APLICACIÓN DEL FLUJO DE CARGAS DE CONTINUACIÓN EN...
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Escuela Politécnica Superior de Linares UNIVERSIDAD DE JAÉN Escuela Politécnica Superior de Linares Trabajo Fin de Grado ______ APLICACIÓN DEL FLUJO DE CARGAS DE CONTINUACIÓN EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA Alumno: Juan Ángel Gómez Yerpes Tutor: Francisco Jurado Melguizo Depto.: Ingeniería Eléctrica Junio, 2017
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UNIVERSIDAD DE JAÉN Escuela Politécnica Superior de Linares
Trabajo Fin de Grado
______
APLICACIÓN DEL FLUJO DE
CARGAS DE CONTINUACIÓN EN SISTEMAS
ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Alumno: Juan Ángel Gómez Yerpes
Tutor: Francisco Jurado Melguizo Depto.: Ingeniería Eléctrica
Junio, 2017
2
3
ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN. ............................................................................................................... 7
1.1 Objetivo. ...................................................................................................................... 8
1.2 Alcance. ....................................................................................................................... 8
2. FLUJO DE CARGAS. .......................................................................................................... 10
2.1 Introducción. ............................................................................................................. 10
2.2 Elementos de un sistema de potencia. ..................................................................... 10
2.3 Matriz de admitancias. .............................................................................................. 11
2.4 Flujo de cargas. .......................................................................................................... 13
2.5 Método para dar solución a un flujo de cargas. ........................................................ 15
2.6 Newton-Raphson para solución de flujos de cargas. ................................................ 16
2.7 Flujo de cargas mediante newton-raphson. .............................................................. 19
2.7.1 Resumen del método de Newton-Raphson. ...................................................... 21
2.7.2 Flujograma del método de Newton-Raphson. ................................................... 22
3. ESTUDIO DE ESTABILIDAD DE TENSIÓN. ........................................................................ 24
3.1 Introducción. ............................................................................................................. 24
3.2 Definiciones. .............................................................................................................. 24
3.3 Colapso de tensión. ................................................................................................... 25
4. ESTABILIDAD DE TENSIÓN USANDO ANALISIS MODAL. ................................................ 29
4.1 INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................ 29
4.2 ANALISIS MODAL PARA LA ESTABILIDAD DE TENSIÓN. ............................................. 31
4.2.1 Matriz Jacobiana reducida. ................................................................................. 31
4.2.2 Modos de inestabilidad de tensión. ................................................................... 32
4.2.3 Participación del bus. ......................................................................................... 35
4.2.4 Participación de ramas y generadores. .............................................................. 35
4.2.5 Cálculo de valores propios y auto vectores del 𝐽𝑅. ............................................ 36
4.3 MODELADO DE DISPOSITIVOS. .................................................................................. 38
4.3.1 Modelo del generador. ....................................................................................... 39
4
4.3.2 Modelo de carga. ................................................................................................ 39
4.3.3 Modelo de motor de inducción. ......................................................................... 39
4.3.4 Modelo SVC. ....................................................................................................... 40
4.3.5 Modelo de dos terminales HVDC. ...................................................................... 40
4.3.6 Instantáneas de eventos después de una anomalía. ......................................... 40
5. INDICES DE ESTABILIDAD DE TENSIÓN. .......................................................................... 43
5.1. Introducción. ............................................................................................................ 43
5.2. Índices de sensibilidad. ............................................................................................. 43
5.3 Valores singulares y propios. ..................................................................................... 44
5.3.1 Valores singulares. .............................................................................................. 44
5.3.2 Valores propios. .................................................................................................. 45
5.4 Margen de carga. ....................................................................................................... 45
5.4.1 Ventajas del margen de cargas como índice. ..................................................... 46
5.4.2 Desventajas del margen de cargas como índice. ............................................... 46
6. PUNTO DE COLAPSO. ...................................................................................................... 48
6.1 Introducción. ............................................................................................................. 48
6.2 Punto de colapso. ...................................................................................................... 48
............................................................................................................................................. 54
7. MÉTODO DE CONTINUACIÓN. ........................................................................................ 55
7.1 Introducción. ............................................................................................................. 55
7.2 Reformulación de las ecuaciones. ............................................................................. 57
7.3 Aplicación del método de continuación. ................................................................... 58
7.4 Prediciendo la solución. ............................................................................................ 59
7.5 Parametrización y el corrector. ................................................................................. 60
7.6 Eligiendo el parámetro de continuación. .................................................................. 62
7.7 El punto crítico. ......................................................................................................... 62
7.8 Resumen del proceso. ............................................................................................... 63
5
8. CÁLCULO DE LA CONDICIÓN DE CARGA CRÍTICA CON LA CURVA DE LA NARIZ USANDO
EL MÉTODO DE CONTINUACIÓN DE HOMOTOPÍA ......................................................................... 65
8.1. INTRODUCCIÓN. ....................................................................................................... 65
8.2. FORMULACIÓN DE MÉTODO DE CONTINUACIÓN DE HOMOTOPÍA. ....................... 67
8.3. CÁLCULO DE LA CURVA DE LA NARIZ Y CONDICIÓN CRÍTICA. .................................. 71
8.3.1 Procedimiento A. ................................................................................................ 72
8.3.2 Procedimiento B. ................................................................................................ 72
9. RESULTADOS. .................................................................................................................. 75
9.1 RESULTADOS OBTENIDOS PARA UN SISTEMA IEEE 24 NODOS. ................................ 75
9.1.1 Flujo de cargas convencional IEEE-24. ................................................................ 75
9.1.2 Flujo de cargas de continuación IEEE-24. ........................................................... 78
9.1.3 Flujo de cargas por métodos directos IEEE-24. .................................................. 82
9.1.4 Comparación gráfica de los tres métodos. ......................................................... 85
9.2 RESULTADOS OBTENIDOS PARA UN SISTEMA IEEE 30 NODOS. ................................ 88
9.2.1 Flujo de cargas convencional IEEE-30. ................................................................ 88
9.2.2 Flujo de cargas de continuación IEEE-30. ........................................................... 91
9.1.3 Comparación gráfica de los dos métodos .......................................................... 95
10. CONCLUSIÓN. ................................................................................................................ 99
11. BIBLIOGRAFIA. ............................................................................................................ 101
12. BASE DE DATOS IEEE 24 NODOS................................................................................. 104
13. BASE DE DATOS IEEE 30 NODOS................................................................................. 105
6
CAPÍTULO 1:
INTRODUCCIÓN
7
1. INTRODUCCIÓN.
En estos últimos tiempos, el crecimiento de las actividades comerciales ha llevado
consigo al paso de una remodelación del sector eléctrico, el aumento tanto de sistemas
eléctricos de potencia como de las demandas de energía; esto lleva a que los sistemas
de potencia actuales estén cambiando la manera de ser operados.
Lo más importante para nuestra sociedad es la seguridad del sistema eléctrico,
cualquier fallo en la seguridad puede provocar grandes disturbios en sectores como la
economía del país y la calidad de vida de las personas que viven en dicho país.
El significado del término “calidad en un sistema de potencia” viene a decir que
debemos mantener un determinado nivel de tensión normalizado que haga posible una
operación segura, eficiente y confiable. La razón de poder mantener un sistema de
potencia entre unos márgenes de tensión establecidos es que protege al sistema de
consecuencias negativas que originan tanto las sobretensiones como las bajas tensiones.
La misión de mantener la tensión de un sistema eléctrico de potencia en unos
márgenes preestablecidos es muy difícil de lograr para los operadores de la red. El
incremento de la demanda hace que los sistemas funcionen en muchas ocasiones muy
cerca de los límites.
Para poder garantizar una calidad de operación optima desde el punto de vista de
tensión, los sistemas de potencia deben tener la suficiente potencia reactiva de reserva
en los generadores y elementos de compensación, para que de esta forma el sistema de
potencia pueda hacer frente a perturbaciones o cambios en las condiciones iniciales de
operación.
El control de tensión consiste como ya se ha dicho anteriormente, en mantener la
tensión dentro unos márgenes permitidos en un área dada, suministrando la potencia
reactiva necesaria. Quienes controlan estos niveles de tensión generalmente son los
operadores que se encuentran en los centros de control, estos usan una serie de
mecanismos como pueden ser la conmutación de condensadores y reactores,
desconexión y conexión de líneas de transmisión entre otros. Sin embargo, los
incrementos constantes de carga, las salidas que no están programadas de unidades de
generación y muchos otros, pueden llevar ocasionalmente al sistema a notar una caída
de tensión que no estaba controlada, esto puede llevar a una caída o perdida de las
fuentes de generación eléctrica, provocando el caos en miles de hogares. Es este
fenómeno se le conoce como colapso de tensión, que estudiaremos en los capítulos
siguientes.
8
En los últimos años el número de apagones provocados por el colapso de tensión
ha ido en aumento, de forma, que haciendo una media aproximada en los últimos veinte
años se ha registrado un importante apagón por año.
1.1 Objetivo.
Se persigue aplicar el método de flujo de carga de continuación teniendo
en cuenta aumentos que no son iguales para demanda y generación.
Se busca alcanzar el estado del arte.
1.2 Alcance.
Se procede al análisis de las redes de potencia prediseñadas IEEE de 24 nodos e
IEEE de 30 nodos aplicando diferentes métodos obteniendo diferentes pero similares
resultados.
9
CAPÍTULO 2:
FLUJO DE CARGAS
10
2. FLUJO DE CARGAS.
2.1 Introducción.
El estudio de cargas es muy importante en el diseño de las mejoras de un sistema
de energía y en la programación, así como la determinación del trabajo óptimo de los
sistemas que existen. Los resultados que podemos obtener a la hora de realizar un flujo
de cargas son: módulo y ángulo de fase de las tensiones en cada nudo en régimen
estacionario, y a través de estos, podemos obtener los respectivos flujos de potencia
activa y reactiva en cada rama, además también podemos obtener los valores de
corriente, pérdidas de potencia activa y reactiva en las ramas, etc.
Estos estudios de carga, antes de la existencia de los equipos informáticos tan
sofisticados con los que contamos en la actualidad, se hacían en los analizadores de
redes, porque en una red compleja, con los método precarios que existían era casi
imposible dar una solución. Además los analizadores de redes ocupaban grandes
espacios y el manejo y diseño de estos es muy complicado.
Hoy en día estos analizadores solo los encontramos en los museos, ya que el
gran avance computacional nos permite correr avanzados programas de cálculo.
En este capítulo vamos a definir las ecuaciones necesarias para dar una solución
al problema de flujo de cargas, que son la base para de este proyecto. Además
describiremos el método de Newton-Raphson, que es el método que hemos utilizado
para resolver problemas de flujo de cargas.
2.2 Elementos de un sistema de potencia.
En los sistemas de potencia nos podemos encontrar dos tipos de elementos como
son: los nudos y las ramas.
Nudos: son barras de una subestación a un nivel de tensión determinado, es decir
puntos a los que llegan 3 o más circuitos si son pasivos, o 2 o más si alguno de
estos es activo.
Ramas: se define rama como el circuito que une 2 nudos, que generalmente son
las líneas, casualmente con transformadores y/o reactancias de generadores.
11
Es sabido que cuando queremos representar un sistema, suponemos que todo el
sistema está a un mismo nivel de tensión (en p.u.) quitando transformadores ideales y
representando solamente las reactancias de cortocircuito de los trafos reales.
La manera más adecuada de representar un sistema de potencia es por
esquemas equivalentes en 𝜋 de parámetros concentrados (impedancias o admitancias).
Un truco es emplear admitancias y no impedancias cuando no tenemos una conexión
entre dos puntos así que podemos imponer una admitancia nula.
2.3 Matriz de admitancias.
Para dar una idea clara y sencilla de esta matriz en el análisis de un sistema
eléctrico vamos a exponer un ejemplo bastante sencillo.
En la siguiente figura tenemos representado un esquema de un sistema de dos
generadores y una carga, con cinco nudos y seis ramas que vienen identificadas por sus
admitancias 𝑦1, … . . , 𝑦6.
Figura 2.1 Sistema de energía eléctrica de tres barras.
Si consideramos la tierra como el nudo de referencia de nuestro sistema,
podemos formular las siguientes ecuaciones aplicando las leyes de Kirchhoff.
𝑦1 · (𝑉4 − 𝑉2) = 𝐼1
𝑦2 · (𝑉5 − 𝑉3) = 𝐼2
12
𝑦2 · (𝑉5 − 𝑉3) + 𝑦3 · (𝑉2 − 𝑉3) + 𝑦5 · (𝑉1 − 𝑉3) = 0
(1)
𝑦4 · (𝑉2 − 𝑉1) + 𝑦5 · (𝑉3 − 𝑉1) − 𝑦6 · (𝑉1) = 0
𝑦1 · (𝑉4 − 𝑉2) − 𝑦3 · (𝑉3 − 𝑉2) − 𝑦4 · (𝑉1 − 𝑉2) = 0
Si agrupamos las admitancias según las tensiones correspondientes de nudo, y
despejamos las intensidades nos queda:
𝐼1 = 𝑌11 · 𝑉1 + 𝑌12 · 𝑉2 + 𝑌13 · 𝑉3 + 𝑌14 · 𝑉4 + 𝑌15 · 𝑉5
𝐼2 = 𝑌21 · 𝑉1 + 𝑌22 · 𝑉2 + 𝑌23 · 𝑉3 + 𝑌24 · 𝑉4 + 𝑌25 · 𝑉5
(2)
𝐼3 = 𝑌31 · 𝑉1 + 𝑌32 · 𝑉2 + 𝑌33 · 𝑉3 + 𝑌34 · 𝑉4 + 𝑌35 · 𝑉5
Donde
𝑌11 = 𝑦4 + 𝑦5 + 𝑦6 𝑌12 = 𝑌21 = −𝑦4
𝑌22 = 𝑦1 + 𝑦3 + 𝑦4 𝑌13 = 𝑌31 = −𝑦5
𝑌33 = 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦5 𝑌23 = 𝑌32 = −𝑦3
𝑌44 = 𝑦1 𝑌24 = 𝑌42 = −𝑦1
𝑌55 = 𝑦2 𝑌35 = 𝑌53 = −𝑦2
Nos damos cuenta que las inyecciones de corriente son funciones lineales de las
tensiones en los nudos. Así que podemos escribir estas ecuaciones de una manera más
compacta en forma matricial.
[
𝐼1𝐼2𝐼3
] = [
𝑦4 + 𝑦5 + 𝑦6 −𝑦4 −𝑦5
−𝑦4 𝑦1 + 𝑦3 + 𝑦4 −𝑦3
−𝑦5 −𝑦3 𝑦2 + 𝑦3 + 𝑦5
] × [
𝑉1
𝑉2
𝑉3
]
(3)
De esta matriz de admitancias podemos sacar varias conclusiones:
Es una matriz simétrica, 𝑌𝑖𝑘 = 𝑌𝑘𝑖.
13
Todos los elementos que nos encontramos en la diagonal principal podemos
obtenerlos por la suma de las admitancias de todas las ramas que están
conectadas al nudo 𝑖, incluidas las ramas derivación:
𝑌𝑖𝑖 = ∑ 𝑦𝑖𝑛
𝑁
𝑛=1
Donde N es el número de nudos del sistema.
Aquellos elementos que no se encuentran en la diagonal principal se calculan así:
𝑌𝑖𝑘 = −𝑦𝑖𝑘
2.4 Flujo de cargas.
Podemos definir la potencia aparente inyectada en un nudo ,𝑆𝑖 ,como la diferencia
entre la potencia aparente generada en dicho nudo, 𝑆𝐺𝑖, y la potencia aparente de
demanda en el mismo, 𝑆𝐿𝑖.
𝑆𝑖 = 𝑆𝐺𝑖 − 𝑆𝐿𝑖 (4)
Es necesario obtener una ecuación para que poder expresar esta potencia en
términos de tensiones en el nudo y elementos de la matriz de admitancias.
La teoría de circuitos nos dice que la potencia aparente se puede resolver de la
siguiente forma:
𝑆𝑖 = 𝑉𝑖𝐼𝑖∗ (5)
Ya sabemos que la inyección de corriente en un nudo viene dada por:
𝐼𝑖 = ∑ 𝑌𝑖𝑛𝑉𝑛
𝑁
𝑛=1
(6)
Bien, si ahora sustituimos (6) en (5) da como resultado:
𝑆𝑖 = 𝑉𝑖 (∑ 𝑌𝑖𝑛𝑉𝑛
𝑁
𝑛=1
)
∗
= 𝑉𝑖 ∑ 𝑌𝑖𝑛∗𝑉𝑛
∗
𝑁
𝑛=1
(7)
14
Como 𝑉𝑛 , 𝑉𝑖, e 𝑌𝑖𝑛 son número complejos los vamos a descomponer en módulo y
argumento:
𝑉𝑛 = 𝑉𝑛∠𝛿𝑛 ⇒ 𝑉𝑛∗ = 𝑉𝑛∠−𝛿𝑛
𝑉𝑖 = 𝑉𝑖∠𝛿𝑖
𝑌𝑖𝑛 = 𝑌𝑖𝑛∠𝜃𝑖𝑛 ⇒ 𝑌𝑖𝑛∗ = 𝑌𝑖𝑛∠ − 𝜃𝑖𝑛
(8)
Sustituyendo (8) en (7):
𝑆𝑖 = 𝑉𝑖∠𝛿𝑖 ∑((𝑌𝑖𝑛∠ − 𝜃𝑖𝑛) · (𝑉𝑛∠−𝛿𝑛))
𝑁
𝑛=1
= ∑((𝑉𝑖𝑉𝑛∠𝛿𝑖−𝛿𝑛) · (𝑌𝑖𝑛∠ − 𝜃𝑖𝑛))
𝑁
𝑛=1
(9)
Además, la expresión 𝑌𝑖𝑛 la podemos expresar como:
𝑌𝑖𝑛 = 𝑌𝑖𝑛∠𝜃𝑖𝑛 = 𝑌𝑖𝑛 cos 𝜃𝑖𝑛 + 𝑗𝑌𝑖𝑛 sin 𝜃𝑖𝑛 = 𝐺𝑖𝑛 + 𝑗𝐵𝑖𝑛
𝑌𝑖𝑛∗ = 𝐺𝑖𝑛 − 𝑗𝐵𝑖𝑛
(10)
En la cual 𝐺𝑖𝑛 es la conductancia y 𝐵𝑖𝑛 la susceptancia, si sustituimos la ecuación
(10) en la ecuación (9) tenemos como resultado la siguiente expresión:
𝑆𝑖 = ∑[(𝑉𝑖𝑉𝑛∠𝛿𝑖−𝛿𝑛) · (𝐺𝑖𝑛 − 𝑗𝐵𝑖𝑛)]
𝑁
𝑛=1
(11)
Como ya sabemos la potencia aparente, la podemos descomponer en potencia
activa y reactiva:
𝑆𝑖 = 𝑃𝑖 + 𝑗𝑄𝑖
(12)
De la misma forma que pasaba con la potencia aparente:
𝑃𝑖 = 𝑃𝐺𝑖 − 𝑃𝐿𝑖
𝑄𝑖 = 𝑄𝐺𝑖 − 𝑄𝐿𝑖
Ahora separamos la imaginaria de la real en la ecuación (11) y ya podemos saber
la potencia activa y reactiva en un nudo según la ecuación (12):
15
𝑃𝑖 = 𝑉𝑖 ∑[𝑉𝑛(𝐺𝑖𝑛 cos 𝛿𝑖𝑛 + 𝐵𝑖𝑛 sin 𝛿𝑖𝑛)]
𝑁
𝑛=1
(13)
𝑄𝑖 = 𝑉𝑖 ∑[𝑉𝑛(𝐺𝑖𝑛 sin 𝛿𝑖𝑛 −𝐵𝑖𝑛 cos 𝛿𝑖𝑛]
𝑁
𝑛=1
𝛿𝑖𝑛 = 𝛿𝑖−𝛿𝑛
(14)
Estas dos ecuaciones anteriores son las que llamamos ecuaciones del flujo de
cargas.
Es sabido que en problemas de flujos de cargas podemos discernir tres tipos de
nudos como son:
Nudos PQ, son nudos donde los datos conocidos son las potencias activa y
reactiva respectivamente. Corresponden normalmente a nudos de demanda.
Nudos PV, son nudos donde los datos conocidos es la potencia activa y la
tensión. Estos nudos normalmente corresponden a nudos de demanda.
Nudo Slack, donde fijamos el valor de la tensión y de ángulo, mayoritariamente
𝑉 = 1 𝑝. 𝑢. 𝑦 𝛿 = 0.
Por lo tanto un problema de flujo de cargas consiste en dar solución a las
ecuaciones (13 y 14) para todos los nudos de la red una vez que ya conocemos las
inyecciones de potencia de los generadores y el consumo de las cargas. Una vez
finalizado el flujo de cargas y en poder de las tensiones en los nodos, ya estamos en
condiciones de calcular los flujos de potencia por las ramas.
2.5 Método para dar solución a un flujo de cargas.
Como es sabido, al estudiar flujos de carga nos damos cuenta que no se puede
resolver por el método de los nudos o por el método de las mallas porque los datos que
tenemos inicialmente están expresados en términos de potencia en lugar de impedancia
o tensión e intensidad. Por lo cual, el estudio de flujo de cargas de orientarse a la
resolución de un conjunto de ecuaciones no lineales que se pueden resolver por medio
de métodos iterativos como lo es el método de Newton-Raphson.
Pasos a seguir para la resolución de un flujo de cargas genérico:
16
I. Debemos estudiar los datos de potencia generada y consumida, y otorgar los
datos de tensión en las barras PV y compensación.
II. Construimos la matriz 𝑌𝐵 del sistema.
III. Inicializar los valores de las tensiones en las barras PQ.
IV. Obtener los datos de tensión en cada barra satisfaciendo las condiciones de
generación y consumo.
