1 TRIGONOMETRA PLANA Este es un tema que trata de las mediciones de las partes o elementos de un tringulo. En estas pginas estudiaremos Trigonometra Plana, que se limita a tringulos contenidos en el plano. La trigonometra se fundamenta en algunas relaciones que llamaremos funcionestrigonomtricas.Lasfuncionestrigonomtricasdesempeanunpapelfundamental en la explicacin de toda clase de fenmenos ondulatorios ( Sonido, Electricidad, Ondas Electromagnticas, movimiento de un pndulo......etc.) Antes de comenzar a estudiar Trigonometra Plana, revisaremos algunos conceptos bsicos que sern muy utilizados en este estudio. NGULO : Es todo sector comprendido entre dos semirrectas que parten de un punto en comn. P O Q OP y OQ : Semirrectas, llamadas lados del ngulo O :Vrtice del ngulo Entre otras unidades, los ngulos se pueden medir en : GRADOS SEXAGESIMALES y RADIANES Definicin:Un grado sexagesimal es la medida del ngulo del centro de una circunferencia de radio de radio r y que equivale a3601de esta. Esto quiere decir que una circunferencia contiene 360 grados sexagesimales (360 ).Un grado sexagsimal se subdivide en minutos y segundos, de modo que: Un grado = 60 minutos ( 1 = 60 )yUn minuto = 60 segundos( 1 = 60 ), por lo tanto Un grado = 3.600 segundos (1 = 3600 ) As, la medida de un ngulo puede quedar especificada en : grados, minutos y segundos, por ejemplo: 3843 31 . Convendremos designar los ngulos con letras minsculas del alfabeto griego: , , , , ......... Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 2

Ejemplo:Sean los ngulos = 32 19 57; = 75 16 21, expresar estos solo en grados. Solucin:Al transformar los minutos y segundos a grados sexagsimal nos queda: 2725 , 75 3325 , 32 3600216016 753600576019 32

,`

.|+ ,`

.|+

,`

.|+ ,`

.|+ Definicin:Un radin es la medida del ngulo del centro de una circunferencia, subtendido por un arco cuya magnitud es igual al radio de esta. a r As por ejemplo, si. cm 5 r y . cm 4 , 5 a ) entonces [ ] radianes 08 , 154 , 5 En la figura es un ngulo extendido, es decir = 180 , intentaremos encontrar el valor equivalente a este, medido en radianes NOTA: Esta transformacin se puede realizar directamente con la calculadora Si r = a , entonces= 1 radin. En general, un ngulo medido en radianes es el cuociente entre el arco subtendido por este y el radio de la circunferencia;[ ] radianesra) Lamedidadeunnguloqueestexpresadoenradianeslapodemosexpresar tambinengradossexagesimalesyviceversa.Nosrestaentoncesencontraruna razn deequivalencia entre ambas unidades de medicin angular. Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 3

El arco subtendido por el ngulo, corresponde a la mitad del permetro de la circunferencia, puesto queel permetro ( P ) est dado por la expresin :r 2 P ,por lo tantor2r 2a ). Si medimos el ngulo , segn , tenemos entonces: [ ] radrrra ). Esta equivalencia nos permitir entonces, transformar la medida de un ngulo, de radianes a grados sexagesimales y viceversa Ejemplos. Realiza las siguientes transformaciones i) 0,3 rad. en grados sexagesimales ii)65 54 27 en radianes iii)3 4 rad. engrados sexagesimales Solucin. ' ' 19 ' 11 17 188734 , 17 x3 , 0 180x3 , 0 x 180) i

. rad 150 , 1 x 180 9075 , 65xx 9075 , 65 180 9075 , 65 ' ' 27 ' 54 65 ) ii 135 x43 180x34x 18043x 180) iii Puesto que = 180 y acabamos de probar que tambin = rad, concluimos entonces que:

radianes 180 Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 4

RELACIONES TRIGONOMTRICAS EN EL TRANGULO RECTNGULO Sea el tringulo ABC, rectngulo.

