UNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA

MATERIA : CALCULO I

DOCENTE: ING. RAUL MORAN

TEMA: APLICACIÓNES DE LA DERIVADA EN LA ECONOMIA

INDICE

1. INTRODUCCION2. OBJETIVOS3. MARCO TEORICO

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN LA ECONOMIA.FINCIONES DE OFERTA Y DEMANDACOSTOSINGRESOSGANANCIASTASA DE VARIACION MEDIA. TASA DE VARIACION INSTANTANEA. LA DERIVADA. APLICACIONES DE LA DERIVADA REGLA DE LA CADENA DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DERIVABLES. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD . PUNTOS DE INFLEXION FUNCIONES MONOTONAS DETERMINACION DE LOS INTERVALOS DE MONOTONIAFUNCIONES CONCAVASDETERMINACION DE LOS INTERVALOS DE CONCAVIDADOUNTOS DE INFLEXIONRAPIDEZ O RAZON DE CAMBIOAXIOMA DEL SUPREMO

4. CONCLUSIONES5. BOLIOGRAFIA

APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA ECONOMIA

1. INTRODUCCIÓNLas derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.

En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable.

Tal línea de pensamiento fue posible desde la economía neoclásica, primero con Carnot, y luego con León Walras, Stanley Jevons y Alfred Marshall; por ello se conoce a esta innovación analítica como la revolución marginalista.

De hecho las funciones de costo, ingreso, beneficio o producción marginal son las derivadas de las funciones de costo, ingreso, beneficio, producción total.

En ese orden de ideas, el procedimiento se reitera en el contexto de las funciones multivariadas. Mediante las derivadas parciales, es decir estimar las razones de cambio de una variable independiente de una f(x,y) son las derivadas parciales respecto a x o y, manteniendo la(s) otra(s) fija(s). En consecuencia se pueden aplicar las técnicas especiales como derivadas direccionales, gradientes, diferenciales, etc.

NO hay que olvidar que se requiere con frecuencia estimar los niveles donde una función cualesquiera se maximiza (minimiza) -sea cual sea el número involucrado de variables independientes-. De nuevo el cálculo difrencial es de gran ayuda en estas situaciones. También para la búsqueda de la optimización sujeta a restricciones se trata con derivación de las funciones mediante los métodos de los multiplicadores de Lagrange o las condiciones de Kühn-Tucker (esta última para la eventualidad en que la función objetivo que se desea optimizar esté restringida con desigualdades).

Lagrange:

Sea la función objetivo: F(x1,...,xn) s.a: g(x1,...,xn)= C. Donde g es la restricción igualada a una constante C.

f'(x1,...,xn)=tg'(x1,...,xn), donde t= un escalar que multiplica la restricción y que se simboliza con la letra griega lambda.

Kühn-Tucker:f(x1,...,xn), s.a: g(x1,...,xn) > C, ó g(x1,...,xn) < C

Finalmente la premisa para la diferenciabilidad es la continuidad de las funciones, o sea que auellas no posean saltos. Una de las limitantes cotidianas del desempeño profesional en economía es contar siempre con funciones continuas. Suele ser repetido que los datos existentes se manifiesten en secuencia discreta o discontinua. Sin embargo estoe obstáculo no niega la validez conceptual y técnica de las aplicaciones en economía del cálculo diferencial.

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

2. OBJETIVOS

1. Nosotros como estudiantes desarrollamos un entendimiento del concepto de

límites al calcular límites en gráficas y tablas de valores, al encontrar límites por

sustitución y al factorizar las funciones racionales. Amplifican la idea de un límite

al aplicarlo a los límites unilaterales y límites al borde del infinito.

2. Usamos límites para definir y comprender el concepto de continuidad, deciden

si una función es continua en un punto y encuentran tipos de discontinuidades. Y

comprenden y aplican dos teoremas de continuidad: el Teorema de Valor

Intermedio y el Teorema de Valor.

3. Como estudiantes el entendimiento de la derivada como un índice de cambio

instantánea al emplear los métodos geométricos, numéricos y analíticos. Usan

esta definición para encontrar derivadas de muchos tipos de funciones y

combinaciones de estas funciones (empleando, por ejemplo, sumas, compuestos

e inversas). También encuentran derivadas de segundo orden y de orden

superior. Comprenden y usan la relación entre la diferenciabilidad y continuidad.

Comprenden y aplican el Teorema del Valor Medio

4. Podremos aplicar lo que aprenden sobre derivadas para encontrar

pendientes de curvas y líneas tangentes relacionadas. Analizan y hacen gráficas

de funciones y encuentran donde crecen o disminuyen, sus puntos máximos y

mínimos, sus puntos de inflexión y su concavidad. Resuelven problemas de

optimización, encuentran el índice del cambio medio e instantáneas (que incluyen

velocidades y aceleraciones) y modelan el índice de cambio.

