Aproximación al lenguaje estocástico de Xenakis

a través de su obra Achorripsis

Víctor Padilla Martín-Caro

Antonio Palmer Aparicio

Introducción La composición algorítmica, o composición basada en reglas formales tiene una

larga tradición, no solo en la historia de la música occidental. Desde la antigüedad,

remontándonos a la Grecia Clásica, sabemos de las enseñanzas de Pitágoras y sus

sucesores, para los que la práctica de la música y las matemáticas no pertenecía a

campos separados. Esta idea de relación matemático-musical la podemos rastrear a lo

largo de la historia. Pero si damos un paso más, si el creador no se centra en la obra sino

en el sistema aparece la idea de meta composición, o composición de composiciones.

Esto es algo que dista mucho de ser novedoso, con ideas en esta línea prácticamente

desde el comienzo de la polifonía1. En el siglo XX en algunos casos se denominará

forma abierta, obra que se renueva en cada interpretación permitiendo que el margen del

intérprete sea mayor sin renunciar a su esencia.

Nos vamos a quedar con el concepto de azar y cómo una forma abierta se

convierte en cerrada en el momento en el que se plasma en una única obra. El caso de

Achorripsis nos parece un claro ejemplo de orden aleatorio que se materializa en una

única composición. Realmente, la partitura que vamos a analizar ¿es la óptima o sólo

una de las n posibles donde n tiende a un valor muy elevado? ¿La percepción del oyente

cambiaría modificando pequeños parámetros? ¿Se percibe ese orden subyacente de

nivel superior que ordena la música? ¿Qué importancia juega la altura de nota, es un

parámetro menor? Sobre Xenakis se han escrito (y se siguen escribiendo) infinidad de

artículos y análisis. Nos hemos centrado en esta obra dada su importancia histórica y los

testimonios del propio compositor, en Formalized Music. Hemos comparado y

verificado sus propios cálculos. ¿Dónde entra la mano del compositor y donde la del

arquitecto? ¿Realmente la forma musical de la obra se diferencia tanto de la tradición?

Cuando los cálculos no encajan en el complejo sistema matemático ¿se trata de un error

de cálculo o un ajuste musical? ¿Debe seguir fielmente el compositor la tiranía del

sistema?

1 Nos vienen a la memoria sistemas como el de Atanasius Kircher (1602-1680) y su ello la máquina

llamada Arca Musarithmica que componía canciones para que los misioneros, o los sistemas de

W.A. Mozart (1756-1791) y sus coetáneos para escribir música lanzando dados. Un buen ejemplo

son las Instructions for the composition of as many waltzes as one desires with two dice, without

understanding anything about music or composition K 294

El sistema que plantea Xenakis podríamos encuadrarlo dentro del extenso grupo

de compositores que buscan sistemas alternativos a la estructuración tonal basado no

tanto en el peso del agregado vertical, sino en relaciones matemático-algorítmicas. A

pesar de la conocida disputa con Boulez, los planteamientos estilísticos y organizativos

del material posiblemente no sean tan diferentes desde una perspectiva histórica

pudiéndose entender como variaciones de un tronco común del mismo modo que

podemos considerar diferentes los lenguajes de Bach y Vivaldi en un contexto barroco.

Repasaremos en el siguiente apartado algunos textos que nos han parecido

especialmente interesantes.

Iannis Xenakis. Pensamiento musical

A diferencia de la mayor parte de los compositores europeos más avanzados de

comienzos de la década de los 50, Xenakis no estuvo influenciado por el serialismo.

Tras la finalización de Metástasis, en el año 55, Xenakis publicó un artículo en el que

atacaba frontalmente la música serial en ese momento fervientemente defendida por

Boulez y Stockhausen.

“[…] the serial system is thrown into question on its own two bases, which

embody the seed of their own destruction and inadequacy :

the series;

their polyphonic structure.

A series (of any sort) is the result of a linear “category” of thought. It is a

string of a finite number of objects. […]

Combinatory calculus is but one generalization of the serial principle. Its

origin is found in the choice of how the 12 tones are arranged. […]

Linear polyphony is self-destructive in its current complexity. In reality, what

one hears is a bunch of notes in various registers. The enormous complexity

prevents one from following the tangled lines and its macroscopic effect is one of

unreasonable and gratuitous dispersion of sounds over the whole sound spectrum.