C ba AcB

En este tringulo se dan algunas particularidades que son exclusivas de l. RAZONES TRIGONOMTRICAS Las razones trigonomtricas se definen haciendo referencia a los ngulos agudos del tringulo rectngulo Donde : A, B y C son los vrtices del tringulo a, b y c son los lados de este y ngulos agudos Los lados a y b (adyacentes al ngulo recto) se llaman CATETOS El lado c (opuesto al ngulo recto) se llama HIPOTENUSA. Solo en este tipo de tringulos se cumple el teorema particular de Pitgoras 2 2 2b a c + yson ngulos complementarios, es decir + = 90 adyacente catetoopuesto catetongulo) tangente(hipotenusaadyacente cateto(ngulo) coseno ;hipotenusaopuesto cateto(ngulo) seno Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 5 As entonces: RAZONES RECPROCAS Para cada una de las razones antes definidas existe su recproco, estas son: cotangente, secante y cosecantey estn definidas as: ) ( sen1) csc() cos(1) sec() ( tg1) ( g cot as entonces: Para el ngulo , tenemos: ba) ( tgcb) cos(ca) ( sen Para el ngulo : ab) ( tgca) ( coscb) ( sen ac) csc(bc) sec(ab) ( g cot

bc) csc(ac) sec(ba) ( g cot Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 6

Con las relaciones antes definidas y la aplicacin del teorema particular de Pitgoras, se puede demostrar que: Demostracin. C ba Ac B 22222 2222222cbca) ( cos ) ( sencb) ( coscb) cos(ca) ( senca) ( sen+ + ' 1 ) ( cos ) ( senfinalmente ,cc) ( cos ) ( sen) Pitgoras de teorema ( c b a donde ;cb a) ( cos ) ( sen2 2222 22 2 222 22 2 + + ++ + Veamos ahora algunas aplicaciones EJEMPLO N1. La longitud de la sombra proyectada por un edificio, cuando el sol se ha elevado 20 sobre el horizonte, es de 45 mts. Determine la altura del edificio.

SOLUCIN. C 20 A45mtsB Del tringulo presentado se tiene que: 1 cos sen 90 0 ;2 2 + < < Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 7

En la figura ABC, es rectngulo en B. El trazo BC representa la altura del edificio . mts 38 , 16 BC 20 tg 45 BCCB 20 tg EJEMPLO N 2 Desde lo alto de un edificio se observa a una persona que camina por la calle, acercndose a este. Cuando la persona se encuentra en un punto P, el ngulo de depresin de la visual del observador es 35 . Si la persona avanza 50 metros (a partir de P ), el ngulo de elevacin de la visual de esta, a la parte superior del edificio es 70 . Determine la altura del edificio. SOLUCIN. R 35 20 35 70 35 OQ50 mt.P De la figura podemos concluir: Medida del 35 QPR , (ngulos alternos internos entre paralelas) Medida del 20 ORQ , (tringulo OQR rectngulo) Medida del 35 QRP De todo lo anterior, se desprende que elQRP es issceles, puesto que posee dos ngulos congruentes, entonces:. mt 50 QR PQ Del OQR(rectngulo), tenemos que: . mt 98 . 46 OR 70 sen 50 OROR 70 sen RQRQOR 70 sen Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 8