V. ¿Se satisfacen las condiciones iniciales?
a. NO Volvemos al paso IV.
b. SI Pasamos al paso VI.
VI. Obtener flujos de carga y las posibles pérdidas de potencia en cada línea de
transporte.
2.6 Newton-Raphson para solución de flujos de cargas.
Se define como una ecuación no lineal con una variable la siguiente ecuación:
𝑓(𝑥) = 0 (15)
Para dar solución a la ecuación anterior, debemos elegir un valor inicial igual a 𝑥0.
Por lo tanto la diferencia del valor final y el inicial será de ∆𝑥0. Entonces, 𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑥0.
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥0) = 0 (16)
Si desarrollamos la ecuación anterior por el método del polinomio de Taylor,
tendremos:
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥0) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0) · ∆𝑥0 + 𝑓′′(𝑥0) ·(∆𝑥0)2
2!+ ⋯+ 𝑓(𝑛)(𝑥0) ·
(∆𝑥0)(𝑛)
𝑛!= 0
(17)
Si ∆𝑥0 es pequeño, desde la segunda derivada en adelante estos términos
pueden ser despreciados. Lo que resultaría la siguiente ecuación lineal:
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥0) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓′(𝑥0) · ∆𝑥0 = 0 (18)
Si despejamos ∆𝑥0 de la ecuación anterior:
∆𝑥0 = −𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0) (19)
17
Entonces, la nueva solución será:
𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥0 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0) (20)
De la ecuación anterior podemos deducir la expresión general del polinomio de
Taylor:
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 + ∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 −𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(𝑥𝑘)
(21)
Para finalizar el proceso de iteración se deben de satisfacer alguna de las
siguientes condiciones:
|∆𝑥𝑘| < 휀1
|𝑓(𝑥𝑘)| < 휀2
(22)
donde 휀1 y 휀2 es el error que está permitido en el proceso.
Este método se puede extender a una ecuación no lineal que contiene 𝑛 variables.
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0
𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0
𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0
(23)
Actuando como lo hemos hecho para una sola ecuación, tenemos:
𝑓1(𝑥10 + ∆𝑥1
0, 𝑥20 + ∆𝑥2
0, … , 𝑥𝑛0 + ∆𝑥𝑛
0) = 0
𝑓2(𝑥10 + ∆𝑥1
0, 𝑥20 + ∆𝑥2
0, … , 𝑥𝑛0 + ∆𝑥𝑛
0) = 0
𝑓𝑛(𝑥10 + ∆𝑥1
0, 𝑥20 + ∆𝑥2
0, … , 𝑥𝑛0 + ∆𝑥𝑛
0) = 0
(24)
De la misma forma, si desarrollamos la expresión anterior y despreciamos los
valores a partir de la segunda derivada:
𝑓1(𝑥10 + ∆𝑥1
0, 𝑥20 + ∆𝑥2
0, … , 𝑥𝑛0 + ∆𝑥𝑛
0) +𝜕𝑓1𝜕𝑥1
|𝑥1
0
· ∆𝑥10 +
𝜕𝑓1𝜕𝑥2
|𝑥2
0
· ∆𝑥20 + ⋯+
𝜕𝑓1𝜕𝑥𝑛
|𝑥𝑛
0
· ∆𝑥𝑛0
= 0
𝑓2(𝑥10 + ∆𝑥1
0, 𝑥20 + ∆𝑥2
0, … , 𝑥𝑛0 + ∆𝑥𝑛
0) +𝜕𝑓2𝜕𝑥1
|𝑥1
0
· ∆𝑥10 +
𝜕𝑓2𝜕𝑥2
|𝑥2
0
· ∆𝑥20 + ⋯+
𝜕𝑓2𝜕𝑥𝑛
|𝑥𝑛
0
· ∆𝑥𝑛0
= 0
(25)
18
𝑓𝑛(𝑥10 + ∆𝑥1
0, 𝑥20 + ∆𝑥2
0, … , 𝑥𝑛0 + ∆𝑥𝑛
0) +𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥1
|𝑥1
0
· ∆𝑥10 +
𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥2
|𝑥2
0
· ∆𝑥20 + ⋯+
𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥𝑛
|𝑥𝑛
0
· ∆𝑥𝑛0
= 0
Estas ecuaciones podemos expresarlas en forma matricial como sigue:
[
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)⋯
𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
] = −
[ 𝜕𝑓1𝜕𝑥1
|𝑥1
0
𝜕𝑓1𝜕𝑥2
|𝑥2
0
⋯𝜕𝑓1𝜕𝑥𝑛
|𝑥𝑛
0
𝜕𝑓2𝜕𝑥1
|𝑥1
0
𝜕𝑓2𝜕𝑥2
|𝑥2
0
…𝜕𝑓2𝜕𝑥𝑛
|𝑥𝑛
0
⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥1
|𝑥1
0
𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥2
|𝑥2
0
⋯𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥𝑛
|𝑥𝑛
0]
·
[ ∆𝑥1
0
∆𝑥20
⋮∆𝑥𝑛
0]
(26)
De la ecuación anterior podemos deducir la expresión general del polinomio de
Taylor
[ 𝑓1(𝑥1
𝑘 , 𝑥2𝑘 , … , 𝑥𝑛
𝑘)
𝑓2(𝑥1𝑘 , 𝑥2
𝑘 , … , 𝑥𝑛𝑘)
⋯𝑓𝑛(𝑥1
𝑘 , 𝑥2𝑘 , … , 𝑥𝑛
𝑘)]
= −
[ 𝜕𝑓1𝜕𝑥1
|𝑥1
𝑘
𝜕𝑓1𝜕𝑥2
|𝑥2
𝑘
⋯𝜕𝑓1𝜕𝑥𝑛
|𝑥𝑛
𝑘
𝜕𝑓2𝜕𝑥1
|𝑥1
𝑘
𝜕𝑓2𝜕𝑥2
|𝑥2
𝑘
…𝜕𝑓2𝜕𝑥𝑛
|𝑥𝑛
𝑘
⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥1
|𝑥1
𝑘
𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥2
|𝑥2
𝑘
⋯𝜕𝑓𝑛𝜕𝑥𝑛
|𝑥𝑛
𝑘]
·
[ ∆𝑥1
𝑘
∆𝑥2𝑘
⋮∆𝑥𝑛
𝑘]
𝑥𝑖𝑘+1 = 𝑥𝑖
𝑘 + ∆𝑥𝑖𝑘
(27)
Las dos expresiones anteriores se pueden ser presentadas como:
𝑓(𝑥𝑘) = −𝐽𝑘 · ∆𝑥𝑘
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 + ∆𝑥𝑘
(28)
Donde 𝐽 es la matriz Jacobiana (𝑛 × 𝑛).
19
2.7 Flujo de cargas mediante newton-raphson.
Según la siguiente expresión:
𝑃𝑖 + 𝑗𝑄𝑖 = 𝑉𝑖 · ∑𝑌𝑖𝑗 · 𝑉𝑗
𝑛
𝑗=1
(29)
La forma compleja de las potencias activa y reactiva puede ser expresada por:
𝑆𝑖 = 𝑃𝑖 + 𝑗𝑄𝑖 = 𝑉𝑖 · 𝐼𝑖∗ = 𝑉𝑖 · ∑𝑌𝑖𝑗 · 𝑉𝑗
𝑛
𝑗=1
· 𝑒𝑗(𝛿𝑖−𝛿𝑗−𝜃𝑖𝑗) (30)
Donde 𝛿𝑖 y 𝛿𝑗 son los desfases de las tensiones en las barras 𝑖 y 𝑗, y el argumento
del elemento de la matriz de admitancias de barra 𝑌𝑖𝑗 es 𝜃𝑖𝑗.
Si tenemos en cuenta tanto la parte real como la imaginaria de la ecuación
anterior, tenemos como resultado las siguientes ecuaciones, potencia activa que
suministra la barra 𝑖 y potencia reactiva que suministra la barra 𝑖 respectivamente:
𝑃𝑖 = 𝑉𝑖 · ∑𝑌𝑖𝑗 · 𝑉𝑖𝑗 · cos(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝜃𝑖𝑗)
𝑛
𝑗=1
𝑄𝑖 = 𝑉𝑖 · ∑𝑌𝑖𝑗 · 𝑉𝑖𝑗 · sen(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝜃𝑖𝑗)
𝑛
𝑗=1
(31)
Para cada barra 𝑃𝑉 o 𝑃𝑄 tenemos la siguiente ecuación que nos proporciona la
diferencia de potencia activa:
∆𝑃𝑖 = 𝑃𝑖𝑆 − 𝑃𝑖 = 𝑃𝑖𝑆 − 𝑉𝑖 · ∑𝑌𝑖𝑗 · 𝑉𝑖𝑗 · cos(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝜃𝑖𝑗)
𝑛
𝑗=1
(32)
Y para las barras 𝑃𝑄, tenemos la siguiente ecuación que nos proporciona la
diferencia de potencia reactiva:
∆𝑄𝑖 = 𝑄𝑖𝑆 − 𝑄𝑖 = 𝑄𝑖𝑆 − 𝑉𝑖 · ∑𝑌𝑖𝑗 · 𝑉𝑖𝑗 · sen(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝜃𝑖𝑗)
𝑛
𝑗=1
(33)
En la cual 𝑃𝑖𝑆 y 𝑄𝑖𝑆 son los valores de potencia activa y reactiva, y 𝑄𝑖, 𝑃𝑖
pertenecen a los valores calculados de potencia reactiva y activa respectivamente.
20
Aplicando el método de Newton-Raphson, las dos ecuaciones anteriores las
podemos desarrollar por el polinomio de Taylor, dando como resultado las siguientes
aproximaciones de primer orden:
[∆𝑃∆𝑄
] = [𝐽1 𝐽2𝐽3 𝐽4
] · [∆𝛿∆𝑉
𝑉
] (34)
[𝐽] =
[ 𝜕𝑃2
𝜕𝛿2⋯
𝜕𝑃𝑛
𝜕𝛿𝑛
𝜕𝑃2
𝜕𝑉2⋯
𝜕𝑃2
𝜕𝑉𝑛⋮ 𝐽1 ⋮ ⋮ 𝐽2 ⋮
𝜕𝑃𝑛
𝜕𝛿2⋯
𝜕𝑃𝑛
𝜕𝛿𝑁
𝜕𝑃𝑛
𝜕𝑉2⋯
𝜕𝑃𝑛
𝜕𝑉𝑛𝜕𝑄2
𝜕𝛿2⋯
𝜕𝑄2
𝜕𝛿𝑚
𝜕𝑄2
𝜕𝑉2⋯
𝜕𝑄2
𝜕𝑉𝑚⋮ 𝐽3 ⋮ ⋮ 𝐽4 ⋮
𝜕𝑄𝑚
𝜕𝛿2⋯
𝜕𝑄𝑚
𝜕𝛿𝑚
𝜕𝑄𝑚
𝜕𝑉2⋯
𝜕𝑄𝑚
𝜕𝑉𝑚 ]
(35)
Si tenemos lo siguiente 𝑖 ≠ 𝑗, las ecuaciones que debemos usar son las
siguientes:
𝐽1𝑖𝑗 =𝜕𝑃𝑖
𝜕𝛿𝑗= 𝑉𝑖 · 𝑌𝑖𝑗 · 𝑉𝑗 · sen(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝜃𝑖𝑗)
𝐽2𝑖𝑗 =𝜕𝑃𝑖
𝜕𝑉𝑗= 𝑉𝑖 · 𝑌𝑖𝑗 · cos(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝜃𝑖𝑗)
𝐽3𝑖𝑗 =𝜕𝑄𝑖
𝜕𝛿𝑗= −𝑉𝑖 · 𝑌𝑖𝑗 · 𝑉𝑗 · cos(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝜃𝑖𝑗)
𝐽4𝑖𝑗 =𝜕𝑄𝑖
𝜕𝑉𝑗= 𝑉𝑖 · 𝑌𝑖𝑗 · sen(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝜃𝑖𝑗)
(36)
Si tenemos lo siguiente 𝑖 = 𝑗, las ecuaciones que debemos usar son las
siguientes:
𝐽1𝑖𝑖 =𝜕𝑃𝑖
𝜕𝛿𝑖= −𝑉𝑖 · ∑𝑌𝑖𝑗 · 𝑉𝑗 · sen(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝜃𝑖𝑗)
𝑛
𝑗=1𝑗≠𝑖
𝐽2𝑖𝑖 =𝜕𝑃𝑖
𝜕𝑉𝑖= 𝑉𝑖 · 𝑌𝑖𝑖 · cos 𝜃𝑖𝑖 +∑𝑌𝑖𝑗 · 𝑉𝑗 · cos(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝜃𝑖𝑗)
𝑛
𝑗=1
(37)
21
𝐽3𝑖𝑖 =𝜕𝑄𝑖
𝜕𝛿𝑖= 𝑉𝑖 · ∑𝑌𝑖𝑗 · 𝑉𝑗 · cos(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝜃𝑖𝑗)
𝑛
𝑗=1𝑗≠𝑖
𝐽4𝑖𝑖 =𝜕𝑄𝑖
𝜕𝑉𝑖= −𝑉𝑖 · 𝑌𝑖𝑖 · sen 𝜃𝑖𝑖 +∑𝑌𝑖𝑗 · 𝑉𝑗 · sen(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝜃𝑖𝑗)
𝑛
𝑗=1
2.7.1 Resumen del método de Newton-Raphson.
I. Se construye la matriz de admitancias de barra con los valores de las variables
del sistema.
II. Suponemos los valores iniciales de tensión en cada barra.
III. Calculamos las diferencias de potencia reactiva y activa, y comprobar si
cumplimos las condiciones de convergencia.
IV. Calculo de los elementos de la matriz jacobiana.
V. Calculo de los valores corregidos de la tensión en todas las barras, y calcular la
tensión de en cada barra por medio de estas ecuaciones:
VI.
𝑉𝑖𝑘+1 = 𝑉𝑖
𝑘 + ∆𝑉𝑖𝑘
𝛿𝑖𝑘+1 = 𝛿𝑖
𝑘 + ∆𝛿𝑖𝑘
VII. Regresar el paso (III) con los nuevos valores de tensión en cada barra.
22
2.7.2 Flujograma del método de Newton-Raphson.
Construir 𝑌𝐵𝐴𝑅𝑅𝐴
Valores iniciales de las
tensiones en cada barra
𝑃𝑖 = 𝑉𝑖 · ∑𝑌𝑖𝑗 · 𝑉𝑖𝑗 · cos(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝜃𝑖𝑗)
𝑛
𝑗=1
𝑄𝑖 = 𝑉𝑖 · ∑𝑌𝑖𝑗 · 𝑉𝑖𝑗 · sen(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝜃𝑖𝑗)
𝑛
𝑗=1
Calculo de
∆𝑃, ∆𝑄, ∆𝑉, ∆𝛿
¿Dentro
del error?
Potencia en BC, flujos de
carga y pérdidas en las
líneas
Elementos de matriz
Jacobiana
Nuevos valores de:
∆𝑉, ∆𝛿
𝑉𝑖𝑘+1 = 𝑉𝑖
𝑘 + ∆𝑉𝑖𝑘
𝛿𝑖𝑘+1 = 𝛿𝑖
𝑘 + ∆𝛿𝑖𝑘
S
I
N
O
23
CAPÍTULO 3:
ESTUDIO DE ESTABILIDAD DE TENSIÓN
24
3. ESTUDIO DE ESTABILIDAD DE TENSIÓN.
3.1 Introducción.
El concepto de estabilidad se puede definir como el equilibrio entre fuerzas
contrarias que están activas en el sistema. Dichas fuerzas contrarias pueden notar el
desequilibrio que lleva a las diferentes formas de inestabilidad.
Para poder formular un modelo necesitamos entender todos los métodos de
análisis que hay propuestos además de todos los conceptos sobre la estabilidad de
tensión.
Uno de los métodos que vamos a estudiar en este trabajo es el llamado, flujo de
carga de continuación (CPF). Este método usa el método de continuación para evitar la
singularidad de la matriz Jacobiana cuando la carga en los sistemas eléctricos va en
aumento, esto podemos conseguirlo aumentando al proceso normal de un flujo de cargas
un parámetro de carga llamado lambda,𝜆 gracias a este parámetro podemos obtener el
punto donde la carga es máxima, a dicho punto lo denominaremos como PMC o lo que
es lo mismo Punto Máximo de Carga.
3.2 Definiciones.
Entendemos como estabilidad de tensión, la capacidad que tiene un sistema para
poder mantenerse dentro de unos márgenes de tensión en todas las barras que forman el
sistema después de que haya provocado un disturbio que modifique las condiciones
iniciales de operación. Esta estabilidad es la capacidad que tiene el sistema de mantener
un equilibrio entre la generación y la demanda.
La pérdida de carga en algunas áreas es la responsable de que puede existir
inestabilidad en el sistema, también la puede provocar la salida de líneas de transmisión
como resultado de haber actuado los elementos de protección de dichas líneas. Cuando
se está produciendo un problema de estabilidad de tensión en el sistema, los operadores
no tienen el control de las magnitudes de las tensiones y de las transferencias de
potencia. Es sabido que la inestabilidad de tensión es un fenómeno local, pero los
resultados pueden llegar a tener un impacto regional.
A menudo se los términos de inestabilidad de tensión y colapso de tensión son
muy usados, para señalar el mismo fenómeno. Un aspecto fundamental en la estabilidad
25
de tensión puede ser la capacidad de transferencia de potencia reactiva de donde se
produce la energía (fuentes de producción) hasta los centros de consumo. Sin embargo,
los colapsos de tensión tienen lugar en los sistemas de potencia exageradamente
cargados con la escasez de potencia reactiva.
Las alteraciones en las condiciones iniciales de operación que ayudan a la
producción de un colapso de tensión son las siguientes:
Aumento en la carga, salida de las líneas o generadores, variación automática de
los taps de transformadores, sistemas de potencia muy débiles, el uso continuado de
condensadores de compensación.
Pero destacar que el factor más importante responsable de la inestabilidad de
tensión es la incapacidad del sistema de no poder hacerle frente a la demanda de
energía reactiva.
3.3 Colapso de tensión.
El punto de colapso se le conoce matemáticamente por formar una bifurcación
silla-nodo de las ecuaciones del sistema. Estas bifurcaciones son conocidas por tener
una matriz Jacobiana singular, esto quiere decir que tiene al menos un autovalor nulo.
Dicha característica es la culpable de que al utilizar los métodos tradiciones de Newton-
Raphson y Gauss-Seydel tengan problemas bastante serios de convergencia cerca del
punto de colapso de tensión.
La siguiente imagen muestra una red simple de dos nudos, las ecuaciones de
potencia activa 𝑃 y reactiva 𝑄 consumidas por la carga son:
𝑃 =𝐸 · 𝑈
𝑋sin 𝛿 ; 𝑄 =
𝐸 · 𝑈
𝑋cos 𝛿 −
𝑈2
𝑋
(38)
26
Figura 3.1 Sistema de energía eléctrica de dos barras.
Con la idea de poder dar una forma general a las expresiones anteriores, vamos a
llevar a cabo una serie de cambios que hacen que la reactancia 𝑋 y la tensión 𝐸
desaparezcan de la ecuación (38):
𝑃 = 𝑝𝐸2
𝑋 ; 𝑄 = 𝑞
𝐸2
𝑋 ; 𝑈 = 𝑢𝐸
(39)
Si realizamos los cambios de variable de (39) en (38) tenemos como resultado
estas nuevas ecuaciones:
𝑝 = 𝑢 · sin 𝛿 ; 𝑞 = 𝑢 · cos 𝛿 − 𝑢2 (40)
Ahora quitamos el ángulo de carga 𝛿 de las expresiones de (40):
𝑢4 + (2𝑞 − 1) · 𝑢2 + (𝑝2 + 𝑞2) = 0 (41)
Como se puede notar la ecuación (41) es una ecuación de segundo grado con
variable 𝑢2 . Por lo tanto si damos solución a esta ecuación tenemos como raíces:
𝑢2 =1
2− 𝑞 ± √
1
4− 𝑝2 − 𝑞
(42)
De la expresión (42) podemos deducir que el problema de flujo de carga solo tiene
solución real cuando:
1
4− 𝑝2 − 𝑞 ≥ 0
(43)
Así que la límite posible en el plano p-q será una parábola, todos los puntos
situados en la parte inferior de la parábola, es decir los situados debajo de esta,
27
corresponden con dos soluciones del flujo de cargas, de lo contrario si los puntos están
situados por encima de la parábola este no tendrá solución real. Justo en los límites de la
parábola, la solución será doble.
En la siguiente imagen podemos ver los límites factibles en el plano p-q.
Figura 3.2 Frontera de región optima en el plano p-q.
Decir que de los dos valores que pueden llegar a tener la tensión 𝑢 por motivo del
signo de la solución o raíz, el signo que salga positivo corresponde a un valor de 𝑢
estable, de lo contrario si el signo de la raíz es negativo consideraríamos que el sistema
es inestable.
28
CAPÍTULO 4:
ESTABILIDAD DE TENSIÓN USANDO ANÁLISIS MODAL
29
4. ESTABILIDAD DE TENSIÓN USANDO ANALISIS MODAL.
4.1 INTRODUCCIÓN.
A medida que los sistemas de potencia funcionan bajo condiciones cada vez más
estrictas, la capacidad de mantener la estabilidad de la tensión se convierte en una
preocupación creciente. En la planificación y operación de sistemas de energía. El
análisis de la estabilidad de tensión para un estado dado del sistema implica el examen
de dos aspectos:
a) Proximidad: ¿Qué cerca está el sistema de la inestabilidad de tensión?
b) Mecanismo: cuando se produce inestabilidad de tensión. Cuáles son
los factores claves de contribución. ¿Cuáles son los puntos de tensión-
débil, y qué áreas están involucradas?
La proximidad proporciona una medida de la seguridad de la tensión, mientras
que el mecanismo proporciona información útil para determinar las modificaciones del
sistema o las estrategias operativas que podrían utilizarse para prevenir la inestabilidad
de la tensión.
