IMPLEMENTACION DE LA TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER EN UN dsPIC30F CON CONTROL DEL NÚMERO DE MUESTRAS Y VELOCIDAD DE

MUESTREO

JAIME FERNANDO AMEZQUITA RIVERA Código: 20449915998

Correo Electrónico: jaamezquita@uan.edu.co yaimeasm@yahoo.es

Anteproyecto de trabajo degrado presentado como requisito parcial para optar al título de Ingeniero Electrónico

Directora Ingeniera Electrónica

Ángela Viviana Peña Puerto Correo Electrónico: angelapena@uan.edu.co

UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA

TUNJA

2010 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Las soluciones en tiempo real requieren de operaciones complejas dentro de las cuáles se menciona la Transformada Rápida de Fourier (FFT), esta técnica incluye la realización de operaciones como la acumulación, la multiplicación y el desplazamiento casi de manera simultánea, por esta razón para su implementación se requieren dispositivos de procesamiento que puedan realizar dichas operaciones con gran velocidad tales como los procesadores y controladores digitales.

Las implementaciones de la Transformada Rápida de Fourier (FFT) utilizan distintos algoritmos que dan solución a esta operación. Dentro de los algoritmos se pueden mencionar algunos como el algoritmo Radix-2 FFT diezmado en el tiempo, este reduce el número de sumas y multiplicaciones y podría implementarse en un FPGA aunque con el inconveniente que requiere más tiempo de desarrollo y depuración por la manera en que está estructurado su hardware; el algoritmo Radix-4 FFT o en base 4 es más eficiente computacionalmente aunque el número de datos se incrementa, este podría implementarse en un DSP o en un dsPIC por las instrucciones especializadas y la arquitectura que tienen incorporados, lo que les permite un procesamiento paralelo y mayor velocidad; el algoritmo Radix-2 diezmado en frecuencia, también reduce el número de sumas y multiplicaciones, con el inconvenientes que el resultado no está ordenado y se debe aplicar el método de bit de reverso, este también podría implementarse en un DSP por las características mencionadas anteriormente El problema a resolver con este trabajo radica en la elección del algoritmo que más se ajuste a las prestaciones de un dsPIC en cuanto a su arquitectura, rendimiento y velocidad. Una vez seleccionado el algoritmo y realizada su implementación se podrá evaluar la efectividad del procesador en aplicaciones de tiempo real mediante una prueba de verificación denominada en este caso selector de metales, el objetivo principal de esta aplicación es nombrar o visualizar el tipo de material sensado, mostrando tanto la importancia de la Transformada Rápida de Fourier (FFT) en el tratamiento de señales en tiempo real como las limitaciones que se encuentren en su implementación en un chip como los dsPIC. La aplicación de operaciones como la Transformada Rápida de Fourier apoya el desarrollo tecnológico, lo cual se ve reflejado en sistemas de comunicación, control de motores, exploración del espacio, medicina, arqueología, televisión digital, entretenimiento multimedia, entre otros.

2. JUSTIFICACION

El procesamiento de señales es una herramienta utilizada en un amplio número de aplicaciones, tales como sistemas de comunicación, control de motores, la exploración del espacio, la medicina, la arqueología, televisión digital y entretenimiento multimedia, entre otros. Para el análisis de señales se requiere de dispositivos con altas capacidades para obtener una respuesta casi en tiempo real, entre ellos encontramos los dsPIC ya que son mucho más rápidos que los microcontroladores (MCU) y manejan varias instrucciones en un solo ciclo por ejemplo la multiplicación y mejores que otros DSP ya que combinan las funciones de un microcontrolador con las de un DSP.

Uno de los beneficios principales del DSP es que las transformaciones de señales son más sencillas de realizar. Una de las más importantes transformadas es la Transformada Rápida de Fourier (FFT). Dentro de algunos proyectos desarrollados, encontramos que los procesos realizados para el análisis de señales, requieren de un computador, una calculadora científica o un kit de desarrollo DSP, lo cual hace indispensable la utilización de alguno de estos equipos, incrementado el costo y limitado a las características de estos kit de desarrollo o medio computacional. Se pretende, que los estudiantes, ingenieros y todas las personas que vayan a realizar un estudio de una señal tengan una herramienta con la cual puedan realizar su respectivo análisis y correcciones en los diferentes diseños e implementación en los circuitos electrónicos o sistemas electrónicos a desarrollar.

