PRÁCTICA 15: APLICACIONES A LA FÍSICA

Se estudiará en esta práctica la velocidad, aceleración y movimiento de partículas

Actividades de la práctica

1) Imagina que la posición de una partícula está descrito por la función s=f(t) donde t es el tiempo y s es la posición de la partícula. Si se define la velocidad instantánea (v) como la tasa de cambio de s con respecto a t, entonces tendremos

Calcula la velocidad de un proyectil que es lanzado hacia arriba desde un edificio con una velocidad inicial de 128m/s. La evidencia experimental sugiere que el proyectil tendrá posiciones descritas por la ecuación s=128t-16t2.

2) ¿En qué punto el proyectil alcanzará la altura máxima? Supongamos que en ese momento el proyectil está momentáneamente en reposo.

En la altura máxima:

Entonces,

A los 4 segundos después de que el proyectil sea lanzado.

3) Dibuja la función s y explica el movimiento del proyectil mediante la ecuación y la velocidad instantánea.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

50

100

150

200

250

300

TIEMPO [s]

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

GRÁFICO DE LA FUNCIÓN DESPLAZAMIENTO

OLa razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo nos da la velocidad instantánea, es decir, la velocidad que tiene el proyectil transcurrido determinado intervalo de tiempo.En la ecuación puede verse que en un principio contamos con una velocidad de 128 m/s pero a esto de restamos el efecto producido por la fuera de gravedad, ambos en función del tiempo.

4) Si se define la aceleración de un móvil como la tasa de cambio de la velocidad, entonces tendremos:

5) Pero, ¿cómo se obtuvo la ecuación del punto 1?. Examinemos dos casos de movimiento de una partícula: cuando la velocidad es constante y cuando la aceleración es constante. En el primer caso, si s(t) es la posición de la partícula en el tiempo t, se tendrá:

donde en la segunda ecuación se han separado las diferenciales. Integrando ambos lados:

6) Si el móvil está en la posición s0 en el tiempo t=0, entonces se tendrá que s(0)=s0, Sustituyendo en la ecuación s = vt + c:

s0= v(0) + cs0 = c

Por tanto s = vt+ s0

Considera un objeto que se mueve a una velocidad constante de 3m/s y que empieza en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. ¿Cuál será su ecuación de posición? Grafica la función resultante.

s = 3t+ s0

pero como s0=0.s=3t

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30GRAFICA DE DESPLAZAMIENTO

TIEMPO [t]

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

[s]

7) El segundo movimiento que se examinará es aquel en el que la

aceleración es constante. En este caso, se tendrá que

Obtén la ecuación para calcular la velocidad del móvil en cualquier instante t. Considera que el móvil empezó con una velocidad v0 en el tiempo t = 0. Es decir v(0) = v0.

entonces,

Integrando,

Para la velocidad v(0) = v0.

Por tanto,

8) Usa la ecuación anterior para hallar la ecuación de posición del móvil. Utiliza la ecuación

para obtener s(t). Considera que inicialmente se tiene que s(0)=s0

sustituyendo,

Integrando;

De donde,

Como s(0)=s0

Finalmente,

9) Las dos ecuaciones que obtuviste se utilizan para resolver problemas de movimiento uniformemente acelerado. Si despejas el tiempo en ambas, e igualas, encontrarás la conocida ecuación: . Demuéstralo.

10)Si se deja caer una piedra desde un edificio de altura 20m, el movimiento es del tipo uniformemente acelerado pues únicamente actúa la fuerza de gravedad sobre el objeto y este caerá a la Tierra con una aceleración constante de 9.8m/s2. Utiliza las ecuaciones anteriores para que encuentres la velocidad del móvil en cualquier instante y su posición. ¿con qué velocidad llegará el objeto al suelo?

11)Considera ahora que el objeto es lanzado hacia arriba del edificio con una velocidad inicial v0 de 128m/s. Encuentra la ecuación de movimiento del móvil.

Tarea:

1. Un auto se mueve desde el reposo según la ecuación s = 4.4t2, donde t está en segundos y s en metros. ¿Cuánto tiempo tarda el auto en alcanzar una velocidad de 60km/h?

v(t) = 8.8t=60de donde, t= 7.5 segundos

2. La ecuación siguiente describe el movimiento de una partícula en la dirección positiva del eje x. Encuentra: El instante en el que el objeto está en reposo. Escribe la ecuación de velocidad y dibuja la ecuación de posición: s = -19 + 10t -5t2.

La ecuación de velocidad es

Para que el objeto esté en reposo, hacemos v(t)= 010 – 10t = 0 De donde, t = 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-450

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0GRAFICA DE DESPLAZAMIENTO

TIEMPO [t]

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

[s]

3. Dos partículas empiezan a moverse desde el origen a un tiempo t = 0 y se mueven a lo largo del eje x según las ecuaciones: s1=t2-6t y s2= 8t-t2. donde s1 y s2 están medidas en metros y t en segundos. ¿En qué momento las dos partículas tendrán la misma velocidad? ¿cuáles son las velocidades de las dos partículas en el momento en que tienen la misma posición?

Para las velocidades:v1=2t-6v2= 8-2t

Para que las partículas tengan la misma velocidad;v1=v2

2t-6 = 8-2t Obteniedo que 4t = 14 y asi,t = 3.5 sLas partículas tendrán la misma velocidad transcurridos 3.5 segundos después del inicio de su movimiento.

Para que las partículas tengan la misma posición;s1=s2

t2-6t = 8t-t2

2t2-14t = 0t(t-7) = 0por tanto, t1 = 0 y t2 = 7de donde sabemos que tienen la misma posición transcurridos 7 segundos después del inicio de su movimiento.

Velocidad de cada una de las partículas:

v1(7)=2(7)-6 = 8 m/sv2(7)= 8-2(7) = -6 m/s

4. Un proyectil se arroja verticalmente desde un edificio a una velocidad inicial de 10m/s. ¿en qué momento alcanza la altura máxima? Deduce la ecuación de movimiento y dibújala.

En el tiempo t = 0;s(0) = s0

v(0) = v0

El desplazamiento está dado entonces por s0 y en función de la velocidad por el tiempo v0t, además debemos considerar la acción de la gravedad (opuesta al movimiento).Quedando como,

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-15

-10

-5

0

5

10GRAFICA DE DESPLAZAMIENTO

TIEMPO [t]

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

[s]

Para la velocidad,

Que debe ser igual a cero al alcanzar la altura máxima,

De donde, segundos