Apostila11 Yolanda

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E

O

O

B

P

Q

V

A

D

E

F

C

B

4/3

2/32/ 3

A

Explorando Geometria com

Origami

Eduardo Cavacami

Yolanda Kioko Saito Furuya


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Texto j revisado pela nova ortografia.


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Sumrio

Introduo 1

As construes e os Axiomas de Huzita-Hatori . . . . . . . . 2

1 Seces de Segmentos 9

1.1 Construo de

1

3 e

1

5 a partir do Quadrado . . . . . . 91.2 Construo de

1

na partir do Retngulo . . . . . . . . 13

2 Trisseco do ngulo 16

3 Quadrados e reas 20

3.1 Proporo1

2da rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Proporo1

n

da rea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Quadratura do Retngulo 25

5 Duplicao do Cubo 29

i


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ii SUMRIO

6 Pentgono e Retngulo ureo 32

7 Poliedros de Plato de Faces Triangulares 41

7.1 Retngulos1

3e

23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7.2 Construo das Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2.1 Unidade A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2.2 Unidade B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.3 Montagem dos Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.3.1 Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.3.2 Octaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.3.3 Icosaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.4 Esqueleto do Icosaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

8 Poliedro de Plato de Faces Quadradas 60

9 Poliedro de Plato de Faces Pentagonais 63

9.1 Do copo ao Pentgono Regular . . . . . . . . . . . . . 63

9.2 Dodecaedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.2.1 Construo do Retngulo para o Dodecaedro de

Aresta Dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

10 Construes que se Encaixam 75

Referncias Bibliogrficas 78


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Introduo

As primeiras aplicaes da Geometria de que se tem notcia apare-

ceram em problemas relacionados com diviso de suas terras e na As-

tronomia. Desde ento o uso da Geometria uma constante na vida

do homem e hoje o seu estudo inserido no ensino da Matemtica

desde os primeiros anos escolares. No entanto, notrio a dificuldade

no aprendizado e a falta de motivao no estudo da Geometria.

A aplicao de Origami no ensino da Geometria pode auxiliar no

desenvolvimento cognitivo, trazendo assim uma melhor aprendizagem

e compreenso da Matemtica atravs da manipulao de um simples

pedao de papel.

O Origami, de origem desconhecida, tem etmologia japonesa e

significa dobrar (ori) papel (kami). No Brasil, utiliza-se tambm a

palavra dobradura, mas o termo Origami mundialmente reconhecido

e utilizado.

Este trabalho trata do relacionamento entre a Geometria e o Ori-gami, atravs da implementao de dobraduras para apresentao de

resultados da Geometria e o uso da Geometria para justificar as cons-

trues. Com isto estamos lidando com mais uma metodologia de

1


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2 INTRODUO

ensino e estudo da Geometria Elementar, com o uso de uma tcnica

milenar, concreta e divertida, alm de acessvel a qualquer pessoa.

Inicialmente apresentamos alguns problemas clssicos da Geome-

tria Euclidiana, incluindo a resoluo com Origami de dois problemas

no solveis com rgua e compasso: a trisseco do ngulo e a dupli-

cao do cubo. Depois passamos aos poliedros de Plato, construdos

atravs de mdulos de Origami que se encaixam uns aos outros, for-

mando as faces.

Este texto foi baseado principalmente no trabalho de Hisashi Abe,

do seu livro Sugoiz1 Origami, de 2003 (em japons, [1]). Hisashi Abe,

da Universidade de Hokaido, o autor da construo da trisseco do

ngulo apresentada neste texto.

Para um melhor aproveitamento das informaes obtidas neste

trabalho, espera-se um conhecimento bsico em Geometria Elementar.

As construes e os Axiomas de Huzita-Hatori

Apesar de existirem tcnicas de origami dobrando linhas curvas2

alm das retas, este trabalho se restringir s dobras em linha reta.

Cada dobra efetuada gera uma linha reta e os pontos de um dos

semiplanos so refletidos no outro semiplano, ou seja, se r a linha

de dobra, e P um ponto da folha a ser dobrada, P levado no seu

simtrico P em relao a r. Ou seja, a linha de dobra r a mediatrizde cada par P, P, onde P o refletido de P (onde P levado).

1Sugoiz = Impressionante2Como, por exemplo, na construo da Rosa de Kawasaki.


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INTRODUO 3

Alm disso, a linha de dobra r tambm a bissetriz de cada ngulo

PV P formado por um raio V P com origem V em r e seu raio refletidoV P, onde o raio levado.

Com isso, v-se que mediatrizes e bissetrizes so construes ele-

mentares com Origami, assim como perpendiculares e paralelas.

Construes elementares no sero detalhadas todas as vezes que

forem utilizadas, para no desviar a ateno da construo central.

Todas as construes utilizadas no texto so consequncias dos

Axiomas da Geometria do Origami, conhecidos como os Axiomas de

Huzita (ou Huzita-Hatori, ou Huzita-Justin), que podem ser obti-

dos no seguinte endereo eletrnico, de Robert Lang: http://www.

langorigami.com/science, e dadas a seguir:


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4 INTRODUO

1. Dados dois pontos distintos P1e P2, existe apenas uma dobra

que passa por eles.

2. Dados dois pontos distintos P1e P2, existe apenas uma dobra

que coloca P1 sobre P2.

3. Dadas as retas r1 e r2, existe uma dobra que coloca r1 sobre r2.

Q

P


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INTRODUO 5

4. Dados um ponto P e uma reta r, existe uma dobra nica que

perpendicular a r e que passa por P.

5. Dados dois pontos P1 e P2 e uma reta r1, existe uma dobra que

coloca P1 sobre r1 e que passa por P2.


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6 INTRODUO

6. Dados dois pontos P1 e P2 e duas retas r1 e r2, existe uma dobra

que leva simultaneamente P1 sobre r1 e P2 sobre r2.

7. Dados um ponto P e duas retas r1 e r2, existe uma dobra que

coloca P1 sobre r1 e que perpendicular a r2.

Nesta axiomtica, o papel tem o tamanho suficientemente grande

para conter todas as construes necessrias (suponha-o ilimitado).

Alm disso, por existe uma dobra entende-se que se a soluo geo-


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INTRODUO 7

mtrica existir, ento pode ser realizada atravs de uma dobra.

Por exemplo, a quantidade de solues do Axioma 5 pode ser 0, 1

ou 2, dependendo da posio dos pontos e da reta, pois o problema

equivalente a encontrar a interseco da reta r1 com a circunferncia

de centro P2 passando por P1.

