1 Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana

APROXIMACION BAYESIANA PARA LA ESTIMACION DE OCURRENCIAS DE EVENTOS LLUVIOSOS APLICADA A BALANCES HIDRICOS SERIADOS

Pedro Rau Investigador asociado. Universidad Nacional de Ingeniería. FIC. IMEFEN. Lima. Perú

praul@uni.pe

1. Objetivo

Analizar mediante una aproximación bayesiana, las ocurrencias de lluvia aplicada a balances hídricos mensuales seriados en la cuenca alta del río Chira – Piura (subcuencas de los ríos San Pablo y Quiroz)

2. Resumen La estimación del número de ocurrencias de lluvia tiene mucha aplicación en los balances hídricos tales como el de Thornwaite y Matter en combinación con el método del US – SCS. En la aplicación del balance modificado en forma seriada, considerando que la metodología de la curva número se aplica a eventos aislados y no a láminas de lluvia mensual, se requiere de la siguiente información (a) el número de eventos lluviosos ocurridos en cada mes y (b) la lámina precipitada en cada uno de ellos. Dado que esta información con frecuencia es difícil de obtener se propone en el articulo, en primera instancia y para resolver el apartado (a) anterior, una metodología basada en el teorema de Bayes para estimar el número de ocurrencias de eventos lluviosos condicionado a la lámina de lluvia mensual. Según la metodología, se aplicó a la cuenca alta del río Chira en base a las estaciones pluviométricas de: Ania Cabuyal (19 años), Laguna Seca (18 años) y Talaneo (29 años).

3. Justificación En la mayoría de las situaciones, la información disponible para estimar valores de recarga en acuíferos freáticos es escasa, lo cual impide la aplicación de métodos directos de evaluación (análisis de fluctuaciones de niveles freáticos, balances hídricos localizados, técnicas isotrópicas, etc.). Es aquí donde cobra relevancia las metodologías prácticas que requieren información frecuentemente disponible. El presente articulo abarca hasta la obtención de los pronósticos del número de ocurrencias de lluvia mediante la teoría bayesiana. La zona a la cual se aplica el artículo, pertenece a la cuenca alta del Río Chira, limite con otras cuencas (Huancabamba y Majaz), áreas con recursos mineros aprovechables y por lo cual requieren de estudios de contaminación, fluctuaciones y recarga en acuíferos.

4. Metodología Según la metodología empleada en el artículo técnico base, realizado por Erik Zimmerman (PHI, 2003), titulado: “Aproximación bayesiana para estimación de ocurrencias de lluvia aplicada a balances hídricos mensuales seriados” 4.1. Aproximación bayesiana para la estimación del numero mensual de ocurrencias de eventos lluviosos

Suponemos tener valores de precipitación mensual, P, y un número al azar de eventos de lluvia N, en el mes considerado, el cual debe vincularse con P. Suponemos también conocidas la probabilidad a priori del número de eventos para el mes dado f(N). Al respecto, se podría adoptar una función de distribución de probabilidad para N, ajustada para cada mes de año. Ahora, el pronóstico mejoraría si se utiliza una información adicional disponible: la precipitación mensual P. Suponemos conocida la densidad de probabilidad condicional f(P|N) correspondiente al monto de lluvia mensual asociado al número de eventos N. Entonces, según el teorema de Bayes puede determinarse la probabilidad a posteriori, f(N|P),de la siguiente manera:

… (1) siendo f(P) la probabilidad que la precipitación del mes dado sea P. Según el teorema de probabilidades totales, se tiene que:

…(2) donde Nmax es un número del máximo de eventos posible durante un mes que se analiza. El problema es que normalmente ni la probabilidad a priori de que el número de eventos sea N, f(N) ni la probabilidad condicional f(P|N) son conocidas. Todorovic (1967) estableció una función de distribución de eventos de lluvia del tipo Poisson. Esta propuesta es compartida por muchos investigadores: Eagleson (1972), Cox e Isham (1994), Arnaud y Lavabre (1999), Vanlesberg y Silber (1999), entre otros. Entonces, dado un

2 Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana

periodo de tiempo de un mes en el cual se registran muestras de N tormentas, y dado el número medio de eventos, λ1,.la función de la distribución de N del tipo Poisson y, por ende la función de probabilidad a priori f(N), puede escribirse de la siguiente manera:

…(3) El periodo considerado, un mes, debe ser meteorológicamente homogéneo, lo cual significa que la probabilidad de que una tormenta ocurra es la misma en cualquier momento en el periodo. Todorovic (1967, citado por Antigüedad et al., 1995) propuso una función de distribución acumulada para la precipitación total, P, producida por N tormentas mediante una distribución del tipo Gamma, según la siguiente ecuación:

… (4) El significado físico de λ2 es la inversa de la lámina media de la precipitación producida por una

sola tormenta. La misma puede estimarse como:

…(5) donde Pm es la lámina media mensual. Esta distribución condicional es de tipo Gamma y

asumiéndose que λ2 es invariable a lo largo del periodo homogéneo. La función de densidad de probabilidad puede ser obtenida por derivación de (4), según la siguiente formulación:

