APLICACIONS DE LA

DERIVADA

Per Mònica Orpí i Mañé

APLICACIONS DE LA DERIVADA

GRÀFICA DE FUNCIONS

PROBLEMES D’OPTAMITZACIÓ

REGLA DE L’HÔPITAL

LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER ESTALVIAR :

MINIMITZANT EL MATERIAL

Problema per utilitzar el mínim

alumini :

Quines dimensions ha de tenir un cassó

en forma de cilindre d’un litre de capacitat

perquè la superfície total d’alumini sigui

mínima ?

Com ho fem perquè ens càpiga el màxim de coses si

fem una capsa amb una planxa quadrada de cartró de 10

dm de costat? Com hem de tallar les puntes peraconseguir el màxim volum ?

LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER MAXIMITZAR EL RENDIMENT :

LES DERIVADES SÓN MOLT ÚTILS PER ARREGLAR PETITS PROBLEMES DOMÈSTICS :

Situació familiar :A casa teníem un mirall

rectangular que feia 2m per 1m i

se'ns ha escantonat.

Volem recuperar la forma

rectangular del mirall retallant-lo

de tal manera que el mirall que en

resulti, sigui el més gran possible

TAMBÉ SÓN ÚTILS PER REPRESENTAR LES FUNCIONS

En la representació de funcions és molt útil conèixer què passa en cada interval :

* És creixent o decreixent en aquell interval

* Podem localitzar el valor màxim i mínim en aquest interval?

* La funció és còncava o convexa ?

Les derivades donen resposta a totes aquestes

preguntes !!!

APLICACIONS DE LA DERIVADA : o Aproximacions del valor d’una funció fent

𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑎 + 𝑓′ 𝑎 · (𝑥 − 𝑎)

Exemple : f(x)= 𝑥 i volíem conèixer 144

145 = 144 +1

2 144(145 − 144)

oResolució d’algunes indeterminacions : Regla de L’Hôpital

o Representació de les gràfiques de funcions

oProblemes d’optimització

LA REGLA DE L’HÔPITAL

És una regla que serveix per resoldre

indeterminacions del tipus0

0𝑖

∞

∞

És basa amb el teorema següent :

Si on f i g són

derivables en un entorn d’a i existeix el límit :

Aleshores coincidirà amb

El mateix enunciat serveix quan els límits de f(x) i g(x) van a l’∞

http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/lhospital.1/index.html

1r Exemple

Últim Exemple

→

→

REPRESENTACIÓ DE FUNCIONS

Passos a seguir per a poder representar una funció f(x) :

Domini de f(x)

Punts de tall amb els eixos

Càlcul de les asímptotes ( AV, AH i AO)

Intervals de creixement i decreixement. Màxims i mínims

Curvatura (concavitat i convexitat) i punts d’inflexió

Altres aspectes interessants :

Simetries (parell o senar )

SIMETRIES :

Simetria parell f(-x)=f(x) Simetria senar f(-x)= - f(x)

INTERVALS DE CREIXEMENT : DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT CREIXENT EN UN INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :

Recorda que la derivada d’una funcióy=f(x) en un punt x indica la pendent de larecta tangent en aquest punt.

Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectes tenentangents de pendent positiva, la funció éscreixent en aquest punts

Si f(x) és derivable tenim que

f’(x)>0 ⇒ f(x) és creixent

INTERVALS DE DECREIXEMENT : DIREM QUE UNA FUNCIÓ CONTÍNUA ÉS ESTRICTAMENT DECREIXENT EN UN INTERVAL QUAN COMPLEIX QUE :

Recorda que la derivada d’una funció

y=f(x) en un punt x indica la pendent de la

recta tangent en aquest punt.

Si ens els punts 𝑥0, 𝑥1 𝑖 𝑥2 les rectes tenen

tangents de pendent negativa, la funció és

decreixent en aquest punts

Si f(x) és derivable tenim que

f ’(x)<0 ⇒ f(x) és decreixent

PUNTS SINGULARS: SÓN ELS PUNTS D’UNA FUNCIÓ CONTÍNUA QUE TENEN PENDENT HORITZONTA L.

