1

Hal la r e l á rea l im i tada por la rec ta x + y = 10 , e l e je OX y las

o rdenadas de x = 2 y x = 8 .

2

Ca lcu la r e l á rea de l rec in to l im i tado por la curva y = 9 − x 2 y e l

e je OX.

En pr imer lugar ha l lamos los puntos de cor te con e l e je OX para

representar la curva y conocer los l ím i tes de in tegrac ión .

Como la parábo la es s imét r i ca respecto a l e je OY , e l á rea será

igua l a l dob le de l á rea comprend ida ent re x = 0 y x = 3 .

3

Ca lcu la r e l á rea de l t r iángu lo de vér t i ces A(3 , 0 ) , B (6 , 3 ) , C (8 , 0 ) .

Ecuac ión de la rec ta que pasa por AB:

Ecuac ión de la rec ta que pasa por BC:

4

Ca lcu la r e l á rea l im i tada por las g rá f i cas de las func iones y 2 = 4x

e y = x 2 .

5

Ca lcu la r e l á rea l im i tada por la curva xy = 36 , e l e je OX y las

rec tas : x = 6 , x = 12 .

·

6

Ca lcu la r e l á rea l im i tada por la curva y = 2(1 − x 2 ) y la rec ta y =

−1.

7

Ca lcu la r e l á rea de l rec in to l im i tado por la parábo la y = x 2 + 2 y la

rec ta que pasa por los puntos (−1, 0 ) y (1 , 4 ) .

8

Hal la r e l á rea l im i tada por la rec ta , e l e je de absc i sas y

las o rdenadas cor respond ientes a x = 0 y x = 4 .

9

Ca lcu la r e l á rea l im i tada por la curva y = 6x 2 − 3x 3 y e l e je de

absc i sas .

10

Hal la r e l á rea de la reg ión de l p lano l im i tada por las curvas y = ln

x , y = 2 y los e jes coordenados .

Ca lcu lamos e l punto de cor te de la curva y la rec ta y = 2 .

E l á rea es igua l a l á rea de l rec tángu lo OABC menos e l á rea ba jo la

curva y = ln x .

E l á rea de rec tángu lo es base por a l tu ra .

E l á rea ba jo la curva y = ln x es :

11

·Ca lcu la r e l á rea de la reg ión de l p lano l im i tada por e l c í rcu lo x 2 +

y 2 = 9 .

E l á rea de l c í rcu lo es cuat ro veces e l á rea encer rada en e l p r imer

cuadrante y los e jes de coordenadas .

Ha l lamos los nuevos l ím i tes de in tegrac ión .

12

Hal la r e l á rea de una e l ipse de semie jes a y b .

Por ser la e l ipse una curva s imét r i ca , e l á rea ped ida será 4 veces

e l á rea encer rada en e l p r imer cuadrante y los e jes de coordenadas .

Ha l lamos los nuevos l ím i tes de in tegrac ión .

13

Ca lcu la r e l á rea de la reg ión de l p lano l im i tada por la curva : f (x ) =

|x 2 − 4x + 3 | y e l e je OX.

14

Hal la r e l á rea de la f igura l im i tada por : y = x 2 , y = x , x = 0 , x = 2

Puntos de cor te de la parábo la y la rec ta y = x .

De x = 0 a x = 1 , l a rec ta queda por enc ima de la parábo la .

De x = 1 a x = 2 , l a rec ta queda por deba jo de la parábo la .

15

Hal la r e l á rea de l rec in to p lano y l im i tado por la parábo la y = 4x −

x 2 y las tangentes a la curva en los puntos de in tersecc ión con e l e je

OX.

Puntos de in tersecc ión :

Ecuac ión de la tangente a la parábo la en e l punto (0 , 0 ) :

Ecuac ión de la tangente a la parábo la en e l punto (4 , 0 ) :

VOLUMENES

1

Hal la r e l vo lumen de l t ronco de cono engendrado por la ro tac ión

a l rededor OX de l á rea l im i tada por y = 6 − x , y = 0 , x = 0 , x = 4 .

2

Ca lcu la r e l vo lumen que engendra un t r iángu lo de vér t i ces A(3 , 0 ) ,

B (6 , 3 ) , C (8 , 0 ) a l g i ra r 360° a l rededor de l e je OX.

Ecuac ión de la rec ta que pasa por AB:

Ecuac ión de la rec ta que pasa por BC:

3

Hal la r e l vo lumen de l t ronco de cono engendrado por e l t rapec io

que l im i ta e l e je de absc i sas , l a rec ta y = x + 2 y las coordenadas

cor respond ientes a x = 4 y x = 10 , a l g i ra r a l rededor de OX.

4

Ca lcu la r e l vo lumen engendrado por una semionda de la s inuso ide

y = sen x , a l g i ra r a l rededor de l e je OX.

5

Ca lcu la r e l vo lumen engendrado a l g i ra r a l rededor de l e je OX e l

rec in to l im i tado por las g rá f i cas de y = 2x −x 2 , y = −x + 2 .

Puntos de in tersecc ión ent re la parábo la y la rec ta :

La parábo la es tá por enc ima de la rec ta en e l in te rva lo de

in tegrac ión .

6

Hal la r e l vo lumen de l cuerpo revo luc ión engendrado a l g i ra r

a l rededor de l e je OX, la reg ión determinada por la func ión f (x ) = 1 /2 +

cos x , e l e je de absc i sas y las rec tas x = 0 y x = π .

7

Ca lcu la r e l vo lumen de l cuerpo engendrado a l g i ra r a l rededor de l

e je OX e l rec in to l im i tado por las g rá f i cas de y = 6x − x 2 , i = x .

Puntos de in tersecc ión :

La parábo la queda por enc ima de la rec ta en e l in te rva lo de

in tegrac ión .

8

Hal la r e l vo lumen engendrado por e l c í rcu lo x 2 + y 2 − 4x = −3 a l

g i ra r a l rededor de l e je OX.

E l cent ro de la c i rcunferenc ia es C(0 , 1 ) y e l rad io r = 1 .

Puntos de cor te con e l e je OX:

9

Hal la r e l vo lumen de la f igura engendrada a l g i ra r la e l ipse

a l rededor de l e je OX.

Por ser la e l ipse una curva s imét r i ca , e l vo lumen ped ido es 2 en

veces e l vo lumen engendrado por e l a rco ent re x = 0 y x

= a .