APUNTE N02 Ciencias Aplicadas

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APUNTE N 0 2 CIENCIAS APLICADAS VECTORES Un vector en Física es un segmento orientado en el espacio, se caracteriza por cuatro elementos diferenciadores: Punto de aplicación u origen 0, a considerar cuando interese conocer el punto sobre el que actúa el vector. Modulo del vector, que es su longitud y viene dado por la distancia entre su origen y su extremo, sirve para indicar el valor numérico de la magnitud representada, en la unidad que se haya elegido. Dirección( o línea de acción), es la recta que contiene al vector o cualquier paralela a ella. Sentido, es la orientación de la flecha. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN UN SISTEMA DE COORDENADAS

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APUNTE N02

CIENCIAS APLICADAS

VECTORES

Un vector en Física es un segmento orientado en el espacio, se caracteriza por

cuatro elementos diferenciadores:

Punto de aplicación u origen 0, a considerar cuando interese conocer el

punto sobre el que actúa el vector.

Modulo del vector, que es su longitud y viene dado por la distancia entre su

origen y su extremo, sirve para indicar el valor numérico de la magnitud

representada, en la unidad que se haya elegido.

Dirección( o línea de acción), es la recta que contiene al vector o cualquier

paralela a ella.

Sentido, es la orientación de la flecha.

REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN UN SISTEMA DE COORDENADAS

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Un vector puede descomponerse en otros dos o más vectores a lo largo de los

ejes del sistema de coordenadas en el cual está especificado la figura 4.

La componente de un vector a lo largo de un eje es su proyección sobre dicho

eje.

Luego se tiene :

X0 =

Y0 =

La magnitud del vector, en función de sus componentes rectangulares es:

La dirección está dada por el ángulo entre el vector y el eje ox positivo.

= arc sen o = arc cos o = arc tg

Vectores Unitarios

Un vector unitario es un vector cuya

magnitud es la unidad.

Aplicando trigonometría se tiene que:

seno a = y/c Þ

cos a = x/c Þ

c×sen a = y

c×cos a = x

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Consideremos un vector cualquiera  = (x0, y0). Éste se puede

descomponer como sigue:

=

Donde: y son escalares que multiplican a los vectores (1,0) y (0,1), si se

llama:

= (1,0)

= (0,1)

entonces

Se ve que:

Por esta razón a y se les denomina vectores unitarios.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN

Sean , y tres vectores , m, n escalares Entonces:

1. + = + conmutativa

2. asociativa.

3. distributiva.

4. distributiva escalar

5.- +0 = identidad

6. +(- ) = 0 inverso aditivo

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CINEMATICA DE LA PARTICULA

Mecánica: Es la parte de la Física que estudia los movimientos de los cuerpos

y las causas que la producen.

La cinemática es la parte de la física que describe los posibles movimientos sin preocuparse de las causas que lo producen. La Dinámica se preocupa de las

causas.

Movimiento de la Partícula Un cuerpo está en movimiento cuando va ocupando

diferentes posiciones respecto de un sistema de referencia. No es lícito hablar

de movimiento sin establecer previamente “respecto a qué” se refiere. Debido a

esto, es necesario establecer un sistema de referencia del cual se describe el

movimiento. Este sistema de referencia puede ser fijo o móvil. Si el sistema de

referencia está fijo, el movimiento se denomina absoluto, si no está, el

movimiento se denomina relativos. Como no existen puntos fijos en el Universo,

todos los movimientos de los cuerpos son relativos.

.Elementos que determinan el movimiento.

Los elementos que determinan todo cambio de posición de un cuerpo en el

espacio son tres:

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a. Sistema de referencia : Es un cuerpo respecto del cual se describe el

movimiento de otro u otros cuerpos. Al cuerpo rígido suponemos unido un

sistema de ejes cartesianos.

Los sistemas de referencia más comunes son:

El sistema de coordenadas

rectangulares.

El sistema de coordenadas polares.

b. La Trayectoria: Es el lugar geométrico de todos los puntos del espacio

ocupados sucesivamente por un móvil.