La estabilidad de tensión es de hecho un fenómeno dinámico y puede estudiarse
usando simulaciones de estabilidad transitorias / intermedias extendidas. Sin embargo.
Tales simulaciones no proporcionan información de sensibilidad ni el grado de
estabilidad. También requieren mucho tiempo en términos de CPU y de ingeniería
necesarios para el análisis de resultados. Por lo tanto. La aplicación de simulaciones
dinámicas se limita a la investigación de situaciones específicas de colapso de tensión.
Incluyendo colapso de tensión rápido o transitorio. Y para la coordinación de la protección
y los controles.
El análisis de la estabilidad de tensión a menudo requiere el examen de una
amplia gama de condiciones del sistema y un gran número de escenarios de
contingencia. Para tales aplicaciones, el enfoque basado en el análisis de estado
estacionario es más atractivo, y si se utiliza correctamente, puede proporcionar una gran
comprensión del problema de tensión / potencia reactiva.
En general, no se ha encontrado una aplicación práctica generalizada. Y las
utilidades tienden a depender en gran medida de los programas convencionales de flujo
de potencia para determinar los niveles de colapso de tensión de varios puntos en una
30
red. Sin embargo, este enfoque es laborioso y no proporciona información de sensibilidad
útil en la toma de decisiones de diseño.
Algunas utilidades usan curvas Q-V en un pequeño número de barras de carga
para determinar la proximidad al colapso de la tensión y para establecer criterios de
diseño del sistema basados en los márgenes Q y V determinados a partir de las curvas.
Un problema con el método de la curva Q-V es que generalmente no se conoce a priori
en qué barras se deben generar las curvas. Al producir una curva Q-V. El sistema en el
vecindario del bus se subraya indebidamente y los resultados pueden ser engañosos.
Centrándose en un pequeño número de barras, los problemas de todo el sistema pueden
no ser fácilmente reconocidos.
Un enfoque que utiliza la sensibilidad de V-Q y el análisis de flujo de potencia
lineal por piezas para hallar el margen, medido en términos de crecimiento de carga total,
entre una condición de funcionamiento dada y el punto de colapso de tensión. Ser lo
suficientemente preciso como se aproxima el punto de colapso. Además, la información
de sensibilidad V-Q, como se muestra en este documento, podría ser engañosa cuando
se aplica a un sistema grande que tiene más de un área con problemas de estabilidad de
voltaje.
La mayoría de los enfoques propuestos hasta la fecha utilizan modelos
convencionales de flujo de energía para representar el estado estable del sistema. Esto
puede no ser siempre apropiado, especialmente cuando el sistema se acerca a una
condición crítica. Existe la necesidad de considerar modelos de estado estacionario más
detallados para componentes clave del sistema tales como generadores, SVCs. Motores
de inducción y cargas estáticas dependientes de la tensión. Las características de carga
en particular podrían ser críticas y podría ser necesaria una representación de
subtransmisión ampliada en las áreas de colapso de tensión.
Este trabajo describe un enfoque de análisis modal con el objetivo de cumplir con
los requisitos anteriores. Implica el cálculo de un pequeño número de valores propios y
los vectores propios asociados de una matriz Jacobiana reducida que retiene las
relaciones Q-V en la red y que incluye las características apropiadas de generadores,
cargas, dispositivos de compensación de potencia reactiva y convertidores HVDC. Esto
es paralelo al uso del análisis modal para estudios de estabilidad de señal pequeños. Sin
embargo, al utilizar la Jacobiana reducida en lugar de la matriz de estado del sistema, el
foco está en las características de tensión y potencia reactiva. Los valores propios de los
Jacobianos identifican diferentes modos a través de los cuales el sistema podría volverse
inestable. La magnitud de los valores propios proporciona una medida relativa de la
31
proximidad a la inestabilidad. Los vectores propios, por otra parte, proporcionan
información relacionada con el mecanismo de pérdida de estabilidad de tensión. Los
algoritmos analíticos rápidos para el cálculo selectivo de un número específico de los
valores propios más pequeños hacen que el enfoque sea adecuado para el análisis de
sistemas de energía complejos de gran tamaño. Además, mediante la elección adecuada
de los modelos del sistema. El método puede usarse para analizar flujos de energía de
instantáneas que representan diferentes marcos de tiempo después de perturbaciones
importantes del sistema.
4.2 ANALISIS MODAL PARA LA ESTABILIDAD DE TENSIÓN.
Un sistema es estable de tensión en una condición de funcionamiento dada si
para cada bus en el sistema, la magnitud de la tensión del bus aumenta a medida que se
incrementa la inyección de potencia reactiva en el mismo bus. Un sistema es inestable sí,
para al menos un bus en el sistema, la magnitud de la tensión del bus disminuye a
medida que aumenta la inyección de potencia reactiva en el mismo bus. En otras
palabras, un sistema es estable si la sensibilidad V-Q es positiva para cada bus e
inestable si la sensibilidad V-Q es negativa para al menos un bus.
4.2.1 Matriz Jacobiana reducida.
Las ecuaciones lineales de tensión de potencia del sistema en estado estacionario
están dadas por:
[∆𝑃∆𝑄
] = [𝐽𝑃𝜃 𝐽𝑃𝑉
𝐽𝑄𝜃 𝐽𝑄𝑉] [
∆𝜃∆𝑉
] (44)
Donde:
∆𝑃: Cambio incremental de potencia activa en el bus.
∆𝑄: Cambio incremental de potencia reactiva en el bus.
∆𝜃: Cambio incremental del ángulo de la tensión en el bus.
∆𝑉: Cambio incremental de la tensión en el bus.
Si se utiliza el modelo de flujo de potencia convencional para el análisis de
estabilidad de tensión, la matriz Jacobiana en (44) es la misma que la matriz jacobiana
utilizada cuando las ecuaciones de flujo de potencia se resuelven usando la técnica de
32
Newton-Raphson. Con modelos de dispositivos mejorados incluidos, los elementos de la
matriz Jacobiana en (44) se modifican como se discute en la sección 4.3.
La estabilidad de tensión del sistema se ve afectada por P y Q, sin embargo, en
cada punto de operación mantenemos P constante y evaluamos la estabilidad de tensión
considerando la relación incremental entre Q y V. Esto es análogo al enfoque de curva Q-
V. Aunque los cambios incrementales en P se descuidan en la formulación, se tienen en
cuenta los efectos de los cambios en la carga del sistema o en los niveles de
transferencia de potencia estudiando la relación incremental entre Q y V en diferentes
condiciones operativas.
Para reducir (44), dejamos ∆𝑃 = 0:
∆𝑄 = [𝐽𝑄𝑉 − 𝐽𝑄𝜃 − 𝐽𝑃𝜃−1 − 𝐽𝑃𝑉]∆𝑉 = 𝐽𝑅∆𝑉 (45)
∆𝑉 = 𝐽𝑅−1∆𝑄 (46)
𝐽𝑅 = [𝐽𝑄𝑉 − 𝐽𝑄𝜃 − 𝐽𝑃𝜃−1 − 𝐽𝑃𝑉] (47)
𝐽𝑅 se denomina matriz Jacobiana reducida del sistema. 𝐽𝑅 es la matriz que
relaciona directamente la magnitud de tensión del bus y la inyección de potencia reactiva
del bus. La eliminación de la potencia activa y la parte de ángulo de las ecuaciones de
estado estacionario del sistema nos permite centrarnos en el estudio de la demanda
reactiva y problema de suministro del sistema, así como minimizar el esfuerzo
computacional.
El programa desarrollado también proporciona la opción de realizar eigenanálisis
de la matriz Jacobiana completa. Si se utiliza el Jacobiano completo, sin embargo, los
resultados representan la relación entre (∆𝜃, ∆𝑉) y (∆𝑄, ∆𝑃). Dado que ∆𝜃 está incluido en
la formulación, es difícil discernir la relación entre ∆𝑉 y (∆𝑄, ∆𝑃) que es de primordial
importancia para el análisis de estabilidad de tensión. También el análisis modal usando
la matriz Jacobiana completa es computacionalmente más costoso que usar el Jacobiano
reducido. Por estas razones hemos elegido el enfoque Jacobiano reducido.
4.2.2 Modos de inestabilidad de tensión.
𝐽𝑅 = 𝜉 ∧ 𝜂 (48)
Donde:
33
𝜉: Autovector derecho de la matriz Jacobiana.
𝜂: Autovector izquierdo de la matriz Jacobiana.
∧: Matriz diagonal de valores propios
𝐽𝑅−1 = 𝜉 ∧−1 𝜂 (49)
De (46) y (49) tenemos:
Δ𝑉 = 𝜉 ∧−1 𝜂 ΔQ (50)
Δ𝑉 = ∑𝜉𝑖 𝜂𝑖
𝜆𝑖 ΔQ
𝑖
(51)
Donde 𝜉𝑖 es la i-ésima columna auto vector derecho y 𝜂𝑖 la i-ésima fila de vector
propio izquierdo de 𝐽𝑅.
Similar al concepto utilizado en el análisis del sistema dinámico lineal. Cada valor
propio 𝜆𝑖, y los correspondientes vectores propios derecho e izquierdo 𝜉𝑖 y 𝜂𝑖 define el
último modo del sistema. La i-ésima variación de potencia reactiva modal es,
Δ𝑄𝑚𝑖 = 𝑘𝑖 · 𝜉𝑖 (52)
Donde:
𝑘𝑖2 ∑𝜉𝑗𝑖
2 = 1
𝑖
(53)
Con 𝜉𝑗𝑖 el elemento j-ésimo de 𝜉𝑖.
La correspondiente variación de tensión i-ésima modal es:
Δ𝑉𝑚𝑖 =1
𝜆𝑖Δ𝑄𝑚𝑖
(54)
Se ve que, cuando la variación de potencia reactiva es a lo largo de la dirección
de 𝜉𝑖, la correspondiente variación de tensión es también a lo largo de la misma dirección
y la magnitud es amplificada por un factor que es igual a la magnitud de la inversa del
valor propio i-ésimo. En este sentido, la magnitud de cada valor propio 𝜆𝑖, determina la
debilidad de tensión modal correspondiente. Cuanto menor sea la magnitud de 𝜆𝑖, más
34
débil será la tensión modal correspondiente. Si |𝜆𝑖| = 0 la tensión modal i-ésima
colapsará porque cualquier cambio en esa potencia reactiva modal causará infinita
variación de tensión modal.
En (51) Δ𝑄 = 𝑒𝑘, donde 𝑒𝑘 tiene todos sus elementos cero, excepto que el 𝑘𝑡ℎ
uno es 1. Entonces:
Δ𝑉 = ∑𝜉𝑖 𝜂𝑖𝑘
𝜆𝑖
𝑖
(55)
Con 𝜂𝑖𝑘 el elemento 𝑘𝑡ℎ de 𝜂𝑖
Sensibilidad V-Q en el bus k.
∂V𝑘
∂Q𝑘= ∑
𝜉𝑖 𝜂𝑖𝑘
𝜆𝑖 = ∑
𝑃𝑘𝑖
𝜆𝑖
𝑖𝑖
(56)
Un sistema es estable si los valores propios del Jacobiano son todos positivos.
Aquellos que están acostumbrados a un pequeño análisis de estabilidad de señal
utilizando técnicas de auto valor pueden encontrar el requisito de que los valores propios
del jacobiano sean positivos para la estabilidad de tensión un poco confuso porque en el
estudio de la estabilidad de señal pequeña un auto valor con parte real positiva indica que
el sistema es inestable. La relación entre la estabilidad de tensión del sistema y los
valores propios del Jacobiano 𝐽𝑅 se entiende mejor relacionando los valores propios de 𝐽𝑅
con las sensibilidades V-Q. (Que debe ser positivo para la estabilidad), en cada bus.
Para fines prácticos, 𝐽𝑅, se puede tomar como una matriz simétrica y por lo tanto,
los valores propios de 𝐽𝑅 están cerca de ser puramente real. Si todos los valores propios
son positivos, 𝐽𝑅, es positivo definido, por lo que las sensibilidades V-Q también son
positivas, lo que indica que el sistema es estable. A medida que se hace hincapié en el
sistema, los valores propios de 𝐽𝑅 se hacen más pequeños hasta, que el punto crítico de
la estabilidad del tensión del sistema, al menos uno de los valores propios de 𝐽𝑅, se
convierte en cero.
Si algunos de los valores propios de 𝐽𝑅 son negativos. El sistema ha pasado el
punto crítico de la estabilidad de tensión porque los valores propios de 𝐽𝑅 cambian
continuamente de positivo a cero a negativo cuando el sistema está estresado.
Mientras que la magnitud de los valores propios puede proporcionar una medida
relativa de la proximidad a la inestabilidad. No proporcionan una medida absoluta debido
35
a la no linealidad del problema. Esto es análogo al factor de amortiguación en el análisis
de pequeña estabilidad de señal, que es indicativo del grado de amortiguación pero no es
una medida absoluta del margen de estabilidad. El sistema se acentúa gradualmente
hasta que se vuelve inestable y se aplica el análisis modal en cada punto de operación.
La aplicación del análisis modal es ayudar a determinar la estabilidad del sistema. Cuánta
carga extra o nivel de transferencia de potencia debe agregarse y, cuando el sistema
alcanza el punto crítico de estabilidad de tensión, determinar las áreas críticas de
estabilidad de tensión y describir el mecanismo de inestabilidad identificando elementos
que participan en cada modo.
4.2.3 Participación del bus.
El factor de participación del bus 𝑘 al modo 𝑖 se define como:
𝑃𝑘𝑖 = 𝜉𝑘𝑖 · 𝜂𝑖𝑘 (57)
De (56), 𝑃𝑘𝑖 indica la contribución del i-ésimo valor propio a la sensibilidad V-Q en
el bus 𝑘. Cuanto mayor sea el valor de 𝑃𝑘𝑖, más 𝜆𝑖 contribuirá a determinar la sensibilidad
de V-Q en el bus 𝑘. Para todos los valores propios pequeños, los factores de
participación en el bus determinan las áreas cercanas a la inestabilidad de la tensión.
4.2.4 Participación de ramas y generadores.
Cuando el cambio en la inyección de potencia reactiva es Δ𝑄𝑚𝑖, la variación de
tensión resultante es Δ𝑉𝑚𝑖 , y, la variación de ángulo i-ésima modal es:
Δ𝜃𝑚𝑖 = −𝐽𝑃𝜃−1 · 𝐽𝑃𝑉 · Δ𝑉𝑚𝑖 (58)
Con Δ𝑉 y Δ𝜃 conocidos, la variación lineal de pérdidas reactivas a través de la
rama de transmisión 𝐼𝑗, Δ𝑄𝑙𝑗𝑖, y la variación lineal de salida de potencia reactiva en el
generador 𝑔𝑘. Δ𝑄𝑔𝑘𝑖 Se puede calcular:
Δ𝑄𝑙𝑚𝑎𝑥𝑖 = 𝑚𝑎𝑥𝑗(Δ𝑄𝑙𝑗𝑖) (59)
36
Δ𝑄𝑔𝑚𝑎𝑥𝑖 = 𝑚𝑎𝑥𝑘(Δ𝑄𝑔𝑘𝑖) (60)
El factor de participación de la rama 𝑙𝑗 al modo i se define como:
𝑃𝑙𝑗𝑖 =Δ𝑄𝑙𝑗𝑖
Δ𝑄𝑙𝑚𝑎𝑥𝑖 (61)
Las participaciones en ramas indican, para cada modo, que las ramas consumen
la potencia reactiva para un cambio incremental dado en la carga reactiva. Las ramas con
𝑃𝑙𝑗𝑖 alto son aquellas que hacen que el modo 𝑖 sea débil. Por lo tanto, las participaciones
en las ramas proporcionan información valiosa con respecto a: (𝐼) ajustes en la mejora de
la rama de transmisión y redistribución del flujo de energía para aliviar la carga en esa
rama, y (𝐼𝐼) criterios para la selección de contingencia.
El factor de participación del generador 𝑔𝑘 al modo 𝑖 se define como,
𝑃𝑔𝑘𝑖 =Δ𝑄𝑔𝑘𝑖
Δ𝑄𝑔𝑚𝑎𝑥𝑖 (62)
Las participaciones de generadores indican, para cada modo, qué generadores
suministran la salida más reactiva en respuesta a un cambio incremental en la carga
reactiva del sistema. Los generadores con alto 𝑃𝑔𝑘𝑖 son importantes para mantener la
estabilidad del modo 𝑖.
4.2.5 Cálculo de valores propios y auto vectores del 𝐽𝑅.
No es práctico y necesario calcular todos los valores propios de un sistema con
varios miles de buses. El problema de utilizar el valor singular mínimo o el valor propio
mínimo como índice de estabilidad de la tensión radica en el hecho de que para un
sistema complejo grande generalmente hay más de un modo débil asociado con
diferentes partes del sistema. Como se subraya en un sistema, el modo asociado con el
valor singular mínimo o el auto valor mínimo del sistema del caso base puede no ser el
modo más problemático. Si se determinan los 𝑚 más pequeños valores propios de 𝐽𝑅.
Hemos obtenido los modos menos estables del sistema. Si el mayor de los valores
propios 𝑚, digamos modo 𝑚, se considera un modo suficientemente fuerte, los modos
37
que no se calculan se pueden despreciar porque se sabe que son más fuertes que el
modo 𝑚.
Se utiliza una técnica de iteración simultánea inversa implícita (IILSI) para calcular
los 𝑚 autovalores más pequeños de 𝐽𝑅 y vectores propios derecho e izquierdo asociados.
El algoritmo 𝐼𝐼𝐿𝑆𝐼 puede ser visto como una combinación del método de iteración
simultánea y el método de iteración inversa implícita.
El método de iteración simultánea de Lop-sided para calcular 𝑚 valores propios
con las magnitudes más grandes y los vectores propios derechos asociados para una
matriz real general 𝐴 se puede resumir como sigue.
a) Seleccionamos los vectores de prueba iniciales m 𝑅 = [𝑅1, 𝑅2, … . 𝑅𝑚].
b) Multiplicamos 𝑅 por 𝐴, 𝑆 = 𝐴𝑅.
c) Determinamos 𝐺 = 𝑅𝐻𝑅, 𝐻 = 𝑅𝐻𝑆.
d) Resolvemos 𝐺𝐵 = 𝐻 · 𝐵.
e) Hacer el auto- solución completa de B.
f) Determinamos 𝑊 = 𝑆𝑇, con el auto vector derecho de la matriz B.
g) Ponemos 𝑅 = 𝑊∗, donde 𝑊∗ está normalizado de tal manera que todos los
vectores tienen su elemento más grande igual a la unidad.
h) Comprobamos la convergencia comparando las dos últimas soluciones de 𝑅. Si
es convergente, pare. De lo contrario volver a 𝑏.
En la convergencia, los valores propios de 𝐵 dan los 𝑚 valores propios más
grandes de 𝐴, y 𝑅 contiene los vectores propios correspondientes. El mismo
procedimiento aplicado a 𝐴𝑇 proporciona los auto valores más grandes de 𝐴 y los
vectores propios izquierdos asociados.
Ya que estamos interesados en los valores propios más pequeños de 𝐽𝑅, que
corresponden a los autovalores más grandes de 𝐽𝑅−1, el algoritmo de iteración simultánea
debe aplicarse a 𝐽𝑅−1 . Para cada iteración, la pre multiplicación es:
𝑆 = 𝐽𝑅−1 · 𝑅 (63)
Recuerde
𝐽𝑅 = [𝐽𝑄𝑉 − 𝐽𝑄𝜃 − 𝐽𝑃𝜃−1 − 𝐽𝑃𝑉], que no es escaso debido a la reducción. Para aprovechar
plenamente la escasez de la matriz jacobiana, 𝑆 en (63) se obtiene resolviendo las
siguientes ecuaciones lineares dispersas,
[𝐽𝑃𝜃 𝐽𝑃𝑉
𝐽𝑄𝜃 𝐽𝑄𝑉] [
𝑧𝑆] = [
0𝑅]
(64)
38
El método 𝐼𝐼𝐿𝑆𝐼 se aplica a 𝐽𝑅 y |𝐽𝑅|𝑇 para calcular los valores propios más
pequeños y los correspondientes vectores propios derecho e izquierdo. Un enfoque
alternativo es resolver simultáneamente los vectores propios derecho e izquierdo. Que
requiere en cada bucle de iteración las soluciones de 𝐽𝑅 · 𝑆 = 𝑅 y |𝐽𝑅|𝑇𝑆′ = 𝑅′. Debido a
que 𝐽𝑅 está muy cerca de ser simétrica, la iteración para vectores propios izquierdos
converge muy rápidamente comenzando con los vectores propios correctos como
vectores de prueba. Además, pueden existir casos en los que sólo los vectores propios
correctos son de interés. Creemos, por lo tanto, que el enfoque lop-sided es más eficiente
y flexible que iterando en los vectores propios derecho e izquierdo simultáneamente.
4.3 MODELADO DE DISPOSITIVOS.
En esta sección, describimos brevemente los modelos de dispositivos clave del
sistema que, para el análisis de estabilidad de tensión, difieren de los modelos
convencionales de flujo de potencia. Dado que nuestro enfoque de análisis modal básico
se basa en la relación lineal potencia reactiva del sistema de estado estacionario. El
enfoque estará en la modificación de la matriz Jacobiana del sistema para incluir estos
nuevos modelos. La relación lineal entre potencia y tensión para cada dispositivo viene
dada por:
[∆𝑃𝑑
∆𝑄𝑑] = [
𝐴11 𝐴12
𝐴21 𝐴22] [
∆𝑉𝑑
∆𝜃𝑑]
(65)
Donde:
∆𝑃𝑑: Variación de potencia activa de salida.
∆𝑄𝑑: Variación de potencia reactiva de salida.
