Aplicaciones de la Clasificación de...

Aplicaciones de la Clasificación de endomorfismosGloria Serrano Sotelo

Potencia y exponencial de una matriz

Calculemos A150 y eA siendo A=1 0 2-1 1 30 1 1

.

El polinomio característico de T es cHxL = Hx + 1L Hx - 2L2

La dimensión de Ker(T - 2 I) es 1, pues el rango de rg(A-2I)=2.Luego T no diagonaliza y , por tanto, su anulador es mHxL = Hx + 1L Hx - 2L2.Aplicando el 1º teorema de decomposición:

R3 = KerHT + IL⊕KerHT - 2 IL2

Por cómputo de dimensiones, se deduce que los dos subespacios invariantes de la descomposición son monógenos deanuladores (x+1) y Hx - 2L2, respectivamente.La forma de Jordan es

J=-1 0 00 2 00 1 2

y la base de Jordan es 8u, v, (T-2I)(v), siendo Xu\=Ker(T+I) y vœKerHT - 2 IL2 tal que v–KerHT - 2 IL.Calculemos explícitamente la base de Jordan:

A+I=2 0 2-1 2 30 1 2

; rg(A+I)=2 ; Ker(T+I)ª:2 x + 2 z = 0y + 2 z = 0

fl Ker(T+I)=Xu=(1, 2, -1)\

A-2I=-1 0 2-1 -1 30 1 -1

; rg(A-2I)=2 ; Ker(T-2I)ª:-x + 2 z = 0

y - z = 0 fl Ker(T-2I)=Xe=(2, 1, 1)\

HA - 2 IL2=1 2 -42 4 -8-1 -2 4

; rgHA - 2 IL2=1 ; KerHT - 2 IL2ªx+2y-4z=0 .

El vector v=(2,-1,0)œKerHT - 2 IL2 y no está en Ker(T-2I), y su imagen por T-2I es (T-2I) v=(-2,-1,-1).

La base de Jordan es pues (1, 2, -1), (2, -1, 0), (-2,-1,-1) y la matriz del cambio de base B=1 2 -22 -1 -1-1 0 -1

.

Así, de A = B ×J ×B-1 se obtiene A150 = B × J150·B-1 y también eA = B × eJ × B-1

Descomponiendo J en suma de una matriz diagonal D y otra nilpotente N, J=D+N, se calculan fácilmente J150 y eJ.

J = D + N fl-1 0 00 2 00 1 2

=-1 0 00 2 00 0 2

+0 0 00 0 00 1 0

Como N es una matriz nilpotente de índice 2 Ianulador x2M , N2=0 , del desarrollo binómico de HD + NL150 y del

desarrollo exponencial de eD y eN se obtiene:

J150 = HD + NL150 = D150+150 D149·N=1 0 00 2150 00 0 2150

+150 -1 0 00 2149 00 0 2149

.0 0 00 0 00 1 0

=1 0 00 2150 00 150 ÿ2149 2150

eJ = eHD+NL = eD × eN= eD.(I+N) = e-1 0 0

0 e2 0

0 0 e2.

1 0 00 1 00 1 1

=e-1 0 0

0 e2 0

0 e2 e2

Como N es una matriz nilpotente de índice 2 Ianulador x2M , N2=0 , del desarrollo binómico de HD + NL150 y del

desarrollo exponencial de eD y eN se obtiene:

J150 = HD + NL150 = D150+150 D149·N=1 0 00 2150 00 0 2150

+150 -1 0 00 2149 00 0 2149

.0 0 00 0 00 1 0

=1 0 00 2150 00 150 ÿ2149 2150

eJ = eHD+NL = eD × eN= eD.(I+N) = e-1 0 0

0 e2 0

0 0 e2.

1 0 00 1 00 1 1

=e-1 0 0

0 e2 0

0 e2 e2

Así resulta:

A150 = B × J150 × B-1 =

1 2 -22 -1 -1-1 0 -1

.1 0 00 2150 00 150 ÿ2149 2150

.1 2 -22 -1 -1-1 0 -1

-1

eA = B × eJ × B-1 =

1 2 -22 -1 -1-1 0 -1

.e-1 0 00 e2 00 e2 e2

.1 2 -22 -1 -1-1 0 -1

-1

ü Ejercicios

1. Calcula A275 siendo A=K -7 -612 10

O

2. Calcula An siendo A=0 0 11 0 00 1 0

3. Dada A=8 -6 4-6 9 -24 -2 4

, calcula A100 y encuentra las raíces cuadradas de A.

Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Resolveremos como aplicación de la exponencial de matrices sistemas de ecuaciones diferenciales del tipo: X'(-t)=A·X(t)

donde Aœ M(n, k), X(t)=x1HtL:xnHtL

, con x1HtL,.., xnHtL funciones diferenciables y X'(t)=x '1 HtL:x 'n HtL

.

La solución general del sistema es: X(t)=eAtl1:ln

, con l1œk

Resolvamos el sistema de ecuaciones diferenciales:dxdt = x+2z ,

dydt = -x+y+3z , dzdt = y+z

La matriz del sistema es A=1 0 2-1 1 30 1 1

(la matriz del ejemplo anterior).

La solución general del sistema es:xHtLyHtLzHtL

=eAtl1l2l3

, con li constantes arbritarias.

Si J es la forma de Jordan de A y B la matriz del cambio de base, del ejemplo anterior se sigue:

eJt = eDt.(I+Nt)= e-t 0 0

0 e2 t 0

0 0 e2 t.

1 0 00 1 00 t 1

=e-t 0 0

0 e2 t 0

0 te2 t e2 t, luego

xHtLyHtLzHtL

=B × eJt × B-1l1l2l3

=B × eJta1a2a3

=1 2 -22 -1 -1-1 0 -1

e-t 0 0

0 e2 t 0

0 te2 t e2 t

a1a2a3

=

e-t 2 e2 t -2 e2 t

2 e-t H-1 - tL e2 t -e2 t

-e-t -te2 t -e2 t

a1a2a3

, siendo a1, a2, a3 constantes arbitrarias.

Se obtiene como solución del sistema: x HtL = a1 e-t+ (2a2 -2a3)e2 t , yHtL = 2 a1 e-t - (a2 + t a2+ a3)e2 t , zHtL = -a1 e-t- (ta2+ a3)e2 t

2 AplicacionesClasificación.nb

Resolvamos el sistema de ecuaciones diferenciales:dxdt = x+2z ,

dydt = -x+y+3z , dzdt = y+z

La matriz del sistema es A=1 0 2-1 1 30 1 1

(la matriz del ejemplo anterior).

La solución general del sistema es:xHtLyHtLzHtL

=eAtl1l2l3

, con li constantes arbritarias.

Si J es la forma de Jordan de A y B la matriz del cambio de base, del ejemplo anterior se sigue:

eJt = eDt.(I+Nt)= e-t 0 0

0 e2 t 0

0 0 e2 t.

1 0 00 1 00 t 1

=e-t 0 0

0 e2 t 0

0 te2 t e2 t, luego

xHtLyHtLzHtL

=B × eJt × B-1l1l2l3

=B × eJta1a2a3

=1 2 -22 -1 -1-1 0 -1

e-t 0 0

0 e2 t 0

0 te2 t e2 t

a1a2a3

=

e-t 2 e2 t -2 e2 t

2 e-t H-1 - tL e2 t -e2 t

-e-t -te2 t -e2 t

a1a2a3

, siendo a1, a2, a3 constantes arbitrarias.

Se obtiene como solución del sistema: x HtL = a1 e-t+ (2a2 -2a3)e2 t , yHtL = 2 a1 e-t - (a2 + t a2+ a3)e2 t , zHtL = -a1 e-t- (ta2+ a3)e2 t

ü Ejercicios

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales:

1. x† HtL = x - 3 y + 3 z , y† HtL = -2 x - 6 y + 13 z , z† HtL = -x - 4 y + 8 z

2. dxdt = 3 x - y ,dydt = x + y , dzdt = 3 x + 5 z - 3 w , dwdt = 4 x - y + 3 z - w

3. x† HtL = 3 x + 2 y , y† HtL = -x , z† HtL = 3 x + 4 y + z

4. x ' + y ' - x + 2 y = 0 , y ' + z ' + 2 y + z = 0 , x ' + z ' - x + z = 0

Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales en el operador D

Sea E el - espacio vectorial de las funciones complejas de variable real que son infinamente derivables. El operador

derivada, E ØD

E, D(f(x))=f'(x), es un endomorfismo de E.Una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes es una expresión del tipo: p(D)y=g(x), siendo y=f(x), p(x)œ [x] y f, gœE La ecuación diferencial es homogénea si g(x)=0.

Ë Resolver la ecuación homogénea p(D)y=0 equivale a calcular ker p(D).ker p(D) es un subespacio de E invariante por D, esto es un -espacio vectorial en el que D opera como un endomor-fismo con polinomio anulador p(x).Descomponiendo p(x) en factores primos sobre , pHxL = Hx - a1Ln1·...·Hx - arLnr, y aplicando el primer teorema dedescomposición, se obtiene: ker p(D)= ker HD - a1 ILn1⊕...⊕ ker HD - ar ILnr

Probaremos que cada uno de los subespacios de la descomposición anterior es de dimensión finita y calcularemosexplícitamente una base.Teorema. Las funciones 8eax, xeax, ... , xn-1eax forman una base del -espacio vectorial ker HD - aILn.Demostración.(1) Fórmula de conmutación: HD - aILn Heax yL = eax Dn y, para todo nr1 e y=f(x). Por inducción sobre n: Si n=1, HD - aIL(eax y)=D(eax y)-aeax y=aeax y+eax Dy-aeax y=eax Dy. Para el caso n, por hipótesis de inducción: HD - aILn(eax y)=(D - aI)HD - aILn-1(eax y)=(D - aI)eaxDn-1y=eax Dn y.(2) Base de ker HD - aILn. Si a=0, es claro que ker Dn=X1, x,..., xn-1\. Sea y e ker HD - aILn, se tiene: 0=HD - aILny=HD - aILn(eax e-ax y)=eax DnHe-ax y)flDnHe-ax y)=0fle-ax yœ ker DnflyœXeax, xeax, ... , xn-1eax\.

AplicacionesClasificación.nb 3

Ë

Resolver la ecuación homogénea p(D)y=0 equivale a calcular ker p(D).ker p(D) es un subespacio de E invariante por D, esto es un -espacio vectorial en el que D opera como un endomor-fismo con polinomio anulador p(x).Descomponiendo p(x) en factores primos sobre , pHxL = Hx - a1Ln1·...·Hx - arLnr, y aplicando el primer teorema dedescomposición, se obtiene: ker p(D)= ker HD - a1 ILn1⊕...⊕ ker HD - ar ILnr

Probaremos que cada uno de los subespacios de la descomposición anterior es de dimensión finita y calcularemosexplícitamente una base.Teorema. Las funciones 8eax, xeax, ... , xn-1eax forman una base del -espacio vectorial ker HD - aILn.Demostración.(1) Fórmula de conmutación: HD - aILn Heax yL = eax Dn y, para todo nr1 e y=f(x). Por inducción sobre n: Si n=1, HD - aIL(eax y)=D(eax y)-aeax y=aeax y+eax Dy-aeax y=eax Dy. Para el caso n, por hipótesis de inducción: HD - aILn(eax y)=(D - aI)HD - aILn-1(eax y)=(D - aI)eaxDn-1y=eax Dn y.(2) Base de ker HD - aILn. Si a=0, es claro que ker Dn=X1, x,..., xn-1\. Sea y e ker HD - aILn, se tiene: 0=HD - aILny=HD - aILn(eax e-ax y)=eax DnHe-ax y)flDnHe-ax y)=0fle-ax yœ ker DnflyœXeax, xeax, ... , xn-1eax\.

Ë Si se conoce una solución particular y0 de la ecuación diferencial p(D)y=g(x), cualquier otra solución y se obtienesumando a y0 un vector de ker p(D), pues de p(D)y0=g(x) y p(D)y=g(x) se obtiene que y - y0œker p(D), luego yœy0+ker p(D).

Ejemplos. Calculemos la integral primera de las ecuaciones diferenciales:1. y ''' - 2 y '' + y ' = ex ó (D3- 2 D2+ D)y=2 x Se resuelve la ecuación homogénea pHDL y = 0, con p HxL = x3 - 2 x2 + x=x(x - 1L2. Se tiene: ker p(D)=kerD⊕kerHD - IL2=X1, ex, xex\ Usando la fórmula de conmutación para el operador inverso se calcula una solución particular y0:

D HD - IL2 y0=2x fl y0=1

HD- IL21D

(2x)= 1HD- IL2

( x2)=ex 1D

(e-xx2)=ex e-x( - 2 - 2x- x2)= - 2 - 2x- x2

La solución general de la ecuación diferencial es: y(x)= - 2 - 2x- x2+l+mex + g xex , con l, m, gœ 2. y''' - y'' +4y'-4y=0ó (D3- D2+4D-4I)y=0 p HxL = x3 - x2 +4x- 4=(x - 1L H x2 +4)=(x - 1L(x - 2 iL Hx + 2 iLï ker p(D)=kerHD - IL⊕ker(D -2iI)⊕kerHD + 2 iIL=X ex, e2 ix, e-2 ix\ La solución general sobre es: yHxL = lex+a e2 ix+be-2 ix, con l, a, bœ La integral primera sobre ℜ se obtiene tomando a y b complejos conjugados, así el subespacio de soluciones realesestá generado por las funciones ex, sen 2x , cos 2x y se tiene: yHxLℜ=l ex+g sen 2x+d cos 2x , con l, g, dœ

o bien, escribiendo a=|a|eiq, b=|a|e-iq como complejos conjugados es: ae2 ix+be-2 ix=|a|eiH2 x+qL+|a|e-iH2 x+qL=2|a|cos(2x+q), de donde resulta: yHxLℜ=l ex+2|a|cos(2x+q) , con l, |a|, qœ

4 AplicacionesClasificación.nb

ü Ejercicios

Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes:

1. x..+ x = 0 , con x = xHtL

2. 2 y '' - 3 y = 0 , con y = y(x)

3. y ''' - y '' = 12 x2 + 6 x 4. x..+ 4 x° + 4 x = sen t

5. d3 xdt3

- d2 xdt2

+ 2 dxdt - 2 x= 3 t + 2

6. y '' - 3 y ' + y = xex

7. Calcula las trayectorias del movimiento en los siguientes casos:

(a) Oscilador armónico (masa m, constante del resorte k, posición inicial x0)

m d2 xdt2

= -k Hx - x0L

(b) Péndulo simple (masa m, longitud l, para pequeñas oscilaciones sen j ~ j) m l j

..= -m g sen j

AplicacionesClasificación.nb 5

Clasificación de métricas simétricas sobre Gloria Serrano Sotelo

Diagonalización de métricas simétricas

Sea E un espacio vectorial real de dimensión n.Sean T2 una métrica simétrica y T2una métrica euclídea de matrices respectivas G y S en una base e1, e2,...., ende E .

Si E Øf

E* y E Øy

E* son las polaridades de las métricas T2 y T 2 respectivamente, la aplicación lineal Ey-1Îf

E es el endomorfismo T asociado a esta pareja de métricas (T2, T 2) y su matriz en la base e1, e2,...., en es S-1 × G.En particular, si la matriz de la métrica euclídea en esa base es la identidad, la matriz del endomorfismo coincide con lamatriz G de la métrica.

Teorema. El endomorfismo T asociado a la pareja de métricas (T2, T 2) es autoadjunto: Te·e'=e·Te' , "e, e'œ E, donde ·reperesenta el producto escalar de la métrica euclídea.Esta propiedad permite demostrar que todos los valores propios de T son reales y de multiplicidad 1 en su polinomioanulador y, por tanto:el endomorfismo T asociado a la pareja de métricas (T2, T2) es diagonalizable. Además, los vectores propios devalores propios diferentes son ortogonales para ambas métricas.

Teorema de diagonalización. Existe una base ortonormal en la que la matriz de la métrica simétrica T2 es diagonal.Demostración. Sea G la matriz de T2en la base e1, e2,...., en de E. Si consideremos la métrica euclídea auxiliar que en esa base tienepor matriz la identidad, entonces la matriz del endomorfismo T asociado a esta pareja de métricas coincide con G.Como el endomorfismo T es diagonalizable existe una base de vectores propios v1, v2,...., vn; ortonormalizando estabase para la métrica euclídea auxiliar se obtiene una nueva base u1,u2,...., un en la que la matriz de la métrica euclídeaes la identidad y, por tanto, la matriz de la métrica simétrica T2 coincide con la del endomorfismo asociado. Así, en labase u1, u2,...., un la matriz de T2 es diagonal y los coeficientes de la diagonal son los valores propios del endomor-fismo asociado T. Llamaremos a esta base base ortonormal de diagonalización, entendiendo que es ortonormal para lamétrica euclídea auxiliar y, claro está, ortogonal para la métrica T2 ya que en ella diagonaliza.

Ejemplo. Diagonalicemos la métrica de matriz 4 0 -20 4 -4-2 -4 5

y calculemos una base ortonormal de diagonalización.

El polinomio característico del endorfismo asociado de matriz G es cHxL = xHx - 4L Hx - 9L.Valores propios del endomorfismo asociado T de matriz G: 0, 4, 9Subespacios de vectores propios: Ker(T)=Xv1=(1, 2, 2)\ , Ker(T-4I )=Xv2=(-2, 1, 0)\ , Ker(T-9I)=Xv3=(-2, -4, 5)\

Forma diagonal de la métrica 0 0 00 4 00 0 9

Base ortonormal de diagonalización: u1=v1v1

= 13 (1, 2, 2) , u2=v2v2

= 15

(-2, 1, 0) , u2=v2v2

1

3 5(-2, -4, 5)

(Recuerda que vectores propios de valores propios diferentes son ortogonales, luego para calcular la la base ortonor-mal de diagonalización basta dividir cada vector propio por su módulo para el producto escalar habitual de R3)

Invariantes (Ley de Inercia). Forma reducida. Teorema de clasificación

Ecuación secular de una métrica simétrica T2. Si G es la matriz de la métrica en una base, su ecuación secular es det(xI-G)=0.

El polinomio det (xI-G) no es invariante por cambios de base, pues si M es la matriz de T2 en otra base y B es la matrizdel cambio de base se verifica que M = Bt.G.B y se tiene que det (xI -M)=det (xI -Bt.G.B)≠ det (xI-G), salvo queBt.B=I, es decir, salvo que B sea una matriz ortogonal. Por tanto, si cambiamos de base la métrica cambia también elendomorfismo asociado, por lo que los coeficientes de su forma diagonal serán otros. Sin embargo, permanacen invari-antes el número de coeficientes nulos r0 , el número de coeficientes positivos r+ y el número de coeficientes nega-tivos r- de la diagonalización, que son el número de raíces nulas, el número de raíces positivas y el número deraíces negativas de la ecuación secular de T2. Este resultado se conoce con el nombre de Ley de Inercia de Sylvester.

Cálculo efectivo de los invariantes r0 , r+ y r-Sea G la matriz de orden n que define la métrica simétrica T2, se tiene:

r0 = nº raíces nulas del polinomio det (xI-G) r+ = nº de variaciones de signo entre los coeficientes no nulos del polinomio det (xI-G) r- = n - r+ - r0

Forma reducida de T2. Existe una base de E (base reducida) en la que la matriz de la métrica es de la forma:0 . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . .. . 0 . . . . . . . .. . . 1 . . . . . . .. . . . 1 . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . 1 . . . .. . . . . . . -1 . . .. . . . . . . . -1 . .. . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . -1

Si u1, u2,...., un es una base ortonormal de diagonalización, dividiendo cada vector u de ella, que no esté en el radical,

por T2Hu, uL si T2Hu, uL>0 o por -T2Hu, uL si T2Hu, uL<0 se obtiene una base reducida.

Torema de clasificación de métricas simétricas reales. Dos métricas simétricas son equivalentes si tienen la mismaforma reducida.

2 ClasificacionMetricas.nb

Subespacios hiperbólicos y elípticos. Teorema de descomposición. Rango, índice y signo de una métrica simétrica.

Radical de la métrica T2: Rad T2=eœE : T2(e,e')=0 para todo e'œ E =Ker fT2 , siendo fT2 la polaridad asociada a lamétrica.T2 es irreducible o no singular si Rad T2=0 ó Ker fT2=0Un vector eœE es isótropo respecto de T2 si T2(e,e)=0. Todos los vectores del Rad T2 son vectores isótropos.Un subespacio V de E es no singular si la restricción de T2 a V es una métrica irreducible.Un plano hiperbólico es un subespacio no singular de E de dimensión 2 que contiene algún vector isótropo no nulo.Un subespacio H de (E , T2 ) es hiperbólico si es suma ortogonal de planos hiperbólicos.Un subespacio W de (E , T2 ) es elíptico si no tiene vectores isótropos.En particular, los subespacios hiperbólicos y los elípticos son subespacios no singulares.

Teorema de descomposición. Sea T2 una métrica simétrica sobre un -espacio vectorial E. E descompone en suma ortogonal del radical de la métrica, un subespacio hiperbólico H y un subespacio elíptico W:E=Rad T2⊕H⊕ W , siendo dim Rad T2=r0, dim H=2 min r+ , r- y dim W=| r+ - r-|Como se sigue de reordenar una base reducida para agrupar en la forma reducida parejas (1, -1).

Observa que si V es un plano hiperbólico la forma reducida de la restricción de T2 a V es 1 00 -1

.

Rango, índice y signo de una métrica simétrica real

Rango de T2 : r = dim E- dim Rad T2 = n - r0Indice de T2 : i = nº parejas(1,-1) = min r+ , r-Signo de T2 = Signo( r+ - r-Se verifica la relación : r = 2i + | r+ - r-|

Teorema de clasificación de métricas simétricas reales. Dos métricas simétricas son equivalentes si tienen el mismorango, el mismo índice y el mismo signo

Ejemplo

Clasificar sobre la métrica de matriz

5 -2 -2 0-2 1 0 1-2 0 1 10 1 1 -2

.

• Polinomio característico del endorfismo asociado de matriz G : det (xI-G)=x4- 5 x4-13 x4+21x-4• Invariantes:

r0 = nº raíces nulas del polinomio det (xI-G) = 0 r+ = nº de variaciones de signo entre los coeficientes consecutivos no nulos del polinomio det (xI-G) = 3r- = n- r+ - r0 = 4-3-0= 1

Rango de T2: r = n-r0= 4 Indice de T2: i = min r+ , r- = 1Signo de T2= Signo(r+ - r-)= +

• Forma reducida de T21 0 0 00 -1 0 00 0 1 00 0 0 1

• Teorema de descomposición: E = H⊕W , siendo H un plano hiperbólico y W un subespacio elíptico de dimensión 2en el que la métrica restricción es definido positiva.

ü Ejercicios

ClasificacionMetricas.nb 3

ü

Ejercicios

1. Diagonalizar la métrica simétrica 4 0 -20 4 -4-2 -4 5

y calcular una base ortonormal (para la métrica euclídea auxiliar) de

diagonalización.

2. Sobre un espacio vectorial real E de dimensión 3 se define la métrica T2 de matriz asociada a 1 01 a 00 0 a - 1

en base

8e1, e2, e3 de E, con aœ R. (a) Clasificar T2 según los valores del parámetro a.

(b) Encontrar para a =1/2 una base ortonormal de diagonalización. 3. Averiguar si el plano de ecuación 3x-y+2z=0 es hiperbólico para las siguientes métricas:

1 -2 3-2 0 13 1 1

; 0 1 21 0 -12 -1 3

; 2 1 31 0 33 3 0

; 1 0 00 2 -20 -2 2

; 0 1 21 0 32 3 0

; 3 -3 0-3 3 20 2 0

4. Clasificar las métricas del ejercicio 3 calculando sus invariantes y la forma reducida.

5. Diagonalizar la métrica simétrica 2 1 11 2 11 1 2

y calcular una base ortonormal de diagonalización. Clasificarla.

6. Clasificar la métrica de matriz

1 0 0 00 2 -1 10 -1 2 -10 1 -1 2

. ¿Es posible encontrar una base de R4que sea ortonormal para esta

métrica? En caso afirmativo, calcúlala.

7. Clasificar la métrica de R4 dada por la matriz G=

1 1 0 01 2 1 00 1 0 -10 0 -1 -2

respecto de la base 8e1, e2, e3, e4 de R4. Encontrar

una descomposición de R4 en dos subespacios ortogonales en los que la métrica restricción sea definido positiva y definidonegativa, respectivamente.

8. Dadas las métricas de matrices asociadas

2 0 -2 00 1 0 -2-2 0 1 00 -2 0 1

,

1 -1 0 0-1 1 0 10 0 1 00 1 0 -1

respecto de una base 8e1, e2, e3, e4

de R4, se pide:(a) Clasificarlas, calculando rango , índice y signatura.(b) Clasificar la restricción de cada una de estas métricas al subespacio generado por los vectores 8 e2, e3, e4.

4 ClasificacionMetricas.nb

Algebra lineal y Geometrıa IGloria Serrano SoteloDepartamento de MATEMATICAS

CLASIFICACION AFIN DE CONICAS

Sea E un R-espacio vectorial de dimension 3.Sean E∞ = 〈e1, e2〉 un plano vectorial de E y e0 un vector de E que no esta en E∞,

e0 /∈ E∞.Los vectores e0, e1, e2 forman una base de E, y si representamos por (x0, x1, x2) sus

funciones coordenadas, el plano afın H definido por

H = e0 + E∞

tiene por ecuacion implıcita x0 = 1. En este sistema de coordenadas la ecuacion implıcitadel plano del infinito E∞ es x0 = 0.

Definicion 1. Una conica de H es una familia C = λT2 (λ ∈ R), formada por una metricasimetrica T2 sobre E y todas sus proporcionales.

El lugar geometrico definido por la conica C es la interseccion del plano afın H con elconjunto de los vectores de E que son isotropos para la metrica T2

locus de C = e ∈ E : T2(e, e) = 0 ∩H

En coordenadas, el locus de C representa la ecuacion de una curva de grado 2 de H. Enefecto, si G = (gij) es la matriz de un representante T2 de la conica C respecto de una basee0, e1, e2 de E en la que la ecuacion de H es x0 = 1, se tiene

locus de C =

(1, x1, x2) ∈ H :(1 x1 x2

)g00 g01 g02g10 g11 g12g20 g21 g22

1x1x2

= 0,

de donde resulta

g11x21 + g22x

22 + 2(g12x1x2 + g12x1x2) + 2(g01x1 + g02x2) + g00 = 0 .

Observacion 1. La parte cuadratica de esta ecuacion, g11x21 + g22x

22 + 2(g12x1x2 + g12x1x2),

se corresponde con la matriz de la restriccion de la metrica T2 al plano del infinito E∞,(T2|E∞

)=

(g11 g12gn1 g22

)Ejemplo 1.

H = (1, x, y) ⊂ R3 , C = λT2 , G =

1 −3 2−3 1 12 1 2

El locus de C ≡

(1 x y

) 1 −3 2−3 1 12 1 2

1xy

= 0,

es la curva de grado dos del plano XY : x2 + 2y2 + 2xy − 6x+ 4y + 1 = 0 .

1

2 G. Serrano Sotelo

Definicion 2. Una conica C = λT2 es irreducible o no degenerada si lo es cualquiera desus metricas representantes.

Ejemplo 2. Las conicas de ecuaciones

(a)x2

a2+y2

b2− 1 = 0 , (b)

x2

a2− y2

b2− 1 = 0 , (c) y2 − 2px = 0 , donde a, b, p ∈ R− 0

son irreducibles pues las metricas representantes, de matrices

(a)

−1 0 00 1/a2 00 0 1/b2

, (b)

−1 0 00 1/a2 00 0 −1/b2

, (c)

0 −1 0−1 0 00 0 1/p

,

son no singulares.

Definicion 3. Un vector e0 ∈ E define un centro de la conica C si e0 /∈ E∞ y T2(e0, e) = 0para todo e ∈ E∞.

Proposicion 1. Si C = λT2 es una conica irreducible y tiene centro este es unico.

Demostracion. Sea e0 ∈ E un vector que define un centro de la conica C.Como T2 es una metrica irreducible el subespacio ortogonal al hiperplano del infinito, E⊥∞,es una recta, luego e0 es un generador de ella pues es ortogonal a E∞, y como e0 /∈ E∞ estarecta 〈e0〉 corta a H en un unico punto, c = 〈e0〉 ∩H, que es el centro de la conica.

Corolario 1. Si C = λT2 es una conica irreducible con centro existe una base e0, e1, e2de E en la que las coordenadas del centro son

c =(1,

Adj g10Adj g00

,Adj g20Adj g00

),

donde G = (gij) es la matriz, respecto de esa base, de una metrica representante de C .

Demostracion. Respecto de la base e0, e1, e2 de E, en la que e0 es el vector que define elcentro, E⊥∞ = 〈e0〉, y e1, e2 una base de E∞, la ecuacion implıcita de E∞ es x0 = 0, luegosu subespacio incidente esta generado por la forma lineal ω de coordenadas en la base dualω = (1, 0, 0).

Si G = (gij) es la matriz de T2 en esta base se tiene que E⊥∞ = 〈G−1ω〉 = 〈e0〉 con

e0 =(Adj g00|G|

,Adj g10|G|

,Adj g20|G|

) ,

luego el centro es

c =(1,

Adj g10|G∞|

,Adj g20|G∞|

) ,

donde Adj g00 = |G∞| es el determinante de la restriccion de G a E∞.

Definicion 4. Sea C = λT2 una conica de H. Se llaman rango r e ındice i de la conica a losde cualquiera de las metricas que la representan. Se llaman rango r∞ e ındice i∞ de la conicaen el infinito a los de la restriccion a E∞ de cualquiera de las metricas que la representan.

r = rg(T2) , i = indice (T2) ; r∞ = rg(T2|E∞) , i∞ = indice (T2|E∞)

Teorema 1. La condicion necesaria y suficiente para que dos conicas C = λT2 y C ′ =µT ′2 de H sean afınmente equivalentes es que tengan iguales sus rangos, ındices, rangosen el infinito e ındices en el infinito,

r = r′ , i = i′ ; r∞ = r′∞ , i∞ = i′∞ .

Clasificacion afın de conicas 3

Utilizando este teorema obtenemos el siguiente cuadro de:

Clasificacion afın de conicas en H ⊂ R3

r 3 (Irreducibles) 2 1 0

r∞ i∞\i 1 0 1 0 0 0

Par de rectas1 Hiperbola reales

x2 − y2 = 1 no paralelas

x2 − y2 = 02

Par de rectasElipse Elipse

imaginarias0 real imaginaria

no paralelasx2 + y2 = 1 x2 + y2 = −1

x2 + y2 = 0

Par de rectas Par de rectasParabola reales imaginarias

Recta real1 0

y2 = 2x paralelas paralelasdoble

x2 = 1 x2 = −1x2 = 0

Recta real Conjunto Plano0 0

x = 0 vacıo afın

Problemas resueltos

1. Clasificar afınmente las conicas siguientes

(a) x2 − 2xy + y2 + 4x− 6y + 1 = 0(b) x2 + 4xy + 4y2 − 2x− 4y − 3 = 0

Solucion.

(a) Escribamos la matriz G de la metrica T2 y la matriz G∞ de su restriccion al infinito

G =

1 2 −32 1 −1−3 −1 1

; G∞ =

(1 −1−1 1

)Calculemos el numero de raıces nulas r0, el numero de raıces positivas r+ y el numero deraıces negativas r− de la ecuacion secular de la metrica T2 y de la metrica T2|E∞

• p(x) = |xI −G| = x3 − 3x2 − 11x+ 1 , r0(p(x)) = 0 , r+(p(x)) = 2 , r−(p(x)) = 1• p∞(x) = |xI −G∞| = x2 − 2x , r0(p∞(x)) = 1 , r+(p∞(x)) = 1 , r−(p∞(x)) = 0

Luego los rangos y los ındices de T2 y de su restriccion al infinito son

r = 3 , i = 1 ; r∞ = 1 , i∞ = 0

Por tanto, es una conica irreducible sin centro de matriz reducida

0 −1 0−1 0 00 0 1

y ecuacion

reducida afın y2 − 2x = 0, esto es, una Parabola.

4 G. Serrano Sotelo

(b)

G =

−3 −1 −2−1 1 2−2 2 4

; G∞ =

(1 22 4

)• p(x) = |xI −G| = x3 − 2x2 − 20x , r0(p(x)) = 1 , r+(p(x)) = 1 , r−(p(x)) = 1• p∞(x) = |xI −G∞| = x2 − 5x , r0(p∞(x)) = 1 , r+(p∞(x)) = 1 , r−(p∞(x)) = 0

Los rangos y los ındices de la metrica T2 y de su restriccion al infinito son

r = 2 , i = 1 ; r∞ = 1 , i∞ = 0

Es una conica degenerada con centro, de matriz reducida

−1 0 00 1 00 0 0

y ecuacion reducida

afın x2 − 1 = 0, que representa una Par de rectas reales y paralelas.

2. Calcular el centro, los ejes principales y la ecuacion reducida metrica de la curva de grado dosdel plano real de ecuacion

3x2 + 3y2 − 2xy + 2x− 4y + 1 = 0

Solucion.Sea G la matriz de una metrica T2 representante de la conica en H ⊂ R3 y G∞ su restriccion al

infinito.

G =

1 1 −21 3 −1−2 −1 3

; G∞ =

(3 −1−1 3

)|xI −G| = x3 − 7x2 + 9x+ 3 ; |xI −G∞| = (x− 2)(x− 4)

Se tiener = 3

i = 1

r∞ = 2

i∞ = 0

Conica irreducible con centro: x2 + y2 = 1 (Elipse real)

(a) Centro de la elipse=(− 1

8,5

8)

Por el Corolario 1,

c =(1,

Adj g10|G∞|

,Adj g20|G∞|

) = (1,−1

8,5

8)

(b) Calculemos una base ortonormal de diagonalizacion para G∞.ker(G∞ − 2I) = 〈(0, 1, 1)〉 ; ker(G∞ − 4I) = 〈(0, 1,−1)〉u1 =

1√2

(0, 1, 1), u2 =1√2

(0, 1,−1) es la base buscada.

(c) En la base c, u1, u2 la matriz de T2 esT2(c, c) 0 00 2 00 0 4

, con T2(c, c) = −3

8

Luego la ecuacion reducida metrica de la elipse es

x2

3/16+

y2

3/32= 1 ,

donde x y y son las coordenadas asociadas a la base u1, u2.


(d) Ecuaciones de la transformacion afın efectuada para pasar del sistema de referencia inicialen H, en el que las coordenadas son x, y, al sistema de referencia de origen c y ejes lasrectas c+ 〈u1〉 , c+ 〈u2〉 , respecto del que las coordenadas son x, y.

Si B representa la matriz del cambio de base realizado en E∞, esto es B =1√2

(1 11 −1

),

componiendo el automorfismo de cambio de base con la traslacion de vector c se obtienenlas ecuaciones(

xy

)= B

(xy

)+

(−1/85/8

)=⇒

x =

1√2

(x+ y − 48)

y =1√2

(x− y + 68)

(e) Los ejes principales de la elipse son las rectas c+ 〈u1〉 , c+ 〈u2〉 de ecuaciones respectivas

y = 0⇒ x− y +6

8= 0 ; x = 0⇒ x+ y − 4

8= 0

(f ) Las medidas sobre los semiejes, a y b, la excentricidad y los focos F y F ′ de la elipse,respecto del sistema de referencia inicial, son

a =

√3

16; b =

√3

32

c =√a2 − b2 =

√3

32=⇒ Excentricidad =

c

a=

√2

2

F = (

√3

32, 0) =⇒ F = (

√3− 1

8,

√3 + 5

8)

F ′ = (−√

3

32, 0) =⇒ F ′ = (

−√

3− 1

8,−√

3 + 5

8)

3. Calcular el vertice, los ejes principales, la ecuacion reducida metrica, el foco y la directriz de laparabola del ejemplo 1

x2 − 2xy + y2 + 4x− 6y + 1 = 0

Solucion.Sean G y G∞ como en el ejemplo anterior.

G =

1 2 −32 1 −1−3 −1 1

; G∞ =

(1 −1−1 1

)

Tenemos que encontrar una base e, v1, v2 en la que la matriz de T2 es de la forma

0 α 0α 0 00 0 β

con α , β 6= 0. El vector e define el vertice de la parabola y v1, v2 es una base ortonormal dediagonalizacion para G∞.

(a) Calculemos v1 y v2.

|xI −G∞| = x(x− 2)⇒ Forma diagonal

(0 00 2

)⇒ β = 2

kerG∞ ≡ x− y = 0⇒ v1 =1√2

(0, 1, 1)

ker(G∞ − 2I) ≡ x+ y = 0⇒ v2 =1√2

(0, 1,−1)

6 G. Serrano Sotelo

(b) Vertice de la parabola V = (−31

8,−11

8)

El vector e que define el vertice esta en H, luego sus coordenadas son e = (1, x, y), yverifica las condiciones T2(e, e) = 0 , T2(e, v1) = α y T2(e, v2) = 0 .

Calculemos x e y resolviendo el sistema determinado por la primera y tercera condiciones

T2(e, e) = 0⇒ x2 − 2xy + y2 + 4x− 6y + 1 = 0

T2(e, v2) = 0⇒ 5 + 2x− 2y = 0

x = −31

8, y = −11

8=⇒ e = (1,−31

8,−11

8)

(c) En la base e, v1, v2 la matriz de T2 es 0 T2(e, v1) 0T2(e, v1) 0 0

0 0 2

, con T2(e, v1) = − 1√2,

luego la ecuacion reducida metrica de la parabola es y2 =1√2x , donde x y y son las

coordenadas asociadas a la base v1, v2.(d) Ecuaciones de la transformacion afın efectuada para pasar del sistema de referencia inicial

en H, en el que las coordenadas son x, y, al sistema de referencia de origen e y ejes lasrectas e+ 〈v1〉 , e+ 〈v2〉 , respecto del que las coordenadas son x, y.

Si B representa la matriz del cambio de base realizado en E∞, esto es B =1√2

(1 11 −1

),

componiendo el automorfismo de cambio de base con la traslacion de vector e se obtienenlas ecuaciones(

xy

)= B

(xy

)+

(−31/8−11/8

)=⇒

x =

1√2

(x+ y + 214 )

y =1√2

(x− y + 104 )

(e) Los ejes principales de la parabola son las rectas e+ 〈v1〉 , e+ 〈v2〉 de ecuaciones respectivas

Eje de simetrıa y = 0⇒ x− y +10

4= 0 ; x = 0⇒ x+ y +

21

4= 0

(f ) Calculemos por ultimo el foco F y la directriz d de la parabola, respecto de las coordenadasiniciales x e y.

Comparando la ecuacion reducida metrica y2 =1√2x con y2 = 2px, resulta que p =

1

2√

2y las coordenadas del foco y la ecuacion de la directriz son (p/2, 0) y x = −p/2.

En las coordenadas iniciales se tiene

F = (−30

8,−10

8) ; d ≡ x+ y + 5 = 0

Ejercicios Propuestos

4. Clasificar afınmente las conicas siguientes:

(a) x2 + 2y2 − 2x+ 4y + 2 = 0(b) x2 − 2xy + y2 + 4x− 6y + 1 = 0(c) 3x2 − 5xy + y2 − x+ 2y + 1 = 0(d) x2 + 4xy + 4y2 − 2x− 4y = 3(e) x2 + 2y2 + 3xy + 2x+ 5y − 3 = 0(f ) x2 + y2 + xy + x+ y + 1 = 0(g) x2 + y2 − xy − x− y + 1 = 0(h) x2 + 4y2 + 4xy − 2x− 4y + 2 = 0


5. Clasificar afınmente segun los valores del parametro λ la familia de conicas siguiente:

x2 + (2λ2 + 1)y2 − 2xy = 2λ2 − 3λ+ 1

6. Calcular el centro, los ejes principales, la ecuacion reducida metrica y la representacion graficade las curvas de grado dos siguientes:

3x2 − 2xy + 3y2 + 2x− 4y + 1 = 0 , x2 − y2 + 2xy − 6x+ 4y + 3 = 0

7. Demostar que la curva plana de ecuacion

4x2 + y2 + 4xy + 6x+ 1 = 0 ,

es una parabola. Calcular su vertice, eje principal, ecuacion reducida metrica y representaciongrafica.