RESOLUCIN DE TRINGULOS Los elementos de un tringulo se pueden dividir en: Elementos Principales y Secundarios. Se llama elementos principales a sus tres lados y sus tres ngulos internos. Entre los secundarios se cuentan: Alturas, Bisectrices, Transversales de gravedad, Medianas y Simetrales. Cuando el tringulo a resolver es rectngulo, entonces, dependiendo de los datoscon que se cuenta su resolucin es relativamente sencilla. EJEMPLO. Sea el ABC rectngulo, recto en C con = 37 , a = 15 cm. Encontrar : b , c y C ba A cB SOLUCIN. Dado que + = 90 (ngulos complementarios), entonces = 53 . cm 9 , 19 b 37 cos 92 , 24 b cos c bcbcos. cm 92 , 24 c 37 sen15csenaccasen Diremos que un tringulo queda absolutamente resuelto, cuando se conoce las dimensiones de sus elementos principales, es decir, sus tres lados y ngulos internos. Un tringulo rectngulo puede ser resuelto, si en los datos se entrega como mnimo: 1 lado y 1 ngulo o bien 2 lados Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 9 TEOREMA DEL SENO:En todo tringulo ABC, de lados a, b, c y ngulos internos , y se cumple que: C DEMOSTRACIN: Sea el tringulo ABC de la figura ba h ADc B Donde el trazo CD es la altura bajada desde el vrtice C y lo llamaremos h. ADC yDBCson rectngulos y h es un lado que pertenece a ambos tringulos (lado comn). Del ADC se obtiene que sen b hbhsen Del DBC se obtiene que sen a hahsen De y , se obtiene que: bsenasensen a sen b De la misma forma, si trazamos una altura desde el vrtice A o desde B se obtiene: csenbsenasen csenbsenasen Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 10 TEOREMA DEL COSENO:En todo tringulo ABC, de lados a, b, c y ngulos internos , y se cumple que: C DEMOSTRACIN: ba h ADc B En el tringulo de la figura h es una altura y dado que el ADC es rectngulo, entonces: sen b hbhsen cos b ADbADcos + cos b c DB AD c DB c DB AD En el DBC rectngulo, tenemos que: 2 2 2) DB ( h a + , deytenemos que: + + + + + cos cb 2 c ) cos sen ( b acos b cos cb 2 c sen b a) cos b c ( sen b a2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 Veamos a continuacin, algunos ejemplos de aplicacin de los teoremas anteriores + + + cos ab 2 b a ccos ac 2 c a bcos bc 2 c b a2 2 22 2 22 2 2 Demostraremos solo la primeraexpresin, las otras dos son anlogas y t podrs llegar a ellas fcilmente Dado que1 cos sen2 2 + , tenemos: + cos bc 2 c b a2 2 2 Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 11 EJEMPLO 1: En un ABCde lados a, b, c y ngulos internos , y , se tiene los siguientes datos: a =15 cm. , = 53 yb = 18 cm.Determina los elementos que faltan C

ba Ac B Tenemos que: asen bsenbsenasen 6 , 53 4 , 73) 9583626121 , 0 ( sen 9583626121 , 015 53 sen 18sen1 Por ltimo:. cm 118 , 15 53 sen 6 , 53 sen 15csensen accsenasen EJEMPLO 2: En un ABCde lados a, b, c y ngulos internos , y , se tiene los siguientes datos: a =12 cm. , = 72 yc = 15 cm. SOLUCIN: De acuerdo a los datos entregados, es imposible aplicar el Teorema del Seno en la solucin de este problema, puesto que para cada igualdad que se considere, siempre habr dos incgnitas en 1 ecuacin. Comprubalo ! ! Por lo tanto se hace necesario utilizar el Teorema del Coseno, as entonces: . cm 05 , 16 b 753882 , 257 b 72 cos 360 369 72 cos 360 225 144 b 72 cos 15 12 2 15 12 b cos ac 2 c a b222 2 2 2 2 2 + + + SOLUCIN:Decsenbsenasen ( Se sabe que + + =180 ) Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 12 A continuacin, para encontrar los valores de a y , podemos usar el Teorema del Seno 68 , 62 32 , 45) 7110702926 , 0 ( sen 7110702926 , 0 sen05 , 16 72 sen 12bsen asenbsenasen1 ANLISIS DEL USO DEL TEOREMA DEL SENO Supongamos que en un ABC se conoce los siguientes datos: a, b y , segn el Teorema del Seno tendramos:asen bsenbsenasen , de esta expresin se puede obtener que el ngulo podra tener: Dos valores, Un valor, ningn valor.Veamos. 1. Si a > b, entonces > y adems debe ser agudo (menor de 90 ). De no ser as tendramos un tringulo con dos ngulos internos obtusos, lo que sera una contradiccin.Por lo tanto, para este caso existe un nico valor para . 2.Si a = b, entonces = y el tringulo es nico e issceles. 3.Si a < b, entonces < con agudo ( no puede haber dos ngulos internos obtusos en un tringulo), en este caso se puede dar una de las siguientes situaciones: Si1asen bsen sen b a < > , lo que implica que tendr dos valores que son suplementarios, y ( 180 - B ). Mas adelante probaremos que ) 180 ( sen sen Si 90 1asen bsen sen b a > . Si1asen bsen sen b a > > . Lo que es imposible puesto que hipotenusaopuesto catetosen y en todo tringulo rectngulo la hipotenusa es el lado mayor. Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 13 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS EN EL CRCULO UNITARIO Sea la relacin1 y x2 2 + , cuya grfica representa una circunferencia con centro en el origen, C ( 0, 0 )y radio r = 1. y (0, 1) P( x , y ) (-1, 0 ) O Q (1, 0 ) x (0, -1 ) En esta se cumple que para todo punto P (x , y) que pertenece a la circunferencia, entonces1 y x2 2 + .En lafigura,sepuedeobservarqueparacadapuntode lacircunferencia existe un ngulo del centro ( ) asociado a este y que se forma al unir el centro de la circunferencia con el punto en cuestin. Al observar la figura anterior, podemos apreciar que en el tringulo rectngulo OPQ se cumple que los trazos OQ = xy QP = yson los catetos de dicho tringulo y OP =1 es la hipotenusa.A partir de esto podemos afirmar que: x cos1x1OQcosy sen1y1QPsen Fig. A Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 14 Podemos ahora afirmar que las coordenadas de un punto cualquiera de la circunferenciaunitariaes de la formaP(x, y) = P( cos , sen ). De la figuraAse puede deducir tambin que: El resto de las funciones trigonomtricas quedarn definidas en trminos de Seno y Coseno, as, de la figura A se obtiene: sen1cscy1csc .cos1secx1sec .sencosg cotyxg cot .cossentagxytag . VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICASPARA CIERTOS NGULOS. Consideramos la circunferencia 1 y x2 2 + , de la figura A, determinaremos el valor de las funciones seno, coseno y tangente para los ngulos: 2 360 y23 270 , 180 ,2 90 , 0 1 cos 1 1 x 11 sen 1 1 y 1 Resulta sencillo comprobar que: 1 cos sen2 2 + 1 360 cos y 0 360 sen ) 0 , 1 ( P , 360 Si0 270 cos y 1 270 sen ) 1 , 0 ( P , 270 Si1 180 cos y 0 180 sen ) 0 , 1 ( P , 180 Si0 0 cos y 1 90 sen ) 1 , 0 ( P , 90 Si1 0 cos y 0 0 sen ) 0 , 1 ( P , 0 Si Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 15

