Aplicacion Funcion Vectorial

NOLAN JARA JARA

1

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Probar que la curva C: f

(t) = (t² + t + 1,t²-1,t + 2) se encuentra sobre el plano z = x-y.

Solucion.

C : x = t² + t + 1 ; y = t²-1 ; z = t + 2 x-y = ( t² + t + 1 ) - (t²-1) = t + 2 = z.

:C x y z

2) Probar que la curva C: f

(t) = (acos2t,

2

1bsen

2t,

2

1csen

2t) se encuentra sobre el plano

x

a

y

b

z

c 1.

Solución.

C: x = acos2t; y =

2

1bsen

2t; z =

2

1csen

2t 2 2cos 1

x y zt sen t

a b c

: 1x y z

Ca b c

3) Halle la forma más general de la función Ø para que la curva definida por:

f

(u) = (a cos u, a sen u, Ø(u)) sea plana

Solución.

La curva C es plana si está contenida en un plano P

C: x = acosu; y = asenu; z = Ø(u) =Acosu+Bsenu+K

Entonces z =x y

A B ka a z =

A Bx y k

a a …P

: z = A B

C x y ka a

4) La curva C es la intersección del cilindro x² + y² + 2(y-x) = 2 con el plano x-y-2z =2.

Hallar la ecuación de la recta tangente a C en el punto P0(3,-1,1).

Solucion. 2 2( 1) ( 1) 4

: 1( 2)

2

x y a

Cz x y b

En a: x-1=2cost ; y+1=2sent x = 1+2cost ; y = -1+2sent ; en b: z = cost-sent

C: f

(t)= (2cost+1,2sent-1,cost-sent)

( )f t

= (-2sent,2cost,-sent-cost)

P0 = (3,-1,1) = f

(0) ; (0)f

= (0,2,-1)

: (0) (0) ;

(3, 1,1) (0,2, 1) ;

TL P f rf r

P r r

5) Hallar la parametrización con respecto a la longitud de arco s y utilizarla para calcular

los vectores unitarios: tangente, normal y la curvatura de la hélice circular

( )f t

= (a cos t, a sen t, bt) con t [0, c], siendo a, b y c constantes.

Solución.

NOLAN JARA JARA

2

0

(u)

t

s f du

( )f t

= (-asen t, a cos t, bt) 2 2 (u) f a b

2 2

0

(u)

t

s f du a b t

t = 2 2

s

a b

C:2 2 2 2 2 2

( ) cos , ,s s s

g s a asen ba b a b a b

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) , cos ,

a s a s bg s sen

a b a b a b a b a b

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) , cos ,

a s a s bT s g s sen

a b a b a b a b a b

2 2 2 22 2 2 2

2 2

2 2 2 2

( ) cos , ,0

( ) ( )

( ) cos , ,0

a s a sg s sen

a b a ba b a b

ak s g s

a b

s sN s sen

a b a b

6) Demostrar que si una curva plana viene dada por y = y(x) entonces su

Curvatura es

3

2 21

yk

y

Aplicar esta fórmula para hallar la curvatura de una elipse de semiejes a y b.

Solución.

NOLAN JARA JARA

3

1

2

2

3 32 2 22 2

2

... ( ): : ( ) , ( )

( )... ( )

( )( ) ( )

( )

( ) 1, ; ( ) 1 ( )

1, ( )( ) ( ) ,

1 ( ) 1 1

( )1

x t f tC C f t t y t

y y t f t

T tk t a

f t

f t y f t y b

yf t y y yT t T t

yf t y y

yT t

y

32 2

( )

y b en a: (1 )

c

yc k

y

2 2

2 2

2 4

2 2 3

4

3 32 4 2 2 22 2

C: 1 ; derivando con respecto a x.

1( ) ( )

(1 ) ( )

x ySi

a b

b x by x y x

a y a y

y a bk

y a b a x

7) Calcular la longitud de la siguiente curva parametrizada por

( )f t

= ( te cos t, te sen t, te ) con t [0, a].(a constante positiva)

Parametrizarla con respecto a la longitud de arco s y utilizarla para calcular el vector

tangente Unitario.

Solución.

00 0

( ) (cos ), ( cos ), ; 0,

( ) 3 ( ) 3 3

33 -1 ln( )

3

3 3 3 3 3: ( ) cos(ln ), (ln ),

3 3 3 3 3

1 3 3 ( ) cos(ln ) (ln ), (l

3 3 3

t t t

t ct

t u u

t

f t e t sent e sent t e t a

f t e s f u du e du e

ss e t

s s s s sC g s sen

s sg s sen sen

3 3n ) cos(ln ),1

3 3

( ) ( )

s s

T s g s

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4

8) Viajamos por el plano, partiendo del origen (0, 0), siguiendo la traza de la curva

( )f t

=(t,t2) , donde el parámetro t ≥ 0 es el tiempo (en segundos). Tras dos segundos,

cambiamos la trayectoria y nos vamos por la circunferencia tangente (“por dentro”) a

(2)f

y que tiene radio 1

(2)k. Recorremos (en sentido horario) media circunferencia.

¿En qué punto del plano nos encontraremos? ¿y si solo recorremos un cuarto de

circunferencia?

Solución.

C: x = t ; y = t2

Tras 2 segundos, estamos en el punto (2)f

= (2, 4). Para calcular la curvatura k(2) en ese

punto, evaluamos primero

( ) 2 (2) 2

( ) 2 (2) 2

y t t y

y t y

De donde deducimos que

3 3 3

2 22 2 2

2 2 2( ) (2)

17 17(1 ) (1 4 ) (17)

yk t k

y t

De forma que el radio de la circunferencia por la que seguimos nuestro camino es 17√17/2.

En el punto t = 2, los vectores tangente y normal a la curva C son:

(1,4) ( 4,1)(2) ; (2)

17 17

17 17 ( 4,1) 25(2,4) ( 32, )

2 217

T N

c

Pues llegaremos a ese centro partiendo de (2)f

y luego recorriendo,

en la dirección de ( 4,1)

(2)17

N

, todo el radio de la circunferencia de curvatura.

Si recorremos en sentido horario media circunferencia, estaremos en el punto

17 17 ( 4,1)(2,4) 2 ( 66,21)

2 17


y luego recorriendo, un diámetro en la

dirección de ( 4,1)

(2)17

N

.

Finalmente, si sólo recorremos un cuarto de circunferencia, entonces nos hallaremos en el

punto

17 17 ( 4,1) 17 17 (1,4) 81 43(2,4) ( , )

2 2 2 217 17


, luego hasta el centro de la circunferencia,

y luego “bajar” el radio en la dirección de (2)T

.

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5

EJERCICIOS

1)Trace la gráfica de las curvas determinadas por las siguientes funciones vectoriales:

A) f

(t)=(t³-t,t²-1) B) f

(t)=(rcost,rsent,t) C) f

(t)=(t²+1,t²-1)

D) f

(t)=(cost,sent,2|sent|) E) f

(t) = (et, e

2t) ; F) ( ) (cos ,1 ,2 )f t t sen t sen t

2) Esbozar la gráfica de la curva C representada por la intersección del semielipsoide

y el cilindro parabólico y = x2. Hallar una función vectorial que represente esa gráfica

Solución.

3) La curva de Gergome es la curva determinada por la intersección de dos cilindros

perpendiculares. Sean los cilindros x² + (z − 1)² = 1 y y² + z² = 1. Parametrice la curva de

Gergome de los dos cilindros anteriores, tal que su traza contenga al punto (1, 0, 1).

Encuentre otra parametrizacion tal que su traza contenga al punto (0, 1, 0).

