APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas Por: Liliana Lizbeth Dávila Santa Cruz Asesor: Lic. Jorge Guillermo Díaz Albujar

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas

  

 

   

 

   

  

Por: Liliana Lizbeth Dávila Santa Cruz

Asesor: Lic. Jorge Guillermo Díaz Albujar

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  2 

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS

1. Sentido de concavidad de una curva

2. Puntos de inflexión

3. Gráficas de y : Teoremas

4. Asíntotas

5. Análisis general de las funciones y sus gráficas

CONCLUSIONES

BIBLIOGRAFÍA

)(xf )(' xf

Page 3: APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS

Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  3 

INTRODUCCIÓN

La matemática a pesar de su naturaleza abstracta muestra su utilidad en distintas

ramas del saber humano, es decir, que dicha ciencia resulta necesaria en la

resolución de problemas de diversa índole, no sólo matemáticos. Una muestra

muy claro de ello es la contribución del cálculo, tanto diferencial como integral, en

situaciones económicas, administrativas, contables, empresariales, entre otras.

En ese sentido, el cálculo diferencial representado por límites y derivadas, tiene

aplicaciones también dentro del campo mismo de la matemática, principalmente

en la geometría. Ante ello el presente trabajo de investigación destaca diversas

aplicaciones geométricas para determinar la concavidad de una curva, los puntos

de inflexión, hacer gráficas, identificar asíntotas y realizar análisis de funciones de

manera general.

Así mismo, cabe precisar que este estudio se realiza a manera de resumen

teniendo como fuente principal el libro de Claudio Pita denominado: Cálculo de

una variable y se complementa con otros autores como Venero A. y Leithold L.

Desde esta óptica, se espera que este producto investigativo sea incentivo para

que demás estudiantes y profesionales profundicen este tema o temas afines,

reconociendo su trascendencia en la resolución de problemas del contexto

matemático y real.

La autora

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  4 

APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS

1. Sentido de concavidad de una curva

Sea RRIf : una función derivable en el intervalo abierto I de R :

Se dice que la gráfica de esta función es cóncava hacia arriba si su derivada

RRIf :' es una función creciente en I .

Se dice que la gráfica de esta función es cóncava hacia abajo si su derivada

RRIf :' es una función decreciente en I .

Una caracterización geométrica de la concavidad de una curva es la siguiente: una

curva es cóncava hacia arriba si sus rectas tangente se encuentran siempre por

debajo de la curva, y es cóncava hacia abajo si sus rectas tangentes se

encuentran siempre por encima de la curva.

Una curva cóncava hacia arriba tiene sus rectas tangentes por debajo de ella, y

una curva cóncava hacia abajo tiene sus rectas tangentes por encima de ella.

Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  5 

Teorema: Sea RRIf : una función dos veces derivable definida en el

intervalo abierto I de R .

a) Si 0)('' xf para toda Ix , entonces la gráfica de la función es cóncava

hacia arriba en I .

b) Si 0)('' xf para toda Ix , entonces la gráfica de la función es cóncava

hacia abajo en I .

Ejemplo: Determine el sentido de concavidad de la gráfica de la función

75)( 246 xxxxf .

Solución

En primer lugar, las derivadas de la función son:

101230)(''

1046)('24

35

xxxf

xxxxf

Como 0)('' xf para toda Rx (es una suma de dos términos no negativos con

un positivo) concluimos que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en

todo R.

Ejemplo: Determine el sentido de concavidad de la gráfica de la función

2)( 3 xxxf en el intervalo R .

Solución

Las derivadas de esta función son:

xxf

xxf

6)(''

13)(' 2

Como para Rx se tiene 0)('' xf , concluimos que la gráfica de la función

2)( 3 xxxf es cóncava hacia abajo en R .

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  6 

Criterio de la segunda derivada para determinar extremos locales de una

función:

Sea RRIf : una función definida en el intervalo abierto I de R tal que en

el punto Ix 0 se tiene 0)(' 0 xf . Entonces:

a) Si 0)('' xf la función tiene un mínimo local en 0x .

b) Si 0)('' xf la función tiene un máximo local en 0x .