Consequently, there is a contradiction between the linear polyphonic system and

the audible result, which is a surface, a mass.

This inherent contradiction with polyphony will disappear only once sounds

become totally independent. In fact, since these linear combinations and their

polyphonic superpositions are no longer workable, what will count will be the

statistical average of isolated states of the components’ transformations at any

given moment. […][Xenakis_94 pg 40-42] .

En el prefacio de su libro Formalized Music: Thought and Mathematics in

Composition [Xenakis _92], Xenakis escribió:

“Como resultado del punto muerto en la música serial, así como de otros motivos, en

1954 originé una música construida en base al principio de la indeterminación; dos

años más tarde la llamé “música estocástica”. Las leyes del cálculo de probabilidades

entraron en la composición por pura necesidad musical. Pero otros caminos también

llevaron a la misma encrucijada, el más importante: los acontecimientos naturales,

tales como la colisión del granizo o la lluvia sobre superficies duras, o el canto de las

cigarras en un campo veraniego. Estos acontecimientos sonoros están constituidos por

miles de sonidos aislados; esta multitud de sonidos, vista como una totalidad, es un

nuevo acontecimiento sonoro. Este acontecimiento masivo está articulado y forma un

molde temporal flexible, que de por sí sigue las leyes aleatorias y estocásticas.”

. Xenakis, en su libro Formalized Music [Xenakis_92 pg 22-24], nos indica de

una manera bastante clara las fases de su forma de trabajo.

1.- Concepción Inicial (intuición, datos provisionales o definitivos).

2.- Definición de entidades sonoras y de sus simbolismos comunicables con las

limitaciones posibles (sonidos de los instrumentos musicales, sonidos

electrónicos, conjuntos ordenados de elementos sonoros, formaciones

granulares o continuas, etc).

3.- Definición de las transformaciones cuyas entidades sonoras se desarrollarán

en el transcurso de la composición (macrocomposición).

4.- Microcomposición. Escoger y detallar las funciones o relaciones estocásticas

entre los elementos.

5.- Programación secuencial de los puntos 3 y 4 (esquema y patrones de

trabajo).

6.- Implementación del cálculo, verificaciones, feedbacks y modificaciones

definitivas del programa secuencial.

7.- Resultado simbólico final de la programación. Obtener la música en papel,

en notación tradicional, expresiones numéricas, gráficos, sistemas alternativos

de escritura musical…

8.- Realización sonora del programa (interpretación orquestal, manipulación de

la música electroacústica, reconstrucción sonora por ordenador y sus

transformaciones)

El orden de esta lista no es completamente rígido. Permutaciones son posibles

durante el transcurso de una composición. La mayoría de las veces, estas fases

son inconscientes. Sin embargo, esta lista establece ideas y permite la

especulación sobre el futuro.

Como podemos ver, la forma de trabajo de Xenakis es bastante sistemática y

ordenada y hasta cierto punto hay un intento de marcar tareas como se haría en un

lenguaje de programación. Hay que recordar que históricamente nos encontramos en el

nacimiento de la informática y los lenguajes de programación. En su libro detalla un

programa de ordenador en BASIC, PARAG3.BAS que es un generador de “patches” de

sonido para GENDY1.BAS y el sistema UPIC desarrollado en el Centre d'Etudes de

Mathématique et Automatique Musicales (CEMAMu) en Paris. La primera versión de

UPIC fue lanzada en 1977 y Xenakis lo emplea para componer su siguiente obra

Mycènes Alpha (1978).2

Organización macroformal El esquema de Achorripsis está formado por una matriz de 28 columnas

(bloques temporales) y 7 filas (timbres de instrumento). La agrupación tímbrica es la

siguiente:

1. Flute (Piccolo, E[ Clarinet, Bass Clarinet)

2. Oboe (Oboe, Bassoon, Contrabassoon)

3. String glissando (Violin, Cello, Bass)

4. Percussion (Xylophone, Wood Block, Bass Drum)

5. Pizzicato (Violin, Cello, Bass)

6. Brass (2 Trumpets, Trombone)

7. String arco (Violin, Cello, Bass)

En total hay 3 violines, 3 cellos y 3 contrabajos y alternan pasajes glissando,

pizzicato y arco. La longitud total de la pieza es de 7 minutos, lo que significa que cada

una de las 28 columnas dura 15 segundos, lo que equivale a 6.5 compases de 2/2 con

indicación metronómica MM 52. En total la obra tiene 182 compases.