Universidad de Salamanca Gloria Serrano SoteloDepartamento de MATEMATICAS

ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA. 10 FISICAS.

1. Sea T2 una metrica sobre E. Demuestra la relacion que existe entre el subespacio incidentey el subespacio ortogonal de un subespacio de E.

2. Sea T2 una metrica simetrica irreducible sobre E. ¿Un subespacio hiperbolico puede estarincluido en un subespacio elıptico?

3. Sea T2 una metrica simetrica sobre E. ¿Existe una metrica euclıdea T2 sobre E tal que elendomorfismo asociado a esta pareja de metricas tenga como polinomio anulador el polinomio(x+ 3)2(x− 2)?

4. Si dimE = 4, ¿cuantas metricas irreducibles no equivalentes hay sobre E? Escribe laforma reducida de cada una de ellas y la correspondiente descomposicion de E en sumaortogonal de subespacios hiperbolico y elıptico.

5. Sea e1, e2, e3 una base de E y sean T2 y T ′2 las metricas de matrices respecto de estabase: 0 1 2

1 1 22 2 2

1 −2 0−2 1 −10 −1 −1

¿Existen dos bases de E en las que las matrices asociadas a T2 y T ′2 respectivamente soniguales?

6. ¿ Cuantas metricas simetricas singulares y no equivalentes de ındice 2 hay en un espaciovectorial real de dimension 5?

7. ¿Existe alguna metrica simetrica sobre R3 con rango 3 e ındice 2?

8. Sea T2 una metrica simetrica sobre E de matriz asociada G =

1 2 02 −1 00 0 2

. Demuestra

que el subespacio V de ecuacion z=0 es no singular. Averigua si V es un subespacio elıpticoo hiperblico.

9. ¿Es cierto que, salvo cambios de base, solo existen dos metricas simetricas, no singularesy de ındice 2 en un espacio euclıdeo de dimension 5?

10. Si una metrica simetrica sobre R4 tiene rango 3 e ındice 0, ¿pueden existir vectoresisotropos no nulos que no esten el radical?

11. Dada la metrica de matriz G =

3 2 −12 −1 0−1 0 2

, averigua si el plano π ≡ x−3y+z = 0

contiene vectores isotropos no nulos.

12. Sea e1, e2, e3 una base de R3 y G =

2 2 −32 −4 0−3 0 2

la matriz de una metrica T2 en

esa base. Demuestra que el plano 〈e2, e3〉 es hiperbolico respecto de la metrica T2.1

13. Sea e1, e2, e3, e4 una base de R4 y G =

2 2 −3 02 −4 0 1−3 0 2 00 1 0 3

la matriz de una metrica

T2 en esa base. Clasifica la restriccion de T2 al hiperplano de ecuacion y = 0.

14. Sea E un R-espacio euclıdeo, e1, e2, e3 una base.

(a) Demuestra que la aplicacion E × E T2−→ R dada por

T2 ((x, y, z), (x′, y′, z′)) = 2xx′ + 3yy′ − 4zz′

define una metrica simetrica no singular y de ındice 1 sobre E.(b) Escribe la forma reducida de T2 y calcula una base reducida.(c) Demuestra que existe un plano de vectores isotropos y calcula explıcitamente en

funcion de la base dada dos vectores isotropos linealmente independientes.

15. ¿ Existe alguna metrica simetrica, singular y de ındice 2 sobre R4?

16. Sea T2 una metrica simetrica e irreducible sobre E. Sea V un subespacio de dimensiondos tal que la matriz de la metrica restringida T2|V , respecto de una cierta base de V , es(

1 22 4

). ¿Se puede asegurar que V ⊥ es un subespacio suplementario de V ?

17. Clasifica la metrica de R4 de matriz asociada1 1 0 01 2 1 00 1 0 −10 0 −1 2

Encuentra una descomposicion de R4 en suma de dos subespacios ortogonales en los que lametrica restriccion sea definido positiva y definido negativa, respectivamente.

18. Sea T2 una metrica simetrica sobre E y sea G su matriz en una cierta base.Si |xI − G| = x3 + 3x2 − 2x − 6, averiguar si existen vectores isotropos no nulos y en casoafirmativo calcular la dimension del subespacio que los contiene.

19. Sea Q(x, y, z) = 4x2−4xz+4y2−8yz+z2 una forma cuadratica sobre E. ¿Es cierto quelos unicos vectores isotropos respecto de la metrica simetrica T2 asociada son los del radicalRadT2?

20. Diagonaliza la forma cuadratica Q(x, y, z) = x2 + y2 − 2xz + 2yz, calculando una baseortonormal de diagonalizacion y la expresion de Q en el nuevo sistema de coordenadas queesta base define.

21. Clasifica en funcion del parametro real a la forma cuadratica Q(x, y, z) = 2x2 + ay2 +2axz + 2z2.Calcula para a = 1 una base ortonormal de diagonalizacion.


TENSORES. 10 FISICAS.

1. Sea e1, e2, e3 una base de E y w1, w2, w3 su base dual. Construye bases de los espaciosde tensores covariantes de ordenes 2 y 3 respectivamente, T2(E) y T3(E). Construye tambienbases para los espacios de tensores hemisimetricos Ω2(E) y Ω3(E).

2. Sea e1, e2, e3 una base de E y w1, w2, w3 su base dual. Escribe, respecto de la base

de T2(E), la expresion tensorial de la metrica de matriz en esa base G =

1 0 30 2 03 0 −1

.

3. Averigua si los tensores

T2 = 2w1 ⊗ w1 + 3w1 ⊗ w3 + 2w2 ⊗ w2 + 3w3 ⊗ w1

T2 = w1 ⊗ w2 + 4w1 ⊗ w3 − w2 ⊗ w1 − 4w3 ⊗ w1

son simetricos o hemisimetricos. Si alguno es hemisimetrico expresalo en funcion de losproductos exteriores de la base de los tensores hemisimetricos.

4. ¿Existe algun tensor hemisimetrico no nulo de orden cuatro en un espacio vectorial dedimension tres?

5. Sea e1, e2, e3 una base de E y w1, w2, w3 su base dual. Escribe la forma cuadraticaasociada al tensor T2 = w1 ⊗ w1 − w1 ⊗ w3 + w2 ⊗ w2 + w2 ⊗ w3 − w3 ⊗ w1 + w3 ⊗ w2 yencuentra un nuevo sistema de coordenadas en el que esta se pueda expresar como sumas yrestas de cuadrados.

6. Sea e1, e2, e3, e4 una base de E y w1, w2, w3, w4 su base dual. Dada la metrica

T2 = w1 ⊗ w1 + w2 ⊗ w2 − w2 ⊗ w3 − w3 ⊗ w2 − w4 ⊗ w4

Calcula su restriccion al hiperplano de ecuacion x− y + z + t = 0 y su expresion respecto dela base dual de la base w1 = w3 − w1, w2 = w1 + w3, w3 = w4 + w2, w4 = w2 + w1.

7. Si e1, e2, e3 es una base de E y

2 −1 30 1 1−1 2 2

es la matriz de un endomorfismo T de

E en esa base, calcula la expresion en coordenadas del tensor (1, 1) asociado.

8. Sea e1, e2, e3 una base de E y w1, w2, w3 su base dual. Calcula las restricciones de lostensores

T3 = w1 ⊗ w2 ⊗ w3 − w2 ⊗ w1 ⊗ w1

Ω2 = w1 ∧ w2 − w2 ∧ w3

al plano de ecuacion x + y + z = 0.

9. Sea e1, e2, e3 una base de E y w1, w2, w3 su base dual. Calcula las restricciones de lostensores

(a) Calcula la expresion del tensor hemisimetrico de orden 2 asociado a la de matriz 0 1 −2−1 0 12 −1 0

.

(b) Sean w = w1 + w2 − w3, w′ = 2w2 − w3, w′′ = w2 + w3. Calcula la expresion de lostensores hemisimetricos w ∧ w′ y w ∧ w′ ∧ w′′.

1

10. Sea e1, e2, e3 una base de E y w1, w2, w3 su base dual. Demuestra que la metrica

T2 = 2w1 ⊗ w1 + w1 ⊗ w2 + w1 ⊗ w3 + w2 ⊗ w1 + w2 ⊗ w3 + w3 ⊗ w1 + w3 ⊗ w2 + 2w3 ⊗ w3

es irreducible y calcula las coordenadas del unico vector e ∈ E cuya imagen por la polaridadasociada a T2 es la forma lineal w = w1 + w2 + 2w3.

11. Calcula la expresion de la metrica T2 dada en coordenadas cartesianas por

T2 = dx⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz

en coordenadas cilındricas y esfericas, y obten en ambos casos bases ortonormales.

12. Calcula la expresion del gradiente de una funcion en coordenadas cartesianas, cilındricasy esfericas.

13. Calcula el gradiente de la funcion f(x, y, z) = 2x2 +y2 +4z2−1 en el punto P = (1, 1, 2).

14. Calcula el plano tangente a las siguientes superficies de R3 en el punto que se indica:

(a) x2 + y2 − 9z2 = 1 en el punto P = (3, 1, 1).(b) x2 + y2 = z en el punto P = (0, 1, 1).

(c)x2

2+

y2

4+

z2

2= 1 en el punto P = (1, 0, 1).

Identifica y representa cada una de las superficies anteriores.

Clasificación de formas cuadráticasGloria Serrano Sotelo

Formas cuadráticas

Toda métrica simétrica T2: Eä Eök tiene asociada una forma cuadrática Q : Eök definida por Q(e)= T2(e, e) "eœE . Recíprocamente, a toda forma cuadrática Q le corresponde una métrica simétrica T2 dada por:

T2(e, e') = 12 [Q (e+e') - Q(e) - Q(e')]

Si gij son los coeficientes de la matriz de T2 en una base e1, e2, ..., en de E , la expresión en coordenadas, respectode esta base, de la forma cuadrática asociada es:

Q( x1, x2, ..., xn) = g11 x12+ g22 x22+...+ gnn xn2+ 2 ⁄i< j ( gij xij)

Ejemplo 1

Sea 1 -1 0-1 2 30 3 0

la matriz de T2 respecto de una base 8e1, e2, e3 de E. La expresión en coordenadas respecto de esta

base de la forma cuadrática asociada es Q(x, y, z) = x2+ 2 y2- 2 x y +6 y z .

Ejemplo 2Si Q es la forma cuadrática sobre R3 definida en coordenadas respecto de una base por la expresión Q(x, y, z) = 3 x2- x y

+3 x z - 2 y z - z2 , la métrica simétrica asociada tiene por matriz en esa base 3 -1 ê2 3 ê2

-1 ê2 0 -13 ê2 -1 -1

.

Los teoremas de clasificación y diagonalización de métricas simétricas son aplicables a las formas cuadráticas asoci-adas. En particular, el teorema de diagonalización para formas cuadráticas se puede enunciar en la forma:Ley de Inercia de Sylvester. Conocida la expresión en coordenadas, Q( x1, x2, ..., xn), de la forma cuadrática Q respecto de una base e1, e2, ..., en de E, se puede encontrar otra base u1, u2, ..., un en la que la expresión de Q, enlas coordenadas y1, y2, ..., yn correspondientes, es :

Q( y1, y2, ..., yn) = a1 y12+...+ ap yp2 + bp+1 yp+12 + ...+ bp+q yp+q2

siendo a1, ..., ap>0 las p raíces positivas de la ecuación secular de la métrica simétrica asociada y bp+1, ..., bp+q<0 susq raíces negativas. Los números p = r+ y q = r- no dependen de la base inicial elegida. En otras palabras, existen bases ortonormales (para la métrica euclídea auxiliar) en las que la forma cuadrática se expresacomo sumas y restas de cuadradados, siendo el nº de términos positivos y el nº de términos negativos de esta expresióninvariantes por cambios de base.

Ejemplo 3Clasifiquemos las formas cuadráticas:

Q(x, y, z) = x2 - 3 y2 + 2 z2 - 2 x y + 4 x z - 5 y z q (x, y, z) = 2 y2 - z2 + t2 + 4 x y - 2 x z + 2 x t - 4 y z - 3 z t

Ë Calculamos las matrices de las métricas simétricas asociadas, G y g , respectivamente:

G=

1 -1 2

-1 -3 - 52

2 - 52

2

; g=

0 2 -1 12 2 -2 0

-1 -2 -1 - 32

1 0 - 32

1

Ë Calculamos las raíces nulas, positivas y negativas de las ecuaciones seculares de G y g, y las correspondientes formasreducidas.

detHxI - GL = x3- 734

x- 314

fl r0=0 , r+= 1 , r-= 2ïForma reducida 1 0 00 -1 00 0 -1

detHxI - gL = 19 +7 x2 -

53 x24 -2 x3 +x4 fl r0=0 , r+= 2 , r-= 2ïForma reducida

1 0 0 00 -1 0 00 0 1 00 0 0 -1

Ë

Calculamos las raíces nulas, positivas y negativas de las ecuaciones seculares de G y g, y las correspondientes formasreducidas.

detHxI - GL = x3- 734

x- 314

fl r0=0 , r+= 1 , r-= 2ïForma reducida 1 0 00 -1 00 0 -1

detHxI - gL = 19 +7 x2 -

53 x24 -2 x3 +x4 fl r0=0 , r+= 2 , r-= 2ïForma reducida

1 0 0 00 -1 0 00 0 1 00 0 0 -1

Ejemplo 4Diagonalizar la forma cuadrática Q(x, y, z)= x2 + y2 - 2 x z + 2 y z, calculando una base ortonormal de diagonal-ización y la expresión de Q en el nuevo sistema de coordenadas que esta base define.

Ë Matriz G de la métrica simétrica en la base 8e1, e2, e3 en la que se expresan las coordenadas (x, y, z)

G=1 0 -10 1 1-1 1 0

Ë Diagonalización de GValores propios -1, 1, 2Base de vectores propios v1=(1,-1,2), v2=(1,1,0), v3=(-1,1,1)

Base ortonormal de diagonalización u1=v16

, u2=v22

, u3=v3

3. Matriz de cambio de base B=

1

6

1

2

-1

3-1

6

1

2

1

32

60 1

3

.

Forma diagonal D =-1 0 00 1 00 0 2

. ( Recuerda: Bt ÿG·B=D y además como B es ortogonal, pues transforma una

base ortonormal en otra ortonormal, Bt=B-1)

Ë Expresión de Q en el nuevo sistema de coordenadas X, Y, Z

Q( X, Y, Z )= -X2 + Y2 + 2 Z2 ,

donde XYZ

=B-1 xyz

ï

X = 1

6Hx - y + 2 zL

Y = 1

2Hx + yL

Z = 1

3H-x +y +zL

son las expresiones que dan explícitamente el cambio de referencia; se

pasa de la referencia ortonormal x, y, z a la referencia ortonormal X, Y, Z en la que la forma cuadrática se expresacomo suma y resta de cuadrados.

2 Formascuadráticas.nb

ü Ejercicios

1. Diagonalizar las formas cuadráticas:(a) Q(x, y, z)=x2 + y2 - z2

(b) Q(x, y, z)=2 x2 - 2 x y + y2 + x z - y z(c) Q(x, y, z)=2 x2 - 8 x y + 3 y2 + 4 x z + 2 y z - z2

2. Averiguar cuáles de las siguientes formas cuadráticas definen un producto escalar euclídeo: Q1(x, y, z)=x y+2 x z-y z Q5(x, y, z)=x2 + 2 x y + y2 - 2 y z + z2

Q2(x, y, z)=x2 + y2 + 2 x z - z2 Q6(x, y, z)=x2 + 6 x y - 2 x z + z2

Q3(x, y, z)=x2 + x y + y2 + x z + y z + z2 Q7(x, y, z)=2 x2 + 2 x y + y2 - 2 x z - 2 y z + 2 z2

Q4(x, y, z)=3 x2 + y2 + 2 y z + z2

3. Dada la forma cuadrática Q(x, y, z)=x2 + 2 x y + y2 + 2 x z + 2 y z + z2 , calcular el radical de la métrica asociada yclasificarla.

4. Diagonalizar la forma cuadrática Q(x, y)=x2 + 4 x y - y2 y encontrar el cambio de variables tal que Q(X, Y)=aX2 + b Y2 para ciertos a, bœ

5. Poner en forma diagonal la forma cuadrática Q(x, y, z)=x2 - 2 x y + y2 + 4 x z + z2 , dando explícitamente lascoordenadas en las que diagonaliza.

6. Diagonalizar las siguientes formas cuadráticas, calculando para cada una de ellas una base ortonormal de diagonalización: (a) Q(x, y, z)=4 x2 + 4 y2 + 5 z2- 4 x z - 8 y z(b) Q(x, y, z)=2 x y+2 x z+2 y z (c) Q(x, y, z)=x2 + y2 - 2 x z + 2 y z

7. Clasificar según los valores del parámetro real a la forma cuadrática:Q(x, y, z)=2 x2 + a y2 + 2 a x z + 2 z2

Formascuadráticas.nb 3


1. Generalidades sobre metricas

Una metrica T2 sobre un k-espacio vectorial E es una aplicacion

E × E T2−→ k

(e, e′) 7→ T2(e, e′)

que es bilineal, esto es, lineal en cada argumento:

T2(λe1 + µe2, e) = λT2(e1, e) + µT2(e2, e)T2(e, λe1 + µe2) = λT2(e, e1) + µT2(e, e2)

El escalar T2(e, e′) se llama producto escalar del vector e por el vector e′.

• Matriz asociada a una metrica. Producto escalar en coordenadas

Si e1, . . . , en es una base de E, se llama matriz asociada a T2 en esa base a la matrizcuadrada G = (gij) de orden n y coeficientes gij = T2(ei, ej), 1 ≤ i, j ≤ n.Respecto de esta base, la expresion del producto escalar en coordenadas es:

T2(e, e′) = T2(

n∑i=1

xiei,n∑j=1

x′jej) =n∑i=1

n∑j=1

xix′jgij =

(x1 . . . xn

)G

x′1...x′n

• Metricas simetricas y hemisimetricas

Una metrica T2 es simetrica si T2(e, e′) = T2(e

′, e) cualesquiera que sean e, e′ ∈ E, o lo quees equivalente si su matriz asociada, G, es simetrica G = Gt.Una metrica T2 es hemisimetrica si T2(e, e

′) = −T2(e′, e) cualesquiera que sean e, e′ ∈ E, o

lo que es equivalente si su matriz asociada, G, es hemisimetrica G = Gt.

• Cambio de base para metricas

Sea G la matriz de T2 respecto de la base e1, . . . , en de E y G la matriz de T2 en la basee1, . . . , en. Si B es la matriz de cambio de base se verifica: G = Bt ·G ·B.

Demostracion.

gij = T2(ei, ej) = T2(n∑k=1

bkiek,n∑s=1

bsjes) =n∑k=1

bki

n∑s=1

bsjgks = (Bt ·G ·B)ij

• Vectores ortogonales respecto de una metrica

Los vectores e, e′ ∈ E son ortogonales respecto de T2 si T2(e, e′) = 0.

Ejemplo 1.1. La aplicacion

C× C T2−→ R(z, z′) 7→ Re(z · z′) = parte real de z · z′

1

define una metrica simetrica sobre el R-espacio vectorial de los numeros complejos C, puescualesquiera que sean z, z′, z′′ ∈ C y λ, µ ∈ R se cumple

T2(z, z′) = Re(z · z′) = Re(z′ · z) = T2(z

′, z)

T2(λz + µz′′, z′) = Re(λz · z′ + µz · z′) = λRe(z · z′) + µRe(z′′ · z′) = λT2(z, z′) + µT2(z

′′, z′)

Su matriz asociada en la base 1, i de C es

G =

(1 00 −1

); T2(1, 1) = 1 , T2(1, i) = T2(i, 1) = 0 , T2(i, i) = −1 .

Observa que el vector 1+i es ortogonal a si mismo pues T2(1 + i, 1 + i) = Re(2i) = 0. Se diceque este vector es un vector isotropo respecto de la metrica.

Ejemplo 1.2. La aplicacion

R2 × R2 T2−→ R((x, y), (x′, y′)) 7→ xy′ + yx′

define una metrica simetrica sobre R2 cuya matriz asociada es

G =

(0 11 0

); T2((1, 0), (1, 0)) = 0 , T2((1, 0), (0, 1)) = 1 = T2((0, 1), (1, 0)) , T2((0, 1), (0, 1)) = 0 .

Observa que los vectores de la base (1, 0) y (0, 1) son isotropos.

• Radical de una metrica. Metricas irreducibles o no singulares

El radical de T2, RadT2, es el conjunto de los vectores de E que son ortogonales a todos losdemas.

RadT2 = e ∈ E : T2(e, e′) = 0 para todo e′ ∈ E

Observa que los vectores del radical son todos isotropos.Una metrica T2 es irreducible o no singular si RadT2 = 0.

• Polaridad asociada a una metrica

La polaridad asociada a la metrica T2 es la aplicacion lineal EφT2−−→ E∗ definida por

φT2(e)(e′) = T2(e, e

′) para cualesquiera e y e′ de E.

La matriz asociada a la polaridad, respecto de una base e1, . . . , en de E y su base dualω1, . . . , ωn, coincide con la traspuesta de la matriz de T2, G

t. En efecto, el coeficiente(i, j) de la matriz de la polaridad es φT2(ej)(ei) = T2(ej, ei) = gji.

El radical de T2 coincide con el nucleo de su polaridad:

kerφT2 = e ∈ E : φT2(e) = 0 = e ∈ E : φT2(e)(e′) = 0 para todo e′ ∈ E

= e ∈ E : T2(e, e′) = 0 para todo e′ ∈ E = RadT2

Si la metrica T2 es irreducible su polaridad es un isomorfismo, pues es inyectivaya que su nucleo es cero, kerφT2 = RadT2 = 0, y como dimk E = dimk E

∗ es tambienepiyectiva.Por tanto, T2 es irreducible si y solo si su matriz asociada G es no singular, es decir,si detG 6= 0. (Recuerda que el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta).

• Subespacio ortogonalSea V un subespacio vectorial de E y T2 una metrica sobre E. Se define:

V ⊥ = e ∈ E : T2(e, v) = 0 para cualquier v ∈ V V ⊥ es un subespacio de E, pues es cerrado por combinaciones lineales:Si e, e′ ∈ V ⊥ y λ, µ ∈ k se tiene T2(λe+µe′, v) = λT2(e, v) +µT2(e

′, v) = 0 para cada v ∈ V ,luego λe+ µe′ ∈ V ⊥.

Proposicion 1.3. (Caracterizacion del subespacio ortogonal) El subespacio ortogonal, V ⊥,coincide con el subespacio antiimagen del subespacio incidente, V 0, por la polaridad

V ⊥ = φ−1T2

(V 0)

Demostracion.

φ−1T2

(V 0) = e ∈ E : φT2(e) ∈ V 0 = e ∈ E : φT2(e)(v) = T2(e, v) = 0 ,∀v ∈ V = V ⊥

En particular, si la polaridad es un isomorfismo, lo que ocurre cuando T2 es irreducible y E dedimension finita, la dimension del subespacio ortogonal es complementaria de la dimensiondel subespacio.

dimk V⊥ = dimk E − dimk V

Ejemplo 1.4. Sea E = 〈e1, e2〉 un R-espacio vectorial de dimension 2. Calculemos 〈e1〉⊥ y〈e2〉⊥ para las metricas sobre E de matrices en esta base:

a)G =

(0 1−1 0

); b)G =

(0 11 2

); c)G =

(2 −1−1 2

)En los tres casos la polaridad es un isomorfismo pues detG 6= 0, luego dimk〈e1〉⊥ = 1 ydimk〈e2〉⊥ = 1.a) 〈e1〉⊥ = 〈e1〉 pues T2(e1, e1) = 0 y 〈e2〉⊥ = 〈e2〉 ya que T2(e2, e2) = 0.b) 〈e1〉⊥ = 〈e1〉 pues T2(e1, e1) = 0 y 〈e2〉⊥ = 〈e2 − 2e1〉 ya que T2(e2, e2 − 2e1) = T2(e2, e2)−2T2(e2, e1) = 2− 2 = 0.c) 〈e1〉⊥ = 〈e1 + 2e2〉 ya que T2(e1, e1 + 2e2) = T2(e1, e1) + 2T2(e1, e2) = 2 − 2 = 0 y〈e2〉⊥ = 〈e2 + 2e1〉 pues T2(e2, e2 + 2e1) = T2(e2, e2) + 2T2(e2, e1) = 2− 2 = 0.

Ejemplo 1.5. En R3 se considera la metrica de matriz G =

1 1 01 −1 20 2 0

.

1. Comprobar que es un metrica simetrica e irreducible.2. Calcular T2(e, e

′) siendo e = 2e1 − e3 y e′ = 3e1 − 4e3.3. Calcular el subespacio ortogonal a 〈e3〉. ¿Son suplementarios 〈e3〉 y 〈e3〉⊥?4. Calcular el subespacio ortogonal al plano π de ecuacion x + y − z = 0. ¿Son suple-

mentarios π y π⊥?

Solucion

1. Es simetrica pues G = Gt y es irreducible por que detG 6= 0.2.

T2(e, e′) =

(2 0 −1

)·

1 1 01 −1 20 2 0

· 0

3−4

= 6

3. dim〈e3〉⊥ = 2 y como T2(e3, e1) = 0 y T2(e3, e3) = 0 se sigue que 〈e3〉⊥ = 〈e1, e3〉. Lossubespacios 〈e3〉 y 〈e3〉⊥ no son suplementarios, de hecho 〈e3〉 ⊂ 〈e3〉⊥.

4. El subespacio incidente con el plano π es π0 = 〈ω = (1, 1,−1)〉, luego π⊥ = φ−1T2

(〈ω〉)y como φT2 es un isomorfismo, pues T2 es irreducible, se tiene que π⊥ es la recta

〈G−1ω = (3

2,−1

2,−1

2)〉, π⊥ = 〈(3,−1,−1)〉.

El plano π y la recta π⊥ son suplementarios pues el vector (3,−1,−1) no esta enel plano.

2. Geometrıa euclıdea

Sea E un R-espacio vectorial.

Definicion 2.1. Una metrica T2 sobre E es euclıdea si es simetrica y definido positiva,T2(e, e) ≥ 0 ,∀e ∈ E y T2(e, e) = 0 si y solo si e = 0.

Si T2 es euclıdea representaremos el producto escalar T2(e, e′) por e · e′.

Utilizaremos, sin demostrar, que una metrica T2 es euclıdea si y solo si los menores diagonalesde su matriz, respecto de cualquier base, son estrictamente positivos.

Ejemplo 2.2. Sea E = 〈1, x, x2〉 el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor oigual a dos.Comprobemos que el producto:

p(x) · q(x) =

∫ 1

0

p(x)q(x)dx, para cada p(x), q(x) ∈ E

define un producto escalar euclıdeo.Los productos escalares de los polinomios de la base de E son:

1 · 1 = 1 ; 1 · x =1

2= x · 1 ; 1 · x2 = x2 · 1 =

1

3; x · x =

1

3; , x · x2 = x2 · x =

1

4; x2 · x2 =

1

5

y la matriz G =

1 1/2 1/31

21/3 1/4

1/3 1/4 1/5

de la metrica en esa base tiene todos sus menores

diagonales positivos: 1 > 0 ;

∣∣∣∣ 1 1/21/2 1/3

∣∣∣∣ = 1/12 > 0 ; |G| = 1/2160 > 0

Proposicion 2.3. El radical de una metrica euclıdea es cero. En consecuencia, la polaridadasociada a la metrica euclıdea T2 es un isomorfismo.

Demostracion. Si e ∈ RadT2 se verifica que T2(e, e′) = e · e′ = 0 para todo e′ ∈ E. En

particular, e · e = 0 y por tanto e = 0 pues T2 es definido positiva.Luego kerφT2 = RadT2 = 0, es decir φT2 es inyectiva, y como dimE = dimE∗ tambien esepiyectiva.

Teorema 2.4. Sea E un R-espacio vectorial, V un subespacio de E y T2 una metrica euclıdeasobre E. El subespacio V y su ortogonal V ⊥ respecto de T2 son suplementarios.

Demostracion.• dimV ⊥ + dimV = dimE.Por la caracterizacion del ortogonal es φ−1

T2(V 0) = V ⊥ y como φT2 es un isomorfismo, pues

T2 es euclıdea, resulta dimV ⊥ = dimV 0 = dimE − dimV .• V ∩ V ⊥ = 0.Si e ∈ V ∩ V ⊥ es e ∈ V y e ∈ V ⊥, luego e · e = 0, de donde e = 0 ya que T2 es definidopositiva.

2.1. Modulo de un vector. Coseno del angulo definido por dos vectores.

Definicion 2.5. Se llama modulo o longitud del vector e ∈ E respecto de la metricaeuclıdea T2 al numero real positivo |e| =

√T2(e, e) =

√e · e.

Proposicion 2.6. El modulo de un vector tiene las siguientes propiedades:

1. |e| ≥ 0 para todo e ∈ E y |e| = 0 si y solo si e = 0.2. |λe| = |λ||e| cualesquiera que sean λ ∈ R y e ∈ E.3. Desigualdad de Minkowski. |e · e′| ≤ |e||e′|.

4. Desigualdad de Schwartz. |e+ e′| ≤ |e|+ |e′|.5. Teorema de Pitagoras. |e+ e′|2 = |e|2 + |e′|2 si y solo si e · e′ = 0.

Demostracion.

1. Se deduce de que T2 es definido positiva.2. |λe| =

√T2(λe, λe) =

√λ2T2(e, e) = |λ|

√T2(e, e) = |λ||e|.

3. Para cada λ ∈ R y e, e′ ∈ E se tiene que (e+λe′)·(e+λe′) = |e|2+λ2|e′|2+2λe·e′ ≥ 0,luego el discriminante de la ecuacion de segundo grado en λ, |e′|2λ2+2e·e′λ+|e|2 = 0,debe ser negativo o nulo, esto es, 4(e · e′)2 − 4|e|2|e′|2 ≤ 0, de lo que se deduce que(e · e′)2 ≤ |e|2|e′|2 y por tanto |e · e′| ≤ |e||e′|.

4. Utilizando 3. resulta:|e+e′|2 = |e|2 + |e′|2 +2e ·e′ ≤ |e|2 + |e′|2 +2|e.e′| ≤ |e|2 + |e′|2 +2|e||e′| = (|e|+ |e′|)2,luego |e+ e′| ≤ |e|+ |e′|.

5. |e+ e′|2 = |e|2 + |e′|2 + 2e.e′ = |e|2 + |e′|2 ⇔ e · e′ = 0.

Vectores unitariosUn vector u ∈ E es unitario respecto de la metrica euclıdea si tiene modulo 1 o, lo que esequivalente, si u · u = 1.Unitarizar o normalizar un vector es convertirlo en otro de modulo 1. Dado un vector nonulo e ∈ E se pueden construir dos vectores unitarios u =

e

|e|y −u = − e

|e|.

Coseno del angulo determinado por dos vectores

De la desigualdad de Minkowsky se sigue que −1 ≤ e · e′

|e||e′|≤ 1 y las igualdades se dan si e y

e′ son vectores proporcionales con diferente o igual sentido respectivamente. Por tanto, tienesentido definir:

cos(e, e′) =e · e′

|e||e′|

2.2. Bases ortogonales. Bases ortonormales.Sea (E, T2) un espacio euclıdeo, esto es, un R-espacio vectorial E con una metrica euclıdeaT2.• Una base e1, . . . , en de E es ortogonal si sus vectores son ortogonales dos a dos, esto es,si ei · ej = 0 para i 6= j.• Una base e1, . . . , en de E es ortonormal si es ortogonal y de vectores unitarios.Es claro que dada una base ortogonal se construye una base ortonormal normalizando susvectores.

Proposicion 2.7. (Existencia de bases ortogonales) En todo espacio euclıdeo existen basesortogonales.

Demostracion. Por induccion sobre la dimension n del espacio euclıdeo E.Si n = 1 no hay nada que demostrar.Sea e un vector no nulo de E. Se tiene que E = 〈e〉⊕〈e〉⊥ y como 〈e〉⊥ es un espacio euclıdeocon la metrica restriccion y tiene dimension n−1, por hipotesis de induccion 〈e〉⊥ posee unabase ortogonal e1, . . . , en−1, luego e, e1, . . . , en−1 es una base ortogonal de E.

Ejemplo 2.8. En el espacio eucıdeo R3 se considera la base e1, e2, e3 dada por las condi-ciones

|e1| = |e2| = 2, |e3| = 1,∠(e1, e2) = ∠(e2, e3) = 600,∠(e1, e3) = 900

1. Calcula la matriz de la metrica euclıdea en esa base.2. Calcula una base ortogonal y la matriz de la metrica euclıdea respecto de ella.3. Calcula una base ortonormal.4. Calcula el plano que pasa por el origen y es perpendicular a la recta 〈e1 + e2 − e3〉

Solucion

1. Los productos escalares de los vectores de la base son

e1 · e1 = |e1|2 = 4, e3 · e3 = |e3|2 = 1

e1 · e2 = |e1||e2| cos(e1, e2) = 2, e1 · e3 = 0, e2 · e3 = |e2||e3| cos(e1, e2) = 1

y la matriz G =

4 2 02 4 10 1 1

.

2. Como los vectores e1 y e3 son ortogonales, basta calcular un vector v que genere elsubespacio ortogonal al plano 〈e1, e3〉.

La ecuacion del plano 〈e1, e3〉 es y = 0, luego su subespacio incidente esta generadopor la forma lineal de coordenadas (0, 1, 0) y por tanto su ortogonal, 〈e1, e3〉⊥ es la

recta 〈G−1

010

=

−1/41/2−1/2

〉.Ası podemos tomar como generador de esta recta el vector v = (1,−2, 2) y los

vectores e1, e3, v forman una base ortogonal, en la que la matriz de la metrica

euclıdea es

4 0 00 1 00 0 8

, pues e1 · e1 = 4, e3 · e3 = 1, v · v =(1 −2 2

)G

1−22

= 8.

3. Normalizando los vectores de la base ortogonal obtenemos una base ortonormal

e1|e1|

,e3|e3|

,v

|v| = 1

2e1, e3,

1√8v

4. El plano π que pasa por el origen y es perpendicular a la recta 〈e1 + e2 − e3〉 es〈e1 + e2 − e3〉⊥. Para cada e = (x, y, z) ∈ π se tiene que verificar:

(x y z

)G

11−1

= 0

es decir, la ecuacion de π es 6x+ 5y = 0.

2.3. Proyeccion ortogonal de un vector sobre otro. Ortonormalizacion de Gramm-Schmidt.Sean e, v ∈ E, el vector v′=vector proyeccion ortogonal de v sobre e esta definido por lascondiciones:

v′ = λe

(v − v′) · e = 0

⇒

v′ · e = λe · ev · e = v′ · e

⇒ λ =

v · ee · e

de las que se deduce que v′ =v · ee · e

e.

Ortonormalizacion de una base (Gramm-Schmidt)Ortonormalizaremos la base e1, . . . , en del espacio euclıdeo (E, T2), para ello construiremosprimero una base ortogonal v1, . . . , vn:• v1 = e1.• v2 es e2 menos la proyeccion ortogonal de e2 sobre v1:

v2 = e2 −e2 · v1

v1 · v1

v1

• Se construye v3 restando de e3 sus proyecciones ortogonales sobre los vectores anteriores,v1 y v2:

v3 = e3 −e3 · v1

v1 · v1

v1 −e3 · v2

v2 · v2

v2

• Procediendo de esta manera se obtiene:

vn = en −en · v1

v1 · v1

v1 − · · · −en · vn−1

vn−1 · vn−1

vn−1

La base ortonormalizada es v1

|v1|, . . . ,

vn|vn|

2.4. Distancia en el espacio euclıdeo.Se define la distancia entre dos vectores e, e′ ∈ E como el modulo del vector diferencia e−e′:

d(e, e′) = |e− e′|

La distancia tiene las siguientes propiedades, que se deducen de las del modulo:

1. d(e, e′) ≥ 0 y d(e, e′) = 0 si y solo si e = e′.2. d(e, e′) = d(e′, e)3. Desigualdad triangular d(e, e′′) ≤ d(e, e′) + d(e′, e′′)

Ejemplo 2.9. Calculemos la matriz del producto escalar euclıdeo de R3 en la base dada porlas condiciones:

|e1| = 2, |e2| = |e3| = 1, d(e1, e2) = 2 = d(e1, e3), d(e2, e3) =√

2

Se tiene:

4 = d(e1, e2)2 = |e1 − e2|2 = |e1|2 + |e2|2 − 2e1 · e2 ⇒ e1 · e2 = 1/2

4 = d(e1, e3)2 = |e1 − e3|2 = |e1|2 + |e3|2 − 2e1 · e3 ⇒ e1 · e3 = 1/2

2 = d(e2, e3)2 = |e2 − e3|2 = |e2|2 + |e3|2 − 2e2 · e3 ⇒ e2 · e3 = 0

Luego la matriz es G =

4 1/2 1/21/2 1 01/2 0 1

.

2.5. Subvariedades afines perpendiculares.Sea H una subvariedad afın de E, de vector de posicion e0 y subespacio director V

H = e0 + V

La subvariedad afın que pasa por el punto P y es perpendicular a H viene dada por:

H⊥P = OP + V ⊥

Como V ⊕ V ⊥ = E, las subvariedades H y H⊥P se cortan en un punto Q, H ∩H⊥P = Q. Elpunto Q se llama proyeccion ortogonal de P sobre H.

Distancia de un punto P a una subavariedad afın H:

d(P,H) = d(P,Q) = |PQ| , siendo Q la proyeccion ortogonal de P sobre H.

Ejemplo 2.10. Respecto de la base del ejemplo anterior , calcular la distancia del puntoP = (1, 1, 1) a la recta r ≡ x+ 1 = −y = z.

La subvariedad afın que pasa por P y es ortogonal a la recta r es el plano π =OP + 〈ω〉⊥, donde ω = Ge, siendo e = (1,−1, 1) un vector director de r.

Ge =

4 1/2 1/21/2 1 01/2 0 1

1−11

=

4−1/23/2

π ≡ 8x− y + 6z = 10

Calculamos Q = r ∩ π.

Q ∈ r ⇒ Q = (−1 + λ,−λ, λ)

Q ∈ π ⇒ 8(−1 + λ) + λ+ 3λ = 10⇒ λ =3

2

Q = (1

2,−3

2,3

2)

d(P, r) = d(P,Q) = |PQ| = |(−1/2,−5/2, 1/2)| =√

134

4

|PQ|2 = |(−1/2,−5/2, 1/2)|2 =(−1/2 −5/2 1/2

)G

−1/2−5/21/2

=67

8

3. Problemas propuestos

1. Determina la ecuacion del plano que pasa por el punto (2,−3,−4) y es perpendicular a

la rectax− 7

1=y + 2

3=z − 3

−4.

2. Halla la ecuacion de la recta que pasa por el punto (4, 4, 1) y corta perpendicularmente a

la rectax− 7

3=y + 2

1=z − 3

−2.

3. Determina la ecuacion del plano que pasa por el punto (2,−3,−4) y es perpendicular alos planos π1 : x+ 2y − z = 0, π2 : 7x− 2y + z = 0.

4. Halla el simetrico del punto (1, 2, 3) respecto de la rectax− 1

−1=y − 2

2=z

1.

5. En una referencia ortonormal del espacio euclıdeo la recta r y el plano π tienen comoecuaciones:

r ≡ x = 1 + 2λ, y = 2− λ, z = 3− λ ; π ≡ 4x+ y + z − 9 = 0

Calcula las ecuaciones de la proyeccion ortogonal de r sobre π.

