Apunte Distribuciones de Frecuencia

PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

TRANSPARENCIAS DE CLASES

UNIDAD IESTADSTICA DESCRIPTIVA

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA

Profesor: Luis Arenas

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA

Neuqun, Marzo 2009

Facultad de Economa y AdministracinUNIVERSIDAD NACIONALUNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE

PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

Profesor Titular: Estela Arvalo (Teora)

Equipo de Ctedra o eso tu a ste a a o ( eo a)

Profesor a cargo: Luis Arenas (Teora)

Asistente de Docencia: Laura Altendorff

(Prctica)(Prctica)

Ayudantes: Natalia Rubio (Prctica)

Jorge Caliani (Prctica)

Facultad de Economa y Administracin

Jorge Caliani (Prctica)

AdministracinUNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE

PROB. Y ESTADSTICA - EST. DESCRIPTIVA : DISTRIB DE FRECUENCIA

UNIDAD 1: Estadstica Descriptiva:

Distribuciones de Frecuencias

OBJETIVOS:

Desarrollar un conjunto de conocimientosbsicos sobre Estadstica Descriptiva, connfasis en herramientas de organizacin,

CONTENIDOS:

presentacin e interpretacin de datos.

Muestra y poblacin;

Variables estadsticas;

Tipo de variables; Tipo de variables;

Tablas de frecuencias para datos sin agrupar;

Propiedades de las frecuencias

Tablas de frecuencias para datos agrupados;

Grficas de las distribuciones.

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUE 3Departamento de Estadstica - Prof. Luis Arenas

PROB. Y ESTADSTICA - EST. DESCRIPTIVA : CONCEPTOS - DEFINICIONES

Definiciones

La ESTADISTICA es la ciencia que permite, apartir del estudio de una o ms muestras,

l i d d d l bl i

Definiciones

conocer las propiedades de la poblacincorrespondiente.

Estadstica descriptivaRama de la estadstica que trata de los mtodosusados para resumir y describir las caractersticasimportantes de los datos recolectados. Dentro deimportantes de los datos recolectados. Dentro deeste conjunto de mtodos hay mtodos grficos(grficos de puntos, histogramas, grficos dedispersin, etc.) y mtodos basados en el clculoaritmtico de estadsticos (tales como medias,aritmtico de estadsticos (tales como medias,variancias, etc.).



Poblacin (Universo):Poblacin (Universo):

Coleccin bien definida de objetos, personas, etc.que se pretende estudiar. La definicin debe serespacio-temporal (qu - dnde - cuando).p p (q )

Ejemplos:

Todos los menores de 18 aos de una regin enun momento dado;

Todos los individuos que se recibieron en laFa ltad de Ingenie a en la Uni e sidad delFacultad de Ingeniera en la Universidad delComahue durante el periodo 1995-2000;

El volumen total de petrleo producido en uncierto yacimiento durante un periodo ;cierto yacimiento durante un periodo ;

Muestra: Subconjunto de objetos pertenecientes ala poblacin bajo estudio, seleccionadosmediante un mtodo predefinido.

Una muestra es aleatoria cuando, lasobservaciones son seleccionadas de forma talque cada miembro de la poblacin tenga igualoportunidad de ser elegido.

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUEDepartamento de Estadstica - Prof. Luis Arenas 5


Muestra y PoblacinMuestra y Poblacin

Poblacin o U iUniverso

M tMuestra



Las poblaciones pueden ser consideradas :

Finitas: constituidas por un conjunto cerrado(finito) de objetos;

Las poblaciones pueden ser consideradas :

( ) j ;

Infinitas: es el caso general cuando se tratade procesos de produccin continua, ya seanprocesos de flujo (lquidos o gases) oprocesos con productos individualizables(baldosas, autos ...).

El estudio de la totalidad de una poblacin sedenomina censo.

A menudo es imposible por razones de tiempo oA menudo es imposible, por razones de tiempo ocosto, realizar un censo. En el censo depoblaciones grandes se cometen errores debidosal personal (cansancio, tedio, etc.). Por esa

razn, frecuentemente se obtienen mejoresresultados analizando una muestrarepresentativa de la poblacin a estudiar.



