Apostila Ufs Probabilidade Int Roe Statistic A

5/15/2018 Apostila Ufs Probabilidade Int Roe Statistic A - slidepdf.com

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ESTATISTICA E CIENCIAS

ATUARIAIS

NOTAS DE AULAPROBAILIDADE

Professor: Esdras Adriano Barbosa dos Santos

Material dedicado ao ensino de disciplinas intro-dutorias do curso de estatıstica ministradas naUniversidade Federal de Sergipe (UFS).



Sumario

1 Probabilidade 4

1.1 Conceitos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Descricao de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Operacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Metodos de Enumeracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.5 Fatorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.6 Permutacoes Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.7 Arranjo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.8 Combinacao Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 Conceitos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Definicao formal de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1 Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.2 Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Anexo A -- listas 23

A.1 Analise Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

A.1.1 Princıpio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

A.1.2 Consequencias do Princıpio Fundamental da Contagem . . . . . . . 23

A.1.3 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24



Referencias Bibliograficas 30



4

1 Probabilidade

1.1 Conceitos basicos

1.1.1 Conjuntos

Em matematica, um conjunto e uma colecao de elementos onde a ordem e quantas

vezes os elementos estao listados na colecao nao e relevante. De forma simples um conjunto

e apenas uma colecao de entidades, chamadas de elementos. A notacao que usaremos no

decorrer do texto sera:

• letras maiusculas para representar conjuntos como por exemplo A, B, · · · , Y , Z ;

• letras minusculas a, b, · · · , y, z, para representar elementos destes conjuntos;

Os elementos de um conjunto nao sao necessariamente letras, mas podem ser numeros,

nomes, sımbolos, etc. Conjuntos sao classificados pela quantidade de elementos represen-

tada pelo sımbolo m A, isto e a cardinalidade de A, sendo estes finitos ou infinitos. E finito

se possuir um numero especıfico de elementos, ou seja se contarmos os seus elementos o

processo de contagem chega ao final, caso o contrario o conjunto e infinito (MORGANO

et al., 2006).

1.1.2 Descricao de um conjunto

A descricao de um conjunto um conjunto pode ser feita varias formas. Se o conjunto

for finito e possuir poucos elementos este pode ser apresentado por enumeracao de seus

elementos. Para isso escrevemos seus elementos entre chaves.

Exemplo 1.1. Exemplos da representac˜ ao de conjunto por enumerac˜ ao.

1. Conjunto da Vogais A = a, e, i, o,



1.1 Conceitos b´ asicos 5

2. Conjunto dos dıgitos numericos: B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

Mas tambem podemos usar a representacao por enumeracao para conjuntos infinitos.

Neste caso basta escrever alguns de seus elementos de forma a evidenciar a lei de formacao

e em seguida colocarmos reticencias

Exemplo 1.2. Exemplos da representac˜ ao de conjunto infinitos por enumerac˜ ao.

1. Conjunto dos n´ umeros impares positivos A = 1, 3, 5, 7, .. .

2. Conjunto dos n´ umeros primos1 positivos : B = 2, 3, 5, 7, 11, 13, .. .

Mas alem desta representacao podemos descrever o conjunto particular atraves de

uma propriedade inerente aos seus elementos. Ou seja, um elemento para fazer parte

do conjunto em questao deve satisfazer a propriedade (P). De modo geral isso e feito da

seguinte forma:

A = x| x tem a propriedade P.

Esta notacao matematica se le: “ A e o conjunto dos elementos x tal que x tem a

propriedade P”

Exemplo 1.3. Exemplos da representac˜ ao de conjunto por meio propriedade inerente aos

seus elementos.

1. A = x| x e uma vogal e outra maneira de representa o conjunto A = a, e, i, o,

2. B = x| x e um digito decimal e outra maneira de representa o conjunto

B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

3. C = x| x e impar . e outra maneira de representa o conjunto C = 1, 3, 5, 7, .. .

Pertence ou nao pertence

Se um elemento a faz parte do conjunto A dizemos que este pertence a este conjunto.

Esta relacao e expressa de forma matematica atraves da notacao a ∈ A, que se le “o

elemento a pertence ao conjunto A”. Se a nao e um elemento de A, nos podemos dizer que

o elemento a nao pertence ao conjunto A e podemos escrever a ∈ A (WIKIPeDIA, 2010).

1Um numero natural e um numero primo quando ele tem exatamente dois divisores: o numero um eele mesmo. Para mais detalhes visitar site http://pt.wikipedia.org/wiki/Numero_primo




Igualdade

Dizemos que dois conjuntos sao iguais se e somente se cada elemento de um e tambem

elemento do outro. Por exemplo, os conjuntos A = 1, 2, 3 e B = 1, 2, 2, 1, 3, 2 sao iguais,pois o conjunto B pode ser escrito da seguinte forma B = 1, 2, 3.

Subconjuntos proprios e improprios

Na teoria de conjuntos, se todo elemento de um conjunto qualquer A e tambem ele-

mento de outro conjunto B, entao o conjunto A e dito um subconjunto do conjunto B,

denotado por A ⊆ B. Esta definicao inclui o caso em que A = B. Se A ⊆ B e, ao menos um

elemento pertencente a B nao pertence a A, entao A e chamado de subconjunto proprio

de B, denotado por A ⊂ B.

Destas afirmacoes podemos concluir que todo conjunto e subconjunto dele proprio,

chamado de subconjunto improprio.

Conjunto vazio

Todo conjunto tambem possui como subconjunto o conjunto vazio representado por

ou ∅. Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio nao pertence ao conjunto

em questao, entao o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que nao pertenca

a este conjunto. Como o conjunto vazio nao possui elementos, isto nao e possıvel. Como

todos os conjuntos vazios sao iguais uns aos outros, e permissıvel falar de um unico

conjunto sem elementos.

