APLICACIONES_DERIVADA_graficas[1]

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APLICACIONES DE LA DERIVADA

Autor: María V. Hermenegildo Chávez

EXTREMOS DE UN INTERVALO Definición de extremos Sea f definida en un intervalo I conteniendo c. 1. f (c) es mínimo de f en I, si:

f (c ) ≤ f (x), ∀ x ∈ I

2. f (c) es máximo de f en I, si: f (c ) ≥ f(x) , ∀ x ∈ I

El mínimo (ó mínimo absoluto) y el máximo (ó máximo absoluto) de una función en un intervalo se llaman valores extremos o extremos de la función en ese intervalo. Ejemplo 40 Hallar el valor máximo y mínimo (si existe) f (x) = x² + 1 en [–1, 2]

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Y

-4 -2 2 4X

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79

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Y

-4 -2 2 4X

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Y

-4 -2 2 4X

f no está definida en x=2 f no está definida en x=0

Ejemplo 41 Hallar el valor máximo y mínimo (si existe) de:

f (x) = | x - 2 | + 1 en [1, 4] Solución

| x - 2 | + 1 = x – 2 + 1, x – 2 ≥ 0 ٨ x ∈ [1, 4] -x + 2 + 1, x - 2 < 0 ٨ x ∈ [1, 4) = x – 1, x ∈ [2, 4] -x + 3, x ∈ [1, 2)

-1

0

1

2

3

4

5

-1 1 2 3 4 5x

máximo f (4) = 3; mínimo f (2) = 1.

Teorema del Valor Extremo Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un máximo y también un mínimo en ese intervalo. .

∃ máximo

∃ mínimo

∃ máximo

máximo

∃ mínimo



80

DEFINICIÓN DE EXTREMOS RELATIVOS 1. Valor máximo relativo: Se dice que f (c) es un máximo relativo de f, si existe un intervalo abierto I =(c – δ , c + δ ), δ > 0 tal que: f (x) ≤ f (c) ∀ x ∈ I En la figura de la derecha fig. 1, sea (a, b) que contiene a c, se observa que f tiene un máximo relativo, dicho valor es f (c)= d y ocurre en c. Observación: La función crece hasta f(c) y luego decrece.

fig.1

2. Valor mínimo relativo: Se dice que f (c) es un mínimo relativo de f, si existe un intervalo abierto I = (c – δ , c + δ ), δ > 0, tal que: f (x) ≥ f (c) ∀ x ∈ I En la figura de la derecha fig. 2, sea (a, b) que contiene a c, se observa que f tiene un valor mínimo relativo en c. Dicho valor es f (c)= d y ocurre en c. Observación: La función decrece hasta f(c) y luego crece.

fig.2

Teorema de Fermat Si f tiene un extremo relativo (esto es, un máximo o un mínimo local) en c, si existe f '(c ), entonces f '(c ) = 0. Definición de Punto Crítico Sea f definida en c. i. Se dice que c es un punto crítico de f si f '(c ) = 0, o, ii. Se dice que c es un punto crítico de f si f ' no está definida en c. Ejemplo 42 a. y = f (x) = x³ – 3x



81

y ' = 3x² – 3= 0 x = ± 1 , puntos críticos.

b. f (x) = 8 – x, x > 3 2x – 1, x ≤ 3

-1

0

1

2

3

4

5

Y

2 4 6 8X

f ' (c) = lim

x→c f(x) - f (c)

x - c

Veamos si f ' (3) existe:

lim x→3+

8 - x - (5)

x - 3 = lim x→3+

3 - x x - 3 = –1

lim x→3 -

2x - 1 - 5

x - 3 = lim x→3 -

2(x - 3) x - 3 =2

Así, f ' no está definida en x = 3 . Por lo tanto x = 3 es un punto crítico.

Teorema: Los extremos relativos solo ocurren en puntos críticos Si f tiene un extremo relativo en x = c, entonces c es un valor crítico de f.

