Apunte introductorio al tratamiento de imáganes para tecnología médica, mensión rayos X

Apuntes de tratamiento de imáagnes, orientados a laaplicación de tecnología médica

Miguel Bustamante

Email: [email protected]

vie 30 de octubre de 2015

1 Miguel Bustamante

mailto:[email protected]

Presentación

En presente texto, es el resultado de dictar un curso de procesamiento de imágenes para

alumnos de la carrera Tecnología médica mención rayos X. La idea básica es dar una introducción al

procesamiento de imágenes y su aplicación a la imágenes de rayos X. Con este propósito, usaremos

programas de acceso libre para ilustrar y realizar los ejercicios.

Estos programas son:

• Imagej : programa libre de procesamiento de imágenes.(http://imagej.nih.gov/ij/)

• wmaxima: programa de calculo matemático de acceso libre

(http://andrejv.github.io/wxmaxima/).

• Audacity: Editor grabado de sonidos (música), de acceso libre (http://audacity.sourceforge.net/?

lang=es).

• Libreoffice , Suite para el trabajo de documento gratis (https://es.libreoffice.org/)

Se recomienda bajar estos programas. Estos programas existen para las plataformas de windows, Linux

y Mac.

2 Miguel Bustamante

https://es.libreoffice.org/

https://es.libreoffice.org/

http://audacity.sourceforge.net/?lang=es



http://andrejv.github.io/wxmaxima/

http://andrejv.github.io/wxmaxima/

http://imagej.nih.gov/ij/

http://imagej.nih.gov/ij/

IndiceApuntes de tratamiento de imáagnes, orientados a la aplicación de tecnología médica............................1Miguel Bustamante....................................................................................................................................1Email: miguelbustamante271@yahoo.com...............................................................................................1vie 30 de octubre de 2015..........................................................................................................................1Presentación...............................................................................................................................................2Álgebra de las Imágenes............................................................................................................................4Operaciones con imágenes.........................................................................................................................6

Suma......................................................................................................................................................7Suma tipo 1.......................................................................................................................................7

Resta de imágenes.................................................................................................................................8Resta tipo 1.......................................................................................................................................8Resta tipo 2.......................................................................................................................................9

Resta.........................................................................................................................................................10Resta tipo 1.....................................................................................................................................10Resta tipo 2.....................................................................................................................................10

Producto de imágenes...............................................................................................................................11Producto tipo 1................................................................................................................................11Producto tipo 2................................................................................................................................12

División de Imágenes..........................................................................................................................12División tipo 1................................................................................................................................12División tipo 2................................................................................................................................13

Operadores lógicos...................................................................................................................................13Estadística e Histograma..........................................................................................................................17Operaciones sobre el histograma.............................................................................................................22Filtros sobre las Imágenes........................................................................................................................25

Señales bidimensionales: Imágenes....................................................................................................34Filtros Espaciales lineales...............................................................................................................34Filtro espaciales no lineales............................................................................................................40

Señales Bidiomensionales: imágenes..................................................................................................43Transformada de Fourier..........................................................................................................................45

Serie de Fourier...................................................................................................................................45Ejemplo aplicado............................................................................................................................53

Transformada de Fourier.....................................................................................................................54Transformada de Fourier en Imágenes................................................................................................56

Estadística de una Imagen........................................................................................................................60Textura de una imagen....................................................................................................................61 Indice Fractal.................................................................................................................................64

3 Miguel Bustamante

Álgebra de las Imágenes

Para comenzar a presentar el tema del álgebra de las imágenes, primero debemos entender que es

una imagen para nuestros propósitos. Una imagen corresponde a una “matriz” de 512x512 ( o mas),

cuyos elementos de la matriz son números enteros de 0 a 65555 (16 bit). Pero, también podemos

pensar que las imágenes corresponde a una función bi-dimensional anotado I(x,y), donde I(x,y)

representa un número asociado a la posición (x,y); o tres valores asociado al punto (x,y), como sería

la convención RGB.

Veamos a que nos referimos: la siguiente imagen (Figura 1)

La representación una función, donde I(x,y) representa la intensidad asociado al punto (x,y) se

observa en la figura 2. En este caso, podemos decir que la mayor intensidad está asociado a un mas

claro, y las intensidades mas oscura, a valores cercanos a cero.

De la interpretación como matriz, el recuadro rojo de la figura 1, podemos despegarla como

elementos de una matriz.

4 Miguel Bustamante

Fig. 1: Imagen cotidiana

La imagen

Cada elemento de la matiz Iij es un numero, que dependiendo de las capacidades del despliegue o

la forma de almacenamiento, puede llegar hasta 64-bit; como también cada elemento de la matriz

puede tener asociado tres elementos (R,G,B) para el despliegue de los colores.

La aplicación de uno modelo de función de imagen, o como arreglo matricial va a depender del

problema que se está tratando.

5 Miguel Bustamante

Fig. 2: Representación de la función bi-dimensional de una imagen

181 191 199 182 188 185 164 190 216 253 252 251157 163 158 153 168 165 149 163 178 216 245 252152 151 151 145 140 141 150 159 148 185 215 249120 130 131 123 131 133 128 143 149 154 180 210125 128 123 117 121 119 117 128 142 149 147 172111 109 114 121 106 99 119 124 147 154 167 152108 110 103 106 104 99 113 126 149 177 195 192105 102 101 100 105 108 105 106 127 175 225 240102 104 102 96 104 109 93 103 107 143 215 248104 101 101 102 101 97 106 109 112 119 165 219105 114 99 107 109 100 105 106 129 132 165 207113 124 101 97 108 101 104 104 112 133 174 206114 107 109 97 106 106 115 107 102 122 149 203115 100 108 112 107 111 107 99 111 118 145 190119 111 102 114 107 109 101 106 110 118 139 184110 108 105 113 118 111 127 136 132 115 138 15299 109 108 106 115 128 162 170 169 164 157 172

108 106 111 111 124 140 161 190 226 211 189 187111 105 119 121 106 135 143 192 230 226 214 227125 124 112 119 140 144 158 178 205 229 216 228

Iij=

Operaciones con imágenes.

Ahora, sabiendo los tipos de elementos con las que trabajaremos, vamos a definir ciertas

operaciones básicas entre las imágenes I1 e I2.

La primera operación que utilizaremos en la suma.

6 Miguel Bustamante

Fig. 3: Imagen I1

Fig. 4: Imagen I2

Suma

La suma entre imágenes es simple en la definción. La suma de dos imágenes forma una

tercera imagen de acuerdo a la igualdad:

Is (x , y )=I1(x , y)+ I2(x , y )

cada elemento de la función (o de la matriz) se suma para formar la imagen resultante. En el caso

del programa Imagej[imagej], tiene dos formas de suma.