Conjunto Universo

Quando do desenvolvimento de uma certo assunto em matematica admitimos a exis-

tencia de um um conjunto que contenha todos os elementos utilizados no tal assunto.

A este conjunto da-se o nome de conjunto universo e tomaremos como nota cao destes o

sımbolo Ω. Em todas as aplicacoes, apresentadas a seguir, os conjuntos trabalhados em

problemas serao subconjuntos de um Conjunto Universo, ou simplesmente Universo.

1.1.3 Operacoes

Existem varias operacoes fundamentais para a construcao de novos conjuntos tendo

como base outros conjuntos.




Uniao

A uniao (ou reuniao) de dois conjuntos A e B forma o conjunto A ∪ B composto dos

elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. Esta uniao pode ser generalizada a umgrupo de n conjuntos. Assim S = S1 ∪ S2 ∪ S3 · · · ∪ Sn = ∪n

i=1Si e o conjunto formado pelos

os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos Si.[

Figura 1.1: Conjunto Uniao

Exemplo 1.4. Exemplos:

• 1, 2 ∪ red , white = 1, 2, red , white.

• 1, 2, green ∪ red , white, green = 1, 2, red , white, green.

• 1, 2 ∪ 1, 2 = 1, 2.

Algumas propriedades:

• A ∪ B = B ∪ A.

• A ∪ ( B ∪C ) = ( A ∪ B) ∪C .

• A ⊆ ( A ∪ B).

• A ∪ A = A.

• A ∪∅= A.

• A ⊆ B se e somente se A ∪ B = B.




Intersecao

A intersecao de dois conjuntos A e B e o conjunto A ∩ B composto dos elementos que

pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B.


• 1, 2 ∩ red , white =∅.

• 1, 2 ,green ∩ red , white, green = green.

• 1, 2 ∩ 1, 2 = 1, 2.

Figura 1.2: Conjunto Intercecao

Algumas propriedades:

• A ∩ B = B ∩ A.

• A ∩ ( B ∩C ) = ( A ∩ B) ∩C .

• A ∩ B ⊆ A.

• A ∩ A = A.

• A ∩∅=∅.

• A ⊆ B se e somente se A ∩ B = A.

Diferenca

A diferenca entre dois conjuntos A e B e o conjunto de todos os elementos de A que

nao pertencem a B.




• 1, 2 − red , white = 1, 2.

• 1, 2, green − red , white, green = 1, 2.

• 1, 2 − 1, 2 =∅.

• 1, 2, 3, 4 − 1, 3 = 2, 4.

Figura 1.3: Exemplo de diferenca. Fonte: Wikipedia (2010)

Complementar

Na teoria dos conjuntos, o complementar de um subconjunto A, de um conjunto Ω e

o conjunto A dos elementos de Ω que nao pertencem a A.

Figura 1.4: Conjunto Complementar.


• se Ω e um conjunto de n´ umeros inteiros , A e o conjuntos dos n´ umeros inteiros

pares e B e o conjunto dos n´ umeros impares ent˜ ao A = B.

Algumas propriedades do complementares e diferencas:




• A − B = B − A.

• A ∪ A =Ω.

• A ∩ A =∅.

• ( A) = A.

• A − A =∅.

• U =∅ e ∅=Ω.

• A − B = A? B.

Diferenca Simetrica

Uma extensao do complementar e a diferenca simetrica, que possui a seguinte definicao

Definicao 1.1. Sendo A e B, dois subconjuntos de Ω temos que a diferenca simetrica e

dada por:

A∆ B = ( A − B) ∪ ( B − A). (1.1)

Figura 1.5: Conjunto Diferenca Simetrica

Por exemplo a diferenca simetrica entre os conjuntos A = 7, 8, 9, 10 e B = 9, 10, 11, 12

e o conjunto C = 7, 8, 11, 12.

Cardinalidade

Se um conjunto A tem n elementos, onde n e um numero natural (possivelmente 0),

entao diz-se que o conjunto e um conjunto finito com uma cardinalidade m A = n ou

numero cardinal n. Se para dois conjuntos A e B e possıvel fazer uma relacao um-a-um

entre seus elementos, entao m A =m B.




Conjunto potencia ou de partes

Em calculos com conjuntos as vezes e necessario obter todos os subconjuntos de um

conjunto. Dado A e chamado de conjunto potencia (ou conjunto das partes) de A oconjuntos de todos os subconjuntos possıveis de A. Sendo o conjunto dado A finito, com

n elementos, o numero de subconjuntos ou o numero de elementos do conjunto potencia

A e 2n.

Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B e o conjunto de pares ordenados:

A × B = (a,b) : a ∈ A ∧ b ∈ B (1.2)

No produto cartesiano a soma ou uniao disjunta de dois conjuntos A e B e o conjunto

A + B = A × 0 ∪ B × 1. (1.3)

Conjuntos Numericos

Nota 1.1. Nesta sec˜ ao, a, b e c s˜ ao n´ umeros naturais, enquanto r e s s˜ ao n´ umeros reais.

1. Numeros naturais sao usados para contar. O sımbolo N usualmente representa este

conjunto. Na literatura matematica, e possıvel encontrar textos que incluem o zero

como numero natural e textos que nao incluem.

2. Numeros inteiros aparecem como solucoes de equacoes como x+ a = b. O sımbolo Z

usualmente representa este conjunto (do termo alemao Zahlen que significa nume-

ros).

3. Numeros racionais aparecem como solucoes de equacoes como a+bx = c. O sımbolo

Q usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).

4. Numeros reais incluem os numeros algebricos e os numeros transcendentais. O

sımbolo R usualmente representa este conjunto.

5. Numeros complexos e a soma dos numeros reais e dos imaginarios: r + sı. Aqui

tanto r quanto s podem ser iguais a zero; entao os conjuntos dos numeros reais e odos imaginarios sao subconjuntos do conjunto dos numeros complexos. O sımbolo

C usualmente representa este conjunto.




1.1.4 Metodos de Enumeracao

Segundo Morgano et al. (2006) a primeira tecnica matematica aprendida por uma

crianca e a contagem. Pois as operacoes matematicas sao tambem aprendidas e motivadasatraves de sua aplicacao a problemas de contagem. Logo este e o primeiro principio

fundamental da adicao.

Definicao 1.2 (O Princıpio da Adicao). Se um procedimento A pode ser realizado de n A

maneiras diferentes e um segundo procedimento B pode ser realizado de n B maneiras dife-

rentes. Se estes n˜ ao podem ser realizados simultaneamente, ent˜ ao o n´ umero de maneiras

pelas quais pode-se realizar ou A ou B ser´ a (n A + n B).

Exemplo 1.7. Um passageiro sabe que para ir da cidade em que esta para a pr´ oxima cidade ele pode tomar 3 linhas de onibus ou 4 linhas de Metro.

Solucao:

Logo o mesmo pode ir de 7 maneiras diferentes.

Um outro principio da analise combinatoria e o Principio Fundamental da Multipli-

cacao.

Definicao 1.3 (O Princıpio Fundamental da Multiplicacao). Se um procedimento A possa

ser realizado de n A maneiras diferentes. E um segundo procedimento B possa ser realizado

de n B maneiras diferentes. Se estes procedimentos podem ser realizados simultaneamente,

ent˜ ao o n´ umero de maneiras pelas quais pode-se realizar A e B ser´ a (n A × n B).

Estes dois princıpios consistem as regras para a resolucao de varios problemas de

contagem. A seguir abordaremos outras tecnicas usadas na resolucao de problemas de

contagem.

1.1.5 Fatorial

Afim de simplificar as formulas nos calculos a seguir,vamos definir o sımbolo fatorial.

Seja m um numero inteiro nao negativo (m ∈N) definimos fatorial de m (e indicamos por

m!) atraves da relacao:

• m! = m · (m − 1) · (m − 2) · . . . · 3 · 2 · 1

• 1! = 1

• 0! = 1




1.1.6 Permutacoes Simples

Suponha que tenhamos em maos n objetos distintos pertencentes a um conjunto

A = a1,a2,a3, . . . ,an de quantas maneiras podemos ordena-los. Por exemplo, se estesnumeros forem 1, 2, 3, 4, suas possıveis ordenacoes sao apresentadas na Tabela 1.1

Tabela 1.1: Permutacoes do Conjunto (1,2,3,4)(1, 2, 3, 4) (1, 2, 4, 3) (1, 4, 2, 3) (4, 1, 2, 3) (4, 1, 3, 2) (1, 4, 3, 2)(1, 3, 4, 2) (1, 3, 2, 4) (3, 1, 2, 4) (3, 1, 4, 2) (3, 4, 1, 2) (4, 3, 1, 2)(4, 3, 2, 1) (3, 4, 2, 1) (3, 2, 4, 1) (3, 2, 1, 4) (2, 3, 1, 4) (2, 3, 4, 1)(2, 4, 3, 1) (4, 2, 3, 1) (4, 2, 1, 3) (2, 4, 1, 3) (2, 1, 4, 3) (2, 1, 3, 4)

De um modo geral dado o conjunto A, temos n modos de escolher o elemento (ouobjeto) que ocupara o primeiro lugar, n − 1 modos de escolher o elemento (ou objeto) que

ocupara o segundo lugar assim sucessivamente ate apenas possuir 1 objeto que ocupara o

ultimo lugar. Logo temos a seguinte definicao.

Definicao 1.4 (Permutacao simples Pn). ´ E n´ umero de maneiras de arrumar n elemen-

tos em n posic˜ oes em que cada maneira se diferencia pela ordem em que os elementos

aparecem. Aplicando o Princıpio da Multiplicac˜ ao obtemos a seguinte equac˜ ao para per-

mutac˜ oes simples:

Pn = n.(n − 1).(n − 2) . . . 2.1 = n! (1.4)

Exemplo 1.8. Quantos anagramas2 podemos formar com a palavra PR ´ ATICO.

Resposta: Como a palavra, PRATICO possui 7 letras, sao possıveis 7! = 5040 anagra-

mas diferentes.

1.1.7 Arranjo

O arranjo, e usado para formar grupos ou subconjuntos com k elementos em que a

ordem na qual os elementos sao dispostos e levada em conta, a ordem na qual sao dispostos

nao interfere no resultado.

Definicao 1.5 (Arranjo simples Anr ). e o n umero de maneiras de se escolher k objetos

distintos entre n objetos distintos de um conjunto, onde a grupos com ordem diferentes

s˜ ao distintos. O n´ umero de arranjos e2Segundo o dicionario Aurelio, Anagrama significa palavra ou frase formada pela transposicao das

letras de outra palavra ou frase. Por exemplo temos Belisa (de Isabel); Soares Guiamar (pseudonimo deGuimar˜ aes Rosa).




Ans =

n!

(n − s)!(1.5)

1.1.8 Combinacao Simples

Pegando carona no que foi exposto na secao 1.1.6 tendo n objetos distintos em um

conjunto A = a1,a2,a3, . . . ,an, de quantas maneiras podemos escolher dentre estes, k

objetos. Ou ainda quantos subconjuntos com k de n elementos podem ser formados.

Cada um destes subconjuntos e chamado de Combinacao Simples.

Definicao 1.6 (Combinacao simples C nr ). nada mais e que o n´ umero de maneiras de se

escolher k objetos distintos entre n objetos distintos de um conjunto, onde a ordem n˜ ao e

levada em considerac˜ ao.O n´ umero de combinac˜ oes e o coeficiente binomial:

C nr =

n

r

=

n!

r ! · (n − r )!(1.6)

Observacao 1.1. Conforme a definic˜ ao uma combinac˜ ao e um conjunto e portanto n˜ ao

depende da ordem dos elementos. ´ E importante notar a diferenca entre uma combinac˜ ao

(conjunto) e uma sequencia, pois numa combinac˜ ao n˜ ao importa a ordem dos elementos,

ao passo que numa sequencia importa a ordem dos elementos.