Unidad EstadsticaUnidad EstadsticaEs la persona, objeto, elemento en cuyo estudioestamos interesados. La unidad estadstica tambinpuede ser una unidad de tiempo, longitud, rea, etc.

Variables Estadsticas

Es cualquier caracterstica que puede variar de unaEs cualquier caracterstica que puede variar de unaunidad estadstica a otra en la poblacin. Obtenidas pormedicin o por observacin de la caracterstica bajoestudio.

Tipos de Variables

Cualitativas:

No admiten valores numricos sino querepresentan atributos o categoras observadosen las unidades estadsticas. Ej: sexo, raza,profesin, etc.

Cuantitativas:

adquieren valores numricos obtenidos poradquieren valores numricos obtenidos pormedicin o por observacin de las unidadesestadsticas.



Variable Cuantitativa discretaVariable Cuantitativa discretaUna variable cuantitativa es discreta cuandounicamente asume valores enteros.Generalmente surgen de conteos.

Algunas pueden asumir infinitos valores (porejemplo : 0, 1, 2, 3, 4...).

Otras pueden tomar un conjunto finito deOtras pueden tomar un conjunto finito devalores (por ejemplo : 1, 2, 3).

V i bl C tit ti tiVariable Cuantitativa continuaUna variable cuantitativa es continua cuandolos valores posibles abarcan la totalidad de larecta numrica (el conjunto de los nmerosrecta numrica (el conjunto de los nmerosreales).

Admiten decimales y en general surgen demediciones.mediciones.



Poblacin

Es el conjunto de todos los individuos queindividuos que poseen informacin sobre el fenmeno que Muestrafenmeno que se estudia.

MuestraEs un subconjunto de elementos pertenecientespertenecientes a una poblacin. Variables:

Caractersticas que se observan

Unidad Estadstica

C d i di id

Caractersticas que se observan en las unidades estadsticas.

Cada individuo, animal o cosa al que se le mide u observa una o ms

t ti

Cualitativas

Cuantitativas discretascaractersticasCuantitativas continuas



Ejemplo:

En un estudio de ausentismo, se selecciona unamuestra aleatoria de 60 empleados de la cadena dehipermercados XX y para cada uno de ellos se observala cantidad de das ausente el ao pasado.la cantidad de das ausente el ao pasado.

Resultados del estudio:

9, 6, 11, 2, 5, 8, 9, 7, 8, 13, 8, 6, 3, 10, 12, 11, 8, 9,, , , , , , , , , , , , , , , , , ,4, 14, 10, 6, 8, 9, 8, 5, 7, 7, 9, 10, 12, 3, 5, 7, 10,11, 6, 9, 8, 7, 9, 6, 7, 7, 10, 8, 9, 11, 9, 8, 7, 9, 10,8, 6, 10, 8, 4, 7, 5

Poblacin: empleados de la cadena del hipermercadoXX el ao pasado .

Muestra: el subconjunto de 60 empleadosseleccionados al azar

Unidad Estadstica: el empleado del hipermercado XXp pel ao pasado.

Variable: Cantidad de das ausente el ao pasado

Tipo de Variable: Cuantitativa discreta


PROB. Y ESTADSTICA - EST. DESCRIPTIVA : SERIES SIMPLES

Serie Simple de Datos (SSD)

Una serie simple es un conjunto pequeo de datos.

Si la cantidad de observaciones que conforman la seriesimple es n, podemos indicarlos como x1 , x2 , ..., xnsimple es n, podemos indicarlos como x1 , x2 , ..., xn

muestraEjemplo:

2,3 2,12,82,4

2,62,5

La cantidad de observaciones de la serie simple es n = 6 La serie simple es:

2.3 2.4 2.1 2.8 2.5 2.6

654321 xxxxxx

Distribuciones de Frecuencia Unidimensionales

Permiten organizar los datos construyendo tablasde frecuencias unidimensionales.