Suma tipo 1

Cuando en el programa se suma, se la opción de crear una imagen de 32-bit. La imagen inicial

son de 8-bit. El resultado es una imagen con mayor información, ya que los valores se suman en

forma natural y el despliegue se arregla de modo que el máximo corresponda al tono de 0 (negro) y

el mínimo a 255 (blanco) figura 5.Suma tipo 2

En la suma tipo de 2, se desactiva el modo de creación de un imagen de 32 bit., de modo que si la

suma es mayor que 255, el pixel resultante se asocia el valor 255. El resultado que se obtiene se

aprecia en la figura

7 Miguel Bustamante

Fig. 5: Resultado de la suma de I1 e I2, respetando la suma

http://rsb.info.nih.gov/ij/index.html

Como se observa, la suma puede tener sus variantes y se debe tener calro la forma de operar con

esta herramienta ya que podemos perder información que buscamos.

Resta de imágenes

Vamos a proceder a restar las imágenes I1 menos I2. Esta operación, al igual que la anterior,

también presenta dos posibilidades, como en la suma.

Resta tipo 1

Cuando se resta, con la opción de los 32.bit activado, se crea la siguiente figura.

8 Miguel Bustamante

Fig. 6: Resultado de la suma tipo 2 de I1 e I2.

En esta operación se respeta la operación usual de resta, es decir cuando se resta 0-255 se genera un valor de -255, que sería el negro, el cero corresponde al tono de 125 y el blanco a color 255, es decir serescala para desplegar la información generada algebraicamente.

Resta tipo 2

Desactivando la opción de 32-bit, todo lo menor a cero queda en el color cero, y todo lo mayor a 255 a 255. como resultado se observa en la figura 8

La operación Resta

9 Miguel Bustamante

Fig. 7: Operación de resta de i1 menos i2, de forma tipo 1

Fig. 8: Resta de I1 menos I2, de la forma tipo 2

RestaEn este caso, la imagen resultante es I( x , y)=I1(x , y )−I2(x , y ) , la aplicación cotidiana de

la operación. Sin embargo, en el Imagej, se puede activar la opción de la generación de una imagen dede 32-bit.. Esto genera dos tipo de operación resta, como la anterior.

Resta tipo 1

La activación de la opción de 32-bit, genera la figura 9. Como resultado tieme la misma acción del la suma tipo 1, donde el valor -255 se asocia al negro y el 255 al blanco.

Resta tipo 2

Al desactivar la opción de 32-bit, la figura 10 es el resultado de esta operación. En este tipo de operación, lo menro a 0 es cero y lo mayor a 255 es 255.

10 Miguel Bustamante

Fig. 9: Resultado de la resat de I1 menos I2, cpn la opción de los32-bit activado

Producto de imágenesEn este tipo de operación la imagen resultante, o mejor dicho el valor de la intensidad asociado

al punto (x,y) es I ( x , y)=I1(x , y ) I2(x , y) , el producto convencional de numeros. Sin embargo, como lo naterior, tenemos dos tipo de resultados: con la posibilidad de 32-bit o sin la posibilidad de los 32-bit.

Producto tipo 1

Con la activación de los 32 bit, se genera una imagen cuyo máximo valor es 255x255=65025, ycomo mínimo 0. Este despliegue se arregla para que el máximo valor sea cero y el mínimo negro (Figura 11).


Fig. 10: Resultado de la operación I1 menos I2, sin la opción de 32-bit activado

Producto tipo 2

En el caso tipo 2, sin la opción de 32 bit, el máximo valor es 255 y el mínimo y se observa el mismo resultado de la figura 11, pero con menos información.

División de Imágenes

Al igual que antes, hay dos tipos de resultado, con 32 -bit y son 32-Bit

División tipo 1

La imagen resultante es I(x,y)=I1(x,y)/I2(x,y), y se divide como numero reales.

Al habilitar los 32-bit, algunos resultado pueden dar inf, divido por cero. Pero se despliega de color blanco, y cero negro (Figura 12).


Fig. 11: Producto de i1 por I2, con la opción de 32 activado

División tipo 2.

En este caso, el infinito se reemplaza por 255 (blanco) y el 0 por negro, observando la misma imagen de la figura 12. Es sólo una representación, ya que el calculo de 32-bit tiene mas información.

Operadores lógicosAhora vamos a abordar otro tipo de operaciones, que son las operaciones lógicas. Para entender estas operaciones, debemos construir las tablas de verdad del álgebra booleana. En el álgebra de Boole, existe básicamente dos elementos 0 y 1 (Falso=0 o Verdadero=1). Dentro de este conjunto se pueden definir ciertas operaciones , como las operaciones de suma, resta, etc. en particular las operaciones lógicas.

Las operaciones lógicas son: AND, OR, XOR.

Para ver como “operan” estas funciones, se debe construir las tablas de verdad, que son tablas que muestran los resultados al combinar los elementos 0 y 1.

La operación AND tiene la tabla asociada

La operación OR tiene la tabla asociada


Fig. 12: imagen de las división I1/I2, con la opción de los 32-bit

Tabla 1: tabla del operador AND (o Y)

AND 0 10 FALSO FALSO1 FALSO VERDADERO

y la tabla de verdad del operador XOR.

Pero , ¿cómo operamos las imágenes, con estas operaciones lógicas?.

La posición de las imágenes (x,y) generalmente son número enteros positivos, como lo es la intensidad I(x,y) asociado al punto. La intensidad, puede ser un número de 2 bit (binario), 4 bit, 16 bit, 32 bit, 64 bit, 128 bit, etc.

Concentrémonos en una imagen de 16 bit. Esta imagen tiene como valor máximo 65535, tomando como color el 0. El numero 65535 se puede expresar como un código binario.

Veamos un ejemplo. Escribamos los número enteros en la base binaria

Numero Entero Binario

0 0 0

1 1x20 1

2 1x21+0x20 10

3 1x21+1x21 11

4 1x22+0x21+0x20 100

5 1x22+0x21+1x20 101

6 1x22+1x21+0x20 110

7 1x22+1x21+1x20 111

Todos estos numero enteros se pueden escribir en un código binario. Los coeficientes de las potencias de 2 son la clave para entender la base en que se escriben los números binario o su interpretación.

Veamos ahora, como operamos con estos operadores lógicos

Supongamos el número 165 y se quiere operar lógicamente con el número 55. Escribamos estos números en código binario: 165 = 10100101 y 55= 00110111. como vemos, están escrito en la misma base y en código binario. Realicemos el operador AND entre estos números.


Tabla 2: Tabla del operador or (u O)

0 10 FALSO VERDADERO1 VERDADERO VERDADERO

or

Tabla 3: Tabla del operador XOR, u O excluyente

XOR 0 10 FALSO VERDADERO1 VERDADERO FALSO

10100101

AND

00110111

00100101

Cada elemento del numero binario del primer número (165) se opera con el mismo sitio del otronúmero del otro número (55). Aplicando la tabla de verdad 1. da el resultado expuesto en la tabla. Elresultado corresponde al numero entero 37. De igual manera, se opera sobre la tablas de operadoreslógicos.

