Ø Ó Ó × Ø Ó Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù ×     Ü     Ü 

¼ 

   

     ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ       ́ Ü  µ      

Æ 

 ́ Ü  µ    ·     

Æ 

 ́ Ü  µ      

Æ 

 ́ Ü 

¼ 

µ    ·     

Æ 

 ́ Ü 

¼ 

µ        ́ Ü 

¼ 

µ   

  

 

¿ 

· 

 

¿ 

· 

 

¿ 

   

× Ö ¸     × Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù º   £ 

Ó Ò × Ø Ó Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × Õ Ù ´    ´       Á Ê  µ    ¡  

½ 

µ × Ù Ò × Ô Ó Ò º  

º Ó Ò Ø Ö Ó Ò × Ý Ì Ó Ö Ñ È Ù Ò Ø Ó Ó      

È Ö Ó Ð Ñ ½   Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò × Ó Ð Ù  Ó Ò  

 ́

Ù 

¼ 

     ́ Ü Ù  µ 

Ù   ́ Ü 

¼ 

µ   Ù 

¼ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 115/164

º º Ç Æ Ì Ê Á Ç Æ Ë Ì Ç Ê Å È Í Æ Ì Ç Á Â Ç   ½ ½  

× Ø Ô Ö Ó Ð Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø  

Ù   ́ Ü  µ   Ù 

¼ 

· 

  

Ü 

Ü 

¼ 

   ́ × Ù   ́ ×  µ µ  × 

Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù       Á Ê  ¢   Á Ê      Á Ê  × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

Ì      ´   Ü 

¼ 

   Ü 

¼ 

·      Á Ê  µ        ´   Ü 

¼ 

   Ü 

¼ 

·      Á Ê  µ 

Ù      Ù 

¼ 

· 

  

Ü 

Ü 

¼ 

   ́ × Ù   ́ ×  µ µ  × 

× Ø   Ò ¬ Ò Ý Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö Ò Ð × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ò Ó Ò Ø Ö Ö   Ù  Ø Ð Õ Ù  

Ù    Ì   ́ Ù  µ 

Õ Ù Ö Ð Ò Ó Ñ Ö   È Ö Ó Ð Ñ Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó  

È Ö Ó Ð Ñ ¾   Ó       Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ò 

Ò Ó Ò Ø Ö Ö × Ó Ð Ù  Ó Ò  

   ́ Ü  µ ¼   

× Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó ¸ Ô Ù × × Ô Ù × Ö Ö  

Ü    Ü  ·     ́ Ü  µ 

Ì    Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ò 

Ü      Ü  ·     ́ Ü  µ 

Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö Ò Ð × Õ Ù Ú Ð Ò Ø  

Ì   ́ Ü  µ   Ü  

Ò Ú Ö × ×   Ö × Ð Ò Ò Ö × Ó Ñ  Ù Ò Ò Ó Ò Ø Ö Ö × Ó Ò Ô Ö Ó Ð Ñ × Ó Ò  

× Õ Ù Ö Ö × Ó Ð Ú Ö  

Ù    Ì   ́ Ù  µ    Ó Ò  Ì           

Ó Ò   Ì    à     à Ò Õ Ù   à      × Ù Ò × Ù Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó Ý     × Ù Ò  

× Ô Ó Ò º  

¬ Ò  Ó Ò º ½ ¾   Ì    à     à ×   Ó Ò Ø Ö  Ó Ò  × Ü × Ø Ù Ò Ó Ò × Ø Ò Ø      ̧

¼    ½  Ø Ð Õ Ù  

  Ì   ́ Ù  µ     Ì   ́ Ú  µ         Ù     Ú     Ù Ú  ¾   à

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 116/164

½ ½   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

Ì Ó Ö Ñ º ¿   ´ Ì Ó Ö Ñ Ð È Ù Ò Ø Ó ¬ Ó µ  

Ë     × Ô Ó Ò ¸   à      Ö Ö Ó º Ë   Ì    à     à × Ù Ò Ó Ò Ø Ö  Ó Ò 

Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò Ý × Ó Ð Ó Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó   Ì  Ò  à

     Ü  ¾   Ã Ì   ́ Ü  µ   Ü  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  Î Ñ Ó × Ô Ö Ñ Ö Ó Ð Ü × Ø Ò º Ð Ñ Ø Ó Ó Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò 

× Ó Ò × Ø Ö Ù Ø Ú Ó º  

Ë   Ü 

¼ 

¾   à Ù Ð Õ Ù Ö º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù ×  Ó Ò     Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

¬ Ò Ô Ó Ö Ð  

Ö Ù Ö Ö Ò  

Ü 

  · ½ 

  Ì   ́ Ü 

 

µ    ¾   Á Æ 

Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ó × Õ Ù      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

× Ù Ý º  

  Ü 

 

   Ü 

Р

      Ì   ́ Ü 

    ½ 

µ     Ì   ́ Ü 

Р   ½ 

µ   

       Ü 

    ½ 

   Ü 

Р   ½ 

 

       Ì   ́ Ü 

    ¾ 

µ     Ì   ́ Ü 

Р   ¾ 

µ   

    

¾ 

  Ü 

    ¾ 

   Ü 

Р   ¾ 

 

× Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × ¸ × Ò Ô Ö Ò Ö Ð Õ Ù        Р º Ë Ö Ô Ø Ñ Ó × Ð Ô Ö Ó ¹  

Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö ¸ Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

  Ü 

 

   Ü 

Р

    

Р

  Ü 

    Р

   Ü 

¼ 

 

Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö  

  Ü 

Р · ½ 

   Ü 

Р

    

Р

  Ü 

½ 

   Ü 

¼ 

 

Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ñ Ó × × Ö Ö  

  Ü 

 

   Ü 

Р

  Ü 

 

   Ü 

    ½ 

  ·    Ü 

    ½ 

   Ü 

    ¾ 

  ·  ¡ ¡ ¡  ·    Ü 

Р · ½ 

   Ü 

Р

 

    ́  

    ½ 

·   

    ¾ 

·  ¡ ¡ ¡  ·   

Р

µ    Ü 

½ 

   Ü 

¼ 

 

× Ö ¸  

  Ü 

 

   Ü 

Р

  

½ 

  

    Р

 

 

  Ü 

½ 

   Ü 

¼ 

 

   

Р

 ́

½ 

  

  ¼ 

 

 

µ    Ü 

½ 

   Ü 

¼ 

 

   

Р

½ 

½      

  Ü 

½ 

   Ü 

¼ 

 

Р ½ 

    ¼ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 117/164

º º Ç Æ Ì Ê Á Ç Æ Ë Ì Ç Ê Å È Í Æ Ì Ç Á Â Ç   ½ ½  

È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

× Ù Ò × Ù ×  Ó Ò Ù Ý Ò     ¸ Ð Ù Ó Ø Ò Ù Ò Ð Ñ Ø  

 Ü  ¾     Ý Ó Ñ Ó   à × Ö Ö Ó Ò Ø Ó Ò ×  Ü  ¾   à º È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø ¸ ×   Ì  × 

Ó Ò Ø Ö  Ó Ò ¸ × Ó Ò Ø Ò Ù ´ Ö Ó µ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ø Ó Ñ Ò Ó Ð Ñ Ø Ò Ð Ù  Ó Ò 

Ü 

  · ½ 

  Ì Ü 

 

Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù  

 Ü    Ì   Ü 

× Ö ¸  Ü  × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó   Ì  º 

Î Ñ Ó × Õ Ù ×  Ù Ò Ó º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù   Ì  Ø Ò Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × ¬ Ó × ¸   Ü    Ì Ü   

Ý    Ì Ý  ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

  Ü     Ý        Ì Ü     Ì Ý         Ü     Ý   

Ý Ó Ñ Ó ¼        ½ ¸ Ò Ó Õ Ù Ó Ø Ö Ô Ó × Ð Ñ   × Õ Ù   Ü    Ý  º  £ 

Ñ Ô Ð Ó º ½ ¾   ´ Ì Ó Ö Ñ Ü × Ø Ò × Ó Ð Ù Ó Ò × Ô Ö Ç µ  

Î Ó Ð Ú Ñ Ó × Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ö Ò Ð º Ë       Á Ê  ¢   Á Ê      Á Ê  × Ó Ò Ø Ò Ù Ý × Ø ×  

     ́ × Ù  µ        ́ × Ú  µ     à   Ù     Ú   

Ò Ø Ó Ò × ×   Ü Ü 

¼ 

  Ì   ́ Ù  µ     Ì   ́ Ú  µ       

  

Ü 

Ü 

¼ 

   ́ × Ù   ́ ×  µ µ        ́ × Ú   ́ ×  µ µ  ×   

  

  

Ü 

Ü 

¼ 

     ́ × Ù   ́ ×  µ µ        ́ × Ú   ́ ×  µ µ    × 

   à

  

Ü 

Ü 

¼ 

  Ù   ́ ×  µ     Ú   ́ ×  µ    × 

   à   Ù     Ú   

½ 

 

×   Ü Ü 

¼ 

× Ó Ø Ò Ð Ñ × Ñ Ó Ö × Ù Ð Ø Ó ¸ Ð Ù Ó     Ì   ́ Ù  µ     Ì   ́ Ú  µ   

½ 

   Ã     Ù     Ú   

½ 

Ô Ö Ø Ó   Ù Ú  ¾     ´   Ü 

¼ 

   Ü 

¼ 

·    µ º Ë   Ã   ½ Ò Ø Ó Ò × ¸ Ö × Ð Ø Ó Ö Ñ  

Ð Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó Ò ¸ Ü × Ø   Ù  ¾     ´   Ü 

¼ 

   Ü 

¼ 

·    µ Ø Ð Õ Ù  

Ù    Ì   ́ Ù  µ 

Ý × Ø   Ù  ×  Ù Ò Ó º  

È Ö Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò × Ó Ð Ù  Ó Ò × Ô Ù Ø Ö Ö ¸ Ö Ô Ö Ó Ù Ò Ó Ð Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò 

Ð Ø Ó Ö Ñ Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó Ò º  

Ù 

Ò  · ½ 

  Ì Ù 

Ò 

Ù 

Ò  · ½ 

 ́ Ü  µ   Ù 

¼ 

· 

  

Ü 

Ü 

¼ 

   ́ × Ù 

Ò 

 ́ ×  µ µ  × 

× Ø Ñ Ø Ó Ó Ô Ö Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð × Ó Ð Ù  Ó Ò Ö Ð Ò Ó Ñ Ö Å Ø Ó Ó È Ö º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 118/164

½ ½   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

Ñ Ô Ð Ó º ½ ¿   ´ Ü × Ø Ò × Ó Ð Ù Ó Ò × Ù Ò Ù  Ó Ò µ 

Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × × Ø Ñ Ù Ó Ò ×  

Ü   

½ 

¾ 

Ó × ´  Ü  ·  Ý  µ 

Ý   

½ 

¿ 

Ð Ò ´ ½ ·   Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ ·  

× Ø × Ù Ò Ô Ö Ó Ð Ñ Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó ´  Ü Ý  µ   Ì   ́ Ü Ý  µ Ó Ò   Ì    Á Ê 

¾ 

    Á Ê  ¬ Ò  

Ô Ó Ö 

Ì   ́ Ü Ý  µ  ́

½ 

¾ 

Ó × ´  Ü  ·  Ý  µ   

½ 

¿ 

Ð Ò ´ ½ ·   Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ · µ  

Î Ñ Ó × Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù   Ì  × Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø º Ó Ñ Ó Ó Ò × Ù Ò ¸ Ö × Ð  

Ø Ó Ö Ñ Ð Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó Ò ¸ Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù Ð × × Ø Ñ Ù Ó Ò ×  

Ø Ò Ù Ò Ý × Ó Ð Ó Ù Ò × Ó Ð Ù  Ó Ò Ò   Á Ê 

¾ 

º È Ö Ð Ð Ó Ö Ó Ö Ñ Ó × Ð Ø Ó Ö Ñ Ð  

Ú Ð Ó Ö Ñ Ó Ë       Á Ê 

Ò 

    Á Ê  Ö Ò Ð ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

   ́ Ü  µ        ́ Ý  µ  

  

½ 

¼ 

Ö      ́ Ø Ü  · ´ ½     Ø  µ  Ý  µ  ¡   ́ Ü     Ý  µ  Ø 

Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù  

     ́ Ü  µ        ́ Ý  µ    

  

½ 

¼ 

Ö      ́ Ø Ü  · ´ ½     Ø  µ µ  Ý    Ü     Ý    Ø 

   Ñ Ü 

¼    Ø    ½ 

Ö      ́ Ø Ü  · ´ ½     Ø  µ  Ý  µ    Ü     Ý   

Ë Ù Ô Ó Ñ Ó × Õ Ù   Ö      ́ Þ  µ     à Ô Ö Ø Ó Ó   Þ  ¾   Á Ê 

Ò 

º Ò Ø Ó Ò ×        ́ Ü  µ    

   ́ Ý  µ     à   Ü     Ý    º 

Ô Ð Õ Ù Ñ Ó × × Ø Ó Ò Ù × Ø Ö Ó Ô Ö Ó Ð Ñ º Ë   Ì 

½ 

 ́ Ü Ý  µ ´ ½    ¾ µ Ó × ´  Ü  ·  Ý  µ Ò Ø Ó Ò ×  

Ö  Ì 

½ 

 ́ Ü Ý  µ 

  

  ́

  

½ 

¾ 

× Ò ´  Ü  ·  Ý  µ   

  

½ 

¾ 

× Ò ´  Ü  ·  Ý  µ µ 

  

½ 

Ô   

¾ 

µ   Ì 

½ 

 ́ Ü Ý  µ     Ì 

½ 

´  Ü    Ý  µ    

½ 

Ô   

¾ 

   ́ Ü Ý  µ     ´  Ü    Ý  µ   

È Ö   Ì 

¾ 

 ́ Ü Ý  µ ´ ½    ¿ µ Ð Ò ´ ½ ·   Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ · Ñ Ó × Ð Ó Ñ × Ñ Ó  

Ö   Ì 

¾ 

 ́ Ü Ý  µ     

½ 

¿ 

   ́

¾  Ü 

½ ·  Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

 

¾  Ý 

½ ·  Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ    

¾ 

¿ 

Ö  

 ́

Ü 

½ ·  Ü 

¾ 

µ 

¾ 

·  ́

Ý 

½ ·  Ý 

¾ 

µ 

¾ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 119/164

º º Æ Ç Á  

 

Ç Æ Ç Å È Á   ½ ½  

Ð Ù Ò  Ó Ò     ́ Þ  µ   Þ   ´ ½ ·  Þ 

¾ 

µ Ð Ò Þ × Ù Ñ   Ü Ñ Ó Ò   Þ  ½ ´ Ö Ó µ Ý × Ù  

Ñ   Ü Ñ Ó × ½    ¾ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó   Ö   Ì 

¾ 

 ́ Ü Ý  µ    

Ô   

¾    ¿ Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð  

  Ì 

¾ 

 ́ Ü Ý  µ     Ì 

¾ 

´  Ü    Ý  µ    

Ô   

¾ 

¿ 

   ́ Ü Ý  µ     ´  Ü    Ý  µ   

Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × Ò Ø Ó Ò × Õ Ù  

  Ì   ́ Ü Ý  µ     Ì  ´  Ü    Ý  µ     

Ô  

 ́ Ì 

½ 

 ́ Ü Ý  µ     Ì 

½ 

´  Ü    Ý  µ µ 

¾ 

·  ́ Ì 

¾ 

 ́ Ü Ý  µ     Ì 

¾ 

´  Ü    Ý  µ µ 

¾ 

  

Ö  

½ ¿ 

½  

  ́ Ü Ý  µ 

  ´  Ü    Ý  µ 

 

× Ö ¸   Ì  × Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø Ô Ù ×  

Ô  

½ ¿    ½     ½ º 

Ö Ó º ½   Ø Ö Ñ Ò Ö Ô Ö Õ Ù Ú Ð Ó Ö ×     Ý    Ð Ù Ò  Ó Ò 

Ì   ́ Ü Ý  µ  ́   Ó × ´  Ü  ·  Ý  µ    Ð Ò ´ ½ ·   Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ µ 

× Ù Ò Ó Ò Ø Ö  Ó Ò 

Ö Ó º ¾   È Ö Ó Ö Ñ × Ù Ð Ù Ð Ó Ö Ô Ö Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ð × Ó Ð Ù  Ó Ò Ð × × ¹  

Ø Ñ Ð Ñ Ô Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö º È Ö Ð Ð Ó ¬ Ò   Ü 

¼ 

¼  Ý 

¼ 

¼ ¸ Ý Ò Ö Ù Ò  

× Ù ×  Ó Ò Ô Ó Ö Ð × Ù Ò Ø Ö Ù Ö Ö Ò  

Ü 

Ò  · ½ 

´ ½    ¾ µ Ó × ´  Ü 

Ò 

·  Ý 

Ò 

µ 

Ý 

Ò  · ½ 

´ ½    ¿ µ Ð Ò ´ ½ ·   Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ ·  

º Æ Ó      Ó Ò Ó Ñ Ô      

Ò Ô Ö Ñ Ö Ð Ù Ö Ö Ó Ö Ñ Ó × Ð Ò Ó  Ó Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò º 

¬ Ò  Ó Ò º ½ ¿   Ë Ù × Ù  Ó Ò 

Ë      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ù Ò × Ù ×  Ó Ò Ò Ù Ò × Ô Ó Ò Ó Ö Ñ Ó    ́   ¡   µ  º Ó Ò × Ö Ñ Ó ×  

Ù Ò Ù Ò  Ó Ò      Á Æ      Á Æ  × Ø Ö Ø Ñ Ò Ø Ö Ò Ø ¸ × Ö ¸   Ò Ñ  µ       ́ Ò  µ   

   ́ Ñ  µ  º Ò Ø Ó Ò × ¸ Ð Ò Ù Ú × Ù ×  Ó Ò     Ü 

   ́   µ 

  

  ¾  Á Æ 

× Ð Ð Ñ   × Ù × Ù ×  Ó Ò       Ü 

Ò 

  

Ñ Ò Ù Ó × Ò Ó Ø   Ò 

 

     ́   µ  Ý × Ð × Ù × Ù ×  Ó Ò × Ò Ó Ø Ó Ñ Ó      Ü 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

º 

Ñ Ô Ð Ó º ½   Ä × × Ù × Ó Ò × × Ù Ò Ø ×  

    ́   

½ 

¾ 

µ 

¾  Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

      ́   

½ 

¾ 

µ 

¾  Ò  · ½ 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ý      ́   

½ 

¾ 

µ 

  Ò  ·  

  

Ò  ¾  Á Æ 

 

× Ó Ò × Ù × Ù × Ó Ò ×       ́   

½ 

¾ 

µ 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 120/164

½ ¾ ¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

Ñ Ô Ð Ó º ½   Ä × Ù ×  Ó Ò     Ü 

Ò 

   Á Ê 

¾ 

¬ Ò Ô Ó Ö  

Ü 

Ò 

´  ́    ½ µ 

Ò 

  ´ ½ · 

½ 

Ò 

µ 

Ò 

µ 

Ò Ó Ó Ò Ú Ö º Ë Ò Ñ Ö Ó Ð × Ù × Ù ×  Ó Ò     Ü 

¾  Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

× Ó Ò Ú Ö Ý Ð Ó  

´ ½    µ  ¾   Á Ê 

¾ 

º Ä × Ù × Ù ×  Ó Ò     Ü 

¾  Ò  · ½ 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ø Ñ Ò Ó Ò Ú Ö ¸ Ô Ö Ó ´     ½    µ  ¾  

Á Ê 

¾ 

º È Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø Ð × Ù × Ù ×  Ó Ò     Ü 

¿  Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ò Ó Ó Ò Ú Ö º  

Ñ Ô Ð Ó º ½   Ä × Ù ×  Ó Ò  Ü 

Ò 

´ ¾ 

Ò 

 

½ 

Ò 

 

Ò 

Ò  · ½ 

µ  ¾   Á Ê 

¿ 

Ò Ó Ó Ò Ú Ö º Ò × Ø  

× Ó      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ò Ó Ø Ò × Ù × Ù × Ó Ò × Ó Ò Ú Ö Ò Ø × º  

Ì Ó Ö Ñ º   Ë      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ù Ò × Ù ×  Ó Ò Ò Ù Ò × Ô Ó Ò Ó Ö Ñ Ó º Ò Ø Ó Ò ×  

   Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ó Ò Ú Ö   Ü   ̧   Ø Ó × Ù × Ù ×  Ó Ò     Ü 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

     Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ó Ò Ú Ö  

Ü 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   ́  ́   µ Ö Ø Ó Ô Ù ×      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

× Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò     Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

º 

 ́ µ    µ     Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ó Ò Ú Ö   Ü  ¸ Ò Ø Ó Ò ×        ¼     Æ  ¾   Á Æ  Ø Ð Õ Ù  

  Ü 

Ò 

   Ü         Ò     Æ 

Ë      Ü 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ò Ø Ó Ò ×        ¾   Á Æ  Ø Ð Õ Ù   Ò 

½ 

 

Ò 

¾ 

  ¡ ¡ ¡  Ò 

 

Ò 

  · ½ 

Ò 

  · ¾ 

 º Ò Ø Ó Ò ×  

  Ü 

Ò 

 