2 En la actualidad existe un proyecto de código abierto Iannis que es un editor gráfico de partituras

multidimensionales y multiformales basado en el antiguo UPIC.

http://sourceforge.net/projects/iannix/. Referencias interesantes sobre este proyecto se pueden

encontrar en los trabajos de Jean-Baptiste Thiebaut, Patrick G. T. Healey, Nick Bryan Kinns

[Thiebaut_92]y Thierry Coduys,  Guillaume Ferry [Coduys]

La colocación de eventos en la matriz de 196 celdas (7x28) se calcula en base a

la distribución de Poisson antes comentada. Para hacer esto, establece que a priori la

densidad media de eventos 3 es:

λ = 0.6 eventos/unidad

Xenakis establece 5 categorías de eventos como aparecen en el gráfico siguiente:

0.- No evento

1.- Evento simple

2.- Evento doble

3.- Evento triple

4.- Evento cuádruple

3 Esta es una elección artística que determina claramente la forma de la función de distribución. En

este caso le interesa que la forma de la función tenga una pendiente decreciente muy marcada para

obtener el resultado final (107 celdas sin eventos y 1 de cuádruple evento). Es muy probable que el

resultado sea arbitrario, mas bien este fue calculado de forma inversa aunque no lo diga

expresamente.

Fig 1. Esquema macroformal Achorripsis

Aplicando la fórmula de Poisson obtenemos:

Donde k es el número de eventos (k=(0,1,2,3,4,5), e corresponde a (e=2.71828…) y k!

(k factorial) para 5 por ejemplo es 5!=5*4*3*2*1. Por definición 0!=1.

Resolviendo la fórmula tenemos la siguiente tabla de probabilidades:

P0 =

0.60

0!e−0.6 = 0.5488

P1 =

0.61

1!e−1 = 0.3293

P2 =

0.62

2!e−2 = 0.0988

P3 =

0.63

3!e−0.6 = 0.0198

P4 =

0.64

4!e−0.6 = 0.0030

P5 =

0.65

5!e−0.6 = 0.0004

Multiplicando las probabilidades por 196 (el número de celdas) obtenemos:

Tabla 1. Probabilidades de diferentes tipos de eventos.

i Número de celdas (aproximación de Xenakis)

0 0.5488*196=107.56 107

1 0.3293*196=64.54 65

2 0.0988*196=19.36 19

3 0.0198*196=3.88 4

4 0.0030*196=0.588 1

Distribución de eventos en función de las columnas

Para distribuir los eventos entre las columnas con una densidad media en

función de la ley de Poisson, es necesario coger el total de números [107, 65, 19, 4, 1]

Para cada clase de evento [0,1,2,3,4] y dividir estos números por el número de columnas

(28). Para cada caso obtenemos un valor diferente de como mostramos en la siguiente

tabla:

Tabla 2. Cálculo de para diferentes tipos de eventos

Vamos a calcular cada uno de los casos.

Clase de

evento

Número

total de

eventos

en la

matriz

: Número

total de

eventos /28

0 (silencio) 107 3.82

1 (simple) 65 2.32

2 (doble) 19 0.68

3 (triple) 4 0.14

4 (cuádruple) 1 0.04

Evento 0 (silencio): :3.82

Filas o

frecuencia

(k)

Probabilidad Columnas que

contienen k

eventos

Redondeo

(con 1

decimal)

Aproximación

Real

Aproximación

Xenakis

0

0.0219*28=0.61 0.6 1 0

1

0.084*28=2.35 2.4 2 2

2

0.16*28=4.48 4.5 5 6

3

0.204*28=5.71 5.7 6 5

4

0.195*28=5.44 5.4 5 5

5

0.149*28=4.17 4.2 4 4

6

0.095*28=2.66 2.7 3 4

7

0.052*28=1.46 1.5 2 2

Totales

(suma):

28 28

Tabla 3. Probabilidades de silencios por columnas

Interpretación de la tabla (aproximación de Xenakis):

En ninguna columna deja de haber silencios (no hay columnas con todos los

instrumentos sonando), en 2 columnas hay 1 silencio, en 5 columnas hay 2 silencios, en

6 columnas hay 3 silencios, en 5 columnas hay 4 silencios, en 4 columnas hay 6

silencios, en 2 columnas hay 7 silencios.