Ejemplo: Determine los extremos locales de la función xexxf 2)( usando el

criterio de la segunda derivada.

Solución

La derivada de la función es xexxxf )2()(' 2 la cual se anula en 00 x y 21 x

(éstos son los puntos críticos). La segunda derivada de la función es:

xxx exxxeexxxf )24()22()2()('' 22

Evaluando )('' xf en los puntos críticos tenemos 02)0('' f y entonces, por el

criterio de la segunda derivada la función dada tiene un mínimo local en 00 x . En

21 x se tiene 02)284()('' 22 eexf y entonces, por el criterio de la

segunda derivada, la función tiene un máximo local en 21 x .

2. Puntos de inflexión

La gráfica de una función continua RRIf : puede tener intervalos en los que

es cóncava hacia arriba e intervalos en los que es cóncava hacia abajo. Cada uno

de éstos los llamaremos intervalos de concavidad de la gráfica de la función.

Según el teorema anterior (Sea RRIf : una función dos veces derivable: si

0)('' xf es cóncava hacia arriba y si 0)('' xf es cóncava hacia abajo) en cada

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  7 

uno de tales intervalos la segunda derivada de la función debe mantener signo

constante.

Por lo tanto, en los puntos en donde hay un cambio de concavidad en la gráfica de

la función la segunda derivada de ésta o es igual a cero o no existe. Estos puntos

son análogos a los puntos críticos, en donde la función cambia su comportamiento

de creciente a decreciente, o viceversa. Tales puntos reciben un nombre especial:

Para determinar los puntos de inflexión de una función debemos considerar los

puntos en donde la segunda derivada de aquella es cero o no existe. Estos puntos

serán los candidatos a puntos de inflexión (es decir, si la función tiene puntos de

esta naturaleza, éstos deben estar en donde la segunda derivada es cero o no

existe). Lo anterior no significa que en todo punto en donde )('' xf es cero o no

existe hay un punto de inflexión: debemos verificar que en estos puntos ocurre

A un punto de la gráfica de una función, en donde la gráfica cambia de

concavidad se le llama punto de inflexión de la gráfica de la función.

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  8 

efectivamente un cambio de concavidad en la gráfica de la función, pues se ha

definido un punto de inflexión como un punto de la gráfica de la función en donde

ocurre un cambio de concavidad en su gráfica, y no un punto en donde la segunda

derivada es cero o no existe.

Es importante señalar que un punto de inflexión es un punto de la gráfica de una

función. En los puntos en donde la función no existe (por ejemplo en algunas

discontinuidades de la función) se pueden presentar también cambios en la

concavidad de la gráfica; por lo tanto, al estudiar los intervalos de concavidad de la

función debemos considerar (además de los puntos en donde la segunda derivada

es cero o no existe) que en las discontinuidades puede haber cambios de

concavidad en la gráfica de una función.

Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de 11)( 3 xxf

Solución

3

2' )1(

3

1)(

xxf , 3 5

''

)1(

1.

9

2)(

xxf

Posibles puntos de inflexión 0x :

a) Tales que 0)( 0'' xf , no existen en este caso.

b) Tales que )( 0'' xf no existe: En 10 x

Análisis correspondiente:

a) x 1, : 0)('' xf es cóncava hacia arriba

b) x ,1 : 0)('' xf es cóncava hacia abajo

Por lo tanto, el punto )1,1()(, 00 xfx es punto de inflexión de f y es además el

único punto de inflexión.

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  9 

Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de 3 4)4(2

1 xx .

Solución

32

'

)4(

)2(.

3

2)(

x

xxf ,

35

''

)4(

)8(.

9

2)(

x

xxf

Posibles puntos de inflexión: 8x y 4x

Análisis correspondiente:

x )(' xf )('' xf Conclusiones

2, < 0 > 0 Decreciente y

cóncava hacia arriba.

4,2 > 0 > 0 Creciente y cóncava

hacia arriba.

8,4 > 0 < 0 Creciente y cóncava

hacia abajo.

,8 > 0 > 0 Creciente y cóncava

hacia arriba.

En 2x hay un mínimo 8.323)2( 3 f

Para 4x hay un punto de inflexión.