3. MARCO TEORICO

3.1 INTRODUCCIÓN A LOS DSP La instrumentación y los modernos sistemas de control y telecomunicación son versátiles, flexibles y de bajo coste porque en la actualidad se dispone de los sistemas digitales denominados sistemas microprocesadores. Estos sistemas se caracterizan por la capacidad de procesar información mediante la ejecución de programas (conjunto de instrucciones que se encuentran almacenadas en dispositivos de memoria de tipo RAM y ROM) gracias a que van provistos de un módulo denominado CPU, que es el encargado de interpretar secuencialmente las instrucciones y de realizar la tarea programada. Esta capacidad les permite ser sistemas de propósito general que pueden ser utilizados en infinidad de aplicaciones con sólo cambiar el programa que han de ejecutar.1

En 1978, Intel lanzó el 2920 como un "procesador analógico de señales". Este poseía un chip ADC/DAC con un procesador de señales interno, pero no poseía un multiplicador de hardware, el 2920 no tuvo éxito en el mercado. En 1979, AMI lanza el S2811, fue diseñado como un microprocesador periférico, al igual que el 2920 no tuvo gran éxito en el mercado. En el mismo año, Bell Labs introduce el primer chip procesador digital de señales (DSP), The Mac 4 Microprocessor. Luego en 1980 fueron presentados en el ISSCC’80 los primeros DSP completos: el PD7710 de NEC y el DSP1 de AT&T, ambos procesadores fueron inspirados en las investigaciones de PSTN Telecomunicaciones. En ese mismo año NEC comenzó la producción del PD7710, la primera producción de DSP completos en el mundo.2

El primer DSP producido por Texas Instruments, el TMS32010, probó ser un sucesor mejor. ________________ 1 Introducción a los DSP. Conceptos Básicos. Disponible en Internet: http://www.mhe.es/universidad/ingenieria/barreroprocesadores/home/8448198344.pdf. p.3.

2 Procesamiento Digital de Señales. Disponible en Internet: http://es.wikipedia.org/wiki/Procesamiento_digital_de_se%C3%B1ales

Actualmente el TMS320C4X diseñado y producido por TEXAS INSTRUMENTS, posee ciertas ventajas frente al resto de los procesadores, ya que éste se diseña para ser escalable, es decir, para que pueda trabajar en paralelo con otros dispositivos similares. Los dsPIC nacen después de que los DSP hayan sido desarrollados durante años por otras empresas. En su diseño han participado expertos y especialistas de muchas áreas. Los dsPIC se han aprovechado de la experiencia acumulada por otros fabricantes.1

3.2 PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES El procesamiento digital de señales (en inglés digital signal processing, DSP) es un área de la ingeniería que se dedica al análisis y procesamiento discreto de señales (audio, voz, imágenes, video, etc). Aunque comúnmente las señales en la naturaleza nos llegan en forma analógica, también existen casos en que estas son por su naturaleza discretas, por ejemplo, las edades de un grupo de personas, el estado de una válvula en el tiempo (abierta/cerrada), etc. Un sistema de procesamiento digital de señales se puede implementar mediante software (operaciones matemáticas especificadas en un programa) o hardware digital (circuitos lógicos) configurado para llevar a cabo las operaciones deseadas. En general, un sistema de procesamiento digital de señales se puede implementar como una combinación de software y de hardware digital, en el cual cada uno ejecuta un determinado conjunto de funciones. 3.3 ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES El procesamiento digital de señales consiste básicamente de tres pasos: conversión de la señal analógica en digital, procesamiento de la señal digital y finalmente, conversión de la señal procesada en una forma analógica. A continuación se muestra el diagrama de bloques de un sistema de procesamiento digital de señales. __________________ 1 ANGULO USATEGUI, José María; ANGULO MARTÍNEZ, Ignacio; ETXEBARRIA RUIZ, Aritza y TRUEBA PARRA, Iván. dsPIC Diseño práctico de aplicaciones. p.8.