Ejemplo 43 Hallar los puntos críticos a. y = 3x² + 6x + 1

b. y = x + 2x + 1

c. y = 13 x³ – x + 2

máximo



82

d. y = x³ – 2x² + x – 2 ; [0, 2]

Solución a. y = 3x² + 6x + 1

y' = 6x + 6

Haciendo y' = 0:

6x + 6 = 0 ⇒ x = –1, punto crítico.

b. y = x + 2x + 1

y' = (x + 2)'(x + 1) - (x + 2)(x + 1)'

(x + 1)²

= 1(x + 1) - (x + 2)

(x + 1)² = -1

(x + 1)²

punto crítico: x = –1, pues f '(-1) no esta definida.

c. y = 13 x³ – x + 2

y' = 33 x² – 1 = x² – 1

Si y ' = x² – 1 = 0

⇒ x² = 1

⇒ x = ± 1, esto es: x = 1, –1 son puntos críticos. d. y = x³ – 2x² + x –2 en [0, 2]

y ' = 3x² – 4x + 1 ⇒ (3x – 1) ( x – 1) haciendo y ' = 0 para hallar los puntos críticos: 3x² – 4x + 1 = 0

b² – 4ac = 4² – 4(3)(1) = 4

⇒ x = -b ± b² - 4ac

2a



83

x = -(-4) ± 4

2(3) = 4 ± 2

6

⇒ x = 13 , 1; son puntos críticos.

GRUPO DE EJERCICIOS Nº 14 Hallar los puntos críticos de las siguientes funciones:

1. f (x) = x4 – 2x³ + x² –2x; [–1, 2] 2. f (x) = 25 - x² ; [–3, 4]

3. f (x) = x² - 3x - 4

x - 1 ; [0, 3]

4. f (x) = x4 – x³ – 3x² + 2x; [– 2, –1]

5. f (x) = x² + 6x + 5

x - 6 ; [1, 5]

Teorema de Rolle Sea f una función continua en [a, b] y diferenciable en (a, b).

Si f (a) = f ( b), entonces existe por lo menos un punto c, tal que: f '(c) = 0

Teorema Del Valor Medio (T. V. M.) Si f es una función continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en (a, b), entonces existe un punto c de (a, b) tal que:

f ' (c) = f (b) - f (a)

b - a , pendiente de la recta secante.

Ejemplo 44 Para la definición f (x) = x³ – 5x² – 3x. Encontrar los puntos críticos entre a = 1 y b = 3 que satisfagan el T. V. M.

Solución: Evaluando la función: Para a = 1

f (a) = f (1) = 1 – 5 (1)² – 3 (1) = –7



84

Para b = 3

f (3) = 3³ – 5 (3)² – 3 (3) = –45 + 18 = – 27 Luego:

f (b) - f (a)

b - a = f (3) - f (1)

3 - 1 = - 27 + 7

2 = –10

Luego, hallando f '(x):

f '(x) = ( x³ – 5x² – 3x)' = 3 x² – 10x –3

Igualando los resultados: 3x² – 10x – 3 = –10 3x² – 10x + 7 = 0 (3x – 7) ( x – 1)=0

x =1, 73 son puntos críticos para los cuales se cumple el T. V. M. Ejemplo 45

Dada la función f(x) = x² - 4x + 3

x + 2 , a = 1, b = 3; discutir la validez del T. V. M.

Solución 1º paso:

f (a) = 1² - 4(1) + 3

1 + 2 = 0

f (b) = 9 - 4(3) + 3

3 + 2 = 0

luego: f (b) - f (a)

b - a = 0 - 03 - 1 = 0

2º paso:

Hallando f '(x)

f ' (x) = (x² - 4x + 3 )'(x + 2) - (x² - 4x + 3)(x - 2)'

x - 2

f ' (x) = x² + 4x - 11

(x + 2)2



85

3º paso:

Igualando los resultados obtenidos:

f ' (x) = x² + 4x - 11

(x + 2)2 = f (b) - f (a)

b - a

⇔ x² + 4x - 11

(x + 2)2 = 0

⇔ x² – 4x – 11 = 0 ⇒ b² – 4ac = (-4)² – 4(1)(-11) = 60

Luego: x = -b ± b² - 4ac

2a

x = - (-4) ± 60

2(1) = 4 ± 2 15

2

⇒ x = 2 + 15

x = 2 – 15 Para estos puntos se satisface el T. V. M.

