Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode...
Transcript of Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode...
![Page 1: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/1.jpg)
GeometriaM AT E R I A L P R E PA R A D O P E LO S P R O F E S S O R E S :
R O D O L F O AYA L A LO P E S C O S TA
S A U L D E L A B R I D A
![Page 2: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/2.jpg)
Transformações GeométricasFundamentais
◦ Translação
◦ Escala
◦ Rotação
Outras◦ Reflexão
◦ Ciscilhamento
![Page 3: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/3.jpg)
Transformações Geométricaso São operações que podem alterar algumas características do objeto a ser desenhado
o Permitem representar um objeto em diversas posições no espaço
o Importante nas aplicações de computação gráfica, principalmente, na computação gráfica interativa
o Transformações geométricas podem ser representadas por equações
![Page 4: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/4.jpg)
Transformações Geométricas
![Page 5: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/5.jpg)
Translaçãoo Transladar significa movimentar o objeto. Transladamos um objeto transladando
todos os seus pontos
o É possível efetuar a translação de pontos no plano (x, y ) adicionando quantidades às
suas coordenadas
o Cada ponto em (x, y ) pode ser movido por Tx unidades em relação ao eixo x , e por Ty
unidades em relação ao eixo y
![Page 6: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/6.jpg)
TranslaçãoPlano (2D)
A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como:
xj = x + Tx
yj = y + Ty
Espaço (3D)
O mesmo ocorre para um ponto definido em 3D, a nova posição do ponto (x, y, z ) passa a ser (xj, yj, zj), que pode ser escrito como:
xj = x + Tx
yj = y + Ty
zj = z + Tz
![Page 7: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/7.jpg)
TranslaçãoNotação Matricial
[xj, y j, zj] = [x, y, z ] + [Tx, Ty, Tz]
Posição Final Posição Atual Matriz de Translação
![Page 8: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/8.jpg)
Translação ExemploT = [3,-4]P1 = [4,5]P2= [7,5]P3 = [5.3,9]
P1’= [4,5]+[3,-4]P1’= [7,1]
P2’=[7,5]+[3,-4]P2’= [10,1]
P3’=?
![Page 9: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/9.jpg)
Translação ExemploT = [3,-4]P1 = [4,5]P2= [7,5]P3 = [5.3,9]
P1’= [4,5]+[3,-4]P1’= [7,1]
P2’=[7,5]+[3,-4]P2’= [10,1]
P3’=[5.3,9]+[3,-4]P3’ = [8.3,5]
![Page 10: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/10.jpg)
Escalao Redimensiona o objeto
o Os valores das coordenadas de cada ponto é modificado a partir da multiplicação por fatores de escala
![Page 11: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/11.jpg)
EscalaPlano (2D)
Formulação matemática:
xj = x ∗ Sx
yj = y ∗ Sy
Espaço (3D)
Formulação matemática:
xj = x ∗ Sx
yj = y ∗ Sy
zj = z ∗ Sz
![Page 12: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/12.jpg)
EscalaNotação Matricial
[(x ∗Sx +y∗0 +z∗0 ), (x∗0 +y ∗Sy +z∗0 ), (x∗0 +y∗0 +z ∗Sz )]
Pontos Resultantes
Pontosoriginais Matriz de
Escala
![Page 13: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/13.jpg)
Escala
De acordo com os valores atribuídos a Sx e Sy podem ocorrer as
seguintes situações:
o Se Sx , Sy > 1 – objeto será ampliado
o Se Sx , Sy < 1 – objeto será reduzido
o Se Sx = Sy– objeto manterá proporções relativas em x e y
o Se Sx <> Sy– objeto será deformado
![Page 14: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/14.jpg)
Rotaçãoo Rotacionar significar girar o objeto
o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem, passando para a posição P’
![Page 15: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/15.jpg)
RotaçãoSe o objeto não estiver definido na origem, ocorrerá também uma translação
![Page 16: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/16.jpg)
RotaçãoPara evitar o efeito da translação durante a rotação:
![Page 17: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/17.jpg)
RotaçãoFormulação matemática para Plano (2D):
xj = x ∗ cos(θ) − y ∗ sen(θ)
y j = y ∗ cos(θ) + x ∗ sen(θ)
![Page 18: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/18.jpg)
RotaçãoNotação Matricial
[(x ∗ cos(θ) − y ∗ sen(θ)), (x ∗ sen(θ) + y ∗ cos(θ)]
Matriz de rotação xy
por um ângulo θ
Pontos Originais
Pontos Resultantes
![Page 19: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/19.jpg)
Rotação – Espaço 3DA rotação ocorre em torno de um dos eixos
![Page 20: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/20.jpg)
Rotação – Eixo xEspaço (3D):
Uma rotação no eixo x (plano yz ), deixa o eixo x inalterado, enquanto as demais
são alterados em função do ângulo β
Notação matricial para rotação no eixo x :
![Page 21: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/21.jpg)
Rotação – Eixo yEspaço (3D):
Uma rotação no eixo y (plano xz ), deixa o eixo y inalterado, enquanto as demais são
alterados em função do ângulo δ
Notação matricial para rotação no eixo y :
![Page 22: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/22.jpg)
Rotação – Eixo zEspaço (3D):
Uma rotação no eixo z (plano xy ), deixa o eixo z inalterado, enquanto as demais
são alterados em função do ângulo α
Notação matricial para rotação no eixo z :
![Page 23: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/23.jpg)
ReflexãoConhecida como espelhamento, produz o objeto espelhado
![Page 24: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/24.jpg)
Reflexão
![Page 25: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/25.jpg)
Reflexão
x
x
y
y
![Page 26: Apresentação do PowerPoint · A nova posição do ponto (x, y ) passa a ser (xj, yj), que pode ser escrito como: xj = x ... o Exemplo de rotação de um ponto P em torno da origem,](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022071407/60fdd968160e2f6fa60e690d/html5/thumbnails/26.jpg)
Reflexão 3D