… (6) Esta distribución de probabilidad condicional, también es del tipo Gamma (distribución de Erlang)

cuyos parámetros son N y λ2 (Montgomery y Runger, 1996). Combinando las ecuaciones (1), (2), (3), y (6) la función de distribución de la probabilidad a posteriori puede determinarse mediante:

…(7) 4.2. Procedimiento - Algoritmo 1. Datos disponibles: Una serie de precipitaciones mensuales, P, y los valores de los promedios mensuales para los números de eventos de lluvia, Nm, y la respectiva lámina media mensual, Pm. 2. Asignar parámetros de las distribuciones probabilísticas: λ1=Nm y λ2 estimada con (5). 3. Calcular para cada año y cada mes valores de la probabilidad a posteriori f(N|P) usando (7), donde N varía de 1 a Nmax. 4. Seleccionar un valor óptimo de N, Nop, para cada mes y año tal que f(Nop|P) es la mayor de f(N|P), con N=1. . . Nmax.

5. Recopilación de la información

La disponibilidad de la información de la región analizada comprende tres estaciones pluviométricas de la cuenca alta del Río Chira: Ania Cabuyal, Laguna Seca y Talaneo (Grafico 3.1). Los periodos de registro para cada estación son:

Cuadro 3.1. Estaciones pluviométricas empleadas

Estación Ubicación Altitud

msnm

Periodo de registro

Ania Cabuyal Long79º29’ Lat04º51’ 2450 1973 – 1991, 1994 – 1995

Laguna Seca Long79º29’ Lat04º53’ 2450 1973 – 1990, 1994 – 1995

Talaneo Long79º33’ Lat05º02’ 3430 1964 – 1992

3 Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana

Grafico 3.1. Cuenca del Río Chira y ubicación de las 3 estaciones.

6. Aplicación de la metodología

La disponibilidad de información pluviométrica en la región de estudio permitió el contraste de la metodología propuesta con los registros de ocurrencias mensuales de eventos de lluvia, a lo largo de una serie de años y en diferentes estaciones de medición. Se contó con registros de 6 estaciones pluviométricas ubicadas en la parte alta de la provincia de Ayabaca (distritos de Pacaipampa y Ayabaca). La consistencia de la información fue analizada mediante simple análisis (doble masa), contrastándose las estaciones entre sí. Este análisis previo permitió seleccionar 3 estaciones, las que presentan registros con periodos similares, similar cobertura geográfica (entre Ania Cabuyal y Laguna Seca debido a su proximidad, la estación Talaneo servirá para realizar algunas deducciones) y de buena calidad de la información. Las estaciones seleccionadas y la cantidad de años de registros pluviométricos fueron los siguientes: Ania Cabuyal, 19 años; Laguna seca, 18 años y Talaneo, 29 años.

CUENCA DEL RIO PIURA

CUENCA DEL

HUANCABAMBA

Proyecto Río Blanco

HISTOGRAMA - ANIA CABUYAL

0

100

200

300

400

500

600

700

800

1973

1974

1975

1976

1977

1978

1979

1980

1981

1982

1983

1984

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1994

1995

Años

Pm

en

su

al (m

m)

PRECIPITACION MEDIA MENSUAL

HISTOGRAMA - LAGUNA SECA

0

100

200

300

400

500

600

700

19

73

19

74

19

75

19

76

19

77

19

78

19

79

19

80

19

81

19

82

19

83

19

84

19

85

19

86

19

87

19

88

19

89

19

90

19

94

19

95

Años

Pm

en

su

al (

mm

)

PRECIPITACION MEDIA MENSUAL

4 Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana

6.1. PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN: En software empleado MS – Excel, se generan dos tablas cada una con los estadísticos de la media y desviación estándar..

Cuadro 6.1. Precipitaciones mensuales (P)

ESTACION Parametro ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC TOTAL

ANIA CABUYAL

PROM 193.926 217.653 183.521 175.547 66.737 32.589 23.042 19.295 19.768 59.647 80.458 123.632 1195.82

Desv. Sta 99.580 141.916 83.114 90.227 47.425 46.323 23.957 22.819 16.714 32.057 49.240 79.435 313.949

LAGUNA SECA

PROM 229.294 263.228 233.039 230.450 113.994 43.828 42.894 32.750 32.594 108.228 83.872 166.283 1580.46

Desv. Sta 119.251 104.881 82.748 119.869 93.281 35.224 43.177 33.062 27.130 68.350 64.319 116.626 399.774

TALANEO PROM 71.114 74.048 94.281 68.825 41.285 40.211 32.164 28.146 30.814 48.361 38.033 55.432 621.526

Desv. Sta 40.297 39.267 42.694 38.870 25.391 28.443 19.161 23.623 16.421 25.489 27.716 37.882 167.249

Cuadro 6.2. Ocurrencias promedio de lluvia (N)