Ejemplo 46

Dada la función: f (x) = x ³ – 3x² + 2x, a = –2, b = –1; discutir la validez del T. V. M. Solución 1º paso: f (–2) = (–2)³ – 3(–2)² + 2(–2) = –8 –12 – 4 = – 24

f (–1) = (–1)³ – 3(–1)² + 2(–1) = –1 – 3 – 2 = – 6

Luego: f (-1) - f (-2)

-1 - (-2) = -6 - (-24)

1 = 18

2º paso:

f '(x) = 3x² – 6x + 2 3º paso: Comparando resultados

3x² – 6x + 2 = 18



86

3x² – 6x – 16 = 0

⇒ b² – 4ac = (-6)² – 4(3)(-16) = 228

Luego: x = -b ± b² - 4ac

2a

x = -(-6) ± 228

2(3) = 3 ± 57

3

⇒ x = 3 + 57

3 ∉ [a, b]

x = 3 - 57

3 ∈ [a, b]

Así, existe c = 3 - 57

3 tal que: f ' ( c ) = f (b) - f (a)

b - a , es decir, se cumple el T. V. M.

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Definición Una función f es creciente en I = [a, b] para x1, x2 ∈ I Si x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) Definición Una función f es decreciente en I = [a, b], dados x1, x2 ∈ I Si x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2). Una función que es creciente o decreciente en I se llama función monótona en I. Teorema Si f es continua en [a, b] y es diferenciable en (a, b):

a. Si f ' (x) > 0, ∀ x ∈ (a, b) ⇒ f es creciente en [a, b] b. Si f ' (x) < 0, ∀ x ∈ (a, b) ⇒ f es decreciente en [a, b]



87

Ejemplo 47 Dada la función f(x) = 2x³ – 3x² –12x:

a. Hallar los intervalos donde f es creciente y decreciente. b. Esbozar la gráfica de la función ( hallar el máximo y el mínimo)

Solución f (x) = 2x³ – 3x² – 12x f '(x) = (2x³ – 3x² –12x)' = 6x² – 6x –12 Luego calculando puntos críticos: f '(x) = 0 ⇔ 6x² – 6x –12 = 0 ⇔ x² – x – 2 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 2) = 0 Así: x =-1, 2 son puntos críticos. ¿Para qué valores f '(x) > 0 ? f ' (x) > 0 en (– ∞ , –1) ∪ ( 2, ∞ ), aquí f es creciente. ¿Para qué valores f '(x) < 0 ? f ' (x) < 0 en (–1, + 2), aquí f es decreciente. Valor máximo relativo f (–1) = 2(–1)³ – 3(–1)² –12 (–1)=7 Valor mínimo relativo f (2) = 2(2)³ – 3(2)² –12(2)= –20

PC PC Valor –3 –1 0 2 3 f '(x) + 0 – 0 + f (x) –45 7 0 –20 –9

Teorema 1. Si f es creciente en (a, c) y f es decreciente en (c, b) entonces f tiene un máximo relativo. 2. Si f es decreciente en (a, c) y f es creciente en (c, b) entonces f tiene un mínimo relativo.