4) Una curva no es necesariamente inyectiva, es decir, puede tener auto intersecciones

como la curva ( )f t

= (t³ − 4t, t² − 4)

5) Sin embargo hay curvas diferenciables, cuya traza tiene “picos”; por ejemplo

( )f t

= (t³, t²).

6) ¿Qué funciones diferenciables ( )g t hacen que f

(t) = (cosh(t), senh(t), g(t)), para t ∈

R, sea una curva plana?

0

2

0 0

1/ 2

-1/2

7) es continua en t lim f(t) f(t )

1(cos ) , ( ), ; t 0

f(t)=

e , 0 , 0 ; si t=0

t t

t t

f

t tsen t sitSea

¿ f

es continua en t = 0 ;justifique su respuesta?

8) Sea 32 2cos( ) 2cos( ) 2( ) ( , 1, )

t tf t t

t t

; bosquejar el grafico del rango de f

9) Sea f

(t) = (cos2 t,sen

2 t,2|sent|) Hallar f

'(0)si existe

22 2

1 ; 12 24 4

yx z 0z

2 42 24 2

: ( ) , ,6

t tC f t t t

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6

10) Una partícula se desplaza sobre la curva

3

22

: ( ) 2 4 ,4 2 , ² 43

C h x x x x x

con una rapidez constante de 4m/seg. Si la

partícula parte del reposo del punto (0,8,-4) Hallar el vector velocidad en el instante en que

cruza a la curva C2 descrita por: 4

( ) ²,2 ,20 103

g x x x x

.Desde que la

partícula parte del reposo ¿cuánto demora hasta cruzar C2?

2

2

1

1

( ,0, ) ;si 0

11) C : ( ) ( , ,0) ;si 0

(0,0,0) ;si t=0

¿ es una curva regular t ?

t

t

t e t

Sea f t t e t

C R

1

1

( ,0, ) ;si 0

12)Sea C : ( ) ( , ,0) ;si 0

(0,0,0) ;si t=0

¿ es una curva regular t ?

t

t

t e t

f t t e t

C R

13) Dos móviles siguen por un plano trayectorias elípticas de ecuaciones

M1:

senty

tx

2

cos4

1

1 y M2:

)2cos(3

)2(2

2

2

ty

tsenx respectivamente

Sabemos que en cada instante t la distancia entre ellos viene dada por la función

S= 2212

21 yyxx

¿Cuál es la variación de dicha distancia en el instante t= ?

14) Una partícula se mueve sobre una curva con velocidad no nula y paralela a la

aceleración. Si su rapidez en el instante t es ,1

12

t

t halle el vector posición de la partícula.

15) Hallar el vector

22 2 2 2 2

0 0 0

1 1 ln, ,

2 4 2 4 2 4 2 1 1

t tdt dt dt

t t t t t t t

16) Hallar el vector 1 1 12

22 41 0 0

2

( 1) ln( 1) ln, ,

1 1( 1) 1

t dt t dt tdt

t tt t

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7

17) Una partícula se mueve sobre la circunferencia cuya ecuación en coordenadas polares

es r = 4sen en sentido anti horario, con rapidez constante e igual a 8 unidades. Parte en el

instante t = 0 desde el punto (0,4).Defina una función vectorial de R en R² en términos del

tiempo t, que describa el movimiento de la partícula.

18) La longitud del arco de la curva C definida por la función vectorial

f

(t)= 2 2

2 2

3 , ln medida desde f(0) hasta f( )

2

b t bb t b t

b t

es bln(k), hallar el

valor de k.

19) Encontrar la longitud de la curva definida por:

Entre t = 1 y t = t1, sabiendo que es el punto donde es paralelo al plano YZ

(1< t1 <2).

20) Hallar La longitud del arco de la curva C definida por la función vectorial

3 3( ) cos , ,cos2 desde el punto f(0) hasta f(2 )f t t sen t t

21) Viajamos por el plano partiendo del origen (0, 0). Y lo hacemos siguiendo la traza de

la curva : [0, 1) → R ² (parametrizada por la función longitud de arco) que cumple con

las condiciones siguientes:

Su curvatura es para cada s

Tras recorrer una unidad de longitud (en metros), abandonamos la curva para Seguir la

Dirección de la tangente a la curva en el punto de escape. Recorremos así otros 3 metros.

¿A qué distancia (en metros) del punto original (0, 0) nos encontraremos?

22) Hallar la ecuación del plano osculador, la curvatura y la circunferencia de curvatura de

la curva C: ( ) ln 1 ² , , ln 11

tf t t t t

t

en un punto donde el vector tangente

tiene la dirección la recta: x-1=y-2=z-5.

23) Sea C: ( ) cosh , ,f t t senht t

.Hallar la ecuación del plano osculador en el punto

donde el radio de curvatura es mínimo.

3

1

² 2 1 124) : ( ) 1, , ln y : ( ) ,4 1, ln

4

t t tSea C f t t e C g t t t

t

Hallar la torsión de la curva C en el punto de intersección de estas curvas.

PROBLEMAS DE FUNCIONES VECTORIALES

1) Una función vectorial f

satisface la ecuación t f

(t) = f

(t) + t A

;0t A

: vector

fijo calcular (1)f

y (3)f

en función de A

, si (1) 2f A

.

2) Hallar una función vectorial f

, continua en <o,> tal que

0 0

cos( ) , , 4

t tu senu

f t du du tu u

1( ) f t

1( )f t

g

(0) (0,0) ; (0) (1,0)g g

1( )

1 ²k s

s

0,1

NOLAN JARA JARA

8

f

(x)= xex

A

+1

1( )

x

f t dtx

x >0, siendo A

un vector fijo.

3) Una partícula parte del punto (2,0) en el instante t=1 y se mueve sobre la curva

0²²²² xyxyx en sentido antihorario, volviendo a su

posición inicial. Si su rapidez es constante e igual a 4, definir una función vectorial que

describa el movimiento.

4) Una partícula se desplaza sobre la curva C: 3

22

( ) 2 4 ,4 2 , ² 43

h x x x x x

con

una rapidez constante de 4m/seg. Si la partícula parte del reposo del punto (0, 8,-4) Hallar

el vector velocidad y las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante

en que cruza a la curva C2 descrita por: 4

( ) ²,2 ,20 103

g x x x x

.Desde que la

partícula parte del reposo ¿cuánto demora hasta cruzar C2? ¿ ( )f t

?

5) Una partícula parte en un instante t = 0 del punto )2ln2,2

1,2( y se desplaza sobre la

curva C: f

(u) = ( , , 2 u ue e u ) de manera que en cada instante t, la distancia recorrida

sobre la curva es 2t. Hallar una función vectorial en términos de t que describa el

movimiento.

6) Una partícula se mueve en el espacio R3 partiendo en el instante t = 0 del punto

(1, 0,2e-2

). En cada instante t >_ 0 la velocidad de la partícula es v

(t) = (-2, 2t, 4e2 (t-1)

).

i) ¿En qué instante el vector velocidad es paralelo al vector posición de la partícula? ¿La

partícula cruza el plano x + y = 0 en algún instante?

ii) Parametrice la curva C descrita por la función x

= v

(t); t t 0 mediante el parámetro

longitud de arco S.

7) Sea C una curva en R³ descrita por la función vectorial x

= f

(t), t>0 si

1 1 1

( ) , ( ) 1, 1,1 1 ² 2

tf t B t

t t t

para t>0, y la torsión )(t en cada punto

f

(t)C es positiva, determinar )(t . A medida que t crece, ¿la curva C se tuerce más o

menos? Justifique su respuesta.