Para 8x hay otro punto de inflexión.

Ejemplo: Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la

gráfica de 3 4)( xxxf , donde x R.

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  10 

Solución

32

'

4

)3(.

3

4)(

x

xxf ,

35

''

4

)6(.

9

4)(

x

xxf

Posibles puntos de inflexión: En aquellos 0x para los que 0)( 0'' xf ó )( 0

'' xf no

exista.

40 x , 60 x lo cual verificaremos analizando el signo de )('' xf en 4, , 6,4

y ,6 .

x )('' xf Concavidad Conclusiones

4, > 0 Hacia arriba ))4(,4( f : es punto

de inflexión.

))6(,6( f : es un

punto de inflexión.

6,4 < 0 Hacia abajo

,6 > 0 Hacia arriba

Ejemplo: Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión

de 35

32

210)( xxxf .

Solución

31

' )2(.

3

5)(

x

xxf

34

'' )1(.10)(

x

xxf

0)('' xf para 1x Esto significa que: Los posibles puntos

de inflexión son: 0x y 1x . )('' xf no existe para 0x

Analizaremos en los puntos en 1, , 0,1 y ,0 :

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  11 

x )('' xf Concavidad Conclusiones

1, > 0 Hacia arriba ))1(,1( f : es

punto de inflexión.

))0(,0( f : es un

punto de inflexión.

0,1 < 0 Hacia abajo

,0 < 0 Hacia abajo

3. Gráficas de y : Teoremas

En este punto se resumirán aspectos correspondientes a las funciones crecientes

y decrecientes, extremos locales, gráficas cóncavas hacia arriba y hacia abajo y

puntos de inflexión; así como el contenido geométrico de estos conceptos. Todo

ello para exprimir toda la información que se pueda a cerca de la función (y su

gráfica) y poder interpretarla en términos de derivadas. A continuación se

presentan dos teoremas que serán fundamentales para realizar el análisis de una

función:

Teorema: Sea RRIf : una función derivable en el intervalo abierto I de

R .

b) Si 0)(' xf para toda Ix , entonces la función es creciente en I .

b) Si 0)(' xf para toda Ix , entonces la función es decreciente en I .

Teorema: Sea RRIf : una función definida en el intervalo abierto I de R .

c) Si 0)('' xf para toda Ix , entonces la gráfica de la función es cóncava

hacia arriba en I .

b) Si 0)('' xf para toda Ix , entonces la gráfica de la función es cóncava

hacia abajo en I .

)(xf )(' xf

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  12 

Cuando además se supone que la función involucrada es dos veces derivable, los

resultados anteriores toman el aspecto más fuerte:

De esta manera se puede decir que:

Un extremo local de )(xf corresponde a una raíz de )(' xf , es decir, a un punto

en donde )(' xf cruza al eje x. En el caso de máximo local de )(xf , la gráfica

de )(' xf pasa de arriba para abajo del eje x, y en el caso de mínimo local de

)(xf , la gráfica de )(' xf pasa de abajo para arriba del eje x.

Un punto de inflexión de la gráfica de )(xf corresponde a un extremo local de

)(' xf . En caso de que el punto de inflexión separe una parte cóncava hacia

La función

RRIf :

es creciente

La función

RRIf :

es decreciente

0)(' xf Ix

0)(' xf Ix

Gráfica de

RRIf :

cóncava hacia arriba

Gráfica de

RRIf :

cóncava hacia abajo

0)('' xf Ix

0)('' xf Ix

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  13 

arriba (en la izquierda) de una parte cóncava hacia abajo (en la derecha), se

tendrá un máximo local en )(' xf y en el caso de que el punto de inflexión

separe una parte cóncava hacia abajo (en la izquierda) de una parte cóncava

hacia arriba (en la derecha) se tendrá un mínimo local en )(' xf .

Ejemplo: Dada la gráfica de )(xf , bosquejar la gráfica de )(' xf .

Solución

Resumiremos en una tabla las observaciones de la gráfica de )(xf dada, y las

conclusiones que se pueden obtener de )(' xf y su gráfica.