   Ü              à

È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó      Ü 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

Ó Ò Ú Ö   Ü  º  £ 

Ð × Ù Ò Ø × Ù Ò Ø Ó Ö Ñ Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ò Ð Ø Ó Ô Ó Ð Ó   Á Ê 

Ì Ó Ö Ñ º   ´ Ì Ó Ö Ñ Ó Ð Þ Ò Ó ¹ Ï Ö × Ø Ö × × Ò   Á Ê  µ 

Ë      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

   Á Ê  Ù Ò × Ù ×  Ó Ò Ó Ø º Ò Ø Ó Ò ×      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ø Ò Ð Ó Ñ Ò Ó ×  

Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø º  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   

  Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

  Á Ê  Ó Ø Ñ Ô Ð Õ Ù Ü × Ø Ò Ò  Ù Ñ Ö Ó ×  

Ö Ð ×    

¼ 

Ý   

¼ 

¸  ́  

¼ 

 

¼ 

µ Ø Ð × Õ Ù  

Ü 

Ò 

¾      

¼ 

 

¼ 

  Á 

¼ 

   Ò  ¾   Á Æ 

¬ Ò Ñ Ó ×  

Á 

 

½ 

   

¼ 

 

 

¼ 

·   

¼ 

¾ 

  Á 

· 

½ 

 

 

¼ 

·   

¼ 

¾ 

 

¼ 

 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 121/164

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 122/164

½ ¾ ¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

À Ñ Ó × Ò Ö Ó × Ø Ó Ö Ñ Ù Ò × Ù ×  Ó Ò     Ü 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

¸ × Ù × ×  Ó Ò     Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

º × Ø × Ù ×  Ó Ò × Ù Ý Ô Ù ×  

  Ü 

Ò 

 

   Ü 

Ò 

 

  

½ 

¾ 

Ñ Ò       

    ¼ Ù Ò Ó     ½   

Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ó Ò Ú Ö º   £ 

Ò Ñ Ò ×  Ó Ò  Æ  Ø Ò Ñ Ó × Ð Ó × Ù Ò Ø  

Ì Ó Ö Ñ º   ´ Ì Ó Ö Ñ Ó Ð Þ Ò Ó Ï Ö × Ø Ö × × Ò   Á Ê 

Ò 

µ 

Ì Ó × Ù ×  Ó Ò Ó Ø Ò   Á Ê 

Ò 

Ø Ò Ð Ó Ñ Ò Ó × Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  Ò Ð × Ó   Æ  ¾      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

   Á Ê 

¾ 

º Ò Ó Ø Ñ Ó ×   Ü 

Ò 

 

 ́ Ü 

½ 

Ò 

Ü 

¾ 

Ò 

µ º     Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ó Ø Ñ Ô Ð Õ Ù Ü × Ø Ò Ò  Ù Ñ Ö Ó × Ö Ð ×     Ý    ¸  ́   µ 

Ø Ð × Õ Ù  

Ü 

Ò 

¾         ¢            Ò  ¾   Á Æ 

È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó      Ü 

½ 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

       Ý Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö ¸ × Ø × Ù ×  Ó Ò  

Ö Ð × Ø Ò Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø Õ Ù Ð Ò Ó Ø Ö Ñ Ó ×      Ü 

½ 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

Ý 

Ü 

½ 

Ò 

 

    Ü 

½ 

¾   Á Ê  º × Ø Ñ Ò Ö Ð × Ù ×  Ó Ò     Ü 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

Ø Ò × Ù Ô Ö Ñ Ö  

Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ú Ö Ò Ø º Ä Ù Ó      Ü 

¾ 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

       Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ø Ò Ù Ò  

× Ù × Ù ×  Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø   Ü 

¾ 

Ò 

 

 

Ñ Ó × Õ Ù   Ü 

¾ 

¾   Á Ê 

Ü 

Ò 

 

 

    Ü 

¾ 

Ô Ö Ó Ø Ñ Ò × Ø Ò Õ Ù  

Ü 

½ 

Ò 

 

 

    Ü 

½ 

Ô Ù ×      Ü 

Ò 

 

 

   × × Ù × Ù ×  Ó Ò      Ü 

Ò 

 

   Õ Ù Ý Ö Ó Ò Ú Ö Ò Ø º  

È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð × Ù ×  Ó Ò 

  Ü 

Ò 

 

 

  

  ¾  Á Æ 

× Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò  

  Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ù Ý  

Ô Ö Ñ Ö Ó Ó Ö Ò Ó Ò Ú Ö   Ü 

½ 

Ý × Ù × Ù Ò Ó Ó Ö Ò Ó Ò Ú Ö   Ü 

¾ 

º 

Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × × Ø Ó Õ Ù   Ü 

Ò 

 

 

    ́ Ü 

½ 

Ü 

¾ 

µ º 

È Ö Ð × Ó   Æ  Ò Ö Ð × Ô Ö Ó Ñ Ò Ö Ò   Ð Ó ¸ Ð Ò Ó Ô Ö Ñ Ö Ó Ù Ò  

× Ù × Ù ×  Ó Ò Ù Ý Ô Ö Ñ Ö Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ò Ú Ö ¸ Ð Ù Ó × Ø × Ù × Ù ×  Ó Ò ×  

Ð Ü Ø Ö Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò Õ Ù Ø Ò Ö   × Ù × Ó × Ô Ö Ñ Ö × Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ò Ú Ö ¹  

Ò Ø × Ý × × Ù × Ú Ñ Ò Ø × × Ó Ò × Ù × Ù × Ó Ò × × Ù Ò Ð Ñ Ò Ø × Ø  

Ó Ø Ò Ö Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò Ó Ò × Ù ×   Æ  Ó Ñ Ô Ó Ò Ò Ø × Ó Ò Ú Ö Ò Ø × ´ Ð Ó Õ Ù × Ù Ö  

Ð Ó Ò Ú Ö Ò Ð × Ù × Ù ×  Ó Ò µ º   £ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 123/164

º º Æ Ç Á  

 

Ç Æ Ç Å È Á   ½ ¾ ¿ 

¬ Ò  Ó Ò º ½   Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó  

Ë    ́   ¡   µ  Ù Ò × Ô Ó Ò Ó Ö Ñ Ó º Í Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó          × Ó Ñ Ô Ø Ó ×  

Ø Ó × Ù × Ù ×  Ó Ò Ò     Ø Ò Ð Ó Ñ Ò Ó × Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ò ¸  

× Ö  

   Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

        Ü 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

Ø Ð Õ Ù   Ü 

Ò 

 

    Ü  Ù Ò Ó     ½    Ý Ñ   ×  Ü  ¾    

Ì Ó Ö Ñ º  

Ò   ́ Á Ê 

Ò 

  ¡  

¾ 

µ  Ý       Á Ê 

Ò 

× Ó Ñ Ô Ø Ó    ̧   × Ö Ö Ó Ý Ó Ø Ó  

Ç × Ö Ú  Ó Ò º   Ê Ó Ö Ñ Ó × Õ Ù Ù Ò Ö Ø Ö Þ  Ó Ò Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö ¹  

Ö Ó × Õ Ù  

Ö Ö Ó   ¸    Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

     Ý  Ü 

Ò 

    Ü  Ò Ø Ó Ò ×   Ü  ¾     º 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò   ́  ́   µ Ë      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

     º Ó Ñ Ó     × Ó Ø Ó ¸ Ü × Ø Ù Ò  

× Ù × Ù ×  Ó Ò      Ü 

Ò 

   Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó   Ü  Ý Ó Ñ Ó     × Ö Ö Ó ¸   Ü  ¾     º 

 ́ µ    µ Ë      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

     Ù Ò × Ù ×  Ó Ò Õ Ù Ó Ò Ú Ö   Ü  º Ó Ñ Ó     × Ó Ñ Ô Ø Ó ¸  

   Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ô Ó × Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ò     Ý Ó Ñ Ó Ý × Ñ Ó × Õ Ù  

   Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ó Ò × Ø Ò Ù Ò × Ó Ð Ó Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð  Ó Ò Õ Ù Ø Ò  

Õ Ù × Ö   Ü  Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó   Ü  ¾     º 

Ë Õ Ù     Ò Ó Ù × Ó Ø Ó ¸ × Ñ Ô Ö × Ö Ô Ó × Ð Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ù Ò × Ù ×  Ó Ò 

   Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ø Ð Õ Ù     Ü 

Ò  · ½ 

   Ü 

Ò 

   ½ Ô Ö Ø Ó Ó   Ò  ¾   Á Æ  º Ì Ð × Ù ×  Ó Ò Ò Ó Ô Ù  

Ø Ò Ö × Ù × Ù × Ó Ò × Ó Ò Ú Ö Ò Ø × ¸ Ô Ù × Ò Ò Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò × Ù Ý º  

Ç × Ö Ú  Ó Ò º   × Ø Ö Ø Ö Þ  Ó Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó × Ô Ù Ü ¹  

Ø Ò Ö × Ø Ó Ó × Ô Ó Ñ Ò ×  Ó Ò ¬ Ò Ø ¸ Ô Ö Ó Ò Ñ Ò ×  Ó Ò Ò ¬ Ò Ø ×  

Ð ×  

Ñ Ô Ð Ó º ½   Ò Ð × Ô Ó Ò ´    ´ ¼    ½   Á Ê  µ    ¡  

½ 

µ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð  

× Ù Ò Ø × Ù ×  Ó Ò  

 

Ò 

 ́ Ü  µ  

 

 

 

 

 

 

 

¼    ¼ 

  Ü 

  

½ 

Ò  · ½ 

½ ·  ́ Ò  · ½ µ ´  Ò Ü     ½ µ   

½ 

Ò  · ½ 

   Ü    

½ 

Ò 

½      ́ Ò     ½ µ  ́ Ò Ü     ½ µ   

½ 

Ò 

   Ü    

½ 

Ò    ½ 

¼   

½ 

Ò    ½ 

   Ü     ½ 

È Ö × Ø × Ù ×  Ó Ò × Ù Ñ Ô Ð Õ Ù  

¯    

Ò 

 

½ 

½     Ò  ¾   Á Æ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 124/164

½ ¾   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

¯    

Ò 

    

Ò  · ½ 

 

½ 

½     Ò  ¾   Á Æ 

¯    

Ò 

    

 

 

½ 

½     Ò     

Ò Ø Ó Ò ×       

Ò 

   Ò Ó Ó Ò Ú Ö Ý Ò Ò Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò Ô Ù Ö Ð Ó ¸ Ô Ù × Ò Ó × Ó Ò  

Ù Ý º  

× Ø Ó Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ò ´    ´ ¼    ½   Á Ê  µ    ¡  

½ 

µ Ý × Ù × Ó Ò × Ó Ø × Õ Ù Ò Ó  

Ø Ò Ò × Ù × Ù × Ó Ò × Ó Ò Ú Ö Ò Ø × º Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ó × Õ Ù         ´ ¼    ½ µ  ̧

Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ö Ö Ö ¸ Ò Ó × Ó Ñ Ô Ø º  

º Ó Ò × Ù Ò × Ð Ó Ñ Ô      

Ð Ô Ö Ñ Ö Ø Ó Ö Ñ Ø Ò Õ Ù Ú Ö Ó Ò Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ù Ò Ø   ×  

Ó Ò × Ö Ñ Ó ×        

   

   Á Ê  º ×     Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ó Ø Ò Ö Ó Ö Ñ Ò Ø  

Ý × Ö Ð Ó ¸ Ü × Ø Ù Ò Ñ  

 

Ò Ñ Ó Ô Ö     ¸ × Ö ¸ Ü × Ø   Ü 

¾    Ø Ð Õ Ù      ́ Ü  µ  

Ò  

Ý  ¾   

   ́ Ý  µ  

Ä Ó × × Ù Ò Ø × Ø Ó Ö Ñ × Ò Ó × Ò Ù Ò Ö × Ô Ù × Ø  

Ì Ó Ö Ñ º  

Ë Ò     Ý    Ó × × Ô Ó × Ò º Ë        

   

     Ù Ò Ù Ò  Ó Ò 

Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ò          Ó Ñ Ô Ø Ó º Ò Ø Ó Ò ×      ́   µ         ́ Ü  µ  ¾       Ü  ¾         

× Ó Ñ Ô Ø Ó º  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  Ë      Ý 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

      ́   µ Ù Ò × Ù ×  Ó Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ò      ́   µ º 

È Ó Ö Ð ¬ Ò  Ó Ò      ́   µ × Ø Ò Õ Ù      Ò  ¾   Á Æ  Ü × Ø   Ü 

Ò 

¾     Ø Ð Õ Ù      ́ Ü 

Ò 

µ  

Ý 

Ò 

º Ó Ñ Ó     × Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ü × Ø      Ü 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

× Ù × Ù ×  Ó Ò      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

¸ Ø Ð Õ Ù  

Ü 

Ò 

    Ü  ¾     º È Ó Ö Ð Ó Ò Ø Ò Ù     ¸ Ø Ò Ñ Ó × Ø Ñ Ò Õ Ù      ́ Ü 

Ò 

 

µ     

   ́ Ü  µ 

¾     ́   µ Ù Ò Ó    

½   Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó  

  Ý 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

× Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò 

Ó Ò Ú Ö Ò Ø  

  Ý 

Ò 

  Ý × Ù Ð Ñ Ø ×      ́ Ü  µ 

¾     ́   µ º Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × × Õ Ù      ́   µ × 

Ó Ñ Ô Ø Ó º   £ 

Ì Ó Ö Ñ º  

Ë    ́   ¡   µ  Ù Ò × Ô Ó Ò Ý          º 

Ë             Á Ê  ×  Ó Ò Ø Ò Ù   Ý    ×  Ó Ñ Ô Ø Ó   Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø    Ü  ¾     Ø Ð Õ Ù  

  ´  Ü  µ        ́ Ü  µ     Ü  ¾    

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 125/164

º º Ç Æ Ë Í Æ Á Ë Ä Ç Å È Á   ½ ¾  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó      ́   µ     Á Ê  × Ó Ñ Ô Ø Ó Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ó Ø ¹  

Ó Ò   Á Ê  ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ù Ò ¬ Ñ Ó × ¬ Ò Ø Ó º Ë     ¼ ¸ Ô Ó Ö ¬ Ò  Ó Ò Ò ¬ Ñ Ó  

   Ü 

 

¾     Ø Ð Õ Ù  

Ò  

Ý  ¾   

   ́ Ý  µ 

     ́ Ü 

 

µ 

   Ò  

Ý  ¾   

   ́ Ý  µ ·   

Ð Ò Ó      

½ 

Ò 

Ó Ò × Ø Ö Ù Ñ Ó × Ù Ò × Ù ×  Ó Ò     Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ø Ð Õ Ù  

     ́ Ü 

Ñ 

µ     Ò  

Ý  ¾   

   ́ Ý  µ    

½ 

Ò 

   Ñ     Ò 

× Ö ¸      ́ Ü 

Ò 

µ 

    Ò  

 

  º Ó Ñ Ó  

  Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

    Ý    × Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ü × Ø  

Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò     Ü 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

Õ Ù Ó Ò Ú Ö  Ü  ¾     º Ó Ñ Ó     × Ó Ò Ø Ò Ù ¸  

   ́ Ü 

Ò 

 

µ        ´  Ü  µ ¸ Ý Ó Ñ Ó      Ü 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

× × Ù × Ù ×  Ó Ò      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ò Ø Ó Ò ×  

   ́ Ü 

Ò 

 

µ      Ò  

 

  º Ö × Ð Ù Ò Ð Ó × Ð Ñ Ø × ¸ × Ó Ò Ð Ù Ý Õ Ù  

  ´  Ü  µ Ò  

 

  º  £ 

Ó Ö Ó Ð Ö Ó º ½   Ë     × Ó Ò Ø Ò Ù Ý     × Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø    Ü  Ø Ð Õ Ù  

  ´  Ü  µ        ́ Ü  µ     Ü  ¾    

Ä Ó × Ö × Ù Ð Ø Ó × Ò Ø Ö Ó Ö × × Ô Ù Ò Ö × Ù Ñ Ö Ò Ð × Ù Ò Ø Ö × Ø Ó  

Ù Ò  Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × Ó Ö Ù Ò Ó Ñ Ô Ø Ó Ð Ò Þ × Ù Ñ   Ü Ñ Ó Ý × Ù Ñ Ò Ñ Ó º  

Ä × Ù Ò Ø Ó Ò × Ù Ò ¸ Ý Ù Ò Ù Ò  

Ì Ó Ö Ñ º ½ ¼   Ò  Á Ê 

Ò 

Ø Ó × Ð × Ò Ó Ö Ñ × × Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø × º  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  × Ø Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ó Ö Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð  

Ò Ó Ö Ñ Ù Ð Ò º  

Ë  

¡  Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ù Ð Õ Ù Ö Ò   Á Ê 

Ò 

Ë   Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

 ̧ Ü  × × Ö Ó Ñ Ó   Ü   

È  

Ò 

  ½ 

Ü 

 

 

 

¸ Ó Ò       

 

  

Ò 

  ½ 

× Ð × Ò  Ó Ò  

  Á Ê 

Ò 

Ý     Ü 

 

  

Ò 

  ½ 

   Á Ê  Ò Ø Ó Ò ×  

  Ü    

Ò 

  

  ½ 

  Ü 

 

 

 

   

Ò 

  

  ½ 

  Ü 

 

   

 

  Ü   

¾ 

Ú  

Ù 

Ù 

Ø 

Ò 

  

  ½ 

   

 

 

¾ 

Ä  Ù Ð Ø Ñ × Ù Ð × Ó Ø Ò Ô Ð Ò Ó Ð × Ù Ð Ù Ý ¹ Ë Û Ö Ø Þ  

Ð Ó × Ú Ø Ó Ö × ´    Ü 

½ 

      Ü 

Ò 

  µ Ý  ́    

½ 

       

Ò 

  µ º 

¬ Ò Ò Ó Ð Ó Ò × Ø Ò Ø    

¾ 

 ́

È  

Ò 

  ½ 

   

 

 

¾ 

µ 

½    ¾ 

Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù  

  Ü      

¾ 

  Ü   

¾ 

   Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 126/164

½ ¾   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

Ä Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ù Ò  Ó Ò  ¡    ́ Á Ê 

Ò 

  ¡  

¾ 

µ      Á Ê  × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ò  

Ø Ó ×      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ù Ò × Ù ×  Ó Ò Õ Ù Ó Ò Ú Ö   Ü  Ò  ́ Á Ê 

Ò 

  ¡  

¾ 

µ ¸ × Ö ¸  

  Ü 

Ò 

   Ü   

¾ 

    ¼ Ù Ò Ó   Ò  ½    Ò Ø Ó Ò ×  

  Ü 

Ò 

  Ü   Ü 

Ò 

   Ü      

¾ 

  Ü 

Ò 

   Ü   

¾ 

    ¼ 

Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó     Ü 

Ò 

 Ü    Ù Ò Ó   Ò  ½    º 

Ë   Ë       Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

    Ü   

¾ 

½     º × Ø × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó Ý Ó Ø Ó  

Ò  ́ Á Ê 

Ò 

  ¡  

¾ 

µ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó º È Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ø Ö Ó Ö ¸ Ü × Ø  

Ò Ø Ó Ò ×  Ü  ¾   Ë  Ø Ð Õ Ù  

   Ü    Ü     Ü  ¾   Ë 

Ë   Ü  ¼  ¾   Á Ê 

Ò 

¸ Ò Ø Ó Ò ×  

Ü 

 Ü 

 

¾ 

¾  Ë 

Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó  

   Ü   

Ü 

  Ü   

¾ 

µ    Ü    Ü   

¾ 

  Ü     Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

¬ Ò Ò Ó    

½ 

     Ü    Ó Ø Ò Ñ Ó × Ò Ø Ó Ò × Õ Ù  

 

½ 

  Ü   

¾ 

  Ü      

¾ 

  Ü   

¾ 

   Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

Ó Ò Ð Ù Ý Ò Ó × Ð Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò º  £ 

¬ Ò  Ó Ò º ½   Ë Ò    ́   ¡  

 

µ  Ý   ́   ¡  

 

µ  × Ô Ó × Ú Ø Ó Ö Ð × Ò Ó Ö Ñ Ó × º  

Ë                    º    ×  Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù   Ò    ×  

     ¼ 

     ¼  Ø Õ  

 Ü 

  Ý 

 

 

 

µ     ́ Ü  µ 

     ́ Ý  µ 

 

 

 

Ç × Ö Ú  Ó Ò º ½ ¼     Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò     µ      Ó Ò Ø Ò Ù Ò    

Ò Ð Þ Ñ Ó × Ð Ô Ø Ù Ð Ó Ó Ò Ð × Ù Ò Ø Ø Ó Ö Ñ  

Ì Ó Ö Ñ º ½ ½   Ë Ò    ́   ¡  

 

µ  Ý   ́   ¡  

 

µ  × Ô Ó × Ú Ø Ó Ö Ð × Ò Ó Ö Ñ Ó × º  

Ë                    Ó Ò Ø Ò Ù Ý     Ó Ñ Ô Ø Ó º Ò Ø Ó Ò ×     × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø  

Ó Ò Ø Ò Ù Ò     º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 127/164

º º Ç Æ Ë Í Æ Á Ë Ä Ç Å È Á   ½ ¾  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù     Ò Ó × Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù Ò     º 