Si la dirección de movimiento de un móvil permanece invariable, la trayectoria

es rectilínea, en este caso es posible hacer coincidir un eje de un sistema de

referencia con la trayectoria, de modo que se puede definir el Movimiento

Rectilíneo de una partícula como Movimiento Unidimensional, Fig. (2). Una

trayectoria curva puede ser plana y el movimiento se denomina Bidimensional (cada punto de la trayectoria queda definido por dos parámetros de posición y el

parámetro tiempo). Si se desarrolla el movimiento en el espacio, el movimiento

es Tridimensional (cada punto de la trayectoria queda definido por tres

parámetros de posición y el parámetro tiempo).

Fig.(2) Movimiento rectilíneo a lo largo del eje x

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Fig.(3) Movimiento curvilíneo en el plano XY.

c. Itinerario del Movimiento: Es una función que relaciona la posición de la

partícula con el tiempo.

Es decir :

x = f (t)

y = f (t) = f(t)

En general, habrá movimiento cuando por lo menos una coordenada varía con

el tiempo.

4. Vector Posición. Es el vector que une el origen de un sistema con un

punto cualquiera del espacio donde se encuentra la partícula.

Fig.(4) Vector Posición.

5. Distancia Recorrida. Es la longitud del recorrido seguido por la partícula., es

una magnitud escalar, se mide en unidades de longitud (metro. centímetros, pie,

millas, etc) y siempre es positiva.

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6. Desplazamiento. Es el vector dirigido desde la posición inicial a la posición

final, Así, el desplazamiento de un automóvil que ha ido de Santiago a Viña del

Mar es el vector que tiene su punto inicial en Santiago y su término en Viña del

Mar, y este vector es único, cualquiera que sea el camino que haya seguido el

automóvil.

El desplazamiento se puede expresar en coordenadas cartesianas de la

siguiente forma:

a. Movimiento Rectilíneo a lo largo del eje X:

b. Movimiento Plano (por ejemplo plano XY) :

c. Movimiento Tridimensional:

donde son los vectores unitarios respecto a los ejes

x, y, z respectivamente.

Si es el desplazamiento de un móvil en el instante t1 y es el

desplazamiento de un móvil en el instante t2

El desplazamiento del móvil en el intervalo t2 – t1 será:

tal como se observa en la siguiente figura

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Fig.(5) Desplazamiento del móvil en el intervalo de tiempo t2 – t1 para una

trayectoria cualquiera.

Observación: El desplazamiento es una magnitud vectorial, obedecen a la

operación geométrica de la suma vectorial y se mide en las mismas unidades de

la distancia recorrida.

Ejemplo ilustrativo 1.

Un móvil se mueve de acuerdo a las ecuaciones: x = t , y = 2t – 1 , en donde

x, y se miden en metros y t en segundos. Determine:

1.1.la posición de la partícula en cualquier instante.

1.2.La posición inicial de la partícula.

1.3. La posición de la partícula a los 6 s.

1.4.¿A qué distancia del sistema de referencia se encuentra la partícula en ese

instante?

Solución.

1.1. La posición en cualquier instante está dado por el vector posición:

1.2. La posición inicial de la partícula, para t = 0 es:

(0) = (0, -1) =

1.3. Ä los 5 s se encuentra en:

(5) = (5, 9) =

1.4. La distancia al origen es:

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MOVIMIENTOS UNIDIMENSIONALES

Movimientos Unidimensionales: Son los denominados movimientos rectilíneos.

Para definir la posición P de la partícula, es preciso tomar un origen fijo 0 sobre la

recta de la trayectoria y definir un sentido positivo a lo largo de la línea.

P1 0 P2

▪ ▪ ▪

Por ejemplo la coordenada de posición correspondiente al punto P1 es

= - 6[m] mientras que la correspondiente a P2 es = 6 [m]

Considerando que la orientación de y quedan definidas por sus signos,

es posible eliminar la notación vectorial ( teniendo siempre presente que son

vectores).

Movimiento Rectilíneo y Uniformemente Acelerado. MRUA

Se denomina movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado a aquel

movimiento que no tiene aceleración normal y su aceleración tangencial es

constante.

Si elegimos como sistema de referencia la dirección del movimiento, igual

como en el MRU, todas las magnitudes vectoriales se transforman en escalares.