No h garantia de independncia entre os axiomas. Mas pode-se garantir que o sexto axioma (de Humiaki Huzita) no conse-

quncia dos cinco primeiros, pois os cinco primeiros geram somente

construes possveis com rgua e compasso e, com o sexto axioma,

podemos obter resultados no construtveis com rgua e compasso

como veremos adiante.

O stimo axioma, acrescentado por Koshiro Hatori, em 2001, e

supostamente independente dos cinco primeiros, deixa uma dvida:

Observe na construo geomtrica do Axioma 7, que o ponto P

levado em P r1. Ora P P deve ser paralelo a r2 para que a dobraseja perpendicular a r2. Assim, efetuando os seguintes passos:

Dobre perpendicularmente a r2 por P obtendo como vinco areta s1 (Axioma 4).

Dobre perpendicularmente a s1 por P obtendo s2 (Axioma 4).Chame o ponto em r1 s2 de P.

Dobre levando o ponto P a P (Axioma 2), obtendo a reta .

Temos que a reta a mediatriz de P P e, portanto, perpendicular ar2 P P. Assim, a construo do Axioma 7 consequncia dos axio-mas 4 e 2. Ou seja, o Axioma 7 decorre dos cinco primeiros axiomas

de Huzita. Pergunta-se: existe algum furo nesta argumentao? O


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8 INTRODUO

fato que a dobra do Axioma 7 pode ser construda com um nico

movimento, o de deslizar um ponto Q de r2, mais distante que P de

r1, sobre r2 at que P encontre r1.

Um estudo mais avanado, de Robert J. Lang, sobre estes axio-

mas e construes geomtricas com Origami pode ser obtido gratuita-

mente em: http://www.langorigami.com/science/hha/origami_

constructions.pdf (em ingls). Nele demonstrado inclusive a com-

pletude do conjunto de axiomas, isto , que no h mais axiomas a se

acrescentar. E tal estudo feito com o envolvimento de outra grande

rea da Matemtica: a lgebra.


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Captulo 1

Seces de Segmentos

Como podemos facilmente determinar o ponto mdio de um seg-

mento atravs do Origami, podemos tambm dividir um segmento em

2n

partes, com n = 0, 1, 2, 3, . . . . Com rgua e compasso, os gregosdividiam segmentos em n partes. Veremos agora que com o Origami

tambm possvel essa seco.

A seco urea do segmento ser trabalhada em momento opor-

tuno, na construo de pentgonos.

1.1 Construo de

1

3 e

1

5 a partir do Quadrado

Para se obter uma trisseco de segmento a partir de um quadrado,

procedemos da seguinte maneira:

9


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10 CAP. 1: SECES DE SEGMENTOS

Seja dado um quadrado ABCD.

Suponha-o de lado igual a 1.

Encontre os pontos mdios E e F

dos lados AB e CD, respectiva-

mente.

E F

CB

A

Leve o vrtice D ao ponto E.

O novo segmento CD determina so-

bre o antigo BC um ponto I.

Temos que IC, depois de aberto,

equivale a1

3do lado do quadrado

ABCD.

A demonstrao segue por semelhana de tringulos:

Os ngulos AEG e BEI so complementares, pois GEI reto porser o refletido de GDC que reto.Os tringulos GAE e EBI soretngulos. Como AEG comple-mentar de BEI, ento AEG con-gruente B

IE. Como os tringu-

los so retngulos e possuem um dos

ngulos congruentes, eles so seme-

lhantes.


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SEC. 1.1: CONSTRUO DE1

3E

1

5A PARTIR DO QUADRADO 11

Denominaremos agora por x e y os segmentos AG e BI, respec-

tivamente. Como G um ponto entre A e D, GD = GE = 1 x.Temos tambm que AE = EB =

1

2.

Por Pitgoras, temos no tringulo GAE:

12

2+ x2 = (1 x)2 = 1

4+ x2 = 1 2x + x2 = x = 3

8.

Pela semelhana de tringulos,

temos:

1

2

3

8

=y1

2

= 38 y = 1

4= y = 2

3.

Logo,

IC = 1 y = 13

.

G

E

E

B I

x1x

1/2

1/2

y

A

No Origami tambm possvel dividir um segmento em cinco

partes. Vejamos:

Comece com um quadrado ABCD

de lado 1.

Encontre o ponto mdio E de AB.

Encontre, ento, o ponto mdio QentreA e E.

Temos que AQ =1

4, donde

4 AQ = 2 AE = 2 EB = AB.

E F

D

CB

Q

A


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Leve o vrticeD ao pontoQ, deter-

minando J em BC.

Verifica-se, assim como no caso

da trisseco do segmento, dois

tringulos semelhantes, AGQ e

BQJ, pelos mesmos motivos do

outro caso.Temos que

1

5=

1

2 BJ .

G

De fato, nos tringulos semelhantes,

AG

BQ=

AQ

BJ=

GQ

DJ.

Sejam x = AQ e y = BJ. Q B

G

J

Q

x 1x

1/4 y

3/4

A

Temos por Pitgoras que:

1

4

2

+ x2 = (1 x)2 = 116

+ x2 = 1 2x + x2 = x = 1532

.

Por semelhana de tringulos temos:

15

32

1

4

=3

4

y 15

32y =

3

16 y = 2

5.

Obtido2

5do segmento, basta dividir por 2 para conseguir

1

5.


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NA PARTIR DO RETNGULO 13

1.2 Construo de1

n

a partir do Retngulo

Existe uma forma mais generalizada de se dividir por n partes,

no sendo necessrio o papel ser quadrado. Podemos comear com

qualquer papel retangular.

Vamos refazer a diviso do segmento no caso n = 3 e n = 5.

Seja dado um papel retangu-

lar qualquer ABCD. Dobre

uma das diagonais e depois ao

meio pelo lado maior, determi-

nando os pontos E e F, pon-

tos mdios dos respectivos seg-

mentos AB e DC. D

B

CF

A

No retngulo EBCF que re-

presenta a metade do retn-

guloABCD, dobre sua diago-

nal BF, encontrando o ponto

I, interseco da diagonal

maior com a menor.D

B

CF

I

A E

Os tringulos ABI e CF I so semelhantes, pois os ngulos dovrtice em comum so congruentes, opostos pelo vrtice e os outros

ngulos so alternos internos.


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Temos ento queAB

F C=

2

1 AI

IC=

2

1e, portanto, a diagonal AC

est divida em trs partes iguais.

Dobre uma perpendicular a

AB, passando pelo ponto I eobtenha o ponto G AB.

GB =1

3AB

D

B

CF

I

H

A E G

A ltima afirmao segue do Teorema de Tales, j que IG e CB

so paralelos.

O mtodo anterior pode ser aplicado para se obter1

5do segmento.

