Universidad Fermin Toro

Facultad De Ingenieria

Escuela De Telecomunicaciones

Integrantes:

Miguel Bernal 18.186.128

Miguelangel Menabue 18.057.164

Rubén Carrillo 19.241.627

Introducción

La transformada de Fourier se utiliza para pasar al dominio de la frecuencia una señal para así obtener información que no es evidente en el dominio temporal. Por ejemplo, es más fácil saber sobre qué ancho de banda se concentra la energía de una señal analizándola en el dominio de la frecuencia.

También sirve para resolver ecuaciones diferenciales con mayor facilidad y, por consiguiente, se usa para el diseño de controladores clásicos de sistemas realimentados si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radio transistores.

La transformada de Fourier también se utiliza en el ámbito del tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con una computadora.

Definición

La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias contenidas en todos los tiempos en que existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función. En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f, con valores complejos y definida en la recta, con otra función g definida de la manera siguiente:

Donde f es , o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. En la práctica las variables x y ξ suelen estar asociadas a dimensiones

(como el espacio -metros-, frecuencia -segundos^-1-,...) y entonces es correcto utilizar la fórmula alternativa:

de forma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables obteniendo un exponente a dimensional. La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas. Además, tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (electrónica), la teoría de la probabilidad, la estadística, la óptica, la propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f. La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico. Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí algunas de ellas:

.

Definición formal

Sea f una función Lebesgue integrable:

o La transformada de Fourier de f es la función

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f) es continua. La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de complementos yuxtapuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la aplicación de la Varianza para cada función.

Propiedades básicas

La transformada de Fourier es una aplicación lineal:

Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f:

Cambio de escala:

Traslación:

Traslación en la variable transformada:

Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables,

Derivada de la transformada: Si f y t → f(t) son integrables, la transformada de Fourier F(f) es diferenciable

Estas identidades se demuestran por una mudanza de variables o integración por partes. En lo que sigue, definimos la convolución de dos funciones f, g en la recta se define de la manera siguiente:

Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: Si f y g son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad:

También puede enunciarse un teorema análogo para la convolución en la variable transformada,

pero este exige cierto cuidado con el dominio de definición de la transformada de Fourier.

Tabla de transformadas básicas

En algunas ocasiones se define la transformada con un factor

multiplicativo diferente de , siendo frecuente en ingeniería el

uso de un factor unidad en la transformada directa y un factor de en la transformada inversa. A continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese factor.

Función Transformada

(Función unitaria de Heaviside)

Teorema de inversión

La idea del teorema de inversión es que dada una función f, la transformada de Fourier inversa aplicada a la transformada de Fourier de f resulta en la función original, en símbolos:

Sin embargo, el resultado formulado de esta forma no es válido,

porque el dominio de la transformada de Fourier como lo hemos

definido en el primer párrafo de este artículo no es invariante, o sea

que la transformada de Fourier de una función integrable no es

necesariamente integrable.

Para formular el teorema de inversión necesitamos encontrar

espacios de funciones que sean invariantes bajo la transformada de

Fourier. De hecho, hay numerosas posibilidades, la más natural del

punto de vista técnico siendo el espacio de Schwartz de funciones φ

rápidamente decrecientes. Sin embargo aquí tomamos un camino

más directo para formular un enunciado:

Teorema. El espacio de funciones complejas f definidas en la recta

tales que f y la transformada de Fourier de f sean integrables, es

invariante tanto por la transformada de Fourier que por la

transformada de Fourier inversa. Además para una función f en

este espacio, vale el teorema de inversión (1).

Otra posibilidad para formular un teorema de inversión se

fundamenta en el hecho de que la transformada de Fourier tiene

muchas extensiones naturales.

Aplicaciones

RECONOCIMIENTO AUTOMÁTICO DEL HABLA UTILIZANDO LA

TRANSFORMADA DE FOURIER Y REDES NEURONALES

Se estudia el reconocimiento automático de las señales de voz utilizando para esto la transformada de Fourier y las redes neuronales. Se discriminarán las características del habla en el dominio de la frecuencia y se procederá a entrenar una red neuronal que sea capaz de distinguir los diferentes patrones. Con la red entrenada se clasifican los diversos patrones para utilizarlos como comandos para realizar funciones de control.

