“Es con la intuición que se puede Introducción y...

04/10/10 Carrera de Bioingeniería 2

S

eña

les

y S

iste

mas


Temas a Tratar

� Introducción y motivación

� Descomposición mediante átomos:� Transformada de Fourier de Tiempo Corto

� Transformada Onditas: Continua, Diádica, Paquetes

� Distribuciones de Energía:� Wigner-Ville

� Choi-William


S

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les

y S

iste

mas

Introducción y Motivación


S

eña

les

y S

iste

mas �Es con la intuición que se puede

inventar; pero es con la lógica que uno

puede demostrarlo�

Shie Qian, Dapang Chen, �Joint Time-Frequency

Analysis�, Prentice Hall, 1996.


S

eña

les

y S

iste

mas


¿Qué es el Análisis en Frecuencia...?

� Análisis:

� Consiste en aislar los componentes del sistema que tienen

una forma compleja para tratar de comprender mejor su

naturaleza u origen.

� Para el análisis en frecuencia utilizamos familias de

funciones exponenciales.


S

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les

y S

iste

mas

Problemas del mundo �real�:

¡Nada dura para siempre...!

(solo lo �ideal�, la Eternidad�)


S

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les

y S

iste

mas


Señales no estacionarias o transitorias...

� La familia de Fourier está �diseñada� para analizar

señales cuyo �comportamiento� o propiedades no

varien en el tiempo...

� Las exponenciales complejas resultan ser las auto-

funciones de los sistemas LTI �ideales�.

� En otros casos se requiere otra �base� que permita

realizar un análisis más �útil�...

. . . . . .

t Æ¥t Æ-¥


S

eña

les

y S

iste

mas


0 0.5 1 1.5 2 2.5-1

-0.5

0

0.5

1[A B]

-50 0 500

10

20

30

40

50Transformada de Fourier de [A B]

0 0.5 1 1.5 2 2.5-1

-0.5

0

0.5

1[B A]

-50 0 500

10

20

30

40

50Transformada de Fourier de [B A]

¿Qué es lo que Fourier

no puede �ver�?


S

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les

y S

iste

mas


Entonces...

� Para muchas señales:

� No alcanza con conocer la información relativa al

contenido frecuencial global...

� también necesitamos información acerca de los

tiempos en los que ocurren cambios en el

contenido frecuencial...

� y poder seguir la evolución dinámica de los

mismos.

¿Cuáles señales?: No estacionarias, transitorias o que varían sus

características en el tiempo (derivadas de un sistema no LTI)


S

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les

y S

iste

mas


¿Porqué Necesito Una Descripción

Diferente?


S

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les

y S

iste

mas



Diferente?


S

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y S

iste

mas



Diferente?


S

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y S

iste

mas



Diferente?


S

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iste

mas



Diferente?


S

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y S

iste

mas


F r e c u e n c i a e n H z4 0 0 0

3 0 0 0

2 0 0 0

0

1 0 0 0

T i e m p o e n s e g .

0 0 . 5 2 2 . 51 . 51

Una solución: análisis por tramos

t

t

t

t

t

t

t

f

f

f

f

f

f 4 , 4 , 2 , 1 , 3 , 3


S

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les

y S

iste

mas


Otro Ejemplo: EEG

� Fragmento de EEG en el cual la actividad alfa de 10 Hz tipica del cerebro

desaparece entre el segundo 4 y el 10 cuando los pacientes abren los ojos.

Esta interrupción se nota claramente en el espectrograma.


S

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les

y S

iste

mas


Otro ejemplo: señal FM


S

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les

y S

iste

mas


¿Porque necesito diferentes representaciones

Tiempo-Frecuencia?

� Representación tiempo-frecuencia de la señal �chirp� de eco-localización del murciélago:

� Espectrograma (i),

� Distribución de Wigner Ville (m),

� Optimal radially Gaussian kernel (d).


S

eña

les

y S

iste

mas

04/10/10 20

0

Am

plitu

d

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Tiempo (mseg.)

0 100 200 300 400 500 600 700

ok m o s e L a m a e l m a R


x 10

0 4

Fre

cuen

cia

(KH

z)

1

2

3

4

Fre

c uen

cia

(KH

z)

1

2

3

4

Tiempo (mseg.)