Pegue um papel retangular

qualquer ABCD. Determine

E e F, pontos mdios de AB

e DC. Determine tambm G

e H, pontos mdios de EB e

F C.D

B

CF H

A E G


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NA PARTIR DO RETNGULO 15

Encontre BH, diagonal do

retngulo GBCH. Chame de

I a interseco de AC e BH.

D

B

CF H

I

A E

Dobre JL, perpendicular a

AB, passando por I. Verifica-

se que JB 1

5de AB, pois

AB

HC

=AI

IC

=4

1

.D

B

CF

I

LH

A

JB igual a1

5de AB.

Com esse ltimo mtodo, podemos dividir qualquer segmento em

n partes, com n N, por induo: tendo o segmento JL da divisoem n 1 partes, dobrando a diagonal LB do retngulo JBCL, en-contrando o novo ponto I na interseco das diagonais, e dobrando

um novo segmento JL perpendicular a AB passando por I. Ento

JB =1

n

AB.


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Captulo 2

Trisseco do ngulo

Um dos famosos problemas da antiga Grcia era a trisseco de um

ngulo qualquer com rgua e compasso. Esse problema impossvel

com rgua e compasso, mas solvel com Origami. A construodada a seguir creditado a Hisashi Abe, conforme publicado em 1980

no Japo.

Seja um nguloEB C menor que

90o conforme figura.

Para casos de ngulos obtusos, basta

aplicar apenas no ngulo excedente

a 90o e som-lo trisseco do

restante.

D

CB

A

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Determine uma paralela F G a AD.

Se a construo seguinte no cou-

ber no papel, escolha outra paralela

mais convenientemente posicionada,

ou use papel maior (ainda com vr-

tice B na quina do papel).

D

CB

G

A

F

Determine uma paralela HI, onde

H e I so os respectivos pontos m-

dios de F B e GC.

Dobre de modo a levar o ponto F ao

segmento EB e o ponto B ao seg-

mento HI.

Esta ltima dobra dada pelo

Axioma 6 de Huzita.

D

CB

G

H I

A

F

Para uma melhor visualizao, mar-

que os pontos H, F e B (onde

foram H, F e B), sobre o papel, e

trace o segmento FB.


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18 CAP. 2: TRISSECO DO NGULO

Abra novamente e trace os seg-

mentos BB e HB. Trace por B

uma paralela a HB, com extremi-

dade N.

Temos que os tringulos BB N,BB H e BFH so congruen-tes, com os ngulos em B congruen-

tes.

D

C

G

B

B

A

F

H

H

N

F

De fato:

Os tringulos BB N e BB H so congruentes, pois possuema hipotenusa BB em comum e os catetos opostos aos ngulos no

vrtice B so congruentes, j que N B = BH = BH.

Os tringulos BB H e BFH so congruentes, pois possuemum cateto BH em comum e os catetos opostos aos ngulos no vrtice

B so congruentes, pois HB = HB = HF = HF.


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Com isso, o vrtice dos tringulos que esto em B tm os mesmos

ngulos, assim, EB C est divido em trs partes congruentes.

O passo que no pode ser realizado com rgua e compasso o

passo do Axioma 6 de Huzita.


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Captulo 3

Quadrados e reas

3.1 Proporo1

2da rea

Um problema que simplesmente podemos obter com rgua e com-

passo e de fcil aplicao em Origami, com ajuda de uma tesoura,

como obter um quadrado com a metade da rea de um quadrado

inicial.

Seja um quadrado ABCD. Junte os

vrticesA eC para obter o segmento

BD. Analogamente, obtenha o seg-mento AC.

fcil ver que os ngulos juntos ao

centro so retos.D

B

C

d

b

caO

A

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SEC. 3.1: PROPORO1

2DA REA 21

Recortando os tringulos obtidos e juntando-os dois a dois como

na figura abaixo, teremos dois quadrados, cada um com a metade da

rea do quadrado ABCD inicial.

cb

d

a

possvel obter esse mesmo resultado de outras formas.

Seja dado um quadrado ABCD.

Leve todos os vrtices ao centro do

quadrado, ou seja, no encontro das

duas diagonais.

O quadrado resultante tem a metade

da rea do quadrado original.D C

O

A

D C

O

A

BCD

A


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22 CAP. 3: QUADRADOS E REAS

3.2 Proporo1

n

da rea

Vimos no captulo anterior uma forma de se dividir um segmento

em n lados, obtendo assim, a proporo de1

n. Na primeira parte

deste captulo, vimos como obter um quadrado com a metade da rea

de um quadrado dado. Veremos agora como obter um quadrado derea

1

nda rea original.

Iniciando com um quadradoABCD,

dobre o lado na proporo1

nque de-

sejar. Marque os pontosE eF, con-

forme figura.

Fixando B, leve o vrtice A ao seg-

mento EF, rotacionando por um

eixo BG. CB 1/nF

1

1

A

FixeC e leveB sobreBG, obtendo

o eixo HC (HCBG).Repita o procedimento nos outros

vrtices.

Note que os eixos de rotao so or-

togonais, pois o vrtice levado ao

eixo que o contm. CB 1/nF

H

I

A


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SEC. 3.2: PROPORO1

NDA REA 23

Os eixos formaro um quadrado.

Esse quadrado ABCD est para

ABCD, assim como1

nest para

1. Em outras palavras, a rea de

ABCD dividido por n igual a reade ABCD.

C1/nFB

H

J

I

A

C

B

A

D

Para demonstrar a proporo entre as reas de ABCD e ABCD,

vamos analisar as relaes entre os segmentos construdos, nomeando

os elementos conforme a figura:

B

E

1/nF

C

A

B

D

I

O

G D

J

C

Ha

a

aa

b

d

c

d

b

c

c

dc

b

b

d

b

A

Supondo que ABCD tem lado 1 e que x = 1n , basta mostrar quea2 = x, onde a o lado do quadrado ABCD.


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24 CAP. 3: QUADRADOS E REAS

Temos que AB = BO = c por construo e que os tringulos

AAD e AEO so semelhantes, por serem retngulos e possuremo mesmo ngulo em A.Da semelhana,

1 x2c

=a + c

1,

donde a + c =1 x

2c.

Alm disso, no AAD, temos que(a + c)2 + c2 = 1.

Mas (a+c)2+c2 = a2+2ac+2c2 = a2+2c(a+c) = a2+2c1 x

2c=

a2 + 1 x.Logo a2 + 1 x = 1, donde a2 = x = 1

n.

Conclui-se ento que a rea do quadrado ABCD 1

nda rea

do quadrado ABCD.

Observao: n no precisa ser nmero inteiro.


