Aplicaciones geomtricas y topogrficas.

1 .Algunas aplicaciones geomtricas.

Ej1: La base de un tringulo issceles mide 8 cm, y su ngulo opuesto, 40. Calcula su rea.Solucin: 44,4 cm2

Ej2: Calcula el radio y la apotema de un octgono de 8 cm de lado.Solucin: 10,53 cm y 9,76 cm, respectivamente.

Ej3: Calcula el lado de un pentgono regular inscrito en una circunferencia de 5 cm de radio.Solucin: 5,88 cm.

2.- Aplicaciones topogrficas.

Medicin de la anchura de un ro desde una de sus orillas.Desde un punto A de una orilla se localiza otro punto C, de la otra, as como un tercero B, tal que ABC sea rectngulo en B. Si se mide el lado c y el ngulo A (por ejemplo, con el aparato llamado teodolito), se obtiene la anchura por clculo trigonomtrico, como vemos en la figura.ACB

Ej: Se mide AB=c con una cinta mtrica y resulta 45 m. Se mide el ngulo A y resulta 3550. Calcula la anchura del ro.Solucin: 32,49 m

Clculo de la altura de una torre cuyo pie es inaccesible.PQHRxx+dh

Segn la figura, se miden los ngulos P y Q con el teodolito, que estn separados una distancia d. Resultan los tringulos rectngulos QHR y PHR, cuyo cateto comn es la altura pedida h. Se resuelve el sistema:

, cuyas incgnitas son x, y la que nos interesa, h.

Ej.: Se miden con el teodolito P y Q, resulta P=65, Q=48 y con una cinta mtrica se averigua que d=20 m. Calcula la altura de la torre.Solucin: 46,12 m.

Clculo de la altura del pilar de un puente.Se desea saber la altura h del pilar que sostiene un puente como el de la figura. Sea l la longitud del puente. Se miden con el teodolito los ngulos y , llamados de depresin. Para hallar la altura pedida se resuelve el sistema:hxl-x

, donde x y h son las incgnitas.

Ej.: Un puente de longitud 30 m salva un barranco y los ngulos de depresin resultan ser =4235, =3845. De qu altura es el pilar?

Solucin: 12,80 m.

EJERCICIOS

1.- La diagonal de un rectngulo mide 5 cm y el ngulo que forma sobre la base 4035. Cunto valen los lados del rectngulo?

Solucin: h=3,25 cm, b=3,80 cm.

20.- Las ramas de un comps miden 15 cm. Cul es el radio de la circunferencia que pueden trazar con una abertura de 60?

Solucin: 15 cm

2.- Calcula las reas de los dodecgonos regulares inscritos y circunscritos en una circunferencia de 3 cm de radio.

Solucin: 27 cm2, 28,94 cm2

3.- Dos amigos observan un globo aerosttico desde dos puntos A y B, separados 800 metros uno de otro y cuyos ngulos de elevacin son de 35 y 65 respectivamente. A qu altura est el globo, suponiendo que se encuentra entre los dos amigos?

Solucin: 422,28 m

4.- Con los datos de la figura, calcula la altura del pico ms alto de la montaa.

Solucin: 354,90 m.

5.- Los satlites artificiales pueden verse con frecuencia como objetos brillantes muy altos en el firmamento bastante despus del anochecer. Cul deber ser la altura mnima de un satlite que se mueva sobre el ecuador terrestre para que sea todava visible directamente sobre nosotros dos horas despus de anochecer? Dato: Radio de la Tierra: 6380 Km.

Solucin: Aproximadamente 987 km.

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