Exemplo 1.9. De quantas maneiras podemos escolher 3 objetos dentre 5 elementos do

conjunto B = b1,b2,b3,b4,b5,

Na Tabela 1.2 estao expostos as possıveis escolhas. O numero de combinacoes de 5 objetos

3 e

C 53 = 5

3=

5!

3! · (5 − 3)!

= 10

.

Tabela 1.2: Combinacao de 5 elementos em grupos de 3 elementos.b1,b2,b3 b1,b2,b4 b1,b2,b5 b1,b3,b4 b1,b3,b5b1,b4,b5 b2,b3,b4 b2,b3,b5 b2,b4,b5 b3,b4,b5



1.2 Probabilidade 15

1.2 Probabilidade

1.2.1 Introducao

Do mesmo modo que acontece com a teoria da mecanica, que atribui definicoes pre-

cisas a termos de uso diario, como trabalho e forca, tambem a teoria das probabilidades

tenta, quantificar, a nocao de provavel atraves de um conjunto de regras matematicas.

A definicao de probabilidade como o quociente do numero de “casos favoraveis” sobre

o numero de “casos possıveis” foi a primeira definicao formal de probabilidade, e apare-

ceu pela primeira vez em forma clara na obra Liber de Ludo Aleae de Jeronimo Cardano

(1501-1576) segundo Morgano et al. (2006). Para um melhor entendimento do conceito de

probabilidade faz-se necessario a introducao de algumas definicoes que serao apresentadas

a seguir.

1.2.2 Conceitos Basicos

Experimento Aleatorio, Espaco Amostral e Evento

Experimento e um ensaio cientıfico usado para a verificacao de relacoes entre fatos bem

definidos, tambem denominado de Experiencia ou experimentac˜ ao. Um experimento pode

ser de dois tipos: Experimento Determinıstico e Aleatorio. Um experimento Determinıs-

tico e aquele que ao executarmos certa acao sob condicoes, quase identicas, chegaremos

essencialmente aos mesmos resultados, controlando todos os fatores influenciantes. Por

exemplo, ao largar uma moeda, sabemos que ela caira no chao. Mas experimentos onde,

mesmo tomando todas as precaucoes, nao e possıvel conhecer o valor exato do resultado,

sao chamados de experimentos Aleatorios.

Definicao 1.7 (Experimento Aleatorio). Procedimento que, ao ser repetido sob asmesmas condic˜ oes, pode fornecer resultados diferentes ou um procedimento cujo resultado

e incerto (SPIEGEL et al., 2004).

Exemplo 1.10. Exemplos de Experimentos Aleat´ orios:

1. Lancar uma moeda e observar a face voltada para cima.

2. Lancar um dado e observar o n´ umero da face voltada para cima.

3. Lancar duas moedas e observar as sequencias de caras e coroas das faces voltadas

para cima, obtidas nos dois lancamentos.




4. Lancar duas moedas e observar o n´ umero de caras obtidas nos dois lancamentos.

5. De um lote de 80 pecas em perfeitos estado e 20 defeituosas, selecionar 10 pecas e

observar o n´ umero de pecas defeituosas.

6. De uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 2 bolas brancas, selecionar uma bola e

observar sua cor.

7. De um baralho de 52 cartas, selecionar uma carta, e observar seu naipe.

8. Numa cidade onde 10% dos habitantes possuem determinada molestia, selecionar

20 pessoas e observar o n´ umero de portadores da molestia.

9. Observar o tempo que um certo aluno gasta para ir de onibus, de sua casa ate a

universidade.

10. Sortear um n´ umero inteiro entre um e cem atraves de algum procedimento aleat´ orio.

Para estes procedimentos, mesmo nao sabendo qual resultado ira ocorrer, podemos

enumerar todos os possıveis resultados e montarmos um conjunto, que e denominado de

Espaco Amostral.

Definicao 1.8 (Espaco Amostral (Ω)). Conjunto que possuem como elementos todos

possıveis resultados de um experimento aleat´ orio, cuja notac˜ ao e a letra grega Ω.

Exemplo 1.11. Exemplos de Espacos Amostrais:

1. Lancar uma moeda e observar a face de cima:

Ω = K , C

onde K representa cara e C , coroa.

2. Lancar uma dado e observar o n´ umero da face de cima:

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

3. De uma urna contendo 3 bolas vermelhas (V ), 2 bolas brancas ( B) e 5 bolas azuis

( A), extrair uma bola e observar sua cor:

Ω = V , B, A.




4. Lancar uma moeda duas vezes e observar a sequencia de caras e coroas.

Ω = (K , K ), (K , C ), (C , K ), (C , C ).

5. Lancar uma moeda duas vezes e observar o n´ umero de caras:

Ω = 0, 1, 2.

6. Um lote tem 20 pecas. Uma a uma elas s˜ ao ensaiadas e observa-se o n´ umero de

defeituosas:

Ω = 0, 1, 2, 3, . . . , 19 , 20 .

7. Uma moeda e lancada ate que o resultado cara (K ) ocorra pela primeira vez. Observa-

se em qual lancamento esse fato ocorre:

Ω = 1, 2, 3, 4, . . ..

