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MtodosNumricosVistos

-AplicacionesReales-

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Ejemplo1Lacaidadetemperaturadeuna

plantadetratamientodepetroleocrudoestadadaporlafuncion:

Encontrarlasoluciondeesa

funcion

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Ejemplo2

Graficade:f(x)=sen10x+cos3x

EncontrarlasracesdeunasealssmicamedidaHeneuncomportamientodada

porlaecuacin:

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Ejemplo2(cont.)

Graficade:f(x)=sen10x+cos3x

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YEsoparaque?

Parabuscarpetrleo

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SolucinParaesHmarelvalorinicialde ipodemosdesarrollarelbinomio(1+i)npara

aproximarloalasegundapotencia.Elresultadoes

Sesugierevalidarlosdatosdeentrada.Elcapitalaobtenerdebesermayorque

eldepsitoporelnmerodeabonos,esdecir

A>nP

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EjemplosresueltoenExcel

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Sistema de ec. lin. Matriz asociada

T0

T1

T2

. . . Tn

Tn+1

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Funcion en Matlab..

function A = mcalor1(n)v = ones(1,n-1);

A = 2*eye(n) - diag(v,1) - diag(v,-1);

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Otrosusos(Deotrosmtodosque

vienen)

TomadodelCursodeMatemHcaComputacionaldeS.Botello(CentrodeInvesHgacindematemHcasAplicadas)

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Otrosusos(Deotrosmtodosque

vienen)

Notapublicitaria:ElInsHtutodeMedicinaLegaldeBucaramanga,harunllamadoaingenierosparadesarrollarunsistemadereconstruccinderostrosaparHrderestoscranealesydeanlisisdecontusiones.

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Otrosusos(Deotrosmtodosque

vienen)

NotaPublicitaria2:ElgrupodeinvesHgacinGIEMAestarequiriendoestudiantesdepregradoparahacerproyectodegradoendinmicadefluidoscomputacionalenconjuntoconestudiantesdeingenieramecnica: AnlisisdeFlujocompresibleenoleoductosysistemasdecaeras

ApoyoalestudiodecalidaddelaireenBucaramanga ApoyoaldesarrollodeunainterfazdeaccesoremotoatnelesdevientoubicadosenFrancia

yEEUU

TuneldeVientoVirtual

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ProcesamientodeImgenesMdicas

NotaPublicitaria3:ProgramasmixtosdeestudiosGIIB-GOTSyCEMOS

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(UnParentesis)

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ScienHficCompuHng

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ParallelScienHficCompuHng

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ProgrammingLanguagetoScienHfic

CompuHng*

InstudyingComputerLanguages,wewanttostudyanewwaytointeracHngwiththecomputer

ComputersaremachinesthatexecuteinstrucHons.Ifsomeoneisnottellingthe

computerwhattodo,itdoesnothing. ComputerProgramminglanguagesallowhumans

asimplifiedmeansofgivingthecomputerinstrucHons.

ScienHficCompuHngimpliesin(almost)allcases,ParallelCompuHng.*FromParallelScienHficCompuHnginC++andMPI,ASeamlessApproachtoParallelAlgorithmsandTheirImplementaHon,ByG.Em

KarniadakisandR.M.KirbyII,CambridgePress2003

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TopTenAlgorithmsofthe20th

Century*1. 1946:MonteCarloMethod2. 1947:SimplexMethodforlinearProblems3. 1950:KrylovSubspaceIteraHonMethodforfastlinearSolversand

Eigensolvers

4. 1951:ouseholderMatrixdecomposiHontoexpressamatrixasaproductofsimplematrices

5. 1957:FORTRANcompiler6. 1959-1961:QRAlgorithmtocomputemanyeigenvalues7. 1962:QuicksortAlgorithm8. 1965:Fastfouriertransform9.

1977:IntegerrelaHondetecHonalgorithm,whichisusefulforbifurcaHonsandquantumfieldtheory

10. 1987:FastMulHpleAlgorithmforN-BodyProblems*FromParallelScienHficCompuHnginC++andMPI,ASeamlessApproachtoParallelAlgorithmsandTheirImplementaHon,ByG.Em

KarniadakisandR.M.KirbyII,CambridgePress2003

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MathemaHcalParallelism

MathemaHcaloperaHonsthathaveahighdegreeofparallelism(theycanperform

simultaneouslyandindependently)

Ci=xi,yi,I=1,..,N. PerfectMathemaHcalParallelism:

Nodependenciesamongthedifferentpairsofdata EmbarrassinglyParallel

oneforwhichlileornoeffortisrequiredtoseparatetheproblemintoanumberofparalleltasks

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SomeCases

ApproximaHonFourierSeriesRepresentaHon

RootsandIntegralsNumericalIntegraHonMethods

PropagaHonAdvecHonDiffusionEquaHon

FastLinearSolversCholeskyFactorizaHon

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ApproximaHon

InterpolaHonofdiscretedata

ApproximaHonbyknownfuncHonsofthe

numericalsoluHon

Dataarenotalwaysnicelydistributedona

uniformlaceorgrid

RepresentaHonbypolynomials

Wavelets(sinesandcosines)

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FourierSeriesRepresentaHon

InterpolaHonsbasedonbasesk=eikx,coskxandsinkx Convergence(DirichletCondiHons)

f(x)isdefinedeverypointintheinvervalx[-,] f(x)issinglevalued,piecewiseconHnous,andfinite(f(x)=logxisexcluded) f(x)isboundedvariaHon,thatis,f(x)cannothaveaninfinitenumberofmaxima

andminima.

