INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE COATZACOALCOS

Catedrático:

I.S.C Eder Lazo Hernández

Alumno:

Jesús Manuel Ignacio salomón

Asignatura:

Métodos Numéricos

Carrera:

Ingeniería mecánica

Actividad:

Aproximación (Probabilidad)

Semestre y Grupo:

4to. “A”

Aproximación

Concepto

Aproximación es una representación inexacta que, sin embargo, es suficientemente fiel

como para ser útil.

Aunque en matemáticas la aproximación típicamente se aplica a números, también puede

aplicarse a objetos tales como las funciones matemáticas, figuras geométricas o leyes físicas.

En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos Binomiales de una forma muy aproximada con la distribución Normal, esto puede llevarse a cabo si n¥® y p = p(éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeño y p tiene un valor muy cercano a ½ ; esto es,

                                                                        

Donde:x = variable de tipo discreto; solo toma valores enterosm = np = media de la distribución Binomial

s =   = desviación estándar de la distribución Binomial 

Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial, es muy parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular probabilidades con la Normal en lugar de con la Binomial y de una forma más rápida.

En resumen, se utiliza la aproximación Normal para evaluar probabilidades Binomiales siempre que p no esté cercano a 0 o 1. La aproximación es excelente cuandon es grande y bastante buena para valores pequeños de n si p está razonablemente cercana a ½. Una posible guía para determinar cuando puede utilizarse la aproximación Normal es tener en cuenta el cálculo de np y nq. Sí ambos, np y nq son mayores o iguales a 5, la aproximación será buena.

 Antes de empezar a resolver problemas con la aproximación Normal, es bueno aclarar que

se están evaluando probabilidades asociadas a una variable discreta x, con una distribución  que evalúa variables de tipo continuo como es la Normal,Por lo que z sufre un pequeño cambio como se muestra a continuación:

 

Ejemplos:1.      La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es de 0.4. Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) al menos 30 sobrevivan?, b) más de 46 sobrevivan?, c) menos de 50 no sobrevivan?

Solución: 

a)n = 100p = p(paciente se recupere) = 0.40q = p(paciente no se recupere) = 1 – p = 1 – 0.40 = 0.60 = np = (100)(0.40) = 40 pacientes se recuperen

 =  =  pacientes que se recuperanx = variable que nos define el número de pacientes que se recuperanx = 0, 1, 2,....,100 pacientes que se recuperan

            

   

X = 29.5 = 40

 p( z = -2.14) =0.4838

 p(x  30 ) = p(z = -2.14) +0.5 = 0.4838 + 0.5 = 0.9838

  

a)               

p(z = 1.33) = 0.4082 

p(x  46) = 0.5 – p(z = 1.33) = 0.5 – 0.4082 = 0.0918

  

b)      n = 100p = p(paciente no sobreviva) = 0.60q = p(paciente sobreviva) = 1 – p = 0.40

pacientes que no se recuperan

pacientes que no se recuperanx = variable que nos define el número de pacientes que no sobrevivenx = 0, 1, 2, ....,100

  

    

    

p( z = -2.14) = 0.4838

 p(x  50) = 0.5 – p(z = -2.14) = 0.5 – 0.4838 = 0.0162

1. Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas, usando, a) la fórmula de la distribución Binomial, b) la aproximación de Poisson a la distribución Binomial.

  

Solución:a) n = 100p = 0.05 = p(encuadernación defectuosa) = p(éxito)q = 0.95 = p(encuadernación no defectuosa) = p(fracaso)x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas

                           

 b)n = 100 encuadernacionesp = 0.05l = np = (100)(0.05)= 5x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas                                                       2. Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840 generadores de gran tamaño con garantía. Sí la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 1/1200 determine la probabilidad de que a) 4 generadores fallen durante el año en cuestión, b) que más 1 de un generador falle durante el año en cuestión.

 Solución:a) n = 3840 generadoresp = 1/1200 = probabilidad de que un generador falle durante el año de garantíal = np = (3840)(1/1200) = 3.2 motores en promedio pueden fallar en el año de garantíax = variable que nos define el número de motores que pueden fallar en el año de garantía == 0, 1, 2, 3,....,3840 motores que pueden fallar en el año de garantía  

                   b)  p(x=2,3,4,....,3840;l=3.2)=1-p(x=0,1;l=3.2) =

 

                    =1- (0.04078 + 0.13048) = 0.82874

3. En un proceso de manufactura, en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio 1 de cada 1000 piezas tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8000 piezas, menos de 3 de ellas tengan burbujas?

 Solución:n = 8000 piezasp = 1/1000= 0.001 probabilidad de que una pieza tenga 1 o más burbujasl = np = (8000)(1/1000) = 8 piezas en promedio con 1 o más burbujasx = variable que nos define el número de piezas que tienen 1 o más burbujas == 0,1, 2, 3,....,8000 piezas con una o más burbujas

                             

                                                                 = 0.000336 + 0.002686 + 0.010744 = 0.013766

Bibliografía

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/06Aprox%20Poisson %20Binomial.htm

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/002APROXIMACION %20%20DE%20%20LA%20%20NORMAL%20%20A%20%20LA%20%20BINOMIAL.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Aproximaci%C3%B3n http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/05Distr%20Poisson.htm