Aplicacion de limites
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Curso ON LINE Tema 8 www.classpad.tk www.abelmartin.tk www.aulamatematica.tk 1 006 Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar y pasar a papel 15.5 fotografías por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el número de fotografías por minuto será función de la antigüedad de la máquina de acuerdo a la siguiente expresión [F(x) representa el número de fotografías por minuto cuando la máquina tiene x años]: F(x) = > + + ≤ ≤ − 5 2 45 5 5 0 1 . 1 5 . 15 x si x x x si x (a) Estudia la continuidad de la función F(x) (b1)Comprueba que si el número de fotografías por minuto decrece con la antigüedad de la máquina entonces si ésta tiene más de 5 años revelará menos de 10 fotocopias por minuto. (b2)Justifica que por muy vieja que sea la máquina no revelará menos de 5 fotografías por minuto. (c) Haz un esbozo de la gráfica de la función. BH2 PAU OVIEDO Junio 1998 Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a) x ≡ "Número de años que tiene la máquina". F(x): Número de fotografías que realiza por minuto. Se trata de una función definida por 2 trozos, por lo que para estudiar su continuidad estudiaremos esta función en cada uno de sus intervalos correspondientes: (A) Intervalo 0 ≤ x < 5 15.5 - 1.1x Es continua pues se trata de una función polinómica sencilla. (B) Intervalo x > 5 2 45 5 + + x x x + 2 = 0 x = – 2 Es continua, puesto que sólo sería discontinua para x = – 2, y este valor cae fuera del intervalo estudiado (C) x = 5 Diremos que la función real F(x) es continua en x = 5 cuando verifica ) ( 5 x F Lím x→ = F(5), es decir, se verifican las 3 condiciones siguientes: (I) Existe ) ( 5 x F Lím x→ ) ( 5 x F Lím x + → = 2 45 5 5 + + + → x x Lím x = 10 ) ( 5 x F Lím x − → = ) 1 . 1 5 . 15 ( 5 x Lím x − − → = 10 ) ( 5 x F Lím x + → = ) ( 5 x F Lím x − → (II) Existe F(5) = 15.5 – 1.1·5 = 10 (III) F(5) = ) ( 5 x F Lím x→ A A A N N N Á Á Á L L L I I I S S S I I I S S S C C C R R R Í Í Í T T T I I I C C C O O O D D D E E E L L L O O O S S S R R R E E E S S S U U U L L L T T T A A A D D D O O O S S S El número de fotografías que una máquina realiza por minuto con relación al número de años que tiene es una función continua en todo su dominio. Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b1) Si al aumentar el número de años de la máquina, disminuye el número de fotocopias por minuto diremos que la función es decreciente F(5) > F(5 + ) Al ser la función estrictamente decreciente para valores x ≥ 5, entonces F(5) será el máximo valor que tendrá la función en ese intervalo: F(5) = 15.5 – 1.1·5 = 10
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Curso ON LINE Tema 8
www.classpad.tk www.abelmartin.tk www.aulamatematica.tk 1
006
Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar y pasar a papel 15.5 fotografías por minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el número de fotografías por minuto será función de la antigüedad de la máquina de acuerdo a la siguiente expresión [F(x) representa el número de fotografías por minuto cuando la máquina tiene x años]:
F(x) =
>++
≤≤−
52455
501.15.15
xsixx
xsix
(a) Estudia la continuidad de la función F(x) (b1)Comprueba que si el número de fotografías por minuto decrece con la antigüedad de la máquina entonces si ésta tiene más de 5 años revelará menos de 10 fotocopias por minuto. (b2)Justifica que por muy vieja que sea la máquina no revelará menos de 5 fotografías por minuto. (c) Haz un esbozo de la gráfica de la función.
BH2
PAU OVIEDO Junio 1998
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (a)
x ≡ "Número de años que tiene la máquina". F(x): Número de fotografías que realiza por minuto. Se trata de una función definida por 2 trozos, por lo que para estudiar su continuidad
estudiaremos esta función en cada uno de sus intervalos correspondientes: (A) Intervalo 0 ≤ x < 5
15.5 - 1.1x Es continua pues se trata de una función polinómica sencilla. (B) Intervalo x > 5
2455
++xx x + 2 = 0 x = – 2
Es continua, puesto que sólo sería discontinua para x = – 2, y este valor cae fuera del intervalo estudiado
(C) x = 5 Diremos que la función real F(x) es continua en x = 5 cuando verifica )(
5xFLím
x→ = F(5), es
decir, se verifican las 3 condiciones siguientes: (I) Existe )(
5xFLím
x→
)(5
xFLímx +→
= 2455
5 ++
+→ xxLím
x = 10
)(5
xFLímx −→
= )1.15.15(5
xLímx
−−→
= 10 )(
5xFLím
x +→ = )(
5xFLím
x −→
(II) Existe F(5) = 15.5 – 1.1·5 = 10 (III) F(5) = )(5
xFLímx→
AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS CCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS
El número de fotografías que una máquina realiza por minuto con relación al número de años que tiene es una función continua en todo su dominio.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b1)
Si al aumentar el número de años de la máquina, disminuye el número de fotocopias por minuto diremos que la función es decreciente
F(5) > F(5+) Al ser la función estrictamente decreciente para valores x ≥ 5, entonces F(5) será el máximo
valor que tendrá la función en ese intervalo: F(5) = 15.5 – 1.1·5 = 10
Abel Martín "Límites"
Matemáticas y TIC 2
F(5+) = 254555
++⋅ = 10
F(5) = F(5+) AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS CCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS
Hemos comprobado que si el número de fotografías que una máquina realiza por minuto con relación al número de años que tiene es una función decreciente, a partir de 5 años revelará menos de 10 fotografías por minuto.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (b2)
Al ser la función decreciente, para contestar a esta cuestión sólo habrá que calcular el límite de la función cuando el número de años tienda a +∞:
)(xFLímx ∞+→
= 2455
++
∞+→ xxLím
x tiende a la indeterminación
∞∞
2455
++
∞+→ xxLím
x =
xxx
xxx
Límx 2
455
+
+
∞+→ =
x
xLímx 21
455
+
+
∞+→ =
0105
++ = 5
AAANNNÁÁÁLLLIIISSSIIISSS CCCRRRÍÍÍTTTIIICCCOOO DDDEEE LLLOOOSSS RRREEESSSUUULLLTTTAAADDDOOOSSS
Por muy vieja que sea la máquina no revelará menos de 5 fotografías por minuto.
Resolución CON LÁPIZ Y PAPEL apartado (c)
Con los datos que nos da el problema, las características de la función calculadas en los apartados anteriores y una tabla de valores podemos representar cualitativamente la función número de fotografías por minuto según el número de años que tenga.
10
3 x = 5