En términos generales, las matemáticas es resolución de problemas. En todas las matemáticas, se

usan destrezas para resolver problemas: determinan cómo abordar un problema, explican su

razonamiento y verifican sus resultados si se aplican estas destrezas para investigar límites y

aplicarlos a continuidad, diferenciabilidad, e integración

3. MARCO TEORICO

3.1 APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN ECONOMIA

Las derivadas en sus distintas presentaciones ( Interpretación geométrica, Razón de cambio, variación Instantánea, etc.,) son un excelente instrumento en Economía, para toma de desiciones, optimización de resultados ( Máximos y Mínimos), ETc.

3.1.1 FUNCIONES DE OFERTA Y DEMANDA.-

Si x es el numero de Unidades de un bien ; siendo; y el Precio de cada unidad entonces las Funciones de Oferta y demanda pueden representarse por:

Y = f (x)Donde:, en la practica x se toma siempre positivo.

Si: f’ > 0 ; la función es de ofertaSi: f < 0; La función es de Demanda.

El punto de intersección de las Funciones de oferta y Demanda se llama punto de equilibrio.

Hallar el punto de equilibrio y las pendientes en ese punto de las funciones de Oferta y Demanda :

Respectivamente :

Y = (2008 -8x – x^2) / 16 ; y = (1 x^2)/13

Y = (208 -8x – x^2)/16 x=8 ; y = 5

Y = (1 + x^2)/13 -11,5 : y = 10.4

Se tomara únicamente la 1ra solución como punto de equilibrio, ya que : x debería ser positivo.

La pendiente de la demanda en: P(8,5)

Y = (208 -8x – x^2) /16 Y’ = ½ -x/8

Reemplazando x=8 y’(s) = -3/2 <0

La pendiente de la oferta en: P(8,5)

Y= 0 1 + x^2 / 13 y’(8) = 16/13 > 0

Oferta y demanda

0

10

20

30

40

50

60

70

0 100 200 300 400 500 600

cantidades

prec

ios

demanda

oferta

Por la interpretación geométrica de la Derivada, una Derivada es una Pendiente es una Razón o

relación de Variación Instantánea.

Por tanto en el anterior calculo de las pendiente de las funciones de oferta y Demanda,

representan las variaciones instantáneas de los Precios Unitarios (y) con respecto al numero de

Unidades (x); exactamente en el instante en que: x = 8.

Tomando en Valor absoluto las Pendientes de la Demanda 3/2 ; de la Oferta 16/13, se aprecia que

mayor es la variación de la demanda.

La variación de una cantidad respecto de otra puede ser descrita, mediante un concepto promedio,

o un concepto margina.

El concepto Promedio , es la variación de una primera cantidad, respecto a un Intervalo limitado de

la Segunda cantidad.

El concepto Marginal, es la variación de una Primera Cantidad, respecto a un intervalo tendiente a

Cero de una Segunda Cantidad, es decir se trata de una variación Instantánea.

Comúnmente la primera cantidad es de un concepto Económico (Costo, Ingreso, etc.), La segunda

Cantidad es el numero de unidades.

3.1.2 COSTOS

Si el numero de unidades de un bien es . x ; entonces el costo Total puede expresarse como:

A partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:

COSTO PROMEDIO:

Cp = C (x) / x = y

COSTO MARGINAL:

Cm = C ‘ (x) = dy / dx

COSTO PROMEDIO MARGINAL:

Cpm = dy /dx = xC’(X) – C(x) / x^2 d/dx * Cp

Ej: Si la función de Costo es Lineal C(x) 0 ax+ b. donde a,b son constantes

Costo Promedio: Cp = C(x) / X = ax+b / x = a + b/x

Costo Marginal: Cm = C’(x) = a

Costo promedio Marginal: Cpm = d/dx Cp = - b/x^2

3.1.3 INGRESOS:

Si el Numero de unidades de un bien es x: Siendo la Función de demanda : y = f(x); donde y es el

Precio de la unidad demandada, entonces el Ingreso es:

R(x) = xy = x-f(x)

A partir de esta expresión de ingreso total, se definen los siguientes conceptos:

INGRESO PROMEDIO

Rp = r(x) / x

INGRESO MARGINAL:

Rm = R ‘(x)

Nótese que la expresión de Ingreso promedio carece de mayor importancia puesto que es

equivalente a la demanda del bien.

Ejemplo : Una función de Demanda es: Y = 12 – 4x

El Ingreso : R(x) = xy = x(12 -4x)

El Ingreso Marginal: R’ (x) = 12 -8x

Comúnmente se procura maximizar el Ingreso total para ello es suficiente con recurrir a las

técnicas de Máximos y mínimos conocidas ( Derivar e igualar a Cero)

Ejemplo: Hallar el Ingreso Marginal y el Ingreso Máximo, que se obtiene de un bien cuya función de

demanda es y = 60 -2x

La demanda: y = 60 – ex

El Ingreso: R(x) = xy = x( 60 – 2x) = 60x – 2x^2

El Ingreso Marginal: R’(x) = 60 – 4x

Maximizando la ecuación de Ingreso Total:

Si. R8x) = 60x – 2x^2

R’(x) = 60 – 4x = 0 x=15

Rmax. = 60+15 – 2*15^” = 450

En este problema no se verifica que el Punto Critico hallado mediante la derivada igualada a Cero,

determina evidentemente a un máximo ya que se supone de acuerdo las condiciones de cada

problema ( de todas maneras la verificación es simple utilizando la segunda derivada)

3.1.4 GANACIAS:

Si x es el numero de Unidades; siendo R(x) el Ingreso Total ; c((x), el costo total; la ganancia

entonces es:

G(x) = R(x) – C(x)

Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar e igualar a cero esto

significa :

G’ (x) = R’(x) – C’(x) = 0

r’(x) = C’(x)

Entonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, debe ser igual al Costo Marginal.

Ejemplo

Hallar la ganancia Máxima que se obtiene con determinado bien cuya ecuación de Costo total es:

C(x) = 20 + 14x ; La Demanda que posee el bien es: y= 90-2x

El costo total C(x) = 20 + 14x

La Demanda y = 90-2x

El ingreso Total: R(x) xy = x(90-2x)

La Ganancia: G(x) = R(x) – C(x)

= x(90-2x) – (20 + 14 x)

= -2x^2 +76x – 20

Maximizando G’(x) = -4x + 76 = 0 x = 19

GMax. = 2+19^2 + 76*19 – 20 = 702

Se supone que las unidades del ingreso ; Costo, Ganancia son unidades monetarias iguales.

Similarmente en el problema se supone que las unidades monetarias de la Demanda y Costo son

iguales.

Hasta el momento se ha operado en los distintos problemas, con funciones ya conocidas de

Demanda, costo, etc.

Sin embargo en la practica es preciso a veces obtener tales funciones a partir de las situaciones

que presenten los problemas, que utilizan a las Derivadas como aplicación económica.

Para obtener las funciones de costo demanda, etc. Es conveniente ordenar datos, que provienen

de las condiciones del problema de ser necesario se utilizaran variables auxiliares, que

posteriormente dieran ser eliminadas, siguiendo luego pasos equivalentes a los sugeridos en los

problemas de Máximos y mínimos. Se obtendrán los resultados pedidos.

Ejemplos:

Un propietario de 40 departamentos(dep.) puede alquilarlos a 100 $ c/u, sin embargo observa que

puede incrementar en 5$ el alquiler por cada vez que alquila un Departamento menos. ¿ cuantos

Departamentos debe alquilar para un máximo ingreso?

Reordenando los datos:

Nº Total Dep. : 40

Nº Dep. Alquilados : x

Nº Dep. no alquilados: u

Alquiler de 1 dep. originalmente : 100$

Incremento por 1 Dep. no alquilado : 5$

Ingreso por u Dep. no alquilados: 5u$

Ingreso por alquiler de 1 DEp. : 100 + 5u

Ingreso por alquiler de x Dep. : x(100+5u)

Reemplazando la ecuación de ingreso es:

R = x((100+5(40-x))

= -5x^2 + 300x

R’ = -10x + 300 = 0 x = 30

Rmax. = -5*30^2 + 300*30 = 4500$

Nótese que no se alquilan 10 dep. ( u = 10)

El alquiler de 1 Dep. es :

100 + 5u = 100 + 5*10 = 150$

2. Una entidad bancaria cobra una tarifa de 20$; por cada 1000$ de transacción comercial que

efectúa, ofreciendo una rebaja de 0,1$ por cada 1000$ encima del monto de 100000 $. Hallar su

máximo Ingreso si:

a) La rebaja afecta al monto total de la transacción.

b) La rebaja afecta únicamente al monto por encima de 100000$

Reordenando datos:

Nº de miles de $ d4e transacción total : x

Nº de miles de $ encima de 100 mil $ :u

x = u + 100

Tarifa original por mil $ : 20$

Rebaja por mil $ encima de 100mil : 0,1 $

Rebaja por u miles, encima de 100mil : 0,1u $

Tarifa con rebaja: 20 – 0,1u

a) Si la rebaja afecta al monto total de la transacción (x en miles de $); el ingreso es:

R = x(20-0,1u) R’ = - o,2x+30 = 0 x = 150

= x ( 20 – 0,1(x-100) Rmax. = 0.1*150^2 + 30*150 = 2250 mil

= 0,1x^2 + 30x =2250000$

b) Si la rebaja afecta únicamente a 1 monto por encima de 100miles de $ ( u en miles de $) ; el

ingreso provendrá del monto con tarifa fija, mas el monto con rebaja:

R = 100*20 + u(20-0,1u) R’ = -0,2x + 40 = 0 =0> x=200

= 2000 + ( x-100) (20-0,1(x-100) Rmax = -0,1 -0,2x +40 0 0 x=200

= -0,1x^2 + 40 x – 1000 = 3000 miles de $ = 3000000$

3.2 TASA DE VARIACIÓN MEDIA

INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN

Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h,

entonces f pasa a valer

f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el

incremento de la función.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA

Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el

intervalo

 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:

T.V.M. [a, b] =

 

Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función

f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]

Solución

T.V.M. [0, 2] =

 

3.3. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. LA DERIVADA

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).

La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería .

 

Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo

tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el

incremento de la variable tiende a 0.

=

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:

Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que f sea

continua) según se considere el límite para  h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y

coinciden la función es derivable.

Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función  en x =0 son 1 y –1.

      

 

Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0.

 Proposición. Toda. función derivable en un punto es continua en dicho punto.

El recíproco es falso.

Ejemplo 2.  es continua en 0, pero no es derivable en 0.

3. 4. APLICACIÓN FÍSICA DE LA DERIVADA

         Consideremos la función espacio E= E(t).

         La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t0, t]  es:  vM(t)=

, que es lo que en Física llaman la  velocidad media en ese intervalo de tiempo, si

calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:

La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA

La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la

gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.

Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:

 

La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))

La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar

     y - f(a) = f ´(a)(x-a)       .

Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f,  pasa por el punto (a, f(a)) y tiene

como pendiente la derivada de f en a, f’(a)

Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente

 

3.4 FUNCIÓN DERIVADA. REGLAS DE DERIVACIÓN. CÁLCULO DE DERIVADAS

 

LA FUNCIÓN DERIVADA

La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y

se denota por f´.

Tabla de derivadas de algunas funciones elementales

1) f(x)  =k f´(x) =0

2) f(x) =  xn f´(x) = nxn-1

3) f(x) =   f´(x) =

4) f(x) = ln x f´(x) =

5) f(x) = ex = ex

6) f(x) = sen x f´(x) = cos x

7) f(x) = cos x f´(x) = -sen x

3.3.3 REGLAS DE DERIVACIÓN

Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica:

-(f +g)´= f´(a) + g´(a)

-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a)

Además si g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y se verifica

-

Ejercicio 6. Calcula la derivada de:

a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b)

c) h(x) = tan  x;  d)

  Si vemos los puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta:

a) f(x)=           

Observación: la gráfica de esta función es:       

b) y =

c) g(x)=

 

Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación.

Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a la función (f ´)´= f ´´ , que se

llama derivada segunda,

y  f ´´´, f ´ v  que se dice son las derivadas sucesivas de f.

 

3.5 REGLA DE LA CADENA

Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces fg es derivable en a y se verifica:

(fg)´(a) = f´(g(a)).g´(a)

Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de

función)

DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

Como aplicación de la regla de la cadena se tiene, si y’ , y de aquí se llega

al método de la derivación logarítmica.

 Método:

Sea

1º Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad

ln y =ln =g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos)

2º Se deriva     

 

3º Se despeja y’

[ ] [ ]

 

que puede escribirse :

 Observación. La fórmula por ser muy “compleja[1]” no suele aplicarse  es preferible aplicar el

método en cada ejercicio.

 Ejemplo: Consideremos la función y = x x, si tomamos logaritmos en ambos lados se sigue:

, y  derivando los dos miembros de la igualdad

       y’=xx(ln x +1)

3.6 DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA

Es otra aplicación de la regla de la cadena.

Como ff -1= I, se tiene (ff –1)’(x)= f ’(f –1(x))(f –1)’(x)=1, luego despejando

(f –1)’(x)= 1/f ’(f –1)’(x),

Ejemplo: Consideremos la función y =arc tg x  x = tg y,  y derivando x ’ = 1 +tg2y, de donde:

Tabla de derivadas

 Calculamos la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x)= ;        b) ;

 c) y = ;      d) h(x) =cos3(x2-2); 

e) y =e arc tg x;                f) j(x) =arc sen(x + 3x2)

g) y = ;      h) k(x) =(x2+1)cos x;

 j) y = ln ; k) y = ;

 

5.Crecimiento y decrecimiento de una función

Proposición. Si una función f es derivable en un punto a, y f’(a)>0 entonces f es creciente en el

punto a.

Figura 1

La demostración de este resultado puede hacerse usando la definición de derivada y e concepto de

límite, pero resulta evidente si se tiene en cuenta el significado geométrico de la derivada (ver

figura 1).

Si f es derivable en un intervalo I y f ’ >0  en ese intervalo entonces f crece en I.

El recíproco no se cumple en general.

Ejemplo 5. La función y =x3 cumple que es creciente en todo R, y sin embargo f ’(0) =0.

Análogamente si f es derivable en un punto a y f ‘(a)<0 entonces f es decreciente en a. Si f ‘<0 en

todo un intervalo I, f es decreciente en I. (Ver figura 1)

3.7. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS (O LOCALES) DE FUNCIONES DERIVABLES

Figura 2

Si una funcion tieneun máximo o mínimo relativo (o local) se dirá que tiene un extremo relativo.

Definición: Decimos que f(c) es el valor máximo absoluto de una función f en un intervalo

(a,b) que contiene a c, si f(c) ≥ f(x) x (a,b). De manera análoga se define un valor

mínimo absoluto de una función en su intervalo.

Teorema: Diremos sin demostración que si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b],

entonces f(x) tiene un máximo y un mínimo en [a,b]

Extremos de una función.

f(x) A C E

D F

B X a b c d e f

Sea f(x) una función continua en el intervalo [a, f], en este intervalo, la función presenta dos valores

máximos en A, C (f(a), f(c)) y un valor mínimo en B (f(b)), se conocen como máximos absolutos.

Los puntos D, F corresponden a mínimos en su entorno y por lo tanto son mínimos relativos,

análogamente E que corresponde a un máximo relativo.

Definición

Decimos que f(c) es un máximo relativo de una función f si existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε),

con ε >0, tal que f(x) está definida y f(x) ≤ f(c), x (c – ε, c + ε).

Decimos que f(c) es un mínimo relativo de una función f si existe un intervalo abierto (c – ε, c + ε),

con ε >0, tal que f(x) está definida y f(x) ≥ f(c), x (c – ε, c + ε).

Teorema

Sea f(x) una función continua en el intervalo abierto (a, b) y sea c un punto de este intervalo. Si f(c)

es un extremo de f, entonces f´(c) = 0 o bien no existe.

Demostración

Sea f(c) un valor máximo relativo de f, y supongamos que f ´(c) existe. Entonces existe un intervalo

abierto (c – ε, c + ε), con ε >0 tal que x ≠ c en este intervalo:

(1) f(x) - f(c) ≤ 0

Cuando x (c – ε, c): (2) x – c < 0

De (1) y (2) se sigue que x (c – ε, c) (3)

Por consiguiente:

En forma análoga, x (c, c + ε) (4) x – c > 0

De (1) y (4): x (c, c + ε) y f ´(c) ≤ 0

Puesto que por hipótesis f ´(c) existe, tenemos que de f ´(c) ≤ 0 y 0 ≤ f ´(c), se tiene que f´(c) = 0 o

bien no existe. La demostración es análoga cuando f(c) es un mínimo relativo de f.

CONDICIÓN NECESARIA DE EXTREMO

Proposición. Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo, entonces f ‘ (a)=0.Demostración. Si no fuera cierto y por ejemplo f ’(a)>0 entonces por la proposición anterior f sería

creciente en un entorno del punto a, lo que contradice la existencia de extremo.

La condición no es suficiente.

Ejemplo La función y =x3 es creciente en 0, por lo que no puede tener extremos, y sin embargo f

’(0)=0.

Criterio práctico. Hay extremo relativo en el punto si la derivada de la función en ese punto es

cero (condición necesaria f ‘(0)=0) y en dicho punto cambia el crecimiento. Ver figura 2.

         f ’      <0      =0                >0     

Si            |a  hay mínimo relativo en (a, f(a))

f                                 mínimo            

 

f ’      >        =0                <    0            

Si    |a  hay máximo relativo en (a, f(a))

                   f        máximo       

CONDICIÓN SUFICIENTE DE EXTREMO

Proposición. Sea f una función derivable en a y tal que f ‘(a)=0:

a) Si f ’’>0 entonces f tiene un mínimo relativo en el punto a.

b) Si f ‘’<0 entonces f tiene un máximo relativo en el punto a.

Esta proposición nos da también un método para resolver los problemas de máximos y mínimos

para funciones derivables.

Se presentarán en  tablas estos resultados:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ALGUNAS “PRECISIONES” SOBRE LOS EXTREMOS DE FUNCIONES

OBSERVACIÓN 1. Decir que f posee un máximo local en un punto x0, significa que existe un

intervalo (x0 - r, x0 + r) tal que f(x) f(x0) para todo x perteneciente al conjunto 

(x0 - r, x0 + r) Df .

Análogamente para mínimo local.Esta matización en la definición de extremo, de intersecar el entorno con el  dominio de f, Df,  es

esencial. En otro caso se puede llegar al absurdo de decir que una función continua, definida en un

dominio compacto, no tiene extremos locales (cuando sabemos por el teorema de Weiertrars que

los posee incluso absolutos), cuando éstos se alcanzasen en puntos no interiores del dominio.

OBSERVACIÓN 2. No se deben asociar tanto los extremos locales a las derivadas, ya que éstos

pueden encontrarse en los puntos en que la función no es derivable.

La función:

(su dominio es [-2,3])

Cuya gráfica se adjunta

F(x) Crece Máximo Decrece

F '(x) + 0 -

F ''(x) - - -

F(x) Decrece

Mínimo Crece

F '(x) - 0 +

F ''(x)   +  

Figura 3

3.8. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN

Una función es convexa[3] en a, si existe un intervalo que contiene al punto a,  tal que la diferencia

entre la ordenada de la función y la ordenada de la tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) es

positiva en dicho intervalo.

Figura4

Análogamente se dice que es cóncava cuando dicha diferencia es negativa.

Se dice que f tiene un punto de inflexión en a si existe un entorno de a en que la diferencia entre

la ordenada de f y la de la tangente en a tiene distinto signo a la izquierda que a la derecha.

Por lo tanto f tiene un punto de inflexión en a si en dicho punto la tangente atraviesa a la gráfica.

 

 

 

Ejemplo . En la gráfica de la figura se aprecia que la función es cóncava en el punto –1 es convexa

en el punto 3/2 y tiene un punto de inflexión en el 0:

 

X -  -

  0  +

 

f ’’   - 0 + 0 - 0    

F   inflexión inflexión inflexión  

 

 3.9. FUNCIONES MONÓTONAS.

    Consideremos la gráfica de abajo  en la que se tiene el recorrido de un ciclista en una carrera;

en ella se observan desniveles en el recorrido,  se tiene un primer trozo en el que el ciclista sube,

 

después baja y por último sube otra vez hasta llegar a la meta. Pretendemos formalizar el concepto

"subir" en la gráfica de una función, para ello tomemos dos puntos x e y del eje X y obtengamos

sus asociados del eje Y, se observa que si x<y entonces se tendrá que f(x)<f(y).

    Si por el contrario tomamos dos puntos del eje X en los que la función "baja" con x<y y

obtenemos sus asociados del eje Y, se tiene que debido a la bajada f(x) tiene que ser mayor que

f(y).

Formalicemos los conceptos anteriores y tenemos:

 

Definición 1.-

Sea un intervalo y sea f una función con dominio I. Entonces:

* Decimos que f es creciente en I si  x, y  I,  tales que x<y se tiene que f(x)  f(y)

Decimos que f es decreciente en I si   x, y  I tales que x<y se tiene que

f(y)  f(x)

Si una función es creciente o decreciente diremos que es monótona.

 Decimos que f es estrictamente creciente en I si  x,y  I tales que x<y se tiene que f(x)<f(y)

Decimos que f es estrictamente decreciente en I si  x,y  I tales que x<y se tiene que f(y)<f(x)

Si una función es estrictamente creciente o estrictamente decreciente diremos que es estrictamente monótona.

3.10 DETERMINACIÓN DE LOS INTERVALOS DE MONOTONÍA.

    La determinación del crecimiento y decrecimiento de una función es en general una tarea

bastante difícil, veamos si las derivadas nos pueden ayudar. Observemos la gráfica de abajo, en

ella tenemos una función creciente y se han trazado varias rectas tangentes en distintos puntos, los

ángulos que forman todas estas tangentes son siempre ángulos cuyas medidas están

comprendidas entre 01 y 901 y por tanto su tangente siempre es positiva, tendremos entonces que

siempre que la función sea creciente la derivada tiene signo positivo o es cero

    Por otro lado sea ahora la gráfica de otra función decreciente, se tiene entonces que todas las

tangentes trazadas a dicha gráfica forman siempre ángulos comprendidos entre 901 y 1801 y por

tanto la derivada en esos puntos será siempre negativa, es decir, si la función es decreciente la

derivada tiene que tener signo negativo o ser cero.

Como consecuencia inmediata tenemos entonces el:

Teorema 1.-

Sea f una función definida en un intervalo entonces:

    a) Si f es creciente entonces 0 f'.

    b) Si f es decreciente entonces f' 0.

Teorema 2.-

    a) Si f'>0 entonces f es estrictamente creciente.

    b) Si f'<0 entonces f es estrictamente decreciente.

    Dem.

    a) Si f fuese estrictamente decreciente, por el teorema 1 se tendría que 0 f' y esto no puede

ser. Si f fuese constante entonces f'=0, que tampoco puede ser; por tanto la única opción posible

es que f sea estrictamente creciente.

    b) Si f fuese creciente aplicando el teorema 1 se tendría que f' 0 y esto es una contradicción;

si f fuese constante entonces f'=0 y como por hipótesis f'<0 la única posibilidad que queda es que f sea estrictamente decreciente.

    Como consecuencia del teorema anterior tenemos que para determinar los intervalos en que la

función es creciente o decreciente tenemos que estudiar el signo de la primera derivada. Para ello:

    a) se obtiene la primera derivada de f(x) y se resuelve la ecuación que se obtiene de igualarla a

cero

    b) después se divide el dominio de definición de la función en intervalos abiertos que tienen por

extremos los ceros de la primera derivada, los puntos donde la función no es derivable y los puntos

de acumulación del dominio de definición de la función que no pertenecen al dominio

    c) posteriormente se estudia el signo de la primera derivada en cada uno de esos intervalos (en

esos intervalos el signo de la primera derivada es siempre el mismo)

    d) en donde tenga signo positivo la función es estrictamente creciente y donde

3.11 FUNCIONES CÓNCAVAS.

Veamos ahora cómo determinar el sentido de la curvatura de una función, para ello definamos los

siguientes conceptos:

Definición 3.-

 

Una función f es cóncava hacia arriba (o convexa) en un punto a si la gráfica de la función se

queda en un intervalo de centro a por encima de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)), es decir,

si  es la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se tiene

que f es cóncava hacia arriba en el punto a si

.

 

Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo si es cóncava hacia arriba en todos los puntos

de ese intervalo.

Una función f es cóncava hacia abajo (o cóncava) en un punto a si la gráfica de la función se

queda en un intervalo de centro a por debajo de la recta tangente a la gráfica en (a,f(a)), es decir,

si  es la ecuación de la recta tangente en un punto (a,f(a)) se tiene

que f es cóncava hacia abajo en el punto a si 

.

3.12. DETERMINACIÓN DE LOS INTERVALOS DE CONCAVIDAD.

    Veamos cómo determinar fácilmente el sentido de la concavidad de una función. Abajo tenemos

la gráfica de una función cóncava hacia arriba en la que se han trazado distintas tangentes a esa

gráfica.

 

    Si llamamos a esos ángulos , , , , se tiene que 01< < <901< < <1801, y que

a<b<c<d y por tanto sus tangentes estarían ordenadas como sigue tg <tg <tg <tg y por

tanto las derivadas en esos puntos, al ser las pendientes de las rectas tangentes, verifican que

f'(a)<f'(b)<f'(c)<f'(d), es decir la derivada primera tiene que ser creciente, por tanto si f es cóncava

hacia arriba entonces f' es creciente y utilizando el teorema 1 se concluye que 0  f''. Con un

razonamiento análogo para una función cóncava hacia abajo (véase la gráfica de la derecha y

realízalo como ejercicio) se obtiene el:

Teorema 5.-

a) Si f es cóncava hacia arriba entonces 0 f''.

b) Si f es cóncava hacia abajo entonces f'' 0.

 

Teorema 6.-

Sea f una función entonces:

a) Si f''>0 entonces f es cóncava hacia arriba.

b) Si f''<0 entonces f es cóncava hacia abajo.

Dem.

a) Sea f''>0; entonces f es o cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Si fuese cóncava hacia

abajo se tendría por el teorema 5 que f'' 0 y esto es una contradicción, por tanto la única

posibilidad es que sea cóncava hacia arriba.

b) Se obtiene con un razonamiento análogo al del apartado a) (realizarlo como ejercicio). c.q.d.

     Para determinar los intervalos de concavidad se realizan los siguientes pasos:

a) se obtiene la segunda derivada de f y se resuelve la ecuación que se obtiene de igualarla a cero

b) después se divide el dominio de definición de la función en intervalos abiertos que tienen por

extremos los ceros de la segunda derivada, los puntos de acumulación del dominio que no sean

del dominio y los puntos donde no exista la segunda derivada

c) posteriormente se estudia el signo de la segunda derivada en cada uno de esos intervalos (en

esos intervalos el signo de la segunda derivada es siempre el mismo)

d) en donde tenga signo positivo la función es cóncava hacia arriba y donde tenga signo negativo

la función es cóncava hacia abajo.

Por ejemplo, supongamos que Dom (f)=R-{b}, que a y c son ceros de la segunda derivada, que en

d la función es continua y no existe la segunda derivada y que a<b<c<d entonces la tabla

quedaría:

3.13 PUNTOS DE INFLEXIÓN.

    Un punto se llama de inflexión si en él la función cambia el sentido de la concavidad, por tanto

en los puntos de inflexión la segunda derivada tiene que cambiar de signo y por tanto en él la

segunda derivada tiene que ser cero.

Para determinar los puntos de inflexión hay dos métodos:

    A) Se determinan los intervalos de concavidad, si en uno de esos intervalos la función es

cóncava hacia arriba o hacia abajo y en el siguiente cambia el sentido de la concavidad, siendo el

extremo del intervalo un punto del dominio de definición en el que la función es continua,

tendremos un punto de inflexión.

Si nos fijamos en el ejemplo que aparece en la determinación de los intervalos de concavidad se

tiene que en (a,f(a)) y en (d,f(d)) hay puntos de inflexión.

B) Teorema 7.-

Sea a un punto del dominio de definición tal que f''(a)=0 y que f'''(a)…0, entonces la función tiene

en (a,f(a)) un punto de inflexión.

Dem.

Si f'''(a)<0, tiene que existir un intervalo centrado en a en el que  x (a- ,a+ ) se verifique

que f'''(x)<0, por tanto en ese intervalo, aplicando el teorema 2 se tiene que f'' es decreciente.

Como f''(a)=0 entonces  x (a- ,a) f''(x)>0 (puesto que x<a) y por tanto f es cóncava hacia

arriba; si x  (a,a+ ) se tiene que x>a y como f''(a)=0 y f'' decreciente entonces f''(x)<0 y por

tanto f es cóncava hacia abajo. Uniendo los dos resultados anteriores se tiene que f cambia en a de concavidad y por tanto tiene en a un punto de inflexión.

El caso f'''(a)>0 se demuestra de forma análoga (hacerlo como ejercicio). c.q.d.

Por tanto para determinar si uno de los ceros de la segunda derivada es un punto de inflexión se

calcula la tercera derivada y se evalúa en ese punto, si el resultado es distinto de cero se tiene un

punto de inflexión. Si el resultado sale cero tenemos que calcular la cuarta derivada, si al evaluar

en ese punto el resultado es distinto de cero no es un punto de inflexión (es un máximo o un

mínimo) si sale cero tenemos que calcular la siguiente derivada y reiterar el proceso y así

sucesivamente.

3.14 RAPIDEZ O RAZON DE CAMBIO

La expresión representa el cuociente entre la variación de la

variable dependiente (función) y la variación experimentada por la variable independiente, por este

motivo se le denomina razón media de cambio de la función f(x), cuando se toma el límite a esta

expresión en que Δx → 0, es decir la derivada, se le denomina también razón instantánea de

cambio.

Este concepto se aplica también en cinemática al expresar la posición de un cuerpo con

movimiento unidimensional en función del tiempo x = x(t), en tal caso la razón instantánea de

cambio de la posición, corresponde al concepto de rapidez instantánea.

Para encontrar entonces la razón de cambio se debe determinar en primer lugar la relación entre

las variables mediante una función y posteriormente obtener su derivada.

Ejemplo:

Encontrar la rapidez de variación del volumen de un cubo con respecto a la longitud de un lado.

Solución:

Si la relación entre el volumen de un cubo (V) y la longitud de uno de sus aristas (a) es:

V = a3 entonces obteniendo dV/da se tiene la variación, esto es: V´ = 3a 2

Ejemplo:

Se vierte agua en un estanque cilíndrico de 2 metros de radio basal y 4 metros de altura a razón de

50 litros por minuto. ¿Con que rapidez asciende el nivel del agua?

Solución:

Llamando h a la altura del nivel de líquido en cualquier momento, se puede expresar el volumen

del contenido en función de h de la forma: V = π r2 h despejando h se tiene:

h = en que π y r son constantes, luego derivando resulta:

pero dado que ingresa agua a razón de 50 litros por minuto (dV/dt) entonces:

3.15 AXIOMA DEL SUPREMO:Tomaremos en cuenta las siguientes definiciones:

Def. 1 .- Si A es un subconjunto no vacío de R decimos que A esta acotado superiormente si existe

el numero b tal que x<= b ; x que pertenece a A se llama COTA SUPERIOR de A.

Def. 2.- Si A es subconjunto no vacío de R decimos que A esta acotado inferiormente si existe un

numero a, tal que: a<= x ; x que pertenece a A se llama COTA INFERIOR de A.

Def. 3 .- Se dice que A esta acotado si lo es superior e inferiormente.

Def. 4. Asumiendo que A esta acotado:

a) El SUPREMO de A es la menor de las Cotas superiores.

b) El INFIMO DE a es la mayor de las cotas inferiores.

4. CONCLUSIONES

De acuerdo a lo estudiado podemos afirmar que la utilización de los métodos de derivación junto a

sus propiedades dentro de la economía son de una gran ayuda para realizar los cálculos

correspondientes.

Es una gran ayuda para poder realizar el cálculo del punto de equilibrio entre oferta y Demanda.

Con los métodos utilizados junto a sus teoremas de aplicación se realizan cálculos para demostrar

las variaciones en el mercado entre oferta y demanda.

Usando estos métodos podremos encontrar las variaciones de Costos e ingresos, ganancias y

Beneficios.

5. BIBLIOGRAFIA:CALCULO IIVictor Hugo Chungara 1992

MICROECONOMIAEDICIONES SHAUM ( Tercera Edicion) Dominick Salvatore

CALCULO DE ECUACIONES DIFERENCIALESVictor Hugo Chungara EDICION 1992