8) Ver si el punto )0,52,2(Q pertenece a la circunferencia de curvatura de la curva

C 3R descrita por x

= f

(t), en el punto f

(0)= (1, 2, 0), si se sabe que f

(0) = (0, 3, 0)

y que f

(t) = 3tT

(t) -)2(

32t

R

(t), donde R

(t)=(t2–2, 2t,-2t) es un vector paralelo para

cada t al vector normal principal ( )N t

9) Sea la curva C1: f

(t) = punto cadapor 2, t o );,,( 2 ttt f

(t) se traza una recta en la

dirección del vector binormal B

(t):

i) Encontrar las ecuaciones paramétricas de la curva C2 que se forma al interceptar cada

recta con el plano YZ.

NOLAN JARA JARA

9

ii) Calcular los vectores , ,T N B

y la curvatura de C2 en el punto ).6

7,

3

7,0(

10) ¿Es plana la curva con ecuaciones paramétricas?

1

1 ;

)1(

1 ;

)1( 22

2

tz

t

ty

t

tx

11) Una partícula se mueve sobre una curva con velocidad no nula y paralela a la

aceleración. Si su rapidez en el instante t es ,1

12

t

t halle el vector posición de la partícula.

12) Sea C: f

(t) = plano el Qy R t);,3,3( 32 ttt osculador de C en el punto (3, 3, 1) las

rectas tangentes a C para t >1 cortan a Q determinando una curva C1.En cualquier punto de

ella, hallar la curvatura de C.

13)

Sea C: 3

1

2 ln

0; 0; C R

xy

z x

x z

Si una partícula se desplaza sobre la curva C con una rapidez de “t” en el tiempo t, en t = 0

la partícula se encuentra en el punto (1, a, b) y además la partícula se desplaza por debajo

del plano z = 0.

i) Halle la función vectorial que describe la trayectoria de la partícula en función del tiempo

t.

ii) Halle la velocidad de la partícula en el tiempo t = 1 y la distancia que ha recorrido la

partícula desde t = 0 hasta t = 2.

14) Sea C: 3 ² 2 1( ) 1, , ln

4

t t tf t t e

y C1:

1( ) ,4 1, lng t t t

t

. Hallar la

torsión de la curva C en el punto de intersección de estas curvas.

15) Hallar los puntos en que la recta tangente a la curva C: f

(t) = (3t-t³,3t²,3t+t³) es

paralela al plano 3x + y + z = 5.

16) Sea C una curva en R³ que se obtiene como intersección de las superficies y = x² y

z =3

2(xy). Calcular la longitud de esta desde el origen hasta el punto (1,1,2/3).

17) Hallar la ecuación del plano osculador y la curvatura de C:

( ) ln 1 ² , , ln 11

tf t t t t

t

en un punto donde el vector tangente tiene la

dirección la recta: x-1= y-2 = z-5.

18) La curva C es la intersección del cilindro x² + y² + 2(y-x) = 2 con el plano

x-y-2z = 2.Determinar la curvatura y torsión, así como el plano osculador en el punto

(3,-1,1).

19) Sea C: ( ) cosh , ,f t t senht t

.Hallar la ecuación del plano osculador en el punto donde

el radio de curvatura es mínimo.

NOLAN JARA JARA

10

20) Dada la curva C en términos de la longitud de arco s;

1( ) sen ,1 cos ,4sen ; 0

2 2

sg s s s s s

. Hallar la torsión en un punto en donde la

longitud de arco sea 2 .

21) Calcule la longitud del arco de la curva f

:[0,1]R3, f

(t)=(cosht,senht,t)

22) Demuestre que las rectas tangentes,normal y binormal a la curva

f

(t) = (etcost,e

tsent,e

t) forman angulos constantes con el eje Z.

23) Demuestre que la curva f

(t) = (acosht,asenht,bt) tiene curvatura y torsion iguales en

todos sus puntos cuando a = b.

24) Consideremos el cilindro eliptico 2x² + 3y² = 1 y el plano z = 2y. Estas dos superficies

se intersectan en una elipse C. calcular la curvatura de esta en el punto (0,1

3

2

3, ).

25) Hallar la ecuación del plano osculador de la curva C que resulta de la intersección de la

esfera x² + y² + z² = 6 con el paraboloide Z = x² + y² en el punto (1,1,2).

26) Reparametrizar la curva C : f

3 3( ) (cos ;sen ;cos2 )t t t t con respecto a la longitud de

arco medida desde el punto donde t = 0 en la dirección en que se incrementa t. Considerar

los valores de t ubicados entre 0 y /2, ambos incluidos. Hallar k (5/4).

27) Una particula se mueve sobre la circumferencia cuya ecuacion en coordenadas polares

es r = 4sen en sentido antihorario, con rapidez constante e igual a 8 unidades. Parte en el

instante t = 0 desde el punto (0,4).Defina una funcion vectorial de R en R² en terminos del

tiempo t , que describa el movimiento de la particula.

28) Encontrar la longitud de la curva definida por :

0 0

cos( ) , , 4

t tu senu

f t du du tu u

entre t=1 y t = t1 , sabiendo que 1( ) f t

es el punto donde

1( )f t

es paralelo al plano YZ (1 < t1 < 2).

29) Calcular la longitud de la poligonal ( ) f t

= (|t| , |t − 2|) para t [−1, 4].

30) Hallar la parametrización con respecto a la longitud de arco y utilizarla

Para calcular los vectores unitarios: tangente, normal, binormal y la curvatura de

La hélice circular ( ) f t

= (a cos t, a sen t, bt) con t [0, c], siendo a, b y c

Constantes.

31) Si C es la curva con representación paramétrica 1²,,2)( ttttf

Hallar su torsión en el punto de intersección de la curva con el plano x + y + z = 5.

32) Dibuje la curva C: ( ) (1 cos )(cos , ); 0,2f t t t sent t

.Y calcule su longitud.

33) Calcular las longitudes de las siguientes curvas o arcos de curvas (suponemos que todas

las constantes que aparecen son positivas):

i) La hélice circular, dada por ( )f t

= (a cos t, a sen t, bt) con t [0, c].

ii) La curva parametrizada por ( )f t

= ( te cos t, te sen t, te ) con t [0, a].

34) Sea C la curva determinada por la función vectorial

( ) (cos ), ( cos ),t t tf t e t sent e t sent e

NOLAN JARA JARA

11

Hallar la longitud del arco de la curva C desde el punto A(1,-1,1) hasta el punto

B(- e , e , e ).

35) hallar la longitud del arco de la curva C: ( ) f t

= (t,ln(sect),ln(sect+tgt)), t [0,

4].

36) Dada la curva C:1

( ) sen ,1 cos ,4sen ; 02 2

sg s s s s s

. En términos de la longitud

de arco s. Hallar la torsión en un punto en donde la longitud de arco sea 2 .

37) Sean C1 y C2 las curvas descritas por las funciones vectoriales siguientes:

2 25 5 5( ) ln( 2), 1, ; ( ) ln 2 ,3 1,

1 2

t tf t t e g t t t

t

Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a cada una de estas curvas en el punto de

interseccion.

38) Hallar La longitud del arco de la curva C definida por la función vectorial

3 3( ) cos , ,cos2 desde el punto f(0) hasta f(2 )f t t sen t t

39) Reparametrice la curva 3

22

( ) (cos , , ); 03

f t t sent t t

por la función longitud de arco.

40) Dada la curva C determinada por la función vectorial

( ) (2 cos , 2cos , ); 0 ( ) (t)f t sent t t t tsent t t Hallar k t y

41) Viajamos por el plano partiendo del origen (0, 0). Y lo hacemos siguiendo la traza de la

curva g

: [0, 1) → R ² (parametrizada por la función longitud de arco) que cumple con las

condiciones siguientes:

g

(0) = (0, 0);

g

(0) = (1, 0);

Su curvatura es κ(s) =1

1 ²s para cada s [0, 1).

