Aplicaciones del Análisis Multiresolución MRA Antonio Yosafat Rodríguez Hernández

Estudiante en Ing. en Comunicaciones y Electrónica

DICIS

Universidad de Guanajuato

Moctezuma 587, C.P. 36510

Irapuato, Guanajuato; México

ay.rodriguezhernandez@ugto.mx

Resumen: Se definen los conceptos de Análisis Multiresolución y

sus aplicaciones en el distintos campos donde se desarrolla,

implementando nuevas técnicas con Wavelets para el tratamiento

de señales e imágenes.

1. Introducción

Las wavelets y el análisis de Multiresolución constituyen una potente herramienta

para afrontar problemas fundamentales en el tratamiento de imágenes. Entre ellos se

encuentran la reducción del ruido, la compresión (de vital importancia tanto en la

transmisión de grandes cantidades de datos como en su almacenamiento) o la

detección de determinados objetos en ciertos tipos de imágenes. Esta moderna teoría

ha experimentado un gran desarrollo en las dos últimas décadas mostrándose muy

eficiente donde otras técnicas, como por ejemplo la transformada rápida de Fourier,

no resultaban satisfactorias.

Algunos de los principales problemas que afectan al tratamiento de imágenes

digitales son la compresión de datos para su posterior almacenamiento o transmisión,

la eliminación del ruido, realce de contrastes y análisis de texturas.

Las wavelets proporcionan un conjunto de herramientas flexible para problemas

prácticos en ciencia e ingeniería. En la última década se han aplicado ya con éxito al

análisis de imágenes en distintas disciplinas tan diversas como la

medicina, teledetección y muchas otras.

1.1 Análisis Multiresolución

Un Análisis Multiresolución o AMR es una sucesión de subespacios cerrados

( ) cumpliendo

( ( ))

⋂

{ }

⋂

( )

{ ( ) }

2. Procesamiento de Imágenes

La aplicación más simple para procesar imágenes de la teoría wavelet, para el caso

discreto presentado en la sección anterior se basa en aplicar un paso de la

transformada wavelet unidimensional tomando las señales que representan las filas

de la imagen, y luego tomar cada una de las columnas como señal a procesar. Esto da

origen a las siguientes funciones de escala y wavelets:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ahora, si tenemos la imagen original I de NxN, y la función asociada f(x,y) y

tomamos como señales horizontales las determinadas por las filas a través de la

coordenada ‘y’ de la matriz subyacente, y las señales verticales las determinadas por

las columnas definidas a través de la coordenada ‘x’, entonces, la fórmula asociada

para la aplicación de un paso de la transformada wavelet de esta manera es la

siguiente:

( ) ∑∑ ( ) ( )

3. Compresión de Señales

La transformada wavelet es una transformación de la señal que la divide en dos

tipos de subseñales, la tendencia y las fluctuaciones. La tendencia viene a ser una

copia de la señal a menor resolución y las fluctuaciones almacenan información

referida a los cambios locales en la señal inicial.

La tendencia y las fluctuaciones más significativas permiten una compresión de la

señal a cambio de descartar información irrelevante y de la eliminación del ruido

producido por los aparatos y las condiciones de medida. Según el tipo de medición

realizada el ruido correspondiente se comporta matemáticamente siguiendo

distribuciones de probabilidad gaussianas, uniformes... El estudio de las

fluctuaciones permite detectar anomalías o disfunciones en el comportamiento

esperado de la señal inicial. También permite la comparación con patrones para

detectar formas en una señal eléctrica de forma automática.

No existe una transformada wavelet única, ni que resuelva todos los problemas, a

partir de la modelación del proceso y de un análisis a priori del tipo de señal tratada y

del objetivo que se pretenda (compresión, eliminación del ruido...) se busca la

familia de wavelets (Haar, Daubechies, Coiflets,...) que mejor coincida con las

características de la señal a estudiar.

Una de las principales ventajas de las wavelets frente a los métodos clásicos, como

la transformada de Fourier, es que en el segundo caso se maneja una base de

funciones bien localizada en frecuencia pero no en tiempo, mientras que la mayoría

de las wavelets interesantes presentan una buena localización en tiempo y en

frecuencia, disponiendo incluso de bases de wavelets con soporte compacto. La

transformada wavelet está asociada con el análisis Multiresolución de la señal. A

distintos niveles de resolución tenemos una base de wavelets. Concretamente,

cuando mayor detalle pretendamos obtener en una señal (mayor resolución), mayor

número de funciones por unidad de longitud tendremos en nuestra base de wavelets.

4. Conclusiones

La aplicación de las wavelets tiene muchas ventajas en el campo tecnológico

desarrollando nuevas técnicas mediante el análisis Multiresolución, aportando

avances en sectores como Ingeniería, medicina, biomedicina, cardiología entre

otros. Es una herramienta muy eficiente para facilitar problemas en tratamiento de

señales.

5. Referencias

1. http://www.upv.es/frechet/wavelets/senyales/indice.htm 2. http://www.upv.es/frechet/wavelets/imagenes/indice.htm 3. http://www.dc.uba.ar/inv/tesis/licenciatura/2010/krikorian

4. http://www2.elo.utfsm.cl/~elo377/documentos/Wavelet.pdf