Aplicaciones del c alculo fraccional en...

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Aplicaciones del c´ alculo fraccional en modelamiento y control de sistemas din´ amicos electromec´ anicos Juli´ an Esteban Rend´ on Rold´ an Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Escuela de Matem´ aticas Medell´ ın, Colombia 2018

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Aplicaciones del calculo fraccionalen modelamiento y control de

sistemas dinamicoselectromecanicos

Julian Esteban Rendon Roldan

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Escuela de MatematicasMedellın, Colombia

2018

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Aplicaciones del calculo fraccionalen modelamiento y control de

sistemas dinamicoselectromecanicos

Julian Esteban Rendon Roldan

Tesis de maestrıa presentada como requisito parcial para optar al tıtulo de:Magıster en Ciencias: Matematica Aplicada

Director:Ph.D. Carlos Enrique Mejıa Salazar

Lınea de Investigacion:Sistemas dinamicos

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Escuela de MatematicasMedellın, Colombia

2018

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AGRADECIMIENTOS

Quiero agradecer al profesor Carlos Enrique Mejıa Salazar por su apoyoincondicional y su participacion constante en todas las etapas de esta in-vestigacion, de igual forma, a los profesores Hector Antonio Botero Castroy Jairo Jose Espinosa Oviedo por ensenarme todo lo referente al controlde sistemas dinamicos, y a la profesora Monica Ayde Vallejo Velasquez porpermitirme el acceso al Laboratorio de Electronica y Control de la Facultadde Minas para la toma de datos reales. Por ultimo, agradecer tambien aBrayan Andres Arboleda Tabares por sus buenos consejos.

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RESUMEN

El calculo fraccional ha sido una tematica novedosa en investigacion porparte de la comunidad cientıfica en ingenierıa y ciencias aplicadas duran-te las ultimas dos decadas. Entre las principales aplicaciones del calculofraccional se destaca el modelamiento y control de sistemas dinamicos, elcual es precisamente el objetivo principal de esta investigacion, ya que eneste trabajo se propone identificar y modelar un sistema dinamico electro-mecanico, mediante un espacio de estados fraccional no lineal, con base enmediciones reales. Esto se logra usando las ecuaciones fısicas del sistema, quepermiten establecer un modelo inicial cuya estructura consiste en un siste-ma de ecuaciones diferenciales que representa la dinamica real del modelo.Ası partiendo de las mediciones reales, es posible evaluar si estas ecuacionesdiferenciales poseen cierta fraccionalidad en el orden de las derivadas, talque se garantice un mejor desempeno del modelo en la representacion delcomportamiento dinamico del sistema real. Finalmente, cuando se tiene unmodelo que captura la fenomenologıa del sistema real, es posible disenar eimplementar un controlador proporcional-integral-derivativo (PID) de or-den fraccional para controlar el modelo del sistema, y ası realizar un analisiscomparativo entre el metodo propuesto y las metodologıas de modelamientoy control tradicionales.

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Indice

1. Introduccion 9

2. Definiciones de la Derivada y la Integral Fraccionales 132.1. Definicion de Grunwald-Letnikov . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Definicion de la Integral de Grunwald-Letnikov . . . . 162.1.2. Definicion de la Derivada de Grunwald-Letnikov . . . 222.1.3. Metodo Numerico para la Definicion de Grunwald-

Letnikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. Definicion de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1. Definicion de la Integral de Riemann-Liouville . . . . . 252.2.2. Definicion de la Derivada de Riemann-Liouville . . . . 26

2.3. Definicion de Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.1. Definicion de la Derivada de Caputo . . . . . . . . . . 272.3.2. Definicion de la Integral de Caputo . . . . . . . . . . . 272.3.3. Metodo Numerico para la Definicion de Caputo . . . . 27

2.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Modelamiento y Control de Sistemas Dinamicos Fracciona-les 293.1. Trasformada de Laplace para Sistemas Dinamicos Fraccionales 30

3.1.1. Transformada de Laplace para la Integral Fraccional . 313.1.2. Transformada de Laplace para la derivada fraccional . 31

3.2. Modelamiento de Sistemas Dinamicos Fraccionales . . . . . . 333.2.1. Funcion de Transferencia y Espacio de Estados Frac-

cional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2.2. Teorema de Linealizacion Fraccional . . . . . . . . . . 34

3.3. Teorıa de Control PID Fraccional . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.1. Estructura del Controlador PID Fraccional . . . . . . 373.3.2. Diseno del Controlador PID Fraccional . . . . . . . . . 38

3.4. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Analisis Dinamico y de Control Fraccional en Sistemas Elec-tromecanicos 414.1. Modelo Dinamico del Sistema Electromecanico . . . . . . . . 41

4.1.1. Ecuaciones Fısicas del Modelo Dinamico . . . . . . . . 424.1.2. Fraccionalidad del Modelo Dinamico . . . . . . . . . . 484.1.3. Fraccionalidad Estimada y Analisis de Resultados del

Modelo Dinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. Control PID Fraccional para el Sistema Electromecanico . . . 56

4.2.1. Analisis de linealizacion del sistema . . . . . . . . . . 574.2.2. Diseno y Simulacion de control PID Fraccional . . . . 594.2.3. Analisis de resultados del controlador . . . . . . . . . 61

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4.3. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5. Conclusiones y Trabajo Futuro 645.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2. Trabajo Futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A. Identificacion de Parametros 66A.1. Identificacion de Parametros del motor DC . . . . . . . . . . 67A.2. Identificacion de Parametros del brazo . . . . . . . . . . . . . 70

Indice de figuras

1. Estructura de control realimentado para sistemas dinamicos . 292. Orden de fraccionalidad controlador PID . . . . . . . . . . . 373. Region de estabilidad de un sistema fraccional . . . . . . . . . 394. QNET VTOL for NI ELVIS. Adaptada de (Quanser, 2011) . 425. Diagrama de cuerpo libre para el sistema . . . . . . . . . . . 426. Posicion angular θ medida y numerica. . . . . . . . . . . . . . 467. Corriente electrica ia medida y numerica. . . . . . . . . . . . 468. Analisis de sensibilidad en θ ante cambios en β. . . . . . . . . 499. Analisis de sensibilidad en θ e ia ante cambios en γ. . . . . . 4910. Analisis de sensibilidad en θ e ia ante cambios en ν. . . . . . 5011. Analisis de sensibilidad en θ ante cambios en α. . . . . . . . . 5012. Modelos fraccionales de Caputo y (GL) VS modelo no frac-

cional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5213. Parametros fraccionales estimados. . . . . . . . . . . . . . . . 5514. Modelos fraccionales con parametros estimados. . . . . . . . . 5615. Linealizacion del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5816. Respuesta al escalon del sistema (Disenos 1 y 2). . . . . . . . 6017. Respuesta al escalon del sistema (Disenos 3 y 4). . . . . . . . 6018. Respuesta al escalon del sistema en lazo cerrado y lazo abierto. 6119. Absoluto del error en θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6220. Respuesta del sistema al escalon de voltaje (posicion) . . . . 6621. Respuesta del sistema al escalon de voltaje (corriente) . . . . 6622. Respuesta de un sistema de segundo orden al escalon unitario

adaptada de (Ogata, 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6923. Regresion lineal de Voltaje contra Corriente . . . . . . . . . . 70

Indice de tablas

1. Variables del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432. Parametros del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443. RMSE en θ e ia para diferentes modelos . . . . . . . . . . . . 47

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4. RMSE en θ variando la fraccionalidad del modelo . . . . . . . 515. RMSE en ia variando la fraccionalidad del modelo . . . . . . 516. RMSE en θ e ia para diferentes modelos . . . . . . . . . . . . 567. Angulo de los Valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588. Parametros de diseno de controladores . . . . . . . . . . . . . 599. Desempeno de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110. Parametros iniciales conocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

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1. Introduccion

El termino calculo fraccional hace referencia al campo del analisis ma-tematico que estudia una generalizacion en el concepto clasico de los ope-radores diferencial e integral dados por el calculo elemental, extendiendoeste concepto a considerar derivadas e integrales de orden arbitrario (real ocomplejo). Esta abstraccion ha sido estudiada desde hace mas de 300 anos,sin embargo, sus diferentes aplicaciones en ingenierıa, analisis numerico ycomputacion cientıfica, han despertado el interes de la comunidad investi-gativa en las ultimas tres decadas (Miller and Ross, 1993), (Petras, 2011),(Tenreiro Machado et al., 2010), (Rahimy and Rahimy, 2010).

Hace mas de tres decadas, cuando el calculo fraccional ya era formalmen-te estudiado, este aun no era considerado una herramienta de gran utilidadpara aplicaciones fısicas reales o de simulacion. Una de las razones paraesto, es el hecho de que los operadores diferenciales e integrales de ordenfraccional no poseen una interpretacion geometrica clara, a diferencia de losoperadores diferenciales e integrales de orden entero que si poseen dicha in-terpretacion, la cual ya ha sido ampliamente estudiada. Ademas, otra razonpara la consideracion anterior, radica en que los operadores fraccionales pue-den significar un esfuerzo computacional mucho mayor que el que se tienecon los operadores clasicos (Rahimy and Rahimy, 2010).

Debido a lo anterior, hasta finales del siglo XX, no era usual hablar demetodos numericos para resolver derivadas o integrales de orden fraccional,y mucho menos para resolver ecuaciones diferenciales de este tipo. No obs-tante, con el avance tecnologico a nivel computacional en las ultimas dosdecadas, los operadores fraccionales han adquirido un mayor reconocimien-to en terminos de aplicaciones para sistemas fısicos reales. Mas aun, a pesarde que no se tiene una interpretacion geometrica para los operadores frac-cionales, se dice que estos logran reflejar dinamicas o efectos de memoriaen diferentes sistemas dinamicos, que no se logran alcanzar con operadorestradicionales (Tenreiro Machado et al., 2010).

Es tanto ası, que ahora es posible encontrar aplicaciones del calculo frac-cional en tematicas diversas en ciencia e ingenierıa, como lo son la viscoe-lasticidad de materiales, la difusion de calor, las vibraciones y ondas, laelectroquımica, la bioingenierıa, la robotica, la teorıa de circuitos electricosy en general, el modelamiento, identificacion y control de sistemas dinami-cos, entre otros (Podlubny, 1998), (Petras, 2011).

De igual forma, desde el campo de la computacion cientıfica se recono-cen tambien otras tematicas como son la solucion numerica de ecuacionesdiferenciales fraccionales ordinarias y parciales, la simulacion y analisis de

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sistemas dinamicos fraccionales, ası como tambien la teorıa de trasforma-das de Fourier y Laplace fraccionales, entre otras (Das, 2008), (Pattanaik,2014), (Li and Ma, 2013).

Por lo tanto, en esta investigacion destacamos las aplicaciones que poseeel calculo fraccional en los sistemas dinamicos, fijandonos especıficamente ensistemas de tipo electromecanico, donde se suele presentar un acople entrelas dinamicas lentas caracterısticas de los sistemas mecanicos y las dinami-cas rapidas de los sistemas electricos. Dicho acople puede llegar a modelarsemejor mediante expresiones que involucren derivadas o integrales de ordenarbitrario (Lazarevic et al., 2016), (Foupouapouognigni et al., 2017), (Petras,2011).

En la literatura, es comun encontrar diferentes aplicaciones que involu-cran modelamiento y control de sistemas electromecanicos o sistemas dinami-cos en general, mediante operadores fraccionales; entre estas se encuentranlas siguientes menciones:

En (Gomez-Aguilar et al., 2016, 2014) se presenta un estudio analıticoy numerico de la solucion de circuitos electricos RLC mediante derivadasfraccionales, con base en diferentes definiciones de la derivada fraccional, loscuales permiten explicar algunos comportamientos inusuales en los circuitoselectricos. De igual forma este estudio permite verificar la validez del calculofraccional en el analisis de sistemas electricos, sin embargo, en esta referen-cia no se revisa el comportamiento de sistemas mecanicos ante derivadasfraccionales, ni tampoco se desarrolla un estudio basado en mediciones desistemas reales.

En (Chen et al., 2017) se estudia el comportamiento de un conversorDC-DC cuando se modelan las ecuaciones diferenciales del circuito median-te derivadas de orden arbitrario; ademas, en este estudio se desarrolla uncircuito fısico real cuyos parametros fueron disenados con base en la defini-cion del modelo fraccional; aquı se compara el comportamiento del circuitoreal disenado, contra el comportamiento del modelo propuesto, donde seobtienen resultados que muestran la veracidad del metodo desarrollado ylas ventajas que presenta el modelado mediante derivadas fraccionales ensistemas de electronica de potencia. No obstante, en este estudio, el meto-do propuesto es basado en un analisis en el dominio de la frecuencia parael sistema evaluado, de tal forma que se pueden aproximar las derivadasfraccionales presentes en el sistema dinamico a derivadas de orden entero,por lo que nunca se usan metodos numericos para evaluar la respuesta en eldomino tiempo del sistema dinamico fraccional.

En (Schafer and Kruger, 2006) se toman mediciones reales del compor-tamiento que presenta un nucleo de hierro saturable ante variaciones en la

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frecuencia, y se argumenta que el modelamiento del nucleo tiene una me-jor aproximacion a las mediciones reales cuando se hace uso de la derivadafraccional; sin embargo, este estudio se restringe solo a sistemas electricos yno se incluyen dinamicas de sistemas mecanicos o termicos, ademas, no seaclara el metodo de optimizacion usado para estimar la fraccionalidad delmodelo.

Por otro lado, en (Swain et al., 2017) se propone un estudio comparativoentre el diseno de controladores tipo PID fraccional y controladores PIDclasicos implementados en un sistema de levitacion magnetica. Aquı se ob-serva que en general el controlador PID fraccional posee mayores ventajasque el controlador clasico, sobre todo en terminos de robustez, ademas seresalta la posibilidad de implementar este tipo de controladores en un siste-ma real. La principal desventaja que se encuentra en la referencia, es que nose realizo un estudio mas detallado del modelo real del sistema (un estudiode modelado fraccional), lo que hubiese servido para verificar el desempenodel metodo en un sistema dinamico de tipo fraccional.

Similarmente en (Ozkan, 2014) se presentan diferentes tecnicas de disenode controladores PID fraccionales para actuadores de tipo electromecanicos,en las que se suponen diferentes fraccionalidades en la componente integraly derivativa del controlador, de tal forma que se obtiene una mejora en elcomportamiento del sistema cuando se usan las tecnicas mencionadas, encomparacion con las tecnicas clasicas de control. Sin embargo esta referen-cia se enfoca solo en la simulacion y al igual que la anterior, no realiza unanalisis detallado del modelo del actuador. Ademas, la tecnica propuesta,no optimiza los valores de la fraccionalidad del controlador.

Por ultimo, en (Yue et al., 2015) se propone un controlador de tipo PIDfraccional para la navegacion electromagnetica de un vehıculo inteligente,similar al de las referencias anteriores, los resultados del diseno y simulaciondel controlador sobre el modelo no lineal del sistema y en comparacion conlas tecnicas de control clasicas, resultan ser mas satisfactorios para el con-trolador fraccional. Sin embargo, al igual que las referencias anteriores, noexiste un estudio detallado de la fraccionalidad del modelo y adicionalmenteno se especifica la metodologıa usada para el diseno del controlador fraccio-nal.

Como se pudo observar, en general el calculo fraccional es actualmenteaplicado en sistemas dinamicos electromecanicos, sin embargo, en el estadodel arte no se encontraron trabajos investigativos en los que se implemententecnicas de diseno de controladores fraccionales para sistemas electromecani-cos, bajo una identificacion mas detallada del modelo del sistema, con baseen mediciones reales. Para aclarar esto, se debe enfatizar que en las referen-

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cias anteriores se realiza control sobre el sistema con base en un modelo quese supone correcto (un modelo con derivadas de orden entero), sin embar-go tal como lo indican (Podlubny, 1999), (Pattanaik, 2014) y (Schafer andKruger, 2006), es posible que el modelo que mejor representa al sistema realsea fraccional, y por lo tanto el comportamiento del sistema real, junto consu controlador disenado no sea el esperado. Esto a su vez implica, que loscriterios de diseno del controlador deban ser modificados. Es por esto, que enesta investigacion se realiza un estudio para identificar el modelo fraccionaque capture correctamente la dinamica de un sistema electromecanico conmediciones reales, y ademas se analiza el comportamiento de dicho modelo,cuando se disena un controlador tipo PID fraccional para el mismo, parafinalmente comparar este diseno con las metodologıas clasicas de control; es-te metodo de modelado y control, se desarrolla en la plataforma MATLABy se hace uso del Toolbox de calculo fraccional FOTF deserrollado para lareferencia (Xue et al., 2007).