Figura 3.1 Sistema de procesamiento digital de señales

Conversor

A/D

Procesador

Digital de

señales

Conversor

D/A

Señal

Analógica

de entrada

Señal

Digital

de entrada

Señal

Digital

de Salida

Señal

Analógica

de salida

Dado que la amplitud de la señal analógica de entrada varía con el tiempo se usa un circuito Sample-and-Hold (S/H) que muestrea la señal analógica de entrada en intervalos periódicos de tiempo y mantiene el valor constante muestreado en la entrada del convertidor analógico-digital para llevar a cabo la conversión digital. 3.4 ARQUITECTURA DE UN PROCESADOR DIGITAL DE SEÑALES Las operaciones típicas en un sistema de procesamiento digital de señales son la suma y la multiplicación. Para realizar la multiplicación de dos números usando un procesador convencional se requeriría acceder la memoria más de una vez para tener los datos y la instrucción, esto se debe a la arquitectura Von Neuman, que es la arquitectura en la cual se basan los procesadores convencionales. La arquitectura propuesta por Von Neuman se muestra a continuación. Figura 3.2 Arquitectura Von Neuman

Memoria

de

Programa

y datos

CPU

Como se muestra, la arquitectura Von-Neuman cuenta con un solo bus para el programa y los datos. La limitación de esta arquitectura es que requiere varios accesos a memoria para llevar la instrucción al CPU. Si la instrucción maneja datos de memoria, se deben realizar otros accesos para llevar, operar y almacenar los datos, lo cual resulta en el congestionamiento del bus. 1

Figura 3.3 Arquitectura Harvard

Memoria

de DatosCPU

Memoria de

Programa

Ambas buses son totalmente independientes y pueden ser de distintos anchos por lo que el CPU puede estar accediendo a los datos para completar la ejecución de una instrucción, y al mismo tiempo estar leyendo la próxima instrucción a ejecutar.2 3.5 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL PROCESAMIENTO DIGITAL Las ventajas de procesar una señal usando técnicas digitales son:

Flexibilidad: debido a que el sistema digital es programable, por lo que si se requiere hacer una modificación solo se cambia el programa mientras que si se trabaja con un sistema analógico se debe modificar el diseño.

Precisión: ya que a diferencia de los circuitos analógicos, los circuitos digitales no dependen de los valores precisos de sus componentes, por lo tanto, los circuitos digitales son menos sensitivos a las tolerancias de los componentes. Además, no se ven afectados por la temperatura, tiempo y otros parámetros externos.

____________________ 1 Procesamiento Digital de Señales. Disponible en Internet: http://www.monografias.com/trabajos17/procesamiento-digital/procesamiento-digital.shtml 2 Arquitectura del computador. Disponible en Internet: http://s3.amazonaws.com/lcp/whendygarcia/myfiles/CLASE2.pdf

Fidelidad: debido que las señales digitales se almacenan en memorias no

volátiles.

Simplicidad: porque algunas aplicaciones son más fáciles de implementar digitalmente que con sistemas análogos.

Permite implementar algoritmos más sofisticados.

Aplicabilidad a muy bajas frecuencias: por ejemplo, en aplicaciones sísmicas donde se requerirían capacitores e inductores muy grandes.

El procesamiento digital de señales está asociado con algunas desventajas. Una desventaja es la complejidad de los sistemas digitales ya que se requieren dispositivos previos y posteriores al procesamiento como los convertidores A/D y D/A, así como la circuitería digital y filtros asociados a los mismos. Otra desventaja es el rango limitado de frecuencias disponibles para el procesamiento.

4. ESTADO DEL ARTE En los diferentes proyectos relacionados con la aplicación de la Transformada Rápida de Fourier (FFT), se han encontrado trabajos realizados en diferentes dispositivos como DSP Texas, FPGA, dsPIC de Microchip, lo cual lo hace una herramienta indispensable en el estudio del tratamiento de señales. A continuación se nombran las diferentes aplicaciones y algoritmos realizados con la Transformada Rápida de Fourier (FFT). Los FPGA son dispositivos que ofrecen soluciones de alto rendimiento en el diseño de sistemas electrónicos, como ejemplo, la Implementación de la FFT en hardware aplicada a recepción en OFDM1, para el desarrollo de esta aplicación se utilizó el algoritmo Radix-2 FFT Diezmado en el tiempo, el cual reduce el número de sumas y multiplicaciones respecto al algoritmo original de la Transformada Discreta de Fourier DFT, separando en dos partes el algoritmo, uno con índice pares y otro con impares como se muestra en la figura 4.1, la condición para realizar este proceso es realizar una FFT de 2n puntos, uno de los inconvenientes de trabajar con los FPGA es el tiempo de desarrollo y depuración son más extensos que los demás sistemas dado que estos elementos son elementos de hardware genéricos. Figura 4.1 Algoritmo Radix-2 FFT Diezmado en el tiempo

