Aplicaciones de Sensado Compromido al

procesamiento de Señales e imágenes Biomédicas

José Luis ParedesPostgrado en Ingeniería Biomédica

Facultad de IngenieríaUniversidad de Los Andes

I Jornadas Aportes a la Ingeniería Médica en la Universidad de Los Andes

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Agenda Fundamentos de Sensado Coprimido.

Representación Poco Densa (Sparse)

Proyecciones Incoherentes

Algoritmo de Reconstrucción:

Matching Pursuit

Reconstrucción basada en Mediana Ponderada

Aplicaciones a Biomédica: Análisis de Imágenes de resonancia Magnetica

funcional

Análisis de registros de Electroforesis Capila

Conclusiones

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Bases en Compresión de Imágenes

Primero MUESTREAR (convertidor A-D, cámaras digitales, sistema de adquisición MRI…)

Luego COMPRIMIR

muestreo Comprimir

N pixels

N>>K

K coeficientes wavelets más grandes

Transmitir/ almacenar

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Compresibilidad en Señales e imágenes

Información más importante cae sólo en unos pocos coeficientes

La mayoria de la imágenes naturales e imágenes medicas son compresibles

• Poco coeficientes concentran la mayor cantidad de energía

• Mayoría de los coeficientes en el dominio de la transformada son despreciables

en magnitud

Limitaciones Siempre se necesita muestrear primero para

luego comprimir Alta resolución demanda alta frecuencia de

muestreo Convertidores analógico-digital ultra-rápidos Demanda amplios ancho de banda Mayor capacidad de almacenamiento Etapas de post-procesamiento a alta velocidad Tiempos de adquisición

mayores

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Compressed Sensing (CS)

Intenta unificar el proceso de muestreo y de compresión en una única tarea

Recupera una señal a partir de un conjunto de proyecciones aleatorias con alta probabilidad

Usa algoritmos de reconstrucción no lineal

Es universal, no adaptativo, con un gran potencial para procesamiento de señales/imágenes en biomédica

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Compressed Sensing Permite reconstruir una señal poco densa sparse a partir de un conjunto de medidas aleatorias (proyecciones aleatorias)

ΦXY

aleatorias scomponentecon

MxNRΦ

Proyector Aleatorio

M x N Matriz aleatoria

8

Representación Sparse

=

0.2

0

0.5

0

0

0.1

0

0

= X

Átomos de un

diccionario

Átomos de un

diccionario

ΨΘX

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Representación Sparse: Diccionario

=

L

X

Átomos de un Diccionario

Combinación de bases, señales parametrizadas, etc…. . .

ChirpletChirplet + Bases de Fourier = Diccionario + Bases de Fourier = Diccionario

Diccionarios Frecuenciales

Diccionarios en Tiempo-Escala

Diccionarios en Tiempo-Frecuencia

Mega-diccionarios

Conjunto de señales parametrizadas

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Compressed Sensing:Proyecciones aleatorias

•PROYECTO ALEATORIO

• tiene que ser incoherente con el diccionario

• pueden ser realizaciones de una variable aleatoria

•Gaussiana Φi,j ~N(0,1)

•Bernoulli ( ±1 )

• Seleccionar aleatoriamente algunas elementos de una base ortogonal tipo Fourier/DCT/Hadamard

ΦXY

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Compressed Sensing en el dominio de la frecuencia

(Bases de Fourier)Representación

de Fourier

Proyector Aleatorio

ALGORITMO DE RECONSTRUCCIÓN

min ||||0

= Y

Matriz de medidas aleatorias

Bases de Fourier

Solución en el dominio de Fourier

kk

kX

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CS - Principio

Señal X es sparse

Medir la señal usando pocas proyecciones aleatorias: Y = X

Reconstrucción: Dadas la medidas Y encontrar X

Algoritmos de Recuperación de Señal

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Algoritmo de

reconstrucción

Dado el conjunto de M medidas Y = X +

Encuentre la señal poco densa X

Señal recuperadaProyecciones aleatorias

Y M-dimensional vector M x N matriz de medidas X N-dimensional señal sparse vector de ruido

Dado que M << N, reconstrucción de la señal es un problema de ecuaciones lineales con múltiples soluciones

Objetivos de los Algoritmos de Recuperación de Señal

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1. Localizar las componentes diferentes de cero de X

Esta tarea se conoce como selección de las bases o selección del modelo

Uno intenta identificar cuales de las columnas de la matriz fue usadas para formar Y

2. Estimar sus amplitudes

Determinar la contribución de cada vector-columna en A que formo la medidas Y

Operación de estimación

Algoritmos de Recuperación de Señal

Minimización de L0

min ||||0 tal que = Y

• Extremadamente complejo

• Es un problema tipo NP-hard

• Presenta pobre robustez

Greedy-based algorithmGreedy-based algorithm Convex-Relaxation algorithm Convex-Relaxation algorithm Lp Lp

minimizationminimizationmin ||||1 s.t. = YRequiere algunas medidas adicionales: M > cK c log2(N/K+1)

Con alta probabilidad la solución L1 es la misma solución que L0

Algoritmos de Recuperación de Señal

Algoritmos tipo Greedy Pursuit

Algoritmos iterativos que recuperan la señal X a partir de las medidas Y

Necesita un poco más de medidas o proyecciones aleatorias

Ejemplo:

Matching Pursuit

Orthogonal Matching Pursuit (OMP)

Regularized OMP

Stagewise OMP.