∆𝑉𝑑: Variación de magnitud de tensión.
∆𝜃𝑑: Variación del ángulo de la tensión.
Los términos propios de la matriz Jacobiana de red asociados a cada dispositivo
son modificados por 𝐴11, 𝐴12, 𝐴21 y 𝐴22 para formar la matriz Jacobiana del sistema.
39
4.3.1 Modelo del generador.
El modelo de máquina síncrono representa el límite de corriente de campo, límite
de corriente de inducido y bajo límite de excitación. Cuando se alcanza la corriente de
campo o el límite de corriente de armadura. La relación entre ∆𝑃, ∆𝑄 𝑦 ∆𝑉, ∆𝜃 están dadas
por las ecuaciones de la máquina sincrónica en estado estacionario. El límite inferior de
excitación se modela como un límite reactivo inferior constante.
Cuando un generador está funcionando normalmente en ninguno de los límites, el
modelo explica el efecto de inclinación del AVR. También se prevé la representación de
la compensación de carga (o caída de línea).
Para la mayoría de los estudios, las salidas de potencia activa del generador se
asumen constantes. Al estudiar las contingencias que resultan en pérdida de carga o
generación sin embargo, la potencia activa se ajusta utilizando un algoritmo de flujo de
potencia de respuesta del gobernador que tiene en cuenta la variación de frecuencia y las
características de gobernador de cada generador.
4.3.2 Modelo de carga.
La dependencia de la tensión de la carga activa y de la potencia reactiva puede
tener un gran impacto en la estabilidad de la tensión del sistema. La carga se modela
como la suma de varios componentes, cada uno de los cuales es una función
exponencial diferente del voltaje:
𝑃 = ∑𝑃0𝑖𝑉𝛼𝑖
𝑖
(66)
𝑄 = ∑𝑄0𝑖𝑉𝛽𝑖
𝑖
(67)
4.3.3 Modelo de motor de inducción.
Un motor de inducción es modelo que usa su circuito equivalente de estado
estacionario. Se supone la siguiente relación entre el par de carga y el deslizamiento (s):
40
𝑇𝐿 = 𝑇0(1 − 𝑠)𝑚 (68)
La relación linealizada entre P y Q y la tensión en una condición de
funcionamiento dada se pueden derivar fácilmente del circuito equivalente de la máquina
y de la característica de par / velocidad de carga. Si la condición de funcionamiento es tal
que la máquina se detiene, 𝑆 = 𝑙 y el motor se convierte en una carga de impedancia
constante.
4.3.4 Modelo SVC.
Hay tres regiones de operación con diferentes características de control de estado
estacionario que responden al cambio de tensión.
Control de región lineal:𝒬 = 𝐾(𝑉𝑅𝐸𝐹 − 𝑉).
Región de capacitancia constante: 𝒬 = 𝑌𝑚𝑎𝑥𝑉2.
Región de reactancia constante: 𝒬 = −𝑌𝑚𝑖𝑛𝑉2.
La característica lineal Q-V en diferentes regiones se utiliza para derivar los
elementos de las diagonales correspondientes de la matriz Jacobiana.
4.3.5 Modelo de dos terminales HVDC.
El modelo HVDC de estado estacionario utilizado incluye tres tipos de
características del convertidor. A saber, corriente continua constante con tensión
constante del inversor, ángulo de extinción constante 𝛾, y ángulo de encendido constante
𝛼.
4.3.6 Instantáneas de eventos después de una anomalía.
Los dispositivos de control de tensión tales como 𝑈𝐿𝑇𝐶 y reactores derivación
conmutable y condensadores funcionan discontinuamente. Y los retrasos de tiempo
asociados con sus operaciones son a menudo largos. La mejor manera de estudiar el
efecto de estos dispositivos. Sin pasar por la simulación de dominio de tiempo detallada,
41
es el llamado enfoque de instantáneas. Mediante la elección apropiada de modelos de
dispositivo, las condiciones del sistema en cualquier instante pueden ser aproximadas.
El análisis modal se puede aplicar para estudiar la estabilidad de tensión del
sistema inmediatamente después de la contingencia. Después de controles rápidos,
después de controles lentos y después de acciones del operador. Los efectos de los
𝑈𝐿𝑇𝐶 y los dispositivos de derivación conmutable en la matriz Jacobiana del sistema se
tienen en cuenta al formar la matriz 𝑌.
El enfoque de instantáneas también facilita la consideración de diferentes valores
de límites de corriente de campo del generador asociados con diferentes marcos de
tiempo después de una contingencia. Para las contingencias que resultan en pérdida de
generación o carga, permite la consideración de los flujos de energía de respuesta del
gobierno.
42
CAPÍTULO 5:
ÍNDICES DE ESTABILIDAD DE TENSIÓN
43
5. INDICES DE ESTABILIDAD DE TENSIÓN.
5.1. Introducción.
Es de vital importancia disponer de los índices de estabilidad de tensión para así
poder prever un posible colapso de tensión. Los índices pueden ser usados on-line u off-
line con el objetivo de auxiliar a los operadores a verificar el grado de seguridad de un
sistema con un posible colapso de tensión.
5.2. Índices de sensibilidad.
Se les llama con este nombre por su uso en varias empresas de energía a nivel
mundial para la detección de problemas de estabilidad de tensión. Dichos índices, en sus
inicios, fueron aprovechados para dar una predicción a problemas en el control de
tensión.
𝐹𝑆𝑇𝑖 = 𝑚𝑎𝑥𝑖 {𝑑𝑉𝑖
𝑑𝑄𝑖} (69)
Donde 𝐹𝑆𝑇 es el factor de sensibilidad de tensión. Si el generador 𝑖 se acerca a la
parte inferior de la curva 𝑄𝑉, el valor de 𝐹𝑆𝑇 se hace más grande y el cambio de signo
nos hace notar que tenemos anomalía en el control de tensión, lo que es conocido como
inestabilidad de tensión.
Seguidamente, 𝐹𝑆 o factor de sensibilidad puede ser definido para un sistema
cualquiera que se rija por la siguiente expresión 𝐹(𝑧, 𝜆).
𝐹𝑆 = ‖𝑑𝑍
𝑑𝜆‖ (70)
Para un valor grande de 𝐹𝑆 nos dice que tenemos inseguridad en el sistema en
relación con la eventualidad de que se produzca un colapso de tensión. Cuando decimos
que el sistema está muy cercano al parámetro 𝜆(Δ𝜆 → 0) tenemos que (𝑑𝑍
𝑑𝑥) → ±∞. Si
revisamos solo las tensiones del sistema, el resultante 𝐹𝑆𝑇 lo podemos definir como:
𝐹𝑆𝑇 = ‖𝑑𝑉
𝑑𝜆‖
(71)
44
Estos índices (𝐹𝑆𝑇 𝑦 𝐹𝑆) necesitan muy poco esfuerzo para ser calculados por
ordenador, además en sistemas pequeños nos dan la posibilidad de predecir la
proximidad al Punto de Máxima Carga (PMC). De lo contrario para sistemas de potencia
más grandes, estos índices no son muy sensibles a las variaciones en los sistemas. Así
que, la información que tenemos en relación con la eventualidad de una caída de tensión
no es muy fiable.
5.3 Valores singulares y propios.
5.3.1 Valores singulares.
Dicho valores se han estado usando en sistemas de potencia por causa del gran
uso de la descomposición orto normal del Jacobiano. Para aplicar estos valores
singulares al análisis de la caída de tensión debemos centrar nuestra atención en el
menor valor singular, que se hace cero en el punto de colapso de tensión.
Por lo general, la matriz del Jacobiano tiene las primeras derivadas de los restos
de potencia reactiva 𝑄(𝑧, 𝜆). En relación con los valores de tensión 𝑉 ∈ 𝑍. Entonces si
linealizamos las expresiones del estado permanente 𝐹(𝑧, 𝜆) = 0, en el punto de equilibrio
(𝑧0, 𝜆0) tenemos que:
Δ𝐹(𝑧, 𝜆) = 𝐽Δ𝑧 ⇒
⟹ [∆𝑃(𝛿, 𝑉, 𝜆)
∆𝑄(𝛿, 𝑉, 𝜆)] = [
𝑑𝑃
𝑑𝛿(𝑧0, 𝜆0)
𝑑𝑃
𝑑𝑉(𝑧0, 𝜆0)
𝑑𝑄
𝑑𝛿(𝑧0, 𝜆0)
𝑑𝑄
𝑑𝑉(𝑧0, 𝜆0)
] [Δ𝛿Δ𝑉
] = [𝐽1 𝐽2𝐽3 𝐽4
] [Δ𝛿Δ𝑉
] (72)
Si asumimos que ∆𝑃(𝑧, 𝜆) = 0 en punto de colapso de tensión:
∆𝑄(𝛿, 𝑉, 𝜆) = (𝐽4 − 𝐽3𝐽1−1𝐽2)Δ𝑉 = 𝐽𝑄𝑉Δ𝑉
(73)
Según la fórmula de Schur:
𝑑𝑒𝑡𝐽 = 𝑑𝑒𝑡𝐽1𝑑𝑒𝑡𝐽𝑄𝑉 (74)
45
Si no existen anomalías en la estabilidad del ángulo, es decir, 𝑑𝑒𝑡𝐽1 ≠ 0, la matriz
𝐽 se volverá singular siempre y cuando la matriz 𝐽𝑄𝑉 se vuelva también singular. Por lo
cual, los valores singulares de la matriz reducida se pueden usar para dar una solución
de la proximidad al colapso de tensión.
5.3.2 Valores propios.
Tanto los valores propios como los valores singulares, han sido utilizados en la
obtención del punto más cercano al punto de colapso. Para la matriz que hemos definido
anteriormente 𝐽𝑄𝑉, se desea llegar a valores y vectores propios reales que sean parecidos
a los vectores y valores singulares. De esta manera, los vectores propios ligados a
valores propios cercanos a cero se interpretan de igual forma que los vectores singulares
cercanos al PMC, en resumen, los valores que sean más altos del vector propio derecho
son las barras de tensión que tienen más posibilidades al colapso de tensión y los valores
grandes del vector izquierdo nos da la direcciones más sensibles a los cambios de
inyección de potencia.
Si hacemos una comparación entre los índices de los valores singulares y los
valores propios con relación a los factores de sensibilidad, dicha información la podemos
obtener en los dos cálculos teniendo el inconveniente de que los primeros tienen un
elevado costo computacional.
5.4 Margen de carga.
Si consideramos un punto de operación cualquiera, la suma adicional de la carga
que puede provocar un colapso de tensión en un modelo en concreto de aumento de la
misma, a esto le llamamos margen de carga. Dicho margen de carga es el índice más
elemental que se admite en el colapso de tensión.
Si elegimos una carga de un sistema para definirla como parámetro de carga, se
puede trazar una curva 𝑃𝑉 para el sistema, en este caso un margen de carga para un
colapso de tensión en una variación entre el lugar de operación y el extremo de la curva.
46
Existen varias formas de dar una definición del margen de carga. Una variación en
el valor de la carga puede ser medido o por la suma de las variaciones absolutas de la
potencia aparente, o la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las variaciones de
la potencia absoluta de la carga.
A continuación vamos a pasar a detallar una serie de ventajas y desventajas que
nos da el margen de cargas como índice para el colapso de tensión.
5.4.1 Ventajas del margen de cargas como índice.
Se dirige y de fácil compresión y manejo.
Solo necesita un modelo estático de un sistema de potencia.
Es un índice muy preciso que tiene en cuenta la no-linealidad además de los
límites del sistema.
Cuando hemos terminado con el cálculo del margen de carga, es muy fácil y
rápido obtener su sensibilidad comparándolo con otro parámetro de control del
sistema.
5.4.2 Desventajas del margen de cargas como índice.
A nivel de costo computacional es algo más caro que el uso de los índices que
usan solo información de la operación.
Necesita tener en cuenta la dirección del aumento de la carga.
El margen de carga puede ser calculado provocando aumentos en la carga y
recalculando en flujo de potencia en cada nuevo valor pos incremento hasta conseguir
llegar al final de la curva. Normalmente en la práctica esta idea se usa como en los
métodos directos y de continuación que se detallarán en los siguientes capítulos.
47
CAPÍTULO 6:
PUNTO DE COLAPSO
48
6. PUNTO DE COLAPSO.
6.1 Introducción.
Durante los últimos años se han adaptado y aplicado a la determinación de los
límites de carga de los sistemas de potencia varias metodologías para detectar
bifurcaciones silla-nodo en sistemas dinámicos que utilizan técnicas de análisis de estado
estacionario. En este trabajo se considerará que las bifurcaciones dinámicas silla-nodo o
puntos de colapso de tensión, son detectables buscando en el flujo de cargas únicamente
las singularidades del Jacobiano, ya que, bajo ciertas suposiciones, las bifurcaciones
silla-nodo de sistemas dinámicos ac/dc con restricciones algebraicas puede demostrarse
que ocurre cuando el correspondiente en Jacobiano del flujo de potencia se convierte en
singular.
Una alternativa fácil para encontrar los límites de carga es usar un flujo de
potencia convencional e ir aumentando gradualmente las cargas hasta que no exista
convergencia. Además de la necesidad de intervenir manualmente, este enfoque a
menudo sufre de dificultades de convergencia y nunca es totalmente seguro donde se
sitúan los límites. Además, el método de flujo de cargas convencional o caso base,
generalmente no es capaz de encontrar soluciones que sean fiables.
El método del punto de colapso (POC) es una manera de realizar un cálculo
directo de estos límites. Se ha demostrado que este método es fiable desde el punto de
vista computacional y está bien adaptado para determinar la proximidad al colapso de
tensión en las redes dinámicas ac/dc. Los métodos de continuación han demostrado ser
útiles para el cálculo de las bifurcaciones en los sistemas de corriente alterna. En este
trabajo se va a hacer un estudio o se describirá brevemente estos dos métodos.
6.2 Punto de colapso.
Un sistema dinámico general no-lineal de un parámetro puede ser representado
por el campo vectorial:
�̇� = 𝑓(𝑧, 𝜆)
(75)
Donde 𝑧 ∈ ℝ y 𝜆 ∈ ℝ. Este sistema presenta una bifurcación en el punto de
equilibrio (𝑧0, 𝜆0) cuando la linealización correspondiente (Jacobiana) es singular. Las
bifurcaciones silla-nodo son muy típicas en la práctica y se caracterizan por el estado de
49
equilibrio Jacobiano 𝐷𝑧𝑓(𝑧0, 𝜆0) que tiene un valor propio cero simple y único, con el auto
vector derecho distinto de cero 𝑣 y un autovector izquierdo 𝑤. Esta condición puede
resumirse mediante el conjunto de ecuaciones siguientes. La ecuación (76) corresponde
el auto vector propio derecho y la ecuaciones (77) al auto vector propio izquierdo:
𝑓(𝑧, 𝜆) = 0
𝐷𝑧𝑓(𝑧0, 𝜆0)𝑣 = 0
‖𝑣‖ ≠ 0
(76)
𝑓(𝑧, 𝜆) = 0
𝐷𝑧𝑇𝑓(𝑧0, 𝜆0)𝑤 = 0
‖𝑤‖ ≠ 0
(77)
La solución de estas ecuaciones produce un punto de bifurcación silla-nodo. En este
trabajo demostramos este concepto usando las ecuaciones de flujo de potencia
ordinarias para 𝑓. Las bifurcaciones que se calculan para las ecuaciones de flujo de carga
pueden estar directamente relacionadas con bifurcaciones de ciertas ecuaciones
dinámicas de la forma (75). Estas ecuaciones dinámicas incluyen la dinámica de
oscilación del generador, que dependen sólo de la frecuencia y el balance de potencia
activa y reactiva en la carga. Algunos modelos dinámicos del sistema de energía
(particularmente aquellos con modelos de generadores detallados) no tienen esta forma.
En estos casos, el uso de las ecuaciones de flujo de carga estándar no es apropiado. Sin
embargo, nuestro enfoque se puede extender sin dificultad si el lado derecho de las
ecuaciones dinámicas se sustituye por las ecuaciones de flujo de carga. También
reconocemos que algunas características del modelado de la carga son cruciales en
calcular puntos del colapso de tensión. La atención se limita a cargas cuyo
comportamiento incremental es el de los modelos clásicos de 𝑃𝑄 constantes. Una vez
más, el enfoque se extiende fácilmente para abarcar los cambios en los modelos de
carga. Los modelos de carga apropiados para los cálculos de colapso de tensión siguen
siendo controvertidos. Para los modelos dinámicos del sistema de potencia, el parámetro
𝜆 suele representar un aumento de carga en toda la red. Se pueden resolver las
ecuaciones (76) o (77) para determinar el factor de carga máximo (𝜆0) y el punto de
colapso de tensión (𝑧0). Las ecuaciones (76) son utilizadas por Seydel para determinar
las bifurcaciones de silla-nodo de sistemas dinámicos generales, y se han aplicado al
análisis de estabilidad de tensión de sistemas de corriente alterna. Aquí la condición que
no es nula para el vector propio izquierdo, ‖𝑤‖ ≠ 0, es reemplazada por la condición de
50
bifurcación de silla-nodo (78) representada a continuación. En todos estos casos se
puede demostrar que el Jacobiano no es singular en el punto de bifurcación. Esto hace
que estos métodos sean numéricamente atractivos.
𝑤𝑇𝜕𝑓
𝜕𝜆|(𝑧0,𝜆0)
≠ 0 (78)
Estos POC o métodos directos tienen la ventaja de producir información de vectores
propios derecha e izquierda. El auto vector derecho puede usarse para detectar variables
(áreas) en la red propensa al colapso de tensión, mientras que el auto vector izquierdo
puede usarse para calcular una estrategia de control óptima para evitar bifurcaciones de
silla-nodo.
Cuando estos métodos se aplican a sistemas ac/dc de tamaño real, hay varios
factores que deben tenerse en cuenta para obtener resultados consistentes y fiables. Las
buenas suposiciones iniciales para las variables del sistema, particularmente los autos
vectores, son esenciales, de otra manera un acercamiento de Newton-Raphson para
obtener la solución a las ecuaciones de POC da resultados indeseables o no converge.
Esto se hace importante para sistemas grandes con un número arbitrario de límites de
variable de estado ac / dc.
El hecho de hacer cumplir los límites del sistema AC no presenta grandes
dificultades si las variables del sistema, incluida la potencia reactiva en las barras PV del
generador, están explícitamente representadas en las ecuaciones del flujo de potencia.
Sin embargo, cuando una variable alcanza un límite operacional en el enlace HVDC, el
sistema cambia el modo de control, el cual puede ser modelado por un cambio en las
variables de estado usadas para simular el comportamiento de estado constante de DC.
Debe diseñarse un esquema para representar con precisión la lógica de control
dinámico en ambas estaciones de convertidor.
𝑎𝑟𝑚, 𝐼𝑑𝑁,
𝛾𝑖𝑚, 𝑉𝑑𝑖𝑁
𝛼𝑟𝑁, 𝐼𝑑𝑁,
𝛾𝑖𝑚, 𝑉𝑑𝑖𝑁
𝛼𝑟𝑀, 𝐼𝑑𝑁,
𝛾𝑖𝑚, 𝑉𝑑𝑖𝑁
𝑎𝑟𝑚, 𝛼𝑟𝑁,
𝐼𝑑𝑁, 𝑎𝑖
SHUT DOWN
51
Las anteriores representan la lógica de transición utilizada para simular la
conmutación entre diferentes modos de control para el rectificador y el inversor cuando
cambia la tensión del bus de CA a cada lado de la línea de CC. Los cuadros representan
las variables de control activo de cuatro DC. También es posible controlar, por ejemplo, 𝑄
en el inversor en lugar de 𝛾, o controlar 𝑃 en el rectificador en lugar de 𝐼𝑑. En ambos
casos, el control se realiza por medio de un lazo externo. El control de 𝑄, en particular,
tiene la ventaja de ayudar a regular la tensión alterna en la vecindad del inversor. Sin
embargo, cuando el sistema se aproxima a un punto extremo, es más que probable que
tanto la posición de derivación del inversor 𝑎𝑖 como el ángulo de extinción 𝛾𝑖 se empujen
hasta sus límites para proporcionar la máxima cantidad de soporte reactivo posible.
Esto resulta en la conmutación del modo 𝑄 constante y en el modo constante 𝛾,
como se muestra en la segunda figura. De este modo, si el control de la potencia reactiva
está representado o no, los límites del punto de colapso encontrados son probablemente
idénticos. Para que el control de potencia, sustituya la corriente alterna por corriente
continua en ambas figuras. La notación en estas cifras es la siguiente: 𝑟 representa
rectificador e 𝑖 para inversor; 𝛼 es el ángulo de disparo y 𝛾 es el ángulo de extinción; 𝐼𝑑 es
la corriente de enlace CC y 𝑉𝑑 es la tensión CC correspondiente; 𝑁 representa un valor
nominal, 𝑀 es un valor máximo, y 𝑚 es un valor mínimo.
Las variables de estado 𝑧 se inicializan a los valores obtenidos a partir de una
solución de flujo de potencia de caja base. Las estimaciones iniciales para los vectores
propios 𝑣 y 𝑤 se obtienen a partir de 4 o 5 iteraciones del método de potencia inversa
𝛼𝑟𝑁, 𝐼𝑑𝑁,
𝛾𝑖𝑚, 𝑎𝑖𝑚
𝛼𝑟𝑁, 𝐼𝑑𝑁,
𝛾𝑖𝑚, 𝑉𝑑𝑖𝑁
𝛼𝑟𝑁, 𝐼𝑑𝑁,
𝛾𝑖𝑚, 𝑎𝑖𝑀
𝑎𝑟𝑚, 𝛼𝑟𝑚,
𝛾𝑖𝑚, 𝑎𝑖𝑀
𝛼𝑟𝑀, 𝐼𝑑𝑁,
𝛾𝑖𝑚, 𝑎𝑖𝑚
𝑎𝑟𝑀, 𝛼𝑟𝑚,
𝐼𝑑𝑁, 𝑎𝑖𝑚
SHUT DOWN
52
aplicadas al flujo de potencia inicial Jacobiano. El parámetro 𝜆 se ajusta inicialmente a
cero. Estas conjeturas iniciales no son confiables cuando se alcanzan los límites. Para
mejorar las características de convergencia del método, se calculan nuevos valores para
los vectores propios cada vez que el sistema ac / dc alcanza un límite.