Evento 1 (simple): :2.32

Filas

(k)

Probabilidad Columnas que

contienen k

eventos (con 1

decimal)

Aproximación

Real

Aproximación

Xenakis

0

0.098*28=2.75 3 3

1

0.228*28=6.38 6 6

2

0.264*28=7.39 7 8

3

0.205*28=5.74 6 5

4

0.119*28=3.33 3 3

5

0.055*28=1.54 2 2

6

0.021*28=0.59 1 1

7

0.0070*28=0.196 0 0

Totales (suma): 28 28

Tabla 4. Probabilidades de evento simple por columnas

Interpretación de la tabla (aproximación de Xenakis):

En 3 columnas no hay eventos simples, en 6 columnas hay 1 evento simple, en 8

columnas hay 2 eventos simples, en 5 columnas hay 3 eventos simples, en 3 columnas

hay 4 eventos simples, en 2 columnas hay 5 eventos simples y en 1 columna hay 6

eventos simples.

Evento 2 (doble): :0.68

Filas

(k)

Probabilidad Columnas que

contienen k

eventos (con 1

decimal)

Aproximación

Real

Aproximación

Xenakis

0

0.507*28=14.2 14 14

1

0.345*28=9.7 10 10

2

0.117*28=3.3 3 3

3

0.03*28=0.8 1 1

Totales (suma): 28 28

Tabla 5. Probabilidades de evento doble por columnas

Interpretación de la tabla (aproximación de Xenakis):

En 14 columnas no hay eventos dobles, en 10 columnas hay 1 evento doble, en 3

columnas hay 2 eventos dobles, en 1 columna hay 3 eventos dobles.

Evento 3 (triple): :0.14

Filas

(k)

Probabilidad Columnas

que contienen

k eventos (con

1 decimal)

Aproximación

Real

Aproximación

Xenakis

0

0.896*28=24 24 24

1

0.12*28=3.4 3 4

2

0.009*28=0.3 0 0

Totales

(suma):

27 28

Tabla.6. Probabilidades de evento triple por columnas

Interpretación de la tabla (aproximación de Xenakis):

En 24 columnas no hay eventos triples, en 4 columnas hay 1 evento triple.

Evento 4 (cuádruple): :0.04 Filas

(k)

Probabilidad Columnas que

contienen k

eventos (con 1

decimal)

Aproximación

Real

Aproximación

Xenakis

0

0.96*28=26.88 27 27

1

0.04*28=1.12 1 1

Totales

(suma):

27 28

Tabla 7. Probabilidades de evento cuádruple por columnas

Interpretación de la tabla (aproximación de Xenakis):

En 23 columnas no hay eventos cuádruples, en 1 columnas hay 1 evento cuádruple.

Como vemos, existen sutiles diferencias entre los valores que toma Xenakis y los

valores calculados en las filas sin evento y eventos simples y triples. Como comenta

Arsenaut en su excelente artículo [Arsenaut_02], esto puede deberse a cuestiones de

ajuste puramente musicales o por ideas preconcebidas a la hora de componer su obra,

relaciones tímbrico instrumentales…

Distribución de eventos en función de las filas

El cálculo no acaba aquí, hemos obtenido la distribución de eventos por

columnas, pero necesitamos realizar el mismo proceso para las 7 filas. Al igual que con

las columnas, existen pequeñas diferencias entre los valores calculados de la

distribución de Poisson y el resultado final de Xenakis. El siguiente cuadro a modo de

resumen indica la distribución final empleada.

Columnas

(frecuencia)

No Evento Evento

simple

Evento

doble

Evento

triple

Evento

cuádruple

0 1 4 6

1 0 2 1

2 2 1

3 2

4 1

5

6 1

7 1

8 1

9 1

10 1

11 1 1

12 0 0

13 1 0

14 0 1

15 1

16 2

17 1

18 0

19 1

Total 7 7 7 7 7

Tabla 8. Probabilidades de evento por fila

Interpretación de la tabla para evento triple y cuádruple:

En 4 filas no hay evento triple, en 2 filas hay 1 evento triple, en una fila hay 2 eventos

triples. En 6 filas no hay evento cuádruple, en una fila hay 1 evento cuádruple.

