Aplicacions de la derivada Mònica Orpí

52
APLICACIONS DE LA DERIVADA Per Mònica Orpí i Mañé

Transcript of Aplicacions de la derivada Mònica Orpí

APLICACIONS DE LA

DERIVADA

Per Mònica Orpí i Mañé

APLICACIONS DE LA DERIVADA

GRÀFICA DE FUNCIONSPROBLEMES D’OPTAMITZACIÓ

REGLA DE L’HÔPITAL

LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER ESTALVIAR :

MINIMITZANT EL MATERIAL Problema per utilitzar el mínim

alumini :

Quines dimensions ha de tenir un cassó

en forma de cilindre d’un litre de capacitat

perquè la superfície total d’alumini sigui

mínima ?

Com ho fem perquè ens càpiga el màxim de coses si

fem una capsa amb una planxa quadrada de cartró de 10

dm de costat? Com hem de tallar les puntes peraconseguir el màxim volum ?

LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER MAXIMITZAR EL RENDIMENT :

LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER ARREGLAR PETITS PROBLEMES

DOMÈSTICS :Situació familiar :A casa teníem un mirallrectangular que feia 2m per1m i se'ns ha escantonat.Volem recuperar la formarectangular del mirallretallant-lo de tal maneraque el mirall que en resulti,sigui el més gran possible

TAMBÉ SÓN ÚTILS PERREPRESENTAR LES FUNCIONS

En la representació de funcions és molt útil conèixer què passa en cada interval :

* És creixent o decreixent en aquell interval

* Podem localitzar el valor màxim i mínim en aquest interval?

* La funció és còncava o convexa ?

Les derivades donen resposta a totes

aquestes preguntes !!!

APLICACIONS DE LA DERIVADA : o Aproximacions del valor d’una funció fent

𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 · (𝑥 − 𝑎)

Exemple : f(x)= 𝑥 i volíem conèixer 144

145 = 144 +1

2 144(145 − 144)

oResolució d’algunes indeterminacions : Regla de L’Hôpital

o Representació de les gràfiques de funcions

oProblemes d’optimització

LA REGLA DE L’HÔPITALÉs una regla que serveix per resoldre

indeterminacions del tipus0

0𝑖

És basa amb el teorema següent :

Si on f i g són

derivables en un entorn d’a i existeix el límit :

Aleshores coincidirà amb

El mateix enunciat serveix quan els límits de f(x) i g(x) van a l’∞http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/lhospital.1/index.html

1r Exemple

Últim Exemple

REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS

Passos a seguir per a poder representar una funció f(x) :

Domini de f(x)

Punts de tall amb els eixos

Càlcul de les asímptotes ( AV, AH i AO)

Intervals de creixement i decreixement. Màxims i mínims

Curvatura (concavitat i convexitat) i punts d’inflexió

Altres aspectes interessants :

Simetries (parell o senar )

SIMETRIES :

Simetria parell f(-x)=f(x) Simetria senar f(-x)= - f(x)

INTERVALS DE CREIXEMENT : DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT CREIXENT EN UN INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :

Recorda que la derivada d’unafunció y=f(x) en un punt x indica lapendent de la recta tangent enaquest punt.

Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectestenen tangents de pendent positiva,la funció és creixent en aquestpunts

Si f(x) és derivable tenim que

f’(x)>0 ⇒ f(x) és creixent

INTERVALS DE DECREIXEMENT : DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT DECREIXENT EN UN INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :

Recorda que la derivada d’unafunció y=f(x) en un punt x indica lapendent de la recta tangent en aquestpunt. Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectestenen tangents de pendent negativa,la funció és decreixent en aquestpunts Si f(x) és derivable tenim que

f’(x)<0 ⇒ f(x) és decreixent

PUNTS SINGULARS: SÓN ELS PUNTS D’UNA FUNCIÓ CONTÍNUA QUE TENEN PENDENT HORITZONTAL. COM QUE LA TANGENT ÉS HORITZONTAL, LA PENDENT ÉS 0 I PER AQUESTA RAÓ LA DERIVADA ENS AQUEST PUNTS ÉS 0.

