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APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA DE LAS MATERIAS DE LA MATEMÁTICAS

LOS MOSAICOS

Rocío Montañés AlonsoElena Regodón DomínguezAntonio Manuel Tofé Morejón

Grupo 10

02/03/2011

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1. Los mosaicos como tema transversal

2. Elementos para contextualizar

3. Elaboración de mosaicos

1.1 La transversalidad en la enseñanza1.2 El papel de los mosaicos

4. Webgrafía

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1. Los mosaicos como tema transversalLa transversalidad en la enseñanza

“En la actualidad constituye un interés social unánimemente compartido el educar no sólo para unos determinados totales productivos, sino también para la tolerancia, para la convivencia pacífica y democrática, para la participación ciudadana, para el respeto hacia los derechos humanos y el reconocimiento de la igualdad entre las personas, para la salud y la protección del medio ambiente y, no en último lugar, para el ocio y la cultura”.

Ministerio de Educación y Ciencia - 1989

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1. Los mosaicos como tema transversalLa transversalidad en la enseñanza

¿Qué es un tema transversal?

Los temas transversales son un conjunto de saberes basados en actitudes, valores y normas que responden a diversos problemas sociales.

¿Cuáles son sus características?

Su carácter transversal: deben ser tratados por todas las materias.Tratan problemas de relevancia social.Su tratamiento implica una importante reflexión moral.

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1. Los mosaicos como tema transversalLa transversalidad en la enseñanza

Temas transversales que propone el MEC

Educación ambientalEducación para la pazEducación del consumidorEducación vialEducación para la saludEducación para la sexualidadEducación cívica y moral

Tema transversal añadido por la Junta de Andalucía

Cultura andaluza

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1. Los mosaicos como tema transversalEl papel de los mosaicos

¿Desde dónde pueden abordarse los mosaicos en las Matemáticas de la ESO?

Posiciones de dos rectas en el plano

Medida de ángulos, operaciones con ángulos

Polígonos: clasificación, perímetro, área,…

Semejanza: teorema de Thales, homotecia,…

Lugares geométricos: mediatriz, bisectriz,…

Movimientos en el plano: traslación, giro y simetría

X

X

X

X

X

X

X X X

1º 2º 3º 4º

X X

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1. Los mosaicos como tema transversalEl papel de los mosaicos

¿Desde dónde pueden abordarse los mosaicos en las Matemáticas de la ESO?

Pero no sólo en Geometría…

Pautas y regularidades.Divisibilidad.Ecuaciones.Proporcionalidad.Trigonometría.…

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1. Los mosaicos como tema transversalEl papel de los mosaicos

¿Desde qué aspectos pueden abordarse los mosaicos?

Artísticos

Mosaicos en la antigüedad.Mosaicos nazaríes.Mosaicos de Escher.

Científicos

Formas en la Naturaleza: colmenas, tejidos,…

Informáticos

Manejo de aplicaciones informáticas.

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Históricos

Etapa musulmana en la Península.Antropología.

Culturales

Influencia de los mosaicos en la cultura árabe.

1. Los mosaicos como tema transversalEl papel de los mosaicos

Tecnológicos

División de superficies en polígonos regulares.

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¿Desde qué asignaturas pueden abordarse los mosaicos?

MatemáticasEducación Plástica y VisualDibujo TécnicoTecnologíaInformáticaHistoriaCiencias de la Naturaleza

1. Los mosaicos como tema transversalEl papel de los mosaicos

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¿Qué competencias básicas se pueden cubrir con los mosaicos?

1. Los mosaicos como tema transversalEl papel de los mosaicos

Conocimiento e interacción con el mundo físico

Comunicación Lingüística

Matemática

Tratamiento de la información y competencia digital

Social y ciudadana

Cultural y artística

Aprender a aprender

Autonomía e iniciativa personal

Crear composiciones mediante traslaciones, simetrías y giros en el

plano

Analizar figuras y configuraciones geométricas presentes en la

naturaleza, la arquitectura, los diseños cotidianos, el arte,…

Aplicar y saber apreciar la belleza que generan los movimientos en el plano

Reconocer las aportaciones de las diferentes culturas en el mundo del

arte y la geometría

Uso de software informático para el diseño y la construcción de mosaicos

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¿Qué objetivos de la ESO pueden cubrirse con los mosaicos?

Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal.

1. Los mosaicos como tema transversalEl papel de los mosaicos

Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades.

Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación.

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1. Los mosaicos como tema transversalEl papel de los mosaicos

Conocer, valorar y respetar los aspectos básicos de la cultura y la historia propias y de los demás, así como el patrimonio artístico y cultural.

Apreciar la creación artística y comprender el lenguaje de las distintas manifestaciones artísticas, utilizando diversos medios de expresión y representación.

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¿Qué objetivos de las Matemáticas en ESO pueden cubrirse?

1. Los mosaicos como tema transversalEl papel de los mosaicos

Identificar las formas y relaciones espaciales que se presentan en la vida cotidiana, analizar las propiedades y relaciones geométricas implicadas y ser sensible a la belleza que generan al tiempo que estimulan la creatividad y la imaginación.Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van adquiriendo desde las distintas áreas de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica.

Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenadores, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje.

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1. Los mosaicos como tema transversalEl papel de los mosaicos

Valorar las matemáticas como parte integrante de nuestra cultura, tanto desde un punto de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales como la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad de género o la convivencia pacífica.

Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálculos, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos matemáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes.

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1. Los mosaicos como tema transversal

2. Elementos para contextualizar

3. Elaboración de mosaicos

2.1 Algo de historia2.2 Mosaicos en nuestro entorno

4. Webgrafía

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2. Elementos para contextualizarAlgo de historia

La caza del león (s IV aC)

Los primeros mosaicos datan de la Edad del Bronce.Para su elaboración se utilizaban guijarros de colores.Mosaicos en Mesopotamia y en Grecia.

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2. Elementos para contextualizarAlgo de historia

La casa de los delfines (s V aC)

Los griegos sustituyeron los guijarros por teselas.Mosaicos más resistentes y elaborados.

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2. Elementos para contextualizarAlgo de historia

Euterpe (s II dC)

Los mosaicos tomaron gran protagonismo en el Imperio Romano.

Vertumnus (s III dC)

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2. Elementos para contextualizarAlgo de historia

Los mosaicos nazaríes hacen uso de construcciones geométricas.Una figura regular se transforma en otra muy diferente que, pese a ello, sigue cubriendo el plano.

Los mosaicos nazaríes tienen su máxima representación en la Alhambra de Granada.La dinastía nazarí, descendiente de Yusuf ben Nazar, reinó en Granada desde el siglo XIII al XV.El esplendor de Granada y la Alhambra quedó reflejado en sus construcciones.

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2. Elementos para contextualizarAlgo de historia

Patio de ArrayanesSala de la Barca

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2. Elementos para contextualizarAlgo de historia

“Todo allí es delicado y bello, pintado y decorado como obra de hadas, hadas que sin duda conocían los goces y estímulos de los espíritus románticos”.

Washington Irving - Cuentos de la Alhambra (1832)

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2. Elementos para contextualizarAlgo de historia

Real Alcázar de Sevilla Palacio de la Bahía de Marrakech

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2. Elementos para contextualizarAlgo de historia

ActividadesVisita a la Alhambra de Granada.Visita al Alcázar de Sevilla.Visita a las fábricas de azulejos de la Cartuja.

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2. Elementos para contextualizarAlgo de historia

Los mosaicos en el siglo XX: Maurits Cornelis EscherPersonaje muy estudiado por los matemáticos.Amante de los teselados y las figuras imposibles.Sus visitas a la Alhambra determinaron su aportación a los mosaicos.

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2. Elementos para contextualizarMosaicos en nuestro entorno

“La armonía de proporciones satisface los sentidos. Es una realidad que el hombre suele aprobar instintivamente formas geométricas que se rigen por leyes determinadas, tanto si forman parte de la naturaleza, el caso de las colmenas, así como si son obras de su propia mano”.

Santo Tomás de Aquino – siglo XIII

Actividad:Cita tres elementos de tu entorno construidos mediante mosaicos.