Ò Ø Ó Ò ×  

     ¼       ¼     Ü Ý  ¾   Ø Õ    Ü     Ý   

 

       ́ Ü  µ        ́ Ý  µ   

 

 

Ë   Ò  ¾   Á Æ  ¸ Ø Ó Ñ Ñ Ó ×     ½  Ò   ¼ Ý × Ó Ñ Ó ×   Ü 

Ò 

Ý 

Ò 

¾     Ø Ð × Õ Ù  

  Ü 

Ò 

   Ý 

Ò 

 

 

 

½ 

Ò 

     ́ Ü 

Ò 

µ        ́ Ý 

Ò 

µ   

 

 

Ó Ñ Ó      Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

     Ý    × Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ü × Ø Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò     Ü 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

 

   Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Õ Ù Ó Ò Ú Ö Ù Ò   Ü  ¾     º × Ù Ú Þ Ð × Ù ×  Ó Ò     Ý 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

     Ô Ó ×  

Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò     Ý 

Ò 

 

Р

  

Р ¾  Á Æ 

Ó Ò Ú Ö Ò Ø ¸   Ý 

Ò 

 

Р

    Ý  ¾     º Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù      Ü 

Ò 

 

Р

  

× Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò      Ü 

Ò 

 

   Ø Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ø Ñ Ò Ó Ò Ú Ö   Ü  º Ä Ó Ò Ø Ö Ó Ö  

Ñ Ô Ð Õ Ù ´  Ü 

Ò 

 

Р

   Ý 

Ò 

 

Р

µ       ́ Ü     Ý  µ Ù Ò Ó   Р ½    ¸ Ô Ö Ó Ô Ó Ö Ó Ø Ö Ô Ö Ø  

Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù  

  Ü 

Ò 

   Ý 

Ò 

 

 

 

½ 

Ò 

   Ò  ¾   Á Æ  µ   Ü 

Ò 

 

Р

   Ý 

Ò 

 

Р

 

 

 

½ 

Ò 

 

Р

    ¼ 

× Ö ¸ ´  Ü 

Ò 

 

Р

   Ý 

Ò 

 

Р

µ      ¼ Ù Ò Ó   Р ½    Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù   Ü    Ý  º 

È Ó Ö Ð Ð  Ó Ò Ð × × Ù × Ó Ò × Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù  

     ́ Ü 

Ò 

 

Р

µ        ́ Ý 

Ò 

 

Р

µ   

 

     Р ¾   Á Æ 

Ì Ó Ñ Ò Ó Ð Ñ Ø Ù Ò Ó   Р ½    Ý Ö × Ð Ó Ò Ø Ò Ù     Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

Õ Ù  

     ́ Ü  µ        ́ Ý  µ   

 

     ¼ 

Ð Ó Õ Ù × Ñ Ô Ó × Ð Ô Ù ×   Ü    Ý  º  £ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 128/164

½ ¾   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

º Ö Ó ×    

½ º Ó × Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×     Ò Ù Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ò Ó Ö Ñ Ó     ¸ ¹  

Ñ Ù × Ø Ö  

´ µ Ò Ø ´         µ Ò Ø ´    µ     Ò Ø ´    µ 

´ µ Ò Ø ´    µ     Ò Ø ´    µ     Ò Ø ´         µ ´ Ù Ò Ñ Ô Ð Ó Ó Ò Ò Ó Ý Ù Ð ¹  

µ  

´ µ ´         µ ´    µ     ´    µ º 

´ µ ´         µ µ     ´    µ     ´    µ ´ Ù Ò Ñ Ô Ð Ó Ó Ò Ò Ó Ý  

Ù Ð µ º  

´ µ ´    µ Ò Ø ´    µ     Ö  ́   µ º 

´ µ         µ    Ò Ø ´    µ     Ò Ø ´    µ Ý ´    µ     ´    µ º 

´ µ Ò Ø ´    µ 

       

 ̧   Ò Ø ´    µ 

   ´    µ     º 

´ µ ´    µ  

 

  Ý Ò Ø ´    µ           µ    Ò Ø ´    µ     º 

´ µ Ò Ø ´ ´   

 

µ µ ´ ´    µ µ 

 

º 

´ µ ´    

 

µ ´ Ò Ø ´    µ 

 

µ º 

¾ º Ë Ò        Á Ê 

Ò 

º Ë ¬ Ò     ·         Ü Ü       · 

 

  ¾    

 

  ¾        º 

´ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù     ·    × Ö Ø Ó ×     × Ö Ø Ó  

´ µ Ù Ò Ñ Ô Ð Ó Ò   Á Ê  Ó Ò     Ý    × Ò Ö Ö Ó × Ô Ö Ó     ·    Ò Ó 

× Ö Ö Ó º  

¿ º Î Ö ¬ Ö Õ Ù Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó  

   

   ́ Ü Ý  µ 

¾  Á Ê 

¾ 

  Ü 

¾ 

·  Ü Ý Ü  

   × Ö Ø Ó Ò   Á Ê 

¾ 

º Ò Ó Ò Ø Ö Ö Ò   Á Ê 

¾ 

Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Õ Ù Ò Ó × Ö Ø Ó Ò Ö Ö Ó º  

º Ó Ò × Ö Ð × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð     ´ ¼    ½   Á Ê  µ Ð × Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù ×  

  ¼    ½       Á Ê  º ¬ Ò Ñ Ó × Ð × Ù ×  Ó Ò      

 

   Ô Ó Ö  

 

 

 

 

 

 

 

 

½ ×   Ü  ¾   ¼    ½    ¾  

   ¾ 

 

 ́ Ü     ½    ¾ µ · ½ ×  Ü  ¾   ½    ¾    ¾ 

   

· ½    ¾  

¼ ×   Ü  ¾   ¾ 

   

· ½    ¾    ½  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 129/164

º º Â Ê Á Á Ç Ë   ½ ¾  

´ µ Î Ö ¬ Ö Õ Ù    

 

¾     ´ ¼    ½   Á Ê  µ       ¾   Á Æ  º 

´ µ Ë ¬ Ò Ð Ò Ó Ö Ñ   ¡  

½ 

Ò    ´ ¼    ½   Á Ê  µ ¸ Ó Ñ Ó        

½ 

 

½ 

Ê 

¼ 

     ́ Ü  µ    Ü  º 

Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ô Ö × Ø Ò Ó Ö Ñ       

 

   × Ù Ý Ý Ò Ó × Ó Ò ¹  

Ú Ö Ò Ø º  

´ µ Ë     ´ ¼    ½   Á Ê  µ Ð × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ð × Ù Ò Ó Ò × Ó Ø ×  

¼    ½ Ò   Á Ê  ¸ Ó Ø Ó Ð Ò Ó Ö Ñ    

½ 

¸ ¬ Ò Ô Ó Ö        

½ 

 

× Ù Ô 

Ü  ¾  ¼    ½  

     ́ Ü  µ    ¸ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù       

 

   × Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ò × Ø × Ô Ó º  

º Ë     Ð × Ø Ò Ò   Á Ê 

Ò 

¸ × Ó Ð Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ò   Á Ê 

Ò 

 ́    ́ Ü Ý  µ  

  Ü     Ý    µ º Ë Ò        Á Ê 

Ò 

Ý       Á Ê 

Ò 

Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ò Ó Ú Ó × ¸ Ñ Ù × Ø Ö  

´ µ         Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

   ́ Ü   µ      ́ Ü   µ     × Ö Ö Ó  

´ µ         Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

   ́ Ü   µ     ́ Ü   µ     × Ö Ø Ó Ó Ò      ́ Ü   µ  

Ò         ́ Ü Ý  µ  Ý  ¾        º 

´ µ Ë     Ý    × Ó Ò Ö Ö Ó × Ý × Ù Ò Ø Ó × Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò Ó × Ö Ø Ó ×  

Ò Ó Ú Ó ×   Í  Ý  Π Ø Ð × Õ Ù        Í  Ý       Π Ý  Í     Π     º 

º Ë     Ð × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ð Ó × Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó × Ù Ò Ú Ö Ð Ö Ð Ó Ò  

Ó ¬ Ò Ø × Ö Ð × º ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò  Ó Ò  ¡           Á Ê  Ô Ó Ö 

   Ô    Ñ Ü  

Ü  ¾  ¼    ½  

   Ô   ́ Ü  µ    Ô Ö Ø Ó Ó    Ô  ¾    

´ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù   ¡   × Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ò Ð × Ô Ó     º 

À Ò Ø Í × Õ Ù Ù Ò Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó Ø Ò Ü Ø Ñ Ò Ø Ø Ò Ø Ó × Ö Ó × Ó Ñ Ó  

Ð Ö Ó ¸ Ü Ô Ø Ó × × Ð Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó Ò Ù Ð Ó º  

´ µ Ó Ò × Ö Ð Ù Ò  Ó Ò   

½ 

        Á Ê  ¬ Ò Ô Ó Ö  

 

½ 

 ́  Ô  µ    Ô  ´ ½    ¾ µ Ô Ö Ø Ó Ó    Ô  ¾    

Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù  

º Ð Ù Ò  Ó Ò   

½ 

× Ð Ò Ð Ý Ú Ö ¬ Ð × Ù Ð  

   à ¾   Á Ê  Ø Ð Õ Ù      

½ 

 ́  Ô  µ     à    Ô    Ô Ö Ø Ó Ó    Ô  ¾    

º Ä Ù Ò  Ó Ò   

½ 

× Ó Ò Ø Ò Ù º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 130/164

½ ¿ ¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

´ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù ×       Ô 

 

   × Ù Ò × Ù ×  Ó Ò Ò     Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ù Ò  

Ô Ó Ð Ò Ó Ñ Ó    Ô  Ò Ø Ó Ò ×  

 Ô 

 

 ́ Ü  µ       Ô   ́ Ü  µ     Ü  ¾   ¼    ½  

´ µ Ó Ò × Ö Ð × Ù ×  Ó Ò      Ô 

 

   Ò    ¬ Ò Ô Ó Ö    Ô 

 

 ́ Ü  µ   Ü 

 

Ý ¹  

Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù  

º     Ô 

 

  ½ Ô Ö Ø Ó Ó     ¾   Á Æ  º 

º      Ô 

 

   Ò Ó Ø Ò Ô Ù Ò Ø Ó Ù Ñ Ù Ð  Ó Ò º 

º     ´ ¼    ½ µ Ò     Ò Ó × Ó Ñ Ô Ø º  

º Ë   Ì  Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ø Ð Õ Ù   Ì 

 

× Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù   Ì  Ø Ò  

Ù Ò  Ù Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó º  

º Ë    

½ 

Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ò Ð º Ú º     Ý      

 

   Ù Ò × Ù ×  Ó Ò Ù Ý Ö × Ô Ø Ó  

Ò Ó Ö Ñ º Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù ×    

¾ 

× Ó Ø Ö Ò Ó Ö Ñ Ò     Õ Ù Ú Ð Ò Ø  

   

½ 

¸ Ò Ø Ó Ò ×       

 

   × × Ù ×  Ó Ò Ù Ý Ø Ñ Ò Ö × Ô Ø Ó Ð    

¾ 

º 

Ë     × Ò Ö × Ô Ø Ó    

½ 

× Ô Ù Ö Õ Ù × Ò Ó Ò    

¾ 

 

½ ¼ º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ó × × Ù × Ó Ò × Ù Ý ´  Ü 

 

µ Ý  ́ Ý 

 

µ Ò  Á Ê 

Ò 

Ø Ò Ð  

Ñ × Ñ Ó Ð Ñ Ø × × Ð Ñ  

  ½ 

  Ü 

 

   Ý 

 

  ¼ º 

½ ½ º Ë Ò        Á Ê 

 

º Ë ¬ Ò     ·         Ü Ü      ·    ¾     ¾        º 

´ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù     ·    × Ó Ñ Ô Ø Ó ×     Ý    × Ó Ò Ó Ñ Ô Ø Ó × º  

´ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù ×     Ý    × Ö Ö Ó × Ý      ́ Ó   µ Ó Ø Ó Ò Ø Ó Ò ×  

  ·    × Ö Ö Ó º  

½ ¾ º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù ×     × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó Ý    

    ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

 

   

    × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ø Ó º  

½ ¿ º µ Ë       

 

  

  ¾  Á Æ 

× Ù Ò Ñ Ð Ö Ò Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ñ Ô Ø Ó × ´ Ò Ó  

Ú Ó × µ Ò Ù Ò º Ú º Ò ¸ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù  

Ì 

  ¾  Á Æ 

 

 

    º 

µ µ Ù Ò Ñ Ô Ð Ó Ò   Á Ê  Ù Ò Ñ Ð Ö Ò Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×  

Ó Ø Ó × ´ Ò Ó Ú Ó × µ Ù Ý Ò Ø Ö ×  Ó Ò × Ú º  

µ Ù Ò Ñ Ô Ð Ó Ò   Á Ê  Ù Ò Ñ Ð Ö Ò Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö Ö Ó ×  

´ Ò Ó Ú Ó × µ Ù Ý Ò Ø Ö ×  Ó Ò × Ú º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 131/164

º º Â Ê Á Á Ç Ë   ½ ¿ ½ 

½ º Ë     Ù Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ò Ó Ö Ñ Ó ¸ Ý × Ò          Ö Ö Ó × Ý × Ò  

       Ó Ñ Ô Ø Ó × º È Ö Ó Ö Õ Ù  

´ µ Ë     ́   µ Ò  

Ü  ¾  Ý  ¾   

  Ü     Ý    ¼ Ò Ø Ó Ò ×               º 

´ µ Ë      ́   µ Ò  

Ü  ¾  Ý  ¾   

  Ü     Ý    ¼ Ò Ø Ó Ò × Ò Ó Ò × Ö Ñ Ò Ø  

            º 

½ º Ë Ò ´     ¡  

 

µ Ý  ́   ¡  

 

Ó × × Ô Ó × Ú Ø Ó Ö Ð × Ò Ó Ö Ñ Ó × º ¬ Ò Ñ Ó ×  

 ́   ¢     ¡   µ Ó Ñ Ó Ð × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ò Ó Ö Ñ Ó Ó Ò ´  Ü Ý  µ  ¾     ¢  

  ´ µ    Ü  ¾        Ý  ¾     Ý Ð Ò Ó Ö Ñ Ò     ¢     × ¬ Ò Ó Ñ Ó      ́ Ü Ý  µ     

  Ü   

 

·    Ý   

 

º Ë Ò          Ý         Ó Ñ Ô Ø Ó × º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù  

Ò Ø Ó Ò ×     ¢     × Ó Ñ Ô Ø Ó Ò     ¢     º 

½ º Ë   Í    Á Ê 

Á Æ 

¸ × Ö ¸ Ð × Ô Ó Ð × × Ù × Ó Ò × º Ó Ò × Ö Ò   Í  Ð  

Ò Ó Ö Ñ  

 Ü 

  × Ù Ô  

 Ü 

 

   

¾  Á Æ 

  

Á Ò Õ Ù Ù Ð ´ × µ Ð Ó × × Ù Ò Ø × Ó Ò Ù Ò Ø Ó × × Ó Ò Ó Ñ Ô Ø Ó × º    

¼ 

 ́

 

¼    ½ µ  

   Ü  ¾   Í     Ü 

 

   ½         ¾   Á Æ    

 

½ 

 ́

 

¼    ½ µ      Ü  ¾   Í     Ü 

 

  

½ 

 

       ¾   Á Æ    

 

¾ 

 ́

 

¼    ½ µ      Ü  ¾   Í     Ü 

 

  ½         ¾   Á Æ    

½ º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ò   Á Ê 

Ò 

 ̧ ¡  

 Ô 

× Ø Ú Ñ Ò Ø Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ô Ö ½       Ô    

½    º È Ö Ð Ð Ó Ð × Ö    Ù Ø Ð Ñ Ó × Ø Ö Ö Ô Ö Ñ Ö Ó Ð × Ù Ò Ø × Ù Ð  

Ò Ù Ñ Ö Ó × Ö Ð × ´ × Ù Ð Å Ò Ó Û × µ Ë Ò    Ô Õ   ¾   ´ ½    ·  ½    µ Ø Ð ×  

Õ Ù  

½ 

 Ô 

· 

½ 

Õ 

½ º       ¼ 

 

½ 

 Ô 

 

 Ô 

· 

½ 

Õ 

 

Õ 

È Ö Ô Ö Ó Ö × Ø Ó Ö Ù Ö Õ Ù Ð Ó × Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ó Ò Ú Ò Ý Ø Ú º  

½ º Ë     Ù Ò º Ú º Ò º Í Ò Ù Ò  Ó Ò            Á Ê  × Ó Ò Ø Ò Ù Ò   Ü 

¼ 

×  

     ¼       ¼    Ü     Ü 

¼ 

    µ      ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ       ̧  

     ¼       ¼     ́ Ü 

¼ 

  µ      

  ½ 

 ́    ́    ́ Ü 

¼ 

  µ µ µ 

Ë   Ä          Á Ê  Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ð Ò Ð º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð × × Ù Ò Ø ×  

Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò × × Ó Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø × º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 132/164

½ ¿ ¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

´ µ  Ä  × Ó Ò Ø Ò Ù Ò     º 

´ µ  Ä  × Ó Ò Ø Ò Ù Ò ¼   ¾     º 

´ µ × Ù Ô  

Ü  ¾  Ü  ¼ 

  Ä Ü   

  Ü   

× Ù Ô  

  Ü    ½ 

  Ä Ü      ·  ½   

Ë    

¼ 

     Ä          Á Ê Ä   × Ð Ò Ð Ý Ó Ò Ø Ò Ù      × Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ó  

Ó Ñ Ó × Ô Ó Ù Ð     º È Ö Ù Õ Ù    

¼ 

× Ù Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð ¸ Ý Õ Ù  

  Ä   

 

¼ 

× Ù Ô  

Ü  ¾  Ü  ¼ 

  Ä Ü   

  Ü   

× Ù Ô  

  Ü    ½ 

  Ä Ü   

¬ Ò Ù Ò Ò Ó Ö Ñ Ò    

¼ 

º È Ö Ù Ø Ñ Ò Õ Ù    

¼ 

× Ù Ò × Ô Ó  

Ò º ´ Ù Ò Õ Ù     Ò Ó Ð Ó × µ º  

½ º Ñ Ù × Ø Ö Ð × Ù Ù Ò Ø Ö Ø Ö Þ  Ó Ò × Ô Ó × Ò º Ë    

Ù Ò º Ú º Ò º  

  × Ù Ò × Ô Ó Ò  

× Ý ×  Ó Ð Ó ×  

 ́    Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

    

½ 

  

  ½ 

  Ü 

 

    ½ µ   

½ 

  

  ½ 

Ü 

 

Ó Ò Ú Ö Ò     µ 

Á Ò  Ó Ò È Ö Ð Ñ Ô Ð  Ó Ò  ́  ́   µ ¸ Ù Ò × Ù ×  Ó Ò Ù Ý  

   Ü 

Ò 

  

Ò  ¾  Á Æ 

Ò    ¸ Ó Ò × Ø Ö Ù Ý Ù Ò × Ù × Ù ×  Ó Ò     Ü 

Ò 

 

  

  ¾  Á Æ 

Ø Ð Õ Ù  

½ 

È  

  ½ 

  Ü 

Ò 

  · ½ 

  

Ü 

Ò 

 

    ½    º Ä Ù Ó Ó Ò Ð Ù Ý º  

¾ ¼ º Å Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ù  Ó Ò Ò Ø Ö Ð  

Ù   ́ Ü  µ  

½ 

¾ 

  

½ 

¼ 

 

  Ü    Ý 

Ó × ´  Ù   ́ Ý  µ µ  Ý 

Ø Ò Ù Ò Ý ×  Ó Ð Ó Ù Ò × Ó Ð Ù  Ó Ò Ò Ð × Ô Ó     ´ ¼    ½   Á Ê  µ º È Ö Ð Ð Ó ¬ Ò  

Ð Ó Ô Ö Ó Ö  

   ́ Ù  µ  ́ Ü  µ  

½ 

¾ 

  

½ 

¼ 

 

  Ü    Ý 

Ó × ´  Ù   ́ Ý  µ µ  Ý 

Ý Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù × Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø º Ò     ´ ¼    ½   Á Ê  µ Ù × Ð Ò Ó Ö Ñ Ð  

× Ù Ô Ö Ñ Ó º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 133/164

º º Â Ê Á Á Ç Ë   ½ ¿ ¿ 

¾ ½ º Ó Ò × Ö Ð Ù  Ó Ò Ò Ø Ö Ð  

Ù   ́ Ü  µ ·  

  

Ü 

¼ 

× Ò ´  Ù   ́ ×  µ ·  Ü  µ  × 

Å Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ù  Ó Ò Ô Ó × × Ù Ò Ý × Ó Ð Ó Ù Ò × Ó Ð Ù  Ó Ò Ò     ´ ¼    ½    ¾   Á Ê  µ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 134/164

½ ¿   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ë Á Ç Ë Ì Ç È Ç Ä Ç  

 

Á  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 135/164

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 136/164

½ ¿   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ñ Ô Ð Ó º ½   Ë      ́ Ü Ý  µ  ́ Ü 