_________________

1 Implementación de la FFT en hardware aplicada a recepción en OFDM ubicado en:

http://www.usta.edu.co/otras_pag/revistas/hallazgos/documentos/hallazgos_5/produccion_conocimiento/8.pdf

Investigaciones donde los algoritmos de tratamiento digital son más exigentes y más eficientes, con menor costo y menos espacio, se tiene la implementación de la Transformada Cepstrum en hardware usando la Transformada Rápida de Fourier en base 4, como se muestra en la figura 4.2, este tipo de algoritmo es más eficiente computacionalmente, con un esquema de mariposa para la FFT base 4, uno de los inconvenientes es que el número de datos tiene que ser 4n. Figura 4.2 Algoritmo Radix-4 FFT

Texas Instruments, es uno de los fabricantes de DSP a nivel mundial, se ha implementado el algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier empleando el DSP TMS320C6201, donde su objetivo principal es calcular la magnitud y los componentes de la señal eléctrica, para el desarrollo de esta aplicación se utilizó el algoritmo Radix-2 Diezmado en frecuencia el cual reduce el número de sumas y multiplicaciones, uno de los inconvenientes es que la salida del resultado no está ordenada y toca aplicarle el método de bit de reverso1, como se muestra en la figura 4.3. ___________________________ 1 Implementación del algoritmo de la Transformada Discreta de Fourier empleando el DSP TMS320C6201 ubicado en: http://sisbib.unmsm.edu.pe/BibVirtualdata/publicaciones/electronica/Diciembre_2000/Pdf/3_Implementa.pdf

Figura 4.3 Algoritmo Radix-2 FFT Diezmado en el tiempo

5. OBJETIVOS 5.1. OBJETIVO GENERAL Implementar la Transformada Rápida de Fourier en un dsPIC30F con control del número de muestras y velocidad de muestreo. 5.2 OBJETIVO ESPECIFICO

Analizar los diferentes algoritmos existentes, para implementar la Transformada Rápida de Fourier (FFT).

Determinar las características generales, capacidades y limitaciones de los dsPIC30F4011.

Diseñar las funciones necesarias por medio del programa MPLAB, para implementar la construcción de la Transformada Rápida de Fourier.

Diseñar la función que realice el proceso de conversión A/D en el dsPIC30F, por medio del programa MPLAB, para el control del número de muestras y procesamiento de información.

Determinar el valor máximo y mínimo de la velocidad de muestreo, en el dsPIC30F4011, para construir la función que permite variar la velocidad de muestreo.

Diseñar un software que grafique los datos obtenidos en el dsPIC30F, por medio del programa Visual Basic, para observar gráficamente los espectros de una señal.

Verificar la Transformada Rápida de Fourier en el dsPIC30F, por medio de una aplicación llamada selector de metales, para comprobar su funcionamiento sin necesidad de utilizar un computador.

6. METODOLOGIA

6.1 ESTRATEGIA METODOLOGICA

Se utiliza el método científico como estrategia metodológica, para llevar la investigación de una forma organizada y lo más objetiva posible, sin pérdida de información y mayor análisis, a continuación se nombra los pasos a seguir: OBSERVACION La Transformada Rápida de Fourier (FFT), se puede encontrar en diferentes programas como dsPICworks, Matlab con un gran desempeño para el cálculo numérico computacional, también encontramos las calculadoras científicas Hp 48, Hp49, Hp49g, Texas Instrument Voyage 200 y MPLAB Starter Kit para dsPIC DSCs entre otros. De los diferentes inconvenientes que se encontraron para trabajar con alguno de los equipos nombrados son:

Acople entre el mundo exterior y el equipo a trabajar. Pérdida de tiempo en la transmisión de los datos de la señal. Limitación de los kits de desarrollo por las características del fabricante. Pérdida de tiempo en el ingreso manual de los datos en calculadoras

científicas.