Veamos aplicado a una imagen y operar con otra imagen .

El resultado de operar con el operador lógico AND da

En la siguiente tabla se muestra los resultados con los distintos operadores (Tabla 4).


Operador Lógico Resultados

AND

OR

XOR

Tabla 4: Resultados de los operadores lógicos

Como vemos, los distintos operadores tienen distintos resultados.

Cada operación visto en este capítulo puede tener o tiene una aplicación para obtener información de un proceso de adquisición o de una imagen. Todo depende de las operaciones que hacemos para obtener esa información.

Estas operaciones, no son las únicas. Usted puede definir tantas operaciones como quiera. Lo importante el propósito de la operación, que tipo de información va obtener de este.


Estadística e Histograma.

En general, cuando se trabaja con imágenes del tipo clínico, un índice que se usa mucho es el término contraste. En el mundo de las imágenes, es la diferencia entre la luminosidad mayor con la

luminosidad menor, dividido por el promedio. C=Lmax−Lmin

Lmedia

. Sin embargo hay otras definiciones

de contraste, como C=Lmax−Lmin

Lmax+ Lmin

[Contartste]. Esto implica que se redefine los parámetro

extremos en una imagen, cuando se cambia el contraste, cambiando el brillo máximo y mínimo.

.

Veamos en la figura 14. La imagen a) es la imagen original, y la b) es con el constrate modificado. Fíjese en los valores de los máximo y mínimo de la figura 14.b; cambian, son distintos. Es decir, la intensidad 255 presente en la imagen original se redefine como 197 en la nueva imagen, al igual que elmínimo que de cero es 39. Básicamente, ese un cambio de contraste. Pero esta no es la única operación que sirve para cambiar los “tonos” o colores en la imagen.

Antes de ver estos nuevas operaciones, debemos conocer un forma de representar la frecuencia en que se repite los colores. Esta representación se denomina histograma, y básicamente corresponde a una tabla de frecuencia de cada color (o tono) que compone una imagen.

Supongamos que tenemos la imagen 13 de 256 tonos de grises.

El histograma asociado a esta imagen en la figura 15


Fig. 13

18 Miguel BustamanteFig. 14: a) Imagen original, b) imagen con diferente contrate

De la figura 15, podemos notar que el color que mas se repite es el 66 (moda, 7811 cuentas), pero el color promedio es 83 con una desviación estándar de 14.

El histograma tiene mas información de lo podemos ver. Un objeto dentro de la imagen está compuesto por cierto niveles de grises, que contrasta con el fondo circundante. Cada pixel de ese objetotiene un tono (o color ) distintos que el entorno, de lo contrario se confundiría. Si contamos el número de pixeles que componen este objeto en la imagen, podemos calcular el área del objeto en términos de pixeles o de unidades de área (1 pixel es a a mm2).

Veamos una aplicación.

Tenemos una imagen de rayos x de una cuña e Cobre.


Fig. 15: Histograma

0 50 100 150 200 250 3000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

Histograma

Tono 0-255

Fre

cue

nci

a

En este caso, entre mas grueso la cuña, mas claro es el tono asociado a la cuña. Veamos ahora el histograma de esta imagen.

El color en torno a 50 es el mayor ya que corresponde al fondo, y 255 es el color blanco.

Los otros máximos son las intensidades de los escalones: en entorno a 100 corresponde al primer escalón, el entorno a 130 al segundo y así sucesivamente. Si calcúlanos el área bajo una curva de un escalón, esta área corresponde al área que sustenta esas intensidades; si calculamos la curva del primer escalón, será el área de ese escalón.


Fig. 16: Radiografía de una cuña de cobre con distintos espesores

Fig. 17: Histograma de la cuña. 255 blanco y 0 negro

En esta linea, el área del histograma corresponde al área de la imagen. Es decir, el área del objeto dentro de la imagen se puede escribir como

A=∑c i

c f

H i→ A=∫c i

c f

H (c )dc

o en su expresión equivalente H=d Adc


Operaciones sobre el histogramaExisten otras operaciones que se pueden hacer sobre una imagen, que afecten el contraste, pero

no que sea un cambio de contraste.

La imagen 16 tiene asociado el histograma 17. Vamos a cambiar operando sobre los colores.

Vamos a realizar el siguiente cambio en los tonos Ip=I 2

255, donde Ip representa el color de la nueva

imagen (figura 18). La expresión anterior señala que el color 255 en la imagen I corresponde al 255 en la imagen Ip, pero el 200 en el I, corresponde a 157, y el 150 al 88, etc. cambiando el contraste de la imagen.

Veamos la imagen resultante


Fig. 19: Nueva imagen, cambiando el histograma

Fig. 18: Grafico del cambio de color aplicado a las imagenes

El histograma asociado a esta imagen se observa en la figura 20. Nótese el cambio en los tonos de 0 al 100. En el nuevo histograma se desplazan a hacia el cero.

Pero este no es el la única acción posible. Supongamos a hora la siguiente operación en los tonosCp=√C √255 . La nueva imagen se observa en la figura 22 y el histograma comparado con la

imagen original se observa en la figura 21. En este caso, la imagen se ha aclarado, ya que los tonos oscuros se desplazan hacia la zona de colores claros.


Fig. 20: Histograma modificado y original

Fig. 22: Cambio de color, operación raíz de color Fig. 21: Histograma original y modificado, con una nueva

función

Se pueden inventar nuevas forma de operaciones sobre estas imágenes. Veamos un nuevo ejemplo.

Supongamos que la nueva conversión (operación) viene descrita por la función Cp=(C2

100C<C0

C C⩾C0)

Supongamos que C0=150, la nueva imagen se observa en la figura 23.

Si se mira bien, el histograma (figura 24), a partir de la intensidad 150 coinciden, tal que como se predecía la fórmula.


Fig. 23: Figura resultante de la operación

Fig. 24: Histograma original, e histograma con el cambio

Filtros sobre las Imágenes

Primera parte: Señales unidimensionales.

Estamos entrando a una contenido muy aplicado en el tratamiento de imágenes: el uso de losfiltros digitales. Pero en este capítulo, vamos a estudiar los filtros en el espacio de la imágenes. Paraentender eso, debemos presentar una operación muy interesante sobre una “señal”, la operación deconvolución.

Formalmente , si tengo una señal h(t) y la convolución con una señal g(t) el producto deconvolución se define de estas “señales” es:

Ecu 1

Esta es la definición formal de la convolución. Un ejemplo gráfico de la señal es la que se observa enla figura 25

La señal resultante, es la que aparece en negro. Se que esto no es claro, pero vamos a ir paso a paso enla aplicación de modo que cada ejemplo, nos ilustre de su aplicación.