¾ 

· Ð Ò  Ý Ý 

¾ 

·  Ü Ý 

¿ 

µ ¸ Ò Ø Ó Ò ×     ´ ½    ½ µ ´ ½    ¾ µ 

Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ù  Ó Ò     ́ Ü Ý  µ  ́  

½ 

 

¾ 

µ 

Ü 

¾ 

· Ð Ò  Ý     

½ 

Ý 

¾ 

·  Ü Ý 

¿ 

   

¾ 

Ó Ò ´   

½ 

 

¾ 

µ Ö ´ ½    ¾ µ º 

   ́ Ü Ý  µ  

 

¾  Ü  ½  Ý 

Ý 

¿ 

¾  Ý  · ¿  Ü Ý 

¾ 

 

Ú Ð Ù Ò Ó Ð Â Ó Ò Ó Ò ´  Ü Ý  µ ´ ½    ½ µ Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

  ´ ½    ½ µ  

 

¾ ½ 

½  

 

Õ Ù × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ò Ú Ö Ø Ð º  

Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × Ò Ø Ó Ò × ¸ Ö × Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ù Ò  Ó Ò Ò Ú Ö × Õ Ù Ð Ù  Ó Ò 

Ø Ò Ù Ò Ý × Ó Ð Ó Ù Ò × Ó Ð Ù  Ó Ò  ́ Ü   ́  

½ 

 

¾ 

µ  Ý   ́  

½ 

 

¾ 

µ µ Ô Ö Ù Ð Õ Ù Ö ´   

½ 

 

¾ 

µ Ö ¹  

Ò Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ½    ¾ µ º Å   ×  Ù Ò  ́ Ü   ́  

½ 

 

¾ 

µ  Ý   ́  

½ 

 

¾ 

µ µ × Ø   Ö ´ ½    ½ µ Ý ¹  

Ô Ò ´   

½ 

 

¾ 

µ Ñ Ò Ö Ö Ò Ð º  

Ñ Ô Ð Ó º ¾   Ñ Ó Ó Ó Ö Ò × × Ö ×  

Ü    Ö  × Ò    Ó ×   

Ý    Ö  × Ò    × Ò   

Þ    Ö  Ó ×   

Ä Ð Ñ Ö Ñ Ó × ¨ Ð Ñ Ó Ú Ö Ð × º Ð Â Ó Ò Ó Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ  Ó Ò Ò  

Ð Ô Ù Ò Ø Ó   Ö  ½                × 

  ¨ ´ ½        µ  

¼ 

 

½    ¾     ½    ¾ ½    ¾ 

½    ¾ ½    ¾ ½    ¾ 

Ô   

¾    ¾ ¼ 

  

Ô   

¾    ¾ 

½ 

 

× Ø Ñ Ø Ö Þ × Ò Ú Ö Ø Ð Ô Ù × × Ù Ø Ö Ñ Ò Ò Ø × Ù Ð  

Ô   

¾    ¾ º Ò Ò Ö Ð  

× Ø Ò Õ Ù       ¨  ́ Ö   µ      Ö 

¾ 

× Ò    Õ Ù × × Ø Ò Ø Ó Ö Ó Ü Ô Ø Ó ×   Ö  ¼ Ó 

× × Ò     ¼ º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ × Ð Ú Ó Ò Ð   Þ  Ð Ø Ö Ò × Ó Ö Ñ  Ó Ò ¨ × Ð Ó Ð Ñ Ò Ø  

Ý Ø Ú º  

È Ö Ú Ó Ð Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ð Ø Ó Ö Ñ ¸ Ö Ó Ö Ñ Ó × Ø Ö × Ö × Ù Ð Ø Ó × Õ Ù  

× Ö   Ò Ù Ø Ð º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 137/164

º ½ º Ì Ç Ê Å Ä Í Æ Á  

 

Ç Æ Á Æ Î Ê Ë   ½ ¿  

½ º Ò   Å 

Ò  ¢  Ò 

 ́ Á Ê  µ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ò Ó Ö Ñ  

     

 

 

Ú  

Ù 

Ù 

Ø 

Ò 

  

  ½ 

Ò 

  

  ½ 

 

¾ 

 

´ Æ Ó Ö Ñ Ö Ó Ò Ù × µ  

Ò Ø Ó Ò ×     Ü   

¾ 

     

 

  Ü   

¾ 

×   Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

 ̧   ¾   Å 

Ò  ¢  Ò 

º 

Ñ   ×       

 

     

 

     

 

¸ ×     ¾   Å 

Ò  ¢  Ò 

¾ º Ó Ö Ó Ð Ö Ó Ð Ø Ó Ö Ñ Ð È Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ë ´     ¡   µ × Ù Ò  

× Ô Ó Ò ¸         × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ö Ó Ý               × Ù Ò  

Ù Ò  Ó Ò Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò  Ù Ò Ó   Ü  ¾     Ø Ð Õ Ù      ́ Ü  µ   Ü  º 

¿ º Ì Ó Ö Ñ Ð Ú Ð Ó Ö Ñ Ó Ë       Í      Á Ê 

Ò 

Ð ×     

½ 

 ̧ Í  Ù Ò Ó Ò ¹  

  Ù Ò Ø Ó Ó Ò Ú Ü Ó º Ë      

 

 ́ Ü  µ      

 

   Ü  ¾   Í  ¸ Ò Ø Ó Ò ×        ́ Ü  µ        ́ Ý  µ    

Ô  

 

¾ 

½ 

·    ·   

¾ 

Ò 

  Ü     Ý     Ü Ý  ¾   Í  º 

Ò Ö Ð × Ø Ò Õ Ù ×        ́ Ü  µ          Ü  ¾   Í  Ò Ø Ó Ò ×        ́ Ü  µ    

   ́ Ý  µ 

   

 Ü 

  Ý 

 ¸ Ô Ù ×  

     ́ Ü  µ        ́ Ý  µ       

  

½ 

¼ 

   ́ Ø Ü  · ´ ½     Ø  µ  Ý  µ  ¡   ́ Ü     Ý  µ  Ø   

  

  

½ 

¼ 

     ́ Ø Ü  · ´ ½     Ø  µ  Ý  µ  ¡   ́ Ü     Ý  µ    Ø 

  

  

½ 

¼ 

     ́ Ø Ü  · ´ ½     Ø  µ  Ý  µ    Ü     Ý    Ø 

       Ü     Ý   

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò  Ó Ò Á Ò Ú Ö × µ  

Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù ×     × Ð ×     

½ 

Ò Ø Ó Ò × Ð Ù Ò  Ó Ò 

  ª      Å 

Ò  ¢  Ò 

Ü         ́ Ü  µ 

× Ó Ò Ø Ò Ù Ô Ù ×  

     ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ   

 

 

Ú  

Ù 

Ù 

Ø 

Ò 

  

  ½ 

Ò 

  

  ½ 

 

 

 

Ü 

 

 ́ Ü  µ    

 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

µ   

¾ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 138/164

½ ¿   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ý Ó Ñ Ó Ø Ó × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù × ¸ Ó     ¼ ¸ Ü × Ø Ò  

 

 

  ¼ Ø Ð × Õ Ù     Ü     Ü 

¼ 

   

 

µ  

 

 

Ü 

 

 ́ Ü  µ    

 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

µ     

 

Ò 

¸ Ò Ø Ó Ò × × Ó Ò Ó  

  Ñ Ò  

 

 

 

  ¼ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù     Ü     Ü 

¼ 

    µ      ́ Ü  µ        ́ Ü 

¼ 

µ   

 

 

Ô  

Ò 

¾ 

 ́

 

Ò 

µ 

¾ 

    º 

É Ù Ö Ñ Ó × Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ü × Ø Ò Ö Ø Ó ×   Í  Ý  Π Ø Ð × Õ Ù       Í      Π × 

Ý Ø Ú ¸ Ð Ó Õ Ù × Ô Ù Ü Ô Ö × Ö Ò Ó Ø Ö × Ô Ð Ö × Ó Ñ Ó Ó   Ý  ¾   Π

Ü × Ø Ù Ò  Ù Ò Ó   Ü  ¾   Í  Õ Ù × × Ó Ð Ù  Ó Ò Ð Ù  Ó Ò     ́ Ü  µ   Ý  º Ñ   × 

   ́ Ü  µ   Ý   ̧   Ý        ́ Ü  µ ¼ 

 ̧      ́   µ 

  ½ 

 ́ Ý        ́ Ü  µ µ ¼ Ô Ù ×      ́   µ × Ò Ú Ö Ø Ð  

 ̧   Ü  ·     ́   µ 

  ½ 

 ́ Ý        ́ Ü  µ µ   Ü 

Ò Ø Ó Ò × Ó   Ý 

¾  Î  ¸ Ö × Ó Ð Ú Ö Ð Ù  Ó Ò     ́ Ü  µ   Ý  × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ò Ó Ò ¹  

Ø Ö Ö Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó Ð Ù Ò  Ó Ò  ³ 

Ý 

 ́ Ü  µ   Ü  ·     ́   µ 

  ½ 

 ́ Ý        ́ Ü  µ µ Ó Ñ Ó     × 

Ó Ò Ø Ò Ù Ò     ¸ Ü × Ø     ¼ Ø Ð Õ Ù  

Ü  ¾      ́   µ  µ      ́ Ü  µ        ́   µ   

 

 

½ 

¾ 

Ô   

Ò       ́   µ 

  ½ 

 

 

È Ö Ô Ö Ó Ö Õ Ù          ́   µ      Á Ê 

Ò 

× Ò Ý Ø Ú ¸ × Ø Ô Ö Ó Ö Õ Ù   ³ 

Ý 

× 

Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø ¸ Ò Ø Ó      ́ Ü 

½ 

µ   Ý        ́ Ü 

¾ 

µ   Ý  µ    ³ 

Ý 

 ́ Ü 

½ 

µ   Ü 

½ 

   ³ 

Ý 

 ́ Ü 

¾ 

µ   Ü 

¾ 

Ý 

×   ³ 

Ý 

× Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø Ò Ø Ó Ò ×     ³ 

Ý 

 ́ Ü 

½ 

µ     ³ 

Ý 

 ́ Ü 

¾ 

µ         Ü 

½ 

   Ü 

¾ 

µ   Ü 

½ 

   Ü 

¾ 

  

    Ü 

½ 

   Ü 

¾ 

  Ý Ó Ñ Ó     ½  ̧ Ü 

½ 

  Ü 

¾ 

º 

Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù   ³ 

Ý 

× Ð ×     

½ 

º È Ö Ô Ö Ó Ö Õ Ù × Ó Ò Ø Ö Ø Ò Ø Ó Ø Ñ Ó ×  

Ð Ò Ó Ö Ñ × Ù Ö Ú  

³ 

Ý 

 ́ Ü  µ   Á        ́   µ 

  ½ 

   ́ Ü  µ      ́   µ 

  ½ 

 ́    ́   µ        ́ Ü  µ µ 

Ó Ò   Á  × Ð Ñ Ø Ö Þ Ò Ø   Ò  ¢   Ò  º 

  ³ 

Ý 

 ́ Ü  µ   

 

     ́   µ 

  ½ 

 

 

     ́   µ        ́ Ü  µ   

 

  

½ 

¾ 

Ô   

Ò 

Ð  Ù Ð Ø Ñ × Ù Ð × Ú   Ð ×   Ü  ¾      ́   µ º 

Ò Ø Ó Ò × Ó Ñ Ó      ́   µ × Ó Ò Ú Ü Ý        ́ ³ 

Ý 

µ 

 

 ́ Ü  µ    

½ 

¾ 

Ô 

Ò 

Ô Ö     ½  Ò    ̧

Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

  ³ 

Ý 

 ́ Ü  µ     ³ 

Ý 

 ́ Þ  µ    Ü     Þ   

Ú  

Ù 

Ù 

Ø 

Ò 

  

  ½ 

 ́

½ 

¾ 

Ô   

Ò 

µ 

¾ 

 

½ 

¾ 

  Ü     Þ     Ü Þ  ¾      ́   µ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 139/164

º ½ º Ì Ç Ê Å Ä Í Æ Á  

 

Ç Æ Á Æ Î Ê Ë   ½ ¿  

Ë ¬ Ò Ñ Ó ×   Í       ́   µ Ý  Π      ́ Í  µ ¸ Ò Ø Ó Ò ×       Í      Π × Ý Ø Ú º  

Î Ñ Ó × Õ Ù   Π × Ö Ø Ó º  

Ë  Ý  ¾   Π Ý  Ü  ¾      ́   µ Ø Ð Õ Ù     ´  Ü  µ  Ý  º À Ý Õ Ù Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ü × Ø  

  ¼ Ø Ð Õ Ù ×   Ý 

¾    ´  Ý   µ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø   Ü 

¾  Í  Ø Ð Õ Ù      ́ Ü  µ   Ý 

 ̧  Ü   

³ 

Ý 

 ́ Ü  µ ¸ × Ö ¸     ´  Ý   µ 

     ́ Í  µ   Π º 

Ë   Ö   ¼ Ø Ð Õ Ù     ´  Ü   ¾  Ö  µ     Í  ¸ Ý  Ü  ¾  

 

  ´  Ü Ö  µ 

³ 

Ý 

 ́ Ü  µ      Ü    ³ 

Ý 

 ́ Ü  µ     ´  Ü  ·     ́   µ 

  ½ 

µ  Ý       ´  Ü  µ µ µ ·      ́   µ 

  ½ 

 ́ Ý      Ý  µ 

  ³ 

Ý 

 ́ Ü  µ     ³ 

Ý 

´  Ü  µ ·     ́   µ 

  ½ 

 ́ Ý      Ý  µ 

Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó  

  ³ 

Ý 

 ́ Ü  µ      Ü    ³ 

Ý 

 ́ Ü  µ     ³ 

Ý 

´  Ü  µ    ·       ́   µ 

  ½ 

 ́ Ý      Ý   

  

½ 

¾ 

  Ü      Ü    ·       ́   µ 

  ½ 

  Ý      Ý   

Ë × Ó Ñ Ó ×       Ö   ´ ¾ 

     ́   µ 

  ½ 

 

 

µ Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù  

  Ý 

¾    ´  Ý   µ Ð Ù Ò  Ó Ò 

³ 

Ý 

 

 

  ´  Ü Ö  µ     

 

  ´  Ü Ö  µ 

× Ù Ò Ó Ò Ø Ö  Ó Ò Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ø Ò Ù Ò  Ù Ò Ó Ô Ù Ò Ø Ó ¬ Ó   Ü  ¾  

 

  ´  Ü Ö  µ     Í 

Ø Ð Õ Ù  

³ 

Ý 

 ́ Ü  µ   Ü  µ       ́ Ü  µ   Ý 

Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × × Õ Ù     ´  Ý   µ     Π ¸ × Ö ¸   Π × Ö Ø Ó º  

Ê × Ø × Ø Ù Ö Ð Ö Ò Ð Ð Ù Ò  Ó Ò Ò Ú Ö × º Ë Ò   Ý Ý  ·    ¾   Π

Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò  Ù Ò Ó ×   Ü Ü  ·    ¾   Í  Ø Ð × Õ Ù   Ý       ́ Ü  µ Ý  Ý  ·         ́ Ü  ·    µ 

Ò Ø Ó Ò ×  

 

  ½ 

 ́ Ý  ·    µ      

  ½ 

 ́ Ý  µ        ́ Ü  µ 

  ½ 

            ́ Ü  µ 

  ½ 

   

   ́ Ü  µ 

  ½ 

 ́    ́ Ü  ·    µ        ́ Ü  µ        ́ Ü  µ    µ 

È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó  

½ 

     

   

  ½ 

 ́ Ý  ·    µ      

  ½ 

 ́ Ý  µ        ́ Ü  µ 

  ½ 

    

     ́ Ü  µ 

  ½ 

 

     ́ Ü  ·    µ        ́ Ü  µ        ́ Ü  µ     

     

     

     

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 140/164

½ ¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

È Ö Ó Ö Ñ Ó × Ó Ö Õ Ù                    ½    Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù         ¼ 

Ù Ò Ó         ¼ Ý Ó Ñ Ó     × Ö Ò Ð Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó   Ü  ¸ Ð Ð Ó Ö Ó  

Ð × Ù Ð Ò Ø Ö Ó Ö Ø Ò Ö Ó Ù Ò Ó         ¼ ¸ Ó Ð Ò Ó × Õ Ù Ð  

Ð Ó Þ Õ Ù Ö Ó Ø Ò Ö Ó Ø Ñ Ò ¸ Ð Ó Õ Ù Ô Ó Ö ¬ Ò  Ó Ò × Ò ¬ Õ Ù    

  ½ 

× Ö Ò Ð Ò   Ý  Ý 

 

  ½ 

 ́ Ý  µ      ́ Ü  µ  

  ½ 

Ë × Õ Ù  

          ́   µ 

  ½ 

                ́   µ 

  ½ 

 ́    ́ Ü  ·    µ        ́ Ü  µ µ   

 

   ·  Ü 

      ́   µ 

  ½ 

 ́    ́ Ü  ·    µ 

  Ý  µ 

  Ü  · 

   ́   µ 

  ½ 

 ́    ́ Ü  µ     Ý  µ   

    ³ 

Ý 

 ́ Ü  ·    µ     ³ 

Ý 

 ́ Ü  µ   

  

½ 

¾ 

     

Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó  

         ́   µ 

  ½ 

          ́   µ 

  ½ 

   ½    ¾       

Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù  

½    ¾           ́   µ 

  ½ 

       ́   µ 

  ½ 

     

× Ö ¸  

  

 

     

   ¾       ́   µ 

  ½ 

    ½   

Õ Ù × Ð Ó Õ Ù × Õ Ù Ö Ô Ö Ó Ö º  

Ä Ó Ò Ø Ò Ù    

  ½ 

 ́ Ý  µ      ́  

  ½ 

 ́ Ý  µ µ  

  ½ 

× Ó Ø Ò Ð Ö Ð  

Ö Ñ Ö Ô Ö Ó Ø Ò Ö Ð Ò Ú Ö × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ º È Ö Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ò Ú Ö Ø Ð    

× Ø Ò Õ Ù  

 

  ½ 

 

½ 

Ø ´    µ 

Ó Ø Ó Ö ×     

Ø 

Ý Ó Ò Ó Ø Ó Ö ×     × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ó Ö Ñ Ô Ó Ö Ð Ó × × Ø Ò Ø Ó × × Ù Ø Ö Ñ ¹  

Ò Ò Ø ×     Õ Ù × Ó Ø Ò Ò Ð × Ö Ð Ù Ò ¬ Ð Ý Ù Ò Ó Ð Ù Ñ Ò     º Ò Ø Ó Ò ×  

Ó Ñ Ó     × Ó Ò Ø Ò Ù Ñ Ò Ø Ö Ò Ð ¸ × Ù × Ö Ú × Ô Ö Ð × × Ó Ò Ó Ò Ø Ò ¹  

Ù × ¸ Ý Ö × Ð Ó Ö Ñ Ù Ð Ö Ñ Ö Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×    

  ½ 

× Ö   Ò 

Ó Ò Ø Ò Ù × Ø Ñ Ò Ô Ù × × Ó Ò Ô Ö Ó Ù Ø Ó × Ý × Ù Ñ × Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð ×  

  Ý Ù Ó Ò Ø Ó Ò Ð Ø Ö Ñ Ò Ò Ø      ́  

  ½ 

 ́ Ý  µ µ Õ Ù × × Ø Ò Ø Ó Ö Ó Ý  

Ó Ò Ø Ò Ù Ó Ô Ó Ö Ð Ñ × Ñ Ö Þ  Ó Ò º  £ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 141/164

º ¾ º Ì Ç Ê Å Ä Í Æ Á  

 

Ç Æ Á Å È Ä  

 

Á Á Ì   ½ ½ 

º ¾ Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò      Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø      

Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù × Ø Ò Ù Ò Ù Ò  Ó Ò      Á Ê 

¾ 

    Á Ê  ¸ Ý Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò  

Ù  Ó Ò Ð Ó Ö Ñ  

   ́ Ü Ý  µ ¼ 

× Ò Ø Ó Ò × Ò Ø Ù Ö Ð Ö Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ù Ò Ø × Ô Ó × Ð × Ô Ö   Ý  Ò 

Ù Ò  Ó Ò   Ü   

Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù × ¸ × Ö ¸ Ü × Ø Ù Ò Ù Ò  Ó Ò  Ý   ́ Ü  µ Õ Ù × Ø ×  

   ́ Ü Ý   ́ Ü  µ µ ¼  

× Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Ñ   × Õ Ù       Ý   ́ Ü  µ × Ó Ò Ö Ò Ð × ¸ Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ñ Ó × Ö Ú Ö  

Ð Ù  Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö Ó Ò Ö × Ô Ø Ó   Ü   

 

Ü 

· 

 

Ý 

Ý 

Ü 

¼ 

Ó ×  

Ý 

Ü 

    

Ü  

Ý  

Ö Ú  Ó Ò Ñ Ô Ð Ø  

Æ Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù Ô Ö Ô Ó Ö Ö Ð Þ Ö × Ø   Ð Ù Ð Ó × Ò × Ö Ó Õ Ù   Ý   ×  

× Ø Ò Ø Ó Ö Ó º º  

Ñ Ô Ð Ó º ¿   Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ø Ù  Ó Ò 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