Punto o

intervalo

Lo que se puede

decir de )(xf y su

gráfica

)(' xf )('' xf

Conclusión

acerca de )(' xf y

de su gráfica

1xxa Es lineal creciente. + 0 Gráfica por encima

del eje x. Es

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  14 

constante.

1x Máximo local. No existe No existe Discontinuidad.

21 xxx

Es decreciente.

Gráfica cóncava

hacia arriba.

- +

Gráfica por debajo

del eje x.

Es creciente.

2x Mínimo local. 0 + Raíz de )(' xf .

Es creciente.

32 xxx

Es creciente.

Gráfica cóncava

hacia arriba.

+ +

Gráfica por encima

del eje x.

Es creciente.

Entonces, un bosquejo de la gráfica de )(' xf sería:

Gráfica de la derivada de )(xf

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  15 

Ejemplo: Dada la gráfica de )(xf , bosquejar la gráfica de )(' xf .

Solución

En este ejemplo ocurre una situación

nueva: en el punto 2x , en donde hay un

pico en la gráfica de la función, que indica

la no existencia de la derivada, se observa

que la recta tangente a )(xf tiende a ser

vertical cuando x se aproxima a 2x tanto

por la derecha como por la izquierda. Es

decir, )(' xf tiende a infinito cuando x

tiende a 2x . Sin embargo, se observa que si 2xx , las rectas tangentes

correspondientes son siempre de pendiente positiva (cada vez más verticales) por

lo que

)(lim2

xfxx

.

Otro hecho notorio es lo que ocurre en 3x . En este punto se trata de marcar un

punto de inflexión, el cual corresponderá a un extremo local de )(' xf . Sin

embargo la recta tangente en este punto es horizontal y por tanto 0)(' 3 xf . Así,

el extremo local correspondiente de )(' xf se alcanza en el eje x .

Con estas observaciones se puede concluir que:

Punto o

intervalo

Lo que se puede

decir de )(xf y su

gráfica

)(' xf )('' xf

Conclusión

acerca de )(' xf y

de su gráfica

1xxa Es decreciente.

Gráfica cóncava - +

Gráfica por debajo

del eje x.

Page 16: APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS

Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  16 

hacia arriba. Es creciente.

1x Mínimo local. 0 + Raíz de )(' xf .

Es creciente.

21 xxx

Es creciente.

Gráfica cóncava

hacia arriba.

+ +

Gráfica por encima

del eje x.

Es creciente.

2x Máximo local. No existe No existe Discontinuidad.

32 xxx

Es decreciente.

Gráfica cóncava

hacia arriba.

- +

Gráfica por debajo

del eje x.

Es creciente.

3x

Punto de inflexión.

Recta tangente

horizontal.

0 0 Máximo local

sobre el eje x.

bxx 3

Es decreciente.

Gráfica cóncava

hacia abajo.

- -

Gráfica por debajo

del eje x. Es

decreciente.

Entonces, un bosquejo de la gráfica de )(' xf sería:

Gráfica de la derivada de )(xf

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  17 

4. Asíntotas

Para poder hacer un análisis completo de una función y lograr un bosquejo

adecuado de su gráfica, necesitamos considerar la posibilidad de existencia de

asíntotas de la función. De manera intuitiva, una asíntota es una recta “que se

confunde con la gráfica de la función en puntos muy alejados del origen”. Una

manera común en que esto puede ocurrir es que la gráfica de la función “se pegue

cada vez más a tal recta a medida que se aleja del origen”. En ese sentido,

encontramos diversos tipos de asíntotas:

Una asíntota vertical es una recta ax para la cual se tiene:

)(lim xfax

)(lim xfax

Una asíntota horizontal es una recta Ly para la cual se tiene:

Lxfx

)(lim Lxfx

)(lim

Una asíntota oblicua es una recta bmxy ,con 0m para la cual se tiene

que:

0))()((lim

bmxxfx

La idea al determinar este tipo de asíntotas es procurar valores de m y b tal que la

distancia entre )(xf y bmx es cada vez más pequeña a medida que x se hace

muy grande.

Ejemplo: Dada 3

44)(

xxxf , hallar todas las asíntotas de la gráfica.

