1.2.1.2

ANTOLOGIA MTRA. ANGÉLICA GUTIÉRREZ LIMÓN

INDICE PAG

I. METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Y FORMULACION DE MODELOS.

1.1. DEFINICION……………………………………………………………………………….. .21.2. FASES DEL ESTUDIO DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES…………...... 31.3. PRINCIPALES APLICACIONES DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES…... 81.4. FORMULACION DE PROBLEMAS LINEALES………………………………………… 91.5. FORMULACION DE PROBEMAS MAS COMUNES POR EJEMPLO DIETA

TRANSPORTE, ASIGNACION REMPLAZO…………………………………… …… 11II. EL METODO SIMPLEX………………………………………………………………… ... .11

II.1 SOLUCION GRAFICA EN UN PROBLEMA LINEAL………………………….. .112.2. TEORIA DEL METODO SIMPLEX……………………………………………… .. 162.3. FORMA TABULAR DEL METODO SIMPLEX………………………………… … 192.4. EL METODO DE LAS DOS FASES…………………………………………… …..232.5. EL METODO SIMPLEX REVISADO…………………………………………… ….262.6. CASOS ESPECIALES…………………………………………………………… ….28

III. TEORIA DE LA DUALIDAD Y ANALISIS DE SENSIBILIDAD……………………… ….293.1. FORMULACION DEL PROBLEMA DUAL…………………………………… .323.2. RELACION PRIMAL DUAL……………………………………………………………… 343.3. INTERPRETACION ECONOMICA DEL DUAL…………………………………………353.4. CONDICIONES KHUN-TUCKER……………………………………………… .383.5. DUAL SIMPLEX……………………………………………..…………………… 413.6.CAMBIOS EN EL VECTOR COSTOS ………………………………………………… .473.7. CAMBIOS EN LOS Bi DE LAS RESTRICCIONES……………………………473.8. CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES……………………………………………………483.9. ADICION DE UNA NUEVA VARIABLE………………………………………...503.10 ADICION DE UNA NUEVA VARIABLE ……………… ……………..…………… …51

IV. TRANSPORTE Y ASIGNACION……………………………………………………… …..53IV.1 DEFINICION DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE………………………… …..53IV.2 EL METODO DE APROXIMACION DE VOGEL……………………………… ….55IV.3 METODO MODI……………………………………………………………………….57IV.4 PROCEDIMIENTO DE OPTIMIZACION……………………………………………61IV.5 DEFINICION DEL PROBLEMA DE ASIGANCION………………………………..62IV.6 EL MÉTODO HUNGARO…………………………………………………………….64

V. PROGRAMACION ENTERA ……………………………………………………………….66V.1 INTRODUCIION Y CASOS DE APLICACIÓN……………………………………..66V.2 DEFINICION Y MODELOS DE PROGRAMACION ENTERA……………………67V.3 METODO DE RAMIFICACION Y ACOTAR……………………………………… .71V.4 METODO DE PLANOS CORTANTES………………………………………… ..…75V.5 ALGORITMO ADITIVO DE BALAS…………………………………………………78

1

I. METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Y FORMULACION DE MODELOS.

1.1DEFINICION.La Definición De Churchman, Ackoff Y Arnoff: La Investigación De Operaciones Es La Aplicación, Por Grupos Interdisciplinarios, Del Método Científico A Problemas Relacionados Con El Control De Las Organizaciones O Sistemas (Hombre-Máquina), A Fin De Que Se Produzcan Soluciones Que Mejor Sirvan A Los Objetivos De La Organización.De ésta definición se pueden destacar los siguientes conceptos:1.    Una organización es un sistema formado por componentes que se

interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.2.    En un sistema la información es una parte fundamental, ya que entre las

componentes fluye información que ocasiona la interacción entre ellas. También dentro de la estructura de los sistemas se encuentran recursos que generan interacciones. Los objetivos de la organización se refieren a la eficacia y eficiencia con que las componentes pueden controlarse, el control es un mecanismo de autocorrección del sistema que permite evaluar los resultados en términos de los objetivos establecidos.

3.    La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su análisis y solución se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes áreas del conocimiento que logran comunicarse con un lenguaje común.

4.    La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica a través modelos matemáticos, primero para representar al problema y luego para resolverlo. La definición de la sociedad de investigación de operaciones de la Gran Bretaña es la siguiente:La investigación de operaciones es el ataque de la ciencia moderna a los complejos problemas que surgen en la dirección y en la administración de grandes sistemas de hombres, máquinas, materiales y dinero, en la industria, en los negocios, en el gobierno y en la defensa. Su actitud diferencial consiste en desarrollar un modelo científico del sistema tal, que incorpore valoraciones de factores como el azar y el riesgo y mediante el cual se predigan y comparen los resultados de decisiones, estrategias o controles alternativos. Su propósito es el de ayudar a la gerencia a determinar científicamente sus políticas y acciones.

La Investigación de Operaciones aspira a determinar el mejor curso de acción, o curso óptimo, de un problema de decisión con la restricción de recursos limitados. Como técnica para la resolución de problemas, investigación de operaciones debe visualizarse como una ciencia y como un arte. Como Ciencia radica en ofrecer técnicas y algoritmos matemáticos para resolver problemas de decisión adecuada. Como Arte debido al éxito que se alcanza en todas las fases anteriores y posteriores a la solución de un modelo matemático, depende de la forma apreciable de la creatividad y la habilidad personal de los analistas encargados de tomar las decisiones. En un equipo de Investigación de

2

Operaciones es importante la habilidad adecuada en los aspectos científicos y artísticos de Investigación de Operaciones. Si se destaca un aspecto y no el otro probablemente se impedirá la utilización efectiva de la Investigación de Operaciones en la práctica. La Investigación de Operaciones en la Ingeniería de Sistemas se emplea principalmente en los aspectos de coordinación de operaciones y actividades de la organización o sistema que se analice, mediante el empleo de modelos que describan las interacciones entre los componentes del sistema y de éste con este con su medio ambiente. En la Investigación de Operaciones la parte de "Investigación" se refiere a que aquí se usa un enfoque similar a la manera en la que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos establecidos. La parte de "Operaciones" es por que en ella se resuelven problemas que se refieren a la conducción de operaciones dentro de una organización

1.2FASES DEL ESTUDIO DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

Fases o Etapas de la Investigación de Operaciones.  Las etapas de un estudio de Investigación de Operaciones son las siguientes: Definición del problema de interés y recolección de los datos relevantes. Formulación de un modelo matemático que represente el problema. Desarrollo de un procedimiento basado en computadora para derivar una solución al problema a partir del modelo. Prueba del modelo y mejoramiento según sea necesario. Preparación para la aplicación del modelo prescrito por la administración. Puesta en marcha. 

Definición del problema y recolección de datos. 

La primera actividad que se debe realizar es el estudio del sistema relevante y el desarrollo de un resumen bien definido del problema que se va a analizar. Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se puede hacer, las interrelaciones del área bajo estudio con otras áreas de la organización, los diferentes cursos de acción posibles, los límites de tiempo para tomar una decisión, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que afectará en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio. 

Determinar los objetivos apropiados viene a ser un aspecto muy importante en la formulación del problema. Para hacerlo, es necesario primero identificar a la persona o personas de la administración que de hecho tomarán las decisiones concernientes al sistema bajo estudio, y después escudriñar los pensamientos de estos individuos respecto a los objetivos pertinentes. (Incluir al tomador de decisiones desde el principio es esencial para obtener su apoyo al realizar el estudio.) 

Es común que los equipos de Investigación de Operaciones pasen mucho tiempo recolectando los datos relevantes sobre el problema. Se necesitan muchos datos como para lograr un entendimiento exacto del problema como para proporcionar el insumo adecuado para el modelo matemático que se formulará en la siguiente etapa del estudio.

3

Tomará un tiempo considerable al equipo de Investigación de Operaciones recabar la ayuda de otros de otros individuos clave de la organización para recolectar todos los datos importantes. Muchas veces, el equipo de Investigación de Operaciones pasará mucho tiempo intentando mejorar la precisión de los datos y al final tendrá que trabajar con lo que pudo obtener. 

Aplicación: El Departamento de Salud de New Haven, Connecticut utilizó un equipo de Investigación de Operaciones para diseñar un programa efectivo de intercambio de agujas para combatir el contagio del virus que causa el SIDA (HIV), y tuvo éxito en la reducción del 33% de la tasa de infección entre los clientes del programa. La parte central de este estudio fue un innovador programa de recolección de datos para obtener los insumos necesarios para los modelos matemáticos de transmisión del SIDA. Este programa barco un rastreo completo de cada aguja (y cada jeringa), con la identificación, localización y fecha de cada persona que recibía una aguja y cada persona que la regresaba durante un intercambio, junto con la prueba de si la condición de la aguja era HIV - positivo o HIV – negativo.

  Formulación de un modelo matemático.

 Una vez definido el problema del tomador de decisiones, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su análisis. La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. El modelo matemático puede expresarse entonces como el problema de elegir los valores de las variables de decisión de manera que se maximice la función objetivo, sujeta a las restricciones dadas. Un modelo de este tipo, y algunas variaciones menores sobre él, tipifican los modelos analizados en investigación de operaciones.

Un paso crucial en la formulación de un modelo de Investigación de Operaciones es la construcción de la función objetivo. Esto requiere desarrollar una medida cuantitativa de la efectividad relativa a cada objetivo del tomador de decisiones identificado cuando se estaba definiendo el problema. Si en el estudio se contemplan mas de un objetivo, es necesario transformar y combinar las medidas respectivas en una medida compuesta de efectividad llamada medida global de efectividad. A veces esta medida compuesta puede ser algo tangible (por ejemplo, ganancias) y corresponder a una meta mas alta de la organización, o puede ser abstracta (como "utilidad"). En este último caso la tarea para desarrollar esta medida puede ser compleja y requerir una comparación cuidadosa de los objetivos y su importancia relativa.

Aplicación: La Oficina responsable del control del agua y los servicios públicos del Gobierno de Holanda, el Rijkswaterstatt, asignó un importante estudio de Investigación de Operaciones para guiarlo en el desarrollo de una importante política de administración del agua. La nueva política ahorro cientos de millones de dólares en gastos de inversión y redujo el daño agrícola en alrededor de 15 millones de dólares anuales, al mismo tiempo que disminuyo la contaminación térmica y debida a las algas. En lugar de formular un modelo matemático, este estudio de Investigación de Operaciones desarrolló un

4

sistema integrado y comprensible de ¡50 modelos! Mas aún, para alguno de los modelos, se desarrollan versiones sencillas y complejas. La versión sencilla se usó para adquirir una visión básica incluyendo el análisis de trueques. La versión compleja se usó después en las corridas finales del análisis o cuando se deseaba mayor exactitud o más detalles en los resultados. El estudio completo de Investigación de Operaciones involucró directamente a mas de 125 personas – año de esfuerzo (mas de un tercio de ellas en la recolección de datos), creó varias docenas de programas de computación y estructuró una enorme cantidad de datos.

Obtención de una solución a partir del modelo.

Una vez formulado el modelo matemático para el problema bajo estudio, la siguiente etapa para un estudio de Investigación de Operaciones consiste en desarrollar un procedimiento (por lo general basado en computadora) para derivar una solución al problema a partir de este modelo. Esta es una etapa relativamente sencilla, en la que se aplican uno de los algoritmos de investigación de operaciones en una computadora.

Un tema común en Investigación de Operaciones es la búsqueda de una solución óptima, es decir, la mejor. Se han desarrollado muchos procedimientos para encontrarla en cierto tipo de problemas, pero es necesario reconocer que estas soluciones son óptimas sólo respecto al modelo que se está utilizando.

La meta de un estudio de Investigación de Operaciones debe ser llevada a cabo el estudio de manera óptima, independientemente de si implica o no encontrar una solución óptima para el modelo. Al reconocer este concepto, los equipos de Investigación de Operaciones en ocasiones utilizan sólo procedimientos heurísticos (es decir, procedimientos de diseño intuitivo que no garantizan una solución óptima) para encontrar una buena solución subóptima. Esto ocurre con mas frecuencia en los casos en que el tiempo o el costo que se requiere para encontrar una solución óptima para un modelo adecuado del problema son muy grandes.

Si la solución se implanta sobre la marcha, cualquier cambio en el valor de un parámetro sensible advierte de inmediato la necesidad de cambiar la solución.

El análisis posóptimo también incluye la obtención de un conjunto de soluciones que comprende una serie de aproximaciones, cada vez mejores, al curso de acción ideal. Así, las debilidades aparentes de la solución inicial se usan para sugerir mejoras al modelo, a sus datos de entrada y quizá al procedimiento de solución. Se obtiene entonces una nueva solución, y el ciclo se repite. Este proceso sigue hasta que las mejoras a soluciones sucesivas sean demasiado pequeñas para justificar su solución.

Aplicación: Considere el nuevo estudio de Investigación de Operaciones para el Rijkswaterstatt sobre la política de administración de agua en Holanda, que se introdujo en el concepto anterior. Este estudio no concluyó con la recomendación de una sola solución. Mas bien, se identificaron, analizaron y

5

compararon varias alternativas atractivas. La elección final se dejo al proceso político de gobierno de Holanda que culmino con la aprobación del Parlamento. El análisis de sensibilidad jugó un papel importante en este estudio. Por ejemplo, ciertos parámetros de los modelos representaron estándares ecológicos. El análisis de sensibilidad incluyó la evaluación del impacto en los problemas de agua si los valores de estos parámetros se cambiaran de los estándares ecológicos a otros valores razonables. Se usó también para evaluar el impacto de cambios en las suposiciones de los modelos, por ejemplo, la suposición sobre el efecto de tratados internacionales futuros sobre la contaminación que pudiera llegar. También se analizaron varios escenarios (como años secos o húmedos extremosos), asignando las probabilidades adecuadas.

