Trabajo Colaborativo 2Act. 10

Programación Lineal100404_171

Oscar Javier Jones Zárate Cód.: 91284480

Tutor: Francisco Hernández

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAINGENIERIA INDUSTRIAL

Riohacha (Guajira)Mayo 04 2014

Doña Susana, decide montar una venta de Cds y DVD grabados con videos musicales y mp3 en su casa (para todas las suposiciones del ejercicio la señora paga todos los aranceles y derechos de autor a sayco y acinpro), para lo cual compra un computador con quemador y una impresora, el proceso tiene dos etapas claves, quemar los Cd y los DVD y etiquetarlos, como la señora Susana está empezando su negocio solo ella es la responsable por ambos procesos por lo que decide dedicar horas de la mañana y parte de la tarde a quemar los cd de 8 am a 12m y de 2pm a 4 pm 5 días de la semana para un total 6 horas, y solo dos horas de la tarde de 4 a 6 pm. El computador es de baja gamma por lo que se demora 30 minutos en quemar un cd y 1 hora en quemar DVD, mientras que doña Susana se ha vuelto una experta en etiquetar los cd. Lo que le toma solo 15 min etiquetar (seleccionar canciones, imprimir etiqueta, empacar Cd) un Cd o un DVD indistintamente.

Doña Susana quiere saber cuál debe ser el número de Cd y de DVD que debe quemar para maximizar su ganancia si ella los vende a: $700 Cd y $1200 DVD

C=Cd

D=DVD

Forma canónica

Z= ganancia

Maximizar Z=700*C+1200*D

Restricciones

Quema: 0.5*C + D <= 6

Etiqueta 0.25 C + 0.25 D <=2

C >= 0; D>= 0

Forma estándar

Z= ganancia

Maximizar Z=700*C+1200*D

Restricciones

Quema: 0.5*C + D = 6

Etiqueta 0.25 *C + 0.25 * D =2

C >= 0; D>= 0

Desarrollo

MAXIMIZAR: 700 X1 + 1200 X2 + 0 S1 + 0S2

0.5 X1 + 1 X2 + 1 S1 = 60.25 X1 + 0.25 X2 + 1 S2 = 2X1, X2, S1, S2 ≥ 0

x1 x2 s1 s2 z bs1 0.5 1 1 0 0 6s2 0.25 0.25 0 1 0 2z -700 -1200 0 0 1 0

El indicador más negativo es -1200, entonces x2 es la variable entrante.

Dividiendox1 x2 s1 s2 z b cocientes

s1 0.5 1 1 0 0 6 6s2 0.25 0.25 0 1 0 2 8z -700 -1200 0 0 1 0

El menor cociente es 6, lo que quiere decir que s1 es la variable saliente

x1 x2 s1 s2 z b cocientess1 0.5 1 1 0 0 6 6s2 0.25 0.25 0 1 0 2 8z -700 -1200 0 0 1 0

El elemento pivote es 1, Utilizando operaciones elementales sobre los renglones para obtener 0 en las demás posiciones de esa columna, se tienen:

x1 x2 s1 s2 z Bx2 0.5 1 1 0 0 6s2 0.125 0 -0.25 1 0 0.5z -100 0 1200 0 1 7200

Observe que x2 reemplazo a s1. -100 es el elemento más negativo, ósea que x1 es la variable entrante. El menor cociente es 4, lo que quiere decir que s2 es la variable saliente.

x1 x2 s1 s2 z b cocientesx2 0.5 1 1 0 0 6 12s2 0.125 0 -0.25 1 0 0.5 4z -100 0 1200 0 1 7200

El elemento pivote es 0.125, utilizando operaciones sobre los renglones para obtener 1 en el pivote y 0 en las demás posiciones de la columna se tiene:

x1 x2 s1 s2 z Bx2 0 1 2 -4 0 4x1 1 0 -2 8 0 4z 0 0 1000 800 1 7600

Como todos los valores son no negativos el valor de Z = 7600, y aparece cuando x1 = x2 = 4.

Dualidad

Maximizar Z=700*C+1200*D

Restricciones

Quema: 0.5*C + D <= 6

Etiqueta 0.25 *C + 0.25 * D <=2

C >= 0; D>= 0

El dual es:

MINIMIZAR: W=6*Y1+2*Y2

0.5 Y1 + 0.25 Y2>=700

Y1 + 0.25 Y2 >= 1200

El problema queda planteado de la forma:MAXIMIZAR: -6 Y1 -2 Y2 + 0 Y3 + 0 Y4 + 0 Y5 + 0 Y6

0.5 Y1 + 0.25 Y2 -1 Y3 + 1Y5 = 7001Y1 + 0.25 Y2 -1 Y4 + 1 Y6 = 1200Y1, Y2, Y3,Y4, Y5, Y6 ≥ 0

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 B COCIENTEY5 0.5 0.25 -1 0 1 0 700 1400Y6 1 0.25 0 -1 0 1 1200 1200Z -1.5 -0.5 1 1 0 0 -1900

La variable saliente es y6, entra y1, el pivote es 1, haciendo ceros los demás miembros de la columna

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 B cocienteY5 0 0.125 -1 0.5 1 -0.5 100 200Y1 1 0.25 0 -1 0 1 1200 -1200Z 0 -0.125 1 -0.5 0 1.5 -100

La variable saliente es y5, entra y6, el pivote es 0.5, convirtiéndolo en 1 y haciendo ceros los demás miembros de la columna;

Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 BY4 0 0.25 -2 1 2 -1 200Y1 1 0.5 -2 0 2 0 1400Z 0 0 0 0 1 1 0

El ejercicio tiene al menos una solución, para la segunda fase se obvia las columnas de las variables artificiales, La tabla inicial en este caso se mantiene casi igual a la última tabla de la primera fase. Únicamente habrá que modificar la fila de la función objetivo por la del problema original y calcular nuevamente la fila Z

Y1 Y2 Y3 Y4 B COCIENTESY4 0 0.25 -2 1 200 800Y1 1 0.5 -2 0 1400 2800Z 0 -1 12 0 -8400

La variable saliente es y4 y entra y2, el pivote es 0.25, convirtiéndolo en 1 y haciendo ceros los demás miembros de la columna tenemos

Y1 Y2 Y3 Y4 BY2 0 1 -8 4 800Y1 1 0 2 -2 1000Z 0 0 4 4 -7600

La solución es z= 7600, cuando Y1=1000 y Y2 = 800, congruente con la solución obtenida inicialmente.

Compañeros: estos problemas para desarrollar con el programa PHP Simplex de forma gráfica y por el método Simplex.Deben hacer un análisis sobre los resultados obtenidos.Se deben desarrollar con el programa PHPSimplex y no con otro.Envíen pantallazos de la subida de datos y del desarrollo de estos problemas.