Para nuestros efectos prácticos, con señales digitales la definición de la convolución, dada por laecuación 1, se transforma en la siguiente expresión:

h[i]: Señal discreta de indice i

g[i]: Señal discreta de indice i.

Ecu 2

donde n es un indice que se que está contenido en el dominio de las funciones. Es necesario hacer notarque el resultado de esta operación es otra señal, y que en este caso, son señales unidimensionales.


Fig. 25: Señales en un proceso de convolución

h( t)∗g (t)=∫ h(τ) g (τ−t )d τ

h [i ]∗g [i ]=∑n

h [n] g [ i−n]

Ejemplo:

Supongamos que la señal g[i], viene dado por la siguiente expresión

g [ i ]={0, i<−2

i+2,−2<i<02−i ,0<i<2

0, i>2}

La representación de esta señal, se observe en la figura 26

LA señal h[i], la vamos a definir igual que g[i], es decir vamos a hacer una convolución con si mismah[i]=g[i]*g[i]. Aplicamos la definición, con -5<n<5.

Por ejemplo

h[-1]=g[-5]g[-6]+g[-4]g[-6]+g[-3]g[-5]+g[-2]g[-4]+...+g[5][-4]

y se aplica por cada punto. Una nueva señal se obtiene, y depende del tipo función que estamosusando. En rigor, cuando trabajamos con señales discretas, existe una señal principal y que seconvoluciona con otra señal, pero en un número finito de valores, como se observa en la expesiónanterior. Supongamos que tenemos una señal unidimensional h[i], y se quiere operar convolucionar con

g[i]=[1,1,4,1,1], 5 elementos

Supongamos que tenemos la señal h[i], como en la figura


Fig. 26: g[i]

-15 -10 -5 0 5 10 150

0,5

1

1,5

2

2,5

g[i]

i

g [ i ]∗g [ i ]=∑n

g [n] g [i−n]=g [−5] g [i−5]+g [−4 ] g [i−4]+...+g [0] g [i ]+ ...g [5] g [i−5]

Vease que la señal inicial tiene mucho “ruido1”. Cuando se aplica la convolución, la señal cambia y eneste caso, tiene menos ruido. Pero también podemos cambiar la acción de g[i]=[1,-24,-2,1]

1 Variación de la señal con respecto del promedio


Fig. 27: Señal h[i] y su convolución

0 20 40 60 80 100 120 140

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Señal original y su convolución

h[i]

convolucion

INDICE I

Como se aprecia la nueva señal, es distinta, tiene mas ruido que la anterior. De hecho, podemos hacermas aplicaciones, y sólo depende del los valor de g[i].

Esto opera, de la siguiente forma:

Cada elemento del operador g[i] se multiplica por un dato de la señal h[j], es decir

g[1]*h[1]+g[2]*h[2]+...g[5]*h[5], y eso genera el valor asociado a h[3].

Posteriormente se corre una casilla y se procede igual para generar el valor asociado a h[4].Obviamente una nueva señal sale de este procedimiento.

Se repite por toda la señal h[i], dando cuenta de una nueva señal.


Fig. 28: Convolución de h[i] con g[i]=[1,-2,4,-2,1]

0 20 40 60 80 100 120 140

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

Señal original y su convolución

h[i]

convolucion

INDICE I

H[1] h[2] h[3] …. h[N]

g[1] g[2] g[3] g[4] g[5]

g[1] g[2] g[3] g[4] g[5]

H[1] h[2] h[3] …. h[N]

g[1] g[2] g[3] g[4] g[5]

H[1] h[2] h[3] …. h[N]

g[1] g[2] g[3] g[4] g[5]

Lo mas interesante de este procedimiento es que la acción de g[i] depende de los valores y la cantidadde los elementos. Veamos un ejemplo

El siguiente gráfico, corresponde al nivel de marea de una sonda en Chanaral [SEALEVWEL].(http://www.ioc-sealevelmonitoring.org/station.php?code=chnr,) el dia 2013-06-11 a las 11:42:00.29.

La linea en verde, corresponde a tomar 3vecinos H[i-1],H[i],H[i+1], multiplicados por 1/3, cadauno. Como se ve en la figura 29, es mas suave que la variación de puntos. Pero comparado con la lineaazul, de 6 vecinos, esta última es mas suave aún. Entre mas es la cantidad de elementos H[i], se suavizala curva. Este es un ejemplo de suavizado de curva, pero no es el único.

Supongamos, ahora que se quiere dar mas peso ponderado a los puntos mas extremos; es decir,H[i-1] tenga mayor relevancia en el calculo que H[i]. Por ejemplo g[1]= 2/5, g[2]=1/5 y g[3]=2/5.

Veamos una el efecto en los datos figura 30


Fig. 29: Marea en el tiempo (cada minuto)

Fig. 30: Datos, con mayor ponderación en los extremos

http://www.ioc-sealevelmonitoring.org/station.php?code=chnr

En una acercamiento a la zona rectangular, se observa que una variación con respecto a losanteriores figura. 31

Aunque es mas suave, tiene variaciones mayores que el anterior. Sugiero que haga usted con 5elementos y probar los resultados. Con distintos valores de los elementos de g[i].

Pero este comportamiento, puede cambiar radicalmente. Supongamos que g[1]=1, g[2]=0 y g[3]=-1.

Vea el resultado:


Fig. 31: Acercamiento de datos y suavizado

Vea la señal procesada que esta en torno de cero, y alejada de la señal original. En un acercamiento ala señal obtenida se observa una variación en torno al cero figura. 33.


Fig. 32: Señal original y procesada

Lo se ha calculado, corresponde a la “derivada” de la señal. Cuando una señal es constante, laderivada es cero, no cambia. En este caso, hay mucho “ruido” y la operación destaca este ruido, peroborra las “componentes constante” de la señal.

Supongamos que tenemos la siguiente señal.


Fig. 33: Acercamiento de la señal obtenida

Si aplicamos la derivada, como antes, se obtiene el siguiente gráfico

Este tipo de operaciones, destaca los cambios brusco de intensidad. Por ejemplo, podría servirpara detectar el cambio de una señal.

Podemos aplicar otro tipo de operación, que también detecta los cambios. Supongamos que la señaldiscreta, se opera como: (f i+ 1+ f i−1−2f i)/2

El figura que se obtiene es:


Fig. 34: Función signo en forma discreta

-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

Función signo

Discreto

Fig. 35: Derivada de la señal signo

-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,00

2

4

6

8

10

12

Derivada discreta de la función signo

Vemos en la figura 36, que el cambio en la señal se produce justo donde hay un cambio bruscode la intensidad en la señal original (fig. 34), igual que la figura 35

Estas operaciones son algunas formas de detectar cambio brusco de intensidad, o bordes de unaseñal.