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Captulo 4

Quadratura do Retngulo

Dado um retngulo ABCD, o problema consiste em transform-lo

num quadrado de mesma rea.

Construa o quadrado AFED

como na figura.

BF

E CD

A

Dobre o segmento HG, ondeH e G so os pontos mdios

de AB e DC.

B

E CD G

A

25


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26 CAP. 4: QUADRATURA DO RETNGULO

Com o ponto H fixo, leve

o vrtice B ao segmento EF,

encontrando o pontoO no seg-

mento EF, e K no segmento

BC.

B

E CD

O

G

K

A

Os tringulos HKB e HKO so congruentes.

Prolongue BO at encontrar

DC no ponto I.

Recorte pelos segmentosOA e

BI.

B

E CD

O

K

G I

A

Nomeie as peas como a, b e

c, conforme a figura.c

b

a


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Estilo OBME

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Reorganize as peas de

modo a obter um quadrado

de mesma rea do retngulo

ABCD.

a

b

c

Mas ser que realmente obteremos um quadrado perfeito?

Provavelmente, devido algumas imprecises nas dobras o resul-

tado pode ser duvidoso. Verificaremos ento, os segmentos e ngulos

obtidos:

Vimos que HOK= HBK, j que so refletidos em relao aHK.

Temos que BO perpendicular a HK pela construo. Se

P = BO HK, o ngulo HBP congruente ao ngulo ABO.Como H ponto mdio de AB e P ponto mdio de OB , temos

ento que o tringulo ABO semelhante ao tringulo HBP, narazo de

2

1.


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28 CAP. 4: QUADRATURA DO RETNGULO

Logo, podemos concluir que AO

perpendicular a OB. Provado

isto, podemos concluir que os ou-

tros ngulos que formaro os vr-

tices do quadrado sero comple-

mentares, assim, conclumos que

os ngulos satisfazem os ngulosde um quadrado (ou de um retn-

gulo).

BF

E CD

K

O

P

G

H

I

A

Resta provar se BI = AO = lado do quadrado. Vamos chamar de

j o lado menor e l o lado maior do retngulo. Por serem retngulos

e um ngulo em comum, os tringulos AOB , ICB e AF O sosemelhantes.

AF

AO

=AO

ABj

AO=

AO

l

AO =

j l I CFOOB

B

j j

l

A

A

Precisamos averiguar o valor de BI, outro lado do quadrado:

BI

AB=

BC

AO= BI

l=

jj l = BI =

j lj l = BI =

j l .

A rea do retngulo de lados j e l dado por j

l; a rea do

quadrado, de lado j l, tambm j l. Portanto, est satisfeita aquadratura do retngulo.


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Captulo 5

Duplicao do Cubo

Problema: Dado um cubo

de aresta a, obter a aresta bde um cubo com o dobro do vo-

lume.

Este mais um dos trs problemas clssicos de Euclides. Mais

uma vez, possvel com Origami e impossvel com rgua e compasso.

Primeiro, podemos obter o volume a3 do cubo de aresta a na

seguinte construo:

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30 CAP. 5: DUPLICAO DO CUBO

Considere OU = 1 e OA = a.

Usando a propriedade

temos que

OB = a2 e OC = a3.

Exerccio: construa a4.

a a2

a3

1

O

A

U

B

C

Tendo a3, vamos construir b = 3

2a3.

Para isso, tendo obtido u = 2a3 e considere um retngulo ABCD

suficientemente grande para a construo seguinte:

Em AB marqueE eF com

AE = 1 eAF = 2. MarqueEG e F H.

Em AD obtenhaI eA com

AI = u = IA.

Marque IJ e AB.

Seja O = IJ EG.(*) Dobre levando I sobre

r = F H e E sobre s =

AB, obtendo .

(**) determina em EG oponto P e OP = 3

u.

= 2a3

u

u

3

u

r

s

A1 1

B

D

C

E

F

G

H

I

A

O

P

I

E

B

JQ


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(*) Esta dobra do mesmo tipo utilizado na trisseco do ngulo,

dado pelo Axioma 6 de Hizuta.

(**) Como a mediatriz de II e passa por P de EG, temos a

mesma situao da figura anterior, onde os ngulos I

P Q e P

QE so

retos e, portanto, u = OE = OP3, donde segue o resultado.


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Captulo 6

Pentgono e Retngulo

ureo

Neste captulo ser feito uma das construes de um pentgono re-gular. Existem outras formas de se obt-lo, como veremos mais tarde.

A propriedade explorada nesta construo que o lado do pentgono

o segmento ureo da diagonal. Como subproduto, podemos construir

o retngulo ureo.

Lembramos que retngulo ureo de lados a e b segue a proporoa

b=

b aa

(a < b), donde a2 = b2 ab e, portanto, a = b

5 12

.

Para b = 2 e a =

5 1.

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Considere um quadrado ABCD de

lado 2.

Observao: Esta medida para

simplificar a demonstrao.

Junte os vrtices A com B e D com

C, obtendo assim um retngulo de

2 1 e o lado EF.

D

CB

A

F

No retngulo BEFD escolha uma

diagonal, digamos, BF.

Pelo Teorema de Pitgoras,

BF2

= 22 + 12 = BF =

5 .

Usando a diagonal como eixo de ro-

tao, dobre o vrtice C para fora.

Fixando F, leve o ponto C ao seg-

mento BF e marque o ponto C.


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34 CAP. 6: PENTGONO E RETNGULO UREO

Temos que CF igual a 1, pois assumimos que o lado do quadrado

2. Assim, BF CF igual a 5 1, ou seja, BC = 5 1.

Observe que BC o segmento ureo do lado (2).

Voltando para o quadrado inicial,

fixe B e leve o vrtice A at BF.

Subtraia BC = 5 1 do ladoAB = 2; o resto, ou seja, CA, di-

vida ao meio no ponto O.

Com a mesma distncia de AO, a

partir de B, marque O.


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Temos ento que o segmento OO

tem comprimento igual a BC =5 1, podendo ser um dos lados

do pentgono.

E

O

O

F

CB G

A

FixandoO, leve o pontoO atAD.

Marque como P o ponto onde O

toca AD.

O

D

F

O

C

PA

Analogamente, marque como Q o

ponto onde O encontra BC.

Dobre por OP e OQ.

E

O

O

D

F

C

B

Q

P

A


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FixandoP, leveO ao segmentoEF.

Note que a dobra faz-se em torno do

eixo dos pontos P e o ponto mdio

de OQ.

E

O

O

D

F

C

B

P

Q

A

Neste momento, vamos analisar alguns resultados.

Temos que os pontos O e Q so simtricos a O e P em relao

a EF, por construo. Alm disso, OO =

5 1 e AO = BO =35

2.