0 100 200 300 400 500 600 700

Cuef

rencia

t (

mse

g)

14



Fre

cuen

cia

(KH

z)

0

1

2

3

4

Esc

ala

5

1

2

3

4

Fre

cuen

cia

(KH

z)

0

1

2

3

4

Coe

fici

ente

s

1

4

8

12

16

Otros tipos de análisis�


S

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les

y S

iste

mas


Clasificación de las representaciones T-F

� Lineales:� Fourier

� Onditas

� Bilineales o Cuadráticas:� Directos o regulares:

� Wigner-Ville.

� Convolucionados o Clase de Cohen:

� Choi-Williams.

� Espectrograma, Escalograma.

� No-lineales:� Series de Distribución T-F (WV)

� Basis Pursuit y Matching Pursuit.

� Best Ortoghonal Basis.


S

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les

y S

iste

mas


Aplicaciones

� Análisis de cambios de dinámica.

� Detección de eventos.

� Clasificación de señales.

� Limpieza de señales (Denoising).

� Compresión de señales.

� Análisis de comportamiento Fractal.

� Etc�


S

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les

y S

iste

mas


Ejemplos: limpieza de ruido acústico

� Automóvil

� Murmullo

� Turbina

� Máquina


S

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les

y S

iste

mas


Ejemplo: Comportamiento fractal


S

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les

y S

iste

mas

Representaciones basadas en átomos


S

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les

y S

iste

mas


¿Qué es un

átomo?

Tiempo

Fre

cuencia

(b) Plano Tiempo-Frecuencia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 (a) Dominio de la Frecuencia

| FFT(WaveletPacket(3,3,7))|

Fre

cuencia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -0.5

0

0.5

1 (c) Dominio del Tiempo

Wave

letP

acket(

3,3

,7)

Tiempo


S

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y S

iste

mas


Transformada de Fourier (FT)

� Ha dominado el análisis de señales por mucho tiempo.

� Su teoría ha sido extensamente estudiada.

� Existe un algoritmo rápido para calcularla (discreta)

� Para señales no estacionarias se utiliza la versión de

corta duración (STFT).

� La STFT posee limitaciones debido a que usa una

única ventana de análisis.


S

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les

y S

iste

mas

STFT como ventaneo temporal



S

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les

y S

iste

mas

STFT como banco de filtros

04/10/10 Carrera de Bioingeniería 29 04/10/10 Carrera de Bioingeniería 30

S

eña

les

y S

iste

mas


Otra forma de verlo...

� Esto puede verse

también como un

cambio en las

funciones de la

�base� que utilizo

para el análisis.

Fourier

STFT (banda angosta)

STFT (banda ancha)


S

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les

y S

iste

mas


Transformada de Fourier de tiempo Corto

(STFT)

Dada una ventana real simétrica, tal que ( )g t g=Se genera una base al desplazarla y modularla con una frecuencia x,

y se obtiene un �átomo tiempo-frecuencia�:

, ( ) ( )i t

ug t e g t uxx = -

Suponiendo que ha sido normalizada de forma que ||gu,x(t)||= 1, la

STFT o Transformada de Fourier Ventaneada se obtiene mediante

el producto interno <f(t), gu,x(t)>:

*

,( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) i t

uSf u f t g t dt f t g t u e dxxx

+¥ +¥ -

-¥ -¥= = -ò ò


S

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les

y S

iste

mas



(STFT)

En el caso discreto, tenemos las siguientes ecuaciones

equivalentes:

, [ ] [ ]i2 ln

Nm lg n g n m e

p-

= -

1

,

0

[ , ] [ ], [ ] [ ] [ ]i2 lnN

Nm l

n

Sf m l f n g n f n g n m ep--

=

= = -å2

12

0

[ , ] [ , ] [ ] [ ]i2 lnN

Ns

n

P f m l Sf m l f n g n m ep--

=

= = -å


S

eña

les

y S

iste

mas


Espectrograma

� El módulo

cuadrado de la

transformada

de Fourier

ventaneada

(STFT) es el

espectrograma

de una señal.

¿Y la fase?


S

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les

y S

iste

mas


Espectrograma

�Constituye una vista

alternativa (3D) de la señal

temporal.

�El eje horizontal es el

tiempo.

�El eje vertical es la

frecuencia.

�La oscuridad o color es

proporcional a la energía


S

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les

y S

iste

mas


Espectrograma

� Podemos definir matemáticamente al

espectrograma como:

� Es una función de densidad de energía o

descomposición T-F cuadrática.

22

( , ) ( , ) ( ) ( ) i tPsf u Sf u f t g t u e dtxx x+¥ -

-¥= = -ò


S

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les

y S

iste

mas



(STFT)

� Para la STFT son válidas las siguientes fórmulas de

reconstrucción:

1( ) ( , ) ( )

2

i uf t Sf u g t u e dxxp

+¥ +¥

-¥ -¥= -ò ò

1 1

0 0

1[ ] [ , ] [ ]

i2 lnN N

N

m l

f n Sf m l g n m eN

p- -

= =

= -åå


S

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les

y S

iste

mas


Diferentes ventanas

Transformada de Gabor

� La ventana g(t) cuadrada no es la más �adecuada�.

� Otras: Hanning, Hamming, Blackman, etc.

� En el trabajo original de Gabor, la ventana usada era una Gaussiana (óptima):

� A la STFT con esta ventana se le llama Transformada de Gabor.

218

2( )t

gaborg t e-

=


S

eña

les

y S

iste

mas


Principio de Incertidumbre:

Resolución tiempo-frecuencia

w

t

1930: Heisenberg

descubre que �no

puedes quedarte con

la torta y comerla al

mismo tiempo�

t w

w

w

t

t

f t( )

f t( )

f t( )

F w( )

F w( )

F w( )

Perfectamente

localizado en el

tiempo

Perfectamente

Localizado en la

frecuencia

compromiso

Principio de incertidumbre:

Límite inferior en el producto T-F

Las funciones muy

localizadas en el

tiempo tienen

espectros poco

localizados en

frecuencia y

viceversa.


S

eña

les

y S

iste

mas


¿Que pasa si

quiero medir un

evento con una

resolución tiempo

frecuencia

arbitraria?




S

eña

les

y S

iste

mas




� No podemos conocer las características

temporales y frecuenciales al mismo tiempo y

con una resolución arbitraria.

� Formalmente decimos que:

� la varianza temporal st y la varianza frecuencial sw

de una función satisface la siguiente

inecuación:

( )2( ) Lf t Î �

1

2t ws s ³


S

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les

y S

iste

mas

Localización

� Tiempo medio

� Frecuencia media

� Varianza temporal

� Varianza frecuencial

21( )m

f

t t f t dtE

�

�-= �

21( )m

f

F dE

w w w w�

�-= �

224( ) ( )t m

f

t t f t dtE

ps

�

�-= -�

224( ) ( )m

f

F dE

w

ps w w w w

�

�-= -�


S

eña

les

y S

iste

mas




� Dada una ventana g(t), la inecuación se

convierte en igualdad.

� Para cada valor de u y x, hay un rectángulo de

incertidumbre de lados st y sw, con área de al

menos 1/2.

� En la STFT la función g(t) permanece siempre

igual (solo se desplaza en el tiempo)

Þ Resolución uniforme tanto en tiempo como

en frecuencia


S

eña

les

y S

iste

mas





S

eña

les

y S

iste

mas




� Caso discreto: Resolución temporal limitada por la longitud temporal de la ventana:

Dt = Tvent

� Resolución frecuencial está también limitada por ésta longitud:

Df = 1/Tvent

� Por lo tanto tenemos: Dt.Df = 1

� Otra vez, no podemos mejorar una salvo que empeoremos la otra.


S

eña

les

y S

iste

mas




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

Tiempo

Fre

cuenci

a

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

10

20

30

40

Tiempo

Fre

cuenci

a


S

eña

les

y S

iste

mas


Transformada Ondita (CWT)

� Es de aparición relativamente reciente (10 años).

� Su teoría todavía continua desarrollándose

� Está �diseñada� para señales no estacionarias.

� Utiliza ventanas de ancho variable de acuerdo a la

frecuencia (de forma similar al oído).

� Existe un algoritmo rápido para calcularla (diádica).

� Su descomposición jerárquica permite el análisis a

distintas escalas (multiresolución).


S

eña

les

y S

iste

mas


Transformada Ondita (WT)

� Una ondita (wavelet) es una función que tiene una duración limitada en el tiempo y tiene valor medio cero.

� Familias de onditas (Coifflets, Daubechies, Haar, etc) con propiedades que las hacen apropiadas para diversos procesamientos.


S

eña

les

y S

iste

mas


Transformada Ondita (WT)

� A partir de una ondita madre, se obtienen �átomos tiempo-escala�, que permiten análisis por compresión o dilatación, y desplazamiento en el tiempo.

� Análisis similar al de la STFT, descomponiendo la señal en términos de éstos átomos.

WT

STFT


S

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les

y S

iste

mas


Onditas: escala y localización

( ),

1u s

t ut

ssy y

-æ ö= × ç ÷è ø


S

eña

les

y S

iste

mas


Familias de Onditas

� Reales o analíticas

� Soporte Compacto

� Simetría

� Regularidad

� Localización Tiempo-Frecuencia

� Otras: Filtros, Modelos, etc.


S

eña

les

y S

iste

mas


Familias de Onditas

Meyer

Daubechies

m=4


S

eña

les

y S

iste

mas


Familias de Onditas

Splines

m=1, n=9

Vaidyanathan


S

eña

les

y S

iste

mas


Familias de Onditas

-4 -2 0 2 4-1

0

1

Morlet

0 0.5 1 1.5-2

0

2

Haar

0 5 10 15 20 25 30-1

0

1

2

Coifflets

0 5 10 15-1

0

1

2

Symlets


S

eña

les

y S

iste

mas


Espectro de una ondita

0 20 40 60 80 100 120-1

-0.5

0

0.5

1Wavelet Daubechies 8

n

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

1

2

3

4

5

6Espectro

w (radianes)


S

eña

les

y S

iste

mas


0 20 40 60 80 100 120-1

-0.5

0

0.5

1Wavelet Symlets 8

n

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

2

4

6Espectro

w (radianes)

Espectro de una ondita


S

eña

les

y S

iste

mas


Transformada Ondita Continua (CWT)

Una ondita es una función con valor medio igual a cero,

norma unitaria y centrada en la vecindad de 0:

2( ) L ( ); ( ) 0; ( ) 1t t dt ty y y+¥

-¥Î = =ò�

A partir de ésta, obtenemos por escalado y traslación el

átomo tiempo-frecuencia:

,

1( )u s

t ut

ssy y

-æ ö= ç ÷è ø

La CWT continua será:

( )*1,( , ) ( ), ( ) ( ) t u

u s ssWf u s f t t f t dy y

+¥-

-¥= = ò


S

eña

les

y S

iste

mas

Transformada Wavelet Continua (CWT)Symlets 8

time (or space) b

sca

les a

20 40 60 80 1 4 7101316192225283134374043

Daubechies 8

time (or space) b

sca

les a

20 40 60 80 1 4 7101316192225283134374043

Morlet

time (or space) b

sca

les a

20 40 60 80 1 4 7101316192225283134374043

Meyer

time (or space) b

sca

les a

20 40 60 80 1 4 7101316192225283134374043


S

eña

les

y S

iste

mas


Resolución T-F CWT

� También cumple con el principio de

incertidumbre de Heisenberg.

� Pero la resolución no es uniforme en el plano

T-F .

� Bajas frecuencias: mayor resolución

frecuencial.

� Altas frecuencias: mayor resolución temporal.


S

eña

les

y S

iste

mas


Resolución T-F CWT


S

eña

les

y S

iste

mas


CWT (ondita sobrero mexicano)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

1

2

t

f(t)

u

log 2(s)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-6

-4

-2

0


S

eña

les

y S

iste

mas


Transformada Ondita Discreta (DWT)

Para calcular la versión discreta, se evalúa en las escalas s=a j con

a=21/v, lo que hace que en cada intervalo [2j,2j+1] haya v valores

intermedios. La función ondita resulta:

1[ ]j jj

nn

aay y æ ö= ç ÷

è øLa Transformada ondita discreta resulta entonces:

1*

0

[ , ] [ ] [ ]N

j

j

m

Wf n a f m m ny-

=

= -åDonde a j pertenece a [2N-1, K-1] y K es el soporte de y (es

distinta de 0 en el intervalo [-K/2, K/2])


S

eña

les

y S

iste

mas


Resolución T-F DWT


S

eña

les

y S

iste

mas


Transformada Ondita Discreta Diádica

� Si se restringe el valor de a de manera que a=2, se

obtiene la transformada ondita discreta diádica

(DDWT)

� En este caso se obtiene una base ortogonal y aparece

el denominado análisis multiresolución.