Este trabajo se encuentra estructurado como sigue: en el Capıtulo 2 sedescriben detalladamente las definiciones de la derivada y la integral deorden fraccional, planteadas por Grunwald-Letnikov, Riemann-Liouville yCaputo, junto con los metodos numericos propuestos para las mismas. En elCapıtulo 3 se presentan las definiciones de la transformada de Laplace frac-cional, que se usa posteriormente como base en los metodos de modelado desistemas dinamicos fraccionales, ası como en la teorıa y diseno de controla-dores PID fraccionales, presentes tambien en este Capıtulo. En el Capıtulo4 se presentan las aplicaciones del modelado y de la teorıa de control fraccio-nal sobre un sistema electromecanico con mediciones reales. Finalmente, enel Capıtulo 5, se presentan las conclusiones finales del trabajo y el trabajofuturo propuesto.

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2. Definiciones de la Derivada y la Integral Frac-cionales

En el ambito de las matematicas y de la ingenierıa en general, es habitualacostumbrarse a que los operadores matematicos sean descritos por expre-siones de orden entero, por ejemplo: segun la notacion dada por Leibniz en(1686), es comun definir en un dominio temporal, el operador diferencial deprimer orden como: d

dt , Dt o simplemente D, de igual forma, el de segundo

orden esta definido por: d2

dt2, D2

t o D2, y ası sucesivamente se suele definir el

operador diferencial de n-esimo orden por: dn

dtn , Dnt o Dn, con n ∈ N.

Bajo el mismo razonamiento, puede definirse su operador inverso (antideri-vada) por una expresion de orden entero, por ejemplo: el operador inversode la derivada de n-esimo orden esta descrito por: aD

−nt , donde n ∈ N y

a ∈ R representa el lımite inferior del dominio de la region donde se aplicadicho operador.Sin embargo, tal como lo presentan (Podlubny, 1998) y (Miller and Ross,1993), en (1695) L′Hopital se cuestiono sobre la posibilidad de definir la de-rivada de orden medio, esto es n = 1

2 , lo que sirvio como apertura del nombre“calculo fraccional”. Este cuestionamiento llamo la atencion de otros cientıfi-cos como Euler, Laplace, Lacroix y Fourier, los cuales realizaron diferentesaportes en la formalizacion del calculo fraccional, llevando ası a que los ope-radores diferencial e integral puedan definirse mediante parametros de ordenreal o incluso complejo. Esto implica entonces que los operadores de ν-esimoorden diferencial e integral serıan respectivamente, segun la notacion dadapor Davis en (1936): Dν y aD

−νt con ν ∈ R. De allı se tiene entonces que

el nombre Calculo Fraccional hace referencia al estudio de las derivadas eintegrales de orden arbitrario.

Es importante resaltar que no hay una unica definicion de operador dife-rencial fraccional ni integral sino varias expresiones definidas por diferentesautores; es por esto, que en este capıtulo se espera describir las tres definicio-nes mas usadas en el calculo fraccional aplicado, las cuales son: la definicionde Grunwald-Letnikov (GL) en la seccion 2.1, la de Riemann-Liouville (RL)en la seccion 2.2 y la de Caputo (Ca) en la seccion 2.3. Todo el desarrollomatematico se realiza con base en las referencias (Petras, 2011) (Podlubny,1998) y (Miller and Ross, 1993),

2.1. Definicion de Grunwald-Letnikov

Para esta definicion, consideremos primero que el operador diferencial esde orden entero, y posteriormente extendemos la definicion a operadores deorden real.

Sea y = f(t) una funcion con dominio Df cuyas n primeras derivadasexisten y estan bien definidas en el intervalo [a, t] con a, t ∈ Df . Entonces laprimera derivada de f esta dada por:

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f ′(t) = lımh→0

f(t)− f(t− h)

h. (2.1)

Es facil observar que la segunda derivada esta dada por:

f ′′(t) = lımh→0

f ′(t)− f ′(t− h)

h= lım

h→0

f(t)− 2f(t− h) + f(t− 2h)

h2. (2.2)

De igual forma la tercera derivada sera:

f ′′′(t) = lımh→0

f ′′(t)− f ′′(t− h)

h

= lımh→0

f(t)− 3f(t− h) + 3f(t− 2h) + f(t− 3h)

h3.

(2.3)

Por induccion se concluye entonces la siguiente proposicion:

Proposicion 1: La n-esima derivada para una funcion f esta dada por:

f (n)(t) ≡ dnf

dtn= lım

h→0

1

hn

n∑r=0

(−1)r(n

r

)f(t− rh). (2.4)

Donde(nr

)representa el coeficiente binomial dado por la expresion:(

n

r

)=

n!

r!(n− r)!.

Probemos entonces la expresion (2.4) por induccion.

Prueba: Empezamos probando que para n− 1 ≥ r,(n− 1

r

)+

(n− 1

r − 1

)=

(n

r

)(2.5)

por definicion se tiene lo siguiente:

(n− 1

r

)+

(n− 1

r − 1

)=

(n− 1)!

r!(n− r − 1)!+

(n− 1)!

(r − 1)!(n− r)!

=(n− 1)!

r(r − 1)!(n− r − 1)!+

(n− 1)!

(n− r)(r − 1)!(n− r − 1)!

=(n− 1)!(n− r) + r(n− 1)!

r(n− r)(r − 1)!(n− r − 1)!

=n!

r!(n− r)!=

(n

r

).

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Supongamos ahora que la expresion (2.4) se satisface para las primerasn − 1 derivadas, veamos si se satisface para la n-esima derivada. (El pasobase se establece en las expresiones (2.1) a (2.3)).

Por definicion se tiene para la n-esima derivada lo siguiente:

f (n)(t) = lımh→0

f (n−1)(t)− f (n−1)(t− h)

h. (2.6)

Y aplicando el paso inductivo en (2.6) se tiene:

f (n)(t) = lımh→0

1

h

(1

hn−1

n−1∑r=0

(−1)r(n− 1

r

)f(t− rh)

)

− 1

h

(1

hn−1

n−1∑k=0

(−1)k(n− 1

k

)f(t− (k + 1)h)

)

= lımh→0

1

hn

((n− 1

0

)f(t) +

n−1∑r=1

(−1)r(n− 1

r

)f(t− rh)

)

− 1

hn

(n−2∑k=0

(−1)k(n− 1

k

)f(t− (k + 1)h)

)

− 1

hn

((−1)n

(n− 1

n− 1

)f(t− nh)

).

Si se cambia la variable k por k = r − 1 y teniendo en cuenta que(n−1n−1

)=(nn

)=(n−1

0

)=(n0

)= 1, se obtiene lo siguiente:

f (n)(t) = lımh→0

1

hn

(f(t) +

n−1∑r=1

(−1)r(n− 1

r

)f(t− rh)

)

+1

hn

(n−1∑r=1

(−1)r(n− 1

r − 1

)f(t− rh) + (−1)nf(t− nh)

)

= lımh→0

1

hn

(f(t) +

n−1∑r=1

(−1)r[(n− 1

r

)+

(n− 1

r − 1

)]f(t− rh)

)

+1

hn(+(−1)nf(t− nh)) .

(2.7)

Y como ya se probo en (2.1), entonces la expresion (2.7) sera:

15

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f (n)(t) = lımh→0

1

hn

(f(t) +

n−1∑r=1

(−1)r(n

r

)f(t− rh) + (−1)nf(t− nh)

)

= lımh→0

1

hn

(n∑r=0

(−1)r(n

r

)f(t− rh)

).

Lo que finaliza la prueba.

Consideremos ahora cierto numero p ∈ N con p ≤ n de tal forma que sepuede generalizar la expresion (2.4) de la siguiente forma:

f (p)(t) =dpf

dtp= lım

h→0

1

hp

n∑r=0

(−1)r(p

r

)f(t− rh). (2.8)

Todo esto es debido a que los terminos(pr

)son iguales a cero para r ≥ p.

Consideremos ahora valores negativos de p, y definamos(−pr

)mediante la

siguiente expresion:(−pr

)=−p(−p− 1)(−p− 2) · · · (−p− r + 1)

r!= (−1)r

[pr

]donde [

pr

]=p(p+ 1)(p+ 2) · · · (p+ r − 1)

r!. (2.9)

Se observa entonces que puede definirse un operador de tipo integralpara la funcion f(t) sobre el dominio temporal (a, t), dado por:

f (−p)(t) = aD−pt f(t) = lım

h→0hp

n∑r=0

[pr

]f(t− rh). (2.10)

Las expresiones (2.8) y (2.10) dan paso a considerar el valor de p comouna constante real arbitraria y no necesariamente entera; sin embargo sepueden presentar algunos inconvenientes como la no existencia del lımite enambas expresiones y la relacion que presenta la segunda expresion con elorden de integracion. Estos temas se analizan brevemente en las siguientessecciones.

2.1.1. Definicion de la Integral de Grunwald-Letnikov

Para probar que la expresion (2.10) tiene relacion con el orden de in-tegracion, es necesario evitar que h tome el valor de cero, por lo tanto sepuede suponer que cuando n → ∞ entonces h → 0, de ahı que sea posiblesuponer la siguiente relacion: h = t−a

n , con esto la expresion aD−pt f(t) de-

nota el operador integral dependiente del domino de f .

16

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Proposicion 2: La expresion (2.10) corresponde a la integral de ordenp-esimo para la funcion f en el intervalo (a, t).

Prueba: Analicemos primero algunos casos base: Sea p = 1, esto es:

aD−1t f(t) = lım

h→0h

n∑r=0

[1r

]f(t− rh) = lım

h→0h

n∑r=0

f(t− rh). (2.11)

Lo cual corresponde a una suma de Riemann por derecha para f(t− z)sobre el intervalo (a, t) ya que cuando h→ 0 ocurre tambien que nh→ t−a.Por lo tanto la expresion (2.11) es equivalente a:

aD−1t f(t) =

∫ t−a

0f(t− z)dz =

∫ t

af(τ)dτ. (2.12)

Sea ahora p = 2, esto es:

aD−2t f(t) = lım

h→0h2

n∑r=0

[2r

]f(t− rh) = lım

h→0h2

n∑r=0

(r + 1)f(t− rh). (2.13)

Para encontrar la suma de Riemann en (2.13) se puede modificar laexpresion tal como se muestra en (2.14) donde l = r + 1 y y = t+ h.

lımh→0

h2n∑r=0

(r + 1)f(t− rh) = lımh→0

h

n+1∑l=1

(lh)f(y − lh). (2.14)

En este caso se tiene que la expresion (2.14) corresponde a la suma deRiemann por derecha para zf(t − z) sobre el intervalo (a, t), ya que y → tcuando h→ 0, entonces (2.13) puede expresarse de la siguiente forma:

aD−2t f(t) =

∫ t−a

0zf(t− z)dz =

∫ t

a(t− τ)f(τ)dτ. (2.15)

Por ultimo veamos que ocurre cuando se hace p = 3, esto es:

aD−3t f(t) = lım

h→0h3

n∑r=0

[3r

]f(t− rh)

= lımh→0

h3n∑r=0

(r + 2)(r + 1)

2!f(t− rh).

(2.16)

De igual forma que en (2.13) se puede modificar la expresion (2.16) ası:

lımh→0

h3n∑r=0

(r + 2)(r + 1)

2!f(t− rh) = lım

h→0

h

2!

n+1∑l=1

h2l(l + 1)f(y − lh). (2.17)

17

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La expresion (2.17) se puede separar en dos sumatorias como se observaen (2.18), sin embargo en el lımite h→ 0, la segunda sumatoria resulta sercero.

lımh→0

h

2!

n+1∑l=1

h2l(l + 1)f(y − lh) = lımh→0

h

2!

n+1∑l=1

(lh)2f(y − lh)

+ lımh→0

h2

2!

n+1∑l=1

(lh)f(y − lh).

(2.18)

Por lo tanto, la expresion (2.18) corresponde a la suma de Riemannpor derecha para z2f(t − z) sobre el intervalo (a, t), entonces (2.16) puedeexpresarse de la siguiente forma:

aD−3t f(t) =

1

2!

∫ t−a

0z2f(t− z)dz =

1

2!

∫ t

a(t− τ)2f(τ)dτ. (2.19)

Las expresiones (2.19), (2.15) y (2.12) sugieren que la expresion generalpara (2.10) sera la siguiente:

aD−pt f(t) =

1

(p− 1)!

∫ t

a(t− τ)(p−1)f(τ)dτ. (2.20)

Probemos entonces (2.20) por induccion.

Ya vimos los casos base, ahora veamos que (2.20) cumple para p + 1.Primero veamos que [

p+ 1r

]=

[pr

]+

[p+ 1r − 1

]. (2.21)

Se sigue de (2.9) que:

[pr

]+

[p+ 1r − 1

]=p(p+ 1) · · · (p+ r − 1)

r!+

(p+ 1)(p+ 2) · · · (p+ r − 1)

(r − 1)!

=p(p+ 1) · · · (p+ r − 1) + r(p+ 1)(p+ 2) · · · (p+ r − 1)

r!

=(p+ 1) · · · (p+ r − 1)(p+ r)

r!=

[p+ 1r

].

Ademas se propone la siguiente funcion:

f1(t) =

∫ t

af(τ)dτ. (2.22)

18

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De (2.22) es correcto afirmar que f1(a) = 0 y por lo tanto f ′1(t) = f(t),de ahı se cumple la expresion (2.23).

f(t) = lımh→0

f1(t)− f1(t− h)

h. (2.23)

Probemos ahora la ecuacion (2.20) para p + 1. De (2.10) se tiene losiguiente para p+ 1:

aD−p−1t f(t) = lım

h→0hp+1

n∑r=0

[p+ 1r

]f(t− rh). (2.24)

Reemplazando (2.23) en (2.24) se tiene:

aD−p−1t f(t) = lım

h→0hp

n∑r=0

[p+ 1r

]f1(t− rh)

− lımh→0

hpn∑r=0

[p+ 1r

]f1(t− rh− h).

(2.25)

Reemplazando ahora (2.21) en la primera sumatoria de (2.25) y haciendor = s− 1 en la segunda sumatoria se tiene lo siguiente:

aD−p−1t f(t) = lım

h→0hp

n∑r=0

[pr

]f1(t− rh)

+ lımh→0

hpn∑r=0

[p+ 1r − 1

]f1(t− rh)

− lımh→0

hpn+1∑s=1

[p+ 1s− 1

]f1(t− sh).

Cancelando los diferentes terminos en las sumatorias y recordando queh = t−a

n se satisface lo siguiente:

aD−p−1t f(t) = aD

−pt f1(t)− lım

h→0hp[p+ 1n

]f1(t− (n+ 1)h)

= aD−pt f1(t)− (t− a)p lım

n→∞

1

np

[p+ 1n

]f1

(a− t− a

n

) (2.26)

Recordando que lımn→∞ f1

(a− t−a

n

)= 0 y tomando de (Podlubny,

1998) el siguiente lımite:

lımn→∞

1

np

[p+ 1n

]=

1

Γ(p+ 1)(2.27)

19

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donde Γ(x) =∫∞

0 zx−1e−zdz denota la funcion Gamma. Reemplazando(2.27) en (2.26), se cancela el termino de la derecha, y por la hipotesisinductiva se llega a lo siguiente:

aD−p−1t f(t) = aD

−pt f1(t) =

1

(p− 1)!

∫ t

a(t− τ)(p−1)f1(τ)dτ.

Aplicando integracion por partes se tiene:

aD−p−1t f(t) =

[−(t− τ)pf1(τ)

p!

]ta

+1

p!

∫ t

a(t− τ)pf(τ)dτ

=1

p!

∫ t

a(t− τ)pf(τ)dτ.

Veamos ahora que efectivamente (2.20) corresponde a una representacionde la p-esima integral de f(t); para esto consideremos la derivada de (2.20)y probemos lo siguiente:

d(aD−pt f(t)

)dt

= aD−p+1t f(t). (2.28)

Para probar (2.28) nos basaremos en (Miller and Ross, 1993). Primero serealiza en (2.20) el siguiente cambio de variable: τ = t− xλ donde λ = 1/p,por lo tanto (2.20) se transforma en:

aD−pt f(t) =

1

p!

∫ (t−a)p

0f(t− xλ)dx. (2.29)

Al derivar (2.29), es posible aplicar la formula de Leibniz para el teoremafundamental del calculo, de donde se obtiene

d(aD−pt f(t)

)dt

=1

p!