Puesto que cossentg , entonces tenemos : Se te propone como tarea, determinar los valores del resto de las funciones trigonomtricas para los mismos ngulos. VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICASPARA LOSNGULOS: 30, 45 y 60. Consideramos la circunferencia 1 y x2 2 + , de la figura B y supongamos que = 45. La solucin pasa por conocer las coordenadas del punto P ( x, y ) = P ( cos 45, sen 45 ) . Dado que PQ es perpendicularal trazo OQ, entonces el tringulo OPQ es rectngulo issceles, con OQ = PQ.Usando el teorema particular de Pitgoras obtenemos: y (0, 1) P( cos 45 , sen 45 ) 45 (-1, 0 ) O Q (1, 0 ) x (0, -1 ) 010 0 36 cos 360 sen 360 tg01 0 27 cos 270 sen 270 tg010 180 cos 180 sen 180 tg01 90 cos 90 sen 90 tg010 0 cos 0 sen 0 tg Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca Fig. B PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 16 1 ) PQ ( 2 1 PQ OQ2 2 2 +Despejando PQ 2, nos queda: 2221PQ21) PQ (2 . Puesto que y = PQyx = OQ, entonces podemos concluir que: De manera anloga se puede deducir que si = 60 entonces la coordenadas del punto asociado a este ngulo, sonP (cos 60, sen 60) con: y (0, 1) P( cos 60 , sen 60 ) 30 h