� En general no se evalúa siguiendo la ecuación de la

transformada discreta.

� Se utiliza un algoritmo rápido basado en filtrado

pasa-bajos y pasa-altos con filtros especiales

derivados de la ondita madre.


S

eña

les

y S

iste

mas


Análisis Multiresolución

� Se define un análisis multiresolución como una secuencia de subespacios que satisface las condiciones:

� (densidad) es denso en L2(R),

� (separación)

� (escalamiento) f(t) V0 <=> f(2-j t) Vj

� (ortonormalidad) es una base ortonormal para V0

V jjÎZU

{ }V jjÎ

=ZI 0 ,

K KÍ Í Í Í-V V V1 0 1

Î

{ }j ( )t kk

-ÎZ

Î


S

eña

les

y S

iste

mas


Análisis Multiresolución

�


S

eña

les

y S

iste

mas


Algoritmo DDWT


S

eña

les

y S

iste

mas


Distribución de los Filtros

f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f0 7f0 8f0 9f0

frecuencia

f0 2f0 4f0 8f0

frecuencia

a)

b)

Ancho de Banda Relativo Constante (WT)

Ancho de Banda Constante (STFT)


S

eña

les

y S

iste

mas


Resolución Tiempo-Frecuencia


S

eña

les

y S

iste

mas


Espectrograma

(STFT)

Escalograma

(DDWT)

Sonograma


S

eña

les

y S

iste

mas


Comparación Discreta-Diádica

0 100 200 300 400 500 6000

0.01

0.02Analyzed signal.

Discrete Transform, absolute coefficients.

j=lo

g2(s

) (s

=2

j )

Tiempo50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

1

2

3

4

5

Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 ...

time (or space) b

sca

les a

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 1 3 5 7 91113151719212325272931


S

eña

les

y S

iste

mas


Bases y marcos

� Se debe aclarar que el conjunto de átomos definidos para la DWT (o la STFT) no necesariamente constituyen una base ortogonal, sino más bien un marco (más general).

� El caso DDWT si constituye una base ortogonal.

� La teoría de marcos analiza la completitud, la estabilidad y la redundancia de las representaciones lineales de señales discretas, además de los aspectos relacionados con la reconstrucción.

� Intuitivamente podemos pensar que la completitud depende de una adecuada cobertura del plano T-F.


S

eña

les

y S

iste

mas


Cuadrículas tiempo-frecuencia

Dirac Fourier

t

f

STFT (banda ancha) STFT (banda angosta)


S

eña

les

y S

iste

mas


Cuadrículas tiempo-frecuencia

WD WP

t

f


S

eña

les

y S

iste

mas

Distribuciones Tiempo Frecuencia

Cuadráticas


S

eña

les

y S

iste

mas


Distribuciones Tiempo Frecuencia

Cuadráticas

� Bilineales o Cuadráticas:

� Directos o regulares:

� Wigner-Ville.

� Convolucionados o Clase de Cohen:

� Choi-Williams.

� Espectrograma, Escalograma.

� No-lineales:

� Series de Distribución T-F (WV)


S

eña

les

y S

iste

mas


Distribución de Wigner-Ville (DWV)

� DWT y STFT se calculan correlacionando la

señal con familias de átomos tiempo-

frecuencia.

� Su resolución T-F está limitada por la de los

átomos correspondientes.

� Idealmente quisiéramos definir una densidad

de energía sin perdida de resolución.

� La DWV posee propiedades muy interesantes

en este sentido.


S

eña

les

y S

iste

mas


Distribución de Wigner-Ville

� Posee otros inconvenientes, como la existencia

de términos de interferencia y la no

positividad.

� Para atenuarlos se requiere realizar una

promediación T-F, lo que resulta otra vez en

una perdida de resolución.