Ao realizarmos um experimento aleatorio, muitas vezes, podemos estar interessados

na ocorrencia de um resultado especıfico. Por exemplo, no lancamento de um dado,

podemos estar interessados nos valores pares, representado pelo conjunto A = 2, 4 , 6 ou

nos numeros impares, representado por B = 1, 3, 5, que sao subconjuntos de Ω. Assimaos conjuntos A e B damos o nome de eventos do experimento aleatorio “lancamento de

um dado” com a seguinte definicao formal:

Definicao 1.9 (Evento). Os subconjuntos de um espaco amostral Ω denotados por letras

latinas mai´ usculas do inicio do alfabeto s˜ ao chamamos de eventos. Cada subconjunto

de cardinalidade 1 de um espaco amostral e chamados de Evento elementar do espaco

amostral em quest˜ ao.

Observacao 1.2. A ideia l´ ogica de ocorrencia de um evento e a seguinte: se um elemento

do conjunto (evento) ocorre, ent˜ ao o conjunto (evento) ocorre.

Observacao 1.3. Chamamos o ∅ de evento impossıvel e o Ω de evento certo e a um

elemento de Ω de evento fundamental ou elementar.

Exemplo 1.12. Sendo Ω = KK , KC , CK , CC temos como um evento possıvel A :sair

uma cara dado por: A = KC , CK . Sendo Ω = 24, 25, 26, 27, 28 temos o evento

possıvel B : sortear n´ umeros pares dado por: B = 25, 27, 26.

Com o auxilio da teoria dos conjuntos, em especial as operacoes de conjuntos, podemos

formar outros eventos contidos em Ω. Entao:




• A ∪ B e o evento “ou A ou B ou ambos”, e chamado da uniao de A e B;

• A ∩ B e o evento “ambos A e B” e chamado a interseccao entre A e B;

• A e o evento “nao- A ” e chamado de complemento de A;

• A − B = A ∩ B e o evento “ A mas nao B”, e chamado da diferenca entre A e B;

Observacao 1.4. Quando ocorre A∩ B =∅ dizemos que estes eventos s˜ ao disjuntos (tam-

bem chamados de mutuamente exclusivos).

Exemplo 1.13. Sendo o experimento lancar um dado com Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, temos:

1. Dado o evento A, obter um n´ umero par, temos A = 2, 4, 6;

2. Dado o evento B, obter um n´ umero menor que 4, temos B = 1, 2, 3;

3. Dados os eventos anteriores, podemos obter o evento A∩ B, o qual e dado por A∩ B =

2

Exemplo 1.14. Seja o espaco amostral referente ao lancamento de um dado Ω= 1, 2, 3, 4, 5, 6.

• A = x| x e um n umero menor que 4 ou A = x| x < 4 : A = 1, 2, 3;

• B = x| x e um n umero ımpar : B = 1, 3, 5;

• C = x| x e um n umero m´ ultiplo de 7 : C =∅

• D = x| x e um n umero maior que 0 ou D = x| x > 0: D = Ω.

Exemplo 1.15. Para o experimento, lancar uma moeda duas vezes temos como espaco

amostral o conjunto, Ω= (KK , KC , CK , CC ), e sendo A = KC , CK , CC ) e B = KC , CC

temos:

• A ∪ B = (KK ,KC ,CK ,CC ) = Ω

• A ∩ B = KC ,CC = B

• A − B = CK



1.3 Definic˜ ao formal de Probabilidade 19

1.3 Definicao formal de Probabilidade

Ao realizarmos um experimento sempre teremos um grau de incerteza associado a seus

resultados, mesmo que este ja tenha sido realizado varias vezes. Por exemplo, podemos

jogar 1000 vezes uma moeda e em todas as realizacoes do experimento obter coroa como

resultado, mas este resultado e muito remoto. A chance ou probabilidade com a qual

podemos esperar que um evento ocorra, e representada como um numero real entre 0 e

1. Ou seja, a chance de ocorrencia de um evento esta sempre entre a impossibilidade e a

certeza. Assim Passamos entao a definicao formal de probabilidade.

Definicao 1.10 (Funcao de Probabilidade (MORGANO et al., 2006)). Seja Ω espaco

amostral. Uma func˜ ao P definida para todos os subconjuntos de Ω e chamada de probabi-

lidade se

1. 0 ≤ P( A) ≤ 1, para todo o evento A ⊂ Ω, isto e, a probabilidade de qualquer evento

esta entre 0 e 1;

2. (a) P(∅) = 0, isto e o evento impossıvel tem probabilidade zero;

(b) P(Ω) = 1, isto e o evento certo tem probabilidade um;

3. Se A1 e A2 s˜ ao disjuntos como j´ a foi citado na Observac˜ ao 1.4 temos que:

P( A1 ∪ A2) = P( A1) + P( A2)

1.3.1 Teoremas

Teorema 1.1. As somas de probabilidades de um espaco amostral s˜ ao sempre iguais a 1;

Teorema 1.2. P n

j=1

A j

=

n

∑P A j

com os A j′s disjuntos.

Teorema 1.3. Se A1 ⊂ A2 ent˜ ao P( A1) ≤ P( A2) e P( A2 − A1) = P( A2) − P( A1)(SPIEGEL

et al., 2004).

Teorema 1.4. Se A e o complementar de A para A ⊂ Ω, ent˜ ao P( A) = 1 − P( A)

Teorema 1.5. Se A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An em que A1, A2, A3, . . . , An s˜ ao eventos mu-

tuamente exclusivos, ent˜ ao P( A) = P( A1) + P( A2) + P( A3) + . . . + P( An) Em particular se

A =Ω ent˜ ao P( A) = P( A1) +P( A2) +P( A3) + . . .+P( An) = 1 (SPIEGEL et al., 2004). Este

e uma consequencia da definic˜ ao de Func˜ ao de Probabilidade item 3.




Teorema 1.6. Se A e B s˜ ao dois eventos quaisquer, ent˜ ao P( A∪ B) = P( A) +P( B) −P( A∩

B). Mas se A1, A2, A3, s˜ ao tres eventos quaisquer, ent˜ ao:

P( A1 ∪ A2 ∪ A3) = P( A1) + P( A2) + P( A3) − P( A1 ∩ A2) − P( A2 ∩ A3) − P( A3 ∩ A1)+P( A1 ∩ A2 ∩ A3).