ESTACION Parametro ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC TOTAL

ANIA CABUYAL

PROM 13.263 12.611 12.642 12.500 7.221 4.474 4.000 3.158 3.263 7.737 7.558 10.558 98.984

Desv. Sta 4.817 4.309 3.915 3.640 3.207 4.695 3.844 2.949 2.281 2.766 4.166 4.537 21.095

LAGUNA SECA

PROM 17.939 15.883 15.767 16.333 11.889 7.644 6.611 5.778 5.167 11.556 9.122 13.294 136.983

Desv. Sta 5.150 4.933 3.172 4.875 4.086 4.186 4.132 3.606 2.572 3.185 4.825 4.141 15.682

TALANEO PROM 11.900 11.331 13.297 10.783 9.117 8.500 7.286 6.103 8.000 8.462 7.414 8.586 110.779

Desv. Sta 5.960 4.158 5.496 5.778 5.948 5.863 4.333 4.459 5.134 4.145 4.671 4.675 38.063

El comportamiento de la variable N (ocurrencias de lluvia) se puede distinguir mediante el uso

del coeficiente de variación, el cual se ubica entre el 11 % y 100 %. Esto se ve acentuado durante los meses de inverno, haciendo evidente la dificultad de pronosticar correctamente el número de ocurrencias de lluvia si es que se trabajara como una variable aleatoria independiente, ya que se generaría un amplio rango de valores para N. El presente trabajo propone la parametrización de esta variable para su mejor pronóstico. La aplicación de la ecuación 7, lleva a diseñar una base de datos compleja para la obtención de resultados. Siguiendo el procedimiento – algoritmo, se obtienen los valores de λ1 y λ2

Cuadro 6.3. Valores promedio de λ1 y λ2

ESTACION Param. ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC

ANIA CABUYAL

λ 1 13.26 12.61 12.64 12.50 7.22 4.47 4.00 3.16 3.26 7.73 7.56 10.56

λ 2 0.08 0.07 0.08 0.08 0.14 0.17 0.33 0.32 0.25 0.14 0.13 0.10

HISTOGRAMA - TALANEO

0

50

100

150

200

250

19

64

19

65

19

66

19

67

19

68

19

69

19

70

19

71

19

72

19

73

19

74

19

75

19

76

19

77

19

78

19

79

19

80

19

81

19

82

19

83

19

84

19

85

19

86

19

87

19

88

19

89

19

90

19

91

19

92

Años

Pm

en

su

al (m

m)

PRECIPITACION MEDIA MENSUAL

5 Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana

ESTACION Param. ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC

LAGUNA SECA

λ 1 17.94 15.88 15.77 16.33 11.89 7.64 6.61 5.78 5.17 11.56 9.12 13.29

λ 2 0.09 0.07 0.08 0.09 0.15 0.21 0.45 0.36 0.56 0.13 0.21 0.12

TALANEO λ1 11.90 11.33 13.30 10.78 9.12 8.50 7.29 6.10 8.00 8.46 7.41 8.59

λ 2 0.20 0.19 0.15 0.17 0.23 0.54 0.27 0.29 0.34 0.18 0.31 0.20

Del cuadro 6.3 se distingue para λ2: las estaciones Ania Cabuyal y Laguna seca presentan

valores muy cercanos debido al modulo pluviométrico casi similar de ambas estaciones que a su vez se encuentran muy próximas, definiendo una región. La estación Talaneo tiene un comportamiento totalmente distinto por encontrarse en otra subcuenca y presenta una información más consistente.

7. Resultados

Aplicando la ecuación (7), se logra obtener la probabilidad a posteriori para cada estación. El análisis comprende la obtención de dichas probabilidades para cada año y mes. Luego de cada mes se extrae la probabilidad mayor la cual arrastra el número de eventos mas probable con la cual se origino. Estos números de eventos se van recopilando año a años conformándose la tabla de número de eventos pronosticados