Prueba del modelo.

El desarrollo de un modelo matemático grande es análogo en algunos aspectos al desarrollo de un programa de computadora grande. Cuando se completa la primera versión, es inevitable que contenga muchas fallas. El programa debe probarse de manera exhaustiva para tratar de encontrar y corregir tantos problemas como sea posible.

Este proceso de prueba y mejoramiento de un modelo para incrementar su validez se conoce como validación del modelo.

Un enfoque mas sistemático para la prueba del modelo es emplear una prueba retrospectiva. Cuando es apacible, esta prueba utiliza datos históricos y reconstruye el pasado para determinar si el modelo y la solución resultante hubieran tenido un buen desempeño, de haberse usado. Al emplear alternativas de solución y estimar sus desempeños históricos hipotéticos, se pueden reunir evidencias en cuanto a lo bien que el modelo predice los efectos relativos de los diferentes cursos de acción.

Aplicación: En un estudio de Investigación de Operaciones para IBM se realizo con el fin de integrar su red nacional de inventarios de refacciones para mejorar el servicio a los clientes, al mismo tiempo que reducir el valor de los inventarios de IBM en mas de 250 millones de dólares y ahorrar otros 20 millones de dólares anuales a través del mejoramiento de la eficiencia operacional. Un aspecto en particular interesante de la etapa de validación del modelo en este estudio fue la manera en que se incorporaron el proceso de prueba los usuarios futuros del sistema de inventarios. Debido a que estos usuarios futuros (los administradores de IBM en las áreas funcionales responsables de la implantación del sistema de inventarios) dudaban del sistema que se estaba desarrollando, se asignaron representantes a un equipo de usuarios que tendría la función de asesorar al equipo de Investigación de Operaciones. Una vez desarrollada la versión preliminar del nuevo sistema (basada en el sistema de inventarios de multiniveles) se lleva acabo una prueba preliminar de implantación. La extensa retroalimentación por parte del equipo de usuarios llevo a mejoras importantes en el sistema propuesto.

6

Preparación para la aplicación del modelo.

El siguiente paso es instalar un sistema bien documentado para aplicar el modelo según lo establecido por la administración.

Este sistema casi siempre esta diseñado para computadora. De hecho, con frecuencia se necesita un número considerable de programas integrados. La base de datos y los sistemas de información administrativos pueden proporcionar entrada actualizada para el modelo cada vez que se use, en cuyo caso se necesitan programas de interfaz (de interacción con el usuario). Después de aplicar un procedimiento de solución (otro programa) al modelo, puede ser que los programas adicionales maneje la implantación de los resultados de manera automática. En otros casos se instala un sistema interactivo de computadora llamado sistema de soporte de decisiones, para ayudar a la gerencia a usar datos y modelos para apoyar (no para sustituir) su toma de decisiones cuando lo necesiten. Otro programa puede generar informes gerenciales (en el lenguaje administrativo) que interpretan la salida del modelo y sus implicaciones en la práctica.

Aplicación: Un sistema de computo grande para aplicar un modelo a las operaciones de control de una red nacional. Este sistema, llamado SYSNET, fue desarrollado como resultado de un estudio de Investigación de Operaciones realizado para la Yellow Freight System, Inc. Esta compañía maneja anualmente mas 15 millones de envíos de mensajería a través de una red de 630 terminales en todo estados Unidos. SYSNET se usa tanto para optimizar tanto para optimizar las rutas de los envíos como el diseño de la red . Debido al que sistema requiere mucha información sobre los flujos y pronósticos de carga, los costos de transporte y manejo, etc.; una parte importante del estudio de Investigación de Operaciones esta dedicada a la integración de SYSNET al sistema de información administrativo de la corporación. Esta integración permitió la integración periódica de la entrada al modelo. La implantación de SYSNET dio como resultado el ahorro anual de alrededor de 17.3 millones de dólares además de un mejor servicio a los clientes.

Implantación.

Una vez desarrollado un sistema para aplicar un modelo, la última etapa de un estudio de Investigación de Operaciones es implementarlo siguiendo lo establecido por la administración.

La etapa de implantación incluye varios pasos. Primero, el equipo de Investigación de Operaciones da una cuidadosa explicación a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema que se va a adoptar y su relación con la realidad operativa. Enseguida, estos dos grupos comparten la responsabilidad de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en operación. La gerencia operativa se encarga después de dar una capacitación detallada al personal que participa, y se inicia entonces el nuevo curso de acción. Si tiene éxito, el nuevo sistema se podrá emplear durante algunos años. Con esto en mente, el equipo de Investigación de Operaciones supervisa

7

la experiencia inicial con la acción tomada para identificar cualquier modificación que tenga que hacerse en el futuro.

Aplicación: Este ultimo punto sobre la documentación de un estudio Investigación de Operaciones se ilustra con el caso de la política nacional de administración del agua de Rijkswaterstatt en Holanda. La administración deseaba documentación mas extensa que lo normal, tanto para apoyar la nueva política como para utilizarla en la capacitación de nuevos analistas o al realizar nuevos estudios. Completar esta documentación requirió varios años y ¡quedo contenida en 4000 páginas a espacio sencillo encuadernadas en 21 volúmenes!

1.3PRINCIPALES APLICACIONES DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, PODEROSA HERRAMIENTA PARA EL USO ÓPTIMO DE LOS RECURSOS ESCASOS  Cuál es la forma más eficiente de asignar ciertos recursos escasos para conseguir la más alta tasa de retorno? ¿Cuál es la mejor manera de asignar rutas a una flotilla de transporte de bienes que deben ser colocados en bodegas de distribuidores para que los costos sean más bajos? ¿Cuántas ventanillas deben colocarse en un banco en las horas normales y en las horas y días pico para que los clientes no se desesperen y se larguen al banco que está cruzando la calle?  ¿Cuántas cajas registradoras debe habilitar un supermercado para que el largo de las colas no entorpezcan la circulación de los clientes que aún están comprando y de los trabajadores que colocan mercadería, etiquetan y dan atención al público? ¿De qué manera debe asignarse un presupuesto en una industria (o en un sector de la economía de un país), para que se satisfaga la demanda interna y externa del bien o servicio que produce?  ¿Cuál será la demanda de líneas telefónicas para el año 2000, teniendo en cuenta el crecimiento natural de la población, el cambio de sus hábitos, la producción, el número de profesionales, escuelas, comercios, etcétera, que habrán en ese entonces? ¿Será posible hacer predicciones (aproximadas por supuesto) de cuántas escuelas, comercios, profesionales, etcétera, habrá en el año 2000? Hermosa cantidad de preguntas para comenzar un artículo sobre Investigación de Operaciones (IO), pero definitivamente es muy oportuno porque es en estos casos donde los especialistas en esta disciplina pueden apoyar a los demás. Una pregunta más: ¿Qué es entonces la Investigación de Operaciones? realmente es un poco difícil dar una respuesta corta a esta última pregunta pero si la IO va a tratar de encontrar respuesta a las preguntas que hemos planteado en el primer párrafo y a otra tonelada más, debemos tratar de definir lo que es. Hillier, Lieberman, Shamblin, Stevens, Taha, Tierauf, Grosse, Sasieni, por mencionar algunos de los grandes especialistas en IO, dan una serie de definiciones que bien podría resumirse como:

8

Es un enfoque científico de la toma de decisión. Podemos decir que la IO utiliza un enfoque planeado (método científico) y un grupo interdisciplinario para representar, mediante modelos simbólicos, las relaciones funcionales que se dan en la realidad, lo cual suministra una base cuantitativa para la toma de decisiones. Algo que es tan general como la definición que acabamos de dar pero que da mucha claridad sobre lo que hace la Investigación de Operaciones es que, cuando se aplica alguna herramienta de la IO, se busca obtener el óptimo resultado del uso de los recursos escasos. Mucho se dice de la formación previa que se debe tener para hacer Investigación de Operaciones, incluso hay autores que aún dicen en sus libros, que no se requiere ningún conocimiento de matemática para poder leerlo, sin embargo, no advierten al ingenuo lector que tampoco podrán resolver problemas reales sino solamente algunos ejemplos de juguete que se encuentran ahí mismo. Nuestra experiencia en el campo de la enseñanza y la aplicación de las herramientas de la IO, nos han hecho ver que para hacer IO en forma profesional aceptable, se requiere de una sólida preparación en Estadística Descriptiva e Inferencial, conocimientos sobre las aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral y del Algebra Lineal, y desde luego, principios generales de Economía, de lo contrario, el estudioso de la Investigación de Operaciones se sentirá decepcionado y el que debe aplicarla se  frustrará a menudo.

1.4FORMULACION DE PROBLEMAS LINEALES

Formulación de problemas de programación lineal. 1. Cierto fabricante produce sillas y mesas para lo que requiere la utilización de dos secciones de pro- duración: la sección de montaje y la sección de pintura. La producción de una silla requiere 1 hora de trabajo en la sección de montaje y 2 en la de pintura. Por su parte, la fabricación de una mesa precisa de 3 horas en la sección de montaje y 1 en la de pintura. La sección de montaje sólo puede estar 9 horas diarias en funcionamiento y la pintura sólo 8 horas. El beneficio que se obtiene produciendo mesas es el doble que el de sillas >Cual ha de ser la producción diaria de sillas y mesas que maximice el beneficio? 2. Queremos encontrar una dieta "optima"(coste mínimo) para pollos. El lote diario requerido de la mezcla son 100 unidades. La dieta debe contener al menos 0.8% pero no mas de 1.2% de calcio; al menos 22% de proteínas y a lo mas 5% de verduras crudas. Además, suponer que los principales ingredientes utilizados incluyen maíz, soja y caliza (carbonato de calcio). El contenido nutritivo de estos ingredientes se resume a continuación.

9

Plantear como un problema de programación lineal. 3. Un agricultor posee una parcela de 640 m2 para dedicarla al cultivo de árboles frutales: naranjos, perales y manzanos. Se pregunta de que forma repartiría la superficie de la parcela entre las variedades para conseguir el máximo beneficio sabiendo que: Cada naranjo precisa como mínimo de 16 m2, cada peral 4 m2 y cada manzano 8 m2. Dispone de un total de 900 horas de trabajo al año precisando cada naranjo 30 horas al año, cada peral 5 y cada manzano 10. Los beneficios unitarios son de 50, 25 y 20 unidades monetarias por cada naranjo, peral y manzano, respectivamente. Plantear como un problema de programación lineal. 4. Un importador de Whisky dispone de un mercado ilimitado, pero la reglamentación mensual de aduanas sobre importación supone las siguientes restricciones para tres tipos de whisky (W1,W2 y W3):

Con estos tres tipos de whisky realiza tres mezclas diferentes cuyas características vienen detalladas en la tabla siguiente:

Plantear el problema de determinar el plan de fabricación óptimo (beneficio neto máximo) de los tres tipos de mezclas. 5. Una compañía se va a dedicar a la fabricación de tres nuevos productos, P1; P2; P3. Para ello necesita de tres maquinas, torno, fresadora y rectificadora. La disponibilidad de dichas maquinas, el tiempo que necesita cada unidad de producto en cada una de ellas y el beneficio unitario es el siguiente.

Las ventas de P1 y P2 excederán las tasas de producción. Del producto P3 se venderán a lo sumo 20 piezas a la semana. >Cuantas unidades de cada producto se deben fabricar para que el beneficio obtenido sea máximo? 6. Una empresa de plásticos posee dos plantas de producción de laminas acrílicas que son transportadas a diferentes fabricas para la confección de productos. Los costes de transporte por unidad son.

10

.

Se quiere determinar la forma mas económica de transportar las laminas de las plantas a las fabricas. Plantear como un modelo de programación lineal

1.5FORMULACION DE PROBEMAS MAS COMUNES POR EJEMPLO DIETA TRANSPORTE, ASIGNACION REMPLAZO.

II EL METODO SIMPLEXEL METODO SIMPLEX PARA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución. Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta. del simplex fue creado en 1947 por el matemático George Dantzig. El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex.

2.1SOLUCION GRAFICA EN UN PROBLEMA LINEAL

Solución Gráfica

Los problemas de programación lineal en dos variables tienen interpretaciones geométricas relativamente sencillas; por ejemplo, el sistema de restricciones lineales asociado con un problema de programación lineal bidimensional- si no es inconsistente- define una región plana cuya frontera está formada por segmentos de recta o semirrectas, por lo tanto es posible analizar tales problemas en forma gráfica.

Si consideremos el problema del granjero López, es decir, de maximizar P = 40x+ 30y sujeta a 

2x+y<800 x+y<480

                                                        x>0, y>0 (7)

 El sistema de desigualdades (7) define la región plana S que aparece en la figura 5. Cada punto de S es un candidato para resolver este problema y se conoce

11

como solución factible. El conjunto S se conoce como conjunto factible. El objetivo es encontrar – entre todos los puntos del conjunto S- el punto o los puntos que optimicen la función objetivo P. Tal solución factible es una solución óptima y constituyen la solución del problema de programación lineal en cuestión.

Como ya se ha observado, cada punto P(x,y) en S es un candidato para la solución óptima del problema en cuestión, por ejemplo, es fácil ver que el punto (200, 150) está en S y, por lo tanto, entra en la competencia. El valor de la función objetivo P en el punto (200,150) está dado por P=40(200)+30(150)=12.500 . Ahora si se pudiera calcular el valor de P correspondiente a cada punto de S, entonces el punto (o los puntos) en S que proporcione el valor máximo de P formará el conjunto solución buscado. Por desgracia, en la mayoría de los problemas, la cantidad de candidatos es demasiado grande o, como en este problema, es infinita. Así este método no es adecuado.