Señales bidimensionales: Imágenes

Filtros Espaciales lineales

Apliquemos la forma de operar a una señal bidimensional: imagen. Anotamos una elemento de una imagen en mono cromática como Iij (intensidad) que es el elemento i, j de la imagen.

Supongamos que tenemos la figura 37.


Fig. 36: Segunda derivada de la señal

-6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0

-15

-10

-5

0

5

10

15

Segunda deriavada discreta

Vamos a generar una nueva imagen K ij , basado en la siguiente definición

Ecu 3: Filtro sobre una imagen I

corresponde a un promedio ponderado de los elementos en torno de Iij

Esta imagen, es un poco menos ruidosa que la anterior. Pero igual mantiene ruido. Lo que hace


Fig. 37: Imagen con ruido

Fig. 38: Imagen resultante, de la operación anterior

K ij=I i−1 j∗1+ I i+1 j∗1+ I ij∗2+ I i j−1∗1+ I i j+ 1∗1

6

este filtro es promediar la intensidades en torno al punto (i,j).

Sin embargo, se puede agrandar la acción del filtro. Supongamos que ahora, sacamos elpromedio de las intensidades de todos los vecinos correspondiente a una matriz de 9x9 en torno delpixel (i,j). el resultados se observa

como se observa, en la figura 39, los bordes son mas borrosos que los anteriores, hay menos nitidez,pero hay menos ruido también. Esto es característico de este tipo de filtro, que promedia lasintensidades. Sin embargo, la acción depende del tamaño de la región del calculo.

Una operación interesante, es poder restar la imagen 37 y la imagen 39. la imagen que seobtiene es sustraer las diferencias entre la original, y la suavizada.


Fig. 39: Resultado de un promedio de 9x9 elementos en torno del punto i,j

Fig. 40: Resultado de una resta de imágenes

Como vemos, la imagen resultante destaca los bordes del objeto.

Los resultados de este tipo de operaciones, depende de los coeficiente que multiplican los elementosvecinos del punto i,j. La ecuación 3, se puede escribir como una multiplicación de matrices

Ecu 4: Representación matricial de la convolucioón

Cada elemento Kij, es el producto de la matriz centrada en I ij, por la matriz “convolución”. Esta matrizconvolución se va moviéndose por todos los puntos i,j de la imagen I, para que calcule la nueva imagenK. Sin embargo, el resultados K, depende de los coeficientes de la matriz convolución. Veamos esto enun ejemplo:

Supongamos que tenemos la imagen I

Vamos a aplicar a esta imagen la matriz de convolución de la ecuación 3.

El resultados que con este “filtro” se observa en la figura 42


Fig. 41: Imagen I

K ij=(I i−1 j−1 I i j−1 Ii+1 j−1

I i−1 j Iij I i+1 j

I i−1 j+1 I i−1 j+1 I i+1 j+1)(

0 1 01 2 10 1 0) 1

6

Vamos a aplicar, con una nueva matriz (0 1 0

−1 2 10 −1 0) 1

2, cuyo resultados es:


Fig. 42: Resultado de la imagen I,

Fig. 43: Resultado, con la nueva matriz

Hagamos un cambio, aún mas dramático. Definimos la nueva matriz como: (−1 0 1−1 0 1−1 2 1)

12

obteniendo la nueva imagen:

Como se observa, los coeficiente de la matriz convolución cambia el modo de trabajo, de modo quetenemos distintos resultados. Vamos a llamar “filtro” a esta matriz.

Supongamos que la matriz es (−1 0 1−1 0 1−1 0 1) , el resultados es:

Este filtro resalta los bordes de un cambio brusco de intensidad. Cuando esto ocurre, se dice


Fig. 44: Imagen resultante

Fig. 45: Imagen resultante. Nótese como los bordes se resaltan

que es un filtro asa alto: resalta los cambio en la señal.

Existe otros tipo de filtro que también, resalta los cambio brusco de intensidad. Probemos lasiguiente matriz:

(0 1 01 −4 10 1 0) ,

El resultado se observa en la figura 46.

Este tipo de filtro, da como resultado mucho ruido , no tanto los bordes del hueso. Sin embargo,también se puede aplicar para resaltar los cambios de intensidad.

Todos estos filtros que operar con una matriz asociada, operar de igual forma en todos lospuntos de la imagen, es decir en cada pixel i,j de la imagen. Este tipo de filtro que se aplica en elespacio de la imagen se llaman lineales. Su acción no depende la posición del punto i,j.

Filtro espaciales no lineales

Todos los filtros visto anteriomente, se comportan linealmente: su acción es la misma no importando la ubicación. Los filtros lineales cumple con la condición

Ecu 5

donde y son números escalares.


F(α I(x 1, y1)+β I (x 2, y2))=α F( I (x 1, y 1))+βF ( I( x2, y2))

Fig. 46: Imagen resultante del filtro Laplaciano

Supongamos que tenemos una señal en una dimensión dada por el vector h[i]. Aplicamos la siguiente acción F() sobre la señal h[i],

hn[ i ]=F (h [i ])=√h[i−1]

2+2h [i+1]

2

√3

El resultado de la aplicación, se aprecia en la figura.

Verifiquemos si se cumple ala igualdad en la ecuación 5.

F(h[ i]+h[ j ])=√(h [i−1]+h[ j−1])2+2(h [i+1]+h [ j+1])

2

√3

Ahora


Fig. 47: Señal original y la aplcaición del filtro no lienal

F [h [i ]]=√h [i−1]

2+2h [i+1]

2

√3 y F [h [ j ]]=

√h[ j−1]2+2h [ j+1]

2

√3

y como podemos ver F(h[i]+h[j]) ≠ F(h[i])+F(h[j]).

Veamos otro filtro nolineal. Definamos sobre la señal h[i], el filtro G[h[i]], como

G [h[ i ]]=[h [i ]2+h [i−1]2

h [i ]2+h [i+1]2 ]h[ i ]

Es calro que es no lienal (probar si cumple o no la igualdad 5) El efecton s obre los datos se aprecia enla figura 48

El filtro G, aumenta la diferencia con la señal, pero sigue la tedencia de esta.


Fig. 48: Accion de los filtro F y G, no lineal

Señales Bidiomensionales: imágenes

En el caso de las imágenes, un filtro no lineal es el filtro mediana. En una matriz (kernel), setoma el valor del medio de la secuencia. Es decir, si tengo la siguiente secuencia de datos 1,3,6,7,5; elvalor de la mediana de este filtro es el 6. Si tengo la secuencia 1,7,3,4,5; le mediana es 3. Esto influyeen el resultado de la imagen. Como se observa en la figura 49, la imagen resultante es mas borrosoque la oiriginal, perdiendo detalles. No confunda con la acción del promedio, ya que no calcula elvalor promedio de los valores de las intensidades, si no toma el valor de la intensidad en la secuenciaque esta justo en el medio.