La matriz de juego Una vez que todas las reglas anteriores se aplican a las 196 celdas, obtenemos la

matriz M de juego (Fig 2.2). Esta es la matriz que determina las diferentes densidades

de sonido de Achorripsis. Un detalle importante a observar en este sistema de

distribución de eventos es que no se especifican celdas concretas, sino filas y columnas

que pueden ser permutadas, lo que da al compositor un grado alto de libertad a la hora

de colocar la instrumentación y la forma de la pieza. Por ejemplo Xenakis asigna a las

cuerdas en pizzicato el número mas elevado de sonidos (fila 5, 21 eventos simples) y al

viento metal el menor (fila VI, 12 eventos simples). Otro detalle formal importante es

que hay 2 columnas con 7 eventos 0 (sin sonido) en las columnas 4 y 24, lo que divide

la pieza en una estructura tripartita.

Organización a nivel de celda

En este apartado describiremos la manera en la que Xenakis calcula los grupos

de sonido a nivel de celda. El cálculo se centra en 3 aspectos:

1.- El tiempo entre eventos sucesivos (notas)

2.- El intervalo entre distintas alturas

3.- La velocidad de los glissandi en las cuerdas

Aspectos no señalados por Xenakis son:

1.- La altura inicial de cada instrumento en cada celda.

2.- La duración de cada nota.

3.- Las dinámicas.

4.- Las articulaciones. (pasajes de cuerda con arco tienen notas en staccato, los

instrumentos de viento no tienen articulación y no hay acentos)

5.- Las elecciones de timbre.

Xenakis escoge las siguientes distribuciones de probabilidad:

1.- La distribución exponencial indica el tiempo entre eventos sucesivos.

2.- La distribución lineal los intervalos de alturas.

3.- La distribución normal la velocidad de los glissandi.

Distribución exponencial

Xenakis modela la sucesión temporal de puntos en su música por medio de la

distribución exponencial, que es la más comúnmente asociada a procesos temporales.

En la distribución exponencial, la probabilidad de un intervalo de tiempo x entre dos

puntos disminuye exponencialmente cuando x (el tiempo) aumenta linealmente. Por

tanto, intervalos breves ocurren más frecuentemente que intervalos largos. El resultado

musical es una sucesión de irregulares puntos espacio-temporales que, sin embargo,

muestran una relativa coherencia interna.

La función de densidad de probabilidad para una distribución exponencial es:

f (x) = δe−δx

Donde , el parámetro de la densidad, es igual al número de sonidos por segundo y e,

la base del logaritmo natural, es aproximadamente 2.718…

La probabilidad de eventos en la distribución exponencial están determinados

por

P[a,b) = δe−δx dx = e−δa − e−δb

a

b

∫

Fig 2. Probabilidad en distribución exponencial para =1

O lo que es lo mismo, el área de f(x) entre a y b. En el apéndice I de Formalized Music,

Xenakis da una fórmula más simple para calcular las probabilidades de evento en la

distribución exponencial.

para i=0,1,2,3…v

La variable v en la fórmula de Xenakis, representa el tamaño del intervalo [a,b]4.

En el esquema de Achorripsis,

Evento (densidad)

Sonidos/compas

Sonidos/segundo Sonidos/celda

(15 sec)

Simple 5 2.2 32.5

Doble 10 4.4 65

Triple 15 6.6 97.5

cuádruple 20 8.8 130

Tabla 9. Densidades en función de eventos

4 Hay una interesante comparación en el trabajo de Squibbs [Squibbs_05] sobre la aproximación de

Xenakis. En su trabajo demuestra que para valores pequeños no es del todo exacta, pero

seguramente fue una manera de simplificar el tedioso cálculo manual

Distribución Lineal

Una de las distribuciones usadas para modelar eventos en aspectos no

temporales de un proceso estocástico es la distribución lineal. Esta distribución se puede

emplear para generar intervalos entre alturas, niveles de intensidad o estados en otras

dimensiones. En esta distribución la probabilidad de un intervalo de tamaño x entre dos

eventos disminuye linealmente cuando x se incrementa linealmente. La función de

densidad de probabilidad para una distribución lineal es:

f (x) = 2

g(1− x

g)

Donde g representa el tamaño máximo del intervalo. La fórmula para P[a,b] es

P[a,b) = 2

ga

b

∫ (1− xg

)dx = 1g 2 (a2 − 2ag − b2 + 2bg)

Xenakis simplifica la expresión con la siguiente fórmula [Xenakis_92, Ap. I pg 326]

Pi =

2n+1

(1− in

)

Donde i=0,1,2…n n=g/v, donde g es el tamaño del intervalo mas grande y v es

incremento del intervalo empleado para preparar la tabla de probabilidades.