Es mejor cambiar de punto de vista: en vez de buscar el valor de la función objetivo P en un punto factible, se asignará un valor a la función P y se buscarán los puntos factibles que correspondieran a un valor dado de P. Para esto supóngase que se asigna a P el valor 6000. Entonces la función objetivo se convierte en 40x+ 30y = 6.000,una ecuación lineal en x e y; por lo tanto, tiene como gráfica una línea recta L1 en el plano.  

Está claro que a cada punto del segmento de recta dado por la intersección de la línea recta L1 y el conjunto factible S corresponde el valor dado 6000 de P. Al repetir el proceso, pero ahora asignando a P el valor de 12.000, se obtiene la ecuación 40x+ 30y =12.000 y la recta L2  lo cual sugiere que existen puntos factibles que corresponden a un valor mayor de P. Obsérvese que la recta L2 es paralela a L1, pues ambas tienen una pendiente igual a –4/3. Esto se comprueba con facilidad escribiendo las ecuaciones en explícita de la recta.

En general, al asignar diversos valores a la función objetivo, se obtiene una familia de rectas paralelas, cada una con pendiente igual a –4/3. Además, una recta correspondiente a un valor mayor de P está más alejada del origen que una recta con un valor menor de P. El significado es claro. Para obtener las soluciones óptimas de este problema, se encuentra la recta perteneciente a esta familia que se encuentra más lejos del origen y que interseque al conjunto

12

factible S. La recta requerida es aquella que pasa por el punto P(320,160) (Fig. 6), de modo que la solución de este problema está dado por x=320, y=160 ( es decir que el granjero López deberá sembrar 320 hectáreas de maíz y 160 hectáreas de trigo), lo que produce el valor máximo P=40(320)+30(160)=17.600.

No es casualidad que la solución óptima de este problema aparezca como vértice del conjunto factible S. De hecho, el resultado es consecuencia del siguiente teorema básico de la programación lineal, que se enuncia sin demostración

Teorema 1 Si en problema de programación lineal tiene una solución, entonces ésta debe aparecer en un vértice, o esquina, del conjunto factible S asociado con el problema. Además, si la función objetivo dos vértices adyacente de S, entonces se optimiza en todos los puntos del segmento de recta que une estos vértices, en cuyo caso existe una infinidad de soluciones al problema

En nuestro ejemplo los únicos vértice del conjunto factible S son los puntos coordenados: (0,0); (400,0); (320,160); (0,480), llamados también puntos esquinas (Fig. 6). 

Un ejemplo en el que tendríamos infinitas soluciones, es:

VERTICE P=40x+40y(0,0) 0(0,480) 19.200(320,160) 19.200(400,0) 16.000

Supóngase que la utilidad por hectáreas es de $40 para ambos, maíz y trigo. La tabla para este caso muestra la misma utilidad total en los vértices(0,480) y (320,160). Esto significa que la línea de utilidad en movimiento abandona la región sombreada por el lado determinado por esos vértices (adyacentes) , así todo punto en ese lado da una utilidad máxima. Todavía es válido, sin embargo, que la utilidad máxima ocurre en un vértice.

El teorema 1 dice que la búsqueda de las soluciones a un problema de programación lineal se puede restringir al examen del conjunto de vértices del conjunto factible S relacionado con el problema. Como un conjunto factible S tiene un número finito de vértices, el teorema sugiere que las soluciones a un problema de programación lineal se puedan hallar inspeccionando los valores de la función objetivo P en los vértices.

Aunque el teorema 1 arroja un poco de luz acerca de la naturaleza de la solución de un problema de programación lineal, no indica cuándo tiene solución. El siguiente teorema establece ciertas condiciones que garantizan la existencia de la solución de un problema de programación lineal.

Teorema 2: Existencia de una solución

Supóngase un problema de programación lineal con un conjunto factible S y una función objetivo P = ax + by. 1. Si S está acotado, entonces P tiene u valor máximo y n valor

13

  mínimo en S. 2. Si S no está acotado y tanto a como b son no negativos, entonces P tiene un valor mínimo en S, si las restricciones que definen a S incluyen las desigualdades x ³ 0 e y ³ 0. 3. Si S es el conjunto vacío, entonces el problema de programación lineal no tiene solución; es decir, P no tiene un valor máximo ni uno mínimo  

El método utilizado para resolver el problema del granjero López recibe el nombre de método de las esquinas. Este método sigue un procedimiento muy sencillo para resolver los problemas de programación lineal basado en el teorema1.

Método de las esquinas  

1.      Se grafica el conjunto factible. 2.      Se encuentran las coordenadas de todas las esquinas

(vértices) del conjunto factible.  3.   Se evalúa la función objetivo en cada esquina.  4.   Se halla el vértice que proporcione el máximo (mínimo) de la función objetivo. Si sólo existe un vértice con esta propiedad, entonces constituye una solución única del problema. Si la función objetivo se maximiza (minimiza) en dos esquinas adyacentes de S, entonces existe una infinidad de soluciones óptimas dadas por los puntos del segmento de recta determinado por estos dos vértices.  

Aplicaremos los conceptos antes emitidos al siguiente problema de nutrición, basado en los requerimientos, en el cual hay que minimizar la función objetivo.

 

Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (tabla 2). ¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?

  Marca A Marca B Requerimientos mínimos

Hierro 40 mg 10 mg 2400 mgVitamina B-1 10 mg 15 mg 2100 mg

14

Vitamina B-2 5 mg 15 mg 1500 mgCosto por píldora (US$) 0,06 0,08  

Solución: Sea x el número de píldoras de la marca A e y el número de píldoras de la marca B por comprar. El costo C, medido en centavos, está dado por

C = 6x+ 8y

que representa la función objetivo por minimizar.

La cantidad de hierro contenida en x píldoras de la marca A e y el número de píldoras de la marca B está dada por 40x+10y  mg, y esto debe ser mayor o igual a 2400 mg. Esto se traduce en la desigualdad.

40x+10y>2400 

Consideraciones similares con los requisitos mínimos de vitaminas B-1 y B-2 conducen a las desigualdades: 

10x+15y>2100 5x+15y>1500 

respectivamente. Así el problema en este caso consiste en minimizar C=6x+8y sujeta a 

40x+10y>2400 10x+15y>2100 5x+15y>1500

x>0, y>0   El conjunto factible S definido por el sistema de restricciones aparece en la figura. Los vértices del conjunto factible S son A(0,240); B(30,120); C(120; 60) y D(300,0).

Los valores de la función objetivo C en estos vértices en la tabla que sigue

15

Vertice C=6x + 8y

A (0,240) 1920

B(30,120) 1140

C(120,60) 1200

D(300,0) 1800

La tabla muestra que el mínimo de la función objetivo C=6x+8y ocurre en el vértice B(30,120) y tiene un valor de 1140. Así el paciente debe adquirir 30 píldoras de la marca A y 120 de la marca B, con un costo mínimo de $11,40. 

El método de las esquinas es de particular utilidad para resolver problemas de programación lineal en dos variables con un número pequeño de restricciones, como han demostrado los ejemplos anteriores, sin embargo su efectividad decrece con rapidez cuando el número de variables o de restricciones aumenta. Por ejemplo, se puede mostrar que un ejemplo de programación lineal en tres variables y cinco restricciones puede tener hasta diez esquinas factibles. La determinación de las esquinas factibles requiere resolver 10 sistemas 3x3 de ecuaciones lineales y luego comprobar que cada uno es un punto factible, sustituyendo cada una de estas soluciones en el sistema de restricciones. Cuando el número de variables y de restricciones aumenta a cinco y diez, respectivamente (que aún es un sistema pequeño desde el punto de vista de las aplicaciones en economía), la cantidad de vértice por hallar y comprobar como esquinas factibles aumenta hasta 252, y cada uno de estos vértices se encuentra resolviendo el sistema lineal ...¡de 5x5! Por esta razón, el método de las esquinas se utiliza con poca frecuencia para resolver problemas de programación lineal, su valor reside en que permite tener una mejor idea acerca de la naturaleza de las soluciones a los problemas de programación lineal a través de su uso en la solución de problemas de dos variables.

2.2TEORIA DEL METODO SIMPLEX

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono

16

(o de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución. (Véase método Gráfico)

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases.

PREPARANDO EL MODELO PARA ADAPTARLO AL MÉTODO SIMPLEX

Esta es la forma estándar del modelo:

Función objetivo: c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn

Sujeto a: a11·x1 + a12·x2 + ... + a1n·xn = b1

a21·x1 + a22·x2 + ... + a2n·xn = b2

...am1·x1 + am2·x2 + ... + amn·xn = bm

x1,..., xn ≥ 0

Para ello se deben cumplir las siguientes condiciones:

1.El objetivo es de la forma de maximización o de minimización.

2.Todas las restricciones son de igualdad. 3.Todas las variables son no negativas. 4.Las constantes a la derecha de las restricciones son no

negativas.

Cambio del tipo de optimización.

Si en nuestro modelo, deseamos minimizar, podemos dejarlo tal y como está, pero deberemos tener en cuenta nuevos criterios para la condición de parada (deberemos parar de realizar iteraciones cuando en la fila del valor de la función objetivo sean todos menores o iguales a 0), así como para la condición de salida de la fila. Con objeto de no cambiar criterios, se puede convertir el objetivo de minimizar la función F por el de maximizar F·(-1).

17

Ventajas: No deberemos preocuparnos por los criterios de parada, o condición de salida de filas, ya que se mantienen.

Inconvenientes: En el caso de que la función tenga todas sus variables básicas positivas, y además las restricciones sean de desigualdad "≤", al hacer el cambio se quedan negativas y en la fila del valor de la función objetivo se quedan positivos, por lo que se cumple la condición de parada, y por defecto el valor óptimo que se obtendría es 0.

Solución: En la realidad no existen este tipo de problemas, ya que para que la solución quedara por encima de 0, alguna restricción debería tener la condición "≥", y entonces entraríamos en un modelo para el método de las Dos Fases.

Conversión de signo de los términos independientes (las constantes a la derecha de las restricciones)

Deberemos preparar nuestro modelo de forma que los términos independientes de las restricciones sean mayores o iguales a 0, sino no se puede emplear el método Simplex. Lo único que habría que hacer es multiplicar por "-1" las restricciones donde los términos independientes sean menores que 0.

Ventaja: Con ésta simple modificación de los signos en la restricción podemos aplicar el método Simplex a nuestro modelo.

Inconvenientes: Puede resultar que en las restricciones donde tengamos que modificar los signos de las constantes, los signos de las desigualdades fueran ("=", "≤"), quedando ("=","≥") por lo que en cualquier caso deberemos desarrollar el método de las Dos Fases. Este inconveniente no es controlable, aunque nos podría beneficiar si sólo existen términos de desigualdad ("≤","≥"), y los "≥" coincidieran con restricciones donde el término independiente es negativo.

Todas las restricciones son de igualdad.

Si en nuestro modelo aparece una inecuación con una desigualdad del tipo "≥", deberemos añadir una nueva variable, llamada variable de exceso si, con la restricción si ≥ 0. La nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y restando en las inecuaciones.

Surge ahora un problema, veamos como queda una de nuestras inecuaciones que contenga una desigualdad "≥" :

a11·x1 + a12·x2 ≥ b1 a11·x1 + a12·x2 - 1·xs = b1

Como todo nuestro modelo, está basado en que todas sus variables sean mayores o iguales que cero, cuando hagamos la primera iteración con el método Simplex, las variables básicas no estarán en la base y tomarán valor cero, y el resto el valor que tengan. En este caso nuestra variable xs, tras hacer cero a x1 y x2, tomará el valor -b1. No cumpliría la

18

condición de no negatividad, por lo que habrá que añadir una nueva variable, xr, que aparecerá con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en la inecuación de la restricción correspondiente. Quedaría entonces de la siguiente manera:

a11·x1 + a12·x2 ≥ b1 a11·x1 + a12·x2 - 1·xs + 1 ·xr = b1

Este tipo de variables se les llama variables artificiales, y aparecerán cuando haya inecuaciones con desigualdad ("=","≥"). Esto nos llevará obligadamente a realizar el método de las Dos Fases, que se explicará más adelante.

Del mismo modo, si la inecuación tiene una desigualdad del tipo "≤", deberemos añadir una nueva variable, llamada variable de holgura s i, con la restricción si "≥" 0 . La nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en las inecuaciones.

A modo resumen podemos dejar esta tabla, según la desigualdad que aparezca, y con el valor que deben estar las nuevas variables.

Tipo de desigualdad Tipo de variable que aparece

≥ - exceso + artificial

= + artificial

≤ + holgura

http://www.phpsimplex.com/pages/teoria.htm

2.3FORMA TABULAR DEL METODO SIMPLEX

Con miras a conocer la metodología que se aplica en el Método SIMPLEX, vamos a resolver el siguiente problema: 

Maximizar Z= f(x,y)= 3x + 2ysujeto a: 2x + y  18  2x + 3y  42  3x + y  24  x 0 , y 0

Se consideran las siguientes fases:

1. Convertir las desigualdades en igualdades

Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 

19

2x + y + h = 182x + 3y + s = 423x +y + d = 24

2. Igualar la función objetivo a cero

- 3x - 2y + Z = 0

3. Escribir la tabla inicial simplex

En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo: 

Tabla I . Iteración nº 1 Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

  x y h s d  h 2 1 1 0 0 18s 2 3 0 1 0 42d 3 1 0 0 1 24Z -3 -2 0 0 0 0

4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base

A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto).En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3.

Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.

Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.

La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color azulado).  

B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. En nuestro caso:      18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]

20

Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.

El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color azulado).

Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base.    

C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3.

5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.

Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1.

A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z. 