6. Calcula el angulo formado por la recta r ≡ x− 1

2=y − 2

2=z − 3

5y el plano

π ≡ 2x+ y − 2z = 5.

7. Halla la distancia del plano 2x+ y − z = 3 al plano 4x+ 2y − 2z = 7.

8. Halla la distancia entre las rectas r ≡ x− 1

2=y − 2

3=z − 1

4y s ≡ x = y = z − 1.

9. Halla la distancia de la rectax− 1

1=y − 2

2=z − 3

−3al plano x+ y + z = 1.

10. En el espacio euclıdeo de dimension 4, las ecuaciones de los planos π y π′ son:

π ≡

y − z − t = 0

x+ 2y − 2z = 0; π′ ≡

x+ y − z + t = 1

2x+ y − 2z − 3t = 0

Estudia su posicion relativa y calcula la distancia que los separa.

11. Halla los puntos del eje OY que equidistan de los planos π ≡ 2x + 3y + 6z = 0 yπ′ ≡ 8x+ 9y − 72z = −73.

12. Calcula el lugar geometrico de los puntos que equidistan del punto (2, 1, 3) y del planox+ y + z = 3.

13. En un plano euclıdeo se da una base con las condiciones siguientes

|e1| = 1, |e2| = 2, ∠(e1, e2) = 60o

Calcula las ecuaciones de las bisectrices de las rectas 3x+ 2y = 0, x− y = 0.

14. En un plano euclıdeo se da una base e1, e2 con las condiciones |e1| = 2, |e2| =√

2,∠(e1, e2) = 45o. Calcula la ecuacion de la circunferencia de radio unidad y centro el puntoP = 2e1 + e2.

15. En el espacio euclıdeo tridimensional se considera una base e1, e2, e3 definida por lassiguientes condiciones:

|e1| = |e2| = |e3| = 1, ∠(e1, e2) = 60o, ∠(e1, e3) = ∠(e2, e3) = 90o

Calcula las coordenadas del punto simetrico del punto (1, 2, 3) respecto de la recta

r ≡ x− 1

−1=y − 2

2=z

1.

16. Sea e1, e2, e3 la base del espacio euclıdeo definida por las condiciones

|e1| = 1 ; |e2| = 2 ; |e3| = 3 ; ∠(e1, e2) =π

3; ∠(e1, e3) =

π

2; ∠(e2, e3) =

π

3Sean P1, P2, P3 los puntos de coordenadas P1 = (1, 0, 1), P2 = (0, 1, 1), P3 = (1, 1, 0) en labase anterior.

1. Calcula las ecuaciones implıcitas de los planos π1, π2, π3, donde πi es el plano quepasa por Pi y es perpendicular a la recta que une los otros dos puntos.

2. Demuestra que la interseccion de los tres planos anteriores es una recta perpendicularal plano que pasa por los puntos P1, P2, P3.

17. Se considera una referencia unitaria e1, e2, e3 del espacio euclıdeo, que verifica lascondiciones ∠(e1, e2) = 60o , ∠(e1, e3) = ∠(e2, e3) = 90o. Calcula la distancia entre elpunto 7e1 + 2e2 + 4e3 y la recta que pasa por los puntos 2e1 − 3e2 − e3, 2e1 + 3e3.

18. Respecto de la referencia anterior, se consideran dos rectas de ecuaciones:

r ≡ x− 1

2=

y

−1=z − 1

1; s ≡ x− 2

−1=y − 3

3=

z

−2

Calcula la ecuacion de la perpendicular comun.

19. Dado el espacio vectorial euclıdeo R3 con su metrica habitual, ortonormaliza la basee1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1), e3 = (0, 1, 1).

20. En el espacio euclıdeo R3 ortonormaliza la base e1, e2, e3 definida por

|e1| = 1, |e2| = 2, |e3| =√

2, ∠(e1, e2) = 90o, ∠(e1, e3) = 45o, ∠(e2, e3) = 60o

Clasificación de endomorfismos 1Gloria Serrano Sotelo

Polinomio anulador y polinomio característico de un endomorfismo T e EndkE

Teorema de Caley-Hamilton. El polinomio característico es un múltiplo del polinomio anulador.Si el polinomio característico es cTHxL = Hx - l1L

n1.Hx - l2Ln2.......Hx - lrLnr,

su polinomio anulador es mTHxL = Hx - l1Lm1.Hx - l2L

m2.......Hx - lrLmr, con mi § ni ; mi son las mínimas potencias paralas que la dimensión del núcleo de HT - liL

mi coincide con la dimensión del núcleo de HT - liLmi+1.

Primer teorema de descomposición para endomorfismos. Si mTHxL = p1HxLm1.p2HxLm2.......prHxLmr es la descomposiciónen factores primos del polinomio anulador, el espacio E descompone en suma directa de subespacios invariantes:E=ker p1HTLm1⊕ker p2HTLm2⊕....⊕ker prHTLmr, siendo piHxLmi el anulador de ker piHTLmi y dimkker piHTLmi¥gradopiHxLmi. Criterio de diagonalización por el polinomio anulador. El endomorfismo T es diagonalizable si y sólo si su polinomioanulador descompone en producto de factores lineales diferentes.

Ejercicios

1. Demuestra que todo endomorfismo T de un espacio vectorial E que cumpla la condición T3 - 4 T2+ T + 6I =0 es diagonal-izable sobre R. ¿Cuál es su polinomio anulador? ¿Puedes calcular su polinomio característico?

2. Sea T un endomorfismo de E tal que T3 - 8 I = 0. Sabiendo que T no es una homotecia, estudia su diagonalización sobreR y sobre C.¿Cuál es su polinomio anulador en cada caso? Si dimRE=4, ¿cuál es su polinomio característico?

3. Averigua si son diagonalizables los siguientes endomorfismos de R3 . Calcula sus polinomios característico y anulador yaplica el primer teorema de descomposición.

A=1 1 -20 -1 10 0 3

; B=-3 0 02 1 0-1 1 1

; C=3 0 -20 1 02 0 -1

4. Sea T un endomorfismo de R4con polinomio anulador mTHxL = Hx - 1L2(x+3) y con dos vectores propios de valor propio-3 linealmente independientes. ¿Cuál es su polinomio característico? ¿Es diagonalizable? ¿Cuántos vectores propios de valorpropio 1 hay linealmente independientes?

5. Demuestra que cualquier endomorfismo idempotente, T2=I, es diagonalizable. Calcula sus valores propios y su polinomioanulador.

6. Demuestra que 0 es el único valor propio de un endomorfismo nilpotente, Tm=0 para algún m. ¿Cuál es su polinomioanulador? ¿Y su polinomio característico? ¿Existe algún endomorfismo nilpotente que sea diagonalizable?

7. Calcula el polinomio característico y el polinomio anulador del endomorfismo de matriz A=

11 -13 0 09 -11 0 00 0 4 -80 0 4 -8

.

¿Es diagonalizable?

8. Sea T un endomorfismo de R3 con dos valores propios diferentes y dos vectores propios linealmente independientes devalor propio 3 y tal que |A|= -45 siendo A la matriz de T en una cierta base. Calcula el otro valor propio, el polinomiocaracterístico y el polinomio anulador de T. ¿Es diagonalizable?

Diagonalización de endomorfismos

Sea E un k-espacio vectorial de dimensión finita y T un endomorfismo de E.Un vector no nulo e de E es un vector propio de valor propio ΛΕk si T(e)=Λe. Si Λ es un valor propio Ker(T-ΛI) es un subespacio de E no nulo, el subespacio de los vectores propios de valorpropio Λ.

T es diagonalizable si existe una base de E en la que la matriz de T tiene forma diagonal, es decir, si existe una base devectores propios.

Polinomio caracterí stico cTHxL = detHxI - AL, siendo A la matriz de T respecto de cualquier base de E.Los valores propios de T coinciden con las raí ces de su polinomio caracterí stico.

Criterio de diagonalización por el polinomio caracterí stico. El endomorfismo T es diagonalizable si y sólo si su

polinomio caracterí stico descompone, sobre k, en la forma cTHxL = Hx - Λ1Ln1.Hx - Λ2Ln2 ... ..Hx - ΛrLnr, con todos los Λi

diferentes y dim Ker(T- Λi IL = ni para i=1,....,n.

Ejercicios

1 . Averigua si la matriz A =

1 2 1

5 4 1

0 0 1es diagonalizable y en caso afirmativo calcula su forma diagonal y una base de diagonalización.

2. Averigua si el endomorfismo T de R3 cuya matriz asociada

en la base 8e1, e2, e3 < es

1 4 -12

0 3 -9

0 1 -3es diagonalizable. En cualquier caso,

calcula sus valores propios y los subespacios de vectores propios asociados.

3. Estudiar la diagonalización del endomorfismo T cuyas ecuaciones son :

-x - 2 y + 3 z + 2 t = x '

y + t = y '

-2 x - 2 y + 4 z + 2 t = z '

2 t = t '

4. Sea T el endomorfismo de R3 definido por T(x,y,z) = (x-3 y+3 z, 3 x-5 y+3 z, 6 x-6 y+4 z). Averigua si es diagonaliz-

able y en caso afirmativo calcula su forma diagonal y una base de diagonalización.

5. Calcula los valores propios y los subespacios de vectores propios asociados a las matrices

3 0 0

2 1 0

4 -4 3 y

1 0 2

-1 1 3

0 1 1.

Averigua si son diagonalizables y calcula su forma canónica.

6. Estudiar la diagonalización del endomorfismo de matriz asociada -3 1 -2

-4 1 -4

1 0 1

sobre el cuerpo real y sobre el cuerpo

complejo.

7. Comprueba que la aplicación lineal dada por f(x, y, z)=(5x-4z, 3y, 2x-z) es diagonalizable. Calcula su forma diagonal y

una base de diagonalización.

7. Comprueba que la aplicación lineal dada por f(x, y, z)=(5x-4z, 3y, 2x-z) es diagonalizable. Calcula su forma diagonal y

una base de diagonalización.

8. Estudiar según los valores del pará metro Α la diagonalización de la matriz Α + 3 1

Α2 - 10 Α + 1 sobre el cuerpo real.

9. Demuestra que el endomorfismo de R4 de ecuaciones: x+y+z+t=x' , x+y-z-t=y' , x-y+z-t=z' , x-y-z+t=t', es diagonaliz-

able. Calcula los subespacios de vectores propios, la forma diagonal y una base de diagonalización.

10. Estudia la diagonalización sobre el cuerpo racional y sobre el cuerpo real del endomorfismo

1 0 1 0

0 0 2 1

1 2 0 0

0 1 0 1

11. Sea T el endomorfismo de R3 cuya matriz en una base ( e1, e2, e3) es

Α -2 Α - 3 2 Α + 3

0 -2 Α 3 Α

0 -2 Α - 3 3 Α + 3. Estudiar la diagonal-

ización de T para los diferentes valores de Α y calcular una base de diagonalización para Α=1.

2 ProblemasDiagonal.nb

Algebra lineal y Geometrıa IIDaniel Hernandez SerranoDarıo Sanchez GomezDepartamento de MATEMATICAS

SEMINARIO I.

1. Clasificacion de Endomorfismos.

1.1. Anulador y diagonalizacion.1. Calcular el polinomio caracterıstico y anulador de las siguientes matrices:a 0 0

0 a 00 0 a

,

a 0 01 a 00 0 a

,

a 0 01 a 00 1 a

.

2. Sea e1, e2, e3 una base de R3 y T el endomorfismo de R3 cuya matriz en esta base es:1 4 −120 3 −90 1 −3

.

Calcular el polinomio caracterıstico y el anulador. Estudiar la diagonalizacion de T .3. Calcular el polinomio anulador y estudiar la diagonalizacion del endomorfismo T cuyas ecuaciones

son:x′ = x+ t , y′ = y , z′ = z − t , t′ = 3z + 5t .

4. Estudiar en funcion de los distintos valores del parametro a la diagonalizacion de la matriz:

A =

a+ 1 0 2a1 a 2a−1/2 0 0

Para los valores de a en los que diagonaliza, calcular una base de diagonalizacion.

5. Sea M2×2(k) el espacio vectorial de la matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes en k. Estudiarla diagonalizacion del endomorfismo:

TA : M2×2(k)→M2×2(k)B 7→ A ·B

donde A =(

1 10 a

)y a ∈ k.

6. Demostrar que para todo endomorfismo de C2 de determinante 1 y traza distinta de ±2 existe

una base en la que su matriz es(λ 00 1/λ

).

1

2 Algebra Lineal y Geometrıa II. Grado en Fısicas. Curso 2010/11. D. Hernandez Serrano, D. Sanchez Gomez

ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO I.

4. Estudiar en funcion de los distintos valores del parametro a la diagonalizacion de la matriz:

A =

a+ 1 0 2a1 a 2a−1/2 0 0

Para los valores de a en los que diagonaliza, calcular una base de diagonalizacion.

Solucion: Calculemos el polinomio caracterıstico cA(x) de A.

cA(x) = |xId−A| =

∣∣∣∣∣∣x− (a+ 1) 0 −2a−1 x− a −2a1/2 0 x

∣∣∣∣∣∣ = (x− a)2(x− 1) .

Los valores propios de A seran x = a (dos veces) y x = 1. Calculemos los subespacios de vectorespropios correspondientes.

Ker(T − Id) =

(x, y, z) :

a 0 2a1 a− 1 2a−1/2 0 −1

xyz

=

000

=

−x/2 = z

(1− a)(x− y) = 0

Ker(T − aId) =

(x, y, z) :

1 0 2a1 0 2a−1/2 0 −a

xyz

=

000

= x+ 2az = 0

= 〈(−2a, 0, 1), (0, 1, 0)〉

Distinguimos dos casos:1) a 6= 1, entonces

Ker(T − Id) =z = −x/2y = x

= 〈(2, 2,−1)〉Ker(T − aId) = 〈(−2a, 0, 1), (0, 1, 0)〉

2) a = 1, solo hay un valor propio x = 1 y

Ker(T − Id) = 〈(−2, 0, 1), (0, 1, 0)〉

Teniendo en cuenta el criterio de diagonalizacion por el polinomio caracterıstico se tiene que Adiagonaliza cuando a 6= 1. En ese caso una base de diagonalizacion viene dada por

(2, 2,−1), (−2a, 0, 1), (0, 1, 0) .

5. Sea M2×2(k) el espacio vectorial de la matrices cuadradas de orden 2 con coeficientes en k. Estudiarla diagonalizacion del endomorfismo:

TA : M2×2(k)→M2×2(k)B 7→ A ·B

donde A =(

1 10 a

)y a ∈ k.

Algebra Lineal y Geometrıa II. Grado en Fısicas. Curso 2010/11. D. Hernandez Serrano, D. Sanchez Gomez 3

Solucion: La matriz asociada a TA respecto de la base(1 0

0 0

),

(0 10 0

),

(0 01 0

),

(0 00 1

)

es TA =

1 0 1 00 1 0 10 0 a 00 0 0 a

. Calculemos su polinomio caracterıstico

cTA(x) = |xId− TA| =

∣∣∣∣∣∣∣∣x− 1 0 −1 0

0 x− 1 0 −10 0 x− a 00 0 0 x− a

∣∣∣∣∣∣∣∣ = (x− 1)2(x− a)2.

Los valores propios son x = 1 (dos veces) y x = a (dos veces). Calculando los subespacios devectores propios asociados a estos valores propios tenemos:

Ker(TA − Id) =

(x, y, z, t) :

0 0 1 00 0 0 10 0 a− 1 00 0 0 a− 1

xyzt

=

0000

=z = 0t = 0

=〈(

1 00 0

),

(0 10 0

)〉.

Ker(TA − aId) =

(x, y, z, t) :

1− a 0 1 0

0 1− a 0 10 0 0 00 0 0 0

xyzt

=

0000

=

(1− a)x+ z = 0

(1− a)y + t = 0

=〈(

1 0a− 1 0

),

(0 10 a− 1

)〉.

En consecuencia si a 6= 1 el endomorfismo TA diagonaliza en la base

(

1 00 0

),

(0 10 0

),

(1 0

a− 1 0

),

(0 10 a− 1

)

y la matriz respecto de dicha base es

1

1a

a

.

6. Demostrar que para todo endomorfismo de C2 de determinante 1 y traza distinta de ±2 existe

una base en la que su matriz es(λ 00 1/λ

).

Solucion: Hay que demostrar que existe una base de C2 en la que T diagonaliza, siendo susvalores propios uno inverso del otro y distintos. Como C es algebraicamente cerrado el polinomiocaracterıstico de T es de la forma cT (x) = (x− z1)(x− z2) con z1, z2 ∈ C. Ya que el determinantede T es 1 se tiene que z2 = 1/z1. Si z1 = z2, se sigue que z2

1 = 1, luego z1 = ±1 lo que contradiceque la traza sea distinta de ±2. Por lo tanto z1 6= z2, es decir T tiene dos valores propios distintos,siendo ademas uno inverso del otro. Existe entonces una base respecto de la cual T diagonalizasiendo la matriz asociada como la del enunciado.


SEMINARIO II.

1.2. Clasificacion, bases de Jordan y aplicaciones.7. Clasificar sobre R el endomorfismo T : E → E definido por las ecuaciones:

x′ = 2x , y′ = x+ 2y , z′ = y + z ,

y dar una base de diagonalizacion o de Jordan segun sea el caso.8. Clasificar sobre R el endomorfismo cuya matriz en cierta base es: 9 18 18

−6 −12 −9−2 −3 −6

.

Dar una base de diagonalizacion o de Jordan segun sea el caso.9. Sea T el endomorfismo de R3 cuya matriz en cierta base es:

A =

4 −1 01 2 0−2 2 5

.

Clasificar el endomorfismo T y calcular explıcitamente una base de diagonalizacion o de Jordansegun sea el caso.Calcular A125.

10. Sea e1, e2, e3 una base de R3 y T el endomorfismo de R3 definido por:

T (e1) = e1 − e2 , T (e2) = e1 + 3e2 , T (e3) = e2 + 2e3 .

Clasificar el endomorfismo T y calcular explıcitamente una base de diagonalizacion o de Jordansegun sea el caso.Calcular T 30.


T (e1) = 3e1 , T (e2) = 2e2 − e1 , T (e3) = e2 + 2e3 .

Clasificar el endomorfismo T y calcular explıcitamente una base de diagonalizacion o de Jordansegun sea el caso.Calcular la exponencial de la matriz asociada a T .

12. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:dx

dt= x+ z

dy

dt= −x+ 2y + 2z

dz

dt= z

13. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:dx

dt= 2x+ y

dy

dt= −x+ 4y + z

dz

dt= 3z

4


ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO II.

9. Sea T el endomorfismo de R3 cuya matriz en cierta base es:

A =

4 −1 01 2 0−2 2 5

.

• Clasificar el endomorfismo T y calcular explıcitamente una base de diagonalizacion o de Jordansegun sea el caso.

• Calcular A125.

Solucion:• Calculamos el polinomio caracterıstico de A, cA(x) = |xId − A| = (x − 5)(x − 3)2. Ademas

tenemos

Ker(A− 3Id) =

(x, y, z) :

1 −1 01 −1 0−2 2 2

xyz

=

000

=x = y

z = 0

= 〈(1, 1, 0)〉

Ker(A− 3Id)2 =

(x, y, z) :

0 0 00 0 0−4 4 4

xyz

=

000

= −x+ y + z = 0

= 〈(1, 1, 0), (1, 0, 1)〉

Ker(A− 5Id) =

(x, y, z) :

−1 −1 01 −3 0−2 2 0

xyz

=

000

=x = 0y = 0

= 〈(0, 0, 1)〉

Como dimKer(A−3Id) 6= 2 la matriz no diagonaliza, luego el polinomio anulador es mA(x) =(x− 5)(x− 3)2 y R3 ' R[x]/(x− 5)⊕ R[x]/(x− 3)2.

La matriz de Jordan es J =

31 3

5

, en la base e, (A− 3)e, e′ siendo e ∈ Ker(A− 3)2

pero e 6∈ Ker(A − 3) y e′ ∈ Ker(A − 5). Tomando e′ = (0, 0, 1) y e = (1, 0, 1) la matriz de

cambio de base es B =

1 1 00 1 01 0 1

y A = B · J ·B−1.

• Como A125 = B · J125 · B−1, bastara calcular J125. Para ello descomponemos J en suma deuna matriz diagonal D y una nilpotente N que conmutan (es decir ND = DN). J = D+N =

6 Algebra Lineal y Geometrıa II. Grado en Fısicas. Curso 2010/11. D. Hernandez Serrano, D. Sanchez Gomez33

5

+

01 0

0

, con N2 = 0. Entonces

J125 = (D +N)125 =(

1250

)D125 +

(1251

)D124 ·N = D125 + 125D124 ·N

=

3125

3125

5125

+ 125

03124 0

0

=

3125

125 · 3124 3125

3125


T (e1) = 3e1 , T (e2) = 2e2 − e1 , T (e3) = e2 + 2e3 .

• Clasificar el endomorfismo T y calcular explıcitamente una base de diagonalizacion o de Jordansegun sea el caso.

• Calcular la exponencial de la matriz asociada a T .

Solucion: La matriz asociada a T respecto de la base e1, e2, e3 es T =

3 −1 00 2 10 0 2

.

Entonces el polinomio caracterıstico es cT (x) =

∣∣∣∣∣∣x− 3 1 0

0 x− 2 −10 0 x− 2

∣∣∣∣∣∣ = (x−2)2(x−3). Calculamos

los respectivos subespacios de vectores propios.

• Ker(T − 2) =

(x, y, z) :

1 −1 00 0 10 0 0

xyz

=

000

=x− y = 0

z = 0

= 〈(1, 1, 0)〉.

• Ker(T − 3) =

(x, y, z) :

0 −1 00 −1 10 0 −1

xyz

=

000

= −y = 0−y + z = 0

= 〈(1, 0, 0)〉.

Luego no diagonaliza, y en consecuencia mT (x) = (x− 2)2(x− 3). Ademas se tiene queR3 ' R[x]/(x− 2)2 ⊕ R[x]/(x− 3).Una base de Jordan sera e, (T − 2)e, e′ siendo e ∈ Ker(T − 2)2 pero e /∈ Ker(T − 2) y

e′ ∈ Ker(T − 3).Necesitamos calcular el siguiente nucleo:

• Ker(T−2)2 =

(x, y, z) :

1 −1 −10 0 00 0 0

xyz

=

000

= x− y − z = 0 = 〈(1, 1, 0), (1, 0, 1)〉.

Tomando e = (1, 0, 1) se tiene que una base de Jordan es: (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0). En dichabase la matriz de Jordan asociada el endomorfismo T es

J =

21 2

3

Para calcular eA tenemos en cuenta que A = BJB−1 siendo B

1 1 10 1 01 0 0

la matrix de cambio

de base. Usando el desarrollo en serie de la exponencial se tiene que eA = B · eJ · B−1. Ası bastacalcular eJ y para hacer esto escribimos J como suma de una matriz diagonal D y una nilpotenteN , con (N2 = 0), tales que ND = DN

J =

21 2

3

=

22

3

+

01 0

0

.


Teniendo en cuenta el desarrollo en serie de la exponencial se tiene que

eJ = eDeN = eD(Id+N) =

e2

e2

e3

+

11 1

1

=

e2

e2 e2

e3

.

13. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

dx

dt= 2x+ y

dy

dt= −x+ 4y + z

dz

dt= 3z

Solucion: Matricialmente el sistema puede expresarse de la forma X ′(t) = A ·X(t) siendo

A =

2 1 0−1 4 10 0 3

, X(t) =

xyz

y X ′(t) =

dxdtdydtdzdt

.

Ya que la solucion del sistema es X(t) = eAt

λ1

λ2

λ3

, siendo λi constantes, tenemos que calcular

eA. Para hacer esto usamos la matriz de Jordan correspondiente a A.Lo primero que necesitamos conocer es el polinomio caracterıstico de A. Calculando resulta que

dicho polinomio es cA(x) = |xId−A| = (x− 3)3. Como

Ker(A− 3Id) =

(x, y, z) :

−1 1 0−1 1 10 0 0

xyz

=

000

=x = y

z = 0

= 〈(1, 1, 0)〉

Ker(A− 3Id)2 =

(x, y, z) :

0 0 10 0 10 0 0

xyz

=

000

= z = 0

= 〈(1, 0, 0), (0, 1, 0)〉

Ker(A− 3Id)3 =

(x, y, z) :

0 0 00 0 00 0 0

xyz

=

000

= 〈(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)〉 ' R3

el polinomio anulador es mA(x) = (x− 3)3 y R3 ' R[x]/(x− 3)3.Una base de Jordan sera de la forma e, (A−3Id)e, (A−3Id)2e siendo e = (x, y, z) ∈ Ker(A−

3Id)3 pero e /∈ Ker(A− 3Id)2. Podemos tomar por ejemplo e = (0, 0, 1). Respecto de dicha base

la matriz de Jordan correspondiente a A es J =

3 0 01 3 00 1 3

. Esto es A = B · J · B−1, siendo

B =

0 0 10 1 11 0 0

la matriz de cambio de base asociada a la base de Jordan.


Poniendo J = D + N con D =

33

3

diagonal, N =

01 0

1 0

nilpotente (N3 = 0)

tales que DN = ND, y usando el desarrollo en serie de la exponencial, se obtiene que

eJt =

e3t

e3t

e3t

(Id+Nt+N2 t2

2) =

e3t

e3t

e3t

1t 1t2

2 t 1

.

Luego eAt = B

e3t

te3t e3t

t2

2 e3t te3t e3t

B−1.

La solucion general del sistema sera:xyz

= B

e3t

te3t e3t

t2

2 e3t te3t e3t

B−1

λ1

λ2

λ3

= B

e3t

te3t e3t

t2

2 e3t te3t e3t

α1

α2

α3

, ( siendo αi constantes ).

Operando se obtiene:

x = e3t(t2

2α1 + tα2 + α3)

y = e3t(t2

2α1 + t(α1 + α2) + (α2 + α3))

z = e3tα1


SEMINARIO III.

2. Geometrıa Euclıdea

2.1. Problemas de Geometrıa Euclıdea.14. Demuestra que la aplicacion:

C× C T2−→ R(z, z′) 7→ Im(z · z′) = parte imaginaria de z · z′

define una metrica simetrica sobre el R-espacio vectorial de los numeros complejos C = 〈1, i〉 ycalcula su matriz asociada en la base 〈1, i〉. ¿Es euclıdea?

15. Demuestra que la aplicacion:

R3 × R3 → R((x, y, z), (x′, y′, z′)) 7→ xx′ + yy′ + 3zz′ − 2xz′ − 2zx′

define una metrica, calcula su matriz asociada en la base canonica y comprueba que es simetrica.16. Sea:

G =

0 1 01 0 00 0 1

la matriz de una metrica T2.

a) Comprobar que es simetrica e irreducible.b) Calcular el subespacio ortogonal a V = 〈(1, 1, 2), (1, 0, 1)〉. ¿Son sumplementarios V y V ⊥?c) Calcular el subespacio ortogonal al plano π de ecuacion y = 0. ¿Son sumplementarios π y π⊥?

17. En el espacio euclıdeo R3 con la metrica habitual calcula los angulos que forma la recta:x− 1

2=y − 2

2=z − 3

5con los ejes coordenados.

18. En el espacio euclıdeo R3 calcula la matriz de la metrica euclıdea en la base e1, e2, e3 definidapor:

|e1| = 1, |e2| = 2, |e3| =√

2, ∠(e1, e2) = 90o, ∠(e1, e3) = 45o, ∠(e2, e3) = 60o

Dados los vectores e = 2e1 − 3e2 y e′ = e1 + e2 − e3 calcula su producto escalar e · e′ y el anguloque determinan.

19. En un plano euclıdeo se da una base con las condiciones siguientes:

|e1| = 1, |e2| = 2, ∠(e1, e2) = 60o

Calcula la matriz de la metrica en esta base y el angulo que determinan las rectas de ecuaciones3x+ 2y = 0, x− y = 0, siendo x, y las coordenadas en esa base.

20. En el espacio euclıdeo tridimensional se considera el sistema de referencia de base e1, e2, e3 dadapor las condiciones:

|e1| = |e2| = |e3| = 1, ∠(e1, e2) = 60o, ∠(e1, e3) = ∠(e2, e3) = 90o

Calcula la distancia entre los puntos P y Q de coordenadas en este sistema de referencia P =(1, 1, 0) y Q = (−2, 3, 1).

21. En un plano euclıdeo se da una base e1, e2 con las condiciones |e1| = 2, |e2| =√

2, ∠(e1, e2) = 45o.Calcula la ecuacion de la circunferencia de radio unidad y centro el punto P = 2e1 + e2.

22. En el espacio euclıdeo R3 con la metrica habitual, hallar la ecuacion de la recta que pasa por elpunto (1, 1, 1) y corta perpendicularmente a la recta x−1

1 = y2 = z−1

1 .9


ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO III.14. Demuestra que la aplicacion:

C× C T2−→ R(z, z′) 7→ Im(z · z′) = parte imaginaria de z · z′

define una metrica simetrica sobre el R-espacio vectorial de los numeros complejos C = 〈1, i〉 ycalcula su matriz asociada en la base 〈1, i〉. ¿Es euclıdea?

Solucion:La aplicacion T2 define una metrica si es bilineal, es decir si es lineal en cada uno de sus factores.

VeamosloT2(z1 + z2, z

′) = Im((z1 + z2) · z′) = Im(z1 · z′ + z2 · z′) =

= Im(z1 · z′) + Im(z2 · z′)= T2(z1, z

′) + T2(z2, z′)

T2(λz, z′) = Im((λz) · z′) = Im(λ(z · z′)) = λIm(z · z′)= λT2(z, z′)

Luego es lineal en el primer factor. Por otro lado como z · z′ = z′ · z se tiene la simetrıa T2(z, z′) =T2(z′, z), de donde se sigue que T2 es lineal en el segundo factor. Por tanto T2 define una metricasimetrica.

Para calcular la matriz asociada a T2 respecto de la base 1, i calculamos el valor de la metricasobre los vectores de la base, es decir:

T2(1, 1) = Im(1) = 0, T2(1, i) = T2(i, 1) = Im(i) = 1 y T2(i, i) = Im(i2) = 0.

Luego la matriz de T2 respecto de la base 1, i es T2 =(

0 11 0

).

En particular para todo vector e ∈ C tenemos que T2(e, e) = 2xy siendo x, y ∈ R las coordenadasde e respecto de la base 1, i, es decir e = x+ iy. Tomando por ejemplo x = 1 e y = −1 se tieneque T2(1− i, 1− i) = −2 < 0, luego la metrica T2 no es definida positiva y en consecuencia no eseuclıdea.

16. Sea:

G =

0 1 01 0 00 0 1

la matriz de una metrica T2.

a) Comprobar que es simetrica e irreducible.b) Calcular el subespacio ortogonal a V = 〈(1, 1, 2), (1, 0, 1)〉. ¿Son sumplementarios V y V ⊥?c) Calcular el subespacio ortogonal al plano π de ecuacion y = 0. ¿Son sumplementarios π y π⊥?

Solucion:a) La metrica es simetrica ya que G = Gt y es irreducible porque detG = −1 6= 0.b) Por definicion V ⊥ = (x, y, z) ∈ R3 : T2((x, y, z), (1, 1, 2)) = 0 y T2((x, y, z), (1, 0, 1)) = 0.

Operando se obtienen las ecuaciones implıcitas de V ⊥:

V ⊥ ≡x+ y + 2z = 0

y + z = 0

Como T2 es irreducible, los subespacios V y V ⊥ estan en suma directa si la restriccion de T2

a V tambien es irreducible. Calculamos entonces la restriccion de la metrica al subespacio V .Para ello hay que calcular el valor de la metrica sobre los vectores de una base de V . Denotandoe = (1, 1, 2) y e′ = (1, 0, 1) se tiene que:

T2(e, e) = (1, 1, 2)

0 1 01 0 00 0 1

112

= 6,

T2(e, e′) = (1, 1, 2)

0 1 01 0 00 0 1

101

= 3,


T2(e′, e) = T2(e, e′) = 3, por ser simetrica,

T2(e′, e′) = (1, 0, 1)

0 1 01 0 00 0 1

101

= 2.

Ası la restriccion de T2 a V tiene por matriz, respecto de la base e, e′,

T2|V =(

6 33 2

)cuyo determinante es distinto de 0. Como consecuencia tenemos que V ∩ V ⊥ =Rad T2|V = 0,luego V y V ⊥ estan en suma directa.

c) Como una base de π ≡ y = 0 es (1, 0, 0), (0, 0, 1) razonando como en el apartado anteriorobtenemos que π⊥ = y = 0, z = 0, siendo una base (1, 0, 0). En particular π y π⊥ no sonsubespacios suplementarios ya que π⊥ ⊂ π.

22. En el espacio euclıdeo hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (1, 1, 1) y corta perpen-dicularmente a la recta x−1

1 = y2 = z−1

1 .

Solucion: De las ecuaciones implıcitas de r se tiene que sus ecuaciones parametricas son:

r ≡

x = 1 + λ

y = 2λz = 1 + λ

Por tanto un vector de posicion de r es e0 = (1, 0, 1) y el subespacio director es Er = 〈(1, 2, 1)〉.La recta que corta perpendicularmente a r y pasa por el punto (1, 1, 1) esta contenida en el

plano ortogonal a r que pasa por dicho punto. Si denotamos por π a dicho plano se verifica queπ = (1, 1, 1) + E⊥r , siendo E⊥r el subespacio de R3 ortogonal a Er. Como no se indica ninguna

metrica se entiende que la ortogonalidad es respecto de la metrica estandar

1 0 00 1 00 0 1

. Luego

E⊥r = x+ 2y + z = 0 y, en consecuencia, el plano π tiene por ecuacion π ≡ x+ 2y + z − 4 = 0.La recta pedida sera aquella que pasa por el punto (1, 1, 1) y el punto r ∩ π. Para calcular r ∩ πdebemos resolver el sistema de ecuaciones lineales:

x = 1 + λ

y = 2λz = 1 + λ

0 = x+ 2y + z − 4

Sustituyendo se tiene que 6λ− 2 = 0, de donde se sigue que r ∩ π = (43,

23,

43

).

Finalmente la recta buscada sera s ≡ (1, 1, 1) + 〈(1,−1, 1)〉, cuyas ecuaciones implıcitas son

s ≡x+ y − 2 = 0y + z − 2 = 0


SEMINARIO IV.

2.2. Cambios de base y bases ortonormales.23. Sea e1, e2 una base del k-espacio vectorial E y T2 la metrica cuya matriz asociada en dicha base

es(

1 23 −1

). Calcular la matriz de T2 en la base e′1 = 3e1 + 2e2, e′2 = e1 + e2.

24. En R2 se define un producto escalar euclıdeo T2 cuya matriz asociada en la base e1, e2 es:(2 11 2

)a) Calcula |e1|, |e2| y el angulo que determinan e1 y e2.b) Calcula la matriz asociada a T2 en la base e1 = e1 +e2, e2 = e1−e2. ¿Es esta base ortogonal?

¿Y ortonormal?25. Sea E un R-espacio vectorial de dimension 3, se considera una metrica euclıdea en E cuya matriz

asociada en la base e1, e2, e3 es: 1 0 00 1 00 0 3

a) Calcula la restriccion de esta metrica al subespacio E de E generado por los vectores e1 =

e1 + e2, e2 = e3.b) Calcula una base ortonormal de E.

26. En el espacio euclıdeo R3 se define una metrica euclıdea cuya matriz asociada en la base e1, e2, e3es: 4 1 0

1 1 10 1 2

a) Calcula los modulos de e1, e2 y e3 y los angulos que determina entre sı.b) Calcula una base ortonormal.

27. En el espacio euclıdeo R3 calcula la matriz de la metrica euclıdea en la base e1, e2, e3 definidapor:

|e1| = 1, |e2| = 2, |e3| =√

2, ∠(e1, e2) = 45o, ∠(e1, e3) = 45o, ∠(e2, e3) = 45o

a) Calcula una base ortogonal y la matriz de la metrica en dicha base.b) Calcula una base ortonormal y la matriz de la metrica en dicha base.

12


ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO IV.23. Sea e1, e2 una base del k-espacio vectorial E y T2 la metrica cuya matriz asociada en dicha base

es(

1 23 −1

). Calcular la matriz de T2 en la base e′1 = 3e1 + 2e2, e′2 = e1 + e2.

Solucion: Tenemos que calcular T2(e′i, e′j) para todo i, j ∈ 1, 2. Escribiendo las coordenadas

de e′1 y e′2 en la base e1, e2 tendremos e1 = (3, 2) y e′2 = (1, 1), luego:

T2(e′1, e′1) =

(3, 2)(1 2

3 −1

)(32

)= 35

T2(e′1, e′2) =

(3, 2)(1 2

3 −1

)(11

)= 13

T2(e′2, e′1) =

(1, 1)(1 2

3 −1

)(32

)= 14

T2(e′2, e′2) =

(1, 1)(1 2

3 −1

)(11

)= 5

Entonces la matriz de T2 en la base e′1, e′2 es(

35 1314 5

).

24. En R2 se define un producto escalar euclıdeo T2 cuya matriz asociada en la base e1, e2 es:(2 11 2

)a) Calcula |e1|, |e2| y el angulo que determinan e1 y e2.b) Calcula la matriz asociada a T2 en la base e1 = e1 +e2, e2 = e1−e2. ¿Es esta base ortogonal?

¿Y ortonormal?

Solucion:a) Denotemos e · e′ = T2(e, e′). Entonces:

|e1| =√

e1 · e1 =√

2|e2| =

√e2 · e2 =

√2

cos(e1, e2) = e1·e2|e1||e2| = 1

2 , luego ∠(e1, e2) = 60o

b) Para calcular la matriz de la metrica respecto de la base e1, e2 podemos proceder comoen el ejercicio 23, o bien usar las expresiones matriciales de los cambios de base. Es decir,consideremos el siguiente diagrama conmutativo(

R2, e1, e2)

//

A

(R2)∗

(R2, e1, e2

) G // (R2)∗

At

OO

siendo A =(

1 11 −1

)la matriz de cambio de base de la base e1, e2 a la base e1, e2 y G

la matriz de la polaridad asociada a T2, respecto de la base e1, e2 y su dual. Del hecho deque el diagrama sea conmutativo y de que la matriz asociada a T2 coincide con la matriz de lapolaridad (por ser la metrica simetrica) resulta que la matriz de T2 respecto de la base e1, e2es:

At ·G ·A =(

1 11 −1

)(2 11 2

)(1 11 −1

)=(

6 00 2

).

En vista del resultado se tiene que la base e1, e2 es ortogonal pero no ortonormal.

25. Sea E un R-espacio vectorial de dimension 3, se considera una metrica euclıdea en E cuya matrizasociada en la base e1, e2, e3 es: 1 0 0

0 1 00 0 3


a) Calcula la restriccion de esta metrica al subespacio E de E generado por los vectores e1 =e1 + e2, e2 = e3.

b) Calcula una base ortonormal de E.

Solucion:a) Para calcular la restriccion de T2 al subespacio E basta calcular el valor de la metrica sobre

una base de E. Como e1, e2 generan E y son linealmente independientes forman una basede E, luego hay que calcular T2(ei, ej) para i, j = 1, 2. Entonces

T2(e1, e1) = (1, 1, 0)

1 0 00 1 00 0 3

110

= 2

T2(e1, e2) = (1, 1, 0)

1 0 00 1 00 0 3

001

= 0

T2(e1, e1) = (0, 0, 1)

1 0 00 1 00 0 3

001

= 3

Ası la restriccion de T2 a E tiene, respecto de la base e1, e2, la siguiente matriz asociada:

T2|E =(

2 00 3

).

b) La base e1, e2 es ortogonal respecto de T2 ya que T2(e1, e2) = 0. Bastara entonces ortonor-

malizarla. Luego una base ortonormal de E es e1

|e1|,

e2

|e2|, con |e1| =

√T2(e1, e1) =

√2 y

|e2| =√

T2(e2, e2) =√

3.


