APLICACIONES GEOMÉTRICAS

APLICACIONES GEOMÉTRICAS

Se deriva de la Geometría (Geo tierra y metria

medida), es una rama de la matemática que se ocupa

del estudio de las propiedades de las figuras

geométricas en el plano o el espacio, como son: Áreas

volúmenes puntos, rectas, planos.

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LA DERIVADA

• ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE.  Si una curva está definida por la ecuación y=f(x), entonces f′(x0) representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de la misma (x0,f(x0)). La ecuación de la recta tangente en tal punto es:

y−f(x0)=f′(x0)(x−x0).

• ECUACIÓN DE LA RECTA NORMAL.  La recta normal a una curva y=f(x) en el punto de la misma (x0,f(x0)) es la perpendicular a la tangente que pasa por dicho punto. Su ecuación es:

• ÁNGULO DE DOS CURVAS.  Se denomina ángulo entre dos curvas y=f(x) e y=g(x) en un punto de intersección P0(x0,y0), al ángulo α que forman las rectas tangente a estas curvas en el punto P0. Se verifica:

APLICACIONES GEOMÉTRICAS SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Es aquella que se genera mediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:

• Superficie de revolución cilíndrica .- es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo.

• Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vértice o ápice.

• Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de una semicircunferencia.

• Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto.

ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Si se gira la gráfica de una función continua alrededor de una recta, la superficie resultante se conoce como superficie de revolución.Consideremos el segmento donde: L = longitud del segmento r1 = radio en el extremo izquierdo del segmentor2 = radio en el extremo derecho del segmento

Cuando se gira el segmento alrededor de su eje de revolución, se forma un tronco de cono circular recto, con:

ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Si y = f (x) tiene derivada continua en el intervalo [a,b], entonces el área de la superficie de revolución S formada al girar la gráfica de f alrededor de un eje horizontal o vertical es:

r(x) es la distancia entre la gráfica de f y el eje de revolución correspondiente.Si x = g( y) en el intervalo [c,d], entonces el área de la superficie es:

donde r( y) es la distancia entre la gráfica de g y el eje de revolución correspondiente.

Ejercicio 1.Hallar los ángulos que forman las curvas determinadas por: f(x)=2x2, g(x)=x3 en sus puntos de corte.solución. Hallemos los puntos de corte:

Las derivadas son f′(x)=4x y g′(x)=3x2, con lo cual f′(0)=g′(0)=0, f′(2)=8 y g′(2)=12. El ángulo α que forman las curvas en el punto de abscisa x=0 es

es decir, las curvas son tangentes). El ángulo β que forman las curvas en el punto de abscisa x=2 es:

Ejercicio 2 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva : en el punto (3, 1)Solución:

En primer lugar note que lo cual indica que el punto (3, 1) pertenece a la curva

Así que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (3, 1) viene dada por:

Ejercicio 3.Encontrar la longitud del arco de curva cuya ecuación es correspondiente al intervalo

Solución: