Aplicaciones

Geraldine Cisneros Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

91

Por lo tanto, la región D se define como:

( ){ }2 3, 1 0D x y x x x y x x= − ≤ ≤ + ≤ ≤ −

La integral de volumen queda como:

3

2

0 3 3

11

x x

x xV x y xy dydx

−

+− = + + ∫ ∫

13 90 11 8 7 6 3 2

1

7 5174 2 24 4 1260

x xV x x x x x x x dx−

= − + − − − + − − =

∫

3 3 51711260D

V x y xy dA = + + = ∫∫

3.1.3. MASA DE UNA FIGURA PLANA

A continuación, se explica como determinar la masa de una figura

plana no homogénea, de área D , como la región mostrada en la

figura 3.16; es decir para regiones donde la densidad varía en

cada punto ( )x, y D∈ .

Figura 3.16

Región D no homogénea

La densidad tiene unidades de masa por área unitaria. Para esta aplicación, considere que la función densidad ρ es continua en la región D .

En la figura 3.16 la región D es no homogénea, por lo cual su sombreado no es uniforme. Adicionalmente: ( ) ( )0x, y x, y Dρ = ∀ ∉



92

Si se escoge un punto arbitrario ( )* *i j ijx , y D∈ , entonces la masa

de este subrectángulo, denotada como ijm , se obtiene como:

( )* *,ij i j ijm x y Aρ= ∆ (III.6)

Por lo tanto la masa de la placa plana de área A , se puede

estimar mediante la doble suma de Riemann:

( )* *

1 1,

n m

i j iji j

m x y Aρ= =

≈ ∆∑∑ (III.7)

Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la

norma de la partición P tienda a cero, se tiene:

( )* *

0 1 1,

n m

i j ijP i jm Lim x y Aρ

→= =

= ∆∑∑ (III.8)

( ) ( )* *

0 1 1, ,

n m

i j ij DP i jm Lim x y A x y dAρ ρ

→ = =

= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.9)

Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene

mediante:

MASA DE UNA FIGURA PLANA

Considere una lámina plana de densidad variable ( )x, yρ ,

que ocupa una región D en el plano xy, entonces su masa,

denotada m , se obtiene como:

( ),D

m x y dAρ= ∫∫ (III.10)

El cálculo de masa de una región D , también puede emplearse para calcular la carga eléctrica, Q, distribuida sobre una región D .

( ),D

Q x y dAσ= ∫∫

Donde σ es la función densidad de carga.



93

Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas 2 1x y= − y 22 2x y= − , cuya densidad es igual a la unidad.

Solución:

Recuerde que la densidad se calcula como ( ),D

m x y dAρ= ∫∫ , por

lo tanto para esta placa se tiene:

Dm dA= ∫∫

Ahora, se debe identificar la región D para definir los límites de

integración.

Figura 3.17

Región D del ejemplo 3.7

Entonces la región D está definida como:

( ){ }2 22 2 1 1 1D x, y y x y y= − ≤ ≤ − ∧ − ≤ ≤

Por lo tanto:

( )2

2

1 1 1 2

1 2 2 1

413

y

ym dxdy y dy

−

− − −= = − =∫ ∫ ∫

2

2

1 1

1 2 2

43

y

ym dxdy

−

− −= =∫ ∫

EJEMPLO 3.7

Valor de x a la salida de D

2 1x y= −

Valor de x a la entrada de D

22 2x y= −

D



94

Determine la masa de la placa plana limitada por las curvas

23 6 42

y x x= − + y 2 2y x= − , cuya densidad varía de acuerdo a la

función ( ) 1 2x, y xρ = + .

Solución:

El cálculo de la masa se obtiene de la integral doble

( ),D

m x y dAρ= ∫∫ , por lo tanto:

( )1 2D

m x dA= +∫∫

A continuación se muestra la región D.

Figura 3.18

Región D del ejemplo 3.8

Entonces:

( ) ( ) ( )1 2

1 2 1 2 1 2D D D

m x dA x dA x dA= + = + + +∫∫ ∫∫ ∫∫

Donde

( )

( )

21

22

30 2 6 4 2 4232 4 6 4 2 42

D x, y x x x y x

D x, y x x x y x

= ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ − + = ≤ ≤ ∧ − + ≤ ≤ −

Según la definición del valor absoluto

2 2 02

2 2 0

x si xx

x si x

− − ≥− = − − <

entonces

2 4 2

4 2 2

x si xy

x si x

− ≥= − <

EJEMPLO 3.8

La región D debe dividirse en dos regiones tipo 1, tal que:

1 2D D D= ∪ D

2 4y x= −

23 6 42

y x x= − +

2 4y x= − +



95

En la figura 3.19 se muestra el orden de integración para obtener

la masa de la placa con la forma de la región D.

Figura 3.19

Región D del ejemplo 3.8 como dos regiones tipo 1

Entonces:

( ) ( )2 2

2 4 2 4 2 43 30 6 4 2 6 42 2

1 2 1 2x x

x x x xm x dydx x dydx

− −

− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫

2 43 2 3 2

0 2

13 293 4 8 3 82 2

m x x x dx x x x dx = − + + + − − + − ∫ ∫

40 80 403 3

m = + =

( )1 2 40D

m x dA= + =∫∫

D1

D2

Valor de y a la salida de D1

4 2y x= −

Valor de y a la salida de D

2 2 4y x= −

Valor de y a la entrada de D1

23 6 42

y x x= − +

Valor de y a la entrada de D2

23 6 42

y x x= − +

2x =



96

3.1.4. MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS

El momento estático de una partícula alrededor de un eje se

define como el producto de su masa y la distancia que la separa

de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los

momentos estáticos de una figura plana D alrededor de los ejes

coordenados.