SEMINARIO V.

3. Clasificacion de Metricas.

3.1. Diagonalizacion de metricas simetricas.

28. Sea T2 una metrica en R3 que en cierta base tiene matriz: G =

0 1 11 0 11 1 0

.

Demuestra que T2 es irreducible y escribe sus ecuaciones.Diagonaliza T2.

29. Diagonalizar la metrica cuya matriz en la base e1, e2, e3 de R3 es:

G =

1 0 10 2 01 0 1

.

30. Diagonalizar la forma cuadratrica Q(x, y, z) = 2x2 + 4y2 + 3z2 − 4xz − 4yz. Encontrar el cambiode variables para el que la forma cuadratica se escribe Q(x, y, z) = 3y2 + 6z2.

31. Clasificar la metrica que en una cierta base de R3 tiene por matriz:

G =

1 2 −22 1 2−2 2 1

.

Y dar una base en la que se exprese en su forma reducida.32. Sea E un R-espacio vectorial y T2 una metrica en E que en la base e1, e2, e3 se expresa:

T2 : E × E → R((x, y, z), (x′, y′, z′)

)7→ axx′ + ayy′ + (a− 1)zz′ + xy′ + yx′

Clasificar T2 en funcion de los valores de a ∈ R.Para a = 2 calcular una base en la que T2 se expresa en su forma reducida.

33. Clasificar en funcion de los valores del parametro a ∈ R la forma cuadratica:

Q(x, y, z) = x2 + ay2 + z2 + 2axz .

Calcular para a = 2 una base ortonormal de diagonalizacion.

15


ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO V.

28. Sea T2 una metrica en R3 que en cierta base tiene matriz: G =

0 1 11 0 11 1 0

.

• Demuestra que T2 es irreducible y escribe sus ecuaciones.• Diagonaliza T2.

Solucion:• T2 es irreducible ⇐⇒ RadT2 = 0 ⇐⇒ Ker ΦT2 = 0 ⇐⇒ |G| 6= 0. Calculando el

determinante tenemos |G| = 2 6= 0, luego T2 es irreducible.Calcular las ecuaciones de la metrica es expresar la metrica en coordenadas. Luego si x, y, zy x′, y′, z′ son las coordenadas de dos vectores e, e′ de R3, respecto de la base que estamosconsiderando, tendremos

T2(e, e′) =(x y z

)0 1 11 0 11 1 0

x′

y′

z′

= xy′ + xz′ + yx′ + yz′ + zx′ + zy′.

• Sea T : EΦT2−→ E∗

Φ−1Ω2−→ E el endomorfismo asociado a la pareja de metricas (T2, Ω2), siendo Ω2

una metrica euclıdea cuya matriz respecto de la base que estamos considerando es la identidad.Entonces la matriz asociada a T , respecto de la base anterior, es G. Por el Teorema de la Leyde Inercia de Sylvester sabemos que existe una base ortogonal para T2 y ortonormal para Ω2

en la que el endormorfismo T diagonaliza. Luego en dicha base T2 y T tendran la misma matrizasociada. Calculemosla.

Polinomio caracterıstico de T : |xId−G| =

∣∣∣∣∣∣x −1 −1−1 x −1−1 −1 x

∣∣∣∣∣∣ (x + 1)2(x− 2).

Valores propios: x = −1 (dos veces) y x = 2. Base de vectores propios:

Ker(T + Id) =

(x, y, z) :

1 1 11 1 11 1 1

xyz

=

000

= x + y + z = 0= 〈e1 = (1, 0,−1), e2 = (0, 1,−1)〉

Ker(T − 2Id) =

(x, y, z) :

−2 1 11 −2 11 1 −2

xyz

=

000

=

x− 2y + z = 0x + y − 2z = 0

= 〈e3 = (1, 1, 1)〉

Ya que e1 y e2 no son ortogonales respecto de Ω2 lo primero es obtener una base ortogonal,respecto de Ω2, en Ker(T + Id). Restringiendo Ω2 a 〈e1, e2〉 se tiene que

Ω2(e1, e1) =2

Ω2(e1, e2) =2

Ω2(e2, e2) =1

=⇒ Ω2|〈e1,e2〉=(

2 11 2

).

Calculamos el ortogonal a e1 en 〈e1, e2〉 respecto de Ω2|〈e1,e2〉:

〈e1〉⊥ =e = xe1 + ye2 : Ω2|〈e1,e2〉(e, e1) = 0

=(x y

)(2 11 2

)(10

)= 0

=2x + y = 0 = 〈(1,−2)〉


Luego e1, e1 − 2e2 es una base de Ker(T + Id) ortogonal.Como vectores propios de valores propios distintos son ortogonales normalizando e1, e1 −2e2 y e3 obtenemos la base

u1 =1√2

(1, 0,−1)

u2 =1√6

(1,−2, 1)

u1 =1√3

(1, 1, 1)

respecto de la cual la matriz de la metrica es

−1−1

2

.

30. Diagonalizar la forma cuadratrica Q(x, y, z) = 2x2 + 4y2 + 3z2 − 4xz − 4yz. Encontrar el cambiode variables para el que la forma cuadratica se escribe Q(x, y, z) = 3y2 + 6z2.

Solucion: Denotemos por e1, e2, e3 a la base en la que se expresan las coordenadas x, y, z.La metrica simetrica T2 asociada a la forma cuadratica Q tiene por matriz en esa base

G =

2 0 −20 4 −2−2 −2 3

.

Procedemos como en el ejercicio 28:

• Polinomio caracterıstico: |xId−G| =

∣∣∣∣∣∣x− 2 0 2

0 x− 4 22 2 x− 3

∣∣∣∣∣∣ = x(x− 6)(x− 3).

• Valores propios: x = 0, x = 3, x = 6.• Base de vectores propios:

KerT =

(x, y, z) :

2 0 −20 4 −2−2 −2 3

xyz

=

000

= 4y − 2z = 0

2x− 2z = 0

= 〈(2, 1, 2)〉

Ker(T − 3Id) =

(x, y, z) :

−1 0 −20 1 −2−2 −2 0

xyz

=

000

=−x− 2z = 0

y − 2z = 0

= 〈(−2, 2, 1)〉

Ker(T − 6Id) =

(x, y, z) :

−4 0 −20 −2 −2−2 −2 −3

xyz

=

000

=−4x− 2z = 0−2y − 2z = 0

= 〈(1, 2,−2)〉

• Como vectores propios de valores propios diferentes son ortogonales, ortonomalizando los vec-tores propios anteriores respecto de la metrica euclıdea Ω2 se obtiene la base

e1 =13

(2, 1, 2), e2 =13

(−2, 2, 1), e3 =13

(1, 2,−2),


respecto de la cual la matriz asociada a la metrica T2 es

03

6

.

La matriz de cambio de base es

B =13

2 −2 11 2 22 1 −2

.

Notese que B−1 = Bt ya que transforma una base ortonormal en otra ortonormal. Denotandox, y, z a las coordenadas respecto de la base e1, e2, e3, la expresion de Q en estas coordenadases

Q(x, y, z) = 3y2 + 6z2.

El cambio de variables viene dado explıcitamente por la expresionxyz

=B−1

xyz

=

13

2 1 2−2 2 11 2 −2

xyz

Es decir tenemos el siguiente cambio de coordenadas:

x =13

(2x + y + 2z)

y =13

(−2x + 2y + z)

z =13

(x + 2y − 2z)

32. Sea E un R-espacio vectorial y T2 una metrica en E que en la base e1, e2, e3 se expresa:

T2 : E × E → R((x, y, z), (x′, y′, z′)

)7→ axx′ + ayy′ + (a− 1)zz′ + xy′ + yx′

• Clasificar T2 en funcion de los valores de a ∈ R.• Para a = 2 calcular una base en la que T2 se expresa en su forma reducida.

Solucion:

• En la base e1, e2, e3 la matriz asociada a T2 es G =

a 1 01 a 00 0 a− 1

.

Calculamos el polinomio caracterıstico del endomorfismo asociado, esto es

|xId−G| = (x− a)3 + (x− a)2 − (x− a)− 1.

Haciendo el cambio de variable y = x− a resulta el polinomio y3 + y2− y− 1, cuyas raıces sony = −1 (dos veces) e y = 1. Luego respecto de cierta base ortonornal (respecto de la metricaeuclıdea asociada) la matriz asociada a T2 esa− 1

a− 1a + 1

.

Distinguimos casos:

1. a− 1 > 0 ⇐⇒ a > 1, la forma reducida es

11

1

.

2. a− 1 = 0 ⇐⇒ a = 1, la forma reducida es

00

1

.


3. a + 1 < 0 ⇐⇒ a < −1, la forma reducida es

−1−1

−1

.

4. a + 1 = 0 ⇐⇒ a = −1, la forma reducida es

−1−1

0

.

5. −1 < a < 1, la forma reducida es

−1−1

1

.

• Sea a = 2, entonces G =

2 11 2

1

y segun el apartado anterior su forma reducida es11

1

. En este caso e3 es ortogonal, respecto de T2, a e1 y e2 y T2(e3, e3) = 1. Por

lo tanto bastara calcular una base en 〈e2, e3〉 ortogonal respecto de la restriccion de T2 a talsubespacio y luego normalizarla.

〈e1〉⊥ =xe1 + ye2 :(x y

)(2 11 2

)(10

)= 0

=2x + y = 0=〈e1 − 2e2〉

En consecuencia la base e1, e1 − 2e2, e3 es ortogonal para T2. Normalizando, respecto de T2

tenemos la base

u1 =1√2e1, u2 =

1√6

(e1 − 2e2), u3 = e3

respecto de la cual la matriz asociada a T2 es

11

1

.


SEMINARIO VI.

3.2. Clasificacion afın de conicas.34. Clasifica afınmente la siguientes conicas:

2x2 + y2 + 4y + 1 = 0.12x

2 − 12y

2 + 2x+ 12 = 0.

− 12x

2 + 12y

2 − y + 12 = 0.

2x2 + 2x+ 2 + y2 = 0.35. Demuestra que la conica de ecuacion x2 + y2 + xy + x+ y + 1 = 0 es afınmente equivalente a una

elipse imaginaria.36. Clasifica afınmente en funcion de los valores del parametro a ∈ R la siguiente familia de conicas:

ax2 + (a+ 1)y2 + 2ay + a+ 1 = 0 .

37. Demuestra que la conica de ecuacion x2 + 2y2 − 2x + 4y − 2 = 0 es afınmente equivalente a unaelipse real, calcula su centro y encuentra la transformacion afın que la expresa en su ecuacionreducida metrica.

38. Dada la conica de ecuacion x2 + y2 + 3xy + 2x+ 5y − 3 = 0,Clasifıcala afınmente.Calcula su centro.Encuentra la transformacion afın que la expresa en su ecuacion reducida metrica.

20


ALGUNAS SOLUCIONES. SEMINARIO VI.36. Clasifica afınmente en funcion de los valores del parametro a ∈ R la siguiente familia de conicas:

ax2 + (a+ 1)y2 + 2ay + a+ 1 = 0 .

Solucion: Para clasificar afınmente debemos decir cual es su rango, ındice, rango en el infinitoe ındice en el infinito.

Sea e0, e1, e2 la base respecto de la cual esta dada la ecuacion que define el locus de la familiade conicas del enunciado. En esta base la matriz G de la metrica T2 (que representa a la familiade conicas, dependiendo del parametro a) y la matriz G∞ de su restriccion T2|π∞ al infinito son:

G =

a+ 1 0 a0 a 0a 0 a+ 1

y G∞ =(a 00 a+ 1

).

Calculemos la ecuacion secular de cada una.• p(x) = |xId−G| = (x− a)(x− 1)(x− (2a+ 1)).• p∞(x) = |xId−G∞| = (x− a)(x− (a+ 1)).

Los rangos e ındices se calculan a partir del numero de raıces nulas r0 y el numero de raıcespositivas r+ de p(x) y p∞(x).

Distinguimos los siguientes casos:

1. a > 0 =⇒

r0(p(x)) = 0

r+(p(x)) = 3

=⇒

r = 3i = 0

r0(p∞(x)) = 0

r+(p∞(x)) = 2

=⇒

r∞ = 2i∞ = 0

=⇒ Elipse imaginaria.

2. a = 0 =⇒

r0(p(x)) = 1

r+(p(x)) = 2

=⇒

r = 2i = 0

r0(p∞(x)) = 1

r+(p∞(x)) = 1

=⇒

r∞ = 1i∞ = 0

=⇒ Par de rectas imaginarias paralelas.

3. a < −1 =⇒

r0(p(x)) = 0

r+(p(x)) = 1

=⇒

r = 3i = 1

r0(p∞(x)) = 0

r+(p∞(x)) = 0

=⇒

r∞ = 2i∞ = 0

=⇒ Elipse real.

4. a = −1 =⇒

r0(p(x)) = 0

r+(p(x)) = 1

=⇒

r = 3i = 1

r0(p∞(x)) = 1

r+(p∞(x)) = 0

=⇒

r∞ = 1i∞ = 0

=⇒ Parabola.

5. a = − 12 =⇒

r0(p(x)) = 1

r+(p(x)) = 1

=⇒

r = 2i = 1

r0(p∞(x)) = 0

r+(p∞(x)) = 1

=⇒

r∞ = 2i∞ = 1

=⇒ Par de rectas reales no paralelas.

6. −1 < a < − 12 =⇒

r0(p(x)) = 0

r+(p(x)) = 1

=⇒

r = 3i = 1

r0(p∞(x)) = 0

r+(p∞(x)) = 1

=⇒

r∞ = 2i∞ = 1

=⇒ Hiperbola.


7. − 12 < a < 0 =⇒

r0(p(x)) = 0

r+(p(x)) = 2

=⇒

r = 3i = 1

r0(p∞(x)) = 0

r+(p∞(x)) = 1

=⇒

r∞ = 2i∞ = 1

=⇒ Estamos en el caso anterior.

38. Dada la conica de ecuacion x2 + y2 + 3xy + 2x+ 5y − 3 = 0,• Clasifıcala afınmente.• Calcula su centro.• Encuentra la transformacion afın que la expresa en su ecuacion reducida metrica.

Solucion:• Sea e0, e1, e2 la base respecto de la cual esta dada la ecuacion del locus de la conica, conπ∞ = 〈e1, e2〉 el plano del infinito y π = e0 + π∞ el plano afın donde esta definido el locus dela conica.La matriz de la metrica T2 representante de la conica y la de su restriccion al infinito son,respecto de dicha base

G =

−3 1 5/21 1 3/2

5/2 3/2 1

y G∞ =(

1 3/23/2 1

)respectivamante.Calculamos sus invariantes. p(x) = |xId − G| = x3 + x2 − 29

2 x − 4, luego r0(p(x)) = 0 y como r+(p(x)) coincidecon el numero de variaciones de signo entre los coeficientes no nulos del polinomio p(x)tendremos que r+(p(x)) = 1. Ası r = 3 e i = 1. p∞(x) = |xId−G∞| = (x+ 1

2 )(x− 52 ), luego r∞ = 2 e i∞ = 1.

Por lo tanto tenemos una hiperbola.• Para calcular el centro calculamos π ∩ π⊥∞.

π⊥∞ = (t, x, y) :

(t x y

)−3 1 5/21 1 3/2

5/2 3/2 1

(0 1 0)

= 0

(t x y

)−3 1 5/21 1 3/2

5/2 3/2 1

(0 0 1)

= 0

=

2x+ 2y + 3z = 05x+ 3y + 2z = 0

= 〈(1,−11

5,

45

)〉

Cortandolo con el plano afın π = t = 1 se tiene que el centro es e0 = (1,− 115 ,

45 ).

• Ya que e0 ∈ π⊥∞, en la base e0, e1, e2 la matriz de T2 esT2(e0, e0)1 3/2

3/2 1

con T2(e0, e0) = − 16

5 .Calculamos una base ortonormal de diagonalizacion para G∞.

Ker(G∞ +12Id) = 3

2(x+ y = 0

= 〈(1,−1)〉 = 〈e1 − e2〉

Ker(G∞ −52Id) = 3

2(x− y) = 0

= 〈(1, 1)〉 = 〈e1 + e2〉


Normalizando e1 − e2, e1 + e2 obtenemos una base ortonormal 1√2(e1 − e2), 1√

2(e1 + e2)

de π∞ respecto de la cual G∞ es diagonal.Ası en la base

e0 = (1,−115,

45

) , e1 =1√2

(0, 1,−1) , e2 =1√2

(0, 1, 1)

la matriz de T2 es −16/5−1/2

5/2

Tomando como representante de la conoca la metrica T2 = 5

16T2, resulta que la matriz de T2

en la base e0, e1, e2 es

G =

−15/32

25/32

Luego la ecuacion reducida metrica es

x

−32/5+

y

32/25= 1

La transformacion afın efectuada para pasar del sistema de referencia inicial en π, en el que lascoordenadas son x, y, al sistema de referencia, de origen el centro de la hiperbola, respectodel cual las coordenadas son x, y se obtiene a partir del cambio de base de e0, e1, e2 ae0, e1, e2. La matriz de dicho cambio de base es

B =

1 0 0−11/5 1/

√2 1/

√2

4/5 −1/√

2 1/√

2

luego

B

txy

=

txy

⇐⇒t = t

x = −115t+

1√2

(x+ y)

y =45t+

1√2

(−x+ y)

Como π = t = 1 = t = 1 tenemos

x = −115

+1√2

(x+ y)

y =45

+1√2

(−x+ y)

⇐⇒(xy

)= B∞

(xy

)+(−11/5

4/5

)

siendo B∞ =1√2

(1 1−1 1

)la restriccion de B al plano del infinito. Como B∞ transforma una

base ortonormal en otra ortonormal de π∞ se verifica que Bt∞ = B−1

∞ . Se tiene entonces que(xy

)= Bt

∞

(x+ 11/5y − 4/5

)es decir tenemos la transformacion afın dada por las ecuaciones

x =1√2

(x− y + 3)

y =1√2

(x+ y +75

)

Algebra lineal y Geometrıa IIGloria Serrano SoteloDepartamento de MATEMATICAS

ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA. 10 FISICAS

Soluciones: Metricas y formas cuadraticas.

1. b) ; 2. d) ; 3. c) ; 4. d) ; 5. b) ; 6. c) ; 7. d) ; 8. b) ; 9. c) ; 10. b) ;11. d) ; 12. c) ; 13. d) ; 14. a) ; 15. c) ; 16. d) ; 17. b) ; 18. c) ; 19. c) ;20. b) ; 21. c) ; 22. a) ; 23. d) ; 24. d) ; 25. c) ; 26. b) ; 27. b) ; 28. d) ;29. b) ; 30. d) ; 31. b) ; 32. d) ; 33. d) ; 34. d) ; 35. c) ; 36. d) ; 37. d) ;38. b) ; 39. d) ; 40. c)

1


Indice

1. Tensores covariantes de orden p contravariantes de orden q 21.1. Producto tensorial 21.2. Expresion en coordenadas. Base y dimension de T qp (E). Cambio de base 41.3. Cambio de base en el espacio de tensores 52. Tensores covariantes. Tensores simetricos y hemisimetricos 62.1. Producto exterior de formas lineales 72.2. Tensores hemisimetricos en coordenadas. Base de Ωp(E) 82.3. Contraccion interior de un vector e y un tensor Tp ∈ Tp(E). Comportamiento

frente a productos tensoriales y exteriores 82.4. Problema resuelto 92.5. Morfismos inducidos en los espacios de tensores 102.6. Problemas resueltos 112.7. Determinante de un endomorfismo 133. Producto vectorial 14

1

TENSORES

1. Tensores covariantes de orden p contravariantes de orden q

Definicion 1.1. Un tensor p veces covariante q veces contravariante (tensor de tipo (p, q))sobre un k-espacio vectorial E es una aplicacion multilineal

E × p). . .× E × E∗ × q). . .× E∗ T qp−→ k

(e1, . . . , ep, ω1 . . . ωq) 7→ T qp (e1, . . . , ep, ω1 . . . ωq)

Representaremos por T qp (E) el conjunto de los tensores de tipo (p, q) sobre E.

Proposicion 1.2. T qp (E) es un k-espacio vectorial con las operaciones:• Suma de tensores

(T qp + T qp )(e1, . . . , ep, ω1 . . . ωq) = T qp (e1, . . . , ep, ω1 . . . ωq) + T qp (e1, . . . , ep, ω1 . . . ωq)

• Multiplicacion de un tensor por un escalar

(λT qp )(e1, . . . , ep, ω1 . . . ωq) = λT qp (e1, . . . , ep, ω1 . . . ωq)

Ejemplo 1.3.

T 01 (E) = E ω−→ k lineales = E∗

T 10 (E) = E∗ e−→ k lineales = E∗∗ ' E

T 11 (E) = E × E∗

T 11−→ k bilineales se identifica con Endk E por la formula:

T 11 (e, ω) = ω(T (e)) , siendo T 1

1 ∈ T 11 (E), T ∈ Endk E

T 02 (E) = E × E T2−→ k bilineales = Metricas sobre ET 20 (E) = E∗×E∗ T 2

−→ k bilineales = Metricas sobre E∗ (metricas contravariadas)Por convenio T 0

0 (E) = k

1.1. Producto tensorial.Dados tensores T qp ∈ T qp (E) y T sr ∈ T sr (E) se define su producto tensorial T qp ⊗ T sr como el

tensor de T q+sp+r q(E) dado por:

(T qp ⊗ T sr )(e1, . . . , ep, ep+1, . . . , ep+r, ω1 . . . ωq, ωq+1, . . . , ωq+s) =

= T qp (e1, . . . , ep, ω1 . . . ωq) · T sr (ep+1, . . . , ep+r, ωq+1, . . . , ωq+s)

Propiedades

(a) Asociativa T qp ⊗ (T sr ⊗ T tm) = (T qp ⊗ T sr )⊗ T tm(b) La aplicacion

T qp (E)⊗ T sr (E) −→ T q+sp+r q(E)

(T qp , Tsr ) 7→ T qp ⊗ T sr

es bilineal, es decir:

(λT qp + µT qp )⊗ T sr = λ(T qp ⊗ T sr ) + µ(T qp ⊗ T sr )

T qp ⊗ (λT sr + µT sr ) = λ(T qp ⊗ T sr ) + µ(T qp ⊗ T sr )

El producto tensorial no es conmutativo

2

Ejemplo 1.4.

λ⊗ T qp = λT qp pues T 00 (E) = k.

ω ⊗ ω′ ∈ T 02 (E) : (ω ⊗ ω′)(u, v) = ω(u)ω′(v)

ω ⊗ e ∈ T 11 (E) : (ω ⊗ e)(u, ω′) = ω(u)e(ω′) = ω(u)ω′(e)

ω ⊗ ω′ ⊗ ω′′ ∈ T 03 (E) : (ω ⊗ ω′ ⊗ ω′′)(u, v, v′) = ω(u)ω′(v)ω′′(v′)

ω ⊗ ω′ ⊗ e ∈ T 12 (E) : (ω ⊗ ω′ ⊗ e)(u, v, ω′′) = ω(u)ω′(v)ω′′(e)

e⊗ e′ ∈ T 20 (E) : (e⊗ e′)(ω, ω′) = e(ω)e′(ω′) = ω(e′)ω′(e′)

Ası, en generalω1 ⊗ . . . ωp ∈ T 0

p (E) , e1 ⊗ . . . eq ∈ T q0 (E) , ω1 ⊗ . . . ωp ⊗ e1 ⊗ . . . eq ∈ T qp (E)

Problemas resueltos

1.1. Sea e1, e2, e3 una base del R-espacio vectorial E y ω1, ω2, ω3 su base dual.

(a) Calcula la matriz asociada a la metrica ω ⊗ ω′ respecto de la base e1, e2, e3 de E,siendo ω = ω1 − ω2 + 2ω3 y ω′ = ω1 + ω3.

(b) Calcula, respecto de la base e1, e2, e3, la matriz asociada al endomorfismo que eltensor θ ⊗ e define, siendo θ = 2ω1 + 3ω3 y e = 2e1 − e2.

Solucion. (a) Calculemos los coeficientes gij de ω ⊗ ω′ ∈ T 02 (E) en la base e1, e2, e3:

Como gij = (ω ⊗ ω′)(ei, ej) = ω(ei)ω′(ej), se tiene:

g11 = 1 = g1,3, g21 = −1 = g2,3, g12 = 0 = g2,2 = g3,2, g31 = 2 = g3,3

Ası, G =

1 0 1−1 0 −12 0 2

es la expresion matricial de T2 = ω ⊗ ω′ en la base

e1, e2, e3.Observemos que la expresion de ω⊗ω′ en funcion de todos los productos tensoriales

que se pueden formar con dos cualesquiera de las formas lineales ω1, ω2, ω3 es:

ω ⊗ ω′ = (ω1 − ω2 + 2ω3)⊗ (ω1 + ω3)

= ω1 ⊗ ω1 + ω1 ⊗ ω3 − ω2 ⊗ ω1 − ω2 ⊗ ω3 + 2ω3 ⊗ ω1 + 2ω3 ⊗ ω3 ,

y vemos que ω ⊗ ω′ =3∑

i,j=1

gij ωi ⊗ ωj, con (gij) = G.

En el proximo apartado probaremos que ωi⊗ωj1≤i,j≤3 forman una base del espaciovectorial T 0

2 (E).

(b) θ ⊗ e ∈ T 11 (E) define el endomorfismo E

T−→ E cuya matriz asociada A = (aij) en labase e1, e2, e3 viene dada por:

aij = ωi(T (ej)) = T 11 (ej, ωi) = (θ ⊗ e)(ej, ωi) = θ(ej)ωi(e)

Y resulta que A =

4 0 6−2 0 −30 0 0

es la expresion matricial del tensor θ ⊗ e.

La expresion de θ⊗ e en funcion de los productos tensoriales que se pueden formarcon las formas ω1, ω2, ω3 y los vectores e1, e2, e3 es:

θ ⊗ e = (2ω1 + 3ω3)⊗ (2e1 − e2) = 4ω1 ⊗ e1 − 2ω1 ⊗ e2 + 6ω3 ⊗ e1 − 3ω3 ⊗ e2

Ası, si escribimos θ ⊗ e =3∑

i,j=1

λji ωi ⊗ ej es λji = aji.

1.2. Sea e1, e2, e3, e4 una base del R-espacio vectorial E y ω1, ω2, ω3, ω4 su base dual.Sean ω = 2ω2 − ω4, ω

′ = ω1 − 3ω2, e = e1 + e2 + e4, e′ = 2e2 + e3.

Calcula el escalar (ω ⊗ ω′ ⊗ ω)(e, 2e+ e′, e− e′).

Solucion.

(ω ⊗ ω′ ⊗ ω)(e, 2e+ e′, e− e′) = ω(e)ω′(2e+ e′)ω(e− e′) = 1 · (−10) · (−3) = 30 .

1.3. En R3 se consideran las funciones f(x, y, z) = 2x− y + z y g(x, y, z) = 2y − z.Cacula la expresion matricial y tensorial de f ⊗ g.

Solucion. Si e1, e2, e3 es la base de R3 en la que se escriben las coordenadas x, y, z, lasformas lineales f y g se expresan en su base dual ω1, ω2, ω3 por

f = 2ω1 − ω2 + ω3 , g = 2ω2 − ω3 ,

y se tiene:f⊗g = (2ω1−ω2+ω3)⊗(2ω2−ω3) = 4ω1⊗ω2−2ω1⊗ω3−2ω2⊗ω2+ω2⊗ω3+2ω3⊗ω2−ω3⊗ω3

y su expresion matricial es G =

0 4 −20 −2 10 2 −1

.

Observa que, en coordenadas:(f ⊗ g)((x, y, z), (x′, y′, z′)) = f(x, y, z)g(x′, y′, z′) = 4xy′ − 2xz′ − 2yy′ + yz′ + 2zy′ − zz′

1.2. Expresion en coordenadas. Base y dimension de T qp (E). Cambio de base.

Representaremos por V Rpn el conjunto de las variaciones con repeticion de los ındices 1, . . . , n

tomados de p en p.

Teorema 1.5. Sea e1, . . . , en una base de E y ω1, . . . , ωn su base dual. Los tensores detipo (p, q) ωi1⊗· · ·⊗ωip⊗ej1⊗· · ·⊗ejq donde (i1 . . . ip) ∈ V Rp

n y (j1 . . . jq) ∈ V Rqn, forman

una base del k-espacio vectorial de los tensores T qp (E).Por tanto, la dimension de este espacio es:

dimk Tqp (E) = np · nq = np+q

Demostracion.

GeneranSea T qp ∈ T qp (E) tal que T qp (ei1 , . . . , eip , ωj1 , . . . , ωjq) = λ

j1...jqi1...ip

. El tensor

(∗) =∑

(i1 . . . ip) ∈ V Rpn

(j1 . . . jq) ∈ V Rqn

λj1...jqi1...ip

(ωi1 ⊗ · · · ⊗ ωip ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejq)

coincide con T qp sobre cualquier familia (eh1 , . . . , ehp , ωk1 , . . . , ωkq), en efecto:

(∗)(eh1 , . . . , ehp , ωk1 , . . . , ωkq) =∑

λj1...jqi1...ip

ωi1(eh1) · · ·ωip(ehp)ωk1(ej1) . . . ωkq(ejq)

= λk1...kqh1...hp

= T qp (eh1 , . . . , ehp , ωk1 , . . . , ωkq)

Son linealmente independientesSi∑λj1...jqi1...ip

(ωi1 ⊗ · · · ⊗ ωip ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejq) = 0, aplicando a cualquier familia

(eh1 , . . . , ehp , ωk1 , . . . , ωkq) resulta que λk1...kqh1...hp

= 0.

Ejemplo 1.6.

Una base de T 02 (E) es ωi ⊗ ωj1≤i,j≤n y la expresion en coordenadas de T2 ∈ T 0

2 (E)es

T2 =∑i,j

gij ωi ⊗ ωj

Una base de T 11 (E) es ωi ⊗ ej1≤i,j≤n y la expresion en coordenadas de T 1

1 ∈ T 11 (E)

es

T 11 =

∑i,j

λji ωi ⊗ ej , con λji = aji y A = (aij) la matriz del endomorfismo asociado

Una base de T 03 (E) es ωi ⊗ ωj ⊗ ωk1≤i,j,k≤n y la expresion en coordenadas de T3 ∈

T 03 (E) es

T3 =∑i,j

gijk ωi ⊗ ωj ⊗ ωk

Una base de T 12 (E) es ωi ⊗ ωj ⊗ ek1≤i,j,k≤n y la expresion en coordenadas de T 1

2 ∈T 12 (E) es

T 12 =

∑i,j,k

λki,j ωi ⊗ ωj ⊗ ek

1.3. Cambio de base en el espacio de tensores.Los cambios de base en los espacios de tensores se deducen de los cambios de base en elespacio y en su dual.En los casos de los T 0

1 (E) = E∗, T 10 (E) ' E, T 1

1 (E) = Endk(E), T 02 (E) = Metricas sobre E

y T 20 (E) = Metricas sobre E∗ se tienen las correspondientes formulas del cambio de base

para el dual, el espacio, los endomorfismos y las metricas. Para el resto, es facil, aunquelargo, calcular los nuevos coeficientes de los tensores utilizando las propiedades del productotensorial. Pongamos algun ejemplo:

Ejemplo 1.7. Sea e1, e2, e3 una base de E y ω1, ω2, ω3 su base dual. Considerese lanueva base e1 = e1 + e2, e2 = e2 + e3, e3 = e1 + e2 + e3 de E.Calculemos la expresion de los tensores

T 11 = ω1 ⊗ e1 + 2ω1 ⊗ e2 + ω1 ⊗ e3 + ω2 ⊗ e2 − 2ω2 ⊗ e3 − ω3 ⊗ e1T2 = 2ω1 ⊗ ω2 + ω1 ⊗ ω3 − 3ω2 ⊗ ω1 − ω3 ⊗ ω2 + ω3 ⊗ ω3

T 12 = ω1 ⊗ ω1 ⊗ e1

en la nueva base.

Sea B =

1 0 1−1 1 10 1 1

la matriz del cambio de base en E y representemos por ω1, ω2, ω3

la base dual de la base e1, e2, e3. Se tiene:

(a) La matriz del endomorfismo que T 11 define es

A =

1 0 −12 1 01 −2 0

y de la formula del cambio de base para endomorfismos se obtiene

A = B−1AB =

2 −3 −44 −4 −5−1 2 4

Ası la expresion de T 1

1 en la base nueva es

T 11 = 2ω1⊗ e1+4ω1⊗ e2−1ω1⊗ e3−3ω2⊗ e1−4ω2⊗ e2+2ω2⊗ e3−4ω3⊗ e1−5ω3⊗ e2+4ω3⊗ e3

(b) La expresion matricial de T2, es decir, la matriz G de la metrica en la base inicial es

G =

0 2 1−3 0 00 −1 1

y el cambio de base para metricas da

G = BtGB =

1 3 6−2 0 −3−4 3 0

Luego la expresion de T2 en la nueva base es:

T2 = ω1 ⊗ ω1 + 3ω1 ⊗ ω2 + 6ω1 ⊗ ω3 − 2ω2 ⊗ ω1 − 3ω2 ⊗ ω3 − 4ω3 ⊗ ω1 + 3ω3 ⊗ ω2

(c) Observemos en primer lugar que las coordenadas de los vectores e1, e2, e3 en la nuevabase e1, e2, e3 vienen dadas por las columnas de la matriz inversa del cambio de baseB−1, luego resulta

e1 = e2 + e3 , e2 = −e1 − e2 + e3 , e3 = e1 + 2e2 − e3

Analogamente, como la matriz B∗ de cambio de base en el dual cumple que (B∗)−1 =Bt se obtiene

ω1 = ω1 + ω3 , ω2 = −ω1 + ω2 + ω3 , ω3 = ω2 + ω3

Sustituyendo en T 12 se obtiene su expresion en la base nueva

T 12 =(ω1 + ω3)⊗ (ω1 + ω3)⊗ (e2 + e3) = ω1 ⊗ ω1 ⊗ e2 + ω1 ⊗ ω3 ⊗ e2 + ω3 ⊗ ω1 ⊗ e2+

+ ω3 ⊗ ω3 ⊗ e2 + ω1 ⊗ ω1 ⊗ e3 + ω1 ⊗ ω3 ⊗ e3 + ω3 ⊗ ω1 ⊗ e3 + ω3 ⊗ ω3 ⊗ e3

2. Tensores covariantes. Tensores simetricos y hemisimetricos

Representaremos por Tp(E) el k-espacio vectorial de los T 0p (E) de los tensores covariantes

de orden p.Si e1, . . . , en una base de E y ω1, . . . , ωn su base dual, se tiene:

Tp(E) =⟨ωi1 ⊗ · · · ⊗ ωip(i1...ip)∈V Rpn

⟩Un tensor Tp ∈ Tp(E) es simetrico si para cualesquiera vectores e1, . . . , ep se verifica:

Tp(e1, . . . ei↑i

. . . ej↑j

. . . , ep) = Tp(e1, . . . ej↑i

. . . ei↑j

. . . , ep)

Un tensor Tp ∈ Tp(E) es hemisimetrico si para cualesquiera vectores e1, . . . , ep severifica:

Tp(e1, . . . ei↑i

. . . ej↑j

. . . , ep) = −Tp(e1, . . . ej↑i

. . . ei↑j

. . . , ep)

Observemos que los tensores covariantes de orden 2 simetricos coinciden con las metricassimetricas y los hemisimetricos con las metricas hemisimetricas.

Proposicion 2.1. (Caracterizacion de los tensores hemisimetricos)(ch(k) 6= 2)Tp ∈ Tp(E) es hemisimetrico si y solo si Tp(e1, . . . , ep) = 0 cuando algun vector de lose1, . . . , ep esta repetido.

Demostracion.=⇒ Si Tp es hemisimetrico se cumple:

Tp(e1, . . . e↑i

. . . e↑j

. . . , ep) = −Tp(e1, . . . e↑i

. . . e↑j

. . . , ep) ,

luego Tp(e1, . . . , e, . . . , e . . . , ep) = 0⇐= Si Tp(e1, . . . e

↑i

. . . e↑j

. . . , ep) = 0 cualesquiera que sean e1, . . . , e, . . . , ep ∈ E, de la multili-

nealidad de Tp se sigue:

0 =Tp(e1, . . . ei + ej↑i

. . . ei + ej↑j

. . . , ep) = Tp(e1, . . . ei↑i

. . . ei↑j

. . . , ep) + Tp(e1, . . . ei↑i

. . . ej↑j

. . . , ep)+

+ Tp(e1, . . . ej↑i

. . . ei↑j

. . . , ep) + Tp(e1, . . . ej↑i

. . . ej↑j

. . . , ep) =

0 =Tp(e1, . . . ei↑i

. . . ej↑j

. . . , ep) + Tp(e1, . . . ej↑i

. . . ei↑j

. . . , ep)

Corolario 2.2. Si Tp es hemisimetrico se cumple:

Tp(e1, . . . , ep) = 0 para cualesquiera vectores e1, . . . , ep linealmente dependientes

2.1. Producto exterior de formas lineales.Dadas formas lineales ω1, . . . , ωp ∈ E∗ se define su producto exterior ω1 ∧ · · · ∧ ωp como eltensor covariante de orden p dado por

ω1 ∧ · · · ∧ ωp =∑σ∈Sp

(Sig σ)ωσ(1) ⊗ · · · ⊗ ωσ(p)

donde Sp representa el grupo simetrico de ındice p (grupo de las permutaciones de p elemen-tos) y Sig σ es el signo de la permutacion σ ∈ Sp.

Ejemplo 2.3.

ω1 ∧ ω2 = ω1 ⊗ ω2 − ω2 ⊗ ω1

ω ∧ θ = ω ⊗ θ − θ ⊗ ω

ω1 ∧ ω2 ∧ ω3 =ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω3 − ω1 ⊗ ω3 ⊗ ω2 − ω2 ⊗ ω1 ⊗ ω3 + ω2 ⊗ ω3 ⊗ ω1+

+ ω3 ⊗ ω1 ⊗ ω2 − ω3 ⊗ ω2 ⊗ ω1

Propiedades del producto exterior

(a) ω1 ∧ · · · ∧ ωp es un tensor hemisimetrico.(b) ω1 ∧ · · · ∧ ωp = (Sig σ)ωσ(1) ∧ · · · ∧ ωσ(p) para todo σ ∈ Sp.(c) ω1 ∧ · · · ∧ ωp = 0 si alguna ωi esta repetida.(d) ω1 ∧ · · · ∧ ωp = 0 si alguna ωi es combinacion lineal de las otras.

Ejemplo 2.4. Utilizaremos las propiedades para hacer los calculos mas sencillos.Si ω = ω1 − ω2 + ω3 , ω′ = 3ω2 − ω3 , ω′′ = ω1 + ω2, se tiene, por ejemplo:

ω ∧ ω′ = (ω1 − ω2 + ω3) ∧ (3ω2 − ω3) = 3ω1 ∧ ω2 − ω1 ∧ ω3 − 2ω2 ∧ ω3

ω ∧ ω′ ∧ ω′′ = (3ω1 ∧ ω2 − ω1 ∧ ω3 − 2ω2 ∧ ω3) ∧ (ω1 + ω2) = −ω1 ∧ ω2 ∧ ω3

ω ∧ ω′′ ∧ ω′ = −ω ∧ ω′ ∧ ω′′ = ω1 ∧ ω2 ∧ ω3

2.2. Tensores hemisimetricos en coordenadas. Base de Ωp(E).

Sea E un k-espacio vectorial de dimension n.Llamaremos p-formas sobre E a los tensores covariantes de orden p que son hemisimetricosy representaremos por Ωp(E) el conjunto de ellas. Es inmediato comprobar que Ωp(E) es unsubespacio vectorial de E.

Teorema 2.5.Para todo p ≤ n, Ωp(E) es un k-espacio vectorial de dimension

dimk Ωp(E) =

(n

p

)Si p > n es Ωp(E) = 0.Es mas, para cada p ≤ n, si e1, . . . , en es una base de E y ω1, . . . , ωn su base dual, los(np

)tensores hemisimetricos ωi1 ∧ · · · ∧ ωipi1<···<ip forman una base de Ωp(E).

Ejemplo 2.6. Sea e1, e2, e3 una base de E y ω1, ω2, ω3 su base dual.

Ω1(E) = 〈ω1, ω2, ω3〉 = E∗ , dimk Ω1(E) = 3

Ω2(E) = 〈ω1 ∧ ω2, ω1 ∧ ω3, ω2 ∧ ω3〉 , dimk Ω2(E) =

(3

2

)= 3

Ω3(E) = 〈ω1 ∧ ω2 ∧ ω3〉 , dimk Ω3(E) =

(3

3

)= 1

Ωp(E) = 0 , para todo p > 3

2.3. Contraccion interior de un vector e y un tensor Tp ∈ Tp(E). Comportamientofrente a productos tensoriales y exteriores.

Dado Tp ∈ Tp(E) y e ∈ E, ieTp es el tensor de orden p− 1 definido por

(ieTp)(e2, . . . , ep) = Tp(e, e2, . . . , ep)

Si Tp es hemisimetrico tambien ieTp lo es.Comportamiento frente a productos tensoriales y exteriores

ie(ω1 ⊗ · · · ⊗ ωp) = ω1(e)(ω2 ⊗ · · · ⊗ ωp)

ie(ω1 ∧ · · · ∧ ωp) =

p∑j=1

(−1)j−1ωj(e)(ω1 ∧ · · · ∧ ωj ∧ · · · ∧ ωp)

Ejemplo 2.7. Sea e1, e2, e3 una base de E y ω1, ω2, ω3 su base dual.Dados ω = −ω1 + 2ω3 , ω

′ = ω2 + ω3 , ω′′ = ω1 + ω2 , e = e1 + 2e2 + 3e3, calculemos las

coordenadas de los siguientes tensores en las bases de p-formas correspondientes:

(a) ie(ω1 ∧ ω2) = ω1(e)ω2 − ω2(e)ω1 = ω2 − 2ω1 = (−2, 1, 0) ∈ T1(E) = E∗

(b)

ie(ω1 ∧ ω2 ∧ ω3) = ω1(e)ω2 ∧ ω3 − ω2(e)ω1 ∧ ω3 + ω3(e)ω1 ∧ ω2

= ω2 ∧ ω3 − 2ω1 ∧ ω3 + 3ω1 ∧ ω2 = (3,−2, 1) ∈ Ω2(E)

(c) ie(ω ⊗ ω′) = ω(e)ω′ = 5(ω2 + ω3) = (0, 5, 5) ∈ T1(E)(d) ie(ω ∧ ω′′) = ω(e)ω′′ − ω′′(e)ω = 5ω′′ − 3ω = (8, 5,−6) ∈ T1(E)(e) ie(ω ∧ ω′ ∧ ω′′) = ie(−ω1 ∧ ω2 ∧ ω3) = −ie(ω1 ∧ ω2 ∧ ω3) = (−3, 2,−1) ∈ Ω2(E), pues

ω∧ω′∧ω′′ = −ω1∧ω3∧ω2+2ω3∧ω2∧ω1 = ω1∧ω2∧ω3−2ω1∧ω2∧ω3 = −ω1∧ω2∧ω3

2.4. Problema resuelto.Sea e1, e2, e3 una base de E y ω1, ω2, ω3 su base dual.

(a) Calcula la expresion del tensor hemisimetrico de orden 2 asociado a la matriz 0 1 −2−1 0 12 −1 0

y calcula tambien su restriccion al subespacio de ecuacion x+ 2y− z = 0 respecto delsistema de coordenadas definido por la base e1, e2, e3.

(b) Sean ω = −ω1 + ω2 − ω3 , ω′ = 2ω2 − ω3 , ω

′′ = ω2 + ω3. Calcula la 2-forma ω ∧ ω′ yla 3-forma ω ∧ ω′ ∧ ω′′.

(c) Dados Ω′2 = ω1 ∧ ω2 + 2ω2 ∧ ω3 , e = 3e1 − e2 + e3 y θ = ω1 − 3ω2 + 5ω3 calcula la1-forma ieΩ′2 y la 3-forma Ω′2 ∧ θ.

Solucion. (a) En la base ω1 ∧ ω2, ω1 ∧ ω3, ω2 ∧ ω3 de Ω2(E) la expresion del tensor es:

Ω2 = ω1 ∧ ω2 − 2ω1 ∧ ω3 + ω2 ∧ ω3

Calculemos una base del subespacio V:

V = (x, y, x+ 2y) : x, y ∈ R = 〈v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 2)〉

Se tiene:

Ω2(vi, vi) = 0 , para 1 ≤ i ≤ 3, pues Ω2 es hemisimetrico

Ω2(v1, v2) = −Ω2(v2, v1) = (ω1 ∧ ω2)(v1, v2)− 2(ω1 ∧ ω3)(v1, v2) + (ω2 ∧ ω3)(v1, v2)

= ω1(v1)ω2(v2)− ω2(v1)ω1(v2)− 2ω1(v1)ω3(v2) + 2ω3(v1)ω1(v2)+

+ ω2(v1)ω3(v2)− ω3(v1)ω2(v2) =

= 1− 0− 4 + 0 + 0− 1 = −4

Luego la expresion matricial de la resticcion de Ω2 a V , Ω2|V , es

(0 −44 0

).

Si θ1, θ2 es la base dual de v1, v2, θ1∧ θ2 es una base de Ω2(V ), y en esta baseΩ2|V ∈ Ω2(V ) se expresa ası:

Ω2|V = −4θ1 ∧ θ2 .

(b)

ω ∧ ω′ = (−ω1 + ω2 − ω3) ∧ (2ω2 − ω3) = −2ω1 ∧ ω2 + ω1 ∧ ω3 + ω2 ∧ ω3

ω ∧ ω′ ∧ ω′′ = (−2ω1 ∧ ω2 + ω1 ∧ ω3 + ω2 ∧ ω3) ∧ (ω2 + ω3) = −2ω1 ∧ ω2 ∧ ω3 + ω1 ∧ ω3 ∧ ω2 =

= −3ω1 ∧ ω2 ∧ ω3

(c)

ieΩ′2 = ie(ω1 ∧ ω2) + 2ie(ω2 ∧ ω3) = ω1(e)ω2 − ω2(e)ω1 + 2ω2(e)ω3 − 2ω3(e)ω2 =

= 3ω2 − ω1 − 2ω3 − 2ω2 = −ω1 + ω2 − 2ω3

Ω′2 ∧ θ = (ω1 ∧ ω2 + 2ω2 ∧ ω3) ∧ (ω1 − 3ω2 + 5ω3) = 5ω1 ∧ ω2 ∧ ω3 + 2ω2 ∧ ω3 ∧ ω1

= 7ω1 ∧ ω2 ∧ ω3

2.5. Morfismos inducidos en los espacios de tensores.

Toda aplicacion lineal Ef−→ E induce una aplicacion entre los espacios de tensores covariantes

de orden p

Tp(E)f∗p−−→ Tp(E)

definida por:

(f ∗pTp)(e1, . . . , ep) = Tp(f(e1), . . . , f(ep))

cualesquiera que sean Tp ∈ Tp(E) y e1, . . . , ep ∈ E .Este morfismo verifica:

(a) f ∗p es lineal.

(b) f ∗1 = f ∗, siendo Ef∗−→ E el morfismo traspuesto.

(c) Deja invariantes los subespacios de tensores simetricos y hemisimetricos, esto es, inducemorfismos

Sp(E)f∗p−−→ Sp(E) , Ωp(E)

f∗p−−→ Ωp(E)

(d) Conmuta con productos tensoriales y productos exteriores:

f ∗p(ω1 ⊗ ωp) = f ∗(ω1)⊗ · · · ⊗ f ∗(ωp)f ∗p(ω1 ∧ ωp) = f ∗(ω1) ∧ · · · ⊗ f ∗(ωp)

(e) (f g)∗p = g∗p f ∗p

En particular, si V es un subespacio de E y Vi→ E es la inclusion natural, la restriccion

de un tensor Tp ∈ Tp(E) al subespacio V viene dado por

Tp|V = i∗pTp

Ejemplo 2.8. Sea e1, e2, e3 una base de E y ω1, ω2, ω3 su base dual. Calculemos larestriccion de los tensores

T3 = ω1 ⊗ ω2 ⊗ ω2 − ω1 ⊗ ω1 ⊗ ω3

Ω2 = ω1 ∧ ω2 − 2ω1 ∧ ω3 + ω2 ∧ ω3

al plano de ecuacion π ≡ x + y − z = 0 respecto del sistema de coordenadas que la basee1, e2, e3 define.Una base del plano π es v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 1).Respecto de las bases v1, v2 y e1, e2, e3 la matriz de la inclusion natural π

i→ E es

(i) =

1 00 11 1

. De modo que si representamos por θ1, θ2 la base dual de v1, v2 se tiene

que i∗ω1 = θ1 , i∗ω1 = θ2 , i

∗ω1 = θ1 + θ2 (Recuerda que la matriz de i∗ es la traspuesta de(i). Ası, resulta:

T3|π = i∗3T3 = i∗ω1 ⊗ i∗ω2 ⊗ i∗ω2 − 2i∗ω1 ⊗ i∗ω1 ⊗ i∗ω3 =

= θ1 ⊗ θ2 ⊗ θ2 − 2θ1 ⊗ θ1 ⊗ (θ1 + θ2) = θ1 ⊗ θ2 ⊗ θ2 − 2θ1 ⊗ θ1 ⊗ θ1 − 2θ1 ⊗ θ1 ⊗ θ2Ω2|π = i∗2Ω2 = i∗ω1 ∧ i∗ω2 − 2i∗ω1 ∧ i∗ω3 + i∗ω2 ∧ i∗ω3 =

= θ1 ∧ θ2 − 2θ1 ∧ (θ1 + θ2) + θ2 ∧ (θ1 + θ2) = θ1 ∧ θ2 − 2θ1 ∧ θ2 + θ2 ∧ θ1 =

= −2θ1 ∧ θ2Este ultimo calculo se puede efectuar matricialmente:

Ω2|π = i∗2Ω2 = (i)t · (Ω2) · (i) =

(1 0 10 1 1

) 0 1 −2−1 0 12 −1 0

1 00 11 1

=

(0 −2−2 0

)

2.6. Problemas resueltos.

2.1. Sea e1, e2, e3 una base de E y ω1, ω2, ω3 su base dual y considerese la aplicacion

lineal E∗f−→ E definida por

f(ω1) = e1 + 3e2 , f(ω2) = e1 − e2 + 2e3 , f(ω3) = e2 + e3

Calcula la matriz asociada al morfismo inducido Ω2(E)f∗2−−→ Ω2(E

∗) indicando claramentelas bases en las que se expresa.

Solucion. Si E∗f∗−→ E∗∗ ' E es el morfismo traspuesto de f su matriz respecto de las bases

dadas es At =

1 3 01 0 20 1 1

, siendo A la matriz de f . Luego:

f ∗(ω1) = e1 + e2 , f ∗(ω2) = 3e1 + e3 , f ∗(ω3) = 2e2 + e3 .

La base de Ω2(E) es ω1 ∧ ω2, ω1 ∧ ω3, ω2 ∧ ω3 y la de Ω2(E∗) es e1 ∧ e2, e1 ∧ e3, e2 ∧ e3, y

se tiene:

f ∗2(ω1 ∧ ω2) = f ∗(ω1) ∧ f ∗(ω2) = (e1 + e2) ∧ (3e1 + e3) = e1 ∧ e3 + 3e2 ∧ e1 + e2 ∧ e3 =

= −3e1 ∧ e2 + e1 ∧ e3 + e2 ∧ e3 = (−3, 1, 2)

f ∗2(ω1 ∧ ω3) = f ∗(ω1) ∧ f ∗(ω3) = (e1 + e2) ∧ (2e2 + e3) = 2e1 ∧ e2 + e1 ∧ e3 + e2 ∧ e3 =

= (2, 1, 1)

f ∗2(ω2 ∧ ω3) = f ∗(ω2) ∧ f ∗(ω3) = (3e1 + e3) ∧ (2e2 + e3) = 6e1 ∧ e2 + 3e1 ∧ e3 + 2e3 ∧ e2 =

= 6e1 ∧ e2 + 3e1 ∧ e3 − 2e2 ∧ e3 = (6, 3,−2)

Luego la matriz de f ∗2 es

−3 2 61 1 32 1 −2

2.2. Sea Ef−→ E la aplicacion lineal definida por f(x, y, z) = (x− y, 2y + z, x+ y + z).

(a) Calcula en este sistema de coordenadas las matrices de los morfismos inducidos sobrelos espacios de tensores hemisimetricos de orden 2 y 3, respectivamente:

Ω2(E)f∗2−−→ Ω2(E) , Ω3(E)

f∗3−−→ Ω3(E)

(b) Calcula la matriz de la aplicacion lineal

Ω2(E)T−→ E∗

θ2 7→ ie(f ∗2θ2)

siendo e = (1, 1,−1).

Solucion. Si e1, e2, e3 es la base de E en la que estan expresadas las coordenadas yω1, ω2, ω3 es su base dual, la base de Ω2(E) es ω1 ∧ ω2, ω1 ∧ ω3, ω2 ∧ ω3 y la de Ω3(E)

es ω1 ∧ ω2 ∧ ω3. La matriz de f ∗ es At =

1 0 1−1 2 10 1 1

y por tanto f ∗(ω1) = ω1 + ω3,

f ∗(ω2) = −ω1 + 2ω2 + ω3, f∗(ω3) = ω2 + ω3.

(a) Calculemos la matriz de f ∗2 respecto de la base ω1 ∧ ω2, ω1 ∧ ω3, ω2 ∧ ω3:f ∗2(ω1 ∧ ω2) = f ∗ω1 ∧ f ∗ω2 = (ω1 + ω3) ∧ (−ω1 + 2ω2 + ω3) =

= 2ω1 ∧ ω2 + 2ω1 ∧ ω3 − 2ω2 ∧ ω3 = (2, 2,−2)

f ∗2(ω1 ∧ ω3) = f ∗ω1 ∧ f ∗ω3 = (ω1 + ω3) ∧ (ω2 + ω3) =

= ω1 ∧ ω2 + ω1 ∧ ω3 − ω2 ∧ ω3 = (1, 1,−1)

f ∗2(ω2 ∧ ω3) = f ∗ω2 ∧ f ∗ω3 = (−ω1 + 2ω2 + ω3) ∧ (ω2 + ω3) =

= −ω1 ∧ ω2 − ω1 ∧ ω3 − ω2 ∧ ω3 = (−1,−1, 1)

luego la matriz de f ∗2 es

(f ∗2) =

2 1 −12 1 −1−2 −1 1

Calculemos ahora la matriz de f ∗3 respecto de la base ω1 ∧ ω2 ∧ ω3. Se tiene:

f ∗3(ω1 ∧ ω2 ∧ ω3) = f ∗ω1 ∧ f ∗ω3 ∧ f ∗ω3 = (ω1 + ω3) ∧ (ω1 + 2ω2 + ω3) ∧ (ω2 + ω3) =

= 2ω1 ∧ ω2 ∧ ω3 + ω3 ∧ ω1 ∧ ω2 = 3ω1 ∧ ω2 ∧ ω3 = (3)

Luego, la matriz de f ∗3 es (3).Observemos que la aplicacion lineal f ∗3 es una homotecia de razon 3.

(b) Respecto de las bases ω1∧ω2, ω1∧ω3, ω2∧ω3 de Ω2(E) y ω1, ω2, ω3 de E∗ y usandolos calculos de (a) la matriz de T es:

T (ω1 ∧ ω2) = ief ∗2(ω1 ∧ ω2) = ie(2ω1 ∧ ω2 + 2ω1 ∧ ω3 − 2ω2 ∧ ω3) =

= 2ω1(e)ω2 − 2ω2(e)ω1 + 2ω1(e)ω3 − 2ω3(e)ω1 − 2ω2(e)ω3 + 2ω3(e)ω2 = 0

T (ω1 ∧ ω3) = ief ∗2(ω1 ∧ ω3) = ie(ω1 ∧ ω2 + ω1 ∧ ω3 − ω2 ∧ ω3) = 2ω2

T (ω2 ∧ ω3) = ief ∗2(ω2 ∧ ω3) = ie(−ω1 ∧ ω2 − ω1 ∧ ω3 − ω2 ∧ ω3) = −2ω2 − 2ω3

y se obtiene (T ) =

0 0 00 2 −20 0 −2

.

2.3. Sea e1, e2, e3 una base de E y ω1, ω2, ω3 su base dual.Considerese la 3-forma Ω3 = ω1 ∧ ω2 ∧ ω3.

(a) Expresa en coordenadas la aplicacion lineal φ y comprueba que es un isomorfismo:

Eφ−→ Ω2(E)

e 7→ ieΩ3

(b) Calcula las coordenadas del unico vector V tal que ivΩ3 = ω ∧ ω′ siendoω = aω1 + b ω2 + c ω3 , ω′ = a′ ω1 + b′ ω2 + c′ ω3

Solucion. (a) Se calcula la matriz de φ en las bases e1, e2, e3 de E y ω1∧ω2, ω1∧ω3, ω2∧ω3 de Ω2(E):

φ(e1) = ie1Ω3 = ie1(ω1 ∧ ω2 ∧ ω3) = ω1(e1)ω2 ∧ ω3 − ω2(e1)ω1 ∧ ω3 + ω3(e1)ω2 ∧ ω3 =

= ω2 ∧ ω3 = (0, 0, 1)

φ(e2) = ie2Ω3 = ie2(ω1 ∧ ω2 ∧ ω3) = −ω1 ∧ ω3 = (0,−1, 0)

φ(e3) = ie3Ω3 = ie3(ω1 ∧ ω2 ∧ ω3) = ω1 ∧ ω2 = (1, 0, 0)

Se obtiene: (φ) =

0 0 10 −1 01 0 0

y como det(φ) = 1 6= 0 la aplicacion lineal φ es un

isomorfismo.Ası, en coordenadas φ se escribe:

Eφ−→ Ω2(E)

(a, b, c) 7→ (c,−b, a)

(b) Como φ es un isomorfismo dada una 2-forma ω ∧ ω′ existe un unico vector v ∈ E talque φ(v) = ω ∧ ω′.

Las coordenadas de ω ∧ ω′ en la base ω1 ∧ ω2, ω1 ∧ ω3, ω2 ∧ ω3 de Ω2(E) sonω ∧ ω′ = (aω1 + b ω2 + c ω3) ∧ (a′ ω1 + b′ ω2 + c′ ω3) = (ab′ − ba′, ac′ − ca′, bc′ − cb′).

Si (x, y, z) son las coordenadas de v en la base e1, e2, e3 de E, matricialmenteφ(v) = ω ∧ ω′ se escribe:0 0 1

0 −1 01 0 0

xyz

=

ab′ − ba′ac′ − ca′bc′ − cb′

y se obtiene

v = (x, y, z) = (bc′ − cb′,−(ac′ − ca′), ab′ − ba′)

2.7. Determinante de un endomorfismo.Sea E un k-espacio vectorial de dimension n y T un endomorfismo de E. El morfismoinducido sobre los tensores hemisimetricos de orden n

Ωn(E)T ∗n−−→ Ωn(E)

es una homotecia, pues dimk Ωn(E) = 1.

Definicion 2.9. Se llama determinante de T a la razon de esta homotecia, esto es:

T ∗nθn = detT · θn , cualquiera que sea θn ∈ Ωn(E).

Propiedades

(a) det(T T ) = detT · det T(b) Si e1, . . . , en es una base de E y ω1, . . . , ωn es su base dual:

detT = (ω1 ∧ · · · ∧ ωn)(T (e1), . . . , T (en))

(c) T es un automorfismo si y solo si detT 6= 0.(d) detT = detT ∗

(e) detT =∑σ∈Sn

(Sig σ)a1,σ(1) · · · · · an,σ(n) , siendo A = (aij) la matriz de T en la base

e1, . . . , en de E.

Demostracion.

(a) det(T T )θn = (T T )∗n(θn) = (T ∗n T ∗n)(θn) = T ∗n(T ∗n)(θn)) = T ∗n(detT · θn) =det T · detT · θn

(b)

[T ∗n(ω1 ∧ · · · ∧ ωn)](e1, . . . , en) = (detT · ω1 ∧ · · · ∧ ωn)(e1, . . . , en)

||(ω1 ∧ · · · ∧ ωn)(T (e1), . . . , T (en)) = detT · (ω1 ∧ · · · ∧ ωn)(e1, . . . , en) = detT

(c) Si T es un automorfismo existe T−1 tal que T T−1 = Id, luego detT · detT−1 = 1 ypor tanto detT 6= 0.

Como detT 6= 0, de (b) se sigue que (ω1 ∧ · · · ∧ ωn)(T (e1), . . . , T (en)) 6= 0 luegoT (e1), . . . , T (en) son linealmente independientes y en consecuencia T es inyectivo yası biyectivo.

(d)

detT ∗(b)= (e1 ∧ · · · ∧ en)(T ∗(ω1) . . . T

∗(ωn)) =∑σ∈Sn

(Sig σ)eσ(1)(T ∗ ω1) · · · eσ(n)(T ∗ ωn) =

=∑σ∈Sn

(Sig σ)ω1(Teσ(1) · · ·ωn(Teσ(n) =∑

σ−1∈Sn

(Sig σ−1)ωσ−1(1)(Te1) · · ·ωσ−1(n)(Ten) =

=∑τ∈Sn

(Sig τ)ωτ(1)(Te1) · · ·ωτ(n)(Ten) = (ω1 ∧ · · · ∧ ωn)](T (e1), . . . , T (en))(b)=

= detT

(e)

detT = (ω1 ∧ · · · ∧ ωn)(T (e1), . . . , T (en)) =∑σ∈Sn

(Sig σ)ω1(Teσ(1) · · ·ωn(Teσ(n) =

=∑σSn

(Sig σ)a1,σ(1) · · · · · an,σ(n)

Definicion 2.10. Se define el determinante de una matriz cuadrada A como el determinantede su endomorfismo asociado.

De las propiedades anteriores se sigue:

(a) det(A · A) = detA · det A(b) A es invertible si y solo si detA 6= 0.(c) detA = detAt

(d) detA = 0 si y solo si sus columnas (o filas) son linealmente independientes.

Se pueden demostrar facilmente todas las propiedades clasicas del determinante utilizandolas propiedades de los tensores hemisimetricos.

3. Producto vectorial

Sea (E, T2) un R-espacio eclıdeo de dimension 3 y sea u1, u2, u3 una base ortonormal deE.Tres vectores linealmente independientes e1, e2, e3 de E definen un volumen:

Volumen = | det(e1, e2, e3)| = | detB| , siendo B la matriz del cambio de base.

Si G es la matriz de la metrica euclıdea T2 en la base e1, e2, e3, como la matriz de T2 en labase ortonormal es I, de la formula del cambio de base para metricas G = BtIB se sigue:

detG = det(BtIB) = (detB)2 =⇒ | detB| =√

detG

Definicion 3.1. En el sistema de coordenadas definido por la base e1, e2, e3 de E se llama3-forma de volumen al tensor hemisimetrico

Ω3 =√

detG ω1 ∧ ω2 ∧ ω3 , donde ω1, ω2, ω3 es la base dual de e1, e2, e3.

Como hemos visto en el problema resuelto 2.3 la aplicacion Eφ−→ Ω2(E) dada por φ(e) = ieΩ3

es un isomorfismo y su expresion en coordenadas respecto de una base e1, e2, e3 de E es:

Eφ−→ Ω2(E)

(a, b, c) 7→√

detG(c,−b, a) , donde ahora Ω3 =√

detG ω1 ∧ ω2 ∧ ω3.

Ası podemos definir:

Definicion 3.2. Dados dos vectores e, e′ ∈ E su producto vectorial es el unico vector e×e′ ∈E tal que

φ(e× e′) = i(e× e′)Ω3 = ω ∧ ω′ ,siendo ω = ieT2, ω

′ = ie′T2 las formas lineales asociadas a la polaridad euclıdea

Producto vectorial en coordenadas respecto de una base ortonormalSi e1, e2, e3 es una base ortonormal de E, e = ae1 + be2 + ce3 y e′ = a′e1 + b′e2 + c′e3 setiene:

T2 = I, G = I, Ω3 = ω1 ∧ ω2 ∧ ω3

ω = ieT2 = aω1 + b ω2 + c ωe3, ω′ = ie′T2 = a′ ω1 + b′ ω2 + c′ ωe3

ω ∧ ω′ = (bc′ − cb′,−(ac′ − ca′), ab′ − ba′) , en coordenadas respecto de la base de Ω2(E).

Luego, en coordenadas respecto de una base ortonormal se tiene:

(a, b, c)× (a′, b′, c′) = (bc′ − cb′,−(ac′ − ca′), ab′ − ba′) =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3a b ca′ b′ c′

∣∣∣∣∣∣


1. Polinomio anulador

Sea E un k-espacio vectorial y T un endomorfismo de E.

Proposicion 1.1. Para todo vector no nulo e ∈ E existe un polinomio p(x) ∈ k[x] que loanula, esto es p(T )e = 0.

Demostracion. Los vectores e, T (e), T 2(e), . . . , T r(e), . . . no son todos linealmente indepen-dientes, pues E es de dimensin finita.Si m es el menor natural tal que Tm(e) depende linealmente de los anteriores, es decir verifica:

Tm(e) = a0e+ a1T (e) + · · ·+ am−1Tm−1e , (m ≤ dimk E)

El polinomio p(x) = xm − am−1xm−1 − · · · − a1x− a0 anula al vector e, p(T )e = 0.

Teorema 1.2. Existen polinomios que anulan a todos los vectores de E.

Demostracion. Sea e1, . . . , en una base de E y, para cada 1 ≤ i ≤ n, sea pi(x) un polinomioque anula al vector ei, que existe por la proposicion anterior.Es claro que el polinomio producto p(x) = p1(x) · . . . · pn(x) anula a todo vector de E.

Definicion 1.3. Se llama polinomio anulador o polinomio mınimo de T al polinomio demenor grado que anula a todos los vectores de E. Se representa por mT (x) y se tomamonico, es decir, con coeficiente de mayor grado uno.

Teorema 1.4. Cualquier polinomio que anula a todos los vectores de E es un multiplo delpolinomio anulador mT (x).

Demostracion. Sea q(x) un polinomio que anula a todo vector de E. Como mT (x) es el demenor grado entre todos los que anulan, podemos dividir q(x) entre mT (x) y se obtiene:

q(x) = mT (x)c(x) + r(x) , con r(x) = 0 o grad r(x) < gradmT (x)

De donde r(x) = q(x)−mT (x)c(x), y como q(x) y mT (x) anulan a todo vector de E tambienanula r(x), luego r(x) = 0 ya que mT (x) es el de menor grado.

Ejemplo 1.5. Sea T ∈ EndRE tal que T 2 − 5T + 4I = 0.El polinomio x2 − 5x + 4 anula a todo vector de E, luego es un multiplo del polinomioanulador mT (x). Descomponiendo en factores primos x2− 5x+ 4 = (x− 1)(x− 4), se tienenlas siguientes posibilidades para el polinomio mnimo de T:

mT (x) =

x− 1 (T es la identidad, T = I)

x− 4 (T es una homotecia vectorial de razon 4, T = 4I)

(x− 1)(x− 4) (T verifica: (T − I)(T − 4I) = 0)

Ejemplo 1.6.

Si T ∈ EndRE verifica T 2 + T + I = 0 es mT (x) = x2 + x + 1, pues este polinomiono factoriza en R.

1

Si T ∈ EndQE verifica T 3 + 2I = 0 es mT (x) = x3 + 2, pues el polinomio x3 + 2 esirreducible en Q.

Corolario 1.7. Si V es un subespacio de E invariante por T , el anulador de T en V es undivisor de mT (x).

Demostracion. mT (x) anula a todo vector de V luego por el teorema 1.4 es multiplo delpolinomio anulador de T sobre V .

Corolario 1.8. Si λ es un valor propio de T , λ es una raız de su polinomio anulador.

Demostracion. Si λ es un valor propio de T , ker(T − λI) es un subespacio de E invariantepor T con polinomio anulador x−λ, luego, por el corolario 1.7, x−λ es un divisor de mT (x),esto es mT (x) = (x− λ)q(x).

2. Primer Teorema de descomposicion. Criterio de diagonalizacion por elpolinomio anulador.

Teorema 2.1. (1er Teorema de descomposicion) Sea E un k-espacio vectorial de dimensionfinita, T un endomorfismo de E y mT (x) = p1(x)n1 · . . . · pr(x)nr la descomposicion enfactores primos de su polinomio anulador. Se verifica que E descompone en suma directa desubespacios invariantes por T :

E = ker p1(T )n1 ⊕ · · · ⊕ ker pr(T )nr

Ademas, el polinomio anulador de T sobre ker pi(T )ni es pi(x)ni y dimk ker pi(T )ni ≥ grad pi(x)ni,para 1 ≤ i ≤ r.

Demostracion. Escribiendo p(x) = p1(x)n1 y q(x) = p2(x)n2 · . . . · pr(x)nr , basta demostrarque E = ker p(T )⊕ ker q(T ).Como p(x) y q(x) son primos entre sı su maximo comun divisor es 1, luego existen polinomiosa(x) y b(x) tales que:

(2.1) a(x)p(x) + b(x)q(x) = 1

Veamos que ker p(T ) ∩ ker q(T ) = 0.Si e ∈ ker p(T ) ∩ ker q(T )⇒ p(T )e = 0 = q(T )e, y de la ecuacion 2.1 se sigue que

a(T )p(T )e+ b(T )q(T )e = e = 0.Probemos que ker p(T ) + ker q(T ) = E.

Para cada e ∈ E por 2.1 se verifica:

e = a(T )p(T )e+ b(T )q(T )e = p(T )(a(T )e) + q(T )(b(T )e) ∈ ker p(T ) + ker q(T )

pues p(T )q(T ) = 0 ya que mT (x) = p(x)q(x).

• Para cada i = 1 . . . r, ker pi(T )ni es un subespacio invariante por T de anulador pi(x)ni ,pues si su anulador fuese un divisor de pi(x)ni serıa de la forma pi(x)mi con mi ≤ ni, puespi(x) es primo. Por tanto, el polinomio p1(x)m1 · . . . · pr(x)mr anularıa a todo vector de E,ya que E = ker p1(T )n1 ⊕ · · · ⊕ ker pr(T )nr , lo que es absurdo pues es de menor grado quemT (x).• Probemos ahora que dimk ker pi(T )ni ≥ grad pi(x)ni , para 1 ≤ i ≤ r.Existe al menos un vector no nulo e ∈ ker pi(T )ni tal que pi(T )ni−1(e) 6= 0, pues en otro casoel anulador de ker pi(T )ni serıa pi(x)ni−1.

Si escribimos s = grad pi(x)ni , los s vectores e, T (e), T 2(e), . . . , T s−1(e) son linealmente in-dependientes, pues en otro caso se tendrıa que a0e+ a1T (e) + · · ·+ as−1T

s−1(e) = 0 con]notodos los ai nulos y por tanto el polinomio a0e + a1x + · · · + as−1x

s−1 = 0, que es de gradomenor que s, anularıa al vector e, lo que contradice lo supuesto.

Corolario 2.2. (Criterio de diagonalizacion por el polinomio anulador) Un endomorfismo esdiagonalizable si y solo si su polinomio anulador descompone en producto de factores linealesdiferentes.

T ∈ Endk E es diagonalizable⇔ mT (x) = (x−λ1) · · · (x−λr), con λi ∈ k y λi 6= λj si i 6= j

Demostracion.⇒ Si λ1, . . . , λr ∈ k son los valores propios diferentes de T , por el corolario 1.8, λ1, . . . , λr sonraces del polinomio anulador, esto es, mT (x) = (x−λ1) · · · (x−λr)q(x). Por otra parte, comoT es diagonalizable E = ker(T−λ1I)⊕· · ·⊕ker(T−λr), luego el polinomio (x−λ1) · · · (x−λr)anula a todo vector de E. Por tanto, tiene que ser mT (x) = (x− λ1) · · · (x− λr).⇐ Si mT (x) = (x−λ1) · · · (x−λr) con λi 6= λj si i 6= j, por el 1er teorema de descomposiciones E = ker(T − λ1I)⊕ · · · ⊕ ker(T − λr), lo que prueba que T es diagonalizable.

Ejemplo 2.3. Todos los endomorfismos T de un espacio vectorial que verifican la condicionT 3 + 2T 2 − T − 2I = 0 son diagonalizables.En efecto, el polinomio x3 + 2x2 − x − 2 = (x + 2)(x + 1)(x − 1) anula a todo vector deE, luego es multiplo del polinomio anulador, y como descompone en producto de factoreslineales todos diferentes, T es diagonalizable.

Ejemplo 2.4. Calculemos el polinomio caracterıstico del endomorfismo T de R4 con polino-mio anulador mT (x) = (x−2)(x−5), sabiendo que solo tiene un vector propio de valor propio2 linealmente independiente. Por el primer teorema de descomposicion T es diagonalizable,E = ker(T − 2I) ⊕ ker(T − 5I), y como dim ker(T − 2I) = 1 es dim ker(T − 5I) = 3. Ası,

su forma diagonal es D =

2

55

5

y su polinomio caracterıstico cT (x) = |xI −D| =

(x− 2)(x− 5)3.

Ejemplo 2.5. Todos los endomorfismos T tales que T 2 = 4I son diagonalizables sobre R,pues el polinomio x2 − 4 = (x− 2)(x+ 2) y por tanto su anulador puede ser: x− 2, x+ 2 o(x− 2)(x+ 2).Observa que en los dos primeros casos el endomorfismo T es una homotecia de razon 2 y -2,respectivamente, pues que el anulador sea x± 2 significa que T = ±2I.

3. Polinomio anulador y polinomio caracterıstico. Teorema deCaley-Hamilton

Sea E un k-espacio vectorial de dimension finita y T un endomorfismo de E.

Proposicion 3.1. Las raıces del polinomio anulador coinciden con las del polinomio carac-terıstico y son los valores propios de T .

Demostracion. Ya hemos visto que las raıces del polinomio caracterıstico son los valorespropios de T , y hemos demostrado que si λ ∈ k es un valor propio del endomorfismo λ esuna raız de su polinomio anulador (ver Corolario 1.8). Ası pues queda por demostrar que siλ ∈ k es una raız del polinomio anulador λ es un valor propio de T :

SimT (x) = (x−λ)mq(x), siendom la multiplicidad de la raız λ, (x−λ) y q(x) son primosentre sı, luego por el primer teorema de descomposicion es E = ker(T − λI)m ⊕ ker q(T ) yexiste e 6= 0 tal que e ∈ ker(T−λI)m y (T−λI)m−1(e) 6= 0 , pues el anulador de ker(T−λI)m

es (x − λ)m. Por tanto, el vector (T − λI)m−1(e) es un vector propio de valor propio λ, loque prueba que λ es un valor propio de T .

Teorema 3.2. Si el polinomio anulador y el polinomio caracterıstico de T descomponensobre k en producto de factores lineales, es decir, tienen todas sus raıces en k, se verifica:

mT (x) = (x− λ1)n1 · (x− λr)

nr

cT (x) = (x− λ1)m1 · (x− λr)

mr

, siendo ni ≤ mi y λi ∈ k

Demostracion. Por el pirimer teorema de descomposicion, si mT (x) = (x− λ1)n1 · (x− λr)

nr

es E = ker(T − λ1I)n1 · ker(T − λrI)nr .Elegidas bases en cada ker(T − λiI)ni , se obtiene una base de E en la que la matriz de T es

A =

A1

A2

. . .Ar

siendo Ai la matriz de T sobre ker(T − λiI)ni

Calculando el caracterıstico de A se obtiene: cT (x) = cA1(x) · . . . · cAr(x), donde cAi(x) es el

polinomio caracterıstico de Ai. Como el anulador de Ai es (x − λi)ni resulta que cAi

(x) =(x− λi)

mi con mi ≥ ni.

Este teorema demuestra que si k es algebraicamente cerrado el polinomio caracterısticoes un multiplo del polinomio anulador, es decir, el polinomio caracterıstico tambien anu-la, resultado que se conoce con el nombre de Teorema de Caley-Hamilton. Si k no esalgebraicamente cerrado, se puede demostrar pasando al cierre algebraico.

Ejemplo 3.3. Si T es diagonalizable con polinomio caracterıstico cT (x) = (x− 1)2(x− 3)2,¿Cual es su anulador? ¿Y su forma diagonal?

mT (x) = (x− 1)(x− 3) , D =

1

13

3

Ejemplo 3.4. Si dimE = 4, mT (x) = (x + 2)2(x − 4) y dim ker(T − 4I) = 1 , ¿cual es supolinomio caracterıstico?

cT (x) = (x+ 2)3(x− 4)

Ejemplo 3.5. Si dimE = 6, mT (x) = x2(x− 3) y existen solo dos vectores propios de valorpropio 3 linealmente independientes , ¿cual es su polinomio caracterıstico?

cT (x) = x4(x− 3)2


1. Subespacios invariantes por un endomorfismo

Sea E un k-espacio vectorial y T un endomorfismo de E.Un subespacio vectorial V de E es invariante por T si T (v) ∈ V para todo v ∈ V , es decir,si T restringe a un endomorfismo de V .

Ejemplo 1.1. Si p(x) ∈ k[x] y T es un endomorfismo de E, p(T ) es tambien un endomorfismode E y su nucleo ker p(T ) es un subespacio de E invariante por T , pues si e ∈ ker p(T ) esp(T )(T (e)) = T (p(T )(e)) = 0, luego T (e) ∈ ker p(T ).

2. Vectores y valores propios de un endomorfismo

Un vector no nulo e ∈ E es un vector propio del endomorfismo T de E de valor propioλ si T (e) = λe o lo que es equivalente si e ∈ ker(T − λI) y se tiene:

λ ∈ k es un valor propio de T ⇔ ker(T − λI) 6= 0

El subespacio invariante ker(T − λI) es el subespacio propio cuyos vectores no nulos son losvectores propios de valor propio λ.

3. Polinomio caracterıstico. Calculo de los valores propios

Sea T ∈ EndkE y e1, . . . , en una base de E en la que la matriz del endomorfismo T es A.El polinomio det(xI−A) = |xI−A| es invariante por cambios de base, pues si A es la matrizde T entre otra base y B es la matriz del cambio de base se verifica:

|xI−A| = |xI−B−1AB| = |xB−1B−B−1AB| = |B−1(xI−A)B| = |B−1||(xI−A)||B| = |xI−A|

Definicion 3.1. Se llama polinomio caracterıstico del endomorfismo T al polinomio |xI−T |,siendo T la matriz de T respecto de cualquier base de E. Lo representaremos por cT (x).

cT (x) = |xI − T | , grad cT (x) = dimk E

Proposicion 3.2. Los valores propios de T coinciden con las raıces de su polinomio carac-terıstico.

Demostracion.

valores propios de T = λ ∈ k : ker(T − λI) 6= 0 = λ ∈ k : T − λI no es inyectivo= λ ∈ k : det(T − λI) = 0 = λ ∈ k : (−1)n|λI − T | = 0= raıces en k de cT (x) = |xI − T |

Ejemplo 3.3. Calculemos los valores y vectores propios de los endomorfismos de matrices:

(a)

1 1 −20 −1 10 0 3

; (b)

−3 0 02 1 0−1 1 1

; (c)

3 0 −20 1 02 0 −1

1

(a) |xI −A| =

∣∣∣∣∣∣x− 1 1 −2

0 x+ 1 10 0 x− 3

∣∣∣∣∣∣ = (x− 1)(x+ 1)(x− 3)⇒ Valores propios : 1,−1, 3.