También se puede hacer utilizando el siguiente esquema:

Fila del pivote:

Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) : (Pivote)

Resto de las filas:

Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote)

Veámoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla II):  

Vieja fila de s 2 3 0 1 0 42  - - - - - -Coeficiente 2 2 2 2 2 2  x x x x x xNueva fila pivote 1 1/3 0 0 1/3 8  = = = = = =Nueva fila de s 0 7/3 0 1 -2/3 26

21

 

Tabla II . Iteración nº 2Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

  x y h s d  h 0 1/3 1 0 -2/3 2s 0 7/3 0 1 -2/3 26x 1 1/3 0 0 1/3 8Z 0 -1 0 0 1 24

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:2:1/3 [=6] , 26:7/3 [=78/7] y 8:1/3 [=8] y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que sale es h.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.

Operando de forma análoga a la anterior obtenemos la tabla: 

Tabla III . Iteración nº 3Base Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

  x y h s d  y 0 1 3 0 -2 6s 0 0 -7 0 4 12x 1 0 -1 0 1 6Z 0 0 3 0 -1 30

Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6]

22

y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es s.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.

Obtenemos la tabla: 

Tabla IV . Final del procesoBase Variable de decisión Variable de holgura Valores solución

  x y h s d  y 0 1 -1/2 0 0 12d 0 0 -7/4 0 1 3x 1 0 -3/4 0 0 3Z 0 0 5/4 0 0 33

Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima.

Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: D(3,12)

2.4EL METODO DE LAS DOS FASES

Método de las Dos Fases

Éste método difiere del Simplex en que primero hay que resolver un problema auxiliar que trata de minimizar la suma de las variables artificiales. Una vez resuelto este primer problema y reorganizar la tabla final, pasamos a la segunda fase, que consiste en realizar el método Simplex normal.

FASE 1

En esta primera fase, se realiza todo de igual manera que en el método Simplex normal, excepto la construcción de la primera tabla, la condición de parada y la preparación de la tabla que pasará a la fase 2.

- Construcción de la primera tabla: Se hace de la misma forma que la tabla inicial del método Simplex, pero con algunas diferencias. La fila de la función objetivo cambia para la primera fase, ya que cambia la función objetivo, por lo tanto aparecerán todos los términos a cero excepto aquellos que sean variables artificiales, que tendrán valor "-1" debido a que se está minimizando la suma de dichas variables (recuerde que minimizar F es igual que maximizar F·(-1)).

23

La otra diferencia para la primera tabla radica en la forma de calcular la fila Z. Ahora tendremos que hacer el cálculo de la siguiente forma: Se sumarán los productos Cb·Pj para todas las filas y al resultado se le restará el valor que aparezca (según la columna que se éste haciendo) en la fila de la función objetivo.

 

Tabla

    C0 C1 C2 ... Cn-k ... Cn

Base Cb P0 P1 P2 ... Pn-k ... Pn

Pi1 Ci1 bi1 a11 a12 ... a1n-k ... a1n

Pi2 Ci2 bi2 a21 a22 ... a2n-k ... a2n

... ... ... ... ... ... ... ... ...

Pim Cim bim am1 am2 ... amn-k ... amn

Z   Z0 Z1 Z2 ... Z2 ... Zn

Siendo Zj = Σ(Cb·Pj) - Cj y los Cj = 0 para todo j comprendido entre 0 y n-k (variables de decisión, holgura y exceso), y Cj = -1 para todo j comprendido entre n-k y n (variables artificiales).

 

- Condición de parada: La condición de parada es la misma que en el método Simplex normal. La diferencia estriba en que pueden ocurrir dos casos cuando se produce la parada: la función toma un valor 0, que significa que el problema original tiene solución, o que tome un valor distinto, indicando que nuestro modelo no tiene solución.

- Eliminar Columna de variables artificiales: Si hemos llegado a la conclusión de que el problema original tiene solución, debemos preparar nuestra tabla para la segunda fase. Deberemos eliminar las columnas de las variables artificiales, modificar la fila de la función objetivo por la original, y calcular la fila Z de la misma forma que en la primera tabla de la fase 1.

IDENTIFICANDO CASOS ANÓMALOS Y SOLUCIONES

Obtención de la solución: Cuando se ha dado la condición de parada, obtenemos el valor de las variables básicas que están en la base y el valor óptimo que toma la función que están en la base mirando la columna P0. En el caso de que estemos minimizando, se multiplicará por "-1" el valor óptimo.

Infinitas soluciones: Cumplida la condición de parada, si se observa que alguna variable que no está en la base, tiene un 0 en la fila

24

Z, quiere decir que existe otra solución que da el mismo valor óptimo para la función objetivo. Si estamos ante este caso, estamos ante un problema que admite infinitas soluciones, todas ellas comprendidas dentro del segmento (o porción del plano, o región del espacio, dependiendo del número de variables del problema) que define Ax+By=Z0. Si se desea se puede hacer otra iteración haciendo entrar en la base a la variable que tiene el 0 en la fila Z, y se obtendrá otra solución.

Solución ilimitada: Si al intentar buscar la variable que debe abandonar la base, nos encontramos que toda la columna de la variable entrante tiene todos sus elementos negativos o nulos, estamos ante un problema que tiene solución ilimitada. No hay valor óptimo concreto, ya que al aumentar el valor de las variables se aumenta el valor de la función objetivo, y no viola ninguna restricción.

No existe solución: En el caso de que no exista solución, seguro que tendremos que realizar las dos fases, por lo que al término de la primera sabremos si estamos en tal situación.

Empate de variable entrante: Se puede optar por cualquiera de ellas, sin que afecte a la solución final, el inconveniente que presenta es que según por cual se opte se harán más o menos iteraciones. Se aconseja que se opte a favor de las variables básicas, ya que son aquellas las que quedarán en la base cuando se alcance la solución con estos métodos.

Empate de variable saliente: Se puede nuevamente optar por cualquiera de ellas, aunque se puede dar el caso degenerado y entrar en ciclos perpetuos. Para evitarlos en la medida de lo posible, discriminaremos a favor de las variables básicas haciendo que se queden en la base. Ante el caso de estar en la primera fase (del método de las Dos Fases), se optará por sacar en caso de empate las variables artificiales.

Curiosidad Fase 1: Al finalizar la fase 1, si el problema original tiene solución, todas las variables artificiales, en la fila Z deben tener el valor "1".

¿Pivote puede ser 0?: No, ya que siempre se realizan los cocientes entre valores no negativos y mayores que cero.

25

2.5EL METODO SIMPLEX REVISADO.

El método simplex revisado. El método simplex original es un procedimiento algebraico directo. Sin embargo, durante su cálculo utiliza muchos valores los cuales finalmente no son relevantes en la toma de decisiones. El método simplex revisado utiliza únicamente: • Los coeficientes de las V.N.B en el renglón (0). • Los coeficientes de la variable básica entrante en las restricciones. • Los coeficientes de las V.B actuales en las restricciones. • El lado derecho de las ecuaciones. El método simplex revisado utiliza una notación de forma matricial para hallar la solución al problema. Max Z = c xSujeto aA x £ bx ³ 0

Veremos que no es necesario tener toda la tabla del Simplex en cada iteración. Alcanza con conocer el inverso de la base y los multiplicadores del Simplex para la base actual. Desde luego, también necesitamos los datos originales del problema.

En lugar de mantener toda la tabla, tendremos:  

- Los costos reducidos de las variables no básicas. Que calcularemos como .

- La columna actualizada para la variable que entra a la base. Esta columna se calcula como .

- El lado derecho actualizado , que se calcula como . 

Entonces, lo único que debemos actualizar entre dos iteraciones es y (que es, en realidad, ).  

Para entender su funcionamiento, consideremos la siguiente tabla:  

B N 0 b I 1 0 0

que es la tabla del simplex salvo por el último grupo de columnas.   Realizando las mismas operaciones sobre esta tabla, que sobre la tabla del método Simplex, obtenemos:  

I 0 0 1

Notamos lo siguiente:  

26

la parte extra de esta tabla contiene y .

la columna se actualiza con las mismas operaciones que .

Dada la columna actualizada para la variable que entra a la base, y siendo

la variable que sale de la base, podemos actualizar , , y con el siguiente procedimiento:  

- Construir la mini tabla del Simplex Revisado: 

- Pivotear sobre , para que se transforme en . La nueva tabla es:  

donde el índice significa el valor actual en la nueva base.

ESQUEMA DEL MÉTODO SIMPLEX REVISADO 

1. Dados , , y para la base factible actual. 2. Determinar

a. , solución básica actual es óptima, STOP. b. algún k, entra a la base.

3. Calcular la columna actualizada: .  Si el problema no tiene solución acotada, STOP.

Si no, determinar de

sale de la base. 4.   Actualizar , , y de acuerdo a la nueva base, pivoteando sobre

el elemento en la mini tabla del Simplex Revisado. 5. Poner , volver a 2.

27

2.6 CASOS ESPECIALES.El Método simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución o cuando esta es óptima. Este método, permite analizar cada variable del problema planteado, sus variaciones, para determinar cual es la decisión más acertada a tomar en cualquiera que sea el área de la empresa sobre la cual se presente la incertidumbre. Existen casos especiales de solución de problemas por medio del simplex, tales como:

• Soluciones Múltiples • Solución Degenerada • Solución Infactible • Sin Solución

A continuación se presenta un análisis detallado de cada caso especial de solución con un ejemplo práctico.

CASO DE SOLUCIONES MÚLTIPLES

Cuando la función objetivo es paralela a una restricción que se satisface en el sentido de la igualdad a través de la solución óptima, la función objetivo tomará el mismo valor óptimo en más de un punto de la solución. Por esta razón reciben el nombre de Múltiples alternativas óptimas.

CASO DE SOLUCIÓN DEGENERADA

La degeneración ocurre cuando en alguna iteración del método simplex existe un empate en la selección de la variable que sale. Este empate se rompe arbitrariamente. En este caso decimos que la nueva solución es degenerada. Sin embargo, cuando suceda esto una o más veces de las variables básicas, será necesariamente igual a cero en la siguiente iteración. En el método simplex, la presencia de una variable básica igual a cero, no requiere ninguna acción especial; en todo caso, es necesario no descuidar las condiciones de degeneración. En términos geométricos, la degeneración ocurre cuando un vértice está definido por demasiadas restricciones.

CASO DE SOLUCIÓN INFACTIBLE

En un modelo de Programación Lineal, cuando las restricciones no se pueden satisfacer en forma simultánea, se dice que este no tiene solución factible. Esta situación nunca puede ocurrir si todas las restricciones son del tipo MENOR O IGUAL ( ), esto, suponiendo valores positivos en el segundo miembro, ya que las variables de holgura producen siempre una solución factible.

28

Sin embargo, cuando empleamos los otros tipos de restricciones, recurrimos al uso de variables artificiales, que por su mismo diseño no ofrecen una solución factible al modelo original. Aunque se hacen provisiones (a través del uso de penalizaciones) para hacer que estas variables artificiales sean cero en el nivel óptimo, esto sólo puede ocurrir si el modelo tiene una espacio factible. Si no lo tiene, cuando menos una variable artificial será positiva en la iteración óptima.

Desde el punto de vista práctico, un espacio infactible, apunta a la posibilidad de que el modelo no se haya formulado correctamente, en virtud de que las restricciones estén en conflicto. También es posible que las restricciones no estén destinadas a cumplirse en forma simultánea. En este caso, quizás se necesite una estructura del modelo totalmente diferente que no admita todas las restricciones al mismo tiempo.

CASO DE NO SOLUCIÓN

En algunos modelos de Programación Lineal, los valores de las variables, se pueden aumentar en forma indefinida sin violar ninguna de las restricciones, lo que significa que el espacio es sin solución cuando menos en una dirección.

Como resultado, el valor de la función objetivo puede crecer (Maximización) o decrecer (Minimización) en forma indefinida. En este caso, decimos que el espacio en el cual se espera sea resuelto el modelo, y el valor óptimo de la función objetivo no tiene solución.

La falta de explicación de un modelo puede señalar solo una cosa, que este se encuentra mal construido. Evidentemente resulta irracional hacer que un modelo produzca una ganancia infinita. Las irregularidades más probables en este modelo son:

1. No se toman en cuenta una o más restricciones redundantes 2. No se determinan adecuadamente los parámetros (constantes) de alguna restricción.

III TEORIA DE LA DUALIDAD Y ANALISIS DE SENSIBILIDAD.

El dual es un problema de PL que se obtiene matemáticamente de un modelo primal de PL dado. Los problemas dual y primal están relacionados a tal grado, que la solución símplex óptima de cualquiera de los dos problemas conduce en forma automática a la solución óptima del otro. 

29

El  método símplex además de resolver un problema de PL llegando a una solución óptima nos ofrece más y mejores elementos para la toma de decisiones. La  dualidad y el análisis de sensibilidad son potencialidades de éste método. 

En la mayoría de los procedimiento de PL, el dual se define para varias formas del primal, dependiendo de los tipos de restricciones, de los signos de las variables y del sentido de la optimización. La experiencia nos indica que en ocasiones, los principiantes se confunden con los detalles de esas definiciones. Más importante aún es que el uso de esas definiciones múltiples puede conducir a interpretaciones inconsistentes de los datos en la tabla símplex, sobre todo en lo que respecta a los signos de las variables. 

El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hay una

asociación y una relación muy importante con otro problema de programación

lineal, llamado precisamente dual.

       La relación entre el problema dual y su asociado, es decir el problema original llamado primal, presenta varias utilidades:

     Aporta elementos que aumentan sustancialmente la compresión de la PL.

     El análisis de dualidad es una herramienta útil en la solución de problemas de PL,  por ejemplo: más restricciones que variables.

      El problema dual tiene interpretaciones e informaciones importantes que muestran que los análisis marginales están siempre involucrados implícitamente al buscar la solución óptima a un problema de PL. 

La forma estándar general del primal se defina como; para maximizar o minimizar. 

sujeto a;

¿Cómo convertir un problema primal a dual?  