Para n eventos temos a formula e tambem encontrada em Morgano et al. (2006) e dada

por:

P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ . . . ∪ An) = P( A1) + P( A2) + P( A3) + . . . + P( An) +

−P( A1 ∩ A2) − . . . − P( An−1 ∩ An) +

+P( A1 ∩ A2 ∩ A3) + . . . +

+(−1)n−1P( A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An).

Teorema 1.7. Para quaisquer eventos A e B temos que P( A) = P( A ∩ B) + P( A ∩ B)

Teorema 1.8. Se a concorrencia de A resulta na ocorrencia de um dos eventos mutua-

mente exclusivos A1, A2, . . . , An ent˜ ao P( A) = P( A ∩ A1) + P( A ∩ A2) + . . . + P( A ∩ An)

Quando se associa a cada um dos elementos de um espa co amostral a mesma proba-

bilidade de ocorrencia, temos um espaco amostral equiprovavel. Em suma se Ω contem n

pontos entao a probabilidade de cada elemento de Ω e igual a 1/n. Por exemplo, ao lancar

um dado a probabilidade de cada elemento de Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 1/6.

1.3.2 Probabilidade Condicional

Seja o experimento de lancar um dado. Sabemos que Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e seja B =

2, 3, 5, entao a probabilidade P( B) = 1/3. Agora se apos o lancamento a banca nos

informe que o valor do lancamento e um numero par que consiste no evento A = 1, 2, 3, 4.

De posse desta informacao podemos verificar a mudanca da probabilidade de B, pois os

unicos elementos de B que podem ocorrer, dada a nova informacao sao 2 e 3, mudando a

probabilidade de B para P( B) = 2/4 = 1/2. Este pensamento nos leva a seguinte definicao.

Definicao 1.11. Sejam A e B dois eventos tais que A ⊂Ω e B ⊂Ω. Denotamos por P( B| A)

a probabilidade de B dado que A ocorreu, e a chamamos de probabilidade condicional sendo

esta representada pelo n´ umero:

P( B| A) =P( A ∩ B)

P( A)em que P( A) > 0 e assim temos que P( A ∩ B) = P( A)P( B| A). (1.7)




Mas se P( B| A) = P( B) implica que a ocorrencia do evento A nao e afetada pela ocorrencia

do evento B, entao dizemos que A e B sao independentes. Isto e equivale a

P( B| A) =

P( A ∩ B)

P( A) =

P( A) · P( B)

P( A) = P( B)

Definicao 1.12 ( Independencia ). Sejam A e B dois eventos tais que A ⊂ Ω e B ⊂ Ω.

Dizemos que A e B s˜ ao independentes se:

P( A ∩ B) = P( A) · P( B) (1.8)

Agora se A1, A2, A3, s˜ ao tres eventos quaisquer, estes ser˜ ao independentes se:

P( Ai ∩ A j) = P( Ai) ·P( A j) para i = j com i, j = 1, 2, 3 e P( A1 ∩ A2 ∩ A2) = P( A1)·P( A2)·P( A3).(1.9)

Exemplo 1.16. Observando os dados da tabela abaixo temos.

CURSOSSEXO

Homens Mulheres TOTAIS

Matematica Pura(M) 70 40 110

Matematica Aplicada(A) 15 15 30

Estatıstica(E) 10 20 30

Computacao(C) 20 10 30

TOTAIS 115 85 200

Calcule as probabilidades dos Eventos abaixo:

1. Probabilidade de ser Homem:

2. Probabilidade de ser aluno de Estatıstica:

3. Probabilidade ser aluno de Estatıstica ou de ser Homem:

Solucao:

Calculando temos que:

Probabilidade de ser Homem e igual a: P( H ) =115

200

Probabilidade de ser Estatıstica e igual a: P( E ) =30

200




Agora, podemos pensar que a probabilidade de ser alunos de estatıstica ou ser homem

e dada por:

P( E ∪ H ) = P( H ) + P( E ) =30

200+

115

200

Fazendo isto estarıamos contando os alunos que sao homens e de Estatıstica e assim

temos que subtrair a probabilidade da interseccao, desta forma temos que:

P( E ∪ H ) = P( H ) + P( E ) − P( E ∩ H ) =30

200+

115

200−

10

200.

Definicao 1.13. Diz-se que os conjuntos A1, A2, . . . , An eventos de um mesmo espaco

amostral Ω, formam uma partic˜ ao deste espaco se: (a) Ai ∩ A j =∅, ∀ i = j. (b) A1 ∪ A2 ∪

. . . ∪ An = Ω (c) P( Ai) > 0, ∀i

Exemplo 1.17. Considere-se o espaco amostral obtido pelos n´ umeros das faces no lanca-

mento de um dado equilibrado e sejam os eventos: A1 = 1, 2, 3, A2 = 4, 5 e A3 = 6.

Ent˜ ao, pode-se verificar facilmente que, os eventos acima formam um partic˜ ao do espaco

amostra Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Teorema 1.9. Suponha que os eventos C 1, C 2, C 3, . . . , C n formem uma partic˜ ao do espaco

amostral Ω e todos tem probabilidade positiva. Seja A um evento qualquer com P( A) > 0.

Ent˜ ao, para todo j = 1, 2, . . . , n, temos:

P(C j| A) =P( A|C j)P(C j)n

∑i=1

P(C i)P( A|C i)

. (1.10)



23

ANEXO A -- listas

A.1 Analise Combinatoria

A.1.1 Princıpio Fundamental da Contagem

1. Um homem vai a um restaurante disposto a comer um so prato de carne e uma unica

sobremesa. O cardapio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes

de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeicao (HAZZAN,

1977)?