COM QUE LA TANGENT ÉS HORITZONTAL, LA PENDENT ÉS 0 I PER AQUESTA RAÓ LA DERIVADA ENS AQUEST PUNTS ÉS 0.

x=a és un punt singular ⇔f’(a)=0

Hi ha tres casos :

El punt 𝑐1 s’anomena mínim relatiu

f’(𝑐1) = 0

El punt 𝑐2 s’anomena punt d’inflexió de tangent horitzontal

f’(𝑐2) = 0

El punt 𝑐3 s’anomena màxim relatiu

f’(𝑐3) = 0

Màxim relatiu Mínim relatiu

PUNTS D’INFLEXIÓ

Observa que les rectes tangent passen a estar damunt de la corba a estar sota o al revés

EXEMPLE : ESTUDIA ELS INTERVALS DE CREIXEMENT I DECREIXEMENT I PUNTS SINGU LARS DE

Conclusió :

La funció és decreixent en −∞, −1 𝑖 0,1

La funció és creixent en (-1,0) i (0, ∞)

Hi ha dos mínims en (-1,f(-1))=(-1,-1) i en (1,f(1))=(1,-1)

Hi ha un màxim en (0,f(0))=(0,0)

Calculem primer els punts on s’anul·la la

derivada i localitzem els punts singulars

• Estudiem el signe que

tindrà la derivada en

els intervals que

determinen els punts

singulars

ESTUDI DE LA CONCAVITAT D’UNA FUNCIÓ : Com hem vist, la primera derivada f’ ens dóna informaciósobre la funció f(x). Si derivem f’ obtenim la derivada de f’,que denotarem per f’’(x). Aquesta ens donarà informació def’(x)

Així com f’>0 ens informa que f és creixent, f’’>0 ensinforma que f’ és creixent. Això ens indica que la corba de f(x)està per sobre de les seves tangent (ja que les pendentspassen a ser negatives a ser positives i per tant f’ creix). Enaquest cas direm que f és còncava

En el cas que f’’<0 ens informa que f’ és decreixent. Això es tradueix que la corba de f(x) està per sota de les tangents i direm que f(x) és convexa

o f’’>0 en un interval ⇒ f és còncava ∪o f’’<0 en un interval ⇒ f és convexa ∩

EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR MÀXIM I MÍNIMS :

També podem detectar que un punt singular és un màxim oun mínim amb el test de la 2a derivada

Si f’(a)=0 i f ’’(a)>0 ⇔ f presenta un mínim en x=a

Si f’(a)=0 i f’’(a)<0 ⇔f presenta un màxim en x=a

EL TEST DE LA SEGONA DERIVADA PER DETECTAR PUNTS D’INFLEXIÓ:

x=a és un punt d’inflexió de f(x) si enaquell punt on la corba canvia decurvatura

f(x) presenta un PI en x=a si f’’(a)=0.

Si a més, tenim que f’(a)=0 i f ’’(a)=0aleshores diem que en x=a f presentaun punt d’inflexió de tangenthoritzontal

EXEMPLE : EN LA FIGURA ES MOSTRA EL GRÀFIC DE LA FUNCIÓ F(X).

COMPLETA LA TAULA SEGÜENT AMB ELS SIGNES DE F, F’ I F’’ EN ELS PUNTS DELGRÀFIC A, B, C, D I E :

Solució :

A= (a,f(a)) B=(b,f(b)), C=(c,f(c)), D=(d, f(d)) i E=(e, f(e))

f(a)=0, f’(a)=0 perquè presenta un mínim (tangenthoritzontal) i f’’(a) >0 perquè es còncava

f(b)>0, f’(b)>0 ja que la recta tangent tindrà pendentpositiu ja que f és creixent i f’’(b)<0 ja que és convexa

f(c)>0, f’(c)=0 ja que presenta un màxim i f’’(c)<0 ja queés convexa

f(d)>0, f’(d)<0 ja que f decreix i f’’(d)<0 perquè ésconvexa

f(e)<0, f’(e)>0 ja que f creix, f’’(e)>0 ja que f és còncava

ALGUNS EXEMPLES DE GRÀFIQUES :

1) Domini ℝ- 0

2) Punts de tall amb els eixos

Eix OX ⇒ y=0 𝑥+1

𝑥2 =0 ⇒ x+1=0 ⇒x=-1

Punt (-1,0)