Un problema dual se formula de un problema primal de la siguiente forma: 

1. Si el primal es un problema de maximización su dual será un problema de minimización y viceversa.

2. Los coeficientes de la función objetivo del problema primal se convierten en los coeficientes del vector de la disponibilidad en el problema dual.

3. Los coeficientes del vector de disponibilidad del problema original se convierten en los coeficientes de la función objetivo (vector de costo o precio) en el problema dual.

30

4. Los coeficientes de las restricciones en el problema primal, será la matriz de los coeficientes tecnológicos en el dual.

5. Los signos de desigualdad del  problema dual son contrarios a los del primal.

6. Cada restricción en un problema corresponde a una variable en el otro problema. Si el primal tiene m restricciones y n variables, el dual tendrá n restricciones y m variables. Así, las variables Xn del primal se convierte en nuevas variables Ym en el dual.

 

PROBLEMA PRIMAL EN FORMA CANONICA:

MAX  Z= CX

Sujeto a:

AX b

X 0

PROBLEMA DUAL EN FORMA CANONICA:

MIN  Z= BY

Sujeto a:

AY C

Y 0

Ejemplo.

Si el problema primal es:  MAX  Z= 45X1 + 17X2 + 55X3

                              Sujeto a:

                                        X1   +    X2  +     X3   200

                                       9X1  +  8X2  +  10X3  5000

                                       10X1+  7X2  + 21 X3  4000

                                       Xj 0

 El problema dual será:

          MIN  Z= 200Y1 + 5000Y2 + 4000Y3

          Sujeto a:

                      Y1 +   9Y2 + 10Y3  45

                      Y1 +   8Y2 +   7Y3  17

                      Y1 + 10Y2 + 21Y3 55

            Yj 0 

31

3.1. FORMULACION DEL PROBLEMA DUAL

FORMA DE PRESENTAR EL PROBLEMA DUAL 

MIN  =  2X1 -  3X2                                                            

Sujeto a:                                                                                    

          1X1 +  2X2    12                                                                       

          4X1 -   2X2     3

          6X1 -   1X2  = 10                                                                          

X1,2  0

  1.  Llevar el problema a su equivalente de maximización, multiplicando la función objetivo por –1: 

MAX  -2X1 + 3X2

2. Convertir las restricciones en una restricción equivalente multiplicando por –1 ambos lados:

-4x1 + 2x2  -3  

3. Para las restricciones de igualdad, obtener 2 restricciones de desigualdad, una de forma y la otra de forma ; después regresar al punto anterior y cambiar la restricción a la forma :

6X1 – 1X2 10 

6X1 – 1X2 10

6X1 –  1X2     10

-6X1 + 1X2    -10

Así el problema primal se ha replanteado en la forma equivalente: 

MAX  Z= -2X1 + 3X2

Sujeto a:

1X1 + 2X2    12

-4X1 + 2X2    - 3

6X1 – 1X2     10

32

-6X1 + 1X2  -10

X1,2 0   

4. Teniendo el problema primal convertido a la forma canónica de un problema de maximización, es fácil llevarlo al problema dual:

MIN    12Y1 – 3Y2 + 10Y3

Sujeto a:Y1–4Y2 + 6Y3’–6Y3’’ -2          Y’3  y  Y’’3 ambas se refieren a la tercera restricción

2Y1 + 2Y2 – 1Y3’ + 1Y3’’     3                  del problema  primal.

Y1, 2, 3’, 3’’ 0

3.2. RELACION PRIMAL DUAL

33

34

3.3. INTERPRETACION ECONOMICA DEL DUAL

Interpretación económica del problema dual.

Precio Sombra.- Se define como la proporción con que mejora el valor de la función objetivo a partir de la i - ésima restricción, dependiendo si se trata de maximización tiende a aumentar y a disminuir cuando es de minimización. La interpretación económica de la dualidad se basa directamente en la interpretación más frecuente del problema primal ( 16 ). Interpretación del problema dual. Para ver cómo la interpretación del problema primal conduce a una interpretación económica del problema dual. Notese el valor de Z como: Z = W1b1 + W2b2 + W3b3 + … + Wmbm donde cada bi Wi puede interpretarse como la contribución a la ganancia por disponer de bi unidades del recurso i. Wi se interpreta como la contribución a la ganancia por unidad del recurso i ( i = 1 , 2, . . . , m), cuando se usa el conjunto actual de variables básicas para obtener la solución primal.

35

ujeto a: unidades del m recurso i-ésimo Valor nitario Ganancia asignada j = 1,…, n Suma utlizados por * del recurso = a cada unidad de i =1 unidad de la i-ésimo la actividad j-ésima actividad j-ésima Valor unitario i - 1, …, m * del recurso >= 0 i- ésimo

La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea difícil  que muchos gerentes pueden mostrarse difícil a hacer, por lo menos con cierto grado de exactitud. En algunos casos prefieren decir “creo que la probabilidad de que este evento ocurra está entre 0.5 y 0.7”. Bajo estas circunstancias, como en cualquier aspecto de decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad para determinar cómo afecta a la decisión la asignación de probabilidades.

El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles cambios en la solución óptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original.

Definiciones generales del Análisis de sensibilidad

  Efecto neto.-  Es la ganancia o pérdida por unidad adicional de una variable que entra a la base. El efecto neto de una variable básica siempre será cero.

 f j = efecto neto

Ejemplo:  Realizar un análisis de sensibilidad para el siguiente modelo.

Maximizar:   Xo =  10X1 + 15X2 + 4X3 + 2X4

sujeto a:          10X1 + 20X2 + 2X3 + 3X4 <= 4,000                         5X1 +   5X2 + 5X3 + 4X4 <= 1500                         4X1 +   2X2 + 6X3 + 6X4 <= 800          "    X1, X2, X3, X4  >= 0

Solución óptima del problema.  

Base    Xo       X1    X2      X3      X4         X5      X6        X7             Sol.      Xo      1        0       0       7/3       5          2/3       0         5/6         3,333.33       X2      0        0       1     -13/5  -12/15     1/15      0       -1/6           400/3      X6      0        0       0      -1/3     -3/2       -1/6       1       -5/6           500/3       X1      0        1       0     29/15   19/10   -1/30     0         1/3            400/3 

36

   Cambios en los coeficientes de la función objetivo.

El cambio en el Cj de una variable se interpretaría, por ejemplo,  como en incremento en el precio de un producto para un objetivo de maximización, o como la disminución en el costo de una materia prima para un objetivo de minimización. Finalmente, se estudiará por separado si la modificación en el Cj es para una variable no-básica o para una básica, ya que las consecuencias en cada caso son muy diferentes.

  Cambios en el coeficiente Objetivo de una variable No-básica.

Es importante mencionar que una variación de Cj a Cj’ en el coeficiente objetivo de una variable no-básica, no necesariamente conlleva a una infracción de la inmejorabilidad de la solución óptima actual, aunque en ciertas ocaciones si lo haga. Por este motivo, se considerarán a continuación dos alternativas de cambio mutuamente exclusivas en el Cj de una variable no-básica.

(1) cuando  Cj’ < Cj (maximización) en la solución óptima actual  f j = Cj - Zj <= 0                 ==>                        f j = Cj’ - Zj < 0 Con lo cual la inmejorabilidad no se infringe. En consecuencia, se deduce que cuando el Cj’ < Cj en un problema de maximización, la solución óptima actual no se alterara, lo mismo en minimización con Cj’ > Cj.  

(2) cuando  Cj’ > Cj (maximización)

Es claro que solamente  cuando el precio de la utilidad de una variable no-básica se incrementa, Cj’ > Cj, en un problema de maximización, surge la posibilidad de que se altere la inmejorabilidad  y por ende la optimidad actual.

  fj = Cj - Zj <= 0                 ==> Cj’ <= Cj -fj o alternativamente, cuando        Cj’ <= Cj + I fj I

Es decir, si el nuevo Cj satisface la desigualdad, la actual solución permanece óptima; de lo contrario, debe calcularse el f j’ el cual será positivo, e introducirse Xj a la base para encontrar la nueva solución óptima.

Ejemplo:        Cambio en el Cj de una variable no - básica.

Para el problema dado. a) determinar los rangos de variación en la utilidad unitaria de las variables no-básicas , tal que la solución óptima no se altere.

b)  Evaluar los efectos de un incremento en la utilidad unitaria del producto 3 de $4 a $5.

c)  Evaluar el efecto de de un aumento en la utilidad actual del producto 4 de $2 a $8.

a)       Cj’ <=Cj + I fi j I C3’ <= 4 + I -7/3I  <= 19/3

37

C4’ <=2 + I -5I  <=  7 C5’ <= 0 + I -2/3I  <= 2/3 C7’ <= 0 + I -5/6I  = 5/6

b)  Dado C3’ = 5 = 15/3 satisface el límite máximo de 19/3, por lo tanto, el incremento no modifica la solución óptima actual.

C)  Ya C4’ = 8 sobrepasa el límite de incremento en C4, la solución óptima actual cambiará. El nuevo f4 es

f4’ = C4’ - Z4 = 8 -7 = 1

y al ser positivo, X4 debe entrar a la base.  

Base      Xo       X1    X2      X3      X4         S1       S2       S3         Sol.      Xo        1        0       0       7/3      -1          2/3        0        5/6      3,333.33       X2        0        0       1     -13/15  -12/15     1/15      0       -1/6         400/3      ------      X6        0        0       0      -1/3     -3/2       -1/6       1       -5/6         500/3      ------       X1        0        1       0    29/15   19/10     -1/30      0        1/3        400/3      4000/57

3.4. CONDICIONES KHUN-TUCKER.Condiciones de Karush Kuhn TuckerProposici´on 9 Sup´ongase que f(x), gj(x) con j = 1, ...,m, son funcionesdiferenciables que satisfacen ciertas condiciones de regularidad.Entonces, ¯x puede ser una soluci´on ´optima para el problema de programaci´on no-lineal, s´olo si existen m n´umeros μ1, ..., μm que satisfagantodas las condiciones necesarias siguientes:

38

Comentarios acerca de KKT• Las condiciones de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker son condiciones necesarias y s´olo garantizar´ıan optimalidad global si se cumplen adicionalmente otras condiciones de convexidad. Corolario 10 Sup´ongase que f(x) es una funci´on convexa y diferenciable, y que g1(x), g2(x), ..., gm(x) tambi´en lo son en donde todas estas funciones satisfacen las condiciones de regularidad. Entonces ¯x = (¯x1, ..., ¯xn) es una soluci´on ´optima si y s´olo si se satisfacen todas las condiciones del teorema. • El m´etodo identifica puntos ´optimos locales que cumplan condiciones de regularidad • Los gradientes de las restricciones activas en el punto deben ser linealmente independientes.

Condiciones de Regularidad del Dominio• Ciertas condiciones garantizan regularidad en todo el dominio: Proposici´on 11 (Slater) Las condiciones de regularidad de Slater establecen que si hay un dominio D = {x : gj(x) $ 0} con gj(x) funciones convexas, y existe un punto ¯x & D tal que gj(¯x) < 0 "j = 1, . . . ,m,entonces todo punto x & D es regular. Proposici´on 12 (Slater-Usawa) Las condiciones de regularidad de Slater- Usawa establecen que si hay un dominio D = {x : gj(x) $ 0} con gj(x) funciones convexas, y existe un punto ¯x & D tal que gj(¯x) < 0 para toda restricci´on no lineal, y gj(¯x) $ 0 para toda restricci´on lineal, entonces todo punto x & D es regular. Corolario 13 En problemas lineales basta que haya un punto factible para decir que su dominio es regular.

39

40

3.5. DUAL SIMPLEX

EL MÉTODO DUAL SIMPLEX

Como sabemos, el método simplex es un algoritmo iterativo que iniciando en una solución básica factible pero no óptima, genera soluciones básicas factibles cada vez mejores hasta encontrar la solución óptima (sí esta existe). Nótese que la base de su lógica es mantener la factibilidad, mientras busca la optimalidad. Pero surge la posibilidad de usar otro esquema igualmente iterativo, que como contraparte del simplex, comienza en una solución básica óptima, pero no factible y mantiene la inmejorabilidad mientras busca la factibilidad. Con este procedimiento se llega igualmente a la solución óptima.

El nuevo algoritmo fue desarrollo en 1954 por C. E. Lemke y se conoce con el nombre de Método Dual-Simplex. A continuación se presenta su estructura y un ejemplo para ilustrar su aplicación.

 

Algoritmo Dual-Simplex para un modelo de maximización

Introducción

Primero se debe expresar el modelo en formato estándar, agregando las variables de holgura y de exceso que se requieran.Enseguida, en las ecuaciones que tengan variables de exceso (resultantes de restricciones de tipo >), se debe multiplicar por (-1) en ambos lados , para hacer positivo el coeficiente de la variable de exceso, y formar así un vector unitario que nos permita tomar esta variable de exceso como una variable básica inicial. sin necesidad de agregar una variable artificial en esa restricción.

41

Al hacer lo anterior se logra que debajo de las variables básicas aparezca una matriz identidad, que es la que el simplex siempre toma como base inicial.

Obtendremos que los términos del lado derecho de las ecuaciones multiplicadas por (-1) quedan con signo negativo, lo cual hace que la solución inicial sea infactible.

Es importante destacar que este proceso es muy útil ya que en muchos modelos evita la inclusión de variables artificiales en el momento de transformar un modelo a formato estándar.

El algoritmo para resolver un modelo de maximización es el siguiente:

Paso 1: Hallar una solución básica inicial infactible e inmejorable

Escribir el tablero inicial tomando a las variables de holgura y de exceso como variables

básicas iniciales

Paso 2: Prueba de factibilidad

a. Si todas las variables básicas son no negatívas, la actual solución es la óptima.b. Si hay al menos una variable básica negativa, seleccionar como variable de

salida,( llamémosla (XB)s ), a aquella con el valor mas negativo. Los empates se pueden romper arbitrariamente.

