APLICACIN DE LOS VECTORES A LAINGENIERIA (CONDICIONES DE EQUILIBRIO)

APLICACIN DE LOS VECTORES A LAINGENIERIA (CONDICIONES DE EQUILIBRIO)

1. INTRODUCCION:Las nociones de vectores estn implcitamente contenidas en las reglas de composicin de las fuerzas y de las velocidades, conocidas haca el fin del siglo XVII.Es en relacin con la representacin geomtrica de los nmeros llamados imaginario, como lasoperacionesvectoriales se encuentran por primera vez implcitamente realizadas, sin que elconceptode vector este an claramente definido. Fue mucho ms tarde, y gracias aldesarrollode lageometra moderna y de lamecnica, cuando la nocin de vector y de operaciones vectoriales se concret.El alemn Grassman, en 1844, pormtodosgeomtricos introdujo formalmente las bases delclculovectorial (suma,productoescalar y vectorial.ElinglsHamilton, por clculos algebraicos, lleg a las mismas conclusiones que Grassman; emple por primera vez los trminos escalar y vectorial.La aplicacin de los vectores naci de la necesidad de representar fenmenos fsicos observados por el hombre e intentar interpretarlos, describirlos y por ultimo predecirlos.Sus aplicaciones son muy diferentes pero bsicamente indica un fenmeno denotado por alguna unidad representativa (modulo).

2. RESUMEN:Al abordar el estudio de los vectores, y la accin de las fuerzas en un cuerpo, hemos querido caracterizar y representar la aplicacin de los vectores a obras ingenieriles, por tal motivo hacemos uso de la resistencia de materiales que es una disciplina de laingeniera mecnicay laingeniera estructuralque estudia losslidos deformablesmediante modelos simplificados. La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algn modo.Un modelo de resistencia de materiales establece una relacin entre lasfuerzasaplicadas, tambin llamadas cargas o acciones, y losesfuerzosy desplazamientos inducidos por ellas. Generalmente las simplificaciones geomtricas y las restricciones impuestas sobre el modo de aplicacin de las cargas hacen que el campo de deformaciones y tensiones sean sencillos de calcular.Para el diseo mecnico de elementos con geometras complicadas la resistencia de materiales suele ser insuficiente y es necesario usar tcnicas basadas en la teora de la elasticidad o la mecnica de slidos deformables ms generales. El tringulo es el nico polgono que no se deforma cuando acta sobre l una fuerza. Al aplicar una fuerza de compresin sobre uno cualquiera de los vrtices de un tringulo formado por tres vigas, automticamente las dos vigas que parten de dicho vrtice quedan sometidas a dicha fuerza de compresin, mientras que la tercera quedar sometida a un esfuerzo de traccin. Cualquier otra forma geomtrica que adopten los elementos de una estructura no ser rgida o estable hasta que no se triangule.Pero solo analizaremos en este caso el efecto de las fuerzas y la distribucin de carga impuestas sobre la estructura.

3. OBJETIVOS: Interpretar la accin de las fuerzas sobre estructuras. Analizar vectorialmente la distribucin de cargas ejercidas sobre toda la estructura. Analizar los elementos y componentes de un vector. Estudiar y analizar la aplicacin de los vectores aplicado a obras ingenieriles. Observar y analizar las formas geomtricas ms usadas para estabilizar una estructura.

4. MARCO TERICO:

CERCHAS:Las cerchas o armaduras son uno de los elementos estructurales que forman parte del conjunto de las estructuras de forma activa. Es por ello que para establecer los aspectos relacionados con las cerchas, a continuacin se indica las propiedades de la cercha como elemento estructural sometido a traccin y compresin. Adems se muestra las propiedades que rige el diseo de la cercha, as como las unidades adicionales requeridas, asimismo se indica el procedimiento para estimar las dimensiones de las secciones transversales de los componentes de la cercha. Para distinguir las propiedades de la cercha primero se establece la definicin donde se indica las ventajas, comportamiento, relacin con el cable y arco, materiales empleados para la construccin, elementos necesarios y los principales usos dados a esta unidad estructural. Posteriormente se seala algunos mtodos de resolucin de cerchas as como el diseo y un ejemplo de aplicacin.