x=a és un punt singular ⇔f’(a)=0

Hi ha tres casos :

El punt 𝑐1 s’anomena mínim relatiu

f’(𝑐1) = 0

El punt 𝑐2 s’anomena punt d’inflexió de tangent horitzontal

f’(𝑐2) = 0

El punt 𝑐3 s’anomena màxim relatiu

f’(𝑐3) = 0

Màxim relatiu Mínim relatiu

PUNTS D’INFLEXIÓ

Observa que les rectes tangent passen a estar damunt de la corba a estar sota o al revés

EXEMPLE : ESTUDIA ELS INTERVALS DE CREIXEMENT I DECREIXEMENT I PUNTS SINGULARS DE

Conclusió :

La funció és decreixent en −∞, −1 𝑖 0,1

La funció és creixent en (-1,0) i (0, ∞)

Hi ha dos mínims en (-1,f(-1))=(-1,-1) i en (1,f(1))=(1,-1)

Hi ha un màxim en (0,f(0))=(0,0)

Calculem primer els punts ons’anul·la la derivada ilocalitzem els punts singulars

• Estudiem el signeque tindrà laderivada en elsintervals quedeterminen elspunts singulars

ESTUDI DE LA CONCAVITAT D’UNA FUNCIÓ : Com hem vist, la primera derivada f’ ens dóna

informació sobre la funció f(x). Si derivem f’obtenim la derivada de f’, que denotarem per f’’(x).Aquesta ens donarà informació de f’(x)

Així com f’>0 ens informa que f és creixent, f’’>0ens informa que f’ és creixent. Això ens indica quela corba de f(x) està per sobre de les seves tangent(ja que les pendents passen a ser negatives a serpositives i per tant f’ creix). En aquest cas diremque f és còncava

En el cas que f’’<0 ens informa que f’ és decreixent. Això es tradueix que la corba de f(x) està per sota de les tangents i direm que f(x) és convexao f’’>0 en un interval ⇒ f és còncava ∪

o f’’<0 en un interval ⇒ f és convexa ∩

EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR MÀXIM I MÍNIMS :

També podem detectar que un punt singular ésun màxim o un mínim amb el test de la 2aderivada

Si f’(a)=0 i f’’(a)>0 ⇔ f presenta un mínim en

Si f’(a)=0 i f’’(a)<0 ⇔f presenta un màxim en

EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR PUNTS D’INFLEXIÓ:

x=a és un punt d’inflexió de f(x)si en aquell punt on la corbacanvia de curvatura

f(x) presenta un PI en x=a sif’’(a)=0.

Si a més, tenim que f’(a)=0 ialeshores diem que en x=a fpresenta un punt d’inflexió detangent horitzontal

EXEMPLE : EN LA FIGURA ES MOSTRA ELGRÀFIC DE LA FUNCIÓ F(X). COMPLETA LATAULA SEGÜENT AMB ELS SIGNES DE F, F’ I F’’EN ELS PUNTS DEL GRÀFIC A, B, C, D I E :

Solució :

A= (a,f(a)) B=(b,f(b)), C=(c,f(c)), D=(d, f(d)) iE=(e, f(e))

f(a)=0, f’(a)=0 perquè presenta un mínimhoritzontal) i f’’(a) >0 perquè es còncava

f(b)>0, f’(b)>0 ja que la recta tangent tindràpositiu ja que f és creixent i f’’(b)<0 ja que és

f(c)>0, f’(c)=0 ja que presenta un màxim ique és convexa

f(d)>0, f’(d)<0 ja que f decreix i f’’(d)<0 perquèconvexa

f(e)<0, f’(e)>0 ja que f creix, f’’(e)>0 ja que f éscòncava

ALGUNS EXEMPLES DE GRÀFIQUES :

1) Domini ℝ- 0

2) Punts de tall amb els eixos

Eix OX ⇒ y=0 𝑥+1

𝑥2 =0 ⇒ x+1=0 ⇒x=-

Punt (-1,0)

Eix OY ⇒ x=0 ( No talla l’eix ja que x=0 no pertany al domini de f(x)