Los sistemas de reconocimiento automático de voz tienen

gran auge en la actualidad dada la amplia comodidad y versatilidad que brindan. Entre sus virtudes está el ofrecer la posibilidad que el hombre interactúe en su lenguaje natural con equipos electrónicos y eléctricos, además es un proceso casi intuitivo el operar estos equipos por la sencillez de los comandos que se utilizan, que por lo general son palabras cortas como “encender”, “apagar”, entre otras instrucciones que describen explícitamente su función.

El reconocimiento automático de la voz dota a las máquinas

de la capacidad de recibir mensajes orales. Tomando como entrada la señal acústica recogida por un micrófono, este proceso de reconocimiento del habla tiene como objetivo final decodificar el mensaje contenido en la onda acústica para realizar las acciones pertinentes.

Procedimiento Componentes de un sistema de Reconocimiento Automático de Voz (RAV) El Estos sistemas se pueden describir como la concatenación de cuatro subsistemas. En la siguiente figura podemos notar La adquisición de la entrada, la representación de la misma, una ordenación local y un decodificador general

Diagrama de bloques de un sistema de reconocimiento de voz.

Adquisición de señales de voz

La señal se capturó con la ayuda de un micrófono conectado a la tarjeta de sonido del computador; muestreando con un intervalo T, a una frecuencia que es igual a dos veces la componente frecuencial de la señal de mayor orden de acuerdo con el teorema de Nyquist que dice que ( la digitalización de una señal y que, al contrario del muestreo, no es reversible (se produce una pérdida de información en el proceso de cuantificación, incluso en el caso ideal teórico, que se traduce en una distorsión conocida como error o ruido de cuantificación y que establece un límite teórico superior a la relación señal-ruido. Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestras discretas de una señal son valores con los que aún no han sufrido redondeo o truncamiento alguno sobre una precisión determinada, esto es, aún no han sido cuantificadas.) Para el caso de las señales de voz la frecuencia de muestreo es igual a 8000 muestras por segundo, la salida y (nT) es dada por:

Y (nT): ∫ h (t – nT) x (t) dt

Donde (~ th es la respuesta impulsional del micrófono; () ty es la salida del micrófono; T es el intervalo de muestreo; () tys es la versión muestreada de ()ty; () nTy es la salida, zn∈ y son los valores de las muestras. El bloque del C/D es un conversor análogo a digital. La adquisición de las señales se realiza utilizando el DAQ (data adquisición) de Matlab.

Tratamiento de las señales Después de la adquisición la señal es filtrada y normalizada. Señal de voz filtrada y normalizada.

La FFT es una versión eficiente de la DTF (transformada discreta de Fourier). La DTF de una secuencia de duración finita Utilizando el algoritmo de la FFT se visualiza la señal mostrada espectro de la señal.

Para disminuir el costo computacional y aumentar la velocidad de procesamiento la señal es promediada mediante un filtro de corrimiento. Espectro normalizado y promediado.

Implementación de redes neuronales

Las redes neuronales son los algoritmos encargados de realizar la ordenación local o decir si la señal de entrada es similar a las señales que hacen parte de la base de datos con que se entrena la red neuronal. Para entrenar la red neuronal se tomaron 2400 muestras de 30 palabras de un mismo locutor, 10 palabras ‘tele’, 10 ‘canal’ y 10 ‘volumen’. La red que se entrenó fue una percepción multicapa con retro propagación de error. Se utilizó el toolbox de redes neuronales de matlab

Resultados

Tabla No.1. Porcentajes de

reconocimiento por palabra Tele

Canal Volumen

Tele 91.3 3.5 4.1 Canal 3.4 92.5 5.3 Volumen 6.4 2.8 90.2

Con la red neuronal entrenada satisfactoriamente, se concatenó cada una de las etapas; adquisición de la señal, procesamiento de la misma y extracción de características, resultando un reconocedor de tres palabras (tele, canal y volumen).

Conclusiones

- La transformada discreta unidimensional de Fourier brinda una herramienta útil para la ex-tracción de características de las señales de voz. Para que esa extracción mejore se debe realizar un pre-procesamiento.

- Las redes neuronales proveen una excelente ayuda en la

diferenciación de las señales, su implementación en Matlab se hace

de manera sencilla, sin embargo se debe estudiar otras topo-logías

para optimizar los resultados obtenidos.