Cuadro 7.1. Ejemplo - Probabilidades a posteriori – Talaneo año 1964

Pm 1964 ENE 49.7 FEB 52.7 MAR 98.1 ABR 85.7 MAY 43.0 JUN 57.2 JUL 38.1 AGO 64.4 SEP 40.0 OCT 75.4 NOV 27.8 DI 40.8

1 8.20E-07 3.71E-10 1.38E-12 6.34E-11 1.67E-07 2.16E-08 5.81E-06 3.20E-09 1.80E-07 2.73E-09 7.96E-06 6.14E-08

2 2.01E-05 2.37E-08 1.35E-10 4.57E-09 5.36E-06 8.73E-07 1.04E-04 1.60E-07 5.76E-06 1.37E-07 1.43E-04 2.27E-06

3 1.64E-04 5.04E-07 4.42E-09 1.10E-07 5.72E-05 1.18E-05 6.27E-04 2.67E-06 6.15E-05 2.28E-06 8.59E-04 2.80E-05

4 6.70E-04 5.36E-06 7.22E-08 1.32E-06 3.05E-04 7.96E-05 1.88E-03 2.22E-05 3.28E-04 1.90E-05 2.58E-03 1.73E-04

5 1.64E-03 3.42E-05 7.08E-07 9.47E-06 9.76E-04 3.22E-04 3.39E-03 1.11E-04 1.05E-03 9.49E-05 4.64E-03 6.38E-04

6 2.68E-03 1.46E-04 4.62E-06 4.55E-05 2.08E-03 8.70E-04 4.06E-03 3.70E-04 2.24E-03 3.16E-04 5.57E-03 1.57E-03

7 3.13E-03 4.43E-04 2.16E-05 1.56E-04 3.17E-03 1.68E-03 3.48E-03 8.82E-04 3.41E-03 7.53E-04 4.77E-03 2.77E-03

8 2.74E-03 1.01E-03 7.55E-05 4.01E-04 3.63E-03 2.43E-03 2.24E-03 1.57E-03 3.90E-03 1.35E-03 3.07E-03 3.66E-03

9 1.86E-03 1.79E-03 2.06E-04 8.02E-04 3.22E-03 2.73E-03 1.12E-03 2.19E-03 3.46E-03 1.87E-03 1.53E-03 3.76E-03

10 1.01E-03 2.54E-03 4.48E-04 1.28E-03 2.29E-03 2.46E-03 4.48E-04 2.43E-03 2.46E-03 2.08E-03 6.14E-04 3.09E-03

11 4.52E-04 2.95E-03 7.98E-04 1.68E-03 1.33E-03 1.81E-03 1.47E-04 2.21E-03 1.43E-03 1.89E-03 2.01E-04 2.08E-03

12 1.68E-04 2.85E-03 1.18E-03 1.83E-03 6.46E-04 1.11E-03 4.00E-05 1.67E-03 6.95E-04 1.43E-03 5.48E-05 1.16E-03

13 5.27E-05 2.34E-03 1.49E-03 1.69E-03 2.65E-04 5.77E-04 9.22E-06 1.07E-03 2.85E-04 9.16E-04 1.26E-05 5.52E-04

14 1.42E-05 1.64E-03 1.60E-03 1.34E-03 9.33E-05 2.57E-04 1.82E-06 5.90E-04 1.00E-04 5.04E-04 2.50E-06 2.24E-04

15 3.31E-06 9.97E-04 1.50E-03 9.17E-04 2.84E-05 9.90E-05 3.13E-07 2.81E-04 3.06E-05 2.40E-04 4.29E-07 7.90E-05

16 6.75E-07 5.30E-04 1.22E-03 5.50E-04 7.58E-06 3.34E-05 4.69E-08 1.17E-04 8.15E-06 9.99E-05 6.43E-08 2.43E-05

17 1.22E-07 2.49E-04 8.81E-04 2.91E-04 1.78E-06 9.95E-06 6.21E-09 4.30E-05 1.92E-06 3.67E-05 8.51E-09 6.62E-06

18 1.95E-08 1.04E-04 5.64E-04 1.37E-04 3.73E-07 2.63E-06 7.30E-10 1.41E-05 4.01E-07 1.20E-05 1.00E-09 1.60E-06

19 2.79E-09 3.88E-05 3.23E-04 5.77E-05 6.98E-08 6.24E-07 7.69E-11 4.11E-06 7.50E-08 3.51E-06 1.05E-10 3.46E-07

20 3.60E-10 1.30E-05 1.67E-04 2.19E-05 1.18E-08 1.33E-07 7.28E-12 1.08E-06 1.26E-08 9.24E-07 9.98E-12 6.73E-08

21 4.20E-11 3.96E-06 7.78E-05 7.50E-06 1.79E-09 2.56E-08 6.24E-13 2.57E-07 1.93E-09 2.20E-07 8.56E-13 1.19E-08

22 4.45E-12 1.10E-06 3.30E-05 2.34E-06 2.48E-10 4.50E-09 4.87E-14 5.57E-08 2.67E-10 4.76E-08 6.67E-14 1.90E-09

23 4.31E-13 2.76E-07 1.28E-05 6.65E-07 3.14E-11 7.20E-10 3.46E-15 1.10E-08 3.37E-11 9.41E-09 4.74E-15 2.77E-10

24 3.83E-14 6.39E-08 4.54E-06 1.74E-07 3.64E-12 1.06E-10 2.26E-16 2.00E-09 3.91E-12 1.70E-09 3.09E-16 3.72E-11

25 3.13E-15 1.36E-08 1.48E-06 4.17E-08 3.88E-13 1.43E-11 1.35E-17 3.33E-10 4.17E-13 2.84E-10 1.86E-17 4.58E-12

26 2.36E-16 2.67E-09 4.47E-07 9.23E-09 3.82E-14 1.78E-12 7.50E-19 5.12E-11 4.11E-14 4.37E-11 1.03E-18 5.21E-13

27 1.65E-17 4.86E-10 1.25E-07 1.89E-09 3.48E-15 2.05E-13 3.85E-20 7.29E-12 3.75E-15 6.22E-12 5.27E-20 5.49E-14

28 1.07E-18 8.21E-11 3.24E-08 3.61E-10 2.95E-16 2.20E-14 1.83E-21 9.64E-13 3.17E-16 8.23E-13 2.51E-21 5.37E-15

29 6.43E-20 1.29E-11 7.81E-09 6.39E-11 2.32E-17 2.19E-15 8.12E-23 1.19E-13 2.50E-17 1.01E-13 1.11E-22 4.89E-16

30 3.62E-21 1.90E-12 1.76E-09 1.06E-11 1.71E-18 2.04E-16 3.36E-24 1.36E-14 1.84E-18 1.17E-14 4.61E-24 4.16E-17

max 3.13E-03 2.95E-03 1.60E-03 1.83E-03 3.63E-03 2.73E-03 4.06E-03 2.43E-03 3.90E-03 2.08E-03 5.57E-03 3.76E-03

6 Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana

Los valores máximos permiten la ubicación de los N óptimos:

Cuadro 7.2. Numero de ocurrencias de lluvia mas probables para cada mes – Talaneo. Año 1964

Pm 1964 ENE 49.7 FEB 52.7 MAR 98.1 ABR 85.7 MAY 43.0 JUN 57.2 JUL 38.1 AGO 64.4 SEP 40.0 OCT 75.4 NOV 27.8 DI 40.8

N 7 11 14 12 8 9 6 10 8 10 6 9

Cuadro 7.3. Ejemplo - Probabilidades a posteriori – Ania Cabuyal año 1973

Pm 1973 181.2 696.7 144.6 477.0 41.8 40.0 36.6 42.7 45.5 71.2 88.3 322.9

1 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000

2 0.000006 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000022 0.000000 0.000001 0.000000

3 0.000045 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000000 0.000000 0.000004 0.000179 0.000002 0.000008 0.000000

4 0.000184 0.000000 0.000001 0.000000 0.000010 0.000000 0.000001 0.000034 0.000732 0.000020 0.000052 0.000000

5 0.000450 0.000000 0.000006 0.000000 0.000060 0.000002 0.000007 0.000168 0.001792 0.000101 0.000209 0.000000

6 0.000735 0.000002 0.000027 0.000000 0.000242 0.000011 0.000038 0.000559 0.002928 0.000335 0.000564 0.000000

7 0.000858 0.000008 0.000092 0.000001 0.000698 0.000053 0.000151 0.001330 0.003416 0.000798 0.001087 0.000001

8 0.000750 0.000024 0.000238 0.000002 0.001509 0.000185 0.000457 0.002375 0.002989 0.001425 0.001573 0.000004

9 0.000511 0.000056 0.000475 0.000009 0.002536 0.000504 0.001073 0.003299 0.002034 0.001979 0.001769 0.000013

10 0.000278 0.000106 0.000760 0.000024 0.003409 0.001098 0.002015 0.003666 0.001107 0.002198 0.001592 0.000036

11 0.000124 0.000163 0.000995 0.000057 0.003750 0.001957 0.003095 0.003332 0.000493 0.001999 0.001173 0.000084

12 0.000046 0.000208 0.001085 0.000110 0.003438 0.002906 0.003963 0.002525 0.000183 0.001514 0.000720 0.000163

13 0.000014 0.000226 0.001002 0.000181 0.002666 0.003651 0.004293 0.001618 0.000058 0.000971 0.000374 0.000267

14 0.000004 0.000209 0.000793 0.000254 0.001773 0.003932 0.003986 0.000889 0.000015 0.000533 0.000166 0.000375

15 0.000001 0.000169 0.000544 0.000310 0.001021 0.003670 0.003208 0.000423 0.000004 0.000254 0.000064 0.000457

16 0.000000 0.000119 0.000326 0.000330 0.000515 0.002997 0.002259 0.000176 0.000001 0.000106 0.000022 0.000488

17 0.000000 0.000074 0.000173 0.000311 0.000229 0.002160 0.001404 0.000065 0.000000 0.000039 0.000006 0.000459

18 0.000000 0.000041 0.000081 0.000260 0.000091 0.001383 0.000775 0.000021 0.000000 0.000013 0.000002 0.000384

19 0.000000 0.000020 0.000034 0.000195 0.000032 0.000793 0.000383 0.000006 0.000000 0.000004 0.000000 0.000287

20 0.000000 0.000009 0.000013 0.000131 0.000010 0.000409 0.000170 0.000002 0.000000 0.000001 0.000000 0.000194

21 0.000000 0.000004 0.000004 0.000080 0.000003 0.000191 0.000069 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000118

22 0.000000 0.000001 0.000001 0.000044 0.000001 0.000081 0.000025 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000065

23 0.000000 0.000000 0.000000 0.000022 0.000000 0.000031 0.000008 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000033

24 0.000000 0.000000 0.000000 0.000010 0.000000 0.000011 0.000003 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000015

25 0.000000 0.000000 0.000000 0.000004 0.000000 0.000004 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000007

26 0.000000 0.000000 0.000000 0.000002 0.000000 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000003

27 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001

28 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

29 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

30 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

max 0.000858 0.000226 0.001085 0.000330 0.003750 0.003939 0.004293 0.003666 0.003416 0.002198 0.001769 0.000488