Por Pitgoras,

AO2

+ AP2

= OP2

,

donde35

2

2

+ AP2 =

5 12

e portanto, AP2 =55

2.

Temos ainda que AP

2

+ AO2

= OP

2

, lembrando que AO =AO + OO.

5 52

+ (

5 + 1

2)2 = OP

2


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5

2

5

2+

5

4+

5

2+

1

4= OP

2

OP2

= 4 OP = 2

OP = P Q = 2 (lado do quadrado)

Com isso, temos que OP Q um tringulo issceles e por isso,se R o ponto mdio de OQ, ento P R OQ. A reflexo doquadriltero OPRO em torno do eixo P R, determina V, exatamente

sobre EF.

Continuando, leve os vrtices D e

C sobre o quadriltero OPRO.

D

F

C

O

P

R OQ

Volte apenas a dobra efetuada sobre

o eixo P R, obtendo assim um pen-

tgono regular.

E

O

O

B

P

Q

VA


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O pentgono mesmo regular?

Inicialmente supomos o lado do

quadrado igual a 2. Encontramos o

segmento

51 e o utilizamos comolado do pentgono. Vimos que o vr-

tice V foi obtido atravs da reflexo

do quadriltero OPRO.

E

D

F

C

P

QB

V

A

Vimos tambm, em passos da cons-

truo do pentgono, que os pontos

P e Q so os vrtices do pentgono,

e, pela construo,

OP = OP = OO =

5 1 e

P Q = OP = 2.

D

C

P

QB

O

O

MV

A

O tringulo P V Q issceles e con-gruente ao P OO, assim, traando

uma perpendicular a P Q e passando

por F, temos que M F, conforme

figura, bissetriz do P V Q = 2

e divide P Q ao meio.

Observao: V = F.

E

D

C

P

QB

FV

A


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Temos que P M = 1, P V =

5 1.Ento

sen =1

5 1 = 54o.

Logo, P F Q = 108o, que corresponde

ao ngulo interno de um pentgono.

P

VM

A demonstrao dos outros ngulos fica por conta do leitor.

Se quando obtivemos o segmento ureo BC do lado (2), trans-

ferssemos a medida a um dos lados do quadrado a partir de um dos

vrtices, teramos ento o retngulo ureo. Voltemos ento constru-

o:

Fixe B e leve o vrtice A at BF.

O ponto (chamemos de A) do lado BA

que levado em C tal que BA o

segmento ureo do lado.

E

D

F

B CG

H

C

A

A

Por A trace uma perpendicular ao

lado AB.

E F

B CG

H

A

D

D

C

A


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Est pronto o retngulo ureo ABC D.

B C

A D


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Captulo 7

Poliedros de Plato de Faces

Triangulares

Entre os cinco poliedros convexos regulares, conhecidos como Po-liedros de Plato, trs deles so constitudos de faces triangulares:

tetraedro, octaedro e icosaedro.

Neste captulo construmos as unidades bsicas (ou mdulos) que

se encaixam de formas distintas, formando os poliedros de faces trian-

gulares acima.

Para isso, vamos abordar algumas construes preliminares.

7.1 Retngulos1

3 e2

3A construo das unidades bsicas passa por preparao de retn-

gulos de propores especiais.

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42 CAP. 7: POLIEDROS DE PLATO DE FACES TRIANGULARES

Vamos trabalhar inicialmente com a relao1

3e

23

sobre os

lados do retngulo.

Essas medidas aparecem natural-mente no tringulo equiltero.

CB D

1

1/ 3

2/ 32/ 3

1/ 3

A

Seja um papel quadrado ABCD de

lado 1.

Encontre EF, onde E e F so pon-

tos mdios de AD eBC, respectiva-

mente.

Fixando B, leve C a EF.

D

CB F

A

Pelo ponto J obtido em EF, dobre

a perpendicularHI a EF.

Teremos, para o segmento HB que:

HB

2

+ (

1

2 )2

= 12

HB =

3

2 .

Teremos agora, dois casos.


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SEC. 7.1: RETNGULOS13

E23

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O primeiro caso, a razo de1

3:

Corte por HI e EF.

Obteremos duas peas, cujas pro-

pores dos lados so de1

3em

cada pea.

BF

HB=

F C

IC=

13

.B F

G

C

IEH

No segundo caso a razo2

3:

Corte somente por HI.

Sem cortar por EF, teremos um

retngulo com a seguinte proporo:

BC

HB=

2

3.

B F

G

C

I

Lembramos que o papel A4 de lados a e b (a > b) tal quea

b=

b

a/2, ou seja, dobrando pelo lado maior, temos dois retngulos

com a mesma proporo do original. Logoa2

2= b2, donde a = b

2,

isto , o lado maior a diagonal do quadrado de aresta igual ao lado

menor. interessante, mas no a proporo que queremos para os

nossos mdulos.

Mas podemos obter do papel A4 doze unidades com a proporo13

, com uma perda muito pequena. Isto facilitar na construo dos

poliedros.


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Seja um papel A4 com os vr-

ticesABCD. Dobre pelo lado

maior ao meio e depois ao

meio novamente, obtendo as-

sim, trs vincos, dividindo o

papel em 4 partes iguais.B C

Fixando A, leve o vrtice B at o

segmento EF feito pelo vinco cen-

tral, rotacionando em torno do eixo

AG.

F

E


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SEC. 7.1: RETNGULOS13

E23

45

Pelo ponto obtido em EF marque o

segmento HI perpendicular a AD.

Pelo que vimos anteriormente, a al-

tura AH equivale a

3

2se conside-

rarmos AB = 1, isto ,

AHAB

= 32

.

Dividindo AH por 2 e AB por 4,

temosHA

2AB

4

=

3

1.

B

I

A

H

Para aproveitar o papel, dobre a pro-

poro obtida usando como eixoHI,

conseguindo mais quatro peas com

razo1

3.

B

H I

M N

J L

A


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O resultado a obteno de 12 peas

com a razo de1

3.

H

J L

B

I

NM

A

7.2 Construo das Unidades

Construiremos agora os mdulos, que chamaremos de unidades

A e B dos poliedros de faces triangulares. Para isto, ser necessrio a

utilizao de retngulos de proporo1

3

, como as 12 peas obtidas

do papel A4, visto anteriormente. Estas unidades formam tringulosequilteros, que ao se encaixarem, produziro os poliedros.

7.2.1 Unidade A

Com uma pea retangularABCD, respei-

tando as propores, leve o vrtice B ao

D.

D

B C

1

3

A


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SEC. 7.2: CONSTRUO DAS UNIDADES 47

Ao levar B a D, surge um eixo de rotao

EF.