Eix OY ⇒ x=0 ( No talla l’eix ja que x=0 no pertany al domini de f(x)

3) Asímptotes

AV en x=0 lim𝑥→0±

𝑥+1

𝑥2 =1

0+ = +∞ AV x=0

AH lim𝑥→±∞

𝑥+1

𝑥2 =∞

∞⇒ lim

𝑥→±∞

𝑥+1

𝑥2 = 0± AH y=0

No té AO

4. Intervals de creixement i decreixement – Màxims i mínims

f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)f és creixent de (-2, 0) i presenta un mínim en (-2, -1/4)

5. Curvatura (Intervals de concavitat i convexitat-Punts d’inflexió

En (-3, f(-3)) presenta un PI

LA GRÀFICA DE F(X)=𝑥+1

𝑥2

Talla l’eix OX en (-1,0)

Té AV en x=0 i AH en y=0

f és decreixent (−∞,-2) i de (0, +∞)

f és creixent de (-2, 0)

Presenta un mínim en (-2, -1/4)

Té en (-3, -2/9) Punt d’inflexió

És convexa de (-∞, −3) i còncava (-3, 0) i de

(0, +∞)

• Intervals de creixement i decreixement :

f’(x)=3𝑥2 𝑥2−1 −𝑥3(2𝑥)

𝑥2−1 2 =3𝑥4−3𝑥2−2𝑥4

𝑥2−1 2 =𝑥4−3𝑥2

𝑥2−1 2

f’(x)=𝑥4−3𝑥2

𝑥2−1 2 = 0 ⇒ 𝑥4 − 3𝑥2=0⇒𝑥2 𝑥2 − 3 = 0

⇒ 𝑥 = 0 𝑖 𝑥 = ± 3 fem el test de la 2a derivada pe avaluar

si són màxims, mínims o punts d’inflexió

𝑓′′ 𝑥 =2𝑥3+6𝑥

𝑥2−1 3 i si avaluem en els punts singulars f’’(0)=0⇒

(0, 0) és Punt d’inflexió de tangent horitzontal

𝑓′′( 3)>0 ⇒( 3, 𝑓 3 é𝒔 𝒖𝒏 𝒎í𝒏𝒊𝒎

f′′(− 3)<0 ⇒(− 3, 𝑓 −3 é𝒔 𝒖𝒏 𝒎à𝒙𝒊𝒎

La gràfica

de f(x)=𝑥3

𝑥2−1

Un problema es diu que es de màxims o mínims o, en general, d’extrems, sempre que es vulguiresoldre una situació en la qual una determinada magnitud M depèn d’una altra magnitud x, demanera que M = f(x), i s’hagi de trobar un màxim o un mínim de M.

En el cas d’un problema de màxims, es tractarà de trobar un màxim de f(x) i, per tant, s’hauràde buscar x0 tal que f ’(x0) = 0 i, a més, f ’’(x0) < 0.

En canvi, en el cas d’un problema de mínims, es tractarà de trobar un mínim de f(x) i, per tant,s'haurà de buscar x0 tal que f ’(x0) = 0 i, a mes, f ’’(x0) > 0.

QUINES DIMENSIONS HA DE TENIR UN CASSÓ EN FORMA DECILINDRE D’UN LITRE DE CAPACITAT PERQUÈ LA SUPERFÍCIETOTAL SIGUI MÍNIMA. CALCULEU LA SUPERFÍCIE MÍNIMA

Em d’expressar la funció que volem minimitzar. En aquest cas, el

que volem minimitzar és la superfície de cassó :

S(r,h)=𝟐𝝅𝒓𝒉 + 𝝅𝒓𝟐

La funció S depèn de dues variables, la variable h i r

Hem de trobar la manera d’expressar aquesta funció de manera que

només depengui d’una variable, o de la r o de la h

Substituint l’expressió (1) en la funció

S(r,h)=𝟐𝝅𝒓𝒉 + 𝝅𝒓𝟐 tenim que

⇒

Com que volem un mínim, hem de

imposar que la derivada és 0

El cassó que té una capacitat de volum fixat i la superfície del qual és mínima, és aquell que l’alçada és igual al radi. Qualsevol altra opció és més costosa en material !!