2. Uma moca possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma blusa

e uma saia (HAZZAN, 1977)?

3. Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser

formados (HAZZAN, 1977)?

4. Um edifıcio tem 8 portas. De quantas formas uma pessoa podera entrar no edifıcio

e sair por uma porta diferente da que usou para entrar (HAZZAN, 1977)?

5. Um homem possui 10 ternos, 12 camisas e 5 pares de sapatos. De quantas formas

podera ele vestir um terno, uma camisa e um par de sapatos (HAZZAN, 1977)?

6. Quantos numeros de 3 algarismos (iguais ou distintos) podemos formar com os

digitos 1, 2, 3, ; 7, 8(HAZZAN, 1977)?

A.1.2 Consequencias do Princıpio Fundamental da Contagem

Permutacao, Arranjo e Combinacao

1. Obter todos os arranjos dos elementos de M = a, b, c, d tomados dois a dois

(HAZZAN, 1977).



A.1 An´ alise Combinat´ oria 24

2. Calcule:

a) A6,3 b) A10,4 c) A20,1 e) A12,2

3. Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resultados sao possı-

veis para os tres primeiros lugares (HAZZAN, 1977)?

4. Em um torneio (de dois turnos) do qual participam seis times, quantos jogos s ao

disputados (HAZZAN, 1977)?

5. Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, cada listra com

uma cor. De quantas formas isto pode ser feito (HAZZAN, 1977)?

6. Uma linha ferroviaria tem 16 estacoes. Quantos tipos de bilhetes devem ser impres-

sos, se cada tipo deve assinalar a estacao de partida e de chegada respectivamente

(HAZZAN, 1977)?

7. Obter todas as combinacoes dos elementos de M = 7, 8, 9, 0 tomados dois a dois

(HAZZAN, 1977).

8. Uma prova consta de 15 questoes, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas

formas ele podera escolher as 10 questoes (HAZZAN, 1977)?

9. De um baralho1 de 52 cartas, sao extraıdas 4 cartas sucessivamente e sem reposicao.

Qual o numero de resultados possıveis, se nao levarmos em conta a ordem das cartas

extraıdas (HAZZAN, 1977)?

10. Em uma reuniao social, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao

todo 45 apertos de mao. Quantas pessoas havia na reuniao (HAZZAN, 1977)?

A.1.3 Probabilidade

1. Dar um espaco amostral para cada experimento abaixo.

(a) Uma letra e escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE.

(b) Uma urna contem bolas vermelhas (V). bolas brancas (B) e bolas azuis (A).

Uma bola e extraıda e observada sua cor.

1

O baralho possui 52 cartas, distribuıdas em 4 grupos - tambem chamados de naipes - os quais possuem13 cartas de valores diferentes. Os nomes dos naipes em portugues (mas nao os sımbolos) sao similaresaos usados no baralho espanhol de quarenta cartas. Sao eles espadas (♠), paus (ou couves (♣), copas(♥) e ouros (♦), embora sejam usados os sımbolos franceses.




(c) Uma urna tem 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Uma bolinha e extraıda e e

observado seu numero.

(d) De um baralho de 52 cartas, uma e extraıda e observada.

(e) Uma urna contem 5 bolas vermelhas (V) e 2 brancas (B). Duas bolas sao extraı-

das, sem reposicao, e observadas suas cores, na sequencia que foram extraıdas.

(f) Tres pessoas A, B, C sao colocadas numa fila e observa-se a disposi cao das

mesmas.

(g) Um casal planeja ter 3 filhos. Observa-se a sequencia de sexos dos 3 filhos.

(h) Dois dados, um verde e um vermelho sao lancados, e observam-se os numeros

das faces voltadas para cima.

(i) Entre 5 pessoas A, B, C, D, E, duas sao escolhidas pare formarem uma comis-

sao. E voce observa os elementos dessa comissao.

2. Uma urna contem 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Uma bolinha e escolhida e

observado seu numero. Seja Ω = 1, 2, 3, . . . , 29, 30. Descrever os eventos:

(a) o numero obtido e par;

(b) o numero obtido e impar;

(c) o numero obtido e primo;

(d) o numero obtido e maior que 16;

(e) o numero e multiplo de 2 e de 5;

(f) o numero e multiplo de 3 ou de 8;

(g) o numero nao e multiplo de 6.

3. Dois dados, um verde e um vermelho sao lancados. Seja Ω o conjunto dos pares

(a, b) onde a representa o numero do dado verde e b do dado vermelho. Descrever

os eventos:

(a) A: ocorre 3 no dado verde;

(b) B: ocorrem numeros iguais nos dois dados;

(c) C: ocorre o numero 2 em ao menos um dado;

(d) D: ocorrem numeros cuja Soma e 7;

(e) E: ocorrem os numeros cuja soma e menor que 7.




4. Uma moeda e um dado sao lancados. Seja Ω o conjunto dos pares (a, b) onde a

representa a face da moeda e b e o valor da face do dado voltada para cima. Descreva

o espaco amostral e os eventos.

(a) A: ocorre cara;

(b) B: ocorre numero par;

(c) C: ocorre o numero 3;

(d) D: A ∩ B;

(e) E: B ∩C ;

(f) F: A ∩C

(g) F: A ∪ B ´

(h) H: A ∩C .

5. Considere o espaco amostral Ω = a1, a2, a3, a4 e a distribuicao de probabilidades,

tal que: p1 = p2 = p3 e p4 = 0, 1. Pede-se ao aluno que:

(a) Calcule: p1, p2 e p3;

(b) Sendo A o avento A = a1, a3. Calcule: P( A);

(c) Calcule: P( A);

(d) Seja B o avento B = a, a4’ Calcule: P( B);

(e) Calcule: P( A ∪ B), e P( A ∩ B);

(f) Calcule: P

( A ∪ B)

e P

( A ∩ B)

.