Paso 3: Prueba de inmejorabilidad

a. Sí en el renglón de la variable básica de salida (XB)s todos los coeficientes de reemplazo con las variables no básicas son no negativos, la solución del modelo es óptima ¡limitada. Se termina el proceso.

Si en el renglón de la variable básica de salida (XB)s, hay al menos un coeficiente de intercambio negativo , se efectúan los cocientes entre el efecto neto de cada variable no básicas y su correspondientel coeficiente de intercambio negativo.

Es decir, siendo (XB)s la variable de salida se calculan todos los cocientes

Se toma como variable de entrada ( llamémosla Xe ) a aquella que corresponda al mínimo de los cocientes del anterior conjunto

42

Si la variable de entrada es Xe el elemento pivote será el elemento (Se)s

El empate se puede romper arbitrariamente.

b. Aplicar la operación de pivoteo para generar la nueva tabla, en la cual aparezca Xe como variable básica en lugar de la variable de salida (XB)s

c. Repetir el algoritmo a partir del paso 2.

Ejemplo de aplicación del Método Dual Simplex

Sea el siguiente modelo:

MaximizarZ=

-2X1 -2X2 -3X3  

Sujeto a : 2X1 +4X2 +2X3 > 10

    3X1 -3X2 +9X3 = 12             

  con X1, X2, X3 > 0

Expresemos el modelo en formato estándar

MaximizarZ=

-2X1 -2X2 -3X3      

Sujeto a : 2X1 +4X2 +2X3 -IE1   = 10

    3X1 -3X2 +9X3   -IE2 = 12

multipliquemos por (-1) en ambos lados de las ecuaciones, para formar los vectores unitarios, requeridos para contar con una base inicial unitaria.

MaximizarZ=

-2X1 -2X2 -3X3      

Sujeto a : -2X1 -4X2 -2X3 +IE1   = -10

    -3X1 +3X2 -9X3   +IE2 = -12

paso 1.

Tomando las variables básicas iniciales hacemos lo siguiente:

Cj -2 -2 -3 0 0 XB  

43

CB X1 X2 X3 E1 E2 Solución Básicas0 -2 -4 -2 1 0 -10E10 -3 3 -9 0 1 -12E2Zj 0 0 0 0 0 0  Ej -2 -2 -3 0 0 0Z

Paso 2

Sale E2 = (XB)2 o sea s = 2

Paso 3

a. Calculando los cocientes para todo (Sj)2 < 0 obtenemos:

o sea que X3 es la variable de entrada( entonces e = 3) y el elemento pivote es el (Se)s = (S3)2 = -9

b. Efectuando el pivoteo obtenemos la tabla siguiente:

Tabla 1 (maximizar)Cj -2 -2 -3 0 0 XB  CB X1 X2 X3 E1 E2 Solución Básicas0 -4/3 -

14/3 0 1 -2/9 -22/3E1-3 -1/3 -1/3 1 0 -1/9 4/3X3Zj -1 1 -3 0 1/3  Ej -1 -3 0 0 -1/3 -4Z

 

c. Repitiendo el algoritmo desde el paso 1, obtenemos:

sale E1 = (XB)1 y entra X2 por lo cual obtenemos la siguiente tabla

Tabla 2Cj -2 -2 -3 0 0 XB  CB X1 X2 X3 E1 E2 Solución Básicas-2 2/7 1 0 -

3/14 1/21 11/7X2

-3 3/7 0 1 -1/14

-2/21 13/7X3

Zj -13/7 1 -3 -

9/14 4/21  

Ej -1/7 0 0 -9/14

-4/21 -61/7Z

44

Como se observa, ahora estamos en el óptimo.En definitiva:

X2* = 11/7X3* = 13/7Z* = - 61/7

Otro ejemplo:

Resolver el siguiente modelo usando el método Dual-Simplex

MinimizarZ=

2X1 + 2X2    

Sujeto a : 3X1 +X2   > 10

    4X1 +3X2   > 12

    X1 +2X  <  

  con X1, X2 > 0

Expresando el modelo en formato estándar y ajustándolo para que las variables básicas sean las variables de holgura tenemos:

MinimizarZ=

2X1 + 2X2         

Sujeto a : -3X1 -X2 +IE1     = -3

    -4X1 -3X2   +IE2   = -6

    X1 +2X     +IE3 = 3

Usando el método Dual Simplex obtenemos, sucesivamente:

Tabla 0

Basicas X1 X2 E1 E2 H3 Solución

E1-3 -1 1 0 0 -3

E2-4 -3 0 1 0 -6

H31 2 0 0 1 3

Ej2 1 0 0 0 0

45

Sale E2

Entonces los cocientes son

Nota: Obsérvese que cuando el objetivo es minimizar, se toma el valor absoluto de los cocientes.

Tabla 1

Basicas X1 X2 E1 E2 H3 Solución

E1-5/3 0 1 -1/3 0 -1

E24/3 1 0 -1/3 0 2

H3-5/3 0 0 2/3 1 -1

Ej2 0 0 1/3 0 2

 

Sale H1Los cocientes son:

Tabla 2 (óptima)

Basicas X1 X2 E1 E2 H3 Solución

E11 0 -3/5 1/5 0 3/5

E20 1 4/5 -3/5 0 6/5

H30 0 -1 1 1 0

Ej0 0 2/5 1/5 0 12/5

46

La solución óptima es X1 = 3/5, X2 = 6/5 ; Z = 12/5

En la gráfica observamos el camino que realmente siguió el algoritmo para pasar de la solución infactible con valor Z= 0 a la solución factible óptima con valor Z = 12/5.

La aplicación del método simplex dual es especialmente útil en el análisis de sensibilidad. Se usa cuando después de haber obtenido la solución óptima, se desea agregar una nueva restricción al modelo si la nueva restricción no se cumple.

En este caso se obtiene que para los valores óptimos de las variables de decisión, la solución permanece óptima pero se convierte en infactible. Surge entonces la necesidad de aplicar el algoritmo Dual-Simplex para extraer la variable básica que tiene valor infactible. Cuando estudiemos el tema de análisis de sensibilidad analizaremos un caso como el citado.

http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/plineal/dualidad10.htm

3.6. CAMBIOS EN EL VECTOR COSTOS

47

3.7. CAMBIOS EN LOS Bi DE LAS RESTRICCIONES

La generación automática de código es ya un viejo sueño (ver por ejemplo [1]), al que la MDA [2] (Model-Driven Architecture) y, en general, el MDD (Model-Driven Development) han dado un nuevo impulso. Últimamente han aparecido muchos métodos y herramientas que prometen la generación automática y completa del código de una aplicación a partir de su especificación en UML. Como ejemplo, es difícil encontrar una herramienta CASE que no se anuncie a sus posibles usuarios/compradores destacando sus capacidades de generación de código o su adhesión a la filosofía MDA. No obstante aún queda mucho por hacer. Todos estos métodos y herramientas son capaces de

48

generar clases en Java o tablas en una base de datos relacional (BDR) a partir de un esquema conceptual (EC) definido usando un diagrama de clases en UML y (algunos menos) de generar también la parte dinámica a partir de diagramas de estados o lenguajes de acciones (Action Semantics, [3]). El problema es que muchos de ellos se “olvidan” de las restricciones de integridad (RI) durante esta generación, a pesar de que, tal y como se define en [4] las RI son una parte fundamental de la especificación de una aplicación y por lo tanto tienen que tenerse en cuenta durante su implementación. En este artículo se estudia el soporte ofrecido por estos métodos para la generación automática de las RI definidas en la especificación del EC. Como se verá, todos presentan limitaciones en cuanto a la expresividad de las RI permitidas o respecto a la eficiencia del código generado para su comprobación. Además, en muchos de ellos el soporte es casi nulo. Es totalmente imposible evaluar todas las herramientas y métodos disponibles. Se han intentado escoger los más representativos de cada grupo (herramientas CASE, herramientas MDA, métodos de generación automática…). Se han incluido también todas las herramientas que permiten la definición de RI en OCL (Object Constraint Language [5]) o similares, ya que son las únicas que pueden permitir la máxima expresividad en la definición de RI (la mayoría de RI no se pueden expresar simplemente de forma gráfica y necesitan de un lenguaje específico [6 ch. 2]). La estructura de este trabajo es la siguiente: en primer lugar se definen los criterios de la evaluación. A continuación, en la sección 3 se evalúan las diferentes herramientas y métodos. En la sección 4 se definen una serie de características deseables en todo método de generación de RI. Finalmente, en la sección 5 se presentan algunas conclusiones.

3.8. CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES

Cambios en los coeficientes de la función objetivo.

El cambio en el Cj de una variable se interpretaría, por ejemplo,  como en incremento en el precio de un producto para un objetivo de maximización, o como la disminución en el costo de una materia prima para un objetivo de minimización. Finalmente, se estudiará por separado si la modificación en el Cj es para una variable no-básica o para una básica, ya que las consecuencias en cada caso son muy diferentes.

  Cambios en el coeficiente Objetivo de una variable No-básica.

Es importante mencionar que una variación de Cj a Cj’ en el coeficiente objetivo de una variable no-básica, no necesariamente conlleva a una infracción de la inmejorabilidad de la solución óptima actual, aunque en ciertas ocaciones si lo haga. Por este motivo, se considerarán a continuación dos alternativas de cambio mutuamente exclusivas en el Cj de una variable no-básica.

(1) cuando  Cj’ < Cj (maximización) en la solución óptima actual  f j = Cj - Zj <= 0                 ==>                        f j = Cj’ - Zj < 0 Con lo cual la inmejorabilidad no se infringe. En consecuencia, se deduce que cuando el Cj’ < Cj en un problema de maximización, la solución óptima actual no se alterara, lo

49

mismo en minimización con Cj’ > Cj.  

(2) cuando  Cj’ > Cj (maximización)

Es claro que solamente  cuando el precio de la utilidad de una variable no-básica se incrementa, Cj’ > Cj, en un problema de maximización, surge la posibilidad de que se altere la inmejorabilidad  y por ende la optimidad actual.

  fj = Cj - Zj <= 0                 ==> Cj’ <= Cj -fj o alternativamente, cuando        Cj’ <= Cj + I fj I

Es decir, si el nuevo Cj satisface la desigualdad, la actual solución permanece óptima; de lo contrario, debe calcularse el f j’ el cual será positivo, e introducirse Xj a la base para encontrar la nueva solución óptima.

Ejemplo:        Cambio en el Cj de una variable no - básica.

Para el problema dado. a) determinar los rangos de variación en la utilidad unitaria de las variables no-básicas , tal que la solución óptima no se altere.

b)  Evaluar los efectos de un incremento en la utilidad unitaria del producto 3 de $4 a $5.

c)  Evaluar el efecto de de un aumento en la utilidad actual del producto 4 de $2 a $8.

a)       Cj’ <=Cj + I fi j I C3’ <= 4 + I -7/3I  <= 19/3 C4’ <=2 + I -5I  <=  7 C5’ <= 0 + I -2/3I  <= 2/3 C7’ <= 0 + I -5/6I  = 5/6

b)  Dado C3’ = 5 = 15/3 satisface el límite máximo de 19/3, por lo tanto, el incremento no modifica la solución óptima actual.

C)  Ya C4’ = 8 sobrepasa el límite de incremento en C4, la solución óptima actual cambiará. El nuevo f4 es

f4’ = C4’ - Z4 = 8 -7 = 1

y al ser positivo, X4 debe entrar a la base.    

Base      Xo       X1    X2      X3      X4         S1       S2       S3         Sol.      Xo        1        0       0       7/3      -1          2/3        0        5/6      3,333.33 

50

     X2        0        0       1     -13/15  -12/15     1/15      0       -1/6         400/3      ------      X6        0        0       0      -1/3     -3/2       -1/6       1       -5/6         500/3      ------       X1        0        1       0    29/15   19/10     -1/30      0        1/3        400/3      4000/57

http://www.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/PM/dualidad.html

3.9. ADICION DE UNA NUEVA VARIABLE

AGREGACI¶ON DE NUEVAS VARIABLESA~nadimos una nueva variable xn+1 ¸ 0 con costo cn+1 y columna an+1.A.1.- Calculamos zn+1 ¡ cn+1.A.2.- Si zn+1 ¡ cn+1 · 0, tomamos la soluci¶on que ten¶³amos junto xn+1 = 0.A.3.- Si zn+1 ¡ cn+1 > 0, se a~nade la columna de xn+1: B¡1an+1.Se aplica el m¶etodo simplex hasta llegar a la soluci¶on.

51

3.10. ADICION DE UNA NUEVA VARIABLE

El último caso es aquel en el que debe introducirse al modelo una nueva restricción después de que ya se ha resuelto. Este caso puede ocurrir porque se pasó por alto la restricción en un principio o porque surgieron nuevas consideraciones después de la formulación original. Otra posibilidad es que a propósito se haya eliminado la restricción para disminuir el esfuerzo computacional por parecer menos restrictiva que otras ya planteadas en el modelo, pero ahora es necesario verificar esta impresión con la solución óptima que se obtuvo. Para ver si la nueva restricción afecta a la solución óptima actual, todo lo que tiene que hacerse es verificar directamente si esa solución óptima satisface la restricción. Si es así, todavía sería la mejor solución básica factible (es decir, sería la solución óptima), aun cuando se agregara la restricción al modelo. La razón es que una nueva restricción sólo puede eliminar algunas de las soluciones factibles anteriores sin agregar ninguna. Si la nueva restricción elimina la solución óptima actual, y si se quiere encontrar la

52

nueva solución, se introduce esta restricción a la tabla simplex final (como un renglón adicional) como si fuera la tabla inicial, en la que se designa la variable usual (de holgura o artificial) como la variable básica que corresponde a este nuevo renglón. Como éste tal vez tenga coeficientes distintos de cero para algunas otras variables básicas, se debe aplicar la conversión a la forma apropiada de eliminación de Gauss y después cl resto del procedimiento general. Igual que para algunos de los casos anteriores, este procedimiento para el caso de una adición de una nueva restricción es una versión simplificada del procedimiento general resumido anteriormente. La única pregunta que hay que hacerse en este caso es si la solución óptima anterior es todavía factible así que la prueba de optimalidad se ha eliminado. La prueba de factibilidad se ha reemplazado por una prueba de factibilidad mucho más rápida (¿la solución óptima anterior satisface la nueva restricción?) que debe realizarse justo después de la revisión del modelo. Sólo cuando la respuesta a esta prueba es negativa y se quiere reoptimizar, se usan los siguientes pasos; revisión de la tabla simplex final, conversión a la forma apropiada de eliminación de Gauss, y reoptimización.