– ∞ –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 ∞

+ – +



88

Ejemplo 48 Determine en que intervalos donde la función es creciente y decreciente, hallar los máximos y mínimos. Grafique la función:

f(x) = 13 x³ + x² – 3x Solución y ' = x² + 2x – 3 Calculando puntos críticos:

x² + 2x – 3 = 0 (x + 3)(x – 1) = 0

⇒ x = –3

x = 1 Luego: f ' (x) > 0 en (– ∞ , –3) ∪ ( 1, ∞ ) f ' (x) < 0 en (–3, –1) Calculando máximos y mínimos relativos: f ' (x) = 0 f (–3) = 13 (–3)³ + 3² – 3(–3) = –9 + 9 + 9 = 9 f (1) = 13 (1)³ + 1² – 3(1) = 13 + 1 – 3 = – 53

PC PC

Valor –5 –3 0 1 3 f '(x) + 0 – 0 + f (x) – 95/3 9 0 –5/3 9

– ∞ –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 ∞

+ – +



89

-4

-20

2

4

6

8

10

12

-6 -4 -2 2 4 6X

CONCAVIDAD Y CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA Definición de Concavidad Sea f derivable en un intervalo abierto (a, b):

1. f es cóncava hacia arriba, si las tangentes a la curva están por debajo de ella. 2. f es cóncava hacia abajo, si las tangentes a la curva están sobre ella.

Criterio de Concavidad Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I =(a,b):

1. Si f ''(x) > 0 ∀ x ∈ I ⇒ la curva es cóncava hacia arriba en I. 2. Si f ''(x) < 0 ∀ x ∈ (a, b) ⇒ la curva es cóncava hacia abajo en I.

Definición de Punto de Inflexión Sea f cuya gráfica tiene recta tangente en (c, f(c)). Se dice que el punto (c, f(c)) es un punto de inflexión, si la concavidad de f cambia de sentido en ese punto (cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo, o viceversa). Teorema: Sobre Punto de Inflexión Si (c, f (c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f, entonces o es f ''(c) = 0 ó f '' no está definida en x = c.

y = x3 y = 3

x



90

-10

-5

0

5

10

-4 -2 2 4x

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

Nota: Si en c, f ''(c) = 0 ó f '' no está definida, entonces c puede ser un punto de inflexión.

.

Criterio de la Segunda Derivada Sea f una función tal que f '(c) = 0 y tal que la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c.

1. Si f ''(c) > 0, entonces f (c) es un mínimo relativo. 2. Si f ''(c) < 0, entonces f (c) es un máximo relativo.

3. Si f ''(c) = 0, el criterio no es concluyente (sin comentario).

Ejemplo 49 Dada la función:

f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 25 Define los intervalos en que son crecientes o decrecientes, hallar los máximos y mínimos relativos, estudiar la concavidad y graficar la función. Solución 1º paso: Hallando los puntos críticos:

f ‘(x) = 6x² – 6x – 36 ⇒ f ‘(x) = 0 ⇒ 6x² – 6x – 36 = 0 x² – x – 6 = 0 (x – 3)(x + 2) = 0 Puntos críticos x = 3

x = –2

+ – +

c=0 c=0



91

Luego: f ‘(x) > 0 en (– ∞ , –2) ∪ ( 3, ∞ ), f es creciente. F ‘(x) < 0 en (–2, 3), f es decreciente. 2º paso: Segunda derivada: nflexión de la función f ‘’(x) = 12x – 6 f ‘’(x) = 12x – 6 = 0 ⇒ x = 12

f ‘’(x) > 0 en (12 , ∞ ) , así f es cóncava hacia arriba.

F ‘’(x) < 0 en (– ∞ ,12 ), así f cóncava hacia abajo.

Por lo tanto, c=12 es un punto de nflexión..