FORMULACION DE HIPÓTESIS Con el uso de un Procesador Digital de Señales dsPIC, se adquieren los datos de una señal externa, seguidamente se procesan digitalmente por medio de la Transformada Rápida de Fourier (FFT), obteniéndose un resultado casi inmediato.

PREDICCION DE RESULTADOS Se obtendrá una respuesta casi inmediata, sin pérdida de información y control de los datos obtenidos o procesados. EXPERIMENTO Se realiza dos experimentos para la corroboración de dicho trabajo: Primer experimento: Se grafica en el computador la señal tomada por el dsPIC y se observa gráficamente los espectros de esta señal, utilizando la Transformada Rápida de Fourier (FFT), para poder analizar el comportamiento de dichas señales y aplicar las diferentes correcciones en el diseño o acople de estas señales sensadas, para su respectivo análisis e informe, ya que es más fácil analizar el comportamiento real de una forma visual. Figura 6.1 Aplicación #1

dsPIC30F4011

Adquisición de

datos, conversor

A/D

Procesamiento de

la señal (FFT)

Comunicación

UART

Sensor

Graficar en el computador

por medio de Visual Basic

los Datos tomados del

dsPIC

Se aplica diferentes señales al sensor para verificar el

funcionamiento del conversor A/D y la comunicación UART para

observar gráficamente las señales muestreadas en un

computador, para esta aplicación se utiliza un generador de

señales y se aplicará diferentes señales tomadas por el sensor

Segundo experimento: Se verifica el algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier (FFT), por medio de una aplicación llamada selector de metales, su objetivo principal es nombrar o visualizar el tipo de material sensado, para llegar a conocer más a fondo el comportamiento de diferentes tipos de señales y así ganar experiencia en este campo, dejando abierto el estudio de diferentes tipos de señales a fututo. Figura 6.2 Aplicación #2

* Selección del

Número de muestras.

* Selección de la

velocidad de muestreo

Procesador Digital de

señales dsPIC30F

Transformada Rápida de

Fourier

Visualización de los

Resultados

(LCD)

Sensor

Adquisición de

datos, conversor

A/D

Metal 1 (Hierro) Metal 2 (Aluminio) Metal 3 (Cobre) Otros metales

Seleccionar el

material sensado

1ª Prueba 4ª Prueba

2ª Prueba 3ª Prueba

CONCLUSIONES Se observará el comportamiento de cada una de las pruebas realizadas para su respectivo informe y verificación de los objetivos del proyecto planteado. 6.2 INGENIERIA DEL PROYECTO

Para el desarrollo de este proyecto, se debe llevar un seguimiento en el proceso de elaboración, por eso, se busca desde el inicio de las fases cumplir las siguientes 3 etapas, Análisis, Diseño Previo y Desarrollo. A continuación se muestra el desarrollo del proyecto, con mayor profundidad por medio de diagramas de bloques:

Teórico

( Definir los siguientes conceptos)

Procesamiento de señales

Digitales (DSP)

Tratamiento de señales.

Controladores de señales

digitales(DSC)

Transformada de Fourier

Transformada de Fourier Discreta

(TDF)

Transformada Rápida de Fourier

(FFT)

Análisis

Otros (Conceptos que se irán

tratando en el desarrollo del

proyecto)

Procesos y modelos

(Se escogeran los modelos matemáticos y se

crearan los algoritmos y funciones necesarias)

Tipos de algoritmo encontrados para la FFT

Creación de funciones matemáticas para

la Implementación de la FFT

Algoritmo FFT para el

dsPIC30F4011

Diseño Previo

* Algoritmo de Cooley-Tukey FFT

* Algoritmo de la Partir-raíz FFT

* Algoritmo del factor primario FFT

* Algoritmo de FFT de Bruun

* Algoritmo de FFT de Rader

* Algoritmo de FFT de Bluestein

* Diagrama de la mariposa - un diagrama FFTs.

Funciones:

* Suma de número Complejos

* Resta de números complejos

* Multiplicación de números complejos

* División

* Modulo de un número complejo

* Bit de reverse

* Demás funciones que hagan falta en el

desarrollo del proyecto.