Subespacios de vectores propios:• ker(T − I) = 〈v1 = (1, 0, 0)〉

rg(A− I) = rg

0 1 −20 −2 10 0 2

= 2⇒ dimk ker(T − I) = 1 , ker(T − I) ≡

−2y + z = 0

z = 0

• ker(T + I) = 〈v2 = (1,−2, 0)〉

rg(A+I) = rg

2 1 −20 0 10 0 4

= 2⇒ dimk ker(T+I) = 1 , ker(T+I) ≡

2x+ y − 2z = 0

z = 0

• ker(T − 3I) = 〈v2 = (−7, 2, 8)〉

rg(A−3I) = rg

−2 1 −20 −4 10 0 0

= 2⇒ dimk ker(T−3I) = 1 , ker(T−3I) ≡

−2x+ y − 2z = 0

−4y + z = 0

(b) |xI −A| =

∣∣∣∣∣∣x+ 3 0 0−2 x− 1 01 −1 x− 1

∣∣∣∣∣∣ = (x+ 3)(x− 1)2 ⇒ Valores propios : −3, 1(doble).

• ker(T + 3I) = 〈v1 = (8,−4, 3)〉

rg(A+ 3I) = rg

0 0 02 4 0−1 1 4

= 2⇒ ker(T + 3I) = 1 ≡

2x+ 4y = 0

−x+ y + 4z = 0

• ker(T − I) = 〈v2 = (0, 0, 1)〉

rg(A− I) = rg

−4 0 02 0 0−1 1 0

= 2⇒ ker(T − I) ≡

2x = 0

−x+ y = 0

(c) |xI − A| =

∣∣∣∣∣∣x− 3 0 2

0 x− 1 0−2 0 x+ 1

∣∣∣∣∣∣ = (x− 1)3 ⇒ Valores propios : 3(triple).

• ker(T − I) = 〈v1 = (1, 0, 1), v2 = (0, 1, 0)〉

rg(A− I) = rg

2 0 −20 0 02 0 −2

= 1⇒ dimk ker(T − I) = 2 , ker(T − I) ≡ 2x− 2z = 0

Observese que en el caso (a) existe una base de vectores propios pues v1, v2, v3 son li-nealmente independientes y en esta base la matriz del endomorfismo tiene forma diagonal1 0 0

0 −1 00 0 3

. Sin embargo en los casos (b) y (c) solo existen dos vectores propios lineal-

mente independientes.

4. Endomorfismos diagonalizables

Definicion 4.1. Un endomorfismo T ∈ EndkE es diagonalizable si existe una base de Eformada por vectores propios de T , es decir, si existe una base en la que la matriz asociadaa T tiene forma diagonal.

Proposicion 4.2. Vectores propios de valores propios diferentes son linealmente indepen-dientes.

Demostracion. Procederemos por induccion sobre el numero m de vectores propios lineal-mente independientes.Si m = 1 y e es un vector propio, es e 6= 0 y, por tanto, linealmente independiente.Supongamos cierta la proposicion para toda coleccion de m− 1 vectores propios de valorespropios diferentes. Demostraremos que tambien lo es en el caso m:Sean e1, . . . , em m vectores propios de valores propios λi diferentes. Si a1e1 + · · ·+ amem = 0para ciertos ai ∈ k, se verifica:

(T−λ1I)(a1e1+a2e2+· · ·+amem) = 0⇒ a1(λ1−λ1)e1+a2(λ2−λ1)e2+· · ·+am(λm−λ1)em = 0 ,

Por hipotesis de induccion es a2(λ2 − λ1) = · · · = am(λm − λ1) = 0, y como λi 6= λj parai 6= j ha de ser a2 = · · · = am = 0 y tambien a1 = 0 pues de a1e1 + · · ·+ amem = 0 se sigueque a1e1 = 0, de donde a1 = 0 pues e1 6= 0.

Corolario 4.3. Si T es un endomorfismo de un espacio vectorial E de dimension n quetiene n valores propios diferentes, entonces T es diagonalizable.

Demostracion. Existen n vectores propios de valores propios diferentes que, por la proposi-cion anterior, son linealmente independientes, luego forman una base de E.

Teorema 4.4. (Criterio de diagonalizacion por el polinomio caracterıstico) Un endomor-fismo de un k-espacio vectorial E es diagonalizable si y solo si su polinomio caracterısticodescompone en la forma:

cT (x) = (x− λ1)n1 · · · · · (x− λr)

nr , con ni = dimk ker(T − λiI), i = 1, . . . , r

donde λ1, . . . , λr ∈ k son los valores propios diferentes de T en el cuerpo k.

Demostracion.⇒ Si T es diagonalizable existe una base de vectores propios en la que la matriz A de Tes diagonal. Agrupando vectores propios del mismo valor propio podemos suponer que lamatriz A se escribe ası:

λ1

. . .λ1

λ2

. . .λ2

. . .λr

. . .λr

n1n2

...nr

donde λ1, . . . , λr son los valores propios diferentes y ni = dimk ker(T − λiI).Se tiene para el polinomio carcterıstico:

cT (x) = (x− λ1)n1 · · · · · (x− λr)

nr , siendo ni = dimk ker(T − λiI)

⇐ Si cT (x) = (x− λ1)n1 · · · · · (x− λr)

nr y ni = dimk ker(T − λiI), resulta:

dimk E = grad cT (x) = n1 + · · ·+ nr = dimk ker(T − λ1I) + · · ·+ dimk ker(T − λrI).Ademas, como vectores propios de valores propios diferentes son linealmente inde-pendientes, la suma ker(T − λ1I) + · · ·+ ker(T − λrI) es directa

ker(T − λ1I) + · · ·+ ker(T − λrI) = ker(T − λ1I)⊕ · · · ⊕ ker(T − λrI) ⊆ E

Por tanto, E = ker(T − λ1I)⊕ · · · ⊕ ker(T − λrI), y eligiendo una base en cada uno de lossubespacios ker(T −λiI) se obtiene una base de E formada por vectores propios respecto deT .

Ejemplo 4.5. Comprobemos que el endomorfismo T de R3 de matriz

0 2 21 −1 −21 1 −2

no es

diagonalizable.

|xI − T | =

∣∣∣∣∣∣x −2 −2−1 x+ 1 2−1 −1 x+ 2

∣∣∣∣∣∣ = (x− 1)(x+ 2)2

rg(T + 2I) = rg

2 2 21 1 −21 1 0

= 2⇒ dimR ker(T + 2I) = 1 .

Ejemplo 4.6. Sea T el endomorfismo definido por las ecuaciones x = −z, y = x−z, z = y−z.Estudiemos su diagonalizacion sobre los cuerpos R, C y Z/5Z.

A =

0 0 −11 0 −10 1 −1

; cT (x) = |xI − A| = (x+ 1)(x2 + 1)

1. cT (x) = (x+ 1)(x2 + 1) es la descomposicion en factores primos sobre R, luego en Rno diagonaliza pues solo tiene un valor propio real −1.

2. cT (x) = (x+ 1)(x− i)(x+ i) es la descomposicion en factores primos sobre C, luego

sobre C diagonaliza y su forma diagonal es

−1 0 00 i 00 0 −i

.

3. Sobre Z/5Z, como −1 ≡ 4(mod 5) y −2 ≡ 3(mod 5) se tienecT (x) = (x + 1)(x2 + 1) = (x − 4)(x2 − 4) = (x − 4)(x − 2)(x − 3), luego T tiene

tres valores propios diferentes en Z/5Z, 4, 2, 3 y por tanto es diagonalizable, siendo4 0 00 2 00 0 3

su forma diagonal.

Ejemplo 4.7. Sea T el endomorfismo de R3 definido por

T (x, y, z) = (x− 3y + 3z, 3x− 5y + 3z, 6x− 6y + 4z)

Comprobemos que es diagonalizable y calculemos una base de diagonalizacion.

• Matriz asociada A =

1 −3 33 −5 36 −6 4

, polinomio caracterıstico cT (x) = (x+ 2)2(x− 4).

Valores propios=-2(doble), 4.• Dimension de los subespacios de vectores propios:

dimR ker(T + 2I) = 3− rg(A+ 2I) = 2 , dimR ker(T − 4I) = 3− rg(A− 4I) = 1

Luego es diagonalizable, pues la dimension de cada uno de los subespacios propios coincidecon la multiplicidad del valor propio correspondiente.• Base de diagonalizacion v1, v2, v3, siendo v1, v2 una base de ker(T + 2I) y v3 unabase de ker(T − 4I):La ecuacion implıcita de ker(T + 2I) es x− y+ z = 0, luego una base es v1 = (1, 1, 0), v2 =(0, 1, 1).

Unas ecuaciones implıcitas de ker(T − 4I) son

x+ y − z = 0

x− y = 0y por tanto una base es

v3 = (1, 1, 2).

En la base v1, v2, v3 la matriz del endomorfismo T es D =

−2 0 00 −2 00 0 4

.

Se puede comprobar que se verifica: A = B ·D ·B−1, siendo B la matriz del cambio de base,

B =

1 0 11 1 10 1 2

.

Ejemplo 4.8. Busquemos los endomorfismos diagonalizables T de R3 que verifican las con-diciones:(a) El plano π ≡ x+ y = 0 es un subespacio de vectores propios de T .(b) T (1, 0, 0) = (2,−1, 1).Sea e1, e2, e3 la base en la que vienen dadas las condiciones (a) y (b).Como π es un subespacio de vectores propios es π = ker(T − λI) para algun λ ∈ R y unabase de π es (1,−1, 0) = e1−e2, (0, 0, 1) = e3, siendo T (e1−e2) = λ(e1−e2) y T (e3) = λe3.De la condicion (b) se sigue que T (e1) = 2e1 − e2 + e3 = e1 + (e1 − e2) + e3.Los vectores e1, e1− e2, e3 son linealmente independientes luego forman una nueva base deR3, en la que la matriz de T es

A =

1 0 01 λ 01 0 λ

Calculemos el polinomio caracterıstico y veamos para que valores de λ el endomorfismo Tes diagonalizable:• cT (x) = (x− 1)(x− λ)2.

• Si λ = 1 es cT (x) = (x− 1)3.

A− I =

0 0 01 0 01 0 0

, rg(A− I) = 1⇒ dim ker(T − I) = 2 .

Por tanto T no es diagonalizable para λ = 1.• Para todo λ ∈ R− 1 es cT (x) = (x− 1)(x− λ)2.

A− λI =

1− λ 0 01 0 01 0 0

, rg(A− λI) = 1⇒ dim ker(T − λI) = 2 .

Luego T diagonaliza y su forma diagonal es:

D =

1 0 00 λ 00 0 λ

, para λ ∈ R− 1 .

Clasificación de endomorfismos 2Gloria Serrano Sotelo

Subespacios monógenos. Forma de Jordan sobre un subespacio monógenoUn vector no nulo e ΕE con polinomio mínimo q(x) de grado m genera un subespacio Xe, T(e), T2(e),..., Tm-1(e)\ de anulador q(x) ydimensión m=gradoq(x), que llamaremos subespacio monógeno de anulador q(x).Los subespacios monógenos son los subespacios invariantes de dimensión igual al grado de su polinomio anulador.Base de Jordan y forma de Jordan asociadas a un monógeno de anulador Hx - aLm, aΕk

Monógeno de anulador Hx - aLm : Xe, T(e), T2(e),..., Tm-1(e)\

Su base de Jordan es e, (T-aI)(e), HT - aIL2(e),...., HT - aILm-1(e). La matriz del endomorfismo T sobre esta base es su

Forma canónica de Jordan:

a 0 0 0 ... 0

1 a 0 0 ... 0

0 1 a 0 ... 0

0 0 1 a ... 0

: : : : : 0

: : : : : :0 0 0 0 1 a

Observación: Cada monógeno de anulador Hx - aLm contiene un único vector propio de valor propio a linealmente independiente, quecoincide con el último vector de su base de Jordan.Si el anulador del monógeno es pHxLm , con pHxL irreducible sobre k, la base de Jordan se obtiene sustituyendo en la anterior T-aI por p(T),y la forma de Jordan se obtiene de sustituir en la anterior el elemento a por la matriz sobre el monógeno básico de anulador p(x).Veamos algunos ejemplos sobre k=R:

Monógeno de anulador Hx - 2L3

Base de Jordan e, (T-2I)(e), HT - 2 IL2(e) siendo e un vector de E con polinomio mínimo Hx - 2L3, lo que significa que

e Ε kerHT - 2 IL3 pero e no está en kerHT - 2 IL2.

Forma de Jordan

2 0 0

1 2 0

0 1 2

Monógeno de anulador pHxL2=Ix2+ 2 x + 3M2

. Sobre k=R el polinomio p(x)=x2 + 2 x + 3 es irreducible.

Base de Jordan e, T(e), (T2 + 2 T + 3 I)(e), (T2 + 2 T + 3 I)(T(e))

Forma de Jordan

0 -3 0 0

1 -2 0 0

0 1 0 -3

0 0 1 -2

, pues 0 -3

1 -2 es la matriz de T sobre el monógeno básico de anulador x2 + 2 x + 3.

Segundo teorema de descomposición para endomorfismosE descompone en suma directa de subespacios monógenos de anuladores potencias de los factores primos de su anulador.

Si mTHxL = p1HxLm1.p2HxLm2.......prHxLmr es la descomposición en factores primos del polinomio anulador, por el primer teorema de descom-

posición es E=ker p1HTLm1Åker p2HTLm2

Å....Åker prHTLmr y cada subespacio de esta desomposición, de la forma ker pHTLm, descompone

en suma directa de monógenos de anuladores p(x), pHxL2, ...., pHxLm :

ker pHTLm=monógeno

anulador p HxL

Ν1

Åmonógeno

anulador p HxL2

Ν2

Å ... ....monógeno

anulador p HxLm

Νm

donde Νi es el número de monógenos de anulador pHxLi, para i=1....m, y Νm 0.

Matriz de Jordan y base de Jordan de un endomorfismoElegidas bases de Jordan para los monógenos de la descomposición del teorema se obtiene una base de Jordan de E respecto de la que lamatriz de T es

J=

J1 0 0 0 0

0 J2 0 0 0

0 0 . 0 0

0 0 0 . 0

0 0 0 0 Jl

siendo Ji la matriz de Jordan del monógeno correspondiente.

Ejercicios

1. Clasifica y obtén una base de Jordan para el endomorfismo de matriz

(a) 5 -1 -1

1 2 0

2 -1 2

; (b)

7 1 1 -3

-10 0 -2 6

0 0 2 0

5 1 1 -1

2. Si dim E=4, clasifica los endomorfismos de E que verifican T3 - 2 T2-4T+8I=0.

3. Sea T un endomorfismo de E tal que T3 - 3 T2=0 y Ker T=0. Calcula su polinomio anulador. ¿Es cierto que T es una homotecia?

4. Sea E un R-espacio vectorial de dimensión 4 y T un endomorfismo de E con valores propios diferentes 0 y -1, que tiene un único vectorpropio de valor propio 0 linealmente independiente y tres vectores propios de valor propio -1 linealmente independientes.Demuestra que T es diagonalizable y calcula sus polinomios característico y anulador. Escribe la forma de Jordan de T.

5. Clasifica el endomorfismo de matriz 2 0 0

1 1 0

-1 1 1

y calcula una base de Jordan. Demuestra que este endomorfismo es equivalente al

endomorfismo de matriz 3 2 0

-1 0 0

3 4 1

.

6. Sea E un espacio vectorial de dimensión 6. Clasifica los endomorfismos de E con polinomio anulador Hx + 2L2 Hx - 1L2 y tales que elsubespacio de vectores propios de valor propio 1 es de dimensión 2.

7. Clasifica el endomorfismo T de R3 cuyo núcleo es plano de ecuación x-y=0 y es tal que T(0,1,0) es proporcional a (1,0,0) y verifica T2=T.

8. Clasifica los endomorfismos nilpotentes sobre un espacio vectorial de dimensión 3, 4 y 5, respectivamente.

9. Si la forma de Jordan de un endomorfismo es

1 0 0 0

1 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 2

, calcula sus polinomios anulador y característico y escribe la descomposi-

ción del espacio como suma de núcleos (1º Teorema de descomposición) y la descomposición como suma de monógenos (2º Teorema dedescomposición).

10. Sea E= X1, x, x2, x3\ . Clasifica los endomorfismos 3I-2D y D2. Calcula para cada uno de ellos una base de Jordan.

11. Clasifica el endomorfismo T de R3 tal que la restricción de T al plano x+y+z=0 es un giro de 60º y T(1,1,1)=(2,1,0).

12. En el espacio euclídeo R3 y respecto de la referencia dada por:

|e1|=|e2|= 5 , e1. e2=1, |e2+e3|=2 2 ; los subespacios Xe1+e2+e3\ y Vº6x+7y+2z=0

clasifica el endomorfismo definido por T He1) =e2, T(e1+e2)=e3, e3Ε Ker T.

2 FJordan2.nb

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ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA. 10 FISICAS

Geometrıa euclıdea.

1. Solamente una de las afirmaciones siguientes es cierta:a) El producto escalar de un vector por otro vector es un vector.b) El producto escalar de un vector por otro vector es un numero real.c) El producto escalar de un vector no nulo por si mismo es cero.d) El modulo de un vector es el producto escalar del vector por sı mismo.

2. Dado un producto escalar euclıdeo, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) El modulo de un vector es la raız cuadrada positiva del producto escalar del vector porsı mismo.b) El modulo de un vector no nulo es siempre un numero real positivo: |e| > 0 si e 6= 0.c) |e · e′| = |e||e′|, cualesquiera que sean los vectores e y e′ del espacio euclıdeo.d) |e|2 = e · e

3. En R3 con el producto escalar habitual una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) Si e = (1, 2, 3) y e′ = (−1, 1, 1), e · e′ = 4.b) Si e = (2, 1,−1), su modulo es |e| =

√6.

c) El vector u = (1

2, 1,

1

2) es unitario.

d) Si e = (−1, 0,−1) se verifica: |e|2 = 2.

4. Sea e un vector unitario de un espacio euclıdeo. Una de las afirmaciones siguientes esfalsa:a) e · e′ = e para todo vector e′.b) e · e = 1.c) |e| = 1.d) El vector −e tambien es unitario.

5. En R3 con el producto escalar habitual solamente una de las afirmaciones siguientes esfalsa:a) Los vectores e = (1, 0,−1) y e′ = (2, 3, 2) forman un angulo de 90.b) Los vectores de R3 e = (1, 1, 2) y e′ = (0,−2, 1) son ortogonales.c) Dos vectores e y e′ son ortogonales si e · e′ = 0.

d) El vector u = (2

3,1

3,−2

3) es unitario y ortogonal al vector e = (1, 4, 1).

6. En R3 con el producto escalar habitual el coseno del angulo determinado por los vectorese = (3, 2, 1) y e′ = (1, 5,−3) es:

a) 0 ; b) 1 ; c)

√10

7; d)

√7

10

7. En un R-espacio euclıdeo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) El coseno del angulo determinado por dos vectores e y e′ es:

cos(e, e′) =e · e′

|e||e′|b) Si los vectores e y e′ son ortogonales se verifica:

cos(e, e′) = 01

c) Si los vectores e y e′ tienen la misma direccion y el mismo sentido se verifica: cos(e, e′) = 1.d) Si e′ = −2e se verifica: cos(e, e′) = 1.

8. En el espacio euclıdeo R3 con el producto escalar habitual una de las afirmaciones si-guientes es falsa:a) Los vectores e1 = (1, 3,−1), e2 = (2,−1,−1) y e3 = (1, 1, 1) forman una base ortogonalde R3.b) Tres vectores no nulos e1, e2, e3 forman una base ortogonal si y solo si son ortogonalesdos a dos, es decir, si y solo si e1 · e2 = e1 · e3 = e2 · e3 = 0.c) Una base ortogonal es ortonormal si sus vectores son unitarios.d) Tres vectores no nulos e1, e2, e3 forman una base ortonormal si y solo si son ortogonalesdos a dos y unitarios, es decir, e1 · e2 = e1 · e3 = e2 · e3 = 0 y e1 · e1 = e2 · e2 = e3 · e3 = 1.

9. Sean e y e′ vectores de un espacio euclıdeo. Una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) Si |2e + e′| = 9 y |2e − e′| = 5 ⇒ e · e′ = 7. b) Si e · e′ = 5 y |e| = |e′| = 3 se verifica:

cos(e, e′) =5

9. c) Si ˆ(e, e′) = π/3 y |e| = 2, |e′| = 3 entonces e · e′ = 3. d) Si |e| = 2 y |e′| = 5

se verifica: (e+ e′) · (e− e′) = 21.

10. Sean e y v vectores de un espacio euclıdeo. Una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) El valor absoluto del producto escalar de los vectores e y v es igual al modulo de uno porel modulo de la proyeccion ortogonal del otro sobre el:|e·v| = |e||proyeccion ortogonal de v sobre e| b) |e·v| = |v||proyeccion ortogonal de e sobre v|

c) La longitud del vector proyeccion ortogonal de e sobre v es: |v|| cos(e, v)| d) La longitud

del vector proyeccion ortogonal de e sobre v es:|e · v||v|

11. En R3 con el producto escalar habitual considerense los vectores e = (3,−2, 4) y v =(2, 1,−2) vectores de R3. Una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) El modulo de la proyeccion ortogonal de e sobre v es 4

3. b) La proyeccion ortogonal de e

sobre v es el vector

e′ = −4

9(2, 1,−2)

c) La proyeccion ortogonal de e sobre v es el vector

e′ = (−8

9,−4

9,8

9)

d) El modulo de la proyeccion ortogonal de e sobre v es −43.

12. En R3 con el producto escalar habitual, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) El subespacio ortogonal a la recta r ≡ x = −y = z es el plano π ≡ x− y + z = 0

b) El subespacio ortogonal a la recta r ≡

x = −λy = 0

z = 2λ

es el plano π ≡ −x+ y + 2z = 0

c) El subespacio ortogonal al plano π ≡ x− 3y + z = 0 es la recta r ≡ x =y

−3= z

d) El subespacio ortogonal al plano π ≡ 2x+ 3y − z = 0 es la recta r ≡

x = 2λ

y = 3λ

z = −λ

13. En R3 con el producto escalar habitual, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) Los vectores e1 = (1, 0, 1), e2 = (−1, 0, 1), e3 = (0, 2, 0) forman una base ortogonal.b) Los vectores e1 = (1, 0, 0), e2 = (0,−1, 0), e3 = (0, 0, 1) forman una base ortonormal.c) Los vectores e1 = (1, 2, 3), e2 = (5,−1,−1), e3 = (1, 16, 11) forman una base ortogonal.

d) Los vectores e1 = (√

22,−√

22, 0), e2 = (

√2

2,√

22, 0), e3 = (0, 0, 1) forman una base ortonor-

mal.

14. Sea e1, e2, . . . , en una base de un espacio euclıdeo E y sea G la matriz asociada a lametrica euclıdea sobre E respecto de esta base. Solo una de las afirmaciones siguientes esfalsa:a) La matriz G es invertible.b) La matriz G es simetrica.c) La matriz G puede tener algun elemento de su diagonal principal negativo o nulo.d) Todos los menores diagonales de la matriz G son estrictamente positivos.

15. Solo una de las afirmaciones siguientes es cierta:a) La matriz asociada a un producto escalar euclıdeo respecto de cualquier base no puedetener coeficientes negativos.b) La matriz asociada a un producto escalar euclıdeo respecto de una base ortogonal es lamatriz identidad.c) Si la matriz asociada a un producto escalar euclıdeo es diagonal la base en la que esta ex-presada es ortonormal.d) La matriz asociada a un producto escalar euclıdeo respecto de una base ortogonal esdiagonal.

16. Sea G la matriz de un producto escalar euclıdeo respecto de la base e1, e2, . . . , en ysea G la matriz del producto escalar en una nueva base e1, e2, . . . , en. Si B representa lamatriz del cambio de base, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) G = B−1 ·G ·Bb) G = Bt ·G ·Bc) Si e1, e2, . . . , en es una base ortonormal se verifica: G = Bt ·B.d) Si e1, e2, . . . , en y e1, e2, . . . , en son bases ortonormales se verifica: Bt ·B = I.

17. En el espacio euclıdeo R3 se considera la base e1, e2, e3 definida por:

|e1| = |e2| = |e3| = 1 , ˆ(e1, e2) =π

2, ˆ(e1, e3) = ˆ(e2, e3) =

π

3Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

a) La matriz de la metrica euclıdea en esta base es G =

1 0 1/20 1 1/2

1/2 1/2 1

b) Si e = (1, 2, 2) y e′ = (0,−1, 2) son las coordenadas de los vectores e y e′ en la basee1, e2, e3, se verifica:

e · e = 15 , e · e′ = 4 , e′ · e′ = 2

c) Los vectores u y v de coordenadas en la base e1, e2, e3: u = (3,−2, 4) y v = (9, 1,−10)son ortogonales.d) Los vectores e = e1 − e2 + 2e3 y e′ = e1 + e2 − e3 forman un angulo de 90.

18. Sea E un espacio euclıdeo de dimension 3 y sea e1, e2, e3 una base de E tal que:

|e1| = |e2| = 1 , e3 · e3 = 4 , dis(e1, e2) =√

2 , dis(e1, e3) = dis(e2, e3) =√

3

Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

a) La matriz de la metrica euclıdea de E en la base e1, e2, e3 es G =

1 0 10 1 11 1 4

b) Los vectores u1, u2, u3 cuyas coordenadas en la base e1, e2, e3 son u1 = (1, 0, 2), u2 =(3, 0,−1), u3 = (1, 3,−1) forman una base ortogonal de E.c) El subespacio ortogonal a la recta r de ecuaciones en este sistema de coordenadas

r ≡ x

2= −y =

z

3es el plano π ≡ 2x− y + 3z = 0.

d) Los vectores u = e1 + 2e3, v = e1 + 3e2 − e3 determinan un angulo de 90o.

19. La matriz G de la metrica euclıdea sobre R3 respecto de la base e1 = (1, 0,−1), e2 =(2, 1, 0), e3 = (0,−1, 1) es:

a) G =

1 0 00 1 00 0 1

; b) G =

1 2 00 1 −1−1 0 1

c) G =

2 2 −12 5 −1−1 −1 2

; d) G =

2 2 12 5 11 1 2

20. La matriz G de la metrica euclıdea sobre R3 respecto de la base e1, e2, e3 definida por

|e1| = 1 , |e2| = 2 , |e3| = 3 , ˆ(e1, e2) =π

3, ˆ(e1, e3) =

π

2, ˆ(e2, e3) =

π

3es:

a) G =

1 1 01 2 30 3 3

; b) G =

1√

3 0√3 2 3

√3

0 3√

3 3

c) G =

1√

3 0√3 4 3

√3

0 3√

3 9

; d) G =

1 1 01 4 30 3 9

21. La matriz G de la metrica euclıdea sobre R3 respecto de la base e1, e2, e3 definida por

|e1| = 1 , |e2| = |e3| = 2 , dis(e1, e3) = dis(e2, e3) = 1 , dis(e1, e3) =√

3

a) G =

1 2 12 2 71 7 2

; b) G =

1 2 12 4 7/21 7/2 4

c) G =

2 4 24 4 72 7 4

; d) G =

1 2 12 2 7/21 7/2 2

22. Solo una de la siguientes matrices es la matriz asociada a un producto escalar euclıdeo:

a) G =

1 2 12 1 11 1 1

; b) G =

2 1 01 0 10 1 1

c) G =

3 −1 1−1 2 −11 −1 1

; d) G =

3 1 11 1 21 2 1

23. Solo una de las bases definidas en los apartados siguientes es la base en la que la matriz

asociada a una metrica euclıdea es G =

1 0 10 4 01 0 9

a) |e1| = 1 , |e2| = 4 , |e3| = 9 , e1 · e2 = e2 · e3 = 0 , e1 · e3 = 1b) |e1| = 1 , |e2| = 2 , |e3| = 3 , cos(e1, e2) = cos(e2, e3) = 0 , cos(e1, e3) = 1

c) |e1| = 1 , |e2| = 2 , |e3| = 3 , ˆ(e1, e2) = ˆ(e2, e3) = 90o , cos(e1, e3) = 1/3d) |e1| = 1 , |e2| = 4 , |e3| = 9 , cos(e1, e2) = cos(e2, e3) = 0 , cos(e1, e3) = 1/3

24. Sea G =

1 −1 0−1 2 10 1 3

la matriz asociada a la metrica euclıdea T2 de R3 en la base

e1, e2, e3. Sea π el plano de ecuacion, en este sistema de coordenadas, π ≡ x+ y − z = 0.Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

a) La restriccion de T2 al plano π es la metrica de matriz G =

(4 11 5

)en la base

u1 = e1 + e3, u2 = e1 − e2 de π.

b) La restriccion de T2 al plano π es la metrica de matriz G =

(4 33 7

)en la base

u1 = e1 + e3, u2 = e2 + e3 de π.

c) La restriccion de T2 al plano π es la metrica de matriz G =

(4 33 7

)en la base

u1 = (1, 0, 1), u2 = (0, 1, 1) de π.

d) La restriccion de T2 al plano π es la metrica de matriz G =

(4 33 17

)en la base

u1 = e1 + e3, u2 = e1 + e2 + 2e3 de π.

25. El coseno del angulo determinado por las rectas r ≡ −x = y + 1 =z

2y s ≡ x− 1

2=

y = −z, respecto de la metrica euclıdea de R3 que en ese sistema de coordenadas tiene por

matriz G =

2 1 11 1 01 0 2

es:

a) cos(r, s) =

√55

55; b) cos(r, s) =

1

2; c) cos(r, s) =

1

12; d) cos(r, s) =

1

55

26. El subespacio ortogonal a la recta r ≡ x = y = z respecto de la metrica euclıdea de R3

de matriz en ese sistema de coordenadas G =

1 −1 0−1 3 00 0 1

es:

a) El plano π de ecuacion π ≡ x+ y + z = 0.

b) La recta s ≡

x = λ

y = 0

z = −λ.

c) El plano π de ecuacion π ≡ 2y + z = 0d) El plano π de ecuacion π ≡ −x+ 2y + z = 0

27. El subespacio ortogonal al plano π ≡ x− 2y + z = 0 respecto de la metrica euclıdea de

R3 de matriz en ese sistema de coordenadas G =

2 −1 0−1 2 10 1 1

es:

a) La recta r ≡

x = λ

y = −2λ

z = λ

.

b) La recta r ≡

x = 4λ

y = −2λ

z = −λ.

c) El plano π′ ≡ x+ y + z = 0

d) La recta r ≡ x

−2=

y

−5=z

6.

28. En el espacio euclıdeo R4 solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) El subespacio ortogonal a un plano es un plano.b) El subespacio ortogonal a una recta es un hiperplano.c) El subespacio ortogonal a un plano es una recta.d) El subespacio ortogonal a un hiperplano es una recta.

29. En R4 con el producto escalar habitual, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

a) El subespacio ortogonal a la recta x = y =z

2= −t es el hiperplano x+ y + 2z − t = 0.

b) El subespacio ortogonal al hiperplano x− 2y + 3t = 0 es la recta r ≡

x = λ

y = −2λ

z = 3λ

t = 0

.

c) El subespacio ortogonal al plano π ≡

x− y = 0

x+ z − t = 0es el plano

π′ ≡ 〈(1,−1, 0, 0), (1, 0, 1,−1)〉.d) El subespacio ortogonal al plano

π ≡ 〈(0, 1,−1, 2), (1, 1, 1, 1)〉 es el plano π′ ≡

x+ y + z + t = 0

y − z + 2t = 0.

30. En R3 con el producto escalar habitual, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) La recta r que pasa por el origen y es perpendicular al plano x − y + 3z = 1 tiene por

ecuacion r ≡ x = −y =z

3.

b) El plano perpendicular a la recta r ≡

x = 1− λy = 2 + λ

z = 2λ

y que pasa por el punto P = (1, 2,−3)

es π ≡ x− y − 2z = 5.

c) La recta r ≡

x− y = 1

x+ y − z = 0y el plano π ≡ x+ y + 2z = 5 son perpendiculares.

d) El plano π perpendicular a la recta r ≡ x− 1

2= −y =

z + 1

−2y que pasa por el punto

P = (0, 1,−1) es π ≡ 2x+ y − 2z = 3.

31. Sea e1, e2, e3 una base del espacio euclideo R3 tal que:

e1 · e2 = 1 , e2 · e2 = 2 , e3 · e3 = 3 , e1 · e2 = e1 · e3 = 1 , e2 · e3 = 0

Considerando coordenadas respecto de esta base, solo una de las afirmaciones siguientes esfalsa:a) La recta r que pasa por el origen y es perpendicular al plano x − y + 3z = 1 tiene por

ecuacion r ≡

x = 3λ

y = −2λ

z = 0

.

b) El plano π perpendicular a la recta r ≡

x = 1− λy = 2 + λ

z = 2λ

y que pasa por el punto P =

(1, 2,−3) es π ≡ 2x− y + z = −15.

c) La recta r ≡

x− y = 1

x+ y − z = 0y el plano π ≡ x+ y + 2z = 5 no son perpendiculares.

d) El plano π perpendicular a la recta r ≡ x− 1

2= −y =

z + 1

−2y que pasa por el punto

P = (0, 1,−1) es π ≡ x+ 4z = −4.

32. En R3 con el producto escalar habitual, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) Solo existe un plano paralelo al plano π ≡ x+2y+2z = 3 que dista 5 unidades del origen.b) La distancia del origen al plano π ≡ x+ 2y + 2z = 3 es 1.c) La distancia entre los planos π ≡ x+ 2y+ 2z = 3 y π′ ≡ x+ 2y+ 2z = 15 es d(π, π′) = 4.d) Existen dos planos paralelos al plano π ≡ x + 2y + 2z = 3 que distan 5 unidades delorigen, los planos de ecuaciones: x+ 2y + 2z = 15 , x+ 2y + 2z = −15.

33. En R3 con el producto escalar habitual, considerense las rectas

r ≡

2x− y + z = 0

x+ y = 1; s ≡

x+ y = 5

2y − z = 1

Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) Las rectas r y s se cruzan.b) La distancia entre ambas es d(r, s) = 4.c) La distancia entre ambas es d(r, s) = 2

√2.

d) El coseno del angulo que determinan es cos(r, s) =4√

66

33.

34. En R3 con el producto escalar habitual, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) La distancia del punto P = (1, 2, 1) al plano π determinado por los puntos A = (2, 3, 0),

B = (0, 0, 1), C = (0, 1, 0) es d(P, π) =

√3

3.

b) El angulo que determinan la recta r ≡

x = 1− λy = λ

z = 1 + 2λ

y el plano π ≡ x− y+ z = 3 es de

90o.

c) La distancia de la recta r ≡

x = 1− λy = λ

z = 1 + 2λ

al plano π ≡ x− y + z = 3 es 1.

d) La distancia del punto P = (1, 0, 1) a la recta r ≡ x− 1

−1= y =

z − 1

2es 0.

35. En R3 con el producto escalar habitual, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) El lado de un cubo que tiene dos caras contenidas en los planos de ecuaciones x+2y+2z =1 y x+ 2y + 2z = 4 mide 1 unidad.

b) Todos los puntos de la recta r ≡ x

2=

y − 1

3=

z + 2

−1distan

√3 unidades del plano

π ≡ x− y − z + 2 = 0.

c) Las rectas r ≡ x

−2= y = z , s ≡

x = 1 + λ

y = 2

z = 3− λforman un angulo de 45o.

d) La distancia entre las rectas del apartado anterior es d(r, s) = 2√

3.

36. En R3 con el producto escalar habitual, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) El lugar geometrico de los puntos cuya distancia al plano π ≡ 2x − y − 2z = 3 es 2esta constituido por dos planos paralelos al plano π y simetricos respecto de el, los planosπ′ ≡ 2x− y − 2z = 9 y π′′ ≡ 2x− y − 2z = −3 .b) El volumen de la piramide de vertice el punto V = (2,−1, 1) y base el cuadrilaterodeterminado por los puntos A = (1, 1, 1), B = (2, 1, 3), C = (−1, 0, 2), D = (1, 0, 6) es 6.

c) Los planos bisectores de los planos π ≡ x+ y− z = 0 y π′ ≡ x− y+ z = 0 son los planosB1 ≡ y − z = 0 , B2 ≡ x = 0.d) El angulo que determinan los planos de ecuaciones y − z = 0 y x = 0 es de 45o.

37. En R3 con el producto escalar habitual, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) El plano π′ que pasa por los puntos A = (1, 0,−1) y B = (−1, 0, 1) y es perpendicular alplano π ≡ x+ y + z = 0 tiene por ecuacion π′ ≡ x+ 2y + z = 0.b) Los planos de ecuaciones −αx − y + αz = 0 , (α + 3)x + ( 1

α)y − z = 1 , (α 6= 0) , se

cortan en una recta para todo α ∈ R− 0,−2.c) La distancia entre los planos del apartado b) para α = −2 es d(π, π′) =

2

3.

d) La distancia del punto P = (1, 2, 1) al plano x+ y − 3z = 0 es 0.

38. En R3 con el producto escalar habitual, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) El punto simetrico del punto P = (−4, 3, 1) respecto del plano π ≡ x−2y = 0 es el puntoP ′ = (0,−5, 1).

b) La recta r′ simetrica de la recta r ≡

x+ y + z = 3

2x− y = −1respecto del plano π ≡ 2y−z = 0

tiene por ecuaciones:

r′ ≡ x

5=y − 1

−18=z − 2

−1c) El plano simetrico del plano π ≡ x−2y+z = 1 respecto del plano de ecuacion x−2y+z = 4es el plano π′ ≡ x− 2y + z = 6.d) El plano simetrico del plano π ≡ 3x − y + 5z = 2 respecto del plano de ecuacionx+ 2y − z = 1 es el plano π′ ≡ 13x+ 5y + 11z = 10.

39. Sea e1, e2, e3 la base del espacio euclıdeo R3 definida por las condiciones:

|e1| = 1 , |e2| = 2 , |e3| = 3 , ˆ(e1, e2) = ˆ(e2, e3) =π

3, ˆ(e1, e3) =

π

2En el sistema de coordenadas definido por esta base, solo una de las afirmaciones siguienteses falsa:

a) La distancia del punto P = (1, 2, 0) a la recta r ≡ x− 1

2= y = −z es d(P, r) =

2

5

√85.

b) La distancia entre las rectas r y s de ecuaciones r ≡ x− 1

2= y = −z , s ≡ x =

y + 1

−1= z

es d(r, s) =√

3.

c) La distancia de la recta s ≡ x =y + 1

−1= z al plano π ≡ x+ y = 1 es d(r, π) = 2.

d) El punto simetrico del punto P = (1, 2, 0) respecto de la recta r ≡ x− 1

2= y = −z es

P ′ = (−4, 13,−6).

40. En el espacio euclıdeo R3 se considera la referencia e1, e2, e3 definida por las condicio-nes:

|e1| = 1 , |e2| = |e3| = 2 , dis(e1, e2) = dis(e2, e3) = 1 , dis(e1, e3) =√

3

En este sistema de referencia, solo una de las afirmaciones siguientes es cierta:a) El coseno del angulo determinado por las direcciones de las rectas de ecuaciones

r ≡

x+ y = 1

y − z = 2, r′ ≡

x+ y + z = 1

x+ z = 2es cos(r, r′) =

3√

30

2.

b) La recta s perpendicular al plano π ≡ x− y+ z = 2 que pasa por el punto P = (0, 1,−1)

es s ≡ x

5=y − 1

−4=z + 1

2.

c) La distancia de la recta r ≡

x+ y = 1

y − z = 2al plano π ≡ 2x+ y + z = 1 es d(r, π) =

1√6

.

d) La distancia entre las rectas r ≡

x+ y = 1

y − z = 2y s ≡ x

5=y − 1

−4=z + 1

2es d(r, s) = 0.