Tras recorrer una unidad de longitud (en metros), abandonamos la curva para seguir la



42) ¿Qué funciones diferenciables g(t) hacen que f

(t) = (cosh(t), senh(t), g(t)), para t ∈ R,

sea una curva plana?


la curva C: ( ) ln 1 ² , , ln 11

tf t t t t

t


tiene la dirección la recta: x-1= y-2=z-5.

SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DE FUNCIONES VECTORIALES

1) ¿Es plana la curva C con ecuaciones paramétricas?

NOLAN JARA JARA

12

1

1 ;

)1(

1 ;

)1( 22

2

tz

t

ty

t

tx

Solución.

La curva C es plana si está contenida en un plano P 2

2( 1)

tx

t

=

2

2 2 2 2

1 1 1 1 ( 1) 2 1 2 11

( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

t t t

t t t t t t t

2 2 2

1 ( 1) 2 1 2

( 1) ( 1) 1 ( 1)

t ty

t t t t

1

1z

t

32 2 3 2 2 3 2 0

1y x z x y z

t

C

2) Hallar las ecuaciones parametricas del Cicloide: curva descrita por un punto P de una

circunferencia de radio r que rueda, sin resbalar sobre una recta.

Solución.

Sea el ángulo PCA = t

Longitud del arco PM = longitud del segmento OM = r t

Entonces P tocara al origen de coordenadas O si la circunferencia se hace rodar hacia la

izquierda.

Entonces NM = PA = rsent

Como: P(x,y) ; O(0,0)

O

N M

A C

P

B

r t

NOLAN JARA JARA

13

1

2

( ) ( )

cos (1 cos ) ( )

x ON OM NM rt rsent r t sent f t

y NP MC AC r r t r t f t

3) Dada la curva

1

1

( ,0, ) ; t > 0

: f ( ) (t, ,0) ; t < 0

(0,0,0) ; t = 0

t

t

t e

C t e

¿C Es una curva regular para todo número real t ? Justifique su respuesta.

Solución.

La curva C es regular para todo número real t diferente de cero ( 0 ).

La curva C será regular para todo número real t si f

(0) 0

f

´ (0) = 0

( ) (0)limt

f t f

t

= 0

limt

( )f t

t

f

´ ( 0+) =

0limt

( )f t

t = (1,0,

0limt

1

1

t

t

e) = (1,0,0)

f

´ ( 0-) =

0limt

( )f t

t

= (1, 0

limt

1

1

t

t

e,0) = (1, - ,0) no existe.

Entonces la curva C no es regular para todo número real t.

4) Sea C la curva de intersección de la esfera x²+y²+z²=1 y el plano z=y. Entonces C es una

circunferencia en el espacio. Hallar la ecuación de la recta tangente a C en P02 1 1

( , , )2 2 2

.

Solución. C: x²+y²+z²=1 a

z=y b

b en a : x² + 2y² =1…d

en d: x = cost ; y = 1

2sent ; en b: z =

1

2sent

C: f

(t) = (cost, 1

2sent ,

1

2sent )

f

(t) = (-sent, 1

2cost,

1

2cost)

P02 1 1

( , , )2 2 2

= f

(4

) ; f

(

4

)=

2 1 1( , , ) ( 2,1,1)

2 2 2

NOLAN JARA JARA

14

: ( ) ( ) ;4 4

2 1 1( , , ) ( 2,1,1) ;

2 2 2

TL P f rf r R

P r r R

5) La curva C es la intersección del cilindro x²+y²+2(y-x)=2 con el plano x-y-2z = 2. Hallar

la ecuación de la recta tangente a C en el punto P0(3,-1,1).

Solución. 2 2( 1) ( 1) 4

: 1( 2)

2

x y a

Cz x y b

En a: x-1=2cost ; y+1=2sent x = 1+2cost ; y = -1+2sent ; en b: z = cost-sent

C: f

(t)= (2cost+1,2sent-1,cost-sent)

f

’(t)=(-2sent,2cost,-sent-cost)

P0 = ( 3,-1,1) = f

(0) ; f

’(0) = (0,2,-1)

: (0) (0) ;

(3, 1,1) (0,2, 1) ;

TL P f rf r R

P r r R

6) Consideremos el cilindro eliptico 2x² + 3y² =1 y el plano z = 2y. Estas dos superficies

se intersectan en una elipse C. Hallar la ecuación de la recta tangente a C en el punto

P0(0,1

3

2

3, ).

Solución. 2 22 3 1

:2

x y aC

z y b

En a: 1 1 2

cos ; ; en b: z=2 3 3

x t y sent sent

C: f

(t)=(1 1 2

cos , , )2 3 3

t sent sent ; f

’(t)=(1 1 2

, cos , cos )2 3 3

sent t t

P0(0,1

3

2

3, )= f

(

2

) , f

’(

2

)=(

1,0,0

2

)

7) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva C que resulta de la intersección de la

superficie x² + y² + 2z² = 10 con el paraboloide Z = x² + y² en el punto (1,1,2).

Solucion.

by²........x²Z

...a 102z²y²x²

: ( ) ( ) ;2 2

1 2 1(0, , ) ( ,0,0) ;

3 3 2

TL P f rf r R

P r r R

NOLAN JARA JARA

15

b en a: x²+y²+2(x²+y²)² -10= 0 x² + y² = 2 …d

en d: sentytx 2;cos2 ; en b: z=2

Luego C: )0,cos2,2()()2,2,cos2()( tsenttfsentttf

(1,1,2)= f

( )4

; f

( )

4

=(-1,1,0)

L: P = (1,1,2) + r (-1,1,0) ; r pertenece a los reales.

8)i) Una función vectorial f

satisface la ecuación t ( )f t

= ( )f t

+ t A

0;t A : vector

fijo calcular (3)f

y (3)f

en función de A

, si (1)f

= 2 A

.

Solución.

2

( ) ( ) ( ) ( )ln( )

( ) ln( ) ; 2 (1) ( ) ln( ) 2

( ) ln( ) 3 ( )

(3) 3ln(3) 6 ; (3)3

tf t f t A f t dt f td A A t C

t t t t t

f t At t Ct A f C f t At t At

Af t A t A f t

t

Af A A f

ii) Hallar una función vectorial f

, continua en <o,> tal que

( )f x

= xex

A

+1

1( )

x

f t dtx

x >0, siendo A

un vector fijo. Solución.

2 1

2 1 1

1 1( ) 1 ( ) ( )

1 1 1( ) 1 ( ) ( )

( ) 2 ( ) 1 ...*

(1) 2 , en *

( ) 1

xx

x xx x

x x

x

f x x e A f t dt f xx x

f x x e A f t dt xe A f t dtx x x

f x x e A f x x e A cA

f eA cA eA c e

f x x e A eA

9) a) Encontrar la longitud de la curva definida por :

0 0

cos( ) , , 4

t tu senu

f t du du tu u

entre t=1 y t = t1 , sabiendo que 1( ) f t

es el punto donde

1( )f t

es paralelo al plano YZ (1<t1<2).

Solución.

NOLAN JARA JARA

16

2 2

1

1 1

cos 2 5( ) , , ( )

cos 2( ) , , es paralelo al plano YZ:x = 0

cos 50 ( ) 2 5 1

2 2

t sentf t f t

t t t t

t sentf t

t t t

tt t L f t dt dt

t t

b) Calcular la longitud de la poligonal ( ) f t

= (|t|, |t − 2|) para t [−1, 4].