La cercha es una composicin de barras rectas unidas entre s en sus extremos para constituir una armazn rgida de forma triangular, capaz de soportar cargas en su plano, particularmente aplicadas sobre las uniones denominadas nodos; en consecuencia, todos los elementos se encuentran trabajando a traccin o compresin sin la presencia de flexin y corte.

COMPORTAMIENTO:

El triangulo es la forma bsica de la cercha, esta es una forma estable an con uniones articuladas (caso contrario el rectngulo que con uniones articuladas es inestable). La forma estable del triangulo se puede imaginar si se parte del anlisis de un cable sometido a una carga puntual (figura 2.a), el cable para ser estable requiere de anclajes que soporten el corte que genera la tensin del cable en el apoyo. Si se invierte la forma del cable se obtiene un arco que est sometido a compresin por ser funicular de la forma anterior (figura2.b) se puede observar que las dimensiones del arco son mayores que las del cable por tratarse de un diseo a compresin en contraste al cable que es la traccin. El arco requiere tener los apoyos fijos para resistir el empuje hacia afuera, si se sustituye el apoyo fijo por un tipo de apoyo que garantice la estabilidad e isostaticidad (un apoyo fijo y otro con rodamiento), se necesita colocar una barra que resista el empuje del arco para obtener la configuracin bsica de la cercha (figura 2.c)

CLASIFICACIN:Existen numerosas clasificaciones de las cerchas segn su inventor o propagador: Pratt, Howe, Warren; y segn su forma: dientesierra, tijera, tipo K.

USOS:Las cerchas se emplean cuando se tiene luces libres grandes en puentes, sitios pblicos y estadios. Las cerchas paralelas se usan en recintos amplios, de cordones superiores curvos (se comportan similar a una estructura colgante o un arco y se emplean en algunos puentes), en techos y entrepiso se emplean cerchas livianas, donde se observa un tipo de cercha empleado para techo y entrepiso que corresponde a variaciones realizadas sobre la Warren

Cerchas en paralelos

Cerchas en puentes

Cerchas en entrepiso (techos)

TIPOS DE CERCHASCerchas PlanasLas celosas planas de nudos articulados pueden dividirse desde el punto de vista estructural en: Cerchas simplesson celosas estticamente determinadas, en el que el nmero de barras y el nmero de nudos satisface queb+ 3 = 2n, pueden ser calculadas mediante las ecuaciones de la esttica en alguna de sus modalidadesequilibriode nudos y/o mtodos de laesttica grfica. Geomtricamente son una triangulacin conforme o regular. Cerchas compuestas, son tambin celosas estticamente determinadas conb+ 3 = 2nque pueden construirse uniendo dos o ms celosas simples, de tal manera que cada par comparta una sus articulaciones y se aada alguna barra adicional entre cada par de modo que cualquier movimiento de una respecto de la otra est impedido. Admiten una reduccin al caso anterior.La condicin de isostaticidad de la celosa requerir por tanto:

Cerchas complejas, que engloba a cualquier celosa plana que no sea de los tipos anteriores. Son estructuras hiperestticas para las que se puede usar el mtodo de Heneberg o elmtodo matricial de la rigidez.Si una celosa plana es de nudos rgidos, entonces es hiperesttica con independencia del nmero de nudos y barras. En esos casos usualmente se calculan de modo aproximado suponiendo que sus nudos son articulados (si la son similares a una celosa simple o compuesta), o de modo razonablemente ms exacto por el mtodo matricial de la rigidez.Celosas tridimensionalesLas celosas tridimensionales isostticas se forman a partir detetraedros. Otra posibilidad comn para las celosas tridimensionales es hacerlas de base cuadrada y rigidizar de algn modo en el plano de las bases. Una celosa espacial es internamente isosttica si el nmero de barrasbque la forman y el nmero de nudosnque forman las barras entre s satisface que:

5. RESOLUCIN DE LAS CERCHAS:

a) MTODO DE LOS NODOS:El mtodo de los nodos considera el equilibrio para determinar las fuerzas en los elementos. Como toda la cercha est en equilibrio, cada nodo tambin lo est. En cada nodo, las cargas y reacciones junto con las fuerzas de los elementos, forman un sistema de fuerzas concurrentes que debido a las ecuaciones de equilibrio, permiten estableces las fuerzas en los elementos. Debido a que la cercha se analiza en un plano, las ecuaciones de equilibrio solo deben satisfacer los dos ejes por ser un sistema de fuerzas concurrentes.

Fx = 0 ; Fy= 0 ..(1)

La Ecuacin 1 indica que el equilibrio es en dos ejes, lo que implica que al establecer el equilibrio en un nodo, solo se debe determinar las fuerzas en un mximo de dos barras; dado que la distribucin de nodos y barras en una armadura simple permite encontrar un nodo en que slo haya dos fuerzas desconocidas. Al finalizar la resolucin de un nodo, las fuerzas halladas se pueden trasladar a los nodos adyacentes y tratarse como cantidades conocidas en dichos nodos. Este procedimiento puede repetirse hasta que se hallen todas las fuerzas desconocidas. Para establecer el tipo de fuerza en la barra (traccin o compresin), segn el sentido de las fuerzas obtenido por el clculo en los nodos, la Figura indica la relacin entre los sentidos de las fuerzas en el nodo y en la barra.

b) MTODO DE LAS SECCIONES La porcin de la armadura que se escoge se obtiene trazando una seccin a travs de tres barras de armadura, una de las cuales es la barra deseada; dicho en otra forma, trazando una lnea que divida la armadura en dos partes completamente separadas pero que no intercepte ms de tres barras.

6. CASO PRACTICO:

Predimensionar la cercha de la figura, donde todas las cargas estn mayoradas.

El primer paso para disear la cercha es comprobar la isostaticidad de la cercha. b = 2n 3; n= 8; b= 13; 13=13

Posteriormente se definen las reacciones, hacindose sumatoria de momentos en el rodillo y luego una sumatoria de fuerzas verticales.

A continuacin, se realiza una sumatoria de fuerzas en los eje x e y en cada nodo de la cercha. Dado que por equilibrio esta sumatoria es igual a cero, ello ayuda a conocer las fuerzas en las barras desconocidas (incgnitas). Resalta que la direccin que lleva una fuerza es la misma direccin de la barra, por consiguiente, se conoce la relacin que existe entre las componentes de la fuerza en el eje x o y.

En relacin al criterio para realizar la secuencia de clculos de los nodos, esta depender del que tenga menor cantidad de barras desconocidas. Siguiendo dicha premisa se realiz la secuencia, tal como se muestra a continuacin:

NODO 1:

Se comienza por el nodo 1, ya que, est sometido al menor nmero de fuerzas desconocidas, que corresponden a las fuerzas en la barra 1-6 y la barra 1-2:

NODO 2:

Se contina con el nodo 2, ya que se conoce del nodo anterior la fuerza en la barra 1-2, por lo que quedaba en este nodo solo dos fuerzas desconocidas (barra 2-6, barra 2-3):

NODO 6:Similar al nodo anterior, se conocen las fuerzas en las barras 2-6 y 1-6, por tanto se aprecian dos barras desconocidas:

El signo negativo de las componentes de la barra 6-3 indican que se dirige hacia abajo y la derecha.

NODO 7:

Dado que se calcul la fuerza en la barra 6-7, el nodo 7 qued con dos barras incgnitas:

NODO 3:

En el nodo 3 actuaban cinco barras, de las que se conocan la fuerza en tres, entonces se determin la fuerza en las dos restantes:

NODO 4:

Al haberse calculado lo anteriores nodos, se observa que tanto el nodo 4 como el nodo 8 tienen dos barras incgnitas, entonces se escoge el nodo 4 en vista de que las barras incgnitas en este nodo no estn inclinadas, lo cual facilita el clculo:

NODO 5:

El nodo 5 as como el nodo 8 tienen una barra desconocida. Es indiferente escoger cualquiera de los dos nodos, pero se realiza el nodo 5 por tener menos barras que inciden en el nodo.