Obviamente, no es el único filtro. También esta el filtro Max (maximo) que busca el valor máximo dela intesidad en un arreglo (figura 50). También el valor mínimo (Min), idem lo anterior, pero es elmínimo (figura 51).


Fig. 49: Imagenes, con original y con el filtro mediana

Fig. 50: Imagen obtenida con el filtro de máximo

Fig. 51: Imagen, obtenida con el filtro mínimo

El uso de estos tipo de filtro depende del t upo de problema, y la información que buscamos.


Transformada de FourierPara poder a entender lo que es la transformada de Fourier, primero de vemos ver lo que es la serie deFourier.

Serie de Fourier

Este tipo de matemática, se aplica cuando una señal tiene una periodicidad T, es decir f(t+T)=f(t). Porejemplo, los latidos cardíacos, la respiración, la rotación de la Tierra.

Para nuestro interés, vamos a trabajar con señales que tienen periodo T, es decir

Un teorema de Fourier, consiste es que cualquier función periódica se puede escribir como unacombinación lineal de la funciones (1, sin(wi t), cos(wi t)), con wi=2/T i, donde i es un indice que vadesde i =0 hasta el infinito. En otra forma de espresar esta afirmación es

f (t)=a0

2+∑

i=0

(ai cos(wi t)+bi sin(wi t))

con a0=2T∫0

T

f (t)dt , ai=1T∫0

T

f (t)cos(wi t)dt y bi=1T∫0

T

f (t)sin(w i t )dt .


Fig. 52: Función periodica, con periodo T=6,2

T

Veamos un ejemplo de serie periódica, y el calculo de los coeficiente a0, ai y bi.

Supongamos que tenemos la función f(t) definida como f (t)=t , −π<t<π , con periodo 2.

La imagem de la función f(t) se aprecia en la figura 53.

Calculemos los coeficientes de Fourier de esta serie:

• a0=2T∫0

T

f (t)dt=2

2π∫−π

π

t dt=0

• ai=1T∫0

T

f (t)sin(wi t )dt=1

2π∫−π

π

t sin(wi t)=(−1)i+1 2

i

• bi=1T∫0

T

f (t)cos(wi t)dt=1

2 π∫−π

π

t cos (w i t )dt=0 .

Según estos, resultados, la serie de Fourier de la función f(t) es f (t)=∑i=1

(−1)i+ 1 2i

sin(wi t) , con

w i=2 π

2 πi=i . Veamos la representación gráfica de la serie de f(t).


Fig. 53: Función f(t), con periodo 2

Fig. 54: Serie de Fourier G(t), y la señal original f(t)

Entre mas términos tenga la serie mejor se aproxima a la señal original.

Veamos otro ejemplo de esto. Supongamos que la señal periódica viene descrita por la expresión

Ecu 6. Veamos la representación gráfica de esta función.

El periodo de función (o señal) es . Calculemos los coeficientes de Fourier de esta señal:

• a0=π

2

3

• ai=(−1)i 4

i2

• bi=0

La representación gráfica de esta serie se observa como


Fig. 55: Representación de la función f(t) en 6

f (x)=x2, 0<x<π

Vemos que podemos escribir funciones periódicas. Pero que pasa si cortamos la serie en un numerofinito de terminos, es decir n=3, o n=5.

Como vemos entre mas términos se aproxima mejor a la señal. Veamos otro ejemplo.

Supongamos que tenemos la siguiente señal:


Fig. 56: Serie de Fourier, f(x)=x2

Fig. 57: Serie de Fourier, con distinto numero de términos; n=3, 5 y 25

Ecu 7

con T=1.

La serie de Fourier asociada a esta señal f (t)=4π [∑

i=1

∞ sin (π x i )

2i−1 ] , dando cuenta de la forma

Definamos el siguiente parámetro. c i=√ai+b i . Grafiquemos el termino Ci, en función w i=2 π

Ti .


Fig. 58: Señal f(t)

f(t)

Ecu 8: Forma de la señal H, con 2 miembros de la serie y func2 con 20 términos

f (t)={−1 −T /2<t <01 0<t <T /2 }

Este gráfico Ci representa el coeficiente asociado a la frecuencia w(i). Lo importante de este gráficoes que se aprecia que las frecuencias mas bajas son los contribuyen a la forma gruesa de la señal. Lasfrecuencias superiores, (altas) dan la forma detalle de la señal. Entre mas frecuencias altas mayor es lapresición de la señal, como se aprecia en la figura 57.

Pero, ¿que pasa si modificamos las amplitudes de la serie en función de w?

Supongamos que la función moduladora viene descrito por K (w ,w0):=e−(w i−w0)

2

20 .

g(t)=4π [∑

i=1

∞

K (w i ,w0)sin (π x i )

2 i−1 ] , con w0=3. Veamos como queda esta señal, cuando

comparamos f(t) y g(t) con N=20 términos.


Fig. 59: Coeficiente C(i) en función w(i)

0 10 20 30 40 50 60 700

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

Coeficiente C(i)

Señal f(t)

wi

C(i

)

Como vemos de la señal resultante, ciertas coeficientes sobreviven o son modificados para generaruna nueva señal con las nuevas amplitudes. Pero si cambiamos la forma de modificar las amplitudes,podemos tener una nueva señal. Supongamos que K (w i , w0)=e−|w i−w0|0.04 , y obtenemos la señal

La señal F es la modificada es suave comparada con la señal H, ya que el operador K resalta las“frecuencias” bajas con respecto a las altas que dan los detalles de la forma. Supongamos que

K (w i , w0)=1−e−|w i−w0|0.04 . La nueva señal es


Fig. 60: Señal F, original con 20 términos y H con el operador con 20 términos

Fig. 61: Señal Original F, y señal H con el nuevo operador.

Como podemos ver en la figura 62, la señal resultante tiene frecuencias de mayor frecuencia,comparado con la figura 61. El operador K se comporta como un “filtro”, un seleccionador defrecuencias que modifica la amplitud asociada a la frecuencia wi. Por lo observado, el operador(filtro) K puede seleccionar las frecuencias que resulten de la forma analítica. A grandes rasfgos,podemos decir que existe filtros:

• Pasa bajo

• pasa medio

• Pasa alto.

La amplitud original, con las amplitudes modificadas de acuerdo a los filtro “pasa bajo” y“pasa alto”. La representación de la figura 63 se denomina espectro de Fourier. Muestra la amplitudasociada a cada frecuencia de la señal, y la modificación de la señal por medio de los filtros.


Fig. 62: Señal F original, y la señal resultante H

Fig. 63: Amplitud original, con amplitudes modificadas de acuerdo a los filtros.

0 10 20 30 40 50 60 700

0,5

1

1,5

Amplitudes, modificadas con el operador K

K, filtro pasa bajo y alto

Original

Pasa bajo

Pasa alto

wi

Ci

Ejemplo aplicado.

Supongamos que tenemos una eñal, correspondiente a la riza de un bebe.

