2023

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Aplicación de un problema técnico en modelos de regresión lineal y no lineal

I. INTRODUCCIÓN

El presente trabajo detalla características técnicas del desarrollo y la presentación del proyecto de la segunda unidad de la asignatura de Métodos numéricos que consta de la aplicación de modelos lineales y no lineales en problemas de ingeniería, utilizando el software Scilab. Específicamente del diseño y prueba de un programa en Scilab que determina los coeficientes de una función que describe la descarga de un capacitor en un circuito que abarca elementos pasivos en serie, una bobina y un capacitor, que en forma práctica y en función del tiempo nos desechan datos para la aplicación del programa, que particularmente representan determinados puntos de la gráfica y que se resuelve mediante regresiones lineales o no lineales.

Dependiendo del método que mejor pensemos que se vaya a acoplar a dicha función, estos métodos específicamente son: regresión lineal por mínimos cuadrados, regresión polinomial, logarítmica y exponencial.

También se describe el error relativo porcentual para el coeficiente de regresión en el modelo lineal, para la ordenada al origen y para la imagen a través de la recta. En el caso de los modelos no lineales se prueba asimismo el error relativo porcentual a través de las pruebas específicas.

Es fundamental también la correcta elección de un modelo adecuado, que describa los datos en problemas como estos en la ingeniería, proporcionando elementos de juicio suficientes para la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre.

En el análisis de regresión2 una de las dos variables, que llamamos X, puede considerarse como variable ordinaria, es decir se puede medir sin error apreciable. La otra variable Y, es una variable aleatoria. A X se la llama variable independiente (algunas veces variable controlada) y nuestro interés es la dependencia de Y en términos de X.

Es decir, en este experimento descrito previamente tratamos de manera simultánea dos variables, una variable ordinaria X y una variable aleatoria Y. Efectuamos el experimento de tal manera que seleccionamos primero n valores x1, x2 ,............., xn de X y luego para cada j x obtenemos un valor observado y j de Y. Entonces, tenemos una muestra de n parejas de valores:

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Podemos graficar las n parejas como puntos del plano.

Nuestro objetivo es hallar alguna función que describa aproximadamente el diagrama de puntos anterior, en el rango considerado de la variable X.

A tal efecto en primer lugar elegimos una clase de funciones de donde seleccionaremos alguna función apropiada.

Las clases de funciones más utilizadas son las siguientes:

Ya elegida la clase de funciones C = { f (x, a) / a∈ A ⊆ ℜn} nos falta determinar en la misma alguna que describa los valores dados. Para realizar tal propósito necesitaremos un criterio propio.

Tenemos que para cada valor de i = 1, 2,………, n el error es la diferencia entre el valor observado y el obtenido a través de la función,}.

El programa consta de datos de entrada simples como el ingreso de los valores de la variable independiente X que van a ser los tiempos de medición y también el ingreso de los valores de la variable dependiente Y que van a ser los voltajes de descarga para cada tiempo de medición.

Se complementa con un menú e impresiones de respuesta amigables al usuario, como la selección del modelo de regresión lineal y no lineal, la gráfica de dispersión, la gráfica de la función y el respectivo error absoluto para los coeficientes calculados.

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El programa viene acompañado de la calidad de presentación para entregar los recursos suficientes al usuario y un entorno agradable que no solo aplique a personas que están inmiscuidas en el cálculo mediante métodos numéricos, si no orientado a personas que con solo tener un nivel básico de resolución de ecuaciones puedan comprender de lo que se está calculando y la relación que tiene con el nivel técnico, aplicable a los campos de Ingeniería.

II. OBJETIVOS

1. OBJETIVO GENERAL

Determinar el valor de los coeficientes de la función que más se acople a la que describe la descarga del capacitor en el circuito a través del modelo lineal o no lineal seleccionado, para la descripción gráfica de la misma a través de un entorno visual amigable para el usuario.

2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Determinar ciertas técnicas en el uso de algoritmos de programación para que el programa tenga mayor exactitud y precisión.

Diseñar un sistema global que abarque con todas las características requeridas y que a la vez rinda como un prototipo de cálculo para cualquier condición.

Desarrollar experimentos de fácil análisis en la aplicación de funciones lineales y no lineales para mediante la descarga del capacitor en el circuito encontrar los coeficientes que mejor se acoplen a la función que describe el proceso, cuestión que ya hablando prácticamente nos podría ayudar a representar también otros problemas reales en la vida cotidiana.

Diferenciar los valores calculados por cada método numérico, pudiendo así determinar la relación existente en determinado proceso.

