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ANSYS – ANÁLISIS MODAL

MATERIAL DE ENTRENAMIENTO

APÉNDICE B


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Análisis ModalAnálisis Modal


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PAGE 3ANÁLISIS MODAL

El análisis modal es la metodología numérica para

determinar, entre otras cosas, las frecuencias naturales

de vibración de una estructura de acuerdo con las

características de distribución de masa y de rigidez.


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Sistema no-amortiguado

Considerando que el objetivo es determinar las frecuencias naturales del

sistema, entonces su comportamiento debe ser independiente de cualquier

carga externa, así conforme lo visto en el capítulo introductorio, la ecuación

que describe el equilibrio de energía para un sistema no amortiguado puede

ser escrito de la siguiente forma:


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El vector de desplazamiento es definido por un vector que indica la

amplitud de desplazamiento y su variación temporal, o sea:

Por lo tanto la ecuación de equilibrio puede ser reescrita como:

Considerando que el sistema debe estar en equilibrio

independientemente de la variación temporal, entonces:


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Pré-multiplicando la equación por el vector transpuesto {Φ}T:

En este caso, para una frecuencia específica, se tiene:

Entonces:


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Para diversas frecuencias, ω² asume forma de vector, o sea, {ω²} y el vector

{Φ} pasa a ser una matriz [Φ]. En este caso, se considera de que solamente los

valores de la diagonal principal de la matriz resultante presenta valores iguales

a uno, y los demás presentan valores iguales a cero, esto es la matriz identidad.

De esta forma el vector de las frecuencias naturales del sistema esta dado por:

Con esta consideración, para determinar las frecuencias naturales de un

sistema no-amortiguado, bastaría con determinar la matriz [Φ] que establece la

relación:

A través del algoritmo de Block Lanczos , la resolución de este sistema es

realizado determinando los autovalores (que definen las frecuencias naturales)

y autovectores (que definen los modos de vibración) que satisfacen tales

condiciones.


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Sistema amortiguado

Para la gran mayoría de los casos, el amortiguamiento existente en el sistema

es relativamente pequeño, proporcionando un pequeño valor de razón de

amortiguamiento.

Como se verificó en el capítulo sobre amortiguamiento, la relación entre

frecuencia natural no-amortiguada y frecuencia natural amortiguada es:

Si la razón de amortiguamiento es un valor bastante pequeño, la frecuencia

natural amortiguada es prácticamente igual a la frecuencia natural no

amortiguada, de esta forma, realizar un análisis modal no-amortiguado

presentara resultados bastante satisfactorios.


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Cuando un sistema posee elevado amortiguamiento, como una estrutura

montado sobre un sistema en suspensión como resortes y amortiguadores, o

en sistemas donde existe iteracción fluido-estrutura, en estes casos el sistema

matemático debe obedecer la siguiente relación:

La cual nuevamente puede ser reescrita en función de una amplitud variación

armónica en el tiempo:


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En el caso de estructuras no-amortiguadas, se obtiene la respuesta a través de

la resolución de un ecuación de primer grado, donde el autovalor es igual al

cuadrado de la frecuencia natural circular (λ = ω2). Para el caso de estructuras

amortiguadas, la respuesta es obtenida a través de una ecuación de segundo

grado, donde el autovalor es igual a la frecuencia natural circular (λ = ω).

Para transformar el sistema anterior en un problema lineal de autovalor, se

suma una segunda ecuación:


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Combinando las dos ecuaciones, en un sistema matricial, se obtiene:

Se define:


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Por lo tanto el sistema matricial puede ser reescrito de la forma:

Semejante al sistema de equación del caso no-amotiguado, pero en este caso

tanto los autovalores como los autovectores resultantes son complejos, o sea:

El algoritmo Block Lanczos utilizado en sistemas no-amotiguados no consigue

lidiar con las matrices complejas generadas en estes casos. Los algoritmos para

resolver problemas amortiguados son Damp, QRDamp o Unsym.


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Algorítmo de Autovalores

Conforme a lo comentado en anteriormente, existen diversos algoritmos para

la determinación/extracción de autovalores y autovectores, cada cual con sus

ventajas. En ANSYS:

o Sistemas no-amortiguados, los algoritmos son:

• Block Lanczos

• PCG Lanczos

• Householder (Reduced)

• Supernode;

o Sistemas amortiguados, están disponibles:

• Unsymmetric

• Damped

• QR Damped.


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Método de Block Lanczos (LANB)

Método empleado en sistemas no-amortiguados, en que el «solver» de Block

Lanczos utiliza algoritmo de Lanczos donde este recurso es realizado con

bloques de vectores, donde la resolución del sistema matricial generado es

realizada por el método sparse.

Este método es especialmente útil para determinar autovalores dentro de un

determinado rango de espectro de un sistema, porque presenta una tasa de

convergencia semejante en la extracción de autovalores al inicio, medio o final

del espectro de interés.

El método sparse para la resolución matricial, es más adecuado para

determinar pocos autovalores (cerca de 40) en modelos pequeños y

medianos conteniendo elementos de viga, cascara y/o sólidos.


