ANTIDERIVADA Una antiderivada de una funcin f(x) es una funcin cuya derivada es f(x). Ejemplosy y y y

Si la derivada de x2+4 es 2x, una antiderivada de 2x es x2+4. Si la derivada de x2+30 es 2x tambin, otra antiderivada de 2x es x2+30. En forma parecida, otra antiderivada de 2x es x2-49. En forma parecida, otra antiderivada de 2x es x2 + C, donde C es cualquier constante (positiva, negativa, o cero)

In fact: Cada antiderivada de 2x tiene la forma x2 + C, donde C es constante. Podemos decir que la derivada de x4+C es 4x3, sabiendo que C puede ser cualquier nmero real. INTEGRAL INDEFINIDA Llamamos al conjunto de todas antiderivadas de una funcin la integral indefinida de la funcin. Escribimos la integral indefinida de la funcin f como f(x) dx

y la leemos como "la integral indefinida de f(x) respecto a x" Por lo tanto,

f(x) dx es una conjunto de funciones; no es una funcin sola, ni un nmero. La funcin f que se est integrando se llama el integrando, y la variable x se llama la variable de integracin.

Ejemplos La intgegral indefinida de 2x respecto a x es x2 + C La integral indefinida de 4x3 respecto a x es x4 + C

2x dx = x + C 4x dx = x + C3 4

2

Leyendo la formula Leemos la primera formula como sigue:

2x

dx

=

x2 + C

La antiderivada de 2x, respecto a x, es igual a x2 + C La constante de integracin, C, nos recuerda que podemos aadir cualquiera constante y as obtener una otra antiderivada.

Como quedara el cuadro anterior para el segundo ejemplo:escrbelo.

REGLAS BASICAS DE INTEGRACION A continuacin se presenta un conjunto de reglas para encontrar la integral indefinida de una funcion "La antiderivacin o antidiferenciacin es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las antiderivadas de una funcin dada. El smbolo operacin de antiderivacin, y se escribe donde denota la y

En la igualdad la expresin f. Si

x es la variable de integracin,

es el integrando y

recibe el nombre de antiderivada general o integral indefinida de es el conjunto de todas las funciones cuyas diferenciales sean

tambin es el conjunto de todas las funciones cuya derivada es

Teorema 2.

Teorema 3.

donde a es una constante.

Teorema 4. Si las funciones f y g estn definidas en el mismo intervalo, entonces

Teorema 5. Si las funciones estn definidas en el mismo intervalo, entonces

donde Teorema 6.

son constantes.

Si n es un nmero racional, entonces

Ejemplos.

1) Evale Solucin.

2) Calcule Solucin.

3) Determine Solucin.

Los teoremas para las integrales indefinidas de las funciones trigonomtricas seno, coseno, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, secante por tangente y cosecante por cotangente, son deducciones inmediatas de los teoremas correspondientes de diferenciacin. A continuacin se presentan tales teoremas. Teorema 7.

Teorema 8.

Teorema 9.

Teorema 10.

Teorema 11.

Teorema 12.

Ejemplos.

1) Evale Solucin.

Las identidades trigonomtricas se emplean con frecuencia cuando se calculan integrales indefinidas que involucran funciones trigonomtricas. Las ocho identidades trigonomtricas fundamentales siguientes son de crucial importancia.

2) Calcule Solucin.

3) Determine Solucin.

Ejercicios. Calcule las integrales indefinidas:

TEOREMA 13. REGLA DE LA CADENA PARA ANTIDERIVACIN. Sea g una funcindiferenciable y sea el contradominio de g algn intervalo I. Suponga que f es una funcin definida en I y que F es una antiderivada de f en I. Entonces

Teorema 14. Si g es una funcin diferenciable y n es un nmero racional, entonces

Ejemplos.

1) Evale Solucin.

y observe que si junto a para obtener

entonces

Por lo tanto, se necesita un factor 3

En consecuencia, se escribe

2) Calcule Solucin. Observe que si factor 6 junto a entonces para obtener Por lo tanto, necesitamos un Luego, se escribe

y

3) Evale

Solucin. Como se escribe

Ejercicios. Resuelva:

En los teoremas que se presentan a continuacin Teorema 15.

es una funcin de x, es decir,

Ejemplo.

Evale Solucin. En este caso para obtener por lo tanto, Entonces, se escribe luego se necesita un factor 3 junto a

Teorema 16.

Ejemplo.

Calcule Solucin. Consideremos para obtener tenemos que Por lo tanto, luego necesitamos un factor 6 junto a

Teorema 17.

Ejemplo.

Calcule Solucin. Como entonces por lo tanto,

Teorema 18.

Ejemplo.

Evale Solucin. Siendo entonces luego, podemos escribir

Teorema 19.

Ejemplo.

Resuelva Solucin.

Ejercicios. Resuelva las integrales indefinidas:

Teorema 20.

Ejemplo.

Evale Solucin.

Sea

entonces,

por lo tanto

Teorema 21.

Ejemplo.

Evale Solucin.

Como entonces

se aplica el teorema 21 con

de donde obtenemos,

Ejercicios. En los siguientes ejercicios evale la integral indefinida.

A partir de las frmulas de las derivadasde las funciones trigonomtricas inversas se obtienen algunas frmulas de integrales indefinidas. El teorema siguiente proporciona tres de estas frmulas. Teorema 22.

El teorema siguiente proporciona algunas frmulas ms generales. Teorema 23.

Ejemplos.

1) Evale Solucin.

2) Evale Solucin.

Con la finalidad de completar el cuadrado de por 3 en realidad se suma es

se suma

y como est multiplicado Por lo tanto, se tiene

al denominador, de modo que para que la expresin del

denominador persista, es decir, no se altere, se resta tambin

3) Evale Solucin.

Las frmulas de integracin indefinida del teorema siguientes son consecuencia inmediata de las frmulas de las derivadas de las funciones hiperblicas.