EF a mediatriz de BD.

Os EF D e EF B so equilteros delado

23

.

Leve o vrtice B ao ponto F.

A nova dobra paralela a AD.

Leve o vrtice C sobre DF.

D

E

F

C

B

4/3

2/32/ 3

A

Vire a pea, de modo que a parte de trs

fique para frente.E

F

2/3

2/ 3

2/ 3

1/ 3


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Leve o vrtice D ao ponto E. E

F

D

A

Mova o vrticeA dobrando segundo o eixo

do ponto E.E

F

D

2/3

2/3

2/ 3

A

Desfaa a dobra pelo eixo EF, de modo

que aparea um paralelogramo.F

2/3 2/3

Vire a pea, de modo que a parte oculta

volte-se para frente.E

Leve as duas extremidades cujos ngulos

so agudos sobre o lado oposto, fixando os

vrtices com ngulos obtusos.

F

E

2/3

4/3

2/3

1/3

4/3

1/ 3

Obtm-se um losango cujos lados e a dia-gonal menor medem

2

3.

F

E


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Nas figuras anteriores, temos que a base do paralelogramo 4

3, ou

seja, cabem duas vezes o lado2

3.

O segmento pertencente base do paralelogramo e que forma um

tringulo retngulo 1

3e a altura

3

3.

Esses valores satisfazem as medidas do tringulo equiltero citadono incio deste captulo.

Abra o losango para obter a unidade A,

que composta por quatro tringulos equi-

lteros de lado2

3.

7.2.2 Unidade B

A construo segue os mesmos procedimentos da unidade A, com

a diferena do lado pelo qual inicia-se a dobra.

Com uma pea retangular

ABCD, respeitando as pro-

pores, leve o vrtice C ao

A.

O eixo de rotao ser

chamado de EF.B C

A


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Leve o vrtice C ao ponto F. E

C

F

B

A

Leve o vrtice B sobre AF. E

D

F

A

Vire a pea, de modo que a parte de trs

fique para frente.

D

E

F

A

Leve o vrtice A ao ponto E.

D

E

F

A


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Estilo OBME


Pegue o vrtice D e dobre pelo eixo do

ponto E.E

F

D

Desfaa a dobra pelo eixo EF, de modo

que aparea um paralelogramo.F

E

Vire a pea, de modo que a parte oculta

volte-se para frente.

F

E

Leve as duas extremidades cujos ngulos

so agudos sobre o lado oposto, fixando osvrtices com ngulos obtusos.

F

E

Obtm-se um losango.

F

E

Abrindo, tem-se a unidade B.


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7.3 Montagem dos Poliedros

Foram produzidas, nas unidades A e B, faces na forma de trin-

gulos equilteros. Com os tringulos equilteros podemos construir

apenas trs poliedros regulares: o tetraedro, o octaedro e o icosaedro,

que so os Poliedros de Plato de faces triangulares.

7.3.1 Tetraedro

Para a construo do tetraedro so necessrios dois mdulos, uma

unidade A e uma unidade B.

Note que em cada unidade temos quatro tringulos equilteros e os

tringulos das pontas no possuem corte. Os cortes formam aberturaspara encaixar os tringulos das pontas e ficaro no lado externo do

poliedro.


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Estilo OBME

SEC. 7.3: MONTAGEM DOS POLIEDROS 53

Encaixe a unidade A em um dos

cortes da unidade B (ou B em A).

Dobre dando forma de um tetraedro

e encaixando todas as pontas.

Conclumos o tetraedro.

7.3.2 Octaedro

Para a construo do octaedro sero necessrios quatro mdulos,

AAAA ou BBBB ou AABB e, para que fique com faces bicolores, so

necessrias duas peas de cada cor.


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Tome duas unidades A (ou B), de

cores distintas.

Encaixe em uma pea A na outra

pea conforme a foto.

Repita com outras duas peas

restantes.

Forma-se ento, duas pirmides de

base quadrada com abas triangula-

res em lados opostos da base.


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Estilo OBME


Encaixe as duas pirmides para fi-

nalizar o octaedro.

7.3.3 Icosaedro

Para a construo do nosso icosaedro bicolor so necessrios cinco

mdulos de cada tipo e cor, ou seja, cinco unidades A com cor 1 e

cinco unidades B com cor 2. Teremos uma faixa cilndrica com dez

faces bicolores e fechados com cinco faces de cor 1 de um lado e cincofaces de cor 2 do outro lado. No possvel obter todas as faces

bicolores.


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Estilo OBME


Inicia-se com duas unidades distin-

tas, A e B.

Encaixe a unidade B na unidade A.

Repita o procedimento anterior,

encaixando a pea A na B, depois a

B na A, sucessivamente.

Para facilitar a montagem,

recomenda-se que cole com al-

guma fita adesiva todos os encaixes

na parte interna.


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Estilo OBME


Encaixadas todas as peas, encaixe

a ltima pea, no caso a pea B, na

primeira pea A, dando um formato

cilndrico.

Com a faixa cilndrica pronta,

concentre-se nas pontas triangulares

de um dos lados. Encaixe um trin-

gulo em outro adjacente sucessiva-

mente, at fechar o lado com as cincofaces.


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Estilo OBME


Repita o passo anterior no outro

lado do cilindro, finalizando o

icosaedro.

7.4 Esqueleto do Icosaedro

No podemos deixar de apresentar o esqueleto do icosaedro, cons-

titudo de trs retngulos ureos encaixantes. Isto porque no icosae-dro, cada cinco faces triangulares com um vrtice em comum deter-

mina um pentgono regular, cuja diagonal o lado maior do retngulo

ureo. O lado menor uma aresta do icosaedro (do conjunto de cinco

faces correspondente a outro vrtice).

J vimos, junto com a construo do primeiro pentgono, a cons-

truo do retngulo ureo de lado maior 2, que pode ser usada aqui.


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Estilo OBME

SEC. 7.4: ESQUELETO DO ICOSAEDRO 59

Recortados os retngulos com as devidas propores, passamos

para o seguinte:

Seja E = ponto mdio de AB.

Sejam EF e F G como na figura,

com EF = F G =AD

2Recorte por EF e F G.

A

B C

D

E

G

F

Encaixe duas peas.

Encaixe a terceira pea.

Est pronto o esqueleto

do icosaedro.

Vemos que ligando os

vrtices da estrutura

com segmentos obtemos

um icosaedro.

Se estiver familiarizado com coordenadas cartesianas {O,x,y ,z} noespao, encontre os vrtices de um icosaedro com centro na origem do

espao, como exerccio. Escolha a posio e o tamanho, de forma a

facilitar as contas.