6060 (-1, 0 ) O 1/2 R Q (1, 0 ) x (0, -1 ) El tringulo OPQ es equiltero y h es altura, bisectriz y transversal de gravedad. En el tringulo OPR, rectngulo:41h 1 OR PR OP2 2 2 2+ + 23h 2 45 sen1 45 sec c 2 45 cos1 45 sec1 45 sen 45 cos 45 ctg 1 45 cos 45 sen 45 tg22 45 cos22 45 sen Fig. C Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 17 Del tringulo OPR, se obtiene que:33 260 sen160 sec c 260 cos160 sec333160 sen60 cos60 g cot 360 cos60 sen60 tg2160 cos2360 sen De manera anloga se obtiene las funciones trigonomtricas para 30, as: 230 sen130 sec c33 230 cos130 sec330 sen30 cos30 g cot3330 cos30 sen30 tg2330 cos2130 sen Resumamos todo esto en la siguiente tabla: Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca 304560 Seno 21 22 23 Coseno 23 22 21 Tangente 33 13Cotangente 31 33 Secante 33 222 Cosecante2 233 2 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 18 Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS Una relacin que contiene funciones trigonomtricas y que adems es vlida para todos los valores del ngulo en los que estn definidas dichas funciones recibe el nombre de Identidad Trigonomtrica. Consideremos como identidades trigonomtricas bsicas a:

De 1 se puede demostrar que: + +2 2 2 2sec 1 tg ) b sec c ctg 1 ) a Demostracin a)De la identidad1 cos sen2 2 + , se obtiene: ++ ,`

.| + 2 22 222222 2sec c ctg 1sen1sencossensensen1/ 1 cos sen b)Usando la mismaidentidad1 cos sen2 2 + , obtenemos: + + ,`

.| + 2 22 222222 2sec 1 tgcos1coscoscossencos1/ 1 cos sen + sen1sec c . 5cos1sec . 4sencosctg . 3cossentg . 2 1 cos sen . 12 2 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 19

El uso correcto de estas Identidades bsicas nos permitir demostrar otras Identidades, para ello utilizaremos como mtodo, la eleccin de uno de los trminos de la igualdad y lo desarrollaremos hasta obtener la expresin del otro lado de dicha igualdad. Ejemplo: Demostrar si las siguientes igualdades representan una Identidad trigonomtrica 1 x sec x sec x tg x sec x tg x tg . 5x cos 1x secx sensenx tgx. 4 cos senctg tg1. 31 ) x ( cos 2 x sen x cos . 2 ctgtg 1ctg 1. 12 2 2 2 4 632 4 4 + + + + + Demostracin + + + + + + + +++ + +ctgsencostg 1ctg 1cos sencossencos sencoscos sensencos sentg 1ctg 1cossen1sencos1tg 1ctg 1. 1 ( ) ( )( )1 x cos 2 ) x cos 1 ( x cos x sen x cos1 x sen x cos x sen x cosx sen x cos x sen x cos x sen x cos . 22 2 2 4 42 2 4 42 2 2 2 4 4 + + + + + + sen coscos sensen cosctg tg1sen coscos sen1sencoscossen1ctg tg1. 32 22 2Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 20 ) x cos 1 (x secx sensenx tgx) x cos 1 (1x sec) x cos 1 (1x cos1x sensenx tgx) x cos 1 ( x cos1) x cos 1 ( x sen x cosx senx sensenx tgx) x cos 1 ( x sen x cosx cos 1) x cos 1 () x cos 1 (x sen x cos) x cos 1 (x sensenx tgxx sen1x cos) x cos 1 ( senxx senx cos) x cos 1 ( senxx sensenx tgxx senx cosx cos senx senxx sensenxx cossenxx sensenx tgx. 422222222 23 3 33 3 3++ + + + + ++ [ ][ ][ ]x tg 1 x sec x sec x tg x sec x tgx tg x tg 1 x sec x sec x tg x sec x tg1 x sec x tg 1 x sec x sec x tg x sec x tgx tg x sec x tg x tg 1 x sec x sec x tg x sec x tg) 1 x (sec x sec x tg x tg 1 x sec x sec x tg x sec x tg) 1 x sec x sec x tg ( x tg 1 x sec x sec x tg x sec x tgx tg x sec x tg x sec x tg 1 x sec x sec x tg x sec x tg . 56 2 2 2 2 42 4 2 2 2 2 42 4 2 2 2 2 42 2 2 2 2 2 2 2 42 2 2 2 2 2 2 2 42 2 2 2 2 2 2 2 42 2 2 2 4 2 2 2 2 4 + + + + + + + + + Introduccin al Clculo: Olaguer Caroca PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com 21 Funciones Trigonomtricas para la Suma y Diferencia de ngulos Demostracin 1.Tracemos en un sistema de coordenadas rectangulares OXY, los ngulos y , con a continuacin de .Sin perder generalidad haremos que +