Distribución Normal

Xenakis equipara el concepto de velocidad de las moléculas de un gas de las

leyes de Maxwell/Boltmann a los glissandi de las cuerdas. Para ello aplica la

distribución Normal o Gaussiana que es algo más complicada que las distribuciones de

Poisson, Exponencial o Lineal. La función de densidad de probabilidad f(v) para una

velocidad v es:

f (v) = 2

α πe−v2

α2

Donde se define como el valor cuadrático medio de todos los posibles valores de v y

se relaciona con la temperatura del gas. Esta ecuación no proporciona el valor de la

probabilidad directamente. La probabilidad es el área de f(v) o la integral entre v1 y v2.

Por tanto.

P(λ) = θ(λ2 )−θ(λ1)

Donde λ1 =

v1

α, λ2 =

v2

α

Y

θ(λ) = 2

πe−λ2

dλ0

λ

∫

Xenakis usa los siguientes valores en su tabla de velocidades:

=4.5 glissandi/compas en MM 26 (indicación metronómica)

=3.88, valor cuadrático medio de la velocidad.

es expresado en semitonos/compás.

es la velocidad media

4.5*6.5 (compases)=29 sonidos glissando/celda

λ =

vα

P(λ) = θ(λ2 )−θ(λ1) 29 P(λ)

0 0.000 0.0000

0.2863 9 0.5

1 0.258 0.2869

0.2510 7 1.5

2 0.516 0.5379

0.1859 5 2.5

3 0.773 0.7238

0.1310 4 3.5

4 1.032 0.8548

0.0771 2 4.5

5 1.228 0.9319

0.0397 1 5.5

6 1.545 0.9716

0.0179 1 6.5

7 1.805 0.9895

0.0071 0 7.5

Tabla 10

Interpretación: En una celda (6.5 compases) con eventos simples, hay 29 glissandi que

se dividen en

9 glissandi de 1 semitono/compás

7 glissandi de 2 semitonos/compás

5 glissandi de 3 semitonos/compás

….

Fig 3

Xenakis en Formalized Music nos proporciona el siguiente cálculo para las duraciones

aplicadas a los glissandi

=4.5 sonidos/compas con MM 26

Unidad de división del compás x=0.10 (cada compás se divide en 10 pares iguales)

4.5*6.5 compases=29 sonidos/celda es decir, 28 duraciones

x

0.00 0.00 1.000 4.500 0.362 10

0.10 0.45 0.638 2.870 0.231 7

0.20 0.90 0.407 1.830 0.148 4

0.30 1.35 0.259 1.165 0.094 3

0.40 1.80 0.165 0.743 0.060 2

0.50 2.25 0.105 0.473 0.038 1

0.60 2.70 0.067 0.302 0.024 1

0.70 3.15 0.043 0.194 0.016 0

Total: 12.415 0.973 28

Tabla 11

Interpretación: En una celda (6.5 compases) con eventos simples, las 28 duraciones se

dividen en:

10 inferiores a 1/10 de celda, 0.45 compases

7 entre 1/20 y 1/10 de celda, 0.90 compases

4 entre 1/30 y 1/20 de celda, 1.35 compases

…..

Fig 4

Para los intervalos, Xenakis aplica los siguientes parámetros.