Creación de Funciones

para el dsPIC

Funciones:

* Conversor A/D

* Comunicación UART

* Programa principal que

ejecutara todas las funciones

necesarias para la

implementacion de la FFT

* Algoritmo para el control

de muestras

* Algoritmo para el control

de velocidad de muestreo

Físicos

(Herramientas y Dispositivos que

se utilizaran en el desarrollo del

proyecto)

Computador (PC)

Quemador dsPIC

(Pickit-3)

dsPIC30F4011

(DSC)

Desarrollo

Se utilizarán los siguientes software:

Matlab (Programa calculo numérico

computacional)

Mplab(Programa editor de

programas fuentes para dsPIC)

Aplicación

Se demostrara la implementación de

la FFT en el dsPIC30F4011 sin

necesidad de utilizar un computador,

la aplicación se llama selector de

metales, cuyo objetivo es visualizar el

tipo de material sensado.

Desarrollo

Se Visualizara en el

computador el espectro

de una señal

7. DISEÑO ADMINISTRATIVO

La gestión del proyecto será ejecutada mediante pasos y condiciones de obligatorio cumplimiento metódico. Estos pasos y condiciones son los siguientes:

Estado del conocimiento (Lo que conozco acerca del tema a investigar).

Consulta de teorías y antecedentes (Síntesis conceptual de las investigaciones y trabajos hechos sobre el tema).

Definición de métodos y técnicas a aplicar. (Herramientas, ambientes y

teoría).

Experiencias prácticas.

Documentos y análisis de experiencias sobre el Plan de diseño.

Elaboración de informes para presentar los avances hechos.

Evaluar metodología de investigación (Analizar los conceptos obtenidos en

el diseño del prototipo).

Proyecto integral de grado (Presentación total de mi trabajo de investigación).

Resultados de la investigación (Comprobación de análisis y teorías del tema.)

7.1 RECURSOS HUMANOS Como recursos humanos este proyecto requiere de:

Desarrollador del proyecto.

Ingenieros electrónicos como tutores para la manipulación de los diferentes, dispositivos requeridos en hardware.

Ingenieros de sistemas como posibles tutores en la programación.

Técnicos electrónicos expertos en la fabricación de Vaquelas.

Personal calificado que nos brinde colaboración conceptual en la terminación del proyecto.

7.2 CRONOGRAMA

MES 1 2 3 4

Semana de Actividades 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

Recolección de información x x x

Definición y Modelos Matemáticos x X

Diseño de funciones matemáticas X x

Algoritmo para la FFT x x x

Diseño de algoritmos para el control

del número de muestras y velocidad

de muestreo

x x

Investigar y analizar el hardware del

dsPIC30F4011

x x x

Graficar los datos obtenidos por el

dsPIC30F por medio de Visual Basic x x x

Implementar la FFT en el dsPIC x x x

Prueba del experimento # 1

Graficar los datos tomados del dsPIC

en la Computadora para su respectivo

análisis y conclusiones

x x

Prueba del experimento #2

Selector de Metales

Observar y analizar el funcionamiento

de las diferentes señales tomadas

x x

Comprobar el correcto

funcionamiento de la FFT en el dsPIC x x

Entrega del proyecto x

7.3 PRESUPUESTO El presupuesto necesario para la elaboración del proyecto en general será de: $ 1’300.000 de pesos. Los cuales están nombrados a continuación. Equipos Generador de señales = Prestados por la UAN Osciloscopio = Prestados por la UAN Quemador de microchip (Pickit-3) = $ 300000 Componentes dsPIC = $ 75000 Ácido para Vaquelitas = $ 5000 Vaquelitas = $ 20000 Cable = $ 10000 Soldadura = $ 15000 Switch = $ 10000 Pulsadores = $ 10000 Diodos = $ 5000 Transistores = $ 30000 Borneras = $ 20000 Reguladores = $ 5000 Disipadores = $ 20000 Regletas = $ 10000 Cristales = $ 10000 Capacitores = $ 10000 Cinta Ribon = $ 20000 Copias de seguridad = $ 100000 Cajas o Carcasas Caja metálica o plástica = $ 25000

Investigación Internet = $150000 Fotocopias = $ 50000 Impresiones = $ 80000 Desplazamiento o transporte Desplazamiento en Bogotá = $ 100000 Imprevistos Se tendrá un presupuesto de imprevistos = $ 220000 Total = $ 1’300.000

BIBLIOGRAFIA

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