Solución.

4 4

1 1

, 2 ; 1 0 1, 1 ; 1 0

( ) ,2 ;0 2 ( ) 1, 1 ;0 2

, 2 ;2 4 1,1 ;2 4

( ) 2 ( ) 2 5 2

t t t t

f t t t t f t t

t t t t

f t L f t dt dt

c) calcular la longitud del arco de la curva descrita por

( ) ( ),1 cos( ) ; 0,2f t t sen t t t

.

Solución.

.8)2

cos(8)2

(4)2

(2

,02

;2

22

2cos22)(),cos1()(

00

2

0

ut

dtt

sendtt

senL

ttsen

tsenttfsentttf

t

C

10 Una particula se mueve sobre la circumferencia cuya ecuacion en coordenadas polares

es r = 4sen en sentido antihorario, con rapidez constante e igual a 8 unidades. Parte en el

instante t = 0 desde el punto (0,4).Defina una funcion vectorial de R en R² en terminos del

tiempo t , que describa el movimiento de la particula.Solucion.

C: r = 4sen r ² = 4rsen de donde en coordenadas cartesianas la ecuacion de la

circumferencia C es x² + y² = 4y ;de donde obtenemos: x² + ( y – 2 )² = 4. Ecuacion de la

circumferencia C de centro ( 0 , 2 ) y radio 2.

NOLAN JARA JARA

17

Recordar:

2 2 ; 0cos

r x y rx r

yy rsen arcotg

x

Como C: r = 4sen

1

2

2

2

2

4 cos ( ): ; 0,

4 ( )

Entonces podemos considerar que

: (4 cos ,4 ); 0,

: (2 2 ,4 ); 0, ...(*)

x sen gC

y sen g

C g sen sen

C g sen sen

Como la particula se mueve con rapidez constante e igual a 8 unidades

entonces:

0 0

8 8 8 8 ...( )

t

t

dss du t s t i

dt

en el instante t0 = 0 ; (0,4)= 0( )2 2

g

0 0

0

2 2

2

( ) 4cos 2 ,4 2

4 4 4 ...( )2 2

(i) y (ii): 8 4 2 ; en ( * )2 2

s g d sen d

d s ii

de t t

NOLAN JARA JARA

18

2 2

2

: (2 2 ,4 ) 2 (4 ),4 (2 )2

: ( ) 2 (4 ),4cos (2 )

C g sen sen sen t sen t

C f t sen t t

11) Una partícula se mueve en el espacio R3 partiendo en el instante t = 0 del punto

(1, 0, 2e-2

). En cada instante t >_ 0 la velocidad de la partícula es v

(t) = (-2, 2t, 4e2(t-1)

).

i)¿En qué instante el vector velocidad es paralelo al vector posición de la partícula?¿La

partícula cruza el plano x + y = 0 en algún instante?

ii) Parametrice la curva C descrita por la función x

= ( )v t

; t t 0 mediante el

parámetro longitud de arco S.

Solución.

(0)f

=(1,0,2e-2

) ; )2,²,2()(1))-4e2(t 2t, (-2,)()( 3

)1(2

21 cectcttftVtf t

(0)f

= (1, 0, 2e-2

) = 1)2,,( 13

2

21 ccecc 2( 1)( ) ( 2 1, ²,2 )tf t t t e

i) ( ) / / ( ) 1 ; 0 x y -2t 1 t² t 1f t f t t

: instante en que la partícula cruza el

plano x + y = 0.

ii) ( )x t

= (0,2,8e ))1(2 t S =

0 0

2( 1)( ) 16

t t

u

t t

x u du e du

= 8e2(t-1)

) - 8e2(t

0-1)

)

C: ( )y s

= (0, 2, S + 8e2(t

0-1)

)

12) Si C : ( )g s

; g

: R R³ ; s: parámetro longitud de arco, demostrar que ( )g s

es

ortogonal a ( )g s

Solución

0

0 C:f(t);t t ( ) ( ) ( )

: ( ) ( )( ) ( ( )) ( )

( ) ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

t

t

Si s f u du l t t s

C g s f s f s f t

f t f tg s f s s f t t s

s t f t

g s g s

13) Si f

: R R³ demostrar que

3

f (t)xf (t)( )

( )k t

f t

14) Si f

: R R³ demostrar que 2

(f (t)xf (t)). ( )( )

f (t)xf (t)

f tt

Solución

NOLAN JARA JARA

19

3

2

: ( ) ; C ( ; B =- )

-

( )

f (t)= ( ) ( ) ; f (t)= ( ) ( ) ( )( ( )) ( )

( ) [ (

Si C f t T kl N l N

N BxT N B xT BxT l NxT Bxkl N l B kl T

N l B kl T

l t T t l t T t k t l t N t

f t l t

3

2

) ( ( ))²( ( )) ] ( ) [3 ( ) ( ) ( ) ( )( ( ))²] ( ) +

( ) ( )( ( ))³ ( )

(f (t)xf (t)). ( ) ( ) ( )( ( ))³ ( ) ( ) f (t)xf (t)

k t l t T t k t l t l t k t l t N t

k t t l t B t

f t k t t l t B t t

2

(f (t)xf (t)). ( ) ( )

f (t)xf (t)

f tt

15) Hallar la parametrización con respecto a la longitud de arco y utilizarla Para calcular

los vectores unitarios: tangente y normal y la curvatura de La hélice circular

( ) f t

= (acost, asent, bt) con t [0, c], siendo a, b y c

Constantes.

Solución.

0 0

2 2

0 0

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( , cos , )

: ( ) cos , ,

( ) , cos ,

( ) cos ,

t t

t t

S f u du asenu a u b du a b t

ss a b t t

a b

s s sC g s a asen b

a b a b a b

a s a s bg s sen

a b a b a b a b a b

a s ag s

a b aa b

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

,0

( ) 1 ( ) ( )

( ) ( ) ; ( ) cos , ,0

ssen

b a b

g s T s g s

a s sg s k s N s sen

a b a b a b

16) Hallar y ,k,, B , ,

NT de la curva C que resulta de la intersección de las superficies

xy + z = 0, x2

+ y2 + z

2 = 9, en el punto P0 = (2,1,-2).

Solución.

NOLAN JARA JARA

20

C:

)...(0

)...(9²²²

iizxy

izyx Po=(2,1,-2)

Z= - xy en (i) x² + y² + x²y² = 9 11²

10

xy ; z = -x 1

1²

10

x

C:

11²

10

....11²

10

.................

ttz

ty

tx

Po ; t = 2

110

1²

10

rtr

t

C: ()( rg 110

r

, )10

11,1r

rr ; Po= g(2) ; r = 2

2/13542/12

143 )1011)(10²(

2

1,)1(

2

1,)10(5)( rrrrrrrrg

3,4,58

1)2( g

2/335443

2/13542/323

433

)1011²)(30544)(10²(4

1

)1011)(2(2

1,)1(

4

1,)10)(4²30(

2

5

)(

rrrrrrr

rrrrrrrrr

rg

)89,32,55(128

1)2( g

25

187K(2) ;

5995

)(-15,27,71N(2) ;

374

)(-13,-14,3B(2) ;

25

)3,4,5()2(

T

17) Ver si el punto A(2, 2 5,0) pertenece a la circunferencia de curvatura de la curva

C 3R descrita por X

= f

(t), en el punto f

(0)= (1, 2, 0), si se sabe que f

(0) = (0, 3, 0)

y que t f

= 3tT

(t) -)2(

32t

R

(t), donde R

(t)=(t2–2, 2t,-2t) es un vector paralelo

para cada t al vector normal principal N

(t).