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Método PCG Lanczos (LANPCG)

Método también empleado en sistemas no-amortiguados, y que utiliza

internamente algoritmo de Lanczos para la determinación de los autovalores,

siendo la resolución del sistema matricial realizada por método iterativo de

gradiente pre-condicionado (PCG).

Por el hecho de utilizar un método iterativo, consigue lidiar con problemas

mayores en comparación a Block Lanczos, pero requiere que las matrices

estén bien condicionadas, es decir, presente elementos con formas adecuadas.

Así como en Block Lanczos, es utilizado para determinar pocos autovalores

(hasta 100). Este método siempre calcula los menores autovalores, por lo

tanto si el primer autovalor de interés esta bastante distante del primer

autovalor existente en el sistema, entonces la metodología se torna poco

eficiente.


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Método Supernode (SNODE)

La metodología de Supernode es utilizada en problemas de autovalores simétricos

(sistema no-amortiguado) de modelos grandes cuando es necesario determinar

una cantidad elevada de autovalores (hasta 10 mil). Esta necesidad ocurre

generalmente en análisis armónicos, transiente lineal o espectral, donde se utiliza la

técnica de superposición modal o combinación modal, cuando hay interés en

verificar la respuesta del sistema en frecuencias elevadas.

Este método presenta la capacidad de lidiar con grande cantidades de autovalores,

por generar grupos de nodos de grupos de elementos (denominados de

supernodes). Estos son generados automáticamente por el algoritmo, siendo

calculados inicialmente los autovalores para cada supernode en el rango cero hasta

la mayor frecuencia de interés multiplicado por un factor. En un segundo paso, los

autovalores globales son determinados en base a los autovalores determinados

para los supernodes.

Por lo general es una metodología más rápida que los basados en Lanczos si el

número de autovalores de interés es superior a 200.


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Método Householder (REDUC)

El método de Householder o Reduced, es un método bastante rápido para

trabajar con un subconjunto de los grados de libertad, denominados de

grados de libertad maestros (MDOF).

La utilización de MDOFs lleva a una matriz rigidez exacta, pero utiliza una

matriz masa aproximada, por lo tanto la calidad de los resultados es bastante

dependiente de la correcta definición de la localización de los grados de

libertad maestros.

Esta metodología solamente es empleado en análisis de sistemas no-

amortiguados de modelos grandes, donde la necesidad de reducir el número

de grados de libertad del sistema, sin alterar la malla empleada en el modelo

de elementos finitos es requerida.


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Método Unsymmetric (UNSYM)

El método Unsymmetric, utiliza la matriz [K] y [M] completa. Este método es

utilizado en problemas donde las matrices rigidez y massa son no-simétricas,

como en análisis con interacción fluido-estructura. Como resultados, se

obtienen autovalores complejos, cuya parte real representa la frecuencia

natural del sistema y la parte imaginaria representa a su estabilidad, esto es,

si la parte imaginaria presentar un valor negativo, entonces el sistema es

considerado estable, en cambio si presenta un valor positivo, significa que el

sistema es inestable.

Para esta metodología, el algoritmo de verificación de los autovalores

determinados (Sturm Sequence) no es aplicable, por lo cual existe la

posibilidad de que algunos de los autovalores más elevados no sean

determinados.


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Método Damped (DAMP)

Para problemas donde el amortiguamiento no puede ser ignorado, como en

aplicaciones de dinámica de rotores, se utiliza el método Damped. En este, son

utilizadas las matrices completas de masa, rigidez y amortiguamiento. Así

como en el caso del método Unsymmetric, no es posible utilizar el algoritmo

Sturm Sequence para verificar si todos los autovalores más elevados fueron

determinados.

Los autovalores determinados por este método son valores complejos, donde

a parte imaginaria representa a frecuencia natural del sistema, y la parte real

representa la estabilidad.

Si la parte real es un valor negativo, entonces la amplitud de desplazamiento

decaerá exponencialmente, es decir el sistema será estable, por otro lado, si

es un valor positivo la amplitud de desplazamiento será aumentara

exponencialmente, generando un sistema inestable.


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Método QRDamped (QRDAMP)

En este método inicialmente son determinados los autovalores de un sistema

no-amortiguado utilizando el método de Block Lanczos. Después, se

determinan los primeros autovalores amortiguados por una transformación

modal de los autovalores reales.

Utilizando el algoritmo QR en un problema menor de autovalor es resolvido en

un subespacio modal, con esta metodología se obtienen buenos resultados

para sistemas poco amortiguados, siendo aplicable para cualquier tipo de

amortiguamiento (proporcional, no-proporcional o giroscópico).

Con tales características el método QRDamp puede ser utilizado en modelos

que presentan una matriz rigidez global no-simétrica donde pocos elementos

contribuye para la no simetría, tales como sistemas con fricción o sistemas

rotativos. Pero no es un método indicado para sistema con amortiguamiento

crítico o sobre-amortiguado.


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Block Lanczos

PCG Lanczos


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modopt, method

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