El sonido tiene una representación de variaciones de amplitud en el tiempo, como se observa enla figura 65. SI calculamos los coeficienbtes Ci, asociado a la frecuencia de la onda, noda un espectrode Fourier del sonido en cuestión como se observa en la figura .

Apliquemos una función K(f) (o en este caso de f=w/2), de modo que modifique el sonido, que seobserva en la figura 66

.

El rersultado de la aplicación dfe K(f) origina una nueva señal (Figura 67) y cuyo espéctro seobserva en la figura 68


Fig. 65: Forma de la onda de la risa del BebeFig. 64 Espectro original

Fig. 66: Función K(f)

Como se observa las señales distintas (sonidos) y por el efecto de K, y que cambia las gananciasde las amplitudes de la señal original asociadas a la una frecuencia wi (o fi).

Transformada de Fourier

Veamos la siguiente situación. En los párrafos anteriores vimos que las amplitudes asociada a

una frecuencia wi. Esta frecuencia se define como w i=2 π

Ti . Supongamos ahora que el valor de T

tiende a infinito ( T→∞ ). Se puede pensar que la función periódica tiene un periodo infinito, esdecir ocurre una vez. La amplitud que dependia de wi, tiene a a una valor w, es decir en vez de unafunción discreta dependiente de i, depende de w un numero real.

Veamos un ejemplo. Supongamos que f (t)=e−|a|t . La amplitud dependiente de la frecuencia

se calcula de la forma C(w)=1

√2π∫−∞

∞

f (t )e− jwt=dt

2 a

a2+w2

que es la transformada de Fourier de

f(t). En este caso j2=-1.


Fig. 68: Espectro original, y modificado or K

Fig. 67: Señal resultante de la aplicaión del filtro K

Si a=1, la función tiene la forma, como se muestra en la figura 69.

La transformada de Fourier de esta señal se observa en la figura 70

La expresión de g(w) es la amplitud asociada a la frecuencia w.

La función f(t) debe cumplir ciertas condiciones. Una importante es que ∫−∞

∞

|f (t)|2 dt=K

tiene un valor finito. Por ejemplo la función f (t)=et no se puede calcular la transformada ya queno cumple con la condición anterior. Veamos una función muy particular, la función delta

f (t)=δ(t−t 0) . La función es 1 en t=t0 y 0 en todo el resto. Podemos pensarlo que es el ruido quegenera un petardo.

La transformada de esta función 1, es decir G(w)=1. Una interpretación para entender, es queel ruido (pulso ) tiene todas las frecuencias y son todas emitidas.


Fig. 69

Fig. 70: Transformada de f(t), g(w)

Veamos una función mas f (t)={1 |t|<T0 |t|>T } . la transformada de Fourier de esta función es

G(w)=2sin(wT )

w

Transformada de Fourier en Imágenes.

Sabemos que una imagen, se puede pensar como una señal bidimensional I(x,y). La transformada de Fourier de una señal en dos dimensiones se define como

G(u , v )=1

2π∫−∞

∞

∫−∞

∞

I (x , y )e− j (ux+ vy)dxdy .

Veamos una imagen como I ( x , y)={255 |x|,|y|<10 |x|,|y|>1}

La imagen de la función I(x,y) es


Fig. 71: Transformada de Fourier de f(t)

Fig. 72: Imagen de I(x,y)

Las transformada de Fourier de la imagen 72 es

En una representación de la intensidad de la imagen 73, es

Esta representación es la intensidad asociada a cada frecuencia en una matriz bidimensional de la imagen.

Si anulamos las intensidades cercabas al origen , estamos quitando las frecuencias bajas, la imagen resultante debería resaltar los bordes por sobre el objeto. Supongamos que modificamos las intensidades asociado a las frecuencias de acuerdo a la función 75. Como resultado que se obtiene la imagen


Fig. 73: Imagen de la transformada de Foruier de I(x,y)

Fig. 74: Representación de la intensidad de la transformada de Fourier

La nueva imagen Ip(x,y), cuya transformada de Fourier es la imagen 76, es el producto de una filtraje de la imagen I(x,y) 72. El resultado se puede expresar como TFIp(u , v )=G(u , v)TFI (u , v ) , donde

• TFI(u,v) es la transformada de I(x,y), figura 73.

• TFIp(u,v) es la transformada de la imagen Ip(x,y)

• G(u,v) es el filtro que afecta TFI(u,v), modifica para obtener la imagen Ip(x,y).

Como vemos, podemos alterar una imagen cambiando las ganancia de las amplitudes asociada alas frecuencias que componen la imagen. Dependiendo la acción del filtro G(u,v) hay filtros pasa bajos, pasa medio y pasa altos. Todo depende de como modifica las amplitudes.


Fig. 75: Perfil de intensidad del filtro.

Fig. 76: Imagen de la transformada inversa, una vez aplicado el filtro.

Veamos otro ejemplo. Supongamos que tenemos la siguiente imagen.

Aplicando un filtro de suavizado se obtiene la imagen y su transformada de Fourier

Como vemos en la figura 78, la imagen es borrosa. Si observamos el espectro de fourier correspondiente vemos que predominan las frecuencias bajas (Colores claros), a diferencia de la figura77, que como tiene una mejor definición de los contornos, las imagen se ve mas nítida.


Fig. 77: Imagen y Transformada de Fourier

Fig. 78: Imagen Resultante y transformada correspondiente

Estadística de una Imagen

Hasta el momento, hemos tratado una imagen mediante filtros y cambio de colores. Pero existe mas información que sólo el despliegue de la imagen. Podemos sacar información del tipo estadístico.

Como primer aproximación de una imagen o región de interés) podemos obtener:

• La intensidad Máxima

• La intensidad mínima

• El valor promedio de la intensidades

• La desviación estándar de estadístico o su varianza

• Moda

Veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos la imagen de 8-bit (255 tonos de grises), figura79

Utilizando el programa ImageJ, se obtiene los siguientes resultados presentados en la tabla

Parámetro Valor

Máximo 255

Mínimo 0

promedio 106,963

Desviación Estandar 76,646

Moda 255


Fig. 79

Pero, no son lo únicos índices que podemos extraer de una imagen. Un parámetro útil para la imágen es el contraste. Existen varias definiciones de contraste.

Definiciones

• Contraste usualI max−I min

I

• Contraste de weber I−I b

I b

, donde Ib, es la intensidad del fondo e I intensidad media ( I )

por la imagen o de la región de interés.

• Contraste de Michelson I max−I min

I max+ Imin

• Contraste RMS √ 1MN

∑i=0

N −1

∑j=0

M−1

(I ij−I )2

Veamos aplicado estas definiciones a una imagen 79. Sabemos que la intensidad promedio es 106,963, con un área de 12000000, valor máximo de intensidad es de 255 y el mínimo 0.