=4.5 sonidos/compas con MM 26

a=80 semitonos o 18 grupos de 4.5 semitonos.

j está expresado en múltiplos de 4.5 semitonos

m=80/4.5=18

es una constante igual a 2/(m+1)=0.105

Por tanto

P( j) = 0.105(1− j

18)

Si construimos la tabla,

j real

aproximación

0 0.105 3,045 3

1 0,0991 2,8739 3

2 0,0933 2,7057 3

3 0,0875 2,5375 3

4 0,0817 2,3693 2

5 0,0758 2,1982 2

6 0,0699 2,0271 2

7 0,064 1,856 2

8 0,0581 1,6849 2

9 0,0522 1,5138 2

10 0,0463 1,3427 1

11 0,0404 1,1716 1

12 0,0345 1,0005 1

13 0,0286 0,8294 1

14 0,0227 0,6583 1

15 0,0168 0,4872 0

16 0,0109 0,3161 0

17 0,0058 0,1682 0

18 0.0000 0 0

Tabla 12

Fig 5

Interpretación: de los 18 grupos en los que hemos dividido los 80 semitonos de la

cuerda, y teniendo en cuenta las 29 alturas de cada celda, hay

3 del grupo 0

3 del grupo 1

3 del grupo 2

3 del grupo 3

2 del grupo 4

2 del grupo 5

…..

Comentarios al análisis de la partitura Vamos a comparar los resultados teóricos con el análisis real de algunos pasajes de la

partitura.

Childs analiza en su trabajo [Childs_02]la primera celda en la que hay 22 notas.

Calculando las distancias temporales entre eventos llega al siguiente cuadro.

Tabla 13

Duración

Partitura

Distribución exponencial

0-12

12-24

24-36

36-48

48-60

60-72

72-84

84-96

4,10,12,12,12,12

20,20,20,24

30,30

42,48,48

60,60

72

80

96

6

4

2

3

2

1

1

1

6

4

3

2

2

1

1

1

Totales 21 21

Fig 6

Para esta primera celda (primeros 6.5 compases) la densidad real es =22/6.5=

3.38 y la teórica 3.5. De las 89 celdas activas, cada una tiene un valor distinto de

densidad lo que, según Childs, puede permitir al oyente, según el ritmo de la celda,

saber que densidad es. También es una manera de diferenciar rítmicamente eventos, lo

que por un lado puede permitir al oyente seguir mas fácilmente el discurso musical y a

un buen director diferenciar errores.

A continuación mostramos los eventos de los compases 104-110’5 que

corresponden a la columna 17 del esquema. Según el esquema tenemos eventos simples

para flauta, cuerdas en glissando, pizzicato y arco y evento doble para percusión. En el

siguiente cuadro señalamos la densidad (densidad=eventos/compases)

Eventos Densidad real Densidad teórica

Flauta (Piccolo,

clarinete Eb, clarinete

bajo)

32 4.92 5

Percusión 65 10 10

Cuerda gliss. 28 4.31 4.5

Cuerda pizz. 35 5.38 5.5

Cuerda arco 30 4.62 5

Tabla 14

Como vemos, hay pequeñas variaciones de ajustes de densidades entre la

indicación de Xenakis en su esquema y los valores reales de la partitura. En la Fig 2.8

podemos observar los eventos de cada uno de los grupos señalados en la tabla 2.4

Fig 7. Eventos compases 104-110’5 (columna 17)

Siguiendo con el análisis, veamos por ejemplo los glissandi. Sabemos que su

distribución de probabilidad es acorde a la distribución normal, por tanto podemos

obtener la siguiente tabla y verificarla con la partitura.

x

0.00 0.00 10

0.10 0.45 7

0.20 0.90 4

0.30 1.35 3

0.40 1.80 2

0.50 2.25 1

0.60 2.70 1

0.70 3.15 0

28

Tabla 15

Las primeras dos columnas indican las duraciones de los glissandi en fracciones de

compás y la tercera el número de los mismos. Hemos empleado colores para facilitar el

análisis.

x

0.00 0.00 10

0.10 0.45 7

0.20 0.90 4

0.30 1.35 3

0.40 1.80 2

0.50 2.25 1

0.60 2.70 1

0.70 3.15 0

28

x

0.00 0.00 10

0.10 0.45 7

0.20 0.90 4

0.30 1.35 3

0.40 1.80 2

0.50 2.25 1

0.60 2.70 1

0.70 3.15 0

28

x

0.00 0.00 10

0.10 0.45 7

0.20 0.90 4

0.30 1.35 3

0.40 1.80 2

0.50 2.25 1

0.60 2.70 1

0.70 3.15 0

28

x

0.00 0.00 10

0.10 0.45 7

0.20 0.90 4

0.30 1.35 3

Fig 8. Duraciones de los glissandi 104-110’5 (columna 17)

0.40 1.80 2

0.50 2.25 1

0.60 2.70 1

0.70 3.15 0

28

Siguiendo con el ejercicio anterior, establezcamos la amplitud del glissandi en relación

a su duración. Comparando la tabla obtenida con la partitura.