Esto se hace aplicando unas pocas iteraciones del método de potencia inversa al
Jacobiano del nuevo conjunto de ecuaciones ac/dc evaluadas en el punto de
conmutación. Para sistemas lejos del punto de bifurcación, las suposiciones iniciales
descritas anteriormente no son suficientes para obtener resultados consistentes. Al
enfatizar inicialmente el sistema más allá del caso base se puede resolver este problema.
Esta carga inicial puede calcularse utilizando el vector tangente a la rama del sistema.
Esta tangente Vector, 𝑑𝑧 / 𝑑𝜆, se puede encontrar por una factorización y una solución de
repetición del flujo de energía de la caja base Jacobiano,
𝐷𝑧𝑓(𝑧1, 0) =𝑑𝑧
𝑑𝜆|1 , suponiendo un patrón de carga lineal,
Así,
𝑓(𝑧, 𝜆) = 0 ⇒ 𝑑𝑓
𝑑𝜆(𝑧1, 0) =
𝜕𝑓
𝜕𝑧|1
𝑑𝑧
𝑑𝜆|1+
𝜕𝑓
𝜕𝜆|1
= 0
𝑑𝑧
𝑑𝜆= −𝐷𝑧
−1𝑓(𝑧1, 0)𝜕𝑓
𝜕𝜆
(79)
La cantidad de carga añadida proviene de la normalización del vector tangente, es
decir,
∆𝜆 =𝑘
‖𝑑𝑧/𝑑𝜆‖1
(80)
∆𝑧 = ∆𝜆 𝑑𝑧
𝑑𝜆 (81)
La ecuación (81) se usa para calcular una conjetura inicial (𝑧1 + ∆𝑧) para resolver
el problema de flujo de potencia en el nuevo ajuste de carga. Las pruebas demuestran
que no se requiere una solución exacta a este nuevo flujo de potencia para obtener un
conjunto de buenos valores iniciales para las variables POC.
La constante de escalado 𝑘 en las ecuaciones (80) denota la carga relativa del
sistema. Cuando 𝑘 = 0, el sistema está en condiciones de caso base. Como se
mencionó anteriormente, por lo general es mejor iniciar la solución para algunos 𝑘 > 0.
53
La elección inicial de 𝑘 afecta el rendimiento del método. Esta elección no afecta al
resultado final. Una elección óptima a priori para 𝑘 inicial para todos los casos no existe.
Sin embargo, los experimentos con una variedad de sistemas prácticos sugieren que el
grado de capacidad de carga de un sistema más allá de un caso base "normal" aumenta
linealmente con el número de generadores en el sistema. Es decir, cuantos más
generadores disponga un sistema para el envío, mayor será la capacidad de carga. La
siguiente ecuación para un 𝑘 inicial dio buenos resultados en la mayoría de nuestros
experimentos y permitió soluciones confiables.
𝑘 = √𝑛𝑔
(82)
Donde 𝑛𝑔, es el número de generadores. Si algunos de los generadores en el
sistema están en su límite en el caso base, este número debe ser reducido. Se probaron
varias variantes de esta idea. La experiencia con el método POC ha demostrado que las
ecuaciones de vectores propios izquierdos producen mejores resultados que su
homólogo vector derecho.
54
CAPÍTULO 7:
MÉTODO DE CONTINUACIÓN
55
7. MÉTODO DE CONTINUACIÓN.
7.1 Introducción.
En los últimos años, el aumento de cargas de máxima demanda y energía
transferidas entre servicios ha elevado la preocupación sobre la seguridad de la tensión
del sistema. El colapso de tensión ha sido considerado el responsable de varios
disturbios importantes y se están realizando numerosos esfuerzos de investigación en un
intento por comprender con más detalle los fenómenos de este colapso de tensión. Una
gran parte de esta investigación se centra en los aspectos referidos al estado
estacionario de estabilidad de tensión. Es más, numerosos autores han propuesto índices
de estabilidad de tensión basados en algún tipo de análisis de flujo de cargas. Un
inconveniente de esta investigación es que el Jacobiano de un flujo de cargas en el
método de Newton-Raphson se vuelve singular en el límite de estabilidad de tensión en
estado estacionario. De hecho, este límite de estabilidad, también llamado punto crítico,
se define frecuentemente como el punto donde el flujo de potencia Jacobiano es singular.
Como resultado, los intentos de resolver el flujo de cargas cercanos al punto
crítico son muy propensos a divergencia y error. Por este motivo, el cálculo de los
algoritmos de doble precisión y “anti-divergencia” se han utilizado en los intentos de
superar la inestabilidad.
A continuación detallaremos como se puede eludir la singularidad del Jacobiano
por medio de una reformulación de las ecuaciones de un flujo de potencia convencional y
la aplicación de una técnica de conmutación parametrizada localmente. Durante el “flujo
de cargas de continuación” resultante, el conjunto de las ecuaciones reformuladas
permanece acondicionado así que la divergencia y el error debido a un Jacobiano
singular se elimina. Como resultado, se pueden usar conmutaciones de precisión única
para obtener soluciones del flujo de cargas cercanas al punto crítico.
El método de continuación empleado en este trabajo está bien documentado en
técnicas utilizadas para encontrar soluciones a un conjunto de ecuaciones no lineales.
Una aplicación particular de este método ha sido en ingeniería civil donde las soluciones
de equilibrio de las ecuaciones que describen una estructura han sido estudiadas bajo un
cambio en un parámetro de intensidad de carga.
El método utilizado en este trabajo es, sin embargo, diferente del tipo de
homotopía de continuación utilizado para el flujo de cargas óptimo, ya que la singularidad
del Jacobiano sigue siendo un problema en el enfoque de homotopía.
56
Desde su concepción, el propósito del flujo de cargas de continuación fue
encontrar un continuo de soluciones para un escenario de cambio de carga dado.
Un éxito fue la habilidad de haber encontrado un conjunto de soluciones desde un
caso base hasta el punto crítico en un solo programa de ejecución. Desde entonces,
algunos resultados intermedios del proceso de continuación han sido reconocidos para
proporcionar una información muy valiosa sobre la estabilidad de tensión del sistema y
las áreas propensas al colapso de tensión.
El principio general del flujo de cargas de continuación es muy simple. Emplea un
esquema predictor-corrector para encontrar una ruta de soluciones de un conjunto de
ecuaciones de flujo de cargas que han sido reformuladas para incluir un parámetro de
carga. Como podemos ver en la siguiente imagen, este método parte de una solución
conocida y utiliza un predictor tangente para estimar una solución siguiente que
corresponde a un valor diferente del parámetro de carga. Esta estimación se corrige con
la misma técnica de Newton-Raphson empleada para un flujo de cargas convencional. La
parametrización local que se ha hecho referencia anteriormente proporciona un canal
para identificar cada punto a lo largo de la trayectoria de la solución y juega un papel muy
importante evitando la singularidad del Jacobiano.
Figura 7.1 Frontera de región optima en el plano p-q.
57
7.2 Reformulación de las ecuaciones.
Para poder aplicar el método de continuación parametrizado al problema de flujo
de cargas se debe insertar como se dijo anteriormente un parámetro de carga en las
ecuaciones. Aunque tenemos diferentes formas de hacerlo esta es una de ellas
Primero, 𝜆 representa el parámetro de carga de manera que:
0 ≤ 𝜆 ≤ 𝜆𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 (83)
Donde 𝜆 = 0 corresponde con la carga base y 𝜆 = 𝜆𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 corresponde con la
carga crítica. Lo que necesitamos es incorporar 𝜆 en:
0 = 𝑃𝐺𝑖 − 𝑃𝐿𝑖 − 𝑃𝑇𝑖 , 𝑃𝑇𝑖 = ∑𝑉𝑖𝑉𝑗𝑦𝑖𝑗 cos(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝑣𝑖𝑗)
𝑛
𝑗=1
(84)
0 = 𝑄𝐺𝑖 − 𝑄𝐿𝑖 − 𝑄𝑇𝑖 , 𝑄𝑇𝑖 = ∑𝑉𝑖𝑉𝑗𝑦𝑖𝑗 sin(𝛿𝑖 − 𝛿𝑗 − 𝑣𝑖𝑗)
𝑛
𝑗=1
(85)
Para cada rama 𝑖 de un sistema 𝑛, donde los subíndices 𝐿, 𝐺 𝑦 𝑇 representan las
ramas de carga, generación e inyección respectivamente.
Las tensiones de las ramas 𝑖 y 𝑗 son 𝑉𝑖∠𝛿𝑖 y 𝑉𝑗∠𝛿𝑗 respectivamente e 𝑦𝑖𝑗∠𝑣𝑖𝑗 es el
elemento (𝑖, 𝑗)𝑡ℎ de 𝑌𝐵𝑈𝑆.
Para simular un cambio de carga, los términos 𝑃𝐿𝑖 y 𝑄𝐿𝑖 deben ser modificados.
Esto podemos hacerlo dividiendo cada término en dos componentes. Una de las
componentes corresponderá a la carga original en la rama 𝑖 y el otro componente
representará un cambio de carga provocado por un cambio en el parámetro de carga 𝜆.
Así que
𝑃𝐿𝑖 = 𝑃𝐿𝑖𝑜 + 𝜆(𝑘𝐿𝑖𝑆∆𝑏𝑎𝑠𝑒 cos𝜓𝑖)
𝑄𝐿𝑖 = 𝑄𝐿𝑖𝑜 + 𝜆(𝑘𝐿𝑖𝑆∆𝑏𝑎𝑠𝑒 sin𝜓𝑖) (86)
Donde
𝑃𝐿𝑖 , 𝑄𝐿𝑖 – Carga original en la rama 𝑖, activa y reactiva respectivamente.
𝑘𝐿𝑖 - Multiplicador para designar la tasa de cambio de carga en la rama 𝑖 como 𝜆.
𝜓𝑖 -Ángulo del factor de potencia del cambio de carga en la rama 𝑖.
𝑆∆𝑏𝑎𝑠𝑒 - Una cantidad dada de potencia aparente que se elige para proporcionar la
escala apropiada de 𝜆.
58
Además, el término de generación de potencia activa puede modificarse para
𝑃𝐺𝑖 = 𝑃𝐺𝑖𝑜(1 + 𝜆𝑘𝐺𝑖) (87)
Donde 𝑃𝐺𝑖𝑜 es la generación activa en la rama 𝑖 en el caso base y 𝑘𝐺𝑖 es una
constante usada para especificar la tasa de cambio en la generación como 𝜆 varía.
Si estas nuevas expresiones se sustituyen en las ecuaciones de flujo de cargas,
tenemos como resultado:
0 = 𝑃𝐺𝑖𝑜(1 + 𝜆𝑘𝐺𝑖) − 𝑃𝐿𝑖𝑜 − 𝜆(𝑘𝐿𝑖𝑆∆𝑏𝑎𝑠𝑒 cos𝜓𝑖) − 𝑃𝑇𝑖
0 = 𝑄𝐺𝑖𝑜 − 𝑄𝐿𝑖𝑜 − 𝜆(𝑘𝐿𝑖𝑆∆𝑏𝑎𝑠𝑒 sin𝜓𝑖) − 𝑄𝑇𝑖
(88)
Destacar que los valores de 𝑘𝐿𝑖, 𝑘𝐺𝑖 y 𝜓𝑖 se pueden especificar de forma exclusiva
para cada rama del sistema. Esto permite una variación muy específica de la carga y la
generación como cambia 𝜆.
7.3 Aplicación del método de continuación.
En textos anteriores, las ecuaciones de flujo de cargas para una rama en
particular 𝑖 se reformularon para contener un parámetro de carga 𝜆. El siguiente paso es
aplicar el método de continuación al sistema de ecuaciones modificadas del flujo de
cargas. Si 𝐹 se usa para denotar el conjunto de ecuaciones, el problema puede
expresarse como:
𝐹(𝛿, 𝑉, 𝜆) = 0, 0 ≤ 𝜆 ≤ 𝜆𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜 (89)
Donde 𝛿 representa el ángulo del vector tensión en la rama y 𝑉 representa el
módulo del vector tensión en la rama. Como se ha mencionado, la solución del caso base
(𝛿0, 𝑉0, 𝜆0) se conoce a través de un flujo de cargas convencional y la trayectoria de la
solución se busca en un intervalo de 𝜆. En general, la dimensión de 𝐹 será 2𝑛1 + 𝑛2,
donde 𝑛1 y 𝑛2 son el número de ramas P-Q y P-V respectivamente.
59
Para dar solución al problema, el método de continuación parte de una solución
conocida y utiliza un esquema predictor-corrector para encontrar nuevas soluciones a
diferentes niveles de carga. Mientras que el corrector no es nada más que un flujo de
cargas ligeramente modificado de Newron-Raphson, el predictor es totalmente único de
cualquier cosa encontrada en un flujo de cargas convencional y merece una atención
especial.
7.4 Prediciendo la solución.
Cuando tengamos una solución base (𝜆 =0), se puede hacer una predicción de la
siguiente solución tomando un tamaño de paso adecuado en la dirección tangente a la
trayectoria de la solución. Por lo cual, la primera tarea en este proceso es la de calcular el
vector tangente. Este cálculo del vector tangente se obtiene tomando primero la derivada
en ambos lados de las ecuaciones de flujo de cargas.
𝑑 [𝐹(𝛿, 𝑉, 𝜆)] = 𝐹𝛿𝑑𝛿 + 𝐹𝑉𝑑𝑉 + 𝐹𝜆𝑑𝜆 = 0 (90)
Factorizando
[𝐹𝛿 𝐹𝑉 𝐹𝜆] [𝑑𝛿𝑑𝑉𝑑𝜆
] = 0 (91)
En el lado izquierdo de esta ecuación podemos encontrar una matriz de derivadas
parciales multiplicada por un vector de diferenciales. El primero es el flujo de carga
convencional aumentado por una columna (𝐹𝜆), mientras que el último término es el
vector tangente buscado.
Hay, sin embargo, una barrera importante a superar antes de que se pueda
encontrar una solución al vector tangente. El problema aparece del hecho de que se
añadió un desconocimiento adicional cuando se insertó 𝜆 en las ecuaciones de flujo de
cargas, pero el número de ecuaciones permaneció sin cambios. Por lo tanto es necesaria
una ecuación más.
Dicho problema se puede resolver eligiendo una magnitud distinta de cero (por
ejemplo uno) para uno de los componentes del vector tangente. En otras palabras, si 𝑡 se
utiliza para definir el vector tangente;
60
𝑡 = [𝑑𝛿𝑑𝑉𝑑𝜆
], 𝑡𝑘 = ±1 (92)
Esto resulta
[𝐹𝛿 𝐹𝑉 𝐹𝜆
𝑒𝑘] [𝑡] = [
0±1
] (93)
Donde 𝑒𝑘 en un vector de fila de dimensiones apropiadas con todos los elementos
igual a cero excepto 𝑘𝑡ℎ, que es igual a uno. Si el índice 𝑘 se elige correctamente,
dejando que 𝑡𝑘 = ±1 impone una norma distinta de cero en el vector tangente y garantiza
que el Jacobiano no será singular en el punto crítico. Si +1 o −1 se utiliza depende de
cómo la variable de estado 𝑘𝑡ℎ esté cambiado a medida que se está rastreando la ruta de
solución. Si está aumentado se debe usar +1 y si está disminuyendo se debe usar un
−1. Una vez que el vector tangente se ha encontrado resolviendo (68), la predicción se
puede hacer como sigue:
[𝛿∗
𝑉∗
𝜆∗] = [
𝛿𝑉𝜆] + 𝜎 [
𝑑𝛿𝑑𝑉𝑑𝜆
] (94)
donde " ∗ " denota la solución prevista para un valor posterior de 𝜆 (carga) y 𝜎 es
un escalar que designa el tamaño del paso. El tamaño del paso debe ser elegido de
modo que la solución predicha esté dentro del radio de convergencia del corrector.
Aunque se puede utilizar una magnitud constante de 𝜎 en todo el proceso de
continuación.
7.5 Parametrización y el corrector.
Ya que se ha hecho una predicción, es necesario un método para corregir la
solución aproximada. En realidad, la mejor manera de presentar este corrector es ampliar
la parametrización, que esto es de vital importancia para el proceso.
Cada técnica de continuación tiene un esquema de parametrización particular. La
parametrización proporciona un método para identificar cada solución a lo largo de la
61
trayectoria que se está trazando. El esquema utilizado en este documento se denomina
parametrización local.
En la parametrización local, el conjunto original de ecuaciones es aumentado por
una ecuación que especifica el valor de una de las variables de estado. En el caso de las
ecuaciones de flujo de cargas reformuladas, esto significa especificar una magnitud
tensión de rama, un ángulo de tensión de rama o el parámetro de carga 𝜆. En forma de
ecuación puede ser expresado como:
𝑥 = [𝛿𝑉𝜆] , 𝑥 ∈ 𝑅2𝑛1+𝑛2+1
𝑥𝑘 = 𝜂
(95)
Donde 𝜂 es un valor apropiado para el elemento de 𝑘𝑡ℎ de 𝑥. Entonces el nuevo
conjunto de ecuaciones sería
[𝐹(𝑥)
𝑥𝑘 − 𝜂] = 0
(96)
Una vez que se ha elegido un índice 𝑘 adecuado y un valor de 𝜂, se puede utilizar
un método de flujo de cargas de Newton-Raphson ligeramente modificado para resolver
el conjunto de ecuaciones. Esto da como resultado el corrector necesario para modificar
la solución predicha encontrada en el apartado anterior.
En realidad, el índice 𝑘 utilizado en el corrector es el mismo que el utilizado en el
predictor y 𝜂 será igual a 𝑥𝑘∗ , el valor predicho de 𝑥𝑘. Así, la variable de estado 𝑥𝑘 se
denomina parámetro de continuación. En el predictor se hace que tenga un cambio
diferencial distinto de cero (𝑑𝑥𝑘 = 𝑡𝑘 = ±1) y en el corrector se especifica su valor para
que se puedan encontrar los valores de otras variables de estado. Entonces, ¿cómo se
sabe qué variable de estado se debe utilizar como parámetro de continuación?
62
7.6 Eligiendo el parámetro de continuación.
Respondiendo a la pregunta anterior cabe decir que hay diferentes maneras de
explicar la elección apropiada del parámetro de continuación. Matemáticamente, debe
elegirse la variable de estado que tiene la mayor componente de vector tangente.
Sencillamente, esto corresponde a la variable de estado que tiene la mayor tasa de
cambio cerca de la solución dada. En el caso de un sistema de potencia, el parámetro de
carga 𝜆 es posiblemente es la mejor opción cuando se parte de la solución base. Esto es
cierto si el caso base se caracteriza por una carga normal o ligera. Bajo estas
condiciones, los ángulos y magnitudes de tensión permanecen constantes bajo el cambio
de carga. Por otra parte, una vez que la carga se ha incrementado por una serie de
etapas de continuación y la trayectoria de solución se aproxima al punto crítico, las
magnitudes y ángulos de tensión notarán cambios significativos. En este punto 𝜆 sería
una mala elección de parámetro de continuación ya que puede cambiar sólo una
pequeña cantidad en comparación con las otras variables de estado. Por este motivo, la
elección del parámetro de continuación debe ser reevaluada en cada paso. Una vez que
se ha elegido el primer paso, una buena manera de manejar sucesivos pasos es usar:
𝑥𝑘: |𝑡𝑘| = 𝑚𝑎𝑥{|𝑡1|, |𝑡2|, … |𝑡𝑚|} (97)
Donde 𝑡 es el vector tangente con una dimensión correspondiente 𝑚 =
2𝑛1, + 𝑛2 + 1 y el índice 𝑘 corresponde a la componente del vector tangente que es
máxima. Cuando se elige el parámetro de continuación, se debe anotar el signo de su
componente tangente correspondiente para que el valor apropiado de +1 𝑜 − 1 se pueda
asignar a 𝑡𝑘, en el cálculo vectorial tangente posterior.
7.7 El punto crítico.
En último lugar, lo que queda por hacer es comprobar si el punto crítico se ha
pasado. Esto se puede hacer sencillamente si se tiene en cuenta que el punto crítico es
donde la carga (y por lo tanto 𝜆) alcanza un máximo y comienza a disminuir. Debido a
esto, la componente tangente correspondiente a 𝜆 (es decir, 𝑑𝜆) es cero en el punto
crítico y es negativa más allá del punto crítico. Entonces, una vez que ya se ha calculado
el vector tangente en la etapa de predicción, el signo de la componente 𝑑𝜆 revelerá si se
ha pasado o no el punto crítico.
63
INICIO
FLUJO DE
POTENCIA
CONVENCIONAL
ESPECIFICAR EL
PARAMETRO DE
CONTINUACION
CALCULAR
VECTOR
TANGENTE
¿PUNTO
CRÍTICO? STOP
ELEGIR
PARAMETRO DE
CONTINUACION
SOLUCION DEL
PREDICTOR
EJECUTAR LA
CORRECCION
NO
SI
7.8 Resumen del proceso.
Ahora que el flujo de cargas de continuación ha sido descrito con cierto detalle, un
resumen del proceso en este flujograma puede resultar bastante útil.