EJEMPLO. Como ejemplo de este caso, supóngase que se introduce la nueva restricción,

2×1 + 3×2 ≤ 24,

Al modelo dado en la tabla 20. El efecto gráfico se muestra en la figura 5. La solución óptima anterior (0, 9) viola la nueva restricción, por lo que la solución óptima cambia a (0, 8). Para analizar este ejemplo algebraicamente, obsérvese que (0, 9) lleva a que 2×1 + 3×2 = 27 > 24, entonces esta solución óptima anterior ya no es factible. Para encontrar la nueva solución óptima, se agrega esta restricción a la tabla simplex final actual, tal como se describió, con la variable de holgura x6 como su variable básica inicial. Esto lleva a la primera tabla que se muestra en la tabla 23. El paso de conversión a la forma apropiada de eliminación de Gauss requiere restar el renglón 2 multiplicado por 3 del nuevo renglón, con lo que se identifica la solución básica actual: x3 = 4, x2 = 9, x4 = 6, x6 = −3 (xl = 0, x5 = 0), como se muestra en la segunda tabla. Cuando se aplica el método dual simplex se obtiene en una sola iteración (algunas veces se necesitan más) la nueva solución óptima en la tabla final de la tabla |23.

53

IV TRANSPORTE Y ASIGNACION

4.1 DEFINICION DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE

Problema del transporteUna empresa dedicada a la fabricación de componentes de ordenador tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600 piezas, respectivamente. Los costes de transporte, en pesetas por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debe organizarse el transporte para que el coste sea mínimo?

  Tienda A Tienda B Tienda CFábrica I 3 7 1Fábrica II 2 2 6

 Un problema particular que se resuelve con los procedimientos de la programación lineal es la situación conocida como problema del transporte o problema de la distribución de mercancías. Se trata de encontrar los caminos para trasladar mercancía, desde varias plantas (orígenes) a diferentes centros de almacenamiento (destinos), de manera que se minimice el costo del transporte. Para que un problema pueda ser resuelto por el método del transporte debe cumplir: 1) La función objetivo y las restricciones deben ser lineales. 2) El total de unidades que salen en origen debe ser igual al total de unidades que entran en destino.

En este tipo de problemas se exige que toda la producción sea distribuida a los centros de ventas en las cantidades que precisa cada uno; por tanto, no pueden generarse inventario del producto ni en las fábricas ni en los centros de ventas.

En consecuencia, los 800 artículos producidos en la fábrica I deben distribuirse en las cantidades x, y, z a A, B y C, de manera que x + y + z = 800. Pero, además, si desde I se envían x unidades a A, el resto, hasta las 1000 necesarias en A, deben ser enviadas desde la fábrica II; esto es, 1000 - x unidades serán enviadas desde II a A.Del mismo modo, si desde I a B se envían y, el resto necesario, 700 - y, deben enviarse desde II. Y lo mismo para C, que recibirá z desde I y 600 - z desde II.

En la siguiente tabla de distribución se resume lo dicho:

Envíos a la tienda A (1000)

a la tienda B (700)

a la tienda C (600)

Desde la fábrica I ( 800) x y 800 - x - y

Desde la fábrica II (1500) 1000 - x 700 - y x + y - 200

54

La última columna la hemos obtenido de la siguiente forma:Como x + y + z = 800 , se tiene que z = 800 - x - y, de donde, 600 - z = 600 - (800 - x - y) = x + y - 200.

Ahora bien, todas las cantidades anteriores deben ser mayores o iguales que cero. Por tanto, se obtienen las siguientes desigualdades:

x 0 ; 1000 - x 0 ; y 0; 700 - y 0 ; 800 - x - y 0 ; x + y - 200 0

Simplificando las desigualdades anteriores, se obtienen las siguientes inecuaciones:

1000 x 0 ; 700 y 0 ; 800 x + y 0

Recordemos que nuestro objetivo es abaratar al máximo los costes de transporte. Estos costes se hallan multiplicando las cantidades enviadas a desde cada fábrica a cada tienda por los respectivos costes de transporte unitario.Se obtiene:

Z = f(x,y) = 3x + 2(1000 - x) + 7y + 2(700 - y) + (800 - x - y) + 6(x + y - 200) = 6x + 10y + 3000

En definitiva, el programa lineal a resolver es :

Minimizar: Z = 6x + 10y + 3000sujeto a: 1000 x 0  700 y 0  800 x + y 0

La región factible se da en la imagen del margen.

Sus vértices son A(200,0) ; B(800,0) ; C(100,700) ; D(0,700) y E(0,200).

El coste, el valor de Z en cada uno de esos puntos, es:

en A, 4200 en B, 7800 en C, 10600 en D, 10000 en E, 5000

El mínimo se da en A , cuando x = 200 e y = 0.

Luego, las cantidades a distribuir son:

55

Envíos a la tienda A (1000)

a la tienda B (700)

a la tienda C (600)

Desde la fábrica I ( 800) 200 0 600

Desde la fábrica II (1500) 800 700 0

 http://www.itson.mx/dii/elagarda/apagina2001/PM/dualidad.html#inicio

4.2 EL METODO DE APROXIMACION DE VOGEL.

Método de aproximación de Vogel.

Método de Aproximación de Vogel: para cada renglón y columna que queda bajo

consideración, se calcula su diferencia, que se define como la diferencia aritmética entre el

costo unitario más pequeño (cij) y el que le sigue, de los que quedan en ese renglón o columna.

(Si se tiene un empate para el costo más pequeño de los restantes de un renglón o columna,

entonces la diferencia es 0). En el renglón o columna que tiene la mayor diferencia se elige la

variable que tiene el menor costo unitario que queda. (Los empates para la mayor de estas

diferencias se pueden romper de manera arbitraria).

Para hacer más concreta esta descripción, se ilustrará el procedimiento general, utilizando el

método de aproximación de Vogel

para resolver el ejemplo presentado anteriormente y que fue resuelto por la regla de la esquina

noroeste:

Iniciamos el método calculando las primeras diferencias para cada renglón y columna. De las

diferencias que obtuvimos nos fijamos en la mayor (¿Por qué?), que resulta ser para la tercera

columna. En esa columna encontramos el costo unitario (cij) menor y en esa celda realizamos la

primera asignación:

Recursos DIF.5 1

22 0 0

3 1

Demanda 3 4 2 0 1 10 10

DIF. 1 1 3 1 2

56

3 6 47

2 4

3

23

54 8

Nota: Marcaremos a la mayor de las diferencias seleccionada encerrándola en un círculo y escribiéndole como superíndice el número que le corresponda en la secuencia de selección.

Observemos en la figura anterior que únicamente eliminamos el segundo renglón ya que

la tercera columna nos servirá después para hacer la asignación de una variable básica

degenerada. Continuando con la aplicación del método, tenemos que calcular nuevamente las

diferencias de las columnas ya que hemos eliminado un renglón y ésto puede ocasionar que las

diferencias aritméticas entre el costo unitario más pequeño y el que le sigue ya no sean las

mismas:

Recursos DIF.5 1

22 0 0

33 0 1

Demanda 3 4 1 2 0 1 10 10

DIF. 1 1 3 1 2

1 4 2 2 1

Como siguiente paso deberíamos calcular las nuevas diferencias de columnas,

pero ya que solamente queda un renglón dentro de las posibilidades (ésto no significa

que solamente un renglón quede bajo consideración ya que podemos observar que

ninguna de las cuatro columnas (destinos) ha sido eliminada y todas quedan todavía

bajo consideración), no es posible encontrar la diferencia aritmética entre el costo

menor y el que le sigue, por lo tanto vamos tomando una a una las celdas que quedan

comenzando con la de menor costo unitario hasta que todas hayan sido asignadas.

Recursos DIF.

3 1 0 15 2 1 0 1

22 0 0

33 0 1

Demanda 3 0 4 1 0 2 0 1 0 10 10

DIF. 1 1 3 1 2

1 4 2 2 1

57

3 6 47

2 4

3

23

54 8

3 6 47

2 4

3

23

54 8

La solución inicial básica factible es x11=3, x12=1, x13=0 (variable básica degenerada),

x14=1, x23=2 y x32=3 y el costo total de transporte asociado a esta primera “Política de

Transporte” factible es de:

x11 c11 x12 c12 x13 c13 x14 c14 x23 c23 x32 c32

Costo = 3 (3) + 1 (7) + 0 (6) + 1 (4) + 2 (3) + 3 (3) = 35 unidades

Es necesario aclarar que ésta puede o no ser la solución final del problema, es necesario

aplicar a esta primera solución factible la prueba de optimalidad ya que puede existir una mejor

“política de transporte” que minimice todavía más el costo total.

4.3 METODO MODI

Este método reproduce exactamente las mismas iteraciones del método de banquillo. La principal diferencia ocurre en la forma en que las variables no básicas se evalúan en cada iteración. Asociados a cada renglón i de la tabla existen multiplicadores Ui similarmente se asocia un multiplicador Vj a cada columna de la tabla j. Para cada variable básica Xij de la solución actual, se escribe la ecuación Ui +Vj = Cij. Esas ecuaciones proporcionan m+n-1 relaciones con m+n incógnitas.

Los valores de los multiplicadores pueden ser determinados a partir de las ecuaciones suponiendo un valor arbitrario para cualquiera de los multiplicadores (usualmente se establece U1=0) y resolviendo el sistema de ecuaciones para encontrar los multiplicadores desconocidos. Una vez que se hace esto, la evaluación de cada variable no básica X pq está dada como:

 

El criterio que se utiliza para seleccionar la variable que entra es el mismo que el método de banquillo (la mayor negativa).

 

Ejemplo:

Una compañía está considerando una demanda de 5 clientes utilizando artículos que tienen disponibles en 2 almacenes. Los almacenes cuentan con 800 y 1000 unidades respectivamente. Los clientes necesitan 200, 150, 200, 180 y 500 unidades respectivamente. Los costos de embarque por artículo de los almacenes de los clientes son:

 

58

Resuelva el modelo de transporte empleando.

a) Una solución inicial por el método de aproximación de vogel.

b) La solución óptima por el método de multiplicadores.

 

 

 

DESTINO FICTICIO = 570 ARTÍCULOS

 

 

  Para encontrar el valor de los multiplicadores

 

59

 

Se acostumbra:

 

 Para encontrar costos:

 

60

 

Encuentre la solución óptima por el método de multiplicadores a partir de la siguiente tabla inicial.

 

 

61

4.4 PROCEDIMIENTO DE OPTIMIZACION.

Método para la obtención de la solución óptima (multiplicadores).

El método de multiplicadores es un procedimiento secuencial que empieza con una solución inicial factible del problema de transporte, para encontrar la solución óptima.  En cada paso se intenta en este procedimiento enviar artículos por las rutas que no se hayan usado en la solución factible en curso, en tanto que se elimina una de las rutas que esté siendo usada actualmente. Este cambio de ruta se hace de modo que: la solución se conserve factible, mejore el valor de la función objetivo.

Pasos: 1.  Use la solución actual para crear una trayectoria única del paso secuencial. Use estas trayectorias para calcular el costo marginal de introducir a la solución cada ruta no usada. 2.  Si todos los costos marginales son iguales o mayores que cero, deténgase; se tendrá la solución óptima. Si no, elija la celdilla que tenga el costo marginal más negativo. (Los epates se resolverán arbitrariamente) 3.  Usando la trayectoria del paso secuencial, determine el máximo número de artículos que se pueden asignar a la ruta elegida en el paso 2 y ajuste la distribución adecuadamente. 4.  Regrese al paso 1.

tomando cómo base el ejemplo siguiente se consideran los pasos para desarrollar el método  ( 19 ).

Casos especiales Soluciónes degeneradas. 1.  Supóngase que en el problema general hay m origenes y n destinos. En el ejemplo actual m = 3 ,  n = 4. Si una solución factible usa menos de m + n - 1 rutas el problema se llama degenerado. Se tiene que hacer ajustes para usar el metodo de multiplicadores.

“ Callejones sin salida” La determinación de la trayectoria apropiada es más complicada que el mero hecho de saltar de una celdilla a otra ya usando en el mismo renglón o la misma columna. Pueden encontrarse callejones sin salida, en cuyo caso se deben hacer otro intento distinto. Número de celdillas en una trayectoria La trayectoria de pasos secuenciales obtenida en los pasos 1 - 5  contiene cuatro celdas. El hecho de que cualquier renglón o columna que tenga un signo + debe tener tambien un signo - obliga a ello. Aunque siempre debe haber por lo menos cuatro celdillas, la trayectoria podría necesitar más de cuatro. Condiciones de detención para una trayectoria del paso secuencial. El proceso continúa alternando los signos + y -  tanto en los renglones como en las columnas hasta que se obtenga una sucesión de celdillas que satisfagan dos condiciones. 1.  Hay un signo + en la celdilla desocupada original de interés.

62

2.  Cualquier renglón o columna que tenga un signo +  debe tener también un signo - y viceversa. La sucesión de pasos que tenga esta propiedades se llama trayectoria.