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2. Elementos para contextualizarMosaicos en nuestro entorno

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2. Elementos para contextualizarMosaicos en nuestro entorno

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2. Elementos para contextualizarMosaicos en nuestro entorno

Pavimento de las aceras

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2. Elementos para contextualizarMosaicos en nuestro entorno

Mosaico fluido de la membrana celular

Los lípidos recubren la célula distribuyéndose en forma de mosaicos.

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2. Elementos para contextualizarMosaicos en nuestro entorno

Placas solares

El plano se distribuye de la forma más sencilla: cuadrados.No se admiten “fracciones de placa” Distribución en damero.

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2. Elementos para contextualizarMosaicos en nuestro entorno

Colmena de abejas

Hay que distribuir el plano equitativamente triángulo, cuadrado o hexágono.Hay que economizar la cera que divide el plano (el perímetro) y maximizar el área.Para un mismo perímetro cuantos más lados tenga el polígono mayor área cubre.

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2. Elementos para contextualizarMosaicos en nuestro entorno

ActividadTenemos una cuerda de una longitud determinada l. ¿Qué figura debemos construir para maximizar el área encerrada por la misma?

Y si queremos que además esa figura recubra el plano por completo, ¿cómo debería escogerse?

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2. Elementos para contextualizarMosaicos en nuestro entorno

Celdas de telefonía móvil

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1. Los mosaicos como tema transversal

2. Elementos para contextualizar

3. Elaboración de mosaicos3.1 Definición de mosaico3.2 Mosaicos regulares3.3 Mosaicos semirregulares3.4 Mosaicos irregulares3.5 Mosaicos Nazaríes3.6 Mosaico de Escher

4. Webgrafía

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3. Elaboración de mosaicosDefinición de mosaico

DefiniciónSe llama mosaico a todo recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas.

Han de cumplirse dos condiciones:

No pueden superponerse.No pueden dejarse huecos sin recubrir.

Ejemplo: mosaico compuesto por cuadrados y octágonos

Actividad:

¿Conoces algún mosaico? Busca en Internet o intenta dibujar alguno.

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3. Elaboración de mosaicosDefinición de mosaico

Actividad:

Construye mosaicos combinando los polígonos de madera facilitados.¿Con cualquiera de ellos es posible recubrir el plano?

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos regulares

Un mosaico regular está formado por un único polígono regular.

Actividad:

¿Qué polígonos regulares pueden formar mosaico?Dibuja en Cabri algunos polígonos regulares y justifica cuáles pueden formar mosaico y cuáles no.

Definición

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos regulares

¿Cuál es la clave?¿Por qué solo estos polígonos y no otros?

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos regulares

Respuestas y conclusiones:

Como ya has deducido la condición de formar mosaico es que en la suma de ángulos en cada vértice sea una circunferencia completa, 360 º.Solamente tres polígonos regulares rellenan el plano sin solaparse ni dejar huecos: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular. Los ángulos interiores de estos tres polígonos regulares son 60º, 90º y 120º, respectivamente.

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos regulares

Respuestas y conclusiones:Se observa que, para que un polígono regular pueda rellenar el plano sin dejar huecos ni producir solapamientos, el ángulo interior debe ser un divisor de 360º.Se trabaja así la divisibilidad.

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Como ya hemos visto con los mosaicos regulares, el problema geométrico de encontrar polígonos que rellenen el plano se reduce a un problema aritmético: buscar polígonos cuya suma de ángulos sea 360º.

El número mínimo de polígonos en cada vértice es 3, y el número mínimo de lados de cada uno de los polígonos también es 3 (triángulo equilátero).

3. Elaboración de mosaicosMosaicos semirregulares

Un mosaico es semirregular si para su construcción se utilizan dos o más tipos de polígonos regulares con sus vértices en contacto, repitiéndose la misma disposición geométrica de los polígonos en todos los vértices del mosaico.

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¿Es posible crear un mosaico con cuadrados y octógonos regulares?

90º · x + 135º · y = 360º

Ese mosaico se construye con un cuadrado y dos octógonos.

x = 1y = 2

3. Elaboración de mosaicosMosaicos semirregulares

Se trabajan las ecuaciones.