41. Dadas las rectas r ≡

x+ 2y = 1

y + z = 0y s ≡ x− 3 =

y + 1

2=z − 1

−1del espacio euclıdeo

R3, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) Las rectas r y s se cortan en un punto.b) Respecto de una referencia ortonormal, la distancia del punto P = (1, 0, 2) a la recta res d(P, r) =

√30.

c) Respecto la referencia unitaria e1, e2, e3 tal que ˆ(e1, e2) = 60o , ˆ(e1, e3) = ˆ(e2, e3) = 90o,

la distancia del punto P = (1, 0, 2) a la recta r es d(P, r) =

√14

2.

d) Respecto de la referencia ortogonal e1, e2, e3 tal que |e1| = 2 , |e2| = |e3| = 3, la distancia

de la recta r al plano π ≡ x+ y − z = 2 es d(r, π) =6√

17

17.

42. En el espacio euclıdeo R3 con el producto escalar habitual, solo una de las afirmacionessiguientes es cierta:a) La altura relativa al origen del tetredro de lados las longitudes de los vectores e1, e2, e3definidos por las condiciones:

|e1| = 1 , |e2| = 2 , |e3| =√

2 , ˆ(e1, e2) = 90o , ˆ(e1, e3) = 45o , ˆ(e2, e3) = 60o

es igual a√

3.b) En la referencia e1, e2, e3 del apartado a) el plano π que pasa por el punto P = (1, 0, 0)

y es perpendicular a la recta r ≡

x− y = 1

x+ y + z = 2tiene por ecuacion π ≡ x+ y − 2z = 1.

c) En el sistema de coordenadas definido por la base e1, e2, e3 del apartado a) el punto

simetrico del punto P = (1, 0, 0) es el punto P ′ = (0, 1−√

2,

√2

3).

d) Respecto de una referencia ortonormal, la distancia del plano de ecuacion 2x−y−2z = 1

al origen es1

3. Sin embargo, respecto de la referencia del apartado a) esta distancia es

√2

3.

43. En el espacio euclıdeo R3 y respecto de una referencia ortonormal, solo una de lasafirmaciones siguientes es falsa:a) Los valores de x e y para los que el vector (x, y, 1) es perpendicular a los vectorese = (1, 1, 0) y e′ = (2, 3,−1) son x = −1, y = 1.

b) La recta s que pasa por el origen y es paralela a la recta r ≡

3x− y + 2z = 3

2x+ y + z = 2es

s ≡ x =y

−3=z

5.

c) El plano π que pasa por el origen y es paralelo a las rectas

r ≡

2x− 3y + 4z = 1

x− 2z = 6, r′ ≡ x+ 1

3=y − 2

−2=

z

−3

es π ≡ 2x− 3y + 4z = 0.d) La recta r que pasa por el punto P = (1, 0, 1) y es paralela a los planos

π ≡ x+ y + z = 0 , π′ ≡ z − 2 = 0 es r ≡

x+ y = 1

x+ y + z = 2.

44. En el espacio euclıdeo R3 solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) Respecto de una referencia ortonormal, la ecuacion del plano π′ que pasa por el puntoP = (0, 3, 1), es perpendicular al plano π ≡ 2x−y−z = 0 y paralelo la recta r de ecuacionesx = y + 1 = −z es π′ ≡ 2x+ y + 3z = 6.b) Respecto de una referencia ortogonal e1, e2, e3 tal que |e1| = 1 , |e2| = 1 y |e3| = 2, laecuacion del plano π′ que verifica las condiciones del apartado a) es π′ ≡ 5x+7y+12z = 33.c) Respecto de una referencia unitaria e1, e2, e3 definida por dis(e1, e2) = dis(e1, e3) =

√2

y dis(e2, e3) = 1, la ecuacion del plano π′ que verifica las condiciones del apartado a) esπ′ ≡ x+ y + 2z = 5.d) En el sistema de coordenadas respecto del que la matriz de la metrica euclıdea es

G =

1 1 01 2 00 0 2

, la ecuacion del plano π′ que verifica las condiciones del apartado a) es

π′ ≡ 7x+ 9y − 16z = 11.

45. En el espacio euclıdeo R3 dadas las rectas

r ≡

y = x+ 3

z = 2x+ 2, s ≡

y = −1

2

x = −2z + 3

Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) El plano paralelo a la recta s y que contiene a la recta r es π ≡ x− 5y − 2z + 11 = 0.b) El plano π perpendicular a la recta s que contiene a la recta r es π ≡ 2x− z + 2 = 0.c) Las ecuaciones de la recta de direccion perpendicular a ambas y que pasa por el origen

son x =y

−5=z

2.

d) Supongamos dadas las rectas r y s del enunciado en el sistema de coordenadas respecto

del que la matriz de la metrica euclıdea es G =

2 0 10 1 01 0 2

. Las ecuaciones de la recta de

direccion perpendicular a ambas que pasa por el origen son

4x+ y + 5z = 0

5x+ y + 5z = 0.

46. En el espacio euclıdeo R3, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:a) El volumen del paralelepıpedo determinado por los vectores e1, e2, e3 tales que

|e1| = |e2| = |e3| = 1 , e1 · e2 = 0 , ˆ(e3, e1) = 45o , ˆ(e3, e2) = 60o es1

2.

b) La matriz de la metrica euclıdea en la base e1, e2, e3 definida en el apartado a) es

G =

1 0√

2/20 1 1/2√2/2 1/2 1

.

c) La altura del paralelepıpedo del apartado a) es 1.d) El area de la base del paralelepıpedo del apartado a) es 1.

Soluciones: Geometrıa euclıdea.

1. b) ; 2. c) ; 3. c) ; 4. a) ; 5. d) ; 6. c) ; 7. d) ; 8. a) ; 9. d) ; 10. c) ;11. d) ; 12. b) ; 13. c) ; 14. c) ; 15. d) ; 16. a) ; 17. b) ; 18. c) ; 19. c) ;20. d) ; 21. b) ; 22. c) ; 23. c) ; 24. d) ; 25. a) ; 26. c) ; 27. d) ; 28. c) ;29. b) ; 30. d) ; 31. b) ; 32. a) ; 33. b) ; 34. c) ; 35. c) ; 36. d) ; 37. a) ;38. c) ; 39. d) ; 40. b) ; 41. b) ; 42. d) ; 43. b) ; 44. d) ; 45. a) ; 46. c)


ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA. 10 FISICASMetricas y formas cuadraticas.

1. La matriz de la metrica T2((x, y, z), (x′, y′, z′)) = xx′ + yy′ + 3zz′ − 2xz′ − 2zx′ es:

(a)

1 0 −20 1 02 0 3

(b)

1 0 −20 1 0−2 0 3

(c)

1 0 −10 1 0−1 0 3

(d)

1 0 10 1 01 0 3

2. Para la metrica T2 de matriz

0 1 3 −1−1 1 0 1−3 0 0 −21 −1 2 0

, solo una de las afirmaciones siguientes

es cierta:

(a) T2 es una metrica hemisimetrica.(b) T2 es una metrica degenerada.(c) El radical de T2 es de dimension 2.(d) T2 es una metrica no singular.

3. La expresion en coordenadas de la metrica de matriz

2 3 11 1 01 0 2

es:

(a) T2((x, y, z), (x′, y′, z′)) = 2xx′ + yy′ + 2zz′ + 3xy′ + yx′ + 2xz′

(b) T2((x, y, z), (x′, y′, z′)) = 2xx′ + yy′ + 2zz′ + 4xy′ + 2xz′

(c) T2((x, y, z), (x′, y′, z′)) = 2xx′ + yy′ + 2zz′ + 3xy′ + yx′ + xz′ + zx′

(d) T2((x, y, z), (x′, y′, z′)) = 2xx′ + 3xy′ + 3yx′ + yy′ + 2zz′ + 2xz′

4. Solo una de las siguientes metricas es euclıdea:

(a)

2 1 21 0 32 3 1

(b)

1 1 11 1 21 1 1

(c)

1 2 12 1 01 0 1

1

(d)

2 1 11 2 21 1 2

5. La descomposicion de la metrica

2 4 86 10 122 4 6

en suma de una metrica simetrica y otra

hemisimetrica es:

(a)

2 4 86 10 122 4 6

=

2 5 55 10 85 8 6

+

0 1 3−1 0 4−3 −4 0

(b)

2 4 86 10 122 4 6

=

2 5 55 10 85 8 6

+

0 −1 31 0 4−3 −4 0

(c)

2 4 86 10 122 4 6

=

2 5 55 10 85 8 6

+

0 1 3−1 0 −4−3 4 0

(d) Ninguna de las anteriores.

6. El radical de la metrica T2 =

1 2 11 −1 02 1 1

es:

(a) RadT2 = 0(b) RadT2 = 〈(1,−1, 3)〉(c) RadT2 = 〈(1, 1,−1)〉(d) RadT2 = 〈(−1, 1, 3)〉

7. Sea (E, T2) un espacio metrico, solamente una de las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) Todos los vectores de RadT2 son isotropos.(b) La metrica T2 es irreducible si el determinante de su matriz respecto de cualquier

base es no nulo.(c) Un subespacio suplementario de RadT2 es no singular.(d) Los subespacios no singulares de E no tienen vectores isotropos.


(a) Un subespacio de E es elıptico si no tiene vectores isotropos no nulos.(b) Un subespacio de E es un plano hiperbolico si es de dimension 2 y no singular.(c) Un plano hiperbolico de E es un subespacio no singular de dimension 2 y con algun

vector isotropo no nulo.(d) Un subespacio de E es hiperbolico si es suma ortogonal de planos hiperbolicos.

9. La restriccion de una metrica simetrica a un plano hiperbolico verifica:

(a) rango=1, ındice=0, signatura +(b) rango=2, ındice=0, signatura +(c) rango=2, ındice=1(d) rango=1, ındice=1

10. Para la restriccion de una metrica simetrica a un subespacio elıptico de dimension 3,cual de las afirmaciones siguientes es falsa?:

(a) Su rango es 3 y su ındice es 0.(b) Su rango es 3 y su ındice es 1.(c) Su signatura puede ser positiva o negativa.(d) No tiene radical.


(a) Si dimE = 3 y dim RadT2 = 2, los subespacios suplementarios del radical son elıpti-cos.

(b) Si los unicos vectores isotropos no nulos son los del radical de T2, los subespaciossuplementarios del radical son elıpticos.

(c) Un subespacio hiperbolico de E nunca puede tener dimension impar.(d) La restriccion de T2 a un subespacio elıptico es una metrica singular.

12. La matriz de la metrica T2((x, y), (x′, y′)) = xx′+4yy′+2xy′+3yx′ en la base (1, 3), (2,−1)es:

(a)

(52 61 −2

)(b)

(52 −61 −2

)(c)

(52 6−1 −2

)(d) Ninguna de las anteriores.

13. Si G =

1 −2 30 2 −11 2 0

es la matriz de la metrica T2 en la base e1, e2, e3, la matriz de

T2 en la base e1 − e2 + e3, e1 − 2e3, 2e1 + 3e2 es:

(a)

8 −2 −68 −20 −73 10 −4

(b)

8 8 3−6 −7 −4−2 −20 10

(c)

1 0 −68 −20 −73 10 −4

(d)

8 −6 −28 −7 −203 −4 10

14. Si G =

1 1 1−1 2 13 1 2

es la matriz de la metrica T2 en la base e1, e2, e3, la matriz de

T2 en la base e2, e1, e3 es:

(a)

2 −1 11 1 11 3 2

(b)

1 1 12 −1 13 1 2

(c)

−1 1 32 1 11 1 2

(d) G

15. Para la metrica restriccion de T2((x, y, z), (x′, y′, z′)) = xx′ + yy′ + 3zz′ − 2xz′ − 2zx′ alplano de ecuacion 2x + y − z = 0, cual de las afirmaciones siguientes es falsa?:

(a) Su matriz en la base (1, 1, 3), (0, 1, 1) es

(17 99 5

).

(b) Es simetrica.

(c) Su matriz en la base (0, 1, 0), (1, 0, 2) es

(5 44 4

).

(d) Su matriz en la base (0, 1, 1), (1, 0, 2) es

(4 44 5

).

16. La restriccion de la metrica T2, de matriz G =

1 2 −11 1 10 2 1

en la base e1, e2, e3, al

subespacio generado por los vectores e1 − e2 y e1 + e3 verifica solo una de las condicionessiguientes:

(a) Es simetrica(b) Es singular

(c)

(1 23 −1

)es su matriz respecto de la base e1 − e2, e1 + e3.

(d)

(−1 −2−3 1

)es su matriz respecto de la base e1 − e2, e1 + e3.

17. Solo una de las siguientes metricas es no singular:

(a)

1 2 −11 1 10 1 −2

(b)

2 0 11 −1 23 1 1

(c)

3 1 −20 1 13 −1 −4

(d)

0 1 0 01 1 1 11 0 1 12 −1 1 1

18. Una base del radical de la metrica G =

1 1 1−1 2 10 3 2

es:

(a) (−1,−2, 3)(b) (0, 0, 0)(c) (1, 1,−1)(d) (1, 1, 1

19. Respecto de la metrica de R3 de matriz G =

1 2 −12 1 1−1 1 −2

, el subespacio de ecuacion

2x− 2y + z = 0 es :

(a) Un subespacio no singular sin vectores isotropos.(b) Un subespacio elıptico de dimension 2.(c) Un plano hiperbolico.(d) Un subespacio singular.

20. Sea

1 3 23 0 12 1 1

la matriz de una metrica T2 sobre R3. Solo una de las siguientes afirma-

ciones es falsa:

(a) La restriccion de T2 al subespacio 〈e1, e2〉 es

(1 33 0

)y 〈e1, e2〉 es un plano hiperbolico.

(b) La restriccion de T2 al subespacio 〈e2, e3〉 es

(0 11 1

)y 〈e2, e3〉 es un plano elıptico.

(c) La restriccion de T2 al subespacio 〈e1, e3〉 es

(1 22 1

)y 〈e1, e3〉 es un plano hiperbolico.

(d) La restriccion de T2 al subespacio 〈e1− e2, e3〉 es

(−5 11 1

)y 〈e1− e2, e3〉 es un plano

hiperbolico.

21. Para la metrica G =

0 1 01 2 10 1 1

solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) No tiene radical.

(b) Su forma reducida es

1 0 00 −1 00 0 1

.

(c) No tiene vectores isotropos no nulos.(d) Tiene ındice 1.


1 2 12 3 11 1 0

solo una de las afirmaciones siguientes es cierta:

(a) Su rango es 2 y su ındice es 1, r = 2, i = 1.(b) Su rango es 3, su ındice es 1 y su signatura positiva, r = 3, i = 1, Signatura+.(c) No tiene vectores isotropos.(d) Es una metrica euclıdea.

23. Si la forma reducida de una metrica simetrica sobre un R-espacio vectorial de dimension

4 es

0 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

, cual de las siguientes afirmaciones es cierta?:

(a) r = 3, i = 2.(b) r = 3, i = 0, Signatura−.(c) r = 3, i = 1, Signatura−.(d) r = 3, i = 1, Signatura+.

24. Si el rango, ındice y signatura de una metrica sobre R4 son, respectivamente, r = 4, i =1, Signatura+, cual de las siguientes afirmaciones es falsa?:

(a) Su forma reducida es

1 0 0 00 −1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

(b) No tiene radical.(c) Tiene vectores isotropos no nulos.(d) R4 = H2 ⊥ W , siendo H2 un plano hiperbolico y W un subespacio elıptico de

dimension 2 en el que la restriccion de la metrica es definido negativa.

25. Sean r0 = 1, r+ = 2 y r− = 1 el numero de raıces nulas, el numero de raıces positivas yel numero de raıces negativas de la ecuacion secular de una metrica T2 sobre un R-espaciovectorial E. Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) r = 3, i = 1, Signatura+.


0 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

.

(c) Su forma reducida es

0 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

.

(d) E = RadT2 ⊥ H2 ⊥ W , siendo RadT2 el radical de la metrica, H2 un plano hiperboli-co y W un subespacio elıptico de dimension 1 en el que la retriccion de la metrica esdefinido positiva.

26. Sea x4− 5x3− 13x2 + 21x− 4 = 0 la ecuacion secular de una metrica simetrica G sobreR4. Cual de las siguientes afirmaciones es falsa?:

(a) La metrica es irreducible, de ındice 1 y signatura positiva.(b) r0 = 0, r+ = 2 y r− = 2.

(c) Su forma reducida es

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

.

(d) R4 = H2 ⊥ W , siendo H2 un plano hiperbolico y W un subespacio elıptico dedimension 2 en el que la restriccion de la metrica es definido positiva.

27. Sea x3−3x2 el polinomio caracterıstico del endomorfismo asociado a una metrica simetri-ca T2 y a una metrica euclıdea auxiliar sobre R3. Solo una de las afirmaciones siguientes esfalsa:

(a) rangoT2 = 1, ındice T2 = 0, SignaturaT2 +(b) rangoT2 = 2, ındice T2 = 0, SignaturaT2 +.

(c) Forma reducida de T2

0 0 00 0 00 0 1

.

(d) No existen planos hiperbolicos para la metrica T2.

28. Si, en un sistema de cooordenadas dado, la ecuacion secular de una metrica simetricaT2 sobre R3 es (x + 3)2(x + 1) = 0, cual de las afirmaciones siguientes es cierta?:

(a) T2 es no singular y definido positiva.(b) T2 tiene rango 3, ındice 1 y signatura positiva.(c) T2 no tiene vectores isotropos no nulos.(d) T2 es no singular y definido negativa.

29. Si la forma reducida de la metrica T2 sobre R3 es

1 0 00 1 00 0 −1

, cual de las siguientes

afirmaciones es falsa?:

(a) rangoT2 = 3, ındice T2 = 1, SignaturaT2 +.(b) R3 = H2 ⊥ W , siendo H2 un plano hiperbolico y W un subespacio elıptico de

dimension 1 sobre el que la metrica restriccion es definido negativa.(c) RadT2 = 0.

(d) La ecuacion secular de T2, respecto de cualquier base, tiene dos raıces positivas y unaraız negativa.


1 1 0 01 2 1 00 1 0 −10 0 −1 −2

, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) Su ecuacion secular es x4 − x3 − 7x2 + 4x + 1 = 0.(b) r = 4, i = 2.(c) Existe un plano sobre el que la metrica restriccion es euclıdea.(d) No tiene vectores isotropos no nulos.

31. Dada la metrica G =

3 3 03 1 20 2 −2

. Cual de las siguientes afirmaciones es falsa?:

(a) Es singular y su radical es el subespacio RadT2 = 〈(−1, 1, 1)〉.


0 0 00 1 00 0 1

.

(c) Su ecuacion secular es: x3 − 2x2 − 18x = 0.(d) r = 2, i = 1.

32. Dada la metrica

T2((x, y, z), (x′, y′, z′)) = 2xx′ + 2yy′ + 2zz′ + xy′ + xz′ + yx′ + yz′ + zx′ + zy′

Cual de las siguientes afirmaciones es falsa?:

(a) Su matriz en el sistema de coordenadas dado es G =

2 1 11 2 11 1 2

.

(b) Su ecuacion secular es (x− 1)2(x− 4) = 0.(c) Una base ortonormal de diagonalizacion es:

1√2

(1, 0,−1),1√6

(1,−2, 1),1√3

(1, 1, 1)

(d) Su forma diagonal, respecto de la base 1√2(1, 0,−1), 1√

2(1,−1, 0), 1√

3(1, 1, 1), es1 0 0

0 1 00 0 4

.


−2 0 20 1 02 0 1

, solo una de las siguientes afirmaciones es cierta

(a) Su ecuacion secular es (x− 1)2(x− 4) = 0.(b) Una base ortonormal de diagonalizacion es (−2, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 2)(c) Una base ortonormal de diagonalizacion es (2, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 2)(d) Una base ortonormal de diagonalizacion es 1√

5(−2, 0, 1), (0, 1, 0),

1√5

(1, 0, 2)

34. La restriccion de la metrica

T2((x, y, z, t), (x′, y′, z′, t′)) = xy′+xz′+2xt′+yx′+yy′−yz′+yt′+zx′−zy′+3zt′+2tx′+ty′+3tz′

al hiperplano de ecuacion x = 0 no verifica una de las afirmaciones siguientes:

(a) Es irreducible.


1 0 00 1 00 0 −1

.

(c) Su rango es 3 y su ındice 1.(d) Una base ortonormal de diagonalizacion es:

( 1√2

(0, 1, 1),1√6

(−2, 1, 1),1√326

(−6,−11, 13)

35. Sea T2 la metrica sobre R4 de matriz asociada

2 0 −2 00 1 0 −2−2 0 1 00 −2 0 1

, respecto de la base

e1, e2, e3, e4. Sea T ′2 la metrica restriccion de T2 al hiperplano generado por los vectorese2, e3, e4. Cual de las siguientes afirmaciones es falsa?:

(a) La matriz de la metrica T ′2 en la base e2, e3, e4 es

1 0 −20 1 0−2 0 1

.

(b) rangoT2 = 4, ındiceT2 = 2; rangoT ′2 = 3, ındiceT ′2 = 1.(c) rangoT2 = 4, ındiceT2 = 1; rangoT ′2 = 3, ındiceT ′2 = 1.(d) Una base ortonormal de diagonalizacion para la metrica restriccion T ′2 es:

( 1√2

(1, 0, 1), (0, 1, 0),1√2

(1, 0,−1)

36. Dada la forma cuadratica Q(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 4xy − 4xz + 2yz, cual de lasafirmaciones siguientes es cierta?:

(a) La matriz de la metrica simetrica asociada en el sistema de coordenadas dado es 1 2 −22 1 2−2 2 1

.

(b) Su rango es 3, su ındice es 1 y su signatura es negativa.(c) La matriz de la metrica simetrica asociada en el sistema de coordenadas dado es1 2 1

2 1 21 2 1

.

(d) Su rango es 3, su ındice es 1 y su signatura es positiva.

37. Dada la forma cuadratica Q(x, y, z) = x2 + y2 − 2z2 + 4xy + 2xz − 2yz, cual de lasafirmaciones siguientes es falsa?:

(a) La metrica simetrica asociada es degenerada y de ındice 1.

(b) En la base 1√6

(−1, 1, 2),1√3

(1,−1, 1),1√2

(1, 1, 0), la matriz de la metrica asociada

es

−3 0 00 0 00 0 3

.

(c) Existen coordenadas x, y, z respecto de las que la forma cuadratica se expresa ası:

Q(x, y, z) = −3x2 + 3z2

(d) Los vectores 1√6

(1,−1,−2),1√2

(1,−1, 1),1√2

(1, 1, 0) forman una base ortonormal

de diagonalizacion.

38. Sea G =

2 3 13 2 −11 −1 0

la matriz asociada a una metrica sobre R3, respecto de un

sistema de coordenadas dado. Cual de las afirmaciones siguientes es falsa?:

(a) La expresion en esas coordenadas de la forma cuadratica asociada esQ(x, y, z) = 2x2 + 2y2 + 6xy + 2xz − 2yz

(b) Una base ortonormal de diagonalizacion es 1√3

(1,−1,−1),1√6

(1, 1, 2),1√2

(1, 1, 0).

(c) Existen coordenadas x, y, z respecto de las que la forma cuadratica se expresa ası:

Q(x, y, z) = −2x2 + y2 + 5z2

(d) En la base 1√3

(1,−1,−1),1√6

(1,−1, 2),1√2

(1, 1, 0) la matriz de la metrica asociada

es

−2 0 00 1 00 0 5

.

39. Solo una de las siguientes formas cuadraticas define un producto escalar euclıdeo sobreR3:

(a) Q(x, y, z) = 3x2 + y2 + z2 + 2yz(b) Q(x, y, z) = x2 + y2 + 2z2 − 4xz(c) Q(x, y, z) = x2 + z2 + 6xy − 2xz(d) Q(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xy + xz + yz

40. Dada la forma cuadratica Q(x, y, z, t) = 2y2+3z2−4zt, cual de las siguientes afirmacioneses falsa?

(a) La metrica simetrica asociada tiene rango 3, ındice 1 y signatura positiva.

(b) En la base 1√5

(0, 0, 1, 2), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0),1√5

(0, 0,−2, 1) la matriz de la metri-

ca asociada es

−1 0 0 00 0 0 00 0 2 00 0 0 4

(c) Los vectores (0, 0, 1, 2), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0,−2, 1) forman una base ortonor-

mal de diagonalizacion.(d) Existen cooordenadas x, y, z, t respecto de las que Q se escribe

Q(x, y, z, t) = −x2 + 2z2 + 4t2


Giros y simetras en R2

1. En el plano euclıdeo R2 y respecto de la referencia ortonormal O,X, Y , la matriz de lasimetrıa respecto del eje Y es:

(a)

(1 00 1

)(b)

(1 00 −1

)(c)

(0 −11 0

)(d)

(−1 00 1

)2. En la referencia ortonormal O,X, Y de R2, si SX representa la simetrıa respecto del ejeX solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) SX es la aplicacion lineal definida por

R2 SX−−→ R2

(x, y) 7→ (x,−y)

(b) La matriz de SX es

(1 00 −1

)(c) La matriz A de SX verifica A · At = I y |A| = −1

(d) Las ecuaciones de SX son

x = y

y = −x

3. En la referencia ortonormal O,X, Y de R2, si A es la matriz de la simetrıa respecto delorigen O solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) A =

(−1 00 −1

)(b) A · At = I y |A|=1(c) La aplicacion lineal asociada es

R2 SO−→ R2

(x, y) 7→ (−x,−y)

(d) A =

(1 00 1

)

1

4. En la referencia ortonormal O,X, Y de R2, si τα representa el giro de centro O y anguloα, solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) Como aplicacion lineal es

R2 τα−→ R2

(x, y) 7→ (x cosα− y sinα, x sinα + y cosα)

(b) La matriz asociada es

(cosα − sinαsinα cosα

)(c) Sus ecuaciones son

x = x cosα− y sinα

y = x sinα + y cosα

(d) La matriz asociada es

(cosα sinα− sinα cosα

)5. En la referencia ortonormal O,X, Y de R2, sean SX , SY y SO las simetrıas respecto deleje X, eje Y y el origen O, respectivamente, y τα el giro de centro O y angulo α. Solo unade las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) S2X = I = S2

Y , SX SY = SO y SO = τ180(b) τ 2α = τ2α(c) det(τα) = 1(d) det(SX) = det(SY ) = 1

Giros y simetras en R3

6. En el espacio euclıdeo R3, respecto de la referencia ortonormal O,X, Y, Z, la matriz dela simetrıa respecto del plano XY es:

(a)

1 0 00 −1 00 0 1

(b)

−1 0 00 1 00 0 1

(c)

−1 0 00 −1 00 0 1

(d)

1 0 00 1 00 0 −1

7. En el espacio euclıdeo R3, respecto de la referencia ortonormal O,X, Y, Z, si SY Z re-presenta la simetrıa respecto del plano Y Z solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) SY Z es la aplicacion lineal definida por

R3 SY Z−−→ R3

(x, y, z) 7→ (−x, y, z)

(b) La matriz de SY Z es

−1 0 00 1 00 0 1

(c) La matriz A de SY Z cumple A · At = I y |A| = −1

(d) Las ecuaciones de SY Z son

x = x

y = −yz = z

8. En el espacio euclıdeo R3, respecto de la referencia ortonormal O,X, Y, Z, si SX repre-sentan la simetrıa respecto del eje X solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) SX es la aplicacion lineal definida por

R3 SX−−→ R3

(x, y, z) 7→ (x,−y,−z)

(b) La matriz de SX es

1 0 00 −1 00 0 −1

(c) La matriz A de SX cumple A · At = I y |A| = 1

(d) La matriz de SX es

−1 0 00 −1 00 0 1

9. En el espacio euclıdeo R3, respecto de la referencia ortonormal O,X, Y, Z, sean SY lasimetrıa respecto del eje Y y SO la simetrıa respecto del origen O. Solo una de las afirmacionessiguientes es falsa:

(a) SY y SO son las aplicaciones lineales definidas respectivamente por

R3 SY−→ R3

(x, y, z) 7→ (−x, y,−z)

R3 SO−→ R3

(x, y, z) 7→ (−x,−y,−z)

(b) La matriz de SY es

−1 0 00 1 00 0 −1

(c) Se cumple SY SO = SXZ(d) La matriz A de SO cumple A · At = I y |A| = 1

10. En el espacio euclıdeo R3, respecto de la referencia ortonormal O,X, Y, Z, sea τα,z elgiro de centro O, angulo α y eje de giro Z (perpendicular al plano de giro XY ). Solo una delas afirmaciones siguientes es falsa:

(a) Como aplicacion lineal es

R3 τα,z−−→ R3

(x, y, z) 7→ (x cosα− y sinα, x sinα + y cosα, z)

(b) Su matriz asociada es A =

cosα − sinα 0sinα cosα 0

0 0 1

y cumple At · A = I y |A| = 1

(c) Sus ecuaciones son

x = x cosα− y sinα

y = x sinα + y cosα

z = z

(d) Su matriz asociada es

cosα sinα 0− sinα cosα 0

0 0 1

11. En el espacio euclıdeo R3, respecto de la referencia ortonormal O,X, Y, Z, la matrizdel giro τα,Y de centro O, angulo α y eje de giro Y es:

(a) A =

1 0 00 cosα − sinα0 sinα cosα


(b) A =

cosα − sinα 0sinα cosα 0

0 0 1


(c) A =

cosα 0 − sinα0 1 0

sinα 0 cosα

y cumple At · A = I y |A| = −1

(d) A =

cosα 0 − sinα0 1 0

sinα 0 cosα


12. En el espacio euclıdeo R3, respecto de la referencia ortonormal O,X, Y, Z, sean SXY ,SXZ , SY Z las simetrıas respecto de los planos coordenados, SX , SY , SZ las simetrıas respectode los ejes coordenados, SO la simetrıa respecto del origen y τα,X , τα,Y y τα,Z los giros decentro O, angulo α y eje de giro los ejes coordenados. Solo una de las afirmaciones siguienteses falsa:

(a) Los unicos valores propios reales de estos endomorfismos de R3 son 1 y -1.(b) Todas las simetrıas tienen cuadrado igual a la identidad S2 = I(c) Las simetrıas SX , SY y SZ son giros de 180 y eje de giro X, Y y Z respectivamente.(d) SXY SXZ = τ180,Y

Transformaciones ortogonales

13. Sea E un espacio euclıdeo y ET−→ E una transformacion ortogonal: T (e) · T (e′) = e · e′

para cualesquiera vectores e, e′ ∈ E.Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) Los unicos valores propios reales de de T son 1 y -1.(b) T es un isomorfismo.(c) Si A y G son, respectivamente, las matrices de T y de la metrica euclıdea en una base

de E se cumple: AtGA = G.(d) El determinante de la matriz de T respecto de cualquier base de E es 1.



(a) T conserva el modulo de los vectores y trasforma vectores ortogonales en vectoresortogonales.

(b) Si A es la matriz de T respecto de una base ortonormal se verifica: AtA = I.(c) T conserva los angulos entre vectores.(d) T transforma un cuadrado en un rectangulo de la misma area.



(a) T transforma una base ortonormal en otra base ortonormal.(b) Existen transformaciones ortogonales que no tienen valores propios reales.(c) T es composicion de giros y simetrıas.(d) Si A es la matriz de T respecto de cualquier base de E se cumple: A−1 = At

16. Sea T una transformacion ortogonal de R3 con dos valores propios diferentes y determi-nante -1. Solo una de las afirmaciones siguientes es falsa:

(a) T es una simetrıa respecto de un plano.(b) Existe un vector e ∈ R3 tal T (e) = −e.(c) Los valores propios de T : son -1 y 1(doble).(d) T es un giro de 180.

17. Considerese el endomorfismo T del espacio euclıdeo R3 que respecto de una base orto-normal tiene matriz:

A =1

3

1 −2 −2−2 1 −2−2 −2 1


(a) T es una transformacion ortogonal.(b) AtA = I.(c) Los valores propios de T son: -1 y 1(doble).(d) T es una simetrıa respecto de una recta.

18. En el espacio euclıdeo R3 considerese la base e1, e2, e3 definida por las condiciones:

|e1| = 2, |e2| =√

3, |e3| = 2, d(e1, e2) =√

3, d(e1, e3) =√

8, d(e2, e3) =√

11

Sea T el endomorfismo R3 que en la base e1, e2, e3 tiene matriz asociada

A =1

3

−1 1 −44 −1 44 2 1


(a) T es una transformacion ortogonal.(b) Solo tiene un valor propio real, -1.(c) T es composicion de un giro con una simetrıa.(d) T es diagonalizable.

CLASIFICACION AFIN DE CONICAS Y CUADRICAS

G. SERRANO SOTELO

1. Cuadricas en un hiperplano afın

Sea E un R-espacio vectorial de dimension n+ 1.

Sean E∞ = e1, . . . , en un hiperplano vectorial de E y e0 un vector de E que no

esta en E∞, e0 /∈ E∞.

Los vectores e0, e1, . . . , en forman una base de E, y si representamos por (x0, x1, . . . , xn)

sus funciones coordenadas, el hiperplano afın H definido por

H = e0 + E∞

tiene por ecuacion implıcita x0 = 1. En este sistema de coordenadas la ecuacion implıci-

ta del hiperplano del infinito E∞ es x0 = 0.

Definicion 1.1. Una cuadrica de H es una familia C = λT2 (λ ∈ R), formada por

una metrica simetrica T2 sobre E y todas sus proporcionales.

El lugar geometrico definido por la cuadrica C es la interseccion del hiperplano afın

H con el conjunto de los vectores de E que son isotropos para la metrica T2

locus de C = e ∈ E : T2(e, e) = 0 ∩H

En coordenadas, el locus de C representa la ecuacion de una hipersuperficie de grado

2 de H. En efecto, si G = (gij) es la matriz de un representante T2 de la cuadrica Crespecto de una base e0, e1, . . . , en de E en la que la ecuacion de H es x0 = 1, se

tiene

locus de C =(1, x1, . . . , xn) ∈ H :

1 x1 . . . xn

g00 g01 . . . g0n

g10 g11 . . . g1n...

.... . .

...

gn0 gn1 . . . gnn

1

x1...

xn

= 0,

de donde resulta

g11x21 + · · ·+ gnnx

2n +2(g12x1x2 + · · ·+ gn−1nxn−1xn)+ 2(g01x1 + · · ·+ g0nxn)+ g00 = 0 .

Observacion 1.2. La parte cuadratica, g11x21+· · ·+gnnx

2n+2(g12x1x2+· · ·+gn−1nxn−1xn),

de esta ecuacion se corresponde con la matriz de la restriccion de la metrica T2 al

hiperplano del infinito E∞,

T2|E∞

=

g11 . . . g1n...

. . ....

gn1 . . . gnn

1

2 G. Serrano Sotelo

Ejemplo 1.3.

H = (1, x, y) ⊂ R3, C = λT2 , G =

1 −3 2

−3 1 1

2 1 2

locus de C ≡1 x y

1 −3 2

−3 1 1

2 1 2

1

x

y

= 0

Curva de grado dos del plano xy ≡ x2+ 2y

2+ 2xy − 6x+ 4y + 1 = 0 .

Ejemplo 1.4.

H = (1, x, y, z) ⊂ R4, C = λT2 , G =

0 −1 1 0

−1 2 3 0

1 3 −1 2

0 0 2 1

locus de C ≡1 x y z

0 −1 1 0

−1 2 3 0

1 3 −1 2

0 0 2 1

1

x

y

z

= 0

Superficie de grado dos del espacio xyz ≡ 2x2 − y

2+ z

2+ 6xy + 4yz − 2x+ 2y = 0 .

Observacion 1.5. Llamaremos conicas a las cuadricas sobre un plano afın de de un

R-espacio vectorial de dimension 3.

Definicion 1.6. Una cuadrica C = λT2 es irreducible o no degenerada si lo es

cualquiera de sus metricas representantes.

Ejemplo 1.7. Las conicas de ecuaciones

(a)x2

a2+y2

b2−1 = 0 , (b)

x2

a2−y

2

b2−1 = 0 , (c) y

2−2px = 0 , donde a, b, p ∈ R− 0

son irreducibles pues las metricas representantes, de matrices

(a)

−1 0 0

0 1/a2

0

0 0 1/b2

, (b)

−1 0 0

0 1/a2

0

0 0 −1/b2

, (c)

0 −1 0

−1 0 0

0 0 1/p

,

son no singulares.

2. Centros de una cuadrica

Sea C = λT2 una cuadrica sobre el hiperplano afın H de E.

Definicion 2.1. Un vector e0 ∈ E define un centro de la cuadrica C si e0 /∈ E∞ y

T2(e0, e) = 0 para todo e ∈ E∞.

Proposicion 2.2. Si C = λT2 es una cuadrica irreducible y tiene centro este es

unico.

Clasificacion afın de conicas y cuadricas 3

Demostracion. Sea e0 ∈ E un vector que define un centro de la cuadrica C.Como T2 es una metrica irreducible el subespacio ortogonal al hiperplano del infinito,

E⊥∞, es una recta, luego e0 es un generador de ella pues es ortogonal a E∞, y como

e0 /∈ E∞ esta recta e0 corta a H en un unico punto, c = e0 ∩H, que es el centro de

la cuadrica. Corolario 2.3. Si C = λT2 es una cuadrica irreducible con centro existe una base

e0, e1, . . . , en de E en la que las coordenadas del centro son

c =1,

Adj g10

Adj g00, . . . ,

Adj gn0

Adj g00

,

donde G = (gij) es la matriz, respecto de esa base, de una metrica representante de C .

Demostracion. Respecto de la base e0, e1, . . . , en de E, en la que e0 es el vector que

define el centro, E⊥∞ = e0, y e1, . . . , en una base de E∞, la ecuacion implıcita de

E∞ es x0 = 0, luego su subespacio incidente esta generado por la forma lineal ω de

coordenadas en la base dual ω = (1, 0, . . . , 0).

Si G = (gij) es la matriz de T2 en esta base se tiene que E⊥∞ = G−1

ω = e0 con

e0 =Adj g00

|G| ,Adj g10

|G| , · · · , Adj gn0|G| ) ,

luego el centro es

c =1,

Adj g10

|G∞| , · · · , Adj gn0|G∞| ) ,

donde Adj g00 = |G∞| es el detreminante de la restriccion de G a E∞.

3. Cuadricas afinmente equivalentes

Sea E un espacio vectorial real de dimension n+ 1 y H un hiperplano afın de E de

subespacio director E∞.

Definicion 3.1. Sea C = λT2 una cuadrica de H. Se llaman rango r e ındice i de la

cuadrica a los de cualquiera de las metricas que la representan. Se llaman rango r∞ e

ındice i∞ de la cuadrica en el infinito a los de la restriccion a E∞ de cualquiera de las

metricas que la representan.

r = rg(T2) , i = indice (T2) ; r∞ = rg(T2|E∞) , i∞ = indice (T2|E∞)

Definicion 3.2. Dos cuadricas C = λT2 y C = µT

2 de H son afınmente equiva-

lentes si existe un automorfismo Ef−→ E que deja invariante el hiperplano H y tal que

el morfismo inducido T2(E)f∗−→ T2(E) transforma la familia λT2 en la familia µT

2.

Teorema 3.3. Si dos cuadricas C = λT2 y C = µT

2 de H son afınmente equiva-

lentes, tienen iguales sus rangos, ındices, rangos en el infinito e ındices en el infinito,

r = r, i = i

; r∞ = r

∞ , i∞ = i

∞ .