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Estilo OBME

Captulo 8

Poliedro de Plato de Faces

Quadradas

Certamente o nico poliedro de face quadrada o cubo, ou hexae-dro regular.

Existem diversas formas de se montar um cubo com Origami. Esta

foi uma forma utilizada para visualizar bem o seu esqueleto, numa

montagem de poliedros encaixantes.

Comece com um papel quadrado

ABCD.

Leve B e C aos vrtices A e D res-

pectivamente.

D

CB

A

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Estilo OBME

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Obtm-se o segmento EF.

B DC

FE

A

Dobre de modo que leve B a E e CaF, mantendoA eD no lugar. Gire

180.D

EBCF

A

Vire o papel de modo que a parte

opaca fique na frente.

Dobre AD sobre EF, obtendo o

vinco GH e volte.

BE FC

DA

Leve todos os vrtices sobre GH,

mantendo G e H fixos, obtendo os

segmentos IL em EF, IL em BC

e JK em AD. A pea resultante

forma um feixe de trs trapzios em

GH.

BE FC

D

H

A

G

II L L

J K

O trapzio ILHG est atrs do

trapzio ILHG e o quadriltero

IJKL um quadrado.Dobre as diagonais e os lados IJ e

KL do quadrado IJKL. K

LI

J


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Estilo OBME

62 CAP. 8: POLIEDRO DE PLATO DE FACES QUADRADAS

Leve JK sobre IL e . . .

KJ

. . . e obtenha o trapzio triplo.

Abra pelo centro da base maior,

como na dobradura de um barco.

Abra adequadamente, e faa outra

pea igual. Juntando, forme o cubo.

Duas peas so suficientes se o cubo estiver com um esqueleto,

que pode ser um octaedro estrelado. Neste caso, deve-se tomar o

cuidado de verificar antes qual deve ser a medida da aresta do cubo

para envolver o esqueleto. E observe que na construo acima, se u

a aresta do papel quadrado, o cubo tem aresta igual diagonal doquadrado de aresta

u

4.


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Estilo OBME

Captulo 9

Poliedro de Plato de Faces

Pentagonais

Veremos agora, a construo de um poliedro regular cujas faces sopentgonos. Como o ngulo interno do pentgono de 108 em cada

vrtice, no existe a possibilidade de unio de mais de trs pentgonos,

restando assim o dodecaedro como nica soluo.

9.1 Do copo ao Pentgono Regular

Para a construo do dodecaedro temos que comear com um

papel de um tamanho especial, mas antes faremos uma anlise em

outra construo, a de um copo.

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Estilo OBME

64 CAP. 9: POLIEDRO DE PLATO DE FACES PENTAGONAIS

Comeando com um retngulo

ABCD, dobre a diagonalBC.

Encontrando o ponto E,

interseco de AD com BC,

dobre por EB e ED , de

modo que no prenda a parte

oposta.

Observe que o tringulo

BE D issceles.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

B

DA E

Dobre agora a bissetriz de B.B

D


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SEC. 9.1: DO COPO AO PENTGONO REGULAR 65

Encontrado o ponto F, inter-

seco da bissetriz de B comED , dobre a mediatriz de BF,

donde surge o segmentoGH, com

G EB e H BD.B

D

G

H

Como GH mediatriz de BF,

dobre levando B a F.

DE

G

H

F

B

Seguindo os mesmos procedimen-

tos do vrtice B, dobre D sobre

G.

Um pentgono possivelmente ir-

regular, mas simtrico, est

pronto.

D

E

G

H

FB

I

Para terminar o copo, dobre o

vrtice E pelo eixo de rotao

GF.

Note que existem duas folhas,

sendo uma dobrada para frente eoutra para trs.

DG

H

FB

IE


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E est pronto o copo.

Faremos agora uma anlise sobre a construo do copo, para de-duzirmos o que necessrio para obtermos um pentgono regular.

Ao desdobrarmos a constru-

o do copo teremos as linhas

de dobras.

Pela construo, sabemos que

GH mediatriz de BF e este

por sua vez bissetriz de EBD. B

DA

C

E F

G

H

Sabemos que para que o pentgono seja regular, cada ngulo in-

terno deve medir 108o. Como o tringulo HBG issceles, temosque o EGH tambm mede 108o.

Seja E BD obtido ondeE levado na dobra por BF.

Por construo temos que

EG = HE.Como BF bissetriz de EBEe E e E so equidistantes de

B, tem-se que F equidistante

de E e E.B

DA

C

108

72

1818

M

G

H

E


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SEC. 9.1: DO COPO AO PENTGONO REGULAR 67

Por Tales, temos que pro-

longando BE, o B ED cor-respondente ao EBC, medindo72o. Pelo tringulo EBF,temos que EF B = 54o, assim

como BF E. E finalmente o

F EB = 108, por ser ngulointerno do pentgono. B

DA

C

108

M

108

108

B

72

72

72

108

54

54

E F

G

H

E

Temos ento um pentgono com todos os ngulos de 108o. Resta

provar que os lados so congruentes. Por construo, E e H sendo

os refletidos de E e G pela bissetriz BF de EBD, os segmentos GEe HE so congruentes, assim como EF e F E. Na construo, GD

tambm bissetriz de ADB e os segmentos EF e HE, assim comoEG e GH so congruentes.

Ou seja, para obtermos um pentgono regular devemos encontrarum ngulo exato. E esse ngulo exato deve ser o ngulo entre a base

(o lado maior) e sua diagonal, devendo ter exatamente 36o, isto ,

se o lado maior for equivalente a 1, o lado menor dever ser igual a

tan36 = 0, 726.... Ou ento, se o lado menor for equivalente a 1, o

lado maior dever ser igual a tan54 = 1, 376....


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tg 54 = 1,376...

1

1

tg

36=0,7

26...

Vimos, na primeira construo pentgono regular, que iniciamos

com um quadrado de suposto lado 2. Verificamos tambm que a dia-

gonal desse pentgono mantinha a mesma medida do lado do quadrado

inicial e o lado do pentgono media

5 1. Observe que aplicandoessas medidas na construo do copo, adotando j os devidos ngulos,

temos:

GF tem, por construo,

mesma medida de BG. Como

BG diagonal do pentgono,

vamos supor que mede 2. As-

sim, o lado do pentgono mede5 1 e tambm pela constru-

o, ED = 2 = F D. B

DA

C

M

2

2

2

5 1

5 1

5 1

5 1 2

2E F

G

E

H

Sabemos portanto a medida do ngulo CBD, quanto deve medira diagonal. Precisamos saber agora, quanto mede um dos lados do

retngulo. Para isso, basta saber quanto mede AE.