[pf(0)(t− a)p−1 +

∫ (t−a)p

0

df(t− xλ)

dtdx

].

Si se cambia de nuevo la variable x a la variable original τ se tiene losiguiente:

d(aD−pt f(t)

)dt

=1

(p− 1)!

[f(0)(t− a)p−1 +

∫ t

a(t− τ)p−1df(τ)

dtdτ

].

Por ultimo si se expande la integral por partes y si se supone que f(a) =f(0) se llega a

20

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d(aD−pt f(t)

)dt

=1

(p− 1)!

[f(0)(t− a)p−1 − f(a)(t− a)p−1

]+

1

(p− 1)!

[∫ t

a(p− 1)(t− τ)p−2f(τ)dτ

]=

1

(p− 2)!

∫ t

a(t− τ)p−2f(τ)dτ = aD

−p+1t f(t).

Lo que finaliza la prueba.

Integrando ahora a ambos lados en (2.28) se tiene:

aD−pt f(t) =

∫ t

a

(aD−p+1t f(t)

)dt.

De igual forma, al cambiar p por p−1, p−2 ... etc, se tendra lo siguiente:

aD−p+1t f(t) =

∫ t

a

(aD−p+2t f(t)

)dt

aD−p+2t f(t) =

∫ t

a

(aD−p+3t f(t)

)dt.

Por lo tanto, de (2.1.1) se observa que D−p puede representar dos, treso hasta p integrales tal como se concluye en (2.30).

aD−pt f(t) =

∫ t

adt

∫ t

a

(aD−p+2t f(t)

)dt

=

∫ t

adt

∫ t

adt

∫ t

a

(aD−p+3t f(t)

)dt

=

∫ t

adt

∫ t

adt · · ·

∫ t

af(t)dt.

(2.30)

Lo que comprueba que la definicion (2.20) y de igual forma la (2.10)hacen referencia a la p-esima integral, de ahı que la expresion (2.10) puedeadaptarse entonces como la definicion de la integral fraccional cuando p noes necesariamente una constante entera. Mas aun, esta definicion es validapara p ∈ R siempre que se garantice la existencia del lımite; esta existenciase prueba en la referencia (Podlubny, 1998).

Si se cambia entonces en (2.10) el valor de p por un numero real positivoν ∈ R+, se tiene entonces que la definicion de la ν-esima integral fraccionalpara f estara dada por (2.31), cuyo lımite converge a la expresion (2.32).

21

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aD−νt f(t) = lım

h→0hν

n∑r=0

[νr

]f(t− rh) (2.31)

aD−νt f(t) =

m∑k=0

f (k)(a)(t− a)ν+k

Γ(ν + k + 1)

+1

Γ(ν +m+ 1)

∫ t

a(t− τ)ν+mf (m+1)(τ)dτ

(2.32)

donde m es un valor entero que satisface: m < ν < m+ 1.

2.1.2. Definicion de la Derivada de Grunwald-Letnikov

Tal como se describio anteriormente en este capıtulo, una buena gene-ralizacion para la derivada p-esima con p ∈ Z+ esta dada por (2.8). Si secambia ahora el valor de p por un numero real positivo ν ∈ R+ tal comose hizo con la integral, y se garantiza la convergencia del lımite (como sedesarrolla en (Podlubny, 1998)), se puede definir entonces la ν-esima deri-vada fraccional para f mediante la expresion (2.33) cuyo lımite converge ala expresion (2.34).

aDνt f(t) = lım

h→0

1

n∑r=0

(−1)r(νr

)f(t− rh) (2.33)

aDνt f(t) =

m∑k=0

f (k)(a)(t− a)−ν+k

Γ(−ν + k + 1)

+1

Γ(−ν +m+ 1)

∫ t

a(t− τ)m−νf (m+1)(τ)dτ.

(2.34)

Donde m es un valor entero que satisface: m < ν < m+1. Cabe destacarque el lımite superior de la sumatoria tanto en (2.31) como en (2.33) puedehacerse tender a infinito ya que n→∞ cuando h→ 0, ademas los terminosdel binomio de Newton se hacen cero una vez que r > n > ν.

2.1.3. Metodo Numerico para la Definicion de Grunwald-Letnikov

Con base en las definiciones (2.31) y (2.33), la derivada e integral frac-cional pueden ser aproximadas mediante las expresiones (2.35) y (2.36).

aD−νt f(t) ≈ hν

n∑r=0

w−νr f(t− rh) (2.35)

22

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aDνt f(t) ≈ 1

n∑r=0

wνr f(t− rh) (2.36)

donde wνr = (−1)r(νr

).

Proposicion 3: El valor de wνr puede ser obtenido recursivamente me-diante la siguiente expresion, tomada de (Petras, 2011):

wν0 = 1, wνr =

(1− ν + 1

r

)wνr−1. (2.37)

Probemos entonces (2.37).

Prueba: Por definicion del coeficiente binomial para ν ∈ R se tiene losiguiente:

wνr = (−1)r(νr

)= (−1)r

Γ(ν + 1)

Γ(r + 1)Γ(ν − r + 1)(2.38)

Si r = 0 es facil observar en (2.38) que wν0 = 1; Si se multiplica laanterior expresion por (ν−r+1) en el numerador y el denominador y se usala propiedad de la funcion gamma dada por Γ(z + 1) = zΓ(z), se obtiene laexpresion (2.39).

wνr = (−1)rΓ(ν + 1)(ν − r + 1)

Γ(r + 1)Γ(ν − r + 1)(ν − r + 1)

= (−1)rΓ(ν + 1)(ν − r + 1)

rΓ(r)Γ(ν − r + 1)(ν − r + 1)

=

[(−1)

(ν − r + 1)

r

] [(−1)r−1 Γ(ν + 1)

Γ(r)Γ(ν − r + 2)

]=

(1− ν + 1

r

)[(−1)r−1 Γ(ν + 1)

Γ(r)Γ(ν − (r − 1) + 1)

]=

(1− ν + 1

r

)wνr .

(2.39)

Lo que finaliza la prueba.

La aproximacion (2.35) y (2.36) representa una precision de orden o(h), yesta definicion se puede extender para resolver numericamente una ecuaciondiferencial fraccional no lineal de orden ν como sigue:

aDνt y(t) = f(y(t), t). (2.40)

Puede ser discretizada mediante la siguiente expresion:

23

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aDνt y(tk) '

1

(y(tk) +

k∑r=1

wνr y(tk−r)

). (2.41)

Y despejando de (2.40) y (2.41) se obtiene (2.42), que es la soluciondiscreta aproximada de la ecuacion diferencial fraccional (2.40).

y(tk) ' hνf(y(tk−1), t)−k∑r=1

wνr y(tk−r) (2.42)

2.2. Definicion de Riemann-Liouville

Para esta definicion consideremos primero la p-esima integral de f dadapor (2.43), con p ∈ Z+.

aD−pt f(t) =

∫ t

adt1

∫ t1

adt2

∫ t2

adt3 · · ·

∫ tn−1

af(τ)dτ. (2.43)

Si la funcion f se supone continua en el intervalo [a, t], entonces la ex-presion anterior puede resumirse en una sola integral ası:

aD−pt f(t) =

∫ t

aKp(t, τ)f(τ)dτ. (2.44)

Para encontrar la funcion Kp(t, τ), se hace uso de el cambio en el ordende integracion, de la siguiente forma: dada una funcion G(t, τ) continua enla region [a, t] × [a, t] con t > τ , entonces se puede cambiar el orden deintegracion en G(t, τ) ası:∫ t

adt1

∫ t1

aG(t1, τ)dτ =

∫ t

adτ

∫ t

τG(t1, τ)dt1. (2.45)

Si particularmente se supone que G(t1, τ) = f(τ) se puede encontrar lasegunda integral de f dada por:

∫ t

adt1

∫ t1

af(τ)dτ =

∫ t

af(τ)dτ

∫ t

τdt1

=

∫ t

a(t− τ)f(τ)dτ.

(2.46)

Similarmente se puede encontrar la tercera integral de f si se usan lasexpresiones (2.45) y (2.46) ası:

24

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∫ t

adt1

∫ t1

adt2

∫ t2

af(τ)dτ =

∫ t

adt1

∫ t1

a(t1 − τ)f(τ)dτ

=

∫ t

af(τ)dτ

∫ t

τ(t1 − τ)dt1

=

∫ t

af(τ)

(t− τ)2

2dτ.

De aquı se tiene entonces un indicio de que la funcion Kp(t, τ) = (t−τ)p−1

(p−1)! .

Proposicion 4: La funcion Kp(t, τ) de la expresion 2.44, esta dada por:

Kp(t, τ) = (t−τ)p−1

(p−1)! .

Esto se puede probar inductivamente de la siguiente forma:

Prueba Suponemos que para la (p − 1)-esima integral se cumple losiguiente:

aD−(p−1)t f(t) =

∫ t

a

(t− τ)p−2

(p− 2)!f(τ)dτ. (2.47)

Veamos entonces que esto se cumple para la p-esima integral. De (2.43)y (2.47) se tiene lo siguiente:

aD−pt f(t) =

∫ t

adt1

∫ t1

a

(t1 − τ)p−2

(p− 2)!f(τ)dτ

=

∫ t

af(τ)dτ

∫ t

τ

(t1 − τ)p−2

(p− 2)!dt1

=

∫ t

a

(t− τ)p−1

(p− 1)!f(τ)dτ.

(2.48)

Lo que termina la prueba.

Esta definicion puede extenderse de tal forma que p ∈ R+, y esto darapaso a la definicion de la integral fraccional (RL).

2.2.1. Definicion de la Integral de Riemann-Liouville

Claramente la expresion (2.48) no presenta ningun inconveniente cuandop es una constante real positiva, y teniendo en cuenta la relacion entre lafuncion gamma y la funcion factorial, se puede definir la ν-esima integralfraccional de Riemann-Liouville mediante la expresion:

25

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RLa D−νt f(t) =

1

Γ(ν)

∫ t

a(t− τ)ν−1f(τ)dτ (2.49)

donde ν ∈ R+

2.2.2. Definicion de la Derivada de Riemann-Liouville

Para definir la ν-esima derivada fraccional de Riemann-Liouville para f ,nos apoyaremos en la expresion (2.28), y sabiendo que m− 1 < ν < m conν ∈ R+ y m ∈ Z+, entonces se cumple que ν = m − λ, de aquı se tiene losiguiente:

RLa Dν

t f(t) =dm

dtm

(RLa D−λt f(t)

)=

1

Γ(λ)

dm

dtm

∫ t

a(t− τ)λ−1f(τ)dτ (2.50)

donde 0 < λ < 1 y λ ∈ R+.Para mostrar la relacion que tienen las definiciones de la derivada frac-

cional de (GL) y de (RL), primero es necesario evaluar la conmutatividaden la composicion de la derivada fraccional de (RL) ası: Sea m− 1 < p < mcon p ∈ R+ y m ∈ Z+ y sea n− 1 < q < n con q ∈ R+ y n ∈ Z+ entonces lacomposicion entre RL

a Dpt f(t) y RL

a Dqt f(t) esta dada en (2.51), donde se hace

uso de la definicion (2.50) y de la integracion por partes.

RLa Dp

t aDqt f(t) = RL

a Dp+qt f(t)−

n∑j=1

[RLa Dq−j

t f(t)]t=a

(t− a)−p−j

Γ(1− p− j). (2.51)

De igual forma si se conmuta la composicion anterior se tendra la si-guiente expresion:

RLa Dq

t aDpt f(t) = RL

a Dp+qt f(t)−

m∑j=1

[RLa Dp−j

t f(t)]t=a

(t− a)−q−j

Γ(1− q − j).

Por lo tanto en general: RLa Dpt aD

qt f(t) 6= RL

a Dqt aD

pt f(t) 6= RL

a Dp+qt f(t); y

la igualdad solo se satisface bajo ciertas condiciones en las j-esimas primerasderivadas de f . Si se observa entonces la definicion de la derivada fraccionalde (GL) (2.34), y la definicion de la derivada fraccional de (RL) (2.50), esfacil concluir mediante la expresion (2.51) que ambas definiciones se relacio-nan entre si cuando f es continua en el intervalo [a, t] y su derivada f ′ esintegrable en el mismo invervalo. Ambas definiciones son equivalentes para0 < p < 1 y pueden reescribirse como se muestra en (2.52).

RLa Dp

t f(t) = aDpt f(t) =

(t− a)−pf(a)

Γ(1− p)+

1

Γ(1− p)

∫ t

a(t−τ)−pf ′(τ)dτ (2.52)

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Dado que en los sistemas dinamicos electromecanicos se suelen satisfacerlas condiciones anteriormente descritas (o pueden realizarse aproximacionestal que se satisfagan estas condiciones), entonces el metodo numerico de ladefinicion de (GL), se supone valido de igual forma para la definicion de(RL).

2.3. Definicion de Caputo

Esta definicion fue desarrollada para lograr un enfoque mas practico ycon mayor aplicabilidad que el que se tiene con la definicion de (RL); ya quea diferencia de (RL), en la definicion de Caputo, no existe una dependenciamarcada de las condiciones iniciales de las j-esimas derivadas de f , lo quepuede resultar una ventaja en el aspecto numerico de la definicion y ademasen otros aspectos de alta aplicabilidad, como lo son la transformada deLaplace o la transformada de Fourier.

2.3.1. Definicion de la Derivada de Caputo

Para esta definicion se toma como referencia la expresion (2.34) y sesupone que fk(a) = 0 para todo K = 0, 1, 2, ...,m− 1, se tiene entonces quela ν-esima derivada fraccional de Caputo esta dada por:

CaD

νt f(t) =

1

Γ(m− ν)

∫ t

a

f (m)(τ)

(t− τ)ν−m+1dτ (2.53)

donde m − 1 < ν < m con ν ∈ R+ y m ∈ Z+, esto implica que bajociertas suposiciones en las m-esimas derivadas de f , se obtiene que las tresdefiniciones (GL), (RL) y Caputo son las mismas.

2.3.2. Definicion de la Integral de Caputo

Similarmente que con la derivada fraccional, la definicion de la ν-esimaintegral fraccional de Caputo se basa en la expresion (2.32), bajo las mismassuposiciones anteriores se obtiene la expresion:

CaD−νt f(t) =

1

Γ(ν)

∫ t

a

f(τ)

(t− τ)1−ν dτ

donde 0 < ν < 1 con ν ∈ R+.

2.3.3. Metodo Numerico para la Definicion de Caputo

Tal como se establece en la referencia (Li and Ma, 2013) y (Podlubny,1998), la ecuacion diferencial fraccional de Caputo con condiciones inicialesdada por la expresion (2.54) puede ser resuelta mediante la ecuacion inte-gral de Volterra de segunda clase, que se muestra en (2.55), siempre que secumpla que f es continua en el intervalo [a, t].

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C0 D

νt y(t) = f(t), 0 < ν < 1

y(0) = y0

(2.54)

y(t) = y0 +1

Γ(ν)

∫ t

0(t− τ)ν−1f(y(τ))dτ. (2.55)

Si se usa entonces un metodo de cuadratura como la regla trapezoidalpara discretizar la integral en (2.55), se tiene entonces que la aproximaciondiscreta de solucion de la ecuacion diferencial (2.54) sera:

y(tk) ' y(tk−1) +hν

2Γ(ν)f(y(tk−1)) (2.56)

2.4. Resumen

En el transcurso de este capıtulo se describieron tres de las definicionesmas importantes de las derivadas e integrales fraccionales, como lo son: ladefinicion de Grunwald-Letnikov, la de Riemann-Liouville y la de Caputo. Deigual forma se aportaron algunas de las condiciones que deben satisfacerseen la funcion que se va a derivar o a integrar fraccionalmente, tal que dichasdefiniciones resultan ser congruentes entre si, tanto cuando la definicion decada operador es de orden entero como cuando es de orden arbitrario. Conbase en esto, durante el desarrollo de esta investigacion, resultara conve-niente usar cualquiera de las definiciones bajo la hipotesis de que estas soniguales. Este hecho, resultara util para definir la transformada de Laplacefraccional y el modelamiento de sistemas dinamicos fraccionales, presentadoen el siguiente capıtulo.