Solución.

f

´´ (0) = (3,0,0)

f

´ (0) x f

´´ (0) = 9(0,0,-1) ; B

(0) = (0,0,-1) ; N

(0) = (1,0,0) ; k(0) = 1/ 3 ; 3)0(

: z = 0 … Plano osculador

c = ( 1,2,0 ) + 3 ( 1,0,0) = ( 4,2,0 ) … centro de la circunferencia de curvatura

d(A,c) 3 … A no pertenece a la circunferencia de curvatura.

NOLAN JARA JARA

21

18) Reparametrizar la curva C : 3 3( ) (cos ;sen ;cos2 )f t t t t

con respecto a la longitud de

arco medida desde el punto donde t = 0 en la dirección en que se incrementa t. Considerar

los valores de t ubicados entre 0 y /2, ambos incluidos. Hallar k (5/2) si existe.

Solución.

Para un cierto valor t, la longitud de arco medida desde el 0 será:

2 2 2 2 2

0 0

4 2 4 2 2

0

2 2 2 2 2 2

0

2 2 2 15 22 50 0

( ) ( ) (3cos sen ) (3sen cos ) (2sen 2 )

9cos sen 9sen cos (4sen cos )

9cos sen (cos sen ) 16cos sen

25cos sen 5cos sen sen sen

t t

t

t

t t

s l t f r dr r r r r r dr

r r r r r r dr

r r r r r rdr

r rdr r rdr t t s

De esta manera, podemos expresar la trayectoria en términos de s, la longitud de arco,

reemplazando t por su expresión en términos de s:

3 1 3 1 12 2 25 5 5

3/2 3/22 2 45 5 5

( ) cos sen ,sen sen ,cos 2 sen

( ) 1 , ,1

f t s s s

g s s s s

1/2 1/2 1/2 1/22 2 4 2 2 45 5 5 5 5 5

1/2 1/22 25 5

25

3 2 3 2 3 3( ) 1 ( ), ( ), 1 , ,

2 5 2 5 5 5

1 3 2 1 3 2( ) ( ) 1 ( ), ( ),0

2 5 5 2 5 5

3 1 3 5( ) , ,0 ( )

25 25 21

5( ) no existe.2

g s s s s s

g s s s

g s k sss

k

19) Sea C : ( )f t

= plano el Qy R t);,3,3( 32 ttt osculador de C en el punto (3, 3, 1) las

rectas tangentes a C para t >1 cortan a Q determinando una curva C1. Hallar la curvatura de

C1, en cualquier punto de ella.

Solución.

NOLAN JARA JARA

22

( ) 3(1,2 , ²) (1,2 , ²) ; (t)=6(0,1,t) ( ) (t)=18(t²,-t,1) B(t)

(3,3,1)= (1) B(1) (1, 1,1) :

: ( 3, 3, 1)(1, 1,1) 0 : 1 0

: (3 ,3 ², ³) (1,2 , ²) (3 ,3T

f t t t t t f f t xf

f plano osculador

x y z x y z

L P t t t r t t t r t

1

² 2 , ³ ²); ...

: (3 ) (3 ² 2 ) ( ³ ²) 1 0 ( 1 ; 1); en

: ( ) (2 1, ² 2 , ²) ; ( ) (2,2 2,2 ) ; ( ) (0,2,2)

( ) ( ) (4, 4,4) ( ) ( ) = 4 3 ; g (t) =2 2t²+2t+2

T

rt t rt r

L t r t rt t rt r t t

C g t t t t t g t t t g t

g t xg t g t xg t

32

( ) ( ) 6k(t)= =

g (t) ³ 8(t²+t+1)

g t xg t

20) Si C es la curva con representación paramétrica 2( ) 2 , , 1f t t t t

.Hallar los

vectores unitarios , y T N B

en el punto de intersección de la curva con el plano x+y+z=5.

Solución.

2

2

: 2 ; : ( ) (2 , , 1); 0

: 2 1 2 1

(1) (1,1,0)

1 1 1 1 1( ) ( , , 2 ) (1) ( , , 2) 1,1,4

2 2 22 2

1 1 1 1 1( ) ( , , 2) (1) ( , , 2) 1, 1,8

4 4 44 4

1 3(1) (1) 12,12,0 1,

8 2

x y z f t t t t t

I t t t t

I f

f t t ft t

f t ft t t t

f xf

1,0

1,1,4 1,1,0(1) (1) (1)(1) ; (1)

3 2 2(1) (1) (1)

2, 2,1(1) (1) (1)

3

f f xfT B

f f xf

N B xT

21) Sea C una curva en R³ que se obtiene como intersección de las superficies y=x² ;

z=3

2(xy). Hallar la ecuación de la recta: tangente, normal, binormal y la ecuación del plano

osculador en el punto (1,1,2/3) de la curva C.

Solución.

NOLAN JARA JARA

23

2 3

2

2 2: ( ) , , 1,1, (1)

3 3

2( ) 1,2 ,2 (1) 1,2,2 : 1,1, 1,2,2 ;

3

( ) 0,2,4 (1) 0,2,4 2(0,1,2)

2(1) (1) 2 2, 2,1 : 1,1, 2, 2,1 ;

3

( (1) (1))

T

B

C f t t t t f

f t t t f L r r

f t t f

f xf L r r

f xf

2(1) 6( 2, 1,2) : 1,1, ( 2, 1,2);

3

2: ( , , 1,1, ). 2, 2,1 0

3

: 6 6 3 2 0

Nxf L r r

Q x y z

Q x y z

22) Sea C la curva de intersección de la esfera x²+y²+z²=1 y el plano z=y. Entonces C es

una circunferencia en el espacio. Hallar la curvatura, radio de curvatura y torsión de la

curva C en el punto P2 1 1

( , , )2 2 2

.

Solución.

C: x²+y²+z²=1 a

z=y b

b en a : x² + 2y² =1…d

en d: x = cost ; y = 1

2sent ; en b: z =

1

2sent

C: f

(t)=(cost, 1

2sent,

1

2sent )

2 1 1( , , )

2 2 2 = f

(

4

) ;t =

4

f

(t)=(-sent, 1

2cost,

1

2cost) f

(

4

)=

2 1 1 1( , , ) ( 2,1,1)

2 2 2 2

( )f t

(-cost,-1

2sent,-

1

2sent) f

(

4

)=

2 1 1 1( , , ) ( 2,1,1)

2 2 2 2

f

(4

)x f

(

4

)=

2(0,1, 1)

2 .

K(4

) =

3

f ( )xf ( ) 4 4

1

f ( )4

( ) 1

4

( )f t

(sent, -1

2cost, -

1

2cost)

NOLAN JARA JARA

24

2

(f ( )xf ( )).f ( ) 4 4 4( ) 0

4f ( )xf ( )

4 4

23) Viajamos por el plano, partiendo del origen (0, 0), siguiendo la traza de la curva

( )f t

=(t,t2) , donde el parámetro t ≥ 0 es el tiempo (en segundos). Tras dos segundos,

cambiamos la trayectoria y nos vamos por la circunferencia tangente (“por dentro”) a (2)f

y que tiene radio 1/κ(2). Recorremos (en sentido horario) media circunferencia. ¿En qué

punto del plano nos encontraremos? ¿y si solo recorremos un cuarto de circunferencia?

Solución.

C: x = t ; y = t2

Tras 2 segundos, estamos en el punto (2)f

= (2, 4). Para calcular la curvatura k(2) en ese

punto, Evaluamos primero

( ) 2 (2) 2

( ) 2 (2) 2

y t t y

y t y

De donde deducimos que

3 3 3

2 22 2 2

2 2 2( ) (2)

17 17(1 ) (1 4 ) (17)

yk t k

y t

De forma que el radio de la circunferencia por la que seguimos nuestro camino es 17√17/2.