Permite visualizar la forma de la distribucin deuna variable mediante la representacin grficade los valores obtenidos en una muestra detamao adecuado (generalmente, no menor de50 unidades);

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL COMAHUEDepartamento de Estadstica - Prof. Luis Arenas 12

);

PROB. Y ESTADSTICA - EST. DESCRIPTIVA: DISTRIB DE FRECUENCIA

Distribuciones de Frecuencia Unidimensionales

Si la variable es discreta y asume pocos valores,entonces la tabla de frecuencia se llama de datossin agrupar (DSA) y la representacin grfica sedenomina diagrama de bastones;g ;

Si la variable es continua (o discreta pero asumemuchos valores), entonces la tabla de frecuenciase organiza agrupando los datos en intervalos ol e l di t ib in e ll m de d toclases y la distribucin se llama de datos

agrupados (DA). La grfica se conoce con elnombre de histograma.

F i b l t (f ) l tid d d Frecuencia absoluta (fi) es la cantidad de veces que se observa el valor xi de la variable.

Frecuencia relativa (hi) Indica laproporcin de veces que se observa elvalor xi de la variable. Es el cociente entrela frecuencia absoluta y el tamao de lamuestra n. fh i

nfh ii =

La frecuencia absoluta nos dice cuntas veces ocurriel evento, pero no informa sobre la relacin que estoel evento, pero no informa sobre la relacin que estotiene con el tamao de la muestra analizada.

El contenido de informacin de la frecuencia relativaes mucho mayor que el de la frecuencia absoluta.



Tablas de Frecuencias: Datos sin Agrupar (DSA)

Luego de recolectados los datos armar una tabla def i l i i t l

Construccin de la Tabla

frecuencias con las siguientes columnas:

En la primera columna los valores que asume lavariable ordenados de menor a mayor.

En la segunda columna las frecuencias absolutasde cada valor de la variable.

E l t l l f i l ti d

Valores de la variable

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

En la tercera columna las frecuencias relativas decada valor de la variable.

variable absoluta relativa

Contar las En cada valor dividir la Contar las ocurrencias de cada valor de la variable

frecuencia absoluta por el tamao de la

muestra (n)



Frecuencia b l t

Frecuencia l ti

Cantidad d f lt

2

3

4

absoluta relativade faltas

1

2

2

0.0167

0.0333

0 0333

Contar las ocurrencias de cada valor de la

variable45

6

7

2

4

6

9

0.0333

0.0667

0.1000

0.1500

variable

8 11 0.1833

9

10

10

7

0.1667

0.1167 En cada valor dividir la frecuencia absoluta

11

12

13

14

4

2

1

1

0.0667

0.0333

0.0167

0 0167

frecuencia absolutapor el tamao de la

muestra

14 1 0.0167

Representacin de Frecuencias Simples

Marque los valores de la variable en una escala sobre el eje horizontal;

Sobre cada valor de la variable, dibuje un bastn cuya altura sea igual a la frecuencia absoluta (o, alternativamente, la frecuencia relativa).



La frecuencia relativa expresada como porcentaje La frecuencia relativa expresada como porcentajerecibe el nombre de frecuencia relativa porcentual(hi%).

Para obtener la frecuencia relativa porcentual Para obtener la frecuencia relativa porcentualsencillamente se multiplica la frecuencia relativa por100, es decir hi% = hi*100 .

Como es ms fcil de interpretar un porcentaje que Como es ms fcil de interpretar un porcentaje queuna proporcin, es usual informar resultados entrminos de frecuencias relativas porcentuales.



Tanto las frecuencias absolutas como las relativas y Tanto las frecuencias absolutas, como las relativas ylas relativas porcentuales se pueden sumar dandoorigen a las frecuencias acumuladas.

Definiciones:

Fi: Frecuencia absoluta acumuladaFi: Frecuencia absoluta acumuladaIndica cantidad de veces que se observ el valor xide la variable o uno inferior a l.

H : Frecuencia relativa acumulada Hi: Frecuencia relativa acumuladaIndica la proporcin de veces que se observ elvalor de la variable xi o uno inferior a l.