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3. Modelamiento y Control de Sistemas Dinami-cos Fraccionales

En general, la mayorıa de sistemas dinamicos que simbolizan un procesofısico real, pueden ser representados mediante diferentes tecnicas de mo-delado matematico, las cuales suelen involucrar principalmente ecuacionesintegro-diferenciales que satisfacen las leyes fısicas que rigen la dinamica delsistema. Sin embargo, cuando estas leyes fısicas no representan adecuada-mente la dinamica del mismo, el modelo aproximado para este, suele elabo-rarse con base en datos observados en su respuesta ante diferentes pertur-baciones (Xue et al., 2007). Una tecnica que involucra las dos metodologıas,es el modelado de sistemas dinamicos mediante calculo fraccional, el cual,modifica las ecuaciones integro-diferenciales de las leyes fısicas que rigen elsistema, incluyendo fraccionalidades en las definiciones de las derivadas eintegrales presentes.

El buen desempeno del modelo del sistema resulta ser de gran importan-cia cuando se busca hacer control sobre el mismo, ya que la base del disenodel controlador es precisamente dicho modelo. Aunque existen muchas otrastecnicas de diseno de controladores, en este capıtulo y el siguiente, solo seanaliza el controlador por realimentacion tipo proporcional, integral y deri-vativo (PID), el cual puede extenderse a su equivalente fraccional (PIλDµ)donde la ecuacion integro-diferencial presente en el controlador ahora esfraccional (Podlubny, 1999).

La estructura tıpica del sistema dinamico (planta), controlado por reali-mentacion se presenta en la Figura 1.

Controlador Planta

Perturbaciones

Sensor

_

+Referencia SalidaActuador

Señal de control Esfuerzo de controlError

Figura 1: Estructura de control realimentado para sistemas dinamicos

En esta Figura, se observan cuatro bloques que ejemplifican un proce-so controlado por realimentacion en lazo cerrado, cada bloque esta descritousualmente por ecuaciones integro-diferenciales. Siendo el bloque mas re-presentativo el bloque de la planta, que representa el sistema dinamico sin

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actuador ni control.La variable de salida de la planta, es medida por el sensor, y se compara

con una referencia deseada, obteniendo ası la variable del error, la cual llegaal controlador, el cual toma accion es correctivas manipulando el actuadormediante la senal de control, de tal forma que se modifique la dinamica dela planta y se alcance un valor deseado en la salida, mediante un cambio enel esfuerzo de control.

Si particularmente, el modelo de la planta es lineal e invariante en eltiempo (LTI ), entonces es de utilidad analizar dicho modelo en el dominiode la frecuencia, esto es: analizarlo bajo la transformada de Laplace. Es poresto que en este capıtulo se estudia en la seccion 3.1 la definicion de la trans-formada de Laplace para la derivada y la integral fraccionales definidas enel capıtulo anterior. Esta definicion se basa en lo propuesto por (Podlubny,1998) y (Petras, 2011).

Posteriormente, en la seccion 3.2 se detalla el modelamiento de sistemasdinamicos fraccionales, donde se revisan los tipos de modelado para sistemasfraccionales lineales y no lineales, ademas se hace un analisis corto sobre lavalidez en la linealizacion de estos ultimos; esta seccion esta basada en lopropuesto por (Petras, 2011) y (Li and Ma, 2013).

Finalmente en la seccion 3.3 se revisan la teorıa y los criterios de disenodel controlador (PIλDµ), los cuales seran usados posteriormente en el pro-blema de aplicacion, esta seccion hace alusion a lo propuesto por (Petras,2011), (Xue et al., 2007) y (Podlubny, 1999).

3.1. Trasformada de Laplace para Sistemas Dinamicos Frac-cionales

La transformada de Laplace de la funcion f(t), es la funcion complejadenotada por F (s) y que esta definida por la expresion:

F (s) = L f(t); s =

∫ ∞0

e−stf(t)dt.

Para que esta transformada este bien definida se requiere que f(t) seauna funcion de orden exponencial α con α ∈ R+, esto significa que existenM y T tales que se cumpla:

e−αt |f(t)| ≤M, para todo t > T.

Definamos ahora dos de las propiedades mas importantes de la transfor-mada de Laplace. Primero definimos la convolucion de las funciones f(t) yg(t) por la expresion:

f(t) ∗ g(t) =

∫ t

0f(t− τ)g(τ)dτ =

∫ t

0f(τ)g(t− τ)dτ.

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La primera propiedad sera entonces la transformada de Laplace de laconvolucion entre f(t) y g(t) dada por:

L f(t) ∗ g(t); s = F (s)G(s). (3.1)

La segunda propiedad sera la transformada de la n-esima derivada def(t), con n ∈ Z+ dada por la expresion:

Lf (n)(t); s

= snF (s)−

n−1∑k=0

sn−k−1f (k)(0). (3.2)

Estas dos propiedades permiten definir la transformada de Laplace parala derivada e integral fraccionales, como sigue a continuacion.

3.1.1. Transformada de Laplace para la Integral Fraccional

Si se toma la definicion de la integral fraccional de (RL) (2.49), o equi-valentemente la de (GL), llegamos a:

0D−νt f(t) =

1

Γ(ν)

∫ t

0(t− τ)ν−1f(τ)dτ =

tν−1 ∗ f(t)

Γ(ν)

donde, sin perdida de generalidad, tomamos a = 0. Sabiendo ademas queLtν−1; s

= Γ(ν)s−ν , se puede definir la transformada de Laplace para la

integral fraccional de (RL) o (GL) mediante la expresion siguiente, con baseen la propiedad (3.1).

L

0D−νt f(t); s

= s−νF (s). (3.3)

Similarmente puede definirse la transformada de Laplace para la derivadafraccional.

3.1.2. Transformada de Laplace para la derivada fraccional

Dado m−1 < ν < m con m ∈ Z+, es posible, sin perdida de generalidad,renombrar la derivada fraccional de (RL) o (GL) mediante la expresion:

0Dνt f(t) = g(m)(t). (3.4)

Si se integra (3.4) y se usa (2.50) se obtiene:

g(t) =1

Γ(m− ν)

∫ t

a(t− τ)m−ν−1f(τ)dτ.

Apoyandonos ahora en la propiedad (3.2), se deduce la siguiente expre-sion:

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L 0Dνt f(t); s = L

g(m)(t); s

= smG(s)−

m−1∑k=0

sm−k−1g(k)(0) (3.5)

y usando de nuevo la propiedad (3.1) y la definicion (3.4) se tiene:

G(s) = s−m−pF (s). (3.6)

Adicionalmente de la definicion (2.50) y (3.4) se obtiene la expresion(3.7) para k < m con k ∈ Z+.

g(k)(t) = 0Dν−kt f(t). (3.7)

Reemplazando entonces (3.6) y (3.7) en la expresion (3.5), se obtiene ladefinicion de la transformada de Laplace para la derivada fraccional de (RL)y (GL), dada por:

L 0Dνt f(t); s = s−pF (s)−

m−1∑k=0

sm−k−10D

ν−kt f(0).

Similarmente puede definirse la transformada de Laplace para la derivadafraccional de Caputo. En este caso, con base en las definiciones (2.49) y(2.53) es facil establecer una relacion entre la integral fraccional de (RL) yla derivada fraccional de Caputo ası:

C0 D

νt f(t) = RL

0 D−(m−ν)t g(t)

donde g(t) = f (n)(t), con base en esto y la definicion (3.3), se tiene (3.8), ysiguiendo la propiedad (3.2), es facil obtener la siguiente expresion:

LC0 D

νt f(t); s

= s−(m−ν)G(s) (3.8)

G(s) = smF (s)−n−1∑k=0

sm−k−1f (k)(0). (3.9)

Reemplazando entonces (3.9) en (3.8), se tiene que la definicion de latransformada de Laplace para la derivada fraccional de Caputo esta dadapor (3.10).

LC0 D

νt f(t); s

= sνF (s)−

n−1∑k=0

sν−k−1f (k)(0). (3.10)

Resulta importante resaltar que en el caso de la transformada para Capu-to, la dependencia de las condiciones iniciales esta dada precisamente en lasderivadas de orden entero de la funcion, a diferencia de lo que ocurre en

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la transformadas de (RL) y (GL). Dado que las derivadas de orden enteropueden representar mejor una variable fısica.

Es por esta que la derivada fraccional de Caputo resulta ser de mayoraplicabilidad que las otras definiciones. Sin embargo, es preciso observarque ante condiciones iniciales iguales a cero en todas las derivadas de f(t),(enteras y reales), la transformada de Laplace para las tres definiciones esigual, y esta dada por las expresiones (3.11) y (3.12) para la integral y laderivada respectivamente.

L

0D−νt f(t); s

= s−νF (s) (3.11)

L 0Dνt f(t); s = sνF (s). (3.12)

Estas dos definiciones finales seran de mayor utilidad en el modelamientomatematico de sistemas dinamicos fraccionales.

3.2. Modelamiento de Sistemas Dinamicos Fraccionales

En general un sistema LTI fraccional con una variable de entrada u(t)y una variable de salida y(t), se puede describir mediante la ecuacion dife-rencial fraccional:

anDαny(t) + an−1D

αn−1y(t) + · · ·+a1D

α1y(t) + a0Dα0y(t) =bmD

βmu(t) + · · ·+ b0Dβ0u(t)

(3.13)

donde Dγ ≡ 0Dγt , y ai, αi, bj , βj son constantes reales tal que i = 0, 1, · · · , n

y j = 0, 1, · · · ,m. Este tipo de sistemas fraccionales, puede ser modeladomediante dos representaciones tıpicas que veremos a continuacion.

3.2.1. Funcion de Transferencia y Espacio de Estados Fraccional

Si se toma la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacion(3.13) y se suponen condiciones iniciales iguales a cero, se obtiene la funcionde transferencia del sistema dinamico dada por:

G(s) =Y (s)

U(s)=bms

βm + bm−1sβm−1 + · · ·+ b0s

β0

ansαn + an−1sαn−1 + · · ·+ a0sα0. (3.14)

Otro tipo de reresentacion para sistemas LTI fraccionales es el espaciode estados fraccionales. Consideremos el sistema descrito por la ecuaciondiferencial (3.13), en general, dada la linealidad del sistema, siempre es po-sible convertir dicha ecuacion diferencial en un conjunto de n ecuacionesdiferenciales fraccionales y una ecuacion constitutiva como se muestra acontinuacion:

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Dqx(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)(3.15)

donde x(t) ∈ Rn y representa el vector de estados del sistema, A ∈ Rn×n,B ∈ Rn, C ∈ R1×n, D ∈ R y ademas, q = [ q1 q2 · · · qn ]T correspondeal orden de la fraccionalidad en cada ecuacion. Este tipo de representacionpermite modelar tambien sistemas con multiples variables de entrada y sa-lida, esto implica entonces que y(t) ∈ Rp, u(t) ∈ Rr, B ∈ Rn×r, C ∈ Rp×ny D ∈ Rp×r. Ası como es posible llevar de un modelo en funcion de trans-ferencia a un modelo en espacio de estados, tambien es posible hacerlo ensentido contrario como se observa a continuacion:

Tomando transformada de Laplace sobre cada ecuacion del sistema (3.15),se obtiene:

SqX(s) = AX(s) + BU(s)

Y (s) = CX(s) + DU(s)

donde Sq es la matriz diagonal de tamano n × n cuyas componentes en ladiagonal principal son [ sq1 sq2 · · · sqn ]. Si se despeja entonces X(s) enla primera ecuacion y se reemplaza en la segunda, es posible encontrar laexpresion que relaciona a Y (s) y U(s) dada como sigue:

Y (s) =(C (Sq −A)−1 B + D

)U(s).

Entonces la matriz de funciones de transferencia esta dada por la expre-sion (3.16), donde G(s) es una matriz cuya componente ij-esima correspondea la funcion de transferencia entre la j-esima salida y la i-esima entrada delsistema.

G(s) =(C (Sq −A)−1 B + D

). (3.16)

Las dos representaciones (3.14) y (3.15) estan dadas unicamente parasistemas LTI, sin embargo, es usual encontrar sistemas no lineales que nopueden ser modelados con estos metodos, por lo tanto dichos sistemas debenser linealizados como se explica en la siguiente seccion.

3.2.2. Teorema de Linealizacion Fraccional

Consideremos ahora el sistema dinamico fraccional no lineal dado por:

Dqx(t) = f(x(t), u(t), t)

y(t) = h(x(t), u(t), t)(3.17)

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donde f : Rn × Rr × R+ → Rn y h : Rn × Rr × R+ → Rp son camposvectoriales no lineales y q mantiene la definicion de la seccion anterior. Elsistema correspondiente a la linealizacion de (3.17) esta dado por:

Dq∆x(t) = A′∆x(t) + B′∆u(t)

∆y(t) = C′∆x(t) + D′∆u(t)(3.18)

donde A′ ∈ Rn×n y es la matriz Jacobiana de los estados, es decir que su

ij-esima componente esta dada por ∂fi∂xj

∣∣∣xe,ue

, B′ ∈ Rn×r y es la matriz

Jacobiana de las entradas, es decir que su ij-esima componente esta da-

da por ∂fi∂uj

∣∣∣xe,ue

, C′ ∈ Rp×n y es la matriz Jacobiana de los estados para

la salida, es decir que su ij-esima componente esta dada por ∂hi∂xj

∣∣∣xe,ue

y

D′ ∈ Rp×r y es la matriz Jacobiana de la entrada para la salida, es decir que

su ij-esima componente esta dada por ∂hi∂xj

∣∣∣xe,ue

. Ademas ∆x(t) = x(t)−xe,∆y(t) = y(t)− ye y ∆u(t) = u(t)− ue son variables de desviacion alrededordel punto de equilibrio xe, ye y ue. Para entender mejor cuando los sistemas(3.17) y (3.18) son equivalentes, veamos que condiciones deben satisfacersemediante las siguientes definiciones adaptadas de (Li and Ma, 2013).

Consideremos sin perdida de generalidad el siguiente sistema dinamicofraccional:

Dpx(t) = f(x(t)) (3.19)

donde f(x) es continua y x(0) = x0. Es importante resaltar que p representala misma fraccionalidad en todas las ecuaciones diferenciales del sistema.

Definicion 1: El punto xe es un punto de equilibrio para el sistema(3.19) si y solo si f(xe) = 0.

Definicion 2: Supongamos que xe es un punto de equilibrio para el sis-tema (3.19) y que J(xe) representa la matriz jacobiana de los estados delsistema evaluada en xe (es decir A′). Si los valores propios de J(xe) satis-facen lo siguiente: |λ(J(xe))| 6= 0 y |Arg(λ(J(xe)))| 6= πp

2 ; entonces xe esllamado un punto de equilibrio hiperbolico.

Teorema 1: Dados f(x) una funcion continua y x(t) una solucion parael sistema (3.19), diremos entonces que existe un mapeo continuo φt el cualsatisface las siguientes propiedades:

1. φ0 = Id.

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2. φt+s = φt θt φs, con s, t ∈ R+, donde θt es un mapeo lineal quesatisface (3.20), basada en la expresion (2.55).

θt φs(x0) = x0 +1

Γ(p)

∫ s

0(t+ s− τ)p−1f(φτ (x0))dτ (3.20)

ademas, si s = 0 entonces θt(x0) = x0

3. (t, x0) −→ φt(x0) es un mapeo continuo de R+ × Ω a Ω ⊂ Rn.

Definicion 3: El mapeo φt que satisface el teorema anterior, es llamadoun flujo de homeomorfismos para (3.19) generado por el campo vectorial f .

Definicion 4: Supongamos que f(x) y g(y) son campos vectoriales con-tinuos definidos en U, V ⊆ Rn los cuales generan los flujos φt,f : U −→ U yφt,g : V −→ V respectivamente. Si existe un homeomorfismo h : U −→ Vtal que h φt,f (x) = φt,g h(x) para todo x ∈ δ(x0, r) ⊂ U , entonces f(x) yg(y) son localmente topologicamente equivalentes. Mas aun, si se garantizala relacion para todo U , entonces los campos f(x) y g(y) son globalmentetopologicamente equivalentes.

Teorema 2: Si xe es un punto de equilibrio hiperbolico para el sistema(3.19), entonces el campo vectorial f(x) es topologicamente equivalente consu campo vectorial de linealizacion J(xe)∆x en la vecindad δ(xe, r) de xe.

Los teoremas 1 y 2, se encuentran probados en la referencia (Li and Ma,2013).

Conjetura: Si e = (xe, ue, ye) es un punto de equilibrio hiperbolico parael sistema (3.17), entonces los campos vectoriales f(x, u, t) y h(x, u, t) sontopologicamente equivalentes con sus campos vectoriales de linealizacion res-pectivos A′∆x(t)+B′∆u(t) y C′∆x(t)+D′∆u(t) en la vecindad δ(e, r) de e.