AfuncHonthatsaHsfiestheDirichletcondiHonscanbeexpandedintothefollowingconvergentinfiniteseries: f(x)=ao+a1cosx+a2cos2x++b1sinx+b2sin2x+, TheFouriercoefficientsarecomputedfrom:

ak1/-f(x)coskxdx

andbk1/

-f(x)sinkxdx

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UseExamples:

Filters NoisyData(Using

TrigonometricInterpolaHon)

FastFourierTransform(FFT)

FFTisarecursivealgorithm FFThaslessround-offerror

thanthedirectsummaHonapproach.

FFTscanbeperformbysplingthefuncHonin

severalparts. FFTcanbecomputedin

halfthenumberofoperaHons.

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RootsandIntegrals

UsetofindsoluHonsoflinearandnonlinearequaHons ApproximateIntegraHonofafuncHonisaveryold

subject.

Archimedesusesthemethodofinscribedandcircumscribedpolygonstoobtainlowerandupperboundsforthevalueoftheareaofacircle.

SimpleIntegraHonAlgorithm: I=abf(x)dx

IR(h)=hi=1nfi-1/2(Midpoint-RectangleRule) IT(h)=h[1/2f0+f1++fn-1+1/2fn](TrapezoidRule)

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SomeIntegraHonMethods

MidpointRectangleandTrapezoidMethods

RombergsMethod(ExtrapolaHontothelimit)

SimpsonsMethod AdvancedQuadrature

Method(Gauss)

JacobiPolynomials Gauss-Chebyshev

Quadrature

MulHdimensionalIntegraHon

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PropagaHon NumericalDiffusionandDispersion MixeddiscreHzaHonforiniHalvalue

problemsandboundaryvalueproblems

AdvecHonEquaHon: LinearizedwaveoradvecHonequaHon:

/t=U/x=0(orD/Dt=0)

Whichexpressesthe(passive)advecHonofheatora

speciesinonedimensionbytheflowwithtransportvelocityU(x,t)

PeriodicboundarycondiHons:(0,t)=(1,t) IniHalcondiHons:(x,0)=0(x)=sin2x ExactsoluHon:=0(x-Ut)=sin2(x-Ut) DispersionorDiffusion:

t=-xleadstonodissipaHve,nondispersivesoluHons

t=xxleadstodissipaHvesoluHons t=xxxleadstonodissipaHvebutdispersive

soluHons

t=-xxxxleadstodissipaHvesoluHons(similarjusHficaHonasabove)

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AdvecHonDiffusionEquaHon

PhysicaldissipaHonbyincludingasecond-orderderivate(inspace)tolinearizedadvecHonequaHon.

/t+U/x=2/x2,-

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FastLinearSolvers

DirectandIteraHveSoluHonsoflargelinearsystems.

GaussianeliminaHon LUDecomposiHon

ParallelLUDecomposiHon

SparseSystems CholeskyFactorizaHon

QRFactorizaHon ouseholder

TransformaHon

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CholeskyFactorizaHon SpecialCaseoftheLUdecomposiHonforasymmetricposiHve-definiHvematrixA

A=LLT

MatrixUisequaltothetransposeofLbecauseofsymmetry. CholeskyAlgorithm(summary)

forj=1,n

jj=(ajj-k=1j-1(2jk))

forI=j+1,n

jj=(ajj-k=1

j-1

(jkjk))/jjendfor

endfor

CholeskyfactorizaHonalgorithmisstableandthusitdoesnotrequirepivoHng CholeskyAlgorithmrequiresabouthalfthememoryandabouthalftheoperaHons

oftheLYdecomposiHon

PosiHve-definiHvepropertyisimportantinobtainingthe ijwithoutparHalpivoHng.ParHalpivoHngcandestroythesymmetryofthematrixA

InsomecasesanincompleteorapproximateCholeskydecomposiHonisrequired.

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RecommendedLecturesandSites

ParallelScienHficCompuHnginC++andMPI,ASeamlessApproachtoParallelAlgorithmsandTheir

ImplementaHon,ByG.EmKarniadakisandR.M.

KirbyII,CambridgePress2003

hp://www.scienHfic-compuHng.com/ hp://www.scienHficcompuHng.com hp://www.hpcwire.com/

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