Considere una lámina o placa plana D , dividida en

subrectángulos ijD , tal como se muestra en la siguiente figura:

Figura 3.20

Región general D no homogénea

Entonces, el momento estático alrededor del eje x, para cada

subrectángulo ijD , denotado como ijxM , viene dado por:

( )* * *,ijx j i j ijM y x y Aρ= ∆ (III.11)

Sumando el momento estático alrededor del eje x para cada

subrectángulo, se tiene que:

( )* * *

1 1,

n m

x j i j iji j

M y x y Aρ= =

≈ ∆∑∑ (III.13)

Los momentos estáticos son momentos de “equilibrio”.

xM es una medida de la tendencia a girar en torno al eje x, análogamente,

yM es una medida de la

tendencia a girar alrededor del eje y.



97

Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta

en la expresión anterior:

( )* * *

0 1 1,

n m

x j i j ijP i jM Lim y x y Aρ

→ = =

= ∆∑∑ (III.14)

( ) ( )* * *

0 1 1, ,

n m

x j i j ij DP i jM Lim y x y A y x y dAρ ρ

→ = =

= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.15)

Análogamente, el momento estático alrededor del eje y, que se

denota yM , se obtiene como:

( ) ( )* * *

0 1 1, ,

n m

y i i j ij DP i jM Lim x x y A x x y dAρ ρ

→ = =

= ∆ =∑∑ ∫∫ (III.16)

MOMENTOS ESTÁTICOS DE FIGURAS PLANAS

Sea D una región del plano xy, tal que su densidad viene

dada por la función 2:ρ → , la cual es continua

( )x, y D∀ ∈ , entonces el momento estático alrededor del eje x,

denotado xM , se obtiene como:

( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ (III.17)

Mientras que el momento estático alrededor del eje y,

denotado yM , se calcula como:

( ),y DM x x y dAρ= ∫∫ (III.18)



98

Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el

ejemplo 3.7.

Solución:

Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera:

( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ y ( ),y D

M x x y dAρ= ∫∫ .

Entonces:

( )2

2

1 1 1 2

1 2 2 11 0

y

x yM ydxdy y y dy

−

− − −= = − =∫ ∫ ∫

2

2

1 1 1 4 2

1 2 2 1

3 3 832 2 5

y

y yM xdxdy y y dy

−

− − −

= = − − + = − ∫ ∫ ∫

Por lo tanto, los momentos estáticos para una lámina con la forma

de la región D del ejemplo 3.7 son:

0

85

x D

y D

M ydA

M xdA

= =

= = −

∫∫

∫∫

Determine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el

ejemplo 3.8.

Solución:

Los momentos estáticos se calculan como: ( ),x DM y x y dAρ= ∫∫ y

( ),y DM x x y dAρ= ∫∫ .

( ) ( )2 2

2 4 2 4 2 43 30 6 4 2 6 42 2

1 2 1 2x x

x x x x xM y x dydx y x dydx

− −

− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫

2 5 4 3 2

0

4 5 4 3 2

2

9 135 35 10 164 89 135 35 10 164 8

xM x x x x x dx

x x x x x dx

= − + − + + + + − + − + +

∫

∫

EJEMPLO 3.9

EJEMPLO 3.10

La región del ejemplo 3.7 se muestra a continuación

Y se encuentra acotada por las curvas 2 1x y= − y 22 2x y= − . La densidad es :

( ) 1x, yρ =

( ) 2 22 2 1

1 1

x, y y x yD

y

− ≤ ≤ − ∧ = − ≤ ≤

La región del ejemplo 3.8 se muestra a continuación

La densidad:

( ) 1 2x, y xρ = +

Donde 1 2D D D= ∪

( )

( )

1 2

2 2

0 2

3 6 4 2 42

2 4

3 6 4 2 42

x, y xD

x x y x

x, y xD

x x y x

≤ ≤ ∧ =

− + ≤ ≤ − + ≤ ≤ ∧ =

− + ≤ ≤ −



99

8 56 643 3 3xM = + =

Calculando el momento estático respecto al eje y se tiene:

( ) ( )2 2

2 4 2 4 2 43 30 6 4 2 6 42 2

1 2 1 2x x

y x x x xM x x dydx x x dydx

− −

− + − += + + +∫ ∫ ∫ ∫

262 1162 142415 15 15yM = + =

Finalmente, para la región del ejemplo 3.8 se tiene que:

( )

( )

641 23

14241 215

x D

y D

M y x dA

M x x dA

= + =

= + =

∫∫

∫∫

3.1.5. CENTRO DE MASA

El centro de gravedad de una figura plana D, es un punto P de

coordenadas ( )x , y D∈ , en el cual la región se equilibra

horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de

las ecuaciones:

yMx

m= (III.19)

xMym

= (III.20)

Donde tanto la masa de la placa plana como los momentos

estáticos se calculan por medio de integrales dobles.

El centro de gravedad también es llamado centro de masa.

El significado físico del centro de gravedad, es que la lámina se comporta como si su masa estuviera concentrada en ese punto.

El centro de gravedad recibe el nombre de centroide cuando la densidad es constante.

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