Si se cumplen las condiciones anteriores y el sistema no lineal y su linea-lizacion son equivalentes, entonces sera posible disenar un controlador parael sistema no lineal, con base en su linealizacion, tal como se trata en lasiguiente seccion.

3.3. Teorıa de Control PID Fraccional

Del analisis realizado en la seccion anterior, en general, para un sistemadinamico fraccional es posible disenar cualquier tipo de controlador basadoen el modelo del sistema. Sin embargo, en este documento se ilustrara laestructura y el diseno del controlador PID fraccional, propuesto por (Pod-lubny, 1999).

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3.3.1. Estructura del Controlador PID Fraccional

Si se considera la Figura 1, suponiendo que el bloque de las medicionesno modifica la senal de salida, es facil observar que la senal de entradaal controlador, es la senal del error e(t), dada por la diferencia entre lareferencia de entrada y la salida del sistema. El controlador PID fraccionaltoma la senal del error y realiza tres acciones sobre esta, de tal forma quese manipule la senal de entrada a la planta u(t) y se pueda llevar esta hastala referencia deseada y rechazar las perturbaciones. La primera accion es laproporcional, la segunda es la accion integral fraccional y la tercera es laaccion derivativa fraccional. Entonces la ecuacion diferencial fraccional quedescribe la funcion del controlador PID fraccional, esta dada por:

u(t) = Kpe(t) +KiD−λe(t) +KdD

µe(t) + ue

donde Kp, Ki y Kd son escalares reales, λ y µ son escalares reales positivos.Estos coeficientes se conocen como los parametros de diseno del controlador.Si se toma transformada de Lapalace en ambos lados de la expresion (3.3.1)y se suponen condiciones iniciales iguales a cero, se obtendra:

U(s) = KpE(s) +KiE(s)

sλ+Kds

µE(t)

que lleva a la funcion de transferencia del controlador Gc(s) dada por:

Gc(s) =U(s)

E(s)=Kps

−λ +Ki +Kdsµ+λ

sλ.

Se debe mencionar tambien, que si se toman los parametros λ = 1 yµ = 1, se obtiene la estructura clasica del controlador PID, similarmentese pueden obtener diferentes tipos de controladores (PI, PD o P) bajo lavariacion de estos parametros, como se muestra en la Figura 2.

PD PID

PI

Figura 2: Orden de fraccionalidad controlador PID

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Si bien los parametros λ y µ pueden ser elegidos aleatoriamente, puederesultar ventajoso usar dichos parametros como grados de libertad parael diseno del controlador, y encontrar todos los parametros resolviendo unproblema de optimizacion, como se describe a continuacion.

3.3.2. Diseno del Controlador PID Fraccional

Si se considera el sistema dinamico que se va a controlar, modelado con laestructura de la funcion de transferencia (3.14), la funcion de transferencia deun sistema dinamico fraccional esta dada por la razon entre dos polinomios

ası: G(s) = Q(sβ)P (sα) . La base del diseno de controladores fraccionales para

este tipo de sistemas radica en ubicar las raıces (polos) del denominador delsistema en lazo cerrado Plc(s

α) en una region donde el sistema sea estable, yademas, cumpla ciertas caracterısticas de convergencia a la referencia que sebusca alcanzar. Para esto, se debe realimentar la salida del sistema como seobserva en la Figura 1, y al incluir el controlador, se modifica la funcion detransferencia de la planta, dando como resultado la funcion de transferenciade lazo cerrado que esta dada por la expresion (3.3.2) adaptada de (Ogata,2003).

Glc(s) =G(s)Gc(s)

1 +H(s)G(s)Gc(s).

Aquı, G(s) es la funcion de transferencia original de la planta sin con-trolador, Gc(s) es la funcion de transferencia del controlador y H(s) es lafuncion de transferencia del sistema de medicion. En general si el modelode la planta considera actuadores y sensoires en el mismo, es posible asumirH(s) = 1. Por lo tanto, los polos presentes en el denominador de (3.3.2),caracterizan el nuevo comportamiento del sistema en lazo cerrado. Es poresto, que resulta importante que dichos polos se encuentren en la region deestabilidad del sistema dinamico fraccional en lazo cerrado. Dicha region,tal como se presenta en (Shah and Agashe, 2016; Swain et al., 2017) puedeser descrita por la Figura 3, donde α es la potencia mas en el denominadorde la funcion de transferencia.

La Figura 3, indica precisamente que la estabilidad de un sistema LTIdinamico fraccional, se logra cuando |Arg(λi)| > απ

2 donde λi son los polosdel sistema.

Para disenar un controlador PID fraccional para un sistema LTI dinami-co fraccional, se usa la metodologıa del polo dominante propuesta por (Swainet al., 2017) y (Xue et al., 2007), donde se tiene un polinomio deseado (conla relacion de amortiguamiento como criterio de diseno, la cual depende deζ y wn) de segundo orden dado por la expresion (3.21), cuyas raıces estandadas en (3.22).

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RegiónEstable

RegiónEstable

Figura 3: Region de estabilidad de un sistema fraccional

Pd(s) = s2 + 2ζwns+ w2n (3.21)

S1,2 = wn

(−ζ ±

√ζ2 − 1

). (3.22)

Segun la ubicacion de los polos, se tendra una respuesta del sistemasubamortiguada o sobreamortiguada. Dependiendo la respuesta deseada, seconsidera entonces a S1 o S2 como el polo dominante (el mas cercano al ejeimaginario), por lo tanto se espera que este polo sea de igual forma un polopara el denominador del sistema en lazo cerrado, es decir, que se cumpla

1 +G(S1)Gc(S1) = 0.

Por lo tanto, para disenar el controlador se busca resolver el siguienteproblema de optimizacion:

mınKp,Ki,Kd,µ,λ

|Re(1 +G(S1)Gc(S1))|+ |Im(1 +G(S1)Gc(S1))|

sujeto a: 0 ≤ µ < 2

0 ≤ λ < 2

(3.23)

En general, µ y λ pueden ser mayores que dos, sin embargo, se proponeesta restriccion con el fin de evitar las altas oscilaciones que se pueden pre-sentar en presencia de derivadas e integrales de orden superior a dos.

3.4. Resumen

En este capıtulo se presentaron algunos metodos de modelado de siste-mas LTI dinamicos fraccionales como lo son la funcion de transferencia o

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el espacio de estados fraccional. Adicionalmente, dado que es usual que lossistemas dinamicos fraccionales no sean lineales, se analizo tambien el teo-rema de la linealizacion fraccional y las condiciones en las que resulta validolinealizar un sistema dinamico fraccional no lineal. Finalmente se describiobrevemente la teorıa de control PID fraccional y su metodologıa de diseno.Los conceptos anteriores sera aplicada en el siguiente capıtulo, donde sebusca analizar las ventajas y desventajas que presentan las tecnicas de mo-delado y control fraccional para un sistema dinamico electromecanico, encomparacion a las tecnicas de modelado y control clasicas.

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4. Analisis Dinamico y de Control Fraccional enSistemas Electromecanicos

Es usual que los sistemas electromecanicos presenten dinamicas con no-linealidades fuertes que resultan difıciles de capturar con un modelo feno-menologico basado en ecuaciones diferenciales de orden entero. Sin embar-go, estas dinamicas pueden o no, ser representadas mediante una derivadafraccional que modifique la dinamica del modelo y se aproxime mejor alcomportamiento real del sistema; ya que tal como se propone en (Tenrei-ro Machado et al., 2010) y (Podlubny, 1999), este tipo de operadores deorden arbitrario, capturan dinamicas que los operadores de orden entero nologran capturar, debido a que los primeros son operadores cuya principal in-terpretacion geometrica se basa en la memoria, y esto es de gran importanciacuando se tienen sistemas con dualidad electrica y mecanica, los cuales po-seen dinamicas lentas y rapidas que suelen ser capturadas adecuadamentepor operadores fraccionales (Foupouapouognigni et al., 2017).

En este capıtulo se presentan las aplicaciones del calculo fraccional en elmodelado dinamico y control de un sistema electromecanico. El modeladodinamico fraccional se analiza desde la solucion numerica para las ecuacionesdiferenciales del sistema dinamico (resulte ser de orden fraccional o entero),mientras que el control se analiza mediante la teorıa de control clasico yfraccional vistas en el capıtulo 3.

4.1. Modelo Dinamico del Sistema Electromecanico

El sistema electromecanico elegido para desarrollar las aplicaciones delcalculo fraccional, es la planta de entrenamiento y adquisicion de datos ba-sada en el software Labview : QNET VTOL for NI ELVIS (ver Figura 4).Este sistema consiste en un brazo adaptado a una base fija, tal que en el ladoderecho del bazo se encuentra un motor de corriente directa con una Heliceadaptada al rotor, que le permite levantarse al brazo tal como si fuese unhelicoptero, modificando ası la posicion del angulo que hace el brazo con labase horizontalmente. En la parte derecha se tiene un contrapeso que ayudacon la estabilidad del brazo cuando este se levanta.

En esta planta es posible adquirir datos de diferentes variables internasdel sistema, lo que resulta practico para el estudio de modelado que se pre-tende realizar. Esta planta es usada principalmente para el estudio de lasdinamicas presentes en sistemas de tipo aerodinamicos (como helicopterosy turbinas eolicas entre otros). Debido a la naturaleza electromecanica delsistema, es facil identificar que existen dinamicas lentas y rapidas, dadaspor sus componentes mecanicas y electricas respectivamente; esta es unade las razones en las que se puede emplear la derivada fraccional, de talforma que exista un mejor acople entre dichas dinamicas en el modelo, talcomo se presenta en (Lazarevic et al., 2016) y en (Schafer and Kruger, 2006).

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Figura 4: QNET VTOL for NI ELVIS. Adaptada de (Quanser, 2011)

Para el modelo inicial se tienen en cuenta las ecuaciones fısicas del sis-tema, obtenidas mediante leyes de Newton y de Kirchoff.

4.1.1. Ecuaciones Fısicas del Modelo Dinamico

Para encontrar las ecuaciones diferenciales que representan la dinamicadel sistema se usa una hipotesis de modelado que origina el diagrama decuerpo libre de la Figura 5, donde se observan los diferentes torques queactuan sobre el sistema.

Actuador

Contrapeso

Figura 5: Diagrama de cuerpo libre para el sistema

Aplicando la segunda ley de Newton al diagrama de cuerpo libre de laFigura 5, se obtiene la ecuacion diferencial (4.1) para la posicion angular θdel sistema.

Jbθ +Bbθ +Kθ = K1ω2r −K2ω

2r |sin(θ)| − Cpcos(θ) (4.1)

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donde :

Cp = g(l2m2 − l1m1 −lh2mh).

En la ecuacion (4.1) cada termino corresponde a un torque aplicado sobreel sistema, tal como se describe a continuacion:

Jbθ corresponde al torque de aceleracion angular del sistema, debidoa que el sistema ante cierta entrada de voltaje en el motor, el brazopierde su condicion de equilibrio estacionario.

Bbθ corresponde al torque de friccion viscosa del sistema.

Kθ corresponde al torque de amortiguamiento del sistema.

K1ω2r corresponde al torque de empuje aerodinamico del sistema, este

representa la fuerza que realiza el motor sobre el brazo cuando la heliceposee cierta velocidad, ya que esta velocidad causa que el fluido (aire)circule a traves de la helice y cause un desplazamiento del brazo.

K2ω2r |sin(θ)| corresponde al torque de friccion aerodinamica o arras-

tre del sistema, este representa la fuerza opuesta a la anteriormentedescrita. Se adiciona el valor absoluto en la funcion senoidal, debidoa que θ puede tomar valores negativos, y se requiere que dicho torquesea siempre opuesto al empuje.

Cpcos(θ) corresponde al torque debido a la fuerza gravitacional.

Todas las variables y los parametros del sistema y el actuador estandescritos en las Tablas 1 y 2. El metodo de adquisicion e identificacion delos parametros se incluye en el Apendice A.

Tabla 1: Variables del sistema

Sımbolo Descripcion Unidades

θ Posicion angular del brazo [rad]

ωb Velocidad angular del brazo [rad/s]

ia Corriente electrica de armadura del motor [A]

ωr Velocidad angular del rotor del motor [rad/s]

V Voltaje de armadura del motor (variablede entrada al sistema)

[V]

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Tabla 2: Parametros del sistema

Sımbolo Descripcion Unidades Valor

Jb Momento de inercia del brazo [Kg ·m2] 0.0035

Bb Coeficiente de friccion viscosa del brazo [N ·m · s] 0.0020

K Coeficiente de amortiguamiento del brazo [N ·m] 0.0289

K1 Coeficiente de empuje aerodinamico [N ·m · s] 6.29× 10−6

K2 Coeficiente de friccion aerodinamica [N ·m · s] 2.58× 10−6

K3 Coeficiente aerodinamico, modelo simpli-ficado no lineal

[N ·m/A] 0.0127

K4 Coeficiente aerodinamico, modelo simpli-ficado lineal

[N ·m/A] −0.0027

Cp Coeficiente debido al torque de la grave-dad

[N ·m] 0.0228

La Inductancia del motor [H] 0.0538

Ra Resistencia del motor [Ω] 2.0000

Ke Constante de fuerza contra-electromotrizdel motor

[V · s] 0.0189

Jr Momento de inercia del motor [Kg ·m2] 0.49× 10−5

Br Coeficiente de friccion viscosa del motor [N ·m · s] 4.95× 10−4

Kt Constante de torque electrico del motor [N ·m/A] 0.0189

Tc Coeficiente de torque de la helice [A] 0.4421

Sin embargo, la incertidumbre de modelado presente en el lado derechode la expresion (4.1) y en la identificacion de los parametros, pueden causarque la dinamica del sistema real no se represente adecuadamente. Es poresto, que basados en la referencia (Apkarian et al., 2011), se propone unmodelo no-lineal simplificado dado por la expresion (4.2), donde el torquede empuje y el torque de friccion aerodinamicos son reemplazados por unaexpresion mas sencilla K3(ia − Tc).

Jbθ +Bbθ +Kθ = K3(ia − Tc)− Cpcos(θ) (4.2)

donde K3Tc representa el torque de carga del motor DC, el cual se presentadebido a la fuerza mecanica que hace la helice sobre el eje del mismo.

De igual forma se pueden encontrar las ecuaciones diferenciales que repre-sentan la dinamica del actuador (Motor DC) mediante las leyes de Kirchhoff(ecuacion (4.3)) y las ecuaciones mecanicas del Motor (ecuacion (4.4)).

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Laia +Raia = V −Keωr (4.3)

Jrωr +Brωr = Kt(ia − Tc). (4.4)

Los terminos Keωr y Ktia representa la fuerza contra-electromotriz y eltorque electrico del motor respectivamente. Ambas son opuestas al voltajey al torque de carga del motor.

Mas aun, la referencia (Apkarian et al., 2011) presenta un modelo simpli-ficado en el que solo se consideran linealidades y no se considera la dinamicadel actuador. Este modelo se muestra en (4.5) y (4.6).

Jbθ +Bbθ +Kθ = K4ia (4.5)

ia =V

Ra(4.6)

Las ecuaciones (4.2), (4.3) y (4.4) pueden representarse como un sistemade ecuaciones diferenciales de primer orden en forma de espacio de estados,tal como se muestra en las expresiones (4.7) a (4.10).

ωb =K3(ia − Tc)− Cpcos(θ)−Bbωb −Kθ

Jb(4.7)

θ = ωb (4.8)

ia =V −Keωr −Raia

La(4.9)

ωr =Kt(ia − Tc)−Brωr

Jr. (4.10)

El sistema de ecuaciones de las expresiones (4.7) a (4.10) es no lineal yse puede resolver numericamente. Dado que en el sistema real solo puedenmedirse las variables θ, ia y V , entonces concentraremos todo el analisisdel modelo en estas variables. En las Figuras 6 y 7 se presenta la solucionnumerica del modelo dinamico ante una entrada de voltaje V = 4.5[V ], juntocon las variables medidas en el sistema real. Las variables reales se miden conun periodo de muestreo de T = 0.0067[s] que corresponde a una frecuenciade 150 muestras por segundo.; la solucion numerica se realizo mediante elmetodo Euler en MATLAB, con igual periodo de muestreo. Las condicionesiniciales del sistema son: ωr = 0, ωb = 0, ia = 0 y θ = −25.

En la Figura 6, el modelo (NL) corresponde al modelo no lineal de laexpresion (4.1), el modelo (simp. NL) corresponde al modelo simplificado

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Tiempo [s]5 10 15 20 25 30

Áng

ulo

[°]

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

θ modelo simp. Lθ modelo simp. NLθ modelo NLθ medida

Figura 6: Posicion angular θ medida y numerica.