½ 

× Ô Ó × Ð × Ô Ö   Ý  Ò Ù Ò  Ó Ò   Ü  Ú Ò Ø Ñ Ò Ø Ð Ö × Ô Ù × Ø × Ø  

Ô Ö Ù Ò Ø × Õ Ù Ò Ó × Ô Ó × Ð × Ô Ö Ð Ó Ð Ñ Ò Ø Ù Ò Ú Ö Ð Ò Ù Ò  Ó Ò 

Ð Ó Ø Ö ¸ Ô Ö Ó × ´  Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ × Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó Õ Ù × Ø × Ð Ù  Ó Ò ¸ × Ö ¸  

Ü 

¾ 

¼ 

·  Ý 

¾ 

¼ 

¼ Ý Ñ   ×  Ý 

¼ 

¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × × Ô Ó × Ð × Ô Ö Ð Ó Ð Ñ Ò Ø   Ý  Ò 

Ù Ò  Ó Ò   Ü  ´ × Ö ¸ Ò Ù Ò Ú Ò ´  Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ µ º Ñ   × Ö Ú Ò Ó Ð  

Ù  Ó Ò × Ø Ò Õ Ù  

¾  Ü  · ¾  Ý 

Ý 

Ü 

¼  µ   

Ý 

Ü 

    

Ü 

Ý 

Ë Ò Ñ Ö Ó ×   Ý 

¼ 

¼ × Ñ Ô Ó × Ð × Ô Ö   Ý  Ò Ù Ò  Ó Ò   Ü  Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ð  

Ô Ù Ò Ø Ó ´  Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

µ º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 142/164

½ ¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ñ Ô Ð Ó º   Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ó Ö Ù Ò × Ó Ñ   × Ò Ö Ð Õ Ù Ð Ò Ø Ö Ó Ö º Ë Ù Ô Ó Ò ¹  

Õ Ù × Ø Ò Ò Ð × Ú Ö Ð ×   Ü 

½ 

Ü  

Ñ 

  Ý 

½ 

Ý  

Ò 

Ö Ð Ó Ò × Ô Ó Ö   Ò  Ù Ó Ò ×  

´ × × Ø Ñ Ù Ó Ò × µ ¸  

 

 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ñ 

Ý 

½ 

Ý  

Ò 

µ ¼    ½  Ò   º × Ø Ó × Ô Ù × Ö Ö Ó Ñ Ó  

    Á Ê 

Ñ 

¢   Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ò 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ñ 

Ý 

½ 

Ý  

Ò 

µ         ́ Ü Ý  µ  

¼ 

 

 

 

½ 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ñ 

Ý 

½ 

Ý  

Ò 

µ 

º 

º 

º 

 

Ò 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ñ 

Ý 

½ 

Ý  

Ò 

µ 

½ 

 

 

Ò Ø Ó Ò ×      ́ Ü 

½ 

Ü  

Ñ 

Ý 

½ 

Ý  

Ò 

µ ¼ º  

× Ô Ó × Ð × Ô Ö Ð × Ú Ö Ð ×   Ý  ¸ Ò Ù Ò  Ó Ò Ð × Ú Ö Ð ×   Ü  × Ö ¸  

Ü × Ø Ò Ù Ò Ó Ò ×   Ý 

 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ñ 

µ    ½  Ò   Ø Ð × Õ Ù  

   ́ Ü 

½ 

Ü  

Ñ 

Ý 

½ 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ü 

µ  Ý  

Ò 

 ́ Ü 

½ 

Ü  

Ñ 

µ µ ¼   

Î Ñ Ó × Ð × Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ù Ò × × Ø Ñ Ð Ò Ð º Ë   Ä  Ù Ò Ñ Ø Ö Þ   Ä        ¾  

Å 

Ò  ¢   ́ Ò  ·  Ñ  µ 

¸ Ý Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × × Ø Ñ  

Ü  ·  Ý     

Ò × Ø × Ó × Ô Ó × Ð × Ô Ö   Ý  Ò Ù Ò  Ó Ò   Ü  Ù Ò Ó     × Ò Ú Ö Ø Ð  

Ý   ́ Ü  µ    

  ½ 

      

  ½ 

Ü 

Ì Ó Ö Ñ º ¾   ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò  Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø µ  

Ë     ª     Á Ê 

Ñ  ·  Ò 

    Á Ê 

Ò 

Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ð ×     

½ 

¸ Ý ×    ́   µ  ¾   Á Ê 

Ñ 

¢   Á Ê 

Ò 

Ù Ò 

Ô Ù Ò Ø Ó Ø Ð Õ Ù      ́   µ ¼  º × Ö Ñ Ó × Ò Ø Ó Ò ×      ́   µ    

Ü 

   ́   µ   

Ý 

   ́   µ  

Ý × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù    

Ý 

   ́   µ  × Ò Ú Ö Ø Ð º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó × Ö ¹  

Ø Ó ×  Í     Á Ê 

Ñ  ·  Ò 

Ï     Á Ê 

Ñ 

Ó Ò   ́   µ  ¾   Í  Ý    ¾   Ï  Ø Ð × Õ Ù Ô Ö   Ü  ¾   Ï 

Ü × Ø Ù Ò  Ù Ò Ó   Ý  Ø Ð Õ Ù    ́ Ü Ý  µ  ¾   Í  Ý 

   ́ Ü Ý  µ ¼ 

× Ø Ó ¬ Ò Ù Ò Ù Ò  Ó Ò      Ï      Á Ê 

Ò 

Õ Ù × Ð ×     

½ 

Ý Õ Ù × Ø ×  

   ́ Ü    ́ Ü  µ µ ¼       Ü  ¾   Ï 

Ñ   ×     ́ Ü  µ         

Ý 

   ́ Ü    ́ Ü  µ µ  

  ½ 

 

Ü 

   ́ Ü    ́ Ü  µ µ  Ô Ö Ø Ó Ó   Ü  ¾   Ï  Ý Ú ¹  

Ò Ø Ñ Ò Ø      ́   µ     º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 143/164

º ¾ º Ì Ç Ê Å Ä Í Æ Á  

 

Ç Æ Á Å È Ä  

 

Á Á Ì   ½ ¿ 

Ð Ù Ð Õ Ù Ò Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ù Ò  Ó Ò Ò Ú Ö × Ú Ñ Ó × Ù Ò Ñ Ô Ð Ó Ò Ø ×  

Ö Ð Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ð Ø Ó Ö Ñ º  

Ñ Ô Ð Ó º   Ó Ò × Ö Ð × × Ø Ñ Ù Ó Ò ×  

Ü 

¾ 

· × Ò ´  Ý  µ · Ó × ´  Ý Þ  µ     Û 

¿ 

   ½ ¼ 

Ü 

¿ 

· Ó × ´  Ý Ü  µ · × Ò ´  Þ  µ     Û 

¾ 

   ½ ¼ 

µ Å Ù × Ø Ö Õ Ù × Ô Ó × Ð × Ô Ö ´  Ý Þ  µ Ò Ù Ò  Ó Ò ´  Ü Û  µ Ò Ù Ò Ú Ò  

Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´  Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

Û 

¼ 

µ ´ ¼    ¼    ¼    ¼ µ º Ð Ù Ð Ö  

Ý 

Ü 

´ ¼    ¼ µ º 

µ × Ô Ó × Ð × Ô Ö ´  Ü Ý  µ Ò Ù Ò  Ó Ò Ð × Ú Ö Ð × ´  Þ Û  µ Ò Ù Ò Ú Ò  

´ ¼     ¼    ¼ µ É Ù × Ô Ù Ö × Ô Ö ´  Ü Û  µ Ò Ù Ò  Ó Ò ´  Ý Þ  µ  

Ë Ó Ð Ù  Ó Ò  

µ È Ö × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ × Ø Ò Õ Ù Ð Ù Ò  Ó Ò    ×  

   ́ Ü Ý Þ Û   µ  ́ Ü 

¾ 

· × Ò ´  Ý  µ · Ó × ´  Ý Þ  µ     Û 

¿ 

   ½  Ü 

¿ 

· Ó × ´  Ý Ü  µ · × Ò ´  Þ  µ     Û 

¾ 

   ½ µ º 

Ò Ø Ó Ò ×     × Ð ×     

½ 

Ý    ´ ¼    ¼    ¼    ¼ µ ´ ¼    ¼ µ º Ñ   × 

 

 ́ Ý Þ  µ 

   ́ Ü Ý Þ Û   µ  

 

 

½ 

Ý  

½ 

Þ 

 

¾ 

Ý  

¾ 

Þ 

 

 

 

Ó ×  Ý 

  × Ò ´  Ý Þ  µ  Þ 

  × Ò ´  Ý Þ  µ  Ý 

   × Ò ´  Ý Ü  µ  Ü  Ó × ´  Þ  µ 

 

Ð Ù Ó  

 

 ́ Ý Þ  µ 

  ´ ¼    ¼    ¼    ¼ µ  

 

½ ¼ 

¼ ½ 

 

Õ Ù × Ò Ú Ö Ø Ð º Ä Ù Ó ¸ Ö × Ð Ø Ö Ó Ö Ñ ¸ × Ô Ó × Ð × Ô Ö ´  Ý Þ  µ Ò 

Ù Ò  Ó Ò ´  Ü Û  µ Ñ Ò Ö Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ú Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ¼    ¼ µ º 

Ë Ö Ú Ñ Ó × Ð × Ù Ó Ò × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó   Ü  Ó Ø Ò Ñ Ó ×  

¾  Ü  · Ó × ´  Ý  µ 

Ý 

Ü 

   Ó × ´  Ý Þ  µ  ́ Ý 

Þ 

Ü 

·  Þ 

Ý 

Ü 

µ ¼ 

¿  Ü 

¾ 

   × Ò ´  Ý Ü  µ  ́

Ý 

Ü 

Ü  ·  Ý  µ · Ó × ´  Þ  µ 

Þ 

Ü 

¼ 

Ú Ð Ù Ò Ó Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ¼    ¼    ¼    ¼ µ × Ø Ò Õ Ù   Ý Ü   ´ ¼    ¼ µ ¼ º  

µ Ò × Ø × Ó × Ø Ò Õ Ù     ´ ¼    ¼    ¼ µ ´ ¼    ¼ µ Ý 

 

 ́ Ü Ý  µ 

   ́ Ü Ý Û Þ  µ  

 

¾  Ü  Ó × ´  Ý  µ     × Ò ´  Ý Þ  µ  Þ 

¿  Ü 

¾ 

   × Ò ´  Ý Ü  µ  Ü 

 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 144/164

½   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó  

 

 ́ Ü Ý  µ 

  ´ ¼    ¼    ¼ µ  

 

¼     ½ 

¼ ¼ 

 

× Ø  Ù Ð Ø Ñ Ò Ó × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ò Ú Ö Ø Ð Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ó × Ô Ð Ð º  

Ë × Õ Ù × Ö × Ô Ö ´  Ü Û  µ Ò Ù Ò  Ó Ò ´  Ý Þ  µ Ñ Ó × Ó × Ö Ú Ö Ð Ñ Ø Ö Þ  

 

 ́ Ü Û  µ 

   ́ Ü Ý Þ Û   µ  

 

¾  Ü     ¿  Û 

¾ 

¿  Ü 

¾ 

   ¾  Û 

 

Õ Ù Ø Ñ Ô Ó Ó × Ò Ú Ö Ø Ð Ò Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × ´ ¼    ¼    ¼    ¼ µ Ý ´ ¼     ¼    ¼ µ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù  

Ò Ù Ú Ñ Ò Ø Ð Ø Ó Ö Ñ Ò Ó × Ô Ð Ð º  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò  Ó Ò Á Ñ Ô Ð Ø µ  

¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò  Ó Ò 

  ª     Á Ê 

Ò  ·  Ñ 

    Á Ê 

Ò  ·  Ñ 

 ́ Ü Ý  µ         ́ Ü Ý  µ  ́ Ü    ́ Ü Ý  µ µ 

Õ Ù × Ú Ò Ø Ñ Ò Ø Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ð ×     

½ 

Ö × Õ Ù     Ð Ó × º Ë Ù  

Â Ó Ò Ó Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´     µ × 

   ́   µ  

 

Á 

Ñ  ¢  Ñ 

¼ 

 

Ü 

   ́   µ   

Ý 

   ́   µ 

 

Õ Ù × Ò Ú Ö Ø Ð Ý Õ Ù Ô Ó Ö Ô  Ó Ø × ×    

Ý 

   ́   µ Ð Ó × º Ñ   ×     ́   µ  ́   ¼ µ º 

È Ó Ñ Ó × Ò Ø Ó Ò × Ô Ð Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ð Ù Ò  Ó Ò Á Ò Ú Ö × Ð Ù Ò  Ó Ò    º 

Ü × Ø Ò Ö Ø Ó ×   Í Î     Á Ê 

Ò  ·  Ñ 

Ø Ð × Õ Ù ´     µ  ¾   Í  ¸  ́   ¼ µ  ¾   Π Ý      Í      Π

× Ý Ø Ú Ó Ò Ò Ú Ö × Ð ×     

½ 

º ¬ Ò Ñ Ó × Ó Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó   Ï       Þ  ¾  

Á Ê 

Ñ 

   ́ Þ   ¼ µ  ¾   Π    ¸ Ò Ø Ó Ò ×     ¾   Ï  Ý  Ï  × Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ö Ø Ó   Á Ê 

Ñ 

Ô Ù ×  

Π × Ö Ø Ó ´ Ö Ó Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù   Ï  × Ö Ø Ó µ º Ä Ù Ó ¸ Ô Ö  

Þ  ¾   Ï  Ð Ù  Ó Ò     ́ Ü Ý  µ  ́ Þ   ¼ µ Ø Ò Ù Ò  Ù Ò Ó Ô Ö ´  Ü 

Þ 

Ý 

Þ 

µ Ó Ñ Ó × Ó Ð Ù  Ó Ò  ̧

× Ö ¸  

 ́ Ü 

Þ 

   ́ Ü 

Þ 

Ý 

Þ 

µ µ ´  Þ   ¼ µ 

× Ø Ó  Ù Ð Ø Ñ Ó Ñ Ô Ð Õ Ù   Ü 

Þ 

  Þ  Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó      ́ Þ Ý  µ ¼ º Ó Ñ Ó   Ý 

Þ 

×  Ù Ò Ó  

Ó   Þ  ¸ × Ø Ó ¬ Ò Ù Ò Ù Ò  Ó Ò     ́ Þ  µ   Ý 

Þ 

º Ú Ò Ø Ñ Ò Ø      ́   µ     ¸ Ý 

 ́ Þ Ý 

Þ 

µ    

  ½ 

 ́ Þ   ¼ µ ´  Þ    ́ Þ  µ µ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 145/164

º ¿ º Ç Å Ì Ê  

 

Á Å Í Ä Ì Á È Ä Á Ç Ê Ë Ä Ê Æ   ½  

× Ø Ó Ö Ñ ¸    × Ð Ù Ò  Ó Ò Õ Ù × Ø Ñ Ó × Ù × Ò Ó Ý Ó Ñ Ó    

  ½ 

× Ð ×  

  

½ 

¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ù  Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö Õ Ù     × Ð ×     

½ 

Ø Ñ Ò º Ë Ø Ò  

Õ Ù     × Ø × Ð Ù  Ó Ò     ́ Þ    ́ Þ  µ µ ¼ ¸ Ý Ó Ñ Ó     Ý    × Ó Ò Ð ×     

½ 

Ô Ó Ñ Ó × Ð Ù Ð Ö Ð Â Ó Ò Ó     Ù × Ò Ó × Ø Ù  Ó Ò Ý Ð Ö Ð Ð  

Ò  

 

Ü 

   ́ Þ    ́ Þ  µ µ  Á 

Ñ  ¢  Ñ 

·   

Ý 

   ́ Þ    ́ Þ  µ µ     ́ Þ  µ ¼ 

Ó Ò × Ó Ø Ò Ð Ö × Ù Ð Ø Ó  

   ́ Þ  µ         

Ý 

   ́ Þ    ́ Þ  µ µ  

  ½ 

 

Ü 

   ́ Þ    ́ Þ  µ µ 

Ô Ö Ø Ó Ó   Þ  ¾   Ï  º  £ 

º ¿ Ó Ñ Ø Ö Ý Å Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö × Ä Ö Ò      

Ä Ô Ö Ù Ò Ø   × Õ Ù Õ Ù Ö Ñ Ó × Ö × Ô Ó Ò Ö Ò × Ø ×  Ó Ò ¸ × Ù Ò Ó Ù Ò  

Ù  Ó Ò Ó Ñ Ó      ́ Ü Ý Þ  µ ¼ ¬ Ò Ù Ò × Ù Ô Ö ¬  

Ä Ó × Ó × Ñ Ô Ð Ó × × Ù Ò Ø × × Ó Ò Ñ Ù Ý Ð Ó Ù Ò Ø ×  

½ º  Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

·  Þ 

¾ 

  ½ ¼ 

¾ º  Ü   ́ Þ     Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ ¼ 

½ º Ö Ø Ñ Ò Ø × Ù Ò × Ù Ô Ö ¬ ´ × Ð × Ù Ô Ö Ð × Ö Ö Ó ½ Ý  

Ò Ø Ö Ó Ò Ð Ó Ö Ò µ º Ë Ò Ñ Ö Ó ¾ º   Ò Ó ×   Ù Ò × Ù Ô Ö ¬ º  

× Ø Ñ Ô Ð Ó Ò Ó × Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ö × Ô Ù × Ø ×   Ð Ó Ð  º Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ò Ð  

× Ù Ô Ö ¬ ¾ º Ó Ù Ö Ö Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´ ¼    ¼    ¼ µ Ó Ò   Ö     ´ ¼    ¼    ¼ µ ´ ¼    ¼    ¼ µ º 

Ò Ò Ö Ð ¸ × Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´  Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ × Ø Ð Õ Ù      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ ¼ Ý  

Ö     ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ 

 

¼ Ò Ø Ó Ò × Ð Ù  Ó Ò     ́ Ü Ý Þ  µ ¼ ¬ Ò Ù Ò × Ù Ô Ö ¬ ¸ Ð Ñ Ò Ó × Ò Ù Ò  

Ú Ò ´  Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ Ò Ø Ó ¸ ×   Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ð Ù Ò  

Ö Ú Ô Ö Ð × Ò Ó Ò Ù Ð ¸ × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × × Ò Ô Ö Ò Ö Ð Õ Ù  

 

Ý 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  ¼ 

Ò Ø Ó Ò × ¸ Ô Ó Ö Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ù Ò  Ó Ò Ñ Ô Ð Ø ¸ × Ô Ó × Ð × Ô Ö   Ý  Ò 

Ù Ò  Ó Ò ´  Ü Þ  µ ¸ × Ö ¸ Ô Ó Ñ Ó × × Ö Ö   Ý    Ý   ́ Ü Þ  µ ¸ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ð  

Ó Ò Ù Ò Ø Ó   Ë        ́ Ü Ý Þ  µ     ́ Ü Ý Þ  µ ¼     × Ð Ó Ð Ñ Ò Ø Ð Ö Ó Ù Ò Ù Ò  Ó Ò  ̧

× Ö ¸ × Ù Ò × Ù Ô Ö ¬ º  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 146/164

½   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

¬ Ò  Ó Ò º ½   ´ × Ô Ó × Æ Ó Ö Ñ Ð Ý Ì Ò Ò Ø µ  

Ë       Á Ê 

¿ 

    Á Ê  Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ö Ò Ð º Ë    ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  Ø Ð Õ Ù      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  

¼  ¸ Ý × Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù   Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  ¼  º Ä Ð Ñ Ñ Ó ×   Ë  Ð × Ù Ô Ö ¬ Õ Ù ¹  

 ¬ Ò Ð Ù  Ó Ò     ́ Ü Ý Þ   µ ¼  Ò Ø Ó Ö Ò Ó    ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  º Ë ¬ Ò Ð × Ô Ó  

Æ Ó Ö Ñ Ð   Ë  Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó    ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  Ó Ñ Ó Ð × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð Ò Ö Ó Ô Ó Ö Ð  

Ö Ò Ø     Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó    ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  Ý × Ò Ó Ø   Æ 

× 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  º 

Æ 

× 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ   Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ   

Ð × Ô Ó Ì Ò Ò Ø   Ë  Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó    ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  × Ò Ó Ø   Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  Ý ×  

¬ Ò Ó Ñ Ó Ð Ó Ö Ø Ó Ó Ò Ð Ð × Ô Ó Ò Ó Ö Ñ Ð  

Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ   Æ 

× 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ 

 

      ́ Ü Ý Þ  µ  ¾   Á Ê 

¿ 

   ́ Ü Ý Þ  µ  ¡ Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ ¼    

Ç × Ö Ú  Ó Ò º ½   Ä Ó × × Ô Ó × Ø Ò Ò Ø Ý Ò Ó Ö Ñ Ð ¸ × Ó Ò × Ô Ó × Ú Ø Ó Ö Ð × ¸  

Ý Ò Ó Ô × Ò Ò × Ö Ñ Ò Ø Ô Ó Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´  Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ º 

Ó Ò Ð ¬ Ò  Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö ¸ ×       Á     Á Ê      Á Ê 

¿ 

× Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ø Ð Õ Ù  

   ́ Ø  µ  ¾   Ë     Ø  ¸ Ý    ´ ¼ µ ´  Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ ¸ Ò Ø Ó Ò ×    