COMPROBACIN NODO 8:

Despus de realizar el clculo en el nodo 5, se conocen todas las fuerzas en las barras. Por consiguiente, resta para comprobar los clculos realizados, aplicar las ecuaciones de equilibrio en el eje x e y con lo que se constata que la suma sea igual a cero (nodo en equilibrio):

RESULTADOS:

Predimensionado de los elementos Cargas de diseo

Cordn Inferior 6910 kgf Cordn Superior 10912 kgf 8850 kgf

7. APLICACIONES EN LA REALIDAD:

Este tipo de sistemas tienen la caracterstica de ser muy livianos y con una gran capacidad de soportar cargas.Se utilizan principalmente en construcciones con luces grandes, como techos de bodegas, almacenes, iglesias y en general edificaciones con grandes espacios en su interior. Las cerchas tambin se usan en puentes, aunque para este tipo de estructuras los puentes atirantados, colgantes (cables), los puentes en vigas de alma llena (ya sea vigas armadas soldadas)y los puentes en concreto pres forzado se han desarrollado tanto que resultan ser sistemas ms atractivos para el diseador.Existen diferentes tipos de cerchas de acuerdo con la solucin estructural que se requiere.Su construccin o ensamble se lleva a cabo uniendo elementos rectos, que primordialmente trabajan a esfuerzos axiales, en unos puntos que llamamos nudos y conformando una geometra tal que el sistema se comporta establemente cuando recibe cargas aplicadas directamente en estos nudos.De acuerdo con su uso tenemos cerchaspara techos, para puentes o simplemente para vigas pertenecientes a un sistema de piso.En las cerchas utilizadas para techos se busca que su geometra conforme o supla la forma del techo.Por lo general el cordn superior conforma las pendientes del techo y el inferior es un tensor horizontal. En techos con luces grandes esto obligara a tener una cercha muy alta en el centro, en ese caso se puede tambin hacer la cuerda inferior inclinada.

PUENTE CERCHA TIPO WARREN

CERCHA PARA TECHOS

TORRE EIFFEL ( BASES ESTRUCTURAL)8. CONCLUSIONES:

Los vectores nos sirven para explicar diferentes fenmenos ocurridos en la naturaleza, en este caso nos ha facilitado entender la manera de cmo actan en una estructura cuando es sometida a cargas externas. Podemos con esto predecir las deformaciones y las propiedades que toman los materiales al ser sometidos a cargas. Observamos la direccin de los vectores en estructuras los cuales delimitan una compresin o una traccin. Pudimos reconocer la importancia del estudio del equilibrio de fuerzas y su aplicacin a la vida cotidiana. Demostramos que la mejor forma geomtrica(la que da mayor estabilidad) es la de los tringulos, ya que resisten ms a las cargas.

9. BIBLIOGRAFIA:

Beer, F. y Johnston, E. R. (1977). Mecnica Vectorial para Ingenieros (Esttica Tomo I). Bogot, Colombia: McGraw-Hill Latinoamenricana S.A. Braja, D., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecnica para Ingenieros. Esttica. Mxico D.F, Mxico: Editorial Limusa S.A. de C.V. Engel, H. (2001). Sistemas de Estructuras. Barcelona, Espaa: Editorial Gustavo Gili, S.A Galambos, T., Lin, F. y Johnston, B. (1999). Diseo de Estructuras de Acero con LRFD. Mxico D.F., Mxico: Prentice Hall, Hispanoamericana, S.A. Hsieh, Y.-Y. (1982). Teora Elemental de Estructuras. Madrid, Espaa: Prentice/Hall internacional. Moore, F. (2000). Comprensin de las Estructuras en Arquitectura. Mxico D.F., Mxico: McGrawHill Interamericana Editores, S.A. de C.V

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