7 13 12 16 11 14 13 10 7 10 9 16

Cuadro 7.4. Numero de ocurrencias de lluvia mas probables para cada mes – Ania Cabuyal Año 1973

Pm 1973

ENE 181.2

FEB 696.7

MAR 144.6

ABR 477.0

MAY 41.8

JUN 40.0

JUL 36.6

AGO 42.7

SEP 45.5

OCT 71.2

NOV 88.3

DIC 322.9

N 7 13 12 16 11 14 13 10 7 10 9 16

7 Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana

Cuadro 7.5. Ejemplo - Probabilidades a posteriori – Laguna Seca año 1973

Pm 1973 163.1 331.1 201.8 337.5 51.4 42.2 26.5 31.2 25.0 41.9 60.0 212.6

1 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000008 0.000000 0.000009 0.000000 0.000019 0.000000

2 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000150 0.000002 0.000159 0.000000 0.000236 0.000000

3 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000901 0.000022 0.000956 0.000004 0.000985 0.000000

4 0.000000 0.000001 0.000002 0.000000 0.000000 0.000003 0.002704 0.000146 0.002867 0.000034 0.002053 0.000000

5 0.000000 0.000008 0.000012 0.000000 0.000001 0.000019 0.004868 0.000591 0.005160 0.000171 0.002566 0.000001

6 0.000000 0.000031 0.000050 0.000001 0.000009 0.000092 0.005841 0.001596 0.006192 0.000569 0.002138 0.000006

7 0.000000 0.000088 0.000145 0.000006 0.000041 0.000317 0.005007 0.003077 0.005307 0.001356 0.001273 0.000026

8 0.000000 0.000190 0.000313 0.000022 0.000144 0.000814 0.003219 0.004451 0.003412 0.002421 0.000568 0.000079

9 0.000000 0.000320 0.000525 0.000060 0.000392 0.001628 0.001609 0.005008 0.001706 0.003362 0.000197 0.000185

10 0.000002 0.000430 0.000706 0.000130 0.000855 0.002604 0.000644 0.004507 0.000682 0.003736 0.000055 0.000347

11 0.000008 0.000473 0.000777 0.000232 0.001523 0.003409 0.000211 0.003319 0.000223 0.003396 0.000012 0.000533

12 0.000023 0.000434 0.000712 0.000344 0.002261 0.003719 0.000057 0.002036 0.000061 0.002573 0.000002 0.000682

13 0.000059 0.000337 0.000552 0.000433 0.002841 0.003433 0.000013 0.001057 0.000014 0.001649 0.000000 0.000739

14 0.000129 0.000224 0.000367 0.000466 0.003060 0.002716 0.000003 0.000471 0.000003 0.000906 0.000000 0.000686

15 0.000245 0.000129 0.000212 0.000435 0.002856 0.001863 0.000000 0.000182 0.000000 0.000432 0.000000 0.000552

16 0.000409 0.000065 0.000107 0.000355 0.002332 0.001118 0.000000 0.000061 0.000000 0.000180 0.000000 0.000389

17 0.000601 0.000029 0.000047 0.000256 0.001681 0.000592 0.000000 0.000018 0.000000 0.000066 0.000000 0.000242

18 0.000786 0.000011 0.000019 0.000164 0.001076 0.000278 0.000000 0.000005 0.000000 0.000022 0.000000 0.000133

19 0.000919 0.000004 0.000007 0.000094 0.000617 0.000117 0.000000 0.000001 0.000000 0.000006 0.000000 0.000066

20 0.000968 0.000001 0.000002 0.000048 0.000318 0.000044 0.000000 0.000000 0.000000 0.000002 0.000000 0.000029

21 0.000922 0.000000 0.000001 0.000023 0.000148 0.000015 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000012

22 0.000798 0.000000 0.000000 0.000010 0.000063 0.000005 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000004

23 0.000631 0.000000 0.000000 0.000004 0.000024 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001

24 0.000457 0.000000 0.000000 0.000001 0.000009 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

25 0.000305 0.000000 0.000000 0.000000 0.000003 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

26 0.000188 0.000000 0.000000 0.000000 0.000001 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

27 0.000107 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

28 0.000057 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

29 0.000028 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

30 0.000013 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

max 0.000968 0.000473 0.000777 0.000466 0.003060 0.003749 0.005841 0.005008 0.006192 0.003736 0.002566 0.000739

Cuadro 7.6. Numero de ocurrencias de lluvia mas probables para cada mes – Laguna Seca Año 1973

