ÀÀlgebra Lineal

Tema 5: SistemesTema 5: Sistemes

d’equacions lineals

Curs 2008/2009

Enginyeria Tècnica d’Obres PúbliquesEnginyeria Tècnica d Obres Públiques

Universitat d’ Alacant

5.7. Aplicacions dels sistemes d’equacionssistemes d’equacions lineals a l’enginyerialineals a l enginyeria

Tema 5 2

Sistemes lineals i xarxes elèctriqueselèctriques

Tema 5 3

Conceptes bàsics de circuits

El potencial elèctric en un punt és el treball que ha de realitzar una forçaEl potencial elèctric en un punt és el treball que ha de realitzar una força

elèctrica (llei de Coulomb) per a moure una càrrega positiva q des de l’infinit (on

el potencial és zero) fins a eixe puntel potencial és zero) fins a eixe punt.

La intensitat d’un corrent elèctric és la càrrega elèctrica que passa perLa intensitat d un corrent elèctric és la càrrega elèctrica que passa per

qualsevol secció transversal del conductor en una unitat de temps.

La resistència d’un conductor és una mesura de l’oposició que el conductor

posa al pas del correntposa al pas del corrent.

Tema 5 4

Conceptes bàsics de circuits

Llei d’Ohm: la intensitat del corrent elèctric que circula per un materialLlei d Ohm: la intensitat del corrent elèctric que circula per un material

conductor és directament proporcional a la diferència de potencial aplicada i

inversament proporcional a la resistència del mateixinversament proporcional a la resistència del mateix.

Matemàticament, s’expressa amb l’equació

o, equivalentment,

O tilit t it t d l Si t I t i l t iOn, utilitzant unitats del Sistema Internacional, tenim que:

• I = Intensitat en ampers (A)

V Diferència de potencial en volts (V)• V = Diferència de potencial en volts (V)

• R = Resistència en ohms (Ω)

Tema 5 5

Equacions lineals i xarxes elèctriques

En una xarxa elèctrica senzilla de corrent continu, el corrent del flux elèctric pot

escriure’s mitjançant un sistema d’equacions lineals. Això és conseqüència directa

de la Llei de Kirchhoff del Voltatge.

Llei de Kirchhoff del Voltatge: La suma algebraica de les caigudes dee de c o de o a ge a u a a g b a a d a gud d

voltatge RI en una direcció al llarg d’un circuit és igual a la suma algebraica

de les fonts de voltatge existents en la mateixa direcció al voltant del circuit.g

Tema 5 6

Equacions lineals i xarxes elèctriques

Exemple 1: Determina els corrents de circuit en la xarxa de la Figura 1Exemple 1: Determina els corrents de circuit en la xarxa de la Figura 1.

P l i it 1 l t I

BA

Per al circuit 1, el corrent I1

El corrent del circuit 2 també flueix en part delDC circuit 1, ací la caiguda de voltatge RI és de

3I2 volts.

Tema 5 7

Equacions lineals i xarxes elèctriques

Exemple 1: Determina els corrents de circuit en la xarxa de la Figura 1.

L’equació per al circuit 2 és

BA

L’equació per al circuit 3 és

DC

Tema 5 8

Equacions lineals i xarxes elèctriques

Exemple 1: Determina els corrents de circuit en la xarxa de la Figura 1.

Per a trobar els corrents de circuit el que fem és resoldre el

sistemasistema

BA

Que té com solució

DC

El valor negatiu en I3 indica que el corrent real en el circuit

3 flueix en direcció oposada a la indicada en la figura 1

Tema 5 9

3 flueix en direcció oposada a la indicada en la figura 1.

Equacions lineals i xarxes elèctriques

Podem veure el sistema lineal anterior com una equació vectorial:

La forma matricial de (4) és R · I = V, on

Equació matricial de la llei d’Ohm

Tema 5 10

Equació matricial de la llei d Ohm

Equacions lineals i xarxes elèctriques

S’aplica el següent Principi de Superposició:

En una xarxa lineal que continga dos o més fonts de tensió independents,

el corrent que travessa qualsevol de les branques que composen la xarxa

és igual a la suma algebraica dels corrents produïts individualment per

cadascun dels generadors.

Matemàticament, l’equació matricial anterior es pot descomposar en les tres següents:

Que corresponen al mateix circuit suposant que només tenim un generador.

Tema 5 11

Q p p q g

Equacions lineals i xarxes elèctriques

Exercici 1: Escriu l’equació matricial i determina els corrents de circuit de les

a) b)

següents xarxes:

Tema 5 12

Equacions lineals i xarxes elèctriques

Exercici 2: Escriu l’equació matricial i determina els corrents de circuit de la

següent xarxa:

Tema 5 13

Equacions lineals i xarxes elèctriques

Exercici 3: Escriu l’equació matricial i determina els corrents de circuit de la

següent xarxa:

Tema 5 14