H %: Frecuencia relativa porcentual Hi%: Frecuencia relativa porcentualacumuladaIndica el porcentaje de veces que se observ elvalor xi de la variable o uno inferior a l.



Tabla de Frecuencias: Datos sin agrupar (DSA)

Cant. de faltas

2

fi hi

1 0.0167

Fi Hi%hi%

1,67 1

Hi

0.0167 1,67

3

4

5

2

2

4

0.0333

0.0333

0.0667

,

3,33

3,33

6,67

3

5

9

0.05

0,0833

0.15

,

5

8,33

15

6

7

8

9

6

9

11

0.1000

0.1500

0.1833

10

35

450 1667

10

15

18,33

16 67

15

24

0.25

0.40

0.5833

0 75

25

40

58,33

759

10

10

7

4

2

450.1667

0.1167

0.0667

0.0333

11

12

16,67

11,67

6,67

3,33

52

56

58

0.75

0.8667

0.9334

0.9667

75

86,67

93,34

96,67

1

1

0.0167

0.0167

13

14

,

1,67

1,67

59

60

0.9834

1

,

98,34

100



Representacin de Frec. Acumuladas (DSA)

Marque los valores de la variable en una escalahorizontal;

Para cada valor de la variable representar las

p ( )

Para cada valor de la variable representar lasfrecuencias absoluta acumuladas. Como lafrecuencia acumulada permanece constante de unvalor a otro, uniendo los segmentos verticales seobtiene el diagrama escalonado

Diagrama Escalonado)(iF

obtiene el diagrama escalonado.

50

60

70

)(

60=F

30

40

50

0

10

20

0=F00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16



Interpretacin

Cant. de faltas

2

fi hi

1 0.0167

Fi Hi%hi%

1,67 1

Hi

0.0167 1,67

3

4

5

2

2

4

0.0333

0.0333

0.0667

,

3,33

3,33

6,67

3

5

9

0.05

0,0833

0.15

,

5

8,33

15

6

7

8

9

6

9

11

0.1000

0.1500

0.1833

10

35

450 1667

10

15

18,33

16 67

15

24

0.25

0.40

0.5833

0 75

25

40

58,33

759

10

10

7

4

2

450.1667

0.1167

0.0667

0.0333

11

12

16,67

11,67

6,67

3,33

52

56

58

0.75

0.8667

0.9334

0.9667

75

86,67

93,34

96,67

1

1

0.0167

0.0167

13

14

,

1,67

1,67

59

60

0.9834

1

,

98,34

100

f3:

h6 %:



Diagrama Escalonado

70

)(iF

50

60

70

20

30

40

0

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16



Interpretacin

Cant. de faltas

2

fi hi

1 0.0167

Fi Hi%hi%

1,67 1

Hi

0.0167 1,67

3

4

5

2

2

4

0.0333

0.0333

0.0667

,

3,33

3,33

6,67

3

5

9

0.05

0,0833

0.15

,

5

8,33

15

6

7

8

9

6

9

11

0.1000

0.1500

0.1833

10

35

450 1667

10

15

18,33

16 67

15

24

0.25

0.40

0.5833

0 75

25

40

58,33

759

10

10

7

4

2

450.1667

0.1167

0.0667

0.0333

11

12

16,67

11,67

6,67

3,33

52

56

58

0.75

0.8667

0.9334

0.9667

75

86,67

93,34

96,67

F

1

1

0.0167

0.0167

13

14

,

1,67

1,67

59

60

0.9834

1

,

98,34

100

F7:

H6 %:

F7- F4:

100- H6 %:



Diagrama Escalonado)(F

50

60

70

)(iF

60=F

30

40

50

0

10

20

0=F

Diagrama Escalonado)(iF

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

50

60

70

60=F

20

30

40

0

10

20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0=F



Frecuencias Absolutas: Propiedades

Frecuencia absoluta (fi) es elnmero de veces que seobserva el valor xi de lavariable

i x f F

12

23

12

13

nfffff mm

ii =++++=

=...321

1

variable.34567

45678

246911

59152435 i 1

60... 1332113

1=++++=

=fffff

ii

78

9 10

89

10 11

1110

7 4

3545

52 56

11 12 13

12 13 14

2 1 1

58 59 60

iffffF +++==

Fi: Frecuencia absoluta Acumulada, indica cantidadde veces que se observ el valor xi o uno inferior a l

ij

ji ffffF +++===

...211

nFfF m == 111

601 1311 ==== FFfF mnFi 0

1

2


i


Frecuencia Relativa: Propiedades

0.0167 2

x hi

1

Frecuencia relativa (hi) Es laproporcin de veces que seobserva el valor xi de la

0.0333 0.0333 0.0667 0 1000

3 4 5 6

2 3 4 5

ivariable.

1...321 =++++= mm i hhhhh0.1000 0.1500 0.1833 0.1667 0 1167

6 7 8 9 10

5 6 7 8 9

3211=

mi

i

1...13

13321 ==++++ ihhhhh0.1167 0.0667 0.0333 0.0167

10 11 12 13

9 10 11 12

1...1

13321 ++++ =i

ihhhhh

1

0.01671413



Hi: Frec. relativax h Hiacumulada es laproporcin de vecesque se observ el valorxi o uno inferior.

2 3 4

0.0167 0.0333 0.0333

1 2 3

0.01670.05000.0833

i

i

jji hhhH ++== ..1

1

5 6 7 8

0.0667 0.1000 0.1500 0.1833

4 5 6 7

0.1500 0.2500 0.4000 0.5833 j=18

9 10 11 12

0.1833 0.1667 0.1167 0.0667 0 0333

78 9 10 11

0.7500 0.8667 0.9334 0 9667

1

12 13 14

0.0333 0.0167 0.0167

11 12 13

0.9667 0.9834 1.0000

1

25.0... 5215

15 =+++==

=hhhhH

jj

j

111 == mHhH1

10 H2

10167,0 1311 ==== HHhH m


10 iH2


Frecuencia Rel. Porcentual Simple: Propiedades

1.67 3.33

x h%

2 3

i

1 2

Frecuencia relativa (hi%) Es elporcentaje de veces que se

3.33 6.67 10.00 15 00

4 5 6 7

3 4 5 6

observa el valor xi de la variable.

15.00 18.33 16.67 11.67

7 8 9 10

6 7 8 9

6.67 3.33 1.67 1 67

11 12 13 14

10 11 12 13

100

1.671413

m100%...%%% 21

1=+++=

=m

m

ii hhhh

100%%...%%13

11321 ==+++

=iihhhh



Frec. Rel. Porcentual Acumulada: Propiedades

1.67 3.33

2 3

x h% H%

1.675.00

i

1 2

3.33 6.67 10.00 15 00

4 5 6 7

15.00 25.00 40 00

8.333 4 5 6 15.00

18.33 16.67 11.67 6 6

7 8 9 10 11

40.00 58.33 75.00 86.67

6 7 8 9 10 6.67

3.33 1.67 1.67

11 12 13 14

93.34 96.67 98.34 100.00

10 11 12 13

100

100%%% 11 == mHhH 11 m

67,1%% 11 == hH1

100%0 H2

100%% 13 == HHm


100%0 iH2


Tabla de Frec. Datos Sin Agrupar: Resumen

Xi

fi=frec.absoluta h

fnii= hi%=hi*100 F fi kk

i==

1 H F

nii= H Hi i% = 100

x1 x2

H fi ki=

x3 .

0 fi n

0 hi 1

0 hi% 100

F f fi i= + +1 ..

ni k=

1

. . .

0 F ni

0 1 Hi

0 100 Hi %.