Amb una peca de cartolina de 10 dm de costat es vol construir unacaixa retallant en cada vèrtex del quadrat peces quadrades decostat x. Quin valor s’ha de donar a x perquè el volum de la caixasigui el màxim?

Hem de maximitzar la funció Volum e la caixa.

Com que la caixa és un prisma rectangular, podem trobar el volum multiplicant amplària, per llargària i per

altura:

V(x) = (10 – 2x)𝟐 ・ x = 4𝒙𝟑 – 40𝒙𝟐 + 100x

Així, doncs, el volum de la caixa dependrà del valor de x.

S’ha de trobar un màxim d’aquesta funció en l’interval (0, 5), ja que el tall en els extrems no pot superar els 5

dm. El volum de la caixa, tant en 0 com en 5 és igual a 0: V(0) = V(5) = 0. Vegem si podem trobar el màxim

en l’interior d’aquest interval. Per això, tractarem de trobar un punt, x=a, que compleixi les condicions d’un

màxim

V’(a) = 0 i V’’(a) < 0

V(x) = (10 – 2x)𝟐 ・ x = 4𝒙𝟑 – 40𝒙𝟐 + 100x

La funció derivada de V(x) és: V’(x) = 12𝑥2 – 80x + 100 = 4(3𝑥2 – 20x +25)

Com volem trobar x tal que V’(x)=0, hem de resoldre l’equació de 2n grau 4(3𝑥2 – 20x +25)=0

La derivada de V(x) s’anul·la en x=5 i x=5/3 El primer valor no es troba dintre de l’interval (0,5) per tant, només

podem considerar x = 5/3 com a possible solució que maximitza el volum

Per saber si en aquest punt tenim un màxim o un mínim de la funció hem de calcular la segona derivada i avaluar-la

en x=5/3

V’’(x) = 24x – 80 i V’’(5/3) = 24・ 5/3 – 80 < 0

Per tant, per x = 5/3 obtenim un màxim de la funció.

Conclusió :

Així doncs, per obtenir el màxim volum en la caixa, hem de retallar petits quadrats, aproximadament, de 1,66

dm, i el volum màxim que s’obtindrà amb aquest valor serà de:

V(5/3) = (𝟏𝟎 − 𝟐𝟓

𝟑)𝟐·

𝟓

𝟑= (20/3)^2・ 5/3 = 2000/27 74,07 dm3.

Qualsevol altra opció tindrà un volum inferior a aquest

EN UN DISC METÀL·LIC RETALLEM UN SECTOR DE MANERA QUE AMB LA PART RESTANT CONSTRUÏM UN CON DE VOLUM MÀXIM. DETERMINEU L’ANGLE DEL SECTOR QUE RETALLEM.

TROBAR EL RECTANGLE INSCRIT EN LA SEMICIRCUMFERÈNCIA D’ÀREA MÀXIMA

http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/applications.1/index.html

→ →

→

http://www.matifutbol.co

m/ca/triangle.cat.html

Bale

Bale - Özil

???

Bale - Özil

???

UN NOU PROBLEMA QUE TÉ PER SOLUCIÓ EL PUNT DE FERMAT :“DONATS TRES POBLES, ON S’HA DE CONSTRUIR UN HOSPITAL DE MANERA QUE ELCAMÍ TOTAL QUE HAURIA DE RECÓRRER LES AMBULÀNCIES SIGUI MÍNIM”.

EL MÈTODE DE CONSTRUCCIÓ DEL PUNT DE FERMAT D’UN TRIANGLEACUTANGLE AMB REGLA I COMPÀS: SOBRE CADA COSTAT DEL TRIANGLE ORIGINALCONSTRUÏM TRIANGLES EQUILÀTERS I UNIM EL VÈRTEX EXTERIOR DE CADASCUND’AQUESTS TRIANGLES AMB EL VÈRTEX OPOSAT D’AQUELL. ELS TRES SEGMENTS ESTALLARAN EN EL PUNT DE FERMAT. VEGI’S L’ESQUEMA SEGÜENT: ( OBSERVEU QUE NO COINCIDEIX AMB ELBARICENTRE DEL TRIANGLE )

Baricentre d’un triangle

El baricentre d’un triangle és el punt d’intersecció

de les seves medianes.