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  18 

Solución

a)

)(lim3

xfx

,

)(lim3

xfx

)(lim3

xfx

,

)(lim3

xfx

Entonces: 3x y 3x son asíntotas verticales

b) 1)3(

44)(limlim

xxx

x

x

xfm

xx

43

44)( limlim

xx

xmxxfbxx

Entonces: 4 xy es una asíntota oblicua derecha

c) 13

44)(limlim

xxx

x

x

xfm

xx

43

44)( limlim

xx

xmxxfbxx

Entonces: 4 xy es una asíntota oblicua izquierda

En total existen cuatro asíntotas y ninguna es horizontal. Análogamente, si

suponemos que 0)('' cf también llegaremos a un absurdo. Por lo tanto, como

)('' cf existe, debe ser igual a 0.

Ejemplo: Hallar todas las asíntotas de la gráfica de la función 1

)(2

2

x

xxf ,

,11,x

Solución

a)

1

.2

1

)1)(1()(

2

1

2

11limlimlim x

x

xx

xxf

xxx

Page 19: APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS

Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  19 

Entonces: Asíntota vertical: 1x también se prueba que 1x es otra asíntota

vertical.

b) 11

1

1

1

)(

2

2 limlimlim

xx

x

x

xfm

xxx

0

11

11

1

1)(

22

2

2

limlimlim

x

x

xx

xmxxfb

xxx

…………. (1)

Entonces: bmxy xy es una asíntota oblicua derecha

c) 111

1

111

)(

222 limlimlimlim

xx

x

x

x

x

x

xfm

xxxx

011

)(2

2

2

2

limlimlim

zz

zx

x

xmxxfb

zxx

Por (1) para

xz

Entonces xy es una asíntota oblicua izquierda

Lo cual tiene sentido pues la gráfica de f es simétrica respecto al eje y, así en total

se tienen cuatro asíntotas.

5. Análisis general de las funciones y sus gráficas

En este último punto se realizarán análisis de funciones que incluirán información

sobre:

Su dominio.

La continuidad (por ejemplo, indicar los puntos donde la función es

discontinua).

Los intervalos de monotonía.

Los extremos locales.

Page 20: APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS

Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  20 

Los intervalos de concavidad.

Los puntos de inflexión.

Las asíntotas.

Ejemplo: Hacer un análisis general de la función )3()( 2 xxxf .

Solución

a) Preliminares: Puesto que la función dada es polinomial está definida y es

continua en todo R.

b) Lo que se puede obtener con la primera derivada: investiguemos los intervalos

de crecimiento y de decrecimiento, así como los extremos locales; se tiene que

236)(' xxxf , de modo que los puntos críticos son las raíces de la ecuación

0)2(3)(' xxxf , es decir, 01 x y 22 x . Para investigar los intervalos de

monotonía dividimos la recta en intervalos ),2(),2,0(),0,( , marcados por los

puntos críticos. En cada uno de ellos tomamos un punto representativo y

evaluamos la derivada. El signo del resultado que obtengamos será el signo que

tenga la derivada en todo el intervalo correspondiente. Por ejemplo, tomamos

)0,(1 , para el cual 09)1(3)1(6)1(' 2 f . Entonces la función es

decreciente en el intervalo )0,( . Tomamos )2,0(1 , para el cual

03)1(3)1(6)1(' 2 f . Entonces la función es creciente en el intervalo )2,0( .

Tomamos ),2(3 , para el cual 09)3(3)3(6)3(' 2 f . Entonces la función

es decreciente en el intervalo ),2( . Si usamos el criterio de la primera derivada

ya podemos concluir que en 0x la función tiene un mínimo local y en 2x tiene

un máximo local.

c) Lo que se puede obtener con la segunda derivada: este aspecto abarca el

estudio de los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. La segunda

derivada de la función es xxf 66)('' . Los posibles puntos de inflexión son las

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  21 

raíces de 066)('' xxf es decir 1x . La recta real queda partida por este

punto en los intervalos )1,( y ),1( . Para ver la concavidad de la gráfica de la

función en cada uno de estos intervalos tomamos un punto en cada uno de ello y

evaluamos )('' xf . El signo obtenido es el signo de )('' xf en todo el intervalo.