Demostracion. Como C y C son afınmente equivalentes existe un automorfismo f de E

tal que f∗(T2) = µT

2 para algun µ ∈ R. Ademas, como f deja invariante H, f restringe

a un automorfismo E∞f−→ E∞ cuyo morfismo inducido T2(E∞)

f∗−→ T2(E∞) transforma

la metrica T2|E∞ en la metrica µT2|E∞

. Puesto que el rango y el ındice de una metrica

son invariantes por cambio de base se concluye.

4 G. Serrano Sotelo

Demostraremos que el recıproco de este teorema tambien es cierto. Para ello obten-

dremos primero las ecuaciones reducidas afines de las cuadricas.

4. Ecuaciones reducidas afines de las cuadricas

4.1. Ecuaciones reducidas de las cuadricas con centro.

Sea e0 ∈ H un centro de la cuadrica C = λT2 y e1, . . . , en una base reducida

para la metrica T2|E∞ . En la base e0, e1, . . . , en de E la matriz de la metrica T2 es

T2(e0, e0) 0 . . . . . . . . . 0

0

.

.

.

1

. . .

1

.

.

.

−1

. . .

−1

.

.

.

0

0

. . .

0

Se presentan pues dos posibilidades,

(1) Si T2(e0, e0) = 0, el centro e0 es un vector isotropo para la metrica T2, esto es

un punto del locus de la cuadrica.

En este caso la matriz es

0

1

. . .

1

−1

. . .

−1

0

. . .

0

,

y se deduce que el rango e ındice de la cuadrica coinciden con el rango e ındice de la

cuadrica en el infinito

r = r∞ , i = i∞

La ecuacion reducida afın de la cuadrica es

x21 + · · ·+ x

2p − x

2p+1 − · · ·− x

2p+q = 0 ,

donde los numeros p y q son respectivamente el numero de raıces positivas y el numero

de raıces negativas de la ecuacion secular de la restriccion de la metrica al hiperplano

del infinito E∞ e i∞ = mın(p, q) y r∞ = n− (p+ q).


(2) Si T2(e0, e0) = α = 0, tomando como representante inicial de la cuadrica la

metrica − 1

α, la matriz de esta metrica en la base e0, e1, . . . , en de E es

−1

1

. . .

1

−1

. . .

−1

0

. . .

0

,

de la que se deducen las relaciones entre los rangos e ındices de la cuadrica y los de

su restriccion al infinito, que dan los dos casos siguientes

r = r∞ + 1 , i = i∞ , si p ≤ q

r = r∞ + 1 , i = i∞ + 1 , si p > q

Los numeros p y q son respectivamente el numero de raıces positivas y el numero de

raıces negativas de la ecuacion secular de la restriccion de la metrica al hiperplano del

infinito E∞.

En ambos casos, la ecuacion reducida afın de la cuadrica es

x21 + · · ·+ x

2p − x

2p+1 − · · ·− x

2p+q = 1

4.2. Ecuaciones reducidas de las cuadricas sin centro.

En este caso, de la definicion de centro se sigue que E⊥∞ ⊆ E∞, luego RadT2|E∞ =

E∞ ∩ E⊥∞ = E

⊥∞ y como RadT2 ⊆ E

⊥∞ resulta

dimRadT2|E∞ = dimE⊥∞ = dimE − dimE∞ + dim(RadT2 ∩ E∞) = 1 + dimRadT2

Ası pues existen vectores e1 y v tales que,

e1 ∈ RadT2|E∞ , e1 /∈ RadT2 y v ∈ E − E∞ , T2(v, e1) = β = 0

La matriz de la restriccion de la metrica T2 al plano v, e1, T2|v,e1 =

α β

β 0

, es

no singular y de ındice uno. Por tanto, v, e1 define un plano hiperbolico y es posible

seleccionar otra base e0, e1 de este plano en la que la matriz de la restriccion es0 −1

−1 0

.

Elijiendo ahora una base reducida e2, . . . , en para la metrica restriccion T2|e0,e1⊥

se obtiene una base e0, e1, e2, . . . , en de E en la que la matriz de T2 es

6 G. Serrano Sotelo

0 −1 . . . . . . . . . 0

−1

.

.

.

0

1

. . .

1

.

.

.

−1

. . .

−1

.

.

.

0

0

. . .

0

.

Esto permite obtener la siguiente relacion entre los rangos e ındices de la cuadrica y

los de su restriccion al infinito

r = r∞ + 2 , i = i∞ + 1

En este caso, la ecuacion reducida afın de la cuadrica es

x22 + · · ·+ x

2p − x

2p+1 − · · ·− x

2p+q − 2x1 = 0 ,

donde los numeros p y q son respectivamente el numero de raıces positivas y el

numero de raıces negativas de la ecuacion secular de la restriccion de la metrica al

hiperplano del infinito E∞.

5. Clasificacion afın

De las ecuaciones reducidas afines del apartado anterior se sigue que si dos cuadricas

tienen iguales sus rangos, ındices, rangos en el infinito e ındices en el infinito son

afınmente equivalentes. Combinando este resultado con el teorema ?? obtenemos el

teorema de clasificacion.

Teorema 5.1. La condicion necesaria y suficiente para que dos cuadricas C = λT2 y

C = µT

2 de H sean afınmente equivalentes es que tengan iguales sus rangos, ındices,

rangos en el infinito e ındices en el infinito,

r = r, i = i

; r∞ = r

∞ , i∞ = i

∞ .

Utilizando este teorema obtenemos los siguientes cuadros de clasificacion afın de

conicas y cuadricas.


5.1. Clasificacion afın de conicas en H ⊂ R3.

r 3 (Irreducibles) 2 1 0

r∞ i∞\i 1 0 1 0 0 0

Par de rectas

1 Hiperbola reales

x2 − y

2 = 1 no paralelas

x2 − y

2 = 0

2

Par de rectasElipse Elipse

imaginarias0 real imaginaria

no paralelasx2 + y

2 = 1 x2 + y

2 = −1x2 + y

2 = 0

Par de rectas Par de rectas

Parabola reales imaginariasRecta real

1 0y2 = 2x paralelas paralelas

doble

x2 = 1 x

2 = −1x2 = 0

Recta real Conjunto Plano0 0

x = 0 vacıo afın

Ejemplo 5.2. Clasificar afınmente las conicas siguientes

(a) x2 − 2xy + y

2 + 4x− 6y + 1 = 0

(b) x2 + 4xy + 4y2 − 2x− 4y − 3 = 0

(a) Escribamos la matriz G de la metrica T2 y la matriz G∞ de su restriccion al infinito

G =

1 2 −3

2 1 −1

−3 −1 1

; G∞ =

1 −1

−1 1

Calculemos el numero de raıces nulas r0, el numero de raıces positivas r+ y el numero

de raıces negativas r− de la ecuacion secular de la metrica T2 y de la metrica T2|E∞

• p(x) = |xI−G| = x3−3x2−11x+1 , r0(p(x)) = 0 , r+(p(x)) = 2 , r−(p(x)) = 1

• p∞(x) = |xI−G∞| = x2−2x , r0(p∞(x)) = 1 , r+(p∞(x)) = 1 , r−(p∞(x)) = 0

Luego los rangos y los ındices de T2 y de su restriccion al infinito son

r = 3 , i = 1 ; r∞ = 1 , i∞ = 0

Por tanto, es una conica irreducible sin centro de matriz reducida

0 −1 0

−1 0 0

0 0 1

y

ecuacion reducida afın y2 − 2x = 0, esto es, una Parabola.

(b)

G =

−3 −1 −2

−1 1 2

−2 2 4

; G∞ =

1 2

2 4

• p(x) = |xI −G| = x3 − 2x2 − 20x , r0(p(x)) = 1 , r+(p(x)) = 1 , r−(p(x)) = 1

8 G. Serrano Sotelo

• p∞(x) = |xI−G∞| = x2−5x , r0(p∞(x)) = 1 , r+(p∞(x)) = 1 , r−(p∞(x)) = 0

Los rangos y los ındices de la metrica T2 y de su restriccion al infinito son

r = 2 , i = 1 ; r∞ = 1 , i∞ = 0

Es una conica degenerada con centro, de matriz reducida

−1 0 0

0 1 0

0 0 0

y ecuacion

reducida afın x2 − 1 = 0, que representa una Par de rectas reales y paralelas.

Ejemplo 5.3. Calcular el centro, los ejes principales y la ecuacion reducida metrica de la curva

de grado dos del plano real de ecuacion

3x2+ 3y

2 − 2xy + 2x− 4y + 1 = 0

Solucion.

Sea G la matriz de una metrica T2 representante de la conica enH ⊂ R3 y G∞ su restriccion

al infinito.

G =

1 1 −2

1 3 −1

−2 −1 3

; G∞ =

3 −1

−1 3

|xI −G| = x3 − 7x

2+ 9x+ 3 ; |xI −G∞| = (x− 2)(x− 4)

Se tiene

r = 3

i = 1

r∞ = 2

i∞ = 0

Conica irreducible con centro: x

2+ y

2= 1 (Elipse real)

(a) Centro de la elipse=− 1

8,5

8)

Por el Corolario ??,

c =1,

Adj g10

|G∞| ,Adj g20

|G∞| ) = (1,−1

8,5

8)

(b) Calculemos una base ortonormal de diagonalizacion para G∞.

ker(G∞ − 2I) = (0, 1, 1) ; ker(G∞ − 4I) = (0, 1,−1)u1 =

1√2(0, 1, 1), u2 =

1√2(0, 1,−1) es la base buscada.

(c) En la base c, u1, u2 la matriz de T2 es

T2(c, c) 0 0

0 2 0

0 0 4

, con T2(c, c) = −3

8

Luego la ecuacion reducida metrica de la elipse es

x2

3/16+

y2

3/32= 1 ,

donde x y y son las coordenadas asociadas a la base u1, u2.(d) Ecuaciones de la transformacion afın efectuada para pasar del sistema de referencia

inicial en H, en el que las coordenadas son x, y, al sistema de referencia de origen

c y ejes las rectas c+ u1 , c+ u2 , respecto del que las coordenadas son x, y.


Si B representa la matriz del cambio de base realizado en E∞, esto es B =

1√2

1 1

1 −1

, componiendo el automorfismo de cambio de base con la traslacion

de vector c se obtienen las ecuaciones

x

y

= B

x

y

+

−1/5

5/8

=⇒

x =1√2(x+ y − 4

8)

y =1√2(x− y +

68)

(e) Los ejes principales de la elipse son las rectas c+u1 , c+u2 de ecuaciones respectivas

y = 0 ⇒ x− y +6

8= 0 ; x = 0 ⇒ x+ y − 4

8= 0

(f ) Las medidas sobre los semiejes, a y b, la excentricidad y los focos F y F de la elipse,

respecto del sistema de referencia inicial, son

a =

3

16; b =

3

32

c =

a2 − b2 =

3

32=⇒ Excentricidad =

c

a=

√2

2

F = (

3

32, 0) =⇒ F = (

√3− 1

8,

√3 + 5

8)

F= (−

3

32, 0) =⇒ F

= (

−√3− 1

8,−√3 + 5

8)

Ejemplo 5.4. Calcular el vertice, los ejes principales, la ecuacion reducida metrica, el foco y

la directriz de la parabola del ejemplo ??

x2 − 2xy + y

2+ 4x− 6y + 1 = 0

Solucion.

Sean G y G∞ como en el ejemplo anterior.

G =

1 2 −3

2 1 −1

−3 −1 1

; G∞ =

1 −1

−1 1

Tenemos que encontrar una base e, v1, v2 en la que la matriz de T2 es de la forma

0 α 0

α 0 0

0 0 β

con α ,β = 0. El vector e define el vertice de la parabola y v1, v2 es una base

ortonormal de diagonalizacion para G∞.

(a) Calculemos v1 y v2.

|xI −G∞| = x(x− 2) ⇒ Forma diagonal

0 0

0 2

⇒ β = 2

kerG∞ ≡ x− y = 0 ⇒ v1 =1√2(0, 1, 1)

ker(G∞ − 2I) ≡ x+ y = 0 ⇒ v2 =1√2(0, 1,−1)

(b) Vertice de la parabola V = (−31

8,−11

8)

El vector e que define el vertice esta en H, luego sus coordenadas son de a forma

e = (1, x, y), y verifica las condiciones T2(e, e) = 0 , T2(e, v1) = α y T2(e, v2) = 0 .

10 G. Serrano Sotelo

Calculemos x e y resolviendo el sistema determinado por la primera y tercera

condiciones

T2(e, e) = 0 ⇒ x2 − 2xy + y

2+ 4x− 6y + 1 = 0

T2(e, v2) = 0 ⇒ 5 + 2x− 2y = 0

x = −31

8, y = −11

8=⇒ e = (1,−31

8,−11

8)

(c) En la base e, v1, v2 la matriz de T2 es

0 T2(e, v1) 0

T2(e, v1) 0 0

0 0 2

, con T2(e, v1) = − 1√2,

luego la ecuacion reducida metrica de la parabola es y2 =1√2x , donde x y y son las

coordenadas asociadas a la base v1, v2.(d) Ecuaciones de la transformacion afın efectuada para pasar del sistema de referencia

inicial en H, en el que las coordenadas son x, y, al sistema de referencia de origen

e y ejes las rectas e+ v1 , e+ v2 , respecto del que las coordenadas son x, y.Si B representa la matriz del cambio de base realizado en E∞, esto es B =

1√2

1 1

1 −1

, componiendo el automorfismo de cambio de base con la traslacion

de vector e se obtienen las ecuaciones

x

y

= B

x

y

+

−31/5

−11/8

=⇒

x =1√2(x+ y +

214 )

y =1√2(x− y +

104 )

(e) Los ejes principales de la parabola son las rectas e + v1 , e + v2 de ecuaciones

respectivas

Eje de simetrıa y = 0 ⇒ x− y +10

4= 0 ; x = 0 ⇒ x+ y +

21

4= 0

(f ) Calculemos por ultimo el foco F y la directriz d de la parabola, respecto de las

coordenadas iniciales x e y.

Comparando la ecuacion reducida metrica y2 =

1√2x con y

2 = 2pxx, resulta que

p =1

2√2

y las coordenadas del foco y la ecuacion de la directriz son (p/2, 0) y

x = −p/2.

En las coordenadas iniciales se tiene

F = (−30

8,−10

8) ; d ≡ x+ y + 5 = 0


5.2. Clasificacion afın de cuadricas en H ⊂ R4.

5.2

Cla

sifica

cion

afın

de

cuadrica

sen

H!

R4

r4

(Irreducibles)3

(Conos

yC

ilindros)2

10

r!i!

\i2

10

10

10

00

Hiperboloide

Hiperboloide

1reglado

noreglado

Cono

real

x2"

y2+

z2

=1

x2"

y2"

z2

=1

x2"

y2+

z2

=0

3Elipsoide

Elipsoide

Cono

0real

imaginario

imaginario

x2+

y2+

z2

=1

x2+

y2+

z2

="

1x

2+

y2+

z2

=0

Par

planosParaboloide

Cilindro

reales1

regladohiperbolico

noparalelos

y2"

z2"

2x=

0x

2"y

2=

1x

2"y

2=

02

Par

planosParaboloide

Cilindro

Cilindro

imaginarios

0no

regladoelıptico

imaginario

noparalelos

y2+

z2"

2x=

0x

2+

y2

=1

x2+

y2

="

1x

2+

y2

=0

Par

planosPar

planosPar

planosC

ilindroreales

imaginarios

reales1

0parabolico

paralelosparalelos

coincidentesy

2"2x

=0

x2

=1

x2

="

1x

2=

0

Plano

realC

onjuntoEspacio

00

x=

0vacıo

afın

11


Ejemplo 5.5. Clasificar afınmente las cuadricas siguientes

(a) 2x2 + 2z2 − 2xy + 2xz − 2yz − 3 = 0

(b) 2y2 + 4xz + 2x− 4y + 6z + 5 = 0

(a) Las matrices G y G∞ son

G =

−3 0 0 0

0 2 −1 1

0 −1 0 −1

0 1 −1 2

; G∞ =

2 −1 1

−1 0 −1

1 −1 2

Calculemos los rangos y los ındices de la cuadrica y de su restriccion al infinito

p(x) = x4 − x

3 − 11x2 + 5x+ 6 , r0(p(x)) = 0 , r+(p(x)) = 2 , r−(p(x)) = 2

p∞(x) = x3 − 4x2 + x+ 2 , r0(p∞(x)) = 0 , r+(p∞(x)) = 2 , r−(p∞(x)) = 1

r = 4 , i = 2 ; r∞ = 3 , i∞ = 1

Es una cuadrica irreducible con centro, de matriz reducida

−1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 1

y

ecuacion reducida afın x2 − y

2 + z2 = 1. Luego es un Hiperboloide reglado.

Calculemos su centro

c =1,

Adj g10

|G∞| ,Adj g20

|G∞| ,Adj g30

|G∞| ) = (1, 0, 0, 0) ,

esto es, el centro es el origen de coordenadas, Centro = (0, 0, 0)

(b)

G =

5 1 −2 3

1 0 0 2

−2 0 2 0

3 2 0 0

; G∞ =

0 0 2

0 2 0

2 0 0

• p(x) = x4 − 7x3 − 8x2 + 36x , r0(p(x)) = 1 , r+(p(x)) = 2 , r−(p(x)) = 1

• p∞(x) = x3 − 2x2 − 4x+ 8 , r0(p∞(x)) = 0 , r+(p∞(x)) = 2 , r−(p∞(x)) = 1

Los rangos y los ındices de la cuadrica y de su restriccion al infinito son

r = 3 , i = 1 ; r∞ = 3 , i∞ = 1

Es una cuadrica degenerada con centro, de matriz reducida

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 1

y ecua-

cion reducida afın x2 − y

2 + z2 = 0, que representa una Superficie conica real.


5.3. Ejercicios.

1. Clasificar afınmente las conicas siguientes:

(a) x2 + 2y2 − 2x+ 4y + 2 = 0

(b) x2 − 2xy + y

2 + 4x− 6y + 1 = 0

(c) 3x2 − 5xy + y2 − x+ 2y + 1 = 0

(d) x2 + 4xy + 4y2 − 2x− 4y = 3

(e) x2 + 2y2 + 3xy + 2x+ 5y − 3 = 0

(f ) x2 + y

2 + xy + x+ y + 1 = 0

(g) x2 + y

2 − xy − x− y + 1 = 0

(h) x2 + 4y2 + 4xy − 2x− 4y + 2 = 0

2. Clasificar afınmente segun los valores del parametro λ la familia de conicas siguiente:

x2+ (2λ

2+ 1)y

2 − 2xy = 2λ2 − 3λ+ 1

3. Calcular el centro, los ejes principales, la ecuacion reducida metrica y la representacion

grafica de las curvas de grado dos siguientes:

3x2 − 2xy + 3y

2+ 2x− 4y + 1 = 0 , x

2 − y2+ 2xy − 6x+ 4y + 3 = 0

4. Demostar que la curva plana de ecuacion

4x2+ y

2+ 4xy + 6x+ 1 = 0 ,

es una parabola. Calcular su vertice, eje principal, ecuacion reducida metrica y representacion

grafica.

5. Clasificar afınmente las cuadricas siguientes:

(a) 2x2 + 2y2 + 2z2 − 2xy + 2xz − 2yz + 1 = 0

(b) 6x2 + y2 + 6z2 − 2xy + 12xz − 2yz + 1 = 0

(c) x2 − y

2 − z2 − 2yz − x+ 3y + 3z − 2 = 0

(d) 2x2 + 3y2 − 2z = 0

(e) −2z2 − 2xy + 2xz + 2yz + 2x+ 2y − 4z = 1

6. Representar graficamente la superficie de grado dos:

3x2+ 2y

2+ 3z

2 − 2xz − 2x− 4y − 2z − 5 = 0 ,

calculando previamente su centro, ejes principales y ecuacion reducida metrica.

7. Demostrar que las cuadricas:

x2+ y

2+ z

2 − 4xz − 4y + 2 = 0 , x2+ y

2 − z2+ 2xz − 2x+ 1 = 0 ,

representan hiperboloides reglado y no reglado, respectivamente. Calcular para cada uno de

ellos el centro, los ejes principales y la ecuacion reducida metrica.

8. Demostrar que la superficie de segundo grado:

x2+ 2y

2+ 4xy + 4z + 3 = 0 ,

es un paraboloide hiperbolico. Calcular el vertice, eje principal, plano tangente en el vertice

y ecuacion reducida metrica.


9. Demostrar que la superficie de segundo grado:

2y2+ 4xz + 2x− y + 6z + 5 = 0 ,

es un cono. Calcular el vertice, eje principal y ecuacion reducida metrica.

10. Clasificar afınmente segun los valores del parametro λ la familia de cuadricas siguiente:

x2 − 2y

2+ λz

2 − 2xz + 2yz + 2x+ 1 = 0 .

En cada caso, hacer un estudio lo mas completo posible de las superficies de segundo grado

resultantes.


23-Marzo-2011

Prueba escrita I (10 Grado en Fısicas)

1. Calcula la forma de Jordan y la base de Jordan del endomorfismo de R3 de matriz

A =

3 −1 00 2 −10 0 2

.

Calcula la potencia A100. (8 puntos)

2. Demuestra que salvo cambios de base existe un unico endomorfismo T de R4 con dosvectores propios de valor propio 2 linealmente independientes y cuyo polinomio anulador es(x + 3)2(x− 2). Se pide tambien:

(a) Su forma de Jordan J y la base de Jordan en funcion de los generadores de los monoge-nos de la descomposicion de R4 asociada.

(b) Calcular la exponencial de J , eJ . (8 puntos)

3. Sea T un endomorfismo de R3 tal que T 3 = 4T .

(a) Demuestra que T es diagonalizable.(b) Calcula la forma diagonal de T si ademas se sabe que kerT = 0 y dim ker(T −2I) = 2.

¿Cual es su polinomio anulador? ¿Y su polinomio caracterıstico? (6 puntos)

4. Clasifica los endomorfismos nilpotentes de R3. (4 puntos)

1


18-Mayo-2011

Prueba escrita II (10 Grado en Fısicas)


|e1| = 1, |e2| = 2, |e3| = 3, ∠(e1, e2) = 60, ∠(e1, e3) = 90, ∠(e2, e3) = 60

(10 puntos)


2 1 −11 3 0−1 0 −2

la matriz de una metrica T2 en esa

base.

(a) Clasifica la restriccion de T2 al plano de ecuacion y = 0.(b) Averigua si el plano 〈e2, e3〉 es elıptico o hiperbolico.(c) ¿Es cierto que T2 es no singular y que tiene vectores isotropos?

(10 puntos)

3. Dada la forma cuadratica Q(x, y) = 2x2 + 2y2 − 2xy, calcula una base ortonormal dediagonalizacion y escribe su ecuacion en dicha base, dando explıcitamente el cambio decoordenadas efectuado.(10 puntos)

4. Clasifica afınmente las siguientes curvas de grado 2 del plano euclıdeo R2 indicando encada caso si se trata de una elipse, una hiperbola, una parabola o una pareja de rectas:

x2 + y2 + 4xy − 5 = 0 ; 3x2 + 3y2 − 6xy − 4x = 0

(10 puntos)

5. Clasificacion de endomorfismos:

(a) Prueba que todos los endomorfismos de cuadrado la identidad son diagonalizables.(b) Demuestra que en R4, salvo cambios de base, solo hay dos endomorfismos nilpotentes

de ındice 2.

(10 puntos)

1

Algebra lineal y Geometrıa IIDepartamento de MATEMATICAS

14-Junio-2011

Prueba Final (10 Grado en Fısicas)


|e1| = 2, |e2| = |e3| = 1, d(e1, e2) = 2 = d(e1, e3), d(e2, e3) =√

2

(10 puntos)

2. Sean E un k-espacio vectorial y T un endomorfismo de E. Define los conceptos de vectoresy valores propios de T . Demuestra que el polinomio caracterıstico es invariante por cambiosde base y que sus raıces son los valores propios de T . ¿Que significa que T sea diagonalizable?,enuncia algun criterio que permita decidirlo. (10 puntos)

3. Sea E un espacio vectorial.

(a) Define los siguientes conceptos: metrica simetrica sobre E, radical y vectores isotroposde la metrica y subespacios hiperbolico y elıptico. (4 puntos)

(b) Averigua si el plano de ecuacion x−2y+z = 0 es hiperbolico o elıptico para la metricaasociada a la forma cuadratica Q(x, y, z) = 2xy + 4xz + y2 + 4yz + 2z2. (6 puntos)

4. Indica cuales son los invariantes que permiten clasificar afınmente las conicas.Clasifica afınmente las siguientes curvas de grado 2 del plano euclıdeo R2 indicando en

cada caso si se trata de una elipse, una hiperbola, una parabola o una pareja de rectas:

3x2 + 3y2 − 6xy − 4x = 0 ; x2 + y2 + 4xy − 5 = 0

(10 puntos)

5. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

dx

dt= 5x

dy

dt= −y + 2z

dz

dt= 3x + 5z

(30 puntos: clasificar 10; base de Jordan 10; solucion al sistema 10)

6. Sea E un R-espacio vectorial y Q la forma cuadratica sobre E que en la base e1, e2, e3se expresa como:

Q(x, y, z) = ax2 + 2xy + 2xz + ay2 + 2yz + az2

(a) Clasifica, en funcion de los valores de a ∈ R, la metrica T2 asociada a Q. (15 puntos)(b) Para a = 0, calcula una base ortonormal de diagonalizacion para T2 indicando explıci-

tamente el cambio de coordenadas realizado y expresando en este sistema de coordena-das la forma cuadratica Q. Calcula tambien una base reducida para T2. (15 puntos)

1

Algebra Lineal y Geometrıa1o Grado en FısicasDepartamento de MATEMATICAS

30-Junio-2011

Teorıa

1. Sea E el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3 yD el endomorfismode E que el operador derivada define.

(a) Clasifica el endomorfismo T de E definido por T = D2 + I.(b) Si J es la forma de Jordan de T calcula J160 y eJ . (10 puntos)

2. Sea E un R-espacio vectorial euclıdeo. Define el concepto de transformacion ortogonal

sobre E y demuestra que si ET−→ E es una transformacion ortogonal se verifica:

(a) T es un isomorfismo cuyos unicos valores propios reales son 1 y -1.(b) T transforma una base ortonormal en una base ortonormal.(c) Si A y G son respectivamente las matrices de T y de la metrica euclıdea respecto de

una cierta base se cumple: AtGA = G. En particular, la matriz A de T en una baseortonormal es una matriz ortogonal: AtA = I. (10 puntos)

3.

(a) Calcula el subespacio de soluciones reales de la ecuacion diferencial y′′′ + 4y′ = 0.(5 puntos)

(b) Sea e1, e2, e3 una base de E y ω1, ω2, ω3 su base dual. Demuestra que el tensorT2 = ω1 ⊗ ω2 − 3ω1 ⊗ ω3 − ω2 ⊗ ω1 + 3ω3 ⊗ ω1 es hemisimetrico y escribe su expresionen la nueva base e2, e1 − 2e3, e1 de E. (5 puntos)

4. Sea Q una forma cuadratica sobre R4.

(a) Define los conceptos de metrica simetrica asociada T2, radical de T2, subespacio elıpticoy subespacio hiperbolico.

(b) ¿Cuantas formas cuadraticas no equivalentes de rango 3 e ındice 1 hay sobre R4?Escribe para cada una de ellas sus invariantes, forma reducida y descomposicion deR4 en suma ortogonal de radical y subespacios elıptico e hiperbolico.

(10 puntos)

1

2

Algebra Lineal y Geometrıa1o Grado en Fısicas.Departamento de MATEMATICAS

Problemas

5. En el espacio euclıdeo R3 con la metrica euclıdea definida en la base e1, e2, e3 por:

|e1| = 1, |e2| = 2, |e3| = 2, ∠(e1, e2) = 90o, ∠(e1, e3) = 60o, ∠(e2, e3) = 60o

Calcula la matriz de la metrica en esta base y la distancia del punto P = (1/3, 1,−1) a larecta de ecuaciones r ≡ x = 1 + λ , y = 0 , z = −λ. (15 puntos)

6. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

dx

dt= x+ 2z

dy

dt= −x+ y + 3z

dz

dt= y + z (15 puntos)

7. Dada la forma cuadratica Q(x, y, z) = −2x2 + y2 + z2 − 2xy + 2xz + 4yz, calcula unabase ortonormal de diagonalizacion y escribe su ecuacion en dicha base. Calcula tambienuna base reducida para la metrica asociada. (15 puntos)

8. Clasifica afınmente en funcion de los valores del parametro a ∈ R la siguiente familia deconicas: ax2 + (a− 1)y2 + 2x+ a = 0. (15 puntos)


18-Mayo-2011

Prueba escrita II (10 Grado en Fısicas)


|e1| = 1, |e2| = 2, |e3| = 3, ∠(e1, e2) = 60, ∠(e1, e3) = 90, ∠(e2, e3) = 60

(10 puntos)

Solucion 1. Calculemos la matriz G de la metrica euclıdea en esta base:

e1 · e1 = |e1|2 = 1, e2 · e2 = |e2|2 = 4, e3 · e3 = |e3|2 = 9

e1 · e2 = |e1||e2| cos(e1, e2) = 1, e1 · e3 = |e1||e3| cos(e1, e3) = 0

e2 · e3 = |e2||e3| cos(e2, e3) = 3

G =

1 1 01 4 30 3 9

Como los vectores e1 y e3 son ortogonales, para encontrar una base ortogonal basta calcularel ortogonal al plano 〈e1, e3〉. Pongamos 〈e1, e3〉⊥ = 〈v〉:

v · e1 = 0 =(x y z

)G

100

⇒ x+ y = 0

v · e3 = 0 =(x y z

)G

001

⇒ 3y + 9z = 0

v = (3,−3, 1)

Y se tiene la base ortogonal e1, e3, v. Dividiendo cada vector por su modulo obtenemosuna base ortonormal:

|e1| = 1, |e3| = 3, |v| =

√√√√√(3 −3 1)G

3−31

=√

18 = 3√

2

La base ortonormal es:

u1 =e1|e1|

= e1 = (1, 0, 0) , u2 =e3|e3|

=1

3(0, 0, 1) , u3 =

v

|v|=

1

3√

2(3,−3, 1)

1


2 1 −11 3 0−1 0 −2

la matriz de una metrica T2 en

esa base.

(a) Clasifica la restriccion de T2 al plano de ecuacion y = 0.(b) Averigua si el plano 〈e2, e3〉 es elıptico o hiperbolico.(c) ¿Es cierto que T2 es no singular y que tiene vectores isotropos?

(10 puntos)

Solucion 2.

(a) El plano π de ecuacion y = 0 es 〈e1, e3〉, luego la matriz de la restriccion de T2 a πes:

Gπ =

(2 −1−1 −2

)Y se tiene

|xI −Gπ| =∣∣∣∣x− 2 1

1 x+ 2

∣∣∣∣ = x2 − 5 =⇒ r+ = 1, r− = 1 =⇒ r = 2, i = 1

La forma reducida es Rπ =

(1 00 −1

). Por tanto, el plano π es hiperbolico.

(b) La restriccon de G al plano 〈e2, e3〉 es

(3 00 −2

), por tanto, su reducida es

(1 00 −1

),

y el plano es hiperbolico.(c) T2 es no singular ya que |G| = 18 6= 0, y tiene vectores isotropos ya que existe un

plano hiperblico.

3. Dada la forma cuadratica Q(x, y) = 2x2 + 2y2 − 2xy, calcula una base ortonormal dediagonalizacion y escribe su ecuacion en dicha base, dando explıcitamente el cambio decoordenadas efectuado.(10 puntos)

Solucion 3. En el sistema de coordenadas x, y la matriz de la metrica asociada es

G =

(2 −1−1 2

)Calculemos una base ortonormal de diagonalizacion:Sabemos que el endomorfismo T asociado a la metrica y a la euclıdea auxiliar (de matrizI en ese sistema de coordenadas) es diagonalizable y su matriz asociada coincide con Gen ese sistema de coordenadas.

|xI −G| =∣∣∣∣x− 2 1

1 x− 2

∣∣∣∣ = (x− 1)(x− 3)

ker(T − I) ≡ x− y = 0⇒ ker(T − I) = 〈v1 = (1, 1)〉ker(T − 3I) ≡ −x− y = 0⇒ ker(T − 3I) = 〈v2 = (1,−1)〉

Los vectores v1 y v2 son ortogonales y de modulo√

2 respecto de la metrica euclıdeaauxiliar. Luego una base ortonormal es u1 = 1√

2(1, 1), u2 = 1√

2(1,−1) y en esta base la

matriz de la metrica y la expresion en coordenadas de la forma cuadratica son:

D =

(1 00 3

), Q(x, y) = x2 + 3y2

siendo la matriz B del cambio de base, que pasa de la referencia ortonormal O, x, y ala referencia ortonormal O, x, y):

B =1√2

(1 11 −1

)y las ecuaciones del cambio de coordenadas:(

xy

)= B−1

(xy

)= Bt

(xy

)=⇒

x = 1√

2(x+ y)

y = 1√2(x− y)

4. Clasifica afınmente las siguientes curvas de grado 2 del plano euclıdeo R2 indicando encada caso si se trata de una elipse, una hiperbola, una parabola o una pareja de rectas:

x2 + y2 + 4xy − 5 = 0 ; 3x2 + 3y2 − 6xy − 4x = 0

(10 puntos)

Solucion 4.

(a) x2 + y2 + 4xy − 5 = 0

G =

−5 0 00 1 20 2 1

, G∞ =

(1 22 1

)|xI −G| = x3 + 3x2 − 13x− 15 , |xI −G∞| = x2 − 2x− 3

(r0 = 0, r+ = 1, r− = 2) (r0 = 0, r+ = 1, r− = 1)

Se tiene:r = 3

i = 1

r∞ = 2

i∞ = 1

−1 0 0

0 1 00 0 −1

Ecuacion reducida afın de la conica

X2 − Y 2 = 1 (Hiperbola)

(b) 3x2 + 3y2 − 6xy − 4x = 0

G =

0 −2 0−2 3 −30 −3 3

, G∞ =

(3 −3−3 3

)|xI −G| = x3 − 6x2 − 4x+ 12 , |xI −G∞| = x2 − 6x

(r0 = 0, r+ = 2, r− = 1) (r0 = 1, r+ = 1, r− = 0)

Se tiene:r = 3

i = 1

r∞ = 1

i∞ = 0

0 −1 0−1 0 00 0 1

Ecuacion reducida afın de la conica

Y 2 − 2X = 0 (Parabola)

5. Clasificacion de endomorfismos:

(a) Prueba que todos los endomorfismos de cuadrado la identidad son diagonalizables.(b) Demuestra que en R4, salvo cambios de base, solo hay dos endomorfismos nilpoten-

tes de ındice 2.

(10 puntos)

Solucion 5.

(a) T 2 = I ⇒ (T − I)(T + I) = 0, luego el polinomio (x− 1)(x+ 1) anula y por tantoel polinomio anulador de T es x− 1 o x+ 1 o (x− 1)(x+ 1). En cualquier caso, elendomorfismo T es diagonalizable.

(b) Si N es un endomorfismo nilpotente de ındice 2 su polinomio anulador es x2 y setienen dos posibilidades para la descomposicion en monogenos:

(1)

[monogeno

anulador x2

]⊕[

monogenoanulador x2

]; (2)

[monogeno

anulador x2

]⊕[

monogenoanulador x

]⊕[

monogenoanulador x

]que dan las formas de Jordan

J(1) =

0 0 0 01 0 0 00 0 0 00 0 1 0

; J(2) =

0 0 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0

Algebra Lineal y Geometrıa II.

Grado en Fısica. Curso 2010/2011.

Departamento de Matematicas - Universidad de Salamanca.

1-Abril-2011Trabajo I (1o Fısicas)

Fecha de entrega: 13 de Abril de 2011.

Sea E el K-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3 y T : E → E elendomorfismo definido por:

T (p(x)) = (p(0)− p(0)6

) + (p(0)

2− p(0)

3)x + (p(0)− p(0)

6)x2 + p(0)x3 .

Calcula, razonando de manera detallada y rigurosa, lo siguiente:1. Si K = R, una base de E respecto de la cual la matriz asociada a T sea la mas sencilla

posible. Escribe tambien dicha matriz.2. Si K = C, A25 y eA, siendo A la matriz asociada a T respecto de la base 1, x, x2, x3.

1


Trabajo 2o Cuatrimestre

TEORIASea E un R-espacio vectorial euclıdeo.

Una transformacion ortogonal es una aplicacion ET−→ E que conserva el producto escalar

euclıdeo:T (e) · T (e′) = e · e′ , cualesquiera que sean e, e′ ∈ E

1. Demuestra que si ET−→ E es una transformacion ortogonal verifica:

(a) T es lineal.(b) T es un isomorfismo.(c) Los unicos valores propios reales de T son 1 y -1.(d) T transforma una base ortonormal en una base ortonormal.(e) Si A y G son respectivamente las matrices de T y de la metrica euclıdea respecto de

una cierta base se cumple: AtGA = G. En particular, la matriz A de T en una baseortonormal es una matriz ortogonal, AtA = I.

(f ) Si V es un subespacio de E invariante por T su subespacio ortogonal V ⊥ es tambieninvariante por T .

2. Clasifica las transformaciones ortogonales de R2 y R3.(Primero estudia y escribe las ecuaciones de los giros y simetrıas de R2 y R3 en una referenciaortonormal y demuestra que son transformaciones ortogonales. Despues, demuestra que si Tes una transformacion ortogonal existe una base ortonormal respecto de la que T se expresacomo composicion de giros y simetrıas.)

PROBLEMAEn el espacio euclıdeo R3 considerese la base e1, e2, e3 definida por las condiciones:

|e1| = 2, |e2| =√

3, |e3| = 2, d(e1, e2) =√

3, d(e1, e3) =√

8, d(e2, e3) =√

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Sea T el endomorfismo R3 que en la base e1, e2, e3 tiene matriz asociada

A =1

3

−1 1 −44 −1 44 2 1

(a) Clasifica el endomorfismo T .(b) Demuestra que T es una transformacion ortogonal de E, esto es, verifica AtGA = G,

siendo G la matriz de la metrica euclıdea en la base e1, e2, e3.(c) Ortonormaliza por Gramm-Schmidt la base e1, e2, e3 y calcula la matriz de T en

esa nueva base. Describe geometricamente la transformacion ortogonal T como com-posicion de giros y simetrıas.

1

ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA II

SISTEMA DE EVALUACIÓN Trabajos teóricos y prácticos

Se realizarán dos trabajos que serán fundamentalmente prácticos y consistirán en responder a un cuestionario, test o problema de desarrollo. Serán defendidos por los estudiantes en horario de Seminarios o Tutoría. Supondrán un 20% del total de la nota. Pruebas escritas

Se celebrarán dos pruebas escritas: • La primera estará compuesta por cuestiones teórico-prácticas, ejercicios cortos y preguntas tipo test. • La segunda constará de cuestiones teórico-prácticas y dos problemas de desarrollo, parecidos a los resueltos en clase. La duración de la primera prueba será de una hora y la de la segunda de hora y media. Supondrán un 40% del total de la nota. Prueba escrita final

Constará de dos partes: - La primera parte estará formada por cuestiones teórico-prácticas en las que el alumno tendrá que razonar y expresar correctamente sus respuestas utilizando los conceptos necesarios y desarrollando las demostraciones que se precisen. - En la segunda parte se resolverán dos problemas, explicando con claridad su planteamiento y desarrollo. Tendrá una duración superior a la de las pruebas escritas realizadas durante el cuatrimestre. Para poder superar la asignatura se requiere que la calificación obtenida en esta prueba sea al menos de 3/10. Supondrá un 40% del total de la nota. Prueba de Recuperación

Constará de una parte de teoría y otra de problemas cuyos pesos respectivos serán del 40% y del 60% de la nota de la prueba. Englobará todos los contenidos teóricos y prácticos incluidos los planteados para realizar los trabajos propuestos durante el curso. Tendrá una duración de cuatro horas.

Aplicaciones de la Clasificación de...

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