Pm

1973 ENE 163.1

FEB 331.1

MAR 201.8

ABR 337.5

MAY 51.4

JUN 42.2

JUL 26.5

AGO 31.2

SEP 25.0

OCT 41.9

NOV 60.0

DIC 212.6

N 11 11 14 14 12 6 9 6 10 5 13 20

8 Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana

Cuadro 7.7. N pronosticado – Estación Talaneo

N PRONOSTICADO - TALANEO

AÑO\MES ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC

1963

1964 7 11 14 12 8 9 6 10 8 10 6 9

1965 6 7 8 6 4 8 5 6 4 5 7 7

1966 13 10 5 8 4 9 6 6 8 7 7 9

1967 9 7 7 7 8 5 7 5 4 4 7 6

1968 6 5 18 4 3 9 10 3 5 11 5 4

1969 8 10 7 9 4 6 7 9 6 8 9 9

1970 14 10 9 8 6 6 7 3 6 10 9 9

1971 11 9 11 6 7 6 4 6 7 9 6 9

1972 21 13 24 19 17 17 20 5 18 13 11 8

1973 9 4 22 22 17 15 7 18 13 7 14 16

1974 13 18 21 16 15 21 9 8 18 14 18 9

1975 26 20 18 8 20 21 10 19 14 8 17 7

1976 20 7 10 20 20 9 7 4 2 10 11 6

1977 8 10 6 10 2 4 6 6 7 0 2 13

1978 23 17 11 13 5 9 0 4 18 0 12 8

1979 18 12 15 5 0 2 4 8 11 4 6 11

1980 14 18 13 10 9 0 5 7 6 0 0 0

1981 3 10 13 7 4 4 3 1 0 5 2 7

1982 2 11 6 2 6 2 10 0 9 13 15 23

1983 17 7 20 13 11 5 0 0 4 8 2 12

1984 12 13 14 16 9 6 0 0 4 8 3 8

1985 5 8 13 11 9 9 7 6 8 8 3 9

1986 12 13 14 14 5 3 17 3 11 12 11 10

1987 12 9 10 9 9 7 2 0 4 4 4 4

1988 7 17 15 6 3 5 3 5 3 8 5 13

1989 20 14 11 10 18 17 7 8 4 16 3 0

1990 15 10 25 28 20 20 11 11 17 16 11 15

1991 15 14 15 13 11 10 11 4 10 13 4 8

1992 15 14 9 12 9 8 3 6 2 5 3 3

Promedio 12.45 11.31 13.24 11.17 9.07 8.69 6.69 5.90 7.97 8.14 7.34 8.69

9 Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana

Cuadro 7.8. N pronosticado – Estación Ania Cabuyal

N PRONOSTICADO - ANIA CABUYAL

AÑO\MES ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC

1973 7 13 12 16 11 14 13 10 7 10 9 16

1974 13 13 17 11 4 11 8 2 6 8 19 14

1975 18 21 12 15 14 15 12 11 3 13 9 7

1976 21 18 21 11 5 5 4 5 2 5 9 8

1977 14 9 9 17 4 6 1 1 2 1 6 10

1978 6 5 13 15 7 6 1 2 5 6 2 9

1979 20 7 12 9 1 2 1 5 3 4 1 5

1980 8 17 8 11 6 2 1 2 1 1 1 1

1981 12 12 14 11 5 2 3 3 1 6 6 11

1982 9 11 8 10 10 2 2 1 3 8 7 21

1983 15 12 18 13 8 1 1 2 3 12 8 11

1984 8 17 17 14 8 9 5 3 8 12 8 5

1985 22 9 11 5 9 1 2 3 2 7 4 15

1986 13 17 6 18 4 2 2 2 6 7 8 14

1987 10 7 10 8 13 3 10 1 2 7 11 7

1988 15 16 10 18 3 1 3 2 5 5 10 17

1989 18 13 17 8 8 3 1 4 3 10 2 1

1990 11 14 13 15 8 4 2 2 1 10 8 9

1991 12 9 13 13 7 4 1 3 1 5 9 9

Promedio 13.26 12.63 12.68 12.53 7.11 4.89 3.84 3.37 3.37 7.21 7.21 10.00

Cuadro 7.9. N pronosticado – Estación Laguna Seca

N PRONOSTICADO - LAGUNA SECA

AÑO\MES ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET OCT NOV DIC

1973 20 11 11 14 14 12 6 9 6 10 5 13

1974 14 20 19 8 6 12 8 3 9 11 16 14

1975 11 18 13 17 19 15 11 10 7 12 8 7

1976 26 20 19 14 12 10 8 5 3 7 9 16

1977 16 15 14 20 3 11 2 7 3 1 10 11

1978 10 7 17 19 11 8 1 4 6 12 5 12

1979 27 13 21 16 1 2 2 5 4 6 3 9

1980 14 20 12 14 10 2 6 2 4 1 1 1

1981 13 12 13 14 11 5 6 11 1 10 6 15

1982 19 13 16 16 13 2 6 1 3 8 9 21

1983 22 19 14 18 16 6 2 2 4 13 8 17

1984 15 20 21 15 8 9 14 2 8 15 11 13

1985 18 10 17 14 17 5 4 11 6 10 4 14

1986 27 20 13 22 11 2 3 3 5 14 14 9

1987 14 8 15 6 11 5 15 1 2 12 11 15

1988 20 24 13 19 10 4 7 8 7 18 17 22

1989 18 16 16 21 14 15 7 2 11 16 2 1

1990 19 20 20 27 18 4 10 9 2 14 9 13

Promedio 17.94 15.89 15.78 16.33 11.39 7.17 6.56 5.28 5.06 10.56 8.22 12.39

10 Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana

Grafico 7.1. Numero de ocurrencias de lluvia pronosticados y observados en la estación Talaneo.