� Se puede demostrar que el espectrograma, el

escalograma y todas las descomposiciones T-F

cuadráticas pueden escribirse de esta forma.


S

eña

les

y S

iste

mas



� Ventana: versión desplazada de la misma

señal.

� Se obtiene comparando la información de la

señal con su propia información en otros

instantes y frecuencias.


S

eña

les

y S

iste

mas



Se define como:

*( , )2 2

i

vP f u f u f u e dtxt tx t

+¥ -

-¥

æ ö æ ö= + -ç ÷ ç ÷è ø è øò

Su versión discreta esta dada por:

21*[ , ]

2 2

i kpN

Nv

p N

p pP f n k f n f n e

p--

=-

é ù é ù= + -ê ú ê úë û ë ûå

Como ésta requiere conocer los valores en muestras intermedias,

se recurre a una interpolación en frecuencias agregando ceros

entre cada muestra.


S

eña

les

y S

iste

mas



� Desventaja: al ser cuadrática con respecto a f,

si f = f1+f2, aparecen términos de interferencia:

1 2 1[v v v vP f P f P f P f= + +donde:

*[ , ]( , )2 2

i

vP h g u h u g u e dtxt tx

+¥ -

-¥

æ ö æ ö= + -ç ÷ ç ÷è ø è øò

Además posee valores negativos.¿Son siempre

malos los términos

cruzados?


S

eña

les

y S

iste

mas


� Algunas propiedades:

� Real.

� Invarianza a la traslación temporal.

� Invarianza a la traslación frecuencial.

� Condición marginal temporal.

� Condición marginal frecuencial.


Parseval


S

eña

les

y S

iste

mas




S

eña

les

y S

iste

mas


DWV, Espectrogama y Escalograma


S

eña

les

y S

iste

mas


Distribución de Choi-William

� Consiste en convolucionar la DWV con un

núcleo exponencial bidimensional (cuasi

cónico).

� No conserva todas las propiedades de DWV,

pero disminuye los términos cruzados.


S

eña

les

y S

iste

mas


Distribución de Choi-William


S

eña

les

y S

iste

mas


Series de Distribución T-F

� Si descomponemos la DWV en una serie de

funciones bidimensionales tipo Gabor los

términos de interferencia son generalmente los

de mayor orden.

� Entonces puedo eliminar estos términos y

quedarme solo con los que tienen información

importante (no-lineal).

� Puedo conservar la mayoría de las propiedades

de DWV.


S

eña

les

y S

iste

mas


Bibliografía: Libros

� Stephane G. Mallat, �A Wavelet Tour of Signal Processing�, Academic Press; 2nd edition, September 1999, Cap. 4.

� G. Strang y T.Nguyen, �Wavelets and Filter Banks�, Wellesley-Cambridge Press, Secciones 2.4 a 2.6.

� L. Cohen, �Time-Frequency Analysis�, Prentice-Hall Signal Processing. 1st edition, January 1995.

� Shie Quian, Dapang Chen, �Joint Time-Frequency Analysis�, Prentice Hall, 1996.

� I. Daubechies, �Ten Lectures on wavelets�, Rutgers University and AT&T Bell Laboratories, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, Pennsylvania, 1992.

� J. Deller, J. Proakis, J. Hansen, �Discrete Time Processing of Speech Signals�. Macmillan Publishing, NewYork, 1993.


S

eña

les

y S

iste

mas


Bibliografía: artículos y sitios WEB

� O. Rioul, M. Vetterli, �Wavelets and signal processing�, IEEE SP

Magazine, vol. 8, no. 4, Oct. 1991, pp.14-38.

� Amara Graps , �An Introduction to Wavelets�, IEEE

Computational Sciences and Engineering, vol 2, no. 2, 1995, pp

50-61, http://www.amara.com/current/wavelet.html

� Wavelet Digest, http://www.wavelet.org/wavelet/index.html

� Wavelet TB http://www.mathworks.com/products/wavelet/

� Wavelab TB, http://playfair.stanford.edu/~wavelab/

� Xwpl, http://www.math.yale.edu/pub/wavelets/software/xwpl/

� P. Flandrin home page, http://www.ens-lyon.fr/~flandrin/


S

eña

les

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iste

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Agradecimientos

� Leandro Di Persia

� Diego Milone

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