64
CAPÍTULO 8:
CÁLCULO DE LA CONDICIÓN DE CARGA CRÍTICA
65
8. CÁLCULO DE LA CONDICIÓN DE CARGA CRÍTICA CON LA CURVA DE LA NARIZ
USANDO EL MÉTODO DE CONTINUACIÓN DE HOMOTOPÍA
8.1. INTRODUCCIÓN.
Después de varias interrupciones importantes relacionadas con colapsos de
tensión, la inestabilidad de la tensión se ha convertido en algo muy preocupante para las
compañías eléctricas. Sin embargo, este fenómeno no es nuevo, porque el entorno del
sistema eléctrico actual ha obligado a los sistemas a operar cada vez más cerca de los
límites de estabilidad de tensión. En consecuencia, los sistemas deben tener especial
atención para evitar el colapso.
La mayoría de los estudios anteriores trataron sistemas bajo condiciones de carga
y generación. Tales enfoques no requieren un patrón o escenario generador de carga. En
consecuencia, el cálculo de los indicadores es relativamente fácil. Sin embargo, estos
indicadores podrían no proporcionar información suficiente para las personas encargadas
de planificar en el sistema o los operadores de los servicios públicos. Esto se debe a que
la evaluación de los indicadores calculados se confía a las empresas de servicios
públicos. Suponiendo que un indicador tiene un valor (por ejemplo, 𝑠 = 0,6 0 ≤ 𝑠 ≤ 1).
No podemos imaginar si este sistema es seguro sin estudios de casos extensos, como
Fischl señaló.
El intento de detectar la condición de punto crítico, es un enfoque alternativo para
cubrir este punto débil. El escenario carga/generación desde el punto de funcionamiento
hasta el punto crítico es indispensable para este nuevo enfoque. Debido a esto, sin
embargo, el punto crítico obtenido debe ser vívido para propósitos prácticos. Además del
punto crítico, el proceso de disminución de tensión proporciona una información visual.
El lado inferior de la curva de nariz relacionado con una solución de flujo de carga
múltiple inferior puede no tener significado práctico, pero proporciona una buena
verificación del PMC. En consecuencia, la curva de nariz mostrada en la Fig. 1, es la más
usada por los planificadores del sistema de potencia y por los operadores. Parece
bastante fácil dibujar la curva usando flujos de carga sucesivos, pero el proceso es
agotador e ineficaz. En particular, deben superarse las dificultades numéricas causadas
por la singularidad de la matriz Jacobiana alrededor del punto crítico.
Este trabajo presenta un nuevo enfoque para el cálculo de la curva de la nariz y la
condición de carga crítica. Este enfoque se basa en el Homotopy Continuation Method,
que es un método para encontrar la solución deseada de una ecuación simultánea no
66
lineal. Las principales características del método propuesto en este documento son las
siguientes:
Un parámetro 𝑡 de homotopía, que implica crecimiento de carga y
generación, se introduce en la fórmula de flujo de carga basada en
Newton-Raphson. La expresión 𝑌𝑠(𝑡) = 𝑌𝑠𝑜 + 𝑡 𝑌𝑑 describe el patrón de
carga como lineal sobre la carga base 𝑌𝑠𝑜, con el parámetro de homotopía
𝑡 siguiendo una dirección arbitraria especificada por los elementos de 𝑌𝑑
con entradas de potencia activa y reactiva.
Los lados superior e inferior de la curva de la nariz se obtienen resolviendo
las ecuaciones del flujo de carga para 𝑌𝑠(𝑡𝑖), 𝑖 = 1,2, , , , 𝑛, donde el tamaño
de paso ∆𝑡𝑖 = 𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1 se selecciona matemáticamente utilizando el
método de continuación de homotopía. Por lo tanto, no se aplica el
procedimiento de cortar y tratar o ir y volver.
Ambos lados de la curva pueden obtenerse combinando el método para
encontrar múltiples soluciones de flujo de carga. La condición de carga
crítica se encuentra como un punto terminal de las curvas.
Figura 8.1 Curva de nariz y estado crítico de carga.
67
8.2. FORMULACIÓN DE MÉTODO DE CONTINUACIÓN DE HOMOTOPÍA .
El escenario de carga / generación de una carga base a una carga crítica se
define como la ecuación (98).
𝑌𝑠(𝑡) = 𝑌𝑠𝑜 + 𝑡 𝑌𝑑
(98)
Dónde:
𝑌𝑠𝑜: Especifica el valor de la carga base.
𝑌𝑑: Patrón de carga/generación.
𝑡: Parámetro escalar de homotopía.
𝑌𝑑 = (∆𝑃𝑔, ∆𝑃𝑙 , ∆𝑄𝑙)𝑡 es seleccionado arbitrariamente. Por lo tanto, también se
puede obtener la curva QV. El parámetro de homotopía 𝑡 es una escala de crecimiento
de la demanda que se utiliza en el eje horizontal en la curva de la nariz. El balance de
potencia activa total ∑∆𝑃 debería estar cerca de cero, de lo contrario se incrementaría la
potencia de inyección del bus slack. Las acciones de control del OLTC (cambiador de
tomas de carga) y del condensador conmutable no se incluyen en este estudio. Al
sustituir la ecuación (98) por la ecuación del flujo de carga, la función de homotopía se
define como la ecuación (99).
𝐻(𝑥, 𝑡) = 𝑌(𝑥) − 𝑌𝑠(𝑡) = 𝑌(𝑥) − 𝑌𝑠𝑜 + 𝑡 𝑌𝑑 = 0 (99)
Donde 𝑥: vector de tensión.
La solución de 𝐻(𝑥, 𝑡) = 0 también proporciona una solución de flujo de carga
para el valor especificado 𝑌𝑠(𝑡). Para calcular una solución (𝑥0 + ∆𝑥, 𝑡0 + ∆𝑡) que une una
solución conocida (𝑥0, 𝑡0), las relaciones linealizadas entre ∆𝑥 y ∆𝑡 deben satisfacer la
ecuación (100), donde J significa la matriz Jacobiana utilizada en un problema de flujo de
carga convencional.
𝐻(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑡0 + ∆𝑡) = 𝐻(𝑥0, 𝑡0) +𝜕𝐻
𝜕𝑥∆𝑥 +
𝜕𝐻
𝜕𝑡∆𝑡 = 0
𝜕𝐻
𝜕𝑥∆𝑥 +
𝜕𝐻
𝜕𝑡∆𝑡 = 0
𝐽 ∆𝑥 − 𝑌𝑑∆𝑡 = 0
(100)
68
La figura 8.2 ilustra la relación proporcional entre ∆𝑥 y ∆𝑡 en la ecuación (100).
Nuestra intención es trazar la curva de soluciones de una condición de carga base en
𝑡 = 0 a una condición de carga crítica en 𝑡 = 𝑡𝑚𝑎𝑥.
En muchas aplicaciones generales, una función de homotopía podría expresarse
como la ecuación (101).
𝐻(𝑥, 𝑡) = 𝑔(𝑥) − (1 − 𝑡) · 𝑔(𝑥𝑖) (101)
Figura 8.2 Relación entre ∆𝑥 y ∆𝑡 .
El propósito de estas ecuaciones es trazar una curva de soluciones desde una
condición inicial arbitraria 𝑥𝑖 en 𝑡 = 0 hasta una solución deseada 𝑥 en 𝑡 = 1. En este
trabajo, sin embargo, 𝑡 = 1 no tiene significado especial. Los loci de 𝐻(𝑥, 𝑡) = 0 podría ser
categorizado como se muestra en la Fig. 8.3, donde 𝐶1 y 𝐶5, 𝐶6 son diferentes, porque 𝐶5,
𝐶6 no es continua en un punto singular común.
Figura 8.3 𝐻(𝑥, 𝑡) = 0.
69
Según los estudios previos, la ecuación (98) parece tener locus del tipo 𝐶5, 𝐶6.
Esto se debe a que el problema de flujo de carga tiene un punto singular en la condición
de carga crítica y un par de soluciones cercanas se observa alrededor del punto.
Teniendo en cuenta estos hechos, podemos fijar el signo de ∆𝑡 en plus, al trazar la curva
de la nariz desde la condición de base hasta la condición crítica.
El tamaño del vector ∆𝑥 y escalar ∆𝑡 debe normalizarse para satisfacer la
ecuación (102) o la ecuación (103).
∆𝑡2 + ∑∆𝑥𝑖2
𝑖
= 𝐾 (102)
∑∆𝑥𝑖2
𝑖
= 𝐾 (103)
La ecuación (102) o (103) actúa como un tipo de función de escalado automático
que determina un tamaño de paso apropiado ∆𝑡 durante el proceso iterativo. Si un
sistema se opera en una condición de seguridad normal, la caída de tensión ∆𝑥′ debe ser
pequeña para un aumento de carga dado en ∆𝑡′. A continuación, el tamaño del paso ∆𝑡
se establecerá en un valor mayor. Por otro lado, si un sistema es operado cerca de una
condición crítica, la caída de tensión ∆𝑥′debe ser pronunciada para un aumento de carga
dado ∆𝑡. A continuación, el tamaño de paso ∆𝑡 se establecerá en un valor menor. Cuanto
más se aproxima una condición operativa a un punto crítico, más pequeño llega a ser.
El valor de 𝐾 debe seleccionarse manualmente para limitar la distancia del vector
(∆𝑥, ∆𝑡); Si 𝐾 es mayor que la región en la que la linealización es válida, pueden aparecer
inestabilidades numéricas en el proceso posterior. Por el contrario, si 𝐾 se establece en
un valor pequeño, el tamaño del paso hacia el punto crítico es pequeño. Aunque el
rendimiento del método propuesto depende del valor de 𝐾, puede seleccionarse de
acuerdo con el criterio de ingeniería. También es notable que 𝐾 sea constante de 𝑡 = 0 a
𝑡 = 𝑡𝑚𝑎𝑥 a lo largo del lugar de 𝐻(𝑥, 𝑡) = 0. El tamaño de paso ∆𝑡, sin embargo, varía
automáticamente a través del proceso iterativo para satisfacer la ecuación (102). Este
hecho significa que la condición de carga no afecta a la determinación del valor de 𝐾.
𝐾 debe determinarse manualmente según el tamaño y la estructura del sistema. La
ecuación (102) es estricta en un sentido matemático, pero si las unidades de 𝑥 y 𝑌𝑑 no
están normalizadas, la ecuación (103) es mejor. En las aplicaciones siguientes, la
ecuación (103) se aplica con un esquema que impide que ∆𝑡 se haga infinito en ∆𝑡 ≈ 0.
El valor absoluto y los signos de ∆𝑡 y ∆𝑥 se obtienen en los pasos anteriores.
Entonces, la solución exacta (𝑥𝑛, 𝑡𝑛) cerca (𝑥0 + ∆𝑥, 𝑡0 + ∆𝑡) debería ser resuelta. Podría
70
ser una buena idea resolver el problema de flujo de carga convencional estableciendo el
valor especificado 𝑌𝑠 = 𝑌𝑠 (𝑡0 + ∆𝑡) y la condición inicial 𝑥𝑖𝑛𝑖 = 𝑥0 + ∆𝑥. Sin embargo,
no es suficiente para superar las dificultades numéricas cerca del punto crítico. En este
trabajo se aplica un procedimiento más exacto, que es resolver (𝑥𝑛, 𝑡𝑛) en la ecuación
(104).
𝐻(𝑥𝑛, 𝑡𝑛) = 0
∆𝑡[𝑡𝑛 − (𝑡0 + ∆𝑡)] + ∑∆𝑥𝑖[𝑥𝑛𝑖 − (𝑥0𝑖 + ∆𝑥𝑖)] = 0
𝑖
(104)
La segunda línea de la ecuación (104) significa el hiper plano que es
perpendicular al vector (∆𝑥, ∆𝑡), y también cruza en (𝑥0 + ∆𝑥, 𝑡0 + ∆𝑡). Las Figs. 8.1 y 8.4
ilustran este concepto. Si el programa de flujo de carga convencional se aplica al valor
especificado 𝑌𝑠(𝑡0 + ∆𝑡) bajo una situación dada como se muestra en la Fig. 8.4, no se
encontrará ninguna solución exitosa. El método propuesto, sin embargo, podría encontrar
una solución cerca del punto crítico. La ecuación (104), que se expresa como conjuntos
de ecuaciones simultáneas no lineales, será resuelta por el método de Newton-Raphson.
El tamaño del jacobiano de este problema es mayor que el del problema de flujo de carga
convencional por una dimensión, como se muestra en la ecuación (105). Cabe señalar
que sólo 𝑥𝑛 y 𝑡𝑛 son variables en este problema, pero factores como 𝑥0, 𝑡0, ∆𝑥 𝑦 ∆𝑡 deben
tratarse como constantes.
𝐽ℎ = [𝐽(𝑥) 𝑌𝑑
∆𝑥 ∆𝑡] (105)
Figura 8.4 Aproximación exacta con hiperplano.
71
A medida que el parámetro 𝑡 se acerca a un punto singular crítico, las
sensibilidades de tensión 𝜕𝑥
𝜕𝑡 se vuelven menos (o más) infinitas. Por lo tanto, el tamaño
del paso ∆𝑡 debe ser cero para satisfacer la ecuación (102) / (103). Es obvio que 𝑡 está
convergiendo al punto crítico 𝑡𝑚𝑎𝑥 y al mismo tiempo 𝑌𝑠(𝑡𝑚𝑎𝑥) debe ser la condición de
carga crítica. Este punto es uno de la posible condición de carga extrema y uno de los
puntos de bifurcación.
8.3. CÁLCULO DE LA CURVA DE LA NARIZ Y CONDICIÓN CRÍTICA.
El nuevo método para calcular la curva de la nariz y la condición de carga crítica
se basa en consideraciones anteriores. Los pasos discretos del método básico, que
calcula el lado superior o inferior de una curva de nariz junto con la condición de carga
crítica, se explican cómo sigue.
I. Resolvemos un problema de flujo de carga para obtener la solución 𝑥 en una
condición de carga base (𝑡 = 0) utilizando el programa de flujo de carga
convencional.
II. Establecemos el patrón de carga / generación 𝑌𝑑 de acuerdo con la guía de
operación. Seleccionamos un valor apropiado del parámetro 𝐾 manualmente, de
acuerdo con el tamaño y la estructura de un sistema de potencia.
III. Calculamos ∆𝑥 y ∆𝑡 usando la ecuación (106). Suponiendo que∆𝑡 = 1, ∆𝑥 se
obtiene como ∆𝑧. Para satisfacer la ecuación (102) o (103) se obtiene el factor de
escala "𝑎". Finalmente, ∆𝑥 y ∆𝑡 tienen tamaños apropiados.
∆𝑧 = 𝐽−1𝑌𝑑
∆𝑥 = ∆𝑧 · 𝑎
∆𝑡 = 𝑎
𝑎 = √𝐾
𝑆 + ∑ ∆𝑧𝑖2
𝑖
(106)
IV. Resolvemos la ecuación por el método de Newton-Raphson utilizando 𝑥, 𝑡, ∆𝑥 𝑦 ∆𝑡.
Se obtiene así la solución exacta (𝑥𝑛, 𝑡𝑛) próxima a (𝑥0 + ∆𝑥, 𝑡0 + ∆𝑡).
V. Guardamos la solución de (𝑥𝑛 , 𝑡𝑛), y renovamos 𝑥 y 𝑡 (𝑥 ⇐ 𝑥𝑛 , 𝑡 ⇐ 𝑡𝑛).
VI. Si |𝑡−𝑡𝑛|
𝑡 > 휀 , volvemos al paso tres. De lo contrario, paramos. El punto terminal
𝑌𝑠 (𝑡) es la condición crítica de carga.
72
En las discusiones anteriores, se podría obtener media curva (es decir, curva
superior o inferior) por el método básico. Esto puede ser difícil para algunos casos, pero
también se desea obtener más información, como la proximidad de múltiples soluciones.
También es importante verificar la posición del punto crítico. Dos procedimientos, que se
combinan con un método para encontrar un par de múltiples soluciones de flujo de carga
van a ser explicados individualmente para dibujar ambos lados de una curva de nariz en
lugar de tener solo media curva representada.
Si el sistema es estable en la condición de carga base, el método podría fallar en
encontrar la solución B, porque A y B no están muy próximos entre sí. En esta situación,
no se puede aplicar el procedimiento-A. El Procedimiento-B es más robusto para todos
los casos, ya que la solución inferior D localizada cerca del punto crítico C se puede
obtener por el método. Los dos procedimientos se ilustran en la Fig. 8.5. De acuerdo con
la condición de carga base, se debe seleccionar uno de estos procedimientos.
8.3.1 Procedimiento A.
Pasos a seguir para llevar a cabo este proceso:
1. Calculamos un par de soluciones múltiples de flujo de carga en una
condición de carga base. Definir las soluciones superiores e inferiores
como A y B, respectivamente.
2. Resolvemos las soluciones intermedias en la curva superior desde A
hasta el punto crítico C usando el método básico propuesto estableciendo
la condición inicial en A.
3. Resolvemos las soluciones intermedias en la curva inferior de B a través
del punto crítico C usando el método básico propuesto estableciendo la
condición inicial en B.
8.3.2 Procedimiento B.
Pasos a seguir para llevar a cabo este proceso:
1. Resolvemos las soluciones intermedias en la curva superior de A a través
del punto crítico C usando el método básico propuesto estableciendo la
condición inicial en A.
2. Calculamos una solución de flujo de carga múltiple cerca de la condición
crítica C. Definir la solución inferior como D.
73
3. Resolvemos las soluciones intermedias en la curva inferior de D hacia la
solución B usando el método básico propuesto con negativo ∆𝑡
estableciendo la condición inicial en D.
Figura 8.5 Procedimientos para calcular la curva de nariz.
74
CAPÍTULO 9:
RESULTADOS
75
9. RESULTADOS.
En este capítulo vamos a presentar los distintos resultados obtenidos con los
sistemas de prueba, estos resultados han sido obtenidos por medio de toolbox de
MATLAB. Dichas toolbox son: MATPOWER, PSAT.
Por lo tanto el objetivo principal de este capítulo, es afianzar los conocimientos
que han sido explicados anteriormente sobre el método de continuación y métodos
directos para obtener el PMC eludiendo la singularidad de la matriz Jacobiana.
Se quiere recordar que para dicho método existían algunas dificultades en cuanto
a la divergencia de método de continuación se refiere porque como sabemos siempre se
debe procurar estar situados en el área de convergencia de la variable nueva elegida, en
nuestro caso para el parámetro de carga. Como tamaño de paso inicial se ha elegido un
tamaño de paso de 0.5.
A continuación se expondrán tres casos de estudio donde se calcularán su flujo de
cargas convencional, flujo de cargas de continuación, y flujo de cargas por métodos
directos o punto de colapso.
9.1 RESULTADOS OBTENIDOS PARA UN SISTEMA IEEE 24 NODOS.
A continuación se expondrán de forma gráfica los resultados obtenidos para un
sistema formado por veinticuatro nodos.
Para este sistema hemos obtenido mediante la ayuda del software PSAT, de libre
acceso, los datos correspondientes a un flujo de cargas convencional, un flujo de cargas
aplicando el método de continuación y por último un flujo de cargas aplicando un método
directo como es la bifurcación silla-nodo o más comúnmente llamado punto de colapso.
9.1.1 Flujo de cargas convencional IEEE-24.
SOLUCIONES ESTADISTICAS
NÚMERO DE ITERACIONES 4
MÁXIMO DESIQUILIBRIO P [p.u.] 4,64184E-12
MÁXIMO DESIQUILIBRIO Q [p.u.] 2,79959E-12
POTENCIA BASE [MVA] 100
Tabla 9.1 Soluciones estadísticas IEEE-24.
76
En la siguiente tabla (tabla 9.2) nos encontramos el resultado de aplicar un flujo de
cargas convencional.
RESULTADOS DE FLUJO DE CARGAS
Bus V phase P gen Q gen P load Q load
[p.u.] [rad] [p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]
1 1,035 -0,126915 1,72 0,2743126 1,08 0,22
2 1,035 -0,12876 1,72 0,1813858 0,97 0,2
3 0,982541707 -0,087049 4,642E-12 2,8E-12 1,8 0,37
4 0,996800319 -0,169728 4,688E-13 3,217E-14 0,74 0,15
5 1,016708487 -0,175027 4,656E-13 1,14E-13 0,71 0,14
6 1,009488629 -0,218834 3,937E-13 1,241E-13 1,36 1,2990673
7 1,025 -0,130837 2,4 0,5389711 1,25 0,25
8 0,991413935 -0,195709 5,209E-13 4,258E-14 1,71 0,35
9 0,999303479 -0,130609 -1,7E-13 1,411E-12 1,75 0,36
10 1,024838437 -0,168147 2,156E-13 1,146E-12 1,95 0,4
11 0,990598839 -0,047185 -1E-12 5,476E-13 0 0
12 1,001609303 -0,024803 -1,14E-12 9,253E-13 0 0
13 1,02 0 1,8732254 1,378626 2,65 0,54
14 0,98 0,0133973 1,421E-14 -0,084323 1,94 0,39
15 1,014 0,2273956 2,15 -0,051267 3,17 0,64
16 1,017 0,2094296 1,55 0,3054212 1 0,2
17 1,038268339 0,287045 1,534E-15 2,738E-14 0 0
18 1,05 0,3103848 4 1,4015079 3,33 0,68
19 1,023197894 0,1764777 1,776E-15 2,026E-14 1,81 0,37
20 1,038520741 0,1819419 -2,89E-15 2,259E-14 1,28 0,26
21 1,05 0,3249792 4 1,0775617 0 0
22 1,05 0,4236523 3 -0,292697 0 0
23 1,05 0,1973626 6,6 1,4146177 0 0
24 0,979214857 0,1117231 -2,73E-12 1,769E-12 0 0
Tabla 9.2 Datos de flujo de cargas en las barras IEEE-24.
77
En esta tabla (9.3) nos encontramos con los datos obtenidos al aplicar el flujo de
cargas, pero esta vez se puede notar que tenemos las potencias en las líneas.