3) Asímptotes

AV en x=0 lim𝑥→0±

𝑥+1

𝑥2 =1

0+ = +∞ AV x=0

AH lim𝑥→±∞

𝑥+1

𝑥2 =∞

∞⇒ lim

𝑥→±∞

𝑥+1

𝑥2 = 0± AH

y=0

No té AO

4. Intervals de creixement i decreixement – Màxims i mínims

f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)f és creixent de (-2, 0) i presenta un mínim en (-2, -1/4)

5. Curvatura (Intervals de concavitat i convexitat-Punts d’inflexió

En (-3, f(-3)) presenta un PI

LA GRÀFICA DE F(X)=𝑥+1

𝑥2

Talla l’eix OX en (-1,0)

Té AV en x=0 i AH en y=0

f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)

f és creixent de (-2, 0)

Presenta un mínim en (-2, -1/4)

Té en (-3, -2/9) Punt d’inflexió

És convexa de (-∞, −3) i còncava (-3, 0) i de

(0, +∞)

• Intervals de creixement i decreixement :

f’(x)=3𝑥2 𝑥2−1 −𝑥3(2𝑥)

𝑥2−1 2 =3𝑥4−3𝑥2−2𝑥4

𝑥2−1 2 =𝑥4−3𝑥2

𝑥2−1 2

f’(x)=𝑥4−3𝑥2

𝑥2−1 2 = 0 ⇒ 𝑥4 − 3𝑥2=0⇒𝑥2 𝑥2 − 3 =

0

⇒ 𝑥 = 0 𝑖 𝑥 = ± 3 fem el test de la 2a

derivada pe avaluar si són màxims, mínims o

punts d’inflexió

𝑓′′ 𝑥 =2𝑥3+6𝑥

𝑥2−1 3 i si avaluem en els punts

singulars f’’(0)=0⇒ (0, 0) és Punt d’inflexió de

tangent horitzontal

𝑓′′( 3)>0 ⇒( 3, 𝑓 3 é𝒔 𝒖𝒏 𝒎í𝒏𝒊𝒎

f′′(− 3)<0 ⇒(− 3, 𝑓 −3 é𝒔 𝒖𝒏 𝒎à𝒙𝒊𝒎

La gràfica de

f(x)=𝑥3

𝑥2−1

Un problema es diu que es de màxims o mínims o, en general, d’extrems, sempre que es vulguiresoldre una situació en la qual una determinada magnitud M depèn d’una altra magnitud x, demanera que M = f(x), i s’hagi de trobar un màxim o un mínim de M.

En el cas d’un problema de màxims, es tractarà de trobar un màxim de f(x) i, per tant, s’hauràde buscar x0 tal que f ’(x0) = 0 i, a més, f ’’(x0) < 0.

En canvi, en el cas d’un problema de mínims, es tractarà de trobar un mínim de f(x) i, per tant,s'haurà de buscar x0 tal que f ’(x0) = 0 i, a mes, f ’’(x0) > 0.

QUINES DIMENSIONS HA DE TENIR UN CASSÓ EN FORMA DECILINDRE D’UN LITRE DE CAPACITAT PERQUÈ LA SUPERFÍCIETOTAL SIGUI MÍNIMA. CALCULEU LA SUPERFÍCIE MÍNIMA

Em d’expressar la funció que volem minimitzar.

En aquest cas, el que volem minimitzar és la

superfície de cassó :

S(r,h)=𝟐𝝅𝒓𝒉 + 𝝅𝒓𝟐

La funció S depèn de dues variables, la variable h

i r

Hem de trobar la manera d’expressar aquesta

funció de manera que només depengui d’una

variable, o de la r o de la h

Substituint l’expressió (1) en la funció

S(r,h)=𝟐𝝅𝒓𝒉 + 𝝅𝒓𝟐 tenim que

Com que volem un mínim, hem de imposar que la derivada és 0

El cassó que té una capacitat de volum fixat i la superfície del qual és mínima, és aquell que l’alçada és igual al radi. Qualsevol altra opció és més costosa en material !!