III. MARCO TEÓRICO

SCILAB

Scilab es un software matemático, con un lenguaje de programación de alto nivel, para cálculo científico, interactivo de libre uso y disponible en múltiples sistemas operativos (Mac OS X, GNU/Linux, Windows). Desarrollado por INRIA, Scilab es ahora desarrollado por Scilab Enterprises desde julio 2012.

Scilab fue creado para hacer cálculos numéricos aunque también ofrece la posibilidad de hacer algunos cálculos simbólicos como derivadas de funciones polinomiales y racionales. Posee cientos de funciones matemáticas y la posibilidad de integrar programas en los lenguajes más usados (Fortran, Java, C y C++). Scilab fue hecho para ser un sistema abierto donde el usuario pueda definir nuevos tipos de datos y operaciones entre los mismos.

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Scilab viene con numerosas herramientas: gráficos 2-D y 3-D, animación, álgebra lineal, matrices dispersas, polinomios y funciones racionales, Simulación: programas de resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales (explícitas e implícitas), Xcos: simulador por diagramas en bloque de sistemas dinámicos híbridos, Control clásico, robusto, optimización LMI, Optimización diferenciable y no diferenciable, Tratamiento de señales, Grafos y redes, Scilab paralelo empleando PVM, Estadísticas, Creación de GUIs, Interfaz con el cálculo simbólico (Maple, MuPAD), Interfaz conTCL/TK.

Además se pueden agregar numerosas herramientas o toolboxes hechas por los usuarios como Grocer una herramienta para Econometría u Open FEM (Una caja de Herramientas para Elementos Finitos), hecha por INRIA.

En el pasado Scilab podía ser utilizado en el análisis de sistemas, pero no podía interactuar con el exterior. Hoy en día se pueden construir interfaces para que desde Scilab se pueda manejar un dispositivo, se conecte a la red a través de Tcp (Protocolo de Control de Transmisión) o Udp (User Datagram Protocol), etc. Esto brinda la posibilidad de conectar una placa de adquisición de datos a Scilab y de esta forma el control de una planta on-line.

MÉTODOS NUMÉRICOS

Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones de los valores reales y, por tanto siempre irán acompañados de cierto grado de error que será conveniente determinar.

Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisión y exactitud.

Precisión se refiere al número de cifras significativas que representa una cantidad

Exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

MODELOS DE DISPERSIÓN LINEAL Y NO LINEAL

Regresión lineal

Regresión lineal es una aproximación a la relación lineal entre las variables utilizando una ecuación lineal a datos observados de modelado. Es idéntico a todas las formas de análisis de regresión, se centra en la distribución de probabilidad condicional de y dado X, más que en la distribución de probabilidad conjunta de y y X, que es el dominio de análisis multivariante.

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- Una línea de regresión lineal tiene una fórmula de Y = A + BX, donde X es la variable explicativa y la Y es la variable dependiente. La pendiente de la línea es B, y a la intercepción (el valor de Y cuando X = 0)

El análisis de regresión es una técnica estadística para investigar la relación funcional entre dos o más variables, ajustando algún modelo matemático.

La regresión lineal simple utiliza una sola variable de regresión y el caso más sencillo es el modelo de línea recta. Supóngase que se tiene un conjunto de n pares de observaciones (xi,yi), se busca encontrar una recta que describa de la mejor manera cada uno de esos pares observados.

Se considera que la variable X es la variable independiente o regresiva y se mide sin error, mientras que Y es la variable respuesta para cada valor específico xi de X; y además Y es una variable aleatoria con alguna función de densidad para cada nivel de X.

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Si la recta de regresión es:

Cada valor yi observado para un xi puede considerarse como el valor esperado de Y dado xi más un error:

Modelo lineal simple:

Los εi se suponen como errores aleatorios con distribución normal, media cero y varianza; β0 y β1 son constantes desconocidas (parámetros del modelo de regresión).

Método de Mínimos Cuadrados para obtener estimadores de β0 y β1,

Consiste en determinar aquellos estimadores de β0 y β1 que minimizan la suma de cuadrados de los errores εi ; es decir, los estimadores y de β0 y β1 respectivamente deben ser tales que:

sea mínimo.