6. Uma moeda e viciada de tal modo que sair cara e duas vezes mais provavel do que

sair coroa. Calcule a probabilidade de:

(a) ocorrer cara no lancamento desta moeda;

(b) ocorrer coroa no lancamento desta moeda.

7. Um dado e viciado, de modo que a probabilidade de observarmos um numero na

face voltada para cima e proporcional a esse numero. Calcule a probabilidade de:

(a) ocorrer numero par;

(b) ocorrer numero maior ou igual a 5.

8. Uma urna contem 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola e escolhida ao

acaso da urna. Qual a probabilidade da bola escolhida ser:




a) branca? b) vermelha? c) azul?

9. Uma urna contem 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 10 amarelas. Uma bola e

escolhida ao acaso, Qual a probabilidade de:

(a) da bota nao ser amarela?

(b) de a bola ser branca ou preta?

(c) da bola nao ser branca, nem amarela?

10. Numa cidade, 30% dos homens sao casados, 49% sao solteiros, 20% sao desquitados

e 10% sao viuvos. Um homem e escolhido ao acaso.

(a) Qual a probabilidade dele ser solteiro?

(b) Qual a probabilidade dele nao ser casado?

(c) Qual a probabilidade dele ser solteiro ou desquitado?

11. Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 estudam Economia

e 10 estudam Engenharia e Economia. Se um aluno e escolhido ao acaso. Qual a

probabilidade de que:

(a) ele estude Economia e Engenharia?

(b) ele estude somente Engenharia?

(c) ele estude somente Economia?

(d) ele nao estude Engenharia, nem Economia?

(e) ele estude Engenharia ou Economia?

12. Uma cidade tem 50000 habitantes e 3 jornais A, B, C. Sabe-se que:

• 15 000 leem o jornal A;

• 10 000 leem o jornal B;

• 8 000 leem o jornal C;

• 6000 leem os jornais A e B;

• 4000 leem os jornais A e C;

• 3000 leem os jornais B e C;

• 1 000 leem os tres jornais.




Uma pessoa e selecionada ao acaso. Qual a probabilidade de que:

(a) ela leia pelo menos um jornal?

(b) leia so um jornal?

13. Tres cavalos A, B e C estao numa corrida. Para esta corrida temos que A e duas

vezes mais provavel de ganhar que B e B e duas vezes mais do que C.

(a) Quais sao as probabilidades de vitoria de cada um, isto e, P( A), P( B) e P(C )?

R. P(A) = 4/7, P(B) = 2/7 e P(C) = 1/7

(b) Quais as probabilidade de que B ou C ganhe? R. 3/7

14. Em 25% das vezes determinado marido (fiel) chega em casa tarde para jantar. Poroutro lado, o jantar atrasa 10% das vezes. Considerando eventos independentes

entre os atrasos do marido e os atrasos do jantar, qual a probabilidade de ocorrerem

ambos os atrasos? R. 0,025

15. Um dado e lancado e o numero da face de cima e observado.

(a) Se o resultado obtido for par, qual a probabilidade dele ser maior ou igual a 5?

(b) Se o resultado obtido for maior ou igual a 5, qual a probabilidade dele ser par?(c) Se o resultado obtido for ımpar, qual a probabilidade dele ser menor que 3?

(d) Se o resultado obtido for menor que 3, qual a probabilidade dele ser ımpar?

16. Um numero e sorteado ao acaso entre os 100 inteiros de 1 a 100.

(a) Qual a probabilidade do numero ser par?

(b) Qual a probabilidade do numero ser par, dado que ele e menor que 50?

(c) Qual a probabilidade do numero ser divisıvel por 5, dado que e par?

17. Dois dados d 1 e d 2 sao lancados.

(a) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser 6, se a face observada em d 1 foi

2?

(b) Qual a probabilidade do dado d 1 apresentar face 2,se a soma dos pontos foi 6?

(c) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser menor que 7, sabendo-se que em

ao menos um dado apareceu o resultado 2?

(d) Qual a probabilidade da soma dos pontos ser menor ou igual a 6, se a soma

dos pontos nos dois dados foi menor ou igual a 4?




(e) Qual a probabilidade do maximo dos numeros observados ser 5, se a soma dos

pontos foi menor ou igual a 9?

18.

19. Um grupo de 50 mocas e classificado de acordo com a cor dos cabelos, e dos olhos

de cada moca, segundo a tabela abaixo

X X X X X X X X X X X X

cabelosolhos

azuis castanhos

loira 17 9morena 4 14

ruiva 3 3

(a) Se voce marca um encontro com uma dessas garotas, escolhida ao acaso, qual

a probabilidade da moca ser:

i. loira?

ii. morena de olhos azuis?

iii. morena ou ter olhos azuis?

iv. morena dado que tem olhos azuis?

(b) Esta chovendo quando voce encontra a garota. Seus cabelos estao comple-

tamente cobertos, mas voce percebe que ela tem olhos castanhos. Qual a

probabilidade de que ela seja morena?



30

Referencias Bibliograficas

HAZZAN, S. Fundamentos da Natematica Elementar 5. 3. ed. Sao Paulo: Atual,1977.

MORGANO, A. C. de O. et al. Analise Combinatoria e Probabilidade. Rio deJaniro: Sociedade Brasileira de Matematica, 2006. 343 p.

SPIEGEL, M. R.; SCHILLER, J. J.; SRINIVASAN, R. A. Teoria e Problemas de

Probabilidade e Estatıstica. 2. ed. Sao Paulo: Bookman, 2004.

WIKIPeDIA. Conjunto — Wikipedia, a enciclopedia livre. 2010. [Acesso Onlineem 13 de maio de 2010]. Disponıvel em: <http://pt.wikipedia.org/w/index.php?

title=Conjunto&oldid=20130793>.

Apostila Ufs Probabilidade Int Roe Statistic A

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