FLUJO EN LAS LINEAS
Del Bus Al Bus Línea P Flow Q Flow P Loss Q Loss
[p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]
Bus101 Bus102 1 0,1374359 -0,272547 4,743E-05 -0,493688
Bus101 Bus103 2 -0,116658 0,2604228 0,0050116 -0,038862
Bus101 Bus105 3 0,6192218 0,0664369 0,0079292 0,0066333
Bus102 Bus104 4 0,3899156 0,1995691 0,0061095 -0,011812
Bus102 Bus106 5 0,4974729 0,0029578 0,011526 -0,009821
Bus109 Bus103 6 -0,300695 0,2103331 0,0043698 -0,014737
Bus109 Bus104 7 0,3597691 -0,075538 0,0035752 -0,014157
Bus110 Bus105 8 0,0990238 0,0565181 0,0003164 -0,023678
Bus103 Bus124 9 -2,226734 0,1543545 0,0122286 0,4460777
Bus110 Bus106 10 0,8844887 -1,212569 0,0104356 -2,498858
Bus107 Bus108 11 1,15 0,2889711 0,0213557 0,0655896
Bus109 Bus108 12 0,3805547 -0,060278 0,0062541 -0,020105
Bus110 Bus108 13 0,2098287 0,1320737 0,0027736 -0,034718
Bus113 Bus111 14 1,0573897 0,4640099 0,0079836 -0,037215
Bus114 Bus111 15 1,3568928 -0,423385 0,0111691 0,0011203
Bus109 Bus111 16 -0,95917 -0,169783 0,0023184 0,084573
Bus113 Bus112 17 0,5686322 0,2742496 0,0024786 -0,082352
Bus123 Bus112 18 2,4602036 0,3658544 0,0706418 0,3365918
Bus113 Bus123 19 -2,402797 0,1003664 0,062002 0,2883793
Bus116 Bus114 20 3,3534819 0,6359746 0,0565891 0,585037
Bus116 Bus115 21 -1,030561 0,2982083 0,0024729 -0,018092
Bus121 Bus115 22 2,1932072 0,5360397 0,0294948 0,1196732
Bus121 Bus115 23 2,1932072 0,5360397 0,0294948 0,1196732
Bus115 Bus124 24 2,2743908 0,4577663 0,0354283 0,1660431
Bus117 Bus116 25 3,2307567 0,5717395 0,0300532 0,2018994
Bus119 Bus116 26 -1,421324 0,4581852 0,0064589 -0,000736
Bus118 Bus117 27 1,8474686 0,6284168 0,006252 0,016981
Bus109 Bus112 28 -1,230459 -0,264734 0,0038707 0,1411977
Bus122 Bus117 29 1,4140364 -0,089788 0,0244963 -0,050092
Bus118 Bus121 30 -0,588734 0,0465455 0,001055 -0,051486
Bus118 Bus121 31 -0,588734 0,0465455 0,001055 -0,051486
Bus119 Bus120 32 -0,194338 -0,414093 0,0008526 -0,081905
Bus119 Bus120 33 -0,194338 -0,414093 0,0008526 -0,081905
Bus123 Bus120 34 0,8374989 0,4303753 0,0023082 -0,031812
Bus123 Bus120 35 0,8374989 0,4303753 0,0023082 -0,031812
Bus121 Bus122 36 -1,565993 0,2015458 0,0199706 -0,001363
Bus110 Bus112 37 -1,714592 0,2679131 0,0067943 0,2478453
Bus110 Bus111 38 -1,42875 0,3560645 0,0048914 0,1784284
Tabla 9.3 Datos de flujo de cargas en las líneas IEEE-24.
78
GENERACION TOTAL
REAL POWER [p.u.] 29,013225
REACTIVE POWER [p.u.] 6,1441176
Tabla 9.4 Generación total IEEE-24.
CARGA TOTAL
REAL POWER [p.u.] 28,5
REACTIVE POWER [p.u.] 6,8190673
Tabla 9.5 Carga total IEEE-24.
PÉRDIDAS TOTALES
REAL POWER [p.u.] 0,5132254
REACTIVE POWER [p.u.] -0,67495
Tabla 9.6 Pérdidas totales IEEE-24.
9.1.2 Flujo de cargas de continuación IEEE-24.
En este caso vamos a usar el mismo sistema pero esta vez aplicaremos el método
de continuación para obtener el flujo de cargas.
SOLUCIONES ESTADÍSTICAS
NÚMERO DE ITERACIONES 35
MÁXIMO DESEQUILIBRIO P [p.u.] 0
MÁXIMO DESEQUILIBRIO Q [p.u.] 0
POTENCIA BASE [MVA] 100
Tabla 9.7 Soluciones estadísticas CPF- IEEE-24.
79
En la siguiente tabla (tabla 9.8) nos encontramos el resultado de aplicar un flujo de
cargas de continuación.
RESULTADOS DE FLUJO DE CARGAS
Bus V phase P gen Q gen P load Q load
[p.u.] [rad] [p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]
Bus101 1,035 -0,882174 3,6273858 4,0536666 2,397427 0,4883648
Bus102 1,035 -0,885352 3,6273858 3,4021588 2,1532446 0,443968
Bus103 0,6518197 -0,706468 0 2,22E-15 3,9957116 0,8213407
Bus104 0,8065609 -0,919436 1,332E-15 1,887E-15 1,6426814 0,332976
Bus105 0,8542344 -0,934253 -2,22E-16 4,802E-15 1,5760862 0,3107776
Bus106 0,7152895 -1,056331 -1,33E-15 7,216E-16 3,0189821 1,1331941
Bus107 1,025 -0,926988 5,0614686 3,6080838 2,7747997 0,5549599
Bus108 0,8110679 -1,037539 2,22E-15 -8,33E-16 3,795926 0,7769439
Bus109 0,7352676 -0,683502 8,882E-16 5,551E-17 3,8847196 0,7991423
Bus110 0,7457852 -0,801368 3,553E-15 -3,77E-15 4,3286876 0,8879359
Bus111 0,8501326 -0,245993 -4,04E-15 -1,14E-14 0 0
Bus112 0,8015562 -0,171274 1,538E-15 2,624E-15 0 0
Bus113 1,02 0 10,193272 9,864905 5,8825754 1,1987135
Bus114 0,98 -0,136165 1,332E-15 5,0938957 4,3064892 0,8657375
Bus115 1,014 0,3167522 4,5342323 6,2376476 7,4361124 1,4206975
Bus116 1,017 0,2891977 3,2688651 3,0545647 2,2198398 0,443968
Bus117 1,031628 0,4472673 -4,92E-15 -3,29E-16 0 0
Bus118 1,05 0,4934925 8,435781 2,7574337 7,3920665 1,509491
Bus119 1,0097144 0,2484446 8,882E-16 1,166E-14 4,01791 0,8213407
Bus120 1,029171 0,2887556 7,105E-15 -9,27E-15 2,8413949 0,5771583
Bus121 1,05 0,52518 8,435781 1,5588702 0 0
Bus122 1,05 0,7350505 6,3268358 -0,048908 0 0
Bus123 1,05 0,3377337 13,919039 4,9583662 0 0
Bus124 0,7664545 0,0600103 8,428E-16 -2,68E-15 0 0
Tabla 9.8 Datos de flujo de cargas en las barras CPF IEEE-24.
80
En esta tabla (9.9) nos encontramos con los datos obtenidos al aplicar el flujo de
cargas, pero esta vez se puede notar que tenemos las potencias en las líneas.
FLUJO EN LAS LINEAS
Del Bus Al Bus Línea P Flow Q Flow P Loss Q Loss
[p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]
Bus101 Bus102 1 0,2367112 -0,290859 0,0001407 -0,49319
Bus101 Bus103 2 -0,05643 1,9109335 0,1923025 0,7010632
Bus101 Bus105 3 1,0496778 1,945227 0,1004014 0,3685498
Bus102 Bus104 4 0,6641025 1,6796296 0,1017854 0,3636489
Bus102 Bus106 5 1,0466093 1,4808924 0,1564317 0,563169
Bus109 Bus103 6 0,2120095 0,453086 0,01471 0,0412898
Bus109 Bus104 7 1,1690002 -0,656773 0,0886359 0,3262322
Bus110 Bus105 8 0,6898481 -1,037131 0,0630383 0,2287683
Bus103 Bus124 9 -4,047145 0,8003258 0,0949209 3,4625505
Bus110 Bus106 10 2,25657 -0,54133 0,1277655 -0,756801
Bus107 Bus108 11 2,2866689 3,0531239 0,2210109 0,8392831
Bus109 Bus108 12 1,1462164 -0,422087 0,1170471 0,4257784
Bus110 Bus108 13 0,756664 -0,401321 0,0555654 0,1877106
Bus113 Bus111 14 4,8427873 3,4961533 0,2078554 1,5746867
Bus114 Bus111 15 2,5509126 2,793072 0,081787 0,5591189
Bus109 Bus111 16 -3,075405 -0,39392 0,0433894 1,5827695
Bus113 Bus112 17 3,4604097 4,40658 0,1836998 1,3854539
Bus123 Bus112 18 4,6574139 3,0952321 0,3596531 2,6246973
Bus113 Bus123 19 -3,992501 0,7634583 0,1779188 1,1916946
Bus116 Bus114 20 7,1135331 1,5005587 0,2561314 2,9356449
Bus116 Bus115 21 -1,591254 0,382518 0,0057285 0,0075099
Bus121 Bus115 22 4,5800545 0,5960476 0,1223033 0,8415172
Bus121 Bus115 23 4,5800545 0,5960476 0,1223033 0,8415172
Bus115 Bus124 24 4,4166401 4,7010189 0,2745745 2,0387942
Bus117 Bus116 25 6,4164036 0,3154539 0,116388 0,947631
Bus119 Bus116 26 -1,81704 -0,070294 0,0097213 0,0250494
Bus118 Bus117 27 3,5972389 0,9536216 0,0226639 0,1484851
Bus109 Bus112 28 -3,33654 0,2205515 0,0504659 1,8409069
Bus122 Bus117 29 2,9489515 0,1062334 0,107123 0,595916
Bus118 Bus121 30 -1,276762 0,1471606 0,0049733 -0,019547
Bus118 Bus121 31 -1,276762 0,1471606 0,0049733 -0,019547
Bus119 Bus120 32 -1,100435 -0,375524 0,0066125 -0,035234
Bus119 Bus120 33 -1,100435 -0,375524 0,0066125 -0,035234
Bus123 Bus120 34 2,5456026 0,7174489 0,0178576 0,0885804
Bus123 Bus120 35 2,5456026 0,7174489 0,0178576 0,0885804
Bus121 Bus122 36 -3,287799 0,7001894 0,0900853 0,5450477
Bus110 Bus112 37 -4,112157 0,8757687 0,0753072 2,7470741
Bus110 Bus111 38 -3,919612 0,2160774 0,0656503 2,3948075
Tabla 9.9 Datos de flujo de cargas en las líneas CPF IEEE-24.
81
GENERACION TOTAL
REAL POWER [p.u.] 67,430046
REACTIVE POWER [p.u.] 44,540684
Tabla 9.10 Generación total CPF IEEE-24.
CARGA TOTAL
REAL POWER [p.u.] 63,664654
REACTIVE POWER [p.u.] 13,38671
Tabla 9.11 Carga total CPF IEEE-24.
PÉRDIDAS TOTALES
REAL POWER [p.u.] 3,7653918
REACTIVE POWER [p.u.] 31,153974
Tabla 9.12 Pérdidas totales CPF IEEE-24.
Al aplicar el flujo de cargas de continuación con el software PSAT, obtenemos una gráfica
muy representativa. (curva de la nariz).
Figura 9.1 Curvas de la nariz para un sistema de 24 barras.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Parámetro de carga (p.u.)
Niv
el de tensió
n (p.u.)
VBus103
VBus104
VBus105
VBus106
VBus108
VBus109
VBus110
VBus111
VBus112
VBus124
82
9.1.3 Flujo de cargas por métodos directos IEEE-24.
En este caso vamos a usar el mismo sistema pero esta vez aplicaremos el método
de bifurcación silla-nodo para obtener el flujo de cargas.
SOLUCIONES ESTADÍSTICAS
NÚMERO DE ITERACIONES 6
MÁXIMO DESEQUILIBRIO P [p.u.] 13,935435
MÁXIMO DESEQUILIBRIO Q [p.u.] 8,8235205
POTENCIA BASE [MVA] 100
Tabla 9.13 Soluciones estadísticas SNB- IEEE-24.
En la siguiente tabla (tabla 9.14) nos encontramos el resultado de aplicar un flujo
de cargas por bifurcación silla-nodo (SNB).
RESULTADOS DE FLUJO DE CARGAS
Bus V phase P gen Q gen P load Q load
[p.u.] [rad] [p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]
Bus101 1,035 -0,841231 2,3112805 3,5938847 2,4003783 0,4889659
Bus102 1,035 -0,844454 2,4457635 3,0040397 2,1558953 0,4445145
Bus103 0,6707724 -0,672732 -2,20063 -0,452352 4,0006305 0,8223518
Bus104 0,8160896 -0,882395 -0,904704 -0,183386 1,6447036 0,3333859
Bus105 0,8622228 -0,896636 -0,868026 -0,17116 1,5780265 0,3111601
Bus106 0,7298248 -1,016292 -1,662699 -0,34232 3,0226986 1,1549645
Bus107 1,025 -0,885368 3,5392153 3,1739232 2,7782156 0,5556431
Bus108 0,8189598 -0,997498 -2,090599 -0,4279 3,8005989 0,7779004
Bus109 0,7500141 -0,658504 -2,139502 -0,440126 3,8895018 0,8001261
Bus110 0,7609513 -0,772819 -2,384016 -0,489029 4,3340163 0,889029
Bus111 0,8579111 -0,24081 -1,08E-15 -6,01E-15 0 0
Bus112 0,8116104 -0,166984 -2,84E-15 4,793E-16 0 0
Bus113 1,02 0 6,8115195 8,8235205 5,8898171 1,2001891
Bus114 0,98 -0,132375 -2,371791 4,4234306 4,3117906 0,8668033
Bus115 1,014 0,3185771 0,2639041 5,2553219 7,4456694 1,4224464
Bus116 1,017 0,2912315 2,0501433 2,7996649 2,2225725 0,4445145
Bus117 1,0316149 0,4493997 -1,63E-14 4,331E-15 0 0
Bus118 1,05 0,4956385 4,3745517 1,9288469 7,4011663 1,5113493
Bus119 1,0096897 0,2500136 -2,212856 -0,452352 4,0228562 0,8223518
Bus120 1,0291628 0,290025 -1,564893 -0,317869 2,8448928 0,5778688
Bus121 1,05 0,5273292 8,4457181 1,5614666 0 0
Bus122 1,05 0,737479 6,3342886 -0,047927 0 0
Bus123 1,05 0,3388795 13,935435 4,8522669 0 0
Bus124 0,7772139 0,0621976 -1,03E-15 -6,44E-17 0 0
Tabla 9.14 Datos de flujo de cargas en las barras SNB IEEE-24.
83
En esta tabla (9.15) nos encontramos con los datos obtenidos al aplicar el flujo de
cargas, pero esta vez se puede notar que tenemos las potencias en las líneas.
FLUJO EN LAS LINEAS
Del Bus Al Bus Línea P Flow Q Flow P Loss Q Loss
[p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]
Bus101 Bus102 1 0,2400372 -0,29147 0,0001447 -0,493169
Bus101 Bus103 2 -0,072914 1,8196894 0,1747763 0,6325525
Bus101 Bus105 3 1,0641577 1,8456651 0,0932937 0,3408424
Bus102 Bus104 4 0,6720237 1,6007111 0,094094 0,3336733
Bus102 Bus106 5 1,0436323 1,4050274 0,145789 0,5215086
Bus109 Bus103 6 0,1776283 0,444829 0,0130075 0,0339555
Bus109 Bus104 7 1,1483517 -0,635256 0,0815777 0,2983962
Bus110 Bus105 8 0,662819 -0,993919 0,0556565 0,1997434
Bus103 Bus124 9 -4,0837 0,7756585 0,0909933 3,3192778
Bus110 Bus106 10 2,2465168 -0,565844 0,1216615 -0,83729
Bus107 Bus108 11 2,2892153 2,9239232 0,2094661 0,7945949
Bus109 Bus108 12 1,1349991 -0,407597 0,1096318 0,3963302
Bus110 Bus108 13 0,7464206 -0,37848 0,0509381 0,1690209
Bus113 Bus111 14 4,7695896 3,3222139 0,1968537 1,4860094
Bus114 Bus111 15 2,5197561 2,6127785 0,0753331 0,5085768
Bus109 Bus111 16 -3,031463 -0,40279 0,0405666 1,4797983
Bus113 Bus112 17 3,3970026 4,1915265 0,1703997 1,2782423
Bus123 Bus112 18 4,6722002 2,9844239 0,3533488 2,5739383
Bus113 Bus123 19 -4,005073 0,7697802 0,1791077 1,2009593
Bus116 Bus114 20 7,085615 1,4906893 0,2540683 2,9113414
Bus116 Bus115 21 -1,579044 0,3806235 0,005643 0,0068371
Bus121 Bus115 22 4,5870209 0,5966111 0,1226725 0,8443882
Bus121 Bus115 23 4,5870209 0,5966111 0,1226725 0,8443882
Bus115 Bus124 24 4,4379139 4,4935541 0,2632202 1,9499348
Bus117 Bus116 25 6,4202238 0,3151052 0,1165285 0,9488448
Bus119 Bus116 26 -1,837328 -0,067883 0,0099394 0,0267294
Bus118 Bus117 27 3,5983298 0,9544865 0,0226795 0,14861
Bus109 Bus112 28 -3,319018 0,2006876 0,0479587 1,7494504
Bus122 Bus117 29 2,951914 0,106844 0,1073404 0,5976152
Bus118 Bus121 30 -1,276889 0,1471802 0,0049743 -0,019539
Bus118 Bus121 31 -1,276889 0,1471802 0,0049743 -0,019539
Bus119 Bus120 32 -1,092764 -0,377234 0,0065344 -0,035838
Bus119 Bus120 33 -1,092764 -0,377234 0,0065344 -0,035838
Bus123 Bus120 34 2,5395272 0,718332 0,0177825 0,0880012
Bus123 Bus120 35 2,5395272 0,718332 0,0177825 0,0880012
Bus121 Bus122 36 -3,29205 0,7016819 0,0903243 0,546911
Bus110 Bus112 37 -4,106514 0,8501282 0,0719644 2,6251352
Bus110 Bus111 38 -3,883259 0,1990865 0,0618698 2,2569042
Tabla 9.15 Datos de flujo de cargas en las líneas CPF IEEE-24.
84
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
Parámetro de carga (p.u.)
Niv
el de t
ensió
n (
p.u
.)
VBus103
VBus104
VBus105
VBus106
VBus108
VBus109
VBus110
VBus111
VBus112
VBus124
GENERACION TOTAL
REAL POWER [p.u.] 32,112104
REACTIVE POWER [p.u.] 36,091945
Tabla 9.16 Generación total SNB IEEE-24.
CARGA TOTAL
REAL POWER [p.u.] 63,74343
REACTIVE POWER [p.u.] 13,423565
Tabla 9.17 Carga total SNB IEEE-24.
PÉRDIDAS TOTALES
REAL POWER [p.u.] -31,63133
REACTIVE POWER [p.u.] 22,66838
Tabla 9.18 Pérdidas totales SNB IEEE-24.
Al aplicar el flujo de cargas de continuación con el software PSAT, obtenemos una gráfica
muy representativa. (curva de la nariz).
Figura 9.2 Curvas de la nariz para un sistema de 24 barras SNB.
85
9.1.4 Comparación gráfica de los tres métodos.
Figura 9.3 Perfil de tensiones método convencional.
Figura 9.4 Perfil de tensiones método de continuación.
Figura 9.5 Perfil de tensiones método SNB.
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
V [
p.u
.]
Perfil de magnitud de tensión
BARRAS
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
V [
p.u
.]
Perfil de magnitud de tensión
RAMAS
0 5 10 15 20 250
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
V [
p.u
.]
Perfil de tensiones
RAMAS
86
0 5 10 15 20 25-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
PG
- P
C [
p.u
.]
Perfl de potencia activa
BARRAS
Figura 9.6 Perfil de potencias activas método convencional.
Figura 9.7 Perfil de potencias activas método de continuación.
Figura 9.8 Perfil de potencias activas método SNB.
0 5 10 15 20 25-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
PG
- P
C [
p.u
.]
Perfil de potencia activa
RAMAS
0 5 10 15 20 25-10
-5
0
5
10
15
PG
- P
C [
p.u
.]
Perfil de potencia reactiva
RAMAS
87
Figura 9.9 Perfil de potencias activas método convencional.
Figura 9.10 Perfil de potencias activas método de continuación.
Figura 9.11 Perfil de potencias activas método SNB.
0 5 10 15 20 25-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
QG
- Q
C [
p.u
.]
Perfil de potencia reactiva
BARRAS
0 5 10 15 20 25-2
0
2
4
6
8
10
QG
- Q
C [
p.u
.]
Perfil de potencia reactiva
RAMAS
0 5 10 15 20 25-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
QG
- Q
C [
p.u
.]
Perfil de potencias reactivas
RAMAS
88
9.2 RESULTADOS OBTENIDOS PARA UN SISTEMA IEEE 30 NODOS.
A continuación se expondrán de forma gráfica los resultados obtenidos para un
sistema formado por treinta nodos.
Para este sistema hemos obtenido mediante la ayuda del software PSAT, de libre
acceso, los datos correspondientes a un flujo de cargas convencional, un flujo de cargas
aplicando el método de continuación.
9.2.1 Flujo de cargas convencional IEEE-30.
SOLUCIONES ESTADISTICAS
NÚMERO DE ITERACIONES 3
MÁXIMO DESIQUILIBRIO P [p.u.] 7,544E-15
MÁXIMO DESIQUILIBRIO Q [p.u.] 7,785E-15
POTENCIA BASE [MVA] 100
Tabla 9.19 Soluciones estadísticas IEEE-30.