Tabla 16

Semitonos/compás 29

0 9

1 7

2 5

3 4

4 2

5 1

6 1

7 0

Fig 9. Intervalos de los glissandi 104-110’5 (columna 17)

Análisis desde el punto de vista musical. En este apartado comentaremos el trabajo de Squibbs [Squibbs_06] y su intento

de analizar Achorripsis con el método de análisis de Fred Lerdahl en su libro Tonal

Pitch Space.

Los rangos dentro de cada grupo se muestran en el siguiente ejemplo. Con la

excepción de la percusión (el xilófono sólo tiene la nota C8), las alturas dentro de los

otros grupos se distribuyen de manera bastante uniforme.

Fig 10

En el siguiente gráfico mostramos las densidades de las 28 secciones. Mientras

que el gráfico muestra que la densidad es muy baja en las secciones 8 y 24, la matriz de

probabilidad indica que no hay eventos en estas secciones. La partitura muestra, sin

embargo, que Xenakis compuso pasajes de mínima densidad para estas secciones

presumiblemente para que la obra no sonara como si hubiera acabado prematuramente.

Aunque secciones 1-8 ciertamente no pueden considerarse como una exposición

en una forma de sonata, sin embargo, parece ser estructuralmente importante que cada

grupo instrumental está "expuesto" al menos una vez dentro de este grupo. El sentido

estructural se ve reforzado por la densidad mínima de la sección 8. Las secciones 1 y 21

comienzan con un solo de pizzicato en las cuerdas. Estas son las 2 únicas secciones que

presentan un solo de este grupo instrumental. La mínima densidad de la sección 24

prepara el clímax de la sección 25. La obra finaliza con una densidad de 19.7, muy

cercana a la media de la obra, 19.2, consiguiendo así un sentido de equilibrio en la

conclusión.

Fig 11

El siguiente ejemplo muestra las alturas emergentes dentro de las secciones y

grupos de secciones. Un análisis más detallado de la obtención y simplificación de

alturas se puede encontrar en el trabajo de Squibbs [Squibbs_05]

Conclusiones

En este trabajo nos hemos centrado en el compositor que posiblemente más haya

influido en el empleo de algoritmos matemáticos en la composición musical. Hemos

visto cómo en su obra Achorripsis establece un cálculo de probabilidades tanto a nivel

macro como microformal para intentar crear un nuevo lenguaje musical con un grado de

coherencia similar a las leyes físicas que rigen, por ejemplo el comportamiento de los

gases. Hemos realizado una revisión de sus cálculos matemáticos, y resulta

impresionante el esfuerzo realizado por el compositor para llevar a cabo la realización

del cálculo sin las herramientas informáticas actuales. Su libro Formalized Music nos ha

permitido acercarnos a su pensamiento compositivo. Somos conscientes de la dificultad que entraña la explicación de muchas de las ideas compositivas asociadas al mundo de la probabilidad, pero la inmersión ha resultado fascinante. La obra es de 1956 y evidentemente los cálculos fueron realizados de forma manual. La etapa de expansión de la computación moderna aún no había comenzado, por lo que el trabajo previo a la elaboración de la partitura pudo ser realmente tedioso.

Las preguntas que nos surgen a continuación, después de ser conscientes del minucioso trabajo de orfebrería matemática son, ¿y a la escucha? ¿Realmente un oído ideal con una interpretación perfecta percibiría todas las sutilezas? ¿El resultado es muy diferente realmente de un serialismo integral de Boulez o de la aleatoriedad de Cage, o estamos hablando en definitiva de un lenguaje común en cuanto a resultado sonoro? Nos vamos a permitir dejar todas estas cuestiones en el aire. El presente trabajo se ha

centrado en una descripción objetiva de una obra, de un análisis matemático, de una

verificación de postulados. Ha sido un acercamiento objetivo y “aséptico”, casi de

corrección y verificación del cumplimiento de las premisas. Por supuesto que otro tipo

de análisis tienen cabida, más centrado desde el punto de vista psicoacústico,

historicista o sociológico, permitiendo, sin duda, tener una visión más completa del

compositor y su obra.

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