En el punto t = 2, los vectores tangente y normal a la curva C son:

(1,4) ( 4,1)(2) ; (2)

17 17

17 17 ( 4,1) 25(2,4) ( 32, )

2 217

T N

c


y luego recorriendo,

En la dirección de ( 4,1)

(2)17

N

, todo el radio de la circunferencia de curvatura.

Si recorremos en sentido horario media circunferencia, estaremos en el punto

17 17 ( 4,1)(2,4) 2 ( 66,21)

2 17


y luego recorriendo, un diámetro en la

dirección de ( 4,1)

(2)17

N

.

Finalmente, si sólo recorremos un cuarto de circunferencia, entonces nos hallaremos en el

punto

17 17 ( 4,1) 17 17 (1,4) 81 43(2,4) ( , )

2 2 2 217 17


, luego hasta el centro de la circunferencia,

y luego “bajar” el radio en la dirección de (2)T

.

NOLAN JARA JARA

25

24) Demostrar que si una curva plana viene dada por y = y(x) entonces su

Curvatura es

3

2 21

yk

y

Aplicar esta fórmula para hallar la curvatura de una elipse de semiejes a y b.

Solución.

1

2

2

3 32 2 22 2

2

... ( ): : ( ) , ( )

( )... ( )

( )( ) ( )

( )

( ) 1, ; ( ) 1 ( )

1, ( )( ) ( ) ,

1 ( ) 1 1

( )1

x t f tC C f t t y t

y y t f t

T tk t a

f t

f t y f t y b

yf t y y yT t T t

yf t y y

yT t

y

32 2

( )

y b en a: (1 )

c

yc k

y

2 2

2 2

2 4

2 2 3

4

3 32 4 2 2 22 2

C: 1 ; derivando con respecto a x.

1( ) ( )

(1 ) ( )

x ySi

a b

b x by x y x

a y a y

y a bk

y a b a x

25) Calcular la longitud del arco de la curva C determinada por la función vectorial

( )f t

= ( te cos t, te sen t, te ) con t [0, a] (a constante positiva)

Parametrizarla con respecto a la longitud de arco s y utilizarla para calcular el vector

tangente Unitario.

Solución.

NOLAN JARA JARA

26

00 0

( ) (cos ), ( cos ), ; 0,

( ) 3 ( ) 3 3

33 -1 ln( )

3

3 3 3 3 3: ( ) cos(ln ), (ln ),

3 3 3 3 3

1 3 3 ( ) cos(ln ) (ln ), (l

3 3 3

t t t

t ct

t u u

t

f t e t sent e sent t e t a

f t e s f u du e du e

ss e t

s s s s sC g s sen

s sg s sen sen

3 3n ) cos(ln ),1

3 3

( ) ( )

s s

T s g s

26) Sea 3 3: 3C x y xy hallar una función vectorial

2:f R R

que

determine a la curva C y graficar la curva C.

Solución. 3 3 3 3 3 3 3 2

3 3 2 3

3

2

3

13

2

23

2

3 3

: ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3

3(1 ) 3 (1 ) 3 ( )

1

3( ) en ( ) : ( ) ; 1

1

3( )

1 ( ) y ( ) :

3( )

1

3 3: ( ) ,

1

Sea y tx a x y xy x tx x tx x t x tx

tx t tx x t t x b

t

tb a y c t

t

tx f t

tde b c C

ty f t

t

t tC f t

t t

; 1

1t

Para graficar procedemos de la siguiente manera.

Determinamos los puntos donde la curva corta a los ejes coordenados 2

0

3

0

3

31 Al eje X: hacemos 0 0 ( , ) (0,0)

1

32 Al eje Y: hacemos 0 0 ( , ) (0,0)

1

ty t x y

t

tx t x y

t

Determinamos los puntos donde la curva tiene asíntotas y la ecuación de su asíntota

oblicua.

NOLAN JARA JARA

27

30 3

3 2

3 3 3

30

3 2 3

3 (2 )1 Tangente Horizontales: hacemos y ( ) 0 0, 2

( 1)

tiene tangentes horizontales en (0) (0,0) y en ( 2) 2, 4

3(1 2 ) 12 Tangente Vertical: hacemos x ( ) 0

( 1) 2

tiene t

t tt t

t

C f f

tt t

t

C

3 3

3

1angente vertical en ( ) 4, 2

2f

0

1

2

1 3 3

2

1 3

3 Asintotas Oblicuas:

lim lim 1 1

3 3lim ( ) lim ( )

1 1

3 3lim 1 1

1

1 es la ecuacion de la recta asintota oblicua.

x t

x t

t

y mx k

ym t m

x

t tk y mx

t t

t tk

t

y x

27) Sean las curvas C1: 2( ) ( cos , , ); C2: ( ) ( 1, , 1)t t tf t e t e sent e g t t t t

En cuanto debe incrementarse t para que la longitud de arco de C1 se incremente en

1 3e desde el instante en que C2 intercepta a C1.

NOLAN JARA JARA

28

Solución.

1 2 1 2( ) ( ) 0f t g t t t

1 10 0

1 3 ( ) 3 3 1

1

t t

u t

t t

e f u du e du e

t


(t) = (t, t , 2t ); 0 < t ≤ 2, por cada punto f

(t) se traza una recta en

la dirección del vector Binormal B

(t). Encontrar las ecuaciones paramétricas de la curva C2

que se forma al interceptar cada Recta Binormal con el plano YZ.

Calcular la curvatura y torsión de C2 en el punto

6

7,

3

7,0

Solución.

f

(t) = (1, t2

1, 2t) ; f

(t) = (0,

32

4

t

, 2)

//B

f

(t) x f

(t) = (2

3

21

4,2,

2

3

tt )

Rectas que pasan por f

(t) y sirve la dirección de

B (t)

g

(t) = (t, t , t2) + r(

23

21

4,2,

2

3

tt )

Al interceptor con el plano YZ (x = 0)

Reemplazando

t + r 21

2

3

t = 0 r = - 23

3

2t

Reemplazando

C2: g

(t) = 31

22 24 1

0, ,3 6

t t t

7 70, , (1)

3 6g

NOLAN JARA JARA

29

g

(t) =

1 / 2

1/ 210, 2 ,2

2

t

t t

; g

(1) = 5

0, , 22

g

(t) =

3 12 2

10, ,2

4t t

; g

(1) =

2,

4

3,0

2

28 41(1) ; (1) 0

(41)k

29) Una partícula parte del punto (2,0) en el instante t=1 y se mueve sobre la curva

02222 xyxyx , en el sentido anti-horario, volviendo a su posición inicial, si su

rapidez es constante e igual a 4, definir una función vectorial que describa el movimiento.

Solución:

Sea cos

(1)x r

y r sen

Reemplazando en la ecuación 2 2 2 2 2 2 2 2

2

(cos ) ( ) cos cos 0

cos 0

1 cos

r r sen r r sen r

r r r

r

Reemplazando 1 cosr en la ecuación (1)

(1 cos )cos

(1 cos ) ; 0,2

x

y sen

(1 1).1 20

(1 1).0 0

x

y

Cumple con la condición inicial del punto (2,0)

Sea:

( ) (1 cos ).cos ;(1 cos ). ; 0,2f sen

…. (1)

Aprovechando el dato de rapidez constante = 4

4 4ds

S t cdt

Cuando t = 1 ; s = 0 c = - 4

Luego

4 4S t

Sabemos que : S =0

( ) f u du

( ) 2 ;cos cos2f sen sen

2 ( ) 2 1 cos 2 2cos 2 cos2 2

f

NOLAN JARA JARA

30

S = 0

2 cos2

udu

4t- 4 = 0 0

2 cos 2 cos2 2

u udu du

4t - 4 = 0

0

4 cos 8 82 2 2

u udu sen sen

4t - 4 = 1

8 1 22 2 2 2

tsen t sen sen

Reemplazando en (1)

3

2 2 2 2(3 2 )(1 2 ) (3 2 ) ( 1)( ) ,

2 2

t t t t t t tF t

30) Sean las curvas C1: 2( ) ( cos , , ); C2: ( ) ( 1, , 1)t t tf t e t e sent e g t t t t

En cuanto debe incrementarse t para que la longitud de arco de C1 se incremente en

1 3e desde el instante en que C2 intercepta a C1.