Si se conoce la coordenada de posición en cualquier instante “t”, se conoce el

movimiento de la partícula.

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Cinemática de algunos movimientos

Los distintos movimientos que puede tomar una partícula se clasifican de

acuerdo a dos criterios : la trayectoria y la aceleración.

a. Según la trayectoria. Los movimientos pueden ser:

-Rectilíneos (la trayectoria es una línea recta).

-Curvilíneos (la trayectoria es una curva)

b. Según la aceleración. Los movimientos se clasifican en:

- Uniforme. Si = 0

- Acelerados. Si .

Si =Constante el movimiento se denomina Uniformemente Acelerado.

Movimiento Rectilíneo Uniforme. MRU

Un movimiento es rectilíneo y uniforme cuando su velocidad es constante.

Esto supone:

- La velocidad es constante en dirección y sentido: La trayectoria es una

línea recta.

- La velocidad es constante en módulo: recorre espacios iguales en tiempos

iguales.

Ecuación de Movimiento.

(1)

Donde: : posición de la partícula en el instante t

:posición de la partícula en el instante t0.

: velocidad de la partícula.

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Esta ecuación representa la posición de un móvil que describe un Movimiento

Rectilíneo Uniforme en cualquier instante, respecto a un sistema de referencia

determinado. Se le denomina Ecuación Itinerario del M.R.U.

Para el M.R.U. y según el sistema de referencia se tienen los gráficos:

a)X y V positivos , = 0 b) X y V negativos, = 0

Observación : En el MRU la velocidad media y la velocidad instantánea coinciden.

Movimiento Rectilíneo y Uniformemente Acelerado. MRUA

Se denomina movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado a aquel

movimiento que no tiene aceleración normal y su aceleración tangencial es

constante.

Si elegimos como sistema de referencia la dirección del movimiento, igual

como en

el MRU, todas las magnitudes vectoriales se transforman en escalares.

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Si un móvil describe una trayectoria rectilínea y va aumentando

uniformemente su velocidad en el tiempo, se dice que manifiesta un

movimiento uniformemente acelerado. Su aceleración es constante en

magnitud y sentido (mismo signo). Por lo tanto tiene igual sentido y dirección

que su vector velocidad.

Ecuaciones de Movimiento

(2) (3) (4)

Observación . Por tratarse de magnitudes vectoriales, la posición, velocidad y

aceleración están asociadas a sistemas de referencia arbitrarios, lo que genera la

adopción de signos para estas magnitudes, dependiendo de la dirección y sentido

del sistema de coordenadas al cual estarán referidas

Analizando esto desde el punto de vista gráfico, para el MRUA según sistema de

referencia, se tiene:

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De acuerdo a los diagramas para el Movimiento Rectilíneo Uniformemente

acelerado se tiene:

a. Diagrama (x-t) . Es la representación de la función

Es una parábola . La pendiente en cualquier instante es la velocidad instantánea.

b. Diagrama (v-t). En la representación gráfica de la función v = f(t). Es una recta

cuya pendiente representa físicamente la aceleración.

c. Diagrama (a-t) .Es la representación gráfica de la función a = f(t). Para este

tipo de movimiento su gráfica es una línea paralela al eje del tiempo.

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Movimiento Rectilíneo y Uniformemente Retardado. MRUR

Un móvil con movimiento rectilíneo tiene movimiento uniformemente retardado

si su aceleración es constante y de sentido contrario (distinto signo) al vector

velocidad. A esta aceleración también se la llama desaceleración o retardación.

Esto implica que la velocidad del móvil va disminuyendo a medida que se

desplaza (o a medida que transcurre el tiempo).

Las ecuaciones de movimiento son las mismas, sólo que se debe tener cuidado

con el signo de a, que es negativo.

Ejemplo ilustrativo 1.

La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje X está definida por

,

Determine:

1.1 La posición inicial de la partícula.

1.2 La rapidez media al cabo de 5 [s].

Solución

1.1 la posición inicial se obtiene haciendo t0 = 0

Luego: X(0) = 0

1.2. Como la partícula no cambia de sentido

Se tiene:

X(5) = 4·5+6·52 = 170[m] y X(0) =0 , recorre 170[m]