4.5 DEFINICION DEL PROBLEMA DE ASIGANCIONUn problema de asignación es un problema de transporte balanceado, en el

cual todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. Se puede resolver

eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método Húngaro:

 

o                              Paso 1.- Empiece por encontrar el elemento mas pequeño en cada

renglón de la matriz de costos. Construya una nueva matriz, al restar de

cada costo, el costo mínimo de su renglón. Encuentre, para esta nueva

matriz el costo mínimo en cada columna. Construya una nueva matriz ( la

matriz de costos reducidos ) al restar de cada costo el costo mínimo de su

columna.

 

o                              Paso 2.- Dibuje el mínimo numero de líneas (horizontales o verticales )

que se necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de costos

reducidos. Si se requieren m líneas para cubrir todos los ceros, siga con el

paso 3.

 

o                              Paso 3.- Encuentre el menor elemento no cero (llame su valor k en la

matriz de costos reducidos, que no esta cubiertos por las líneas dibujadas en

el paso 2. Ahora reste k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos

reducidos y sume k a cada elemento de la matriz de costos reducidos

cubierto por dos líneas. Regrese al paso 2.

 

Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que

todas las ofertas y demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el conocimiento

63

del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de demanda. La

matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de costos.

 

Como todas las ofertas y demandas para el problema de asignación son números

enteros, todas las variables en la solución óptima deben ser valores enteros.

  

EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE ASIGNACION

 

1.                 Una empresa ha contratado a 4 individuos para 4 trabajos, los 4 individuos y

4 trabajos pueden mostrarse en una tabla que indique las clasificaciones

obtenidas, analizando al individuo para cada trabajo. Los renglones se refieren

a los hombres, mientras que las columnas se refieren a los trabajos; el problema

consiste en maximizar las calificaciones para asignar los 4 trabajos.

Se supone que las calificaciones de un individuo es directamente proporcional a

la ganancia que obtendría la compañía si ese individuo se encargara del trabajo.

 

2.                 Otro problema que utiliza la misma estructura del modelo de transporte, es

la asignación de camiones para reducir al mínimo los costos de un problema de

asignación.

 

3.                 Una empresa cubre el territorio nacional con dos camiones especialmente

equipados para funcionar en condiciones climatológicas específicas. La

empresa ha dividido en cinco regiones geográficas. Se compra el camión A y se

modifica para que funcione eficientemente en las regiones uno y dos, y para

que funcione bastante bien en las regiones tres y cuatro. El mismo camión no

funciona bien en la región cinco. Los gastos de gasolina, mantenimiento y otros

costos directos de operación, serían mínimos en las regiones uno y dos,

64

promedio en las regiones tres y cuatro, y altos en la región cinco. Se tiene esa

misma información con respecto a los demás camiones de la compañía, o sea,

los tipos B, C y D.

4.6 EL MÉTODO HUNGARO.

EL METODO HUNGARO

Este algoritmo se usa para resolver problemas de minimización, ya que es más eficaz que el empleado para resolver el problema del transporte por el alto grado de degeneración que pueden presentar los problemas de asignación. Las fases para la aplicación del método Húngaro son:

Paso 1: Encontrar primero el elemento más pequeño en cada fila de la matriz de costos m*m; se debe construir una nueva matriz al restar de cada costo el costo mínimo de cada fila; encontrar para esta nueva matriz, el costo mínimo en cada columna. A continuación se debe construir una nueva matriz (denominada matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna.

Paso 2: (En algunos pocos textos este paso se atribuye a Flood). Consiste en trazar el número mínimo de líneas (horizontales o verticales o ambas únicamente de esas maneras) que se requieren para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos; si se necesitan m líneas para cubrir todos los ceros, se tiene una solución óptima entre los ceros cubiertos de la matriz. Si se requieren menos de m líneas para cubrir todos los ceros, se debe continuar con el paso 3. El número de líneas para cubrir los ceros es igual a la cantidad de asignaciones que hasta ese momento se pueden realizar.

Paso 3: Encontrar el menor elemento diferente de cero (llamado k) en la matriz de costos reducidos, que no está cubierto por las líneas dibujadas en el paso 2; a continuación se debe restar k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sumar k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas (intersecciones). Por último se debe regresar al paso 2.

Notas:

65

1. Para resolver un problema de asignación en el cual la meta es maximizar la función objetivo, se debe multiplicar la matriz de ganancias por menos uno (−1) y resolver el problema como uno de minimización.

2. Si el número de filas y de columnas en la matriz de costos son diferentes, el problema de asignación está desbalanceado. El método Húngaro puede proporcionar una solución incorrecta si el problema no está balanceado; debido a lo anterior, se debe balancear primero cualquier problema de asignación (añadiendo filas o columnas ficticias) antes de resolverlo mediante el método Húngaro.

3. En un problema grande, puede resultar difícil obtener el mínimo número de filas necesarias para cubrir todos los ceros en la matriz de costos actual. Se puede demostrar que si se necesitan j líneas para cubrir todos los ceros, entonces se pueden asignar solamente j trabajos a un costo cero en la matriz actual; esto explica porqué termina cuando se necesitan m líneas.

V PROGRAMACION ENTERA

66

http://www-2.dc.uba.ar/materias/ocom/

5.1 INTRODUCIION Y CASOS DE APLICACIÓN

67

5.2 DEFINICION Y MODELOS DE PROGRAMACION ENTERA

68

69

70

71

5.3 METODO DE RAMIFICACION Y ACOTAR

Optimización combinatorialSoluci´on ingenua: hacer una lista completa de todas las soluciones factibles y evaluar la función objetivo para cada una, eligiendo al final la solución cual dio el mejor valor. La complejidad de ese tipo de solución es por lo menos(|F|) donde F es el conjunto de soluciones factibles. El número de soluciones factibles suele ser algo como (2n), por lo cual el algoritmo ingenuo tiene complejidad asintótica exponencial.

72

Ramificar-acotar– p. 3/20

ALGORITMO ADITIVO DE BALAS

Ejemplo de Algoritmo Aditivo:

Resolver el siguiente problema 0-1:

Max w=3y1+2y2-5y3-2y4+3y5

Sujeta a:

y1 + y2 + y3 + 2y4 - y5 " 4

7y1 +3y3 - 4y4 - 3y5 " 8

11y1 -6y2 +3y4 - 3y5 " 5

y1,y2,y3,y4,y5 = (0_1)

El problema se puede poner en la forma inicial requerida por el algoritmo aditivo, utilizando las siguientes operaciones:

Multiplique la función objetivo por -1.

Multiplique la tercera restricción por -2.

Añada las variables s1,s2 y s3 para convertir las tres restricciones en ecuaciones.

Sustituya y1=1-x1 , y2=1-x2 , y5=1-x5 , y3=x3 , y y4=x4 para producir todos los coeficientes objetivo positivos.

La conversión da por resultado la siguiente función objetivo:

Min z'=3x1+2x2+5y3-2x4+3x5-8

Para mayor facilidad, ignoremos la constante -8 y reemplazaremos z' +8 con z, de manera que el problema convertido resultante se lee como:

Min z=3x1+2x2+5y3-2x4+3x5

Sujeta a: x1 - x2 + x3 + 2x4 - x5 -s1 = 1

-7x1 +3x3 - 4x4 - 3x5 -s2 = -2

11x1 -6x2 -3x4 - 3x5 -s3 = 5

x1,x2,x3,x4,x5 = (0_1)

Debido a que el problema modificado busca la minimización de una función objetivo con todos los coeficientes positivos, una solución inicial lógica debe consistir en variables binarias todas cero. En este caso, las holguras actuarán como variables básicas y sus valores los dan los lados derechos de la ecuación. La solución se resume en la siguiente tabla:

Solución básica factible X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 S3 Solución

S1 -1 -1 1 2 -1 1 0 0 1

73

S1 -7 0 3 -4 -3 0 1 0 -2S1 11 -6 0 -3 -3 0 0 1 -1

Coeficientes objetivo 3 2 5 2 3

Dada una solución binaria inicial toda cero, la solución de holgura asociada es:

(s2 ,s2 ,s3 ) = (1,-2,-1) , z=0

Si todas las variables fueran no negativas, concluiríamos que la solución binaria toda cero es óptima. Sin embargo, debido a que algunas de las variables son no factibles (negativas), necesitamos elevar una o más variables binarias al nivel 1 para lograr la factibilidad (o concluimos que el problema no tiene una solución factible).

La elevación de una (o de algunas) de las variables binarias cero al nivel 1 ocurre en el algoritmo aditivo una a la vez. La variable elegida se llama variable de ramificación y su selección se basa en el empleo de pruebas especiales.

La variable de ramificación debe tener el potencial de reducir la no factibilidad de las holguras. Si venos la tabla anterior x3 no se puede seleccionar como una variable de ramificación, debido a que sus coeficientes de restricción en la segunda y tercera restricciones son no negativos. Por tanto, la determinación de x3=1 solo puede empeorar la no factibilidad de s2 y s3. A la inversa, cada una de las variables restantes tiene por lo menos un coeficiente de restricción negativo en las restricciones 2 y 3, de allí que una combinación de estas variables puede producir holguras factibles. Por consiguiente, podemos excluir a x3 ya a considerar x2, x3, x4 y x5 como las únicas candidatas posibles para la variable de ramificación.

La selección de la variable de ramificación entre las candidatas x2, x3, x4 y x5 se basa en el empleo de la medida de no factibilidad de holgura. Esta medida, que se basa en la suposición de que una variable cero xj se elevará al nivel 1, se define como

Ij = " min {0,si-aij}

Donde s1 es el valor actual de la variable i y aij es el coeficiente de restricción de la variable x1 en la restricción i.

De hecho, Ij no es más que la suma de las variables negativas resultantes de elevar xj al nivel 1. La fórmula, aparentemente complicada, se puede simplificar a:

Ij = " (negativos sj valor dado xj=1)

Por ejemplo, cuando determinamos x1=1, obtenemos s1=1-(-1)=2, s2= -2-(-7)=5 y

s3= -1-11= -12. Así I1= -12. De manera similar I2=-2, I4=-1 y I5=0 (recordando que x3 se excluyó como no prometedora). Debido a que I5 produce la medida más pequeña de no factibilidad, se selecciona x5 como la variable de ramificación. Fa figura 9-10 muestra las dos variables asociadas con x5=1 y x5=0 y la creación de nodos 1 y 2. el nodo 1 produce los valores de holguras factibles (s1 ,s2 ,s3 )= (2,1,2) y z=3. por tanto, se sondea el nodo 1 y z=3 se define como la cota superior actual sobre el óptimo valor objetivo.

Después de sondear el nodo 1, avanzamos al nodo, para lo cual x5=0. Aquí tenemos:

(s1 ,s2 ,s3 )= (-1,2,-1), z=2

74

Que no es factible. Las variables x1,x2,x3 y x4 son las candidatas para la variable de ramificación. (Observe que aun cuando las soluciones en el nodo 0 u el nodo 2 son idénticas, el nodo 2 difiere en que x5 ya no es candidata para la ramificación. Para las variables restantes, x2 y x4, calculamos las medidas de factibilidad como:

I2 = -2 , I4 = -1

Por consiguiente, x4 es la variable de ramificación en el nodo 2. La figura 9-11 muestra las ramificaciones x4 = 1 y x4 = 0, que conducen a los nodos 3 y 4. en el nodo 3 (definido al determinar x5 = 0 y x4 = 1), obtendremos:

(s1 ,s2 ,s3 )= (-1,2,2), z=2

Ésta solución aún no es aún factible. Las candidatas para la ramificación son x1,x2 y x3. Sin embargo la elevación cualquiera de éstas variables al nivel 1 empeorará el valor de z en relación a la cota superior actual z=3. Por consiguiente, todas las variables candidato se excluyen y el nodo 3 se sondea.

Después, en el nodo restante 4, definido por x5 = x4 = 0 tenemos:

(s1 ,s2 ,s3 )= (1,-2,-1), z=0

Las variables x5 y x3, se excluyen por medio de la prueba de la cota superior. (Observe que también se puede excluir debido a que no reduce la factibilidad de la holgura). La variable faltante x2 no puede ser excluida por la cota superior o por la promesa de factibilidad. Por tanto x2 es la variable de ramificación.

La figura 9-12 muestra la adición de los nodos 5 y 6 que emanan el nodo 4. en el nodo 5 tenemos:

(s1 ,s2 ,s3 )= (2,-2,5), z=2

Y x1 y x3 como las candidatas a la ramificación. La variable x1 se excluye por medio de la prueba de la cota superior y x3 se excluye por medio de las pruebas tanto de la factibilidad de la holgura como de la cota superior. Esto significa que el nodo 5 se sondea. El nodo 6 también es sondeado debido a que ni x1 ni x3 pueden producir una mejor solución factible.

Ahora que se han sondeado todos los “pendientes” en la anterior figura y termina el algoritmo de R y A la solución óptima está asociada con el nodo 1, es decir, x5 = 1, z = 3 y todas las demás variables son cero. En términos de las variables originales, la solución es y1= y2=1 y y3= y4= y5= 0 con w=5.

75

La figura anterior muestra que, mientras más pequeño es el número de ramificaciones conducentes a un nodo sondeado, más eficiente es el algoritmo. Por ejemplo, el nodo 1 se define fijando una ramificación (x5=1) y su sondeo implica automáticamente de 25-1 = 16 soluciones binarias (todas aquellas que tienen x5=1). A la inversa, el nodo 3 se define fijando dos variables binarias y su sondeo implícitamente implica de 25-1=8 soluciones binarias únicamente

5.4 METODO DE PLANOS CORTANTES

76

77

78

5.5 ALGORITMO ADITIVO DE BALAS

79

80

Algoritmo de Balas

81

http://www.investigacion-operaciones.com/Curso_Inv_Oper.htm

82