Amb una peca de cartolina de 10 dm de costat es vol construir unacaixa retallant en cada vèrtex del quadrat peces quadrades decostat x. Quin valor s’ha de donar a x perquè el volum de la caixasigui el màxim?

Hem de maximitzar la funció Volum e la caixa.

Com que la caixa és un prisma rectangular, podem trobar el volum multiplicant amplària, per llargària i per

altura:

V(x) = (10 – 2x)𝟐 ・ x = 4𝒙𝟑 – 40𝒙𝟐 + 100x

Així, doncs, el volum de la caixa dependrà del valor de x.

S’ha de trobar un màxim d’aquesta funció en l’interval (0, 5), ja que el tall en els extrems no pot superar els 5

dm. El volum de la caixa, tant en 0 com en 5 és igual a 0: V(0) = V(5) = 0. Vegem si podem trobar el màxim

en l’interior d’aquest interval. Per això, tractarem de trobar un punt, x=a, que compleixi les condicions d’un

màxim

V’(a) = 0 i V’’(a) < 0

V(x) = (10 – 2x)𝟐 ・ x = 4𝒙𝟑 – 40𝒙𝟐 + 100x

La funció derivada de V(x) és: V’(x) = 12𝑥2 – 80x + 100 = 4(3𝑥2 – 20x +25)

Com volem trobar x tal que V’(x)=0, hem de resoldre l’equació de 2n grau 4(3𝑥2 – 20x +25)=0

La derivada de V(x) s’anul·la en x=5 i x=5/3 El primer valor no es troba dintre de l’interval (0,5) per tant, només

podem considerar x = 5/3 com a possible solució que maximitza el volum

Per saber si en aquest punt tenim un màxim o un mínim de la funció hem de calcular la segona derivada i avaluar-la

en x=5/3

V’’(x) = 24x – 80 i V’’(5/3) = 24・ 5/3 – 80 < 0

Per tant, per x = 5/3 obtenim un màxim de la funció.

Conclusió :

Així doncs, per obtenir el màxim volum en la caixa, hem de retallar petits quadrats, aproximadament, de 1,66

dm, i el volum màxim que s’obtindrà amb aquest valor serà de:

V(5/3) = (𝟏𝟎 − 𝟐𝟓

𝟑)𝟐·

𝟓

𝟑= (20/3)^2・ 5/3 = 2000/27 74,07 dm3.

Qualsevol altra opció tindrà un volum inferior a aquest

EN UN DISC METÀL·LIC RETALLEM UN SECTOR DE MANERA QUE AMB LA PART RESTANT CONSTRUÏM UN CON DE VOLUM MÀXIM. DETERMINEU L’ANGLE DEL SECTOR QUE RETALLEM.

TROBAR EL RECTANGLE INSCRIT EN LA SEMICIRCUMFERÈNCIA

D’ÀREA MÀXIMA

http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/applications.1/index.html

→ →

http://www.matifutbol.com/ca/triangle.cat.html

Bale

Bale - Özil???

Bale -Özil ???

FERMAT :“DONATS TRES POBLES, ON S’HA DE CONSTRUIR UNHOSPITAL DE MANERA QUE EL CAMÍ TOTAL QUE HAURIA DERECÓRRER LES AMBULÀNCIES SIGUI MÍNIM”.

EL MÈTODE DE CONSTRUCCIÓ DEL PUNT DE FERMAT D’UNTRIANGLE

ACUTANGLE AMB REGLA I COMPÀS: SOBRE CADA COSTAT DELTRIANGLE ORIGINALCONSTRUÏM TRIANGLES EQUILÀTERS I UNIM EL VÈRTEX EXTERIORDE CADASCUND’AQUESTS TRIANGLES AMB EL VÈRTEX OPOSAT D’AQUELL. ELSTRES SEGMENTS ESTALLARAN EN EL PUNT DE FERMAT. VEGI’S L’ESQUEMA SEGÜENT: (OBSERVEU QUE NO COINCIDEIX AMB EL BARICENTRE DEL TRIANGLE)

Baricentre d’un triangle

El baricentre d’un triangle és el punt d’intersecció

de les seves medianes.