Tomamos por ejemplo )1,(0 , para el cual 06)0('' f y entonces la gráfica

de la función es cóncava hacia arriba en el intervalo )1,( . Tomamos ahora

),1(2 , para el cual 06)2(66)('' xf y entonces la gráfica de la función

es cóncava hacia abajo en el intervalo ),1( . De aquí vemos también que en

1x hay efectivamente un cambio de concavidad en la gráfica de la función, y que

es, por tanto, un punto de inflexión.

d) Las asíntotas: Es un hecho general que una función polinomial no tiene

asíntotas de ningún tipo.

Finalmente, aquí tenemos la gráfica de la función )3()( 2 xxxf :

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  22 

Ejemplo: Hacer un análisis general de la función xxxf arctan5)( .

Solución

a) Preliminares: La función está definida y es continua en todos los reales.

Además es una función impar, pues:

)()5(

arctan5)arctan(5)arctan(5)(

xfarctamxx

xxxxxxxf

De modo que su gráfica deberá ser simétrica respecto al origen.

b) Lo que se puede obtener con la primera derivada: investiguemos los intervalos

de monotonía y los extremos locales de la función. Su derivada es:

1

4

1

51)('

2

2

2

x

x

xxf

De tal manera que los puntos en donde 0)(' xf son las raíces de la ecuación

042 x , es decir, 21 x y 22 x . La recta queda dividida en tres intervalos de

signo constante de )(' xf a saber ),2(),2,2(),2,( . Tomamos el valor

)2,(3 , para el cual 02

1

1)3(

4)3()3('

2

2

f , así 0)(' xf para toda x en el

intervalo )2,( . Tomamos el valor )2,2(0 , para el cual 04)0(' f , así,

0)(' xf para toda x en el intervalo )2,2( . Tomamos el valor ),2(3 , para el

cual 02

1

1)3(

4)3()3('

2

2

f , así 0)(' xf para todo x en el intervalo ),2( .

Concluimos entones que la función es creciente en los intervalos ),2(),2,( y

decreciente en el intervalo )2,2( . De aquí, se concluye también que en 2x la

función tiene un máximo local, con 53574.3)2arctan(52)2( f y que en

2x hay un mínimo local, con .53574.3)2arctan(52)2( f

c) Lo que se puede obtener con la segunda derivada: la segunda derivada de la

función es:

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  23 

2222

22

2

2

1

10

1

2421

1

4)(''

x

x

x

xxxx

x

xxf

La única raíz de 0)('' xf es 0x . Resulta claro que para 0x se tiene

0)('' xf y para 0x se tiene que 0)('' xf , de modo que efectivamente 0x es

un punto de inflexión con 0)0( f . La gráfica de la función es cóncava hacia arriba

en R y cóncava hacia abajo en R .

d) Asíntotas: La función xxxf arctan5)( no tiene asíntotas, pues no hay valor

alguno a de x para el cual

)(lim xfax

(por esta razón no hay asíntotas

verticales) y además )(lim xfx

es infinito (por lo cual no hay asíntotas

horizontales).

Finalmente, el gráfico de la función xxxf arctan5)( sería el siguiente:

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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas  24 

CONCLUSIONES

La utilización de teoremas sobre límites y derivadas en la resolución de

problemas geométricos relacionados al estudio de funciones, facilita un análisis

detallado de las mismas (sentido de concavidad, puntos de inflexión, asíntotas)

y una acertada construcción de sus respectivas gráficas.

El estudio del cálculo y sus aplicaciones geométricas constituyen una base

sólida en el quehacer matemático puesto que permite el desarrollo de

capacidades fundamentales, así como las netamente matemáticas:

razonamiento, demostración, comunicación matemática y resolución de

problemas; gracias a la aplicación de fórmulas y métodos eficaces.

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BIBLIOGRAFÍA

Fuente principal:

Pita, C. (1998). Cálculo de una variable. Primera edición. México: Prentice-Hall

Hispanoamericana.

Fuentes complementarias:

Leithold, L. (1998). El Cálculo. Séptima edición. México: Oxford University

Press.

Venero, A. (2002). Análisis matemático I. Primera edición. Perú: ediciones

Gemar.