¼ 

´ ¼ µ  ¾   Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ º 

× Ô Ó × Ð Ð Ò Þ Ö   Ú  ¾   Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ × Ø Ó Ö Ñ ¸ Ó Ò Ù Ò Ù Ò  Ó Ò   

Ù  

Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù   Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  ¼ º Ë   Ú  ¾   Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ º Ð Ñ Ó ×     ¼  

Ñ Ò Ö Ø Ð Õ Ù        Ú   Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ    × Ñ Ô Ö Ü × Ø Ø Ð     Ô Ù × Ð × Ô Ó  

Ú Ø Ó Ö Ð      Ú   Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ    Ø Ò Ñ Ò ×  Ó Ò ¾ º Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × × Ø Ñ  

Ù Ó Ò ×  

   ́ Ü Ý Þ   µ ¼ 

 ́ Ü     Ü 

¼ 

Ý     Ý 

¼ 

Þ     Þ 

¼ 

µ  ¡    ¼ 

Ð Â Ó Ò Ó Ð × × Ø Ñ Ò Ø Ö Ó Ö Ò Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´  Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ × 

 

Ü    ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  Ý   ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  Þ   ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ 

 

Ü 

 

Ý 

 

Þ 

 

Ó Ñ Ó     Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ ¸ Ð Ñ Ø Ö Þ Â Ó Ò Ø Ò Ö Ò Ó ¾ ¸ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò ¹  

Ø Ó × Ñ Ô Ö × Ô Ó × Ð × Ó Ö Ó × Ó Ð Ù Ñ Ò × Ø Ð × Õ Ù Ð Ñ Ø Ö Þ Ö × Ù Ð Ø Ò Ø  

× Ò Ú Ö Ø Ð º Ð Ø Ó Ö Ñ Ð Ù Ò  Ó Ò Ñ Ô Ð Ø Ò Ó × × Ù Ö Ò Ø Ó Ò × Õ Ù  

Ô Ó Ö Ñ Ó × × Ñ Ô Ö × Ô Ö Ó × Ú Ö Ð × Ò Ù Ò  Ó Ò Ù Ò º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó ×  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 147/164

º ¿ º Ç Å Ì Ê  

 

Á Å Í Ä Ì Á È Ä Á Ç Ê Ë Ä Ê Æ   ½  

× Ò Ô Ö Ò Ö Ð Õ Ù × Ô Ó × Ð × Ô Ö ´  Ý Þ  µ Ò Ù Ò  Ó Ò   Ü   ̧

Ò Ø Ó Ò ×  

   ́ Ü Ý   ́ Ü  µ  Þ   ́ Ü  µ µ ¼  

 ́ Ü     Ü 

¼ 

Ý   ́ Ü  µ     Ý 

¼ 

Þ   ́ Ü  µ     Þ 

¼ 

µ  ¡    ¼ 

Ë × ¬ Ò      ́ Ø  µ  ́ Ø  ·  Ü 

¼ 

Ý   ́ Ø  ·  Ü 

¼ 

µ  Þ   ́ Ø  ·  Þ 

¼ 

µ µ ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

   ́    ́ Ø  µ µ ¼       ́    ́ Ø  µ      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ µ  ¡    ¼ 

Ô Ö Ø Ó Ó   Ø  Ò Ù Ò Ú Ò Ð Ö Ó º Ä Ù Ò  Ó Ò     ́ Ø  µ × Ð ×     

½ 

Ô Ù × Ð ×  

Ù Ò Ó Ò ×   Ý   ́ Ü  µ  Þ   ́ Ü  µ Ð Ó × Ó Ò ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ Ö Ú Ò Ó Ð × Ù Ó Ò × Ò Ø Ö Ó Ö ×  

Ó Ò Ö × Ô Ø Ó   Ø  Ý Ú Ð Ù Ò Ó Ò   Ø  ¼ × Ó Ø Ò  

Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  ¡   

¼ 

´ ¼ µ ¼       

¼ 

´ ¼ µ  ¡    ¼ 

Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ö Ð Ð  Ó Ò     Ò Ó Õ Ù Ó Ø Ö Ô Ó × Ð Ñ   × Õ Ù    

¼ 

´ ¼ µ    Ú  º Ë  

× ¬ Ò     ́ Ø  µ      ́   Ú    Ø      

¼ 

´ ¼ µ    µ Ò Ø Ó Ò ×   

¼ 

´ ¼ µ   Ú  Ý    ´     ́ Ø  µ µ ¼ Ô Ö Ø Ó Ó  

Ø  Ò Ù Ò Ú Ò Ð Ö Ó º × Ø Ó Ö Ñ Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × Õ Ù  

Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ       

¼ 

´ ¼ µ     ́ Ø  µ  ¾   Ë     Ø   ´ ¼ µ ´  Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ    

Ì Ó Ö Ñ º ¿   ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ó × Å Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö × Ä Ö Ò ¸ × Ó Ô Ö Ø Ù ¹  

Ð Ö µ  

Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × Ù Ò Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ô Ø Ñ Þ  Ó Ò 

È  µ Ñ Ò     ́ Ü Ý Þ   µ 

×   ́ Ü Ý Þ   µ ¼ 

Ó Ò      Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º Ë    ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  × Ù Ò × Ó Ð Ù  Ó Ò Ð Ô Ö Ó Ð Ñ  

È  ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø     ¾   Á Ê  Ø Ð Õ Ù  

Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ     Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  Ë       Á     Á Ê      Á Ê 

¿ 

Ø Ð Õ Ù      ́    ́ Ø  µ µ ¼ Ý     ´ ¼ µ  

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ ¸ × Ö ¸      ́ Ø  µ  ¾   Ë  Ô Ö   Ø  Ò Ù Ò Ú Ò Ð Ó Ö Ò º Ó Ñ Ó  

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ × Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð     Ö × Ø Ö Ò Ó   Ë  ¸ Ò Ø Ó Ò ×  

 

Ø 

   ́    ́ Ø  µ µ   

Ø  ¼ 

  Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  ¡   

¼ 

´ ¼ µ ¼  

Ô Ó Ö Ð Ó Ó Ò Ø Ö Ó Ö Ñ Ò Ø ¸ × Ø Ó Õ Ù Ú Ð Õ Ù   Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  ¡  Ú  ¼     Ú  ¾  

Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  µ Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ  ¾   Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ 

 

  Æ 

× 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ ¸ Ý Ò Ø Ó Ò ×  

Ô Ó Ö ¬ Ò  Ó Ò   Æ 

× 

 ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ Ü × Ø     ¾   Á Ê  Ø Ð Õ Ù  

Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ     Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý 

¼ 

Þ 

¼ 

µ    £ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 148/164

½   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ì Ó Ö Ñ º   ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ó × Å Ù Ð Ø Ô Ð Ó Ö × Ä Ö Ò ¸ × Ó Ò Ö Ð µ  

Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ô Ø Ñ Þ  Ó Ò × Ù Ò Ø  

È  µ Ñ Ò     ́ Ü  µ 

×  

 

 ́ Ü  µ ¼    ½   

Ó Ò    

 

  Á Ê 

Ò 

    Á Ê  × Ó Ò Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º Ë Ù Ô Ó Ò Ñ Ó × Õ Ù     Ð Ò Þ  

Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð Ò   Ü 

¼ 

¾   Ë  ¸ Ó Ò   Ë       Ü  ¾   Á Ê 

Ò 

   ́ Ü  µ ¼     ¸ Ý Õ Ù      ́ Ü 

¼ 

µ  ¾  

Å 

  ¢  Ò 

Ø Ò Ö Ò Ó     º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ò    

½ 

 

 

Ø Ð × Õ Ù  

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  

Ò 

  

  ½ 

 

 

Ö    

 

 ́ Ü 

¼ 

µ 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  È Ó Ö Ò Ð Ó Ó Ò Ð × Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¬ Ò Ñ Ó × Ð × Ô Ó Æ Ó Ö ¹  

Ñ Ð   Ë  Ò  Ü 

¼ 

Ó Ñ Ó  

Æ 

× 

 ́ Ü 

¼ 

µ   Ö    

½ 

 ́ Ü 

¼ 

µ   Ö    

 

 ́ Ü 

¼ 

µ   

Ý Ð × Ô Ó Ì Ò Ò Ø   Ë  Ò  Ü 

¼ 

Ó Ñ Ó  

Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

µ   Æ 

× 

 ́ Ü 

¼ 

µ 

 

     Þ  ¾   Á Ê 

Ò 

Þ  ¡ Ö    

 

 ́ Ü 

¼ 

µ ¼    ½      

È Ù × Ø Ó Õ Ù      ́ Ü 

¼ 

µ × Ö Ò Ó     ¸ Ð × Ô Ó   Æ 

× 

 ́ Ü 

¼ 

µ × Ù Ò × Ô Ó Ú Ø Ó Ö Ð  

Ó Ò Ñ   Æ 

× 

 ́ Ü 

¼ 

µ     ¸ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ñ   Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

µ   Ò      

È Ö Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ø Ó Ö Ñ ¸ Ö Ñ Ó × Ù × Ó Ð × Ù Ò Ø Ð Ñ  

Ä Ñ º ½      Ú  ¾   Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

µ  Ü × Ø       Á     Á Ê      Á Ê 

Ò 

 ̧ ¼  ¾   Á  Ó Ò     ́    ́ Ø  µ µ ¼      Ø  ¾  

Á   ́    ́ Ø  µ  ¾   Ë     Ø  ¾   Á  µ       ´ ¼ µ   Ü 

¼ 

Ø Ð Õ Ù    

¼ 

  Ú  º × Ö  

Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

µ       

¼ 

´ ¼ µ     ́ Ø  µ  ¾   Ë     Ø   ´ ¼ µ   Ü 

¼ 

  

Ë Ð Ð Ñ Ù × Ö Ø Ó Ø Ò Ö Ñ Ó × Õ Ù          Á     Á Ê      Á Ê 

Ò 

Ø Ð Õ Ù      ́    ́ Ø  µ µ  

¼       ´ ¼ µ   Ü   

¼ 

 

Ø 

   ́    ́ Ø  µ µ   

Ø  ¼ 

  Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  ¡   

¼ 

´ ¼ µ ¼  

Ô Ù × Ø Ó Õ Ù   Ü 

¼ 

× Ù Ò Ñ Ò Ñ Ó Ð Ó Ð     Ö × Ø Ö Ò Ó   Ë  º Ä Ó Ò Ø Ö Ó Ö ×  

Õ Ù Ú Ð Ò Ø ¸ Ö × Ð Ð Ñ ¸ Õ Ù   Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  ¡  Ú  ¼     Ú  ¾   Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

µ ¸ Ó × ¸  

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  ¾   Æ 

× 

 ́ Ü 

¼ 

µ Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù  

Ö      ́ Ü 

¼ 

µ  

Ò 

  

  ½ 

 

 

Ö    

 

 ́ Ü 

¼ 

µ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 149/164

º ¿ º Ç Å Ì Ê  

 

Á Å Í Ä Ì Á È Ä Á Ç Ê Ë Ä Ê Æ   ½  

Ô Ö Ö Ø Ó ×    

½ 

 

Ò 

¾   Á Ê  ¸ Õ Ù × Ð Ó Õ Ù × Õ Ù Ö Ñ Ó × Ø Ö Ö º   £ 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ð Ä Ñ   Ë   Ú  ¾   Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

µ º Ë       

½ 

 

Ò        ½ 

   Ù Ò ×  

Ó Ö Ø Ó Ò Ó Ö Ñ Ð Ð × Ô Ó  

   Ú   Ö    

½ 

 ́ Ü 

¼ 

µ    Ö    

 

 ́ Ü 

¼ 

µ   

 

Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð × × Ø Ñ Ù Ó Ò × ´  Ò     ½ Ù Ó Ò × µ  

 

½ 

 ́ Ü  µ ¼ 

º 

º 

º 

 ́ Ü     Ü 

¼ 

µ  ¡   

½ 

¼ 

º 

º 

º 

 ́ Ü     Ü 

¼ 

µ  ¡   

Ò        ½ 

¼ 

Ð Ô Ù Ò Ø Ó   Ü 

¼ 

× Ø × Ð × Ù Ó Ò × ¸ Ý Ð Ñ Ø Ö Þ Â Ó Ò Ð × × Ø Ñ ×  

¼ 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ö    

½ 

 ́ Ü 

¼ 

µ 

º 

º 

º 

Ö   

 

 ́ Ü 

¼ 

µ 

 

½ 

º 

º 

º 

 

Ò        ½ 

½ 

 

 

 

 

 

 

 

 

Õ Ù × Ù Ò Ñ Ø Ö Þ Ö Ò Ó   Ò     ½ ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù Ô Ó Ñ Ó × × Ð Ó Ò Ö   Ò     ½ 

Ó Ð Ù Ñ Ò × Ø Ð × Õ Ù Ð Ñ Ø Ö Þ Ö × Ù Ð Ø Ò Ø × Ò Ú Ö Ø Ð ¸ Ý Ö × Ð Ø Ó Ö Ñ  

Ð Ù Ò  Ó Ò Ñ Ô Ð Ø Ô Ó Ñ Ó × × Ô Ö   Ò     ½ Ú Ö Ð × Ò Ù Ò  Ó Ò Ð  

Ö × Ø Ò Ø Ò Ù Ò Ú Ò   Ü 

¼ 

º Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø       Á   ́      µ      Á Ê 

Ò 

¬ Ò Ó Ñ Ò Ö Ò   Ð Ó Ð × Ó Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ Ø Ð Õ Ù      ́    ́ Ø  µ µ ¼     Ø  ¾   Á  Ý 

 ́    ́ Ø  µ     Ü 

¼ 

µ  ¡   

 

¼       Ø   ½  Ò           ½ 

Ö Ú Ò Ó Ð × Ù Ó Ò × Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ò Ö × Ô Ø Ó   Ø  Ý Ú Ð Ù Ò Ó Ò   Ø  ¼ ×  

Ó Ø Ò Õ Ù  

Ö    

 

 ́ Ü 

¼ 

µ  ¡   

¼ 

´ ¼ µ ¼     ½        

¼ 

´ ¼ µ  ¡   

 

¼    ½  Ò           ½ 

Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù    

¼ 

´ ¼ µ    Ú  º ¬ Ò Ò Ó     ́ Ø  µ      ́   Ú    Ø      

¼ 

´ ¼ µ    µ Ø Ò Ñ Ó ×  

Õ Ù   

¼ 

´ ¼ µ   Ú  ¸ Ð Ó Õ Ù Ò Ó × Ð Ð Ñ ¸ Ô Ù × Ð Ó Ø Ö Ò Ð Ù ×  Ó Ò      

¼ 

´ ¼ µ     ́ Ø  µ  ¾  

Ë     Ø   ´ ¼ µ   Ü 

¼ 

   Ì 

× 

 ́ Ü 

¼ 

µ × Ö Ø ´ Ò   Ð Ó Ð Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ò Ð × Ó  

Ô Ö Ø Ù Ð Ö µ   £ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 150/164

½ ¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

º Ð Ù Ò × Ê Ð × Ö Ú      Ó Ò Ó Ò Ð ×    

Ì Ó Ö Ñ º   ´ Ê Ð Ä Ò Þ Ö Ú  Ó Ò µ 

Ë       Á Ê 

¾ 

   Á Ê  Ð ×  

  

½ 

º  « ¬    Á Ê 

   Á Ê    Ù Ò Ó Ò × Ö Ò Ð × º  

Ò Ø Ó Ò × Ð Ù Ò  Ó Ò      Á Ê 

   Á Ê  ¬ Ò Ô Ó Ö  

   ́ Ü  µ  

  

¬   ́ Ü  µ 

«   ́ Ü  µ 

   ́ Ü Ø  µ  Ø 

× Ö Ò Ð Ý × Ù Ö Ú ×  

 

Ü 

  

¬   ́ Ü  µ 

«   ́ Ü  µ 

   ́ Ü Ø  µ  Ø       ́ Ü ¬   ́ Ü  µ µ  ¬ 

¼ 

 ́ Ü  µ        ́ Ü «   ́ Ü  µ µ  « 

¼ 

 ́ Ü  µ · 

  

¬   ́ Ü  µ 

«   ́ Ü  µ 

 

Ü 

   ́ Ü Ø  µ  Ø 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  ¬ Ò Ñ Ó × Ð Ù Ò  Ó Ò 

   ́ Þ Ü  µ  

  

Þ 

¼ 

   ́ Ü Ø  µ  Ø 

Ô Ó Ö Ð Ì Ó Ö Ñ Ù Ò Ñ Ò Ø Ð Ð   Ð Ù Ð Ó × Ñ Ó × Õ Ù  

 

Þ 

   ́ Þ Ü  µ      ́ Ü Þ  µ 

Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ó × Õ Ù  

 

Ü 

   ́ Þ Ü  µ  

  

Þ 

¼ 

 

Ü 

   ́ Ü Ø  µ  Ø 

Ô Ö Ð Ð Ó Ò Ó Ø Ñ Ó × Õ Ù  

   ́ Þ Ü  ·    µ        ́ Þ Ü  µ      

  

Þ 

¼ 

 

Ü 

   ́ Ü Ø  µ  Ø 

 

  

Þ 

¼ 

   ́ Ü  ·  Ø  µ ·     ́ Ü Ø  µ      

 

Ü 

   ́ Ü Ø  µ  Ø 

 

  

Þ 

¼ 

  

½ 

¼ 

 ́

 

Ü 

   ́ Ü  ·  Ý Ø  µ    

 

Ü 

   ́ Ü Ø  µ µ  Ý Ø  

Ä Ù Ò  Ó Ò  Ü   ́ ¡    ¡  µ × Ó Ò Ø Ò Ù ¸ Ý Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó ¸ Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù  

× Ó Ö  Ü        Ü  ·          ¢   ¼  Þ  ¸ × ¸ Ó     ¼ ¸ Ü × Ø     ¼ Ø Ð Õ Ù ×  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 151/164

º º Ä Í Æ Ë Ê Ä Ë Ê Á Î Á  

 

Ç Æ Á Á Ç Æ Ä Ë   ½ ½ 

   ́ Ü Ý  µ     ´  Ü    Ý  µ      Ò Ø Ó Ò ×     Ü   ́ Ü Ý  µ     Ü  ´  Ü    Ý  µ    Þ  º Ò Ø Ó Ò ×  

×           × Ø Ò Õ Ù  

 

 

Ü 

   ́ Ü  ·  Ý Ø  µ    

 

Ü 

   ́ Ü Ø  µ         Ø  ¾   ¼  Þ       Ý  ¾   ¼    ½  

Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù  

     ́ Þ Ü  ·    µ        ́ Þ Ü  µ      

  

Þ 

¼ 

 

Ü 

   ́ Ü Ø  µ  Ø           

×           Ó Ò × × Ù Ð Ö × Ù Ð Ø Ó º Ä Ù Ó  

  

¬   ́ Ü  µ 

«   ́ Ü  µ 

   ́ Ü Ø  µ  Ø       ́ ¬   ́ Ü  µ  Ü  µ        ́ «   ́ Ü  µ  Ü  µ 

Ý Ô Ð Ò Ó Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Ø Ò Õ Ù  

 

Ü 

  

¬   ́ Ü  µ 

«   ́ Ü  µ 

   ́ Ü Ø  µ  Ø 

 

 

Þ 

   ́ ¬   ́ Ü  µ  Ü  µ  ¬ 

¼ 

 ́ Ü  µ · 

 

Ü 

   ́ ¬   ́ Ü  µ  Ü  µ 

Ü 

Ü 

  

 

Þ 

   ́ «   ́ Ü  µ  Ü  µ  « 

¼ 

 ́ Ü  µ      

    

 

Ü 

   ́ ¬   ́ Ü  µ  Ü  µ 

Ü 

Ü 

     ́ Ü ¬   ́ Ü  µ µ  ¬ 

¼ 

 ́ Ü  µ        ́ «   ́ Ü  µ  Ü  µ  « 

¼ 

 ́ Ü  µ · 

  

¬   ́ Ü  µ 

¼ 

 

Ü 

 ́ Ü Ø  µ  Ø    

  

«   ́ Ü  µ 

¼ 

 

Ü 

 ́ Ü Ø  µ  Ø 

     ́ Ü ¬   ́ Ü  µ µ  ¬ 

¼ 

 ́ Ü  µ        ́ Ü «   ́ Ü  µ µ  « 

¼ 

 ́ Ü  µ · 

  

¬   ́ Ü  µ 

«   ́ Ü  µ 

 

Ü 

   ́ Ü Ø  µ  Ø 

£ 

Ì Ó Ö Ñ º   Ë Ò    

  Á Ê 

Ò 

Ý   

  Á Ê 

Ñ 

Ö Ø Ó × Ý        

¢   

   Á Ê  Ð ×  

  

½ 

º Ë   É 

    Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ð Ñ Ò Ø Ð Ö Ö Ó º Ò Ø Ó Ò × Ð Ù Ò  Ó Ò 

   ́ Ü  µ  

  

É 

   ́ Ü Ý  µ  Ý 

× Ð ×     

½ 

Ý 

 

Ü 

 

   ́ Ü  µ  

  

É 

 

Ü 

 

   ́ Ü Ý  µ  Ý 

Ô Ö Ø Ó Ó     ½  Ò  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 152/164

½ ¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  Ë   Ü 

¼ 

¾    

   ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ    

Ò 

  

  ½ 

 