Con estos datos, podemos construir la siguiente tabla 5

Es necesario tener una definición de constaste para comparar si quiere uno saber ha cambiado en el tiempo.

Textura de una imagen

Pero, si queremos comparar para poder distinguir diferentes “texturas” dentro de una imagen, o entre imagen, ¿como podemos separarlo, o distinguirlo por medio de la información numérica?.

En una definición de textura en imágenes, tiene asociado varios parámetros a partir de la matriz de coocurrencia. La matriz de coocurrencia se construye a partir de las intensidades de la imagen.

Supongamos que tenemos una imagen de 4 bit, es decir (24 = 16), cuya representación se observa .


Tabla 5

Contraste ValorUsual 2,3840019446Weber 0Michelson 1RMS 13,05

Elijamos un pixel en particular (marcado de amarillo). Veamos la siguiente matriz de intensidades

Centrado en el pixel de amarillo, y definimos que a un pixel de distancia (pixel siguiente), contamos las combinación que hay (12,1) =0, (12,2)=0 , asi hasta (12,11) =1, y luego sigue (12,12)=0, (12,13)=0.es decir en la matriz de coocurrencia cuenta cuantas veces se produce la combinación del tono del pixel marcado, con respecto del vecino.

También se puede buscar la combinación del tono central, con el pixel subsiguiente, no adyacente, o con el pixel en 45°, o en 90° a una distancia arbitraria. Podemos construir muchas matrices de coocurrencia.

A partir de esta matriz V, definimos Pi , j=V i , j

∑ V i , j

, que generalmente se representa como la

matriz de coocurrencia. A partir de la esta definición, podemos calcular los siguientes terminos:

• Segundo momento angular ∑i∑

j

Pi , j2

• Contraste2 ∑i∑

j

|i− j|Pi , j

• Correlación ∑

i∑

j

ij P i , j−μ iμ j

σi σ j

• Diferencia del momento inverso ∑i∑

j

Pi , j

1+|i− j|

• Entropía −∑i∑

j

P i , j log Pi , j

Veamos un ejemplo de estos.

Tenemos la siguientes imágenes

Calculemos los indice de textura de cada imagen.

2 Este constraste es distinto, del definido anteriormente


Fig. 80: Sección de la Matriz de la imagen

6 0 10 15 55 10 9 12 911 8 6 12 93 12 11 10 91 3 9 2 90 10 10 0 33 13 12 5 17 9 13 5 54 1 13 2 6

Calculemos los indices anteriores utilizando el pluginde imagej, con una radio de 1 pixel a un ángulo de 0°.

Veamos los mismo parámetros a un radio de 4 y 0°.

Como se observa en la tabla, por cada elección de radio y ángulo existe una matriz de coocurrencia distinta y por tanto los valores cambian de acuerdo a la elección. Esto nos permite diferencias imágenes que se ven semejantes, pero podemos diferenciarlo con estos indices. Este tipo de análisis da la herramientas para el pos-tratamiento de imágenes en la clínica, como ya veremos en los ejemplos.


Fig. 81Fig. 82

Table 6: Resultados obtenidos a un radio 1 pixel y a 0°

Distancia de un pixel y ángulo de 0Textura Figura 81 Figura 82Csegundo momento 0,00005725 0,002Constraste 1110,903 24,719Correlación 0,0002142 0,3626Diferencia del momento inverso 0,048 0,545Entropía 10,093 7,184

Table 7: Radio de 4 pixel y ángulo de 0°

Distancia de 4 pixel y ángulo de 0Textura Figura 81 Figura 82Csegundo momento 0,4891 0,5161Constraste 1561,023 152,41Correlación 0,2221 0,3504Diferencia del momento inverso 0,039 0,218Entropía 10,225 8,433

Indice Fractal

En la geometría euclidiana, para determinar las posición de un punto en cierto espacio está relacionado con las dimensiones del espacio. Por ejemplo: un punto en una recta necesita de un parámetro apars ser determinado, un valor respecto del origen; en un plano, necesitamos dos números: dimensión dos, y en un volumen, tres dimensiones, tres cantidades en la geometría Euclidiana. Sin embargo, hay formas geométricas que son difícil de clasificar si están una u en otra dimensión.

En la figura 83, el primer triangulo en plano, dimensión 2, pero el último inferior no es plano, perotampoco una linea... esta entre una dimensión 2 y 1. Para llegar al último triángulo, se aplico la regla,que se observa en la parte superior: cada nuevo triangulo de la iteración de deja un espacio triangularvacío. Este procedimiento se repite hasta el infinito. ¿Que dimensión tiene este “triangulo”?

Esa fue una pregunta se enfrentó Benoît Mandelbrot . Como son estructuras autosemejantes, es decirsi aumento la imagen del objeto, voy a observa estructuras parecidas a las iniciales, que se “parecen” ala mayor. Si sigo aumentando encontraré similitudes. Una definición propuesta de dimensión, que

podemos aplicar es DF=limn→∞

ln N n

ln(2n)

, donde Nn, número de cajas en una cuadricula de ancho

1/2n .

Veamos un ejemplo en el triangulo de la figura 83. Para el paso 1, sea crean 3 triángulos y no 4(triángulo negros), y la escala es 2, para n=2, se crean 9 en una escala de 4, y así sucesivamente.

Apliquemos la definición DF=limn→∞

ln(3n)

ln(2n)=

ln(3)

ln(2)=1,584962501 . Justo un valor entre 1 y 2, no

es una línea pero tampoco un plano. Lo interesante de esto es que existe muchas estructuras en lanaturaleza que presentan un comportamiento fractal.


Fig. 83: Triangulo fractal

http://es.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot

Utilicemos el programa Imagej con el plugin “Bonej”.

Veamos una imagen que es un fractal.

Según el programa, la dimensión fractal es 1.5014, que comparado con el naterior es 1,58.

Apliquemos ahora a una imegen radiográfica, de hueso esponjoso


Fig.84http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Romanescu.JPG#mediaviewer/File:Romanescu.JPG

Fig. 85: Triángulo de Sarpienski, fue cread en 1915 por el matemático polaco que le dio nombre y está considerado como el primer fractal artificial.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Romanescu.JPG#mediaviewer/File:Romanescu.JPG

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Romanescu.JPG#mediaviewer/File:Romanescu.JPG

Para aplicar el Bonej, se debe binarizar la imagen; es decir, llevar a dos tonos: 0 y 255. Esto es muyarbitrario, ya que el cortar donde se binariza, depende del usuario.

En este caso, aplicando Bonej, la dimensión fractal da 1,863. No es 2, pero cercano, ya que el huesopresenta orificio: las trabeculas. Sin embargo este resulatdo es sensible a la discresión del usurario.


Fig. 86: a) Imagen del hueso b) Imagen binaria del hueso

a) b)

Apunte introductorio al tratamiento de imáganes para tecnología médica, mensión rayos X

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