Aplicacion_de_la_derivada Al Trazado de Curvas 2014

8/17/2019 Aplicacion_de_la_derivada Al Trazado de Curvas 2014

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- Aplicación de la derivada altrazado de curvas

Unidad de Biomatemática



Aplicación de la Derivada

Funciones crecientes y decrecientes, y elcriterio de la primera derivada



• Una función f(x) definida en un intervalo es creciente enese intervalo si y solo si

Donde x1 y x son dos n!meros cuales"uiera del intervalo

2121 )()( x x x f x f <⇔<

• Una función f(x) definida en un intervalo es decrecienteen ese intervalo si y solo si

Donde x1 y x son dos n!meros cuales"uiera del intervalo

2121 )()( x x x f x f <⇔>



$riterio de la primera derivada para

extremos relativos

( ) .)(,

,

)('

máximounhayc f cen

entoncescdedespues yantesevaluar al

negativaa positivadecambia x f Si

( ) .)(,

,

)('

mínimounhayc f cen

entoncescdedespues yantesevaluar al

positivaanegativadecambia x f Si



Para determinar

analíticamente los extremos

relativos de f:

1% $alcular la derivada de f(x)

% Determinar los valores cr&ticosde f, es decir, los valores de x

para los cuales la derivada de

f(x)' o para los valores

donde la derivada de f(x) noexiste%

% Aplicar criterio de la primera

derivada



*+emplo 1

19)( 2!++−= x x x x f

a) Determine puntos mximos y m&nimos de f(x)

) Determine intervalos de monoton&a



• .unto /ximo0(1,)%

• .unto /&nimo0(,1)

• /onoton&a0

F(x)0 (-∞,1)∪(,∞2)

F(x)0 (1,)



$oncavidad, puntos de inflexión



Definición de concavidad 3acia

arria4e dice "ue la 5rfica de una función es cóncava 3acia arria en el punto

(c,f(c)) si existe en un intervalo aierto 6 "ue contiene a c tal "ue para todos

los valores de x7c en 6, el punto (x,f(x)) de la 5rfica est arria de la recta

tan5ente a la 5rfica en (c,f(c))%

)( '

c f



Definición de concavidad 3acia

aa+o

4e dice "ue la 5rfica de una función es cóncava 3acia aa+o en el punto

(c,f(c)) si existe un intervalo aierto 6 "ue contiene a c tal "ue para

todos los valores de x7c en 6, el punto (x,f(x)) de la 5rfica est dea+o de la

recta tan5ente a la 5rfica en (c,f(c))%

)( ' c f



#eorema



$riterio de la se5unda derivada

para punto de inflexión

( ) inflexión)(,,

)(''

de puntounhayc f cenentoncescde

despues yantesevaluada ser al signosdecambia x f



Para determinar analíticamente

los puntos de inflexión de f:

1% $alcular la se5unda derivada

de f(x)%

% Determinar valores para loscuales la se5unda derivada es

i5ual a cero%

% Aplicar criterio se5unda

derivada para punto de

inflexión %



*+emplo 1

19)(2!

++−= x x x x f

a) Determine puntos de inflexión f(x)

) Determine intervalos de concavidad positiva y

ne5ativa

c) #razar la 5rafica de f(x)



• .unto de inflexión0

(,)

• $oncavidad positiva0 f(x)0 (-∞,)

•$oncavidad positiva0

f(x)

0 (,∞

2)



*+emplos

x

x x f

1!+

= )( "

1

−

+=

x

x x g )(

Considere las siguientes funciones:

Determine:

a) Dominio

b) Puntos máximos y mínimos si existen.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento

d) Puntos de inflexión si existen

e) Intervalos de concavidad positiva y negativa.

f) ráfico



8rficas

• f(x) • 5(x)

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