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SEC. 9.2: DODECAEDRO 69

Sabemos que ABE = 18

e que BG = 2 e GE =

5 1.Ento:

AE

BE= sen18

AE5 + 1

= 0, 309...

AE = 1B

DA

C

5 1

218

1 5 1 2

2

5 1

2

F

E

H

G

E

Como construir um retngulo com essas propores, fixando o

tamanho da diagonal 2 do pentgono? Este um outro problema,

que vamos apresentar depois da montagem do dodecaedro.

9.2 Dodecaedro

Podemos finalmente montar o dodecaedro. Atravs da dobradura

do copo, iniciado com papel com as medidas especiais, na qual obtm-

se os pentgonos regulares, tome a seguinte pea:

Como o dodecaedro composto de 12 pentgonos, precisaremos

de 12 peas para a construo.


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Os tringulos das peas se encaixam em um dos lados do pen-

tgono central da outra pea. preciso encaixar em uma certa se-

quncia para que fiquem firmes, sem necessidade de utilizao de cola

ou qualquer outro material adesivo. Na figura abaixo, a linha com a

seta indica por onde a ponta da pea deve entrar e at onde ela deve

chegar.

Notem que a ponta da pea, que composta pelos lados con-

gruentes de um tringulo issceles fazem o papel de duas diagonais

do pentgono. E finalmente...


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9.2.1 Construo do Retngulo para o Dodecaedro de

Aresta Dada

Na construo de poliedros encaixantes aparece o problema de

construir os poliedros com medidas predeterminadas. O dodecaedro

pode ser construdo envolvendo um esqueleto do tipo icosaedro es-

trelado (icosaedro mais tetraedros em cada face) e isto determina as

dimenses do dodecaedro.

Vimos na construo do dodecaedro que so necessrios retngulos

especiais, cuja diagonal divida o ngulo reto em ngulos de 54o e36o. Veremos que esses retngulos so construtveis sem ajuda de um

transferidor, e com a medida desejada na diagonal do pentgono, que

continuar sendo chamada de 2.


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Nosso objetivo ser

encontrar um retngulo

com lado igual a

5 + 2

e diagonal

5 + 3.

5 1 12

2

5 1

2

Comece com um

retngulo com as

medidas 6 4.

Dobre um quadrado de 2 2.

Depois dobre um retngulo2 1 e a sua dia-gonal.

Essa diagonal corresponde a

5.


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Abra o papel.

Podemos verificar que

cada segmento na hori-

zontal equivale a 2, na

vertical 1 e na diagonal

5.

Dobre o segmento

5

sobre o lado e anote,

conforme a figura.

Dobre o segmento 1 so-

bre o lado que esta-

mos construindo um dos

lados do retngulo e

transfira-o somando a

2 + 5.


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Encontramos os segmentos 2 +

5 e 3 +

5, ou seja, o lado e a

diagonal do retngulo, dados suficientes para a construo o retn-

gulo.

Dobre agora uma perpen-dicular ao lado2 +

5. En-

contre o ponto que dista

3+

5 do vrtice e pertence

perpendicular.

Temos assim um retngulo

cujo lado mede 2 + 5 ea diagonal 3 +

5. Basta

agora, seguirmos a constru-

o do copo e obtermos as

faces do dodecaedro.


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Captulo 10

Construes que se

EncaixamNa foto ao lado so apresentadas, de

baixo para cima:

o esqueleto do icosaedro;

o icosaedro;

o icosaedro estrelado (icosaedrocom uma pirmide em cada face,

que pode ser construda peas

especiais de Origami, mas no o

faremos aqui), que o esqueleto

do dodecaedro; o dodecaedro.

Estas peas se encaixam perfeitamente, na ordem acima.

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76 CAP. 10: CONSTRUES QUE SE ENCAIXAM

Pode-se construir tambm com Origami outro conjunto de peas

encaixantes: esqueleto do octaedro, octaedro, octaedro estrelado e

envolvendo todos eles, o cubo.

Observe que esses encaixes so possveis devido dualidade entre

dodecaedro e icosaedro, e entre cubo e octaedro. A cada face do

dodecaedro corresponde um vrtice do icosaedro e vice-versa. A cada

face do cubo corresponde um vrtice do octaedro e vice-versa.


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Palavras Finais

Este trabalho foi baseado em um trabalho de concluso de curso

de Eduardo Cavacami no Curso de Licenciatura em Matemtica da

Universidade Federal de So Carlos e depois apresentado como Oficina

na IV Bienal da SBM, em 2008.

No decorrer do desenvolvimento do trabalho foi observado que

muitas pessoas associam Origami com dobraduras de animais, florese outras formas, mas nunca Geometria. Talvez este seja um dos

motivos do pouco uso no ensino. Mas o fato deste tipo de atividade

atrair a ateno tanto de crianas quanto de jovens e adultos, faz

pensar no mtodo como uma importante opo para o ensino.

Outra contribuio dessa metodologia pode ser na educao de

pessoas com problemas de viso, pois com a manipulao envolvida no

Origami, os elementos geomtricos podem ser melhor compreendidos.

Este trabalho uma pequena parte de um universo que h para

ser estudado. Mas o intuito deste trabalho foi mostrar a Matemticaescondida em uma simples dobra, mostrando assim, mais um material

para o escasso campo do ensino da Matemtica.

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Referncias Bibliogrficas

[1] ABE, Hisashi. Sugoiz Origami. Tkio: Nippon Hyoronsha Co.

Ltd., 2003.

[2] CAVACAMI, Eduardo. Aplicaes do Origami com recortes

como formas de ensino. Trabalho de Graduao, UFSCar, 2007.

[3] CAVACAMI, Eduardo; FURUYA, Yolanda K. S. Explorando

Geometria com Origami. Oficina apresentada na IV Bienal da

SBM, em Maring, 2008. Disponvel em http:

//www.dm.ufscar.br/~yolanda/origami/origami2008.pdf

[4] HULL, Thomas. Origami Mathematics.

http://mars.wnec.edu/~th297133/origamimath.html

[5] KNOTT, Ron. Some Solid (Three-dimensional) GeometricalFactos about the Golden Section. Publicado 1996 e atualizado em

2007. http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/

Fibonacci/phi3DGeom.html.

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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 79

[6] LANG, Robert J. Origami and Geometric Constructions.

http://www.langorigami.com/science/hha/origami_

constructions.pdf.

[7] PEDONE, Nelma M.D. Poliedros de Plato. Revista do

Professor de Matemtica, Rio Grande, n. 15. (CD-Rom com 60

edies da Revista do Professor de Matemtica.)

Apostila11 Yolanda

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