. 0 F ni 0 1 Hi 0 100 Hi %

. xm F nm = Hm =1 Hm%=100 f f f ni

i

m

m= = + + =

11 ... hi

i

m =1

1 hii

m

= =

1100%

i 1

i=1 i 1



Tabla de Frecuencia: Datos agrupados (DA)

Etapa 1:

Luego de recolectados los datos, identifique el valorg , qmximo y el valor mnimo obtenidos en la muestra.Calcule a continuacin la diferencia entre ellos,denominada rango:

mnimoValor-mximoValorRango = mnimo Valor mximo Valor Rango =Etapa 2:

Determine la amplitud de los intervalos (clases), deforma tal de obtener entre 5 y 20 clases de igual anchoforma tal de obtener entre 5 y 20 clases de igual ancho.Puede usarse la regla:

20RangoA Mn Amplitud m ==

5RangoA Mx Amplitud M ==

2A A Amplitud mM +=

2Otra regla general es:

nesobservaciodecantidadclasesdeCantidad Etapa 3:

Determine los lmites de cada clase, de forma tal que elmnimo valor observado quede incluido en la primera clasey el mximo valor observado quede en la ltima clase.


y q


Etapa 4:pClasifique los datos por comparacin con los lmitesde clase obtenidos en el punto anterior y calcule lasfrecuencias absolutas y relativas. Construya la tablade frecuenciasde frecuencias.

Intervalos o Clases de la Frecuencia Frecuencia Clases de la

variable absoluta relativa

l Contar las ocurrencias en el intervalo.

Dividir la frecuencia absoluta por el tamao

de la muestra

Etapa 5:

Representar el histograma: sobre cada clasedibuje una barra con altura igual a la frecuenciaabsoluta/relativa.

Las frecuencias acumuladas se representan en ungrfico llamado ojiva.



Ejemplo:

En una muestra de 40 alumnos de una carrera resultaron los siguientes promedios:

6,3; 6,8; 7,7; 9,4; 8,8; 7,6; 7,5; 7,9; 7,9; 4,6; 9,8;5,2; 9,2; 8,1; 8,1; 8,2; 8,6; 9,2; 8,2; 7,7; 8,7; 7,7; 8,1;8,1; 8,3; 8,4; 8,7; 7,7; 7,8; 7,6; 7,8; 7; 4; 7; 7; 7,4;6,7; 6,6; 6; 6,1;

Etapa 1

Valor mximo en la muestra= 9,8Valor mximo en la muestra 9,8Valor mnimo en la muestra= 4Rango= 9,8 - 4= 5,8

Etapa 2 Calcular la amplitud de los intervalosEtapa 2

85Rango

16.158.5

5RangoA Mx Amplitud M ====

Calcular la amplitud de los intervalos

1725.02

0.29 1.16 Amplitud =+=

29.020

8.520

RangoA Mn Amplitud m ====

2

66.324540

=

clasesdeCantidadclasesdeCantidad



Establecer los lmites de clase:Etapa 3:

10) [9, 9); ,[8 8); ,[7 7); ,[6 6); ,[5 ); 5 ,4[

Establecer los lmites de clase:Etapa 3:

Completar la tabla de frecuenciasEtapa 4:

Intervalo

de clase

Punto

mediofi hi hi% Fi Hi Hi%

4 - 5

5 - 6

4,5

5,5

2

3

0,05

0,075

5

7,5

2

5

0,05

0,125

5

12,5

6 - 7

7 - 8

,

6,5

7,5

7

11

0,075

0,175

0,275

,

20

27,5

12

23

,

0,30

0,575

,

30

57,5

8 - 9

9 - 10

8,5

9,5

13

4

,

0,325

0,1

,

32,5

10

36

40

,

0,90

1

,

90

100,



Etapa 5: Representar histograma y ojiva

Frecuencia absoluta

12

14 Frecuencia relativa

0 30

0,35

8

10

12

6 0 15

0,20

0,25

0,30

2

4

6

0,05

0,10

0,15

Oji

3 4 5 6 7 8 90

100

Ojiva

35

40

45

10

15

20

25

30

0

5

10

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



Interpretacin

Intervalo

de clase

Punto


4 - 5

5 - 6

4,5

5,5

2

3

0,05

0,075

5

7,5

2

5

0,05

0,125

5

12,5

6 - 7

7 - 8

6,5

7,5

7

11

0,175

0,275

20

27,5

12

23

0,30

0,575

30

57,5

8 - 9

9 - 10

8,5

9,5

13

4

0,325

0,1

32,5

10

36

40

0,90

1

90

100

f3:

Frecuencia absoluta14

8

1012

6

3 4 5 6 7 8 9024

6

103 4 5 6 7 8 9 10



Interpretacin

Intervalo

de clase

Punto


4 - 5

5 - 6

4,5

5,5

2

3

0,05

0,075

5

7,5

2

5

0,05

0,125

5

12,5

6 - 7

7 - 8

6,5

7,5

7

11

0,175

0,275

20

27,5

12

23

0,30

0,575

30

57,5

8 - 9

9 - 10

8,5

9,5

13

4

0,325

0,1

32,5

10

36

40

0,90

1

90

100

h5%:

Frecuencia absoluta14

8

1012

6

3 4 5 6 7 8 9024

6

103 4 5 6 7 8 9 10



Interpretacinl

4 5

Intervalo

de clase

Punto

medio

4 5 2

fi

0 0

hi

5

hi%

2

Fi Hi

0 05 5

Hi%

4 - 5

5 - 6

6 7

4,5

5,5

6 5

2

3

7

0,05

0,075

0 175

5

7,5

20

2

5

12

0,05

0,125

0 30

5

12,5

306 - 7

7 - 8

8 9

6,5

7,5

8 5

7

11

13

0,175

0,275

0 325

20

27,5

32 5

12

23

36

0,30

0,575

0 90

30

57,5

908 - 9

9 - 10

8,5

9,5

13

4

0,325

0,1

32,5

10

36

40

0,90

1

90

100

F3:

Ojiva

45

20

25

30

35

40

45

0

5

10

15

20

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



Interpretacinl

4 5

Intervalo

de clase

Punto

medio

4 5 2

fi

0 0

hi

5

hi%

2

Fi Hi

0 05 5

Hi%

4 - 5

5 - 6

6 7

4,5

5,5

6 5

2

3

7

0,05

0,075

0 175

5

7,5

20

2

5

12

0,05

0,125

0 30

5

12,5

306 - 7

7 - 8

8 9

6,5

7,5

8 5

7

11

13

0,175

0,275

0 325

20

27,5

32 5

12

23

36

0,30

0,575

0 90

30

57,5

908 - 9

9 - 10

8,5

9,5

13

4

0,325

0,1

32,5

10

36

40

0,90

1

90

100

F5-F2:

Ojiva

45

20

25

30

35

40

45

0

5

10

15

20

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


ESTADSTICA : MODULO I - EST. DESCRIPTIVA: DISTRIB DE FRECUENCIA

Interpretacinl

4 5

Intervalo

de clase

Punto

medio

4 5 2

fi

0 0

hi

5

hi%

2

Fi Hi

0 05 5

Hi%

4 - 5

5 - 6

6 7

4,5

5,5

6 5

2

3

7

0,05

0,075

0 175

5

7,5

20

2

5

12

0,05

0,125

0 30

5

12,5

306 - 7

7 - 8

8 9

6,5

7,5

8 5

7

11

13

0,175

0,275

0 325

20

27,5

32 5

12

23

36

0,30

0,575

0 90

30

57,5

908 - 9

9 - 10

8,5

9,5

13

4

0,325

0,1

32,5

10

36

40

0,90

1

90

100

100- H3%:

Ojiva

45

20

25

30

35

40

45

0

5

10

15

20

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



Tabla de Frec. Datos Agrupados: Resumen

xi-1'- xi' Xime

fi=frec.

abs. h f

nii= hi%=hi*100 F fi kk

i==

1 H F

nii= H Hi i%= 100

x0'- x1' X1me x1'- x2' x2'- x3'

X2me X3me

.

H fnik

k

i==

1

' .

.

. xi-1'- xi'

.

.

.

. Xime

.

.

. xm-1' - xm' Xmme F nm = Hm =1 Hm%=100

f nii

m

= =

1 hi

i

m

= =

11 hi

i

m

= =

1100%

0 fi n 0 hi 1 0 hi% 100 0 F ni 0 1 Hi 0 100 Hi%


Apunte Distribuciones de Frecuencia

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