Tiempo [s]

5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10

Co

rrie

nte

[A

]

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

ia modelo simp. L

ia modelo simp. NL

ia medida

Figura 7: Corriente electrica ia medida y numerica.

no lineal de la expresion (4.2) y el modelo (simp. L) corresponde al modelolineal de la expresion (4.5). Por otro lado, para la Figura 7 se mantienen lasconvenciones anteriores, teniendo en cuenta que la corriente para ambos mo-delos no lineales es la misma, y esta basada en la expresion (4.3). Al revisarlos errores entre cada modelo y los datos reales (teniendo en cuenta dife-rentes voltajes), y las graficas obtenidas anteriormente, nos decidimos porcontinuar los analisis con el modelo simplificado no lineal propuesto (ecua-ciones (4.7) a (4.10)). En la Tabla 3 se incluyen los errores que presentancada modelo con respecto a los datos reales.

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Tabla 3: RMSE en θ e ia para diferentes modelos

Modelo RMSE θ RMSE ia

NL 3.5337 0.0937

Simpl. NL 1.4075 0.0937

Simpl. L 2.6982 0.1285

No obstante, el modelo seleccionado no representa perfectamente al sis-tema real, dado que en el proceso de identificacion de parametros se realizandiferentes aproximaciones, esto causa una propagacion del error, que a suvez provoca que el modelo no sea del todo correcto. Sin embargo, para darsolucion a este tipo de problematicas en el modelo, se puede plantear unamodificacion en la orden de las derivadas presentes en las ecuaciones dife-renciales del mismo, de tal forma que se pueda evaluar el desempeno deun modelo de orden fraccional frente a la dinamica del sistema real. Estaposibilidad se revisa mas a fondo en la siguiente seccion.

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4.1.2. Fraccionalidad del Modelo Dinamico

Es posible que se tengan diferentes derivadas fraccionales en las dinami-cas del modelo (una por cada ecuacion diferencial), sin embargo, lo que sebusca en principio es evaluar el comportamiento del modelo ante un cambioen el orden de la derivada en alguna de las ecuaciones dinamicas del modelo;esto es: modificar ya sea el parametro α, β, γ o ν en las ecuaciones (4.11) a(4.14).

dαωbdtα

=K3(ia − Tc)− Cpcos(θ)−Bbωb −Kθ

Jb(4.11)

dβθ

dtβ= ωb (4.12)

dγiadtγ

=V −Keωr −Raia

La(4.13)

dνωrdtν

=Kt(ia − Tc)−Brωr

Jr. (4.14)

Se propone entonces realizar un analisis de sensibilidad del modelo anteel cambio en dichas variables, tomando los valores 0.1, 0.2, 0.3 hasta 0.9.Para simular la derivada fraccional se usa el metodo de Grunwald-Letnikovpresentado en la seccion 2.1.3, usando un periodo de muestreo igual al delas variables medidas; de igual forma, para las derivadas que siguen siendode primer orden, se seguira usando el metodo de Euler. En las Figura 8 sepresenta el cambio en la dinamica del modelo al modificar el parametro β.En este caso solo se presenta el cambio en la posicion, ya que la dinamicade corriente no se ve afectada por el cambio en β.

De igual forma, en la Figura 9. se presenta el cambio en la dinamica delmodelo al modificar el parametro γ, en este caso se ven influenciadas todaslas variables de estado, sin embargo, solo se consideran valores de γ ≥ 0.6, yaque con γ < 0.6 estos valores causan que el modelo presente inestabilidad.

En la Figura 10 se presenta el cambio en la dinamica del modelo almodificar el parametro ν, al igual que el anterior, aquı son influenciadastodas las variables de estado, sin embargo, solo se considera ν = 0.9 y ν = 1ya que los demas valores posibles presentan inestabilidad del modelo. En estecaso se observa que no existe un mayor cambio en el modelo entre ambosvalores que toma ν.

En la Figura 11 se presenta el cambio en la dinamica del modelo almodificar el parametro α, este comportamiento es similar al que ocurre conla variacion de β ya que θ y ωb son variables directamente relacionadas.

El analisis cuantitativo del los errores que se obtienen al modificar elorden de las diferentes derivadas, se presenta en la Tablas 4 y 5.

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Tiempo [s]5 10 15 20 25 30

Áng

ulo

[°]

-25

-20

-15

-10

-5

0θ medidaβ 0.1β 0.2

Tiempo [s]5 10 15 20 25 30

Áng

ulo

[°]

-25

-20

-15

-10

-5

0θ medidaβ 0.3β 0.4

Tiempo [s]5 10 15 20 25 30

Áng

ulo

[°]

-25

-20

-15

-10

-5

0θ medidaβ 0.5β 0.6

Tiempo [s]5 10 15 20 25 30

Áng

ulo

[°]

-25

-20

-15

-10

-5

0θ medidaβ 0.7β 0.8β 0.9

Figura 8: Analisis de sensibilidad en θ ante cambios en β.

Tiempo [s]5 10 15 20 25 30

Áng

ulo

[°]

-30

-20

-10

0θ medidaγ 0.6γ 0.7

Tiempo [s]5 5.5 6 6.5 7

Cor

rient

e [A

]

-2

0

2

4

6γ 0.6γ 0.7ia medida

Tiempo [s]5 10 15 20 25 30

Áng

ulo

[°]

-30

-20

-10

0

10θ medidaγ 0.8γ 0.9

Tiempo [s]5 5.5 6 6.5 7

Cor

rient

e [A

]

0

1

2

3

4γ 0.8γ 0.9ia medida

Figura 9: Analisis de sensibilidad en θ e ia ante cambios en γ.

Observando las Tablas de errores, se tiene un indicio de que los mejoresresultados de modelado se presentan cuando β o α son 0.9. Adicionalmentese pueden obtener buenos resultados cuando γ es 0.7, ya que si se analiza

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Tiempo [s]5 10 15 20 25 30

Áng

ulo

[°]

-40

-20

0

20θ medidaν 0.9ν 1

Tiempo [s]5 5.5 6 6.5 7

Cor

rient

e [A

]

0

2

4ia medida

ν 0.9ν 1

Figura 10: Analisis de sensibilidad en θ e ia ante cambios en ν.

Tiempo [s]10 20 30

Áng

ulo

[°]

-30

-20

-10

0

θ medidaα 0.1α 0.2

Tiempo [s]10 20 30

Áng

ulo

[°]

-30

-20

-10

0

θ medidaα 0.3α 0.4

Tiempo [s]10 20 30

Áng

ulo

[°]

-30

-20

-10

0

θ medidaα 0.5α 0.6

Tiempo [s]10 20 30

Áng

ulo

[°]

-30

-20

-10

0

θ medidaα 0.7α 0.8α 0.9

Figura 11: Analisis de sensibilidad en θ ante cambios en α.

detalladamente la Figura 9, se observa que con los valores mas pequenosde γ, se logra obtener el pico de corriente que no se habıa logrado conotras modificaciones del modelo. A pesar de que el error en corriente esmenor cuando γ = 0.9, resultara ventajoso elegir γ = 0.7, ya que ası, elcomportamiento real del sistema es mejor representado. Sin embargo, estoes solo un indicio, y con base en este, se puede elaborar una estimacionoptima de la fraccionalidad, la cual se realiza en la siguiente seccion.

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Tabla 4: RMSE en θ variando la fraccionalidad del modelo

Valor/Variable β γ ν α

0.1 2.4484 ∞ ∞ 1.9208

0.2 2.2943 ∞ ∞ 1.8940

0.3 2.1860 ∞ ∞ 1.8629

0.4 2.1003 ∞ ∞ 1.8249

0.5 2.0212 ∞ ∞ 1.7755

0.6 1.9318 1.2861 ∞ 1.7056

0.7 1.8051 1.3222 ∞ 1.5970

0.8 1.5878 1.3470 ∞ 1.4142

0.9 1.2411 1.3755 1.4109 1.1395

Tabla 5: RMSE en ia variando la fraccionalidad del modelo

Valor/Variable β γ ν α

0.1 0.0937 ∞ ∞ 0.0937

0.2 0.0937 ∞ ∞ 0.0937

0.3 0.0937 ∞ ∞ 0.0937

0.4 0.937 ∞ ∞ 0.0937

0.5 0.0937 ∞ ∞ 0.0937

0.6 0.0937 0.2311 ∞ 0.0937

0.7 0.0937 0.0961 ∞ 0.0937

0.8 0.0937 0.0936 ∞ 0.0937

0.9 0.0937 0.0929 0.094 0.0937

4.1.3. Fraccionalidad Estimada y Analisis de Resultados del Mo-delo Dinamico

Como ya se observo en la seccion anterior, los valores de α = 0.9, β = 0.9,γ = 0.7 y ν = 1, son los valores que consideramos representan una mejorıa enel modelo descrito por las expresiones (4.11) a (4.14). Cuando se establecenlos valores anteriores de fraccionalidad en las derivadas del modelo operandoconjuntamente, el modelo llega a la inestabilidad, sin embargo, cuando seestablecen α = 0.9, β = 1, γ = 0.7 y ν = 1 los resultados obtenidos sonmejores, tal como se observa en la Figura 12, donde se verifica precisamenteque el modelo fraccional bajo la definicion de (GL) con los parametros es-

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tablecidos anteriormente, representa mejor el comportamiento dinamico delsistema, en comparacion al modelo estandar no fraccional. Similarmente, seincluye tambien en la Figura 12, la definicion de Caputo para la derivadafraccional bajo los mismos parametros que (GL), sin embargo esta defini-cion no es tan prometedora como lo es la definicion de (GL). En la Tabla6 se incluyen los errores obtenidos en este caso, los cuales comparados conlos previamente obtenidos en las Tablas 3, 4 y 5, permiten concluir queel sistema efectivamente puede ser mejor representado mediante ecuacionesdiferenciales con derivadas fraccionales.

Tiempo [s]5 10 15 20 25 30

Áng

ulo

[°]

-30

-20

-10

0

10θ fraccional Caputoθ no fraccionalθ fraccional (GL)θ medida

Tiempo [s]5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

Cor

rient

e [A

]

0

1

2

3

4ia fraccional Caputo

ia no fraccional

ia fraccional (GL)

ia medida

Figura 12: Modelos fraccionales de Caputo y (GL) VS modelo no fraccional.

Una vez se supone que el modelo tiene derivadas de orden real (α yγ), se busca entonces estimar estos parametros de fraccionalidad, medianteun Filtro de Kalman Extendido (FKE) como el propuesto en (Isaza et al.,2016) basado en (Simon, 2006). Para lograr esto, se requiere que el modelono lineal este discretizado, y que adicionalmente se incluyan los parametrosα y γ como variables de estado tal como se presenta en (4.15), donde seuso la definicion de la derivada discreta de Caputo en las derivadas de or-den variable, y la discretizacion de Euler en las demas derivadas. A pesarde que se han mostrado las multiples ventajas que representa el uso de ladefinicion de (G-L) sobre la definicion de Caputo, dado que en el algoritmodel filtro de Kalman es necesario encontrar las derivadas de las funciones dellado derecho del modelo con respecto a los parametros γ y α para encontrarlas matrices Jacobianas, resulta considerablemente mas sencillo realizar es-te procedimiento si se usa la definicion de Caputo, en comparacion con la

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definicion de (G-L), lo que justifica el uso de la definicion de la derivada deCaputo en el modelo discreto usado para la estimacion.

ωb(k + 1) =ωb(k) +hα(k)

2JbΓ(α(k))(Cpcos(θ(k)) +K3(ia(k)− Tc))

+hα(k)

2JbΓ(α(k))(−Bbωb(k)−Kθ(k))

θ(k + 1) =ωb(k)h+ θ(k)

ia(k + 1) =ia(k) +hγ(k)

2LaΓ(γ(k))(V (k)−Raia(k)−Keωr(k))

ωr(k + 1) = (Kt (ia(k)− Tc(K))−Brωr(k))h

Jr+ ωr(k)

γ(k + 1) =γ(k)

α(k + 1) =α(k).

(4.15)

Para el desarrollo del (FKE), consideremos un sistema no lineal discre-tizado de la forma:

xk = fk−1(xk−1, uk−1, wk−1)

yk = hk(xk, vk)

wk ∼ N(0, Qk)

vk ∼ N(0, Rk)

donde:

fk−1 : Rn×Rr×Rn → Rn es una transformacion no lineal que relacionalas variables de estado en el instante k, con ellas mismas, las entradasy la incertidumbre de modelado en el instante k − 1.

hk : Rn × Rp → Rp es la transformacion no lineal que relaciona lasvariables de estado, con la salida.

wk y vk, representan la incertidumbre de modelado y el ruido blan-co gaussiano en la medicion tienen matrices de covarianza Qk y Rkrespectivamente .

Qk y Rk son las matrices de covarianza en la incertidumbre de mode-lado y el ruido en la medicion respectivamente, cuyo tamano es n× ny p× p respectivamente.

Para la estimacion de las variables de estado, el (FKE) considera unaetapa de prediccion y otra de correccion denotadas por los superındices (−) y(+) respectivamente. Primero se deben determinar las condiciones iniciales

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para el (FKE), dadas por la expresion (4.16), donde P corresponde a lamatriz de covarianza de los estados.

x+0 = E[x0]

P+0 = E[(x0 − x+

0 )(x0 − x+0 )T ]

(4.16)

Posteriormente se realiza la etapa de prediccion dada por (4.17), dondeFk−1 corresponde a la matriz Jacobiana de la funcion f evaluada en elinstante k − 1.

P−k = Fk−1P+k−1F

Tk−1 +Qk−1

x−k = fk−1(x+k−1, uk−1, 0)

(4.17)

Finalmente se realiza la etapa de correccion dada por (4.19), que corres-ponde tambien a la estimacion de los estados x+ para el instante k, donde(4.18) corresponde a la matriz de correccion del filtro y Hk es la matrizJacobiana de la funcion h evaluada en el instante k.

Kk = P−k HTk (HkP

−k H

Tk +Rk) (4.18)

P+k = (I −KkHk)P

−k

x+k = x−k +Kk[yk − hk(xk, 0)]

(4.19)

Debemos notar ademas que para realizar la estimacion de los estados,se requiere precisamente tener las mediciones de la salida yk del sistema, ytener un estimativo de la varianza o ruido presentes en estas mediciones yen el modelo del sistema.

Si consideramos el sistema discreto ampliado con los parametros de frac-cionalidad, dado por (4.15) como el conjunto de funciones no lineales f ,y ademas tenemos que las variables medidas y la varianzas de medicion ymodelado estan dadas en (4.20).

yk =

[θ(k)ia(k)

]Q = diag(1× 10−2, 1× 10−3, 1, 1, 1× 10−5, 1× 10−5)

R = diag(0.1, 0.1)

(4.20)

Se realiza esta seleccion de Q, precisamente por el escalado de las varia-bles, es decir todas las variables poseen un error similar en el modelo, sinembargo la escala del angulo θ y su velocidad angular ωb debe ser menor que

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las variables del actuador ia y ωr, de igual forma se espera que los parame-tros fraccionales no tengan mayor variacion con respecto a sus condicionesiniciales. Por otro lado, la eleccion de R esta directamente relacionada conel ruido presente en las mediciones θ e ia. Las condiciones iniciales para el(FKE) son las mismas que se consideran para el modelo, adicionando quelas condiciones iniciales para los parametros fraccionales son γ(0) = 0.7 yα(0) = 0.9. Similarmente, la condicion inicial para la matriz de covarian-za sera P (0)+ = Q. Los resultados de la estimacion de los parametros semuestran en la Figura 13, tambien se incluyen las variables medidas y suestimacion.

Tiempo [s]0 10 20 30

Áng

ulo

[°]

-30

-20

-10

0

θ medidaθ estimada

Tiempo [s]0 10 20 30

Cor

rient

e [A

]

0

2

4ia medida

ia estimada

Tiempo [s]0 10 20 30

Fra

ccio

nalid

ad

0.6

0.7

0.8

0.9

γ estimada

Tiempo [s]0 10 20 30

Fra

ccio

nalid

ad

0.895

0.9

0.905α estimada

Figura 13: Parametros fraccionales estimados.