Del modelo lineal simple:

De donde:

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- Elevando al cuadrado:

Según el método de mínimos cuadrados, los estimadores de β0 y β1 debe satisfacer las ecuaciones:

Al derivar se obtiene un sistema de dos ecuaciones denominadas “ecuaciones normales”:

Cuya solución es:

Regresión polinomial

Consiste en otra alternativa, para ajustar polinomios a los datos. Necesitamos ajustar a un polinomio de segundo grado ó cuadrático:

La suma de los cuadrados de los residuos es:

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y=a0+a1 x+a2 x2+e

Sr=∑i=1

n

( y i−a0−a1 x i−a2 x i2)2

- Derivamos Sr con respecto a a0:

Luego con respecto a a1:

Por último con respecto a a2:

Igualamos a 0, y reordenamos:

Tenemos un sistemas de ecuaciones, con 3 incógnitas (a0,a1,a2), entonces se puede extender un polinomio de m-ésimo grado como sigue:

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−2∑ ( y i−a0−a1 x1−a2 x i2)

−2∑ x i( y i−a0−a1x1−a2x i2)

−2∑ xi2( y i−a0−a1 x i−a2 x i2

)

(∑ xi2 )a0+(∑ x

i3 )a1+(∑ x i

4 )a2=∑ xi2 y i

(n )a0+(∑ x i)a1+(∑ xi2 )a2=∑ yi

(∑ x i)a0+(∑ xi2)a1+(∑ x i

3 )a2=∑ x i y i

y=a0+a1 x+a2 x2+ .. .. . .am x

m+e

- Regresión exponencial

Una regresión exponencial es el proceso de encontrar la ecuación de la función exponencial que se ajuste mejor a un conjunto de datos. Como un resultado,

obtenemos una ecuación de la forma   donde .

La potencia predictiva relativa de un modelo exponencial está denotada por R 2. El valor de R 2 varía entre 0 y 1. Mientras más cercano el valor esté de 1, más preciso será el modelo.

Entonces:

y = a.bx

y tome el logaritmo de ambos lados:

logy=log(Abx)

La regresión exponencial aunque no es lineal es linealizable tomando logaritmos ya que haciendo el cambio de variable v = log y tendremos que la función anterior nos generaría:

v = log y = log( a.bx) = log a + x log b

la solución de nuestro problema vendría de resolver la regresión lineal entre v ý x, y una vez obtenida supuesta ésta:

v* = A + B x ; obviamente la solución final será:

a = antilog A y b = antilog B.

Para un ejemplo ilustrativo de la forma en la que se ajusta a la función:

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Regresión logarítmica

Este modelo de regresión es una alternativa cuando el modelo lineal no logra un coeficiente de determinación apropiado, o cuando el fenómeno en estudio tiene un comportamiento que puede considerarse potencial o logarítmico. La forma más simple de tratar de establecer la tendencia es a través de un diagrama de dispersión o nube de puntos, tal como la siguiente:

Este modelo también es conocido como potencial, Cobb-Douglas de primer grado o exponencial inverso.

La función que define el modelo es la siguiente:

Yi=A*XBi* E

En la cual:

Yi :       Variable dependiente, iésima observaciónA, B:   Parámetros de la ecuación, que generalmente son desconocidosE:        Error asociado al modelo

                   Xi :       Valor de la í-esima observación de la variable independiente.

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- Al sustituir los parámetros por estimadores, el modelo adopta la siguiente forma:

yi=a*xbi

la ecuación se transforma aplicando logaritmos de ambos lados, con lo cual se convierte a una forma lineal:

Ln yi= Ln a +b*Ln xi

Para el ajuste de un conjunto de datos al modelo geométrico de regresión, se construye la siguiente tabla de datos:

Debido a las propiedades de los logaritmos, ningún valor de x ni de  y puede ser negativo. En tal caso, lo que se hace es definir un valor de x o de y muy pequeño (Ej: 0.00000001)

Se puede trabajar con logaritmos naturales o logaritmos base 10.

Será necesario utilizar antilogaritmos para obtener el  valor final de a

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IV. PROCEDIMIENTO

MANIPULACIÓN DEL CIRCUITO Y PARTE DE CÁLCULOCÓDIGO FUENTESIMULACIÓN DEL SOFTWARE

V. RESULTADOS ESPERADOSVI. CONCLUSIONES

El programa generado es básicamente una herramienta de cálculo algorítmico para el análisis programado que ayuda al cálculo de la relación entre dos variables ajustando una ecuación lineal a los datos observados. El usuario tiene la capacidad de ingresar los puntos de datos en el programa y se realiza un seguimiento de las cantidades induciendo a los cálculos necesarios para la regresión indicada.

VII. RECOMENDACIONES

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- VIII. BIBLIOGRAFÍA

http://www.dcb.unam.mx/profesores/irene/Notas/Regresion.pdf

http://es.ncalculators.com/statistics/linear-regression-calculadora.htm

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/exponential-regression.html

http://www.uv.es/ceaces/base/regresion/simple.htm

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/calctopic1/regression.html

http://reyesestadistica.blogspot.com/2011/07/analisis-de-regresion-logaritmica.html

ContentsTítulo 1............................................................................................................................. 2

Título 2.......................................................................................................................... 2

Título 3....................................................................................................................... 2

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