3º paso: Calculando extremos relativos Puntos críticos: x = –2, 3 f ‘’(3) = 12(3) – 6 = 0 > 0, f(3) es mínimo relativo. F ‘’(–2) = 12(–2) – 6 < 0, f (–2) es máximo relativo. PC PI PC

Valor –2 ½ 3 f ‘’(x) – – + + f ‘(x) + – – + f (x) 69 6.5 –56

f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 25 f(–2) = 2(–2)³ – 3 (–2)² – 36(–2) + 25 = 2 ( –8) – 3x 4 + 72 + 25 = 69

–2 –1 0 1 2 3

1/2

– +



92

f (3) = 2(3)³ – 3(3)² – 36(3) + 25 = 2(27) – 27 – 4(3)³ + 25 = –56 f (1/2) = 2(1/2)³ – 3(1/2)² – 36(1/2) + 25 = ¼ – 3(1/4) – 18 + 25 = 13/2

-60

-40

-200

20

40

60

80

-6 -4 -2 2 4 6X

Ejemplo 50 Dada la función: f(x) = 3x5 – 20x³ + 16 Hallar la gráfica de f, determinando:

a) Los puntos críticos. b) Los intervalos donde la función es creciente ó decreciente. c) Los intervalos de concavidad y puntos de inflexión. d) Los valores extremos.

Solución f '(x) = 15x4 – 60x² a) f '(x) = 0 ⇔ 15x4 – 60x² = 0

15x²(x² – 4) = 0 ⇔ x = 0 (multiplicidad dos) Puntos críticos. ó x = ± 2

b)

–2 –1 0 1 2

+ – – +



93

Luego: f '(x) > 0 en (– ∞ , –2) ∪ (2, ∞ ), f es creciente. f '(x) < 0 en (–2, 0) ∪ ( 0, 2), f es decreciente. c) f ''(x) = 60x³ –120x f ''(x) = 0 ⇔ 60x(x² – 2) = 0

⇒ x = 0, x = ± 2

f ''(x) > 0 en (– 2 , 0) ∪ ( 2 , ∞ ), cóncava hacia arriba. f ''(x) < 0 en (– ∞ , – 2 ) ∪ (0, 2 ), cóncava hacia abajo. Puntos de inflexión: – 2 , 0, 2 d) f ''(x) = 60x³ –120x Puntos críticos: f '(c) = 0 c = 0, ± 2. f ''(0) = 60(0) – 120(0) = 0 ; el criterio no decide. f ''(2) = 60( 2³ ) – 120(2) = 240 > 0; entonces f (2) es mínimo relativo. f ''(–2) =60( –2³ ) – 120(–2) = –240 < 0; entonces f (–2) es máximo relativo. PC PI PC/PI PI PC

Valor –2 – 2 0

2 2

f ''(x) – – – + + + + + f '(x) + – – – – + f (x) 80 55.48 16 –23.68 – –48

f(x) = 3x5 – 20x³ + 16 f(–2) = 3(–2)5 – 20(–2)3 + 16 = 3(–32) – 20(–8) + 16 = 80 f (– 2 ) = 3–( 2 )5 – 20(– 2 )3 + 16

= –3 – 32 + 20(– 8 ) + 16

– 2 0 2

– + – +



94

= 55.48 f (0) = 16 f ( 2 ) = 3 32 – 20(– 8 ) + 16

= 12 2 – 40 2 + 16 = –23.68

GRUPO DE EJERCICIOS 15 Dadas las siguientes funciones: 1. f(x) = 2x³ – 6x + 1

2. f(x) = x³ + 2x2 - x + 1 3. g(x)= x6 + 192x + 17 4. h(x) = x5 + 4x3 – 6 5. g(x) = x3 (x-2)2, -1 ≤ x ≤ 3 6. f(x) = x (1 - x)2/5 7. f(x) = x³ + x2 - 5x – 5 8. g(x) = x1/3 (8 - x) 9. g(x)= 12 + 2x2 – x4 10. g(x)= x5 - 5x3 11. h(x)= 2x2 – x4 12. f(x)= 3x4 - 4x3+ 4 13. h(x)= 12x3 – 12x2 14. f(x)= 6x4 - 8x3+ 1 a. Define los intervalos en que son crecientes o decrecientes, hallar los extremos

relativos. b. Analizar la concavidad y encontrar todos los puntos de inflexión. c. Graficar las funciones.

-60

-40

-200

20

40

60

80

100

-4 -2 2 4x



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