Como se observa en la Figura 13, el parametro α se mantiene relativa-mente estable en un valor de α = 0.898, en contraste, el parametro γ nopresenta estabilidad, esto se refleja precisamente en la Figura 9 y la Tabla5, donde observamos que el error en corriente se minimiza cuando γ → 0.9,sin embargo se pierde la dinamica inicial de la variable. Es por esto quehaciendo un barrido final en el parametro con 0.6 < γ < 0.8, por inspeccionen el error y el comportamiento de la variable, se decide elegir γ = 0.69. Elcomportamiento del modelo con los parametros fraccionales estimados ele-gidos, se muestra en la Figura 14, y el error con estos parametros se incluyeen la Tabla 6.

De estos resultados, se observa que el error con los parametros estimados

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Tiempo [s]5 10 15 20 25 30

Áng

ulo

[°]

-30

-20

-10

0

10θ fraccional Caputoθ no fraccionalθ fraccional (GL)θ medida

Tiempo [s]5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 7

Cor

rient

e [A

]

0

1

2

3

4ia fraccional Caputo

ia no fraccional

ia fraccional (GL)

ia medida

Figura 14: Modelos fraccionales con parametros estimados.

resulta mayor que el error con los parametros iniciales, debido a que serequiere que el parametro γ sea mayor para disminuir el error en la variablede corriente, ademas la estimacion puede no ser valida, debido a que lasmediciones presentan una alta componente de ruido, principalmente en lamedicion del θ; sin embargo por las razones expuestas previamente, se conoceque estos parametros γ = 0.69, α = 0.898, ν = 1 y β = 1 representan mejorla dinamica real del sistema (particularmente en la variable de corrienteelectrica), por lo tanto todo el diseno del controlador que se realiza en lasiguiente seccion, se hara con base en el modelo fraccional descrito por estosparametros.

Tabla 6: RMSE en θ e ia para diferentes modelos

Modelo fraccional RMSE θ RMSE ia

(GL) α = 0.9 γ = 0.7 1.0964 0.0961

Caputo α = 0.9 γ = 0.7 2.2528 0.0890

(GL) α = 0.898 γ = 0.69 1.1012 0.0966

Caputo α = 0.898 γ = 0.69 2.2109 0.0888

4.2. Control PID Fraccional para el Sistema Electromecanico

Consideremos ahora el modelo dinamico fraccional del sistema, dado porlas expresiones (4.11) a (4.14), donde γ = 0.69, α = 0.898, ν = 1 y β = 1.Para realizar el controlador para este sistema, se requiere que el mismosea lineal, por lo tanto, verifiquemos que el modelo y su linealizacion sonequivalentes.

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4.2.1. Analisis de linealizacion del sistema

Bajo la ultima Conjetura realizada en la Seccion 3.2.2, la linealizaciondel modelo esta dada por la siguiente expresion.

dα∆ωbdtα

d∆θdt

dγ∆iadtγ

d∆ωrdt

=

−BbJb− cpsin(θe)+K

JbK3Jb

0

1 0 0 0

0 0 −RaLa−KeLa

0 0 KtJr−BrJr

∆ωb

∆θ

∆ia

∆ωr

+

0 −K3Jb

0 0

1La

0

0 −KtJr

∆V

∆Tc

.

(4.21)

Esta linealizacion se realiza al rededor del punto de equilibrio dado por(4.22), el cual puede ser calculado al igualar las ecuaciones diferenciales delmodelo a cero y tomar como entrada un voltaje de 4.5 [V ].

ωbeθeiaeωre

=

0

−0.18981.772150.6625

(4.22)

Verifiquemos que (4.22) corresponde a un punto de equilibrio hiperbolicopara f y por lo tanto el modelo no lineal y su linealizacion son topologica-mente equivalentes. Para esto, analizamos los valores propios de la matrizJacobiana de f dados por la siguiente expresion:

Λ =

−0.2857 + 1.0710i−0.2857− 1.0710i−69.1653 + 18.1035i−69.1653− 18.1035i

Tomando como base la Definicion 2 de la seccion 3.2.2, si se cumple

que |λ(J(xe))| 6= 0 y |Arg(λ(J(xe)))| 6= πp2 entonces Xe sera un punto de

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equilibrio hiperbolico. En este caso la primera condicion de cumple, mientrasque la segunda se verificara con cada una de las fraccionalidades presentesen el modelo, es decir que verificaremos si | 2

πpArg(Λ)| 6= 1 con p = γ, p = αy p = 1, los resultados de esta razon, se incluyen en la Tabla 7, dondese verifica que efectivamente (4.22) corresponde a un punto de equilibriohiperbolico.

Tabla 7: Angulo de los Valores propios

2πγ |Arg(Λ)| 2

πα |Arg(Λ)| 2π |Arg(Λ)|

1.6898 1.2984 1.1660

1.6898 1.2984 1.1660

2.6624 2.0457 1.8370

2.6624 2.0457 1.8370

En la Figura 15. se observa que tanto el sistema No lineal fraccional,como el sistema linealizado fraccional, se comportan similarmente al rededordel punto de equilibrio desde los 5 segundos hasta los 40 segundos, luego serealiza un cambio en el voltaje a 5 [V ] y se observa que ambos sistemas yano son equivalentes cuando no estan cerca del punto de equilibrio.

Tiempo [s]0 20 40 60 80

Áng

ulo

[°]

-40

-20

0

20θ no linealθ lineal

Tiempo [s]0 20 40 60 80

Cor

rient

e [A

]

0

2

4ia no lineal

ia lineal

Tiempo [s]0 20 40 60 80

Vel

ocid

ad a

ngul

ar b

razo

[rad

/s]

-0.5

0

0.5

b no lineal

ω b lineal

Tiempo [s]0 20 40 60 80

Vel

ocid

ad a

ngul

ar m

otor

[rad

/s]

-50

0

50

100

ω r no lineal

ω r lineal

Figura 15: Linealizacion del modelo.

Si se supone que el modelo linealizado esta cercano al punto de opera-cion, entonces es posible disenar un controlador para el sistema linealizado,

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que tenga buen desempeno sobre el sistema no lineal. Para esto se debereescribir el modelo linealizado (4.21) como una funcion de transferencia

G(s) = θ(s)V (s) , tal como se propone en (3.16). Una vez el sistema esta en

funcion de transferencia, es posible disenar un controlador PID fraccionalmediante la metodologıa explicada en la Seccion 3.3.1.

4.2.2. Diseno y Simulacion de control PID Fraccional

Con el fin de evaluar el desempeno del modelo fraccional del sistemajunto con el controlador fraccional, a continuacion se proponen cuatro casosde diseno diferentes.

1. Diseno de controlador PID fraccional para el modelo fraccional delsistema (modelo que representa correctamente el sistema real).

2. Diseno de controlador PID clasico para el modelo fraccional del siste-ma (modelo que representa correctamente el sistema real).

3. Diseno de controlador PID fraccional para el modelo del sistema conderivadas de orden entero (modelo que no representa correctamente elsistema real).

4. Diseno de controlador PID para el modelo del sistema con derivadasde orden entero (modelo que no representa correctamente el sistemareal).

En la Tabla 8 se incluyen los parametros optimos de diseno para cadauno de los controladores propuestos, en este caso se propuso un valor deζ = 0.8 y un tiempo de establecimiento de Ts = 4 [s], lo que equivale awn = 1.25.

Tabla 8: Parametros de diseno de controladores

Parametro Diseno 1 Diseno 2 Diseno 3 Diseno 4

Kp -0.5924 -1.7447 -0.7782 -1.7907

Ki 1.7527 3.1929 2.0193 3.2748

Kd 3.8800 2.9527 3.5745 3.0275

λ 1.1013 1 1.3586 1

µ 1.1608 1 1.2298 1

En la Figura 16 se observa el comportamiento del sistema controladopor los disenos correctos (primero y segundo), En las Figura 17 se observael comportamiento del sistema controlado por los disenos incorrectos (MD)

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(tercero y cuarto), de igual forma se observa el esfuerzo de control del actua-dor en terminos de potencia electrica. En este caso se examina el desempenode todos los controladores ante aspectos como seguimiento a la referencia ola robustes ante cambio en los parametros. El primer aspecto se examina,cambiando la referencia de 0 a 30 en el tiempo de 5 [s]; el segundo aspectose examina al realizar una variacion del 5 % en la resistencia del motor, esdecir, Ra = 2.1 despues del tiempo 45 [s].

Tiempo [s]0 20 40 60 80

Áng

ulo

[°]

-20

0

20

40

60θ PID fraccθ PIDReferencia

Tiempo [s]0 20 40 60 80

Pot

enci

a [W

]

0

50

100

150E.C PID fraccE.C PID

Figura 16: Respuesta al escalon del sistema (Disenos 1 y 2).

Tiempo [s]0 20 40 60 80

Áng

ulo

[°]

-40

-20

0

20

40

60

80θ PID fracc MDθ PID MDReferencia

Tiempo [s]0 20 40 60 80

Pot

enci

a [W

]

0

20

40

60

80

100

120

140

E.C PID fracc MDE.C PID MD

Figura 17: Respuesta al escalon del sistema (Disenos 3 y 4).

En la Figura 18 se muestra la respuesta del sistema cuando se encuentraen lazo cerrado con el controlador fraccional y cuando esta en lazo abiertosin controlador, donde se observan las ventajas de cerrar el lazo. En estecaso el control garantiza el seguimiento preciso de la referencia deseada. En

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la siguiente seccion se analiza con mas detalle los resultados obtenidos parael sistema controlado mediante los diferentes disenos.

Tiempo [s]0 20 40 60 80

Áng

ulo

[°]

-100

-50

0

50

θ sin controlθ con control fraccional

Figura 18: Respuesta al escalon del sistema en lazo cerrado y lazo abierto.

4.2.3. Analisis de resultados del controlador

Para tener una mejor comparativa en el desempeno de los controladores,se debe hacer una revision de las Figuras 16 y 17, ası como la Figura 19, en laque se visualiza mejor el comportamiento del error absoluto entre el angulodel brazo del sistema y la referencia deseada, para las cuatro propuestas dediseno. Similarmente, el analisis cuantitativo de los resultados se presentaen la Tabla 9, este analisis se realiza bajo el criterio de la integral del valorabsoluto del error (IAE) y la integral del esfuerzo de control (Energıa), paralos cuatro controladores disenados.

Tabla 9: Desempeno de controladores

Criterio Diseno 1 Diseno 2 Diseno 3 Diseno 4

IAE 342.41 273.45 1890.60 284.87

Energıa [W·min] 1.5021 1.5029 1.4822 1.5034

A continuacion se listan algunos aspectos importantes de los resultadosobtenidos:

En general, el controlador PID fraccional y el controlador PID di-senados correctamente (disenos 1 y 2), son los que garantizan el mejordesempeno del sistema en lazo cerrado.

Cuando se realiza un mal modelo del sistema real, el controlador tam-bien sera mal disenado, causando que el desempeno del sistema en lazocerrado, no sea del todo correcto, como ocurre en los disenos 3 y 4.

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Tiempo [s]

0 20 40 60 80

Err

or

[°]

0

0.5

1

θ PID fracc

Tiempo [s]

0 20 40 60 80

Err

or

[°]

0

0.5

1

θ PID

Tiempo [s]

0 20 40 60 80

Err

or

[°]

0

0.5

1

θ PID fracc MD

Tiempo [s]

0 20 40 60 80

Err

or

[°]

0

0.5

1

θ PID MD

Figura 19: Absoluto del error en θ.

Sin embargo, esto puede resultar mas perjudicial cuando se disena uncontrolado PID fraccional, con base en un mal modelo del sistema,como ocurre en el diseno 3.

En terminos de energıa y de numero de oscilaciones en la respuesta alescalon y al cambio de parametros, se puede concluir que el controladorPID fraccional tendra un mejor desempeno que el controlador clasico.

Es importante resaltar que aunque la energıa sea menor en el contro-lador PID fraccional disenado incorrectamente, el tipo de oscilacionesque presenta este controlador en el sistema, no son deseables al imple-mentarlo en un sistema real.

Por otro lado, en terminos de IAE y de evitar la saturacion del ac-tuador, el controlador PID clasico tiene un mejor desempeno que elcontrolador fraccional.

4.3. Resumen

En este capıtulo se presentaron las aplicaciones del calculo fraccional enun sistema dinamico electromecanico. Primero se reviso la posibilidad deque el modelo del sistema fuese un modelo con derivadas fraccionales, aquıse comprobo, como algunas de las derivadas del modelo representan mejor ladinamica del sistema real cuando estas son de orden real. Seguidamente se

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reviso el comportamiento del modelo del sistema, cuando este se encuentraen lazo cerrado con diferentes tipos de diseno de controladores, entre los quese encuentran: el controlador PID fraccional y el control PID clasico, dondese mostraron algunas de las ventajas principales de cada uno de estos, paraun modelo fraccional. En el capıtulo siguiente se registran las conclusionesfinales sobre todo el trabajo desarrollado en este documento.

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5. Conclusiones y Trabajo Futuro

En el transcurso de esta investigacion se presento una base para el desa-rrollo matematico del calculo fraccional y sus aplicaciones en el ambito delos sistemas dinamicos electromecanicos, las conclusiones finales de la inves-tigacion y el trabajo adicional que se puede desarrollar, se presentan en lassiguientes secciones.

5.1. Conclusiones

En este trabajo se presentaron las definiciones matematicas del opera-dor diferencial e integral fraccional propuestas por: Grunwald-Letnikov,Riemann-Liouville y Caputo; de tal forma que se evaluaron las condi-ciones para las cuales estas se encuentran bien definidas y ademas,cuando es valida su implementacion numerica y aplicabilidad. Es-ta evaluacion, dio como resultado, que la definicion de Grunwald-Letnikov debido a su naturaleza discreta y semejanza con la definicionde Riemann-Liouville, facilita la aplicabilidad del calculo fraccional ensimulacion o implementacion de sistemas fısicos reales. Por otro lado,la definicion de Caputo implica una discretizacion adicional tanto enla integral presente en la definicion como en la funcion Γ(x), lo quepuede causar problemas de precision o convergencia numerica.

Se estudiaron tambien algunos metodos de modelado dinamico parasistemas fraccionales lineales e invariantes en el tiempo, como son lafuncion de transferencia y el espacio de estados fraccional. Adicional-mente, se propusieron las condiciones que deben satisfacerse para queel teorema de la linealizacion fraccional sea aplicable en un sistemadinamico fraccional no lineal. Cabe resaltar que estas metodologıas demodelado y las condiciones necesarias para los sistemas no lineales,son indispensables para el diseno e implementacion de controladoresPID fraccionales sobre este tipo de sistemas.

Se propuso un modelo dinamico para un sistema electromecanico tipoVTOL, basado en las ecuaciones fısicas del sistema. Adicionalmentese realizo un estudio de la fraccionalidad de dicho modelo, donde secomprobo que no todas las ecuaciones diferenciales poseen derivadasde orden entero, ya que al observar el comportamiento de un modelocon derivadas de orden real, y otro con derivadas de orden entero,el primero representa mejor el comportamiento dinamico del sistemaelectromecanico real.

Se formulo una estimacion de parametros mediante un Filtro de Kal-man Extendido, para el orden de las derivadas del sistema que sepresumen fraccionales. De lo anterior se pudo concluir: que en gene-ral, la fraccionalidad del sistema esta asociada a su dinamica, y si no

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se conocen suficientes datos reales de la dinamica del sistema, o estospresentan alto ruido de medicion, mas aun si no se tiene un estimati-vo inicial del orden de las derivadas, entonces esta fraccionalidad seradifıcil de estimar optimamente y por lo tanto, se deben generar nuevasmetodologıas de estimacion.

Se disenaron e implementaron en MATLAB, dos controladores parael modelo no lineal fraccional del sistema electromecanico. El primerdiseno fue un controlador PID fraccional y el segundo fue un controlPID clasico, donde se concluyo que el controlador fraccional presentaun menor esfuerzo de control y menos oscilaciones en el sistema.

Sin embargo, este puede ser altamente sensible al mal modelado, ademasgenerar sobre impulsos mas altos y saturacion del actuador. Por otrolado, el controlador clasico genera mas oscilaciones en el sistema perono presenta alta sensibilidad al mal modelado ni saturacion en el actua-dor. Se debe reconocer tambien que ambos controladores son robustosante el cambio de los parametros del sistema.

Por todo lo anterior, no se puede establecer un criterio de eleccion deuno u otro controlador, pero lo que se debe garantizar en el momentode disenar un control para el sistema real, es que el modelado del siste-ma sea correcto, es decir, es importante siempre revisar si un sistemadinamico se ve mejor representado por derivadas de orden real, quepor derivadas de orden entero.