 

  

É 

 

Ü 

 

   ́ Ü 

¼ 

Ý  µ  Ý 

 

  

É 

   ́ Ü 

¼ 

·  Ý  µ        ́ Ü 

¼ 

Ý  µ    

Ò 

  

  ½ 

 

 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

Ý  µ  Ý 

 

  

É 

 ́    ́ Ü 

¼ 

·  Ý  µ        ́ Ü 

¼ 

Ý  µ  Ö  

Ü 

   ́ Ü 

¼ 

Ý  µ  ¡    µ  Ý 

 

  

É 

  

½ 

¼ 

 ́ Ö  

Ü 

   ́ Ü 

¼ 

·  Ø Ý   µ  Ö  

Ü 

   ́ Ü 

¼ 

Ý  µ µ  ¡  Ø Ý  

Ä Ù Ò  Ó Ò 

Ö  

Ü 

   ́

¡  

¡ µ × Ó Ò Ø Ò Ù Ò  

 

   ́ Ü 

¼ 

  ½ µ 

¢  É  Õ Ù × Ó Ñ Ô Ø Ó  

µ    × 

Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù º Ä Ù Ó Ó     ¼ Ü × Ø     ¼ Ø Ð Õ Ù ×      ́ Ü Ý  µ    

´  Ü    Ý  µ      µ Ö  

Ü 

   ́ Ü Ý  µ  Ö  

Ü 

  ´  Ü    Ý  µ      Ú Ó Ð ´  É  µ º Ò Ø Ó Ò × ×           ×  

Ø Ò Õ Ù  

Ö  

Ü 

   ́ Ü 

¼ 

·  Ø Ý   µ  Ö  

Ü 

   ́ Ü 

¼ 

Ý  µ     

 

Ú Ó Ð ´  É  µ 

   Ø  ¾   ¼    ½      Ý  ¾   É 

Ð Ó Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù  

    ́ Ü 

¼ 

·    µ 

     ́ Ü 

¼ 

µ 

  

Ò 

  

  ½ 

 

 

  

É 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

Ý  µ  Ý 

 

  

  

É 

  

½ 

¼ 

Ö      ́ Ü 

¼ 

·  Ø Ý   µ  Ö      ́ Ü 

¼ 

Ý  µ        Ø Ý  

  

  

É 

  

½ 

¼ 

 

Ú Ó Ð ´  É  µ 

               

× Ø Ñ Ó Ó        ́ Ü 

¼ 

·    µ        ́ Ü 

¼ 

µ    

È  

Ò 

  ½ 

 

 

Ê 

É 

 

Ü 

 

 ́ Ü 

¼ 

Ý  µ  Ý             × Ñ Ô Ö  

Õ Ù           ¸ × Ö ¸     × Ö Ò Ð ×   Ü 

¼ 

Ý 

 

Ü 

 

   ́ Ü 

¼ 

µ  

  

É 

 

Ü 

 

   ́ Ü 

¼ 

Ý  µ  Ý 

Ô Ö Ø Ó Ó     ½  Ò   º Ä Ó Ò Ø Ò Ù Ð × Ö Ú × Ô Ö Ð × Õ Ù  

Ö Ó º   £ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 153/164

º º Ä  

 

Ç Ê Å Í Ä Å Á Ç Î Ê Á Ä Ë   ½ ¿ 

º Ä      Ó Ö Ñ Ù Ð Ñ Ó Î Ö Ð ×    

Ê Ó Ö Ñ Ó × Ð  Ó Ö Ñ Ù Ð Ñ Ó Ú Ö Ð ×  

  

  ´ ª µ 

   ́ Ü  µ  Ü   

  

ª 

   ́    ́ Ý  µ µ    Ø     ́ Ý  µ    Ý 

È Ö Ö × Ò Ø Ó Ð  Ó Ö Ñ Ù Ð × Ö Õ Ù Ö  

 ̄      Í      Π Ý Ø Ú Ð ×     

½ 

Ý Ó Ò Ò Ú Ö × Ð ×     

½ 

º ´ × Ø Ð ×  

Ù Ò Ó Ò × Ö Ð Ò Ó Ñ Ö   Ó Ñ Ó Ö ¬ × Ñ Ó  µ 

 ̄  ª × Ù Ò Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ù Ý Ö Ó Ò Ø Ö × Ð Ù Ò  Ó Ò ¬ Ò Ø Ö Ó × Ù Ò Ó Ò ×  

Ó Ò Ø Ò Ù ×  

 ̄        ´ ª µ      Á Ê  × Ó Ò Ø Ò Ù º  

Ò × Ø × Ö Ù Ò × Ø Ò × Ð × Ù Ò Ó Ò ×  

 

£ 

 ́ Ü  µ  

 

¼  Ü  ¾     ´ ª µ 

   ́ Ü  µ  Ü  ¾     ´ ª µ 

Ý 

 ́   Æ       Ø      µ 

£ 

 

 

¼  Ý  ¾     ª 

   ́    ́ Ý  µ µ    Ø     ́ Ý  µ    Ý  ¾   ª 

× Ó Ò Ò Ø Ö Ð × º  

È Ö Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð  Ó Ö Ñ Ù Ð Ñ Ó Ú Ö Ð × ¸ Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù Ö Ù Ò  

¬ Ò  Ó Ò   Ò Ø Ö Ð   Ù Ò Ô Ó Ó Ñ   × Ù Ö Ø º  

¬ Ò  Ó Ò º ¾        Á Ê 

Ò 

×   Ú ¹ Ñ Ð   ×     × Ó Ñ Ô Ø Ó Ý × Ù Ö Ó Ò Ø Ö  

× Ð Ù Ò  Ó Ò ¬ Ò Ø Ö Ó × Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × º  

Ñ Ô Ð Ó º          

Ò 

Ó Ò    Ý    ¬ Ò Ø Ó × × Ú ¹ Ñ Ð  

Ñ Ô Ð Ó º   Ë     × Ú ¹ Ñ Ð ¸ Ý     × Ù Ò Ó Ñ Ó Ö ¬ × Ñ Ó ¸ Ò Ø Ó Ò ×      ́   µ Ò 

Ú ¹ Ñ Ð  

Ç × Ö Ú Ñ Ó × Õ Ù ×     × Ú ¹ Ñ Ð ¸ Ò Ø Ó Ò × Ô Ó Ñ Ó × ¬ Ò Ö Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò  

  Ó Ñ Ó  

Ú Ó Ð ´    µ  

  

½ 

 

 ́ Ü  µ  Ü 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 154/164

½   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ó Ò  

½ 

 

 ́ Ü  µ  

 

¼  Ü  ¾    

½  Ü  ¾    

¬ Ò  Ó Ò º ¿   Ë     Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ú ¹ Ñ Ð º Í Ò   × Ó Ñ Ô Ó ×  Ó Ò        

× Ù Ò Ó Ð  Ó Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×    

½ 

 

 

Ø Ð × Õ Ù  

 ̄   

 

× Ú ¹ Ñ Ð ¸     ½   

 ̄       

½ 

         

 

 ̄  Ò Ø   ́  

 

    

 

µ     ¸ ×        

Ë ¬ Ò Ø Ñ Ò Ð   Ñ Ø Ö Ó   Ð × Ó Ñ Ô Ó ×  Ó Ò     Ó Ñ Ó  

Ñ      Ñ Ü  

½         

Ñ    

 

Ó Ò Ð Ñ Ø Ö Ó Ù Ò Ó Ò Ù Ò Ø Ó     Ú ¹ Ñ Ð × Ù Ð   Ñ     × Ù Ô  

 Ü 

  

Ý 

  Ü Ý  

¾   

  

Ð × Ó Ñ Ô Ó ×  Ó Ò         ¸ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ð Ú Ø Ó Ö      ́  

½ 

 

 

µ Ø Ð  

Õ Ù    

 

¾    

 

     ½   

¬ Ò  Ó Ò º   Ë             Á Ê  Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ó Ø º ¬ Ò Ñ Ó × Ð   Ë Ù Ñ  

Ê Ñ Ò Ò   × Ó    ́      µ  Ó Ñ Ó  

Ë   ́        µ  

 

  

  ½ 

   ́  

 

µ Ú Ó Ð ´   

 

µ 

¬ Ò  Ó Ò º   Ñ Ó × Õ Ù     ×  Ú ¹ Ò Ø Ö Ð   × Ó Ö     ¸ Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ú ¹ Ñ Ð ¸  

× Ü × Ø   Á  ¾   Á Ê  Ø Ð Õ Ù  

     ¼       ¼ Ø Ð Õ Ù      × º    

´ Ñ             × Ó Ó      µ  µ   Ë   ́        µ     Á     

Ë Ø Ð   Á  Ü × Ø ¸ ×  Ù Ò Ó ¸ ´ Ñ Ó × Ø Ö Ö Ð Ó µ Ý Ò Ó Ø Ñ Ó ×   Á   

Ê 

 

   ́ Ü  µ  Ü 

Ó Ò × Ø ¬ Ò  Ó Ò Ô Ó Ñ Ó × × Ù Ö Ô × Ó Ô × Ó Ð Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ý  

Ô Ö Ô Ö Ó Ö Ð Ô Ö Ó Ô Ó × Ó Ò × Ù Ò Ø  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 155/164

º º Ä  

 

Ç Ê Å Í Ä Å Á Ç Î Ê Á Ä Ë   ½  

È Ö Ó Ô Ó ×  Ó Ò º ½             Á Ê  Ó Ò Ø Ò Ù   µ      × Ú ¹ Ò Ø Ö Ð  

Ì Ñ Ò × Ô Ù Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù ×             Á Ê  × Ó Ø Ý Ó Ò Ø Ò Ù × Ð Ú Ó  

× Ó Ö Ð Ö Ó Ù Ò Ò  Ù Ñ Ö Ó ¬ Ò Ø Ó Ù Ò Ó Ò × Ó Ò Ø Ò Ù × ¸ Ò Ø Ó Ò ×     × 

Ú ¹ Ò Ø Ö Ð º  

Ì Ó Ö Ñ º   ´ Ì Ó Ö Ñ Ð Ñ Ó Î Ö Ð × µ  

Ë   ª  Ú ¹ Ñ Ð Ý       Í      Π Ù Ò  Ó Ñ Ó Ö ¬ × Ñ Ó   ̧ ª     Í  º Ë         ´ ª µ      Á Ê 

Ú ¹ Ò Ø Ö Ð º Ò Ø Ó Ò ×     Æ     ª      Á Ê  × Ú ¹ Ò Ø Ö Ð Ý  

  

  ´ ª µ 

   ́ Ü  µ  Ü   

  

ª 

   ́    ́ Ý  µ µ    Ø     ́ Ý  µ    Ý 

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  Ä Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ð Ø Ó Ö Ñ Ø Ò Ó × Ô Ö Ø × Ô Ö Ñ Ö Ó Ð  

× Ó Ò Õ Ù     × Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ð Ò Ð ¸ Ý Ð Ù Ó Ð × Ó Ò Ö Ð º  

× Ó     Ð Ò Ð Ä Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ý Ù Ô Ö   Á Ê 

¿ 

¸ Ý × Ü Ø Ò  

Ñ Ò Ö Ò   Ð Ó   Á Ê 

Ò 

¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù × Ù Ô Ó Ò Ö Ñ Ó × Ö Ø Ó Ð Ö × Ù Ð Ø Ó Ò Ð × Ó  

Ð Ò Ð º × Ø Ò Ñ Ó × ¸ ×   Ì  × Ð Ò Ð Õ Ù  

Ú Ó Ð ´  Ì   ́   µ µ  

  

Ì   ́   µ 

½  

  

 

½    Ø  Ì    Ú Ó Ð ´    µ    Ø  Ì       Ú ¹ Ñ Ð  

× Ó Ò Ö Ð Æ × Ø Ö Ñ Ó × Ó × Ð Ñ × Ô Ö Ú Ó ×  

Ä Ñ º ¾   Ë   Í  Ö Ø Ó ¸        Í  Ó Ñ Ô Ø Ó Ý   ³    Í  ¢   Í      Á Ê  Ó Ò Ø Ò Ù Ø Ð  

Õ Ù   ³   ́ Ü Ü  µ ½ 

  Ü 

¾  Í  º Ò Ø Ó Ò ×  

     ¼ 

     ¼  Ø Ð Õ Ù  

Ü Ý  ¾       Ü     Ý      µ   ³   ́ Ü Ý  µ     ½     

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  È Ù × Ø Ó Õ Ù     × Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ò Ø Ó Ò ×     ¢        Í  ¢   Í  Ø Ñ Ò  

× Ó Ñ Ô Ø Ó ¸ Ô Ó Ö Ð Ó Õ Ù   ³  × Ö   Ù Ò Ó Ö Ñ Ñ Ò Ø Ó Ò Ø Ò Ù × Ó Ö     ¢     º Ä Ù Ó ¸  

Ó     ¼       ¼ Ø Ð Õ Ù     Ü     Þ    ·    Ý     Û         ́ Ü Ý  µ      ́ Þ Û  µ      µ   ³   ́ Ü Ý  µ    

³   ́ Þ Û  µ      ¸ Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸ ×     Ü     Ý      Ò Ø Ó Ò ×      ́ Ü Ý  µ      ́ Ü Ü  µ      Ð Ó 

Õ Ù Ñ Ô Ð Õ Ù     ³   ́ Ü Ý  µ     ³   ́ Ü Ü  µ        ³   ́ Ü Ý  µ     ½      £ 

Ä Ñ º ¿   Ë Ò   Í Î     Á Ê 

Ò 

Ö Ø Ó × Ý       Í      Π Ù Ò Ó Ñ Ó Ö ¬ × Ñ Ó Ð ×  

  

½ 

º Ë        Í  Ù Ò Ó Ñ Ô Ø Ó Ú ¹ Ñ Ð Ý   Å  × Ù Ô        ́ Ü  µ    Ü  ¾        º ´ Ó Ò  

¡   × Ù Ð Õ Ù Ö Ò Ó Ö Ñ Ñ Ø Ö Ð ¸ Ô Ó Ö Ñ Ô Ð Ó         Ñ Ü  

½        Ò 

  

È  

Ò 

  ½ 

   

 

   µ 

Ò Ø Ó Ò ×  

Ú Ó Ð ´     ́   µ µ     Å 

Ò 

Ú Ó Ð ´    µ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 156/164

½   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò  Ñ Ó × Ø Ö Ñ Ó × Ô Ö Ñ Ö Ó Ð × Ó Ò Õ Ù     × Ù Ò Ù Ó ¸ Ó Ò  

Ò Ø Ö Ó    Ô  Ý Ð Ó ¾    ¸ × Ö ¸  

     Ô 

½ 

   Ô 

½ 

·      ¢     ¢      Ô 

Ò 

   Ô 

Ò 

·     

Ò 

  

  ½ 

   Ô 

 

   Ô 

 

·     

È Ó Ö Ð × Ù Ð Ð Ú Ð Ó Ö Ñ Ó Ø Ò Ñ Ó × Õ Ù      

 

 ́ Ü  µ      

 

 ́  Ô  µ     Å   Ý Ô Ó Ö  

Ð Ó Ø Ò Ø Ó  

     ́ Ü  µ        ́  Ô  µ   

½ 

   Å      Ü  ¾    

× Ö ¸      ́ Ü  µ × Ø   × Ø Ò Ð Ó Ñ   ×  Å        ́  Ô  µ Ô Ö Ø Ó Ó   Ü 

¾     ̧

Ò Ø Ó Ò ×  

   ́   µ        

½ 

 ́  Ô  µ     Å  

½ 

 ́  Ô  µ ·  Å     ¢     ¢      

Ò 

 ́  Ô  µ     Å  

Ò 

 ́  Ô  µ ·  Å    

 

Ò 

  

  ½ 

   

 

 ́  Ô  µ     Å  

 

 ́  Ô  µ ·  Å    

Ó × Õ Ù Ú Ó Ð ´     ́   µ µ     Ú Ó Ð ´  

É  

Ò 

  ½ 

   

 

 ́  Ô  µ     Å  

 

 ́  Ô  µ ·  Å   µ   Å 

Ò 

´ ¾    µ 

Ò 

 

Å 

Ò 

Ú Ó Ð ´    µ 

Ð × Ó Ò Ö Ð Ð Ó Ñ Ó × Ô Ó Ö Ô Ö Ó Ü Ñ  Ó Ò º Ë     ¼ ¸ Ò Ø Ó Ò × Ü × Ø Ù Ò  

Ö Ø Ó     Ø Ð Õ Ù             Í  Ý       ́ Ü  µ     Å  ·    Ô Ö Ø Ó Ó   Ü  ¾     ´ È Ó Ö Ð  

Ó Ò Ø Ò Ù     µ º 

Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó     × Ô Ù Ù Ö Ö Ô Ó Ö Ù Ò Ò  Ù Ñ Ö Ó ¬ Ò Ø Ó Ù Ó × Ó Ò Ò Ø Ö Ó Ö ×  

× Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ø Ò Ó × Ò    

    

 

  

  ½ 

 

 

Ó Ò  Ò Ø   ́  

 

µ     Ò Ø   ́  

 

µ     ×         º Ñ   × Ð Ó × Ù Ó × × Ô Ù Ò × Ù Ô Ó Ò Ö Ø Ò  

Ô Õ Ù  Ò Ó × Õ Ù  

 

  

  ½ 

Ú Ó Ð ´   

 

µ     Ú Ó Ð ´    µ ·   

Ä Ù Ó  

   ́   µ    

 

  

  ½ 

   ́  

 

µ  µ    Ú Ó Ð ´     ́   µ µ    

 

  

  ½ 

Ú Ó Ð ´     ́  

 

µ µ    

 

  

  ½ 

Å 

Ò 

 

Ú Ó Ð ´   

 

µ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 157/164

º º Ä  

 

Ç Ê Å Í Ä Å Á Ç Î Ê Á Ä Ë   ½  

Ó Ò   Å 

 

× Ù Ô        ́ Ü  µ    Ü  ¾    

 

   Å  ·    Ô Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó Ú Ó Ð ´     ́   µ µ    

 ́ Å  ·    µ 

Ò 

´ Ú Ó Ð ´    µ ·    µ º Ó Ñ Ó × Ø × Ù Ð × Ú   Ð Ô Ö Ø Ó Ó     ¼ 

Ó Ò Ð Ù Ñ Ó × Õ Ù  

Ú Ó Ð ´     ́   µ µ 

  Å 

Ò 

Ú Ó Ð ´    µ 

£ 

È Ö ¬ Ò Ð Þ Ö Ó Ò Ð Ñ Ó × Ø Ö  Ó Ò Ò Ð × Ó Ò Ö Ð ¸ Ó Ò × Ö Ñ Ó × Ù Ò ¹  

× Ó Ñ Ô Ó ×  Ó Ò           

½ 

 

 

   ª Ý Ô Ù Ò Ø Ó ×    

 

¾    

 

Ô Ö         º Ò ¹  

Ø Ó Ò × Ð Ó × Ó Ò Ù Ò Ø Ó ×      ́  

 

µ ¬ Ò Ò Ù Ò × Ó Ñ Ô Ó ×  Ó Ò     ´ ª µ Ý Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó ×  

   ́  

 

µ  ¾      ́  

 

µ º × Ø × Ó Ñ Ô Ó ×  Ó Ò Ð Ò Ó Ø Ñ Ó × Ô Ó Ö        º Í × Ò Ó Ð ¹  

× Ù Ð Ð Ú Ð Ó Ö Ñ Ó × Ô Ù Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ü × Ø Ò Ó Ò × Ø Ò Ø ×    

½ 

 

¾ 

Ø Ð × Õ Ù  

 

½ 

Ñ ´       µ     Ñ ´     µ      

¾ 

Ñ ´       µ 

Ö × Õ Ù ª × Ó Ñ Ô Ø Ó º ¬ Ò Ñ Ó ×   Ì 

 

   

¼ 

 ́  

 

µ  ¾   Å 

Ò  ¢  Ò 

Ô Ö     ½     ̧

Ý 

Æ 

 

× Ù Ô     Ì 

  ½ 

 

 

¼ 

 ́ Ü  µ    Ü  ¾    

 

   Å 

 

× Ù Ô     Ì 

 

 ́  

  ½ 

µ 

¼ 

 ́ Ý  µ    Ý  ¾      ́  

 

µ    

Ó Ò  ¡   Ð Ñ × Ñ Ð Ð Ñ Ò Ø Ö Ó Ö º Ò Ø Ó Ò × × Ø Ò Õ Ù  

Ú Ó Ð ´     ́  

 

µ µ Ú Ó Ð ´  Ì 

 

Ì 

  ½ 

 

   ́  

 

µ µ 

    Ø ´  Ì 

 

µ    Ú Ó Ð ´  Ì 

  ½ 

 

   ́  

 

µ µ 

  Ø ´  Ì 

 

µ    Æ 

Ò 

 

Ú Ó Ð ´   

 

µ 

Ù Ð Ñ Ò Ö  

Ú Ó Ð ´   

 

µ    Ø ´  Ì 

  ½ 

 

µ    Ú Ó Ð ´     ́  

 

µ µ  Å 

Ò 

 

Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Ó Ø Ò Õ Ù  

Ú Ó Ð ´   

 

µ    Ø ´  Ì 

 

µ     Ú Ó Ð ´     ́  

 