Estacion Talaneo

R2 = 0.8519

R2 = 0.2593

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25

Numero de eventos observados

Nu

me

ro d

e e

ve

nto

s

pro

no

sti

ca

do

s

EVENTOS EN TOTAL EVENTOS NO COINCIDENTES

Lineal (EVENTOS EN TOTAL) Lineal (EVENTOS NO COINCIDENTES)

Grafico 7.2. Numero de ocurrencias de lluvia pronosticados y observados en la estación Ania Cabuyal

Estacion Ania Cabuyal

R2 = 0.9616

R2 = 0.1725

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

Numero de eventos observados

Nu

me

ro d

e e

ve

nto

s

pro

no

sti

ca

do

s

EVENTOS EN TOTAL EVENTOS NO COINCIDENTES

Lineal (EVENTOS EN TOTAL) Lineal (EVENTOS NO COINCIDENTES)

Grafico 7.3. Numero de ocurrencias de lluvia pronosticados y observados en la estación Laguna Seca

Estacion Laguna Seca

R2 = 0.9005

R2 = 0.2721

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25

Numero de eventos observados

Nu

me

ro d

e e

ve

nto

s

pro

no

sti

ca

do

s

EVENTOS EN TOTAL EVENTOS NO COINCIDENTES

Lineal (EVENTOS EN TOTAL) Lineal (EVENTOS NO COINCIDENTES)

11 Estimación de ocurrencias de eventos lluviosos – Aproximación Bayesiana

8. Conclusiones

- Se analizó solo la estación Talaneo, Ania Cabuyal y Laguna Seca, debido a la buena calidad de datos

y a modo de aplicación, para validar la metodología descrita. Las estaciones Ania Cabuyal y Laguna Seca tienen comportamiento similar en cuanto a la dispersión y correlación entre los números de ocurrencia de lluvia debido a su cercanía geográfica.

- Se obtuvo un coeficiente de correlación conjunta entre datos coincidentes y no coincidentes desde 0.85 para la estación Talaneo, 0.96 para Ania Cabuyal y 0.90 para Laguna Seca, representando una muy buena asociación lineal.

- Como un segundo análisis, una correlación entre eventos no coincidentes arroja coeficientes de correlación menores a 0.30. Lo cual refleja la dispersión alrededor de las rectas de coincidencia, indicando claramente que la precipitación mensual no es la única variable que controla el número de eventos de lluvia del mes. Las estaciones se hallan en condiciones donde se manifiestan complejos factores climáticos que dominan la variable estudiada y que están fuera de la metodología propuesta.

- Teniendo en cuenta la simplicidad de la metodología propuesta en el artículo consultado y a la no disponibilidad frecuente de dicha información, se considera que la metodología es satisfactoria según la aceptable asociación obtenida entre eventos observados y pronosticados en las estaciones analizadas de la cuenca alta del río Chira.

9. Recomendaciones

- Dada la elevada varianza que presenta el número de ocurrencias de eventos lluviosos en los registros observados, considerar esta variable de forma aleatoria e independiente puede dar lugar a desviaciones importantes entre pronósticos y observaciones, se considera los resultados del método como algo promisorio.

- Según otros artículos donde plantean una similar metodología (Maria de la Cruz Gallego H, 2004) es recomendable analizar por periodos y categorías, así se tendrá diferentes análisis para el numero de eventos lluviosos ligeros, moderados, intensos y muy intensos. Esto permitirá hallar la predominancia de cada categoría con un coeficiente de correlación mucho mayor, entre pronosticados y observados.

10. Fuentes consultadas

1. ARTICULO BASE: Zimmermann Eric, Aproximación bayesiana para estimación de ocurrencias de lluvia aplicada a balances hídricos mensuales seriados. UNR – Facultad de Ciencias exactas, Ingeniería y Agrimensura. Articulo publicado en el PHI - UNESCO – 2003.

2. Maria de la Cruz Gallego H. Jose Agustin Garcia G. Jose M. Vaquero. “Distríbución espacial de índices de frecuencia de precipitación diaria en la Península Ibérica” .Universidad de Extremadura, 2004.

3. Jack R. Benjamín. C. Allin Cornell. Probabilidad y Estadística en Ingeniería Civil. Mc Graw-Hill – 1981. 4. Ven Te Chow. Hidrología Aplicada. McGraw-Hill – 1994. 5. Máximo Villon Bejar, Hidrología estadística, Lima-Perú, 2002.

Reporte presentado en el curso Métodos Estadísticos en Hidrología EPG. Universidad Nacional Agraria La Molina. Lima - Peru © 2007 HydroNotes Eds. Sources: http://www.slideshare.net/Hydronotes

http://pedrorau.blogspot.com