En la siguiente tabla (tabla 9.20) nos encontramos el resultado de aplicar un flujo
de cargas convencional.
89
RESULTADOS DE FLUJO DE CARGAS
Bus V phase P gen Q gen P load Q load
[p.u.] [rad] [p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]
Blaine 132 1,0025942 -0,224315 1,388E-15 3,678E-15 0,228 0,109
Bus 14 33 1,0425155 -0,276187 -1,19E-15 1,596E-16 0,062 0,016
Bus 15 33 1,0379254 -0,277791 1,416E-15 2,359E-15 0,082 0,025
Bus 16 33 1,0446391 -0,270795 -1,06E-15 -2,29E-15 0,035 0,018
Bus 17 33 1,0401707 -0,276635 1,554E-15 2,859E-15 0,09 0,058
Bus 18 33 1,0284109 -0,288506 -4,16E-16 -1,61E-16 0,032 0,009
Bus 19 33 1,0259175 -0,291535 3,303E-15 2,415E-15 0,095 0,034
Bus 20 33 1,0300058 -0,288106 -4,96E-16 6,826E-16 0,022 0,007
Bus 21 33 1,0330045 -0,281535 4,358E-15 -3,37E-15 0,175 0,112
Bus 22 33 1,0335354 -0,281287 1,46E-15 3,4E-15 0 0
Bus 23 33 1,0274413 -0,284603 2,914E-16 6,523E-16 0,032 0,016
Bus 24 33 1,0218617 -0,287679 -3,19E-16 -3,68E-16 0,087 0,0220993
Bus 25 33 1,0176276 -0,280203 -3,59E-16 -8,37E-16 0 0
Bus 26 33 0,9999556 -0,287523 3,4E-16 7,078E-16 0,035 0,023
Bus 29 33 1,0037105 -0,292502 1,527E-16 -1,51E-16 0,024 0,009
Bus 30 33 0,9922396 -0,307901 -1,8E-16 -5E-16 0,106 0,019
Claytor 132 1,045 -0,093868 0,4 0,5607364 0,217 0,127
Cloverdle 33 1,0235431 -0,271048 -4,02E-16 -5,96E-16 0 0
Cloverdle132 1,0070983 -0,203807 3,2E-15 6,646E-15 0 0
Fieldale 132 1,01 -0,246943 -3,33E-16 0,356613 0,942 0,19
Glen Lyn 132 1,06 0 2,60957 -0,204168 0 0
Hancock 11 1,071 -0,260626 7,702E-16 0,1044638 0 0
Hancock 33 1,0573446 -0,260626 -1,14E-15 -1,89E-15 0,112 0,075
Hancock 132 1,0122982 -0,161956 -4,12E-15 -7,79E-15 0,076 0,016
Kumis 132 1,0211759 -0,131399 2,619E-15 2,22E-16 0,024 0,012
Reusens 132 1,01 -0,205904 5,551E-17 0,3612421 0,3 0,3
Roanoke 11 1,082 -0,24606 4,233E-16 0,1603788 0 0
Roanoke 33 1,0454024 -0,273813 -3,75E-15 2,803E-15 0,058 -0,187645
Roanoke 1.0 1,0510642 -0,24606 2,264E-16 -5,68E-17 0 0
Roanoke 132 1,010621 -0,192946 -7,54E-15 -5,84E-15 0 0
Tabla 9.20 Datos de flujo de cargas en las barras IEEE-30.
En esta tabla (9.21) nos encontramos con los datos obtenidos al aplicar el flujo de
cargas, pero esta vez se puede notar que tenemos las potencias en las líneas.
90
FLUJO EN LAS LINEAS
Del Bus Al Bus Linea P Flow Q Flow P Loss Q Loss
[p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]
Glen Lyn 132 Claytor 132 1 1,7330737 -0,247028 0,0521317 0,0976312
Glen Lyn 132 Kumis 132 2 0,8764962 0,0428604 0,0310789 0,0693948
Claytor 132 Hancock 132 3 0,4365259 0,0475092 0,0101849 -0,007912
Kumis 132 Hancock 132 4 0,8214173 -0,038534 0,0085556 0,0158813
Claytor 132 Fieldale 132 5 0,8236159 0,0278163 0,0294305 0,0795021
Claytor 132 Roanoke 132 6 0,6038001 0,0137515 0,0194589 0,0195264
Hancock 132 Roanoke 132 7 0,721279 -0,159059 0,0063184 0,0127742
Fieldale 132 Blaine 132 8 -0,147815 0,1149272 0,0016936 -0,016387
Roanoke 132 Blaine 132 9 0,3813189 -0,027837 0,0038107 -0,005522
Roanoke 132 Reusens 132 10 0,29563 -0,07208 0,0010803 -0,005405
Roanoke 132 Roanoke 1.0 11 0,2772168 -0,080618 -1,11E-16 0,0162353
Roanoke 132 Roanoke 33 12 0,1584059 0,0018127 8,327E-17 0,0128276
Roanoke 1.0 Roanoke 11 13 -3,54E-16 -0,155809 -1,67E-16 0,0045699
Roanoke 1.0 Roanoke 33 14 0,2772168 0,0589559 1,665E-16 0,0079965
Hancock 132 Hancock 33 15 0,4419237 0,1440645 -1,11E-16 0,0468826
Hancock 33 Hancock 11 16 -7,7E-16 -0,103132 0 0,0013319
Hancock 33 Bus 14 33 17 0,0785728 0,0239961 0,0007432 0,0015449
Hancock 33 Bus 15 33 18 0,1789135 0,0678709 0,0021682 0,0042709
Hancock 33 Bus 16 33 19 0,0724374 0,0334468 0,0005381 0,0011314
Bus 14 33 Bus 15 33 20 0,0158296 0,0064511 5,942E-05 5,369E-05
Bus 16 33 Bus 17 33 21 0,0368993 0,0143154 7,522E-05 0,000276
Bus 15 33 Bus 18 33 22 0,0601646 0,0159312 0,0003858 0,0007857
Bus 18 33 Bus 19 33 23 0,0277788 0,0061455 4,89E-05 9,888E-05
Bus 19 33 Bus 20 33 24 -0,06727 -0,027953 0,0001714 0,0003429
Roanoke 33 Bus 20 33 25 0,0902573 0,0371176 0,0008157 0,0018214
Roanoke 33 Bus 17 33 26 0,0533184 0,0443324 0,0001425 0,0003718
Roanoke 33 Bus 21 33 27 0,1578607 0,1001269 0,0011128 0,002395
Roanoke 33 Bus 22 33 28 0,0761862 0,0460122 0,000527 0,0010865
Bus 21 33 Bus 22 33 29 -0,018252 -0,014268 5,834E-06 1,187E-05
Bus 15 33 Bus 23 33 30 0,0503509 0,0290662 0,0003138 0,0006338
Bus 22 33 Bus 24 33 31 0,0574014 0,0306458 0,0004558 0,0007095
Bus 23 33 Bus 24 33 32 0,0180372 0,0124324 6,001E-05 0,0001227
Bus 24 33 Bus 25 33 33 -0,012077 0,0201466 9,96E-05 0,0001739
Bus 25 33 Bus 26 33 34 0,0354463 0,0236666 0,0004463 0,0006666
Bus 25 33 Cloverdle 33 35 -0,047623 -0,003694 0,0002408 0,0004598
Cloverdle132 Cloverdle 33 36 0,1806834 0,0503401 -8,33E-17 0,0128708
Cloverdle 33 Bus 29 33 37 0,0618994 0,0166879 0,0008623 0,0016293
Cloverdle 33 Bus 30 33 38 0,07092 0,0166277 0,0016218 0,0030526
Bus 29 33 Bus 30 33 39 0,0370371 0,0060586 0,0003354 0,0006337
Reusens 132 Cloverdle132 40 -0,00545 -0,005432 1,862E-05 -0,043476
Roanoke 132 Cloverdle132 41 0,1867303 0,001113 0,0005779 -0,011183
Tabla 9.21 Datos de flujo de cargas en las líneas IEEE-30.
91
GENERACION TOTAL
REAL POWER [p.u.] 3,00957
REACTIVE POWER [p.u.] 1,3392662
Tabla 9.22 Generación total IEEE-30.
CARGA TOTAL
REAL POWER [p.u.] 2,834
REACTIVE POWER [p.u.] 1,0094547
Tabla 9.23 Carga total IEEE-30.
PÉRDIDAS TOTALES
REAL POWER [p.u.] 0,17557
REACTIVE POWER [p.u.] 0,3298115
Tabla 9.24 Pérdidas totales IEEE-30.
9.2.2 Flujo de cargas de continuación IEEE-30.
En este caso vamos a usar el mismo sistema pero esta vez aplicaremos el método
de continuación para obtener el flujo de cargas.
SOLUCIONES ESTADISTICAS
NÚMERO DE ITERACIONES 32
MÁXIMO DESIQUILIBRIO P [p.u.] 0
MÁXIMO DESIQUILIBRIO Q [p.u.] 0
POTENCIA BASE [MVA] 100
Tabla 9.25 Soluciones estadísticas CPF- IEEE-30.
92
En la siguiente tabla (tabla 9.26) nos encontramos el resultado de aplicar un flujo
de cargas de continuación.
RESULTADOS DE FLUJO DE CARGAS
Bus V phase P gen Q gen P load Q load
[p.u.] [rad] [p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]
Blaine 132 0,929224116 -0,852529 1,221E-15 1,499E-15 0,6740841 0,3222595
Bus 14 33 0,85020379 -1,110453 -3,05E-16 6,523E-16 0,1833036 0,0473041
Bus 15 33 0,824003816 -1,114881 1,749E-15 -9,16E-16 0,2424338 0,0739127
Bus 16 33 0,852813806 -1,079793 -9,99E-16 1,277E-15 0,1034778 0,0532172
Bus 17 33 0,821917598 -1,103137 -1,11E-16 -1,28E-15 0,2660858 0,1714775
Bus 18 33 0,778598494 -1,164827 -3,05E-16 3,123E-17 0,0946083 0,0266086
Bus 19 33 0,764508415 -1,178914 -2,44E-15 -6,66E-16 0,2808684 0,1005213
Bus 20 33 0,778664156 -1,159959 2,068E-15 1,124E-15 0,0650432 0,0206956
Bus 21 33 0,781202313 -1,126692 1,554E-15 -1,05E-15 0,5173891 0,331129
Bus 22 33 0,781617948 -1,125811 1,81E-15 5,478E-15 0 0
Bus 23 33 0,76222305 -1,14797 -2,22E-16 -5E-16 0,0946083 0,0473041
Bus 24 33 0,71386076 -1,163985 -5E-16 7,772E-16 0,2572163 0,1761734
Bus 25 33 0,684301847 -1,161839 6,181E-16 1,023E-16 0 0
Bus 26 33 0,595739836 -1,215886 -6,94E-17 -2,08E-16 0,1034778 0,0679997
Bus 29 33 0,578612227 -1,290476 -4,16E-17 -3,43E-16 0,0709562 0,0266086
Bus 30 33 0,501123563 -1,447427 5,551E-16 1,388E-16 0,31339 0,0561737
Claytor 132 1,045 -0,371496 1,1826037 4,6049044 0,6415625 0,3754767
Cloverdle 33 0,710282644 -1,131299 -1,07E-15 -5,03E-16 0 0
Cloverdle132 0,90402565 -0,783549 1,129E-15 3,409E-15 0 0
Fieldale 132 1,01 -0,926735 -8,88E-16 2,5825499 2,7850317 0,5617367
Glen Lyn 132 1,06 0 9,7425872 0,1820003 0 0
Hancock 11 1,071 -1,043737 3,331E-16 1,1946679 0 0
Hancock 33 0,914834261 -1,043737 4,607E-15 1,166E-15 0,331129 0,2217382
Hancock 132 0,891740159 -0,620091 -5,83E-15 -4,5E-15 0,2246947 0,0473041
Kumis 132 0,898971152 -0,492158 -3,33E-16 3,31E-15 0,0709562 0,0354781
Reusens 132 1,01 -0,81669 3,331E-16 3,7787309 0,8869528 0,8869528
Roanoke 11 1,082 -0,959864 -1,28E-15 0,8531366 0 0
Roanoke 33 0,835380355 -1,087581 2,22E-15 -6,88E-15 0,1714775 -0,073463
Roanoke 1.0 0,917904122 -0,959864 1,135E-15 -2E-16 0 0
Roanoke 132 0,923880971 -0,745215 -1,04E-14 -1,58E-15 0 0
Tabla 9.26 Datos de flujo de cargas en las barras CPF IEEE-30.
En esta tabla (9.27) nos encontramos con los datos obtenidos al aplicar el flujo de
cargas, pero esta vez se puede notar que tenemos las potencias en las líneas.
93
FLUJO EN LAS LINEAS
Del Bus Al Bus Línea P Flow Q Flow P Loss Q Loss
[p.u.] [p.u.] [p.u.] [p.u.]
Glen Lyn 132 Claytor 132 1 6,7694931 -0,699453 0,7907381 2,3096035
Glen Lyn 132 Kumis 132 2 2,9730941 0,8814533 0,3884876 1,3804628
Claytor 132 Hancock 132 3 1,5136617 0,5701451 0,1377757 0,3851284
Kumis 132 Hancock 132 4 2,5136503 -0,534488 0,10781 0,3028114
Claytor 132 Fieldale 132 5 2,8769576 0,2764113 0,3616175 1,4751097
Claytor 132 Roanoke 132 6 2,1291767 0,3738149 0,2494633 0,720595
Hancock 132 Roanoke 132 7 2,1514416 -1,158715 0,0892356 0,3030305
Fieldale 132 Blaine 132 8 -0,269692 0,8221147 0,0345337 0,0678727
Roanoke 132 Blaine 132 9 1,0138727 -0,337356 0,0355634 0,0946263
Roanoke 132 Reusens 132 10 0,9814647 -2,121908 0,0766133 0,2597151
Roanoke 132 Roanoke 1.0 11 0,8879727 0,2172008 2,22E-16 0,1947801
Roanoke 132 Roanoke 33 12 0,4809218 0,2855856 1,665E-16 0,191346
Roanoke 1.0 Roanoke 11 13 7,772E-16 -0,723822 -2,22E-16 0,1293141
Roanoke 1.0 Roanoke 33 14 0,8879727 0,7462432 -3,33E-16 0,1756121
Hancock 132 Hancock 33 15 1,40559 0,4591286 0 0,6114221
Hancock 33 Hancock 11 16 -2,22E-16 -1,02047 1,11E-16 0,1741981
Hancock 33 Bus 14 33 17 0,2574508 0,1139675 0,0116595 0,0242377
Hancock 33 Bus 15 33 18 0,5898368 0,3524121 0,037343 0,0735577
Hancock 33 Bus 16 33 19 0,2271735 0,1800584 0,009488 0,0199499
Bus 14 33 Bus 15 33 20 0,0624877 0,0424257 0,0017441 0,001576
Bus 16 33 Bus 17 33 21 0,1142076 0,1068913 0,001763 0,0064698
Bus 15 33 Bus 18 33 22 0,1873073 0,0829114 0,0066307 0,0135024
Bus 18 33 Bus 19 33 23 0,0860683 0,0428004 0,0009739 0,0019692
Bus 19 33 Bus 20 33 24 -0,195774 -0,05969 0,0024368 0,0048737
Roanoke 33 Bus 20 33 25 0,2750748 0,111654 0,0118207 0,0263946
Roanoke 33 Bus 17 33 26 0,1550155 0,0746402 0,0013743 0,0035842
Roanoke 33 Bus 21 33 27 0,5136543 0,3722721 0,0200677 0,0431917
Roanoke 33 Bus 22 33 28 0,2536723 0,1797677 0,0100702 0,0207638
Bus 21 33 Bus 22 33 29 -0,023802 -0,002049 1,085E-05 2,207E-05
Bus 15 33 Bus 23 33 30 0,1834964 0,1628799 0,0088663 0,01791
Bus 22 33 Bus 24 33 31 0,2197887 0,1569332 0,0137292 0,0213698
Bus 23 33 Bus 24 33 32 0,0800217 0,0976658 0,0036221 0,0074087
Bus 24 33 Bus 25 33 33 0,0252429 0,049647 0,0011474 0,0020039
Bus 25 33 Bus 26 33 34 0,1144677 0,0844154 0,0109899 0,0164157
Bus 25 33 Cloverdle 33 35 -0,090372 -0,036772 0,0022219 0,0042426
Cloverdle132 Cloverdle 33 36 0,5708475 0,6276645 0 0,3268241
Cloverdle 33 Bus 29 33 37 0,2208105 0,1208393 0,0276043 0,0521568
Cloverdle 33 Bus 30 33 38 0,2574428 0,1389861 0,0543253 0,1022544
Bus 29 33 Bus 30 33 39 0,12225 0,042074 0,0119776 0,0226321
Reusens 132 Cloverdle132 40 0,0178987 0,5101555 0,0176647 0,0162297
Roanoke 132 Cloverdle132 41 0,5776876 0,1479516 0,0070741 0,0142129
Tabla 9.27 Datos de flujo de cargas en las líneas CPF IEEE-30.
94
GENERACION TOTAL
REAL POWER [p.u.] 10,925191
REACTIVE POWER [p.u.] 13,19599
Tabla 9.28 Generación total CPF IEEE-30.
CARGA TOTAL
REAL POWER [p.u.] 8,378747
REACTIVE POWER [p.u.] 3,5766085
Tabla 9.29 Carga total CPF IEEE-30.
PÉRDIDAS TOTALES
REAL POWER [p.u.] 2,5464438
REACTIVE POWER [p.u.] 9,6193815
Tabla 9.30 Pérdidas totales CPF IEEE-30.
Al aplicar el flujo de cargas de continuación con el software PSAT, obtenemos una gráfica
muy representativa. (curva de la nariz).
Figura 9.12 Curvas de la nariz para un sistema de 30 barras.
0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Parámetro de carga (p.u.)
Niv
el de t
ensió
n (
p.u
.)
95
9.1.3 Comparación gráfica de los dos métodos.
Figura 9.13 Perfil de tensiones método convencional.
Figura 9.14 Perfil de tensiones método de continuación.
0 5 10 15 20 25 30 350
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4V
[p.u
.]Perfil de tensiones
Barras
0 5 10 15 20 25 30 350
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
V [
p.u
.]
Perfil de tensiones
BARRAS
96
Figura 9.15 Perfil de potencias activas método convencional.
Figura 9.16 Perfil de potencias activas método de continuación.
0 5 10 15 20 25 30 35-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
PG
- P
C [
p.u
.]
Perfil de potencia activa
BARRAS
0 5 10 15 20 25 30 35-4
-2
0
2
4
6
8
10
PG
- P
C [
p.u
.]
Perfil de potencia activa
BARRAS
97
Figura 9.17 Perfil de potencias reactivas método convencional.
Figura 9.18 Perfil de potencias reactivas método de continuación.
0 5 10 15 20 25 30 35-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
QG
- Q
C [
p.u
.]
Perfil de potencia reactiva
BARRAS
0 5 10 15 20 25 30 35-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
QG
- Q
C [
p.u
.]
Perfil de potencia reactiva
BARRAS
98
CAPÍTULO 10:
CONCLUSIÓN
99
10. CONCLUSIÓN.
Como conclusiones se han optado por las siguientes:
Cuando aplicamos el método de continuación a las ecuaciones de flujo de cargas
nos damos cuenta que es una herramienta muy eficaz para el trazado de la curva
de carga y la localización del PMC o punto máximo de carga, también se ha
notado que es posible, que a partir del comportamiento del vector tangente,
podemos encontrar los índices necesarios que nos dicen lo cerca que estamos de
este PMC, como podemos ver en el caso de la derivada respecto 𝜆 en el vector
tangente.
Al aplicar el método de continuación a las ecuaciones de flujo de cargas y
combinado con la técnica de parametrización local queda suficientemente
demostrado que podemos evitar la singularidad en el Jacobiano en las cercanías
PMC. Consiguientemente, se ha visto que es viable obtener las curvas PV para
todas las barras del sistema, para así poder disponer de datos en cada una de las
barras.
Para poder localizar un índice de proximidad al punto de colapso lo hemos hecho
con la introducción del parámetro de carga 𝜆 en las ecuaciones, el cual nos da la
capacidad de carga de un sistema. Este margen es usado para los operadores de
la red y nos dice fielmente que tan cerca nos encontramos del punto máximo de
carga que puede soportar el sistema en términos de potencia activa.
Gracias al flujo de cargas de continuación podemos hacer un análisis de la
cargabilidad del sistema, además de la cargabilidad para distintos márgenes de
generación y carga. Por este motivo este método es muy útil ya que los sistemas
de potencia nunca tienen una generación y carga constante, de esta formas
podemos prever los futuros puntos de colapso del sistema.
Los resultados de las figuras anteriores nos muestran que barras del sistema
presentan un mayor riesgo de provocar un colapso de tensión. Estas barras son
las que tienen un menor perfil de tensión, por lo tanto son las barras que deben
ser estudiadas con más detenimiento.
100
CAPÍTULO 11:
BIBLIOGRAFÍA
101
11. BIBLIOGRAFIA.
Antonio C. Z. de Souza, Claudio A. Caiiizares, Victor H. Quintana. (1997). New
techniques to speed up voltage collapse computations using tangent vectors. IEEE
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Rodríguez,Juan Manuel Rodríguez García. (2006). El colapso de tensión: Causas
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102
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MATPOWER. Obtenido de A MATLAB Power System Simulation Package:
http://www.pserc.cornell.edu/matpower/
103
CAPÍTULO 12:
BASES DE DATOS
104
12. BASE DE DATOS IEEE 24 NODOS.
105
13. BASE DE DATOS IEEE 30 NODOS.
106