5.2. Trabajo Futuro

Una investigacion futura en el ambito de los sistemas dinamicos, con-siste en probar y evaluar la validez de la Conjetura establecida en laseccion 3.2.2, de tal forma que se pueda establecer un teorema comple-to de la linealizacion fraccional para sistemas dinamicos con diferenteorden en cada una de sus derivadas.

Se espera elaborar algunas metodologıas de diseno de controladores envarias variables para sistemas dinamicos fraccionales.

Se deben investigar tambien, nuevos metodos de estimacion y opti-mizacion de la fraccionalidad presente en las derivadas del modelodinamico de un sistema real, tal que preferiblemente estos metodosincluyan o se basen en la definicion de Grunwald-Letnikov.

Se espera extender los resultados de la investigacion a sistemas dinami-cos que presenten no linealidades de mayor rigor, y que estos sistemas,no sean necesariamente electromecanicos.

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A. Identificacion de Parametros

Para la identificacion de parametros del sistema electromecanico QNETVTOL for NI ELVIS se tomaron diferentes mediciones de la respuesta alescalon de voltaje que presenta el sistema, realizando variaciones en el voltajeaplicado, siempre dentro de los valores permisibles del sistema. Algunas deestas respuestas se muestran en las Figuras 20 y 21.

segundos

0 5 10 15 20 25

Gra

do

s

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Voltaje 3.6[V]

Voltaje 4.0[V]

Voltaje 4.5[V]

Voltaje 5.0[V]

Voltaje 5.6[V]

Figura 20: Respuesta del sistema al escalon de voltaje (posicion)

segundos

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Am

pe

rio

s

-50

0

50

100

150

200

250

Voltaje 3.6[V]

Voltaje 4.0[V]

Voltaje 4.5[V]

Voltaje 5.0[V]

Voltaje 5.6[V]

Figura 21: Respuesta del sistema al escalon de voltaje (corriente)

Las Figuras 20 y 21 permiten concluir que la respuesta del sistema essimilar a la de cualquier sistema de segundo orden tanto en posicion comoen corriente, a pesar de que las ecuaciones (4.7) a (4.10) muestren que existecierta nolinealidad en la relacion posicion-Voltaje. Para facilitar el proceso

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de identificacion de parametros sera necesario en algunos pasos, aproximar larespuesta del sistema a una respuesta de un sistema de segundo orden, y enotros pasos considerar las diferentes no linealidades presentes en el modelo.Las aproximaciones realizadas en el proceso de identificacion se basan en lasreferencias (Quanser, 2011) y (Apkarian et al., 2011).

A.1. Identificacion de Parametros del motor DC

Para realizar la identificacion se deben considerar algunos parametrosiniciales que pueden ser medidos (como la resistencia electrica del motor oel radio del motor) o adaptados de la referencia (Quanser, 2011), estos sepresentan en la Tabla 10. Para medir Ra se utilizo un multımetro en lasterminales del motor.

Tabla 10: Parametros iniciales conocidos

Sımbolo Descripcion Unidades Valor

Bb Coeficiente de friccion viscosa del brazo [N ·m · s] 0.0020

Mm Masa del motor [Kg] 0.0680

Cp Coeficiente debido al torque de la gra-vedad

[N ·m] 0.0228

La Inductancia del motor [H] 0.0538

Ra Resistencia del motor (Medida) [Ω] 2.0000

rm Radio del motor (Medido) [m] 0.0120

m1 Masa del motor y el acople [Kg] 0.0680

m2 Masa del contrapeso [Kg] 0.2700

m3 Masa del cuerpo del brazo (derecho) [Kg] 0.0480

r1 Distancia al centro de masa del motory el acople

[m] 0.1560

r2 Distancia al centro de masa del contra-peso

[m] 0.0560

r3 Distancia al centro de masa del cuerpodel brazo (derecho)

[m] 0.1425

Si se analizan las ecuaciones dinamicas del motor en el dominio de lafrecuencia, se podra afirmar que la respuesta de la corriente al escalon devoltaje efectivamente es de segundo orden. Considerando las ecuaciones (4.3)y (4.4) en el dominio de la frecuencia y asumiendo Tc(s) = 0 por el teoremade la superposicion, se tienen las siguientes expresiones:

LaSI(s) +RaI(s) = V (s)−KeWr(s) (A.1)

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JrSWr(s) +BrWr(s) = KtI(s). (A.2)

De las expresiones (A.1) y (A.2) se encuentra la funcion de transferenciade corriente I(s) contra voltaje V (s), la cual se muestra en (A.3), esta expre-sion corresponde a una funcion de transferencia para un sistema de segundoorden con un cero en el sistema como las que se presentan en (Ogata, 2003),la cual es comparable con la expresion (A.4).

I(s)

V (s)=

1La

(S + Br

Jr

)S2 +

(RaLa

+ BrJr

)S +

(BrRa+K2

vJrLa

) (A.3)

G(s) =ω2nz (S + z)

S2 + 2ζωnS + ω2n

(A.4)

donde ωn corresponde a la frecuencia natural del sistema, ζ es el factorde amortiguamiento y z es el cero del sistema. Si se conocen estos valorespara la respuesta dinamica del sistema, se podran identificar las constantesrestantes del motor (Br y Kv), sin embargo, para calcular estas constantes esnecesario calcular primero el valor del momento de inercia Jr. En este casose aproxima la forma fısica del motor a un cilindro solido, cuyo momento deinercia esta dado por la siguiente expresion:

Jr =Mmr

2m

2.

De igual forma, los valores de ωn y ζ pueden calcularse mediante otrasvariables facilmente identificables en la respuesta del sistema como lo son:el maximo sobreimpulso (Mp) y el tiempo de pico (tp), estas variables estanpresentes en sistemas cuya respuesta tiene un comportamiento similar al dela Figura 22, esto ocurre cuando se tienen sistemas subamortiguados dondeζ < 1 (Ogata, 2003).

Para calcular los valores de ζ se tiene la siguiente expresion tomada de(Ogata, 2003):

Mp = e− πζ√

1−ζ2

y despejando ζ se llega a la expresion (A.5).

ζ =

(ln2(Mp)

π2 + ln2(Mp)

) 12

. (A.5)

El valor obtenido de ζ es el promedio de todos los valores calculados antediferentes escalones de voltaje (midiendo los respectivos Mp), dando comoresultado ζ = 0.1113, para calcular ωn se realiza el mismo procedimiento,

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Figura 22: Respuesta de un sistema de segundo orden al escalon unitarioadaptada de (Ogata, 2003)

mediante el uso de la expresion (A.6) tomada de (Ogata, 2003), dando comoresultado el valor de ωn = 71.4956.

ωn =π

tp√

1− ζ2. (A.6)

A pesar de que con las expresiones anteriores se hace posible calcularlos parametros restantes en el modelo del motor, debido a que las medicio-nes de la dinamica presentan una alta propagacion de error, se anade unanalisis de la estacionalidad del modelo, donde resulta una expresion quepermite calcular con mayor certeza dichos parametros. Revisando entonceslas expresiones (4.3) y (4.4) en equilibrio estacionario se tienen las siguientesexpresiones:

Raia = V −Keωr

Brωr = Kt(ia − Tc)

de donde resulta la expresion (A.7) de voltaje contra corriente, recordandoque Kv = Kt = Ke.

V = maia − ba (A.7)

donde ma =(Ra + K2

vBr

)y ba = K2

vBrTc, el voltaje y la corriente son tomados

en estado estacionario, por lo tanto, con base en esta expresion y los datosmedidos de voltaje y corriente, es posible graficar una curva de voltaje versuscorriente cuya pendiente corresponde a ma y su intercepto a ba, esta curva

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se muestra en la Figura 23 y el valor de la pendiente es ma = 2.5432 y delintercepto es ba = 0.3177.

Corriente [A]

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

Voltaje

[V

]

3.5

4

4.5

5

5.5

6

Datos medidos

Recta calculada

Figura 23: Regresion lineal de Voltaje contra Corriente

Ahora con los valores de ma, ωn y Jr es posible calcular Br y kv mediantelas siguientes expresiones:

Br =ω2nJrLama

Kv =√

(ma −Ra)Br.

Similarmente se puede calcular Tc. Todos los valores calculados ya fueronincluidos en la Tabla 2.

A.2. Identificacion de Parametros del brazo

Cuando se buscan identificar los parametros del brazo, es importantereconocer que es en estas ecuaciones del modelo donde aparecen las no li-nealidades mas fuertes, es por esto que aquı, se deben realizar otro tipo deaproximaciones que generan aun mas error en la identificacion.

En primer lugar es posible asumir con base en la Figura 20, que la res-puesta del brazo ante diferentes escalones de voltaje (los cuales se conviertenen escalones de torque) es una respuesta de un sistema de segundo orden, talcomo se supone en la referencia (Apkarian et al., 2011). Si se tomo entoncesla transformada de Laplace en la expresion (4.1) asumiendo que los terminosdel lado derecho de la ecuacion solo representan una constante multiplicadapor el torque Tr (similar al modelo (4.5), (4.6)) y que las condiciones inicialesen posicion son cero, se tiene la siguiente expresion:

70

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JbS2θ(s) +BbSθ(s) +Kθ(s) = KrTr(s)

y la funcion de transferencia del sistema en este caso sera :

θ(s)

Tr(s)=

Kr/Jb

S2 + BbJbS + K

Jb

.

Con base en la expresion (A.4), se observa que la funcion de transferenciaaproximada para el brazo es de segundo orden, por la tanto si se conoce elvalor de ωn para el brazo y el momento de inercia Jb del mismo, se puedeencontrar el valor de K. Para esto se puede aproximar el brazo a un sistemacompuesto por diferentes masas mi que se encuentran a una distancia ri delcentro de masa del brazo (Tabla 10). Las masas en este caso son las mismascon las que se realiza el calculo de Cp. por lo tanto, el momento de inerciadel brazo se calcula mediante la expresion (A.8) tomada de (Apkarian et al.,2011).

Jb =3∑i=1

miri. (A.8)

El procedimiento para calcular ωn en este caso es el mismo que se usoen el motor, dando como resultado un valor de ωn = 2.8874 y con esto sepuede calcular K mediante la expresion:

K = Jbω2n.

Para calcular los parametros restantes K1 y K2 se hace uso de las ecua-ciones en equilibrio estable del brazo, estas condiciones se presentan cuandose anulan las dinamicas en (4.1), de allı se obtiene lo siguiente:

0 = K1ω2r −K2ω

2r |sin(θ)| − Cpcos(θ)−Kθ. (A.9)

Como existen diferentes medidas de θ y ωr en estado estacionario, sepuede establecer un conjunto de ecuaciones dado por cada θi y ωri medidasde la siguiente forma:

K1ω2ri −K2ω

2ri|sin(θi)| = Cpcos(θi) +Kθi. (A.10)

Este sistema de ecuaciones puede verse matricialmente de la siguienteforma:

ω2r1 −ω2

r1

ω2r2 −ω2

r2...

...ω2ri −ω2

ri

[K1

K2

]=

Cpcos(θ1) +Kθ1

Cpcos(θ2) +Kθ2...

Cpcos(θi) +Kθi

. (A.11)

71

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Esto puede llevar a una formulacion por mınimos cuadrados (Ax = b)para encontrar el valor de K1 y K2, tomando A, x y b de la siguiente forma:

A =

ω2r1 −ω2

r1

ω2r2 −ω2

r2...

...ω2ri −ω2

ri

(A.12)

x =

[K1

K2

](A.13)

b =

Cpcos(θ1) +Kθ1

Cpcos(θ2) +Kθ2...

Cpcos(θi) +Kθi

(A.14)

se puede obtener una solucion para x mediante la expresion:

x =(ATA

)−1AT b. (A.15)

El proceso anterior (ecuaciones (A.9) a (A.15)) es exactamente el mismopara identificar las constantes de los demas modelos K3 y K4.

Finalmente se consiguen obtener todos los valores de los parametros delsistema, los cuales se encuentra contenidos en la Tabla 2.

72

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Referencias

Apkarian, J., Karam, P., Levis, M., and Martin, P. (2011). STUDENTWORKBOOK QNET VTOL Trainer for NI ELVIS.

Chen, X., Chen, Y., Zhang, B., and Qiu, D. (2017). A Modeling and AnalysisMethod for Fractional-Order DC-DC Converters. IEEE Transactions onPower Electronics, 32(9):7034–7044.

Das, S. (2008). Functional Fractional Calculus for System Identification andControls. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg.

Foupouapouognigni, O., Nono Dueyou Buckjohn, C., Siewe Siewe, M., andTchawoua, C. (2017). Nonlinear electromechanical energy harvesters withfractional inductance. Chaos, Solitons & Fractals, 103:12–22.

Gomez-Aguilar, J. F., Razo-Hernandez, R., and Granados-Lieberman, D.(2014). A physical interpretation of fractional calculus in observablesterms: analysis of the fractional time constant and the transitory response.60:32–38.

Gomez-Aguilar, J. F., Yepez-Martınez, H., Escobar-Jimenez, R. F., Astorga-Zaragoza, C. M., and Reyes-Reyes, J. (2016). Analytical and numericalsolutions of electrical circuits described by fractional derivatives. AppliedMathematical Modelling, 40(21):9079–9094.

Isaza, J., Rendon, J., Viana, J. P., and Botero, H. A. (2016). NonlinearState Estimation for Batch Process with Delayed Measurements. XVIILatin American Conference of Automatic Control, pages 334–339.

Lazarevic, M. P., Mandic, P. D., Cvetkovic, B., Sekara, T. B., and Lutovac,B. (2016). Some electromechanical systems and analogies of mem-systemsinteger and fractional order. In 2016 5th Mediterranean Conference onEmbedded Computing (MECO), pages 230–233.

Li, C. and Ma, Y. (2013). Fractional dynamical system and its linearizationtheorem. Nonlinear Dynamics, 71(4):621–633.

Miller, K. s. and Ross, B. (1993). An introduction to the fractional calculusand fractional diferential equations. Wiley-Interscience, 1 edition.

Ogata, K. (2003). Ingenierıa de control moderna. Pearson Educacion.

Pattanaik, S. (2014). A Study on Fractional Calculus and its Applicationin Electronics. European Journal of Applied Engineering and ScientificResearch, 3(4):27–30.

Petras, I. (2011). Fractional Derivatives, Fractional Integrals, and FractionalDifferential Equations in Matlab.

73

Page 74: Aplicaciones del c alculo fraccional en …bdigital.unal.edu.co/64852/7/1152194276.2018.pdfAplicaciones del c alculo fraccional en modelamiento y control de sistemas din amicos electromec

Petras, I. (2011). Fractional-Order Nonlinear Systems. Nonlinear PhysicalScience. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg.

Podlubny, I. (1998). Fractional Differential Equations: An Introduction toFractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods ofTheir Solution and Some of Their Applications. Academic Press.

Podlubny, I. (1999). Fractional-order systems and PIλ Dµ-controllers. IEEETransactions on Automatic Control, 44(1):208–214.

Quanser (2011). USER MANUAL QNET VTOL Trainer for NI ELVIS.

Rahimy, M. and Rahimy, M. (2010). Applications of fractional differentialequations.

Schafer, I. and Kruger, K. (2006). Modelling of coils using fractional deri-vatives. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 307(1):91–98.

Shah, P. and Agashe, S. (2016). Review of fractional PID controller. Me-chatronics, 38(Supplement C):29–41.

Simon, D. (2006). Optimal State Estimation: Kalman, H Infinity, and Non-linear Approaches. John Wiley & Sons.

Swain, S. K., Sain, D., Mishra, S. K., and Ghosh, S. (2017). Real time im-plementation of fractional order PID controllers for a magnetic levitationplant. AEU - International Journal of Electronics and Communications,78:141–156.

Tenreiro Machado, J. A., Silva, M. F., Barbosa, R. S., Jesus, I. S., Reis, C.,M, L., Marcos, M. G., and Galhano, A. F. (2010). Some Applications ofFractional Calculus in Engineering.

Xue, D., Chen, Y., and Atherton, D. P. (2007). Linear Feedback Con-trol: Analysis and Design with MATLAB. SIAM. Google-Books-ID:C 2mg9xAUJcC.

Yue, Y., Wu, B., Zhang, R., and Wei, S. (2015). A novel fractional orderPID control method of electromagnetic navigation intelligent car. In The27th Chinese Control and Decision Conference (2015 CCDC), pages 3948–3951.

Ozkan, B. (2014). Control of an Electromechanical Control Actuation Sys-tem Using a Fractional Order Proportional, Integral, and Derivative-TypeController. IFAC Proceedings Volumes, 47(3):4493–4498.

74