µ µ     Ú Ó Ð ´     ́  

 

µ µ  ́ Å 

Ò 

 

   ½ µ 

Ú Ó Ð ´   

 

µ    Ø ´  Ì 

 

µ     Ú Ó Ð ´     ́  

 

µ µ     Ú Ó Ð ´   

 

µ    Ø ´  Ì 

 

µ    ´ ½     Æ 

Ò 

 

µ 

¬ Ò Ñ Ó × Ø Ñ Ò   ³   ́ Ü Ý  µ      ́  

¼ 

 ́ Ý  µ µ 

  ½ 

 

¼ 

 ́ Ü  µ    ¸ × Ø Ñ Ó Ó   ³   ́ Ü Ü  µ ½ 

Ô Ö Ø Ó Ó   Ü  ¾   ª º 

Ä Ù Ó ¸ Ö × Ð Ó × Ð Ñ × Ò Ø Ö Ó Ö × ¸ Ó     ¼ Ü × Ø     ¼ Ø Ð Õ Ù ×  

Ñ ´     µ    Ò Ø Ó Ò ×  

  Æ 

Ò 

 

   ½        Å 

Ò 

 

   ½     

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 158/164

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 159/164

º º Â Ê Á Á Ç Ë   ½  

º Ö Ó ×    

½ º Ó Ò × Ö Ð × Ù Ò Ø × × Ø Ñ Ò Ó ¹ Ð Ò Ð  

Ü 

¾ 

½ 

Ü 

¾ 

·  Ü 

¾ 

¾ 

Ü 

½ 

·  Ý 

¾ 

¾ 

Ý 

½ 

·  Ý 

¾ 

¼ 

Ü 

½ 

Ü 

¾ 

Ý 

½ 

·  Ü 

¾ 

Ý 

½ 

Ý 

¾ 

·  Ý 

¾ 

Ý 

½ 

Ü 

½ 

·  Ý 

¾ 

Ü 

½ 

Ü 

¾ 

¼ 

´ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù × Ô Ó × Ð × Ô Ö ´  Ý 

½ 

Ý 

¾ 

µ Ò Ù Ò  Ó Ò ´  Ü 

½ 

Ü 

¾ 

µ 

Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ð  Ù Ò Ô Ù Ò Ø Ó º  

´ µ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ó × Ú Ð Ó Ö ×  

Ý 

½ 

Ü 

¾ 

´ ½       ½ µ  

Ý 

¾ 

Ü 

¾ 

´ ½       ½ µ 

¾ º Ë   Þ   ́ Ü Ý  µ Ù Ò Ù Ò Ó Ò Ö Ò Ð ¬ Ò Ñ Ô Ð Ø Ñ Ò Ø Ô Ó Ö Ð  

Ù Ó Ò  

Þ    Ü  ¡     ́

Ý 

Þ 

µ 

Ó Ò       Á Ê      Á Ê  × Ù Ù Ò Ó Ò Ö Ú Ð º Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù  

¾  ́ Ü Ý  µ  ¡ Ö   Þ   ́ Ü Ý  µ   Þ   ́ Ü Ý  µ 

Á Ò Ó Ò Ó Ò × Ö       Á Ê 

¿ 

    Á Ê  ¬ Ò Ó Ñ Ó      ́ Ü Ý Þ  µ   Þ     Ü  ¡ 

   ́

Ý 

Þ 

µ 

¿ º Ó Ò × Ö Ð × Ù Ò Ø × × Ø Ñ Ò Ó Ð Ò Ð  

× Ò ´  Ü 

½ 

¡ Ý 

½ 

µ ·  Ü 

¿ 

Ó × ´  Ý 

¾ 

µ ¼ 

Ý 

¾ 

·  Ü 

¾ 

½ 

· ´ × Ò ´  Ü 

¾ 

µ µ 

¾ 

¼ 

Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ó × Ú Ð Ó Ö ×  

Ý 

½ 

Ü 

¾ 

´ ½    ¼    ¼ µ Ý 

Ý 

¾ 

Ü 

¿ 

´ ½    ¼    ¼ µ º 

Á Ò Ó Ò Ó Ò × Ö Ð Ù Ò  Ó Ò 

    Á Ê 

¿ 

¢   Á Ê 

¾ 

    Á Ê 

¾ 

 ́ Ü Ý   µ       ́ Ù   ́ Ü Ý   µ  Ú   ́ Ü Ý   µ µ 

Ó Ò  Ü   ́ Ü 

½ 

Ü 

¾ 

Ü 

¿ 

µ   Ý   ́ Ý 

½ 

Ý 

¾ 

µ  ̧ Ù Ú    Á Ê 

¿ 

¢   Á Ê 

¾ 

    Á Ê  × Ó Ò Ø Ð × Õ Ù  

Ù   ́ Ü Ý   µ × Ò ´  Ü 

½ 

¡  Ý 

½ 

µ ·  Ü 

¿ 

Ó × ´  Ý 

¾ 

µ 

Ú   ́ Ü Ý   µ   Ý 

¾ 

·  Ü 

¾ 

½ 

·  ́ × Ò    ́ Ü 

¾ 

µ µ 

¾ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 160/164

½ ¼  È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

º ´ µ Å Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ö Ð Ô Ù Ò Ø Ó ´  Ü Ý Ù Ú  µ ´ ½    ½    ½    ½ µ Ô Ó Ñ Ó × Ö ¹  

× Ó Ð Ú Ö Ð × × Ø Ñ  

Ü Ù  ·  Ý Ú Ù 

¾ 

¾ 

Ü Ù 

¿ 

·  Ý 

¾ 

Ú 

 

¾ 

Ñ Ò Ö  Ù Ò Ô Ö   Ù  Ý  Ú  Ó Ñ Ó Ù Ò Ó Ò ×   Ü    Ý  º Ð Ù Ð Ö  

Ù 

Ü 

´ µ Ó Ò × Ö Ð × × Ø Ñ  

Ü 

 

·  Ý 

 

Ü 

  Ù 

× Ò  Ü  · Ó ×  Ý    Ú 

Ø Ö Ñ Ò Ö Ù Ð × Ô Ù Ò Ø Ó × ´  Ü Ý  µ Ô Ó Ñ Ó × Ö × Ó Ð Ú Ö   Ü    Ý  Ò 

Ø Ö Ñ Ò Ó ×   Ù  Ý  Ú 

´ µ Ò Ð Þ Ö Ð × Ó Ð Ù Ð Ð × × Ø Ñ  

¿  Ü  · ¾  Ý  ·  Þ 

¾ 

·  Ù  ·  Ú 

¾ 

¼ 

  Ü  · ¿  Ý  ·  Þ Ù 

¾ 

·  Ú  ·  Û  · ¾ ¼  

Ü  ·  Þ  ·  Û  ·  Ù 

¾ 

· ¾ ¼  

Ô Ö   Ù Ú Û   Ò Ø Ö Ñ Ò Ó ×   Ü Ý Þ   Ö   Ü    Ý    Þ  ¼  ̧ Ù   

Ú  ¼ Ý  Û       ¾ º 

º ´ µ À Ð Ð Ö  

Ý 

Ü 

 

Ü  ½ 

Ý 

 

¾ 

Ý 

Ü 

¾ 

 

Ü  ½ 

×  

Ü 

¾ 

   ¾  Ü Ý  ·  Ý 

¾ 

·  Ü  ·  Ý     ¾ ¼ 

´ µ À Ð Ð Ö  

Ý 

Ü 

Ý 

 

¾ 

Ý 

Ü 

¾ 

×  

Ð Ò  ́

Ô  

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

µ     ¡  Ö Ø    ́

Ý 

Ü 

µ  ́   ¼ µ 

´ µ À Ð Ð Ö  

Þ 

Ü 

Ý 

Þ 

Ý 

×  

Ü  Ó × ´  Ý  µ ·  Ý  Ó × ´  Þ  µ ·  Þ  Ó × ´  Ü  µ ½ 

´ µ Ä × Ù Ò Ó Ò ×   Ý  Ý  Þ  Ð Ú Ö Ð Ò Ô Ò Ò Ø   Ü  × Ò Ô Ó Ö Ð  

× × Ø Ñ Ù Ó Ò ×   Ü Ý Þ      Ý  Ü  ·  Ý  ·  Þ      À Ð Ð Ö  

Ý 

Ü 

 

Þ 

Ü 

 

 

¾ 

Ý 

Ü 

¾ 

 

 

¾ 

Þ 

Ü 

¾ 

º 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 161/164

º º Â Ê Á Á Ç Ë   ½ ½ 

º ´ µ Ë Ð Ù Ò Ó Ò   Þ  Ô Ó Ö Ð Ù  Ó Ò 

Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

·  Þ 

¾ 

     ́ Ü  ·  Ý  ·  Þ  µ 

Ó Ò     × Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ù Ð Õ Ù Ö Ö Ò Ð Ý     × Ó Ò 

Ó Ò × Ø Ò Ø × Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù  

 ́ Ý     Þ  µ 

Þ 

Ü 

·  ́ Þ     Ü  µ 

Þ 

Ý 

  Ü     Ý 

´ µ Ä Ù Ò  Ó Ò  Þ  × Ø   ¬ Ò Ô Ó Ö Ð × Ù Ò Ø Ù  Ó Ò 

   ́ Ü     Þ Ý      Þ  µ ¼ 

Ó Ò     × Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ö Ò Ð Ò Ù Ò Ø Ö Õ Ù × Ù Ð Ð  

Ü Ô Ö ×  Ó Ò 

 

Þ 

Ü 

·   

Þ 

Ý 

´ µ Ë      ́

Ü 

Þ 

 

Ý 

Þ 

µ ¼ ¸ Ð Ù Ð Ö  

Ü 

Þ 

Ü 

·  Ý 

Þ 

Ý 

´ µ Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù Ð Ù Ò  Ó Ò  Þ  ¸ Ø Ö Ñ Ò Ô Ó Ö Ð Ù  Ó Ò 

Ý    Ü    ́ Þ  µ ·     ́ Þ  µ 

Ë Ø × Ð Ù  Ó Ò 

 

¾ 

Þ 

Ü 

¾ 

 ́

Þ 

Ý 

µ 

¾ 

   ¾ 

Þ 

Ü 

Þ 

Ý 

 

¾ 

Þ 

Ü Ý  

· 

 

¾ 

Þ 

Ý 

¾ 

 ́

Þ 

Ü 

µ 

¾ 

¼ 

º È Ö  

   ́ Ù Ú  µ  ́ Ù  ·  ́ Ð Ó Ú   µ 

¾ 

Ù Û Û  

¾ 

µ 

´ µ Å Ù × Ø Ö Õ Ù     Ò Ó × Ò Ý Ø Ú  

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 162/164

½ ¾  È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

´ µ Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ó Ñ Ò Ó ª Ñ Ò Ö Õ Ù Ð Ù Ò  Ó Ò × Ò Ý Ø Ú  

Ò ª 

´ µ Ð Ù Ð      ́  

  ½ 

µ ´ ½    ¼    ½ µ Ù Ò Ó     × Ó Ò × Ö Ò ª º  

º Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ñ Ò Ñ Ó Ð Ù Ò  Ó Ò     ́ Ü Ý  µ   Ü Ý  ·  Ý Þ  × Ù Ø Ó Ð × Ö ¹  

× Ø Ö Ó Ò ×   Ü 

¾ 

Ý 

¾ 

¾ Ý  Ü Ý  ¾   

º Ë      ́ Ü Ý  µ  ́ Ü 

¾ 

   Ý 

¾ 

  ¾  Ü Ý  µ 

´ µ Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ó ´     µ  ´ ¼    ¼ µ    × Ò Ú Ö Ø Ð Ð Ó Ð Ñ Ò Ø  

Ò  ́   µ º 

´ µ Ñ Ó × Ø Ö Ö Õ Ù     Ò Ó × Ò Ý Ø Ú º  

´ µ Ð Ù Ð Ö Ô Ö Ó Ü Ñ Ñ Ò Ø    

  ½ 

 ́    ¿    ¼ ½    ¿    µ    Í × Ð  Ó Ö Ñ Ù Ð  

Ì Ý Ð Ó Ö º Æ Ó Ø Õ Ù ´    ´ ½    ¾ µ ´     ¿    µ µ 

½ ¼ º Ë Ò      ́ Ù Ú  µ  ́ Ù 

¾ 

·  Ù 

¾ 

Ú  · ½ ¼  Ú Ù  ·  Ú 

¿ 

µ 

´ µ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ô Ù Ò Ø Ó × Ò Ð Ó × Ù Ð ×     × Ò Ú Ö Ø Ð Ð Ó ¹  

Ð Ñ Ò Ø º  

´ µ Ó Ñ Ô Ö Ù Õ Ù ´ ½    ½ µ Ô Ö Ø Ò Ð Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ó Ø Ò Ó Ò Ð Ô Ö Ø  

´ µ ¸ Ò Ó Ò Ø Ö Ö ´ Ô Ö Ó Ü Ñ Ñ Ò Ø µ Ð Ú Ð Ó Ö    

  ½ 

´ ½ ½        ¾    ¾ µ º 

½ ½ º Ë Ò   Ü Ý Þ   Ø Ö × Ú Ö Ð × Ö Ð Ó Ò × Ô Ó Ö Ù Ò Ù  Ó Ò Ð Ó Ö Ñ  

   ́ Ü Ý Þ  µ ¼ Ó Ò     × Ù Ò Ù Ò  Ó Ò Ø Ð Õ Ù   Ü Ý Þ   Ó Ò 

× Ø Ò Ø Ó × Ö Ó º È Ó Ö Ð Ó Ø Ò Ø Ó × Ô Ó × Ð × Ö Ö   Ü    Ü   ́ Ý Þ  µ  Ý   

Ý   ́ Ü Þ  µ  Þ    Þ   ́ Ü Ý  µ ¸ Ó Ò × Ø × Ù Ò Ó Ò × × Ó Ò Ö Ò Ð × º Å Ù × Ø Ö  

Õ Ù  

Ü 

Ý 

Ý 

Þ 

Þ 

Ü 

     ½ 

½ ¾ º Å Ù × Ø Ö Õ Ù Ð × Ù Ó Ò ×  

Ü 

¾ 

   Ý 

¾ 

   Ù 

¿ 

·  Ú 

¾ 

· ¼  

¾  Ü Ý  ·  Ý 

¾ 

   ¾  Ù 

¾ 

· ¿  Ú 

 

· ¼  

Ø Ö Ñ Ò Ò Ù Ò Ó Ò ×   Ù   ́ Ü Ý  µ Ý  Ú   ́ Ü Ý  µ Ò Ø Ó Ö Ò Ó Ð Ô Ù Ò Ø Ó   Ü  ¾  Ý       ½ 

Ø Ð × Õ Ù   Ù  ´ ¾       ½ µ ¾ Ý   Ú  ´ ¾       ½ µ ½ º Ð Ù Ð Ö  

Ù 

Ü 

Ý 

Ú 

Ý 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 163/164

º º Â Ê Á Á Ç Ë   ½ ¿ 

½ ¿ º Ð Ù Ð Ö  

Ê 

Ë 

Ê 

Ü Ý   Ó Ò   Ë  × Ð Ó Ñ Ò Ó Ð Ñ Ø Ó Ô Ó Ö  

 ́

Ü 

¾ 

 

¾ 

· 

Ý 

¾ 

 

¾ 

µ 

¾ 

 

Ü 

¾ 

 

¾ 

  

Ý 

¾ 

 

¾ 

Á Ò  Ó Ò Í ×   Ü    Ö  Ó ×  ³    Ý    Ö  × Ò  ³  

½ º Ë      ́ Ü Ý Þ Ø  µ  

  ´ ½ ·    Ü  ·  Ý    µ 

Ê 

 

Ü  ·  Ý  ·  Þ 

 ́ Ü Ø  ·  Ð Ó  

Þ 

Ø  ·  Þ  µ  Ø  º Ð Ù Ð Ö  

 

Ü 

 

 

Þ 

 

 

Ø 

Ò 

Õ Ù Ð Ð Ó × Ô Ù Ò Ø Ó × Ó Ò Ü × Ø Ò º  

½ º Ó Ò × Ö Ð Ù Ò  Ó Ò 

Ù   ́ Ü Ø  µ  

½ 

¾ 

     ́ Ü  ·  Ø  µ ·     ́ Ü     Ø  µ · 

½ 

¾   

Ü  ·  Ø 

  

Ü    Ø 

   ́ ×  µ  × 

· 

½ 

¾   

Ø 

  

¼ 

Ü  ·     ́ Ø    ×  µ 

  

Ü       ́ Ø    ×  µ 

   ́ ×  µ  ×  

Å Ù × Ø Ö Õ Ù  

 

¾ 

Ù 

Ø 

¾ 

   

¾ 

 

¾ 

Ù 

Ü 

¾ 

     ́ Ü Ø  µ 

Ù   ́ Ü   ¼ µ      ́ Ü  µ 

Ù 

Ø 

 ́ Ü   ¼ µ      ́ Ü  µ 

½ º Ó Ò × Ö Ð × Ù Ò Ø Ù  Ó Ò Ò Ø Ö Ð  

Ù   ́ Ü  µ ·  

  

Ü 

¼ 

× Ò ´  Ù   ́ ×  µ ·  Ü  µ  × 

Ò Ð Ô Ø Ù Ð Ó Ò Ø Ö Ó Ö × Ñ Ó × Ø Ö  Ó Õ Ù Ø Ò Ù Ò  Ù Ò × Ó Ð Ù  Ó Ò Ò  

  ´ ¼    ½    ¾   Á Ê  µ º 

Ö Ú Ò Ó Ó × Ú × Ð Ù  Ó Ò Ò Ø Ö Ð ´ Ù × Ø ¬ Õ Ù Ô Ó Ö Õ Ù × Ô Ù  

Ö Ú Ö µ ¸ Ò Ù Ò Ø Ö Ð Ù  Ó Ò Ö Ò Ð Õ Ù × Ø × × Ù × Ó Ð Ù  Ó Ò 

½ º Ó Ò × Ö Ð × Ù Ò Ó Ò ×  

   ́ Ü  µ  

  

   ́ Ü  µ 

¼ 

   ́ Ü  ·  Ø Ü Ø  µ  Ø    ́ Ü Ý  µ  

  

Ý 

¾ 

¼ 

   ́ Ü Ý Þ   µ  Þ 

Ð Ù Ð    

¼ 

 ́ Ü  µ Ý 

 

Ý 

 ́ Ü Ý  µ 

8/3/2019 Apunte UChile - Cálculo en Varias (Felmer)

http://slidepdf.com/reader/full/apunte-uchile-calculo-en-varias-felmer 164/164

½   È 

 

Á Ì Í Ä Ç º Ç Å È Ä Å Æ Ì Ç Ë  

 

Ä Í Ä Ç Á Ê Æ Á Ä  

½ º Ò Ù Ò Ø Ö Ù Ò Ô Ö Ó Ü Ñ  Ó Ò Ð Ö  

 

Þ Ó ×  Ü     Ü  

Ü 

¼ ¸ Ø Ö Ò Ó ¿  

Ú × Ð  Ó Ö Ñ Ù Ð Æ Û Ø Ó Ò Ô Ö   Ü 

½ 

º 

½ º Ë       Á Ê 

Ò 

    Á Ê 

Ò 

Ù Ò Ó Ñ Ó Ö ¬ × Ñ Ó Ð ×    

½ 

´ × Ö ¸ Ù Ò Ó Ñ ¹  

Ó Ñ Ó Ö ¬ × Ñ Ó Ó Ò     Ý   

  ½ 

Ð ×    

½ 

µ ¸ Õ Ù × Ø × Õ Ù      ́   µ        ̧

Ó Ò     × Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ö Ö Ö Ý     Ø   

¼ 

 ́ Ü  µ      ½ Ô Ö Ø Ó Ó   Ü  ¾     º 

Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ô Ö Ø Ó Ù Ò  Ó Ò Ó Ò Ø Ò Ù             Á Ê 

Ò 

× Ø Ò Õ Ù  

Ð Ñ 

  ½ 

  

 

 

 ́   µ 

   ́ Ü  µ  Ü  ¼ 

Ó Ò    

 

×    Ó Ñ Ô Ù × Ø Ó Ò × Ó Ñ × Ñ     Ú × º  

¾ ¼ º Ë    

Ò 

Ð Ó Ð Ù Ò Ø Ö Ò   Á Ê 

Ò 

º Å Ù × Ø Ö Õ Ù  

Î Ó Ð   ́  

 

µ ¾ 

  

 

¿ 

Ô  

½      ́ Ü 

¾ 

·  Ý 

¾ 

·  Þ 

¾ 

µ  Ü Ý Þ  

Ì Ó Ñ Ò Ó Ó Ó Ö Ò × × Ö × Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò    

 

× Ù Ð  

 

¾ 

  

  ¾ 

    ¾ 

  

¾   

¼ 

  

½ 

¼ 

Ö 

¾ 

× Ò ´    µ 

Ô   

½     Ö 

¾ 

Ö  

Ý Ó Ò Ð Ù Ý Õ Ù   Î Ó Ð   ́   µ    

¾ 

  ¾ º Ò Ò Ö Ð Ñ Ù × Ø Ö Õ Ù Ð Ú Ó Ð Ù Ñ Ò