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos semirregulares

ActividadSabiendo que existen 8 mosaicos semirregulares, halla los polígonos que los forman y construye los mismos.

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos semirregulares

Solución

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Actividad

El siguiente mosaico está formado sólo por polígonos regulares, ¿de qué tipo sería?

3. Elaboración de mosaicosMosaicos semirregulares

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¿Cuál de los tres patrones mostrados es el que se repite en el siguiente mosaico?

Actividad

3. Elaboración de mosaicosMosaicos semirregulares

Se trabaja la detección de pautas y regularidades.

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Mosaico a partir de un triángulo irregular.

Simetría centralTraslaciones

3. Elaboración de mosaicosMosaicos irregulares

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos irregulares

Actividad:1.Construye el siguiente triángulo en Cabri.2.Mediante una simetría central construye el paralelogramo.3.Tesela el plano con el triángulo.

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos irregulares

4. Sitúa el puntero del ratón en un vértice y deforma el mosaico obtenido.

5. ¿Qué observas? ¿A qué es debido?

Solución: Tras deformarse, sigue teselando el plano al haber sido construido mediante simetría central.

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos irregulares

Mosaico a partir de un cuadrilátero irregular

Simetría centralTraslaciones

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos irregulares

Mosaico a partir de un pentágono

El pentágono regular no forma mosaicos.Algunos pentágonos irregulares sí pueden teselar el plano.En el pentágono de la figura A= 60º y C= 120 º y AB = AE y CB=CD. Por rotaciones sucesivas de 60º respecto al vértice A, se genera una "flor de seis pétalos".

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos irregulares

Mosaico a partir de un pentágono

En la actualidad se conocen 14 pentágonos que teselan el plano.

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos irregulares

Actividad:1.Construye el pentágono irregular siguiente en Cabri:

 = 60º Ĉ = 120º AB = AE CB = CD

2. Tesela el plano con el mismo.

3. Sitúa el puntero del ratón en un vértice y deforma el mosaico obtenido. ¿Qué observas? ¿A qué es debido?

Solución: No puede deformarse porque no fue construido mediante simetría central.

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos irregulares

Mosaico a partir de un hexágono irregular

Actividad:¿Qué movimiento en el plano está implicado en el mosaico anterior?

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos Nazaries

Mosaicos nazaríes

Transformaciones de teselas poligonales que se convierten en formas abstractas, animales, hojas,…

Las figuras se obtienen recortando una o varias partes del polígono base para colocarlas mediante traslaciones o giros en otro lado.

La construcción de casi todos estos mosaicos está basada tomando como polígono base el cuadrado, en este sentido podemos decir que, La Alhambra, es el reino del cuadrado.

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos Nazaries

Actividad:Observa los siguiente mosaicos Nazaríes, todos ellos presentes en la Alhambra de Granada.

¿A partir de que polígono regular se forma la figura base de cada mosaico?¿Qué modificaciones se realizan al polígono?¿Qué movimientos en el plano se hacen a la figura base para configurar el mosaico?¿Sabes con qué nombre se les reconoce a cada uno de los mosaicos?

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos Nazaries

Hueso nazarí

Posiblemente el más conocido de los mosaicos nazaríes.• La figura base, el “hueso”, se obtiene modificando un

cuadrado.• El mosaico se forma por traslación del hueso.• Observa que los huecos que deja el hueso son la misma

figura girada.

http://inst-mat.utalca.cl/tem/taller-geo/interactivas/curso3/geometria_aplicada_estudio_plano/Mosaicos/hueso.htm 

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos de Escher

Mosaicos de EscherLagarto (1942)

GirosTraslaciones

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos de Escher

Lagarto (1942)

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos de Escher

Pájaros (1945)

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3. Elaboración de mosaicosMosaicos de Escher

ActividadConstrucción por ordenador del mosaico de pájaros de Escher o posibles variantes para el día de la Paz. Se realizará en grupos de 3 personas y se hará una exposición en el centro de diferentes mosaicos.

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4. Webgrafía

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