Solución.

1 2 1 2( ) ( ) 0f t g t t t

1 10 0

1 3 ( ) 3 3 1

1

t t

u t

t t

e f u du e du e

t

31) Sea C una curva descrita por la función

3: 0,1 ; si (0) 1,0,0 y ( ) es de la forma ( ) 2 ( ) ( ) ( )f R f f t f t t T t t N t

Calcular la longitud de la curva.

Solución.

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( )f t l t T t t N t l t t l t t f t

Lc= 1 1

2

0 0

4 ( ) 1

3f t dt t dt

32) Sean C:3 ² 2 1

( ) 1, , ln4

t t tf t t e

y C1:

tt

ttg ln,14,

1)( .

Hallar la torsión de la curva C en el punto de intersección de estas curvas.

Solución.

NOLAN JARA JARA

31

3

3

2

2 1 1( ) 1, , (3) 1, 1, 2, 2,1

1 2 2

2 1 1( ) 0, , (3) 0,1, 0,8, 1

8 8( 1)

1(3) (3) 6,2,16

16

1(3) (3) . (3) 6,2,16

16

(3

(3)

t

t

f t e ft

f t e ft

f x f

f x f f

f

2

) (3) . (3)2

37(3) (3)

x f f

f x f

33) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva C que resulta de la intersección de las

superficies xy + z = 0, x2

+ y2 + z

2 = 9, en el punto P0 = (2,1,-2).

Solución.

C:

)...(0

)...(9²²²

iizxy

izyx Po= (2, 1,-2)

Z= - xy en (i) x² + y² + x²y² = 9 11²

10

xy ; z = -x 1

1²

10

x

C:

11²

10

....11²

10

.................

ttz

ty

tx

Po= (2, 1,-2); t = 2; 110

1²

10

rtr

t

C: ()( rg 110

r

, )10

11,1r

rr ; Po= g(2) ; r = 2

13 4 1/2 4 5 3 1/22

1 1 ( ) 5(10 ) , ( 1) , ( ² 10)(11 10 )

2 2g r r r r r r r r

1

(2) 5, 4,38

g ;LT: P= (2, 1,-2)+s(5,-4,3); sR

34) Dibuje la curva C: ( ) (1 cos )(cos , ); 0,2f t t t sent t

.

Y calcule su longitud.

Solución.

NOLAN JARA JARA

32

2

2 2

2

( ) (cos cos , cos ) ; 0,2

( ) ( 2 cos ,cos os )

( ) ( 2 ,cos os 2 )

( ) 2 2 2 2cos cos 2 2 2cos 4 22 2

( ) 22

f t t t sent sent t t

f t sent sent t t c t sen t

f t sent sen t t c t

t tf t sentsen t t t t sen sen

tf t sen

2 2 2

00 0 0 0

( ) 2 2 2(2) 4 2cos2 2 2 2

8 0 1 8

C

C

t t t tL f t dt sen dt sen dt sen dt

L u

35) Sea C: 3

1

2 ln

0; 0; C R

xy

z x

x z

Si una partícula se desplaza sobre la curva C con una rapidez de “t” en el tiempo t, en t = 0

la partícula se encuentra en el punto (1, a, b) y además la partícula se desplaza por debajo

del plano z = 0.

i) Halle la función vectorial que describe la trayectoria de la partícula en función del

tiempo t.

Solución.

NOLAN JARA JARA

33

0 0

2 2

1 ; 0

1: ( ) , , 2 ln( ) ;0 1

1, , 1,1,0 (1) (0); 1; 0

1 2 1 ( ) 1, , ( ) 1

y x ux

C h u u u uu

a b h f u t

h u h uuu u

2

1

2 2

2 42 2

2 4 2 4

2 4

1 11 ...( )

( ) ; 0 ...( )2 2

16 (a) y (b):2 2 0

4

16 4 16: ( ) , , 2 ln( )

4 416

u

s dv u auv

t ts t t s c c s b

t tde u t u u

t t t tC f t

t t

ii) Halle la velocidad de la partícula en el tiempo t = 1 y la distancia que ha recorrido la

partícula desde t = 0 hasta t = 2.

Solución.

2 4 2 4

4 4 4

16 162 2

( ) , ,2 16 2 16 16

1 17 1 17 2 2 (1) , ,

2 17 2 17 17

t t t t t tt

f tt t t

f

LC = 2u.

36) Dada la curva C : 3 3( ) (cos ;sen ;cos2 )f t t t t

Hallar el centro de la

circunferencia de curvatura cuando t = /4 y el valor de la torsión cuando t

= /4

Solución.

NOLAN JARA JARA

34

Despejamos: cost y cos2t:

Reemplazando en la función obtendremos :

Ahora se determina K(s):

=

τ

NOLAN JARA JARA

35


(t) = (t, t , 2t ); 0 < t ≤ 2, por cada punto f

(t)

se traza una recta en la dirección del vector Binormal B

(t). Encontrar

las ecuaciones paramétricas de la curva C2 que se forma al interceptar cada

Recta Binormal con el plano YZ.

Calcular la curvatura y torsión de C2 en el punto

6

7,

3

7,0

Solución.

f

(t) = (1, t2

1, 2t) ; f

(t) = (0,

32

4

t

, 2)

//B

f

(t) x f

(t) = (2

3

21

4,2,

2

3

tt )

Rectas que pasan por f

(t) y sirve la dirección de

B (t)

g

(t) = (t, t , t2) + r(

23

21

4,2,

2

3

tt )

Al interceptor con el plano YZ (x = 0)

Reemplazando

NOLAN JARA JARA

36

t + r 21

2

3

t = 0 r = - 23

3

2t

Reemplazando

C2: g

(t) = 31

22 24 1

0, ,3 6

t t t

7 7

0, , (1)3 6

g

g

(t) =

1 / 2

1/ 210, 2 ,2

2

t

t t

; g

(1) = 5

0, , 22

g

(t) =

3 12 2

10, ,2

4t t

; g

(1) =

2,

4

3,0

2

28 41(1) ; (1) 0

(41)k

38) Viajamos por el plano partiendo del origen (0, 0). Y lo hacemos siguiendo la traza de

la curva g

: [0, 1) → R ² (parametrizada por la función longitud de arco) que cumple con

las condiciones siguientes:

g

(0) = (0, 0);

g

(0) = (1, 0);

Su curvatura es κ(s) =1

1 ²s para cada s [0, 1).

Tras recorrer una unidad de longitud (en metros), abandonamos la curva para seguir la



39) ¿Qué funciones diferenciables g(t) hacen que f

(t) = (cosh(t), sinh(t), g(t)), para t ∈ R,

sea una curva plana?


la curva C: ( ) ln 1 ² , , ln 11

tf t t t t

t


tiene la dirección la recta: x-1=y-2=z-5.

NOLAN JARA JARA

37

Aplicacion Funcion Vectorial

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