Subspace MP.

COsaMP

Algoritmo de regresión basada en Mediana Ponderada

Algoritmo iterativo de regresión usando medianda ponderada

Estimación de la Señal usando mediana ponderada agregando la robustez deseada

Selección de Bases usando un operador de umbralización que induce poca densidad en la solución

Variación del umbral en la medida que el algorithm progresa

(k)17

Algoritmo iterativo de regresión usando mediana ponderada

• El algoritmo iterativo trata de detectar en order descendente de amplitud las componentes diferentes de cero de la señal:

• Determina un estimado aproximado de la señal.

• Aplica una operación de umbralización sobre el valor estimado

• Eliminar la influencia de esa componente en particular.

• Disminuir el valor umbral

• Repetir este procedimiento hasta que se cumpla un criterio de parada del algoritmo

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- Cada vez que una codificación de fase es ejecutada los datos (muestras de la señal BOLD codificada en frecuencia) son almacenados en una línea del espacio k

- Las imágenes MRI concentran la mayor energía en el origen del espacio k

-128Espacio k

Señal BOLD

256 codificacionesde fase

+128

0ifft2

Contexto de Aplicación CS a fMRI

Esquema de submuestreo

Espacio k-submuestreado para cada una de las máscaras binarias 2D utilizadas

Densidad Uniforme Aleatoria

Densidad Variable Aleatoria

Densidad Uniforme no Aleatoria

Contexto de Aplicación CS a fMRI

- El conjunto de mediciones y es una versión submuestreada del espacio k

- La reconstrucción se realiza resolviendo el problema de optimización convexo

1 2min . . (1)ut q Ψm m yF

Ψ : Matriz de Transformación (Bases Wavelet)

Fu = Φ: Transformada de Fourier 2D submuestreada

m: imagen;

ɛ: magnitud del error en la reconstrucción

Resultados

Imagen Original

Reconst. Wavelet (10%) PSNR = 35.54dB

Densidad Uniforme (20%) PSNR = 19.35 dB

Densidad Uniforme (40%) PSNR = 21.57 dB

Densidad Variable (20%) PSNR = 26.53

Densidad Variable (40%) PSNR = 29.24

Detección de zonas de activación en fMRI

usando CS

Algoritmo de Mediana Ponderada SPM

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Electroforésis Capilar (EC)

La EC es una técnica de análisis de sustancias que permite obtener información precisa acerca de sus componentes, permitiendo separar e identificar los compuestos químicos presentes en una muestra determinada

Muestra Muestra 1-10 nl1-10 nl

10-30kV

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Electroferograma

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Diccionario parametrizado gausiano

2

2

2

)(

2

1),;(

x

exG

27

Síntesis de electroferogramas

Se generan K (sparsity) posiciones aleatorias

Se seleccionan esas K gausianas del diccionario y se multiplican por un aleatorio U(0,1)

Finalmente, se suman todas las contribuciones

K

ili i

Ampx1

*

28

Reconstrucción de electroferogramas

sintéticosseñal de 850 muestrassparsity K de 50sólo 280 mediciones aleatoriasreducción de 67% de los datos

29

Reconstrucción de electroferogramas

sintéticos

señales de 850 muestrassparsity K de 50

200 mediciones aleatoriaserror=13%

300 mediciones aleatoriaserror=8%

400 mediciones aleatoriaserror=6%

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Reconstrucción de electroferogramas

sintéticosPromediando múltiples repeticiones de reconstrucción o aproximación de la señal original usando el número

de mediciones aleatorias indicado...

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Reconstrucción de electroferogramas reales

Los resultados obtenidos muestran que la aplicación del CS en el procesamiento de electroferogramas reales

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Reconstrucción de electroferogramas reales

Los resultados obtenidos muestran que la aplicación del CS en el procesamiento de electroferogramas

reales

Validación

Variación del glutamato estimado para 10 realizaciones de MP.

208,2

208,4

208,6

208,8

209

209,2

209,4

209,6

209,8

210

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Glutamato real

Glutamato estimado

170,1

170,2

170,3

170,4

170,5

170,6

170,7

170,8

170,9

171

171,1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Glutamato real

Glutamato estimado

Electroferograma Nº 17.

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Conclusiones

Compressed Sensing presenta una nueva alternativa de adquisición de datos que requiere menos recursos AD

Elementos que lo conforman:

Proyección aleatorio

Representación poco densa en un diccionario específico

Algoritmo de reconstrucción

Con potencial de aplicación para el análisis de señales e imágenes médicas

En imágenes de fMRI con una reducción del 60% en el número de valores de fase, siempre que se utilice un esquema de submuestreo de densidad variable aleatoria

En electroforsis capilar con la definición de un diccionario apropiado para la aplicación