APÉNDICE : COORDENADAS CURVILÍNEASocw.uv.es/ciencias/2/1-2/112733mats03.pdf · Ejemplos 2 ρ φ...

APÉNDICE : COORDENADAS CURVILÍNEAS

rr

Chantal Ferrer Roca 2008

Las coordenadas esféricas se utilizaban en el siglo IV-III a.C., tanto para la determinaciónde posiciones estelares (por ejemplo, catalogación estelar de Hiparco) como de longitud y latitud sobre la superficie terrestre (por ejemplo, Geografía Física de Eratóstenes)

ρ

φ

P(ρ,φ)

coordenadas polares

P(x,y)

INTRODUCCIÓN A LAS COORDENADAS CURVILÍNEAS: POLARES

coordenadas cartesianas

xur

yur A

r

yyxx uAuAA rrr+= φφρρ uAuAA

rrr+=

vectores unitarios base

⊥ a las líneas de x cte.sentido: incremento de x

xur

x ctey

x

⊥ a las lineas de y cte.sentido: incremento de y

yur

y cte

y

x

22 yx +=ρ

xytg 1−=φ

φρ sin=yφρ cos=x

⊥ a las líneas de φ cte.sentido: incremento de φ

φur

y

x

φ cte

?

ρurφu

r Ar

⊥ a las líneas de ρ cte.sentido: incremento de ρ

ρury

xρ cte

ρur

φur

Q

En todos los puntos los vectores unitarios tienen la misma dirección En cada punto los vectores unitarios tienen

dirección diferente


Ejemplos 2

ρ

φ

P(ρ,φ)

coordenadas polares

P(x,y)



xur

yur A

r

ρurφu

r Arρu

r

φur

Q

En todos los puntos los vectores unitarios tienen la misma dirección

En cada punto los vectores unitarios tienen dirección diferente

)2,0(A =r

En el punto (1,0) en cartesianas

ρurx

yAr

φ== u2)2,0(A rrEn polares

ρurφur

)1,1(A −=r

En el punto (1,1) en cartesianas

Ar

φ−=−= u2)2,0(A rrEn polares

)2,0(A −=r

En el punto (1,π ) en polares

ρurφur

Ar

j2)2,0(Arr

== En cartesianas

y

x− x)0,1( )1,1(x

y

φur (1,π )



xur

yur


Ar

P(x,y)

yyxxcar uAuAArrr

+=

yxpol u)cosAsinA(u)sinAcosA(A rrrφ+φ+φ−φ= φρφρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

y

x

AA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

φ

ρ

AA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

φφφφ

cossinsincos

T-1 = TT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φφ−φφ

=φ

ρ

uu

cossinsincos

T r

r

pol1

car ATArr −= carpol ATA

rr=

ρ

φ

coordenadas polares

Ar

φ

yx usinucosu rrrφ+φ=ρφπ

+2

yx ucosusinu rrrφ+φ−=φ


yx usinucos rrφ+φ yx ucosusin rr

φ+φ−

ρurφur

φφρρ += uAuAApolrrr


Ejemplo 3:

φφ

ρ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= u2

20

22

11

1111

22

AA

º45cosº45sinº45sinº45cos

AA

y

x rrpolA

El vector (1,-1) está aplicado en el punto (1,1), ambos en cartesianas. Escribid el vector en coordenadas polares

)1y,1x(P ==

º451tgxytg 11 ===φ −−

2yx 22 =+=ρ

)1,1(

)1,1(A −=r

ρurφur

(Problema 1.1 b) boletín)


Geométricamente: es fácil ver que en el punto P (1,1) el vector (1,-1) tiene dirección uφ (y sentido opuesto), sin realizar una transformación de las coordenadas.


φρφφρφ

u)ucosusin(d

rdyx

rrrr

=+−=

variación de φy

x

φur

rr

φφφρφ drd

drd1

drd1u

r

r

rr

==

Obtención analítica de los vectores unitarios

ρρρρ drd

drd1

drdu

r

r

rr

==

ρφφρ

uusinucosd

rdyx

rrrr

=+=

variación de ρy

xρur

rr

ρh

yxyx usinucosuyux)y,x(rrrrr

φρφρ +=+==carrφur

ρur

ρ=rr

φ

rr

ρρρ u)0,(rr

==polr

vector de posición del punto P(x,y,z)

elemento de trayectoria (geométricamente)

yx udyudxrrr

+=carrd

mismos resultados usando la matriz T

φρ φρρ ududrrr

+=polrd

rdr

dρρdφ

variación de la distancia radial

variación del elemento de arco

φh


COORDENADAS CURVILÍNEAS- GENERALIZACIÓN

Curvilíneas q1, q2, q3

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

uuu

Tr

r

r

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

)q,q,q(fz)q,q,q(fy)q,q,q(fx

3213

3212

3211

vectores unitarios

;qr;

qr

h1

iii ∂∂

=∂∂

=rr

rii hu

matriz de transformación cart-curv

333222111 udqhudqhudqh rrrr++=rd

φρ sin=yφρ cos=x

Ejemplo: coordenadas polares

sistema de coordenadas

elemento de línea

ρ=1qφ=2q

φφ=

φρ=φ d

rddrd

1d

rd1ur

r

rr

φh

ρρ=

ρ=ρ d

rddrd

1d

rdur

r

rr

ρh

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φφ−φφ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

φ

ρ

cossinsincos

uu

T r

r

φρ φρ+ρ= udud rrrrd

• Si la coordenada qi es una distancia, hi =1

• Si la coordenada qi es un ángulo, hi es la cantidad que lo transforma en una distancia de arco hi dqi .


COORDENADAS CILÍNDRICAS

vectores unitarios

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

zuuu

1000cossin0sincos

r

r

r

φ

ρ

φφφφ

cilT

222

z

)dz()d()d(

;udzudud

++=

++=

φρρ

φρρ φρ

ds

rdrrrr

dρdz ρ dφ

zuzu rrr+ρ= ρr

φ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

zsin

cos

zyx

φρφρ

ρ

z

φur

zur

rr

P

zxytg

yx

1

22

=

=

+=

−

z

φ

ρ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

=

1

1

zh

h

h

ρφ

ρ

P

z

x

yρur


Problema 1.1, 1.3 boletín Cuestiones 1.4, 1.9

φur

cte=φ.sup

θur

cte=θ.sup

rur

cter =.sup

COORDENADAS ESFÉRICASz

x

y

φ

θP

r sinθ⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

θφθφθ

cosrsinsinrcossinr

zyx

[ ] [ ]πφπθφθ 2,0,,0;cos 11

222

∈∈==

++=

−−

xytg

rz

zyxr ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

===

θφ

θsinr

r1

hhhr

rurrr=r

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

−−

φθ

φφθφθφθ

θφθφθ

uu

ru

0cossinsinsincoscoscos

cossinsincossin

r

r

r

esfTvectores unitarios

;)dsinr()rd()dr(

;udsinrudrrudr

222 φθθ

φφθθθ

++=

++=

ds

rdrrrr

drrdθ

rsinθ dφ

P

rurhacia "arriba"

φur

hacia el "este"

θur

hacia el "sur"

Problema 1.2, 1.3 boletín


Cuestiones 5, 6

Elementos de línea, superficie y volumen

∫ ⋅=C

rdEC rr

rdr

dx

dy

dz

kdzjdyidxrdrrrr

++=

kdSjdSidSSd zyx

rrrr++= ∫ ⋅=Φ

S

SdErr

∫ ⋅=V

dVM ρ

∫ ⋅∇=ΦV

dVE)(rr

CARTESIANAS

dzdydxdV ⋅⋅= dV

dzdy

idydzr

=

dx

dz

jdxdzr

+

dydx

kdxdyr

+


CILÍNDRICASzudzudud rrrr

++= φρ φρρrd

dzdddV φρρ=

;zz udSudSudS rrrr++= φφρρSd

ρφρ= udzd r

dρ

dz

ρ dφ

dV

rdrdz

ρ dφ dρ

dρ

dz

ρ dφ

;udd zr

ρφρ+dρ

dz

ρ dφ

φρ+ udzd r

Ejemplo: calcular el flujo a través de una superfície circular de radio a del campo vectorial

z22 u)yx(A rr

+=



;sin φθ φθθ udrudrudrrd rrrrr

++=

φφθθ ++= udSudSudSSd rrrrrr

ESFÉRICAS

φθ+ uddrr r

drr sin θ dφ

rdθ

drr sin θ dφ

rdθ

drr sin θ dφ

rdθ

dVφθθ dddrrdV sin2=

Ωd Elemento de ángulo sólido

Ángulo sólido de una esfera: ∫∫ ==Ωππ

πφθθ2

00

4sin dd

Superficie de una esfera: 22 4 adadSS r ∫∫ =Ω== π

drP

rdθ

rsinθ dφ

ruddsinr2 rφθθ= θφθ+ uddrsinr r

rdr

Ejemplo : calcular la carga de una esfera de radio a centrada en el origen, cuya densidad volúmica es

222 zyx)r( ++=ρr

Chantal Ferrer Roca 2008Problema del Boletín: 6.6


Operadores en cilíndricas

2

2

2

2

2

zzz

z

z

z1)(1LAPLACIANO

uA

)A(r1uA

zA

uz

AA1AROTACIONAL

zAA1)A(1AADIVERGENCI

uz

u1uGRADIENTE

∂ψ∂

+∂φ

ψ∂ρ

+∂ρ∂ψ

ρ∂ρ∂

ρ=ψ∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂φ

∂−ρ

∂ρ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ρ

∂−

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂φ∂

ρ=×∇

∂∂

+∂φ

∂ρ

+ρ∂ρ∂

ρ=⋅∇

∂∂ψ+

∂φ∂ψ

ρ+

∂ρ∂ψ=ψ∇

ρφφ

ρρ

φ

φρ

φρ

rrrrr

rr

rrrr

Chantal Ferrer Roca 2008Problema del Boletín: 6.7

Operadores expresados en coordenadas curvilíneas

Operadores en esféricas

2

2

2222

2

rr

r

r2

2

r

sinr1)(sin

sinr1)

rr(

rr1LAPLACIANO

uA)rA(rr

1u)rA(r

sinAsinr1

uA)sinA(sinr1AROTACIONAL

Asinr1)sinA(

sinr1)Ar(

rr1AADIVERGENCI

usinr1u

r1u

rGRADIENTE

∂φψ∂

θ+

∂θ∂ψ

θ∂θ∂

θ+

∂∂ψ

∂∂

=ψ∆

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂θ∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

θ−∂φ

∂θ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂φ

∂−θ

∂θ∂

θ=×∇

∂φ∂

θ+θ

∂θ∂

θ+

∂∂

=⋅∇

∂φ∂ψ

θ+

∂θ∂ψ

+∂∂ψ

=ψ∇

φθθφ

θφ

φθ

φθ

rr

rrr

rr

rrrr


Problema del Boletín: 6.7Ejercicios del Cuestionario: 68

Operadores expresados en coordenadas curvilíneas

Coordenadas generalizadas

( ) ( ) ( )( )

volumendeelementodqdqdqhhherfíciesupde.eudqdqhhudqdqhhudqdqhh

arcodeelementodqhdqhdqhrd

líneadeelementoudqhudqhudqh

321321

321212313113232

21233

222

211

333222111

=++=

++==

++=

dVSd

ds

rd

rrrr

r

rrrr

Operadores

( ) ( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=×∇

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=⋅∇

++=∇

33

21

322

13

211

32

1321

332211321

332211

321

3

321

2

231

1

132

321

33

3

22

2

11

1

1

1

1

qhhh

qqhhh

qqhhh

qhhh

LAPLACIANOAhAhAhqqq

uhuhuh

hhhAROTACIONAL

qAhh

qAhh

qAhh

hhhAADIVERGENCI

qhu

qhu

qhuGRADIENTE

∂∂ψ

∂∂

∂∂ψ

∂∂

∂∂ψ

∂∂ψ∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ψ

∂∂ψ

∂∂ψψ

rrr

rr

rr

rrrr

elementos


Operadores y elementos de línea, superficie y volumen

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